universidad nacional de colombia …castro/cursocossiovelez.pdf · universidad nacional de colombia...
TRANSCRIPT
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
TALLER DE ANALISIS NO LINEAL Y
ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
CURSILLO
INTRODUCCION A LA TEORIA DE PUNTOS CRITICOS CON
APLICACIONES A PROBLEMAS ELIPTICOS SEMILINEALES
Por
JORGE COSSIO y CARLOS VELEZ
Universidad Nacional de Colombia Sede Medellın
Bogota, Junio 23-30, 2010
CONTENIDO
Pagina
Capıtulo
. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1. PUNTOS CRITICOS VIA MINIMIZACION . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1. Teoremas Fundamentales2. Proposiciones Auxiliares3. Aplicaciones a Problemas Elıpticos Semili-
neales
2. PUNTOS CRITICOS VIA MINIMAX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1. El Lema de Deformacion2. El Teorema del Paso de la Montana y un
Teorema de Punto de Silla3. Aplicaciones a Problemas Elıpticos Semili-
neales
3. PUNTOS CRITICOS VIA REDUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1. Teoremas Centrales2. Aplicaciones a Problemas Elıpticos Semili-
neales
REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
ii
INTRODUCCION
Una de las areas de la matematica de mayor desarrollo durante los ultimos anos ha
sido el analisis no lineal. Los trabajos de Ljusternik y Schnirelman (vease [22]) y el
famoso trabajo de Ambrosetti y Rabinowitz (vease [5]) en el cual se demuestra el
Teorema del Paso de la Montana han motivado e inspirado la investigacion en esta
area y han permitido el desarrollo de las teorıas de minimax y de Morse.
El objetivo principal de este trabajo es presentar una subarea del analisis no lineal,
llamada la teorıa de puntos crıticos. Esta teorıa identifica una clase importante de
problemas no lineales que pueden ser escritos en la forma
(1) I ′(u) = 0,
donde u pertenece a un espacio de Hilbert H adecuado e I ′ es la derivada de Frechet
de un cierto funcional I : H → R. La ventaja de esta formulacion es la de poder
hallar las soluciones del problema no lineal como los puntos crıticos del funcional I,
que en ciertas circunstancias pueden ser mas faciles de encontrar. Por ejemplo, si
el funcional I es diferenciable y tiene un mınimo en u entonces (1) es valido y por
lo tanto u es una solucion del problema en estudio.
En este trabajo estamos interesados en encontrar puntos crıticos de funcionales
I : H → R. Al hablar de puntos crıticos es natural pensar en primer lugar en
puntos de mınimo o de maximo local (o global) y en segundo lugar en puntos
crıticos de tipo “minimax” o “maxmin”.
1
2
Este cursillo esta dividido en tres capıtulos. En el Capıtulo 1 presentamos un
resultado basico de la teorıa de minimizacion de funcionales coercivos y debilmente
inferiormente semicontinuos y mostramos algunas aplicaciones a la existencia de
soluciones debiles para ecuaciones diferenciales semilineales.
En el Capıtulo 2 estudiamos algunos metodos de minimax para encontrar puntos
crıticos de funcionales. Estos metodos caracterizan los valores crıticos de un fun-
cional como un minimax sobre una clase de conjuntos adecuados. El Teorema del
Paso de la Montana es el primer resultado de minimax que estudiaremos. Su enun-
ciado involucra la condicion de Palais-Smale, que aparece repetidamente en la teorıa
de puntos crıticos y afirma una cierta “compacidad” sobre el funcional I. Una her-
ramienta fundamental en los resultados abstractos de tipo minimax es el llamado
Lema de Deformacion, el cual sera presentado en la primera seccion de ese capıtulo.
Tambien presentaremos un Teorema de Punto de Silla debido a P. Rabinowitz. Fi-
nalmente utilizaremos el Lema de Deformacion, el Teorema del Paso de la Montana
y el Teorema de Punto de Silla para presentar algunas aplicaciones a la solucion de
problemas elıpticos no lineales.
En el Capıtulo 3 estudiaremos una tecnica que permite reducir el estudio de los
puntos crıticos de un funcional I definido en un espacio de Hilbert H al estudio de
los puntos crıticos de un funcional I definido en un subespacio cerrado de H, el cual
es, generalmente, de dimension finita. Esta tecnica, se conoce como el metodo de
reduccion, y es muy util para demostrar existencia y multiplicidad de soluciones de
3
problemas de Dirichlet no lineales. El metodo de reduccion tuvo su orıgen en las
investigaciones de los profesores Lazer, Landesman y Meyers (vease [21]) y Castro
y Lazer (vease [12]).
Existe otro metodo muy importante para estudiar teorıa de puntos crıticos, que
no presentaremos en este trabajo, este es la teorıa de Morse. Al lector interesado
le sugerimos para su estudio los trabajos de Milnor ([24]), Chang ([14]) y Conley
([16]).
Esperamos que estas notas sirvan para estimular el interes por el estudio de la
teorıa de puntos crıticos y de los metodos topologicos en ecuaciones diferenciales. Al
lector interesado en profundizar estos aspectos le sugerimos consultar los trabajos de
Ambrosetti ([3] y [4]), Brezis y Nirenberg ([7]), Castro y Cossio ([10]), Castro y Lazer
([11] y [12]), Chang ([13] y [14]), Ghoussoub ([20]), Nirenberg ([25]), Rabinowitz
([26], [27], [28], [29], [30], [31], [32] y [33]) y de Willem ([34]).
Queremos agradecer al profesor Alfonso Castro, al comite organizador del Taller
de Analisis no Lineal y Ecuaciones Diferenciales Parciales y a las directivas de la
Universidad Nacional de Colombia Sede Bogota por invitarnos a presentar en este
evento el presente cursillo.
Junio 2010.
Jorge Cossio y Carlos Velez
CAPITULO 1
PUNTOS CRITICOS VIA MINIMIZACION
En este capıtulo presentaremos una tecnica de minimizacion de funcionales definidos
en espacios de Hilbert, que permite encontrar puntos crıticos de funcionales coer-
civos y debilmente inferiormente semicontinuos. En la Seccion 1 presentaremos los
teoremas abstractos fundamentales. En la Seccion 2 demostraremos tres proposi-
ciones de caracter tecnico que permiten verificar en las aplicaciones a ecuaciones
diferenciales las hipotesis requeridas en los teoremas fundamentales. Y en la Seccion
3, utilizando los teoremas abstractos, demostraremos la existencia de soluciones
debiles para problemas elıpticos no lineales. Al lector interesado en algunas gene-
ralizaciones importantes de esta teorıa a la existencia de puntos crıticos con restri-
cciones le sugerimos ver los trabajos de Costa ([18]) y de Costa y Willem ([19]).
