Universidad Nacional de IngenieríaRecinto Universitario Pedro Aráuz Palacios

Facultad de Ciencias y SistemasCarrera de Ingeniería de Sistemas

Tesis Monográ�ca

Tópicos de Simulación y Modelación Matemática

Monografía para optar al Título de Ingeniero de Sistemas

Presentada por

Br. Iván Augusto Cisneros DíazBr. Nelson Antonio Bermúdez López

Tutor

Msc. Róger García Guevara

Managua, Nicaragua

Octubre, 2011

Mon003.3C5792011

Msc. Roger García Guevara, docente titular del Departamento de Matemática de laFacultad de Ciencias y Sistemas de la Universidad Nacional de Ingeniería (UNI).

CERTIFICA que la presente Monografía

Tópicos de Simulación y Modelación Matemática

ha sido realizada bajo su dirección en el Departamento de Matemática por losBachilleres

Iván Augusto Cisneros DíazNelson Antonio Bermúdez López

y constituye su tesis para optar al grado de Ingeniero de Sistemas de la Facultad deCiencias y Sistemas.

Y para que así conste, en cumplimiento con la normativa vigente, autoriza supresentación ante la Facultad de Ciencias y Sistemas para que pueda ser tramitada

su lectura y defensa pública.

Tutor de la Tesis

Msc. Róger García Guevara

Managua, Nicaragua 2011.

Dedicatoria

A los niños que despiertan buscando el amanecer de la sabiduría de las ciencias.

A los jóvenes que predican el conocimiento a través de la búsqueda de la prácticacientí�ca.

A todas las personas que día a día, construyen el conocimiento, obteniendo lafelicidad de ser autodidacta.

Agradecimiento

A los Maestros, por su in�nita paciencia, en la transmisión de los conocimientos.

A las Ciencias por permitir descubrir diferentes aspectos de la realidad y verdadesocultas.

Resumen Ejecutivo

El presente trabajo monográ�co, se desarrolla en siete capítulos, destacando lasde�niciones del proceso de modelación y simulación matemática, teoría de proba-bilidad y estadística, generación de números pseudoaleatorios mediante los métodoscongruenciales lineales multiplicativos y mixtos, estudio de metodos de validación depruebas estadísticas no paramétricas, presentación de diversos ejemplos aplicado alas administración de recursos y teoría de línea de esperas y �nalmente el análisis delos resultados mediante la estimación puntual y de intervalos de con�anza.

Se realiza una conceptualización general de los principales términos ligados a lamodelación y simulación, enfatizando en diversas aceptaciones y diferencias concep-tuales entre dichos términos.

Se discuten diferentes algorítmos para la generación de números pseudoaleato-rios, entre ellos, los generadores congruenciales lineales : Mixto y Multiplicativo. Seejempli�ca dicha generación mediante la aplicación de cada uno de dichos métodos.

Se enuncian las principales de�niciones ligadas a la teoría de probabilidad, comoespacio de probabilidad, variable aleatoria ( discreta y continua ), funciones de densi-dades de probabilidad y distribuciones de probabilidad. Se destacan el estudio de lasprincipales distribuciones probabílisticas teóricas discretas y continuas, demostrandolas principales propiedades de valor esperado y varianzas.

Se fundamenta todo el trabajo matemático desarrollado, mediante sus respecti-vas demostraciones analíticas. Particularmente en lo referente a las propiedades delas principales distribuciones teóricas probabílisticas, tanto discretas como continuas,utilizada en los procesos de modelación y simulación.

Se ejempli�can la generación de números pseudoaleatorios utilizando los métodosde transformada inversa, aceptación y rechazo y método de composición. Este procesode generación de números pseudoaleatorio aplican técnicas del cálculo diferencial eintegral y se muestran en forma algoritmicas dichos métodos.

También se estudian diversas pruebas estadísticas no paramétricas : Prueba de losPromedios, Prueba de Frecuencias, Prueba de Serie, Prueba de Kolmogorov-Smirnovy Prueba de la Corrida. Se ejempli�ca cada una de dichas pruebas, realizando elcontraste de hipótesis correspondiente.

También se presentan diversas técnicas de análisis de resultados de simulación,entre ellas, se enfatizan y se ejempli�can, los métodos de estimación puntual, porintervalos de con�anza y simulación regenerativa.

Finalmente, se presentan algunos ejemplos de simulación : Aplicación de serviciospúblicos, Modelo de inventario, Área de descarga de camiones, Terminal de chequeoy seguridad y Servicio de comida rápida. Todas estas aplicaciones fueron simuladamediante el software de simulación ARENA, versión 12.0.

ÍNDICE GENERAL

1. Carta de Respeto

2. Dedicatoria

3. Agradecimiento

4. Resumen Ejecutivo

5. Introducción

6. Justi�cación

7. Objetivos

(a) General

(b) Especí�cos

8. Desarrollo del tema

Capítulo I : Modelación y SimulaciónCapítulo II : Generación de Números PseudoaleatoriosCapítulo III : Teoría de ProbabilidadCapítulo IV : Pruebas Estadísticas no ParamétricasCapítulo V : Generación de Variables Aleatorias no UniformesCapítulo VI : Aplicaciones de SimulaciónCapítulo VII : Análisis Estadístico

9. Conclusiones

10. Recomendaciones

11. Bibliografía

12. Webgrafía

13. Anexo

INTRODUCCIÓN

La formación universitaria tiene la misión de ayudar a ordenar, seleccionar, clasi-�car, comprender la información y decodi�carla. Tiene la misión de capacitar alos futuros profesionales tornándolos competentes, responsables y re�exivos frente almundo de la información y sus problemas.

Uno de los objetivos cardinales del proceso de simulación y modelación, es propor-cionar una formación sólida en el manejo de los conceptos y técnicas utilizadas en lasimulación de sistemas, mediante el procesamiento dígital de modelos matemáticos.

La simulación es una técnica numérica para conducir experimentos en una com-putadora dígital. estos experimentos comprenden ciertos tipos de relaciones matemáti-cas y lógicas, las cuales son necesarias para describir el comportamiento y la estructurade sistemas complejos del mundo real a través de largos períodos de tiempo.

La simulación es la representación en la que se pretende hacer algo con un objetoreal cuando realmente se está trabajando con una imitación.

La simulación es el proceso de diseñar y desarrollar un modelo computarizado deun sistema o proceso y conducir experimentos con este modelo con el propósito deentender el comportamiento del sistema o evaluar varias estrategias con las cuales sepuede operar el sistema, durante un tiempo predeterminado de funcionamiento.

Los recientes avances en las metodologías de simulación y la gran disponibilidadde software que actualmente existe en el mercado, han hecho que la técnica de simu-lación sea una de las herramientas más ampliamente usadas en el análisis de sistemas.El estudio de simulación es muy importante para la ingeniería de sistemas, porquepresenta las metodologias y las aplicaciones para la construcción de modelos.

La simulación se utiliza en la etapa de diseño para auxiliar en el logro o mejo-ramiento de un proceso o diseño o bien a un sistema ya existente para explorar algunasre-ingenierías de procesos.

Todos los modelos de simulación se llaman modelos de entrada-salida. Es decir,producen la salida del sistema si se les da la entrada a sus subsistemas interactuantes.Por tanto los modelos de simulación se �corren�en vez de �resolverse�, a �n de obtenerla información o los resultados deseados. Son incapaces de generar una solución por simismos en el sentido de los modelos analíticos; solo pueden servir como herramientapara el análisis del comportamiento de un sistema en condiciones especi�cadas por elexperimentador.

Por tanto, la simulación además de ser una teoría, constituye una metodología deresolución de problemas. La simulación es solo uno de varios planteamientos valiosospara resolver problemas que están disponibles para el análisis de sistemas. Pero,¿cuándo es útil utilizar la simulación?. Cuando existan una o más de las siguientescondiciones:

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1. No existe una completa formulación matemática del problema o los métodosanalíticos para resolver el modelo matemático no se han desarrollado aún. Mu-chos modelos de líneas de espera corresponden a esta categoría.

2. Los métodos analíticos están disponibles, pero los procedimientos matemáticosson tan complejos y difíciles, que la simulación proporciona un método mássimple de solución.

3. Las soluciones analíticas existen y son posibles, pero están más allá de la ha-bilidad matemática del personal disponible. El costo del diseño, la prueba y lacorrida de una simulación debe entonces evaluarse contra el costo de obtenerayuda externa.

4. Se desea observar el trayecto histórico simulado del proceso sobre un período,además de estimar ciertos parámetros.

5. La simulación puede ser la única y exclusiva posibilidad, debido a la di�cultadpara realizar experimentos y observar fenómenos en su entorno real, por ejemplo,estudios de vehículos espaciales en sus vuelos interplanetarios.

6. Se requiere la aceleración del tiempo para sistemas o procesos que requierende largo tiempo para realizarse. La simulación proporciona un control sobre eltiempo, debido a que un fenómeno se puede acelerar o retardar según se desee.

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OBJETIVOS

Objetivo General

Presentar algunos tópicos de la teoría de simulación y modelación, que permi-tan conceptualizar, analizar, ejempli�car e interrelacionar elementos estadísticos yprobabilísticos, con una correcta interpretación del proceso simulado.

Objetivos Especí�cos

1. Dar a conocer las principales de�niciones ligadas al proceso de modelado ysimulado de procesos estocásticos y determinístico.

2. Realizar un estudio matemático acerca de las principales distribuciones proba-bilísticas utilizada en los procesos de simulación y modelación.

3. Ejempli�car procesos de modelados y simulados, mediante aplicaciones prácticasde situaciones reales, por medio del software de simulación ARENA, versión12.0.

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JUSTIFICACIÓN

Los principales elementos que justi�can este trabajo son :

1. La escasa bibliografía existente tanto en los aspectos teóricos como práctico deesta teoría.

Consideramos que el material a exponer contiene una gran diversidad de con-ceptualizaciones teóricas y ejemplos prácticos de los principales tópicos referidosa la teoría de modelación y simulación matemática.

También se incluyen distintas interpretaciones conceptuales que permiten dis-cernir dicha teoría y servir como un material de apoyo para la asignatura deModelación y Simulación Matemática, tanto para estudiantes como a docentes.

2. Desconocimiento de la importancia teórica de la fundamentación matemática deteoría de probabilidades y estadística en el proceso de modelación y simulaciónmatemática.

Un buen conocimiento matemático, permite decidir el método y/o técnicas ade-cuada a implementar en determinado tipo de problema, cuya solución exigeconocimiento teórico de probabilidad y estadística.

3. La solución limitada a problemas que pueden ser resueltos por modelación ysimulación matemática.

Algunas veces solo se resuelven problemas que poseen las características ade-cuadas a ser implementadas por un software especí�co de simulación, sin em-bargo, existen diversos problemas que pueden ser resueltos por técnicas analíti-cas y de simulación.

La técnica de simulación puede ser utilizada para experimentar con nuevassituaciones, sobre las cuales se tiene poca o ninguna información. A través deesta experimentación se puede anticipar mejor a posibles resultados no previstos.

4. Inapropiado uso de software de simulación, por desconocimiento de técnicasprobabilísticas y estadística.

Normalmente se mal interpretan los resultados de las mediciones de desempeño,basadas en parámetros y estadísticos inadecuados. Su incorrecta interpretaciónpueden producir verdaderos errores y tomas de decisiones inválidas y en conse-cuencias fatales para las instituciones a las cuales se le realiza dicho estudio.

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5. Incorrectas aplicaciones de métodos y técnicas estadísticas.

Dependiendo del tipo de problema, su dimensión y su estructura, es que se debede elegir, los métodos y técnicas estadísticas correspondientes, muchas veces sequiere aplicar técnicas univariantes cuando realmente el modelo requiere demétodos multivariantes.

Este tipo de error es muy frecuente en los distintos tipos de problemas quepueden resolverse por medio de modelación y simulación matemática

6. Desconocimiento de modelos teóricos probabilísticos.

De acuerdo a algunos teorema de probabilidad, es fundamental el estudio de susparámetros y estadísticos, los cuales podrían ser aprovechado por el proceso desimulación y obtener resultados con�ables, válidos y seguros.

7. Falta de relación entre las distintas metodologías de ingeniería de sistemas conla metodología propia de modelación y simulación matemática.

El proceso de modelado y simulado, guarda una estrecha relación entre el ciclode vida de un proyecto y las distintas metodologías de análisis de sistemas.Podemos a�rmar categóricamente, que un proceso de simulación constituye unproceso de análisis de sistemas, siempre y cuando, el entorno del mismo integrelos elementos cardinales de estructura de sistemas y por ende, las metodologíaspodrían complementarse.

8. De�nir claramente la importancia de la simulación, las cuales se pueden expresarpor :

(a) La posiblidad de estudiar el efecto de cambios internos y externos delsistema, al hacer alteraciones en el modelo del sistema y observando losefectos de esas alteraciones en su comportamiento.

(b) Una observación detallada del sistema que se está simulando puede con-ducir a un mejor entendimiento del sistema y por consiguiente a sugerirestrategias que mejoren la operación y e�ciencia del sistema.

(c) Ayudar a entender mejor la operación del sistema, a detectar las variablesmás importantes que interactúan en el sistema y a entender mejor lasinterrelaciones entre éstas variables.

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CAPÍTULO IModelación y Simulación

La complejidad de los modelos matemáticos que se precisan para analizar los másso�sticados problemas que se plantean en Ciencia y Tecnología crecen sin cesar. Espor eso que, en dichos problemas podemos encontrar varios sistemas de naturalezadistintas acoplados y el análisis de los modelos no puede realizarse mediante el usode métodos matemáticos o numéricos especí�cos, sino que es preciso combinar variosde ellos. Lo mismo puede decirse en lo que respecta a los métodos de aproximacióny simulación numérica.

Uno de los objetivos de la simulación es realizar ensayos de cambios en el sistemaprobándolos en el modelo, con el �n de elegir la mejor alternativa, y así enfrentarmejor a una realidad que varía día a día. La simulación ofrece, sobre bases ciertas, lapredicción del futuro, condicionada a supuestos previos.

Se destacan tres conceptos fundamentales del proceso de modelación y simulaciónmatemática, a saber : Sistema, Modelo y Simulación.

Existe una necesidad imperiosa de hacer estudios previos antes de implementarnuevos sistemas o modi�car a los ya existentes. por ello se representa a los sistemasteniendo en cuenta aquello que es importante para lo que se está estudiando o inves-tigando del fenómeno. Es decir,

1. Se aísla o se de�ne lo que se quiere estudiar o investigar.

2. Se representa para estudiarlo, se construye el modelo teniendo en cuenta lorelevante de su entorno.

3. Se realizan ensayos en el modelo que se simula.

4. Se obtienen conclusiones para inferir lo que va a pasar o lo que pudiera pasar.

5. Se estudian las conclusiones y se elige la mejor alternativa.

El término sistema se utiliza habitualmente con múltiples sentidos, resultandodifícil una de�nición única que abarque la totalidad de situaciones especi�cas que sepresentan en las ciencias. Se puede de�nir el estado de un sistema como un conjuntode variables necesarias para describir el sistema en un punto particular de tiempo,relativo a los objetivos del estudio.

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Sistema

Pueden darse varías conceptualizaciones de sistema, entre ellas :

1. Conjunto de elementos cuya interacción es necesario estudiar en un fenómenogeneral o particular.

2. Conjunto de elementos que interactúan entre sí, con un �n común, que se aísladel universo para su estudio.

3. Conjunto de partes organizado funcionalmente de manera tal de constituír unaunidad interconectada.

4. Conjunto de elementos que interactúan entre ellos provocando un conjunto deiteracciones organizativas y sistémicas.

5. Conjunto de elementos en interación recíproca, con un objetivo especí�co, totaly organizado de funcionamiento.

6. Conjunto de unidades consistente en partes mutuamente interactuantes.

7. Conjunto de objetos-relaciones entre las distintas partes formativa de la entidad.

8. Conjunto de procesos o eventos interrelacionados, abarcados por una fronterareconocible.

9. Conjunto de componentes dotados de propiedades identi�cables y entre loscuales se perciben relaciones entre las partes.

10. Conjunto de cosas que ordenadamente relacionadas entre sí contribuyen a de-terminado objeto.

11. Conjunto de componentes organizados para lograr una función o conjunto defunciones.

12. Conjunto de entidades que de manera cohesionada persiguen un �n especí�co.

13. Entidad que mantiene su existencia a través de la interacción de sus partes.

14. Colección de elementos que actúan e interactúan para lograr algún �n lógico.

15. Combinación de elementos o componentes interrelacionados y relacionados conel entorno, que actúan juntos por lograr un cierto objetivo.

Ejemplos de sistemas :

Se presentan algunos, a saber :

1. Sistema del cuerpo humano.

2. Sistema de red eléctrica nacional

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3. Sistemas de transporte ( aéreo, marítimo y terrestre )

4. Proceso de fabricación en paralelos o en series.

5. Industria de fabricación y sistemas de manejo de materiales.

6. Sistema económico mundial.

7. Gestión de recursos humanos y materiales (hospitales, bancos, supermercados).

8. Redes de comunicación y procesamiento de la información

9. Sistema de defensa nacional.

El conjunto de entidades que componen el sistema para un estudio puede ser sóloun conjunto de todas las entidades utilizadas por otro estudio, es decir, un sistemapuede constituírse en un susbsistema de otro sistema

El análisis de estas conceptualizaciones, nos permite destacar las característicassiguientes :

1. Aplicación del método cientí�co en la estructura de un sistema en general, parala resolución del mismo.

2. Aplicación de un planteamiento de enfoque global y sistémico, para el estudiode un sistema.

3. Construcción o representación de los sistemas por medios de modelos.

4. Optimización y búsqueda de las mejores soluciones al sistema.

5. Interrelaciones con otras disciplinas cienti�cas, para la generación a una solucióndel sistema.

6. El estado de un sistema es el conjunto de variables necesarias para describir elestado del sistema en un momento dado.