1. Teoremas Fundamentales
Nuestro primer teorema es un resultado topologico que sera utilizado en la de-
mostracion del teorema central de esta seccion.
Teorema 1.1.1. Sean X un espacio topologico compacto y Φ : X → R un funcional
semicontinuo inferiormente (i.e. ∀a ∈ R,Φ−1(a,∞) es un abierto en X). Entonces
Φ esta acotado inferiormente y, ademas, existe u0 ∈ X tal que
Φ(u0) = infu∈X
Φ(u).
4
5
Demostracion. Como
X =∞∪
n=1Φ−1 (−n,∞),
Φ−1(−n,∞) es abierto -por ser Φ semicontinua inferiormente- y X es compacto se
sigue que existe n0 ∈ N tal que
X =n0∪
n=1Φ−1 (−n,∞).
Por lo tanto
Φ(u) > −n0 ∀u ∈ X.
Es decir, Φ esta acotado inferiormente.
Sea
c = infu∈X
Φ(u).
Demostraremos a continuacion que existe u0 ∈ X tal que Φ(u0) = c. En efecto,
supongamos, por contradiccion, que Φ(u) > c para todo u ∈ X. Entonces
X =∞∪
n=1Φ−1 (c +
1n
,∞).
Por ser X compacto, existe k ∈ N tal que
X =k∪
n=1Φ−1 (c +
1n
,∞).
Luego
Φ(u) > c +1k
∀u ∈ X.
6
Por lo tanto
c = infu∈X
Φ(u) ≥ c +1k
.
Esta contradiccion demuestra que existe u0 ∈ X tal que Φ(u0) = c.
Como una consecuencia del Teorema 1.1.1 demostraremos a continuacion el resul-
tado fundamental de esta seccion.
Teorema 1.1.2. Sea H un espacio de Hilbert. Supongamos que el funcional
Φ : H → R satisface las siguientes condiciones:
(i) Φ es debilmente inferiormente semicontinuo (i.e. ∀a ∈ R, Φ−1(a,∞) es un
abierto para la topologıa debil en H)
(ii) Φ es coercivo (i.e. Φ(u) → +∞ cuando ‖u‖ → ∞).
Entonces Φ esta acotado inferiormente y existe u0 ∈ H tal que
Φ(u0) = infu∈H
Φ(u).
Demostracion. De la coercividad de Φ se sigue que existe R > 0 tal que
(1.1) Φ(u) ≥ Φ(0) ∀u ∈ H con ‖u‖ ≥ R.
Como la bola cerrada BR(0) es compacta en la topologıa debil en H (vease [6],
Teorema III.16) y la restriccion de Φ a la bola cerrada BR(0) es semicontinua
inferiormente en la topologıa debil, se sigue del Teorema 1.1.1 que existe u0 ∈ BR(0)
tal que
(1.2) Φ(u0) = infu∈BR(0)
Φ(u).
7
De (1.1) y (1.2) se deduce que
Φ(u0) = infu∈H
Φ(u).
Observamos que si ademas de las hipotesis del Teorema 1.1.2, el funcional Φ : H →
R es diferenciable entonces cualquier punto de mınimo u0 es un punto crıtico de Φ,
i.e. Φ′(u0) = 0.
Veremos a continuacion otra consecuencia del Teorema 1.1.1.
Teorema 1.1.3. Bajo las mismas hipotesis del Teorema 1.1.2, dado un conjunto
cerrado, convexo y no vacıo C ⊂ H existe u0 ∈ C tal que
Φ(u0) = infu∈C
Φ(u).
Demostracion. Ejercicio
2. Proposiciones Auxiliares
El objetivo central de esta seccion es demostrar tres proposiciones de caracter
tecnico, que permiten verificar en las aplicaciones a ecuaciones diferenciales algunas
de las hipotesis que son requeridas tanto en los teoremas fundamentales que han
sido presentados en la Seccion 1 como en los teoremas que presentaremos en los
Capıtulos 2 y 3.
Inicialmente presentaremos un teorema de sustitucion.
8
Proposicion 1.2.1. Sea Ω ⊂ Rn un dominio acotado. Si g satisface:
(i) g ∈ C(Ω× R,R)
(ii) Existen constantes r, s ≥ 1 y a1, a2 ≥ 0 tales que
|g(x, t)| ≤ a1 + a2 |t| rs ∀x ∈ Ω, t ∈ R
entonces la funcion u(x) → g(x, u(x)) pertenece a C(Lr(Ω), Ls(Ω)).
Demostracion. Ejercicio (vease [26]).
Sea Ω ⊂ Rn un dominio acotado. Sea H el espacio de Sobolev H10 (Ω), el cual es
la completacion del espacio con producto interno consistente de todas las funciones
de clase C1(Ω,R) que tienen su soporte compacto contenido en Ω y cuyo producto
interior esta definido por
〈u, v〉 =∫
Ω
∇u(x) · ∇v(x) dx.
Al lector interesado en conocer mas a fondo los espacios de Sobolev le sugerimos
las trabajos de Adams ([1]) y de Brezis ([6]).
La siguiente proposicion establece una condicion suficiente para saber cuando un
funcional que aparece frecuentemente en las aplicaciones a ecuaciones diferenciales
es debilmente continuo.
Proposicion 1.2.2. Sea Ω ⊂ Rn un dominio acotado. Si g satisface:
(i) g ∈ C(Ω× R,R)
9
(ii) Existen constantes a, b > 0 y 1 ≤ α < 2nn−2 si n ≥ 3 ( 1 ≤ α < ∞ si n = 1, 2)
tales que
|g(x, t)| ≤ a |t|α + b
entonces el funcional I : H10 (Ω) → R definido por
I(u) =∫
Ω
g(x, u(x)) dx,
es debilmente continuo.
Demostracion. Ejercicio (vease [26]).
El siguiente resultado nos proporciona una condicion suficiente que garantiza que
una clase importante de funcionales que aparecen en el estudio de ecuaciones elıpticas
semilineales pertenecen a la clase C1(H10 (Ω),R).
Proposicion 1.2.3. Sea Ω ⊂ Rn un dominio acotado con frontera suave. Supon-
gamos que p satisface las siguientes condiciones:
(i) p ∈ C(Ω× R,R) y
(ii) Existen constantes a1, a2 ≥ 0 tales que
|p(x, t)| ≤ a1 + a2 |t|s ∀x ∈ Ω, t ∈ R, donde 0 ≤ s <n + 2n− 2
y n ≥ 3.