Subsistema:

Es un conjunto que se aísla dentro del sistema. El sistema puede verse como unsubsistema del universo. Cada subsistema puede ser tratado dentro del sistema oestudiado en forma aislada. El comportamiento del sistema total depende de:

1. El comportamiento de cada subsistema.

2. Las relaciones entre los subsistemas.

3. Las relaciones con el mundo exterior, o sea con el medio ambiente que lo cir-cunda.

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El sistema en estudio, puede subdividirse en subsistemas interconectados, cadauno de los cuales está compuesto por elementos relacionados entre sí. El compor-tamiento del sistema dependerá del comportamiento de cada subsistema, de sus rela-ciones y del medio ambiente donde se inserta.

Los elementos y las relaciones que los ligan entre sí de�nen los subsistemas. Lossubsistemas y las relaciones entre sí de�nen al sistema en estudio. Las relacionesentre los elementos del sistema constituyen la estructura del sistema, éstas ideasson fundamentales para la resolución de problemas que implican la construcción demodelos.

Modelo

Pueden darse varías conceptualizaciones de modelo, entre ellas :

1. Representación física, matemática o de cualquier otro tipo lógico, de un sistema,entidad, fenómeno o proceso.

2. Representación de un sistema real que es equivalente a éste en todos sus aspectosrelevantes.

3. Representación simpli�cada de un sistema desde un punto de vista particularen el tiempo y el espacio, para proporcionar el entendimiento del sistema real.

4. Representación de la construcción y el funcionamiento de cierto sistema deestudio.

5. Descripción lógica de cómo un sistema, proceso o componente funciona.

6. Abstracción de las propiedades internas o externas de un sistema.

7. Representación de las interrelaciones entre los elementos integrantes de un sis-tema.

8. Construcción descriptiva mental de las cadenas de procesos que interactúan enun sistema.

9. Construcción por entender y modi�car el comportamiento de un sistema.

10. Es una simpli�cación de la realidad y surge de un análisis de todas las variablesque intervienen en el sistema y de las relaciones que se descubren y que existenentre ellas.

11. Un objeto o concepto que nos permite utilizarlo para representar un sistema.

12. Una representación simpli�cada de un sistema que nos facilitará explicar, com-prender, cambiar, preservar, prever y controlar el comportamiento de un sis-tema.

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13. Un substituto de un sistema físico concreto.

14. Abstracción de algún fenómeno con cierto grado de aproximación previamenteelegido.

Bajo este punto de vista, el análisis del sistema a través de un modelo implica quela representación del sistema que constituye el modelo, ha de ser una representaciónmanipulable numéricamente. La construcción del sistema comienza por el diseñodel modelo conceptual del sistema, lo cual es una representación equivalente lógicaaproximada del sistema real que, como tal, constituye una abstracción simpli�cadadel mismo, que a continuación se traduce en un modelo apto para su ejecución en unordenador.

Tipos de Modelo :

1. Mental : Se crea a partir de los experimentos realizados anteriormente. Utilizala experiencia para predecir y clasi�car el comportamiento de un sistema.

2. Verbal : Es cualitativo por naturaleza, las palabras se usan por describir lasinterrelaciones del sistema.

3. Fisico ( icónico ) : Mani�estan a escala las propiedades físicas del sistema real yse desarrollan para investigar su comportamiento y reacciones del sistema real.

4. Grá�cos : Constituyen diagramas grá�cos que describen la estructura a altonivel o el funcionamiento del sistema.

5. Matemático : Conjunto de expresiones matemáticas o lógicas que expresan lasrelaciones entre las entidades del sistema. éstos modelos pueden ser resueltos pormétodos analíticos o por métodos numéricos, además pueden ser implementadocomo un proceso algorítmico y codi�cado en algún lenguaje de alto nivel.

El proceso de modelización implica diversas tareas, entre ellas :

1. Construcción de un modelo conceptual que describa el proceso que ejecuta unsistema real.

2. Identi�cación de las entidades principales del sistema y de sus atributos carac-terísticos.

3. Identi�cación y representación de las reglas que gobiernan el sistema que sequiere simular.

4. Captación de la naturaleza de las interacciones lógicas que se modeliza.

5. Veri�cación de que las reglas incorporadas al modelo son una representaciónválida de las del sistema que se modeliza.

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6. Traducción de las etapas y reglas de un modelo, utilizando un lenguaje espe-cializado orientados a eventos o procesos.

7. Adopción de un punto de vista sistémico y global entre las partes de un sistema,es decir, aplicación de un enfoque de ingeniería de sistemas.

8. El modelo es el vehículo utilizado por la experimentación en sustitución delsistema real.

9. Aplicación de estrategias de análisis y diseño de sistema, entendiendo el fun-cionamiento actual o futuro del sistema, previendo como la modi�cación de laspartes del sistema pueden cambiar su comportamiento.

10. Comparaciones entre las medidas de desempeño entre un sistema real con unmodelo simulado.

11. La construcción del modelo debe incorporar todos los detalles que interesan enel estudio para que realmente represente al sistema real.

12. El modelo es una �el representación del sistema real y no tiene porqué ser unaréplica de aquél. Consiste en una descripción del sistema, junto con un conjuntode reglas que lo gobiernan.

13. Las reglas de�nen el aspecto dinámico del modelo. Se utilizan para estudiar elcomportamiento del sistema real.

En general, el modelo constituye una representación lógica o matemática delos mecanismos que gobiernan el comportamiento de un sistema (atributos) y desu interacción con el entorno, permitiendo el estudio mediante un ordenador de laconducta de dicho sistema

Características que deben presentar los modelos:

1. Deben ser fáciles de entender y manejar.

2. Deben ser simples y de costo no excesivo.

3. Cumplir con el principio de Parsimonia o Principio de Economía (también cono-cido como Navaja de Ockham), el cual establece que la solución más simple sueleser la mejor, es decir, la explicación más simple y su�ciente es la más probable,más no necesariamente la verdadera.

4. Deben ser concisos y no presentar ambigüedades, es decir, su interpretación esúnica.

5. Deben ser procesables por un ordenador.

6. Se debe requerir el menor número posible de parámetros que representen ade-cuadamente el patrón de los datos.

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7. Deben ser una buena aproximación del sistema real, que controle el mayornúmero posible de aspectos del mismo y que contribuyan de forma signi�cativaal sistema.

El planteamiento sistemático debe satisfacer las siguientes fases :

1. Generalizar

2. Simpli�car

3. Integrar

4. Optimizar

5. Evaluar

6. Plani�car

7. Controlar

El diseño y control de modelos obliga a tener cuatro áreas de conocimientodistintas:

1. Modelización : Necesario para diseñar el modelo que permita dar respuestasválidas del sistema real que represente. El diseño es una fase muy importante,ya que los errores proporcionarán modelos falsos.

2. Programación : El modelo se ha de implementar con un lenguaje de progra-mación.

3. Probabilidad y estadística : La probabilidad es necesaria para de�nir y estudiarlas variables aleatorias de las entradas y la estadística para permitir el diseño yanálisis de los experimentos.

4. Métodos Heurísticos : Constituyen estrategias generales de resolución y reglasde decisión basadas en la experiencia previa con problemas similares. Es unenfoque que aprovecha la estructura del problema y utiliza reglas "racionales"para obtener una solución buena o cercana a la solución óptima.

Clasi�cación de los modelos

Existen múltiples tipos de modelos para representar la realidad. Algunos de ellosson :

1. Dinámicos: Utilizados para representar sistemas cuyo estado varía y evolucionacon el tiempo. Constituye una representación de la conducta dinámica de unsistema. Son iterativos en el sentido de que constantemente aplican ecuacionesconsiderando los cambios de la variable tiempo.

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2. Estáticos: Utilizados para representar sistemas cuyo estado es invariable a travésdel tiempo. Permite describir un sistema con ecuaciones matemáticas, dondeel efecto de cada alternativa es evaluada a través de ecuaciones. Los modelosestáticos suelen ignorar las varíaciones en el tiempo

3. Matemáticos: Representan la realidad en forma abstracta, mediante símbolos ymodelos lógicos formales, funcionales y analíticos

4. Físicos: Son aquellos que son representado por algo tangible, construído en es-cala o que por lo menos se comporta en forma análoga a esa realidad (maquetas,prototipos, modelos analógicos, etc.).

5. Analíticos: La realidad se representa por fórmulas matemáticas. Estudiar elsistema consiste en operar con esas fórmulas matemáticas (resolución de ecua-ciones).

6. Numéricos: Se tiene el comportamiento numérico de las variables involucradas.No se obtiene ninguna solución analítica.

7. Continuos: Representan sistemas cuyos cambios de estado son graduales, sucomportamiento cambia continuamente con el tiempo. Las variables que inter-vienen son continuas. Se suelen representar mediante ecuaciones diferencialesque describen las interacciones entre los elementos del sistema

8. Discretos: Representan sistemas cuyos cambios de estado se mani�estan a travésde pasos o saltos. Las variables varían en forma discontinua. Su comportamientocambia solo en instantes concretos de tiempo.

9. Determinísticos: Son modelos cuya solución para determinadas condiciones esúnica y siempre la misma, no contiene variables aleatorias.

10. Estocásticos: Representan sistemas donde los hechos suceden al azar, lo cualno es repetitivo. No se puede asegurar cuales acciones ocurren en un deter-minado instante. Se conoce la probabilidad de ocurrencia y su distribuciónprobabilística. Por lo general contiene una o más variables aleatorias.

Sea del tipo que sea, el modelo debe respetar las propiedades siguientes :

1. Causalidad : El futuro no puede in�uenciar el pasado. El estado del sistema enel instante presente t es independiente del futuro

2. Determinismo : El futuro está determinado a partir de su estado presente y supasado.

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Simulación :

Existen diversas aceptaciones sobre este término, entre ellas :

1. Conjunto de métodos y aplicaciones que buscan imitar el comportamiento desistemas reales, generalmente en una computadora con un software apropiado.La simulación implica el estudio del sistema y sus modelos.

2. Métodos y estrategias que imitan el comportamiento de un sistema del mundoreal cuando evoluciona en el tiempo.

3. Técnicas por estimar la bondad de un modelo. No es una técnica de opti-mización

4. Metodología de resolución de problemas siguiendo en el tiempo los cambios deun modelo de un sistema.

5. Proceso de diseñar un modelo de un sistema real y realizar experimentos condicho modelo con el propósito de estudiar el sistema.

6. Técnicas que incluye tanto la modelización como el uso del modelo para estudiarel sistema.

7. Proceso de conceptualizar y diseñar un modelo matemático o lógico de un sis-tema real y realizar una serie de experimentos con el ordenador, para describir,explicar y predecir el comportamiento del sistema real.

8. Técnicas que trata de imitar el comportamiento de un sistema antes determi-nados cambios o estímulos.

9. Técnicas de desarrollo y ejecución de un modelo de un sistema, para estudiarsu conducta sin interrumpir en el entorno del sistema real.

10. Colección de métodos y aplicaciones para mimetizar la conducta de sistemasreales, generalmente en un ordenador con el software apropiado.

11. Disciplina del diseño de un modelo de un sistema real o teórico, la ejecución dedicho modelo en un ordenador y el análisis de la salida producida durante laejecución.

12. Proceso de imitar aspectos importantes de la conducta de un sistema en tiemporeal, comprimir o expandir el tiempo, usando un modelo por experimentar.

13. Experimento realizado sobre un modelo con las características del sistema real.

14. Representación de la realidad, descripción verbal y la representación esquemáticao grá�ca de alguna parte del mundo real.

15. Analogía que signi�ca similitud de relaciones o propiedad de identidad, entrelos procesos y objetos.

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16. Representación de la realidad mediante un modelo que reaccionará del mismomodo que la realidad bajo una serie de condiciones dadas.

17. Metodología que abarca desde el planteamiento del estudio del sistema, hastael análisis de los resultados obtenidos, pasando por la modelización del sistema,programación del modelo y diseño de experimentos a realizar, previa validacióny veri�cación.

18. Eestudio de los fenómenos mediante modelos que nos permite: Generalizar,simpli�car, integrar, evaluar, optimizar, predecir y controlar.

Lo común en todo proceso de simulación es que se necesitan una descripción delos mecanismos ( leyes o reglas ) que gobiernan el comportamiento del sistema real.

La simulación basada en la computación dígital se ha convertido en la metodologíamás usada en el análisis de los sistemas complejos.

La simulación a través de modelos es un procedimiento natural, arti�cial, físicoo abstracto que reproduce un conjunto de características precisas propias al mundoreal, con el objetivo de imitar ese estado en todos sus aspectos de interés.

La simulación consiste en la construcción de ciertos modelos matemáticos o lógicosque describen el funcionamiento del sistema en términos de sucesos y componentesindividuales, es decir, es una forma de dividir el proceso de construcción de modelosen partes más pequeñas, con el �n de combinarlos en su orden natural y lógico, parapresentar los efectos de sus interrelaciones.

Debido a errores estadísticos no se llegará a la solución óptima, pero si será muypróxima si el problema se simula correctamente. El modelo de simulación, por logeneral, lleva a cabo experimentos con una muestra y no con todo el universo. Lasimulación suele basarse en un muestreo aleatorio: su salida está sujeta a varíacionesaleatorias y debe ser examinada utilizando pruebas de inferencia estadística.

En sistemas complejos, usando simulación, se pueden probar distintas condicionesde entrada que no serían posibles de probar y obtener resultados de salida signi�cati-vas. Permite experimentación controlada, compresión de tiempo (una simulación serealiza en mucho menos tiempo que el sistema real que modela).

Clasi�cación de simulación

1. Simulación analógica : Usa modelos físicos: simuladores aéreos, robots, juegoselectrónicos.

2. Simulación dígital : Es el procesamiento de modelos matemáticos cuya inves-tigación requiere numerosas corridas con varíaciones de sus entradas y de susparámetros.

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3. Simulación híbrida : Combinación de procesos analógicos y digitales, de acuerdoa características propias de modelización.

Modelo de simulación

Es el conjunto de hipótesis acerca del funcionamiento del sistema expresado comorelaciones matemáticas y/o lógicas entre los elementos del sistema.

Proceso de simulación

Ejecución del modelo a través del tiempo en una computadora para generar mues-tras representativas del comportamiento del sistema.

La simulación tiene como principal objetivo la predicción, es decir, puede mostrarlo que sucederá en un sistema real cuando se realicen determinados cambios bajodeterminadas condiciones. La simulación se emplea sólo cuando no existe otra técnicaque permita encarar la resolución de un problema.

Siempre es preferible emplear una alternativa analítica antes que simular. Loanterior no implica que una opción sea superior a otra, sino que los campos de acciónno son los mismos. Mediante la simulación se han podido estudiar problemas yalcanzar soluciones que de otra manera hubieran resultado inaccesibles.

La simulación involucra dos facetas:

1. Construcción del modelo

2. Ensayar diversas alternativas con el �n de elegir y adoptar la mejor en el sistemareal, procurando que sea la óptima o que por lo menos sea lo su�cientementeaproximada.

Metodología de simulación ( Ciclo de vida de un proyecto )

1. De�nición o formulación del problema :

Esta etapa es interpretativa, se de�nen los límites del sistema y los objetivos delestudio, es decir, el diseño del problema a estudiar. Se estudian las condicionesiniciales del sistema y el régimen de reglas que interactúan entre los elementosdel mismo. Se especi�can y formalizan los objetivos del estudio. También seconsideran cuales técnicas y métodos estadísticos se aplicarán para evaluar elsistema en estudio.

2. Diseño del modelo conceptual :

Se produce a un nivel de análisis y de abstracción formal o lógico.

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3. Selección de datos :

Esta etapa es de desarrollo y consiste en identi�car, seleccionar y analizar losdatos necesarios para el estudio. Puede incorporar la utlización de distribucionesprobabilísticas que re�ejen �elmente el comportamiento de los datos a simular.

4. Formulación o construcción del modelo :

Se da a nivel de desarrollo y se parte del modelo conceptual y de los datos. Seestablece el mecanismo lógico, que permite la búsqueda de herramientas analíti-cas de resolución de problemas. Se incluye el estudio del estado de variables,detectando y depreciando que parámetros son necesarios para dicho estudio,además de la consideración de todas las restricciones que pertenecen a la es-tructura del sistema.

Aqui es necesario aclarar que todas las variables que pertenecen a un modelo sonmedibles, sin embargo, no siempre es lo mismo con las variables que intervienenen un sistema real, es decir, existen variables endógenas (internas y controladaspor el sistema) y exógenas (externas al sistema y fuera de su control).

5. Veri�cación y validación :

Es una etapa analítica. Se comprueba que exista una correspondencia entreel modelo y el sistema real. Es importante suponer siempre que el modelo esincorrecto hasta que no se demuestre lo contrario. Las salidas del modelo debeaprobar las técnicas inferencial de estadísticas.

6. Diseño de experimentos y experimentación :

Se da a nivel de análisis y se desarrolla en función de los objetivos del estudio,permitiendo desarrollar las estrategias de de�nición de los escenarios a simular.Aqui se construye el programa de software que represente al modelo, eligiendoadecuadamente un lenguaje de alto nivel, en el cual se codi�ca dicho programa.

También incluye diversas implementaciones del programa, con el objeto dereplicar dicha simulación y obtener diversos resultados, los cuales podrán sercomparados y le permitirán al investigador tomar algunas decisiones al respecto.

7. Análisis de los resultados :

Es una etapa a nivel de análisis, incluye una secuencias de veri�cación de méto-dos estadísticos que permitan estudiar la factibilidad de implementación de lasimulación, proponiendo alternativas que signi�que un cambio estructural delsistema y por ende del modelo.

Se analizan los resultados con la �nalidad de detectar problemas y recomendarmejoras o soluciones alternas o permanentes.

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Se trata de veri�car al modelo con una serie de situaciones conocidas comopara tener un alto grado de con�abilidad. Se debe veri�car que los resultadosobtenidos sean realmente su�cientes para tomar una correcta decisión. paravalidar el modelo se ensayan alternativas conocidas (vividas realmente) y secomparan los resultados. La coincidencia de los mismos hablarán de la validezdel modelo para representar el sistema real.

Si los resultados que el modelo arroja sobre una de esas alternativas vividasno coinciden con los reales, quedará demostrada la invalidez del modelo. Locontrario no es cierto. Aún cuando haya coincidencia de resultados en unacantidad grande de pruebas no es posible a�rmar que lo será para la totalidadde los ensayos.

8. Documentación :

Se produce a nivel interpretativo, proporcionando información sobre el trabajorealizado. Permite tener información sobre el estado y desarrollo del proyectoen todo momento, con el objeto de facilitar la reutilización del modelo. Esimportante en esta fase que se presente una descripción física del sistema, justi-�cación de su metodología, descripción del modelo, análisis de los experimentosy las conclusiones obtenidas.

9. Implementación :

Es una etapa a nivel de desarrollo donde se implementa las decisiones acordadasde acuerdo con el estudio en simulación. Se requiere que el modelo sea válido,creíble, veraz y con�able.

El proceso no es en general secuencial, sino iterativo, en el que algunos de los pasospueden tener que repetirse en función de los resultados intermedios. Ningún estudiode simulación puede llevarse a cabo sin establecer claramente una de�nición precisadel problema que se pretende resolver y los objetivos del estudio. para la formulacióndel modelo debe establecerse su estructura de�niendo cuales son los aspectos delfuncionamiento del sistema que son signi�cativos para la resolución del mismo.

El modelo únicamente debe contener el nivel de detalle requerido por los objetivosdel estudio. Dado un modelo matemático la construcción del programa por computa-dor es el requisito imprescindible para poder manipular numéricamente el modelopara obtener las soluciones que respondan a las preguntas que el analista se formulasobre el sistema.

La simulación es recomendable, o incluso puede ser la única alternativa posible,para investigar sistemas complejos en los que estén presentes elementos estocásti-cos que difícilmente pueden ser tratados con la precisión adecuada en un modelomatemático. La simulación permite estimar el funcionamiento del sistema bajo condi-ciones de operaciones alternas, permitiendo mantener un mayor control sobre las

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condiciones experimentales y mejorar con la experimentación del sistema físico. Porotra parte la simulación permite estudiar el comportamiento del sistema en períodosde tiempo de cualquier longitud.

Incluso cuando es posible la experimentación directa, la simulación puede ofrecerventajas tales como un coste inferior, tiempo, repeticiones y seguridad. Aún siendoviables los experimentos directos con el sistema físico pueden con frecuencia tenerun coste muy superior al de la simulación a pesar de los esfuerzos para construír elmodelo y el tiempo y recursos computacionales requeridos para la ejecución de losexperimentos.

Una vez construído un modelo, es posible crear una historia arti�cial del sistemasimulando aquellos hechos cuya implicancia se desea observar, examinar e inclusoprevenir. El conjunto de estas alternativas brinda la posibilidad al que realiza losensayos de llegar a ser un conocedor experimentado del sistema (sin que este tenganecesidad de existencia real).

La simulación predice el futuro ante hipótesis ciertas La simulación puede fracasarpor:

1. Ser un modelo inválido, que no representa �elmente al sistema en estudio.

2. Mala estrategia en la selección de alternativas

Existen casos en los que se producen concordancia entre el comportamiento delmodelo y el sistema real, pero esto no aseguran la validez del modelo; basta un solocaso en que el modelo no se comporta como el sistema real, para invalidar dichasimulación.

Los sistemas se pueden clasi�car en dos tipos :

1. Discretos : Un sistema discreto es aquel en el que las variables de estado cambianinstantáneamente en puntos separados en el tiempo.

2. Continuo : Un sistema continuo es aquel en el que las variables de estadocambian continuamente con respecto al tiempo.

En la práctica muchos sistemas no son completamente discretos o continuos, usual-mente es posible clasi�carlos en base al tipo de cambios que predominen en el mismo.En algunos momentos en la vida de un sistema es necesario estudiar el mismo paraentender las relaciones entre sus componentes o predecir su comportamiento bajonuevas condiciones que se consideran.

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Existen diferentes formas de estudiar un sistema :

1. Experimentación con el sistema real

2. Experimentación con el modelo del sistema, sin embargo este puede presentarlas varíantes de:

(a) Estudio de un modelo físico

(b) Estudio de un modelo matemático, el cual a su vez, puede estudiarse en:

i. Búsqueda de una solución analíticaii. Proceso de simulación

Para estudiar un sistema a través de modelos, se puede utilizar :

1. Prototipo del sistema mismo :

2. Realización de réplicas.

3. Construcción de un modelo representativo:

Paradigma de Simulación :

Llamaremos paradigma a un conjunto de conceptos, leyes y medios que sirvenpara de�nir un conjunto de modelos. Los modelos se construyen sobre un paradigmaparticular. La gran variedad de paradigmas de modelado puede clasi�carse de acuerdoa distintos criterios:

1. Con respecto a la base de tiempo, hay paradigmas a tiempo continuo, dondese supone que el tiempo evoluciona de forma continua (es un número real), y atiempo discreto, donde el tiempo avanza por saltos de un valor entero a otro (eltiempo es un entero).

2. Con respecto a los conjuntos de valores de las variables descriptivas del modelo,hay paradigmas de estados o eventos discretos (las variables toman sus valoresen un conjunto discreto), continuos (las variables son números reales), y mixtos(ambas posibilidades).

Importancia de la simulación

La simulación es muy importante para la ingeniería de sistemas porque presentalas siguientes ventajas :

1. A través de un estudio de simulación, se puede estudiar el efecto de cambiosinternos y externos del sistema, al hacer alteraciones en el modelo del sistemay observar los efectos en su comportamiento.

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2. Una observación detallada del sistema que se está simulando puede conducir aun mejor entendimiento del sistema y por consiguiente a sugerir estrategias quemejoren su operación y e�ciencia.

3. La simulación de sistemas puede ayudar a entender mejor su operación, a de-tectar y modi�car las variables más importantes que interactúan en el sistema.

4. La técnica de simulación puede ser utilizada para experimentar con nuevassituaciones, sobre la cual se tiene poca o ninguna información. A través de estaexperimentación se puede anticipar mejor a posibles resultados no previstos.

5. Cuando nuevos elementos son introducidos en un sistema, la simulación puedeser usada para anticipar cuellos de botella o algún otro problema que puedesurgir en el comportamiento del sistema.

Ventajas de la Simulación :

1. Permite adquirir una rápida experiencia a muy bajo costo y sin riesgos.

2. Permite identi�car en un sistema complejo aquellas áreas con problemas.

3. Un estudio sistemático de alternativas.

4. Permite repetir el proceso durante varios períodos y cada usuario observa los re-sultados de sus decisiones. Se analizan errores, se comparan estrategias hallandoventajas y desventajas de cada una.

5. Puede ser aplicada para diseño de sistemas nuevos en los cuales se quieren com-parar alternativas muy diversas surgidas de utilización de diferentes tecnologías.

6. Puede utilizarse, durante la vida de un sistema, para probar modi�cacionesantes que estas se implementen (si es que los resultados de la simulación acon-sejan su uso).

7. Permite describir el problema, presentando soluciones rápidas y e�caces.

8. Permite evaluar fácilmente el impacto producido por cambios en las entradassobre las medidas de salida.

9. Posibilidad de llegar a una solución óptima, mediante un número pequeño deexperimentaciones que cumplan con los requisitos matemáticos estadísticos yprobabilístico del sistema.

10. Pueden describir sistemas que sean muy complejos.

11. Pueden ser usados para experimentar con sistemas que todavía no existan, opara experimentar con sistemas existentes sin que estos se alteren.

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Desventajas de la simulación :

1. No se le debe utilizar cuando existan técnicas analíticas que permitan plantear,resolver y optimizar todo el sistema o alguna parte del mismo.

2. No es posible asegurar que el modelo sea válido, ya que se corre el riesgo de tomarmedidas erróneas basadas en aplicar conclusiones falsas obtenidas mediante unmodelo que no representa la realidad.

3. No existe criterio cientí�co de selección de alternativas a simular.

4. Existe el riesgo de modelar fuera de los límites para el cual fue construido,queriendo realizar ensayos, para el cual, el modelo no es válido.

5. Las suposiciones hechas por describir el sistema puede ser poco realistas, lo cualpermitiría un gran margen de error en el proceso del estudio.

6. Las fórmulas matemáticas pueden ser muy complicadas impidiendo llegar a unasolución.

7. Cada cambio en las variables de entrada requiere una solución separada o con-junto de ejecuciones.

8. Los modelos de simulación pueden requerir mucho tiempo para construírlos yejecutarlos.

9. Puede resultar di�cultoso establecer la validez del modelo.

¿Cuándo utilizar simulación?

Después de analizar estas ventajas y desventajas, podemos entrar en con�ictoen decidir cuando o no usar la simulación, se puede entonces tomar las siguientessugerencias respecto al uso de la simulación.

1. No existe una formulación matemática del problema.

2. Existe un modelo matemático, pero no métodos analíticos de resolución.

3. Existen el modelo y los métodos, pero los procedimientos son tediosos, por loque resulta más sencilla y menos costosa la simulación.

4. Se desea observar en el tiempo una historia simulada del sistema.

5. Se desea experimentar con un modelo antes de construír el sistema.

6. Es imposible experimentar sobre el sistema real.

7. Puede experimentarse sobre el sistema, pero motivos éticos, tecnológicos y cos-tos lo impiden

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8. Se quiere observar un sistema de evolución muy lenta, reduciendo la escala deltiempo

Por lo anterior expuesto, se ha presentado a la simulación y los métodos analíticoscomo métodos alternativos, sin embargo, hay veces en que resulta fructífero el usoconjunto de ambos métodos. Esta aproximación mixta tiene la ventaja de que losmodelos analíticos deben producir soluciones óptimas, mientras que con los modelosde simulación, se re�eja el grado apropiado de realismo y precisión en la descripcióndel sistema. Sin embargo, esta combinación presenta la desventaja de requerir unmayor nivel de familiaridad con los modelos analíticos y más ingenio que si se usansólo modelos de simulación.

Computadora, herramienta para simular :

El advenimiento de las computadoras signi�có un gran empuje para la utilizaciónde la simulación como auxiliar importante en la concreción de proyectos. Un lenguajeorientado a la simulación debe manejar:

1. Fácilmente al modelo, permitiendo el ensayo de alternativas relativas al tiemposimulado (meses, días, horas, segundos, etc), es decir, acciones que provocan loscambios de estado, variables random fácilmente de�nibles, generadas en formaautomática por el lenguaje, acumulación, cálculo e impresión de estadísticas delas entidades intervinientes en el sistema.

2. Presentar el estado del sistema en cualquier instante (imprimiéndolo en casonecesario).

3. La extensión del período de simulación.

Importancia de la simulación computarizada.

1. Técnica disponible para el análisis de sistemas con conductas arbitrarias, siendoaplicable donde las técnicas analíticas no aportan soluciones (situación normal).

2. Permiten profundizar en el conocimiento sobre los mecanismos internos de unproceso.

3. Pueden preverse el comportamiento del sistema bajo diferentes situaciones.

4. Se pueden evaluar los diferentes tipos de parámetros que se estudian del sistemareal.

5. Ayuda a estimar variables de proceso que no son medibles directamente.

6. Evalúa la sensibilidad de un sistema a cambios en sus parámetros.

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7. Permite experimentar bajo condiciones de operación que podrían ser peligrosaso de elevado coste económico en el sistema real.

Utilidad de la simulación :

1. En ocasiones el sistema físico no está disponible. La simulación se realiza paradeterminar si se debe construír un sistema proyectado.

2. El "experimento real" puede ser peligroso.

3. El coste de la experimentación es demasiado alto.

4. Las constantes del tiempo en la ejecución del sistema no son compatibles conlas del experimentador. La simulación nos permite acelerar o retardar los ex-perimentos según nos convenga.

5. Nos permite acceder a todas las variables del modelo y a manipular el modelofuera del rango permitido sin peligro.

6. Permite suprimir perturbaciones y de esta manera aislar los efectos particularesy tener una mejor comprensión del sistema.

Campos relacionados con la simulación de sistemas

1. Comunicaciones y distribuciones.

2. Diseño de aplicaciones informáticas

3. Matemáticas : Cálculo numérico y teoría de aproximación.

4. Entrenamiento y educación.

5. Diseño o mejora de sistemas.

6. Gestión de sistemas de múltiples tipos.

7. Distintas ramas de Ingenierías ( Industrial, Mecánica, Electricas, etc )

8. Medicina, biología y ecología.

9. Ciencias sociales y económicas.

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Lenguajes orientados a la simulación

1. General Purpose Simulation System (GPSS) desarrollado por Geo¤rey Gordon(IBM), tuvo su primera versión en 1961, desarrollada en lenguaje de máquina.Actualmente existe también una versión para PC, la cual fue desarrollada porMinuteman Software.

2. SIMSCRIPT, desarrollado por B. Dimsdale, H. M. Markowitz, B Hausner y H.W. Carr (RAND Corporation) tuvo su primera versión en 1962. Originalmenteestuvo basado en Fortran..

3. SIMULA, desarrollado por O.J. Dahl y K. Nygaard, en el Norwegian Comput-ing Center, Oslo y tuvo su primera versión en 1965. Desarrollado como unaextensión de Algol.

4. SIMPL/I un lenguaje de simulación basado en PL/I, introducido por IBM en1972.

5. A General Activity Simulation Program (GASP), basado también en lenguajeFortran. Fue desarrollado por Philip J. Kiviat y puede ser utilizado en cualquiermáquina que posea compilador Fortran.

6. SIMULATE, lenguaje escrito en Fortran IV, por Charles C. Holt y otros colab-oradores del Social Systems Research Institute, de la Universidad de Wisconsin,utilizado para construcción de modelos econométricos, los que contienen mecan-ismos complejos de retroalimentación.

7. General Simulation Program (GSP), desarrollado por el Dr. K. D. Tocher y suscolegas de la empresa United Steel Companies Ltd de Inglaterra (1960) escritopara la computadora Ferranti Pegasus y la Elliot 503, se usó en Europa y elReino Unido.

8. Control and Simulation Language (CSL), un lenguaje desarrollado en base aFortran por John Buxton, extendido por Alan Clementson.

9. DYNAMO (Dynamic Models), desarrollado por Phyllis Fox y Alexander L.Pugh del Massachusetts Institute of Technology (M.I.T.) Utiliza ecuacionesdiferenciales de primer orden para aproximar procesos continuos. Es apropi-ado para simular cierto tipo de sistemas dinámicos de información con retroal-imentación, de�nibles con un conjunto de ecuaciones de diferencias �nitas.

10. CSMP (Continuos System Modeling Programs), desarrollado por IBM, en unamezcla con Fortran; DSL/90 (dígital Simulation of Continuos Systems); MIMIC;BHSL (Basic Hytran Simulation Language); DIHYSYS por Borroughs B5500son lenguajes orientados a resolver problemas planteados con ecuaciones difer-enciales.

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CAPÍTULO IIGeneración de Números Pseudoaleatorios

Introducción

En todos los experimentos de simulación existe la necesidad de generar o producirvalores de variables aleatorias que representan a una cierta distribución teórica deprobabilidad. La importancia de los números rectangulares ( distribución uniforme) radica en su uso por la generación de variables aleatorias más complicadas queson requeridas en los experimentos de simulación. Existen tres formas para obtenernúmeros rectangulares o uniformes :

1. Provisión externa : Son números almacenados en algún dispositivo externos yson utilizados como datos de entradas por el proceso de simulación.

2. Generación interna de un proceso físico : Utiliza algún aditamento especial de lacomputadora dígital para registrar los resultados de un proceso aleatorio, cuyoresultados son dígitos.

3. Generación interna por recurrencia : Se establece un valor base o semilla aleato-ria, después por una fórmula de recurrencia se generan los próximos númerosaleatorios.