Sea I : H10 (Ω) → R el funcional definido por
I(u) =∫
Ω
(12|∇u|2 − P (x, u)) dx,
10
donde P (x, t) =∫ t
0p(x, s) ds.
Entonces I ∈ C1(H10 (Ω),R) y
I ′(u)φ =∫
Ω
(∇u · ∇φ− p(x, u)φ) dx ∀φ ∈ H10 (Ω).
Ademas, si J : H10 (Ω) → R es el funcional definido por
J(u) =∫
Ω
P (x, u(x)) dx
entonces J ′ es un operador compacto.
Demostracion. Ejercicio (vease [26]).
3. Aplicaciones a Problemas Elıpticos Semilineales
En esta seccion mostraremos, como consecuencia de los teoremas abstractos pre-
sentados en la Seccion 1 y de las proposiciones desarrolladas en la seccion anterior,
algunas aplicaciones a la solucion de problemas elıpticos semilineales.
Sea λ1 < λ2 ≤ · · · ≤ λk ≤ . . . la sucesion de valores propios de −∆ con condicion
de frontera de Dirichlet en Ω. Para cada entero positivo m sea ϕm la funcion
propia correspondiente al valor propio λm. Sea H el espacio de Sobolev H10 (Ω).
Como es bien conocido (vease [6], Teorema IX.31), el conjunto ϕm es un conjunto
ortonormal completo en H.
Consideremos el siguiente problema de Dirichlet no lineal
(1.3)
∆u + f(x, u) = 0 en Ω,
u = 0 en ∂Ω,
11
donde Ω es un dominio acotado en Rn con frontera suave.
Decimos que u ∈ H es una solucion debil del problema (1.3) si para todo ϕ ∈ H
∫
Ω
(∇u.∇ϕ− f(x, u) ϕ) dx = 0.
Supongamos que f satisface la siguientes condiciones:
(i) f ∈ C(Ω× R,R),
(ii) Existen constantes a, b ≥ 0 tales que
|f(x, ξ)| ≤ a + b |ξ|s ∀x ∈ Ω, ξ ∈ R, donde 0 ≤ s <n + 2n− 2
y n ≥ 3.
(iii) Existe β < λ1 tal que lim sup|ξ|→∞
f(x, ξ)ξ
≤ β uniformemente en x ∈ Ω.
Teorema 1.3.1. Si f satisface las hipotesis (i), (ii) y (iii) entonces el problema
(1.3) tiene una solucion debil u ∈ H10 .
Demostracion. Sea I : H10 → R el funcional definido por
I(u) =∫
Ω
(12|∇u|2 − F (x, u)) dx,
donde F (x, t) =∫ t
0f(x, s) ds.
Usando la Proposicion 1.2.3 se sigue que I ∈ C1(H10 ,R) y que u ∈ H1
0 es una
solucion debil de (1.3) si y solo si u es un punto crıtico del funcional I.
El funcional I puede escribirse en la forma
I(u) = Q(u)− J(u),
12
donde Q(u) = 12‖u‖2 y J(u) =
∫Ω
F (x, u) dx.
El funcional Q es debilmente inferiormente semicontinuo (vease [6], Proposicion
III.5) y, por la Proposicion 1.2.2, J es debilmente continuo. Por lo tanto el funcional
I es debilmente inferiormente semicontinuo.
Por otro lado, la hipotesis (iii) implica que
lim sup|ξ|→∞
2 F (x, ξ)ξ2
≤ β uniformemente en x ∈ Ω.
Fijemos β1 con β < β1 < λ1. Por lo tanto existe R1 > 0 tal que
F (x, ξ) ≤ 12
β1 ξ2 ∀x ∈ Ω y ∀ξ ∈ R tal que |ξ| ≥ R1.
Utilizando la hipotesis (i) se sigue que existe una constante γ1 tal que
F (x, ξ) ≤ γ1 ∀x ∈ Ω y ∀ξ ∈ R tal que |ξ| ≤ R1.
Por lo tanto
F (x, ξ) ≤ γ1 +12β1 ξ2 ∀x ∈ Ω y ∀ξ ∈ R.
De la desigualdad anterior y de la definicion del funcional I se sigue que
I(u) ≥ 12
∫
Ω
|∇u|2 − 12β1
∫
Ω
u2 − γ1 |Ω|.
Por la desigualdad de Poincare (vease [9], Lema 4.5) tenemos que
∫
Ω
|∇u|2 ≥ λ1
∫
Ω
u2.
13
Luego
I(u) ≥ 12(1− β1
λ1)∫
Ω
|∇u|2 − γ1|Ω|
=12(1− β1
λ1)‖u‖2 − γ1|Ω|.
De la desigualdad anterior se sigue que
I(u) −→ +∞ si ‖u‖ → ∞.
Por lo tanto el funcional I es coercivo. Utilizando el Teorema 1.1.2 tenemos que
existe u0 ∈ H10 tal que
I(u0) = infu∈H1
0
I(u).
Como I es de clase C1(H10 ,R), u0 es un punto crıtico de I.
A continuacion dejamos como ejercicio otra aplicacion del Teorema 1.1.2. Conside-
remos el problema
(1.4)
∆u + f(x, u) = 0 en Ω,
u = 0 en ∂Ω,
donde Ω es un dominio acotado en Rn (n ≥ 3) con frontera suave.
Supongamos que f satisface la siguientes condiciones:
(i) f ∈ C(Ω× R,R)
(ii) Existe una constante 0 < r < 1 tal que
|f(x, ξ)| ≤ a(x) + c |ξ|r ∀x ∈ Ω, ξ ∈ R, donde c > 0 y a(x) ∈ Lr+1
r (Ω).
Teorema 1.3.2. Si f satisface las hipotesis (i) y (ii) entonces el problema (1.4)
tiene una solucion debil u ∈ H10 .
Demostracion. Ejercicio.
CAPITULO 2
PUNTOS CRITICOS VIA MINIMAX
En el capıtulo anterior estudiamos el problema de localizar puntos crıticos que
son puntos de mınimo de funcionales. Sin embargo existen muchos problemas, en
las aplicaciones a ecuaciones diferenciales, en los cuales los puntos crıticos no se
obtienen via minimizacion. En este capıtulo discutiremos la existencia de “otros”
puntos crıticos de funcionales, los cuales no son necesariamente puntos de mınimo,
y a los que llamaremos “puntos de tipo minimax”.