Independientemente del proceso que se utilice para la generación de númerosaleatorios rectangulares, estos deben de poseer ciertas características que asegureno aumenten la con�abilidad de los resultados obtenidos de la simulación. Ellas son :

1. Uniformemente distribuídos

2. Estadísticamente independientes

3. Reproducibles

4. Período largo ( sin repetición dentro de un período determinado )

5. Rapidez en su generación

Todos los números generados por relaciones de recurrencias son denominadosnúmeros pseudoaleatorios, por ser una sucesión de dígitos generados mediante unaregla determinística, sin embargo, esta objeción puede ser superada, al menos parcial-mente, al tomar el punto de vista pragmático de que una sucesión puede considerarsealeatoria si satisface un cierto conjunto de pruebas estadísticas de aleatoriedad.

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Generadores Congruenciales Lineales

El objetivo de cualquier esquema de generación (generador), es producir una se-cuencia de números entre 0 y 1 que simule las propiedades ideales de distribuciónuniforme y de independencia estadísticas, la mayoría de los métodos (generadores)comienzan con un número inicial (semilla), a éste número se le aplica un determinadoprocedimiento y así se encuentra el primer número aleatorio. Usando este númerocomo entrada, el procedimiento es repetido por lograr un próximo número aleatorioy así de forma sucesiva.

Método Congruencial Mixto

La relación de recurrencia está dada por

xn+1 = (axn + c) mod m

donde x0 es llamado semilla de aleatoriedad y se exige que x0 > 0; el valor dea es el multiplicador (a > 0) ; c es la constante aditiva (c > 0) y m es el módulo

(m > x0; m > a; m > c) y la cantidadxnm( llamada número pseudoaleatorio ) se

considera como una aproximación del valor de una variable aleatoria uniforme en(0; 1)

Esta relación de recurrencia nos dice que xn+1 es el residuo de dividir axn+c entreel módulo. Lo anterior dice que los valores posibles de xn+1 son 0; 1; 2; 3 ; � � � ; (m� 1) ;es decir, m representa el número posible de valores diferentes que pueden ser genera-dos.

Con el propósito de ilustrar la generación de número pseudoaleatorio a través deeste método, supongamos que los valores de los parámetros son

a = 5; c = 7; x0 = 4 y m = 8

entonces la relación de recurrencia es:

xn+1 = (5xn + 7) mod 8

Para las primeras iteracciones (n = 0) y con los valores pre�jado anteriormente,se tiene :

x1 = (5 (4) + 7)mod 8

x1 = 27mod 8

x1 = 3

de manera similar (n = 1)

x2 = (5 (3) + 7)mod 8

x2 = 22mod 8

x2 = 6

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donde el operador mod signi�ca el resto de la división entera. Los demás valoresxn+1 obtenidos son

n xn+1xn+1m

2 55

8= 0:625

3 00

8= 0:000

4 77

8= 0:875

5 22

8= 0:250

6 11

8= 0:125

7 44

8= 0:500

Podría pensarse que el período de todo generador es siempre igual a m; sin embargo,esto es falso porque el período depende de los valores asignados a los parámetrosa; c; x0; y m; es decir, se requiere seleccionar valores adecuados para estos parámetroscon el �n de que el generador tenga período completo.

Ilustremos el caso que se presenta cuando el período es menor que el valor delmódulo (p < m) ; consideremos los valores de los parámetros

a = c = x0 = 7 y m = 10

entonces la relación de recurrencia es

xn+1 = (7xn + 7) mod 10

Para las primeras iteracciones (n = 0) y con los valores pre�jado anteriormente,se tiene :

x1 = (7 (7) + 7)mod 10

x1 = 56mod 10

x1 = 6

de manera similar (n = 1)

x2 = (7 (6) + 7)mod 10

x2 = 49mod 10

x2 = 9

34

y los valores xn+1 obtenidos son

n xn+1xn+1m

0 66

10= 0:6

1 99

10= 0:9

2 00

10= 0:0

3 77

10= 0:7

De los ejemplos anteriores, se advierte la necesidad de establecer algunas reglasque puedan ser utilizadas en la selección de los valores de los parámetros, para que elgenerador resultante tenga período completo.

Algunas reglas son :

1. Selección de m : El valor de m debe ser el número primo más grande posiblemenor o igual que pd; donde p es la base del sistema ( Binario, Decimal oHexadecimal ) que se está utilizando y d es el número de bits que tiene unapalabra de computadora en ese sistema.

2. Selección de a:

(a� 1) mod 4 = 0

(a� 1) mod b = 0

En el primer caso. si 4 es un factor de m y en el segundo si b es un factor primode m: Usualmente se selecciona a = 2k+1 cuando se trabaja en sistema binarioy a = 10k + 1 cuando se trabaja en sistema decimal. En ambos casos el valorde k debe de ser mayor o igual a 2. Normalmente, el valor de a es un enteroimpar y no divisible por 3 �o 5.

3. Selección de c :

c mod 8 = 5

c mod 200 = 21

En el primer caso si se trabaja en sistema binario y en el segundo por el sistemadecimal. Especí�camente el valor de c debe ser un entero impar y relativamenteprimo a m:

4. Selección de x0 : El valor de la semilla es irrelevante, es decir, el valor deeste parámetro resulta tener poca o ninguna in�uencia sobre las propiedadesestadísticas de las sucesiones aleatorias generadas.

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Ejemplo :

Consideremos la relación de recurrencia

xn+1 = (81xn + 89) mod 100 ; x0 = 5

entonces al realizar las sustituciones respectivas para cada uno de los valores in-dicados, se obtienen los valores siguientes :

TABLA 1

n xn n xn n xn n xn n xn1 94 21 74 41 54 61 34 81 142 03 22 83 42 63 62 43 82 233 32 23 12 43 92 63 72 83 524 81 24 61 44 41 64 21 84 015 50 25 30 45 10 65 90 85 706 39 26 19 46 99 66 79 86 597 48 27 28 47 08 67 88 87 688 77 28 57 48 37 68 17 88 979 26 29 06 49 86 69 66 89 4610 95 30 75 50 55 70 35 90 1511 84 31 64 51 44 71 24 91 0412 93 32 73 52 53 72 33 92 1313 22 33 02 53 82 73 62 93 4214 71 34 51 54 31 74 11 94 9115 40 35 20 55 00 75 80 95 6016 29 36 09 56 89 76 69 96 4917 38 37 18 57 98 77 78 97 5818 67 38 47 58 27 78 07 98 8719 16 39 96 59 76 79 56 99 3620 85 40 65 60 45 80 25 100 05

Del ejemplo anterior, es posible generalizar una relación de recurrencia que rela-cione los últimos dígitos del número pseudoaleatorio generado. Si m = pd; se haencontrado que la relación de recurencia de los últimos dígitos es

yn+1;i = xn+1 mod pi ; i < d

donde yn+1;i son los últimos i dígitos del número xn+1 y el valor i representa losúltimos i dígitos que se están considerando. El valor de i puede ser 1; 2; 3; � � � ; (d� 1) :Realizando algunas sustituciones y manipulaciones algebraicas, se tiene:

yn+1;i = xn+1 mod pi

yn+1;i = (axn + c) mod pd mod pi

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pero si q es la parte entera que resulta de dividir (axn + c) mod pd entonces laexpresión anterior se transforma en:

yn+1;i =�axn + c� qpd

�mod pi

yn+1;i = (axn + c) mod pi

yn+1;i = axn mod pi + c mod pi

y como x mod m = (x mod m) mod m; entonces, se obtiene

yn+1;i =�axn mod p

i�mod pi + c mod pi

�nalmente,yn+1;i = (ayn+1 + c) mod p

i

lo cual asegura que esta última expresión tendrá período completo (pi) si el generadortiene un período de pi:

Antes de concluír la exposición sobre este tipo de generador, conviene señalar queexisten otras formas matemáticas de representarlo:

xn =

�anx0 + c

�an � 1a� 1

��mod m

xn+k =

�anxk + c

�an � 1a� 1

��mod m

Método Congruencial Multiplicativo

La relación de recurrencia está dada por:

xn+1 = axn mod m

donde x0 es llamado semilla de aleatoriedad y se exige que x0 > 0; el valor de aes el multiplicador (a > 0) y m es el módulo (m > x0; m > a; m > c) y

xnm( lla-

mada número pseudoaleatorio ) se considera como una aproximación del valor de unavariable aleatoria uniforme en (0; 1) :

Como cada uno de los números xn asume uno de los valores 0; 1; 2; � � � ;m � 1 setiene que después de cierto número �nito ( a lo más m ) de valores generados, algunosdeben repetirse y una vez que esto ocurre, toda la sucesión comienza a repetirse. Aligual que el generador anterior, los valores de los parámetros debe veri�car algunascondiciones, para cada uno de los sistema numéricos considerados.

Sistema Decimal

Los valores de los parámetros deben ser seleccionados de acuerdo a los criterios:

1. El valor de la semilla puede ser cualquier entero impar no divisible entre 2 �o 5y debe ser relativamente primo a m:

37

2. El valor de a debe ser obtenido de acuerdo a la siguiente identidad

a = 200t� p

donde t es cualquier entero y p es cualquiera de los valores

3; 11; 13; 19; 21; 27; 29; 37; 53; 59; 61; 67; 69; 77; 83; 91

3. El valor de m puede ser 10d: Si m = 10 y d � 5 el período del generador es5� 10d�2; por otra parte, si m = 10 y d < 5; entonces el período del generadorse obtiene de acuerdo a la siguiente expresión

Per�{odo = m:c:m���P d11�; ��P d22�; � � � ; �

�P dnn

�donde

� (2) = 1

� (4) = 2

��2d�= 2d�2 si d � 3

��pd�= pd�1 (p� 1) si p � 2

aquím:c:m signi�ca el mínimo común múltiplo y el valor de p es un factor primode m

Ejemplo :

Analicemos el generador xn+1 = 3xn mod 100; x0 = 17 notemos que m = 102 obien como (22) (52) ; entonces el período de este generador es

Periodo = m:c:m��22�;�52�= m:c:m f2; 20g

= 20

es decir, que después de generar los primeros 20 números pseudoaleatorios, la sucesiónse vuelve a repetir. La tabla siguiente muestra los números generados

n xn n xn n xn n xn

1 51 6 93 11 99 16 57

2 53 7 79 12 97 17 71

3 59 8 37 13 91 18 13

4 77 9 11 14 73 19 39

5 31 10 33 15 19 20 17

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Sistema Binario

Los valores de los parámetros deben ser seleccionados de acuerdo a los criterios.

1. El valor de la semilla puede ser cualquier entero impar relativamente primo am:

2. El valor de a debe ser obtenido de acuerdo a la siguiente identidad

a = 8t� 3 ; t 2 Z

3. El valor de m puede ser 2d: Si m = 2d el período del generador es

2d�2 om

4

Ejemplo :

Analicemos el generador

xn+1 = 5xn mod 32; x0 = 5

La tabla siguiente muestra los números generados

n xn n xn

1 25 5 9

2 29 6 13

3 17 7 1

4 21 8 5

Notemos que el período del generador es 8.

39

CAPÍTULO IIITeoría de Probabilidad

Teoría de Probabilidad

Este capítulo trata de las propiedades que debe cumplir un experimento paraser considerado aleatorio y a partir de esto se de�ne los sucesos probabilísticos, elespacio muestral, sigma álgebra de sucesos, hasta llegar al concepto de espacio deprobabilidad. También se aborda la de�nición de función de probabilidad a partir dela axiomática desarrollada por Alexandrov Kolmogorov en 1933. Se estudia de formageneral las propiedades de las funciones de probabilidad y distribución de variablealeatoria.

Experimento aleatorio o estocástico.

Un experimento se considera aleatorio si cumple las siguientes propiedades:

1. Se puede repetir inde�nidamente en condiciones idénticas, pudiéndose obtenerresultados distintos en cada prueba.

2. En cada prueba se obtiene un resultado que pertenece al conjunto de todos losresultados posibles del experimento.

3. Antes de realizar la prueba es imposible predecir el resultado (condición deazar).

4. La frecuencia relativa de cada resultadom

nse aproxima a un número �jo al

aumentar el número de pruebas, esta condición se llama regularidad estadística.(m es el número de veces que se presenta el resultado y n es el número de pruebasrealizadas).

Espacio muestral.

Dado un experimento aleatorio �, se denomina espacio muestral al conjunto detodos los resultados posibles del experimento aleatorio.

Suceso o evento.

Dado un experimento aleatorio � y su espacio muestral asociado, un subconjuntoA de ( A � ), se denomina suceso o evento, si al observar el resultado de dichoexperimento, se puede decir si se ha veri�cado o no A.

40

Algebra de sucesos.

Una ��álgebra de sucesos A es una colección de subconjuntos fAngn�1 � queveri�ca los siguientes axiomas:

1. � 2 A

2. A 2 A =)AC 2 A

3. fAng1n=1 2 A =) 1[n=1

An

!2 A

En resumen, una ��algebra de sucesos A es una colección de subconjuntos quees cerrada para la unión, intersección, complemento y contiene siempre a :

Función de probabilidad.

Dado un espacio muestral y una ��algebra de sucesos A de�nida sobre ; unafunción P : A ! [0; 1] es una probabilidad sobre A si cumple:

1. P (A) � 0; 8 A 2 A

2. P () = 1

3. P

1[n=1

An

!=

1Xn=1

P (An) ; 8 fAng1n=1 2 A; An \ Am = �; 8 n 6= m

Espacio de probabilidad.

Un espacio de probabilidad o espacio probabilístico es una terna (;A;P) donde es el espacio muestral, A es una ��algebra de sucesos de ( que en particularpuede ser el conjunto potencia P () ) y P es una función de probabilidad.

Variable Aleatoria.

Dado un espacio de probabilidad (;A;P) ; se dice que la función X : ! R esuna variable aleatoria, si 8 I � R; fw 2 : X (w) 2 Ig = x 2 I es un elemento deA.

Observación :

Una variable aleatoria transforma los eventos cualitativos en numéricos.

41

Función de distribución de una variable aleatoria.

La función de distribución de una variable aleatoria X, de�nida sobre un espaciode probabilidad (;A;P) ; es la función real F de�nida por

F (x) = P fX � xg ; 8x 2 R

Propiedades:

1. F (x) � 0; 8x 2 R.

2. F (�1) = limx!�1

F (x) = 0 y F (1) = limx!1

F (x) = 1

3. F (x) es no decreciente

4. P fa < x � bg = F (b)� F (a)

5. limx!a�

F (x) = F (a)

Variable Aleatoria Discreta

Una variable aleatoria X se llama discreta si puede tomar un número �nito oin�nito numerable de valores.

Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta.

Si X es una variable aleatoria discreta, entonces f(x) = P [X = x] por cada xcontenida en el rango de X, se denomina función de probabilidad, función de cuantíao distribución de probabilidad de X.

Propiedades:

1. f (x) es no negativa

2.Xx

f (x) =Xx

p (x)

Función de distribución de una variable aleatoria discreta.

La función de distribución de una variable aleatoria discreta X de�nida sobre unespacio de probabilidad (;A;P) ; es la función real F de�nida por:

F (x) = P fX � xg =Xt�xp (x)

La función de distribución F (x) es una función escalonada que posee saltos dealtura

f(xi) = P fX = xig en xi ; i = 1; 2; � � � ; k

42

Variable Aleatoria Continua

Una variable aleatoria X es continua cuando puede tomar valores en todo elconjunto de los números reales o en un intervalo de este.

Función de probabilidad de una variable aleatoria continua.

Una función no negativa f de�nida sobre la recta real, se denomina función deprobabilidad de la variable aleatoria continúa X, si y sólo si,

P fa � x � bg =Z b

a

f (x) dx ; 8 a; b 2 R; a � b

Propiedades :

1. f (x) � 0; 8 x 2 R

2.R +1�1 f (x) = 1

Teorema:

Si X es una variable aleatoria continua con a; b 2 R y a � b, entonces

P (a � X � b) = P (a � X < b) = P (a < X � b) = P (a < X < b)

Demostración :

P (a � X � b) = P [fag [ (a < X < b) [ fbg]= P fag+ P (a < X < b) + P fbg

=

Z a

a

f (x) dx+ P (a < X < b) +

Z b

b

f (x) dx

= P (a < X < b)

de manera análoga

P (a � X < b) = P [fag [ (a < X < b)]

= P fag+ P (a < X < b)

=

Z a

a

f (x) dx+ P (a < X < b)

= P (a < X < b)

también

P (a < X � b) = P [(a < X < b) [ fbg]= P (a < X < b) + P fbg

= P (a < X < b) +

Z b

b

f (x) dx

= P (a < X < b)

43

Función de distribución de una variable aleatoria continua.

Si X es una variable aleatoria continua, la función dada por

F (x) = P [X � x] =Z x

�1f (t) dt ; x 2 R

con f(t) función de probabilidad de X en t, se denomina función de distribución, odistribución acumulativa de X.

Con la de�nición de función de distribución ahora podemos demostrar queZ +1

�1f (x) dx = 1

ya queZ +1

�1f (x) dx = lim

x!+1

Z x

�1f (t) dt = lim

x!+1F (x) = F (+1) = 1

Teorema :

Si f(x) y F (x) son los valores de la función de probabilidad y función de distribu-ción de X, entonces

1. P (a � X � b) = F (b)� F (a)

2. f (x) =d

dxF (x) = F 0 (x)

Demostración :

Para la primera parte se tiene

P (a � X � b) =

Z b

�1f (x) dx�

Z a

�1f (x) dx

=

Z a

�1f (x) dx+

Z b

a

f (x) dx�Z a

�1f (x) dx

=

Z b

a

f (x) dx

�nalmente

f (x) =d

dx

�Z x

�1f (t) dt

�=d

dxF (x) = F 0 (x)

44

Comparación entre la función de probabilidad en el caso discreto y lafunción de probabilidad en el caso continuo.

En el caso discreto la función de probabilidad representa una probabilidad y porlo tanto no puede valer más de uno (0 � f (x) � 1). En el continuo, la función deprobabilidad no representa una probabilidad y por tanto puede valer más de 1, puesf (x) � 0.

En el caso discreto la probabilidad de que X tome un valor cualquiera �a� es,P (X = a) � 0, en el continuo la probabilidad de que X tome un valor cualquiera �a�es nula, es decir P [X = a] = P (a � X � a) = P fag =

R aaf (x) dx = 0:

En el caso discreto usamos puntos para introducir la probabilidad, mientras queen el continuo utilizamos intervalos debido a ser nula la probabilidad en cada punto.En el caso discreto cualquier probabilidad es la suma de probabilidades asociadasa puntos, en el continuo cualquier probabilidad es una integral de�nida asociada aintervalos, veri�cándose

P (a � X � b) = P (a � X < b) = P (a < X � b) = P (a < X < b) =

Z b

a

f (x) dx

Valor esperado y varianza

El valor esperado o esperanza matemática de una variable aleatoria o de cualquierfunción de una variable aleatoria se obtiene calculando el valor medio de la funciónpara todos los valores posibles de la variable, este valor esperado es una media téoricaideal. Por otra parte la varianza mide la dispersión de los valores de una variablealeatoria respecto a su valor medio.

Valor esperado de una variable aleatoria.

Dada una variable aleatoriaX, se denomina valor esperado o esperanza matemáticadeX al valor medio de todos los posibles valores de la variable aleatoria y se simbolizapor E(X).

Propiedades:

1. E (c) = c ; 8 c 2 R

2. E (X + Y ) = E (X) + E (Y ) ; X; Y son variables aleatorias cualesquiera.

3. E (cX) = cE (X)

4. Si X e Y son variables aleatorias independientes, entonces

E (XY ) = E (X)E (Y )

45

Varianza y Covarianza

Varianza de una Variable Aleatoria

Dada una variable aleatoriaX con valor esperado �nito, E(X) <1. Se denominavarianza de X a la expresión V (X) = E[X � E(X)]2 y desviación típica a su raízcuadrada positiva.

Propiedades:

1. V (X) � 0

Demostración :[X � E(X)]2

es una cantidad no negativa, luego V (X) = E[X � E(X)]2 � 0

2. V (X) = E(X2)� [E(X)]2

Demostración :

V (X) = E[X � E(X)]2 = E�X2 � 2XE (X) + [E (X)]2

�= E

�X2�� 2E2 (X) + E2 (X)

= E�X2�� E2 (X)

3. V (c) = 0

Demostración :

V (c) = E[c� E(c)]2

= E [c� c]2

= E [0]2

= 0

4. V [X + c] = V (X)

Demostración :

V (X + c) = E[(X + c)� E(X + c)]2

= E[X + c� E(X)� E(c)]2

= E[X + c� E(X)� c]2= E[X � E(X)]2

= V (X)

46

5. V (cX) = c2V (X)

Demostración :

V (cX) = E[cX � E(cX)]2

= E[cX � cE(X)]2

= E[c(X � E(X))]2

= c2E[X � E(X)]2= c2V (X)

6. V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2Cov(X; Y ) con X e Y variables cualesquiera

Demostración :

V (X + Y ) = E[(X + Y )� E(X + Y )]2

= E[X + Y � E(X)� E(Y )]2

= Ef[X � E(X)] + [Y � E(Y )]g2

= Ef[X � E(X)]2 + [Y � E(Y )]2 + 2[X � E(X)][Y � E(Y )]g= E[X � E(X)]2 + E[Y � E(Y )]2 + 2Ef[X � E(X)][Y � E(Y )]g

dondeEf[X � E(X)][Y � E(Y )]g

recibe el nombre de covarianza entre las variables aleatoriasX e Y y se simbolizapor Cov(X; Y ) = Ef[X � E(X)][Y � E(Y )]g: Luego

V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2Cov(X; Y )

Si X e Y son variables aleatorias independientes, tenemos que:

Cov(X; Y ) = Ef[X � E(X)][Y � E(Y )]g = EfXY �XE(Y )� Y E(X) + E(X)E(Y )g= E(XY )� E(X)E(Y )� E(Y )E(X) + E(X)E(Y )= E(X)E(Y )� E(X)E(Y )� E(Y )E(X) + E(X)E(Y )= 0

luego

V (X + Y ) = V (X) + V (Y )

V (X � Y ) = V (X)� V (Y )

47

La covarianza es una medida del grado de dependencia entre las variables, perotiene el inconveniente de que es proporcional a la magnitud de las variables aleatorias.

Cuando hacemos X = Y obtenemos

Cov(X;X) = Ef[X � E(X)][X � E(X)]g = E[X � E(X)]2 = V (X)

Propiedades:

1. Cov(X;Y ) = E(XY )� E(X)E(Y )Demostración :

Cov(X; Y ) = E f[X � E(X)][Y � E(Y )]g= E[XY �XE(Y )� E(X)Y + E(X)E(Y )]= E(XY )� E(X)E(Y )� E(X)E(Y ) + E(X)E(Y )= E(XY )� E(X)E(Y )

2. Cov(X;Y ) = Cov(Y;X)

Demostración :

Cov(X; Y ) = E(XY )� E(X)E(Y )= E(Y X)� E(Y )E(X)

Cov(Y;X)

3. Cov(X + a; Y ) = Cov(X; Y )

Demostración :

Cov(X + a; Y ) = E f[X + a� E(X + a)][Y � E(Y )]g= E[X + a� E(X)� E (a)][Y � E(Y )]= E[X + a� E(X)� a][Y � E(Y )]= E[X � E(X)][Y � E(Y )]= Cov (X; Y )

4. Cov(aX; Y ) = aCov(X; Y )

Demostración :

Cov(aX; Y ) = E f[aX � E(aX)][Y � E(Y )]g= E f[aX � aE(X)][Y � E(Y )]g= aE f[X � E(X)][Y � E(Y )]g= aCov (X;Y )

48

5. Cov(aX; bY ) = abCov(X; Y )

Demostración :

Cov(aX; bY ) = E f[aX � E(aX)][bY � E(bY )]g= E f[aX � aE(X)][bY � bE(Y )]g= abE f[X � E(X)][Y � E(Y )]g= abCov (X; Y )

6. Cov(X + Y; Z) = Cov(X;Z) + Cov(Y; Z)

Demostración :

Cov(X + Y; Z) = E f[(X + Y )� E(X + Y )][Z � E(Z)]g= E f[X + Y � E(X)� E(Y )][Z � E(Z)]g= E f([X � E(X)] + [Y � E(Y )]) [Z � E(Z)]g= E f[X � E(X)][Z � E(Z)] + [Y � E(Y )][Z � E(Z)]g= E f[X � E(X)][Z � E(Z)]g+ E f[Y � E(Y )][Z � E(Z)]g= Cov(X;Z) + Cov(Y; Z)

7. X e Y variables aleatorias independientes =) Cov(X; Y ) = 0

Demostración :

Cov(X; Y ) = E f[X � E(X)][Y � E(Y )]g= E(XY )� E(X)E(Y )= E(X)E(Y )� E(X)E(Y )= 0

El recíproco de esta propiedad no es cierta, es decir, puede ser nula la covarianzade dos variables aleatorias y no ser éstas independientes.

Valor esperado de una variable aleatoria discreta.

Si X es una variable aleatoria discreta con función de probabilidad

f(x) = P [X = x]

entonces se llama valor esperado o esperanza matemática de X a la expresión

E (X) =Xx

xP [X = x] =Xx

xf (x)

49

Valor esperado de una función de variable aleatoria discreta.

Una relación muy particular e importante entre la teoría de probabilidad y el valoresperado se establece cuando I es una variable aleatoria indicadora o característicadel evento A:

I =

�1 si A ocurre0 si A no ocurre

entonces:E [I] = 1P (A) + 0P

�AC�= P (A)

por tanto, el valor esperado de la variable indicadora del evento A es simplementela probabilidad de que A ocurra.

Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad f(x) y seaY = g(X) otra variable aleatoria discreta construída a partir de X mediante lafunción g(X). El valor esperado de Y viene dado por:

E (X) =Xx

g (x)P [X = x] =Xx

g (x) f (x)

Los axiomas de probabilidad muestran que las variables aleatorias discretas X e Yson independientes si y sólo si, 8 x; y

P [X = x; Y = y] = P [X = x]P [Y = y]

de manera análoga, si X e Y son conjuntamente continuas con función de densidadf (x; y) entonces son independientes si y sólo si, 8 x; y

f (x; y) = fX (x) fY (y)

donde fX (x) y fY (y) son las funciones de densidad de X e Y respectivamente.

Propiedades:

1. E(c) = c

Demostración :

E(c) =Xx

cf (x)

= cXx

f (x)

= c (1)

= c

50

2. E(X + Y ) = E(X) + E(Y )

Demostración :

E(X + Y ) =Xx

(x+ y)f(x; y)

=Xx

xf(x; y) +Xy

yf(x; y)

=Xx

xfX(x) +Xy

yfY (y)

= E(X) + E(Y )

3. E(cX) = cE(X)

Demostración :

E(cX) =Xx

cxf(x)

= cXx

xf(x)

= cE (X)

4. E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y ) + c

Demostración :

E(aX + bY + c) = E(aX) + E(bY ) + E(c)

= aE(X) + bE(Y ) + c

5. X e Y son variables aleatorias discretas independientes, entonces

E(XY ) = E(X)E(Y )

Demostración :

E(XY ) =Xx

(xy) f(x; y)

=Xx

Xy

xyfX(x)fY (y)

=

Xx

xfX(x)

! Xy

yfY (y)

!= E(X)E(Y )

51

Varianza de una variable aleatoria discreta.

Si X es una variable aleatoria discreta que alcanza los valores x1; :::; xn con proba-bilidades f(x1) = P [X = x1]; :::; f(xn) = P [X = xn], entonces la varianza de X vienedado por

V (X) =Xx

(x� E(X))2 P [X = x]

=Xx

(x� E(X))2 f (x)

Propiedades:

1. V (X) � 0Demostración :

La varianza es siempre positiva o nula ya que [x� E(X)]2 � 0

2. V (X) = E(X2)� [E(X)]2

Demostración :

V (X) =Xx

(x� E(X))2 f (x)

=Xx

�x2 � 2xE(X) + [E (X)]2

�f (x)

=Xx

x2f (X)� 2E(X)Xx

xf (x) +Xx

[E (X)]2 f (x)

=Xx

x2f (X)� 2E(X)E (X) + [E (X)]2

= E�X2�� [E (X)]2

3. V (c) = 0

Demostración :

V (c) =Xx

(c� E(c))2 f (x)

=Xx

(c� c)2 f (x)

= 0

52

4. V (X + c) = V (X)

Demostración :

V (X + c) =Xx

(x+ c� E(x+ c))2 f (x)

=Xx

(x+ c� E(x+ c))2 f (x)

=Xx

(x+ c� E(x)� E (c)))2 f (x)

=Xx

(x+ c� E(x)� c)2 f (x)

=Xx

(x� E(x))2 f (x)

= V (X)

5. V (cX) = c2V (X)

Demostración :

V (cX) =Xx

(cx� E(cx))2 f (x)

=Xx

(cx� cE(x))2 f (x)

=Xx

[c (x� E(x))]2 f (x)

= c2Xx

(x� E(x))2 f (x)

= c2V (X)

Valor esperado de una variable aleatoria continua.

Si X es una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidadf(x), entonces se llama valor esperado o esperanza de X a la expresión

E (x) =

Z +1

�1xf (x) dx

Valor esperado de una función de variable aleatoria continua.

Sea X una variable aleatoria continua con función de probabilidad f(x) y seaY = g(X) otra variable aleatoria continua construída a partir de X mediante lafunción g(X). El valor esperado de Y viene dado por:

E (Y ) =

Z +1

�1g (x) f (x) dx

53

Propiedades:

1. E(c) = c

Demostración :

E(c) =

Z +1

�1cf (x) dx

= c

Z +1

�1f (x) dx

= c (1)

= c

2. E(X + Y ) = E(X) + E(Y )

Demostración :

E(X + Y ) =

Z +1

�1

Z +1

�1(x+ y) f (x; y) dxdy

=

Z +1

�1

Z +1

�1xf (x; y) dxdy +

Z +1

�1

Z +1

�1yf (x; y) dxdy

pero

fX (x) =

Z +1

�1f (x; y) dy

fY (x) =

Z +1

�1f (x; y) dx

entonces

E(X + Y ) =

Z +1

�1

Z +1

�1xf (x; y) dxdy +

Z +1

�1

Z +1

�1yf (x; y) dxdy

=

Z +1

�1x

�Z +1

�1f (x; y) dy

�dx+

Z +1

�1y

�Z +1

�1f (x; y) dx

�dy

=

Z +1

�1xfX (x) dx+

Z +1

�1yfY (x) dy

= E(X) + E(Y )

3. E(cX) = cE(X)

Demostración :

E(cX) =

Z +1

�1cxfX (x) dx

= c

Z +1

�1xfX (x) dx

= cE (X)

54

4. X e Y son variables aleatorias continuas independientes, entonces

E(XY ) = E(X)E(Y )

Demostración :

E(XY ) =

Z +1

�1

Z +1

�1xyf (x; y) dxdy

=

Z +1

�1

Z +1

�1xyfX (x) fY (y) dxdy

=

�Z +1

�1xfX (x) dx

��Z +1

�1yfY (y) dy

�= E (X)E (Y )

Varianza de una variable aleatoria continua.

Si X es una variable aleatoria continua con función de densidad f(x), entonces seconoce como varianza de X a la expresión

V (X) =

Z +1

�1(x� E (x))2 f (x) dx

Propiedades:

1. V (X) � 0Demostración :

La varianza es siempre positiva ya que [x� E(X)]2 � 0

2. V (X) = E(X2)� [E(X)]2

Demostración :

V (X) =

Z +1

�1(x� E (x))2 f (x) dx

=

Z +1

�1

�x2 � 2xE(X) + [E (X)]2

�f (x) dx

=

Z +1

�1x2f (x) dx� 2E(X)

Z +1

�1xf (x) dx+ [E (X)]2

Z +1

�1f (x) dx

= E�X2�� 2E(X)E (X) + [E (X)]2

= E�X2�� [E (X)]2

3. V (c) = 0

Demostración :

V (c) =

Z +1

�1(c� E (c))2 f (x) dx

=

Z +1

�1(c� c)2 f (x) dx

= 0

55

4. V (X + c) = V (X)

Demostración :

V (X + c) =

Z +1

�1(x+ c� E (x+ c))2 f (x) dx

=

Z +1

�1(x+ c� E (x)� E (c))2 f (x) dx

=

Z +1

�1(x+ c� E (x)� c)2 f (x) dx

=

Z +1

�1(x� E (x))2 f (x) dx

= V (X)

5. V (cX) = c2V (X)

Demostración :

V (cX) =

Z +1

�1(cx� E (cx))2 f (x) dx

=

Z +1

�1[cx� cE (x)]2 f (x) dx

=

Z +1

�1c2 (x� E (x))2 f (x) dx

= c2Z +1

�1(x� E (x))2 f (x) dx

= c2V (X)

Distribuciones Probabilísticas Discretas

Distribución Uniforme

La distribución uniforme corresponde a una variable que toma todos sus valoresx1; x2:::; xk, con igual probabilidad, el espacio muestral debe ser �nito.