El proposito central de este capıtulo es demostrar el Teorema del Paso de la Montana,
un Teorema de Punto de Silla y presentar algunas aplicaciones a ecuaciones elıpticas
semilineales. Una herramienta fundamental en la prueba del Teorema del Paso de la
Montana es el llamado Lema de Deformacion, el cual sera presentado en la Seccion
1. Este Lema juega un papel importante en todos los resultados abstractos de tipo
minimax. En la Seccion 2 demostraremos el Teorema del Paso de la Montana y el
Teorema de punto de Silla. Y en la Seccion 3 presentamos algunas aplicaciones a
la solucion de problemas elıpticos no lineales.
1. El Lema de Deformacion
Definicion 2.1.1. Sean E un espacio de Hilbert e I ∈ C1(E,R). Se dice que I
satisface la condicion de Palais-Smale, si cualquier sucesion un∞n=1 en E, para la
14
15
cual I(un)∞n=1 es acotada y limn→∞
I ′(un) = 0, admite una subsucesion convergente.
Lema 2.1.2 (Lema de Deformacion). Sea E un espacio de Hilbert. Suponga-
mos que I ∈ C1(E,R) y satisface la condicion de Palais-Smale. Para s, c ∈ R, sean
Kc = u ∈ E : I(u) = c y I ′(u) = 0 y As = u ∈ E : I(u) ≤ s. Si
Kc = ∅.
Entonces dado cualquier ε > 0, existen una constante ε ∈ (0, ε) y una funcion
η ∈ C([0, 1]× E, E)
tales que:
(i) η(0, u) = u para todo u ∈ E,
(ii) η(1, u) = u si I(u) /∈ [c− ε, c + ε],
(iii) η(1, Ac+ε) ⊂ Ac−ε.
Demostracion. Vease [26].
Como una consecuencia del Lema de Deformacion demostraremos a continuacion
un principio de minimizacion que es util cuando el funcional en consideracion no
es coercivo. En la Seccion 3 de este capıtulo presentaremos una aplicacion de este
principio a ecuaciones diferenciales.
Proposicion 2.1.3. Sean E un espacio de Hilbert e I ∈ C1(E,R). Supongamos
que I satisface la condicion de Palais-Smale y que I esta acotado inferiormente.
16
Entonces existe u0 ∈ E tal que
I(u0) = infu∈E
I(u).
Demostracion. Sea
c = infu∈E
I(u).
Como el funcional I esta acotado inferiormente es claro que c > −∞.
Queremos demostrar que c es un valor crıtico de I. Razonemos por el absurdo,
supongamos que c no es valor crıtico de I, es decir
Kc = ∅.
Sea ε > 0. Entonces el Lema de Deformacion, garantiza la existencia de un ε ∈ (0, ε)
y una funcion η ∈ C([0, 1]× E, E) que satisfacen (i),(ii) y (iii) (ver Lema 2.1.2).
De la definicion de c se sigue que existe u∗ ∈ E tal que
I(u∗) ≤ c + ε.
Utilizando la propiedad (iii) del Lema de Deformacion tenemos
I(η(1, u∗)) ≤ c− ε.
Luego
I(η(1, u∗)) ≤ c− ε < c ≤ I(η(1, u∗)).
Esta contradiccion demuestra que Kc 6= ∅.
17
2. El Teorema del Paso de la Montana y un Teorema de Punto de Silla
Utilizando el Lema de Deformacion, demostraremos a continuacion una tecnica muy
interesante de “minimax” que permite deducir la existencia de un punto crıtico de
un funcional. Esta tecnica fue demostrada en [5] por Ambrosetti y Rabinowitz.
Teorema 2.2.1. (Teorema del Paso de la Montana). Sea E un espacio de
Hilbert y sea I ∈ C1(E,R) un funcional que satisface la condicion de Palais-Smale.
Supongamos que I(0) = 0,
(i) existen constantes positivas ρ y α tales que
I(u) ≥ α si ‖u‖ = ρ,
y
(ii) existe un elemento e ∈ E tal que
‖e‖ > ρ y I(e) ≤ 0.
Entonces I posee un valor crıtico c ≥ α. Ademas c puede ser caracterizado como
(2.1) c = infg∈Γ
max0≤t≤1
I(g(t)),
donde Γ = g ∈ C([0, 1], E)/ g(0) = 0, g(1) = e.
Demostracion. Probaremos inicialmente que c, definido por (2.1), es tal que
(2.2) α ≤ c < ∞.
18
En efecto, para cada g ∈ Γ, max0≤t≤1
I(g(t)) existe porque I g es una funcion escalar
continua definida en [0, 1]. Luego c < ∞. Ademas, si g ∈ Γ, la funcion ‖g(t)‖ es
continua en el intervalo [0, 1]. Como ‖g(0)‖ = 0 y ‖g(1)‖ = ‖e‖ y por hipotesis
‖e‖ > ρ > 0, el Teorema del Valor Intermedio garantiza la existencia de un numero
t0 ∈ (0, 1) tal que ‖g(t0)‖ = ρ. Utilizando la hipotesis (i) se sigue que
max0≤t≤1
I(g(t)) ≥ I(g(t0)) ≥ α.
Puesto que g ∈ Γ era arbitraria, la anterior desigualdad completa la prueba de (2.2).
Demostraremos a continuacion que c es un valor crıtico de I. Razonemos por el
absurdo, supongamos que c no es valor crıtico de I, es decir
(2.3) Kc = ∅.
Sea ε := α2 . Entonces el Lema de Deformacion, garantiza la existencia de un
ε ∈ (0, ε) y una funcion η ∈ C([0, 1] × E, E) que satisfacen (i), (ii) y (iii) (ver
Lema 2.1.2).
Por (2.1), existe g0 ∈ Γ tal que
(2.4) max0≤t≤1
I(g0(t)) ≤ c + ε.
Definamos
h(t) := η(1, g0(t)) para todo t ∈ [0, 1].
Como η(1, ·) ∈ C(E, E) y g0 es continua en [0, 1], h = η(1, ·) g0 es tal que
h ∈ C([0, 1], E). Tambien g0(0) = 0 e I(g0(0)) = I(0) = 0 < α2 ≤ c − ε. Por
19
el Lema de Deformacion se sigue que h(0) = η(1, 0) = 0. De manera similar,
h(1) = η(1, e) = e. Por esto, h ∈ Γ y por (2.1)
(2.5) c ≤ max0≤t≤1
I(h(t)).
Por (2.4),
I(g0(t)) ≤ c + ε para todo t ∈ [0, 1].