Una variable aleatoria X tiene una distribución uniforme discreta si y sólo si, sudistribución de probabilidad es:

f (x) =1

k; x = 1; 2; � � � ; k

donde k es el parámetro de la distribución (un parámetro es un valor que sirvepara determinar la función de probabilidad o densidad de una variable aleatoria),evidentemente f (x) es una función de probabilidad, ya que:X

x

f (x) =

kXx=1

1

k= k

1

k= 1

56

Media y varianza

Por de�nición

E (X) =kXx=1

xf (x) =kXx=1

x1

k=1

k

kXx=1

x =1

k

�k (k + 1)

2

�=k + 1

2

para calcular la varianza, utilizamos la fórmula V (X) = E (X2)� [E (X)]2

E�X2�= E [X (X � 1)] + E (X)

pero:

E [X (X � 1)] = E�X2 �X

�= E

�X2�� E (X)

=

kXx=1

x2f (x) =1

k

kXx=1

x2 � 1

k

kXx=1

x

=1

k

�k (k + 1) (2k + 1)

6� k (k + 1)

2

�=

1

k

�k (k + 1)

2k + 1� 36

�=

(k + 1) (k � 1)3

=k2 � 13

de aquí:

E�X2�= E [X (X � 1)] + E (X)

=k2 � 13

+k + 1

2

entonces:

V (X) = E�X2�� [E (X)]2

=k2 � 13

+k + 1

2��k + 1

2

�2=

k2 � 112

57

Distribución de Bernoulli

Una variable aleatoria X tiene una distribución de Bernoulli si y sólo si, su dis-tribución de probabilidad es

f (x) = px (1� p)1�x ; x = 0; 1

donde p es la probabilidad de éxito y q = 1�p es la probabilidad complementaria.Evidentemente f (x) es una función de probabilidad, ya queX

x

f (x) = f (0) + f (1) = q + p = (1� p) + p = 1

Media y varianza

Por de�nición

E (X) =kXx=1

xf (x) = 0 (q) + 1 (p) = p

para calcular la varianza, utilizamos la fórmula:

V (X) = E�X2�� [E (X)]2 =

Xx

x2f (x)� p2

= p� p2 = p (1� p) = pq

Distribución Binomial

Una variable aleatoria X tiene una distribución de Bernoulli si y sólo si, su dis-tribución de probabilidad es

f (x) =

�n

x

�px (1� p)n�x ; x = 0; 1; � � � ; n

donde p es la probabilidad de éxito y q = 1�p es la probabilidad complementaria.Evidentemente f (x) es una función de probabilidad, ya que

Xx

f (x) =nXx=0

�n

x

�px (1� p)n�x = (q + p)n = (1)n = 1

58

Media y varianza

Por de�nición

E (X) =Xx

xf (x) =nXx=0

�n

x

�px (1� p)n�x =

nXx=1

xn!

x! (n� x)!px (1� p)n�x

=nXx=1

xn!

x (x� 1)! (n� x)!px (1� p)n�x =

nXx=1

n (n� 1)!(x� 1)! (n� x)!p

x�1pqn�x

= np

nXx=1

(n� 1)!(x� 1)! (n� x)!p

x�1qn�x

= npn�1Xy=0

(n� 1)!y! (n� 1� y)!p

yqn�1�y| {z }1

= np

para calcular la varianza, utilizamos la fórmula

V (X) = E�X2�� [E (X)]2 = E [X (X � 1)] + E (X)� [E (X)]2

=nXx=2

x (x� 1) f (x) =nXx=2

x (x� 1)�n

x

�pxqn�x + np� n2p2

=nXx=2

x (x� 1) n!

x! (n� x)!pxqn�x + np� n2p2

=nXx=2

x (x� 1) n!

x (x� 1) (x� 2)! (n� x)!pxqn�x + np� n2p2

=nXx=2

n!

(x� 2)! (n� x)!pxqn�x + np� n2p2

=

nXx=2

n (n� 1) (n� 2)!(x� 2)! (n� x)! p

2px�2qn�x + np� n2p2

= n (n� 1) p2nXx=2

(n� 2)!(x� 2)! (n� x)!p

x�2qn�x + np� n2p2

= n (n� 1) p2n�2Xy=0

(n� 2)!y! (n� 2� y)!p

yqn�2�y| {z }1

+ np� n2p2

= n2p2 � np2 + np� n2p2

= npq

59

Distribución Geométrica

Una variable aleatoria X tiene una distribución Geométrica si y sólo si, su dis-tribución de probabilidad es

f (x) = pqx�1 ; x = 1; 2; 3; � � �

evidentemente f (x) es una función de probabilidad, ya queXx

f (x) =nXx=1

pqx�1 = p

�1

1� q

�=p

p= 1

Media y varianza

Por de�nición:

E (X) =Xx

xf (x) =

nXx=1

xpqx�1

perod

dq

nXx=1

qx

!=

nXx=1

xqx�1

entonces

E (X) = pnXx=1

xqx�1 = p

(d

dq

nXx=1

qx

!)además

nXx=1

qx =q

1� q = q (1� q)�1

por tanto

E (X) = p

(d

dq

nXx=1

qx

!)= p

�d

dq

�q (1� q)�1

��= p

�(1� q)�1 � (1� q)�2 (�q)

= 1 +

q

p

=1

p

para calcular la varianza, utilizamos la fórmula

V (X) = E�X2�� [E (X)]2

= E [X (X � 1)] + E (X)� [E (X)]2

Sabemos que

d2

dq2

(nXx=1

qx

)=

d

dq

(nXx=1

xqx�1

)=

nXx=1

x (x� 1) qx�2 =nXx=1

x (x� 1) qx�1q�1

=1

q

nXx=1

x (x� 1) qx�1

60

entonces

qd2

dq2

(nXx=1

qx

)=

nXx=1

x (x� 1) qx�1

qd2

dq2

(nXx=1

qx

)= q

d2

dq2

�q

1� q

�= q

d

dq

�1

(1� q)2�=

2q

(1� q)3

en consecuencianXx=1

x (x� 1) qx�1 = 2q

(1� q)3

por tanto

V (X) = E�X2�� [E (X)]2

= E [X (X � 1)] + E (X)� [E (X)]2

= p2q

(1� q)3+1

p� 1

p2

=2q

p2+1

p� 1

p2

=2q + p� 1

p2

=q + q + p� 1

p2

=q

p2

Distribución Poisson

Una variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson si y sólo si, su distribu-ción de probabilidad es

f (x) =�x

x!e�� ; x = 0; 1; 2; 3; � � � � = np > 0

evidentemente f (x) es una función de probabilidad, ya que

Xx

f (x) =

1Xx=0

�x

x!e�� = e��

1Xx=0

�x

x!= e��e� = 1

por tanto1Xx=0

�x

x!= e�

61

Media y varianza

Por de�nición

E (X) =Xx

xf (x) =1Xx=0

x�x

x!e��

= e��1Xx=1

x�x

x (x� 1)!

= e��1Xx=1

�x

(x� 1)!

= e��1Xx=1

�x�1�

(x� 1)!

= �e��1Xx=1

�x�1

(x� 1)!

= �e��e� = �

para calcular la varianza, utilizamos la fórmula

V (X) = E�X2�� [E (X)]2

= E [X (X � 1)] + E (X)� [E (X)]2

=1Xx=2

x (x� 1) �x

x!e�� + �� �2

= e��1Xx=2

x (x� 1)�x�2�2

x (x� 1) (x� 2)! + �� �2

= �2e��1Xx=2

�x�2

(x� 2)! + �� �2

= �2e��e� + �� �2

= �2 + �� �2

= �

62

Distribuciones Probabilísticas Continuas

Distribución Uniforme:

Una variable aleatoria continuaX tiene una distribución de probabilidad uniformesí su función de probabilidad está dada por:

f (x) =

( 1

b� a si a � x � b0 si x =2 [a; b]

evidentemente f (x) es una función de probabilidad, ya que

+1Z�1

f (x) dx =

bZa

f (x) dx =

bZa

1

b� a dx =1

b� a

bZa

dx =1

b� a (b� a) = 1

Media y varianza

Por de�nición

E (X) =

+1Z�1

xf (x) dx =

bZa

x

b� a dx =1

b� a

bZa

xdx =1

b� ax2

2

����ba

=a+ b

2

para calcular la varianza, utilizamos la fórmula

V (X) = E�X2�� [E (X)]2

=

+1Z�1

x2f (x) dx�

24 +1Z�1

xf (x) dx

352

=

bZa

x21

b� a dx��a+ b

2

�2

=1

b� ax3

3

����ba

��a+ b

2

�2=

b2 + ab+ a2

3��a+ b

2

�2=

4a2 + 4ab+ 4b2 � 3a2 � 6ab� 3b212

=a2 � 2ab+ b2

12

=(b� a)2

12

63

Distribución Normal

Una variable aleatoria continua X tiene una distribución de probabilidad normalsí su función de probabilidad está dada por:

f (x) =1

�p2�e�1

2

x� ��

!2; �1 < x <1

donde � es la media y � es la desviación típica.

Evidentemente f (x) es una función de probabilidad, ya que

+1Z�1

f (x) dx =1

�p2�

+1Z�1

e�1

2

x� ��

!2dx

realizando un cambio de variable

z =x� ��

dz =1

�dx =) dx = �dz

sustituyendo en la integral dada, obtenemos

1

�p2�

+1Z�1

e�1

2z2

�dz =1p2�

+1Z�1

e�1

2z2

dz

pero si I2 = 1 =) I = 1; de aquí

I2 =

0@ 1p2�

+1Z�1

e�1

2s2

ds

1A0@ 1p2�

+1Z�1

e�1

2t2

dt

1A=

1

2�

+1Z�1

+1Z�1

e�1

2(s2+t2)

dsdt

utilizando coordenadas polares

s = r cos �

t = r sin �

s2 + t2 = r2

Sea el Jacobiano

J =

�������@s

@r

@s

@�@t

@r

@t

@�

������� =���� cos � �r sin �sin � r cos �

���� = r cos2 � + r sin2 = r64

donde0 < r < +1 ; 0 < � < 2�

entoncesdsdt = jJ j drd� = rdrd�

sustituyendo en la expresión de I2; obtenemos

I2 =1

2�

2�Z0

24 +1Z0

re�1

2r2

dr

35 d�donde haciendo un nuevo cambio de variable

u =1

2r2

du = rdr

obtenemos+1Z0

e�u du = limn!1

�e�u��n0= lim

n!1� 1eu

����n0

= limn!1

�� 1en+1

e0

�= 1

entonces

I2 =1

2�

2�Z0

d�

=1

2��j2�0

=1

2�(2� � 0)

= 1

en consecuencia, se ha demostrado que la función de distribución normal es unafunción de probabilidad.

Media y varianza

Por de�nición

E (X) =

+1Z�1

xf (x) dx

=

+1Z�1

x

264 1

�p2�e�1

2

x� ��

!2375 dx

=1

�p2�

+1Z�1

xe�1

2

x� ��

!2dx

65

realizando un cambio de variable, se obtiene

z =x� ��

dz =1

�dx =) dx = �dz

x = �z + u

sustituyendo en la integral dada, obtenemos

E (X) =1

�p2�

+1Z�1

(�z + u) e�1

2z2

�dz =1p2�

+1Z�1

(�z + u) e�1

2z2

dz

E (X) =�p2�

+1Z�1

e�1

2z2

zdz +�p2�

+1Z�1

e�1

2z2

dz

al resolver la primer integral y efectuar el cambio de variable

u = �12z2 =) �du = zdz

se obtiene+1Z�1

e�1

2z2

zdz = �+1Z�1

e�u du = � 1eu

����+1�1

= �(limt!�1

� 1eu

����0t

+ limt!+1

� 1eu

����t0

)= �f1� 0 + 0� 1g= 0

y �nalmente+1Z�1

e�1

2z2

dz =p2�

por tanto

E (X) =�p2�

+1Z�1

e�1

2z2

zdz +�p2�

+1Z�1

e�1

2z2

dz

=�p2�(0) + � (1) = �

para calcular la varianza, utilizamos la fórmula

V (X) = E�X2�� [E (X)]2

pero

E�X2�=

+1Z�1

x2f (x) dx =

+1Z�1

x

264 1

�p2�e�1

2

x� ��

!2375 dx = 1

�p2�

+1Z�1

x2e�1

2

x� ��

!2dx

66

efectuando el cambio de variable

z =x� ��

dz =1

�dx =) dx = �dz

x = �z + u

entonces

E�X2�=

1

�p2�

+1Z�1

(�z + u)2 e�1

2z2

�dz =1p2�

+1Z�1

�(�z)2 + 2��z + �2

�e�1

2z2

dz

=�2p2�

+1Z�1

z2e�1

2z2

dz +2��p2�

+1Z�1

ze�1

2z2

dz +�2p2�

+1Z�1

2e�1

2z2

dz

=�2p2�

+1Z�1

ze�1

2z2

zdz +2��p2�(0) +

�2p2�

�p2��

resolviendo la primera integral por parte

u = z =) du = dz

dv = ze�1

2z2

=) v = �e�12z2

de aquí

+1Z�1

ze�1

2z2

zdz = �ze�12z2����+1�1

+

+1Z�1

e�1

2z2

dz

= �(limt!�1

�ze�12z2����0t

� limt!+1

ze�12z2����t0

)+p2�

�nalmenteE�X2�= �2 (1) + �2 = �2 + �2

por tanto

V (X) = E�X2�� [E (X)]2

= �2 + �2 � �2

= �2

67

Distribución Gamma

Una variable aleatoria continua X tiene una distribución de probabilidad gammasí su función de probabilidad está dada por

f (x) =

8><>:x��1e

�x�

��� (�)si 0 � x < +1

0 si en el resto

donde � > 0; � > 0 y la función que se utiliza en esta de�nición es la funcióngamma y está dada por la relación

� (�) =

Z +1

0

x��1e�x dx; 8� > 0

evidentemente f (x) es una función de probabilidad, ya que

+1Z�1

f (x) dx =

+1Z0

x��1e�x�

��� (�)dx

realizando un cambio de variable

u =x

�=) x = u� =) dx = �du

entonces

+1Z0

x��1e�x�

��� (�)dx =

+1Z0

(u�)��1 e�u

��� (�)�du =

+1Z0

u��1���1�e�u

��� (�)du

=

+1Z0

x��1e�x�

� (�) ��dx =

��

� (�) ��

+1Z0

u��1e�u du =��� (�)

� (�) ��= 1

Media y varianza

Por de�nición

E (X) =

+1Z�1

xf (x) dx =

+1Z0

x

24x��1e�x���� (�)

35 dx

=1

��� (�)

+1Z0

x�e�x� dx

=��+1� (�+ 1)

��� (�)=����� (�)

��� (�)

= ��

68

para calcular la varianza, utilizamos la fórmula

V (X) = E�X2�� [E (X)]2

pero

E�X2�=

+1Z�1

x2f (x) dx =

+1Z0

x2

24x��1e�x���� (�)

35 dx

=1

��� (�)

+1Z0

x�+1e�x� dx =

��+2� (�+ 2)

��� (�)

=���2 (�+ 1)� (�+ 1)

��� (�)

=���2 (�+ 1)�� (�)

��� (�)

= � (�+ 1) �2

luego

V (X) = E�X2�� [E (X)]2 = � (�+ 1) �2 � (��)2

= �2�2 + ��2 � �2�2

= ��2

Distribución Exponencial

Una variable aleatoria continua X tiene una distribución de probabilidad expo-nencial si y sólo si, su función de probabilidad está dada por

f (x) =

8<:1

�e�x� si 0 � x < +1

0 en el resto

donde � > 0:

La distribución exponencial es un caso particular de la distribución gamma ( con� = 1 ) y entonces f (x) es una función de probabilidad., ya que

+1Z�1

f (x) dx =

+1Z0

1

�e�x� dx =

1

�

+1Z0

e�x� dx

realizando un cambio de variable

u =x

�=) x = u� =) dx = �du

69

entonces

1

�

+1Z0

e�x� dx =

1

�

+1Z0

e�u �du =

+1Z0

e�udu = limt!+1

�e�u��t0= 1

Media y varianza

MediaE (X) = �� = (1) (�) = �

varianzaV (X) = ��2 = (1) �2 = �2

Distribución Exponencial Negativa

Una variable aleatoria continua X tiene una distribución de probabilidad expo-nencial negativa si y sólo si, su función de probabilidad está dada por

f (x) =

��e��x si 0 � x < +10 en el resto

donde � > 0:

La distribución exponencial es un caso particular de la distribución gamma ( con

� = 1; � =1

�) y entonces f (x) es una función de probabilidad., ya que

+1Z�1

f (x) dx =

+1Z0

�e��x dx = �

+1Z0

e��x dx

entonces

+1Z0

�e��x dx = �

+1Z0

e��x dx = �e��x��+10

= limn!1

�e��x��t0= 1

Ahora

Media

E (X) = �� = (1)

�1

�

�=1

�

Varianza

V (X) = ��2 = (1)

�1

�

�2=1

�2

70

Distribución Beta

Una variable aleatoria continúa X tiene una distribución de probabilidad beta siy sólo si, su función de probabilidad está dada por

f (x) =

8<: x��1 (1� x)��1

B (�; �)si 0 < x < 1

0 en el resto

La expresión

B (�; �) =

Z 1

0

x��1 (1� x)��1 dx = � (�) � (�)

� (�+ �)

De esta expresión se desprende lo siguiente

B (�+ 1; �) =

Z 1

0

x� (1� x)��1 dx = � (�+ 1)� (�)

� (�+ 1 + �)

B (�+ 2; �) =

Z 1

0

x�+1 (1� x)��1 dx = � (�+ 2)� (�)

� (�+ 2 + �)

B (�� 1; �) =

Z 1

0

x��2 (1� x)��1 dx = � (�� 1) � (�)� (�� 1 + �)

tenemos que mostrar que

B (�; �) =� (�) � (�)

� (�+ �)

para veri�car que f (x) es una función de probabilidad, entonces

� (�) � (�) =

0@ +1Z0

x��1e�x dx

1A0@ +1Z0

y��1e�y dy

1A =

+1Z0

Z 1

0

x��1y��1e�(x+y) dxdy

Efectuemos una primera transformación

u =x

x+ y=) u (x+ y) = x

=) ux+ yu = x

=) x (1� u) = yu=) x = yu (1� u)�1

derivandodx

du= y (1� u)�1 � (1� u)�2 yu (�1)

=y

(1� u) +yu

(1� u)2

=y

(1� u)2

dx =y

(1� u)2du ; u 2 (0; 1)

71

también

u =x

x+ y=) x+ y =

x

u

=) x+ y =yu (1� u)�1

u=

y

1� upor tanto

� (�) � (�) =

+1Z0

1Z0

�yu

1� u

���1y��1e

� y1�u

y

(1� u)2dudy

=

+1Z0

1Z0

y��1u��1y��1

(1� u)��1e� y1�u

y

(1� u)2dudy

=

+1Z0

1Z0

y�+��1u��1

(1� u)�+1e� y1�u dudy

pero la variable y no es Beta, por lo cual haremos una segunda transformación,sea

v =y

1� u =) y = v (1� u)

dy

dv= 1� u =) dy = (1� u) dv ; v 2 (0;+1)

entonces

� (�) � (�) =

+1Z0

1Z0

[v (1� u)]�+��1 u��1

(1� u)�+1e�v du (1� u) dv

=

+1Z0

1Z0

v�+��1 (1� u)�+��1 u��1 (1� u)(1� u)�+1

e�v dudv

=

+1Z0

1Z0

v�+��1 (1� u)�+� u��1

(1� u)�+1e�v dudv

=

+1Z0

1Z0

v�+��1 (1� u)��1 u��1e�v dudv

=

+1Z0

v�+��1e�v dv

| {z }�(�+�)

1Z0

u��1 (1� u)��1 du

= � (�+ �)

1Z0

u��1 (1� u)��1 du

72

al despejar1Z0

u��1 (1� u)��1 du = � (�) � (�)

� (�+ �)

volviendo nuevamente a nuestro primer problema, tenemosZ +1

�1f (x) dx =

Z 1

0

� (�+ �)

� (�) + � (�)x��1 (1� x)��1 dx

=� (�+ �)

� (�) + � (�)

Z 1

0

x��1 (1� x)��1 dx

=� (�+ �)

� (�) + � (�)

� (�) � (�)

� (�+ �)= 1

con lo cual, se ha demostrado que la función Beta constituye realmente una funciónde probabilidad.