Usando el Lema de Deformacion tenemos
I(h(t)) = I(η(1, g0(t)) ≤ c− ε para todo t ∈ [0, 1].
Por lo tanto
(2.6) max0≤t≤1
I(h(t)) ≤ c− ε.
De (2.5) y (2.6) se sigue que
c ≤ c− ε.
Esta contradiccion demuestra que c es un valor crıtico de I.
A continuacion presentamos otro teorema de minimax, el cual es util para demostrar
existencia de soluciones debiles para problemas elıpticos semilineales.
Teorema 2.2.2 (Teorema de Punto de Silla). Sea E un espacio de Hilbert.
Sean X e Y subespacios cerrados tales que E = X ⊕ Y y 0 < dimX < ∞. Sea
20
I ∈ C1(E,R) un funcional que satisface la condicion de Palais-Smale. Supongamos
que
(i) Existen constantes α ∈ R y r > 0 tales que I|∂Dr(0)∩X ≤ α, y
(ii) Existe una constante β > α tal que I|Y ≥ β.
Entonces I posee un valor crıtico c, que se caracteriza como
c = infh∈Γ
maxx∈Dr∩X
I(h(x)),
donde Γ = h ∈ C(Dr(0) ∩X, E) : h = Id en ∂Dr(0) ∩X.
Demostracion. Vease [26] (se usa Teorıa de Grado!!).
3. Aplicaciones a Problemas Elıpticos Semilineales
Inicialmente presentaremos una aplicacion del principio de minimizacion desarro-
llado en la Proposicion 2.1.3.
Teorema 2.3.1. Sea Ω un dominio acotado en Rn. Sea
g : Ω× R→ R una funcion continua y acotada. Entonces el problema de Dirichlet
no lineal
(2.7)
−∆u + u = g(x, u), en Ω
u = 0, en ∂Ω,
Tiene al menos una solucion debil en H10 (Ω).
Demostracion. Imitando la prueba de la Proposicion 1.2.3 se demuestra que
el funcional I : H10 → R definido por
I(u) =∫
Ω
(12‖∇u‖2 +
12
u2 −G(x, u)) dx,
21
donde G(x, t) =∫ t
0g(x, s) ds, es un funcional de clase C1(H1
0 ,R).
Ademas,
(2.8) I ′(u) v =∫
Ω
(∇u · ∇v + u v − g(x, u) v) dx ∀v ∈ H10 .
Luego u ∈ H10 es una solucion debil de (2.7) si y solo si u es un punto crıtico del
funcional I.
Probemos ahora que el funcional I esta acotado inferiormente. En efecto, como g
es acotada existe M > 0 tal que |g(x, u(x))| ≤ M . Luego
|G(x, u(x))| ≤∫ u(x)
0
|g(x, t)| dt ≤ M |u(x)| ≤ 12M2 +
12|u(x)|2.
Por lo tanto
(2.9)
I(u) ≥ 12‖u‖2 +
12
∫
Ω
u2 − 12M2 |Ω| − 1
2
∫
Ω
u2
≥ 12‖u‖2 − 1
2M2 |Ω|
≥ −12M2 |Ω|.
Luego I esta acotado inferiormente.
Demostraremos ahora que el funcional I satisface la condicion de Palais-Smale.
Para esto supongamos que (un) es una sucesion en H10 tal que
(I(un)) esta acotada y I ′(un) → 0.
Usando (2.9) se prueba que la sucesion (un) esta acotada en H10 . Notemos que I ′
es de la forma Identidad-Compacto. A partir de esto se verifica la condicion de
Palais-Smale.
22
Usando la Proposicion 2.1.3 se concluye que existe un punto crıtico u ∈ H10 . Lo
cual completa la demostracion del teorema.
El Teorema del Paso de la Montana se utilizara a continuacion para probar la
existencia de soluciones debiles de problemas elıpticos semilineales. Consideremos
el problema
(2.10)
∆u + p(x, u) = 0 en Ω
u = 0 en ∂Ω,
donde Ω ⊂ Rn es un dominio acotado (n ≥ 3).
Supongamos que p satisface las siguientes condiciones:
(i) p ∈ C(Ω× R,R),
(ii) Existen constantes a1, a2 ≥ 0 tales que
|p(x, ξ)| ≤ a1 + a2 |ξ|s ∀x ∈ Ω, ξ ∈ R,
donde 0 ≤ s < n+2n−2 .
(iii) p(x, ξ) = (|ξ|) cuando ξ → 0, uniformemente en x.
(iv) Existen constantes µ > 2 y r ≥ 0 tales que para todo |ξ| ≥ r
0 < µP (x, ξ) ≤ ξ p(x, ξ),
donde P (x, ξ) =∫ ξ
0p(x, s) ds.
Teorema 2.3.2. Si la funcion p satisface las hipotesis (i)-(ii)-(iii)-(iv) entonces
el problema (2.10) tiene una solucion debil no trivial.
23
Demostracion. De la Proposicion 1.2.3 se sigue que u ∈ H := H10 (Ω) es una
solucion debil de (2.10) si y solo si u es un punto crıtico del funcional I ∈ C1(H10 ,R)
definido por
(2.11) I(u) =∫
Ω
(12|∇u|2 − P (x, u)) dx.
Ademas,
(2.12) I ′(u) v =∫
Ω
(∇u · ∇v − p(x, u) v) dx ∀v ∈ H10 .
Debemos verificar que el funcional I satisface las hipotesis del Teorema del Paso de
la Montana.
La continuidad de la funcion p y la hipotesis (iii) implican que p(x, 0) = 0. Luego
el problema (2.10) posee la solucion trivial u ≡ 0. Ademas, de (2.11) se sigue que
I(0) = 0.
La primera hipotesis del Teorema del Paso de la Montana (hipotesis (i) del Teorema
2.2.1) es una consecuencia de la siguiente afirmacion.
Afirmacion 1. u = 0 es un punto de mınimo local estricto del funcional I.
Prueba. EJERCICIO (o vease [26]). ¤
Demostraremos ahora la segunda hipotesis del Teorema del Paso de la Montana
(hipotesis (ii) del Teorema 2.2.1).
Usando la hipotesis (iv) se prueba facilmente que existen constantes a3, a4 > 0 tales
que
(2.13) P (x, ξ) ≥ a3|ξ|µ − a4 ∀x ∈ Ω ∀ξ ∈ R.
24
Observamos que como µ > 2, P (x, ξ) es “supercuadratica” en ξ. Por (iv), p(x, ξ)
es “superlineal” cuando |ξ| → ∞.
Fijemos un elemento v ∈ H tal que v 6= 0. Sea u = t v, donde t > 0. Usando (2.11)
y (2.13) se sigue que
(2.14) I(u) = I(t v) ≤ 12t2 ‖v‖2 − a3 tµ ‖v‖µ
Lµ + a4|Ω|.
Tomando el lımite en (2.14) cuando t → +∞ y teniendo en cuenta que µ > 2
tenemos que
I(t v) → −∞ si t → +∞.
Luego la segunda hipotesis del Teorema del Paso de La Montana es valida.
Demostraremos ahora que el funcional I satisface la condicion de Palais-Smale. Sea
(un) una sucesion en H10 tal que
(2.15) limn→∞
I ′(un) = 0 y |I(un)| ≤ M , para alguna constante M > 0.
Usando (2.11) y (2.12) tenemos
(2.16) I(un) =12‖u‖2 −
∫
Ω
P (x, un) dx
y
(2.17)1µ
I ′(un)un =1µ‖un‖2 − 1
µ
∫
Ω
p(x, un)un dx.
25
Usando (2.15) se sigue que para n suficientemente grande
I(un)− 1µ
I ′(un)un ≤ M +1µ‖un‖.
De (2.16), (2.17) y la desigualdad anterior se sigue que
(2.18)(
12− 1
µ
)‖un‖2 +
∫
Ω
(1µ
p(x, un)un − P (x, un))≤ M +
1µ‖un‖.
Sea T := 1µ p(x, un)un − P (x, un). Ahora
(2.19)∫
Ω
T dx =∫
x∈Ω; |u(x)|≥rT dx +
∫
x∈Ω; |u(x)|≤rT dx.
Por la hipotesis (iv) la primera integral del lado derecho de (2.19) es positiva.
Ademas, la segunda integral esta acotada inferiormente por una constante K > 0
que no depende de n.
Luego (2.18) y la observacion anterior implican que
(12− 1
µ
)‖un‖2 + K ≤ M +
1µ‖un‖.
Por lo tanto,
(2.20)(
12− 1
µ
)‖un‖2 − 1
µ‖un‖+ K ≤ M.
Como µ > 2, (2.20) implica que la sucesion (un) es una sucesion acotada en H.
Notemos que I ′ es de la forma Identidad-Compacto. A partir de esto se verifa la
condicion de Palais-Smale.
Como el funcional I satisface las hipotesis del Teorema del Paso de la Montana se
concluye que el funcional I tiene un punto crıtico u ∈ H no trivial.
CAPITULO 3
PUNTOS CRITICOS VIA REDUCCION
En este capıtulo presentaremos una tecnica que permite reducir el estudio de los
puntos crıticos de un funcional I definido en un espacio de Hilbert H al estudio
de los puntos crıticos de un funcional I definido en un subespacio cerrado de H, el
cual es, generalmente, de dimension finita. Esta tecnica se conoce como el metodo
de reduccion y permite demostrar la existencia de soluciones para problemas de
Dirichlet no lineales.
En la Seccion 1 demostraremos los resultados principales que explican el metodo
de reduccion (vease los Teoremas 3.1.3 y 3.1.4) y en la Seccion 2 aplicaremos dicho
metodo para probar la existencia de soluciones debiles para problemas elıpticos
semilineales.
1. Teoremas Centrales
Sean H un espacio de Hilbert real y f : H → R una funcion diferenciable. Sea f ′(u)
la derivada de Frechet de f en u ∈ H. Por el Teorema de Representacion de Riesz,
existe un unico elemento ∇f(u) ∈ H, que llamaremos el gradiente de f en u, tal
que
f ′(u) v = 〈∇f(u), v〉 ∀v ∈ H.
26
27
El siguiente resultado sera una herramienta de gran utilidad en la demostracion del
teorema principal de este capıtulo y es una consecuencia del Teorema 1.1.2.
Lema 3.1.1. Sea f : H → R una funcion de clase C1. Si existe m > 0 tal que
〈∇f(x)−∇f(y), x− y〉 ≥ m ‖x− y‖2 ∀x, y ∈ H
entonces f tiene un unico punto de mınimo en H. Ademas, el punto de mınimo es
el unico punto crıtico de f .
Demostracion. Utilizando la expresion integral
f(y)− f(x) =∫ 1
0
〈∇f(x + s(y − x)), (y − x)〉 ds ∀x, y ∈ H,
que es una consecuencia de la regla de la cadena, y la hipotesis del lema se sigue
que
f((1− t)x + ty) ≤ (1− t)f(x) + t f(y).
Por lo tanto f es una funcion convexa.
Como f es una funcion continua y convexa se tiene que f es debilmente inferiormente
semicontinua (vease [6], Corolario III.8).
Demostraremos a continuacion que f es una funcion coerciva. Usando la expresion
28
integral vista arriba, la hipotesis y la desigualdad de Schwarz tenemos
f(x) = f(0) +∫ 1
0
〈∇f(sx), x〉 ds
= f(0) +∫ 1
0
〈∇f(sx)−∇f(0), x〉 ds + 〈∇f(0), x〉
≥ f(0) + m
∫ 1
0
s‖x‖2 ds− ‖∇f(0)‖ ‖x‖
= f(0) +m
2‖x‖2 − ‖∇f(0)‖ ‖x‖.
Luego f(x) →∞ cuando ‖x‖ → ∞. Por lo tanto f es una funcion coerciva.
Usando el Teorema 1.1.2 se sigue que f esta acotada inferiormente y que existe
u0 ∈ H tal que
f(u0) = infu∈H
f(u).
Luego u0 es un punto de mınimo de f en H. Como f es diferenciable se concluye
que u0 es un punto crıtico de f .
Demostraremos ahora que f tiene un unico punto crıtico. En efecto, supongamos
que existe otro punto crıtico u1 ∈ H. Usando la hipotesis tenemos que
0 = 〈∇f(u0)−∇f(u1), u0 − u1〉 ≥ m ‖u0 − u1‖2.
Por lo tanto
u0 = u1.
A continuacion presentamos el resultado principal de este capıtulo.
29
Teorema 3.1.2. Sea f : H → R una funcion de clase C1. Supongamos que existen
subespacios cerrados X e Y de H tales que H = X ⊕ Y y que existe una constante
m > 0 tal que
(3.1) 〈∇f(x + y1)−∇f(x + y2), y1 − y2〉 ≥ m ‖y1 − y2‖2 ∀x ∈ X, ∀y1, y2 ∈ Y.