Media y varianza

Por de�nición

E (X) =

1Z0

xf (x) dx =

1Z0

x

"x��1 (1� x)��1

B (�; �)

#dx

=

1Z0

x� (1� x)��1

B (�; �)dx =

1

B (�; �)

1Z0

x� (1� x)��1 dx

=

� (�+ 1)� (�)

� (�+ 1 + �)

B (�; �)=� (�+ 1)� (�)

� (�+ � + 1)

� (�+ �)

� (�) � (�)

=�� (�) � (�+ �)

(�+ �) � (�+ �) � (�)

=�

�+ �

para calcular la varianza, utilizamos la fórmula

V (X) = E�X2�� [E (X)]2

entonces

E�X2�=

1Z0

x2f (x) dx =

1Z0

x2

"x��1 (1� x)��1

B (�; �)

#dx

=1

B (�; �)

1Z0

x�+1 (1� x)��1 dx

=B (�+ 2; �)

B (�; �)

73

entonces

E�X2�=

� (�+ 2)� (�)

� ((�+ �) + 2)

� (�+ �)

� (�) � (�)

=(�+ 1)� (�+ 1)� (�) � (�+ �)

� (�) � (�) (�+ � + 1)� (�+ � + 1)

=(�+ 1)�� (�) � (�) � (�+ �)

� (�) � (�) (�+ � + 1) (�+ �) � (�+ �)

=� (�+ 1)

(�+ � + 1) (�+ �)

luego

V (X) = E�X2�� [E (X)]2

=� (�+ 1)

(�+ � + 1) (�+ �)��

�

�+ �

�2=

� (�+ 1) (�+ �)� �2 (�+ � + 1)(�+ �)2 (�+ � + 1)

=�2 + �3 + �� + �2� � �2 � �3 � �2�

(�+ �)2 (�+ � + 1)

=��

(�+ �)2 (�+ � + 1)

Distribución Weibull

Una variable aleatoria continua X tiene una distribución de probabilidad Weibullsi y sólo si, su función de probabilidad está dada por

f (x) =

�abxb�1e�ax

bsi x > 0

0 x � 0

Media y varianza

Por de�nición

E (X) =

Z +1

0

xf (x) dx =

Z +1

0

xhabxb�1e�ax

bidx = ab

Z +1

0

xbe�axb

dx

realizando un cambio de variable, se obtiene

u = axb

bpu = b

pax =) x = b

ru

a

dx =

1

bu1=b�1

a1=bdu

74

sustituyendo en la integral dada, obtenemos

E (X) = ab

Z +1

0

�b

ru

a

�be�u

1

bu1=b�1

a1=bdu

= a�1=bZ +1

0

�ua

�e�u u1=b�1du

= a�1=bZ +1

0

e�u u1=bdu

pero

� (�) =

Z +1

0

u��1e�u du

por tanto

�

�1 +

1

b

�=

Z +1

0

u1=be�u du

por tanto

E (X) = a�1=bZ +1

0

e�u u1=bdu

= a�1=b�

�1 +

1

b

�para calcular la varianza, utilizamos la fórmula

V (X) = E�X2�� [E (X)]2

pero

E�X2�=

Z +1

0

x2f (x) dx

=

Z +1

0

x2habxb�1e�ax

bidx

= ab

Z +1

0

xb+1e�axb

dx

75

= ab

Z +1

0

xbxe�axb

dx

= ab

Z +1

0

�b

ru

a

�bb

ru

ae�u

1

bu1=b�1

a1=bdu

= ab

Z +1

0

�ua

�1+1=be�u

1

bu1=b�1

a1=bdu

=a

a1=b

Z +1

0

�ua

�1+1=be�uu1=b�1 du

=a

a1=ba1+1=b

Z +1

0

u1+1=be�uu1=b�1 du

= a�2=bZ +1

0

u2=be�u du

= a�2=b�

�1 +

2

b

�por tanto:

V (X) = E�X2�� [E (X)]2

= a�2=b�

�1 +

2

b

���a�1=b�

�1 +

1

b

��2= a�2=b

��

�1 +

2

b

�� �2

�1 +

1

b

��Distribución Triangular

Una variable aleatoria continua X tiene una distribución de probabilidad trian-gular si y sólo si, su función de probabilidad está dada por

f (x) =

8><>:2

(b� a) (m� a) (x� a) si a � x � m2

(b� a) (b�m) (b� x) si a � x � m

donde m es la moda.

76

Media y varianza

Por de�nición

E (X) =

Z +1

0

xf (x) dx =

Z m

a

2

(b� a) (m� a)x (x� a) dx+Z b

m

2

(b� a) (b�m)x (b� x) dx

=2

b� a

��2m2 �ma� a26 (m� a)

�+

�b2 +mb� 2m2

6 (b�m)

��

=b2 +mb�ma� a2

3 (b� a)

=a+m+ b

3

para calcular la varianza, utilizamos la fórmula

V (X) = E�X2�� [E (X)]2

entonces

E�X2�=

Z m

a

2

(b� a) (m� a)x2 (x� a) dx+

Z b

m

2

(b� a) (b�m)x2 (b� x) dx

=2

b� a

��3m4 � 4ma3 + a412 (m� a)

�+

�b4 � 4mb3 + 3m4

12 (b�m)

��

=2

b� a

��m3 � am2 �ma2 � a3

12

�+

�b3 + bm2 +mb2 �m3

12

��

=2

b� a

�b3 + bm2 +mb2 � am2 �ma2 � a3

12

�

=a2 + am+ ab+ bm+ b2 +m2

6

Por tanto

V (X) = E�X2�� [E (X)]2

=a2 + am+ ab+ bm+ b2 +m2

6��a+m+ b

3

�2=

a2 � am� ab� bm+ b2 +m2

18

=(b� a)2 � (b�m) (m� a)

18

77

CAPÍTULO IVPruebas Estadísticas no Paramétricas

Prueba de los promedios

La función de probabilidad más simple es la distribución uniforme que se carac-teriza por ser constante en el intervalo (0,1) y cero fuera de él. También se le llamaDistribución Rectangular

Matemáticamente, la función de densidad de probabilidad es

f (x) =

�1 si 0 � x � 10 si x < 0 ; x > 1

En esta expresión x es una variable aleatoria de�nida en (0,1).

El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria uniformemente distribuídaen (0; 1) están dadas por las siguientes expresiones

E (x) =1

2

V ar (x) =1

12

Conociendo los parámetros de la distribución uniforme, es posible plantear unaprueba de hipótesis de promedios, con la cual se trata de probar que los númerospseudoaleatorios generados provienen de un universo uniforme con media 0:5: Másespecí�camente, una prueba de hipótesis de promedios puede ser planteada de lasiguiente forma

Ho : � =1

2

H1 : � 6= 1

2

La realización de esta prueba requiere obtener una muestra de tamaño N; esdecir, es necesario generar N números pseudoaleatorio, donde su promedio aritméticoes evaluado mediante

x =U1 + U2 + � � �+ Un

N

posteriormente se determina el valor del estadístico

Z0 =(x� �)

pNp

V ar (x)

78

SijZ0j < Z�=2

entonces no se puede rechazar la hipótesis de que los números pseudoaleatoriosgenerados provienen de un universo uniforme.

Ejemplo :

Consideremos los 100 números pseudoaleatorios presentado en la Tabla 1. Paraéstos números, la media aritmetica resulta ser 0:48234 y el estadístico Z0 resulta ser

Z0 =(x� �)

pNp

V ar (x)

=(0:48234� 0:5)

p100r

1

12

= �0:611760345233327

Supongamos un nivel de signi�cancia del 5%; entonces Z�=2 = 1:96 y puesto que

j�0:611760345233327j < 1:96

0:611760345233327 < 1:96

entonces no se puede rechazar la hipótesis de que éstos números provengan de unadistribución uniforme.

Prueba de Frecuencias

Esta constituye una de las pruebas más importantes sobre aleatoriedad de losnúmeros pseudoaleatorio. Consiste en dividir el intervalo (0; 1) en n subintervalos,para luego comparar en cada subintervalo la frecuencia esperada con la frecuenciaobservada. Si estas frecuencias son bastantes similares, entonces la muestra provienede una distribución uniforme. El estadístico utilizado por ésta prueba es X2

0 ; el cualse obtiene de acuerdo a la expresión

X20 =

nXi=1

(FOi � FEi)2

FEi

donde

FOi = Frecuencia observada del i subintervalo

FEi = Frecuencia esperada del i subintervalo�N

n

�N = Tamaño de la muestran = Número de subintervalos

79

este estadístico X20 se compara con X

2�;(n�1) la cual representa a una variable

aleatoria Chi-Cuadrada con (n� 1) grados de libertad y un nivel de signi�cado �: SiX20 < X

2�;(n�1) entonces no se puede rechazar la hipótesis de que la muestra proviene

de una distribución uniforme.

Un esquema grá�co para la partición del intervalo unidad y de aparición de lasfrecuencias observadas y esperadas es

Frecuencia EsperadaN

n

N

n� � � N

n

N

n

Frecuencia Observada FO1 FO2 � � � FOn�1 FO2

Subintervalos1

n

2

n� � � n� 1

n

n

n

Ejemplo

Consideremos los 100 números pseudoaleatorios presentado en la Tabla 1. Tam-bién consideremos que el número de subintervalos es 5; es decir, n = 5: Para este valorde n; la frecuencia esperada de cada subintervalo es 20 y la frecuencia observadas son

Frecuencia Esperada 20 20 20 20 20

Frecuencia Observada 21 22 19 23 15

Subintervalos1

5

2

5

3

5

4

5

5

5

entonces el valor del estadístico es

X20 =

nXi=1

(FOi � FEi)2

FEi

=1

20

�(21� 20)2 + (22� 20)2 + (19� 20)2 + (23� 20)2 + (15� 20)2

= 2

Supongamos un nivel de signi�cancia del 5%; entonces X20:05;4 = 9:49 y puesto

que2 < 9:49

entonces no se puede rechazar la hipótesis de que estos números provengan de unadistribución uniforme.

80

Prueba de Serie

La prueba de series se utiliza para comprobar el grado de aleatoriedad entrenúmeros sucesivos. Usualmente esta prueba consiste en formar pareja de números,las cuales son consideradas como coordenadas en un cuadrado unitario dividido enn2 celdas.

La prueba de series consiste en generar n números pseudoaleatorios de los cualesse forman parejas aleatorias entre Ui y Ui+1. En seguida se determina la celda a quepertenece cada pareja ordenada.

La frecuencia esperada de cada una de las celdas se obtiene al dividir el totalde parejas coordenadas (N � 1) por el total de celdas (n2). Finalmente, conocida lafrecuencia observada y esperada de cada celda se obtiene el estadístico

X20 =

n2

N � 1

nXi=1

nXj=1

�FOij �

N � 1n2

�2donde FOij es la frecuencia observada de la celda ij:

Si X20 < X2

�;n2�1 entonces no se puede rechazar la hipótesis de que los númerospseudoaleatorios provienen de una distribución uniforme.

Ejemplo

Consideremos los 100 números pseudoaleatorios presentado en la Tabla 1 Tam-bién consideremos que el número de subintervalos es n = 5: Los datos re�ejadosmediante esta prueba son

1 3 3 3 4 2

0:8 4 5 5 6 2

0:6 3 3 2 6 5

0:4 5 5 4 4 4

0:2 6 6 5 2 2

0:2 0:4 0:6 0:8 1

entonces el valor del estadístico es

X20 =

n2

N � 1

nXi=1

nXj=1

�FOij �

N � 1n2

�2=

25

99

�5 (2� 3:96)2 + 5 (3� 3:96)2 + 5 (4� 3:96)2 + 6 (5� 3:96)2 + 4 (6� 3:96)2

= 11:8585858585859

81

Supongamos un nivel de signi�cancia del 5%; entonces X20:05;24 = 36:4 y puesto

que11:9 < 36:4

entonces no se puede rechazar la hipótesis de que éstos números provengan de unadistribución uniforme.

Prueba de Kolmogorov-Smirnov

Prueba la hipótesis de que la distribución acumulada de una variable aleatoriax es F0 (x). Para probar ésta hipótesis, una muestra de tamaño n es obtenida deuna distribución continua F (x) ; luego se determina la distribución acumulada dela muestra, la cual se denota por Fn (x) : Posteriormente Fn (x) es comparada conla distribución acumulada hipotética F0 (x) : Si Fn (x) di�ere demasiado de F0 (x) ;entonces esto es una amplia evidencia de que Fn (x) no es igual a F0 (x) :

La aplicación de esta prueba al caso de números pseudoaleatorios uniformes, puedeser descrita en los siguientes pasos :

1. Generar n números pseudoaleatorios uniformes

2. Ordenar dichos números en orden ascendentes

3. Calcular la distribución acumulada de los números generados con la expresión

Fn (x) =i

n

donde i es la posición que ocupa el número X en el vector obtenido en el paso2.

4. Calcular el estadístico Kolmogorov-Smirnov

Dn = max jFn (Xi)� F0 (Xi)j ; 8 Xi; 8 n

El valor de Dn se toma sobre todos los valores de la muestra, realizando ladiferencia entre el valor de la distribución acumulada y el valor de la distribuciónacumulada hipotética y sobre esto, se toma el máximo de todas las diferenciascalculadas.

5. Si Dn < d�;n entonces no se puede rechazar la hipótesis de que los númerosgenerados provienen de una distribución uniforme.

El valor representado en d�;n se localiza en una tabla estadística que re�ejadistintos valores del nivel de signi�cancia respecto al tamaño de la muestra.Esta tabla se llama distribución del estadístico de Kolmogorov - Smirnov.

82

Ejemplo

Consideremos los 100 números pseudoaleatorios presentado en la Tabla 1: Alcalcular el valor del estadístico, se obtiene

Dn = max j0:89� 0:83358j= 0:05642

Supongamos un nivel de signi�cancia del 5%; entonces d(0:05; 100) = 0:134 y puestoque Dn < d�;n ; es decir

0:05642 < 0:134

entonces no se puede rechazar la hipótesis de que éstos números provengan de unadistribución uniforme.

Prueba de las Corridas

Existen dos versiones de la prueba de las corridas : La prueba de corridas arribay abajo del promedio y la prueba de corridas arriba y abajo.

Prueba de corridas arriba y abajo del promedio

En esta versión de la prueba de las corridas, una sucesión de números pseudoaleato-rios U1; U2; � � � ; UN es generada. En seguida una sucesión binaria es obtenida, en lacual el i�ésimo término es 0 si Ui < 0:5 y 1 si Ui > 0:5:

Una vez obtenida la secuencia binaria, el siguiente paso es determinar la cantidadde veces que una misma longitud de corrida se repite ( frecuencia observada de la cor-rida de longitud i ). Una sucesión de i ceros (unos) enmarcadas por unos (ceros) enlos extremos, representa una corrida de longitud i: El número total esperado de corri-das y el número esperado por cada tamaño de corrida, se obtienen con las siguientesexpresiones

E (Total de corridas) =N + 1

2;

FEi =N � i+ 32i+1

Donde :

N : Representa el total de elementos generados de números pseudoaleatorios.

i : Representa la longitud de la corrida

Estas frecuencias esperadas son comparadas con las observadas a través de una dis-tribución Chi-Cuadrada y una decisión sobre la aleatoriedad de los números pseudoaleato-rios generados es tomada.

83

Prueba de corridas arriba y abajo

En esta versión de la prueba de las corridas, una sucesión de números pseudoaleato-rios U1; U2; � � � ; UN es generada y al igual que la prueba anterior, una sucesión binariaes obtenida, en la cual el i�ésimo término es 0 si Ui < Ui+1 y 1 si Ui > Ui+1: Una vezobtenida la secuencia binaria, se sigue el mismo procedimiento descrito anteriormentey se obtiene la frecuencia observada para cada tamaño de corrida. El número totalesperado de corridas y el número esperado por cada tamaño de corrida, se obtienencon las siguientes expresiones

E (Total de corridas) =2N � 13

FEi =

8>>>>><>>>>>:2

�(i2 + 3i+ 1)N � (i3 + 3i2 � i� 4)

(i+ 3)!