Entonces existe una funcion continua φ : X → Y que satisface:
i)
f(x + φ(x)) = miny∈Y
f(x + y).
ii) La funcion
f : X → R
x 7→ f(x) = f(x + φ(x))
es de clase C1 y
(3.2)
⟨∇f(x), h
⟩= 〈∇f(x + φ(x)), h〉 ∀ x, h ∈ X
〈∇f(x + φ(x)), y〉 = 0 ∀x ∈ X, ∀ y ∈ Y
Demostracion.
Para cada x ∈ X definamos la funcion
fx : Y → R
y 7→ fx(y) = f(x + y)
30
Se demuestra facilmente (Ejercicio) que fx ∈ C1(Y,R), f′x(y) = f
′(x + y)|Y y
(3.3) 〈∇fx(y), h〉 = 〈∇f(x + y), h〉 ∀ h ∈ Y.
Usando (3.3) y la hipotesis (3.1) se sigue que
〈∇fx(y1)−∇fx(y2), y1 − y2〉 = 〈∇f(x + y1)−∇f(x + y2), y1 − y2〉
≥ m‖y1 − y2‖2.
Utilizando el Lema 3.1.1 se tiene que fx tiene un unico punto crıtico φ(x) ∈ Y , que
es un punto de mınimo de fx; es decir,
fx(φ(x)) = miny∈Y
fx(y).
Por lo tanto,
f(x + φ(x)) = miny∈Y
f(x + y).
En particular, φ(x) es el unico elemento de Y tal que
(3.4) 0 = 〈∇fx(φ(x)), y〉 = 〈∇f(x + φ(x)), y〉 ∀y ∈ Y.
Se prueba (vease A. Castro [8] Lema 3.2) que la funcion
φ : X → Y
x → φ(x)
es continua, la funcionf : X → R
x → f(x) = f(x + φ(x))
31
es de clase C1 y
⟨∇f(x), h
⟩= 〈∇f(x + φ(x)), h〉 ∀x, h ∈ X.
El siguiente resultado permite conseguir puntos crıticos de tipo “maxmin”. Su
demostracion esta basada en el teorema anterior y en el Teorema 1.1.2.
Teorema 3.1.3. Sean f, f , X, Y y H como en el Teorema 3.1.2. Si −f es debilmente
inferiormente semicontinua y
f(x) −→ −∞ cuando ‖x‖ → ∞ (x ∈ X)
entonces existe u0 ∈ H tal que f ′(u0) = 0 y
f(u0) = maxx∈X
miny∈Y
f(x + y).
Demostracion. Ejercicio.
2. Aplicaciones a Problemas Elıpticos Semilineales
Presentamos a continuacion tres aplicaciones de los teoremas de la Seccion 1 a la
existencia de soluciones debiles para problemas elıpticos semilineales.
En el resto del capıtulo Ω ⊂ Rn designara un dominio acotado con frontera suave.
Sean λ1, λ2, λ3, · · · la sucesion de valores propios y ϕ1, ϕ2, ϕ3, · · · la sucesion
de funciones propias de −∆ con condicion de frontera de Dirichlet.
El siguiente teorema se debe a A. Castro y J. Cossio (vease [10]).
32
Teorema 3.2.1. Sea g : R→ R una funcion diferenciable tal que
g′(∞) := lim|t|→∞
g(t)t
∈ (λk, λk+1) (k ≥ 2)
y g′(t) ≤ γ < λk+1 ∀t ∈ R. Entonces el problema
(3.5)
∆u + g(u) = 0 en Ω,
u = 0 en ∂Ω,
tiene al menos una solucion debil en H10 (Ω).
Demostracion. Sea I : H := H10 (Ω) −→ R el funcional definido por
I(u) =∫
Ω
(12|∇u|2 −G(u)) du,
donde G(t) =∫ t
0g(s) ds.
Como g ∈ C(R,R) y g′(∞) ∈ R existen constantes a1, a2 > 0 tales que
|g(t)| ≤ a1 + a2|t| ∀t ∈ R.
Usando la Proposicion 1.2.3 se tiene que I ∈ C1(H,R) y
〈∇I(u), v〉 =∫
Ω
(∇u.∇v − g(u) v) ∀v ∈ H.
Sean X = 〈ϕ1, ϕ2, · · · , ϕk〉 y Y = 〈ϕk+1, ϕk+2, · · · , 〉. Por lo tanto H = X ⊕ Y .
Demostraremos a continuacion que el funcional I satisface las hipotesis del Teorema
3.1.2. En efecto, sean x ∈ X y y1, y2 ∈ Y . Usando el Teorema del Valor Medio y el
33
hecho de que g′(t) ≤ γ se sigue que
〈∇I(x + y1)−∇I(x + y2), y1 − y2〉 =∫
Ω
∇(y1 − y2).∇(y1 − y2)
−∫
Ω
(g(x + y1)− g(x + y2)) (y1 − y2)
= ‖y1 − y2‖2 −∫
Ω
g′(η)(y1 − y2)2
≥ ‖y1 − y2‖2 − γ
∫
Ω
(y1 − y2)2.
Como ‖y‖2 ≥ λk+1
∫Ω
y2 ∀y ∈ Y (Ejercicio), se tiene que
〈∇I(x + y1)−∇I(x + y2), y1 − y2〉 ≥ (1− γ
λk+1)‖y1 − y2‖2.
Luego se satisfacen las hipotesis del Teorema 3.1.3. Por lo tanto existe una funcion
continua φ : X → Y tal que
I(x + φ(x)) = miny∈Y
I(x + y) (x ∈ X).
Ademas, φ(x) es el unico elemento de Y tal que
〈∇I(x + φ(x)), y〉 = 0 ∀y ∈ Y,
la funcionI : X → R
x 7→ I(x) = I(x + φ(x))
es de clase C1 y
⟨∇I(x), h
⟩= 〈∇I(x + φ(x)), h〉 ∀x, h ∈ X.
34
Como g′(∞) ∈ (λk, λk+1) se demuestra facilmente que existen constantes b ∈ R y
γ > λk tales que
(3.6) G(t) ≥ γ
2t2 + b ∀t ∈ R.
Usando (3.6) se sigue que
I(x) ≤ I(x) =12‖x‖2 −
∫
Ω
G(x) ≤ 12‖x‖2 − γ
2
∫
Ω
x2 − b|Ω|.
Como ‖x‖2 ≤ λN
∫Ω
x2 ∀x ∈ X (Ejercicio), se tiene que
(3.7) I(x) ≤ 12
(1− γ
λk
)‖x‖2 − b|Ω| ∀x ∈ X.
De (3.7), como γ > λk se deduce que
I(x) −→ −∞ cuando ‖x‖ → ∞.
Como dim X < ∞, existe x0 ∈ X tal que
(3.8) I(x0) = maxx∈X
I(x).
Por lo tanto
I(x0 + φ(x0)) = maxx∈X
miny∈Y
I(x + y).
Si llamamos u0 = x0 + φ(x0) ∈ H se sigue que para todo x ∈ X y y ∈ Y
〈∇I(x0 + φ(x0)), x + y〉 = 〈∇I(x0 + φ(x0)), x〉+ 〈∇I(x0 + φ(x0)), y〉 = 0.
35
Luego ∇I(u0) = 0 y
I(u0) = maxx∈X
miny∈Y
I(x + y).
Por lo tanto u0 es un punto crıtico del funcional I y por consiguiente una solucion
debil del problema (3.5).
De manera similar a como se demostro el Teorema 3.2.1 se prueba el siguiente
resultado.
Teorema 3.2.2. Sea g : R → R una funcion que satisface las siguientes condi-
ciones:
i) g es una funcion Lipschitz, con constante de Lipschitz α tal que 0 < α < λN+1.
ii) Existen constantes β y γ tales que β > λN y
∫ t
0
g(s) ds ≥ β
2t2 + γ.
Entonces el problema
(3.9)
∆u + g(u) = 0 en Ω,
u = 0 en ∂Ω,
tiene al menos una solucion debil en H10 (Ω).
Demostracion. Ejercicio
REFERENCIAS
1. R. Adams, Sobolev Spaces, Academic Press, New York, 1975.
2. S. Agmon, The Lp approach to the Dirichlet problem, Ann. Scuola Norm. Sup.
Pisa 13 (1959), 405-448.
3. A. Ambrosetti, On the existence of multiple solutions for a class of nonlinear
boundary value problems, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 49 (1973), 195-204.
4. A. Ambrosetti, Critical points and nonlinear variational problems, Mim. Soc.
Math. France 49 (1992).
5. A. Ambrosetti and P. Rabinowitz, Dual variational methods in critical point
theory and applications, J. Funct. Anal. 14 (1973), 349-381.
6. H. Brezis, Analisis Funcional, Alianza Editorial, Masson, Paris, 1983.
7. H. Brezis and L. Nirenberg, H1 versus C1 minimizers, C.R. Acad. Sci. Paris
317 Serie I (1993), 465-472.
8. A. Castro, Metodos de reduccion via minimax, Primer simposio Colombiano de
Analisis Funcional, Medellın, 1981.
9. A. Castro, Metodos variacionales y Analisis Funcional no Lineal, X Coloquio
Colombiano de Matematicas, Paipa, Colombia, 1980.
10. A. Castro and J. Cossio, Multiple solutions for a nonlinear Dirichlet problem,
SIAM J. Math. Anal. 25, No.6 (1994), 1554-1561.
11. A. Castro and A. Lazer, Critical point theory and the number of solutions of a
nonlinear Dirichlet problem, Ann. Mat. Pura Appl. (4) 120 (1979), 113-137.
36
37
12. A. Castro and A. Lazer, Applications of a max-min principle, Rev. Colombiana
Mat. X (1976), 141-149.
13. K. C. Chang, Morse theory in nonlinear Analysis, Proc. Symp. ICTP (1997).
14. K. C. Chang, Infinite dimensional Morse theory and multiple solution problems,
Birkhauser, Boston, 1993.
15. S. Chow and J. Hale, Methods of bifurcation theory, A series of comprehensive
studies in Mathematics 251, Springer-Verlag, New York, 1982.
16. C. C. Conley, Isolated invariant sets and the Morse index, J. CBMS regional
Conf. Ser. in Math. No. 38, Amer. Math. Soc. Providence, R. I. (1978).
17. J. Cossio, Multiple solutions for semilinear elliptic boundary value problems,
Dissertation, University of North Texas (1991).
18. D. G. Costa, Topicos em Analise nao-linear e applicacoes as equacoes diferen-
ciais, VIII Escola Latino-Americana de Matematica, Rio de Janeiro, 1986.
19. D.G. Costa and M. Willem, Multiple critical points of invariant functionals and
applications, MRC Technical Summary report 2532 (1983).
20. N. Ghoussoub, Duality and perturbation methods in critical point theory, Cam-
bridge University Press, Cambridge, 1993.
21. E.M. Landesman, A.C. Lazer, and D. Meyers, On saddle point problems in the
calculus of variations, the Ritz algorithm, and monotone convergence, J. Math.
Anal. Appl. 53 (1975), 594-614.
22. L. Ljusternik and L. Schnirelmann, Methodes topologique dans les problemes
38
variationnels (Hermann and Cie, eds.), Paris, 1934.
23. R. H. Martin Jr., Nonlinear operators and differential equations in Banach
spaces, J. Wiley & Sons, New York, 1976.
24. J. Milnor, Morse theory, Princeton University Press, Princeton N. J., 1963.
25. L. Nirenberg, Variational and topological methods in nonlinear problems, Bull.
Amer. Math. Soc. 4 (1981), 267-302.
26. P. H. Rabinowitz, Minimax methods in critical point theory with applications to
differential equations, CBMS Amer. Math. Soc. No. 65, 1986.
27. P. H. Rabinowitz, A note on nonlinear eigenvalue problems for a class of differ-
ential equations, J. differential Equations 9 (1971), 536-548.
28. P. H. Rabinowitz, Variational methods for nonlinear eigenvalue problems, C.I.M.E.
Edizioni Cremonese, Roma, 1975, pp. 141-195.
29. P. H. Rabinowitz, A bifurcation theorem for potential operators, J. Funct. Anal.
25 (1977), 412-424.
30. P. H. Rabinowitz, Some minimax theorems and applications to nonlinear partial
differential equations, Nonlinear Analysis (1978), 161-177.
31. P. H. Rabinowitz, Some critical point theorems and applications to semilinear
elliptic partial differential equations, Ann. Scuola Norm. Sup. pisa Cl. Sci. (4)5
(1978), 215-223.
32. P. H. Rabinowitz, Multiple critical points of perturbed symmetric functionals,
Trans. Amer. Math. Soc. 272 (1982), 753-770.
39
33. P. H. Rabinowitz, The Mountain Pass Theorem: theme and variations, differ-
ential equations, Springer-Verlag Lecture Notes in Mathematics 957, 1982.
34. M. Willem, Minimax Theorem, Birkhauser, 1996.