�si i < N � 1

2

N !si i = N � 1

Donde

N : Representa el total de elementos generados de números pseudoaleatorio.

i : Representa la longitud de la corrida

Finalmente, el estadístico X0 se determina de acuerdo a la expresión

X20 =

nXi=1

(FOi � FEi)2

FEi

donde n es el número de términos de la ecuación. Es importante señalar que en elcálculo del estadístico X2

0 , la frecuencia esperada para cada tamaño de corrida debeser mayor o igual a cinco. Si las frecuencias esperadas por corridas de tamaño grandeson menores que 5, tales frecuencias se deben de agrupar con las adyacentes de talmodo que la frecuencia esperada de los tamaño de corrida sea de al menos 5.

Ejemplo

Consideremos los 100 números pseudoaleatorios presentado en la Tabla 1: Paraéstos números, la secuencia binaria que resulta es la siguiente

0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1

0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0

1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0

1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0

0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0

84

A partir de esta secuencia binaria, obtenemos las frecuencias observadas para cadatamaño de corrida

Tama~no deCorrida

FrecuenciaObservada

FrecuenciaEsperada

1 41 41:72 11 18:13 8 5:144 2 1:15 1 0:19

Al calcular el valor del estadístico, se obtiene

X20 =

nXi=1

(FOi � FEi)2

FEi

=(41� 41:7)2

41:7+(11� 18:1)2

18:1+(11� 6:43)2

6:43= 6:04

Supongamos un nivel de signi�cancia del 5%; entonces X20:05;2 = 5:99 y puesto

que X20 > X

20:05;2; es decir

6:04 > 5:99

entonces se rechaza la hipótesis de uniformidad de los números pseudoaleatoriosconsiderados.

Nota :

En todas las pruebas de aleatoriedad anteriormente se aceptaba el hecho de quelos números pseudoaleatorios generados provenian de una distribución uniforme, sinembargo, estos mismos datos, no superan la prueba de las corridas. esto nos dice queuna sucesión de números pseudoaleatorios no tiene porque superar todos los test dealeatoriedad existentes.

85

CAPÍTULO VGeneración de Variables Aleatorias no Uniformes

En todo modelo de simulación estocásticos, existen una o varias variables aleato-rias interactuando. Generalmente, estas variables siguen distribuciones de probabili-dad teóricas o empíricas diferentes a la distribución uniforme. Para simular este tipode variables, es necesario tener un generador de números uniformes y una función quea través de un método especi�co, transforme estos números en valores de una dis-tribución de probablidad deseada. Existen varios métodos para lograr este objetivo,entre ellos, se encuentran :

1. Método de la Transformada Inversa

2. Método de Rechazo

3. Método de Composición

Generación de variables aleatorias discretas

Método de la Transformada Inversa

Utiliza la distribución acumulada F (x) de la distribución que se va a simular.Puesto que F (x) está de�nida en el intervalo (0; 1) ; se puede generar un númeroaleatorio uniforme U y tratar de determinar el valor de la variable aleatoria para lacual su distribución acumulada es igual a U; es decir, el valor simulado de la variablealeatoria que sigue una distribución de probabilidad f (x) ; la cual se determina alresolver la ecuación

F (x) = U () x = F�1 (U)

La di�cultad principal de este método descansa en el hecho de que en algunasocasiones es difícil de encontrar la transformada inversa. Sin embargo, si esta funcióninversa ya ha sido establecida, generando números aleatorios uniformes se podránobtener valores de la variable aleatoria que sigan la distribución de probabilidaddeseada.

Matemáticamente, el problema se plantea de esta manera : Queremos generar elvalor de una variable aleatoria discreta X con una función de probabilidad

P fX = xjg = pj ; j = 0; 1; 2; � � �Xj

pj = 1

86

entonces generamos un número aleatorio U de forma que esté distribuído uni-formemente en (0; 1) y sea

X =

8>>>>>>>><>>>>>>>>:

x0 si U < p0x1 si p0 � U < p0 + p1...

x0 si

j�1Xi=1

pi � U <jXi=1

pi

...

comoP (a � U < b) = b� a

para 0 < a < b < 1; tenemos que

P fX = xjg = P

(j�1Xi=1

pi � U <jXi=1

pi

)= pj

y entonces X tiene la distribución deseada.

Lo anterior en forma algorítmica se puede expresar así :

1. Generar un número aleatorio U:

2. Si U < p0 hacer x = x0 y terminar

3. Si U < p0 + p1 hacer x = x1 y terminar

4. Si U < p0 + p1 + p2 hacer x = x2 y terminar

5....

De aquí, podemos deducir que si los xi; i � 0; están ordenados de modo quex0 < x1 < x2 < � � � y si F denota la función de distribución de X; entonces

F (xk) =

kXj=0

pj

y entonces X será igual a xj si F (xj�1) � U < F (xj) :

En otras palabras, después de generar un número aleatorio U determinamos elvalor de X hallando el intervalo (F (xj�1) ; F (xj)) en el que está U ( o de formaequivalente hallando la inversa de F (U) ). Es por esta razón que se llama el métodode la transformada inversa.

87

Ejemplo ( Distribución Genérica ) :

Si queremos generar una variable aleatoria X tal que

p1 = 0:20p1 = 0:15p1 = 0:25p1 = 0:40

dondepj = P fX = jg

entonces podemos generar U y hacer

U < 0:20 =) X = 1U < 0:35 =) X = 2U < 0:60 =) X = 3U � 0:60 =) X = 4

Sin embargo, un procedimiento más e�caz es

U < 0:40 =) X = 4U < 0:65 =) X = 3U < 0:85 =) X = 2U � 0:85 =) X = 1

Ejemplo : ( Distribución Uniforme )

Como la variable aleatoria sigue una distribución de probabilidad, entonces necesi-tamos generar el valor deX entre los valores 1; 2; � � � ; n cada uno igualmente probable.

Es decir, P fX = jg = 1

n; j = 1; 2; � � � ; n: El resultado anterior implica que

podemos lograr esto al generar U y luego hacer X = j si

j � 1n

� U < j

n

por lo tanto, X será igual a j si

j � 1 � nU < j

lo que equivale aX = Ent (nU) + 1

donde Ent (X) represente la parte entera de x ( mayor entero � x )

88

Ejemplo : ( Distribución Poisson )

Se desea generar números aleatorios que sigan una distribución probabilística dePoisson

f (x) =e�55x

x!; x = 0; 1; 2; 3; � � �

puesto que esta distribución es discreta, es necesario evaluar f (x) por cada valorde x y entonces determinar la distribución acumulada F (x) : De acuerdo a esto, sepresenta la tabla que contiene la distribución de probabilidad como la distribuciónacumulada:

x f (x) F (x)0 0:0067 0:00671 0:0337 0:04042 0:0842 0:12463 0:1404 0:26504 0:1755 0:44055 0:1755 0:61606 0:1462 0:76227 0:1044 0:86668 0:0653 0:93199 0:0363 0:968210 0:0181 0:986311 0:0082 0:994512 0:0034 0:997913 0:0013 0:999214 0:0005 0:999715 0:0002 0:9999

La transformada inversa de la funcióne�55x

x!es:

Si 0:0000 � U < 0:0067 Entonces x = 0Si 0:0067 � U < 0:0404 Entonces x = 1Si 0:0404 � U < 0:1246 Entonces x = 2Si 0:1246 � U < 0:2650 Entonces x = 3Si 0:2650 � U < 0:4405 Entonces x = 4Si 0:4405 � U < 0:6160 Entonces x = 5Si 0:6160 � U < 0:7622 Entonces x = 6Si 0:7622 � U < 0:8666 Entonces x = 7Si 0:8666 � U < 0:9319 Entonces x = 8Si 0:9319 � U < 0:9682 Entonces x = 9Si 0:9682 � U < 0:9863 Entonces x = 10Si 0:9863 � U < 0:9945 Entonces x = 11Si 0:9945 � U < 0:9979 Entonces x = 12Si 0:9979 � U < 0:9992 Entonces x = 13Si 0:9992 � U < 0:9997 Entonces x = 14Si 0:9997 � U < 0:9999 Entonces x = 15

89

La distribución acumulada de esta distribución es:

F (x) =

Z x

0

t dt =x2

2si 0 � x � 1

F (x) =1

2+

Z x

0

1

2dt =

x

2si 1 < x � 2

puesto que la acumulada de la función tiene un valor de1

2cuando x = 1; entonces

el valor de la variable aleatoria x se determina de acuerdo a la siguiente expresión

x =

8><>:p2U si U � 1

2

2U si U >1

2

Ejemplo : ( Distribución Poisson )

La variable aleatoria X es Poisson con media � si

px =e���x

x!; x = 0; 1; 2; 3; � � �

La clave por aplicar el método de la transformada inversa es considerar la identidad

px+1 =�

x+ 1px

al aprovechar esta forma recursiva, el algorítmo de la transformada inversa, tomala forma :

1. Generar un número aleatorio U

2. x = 0 ; p = e�� ; F = p

3. Si U � F entonces X = i y terminar

4. p =�p

x+ 1; F = F + p ; x = x+ 1

5. Volver al paso 3

Aqui el valor de x se re�ere al valor en cuestión, p = px es la probabilidad de queX sea igual a x y F = F (x) es la probabilidad de que X sea menor o igual a x:

Si se aplica el algorítmo anterior con el valor de � = 5 se obtienen la mismastablas anteriores.

90

Ejemplo : ( Distribución Binomial )

La variable aleatoria X es Binomial con parámetros n y p si

px =

�n

x

�px (1� p)n�x ; x = 0; 1; 2; � � � ; n

La clave por aplicar el método de la transformada inversa es considerar la identidad

px+1 =n� xx+ 1

p2

1� p

al aprovechar esta forma recursiva, el algorítmo de la transformada inversa, tomala forma :

1. Generar un número aleatorio U

2. x = 0 ; c =p

1� p ; pr = (1� p)n ; F = pr

3. Si U < F entonces X = i y terminar

4. pr =�c (pr)

(n� x)x+ 1

�; F = F + pr ; x = x+ 1

5. Volver al paso 3

Aqui el valor de x se re�ere al valor en cuestión, pr es la probabilidad de que Xsea igual a x y F = F (x) es la probabilidad de que X sea menor o igual a x:

Ejemplo : ( Distribución Geométrica )

La variable aleatoria X es Geométrica con parámetro p si

px = p (1� p)x�1 ; x � 1

se puede pensar que X representa el tiempo del primer éxito, cuando se realizanensayos independientes, de los que cada uno es un éxito con probabilidad p:

Como

n�1Xx=1

P fX = xg = 1� P fX > n� 1g

= 1� P fprimeros n� 1 ensayos sean todos fracasosg= 1� (1� p)n�1 ; n � 1

podemos generar el valor de X al generar un número aleatorio U y hacer X igualal valor de n por el cual

1� (1� p)n�1 � U < 1� (1� p)n

91

o en forma equivalente, por el cual

(1� p)n < 1� U � (1� p)n�1

es decir, podemos de�nir X como

X = min fn : qn < 1� ug

realizando algunas transformaciones algebraicas, se tiene

X = min fn : n ln q < ln (1� u)g

= min

�n : n >

ln (1� U)ln q

�lo cual es equivalente a

X = Ent

�ln (1� U)ln q

�+ 1

�nalmente, al observar que 1�U está distribuída uniformemente en (0; 1) ; se tiene

X = Ent

�ln (U)

ln q

�+ 1

que también es geométrica con parámetro p

Generación de variables aleatorias continuas

Para el caso de variable aleatoria continua, se utiliza el siguiente teorema :

Teorema :

Sea U una variable aleatoria uniforme en (0; 1) : Para cualquier función de dis-tribución continua F; invertible, la variable aleatoria X de�nida como

X = F�1 (U)

tiene distribución F:

Demostración :

Sea FX la función de distribución de X = F�1 (U) ; entonces

FX (x) = P fX � xg= P

�F�1 (U) � x

Como F es una función de distribución, se tiene que F (x) es una función monótona

creciente de x y por lo tanto la desigualdad a � b es equivalente a la desigualdadF (a) � F (b) ; entonces

FX (x) = P�F�F�1 (U)

�� F (x)

= P fU � F (x)g= F (x)

92

ya que U es uniforme en (0; 1)

La proposición anterior muestra entonces que para generar una variable aleatoriaX a partir de la función de distribución continua F; generamos un número aleatorioU y hacemos

X = F�1 (U)

Ejemplo :

Supongamos que queremos generar una variable aleatoria X con función de dis-tribución

F (x) = xn ; 0 < x < 1

Si hacemos x = F�1 (U) entonces

U = F (x) = xn

o en forma equivalentex =

npU

es decir, para generar dicha variable aleatoria X generamos un número aleatorioU y luego hacemos X = n

pU

Ejemplo :

Si X es una variable aleatoria exponencial con razón 1, entonces su función dedistribución está dada por

F (x) = 1� e�x

si hacemos x = F�1 (U) entonces

U = F (x) = 1� e�x

o bien1� U = e�x

al aplicar logaritmox = � log (1� U)

Observemos que si 1 � U es uniforme en (0; 1) ; entonces � log (1� U) tiene lamisma distribución que � logU; es decir, el negativo del logaritmo de un númeroaleatorio se distribuye exponencialmente con razón 1:

Más general, es el siguiente :

Ejemplo : ( Distribución exponencial )

Se desea generar números aleatorios que sigan una distribución probabilística ex-ponencial

f (x) =

��e��x si x � 00 si x < 0

93

La distribución acumulada es

F (x) =

Z x

0

�e��t dt

= 1� e��x

Igualando la distribución acumulada con el número uniforme, se obtiene

1� e��x = U

e��x = 1� U

pero si U sigue una distribución uniforme, entonces 1 � U también sigue estadistribución. Por consiguiente

e��x = U

x = �1�lnU

Ejemplo : ( Distribución Uniforme Continua)

Se desea generar números aleatorios que sigan una distribución probabilística uni-forme

f (x) =

( 1

b� a si a � x � b0 si a > x > b

La distribución acumulada es

F (x) =

Z x

a

1

b� a dt

=x� ab� a

Igualando la distribución acumulada con el número uniforme, se obtienex� ab� a = U

x = a+ (b� a)U

Técnica de aceptación y rechazo

Supongamos que tenemos un método e�ciente para simular una variable aleato-ria con función de probabilidad fqj; j � 0g : Podemos emplearlo como la base parasimular a partir de una distribución que tiene función de probabilidad fpj; j � 0gprimero simulando una variable aleatoria Y con probabilidad qj y luego aceptar este

valor simulado con una probabilidad proporcional apjqj:

Especí�camente, sea c una constante tal quepjqj� c ; 8 j ; pj > 0

entonces, el método de rechazo consiste en:

94

1. Simular el valor de Y; con función de probabilidad qj

2. Generar un número aleatorio U

3. Si U <pjcqj

hacer X = Y y terminar. En caso contrario volver al paso 1:

Teorema :

El algorítmo de aceptación y rechazo genera una variable aleatoria X tal que

P fX = jg = pj ; j = 0; 1; 2; � � �

además, el número de iteraciones del algorítmo necesarias por obtener X es unavariable aleatoria geométrica con media c:

Demostración :

Determinemos la probabilidad de que una única iteración produzca el valor acep-tado j

P fX = j; aceptadag = P fX = jgP faceptada j Y = jg= qj

pjcqj

=pjc

al sumar sobre j se obtiene la probabilidad de que una variable aleatoria generadasea aceptada

P faceptadag =Xj

pjc=1

c

Xj

pj =1

c(1) =

1

c

como cada iteración produce de manera independiente un valor aceptado con

probabilidad1

c; vemos que el número de iteraciones necesarias es una distribución

com media c: Además

P fX = jg =Xn

P ( j aceptada en la iteraci�on n )

=Xn

�1� 1

c

�n�1pjc

= pj

Ejemplo :

Supongamos que queremos generar una variable aleatoria con la densidad gamma�3

2; 1

�;

entoncesf (x) = Kx1=2e�x; x > 0

95

donde K =1

�

�3

2

� =2p�: Como esta variable aleatoria está concentrada en el

eje positivo y tiene media3

2; entonces podemos aplicar la técnica de aceptación y

rechazo con una variable aleatoria exponencial con la misma media. Por tanto

g (x) =2

3e�2x=3 ; x > 0

ahoraf (x)

g (x)=3K

2x1=2e�x=3

al derivar e igualar a cero, obtenemos que el valor máximo se obtiene cuando

1

2x�1=2e�x=3 = x1=2e�x=3

es decir, cuando x =3

2; por tanto

c = maxf (x)

g (x)

=3K

2

�3

2

�1=2e�1=2

=

p27p2�e

pues K =2p�

comof (x)

cg (x)=

r2e

3

px e�x=3

vemos que una variable aleatoria gamma�3

2; 1

�se puede generar por :

1. Generar un número aleatorio U1 y hacer Y = �3

2lnU1

2. Generar un número aleatorio U2

3. Si U2 <

r2eY

3e�Y=3 hacer X = Y: En caso contrario, regresar al paso 1.

Ejemplo :

Supongamos que queremos generar una variable aleatoria normal estándar ( media0 y varianza 1 ), entonces

jZj = jf (x)j = 2p2�e�x

2=2 ; 0 < x <1

96

aplicando el método de rechazo en la que g es la funcion de densidad exponencialcon media 1; es decir

g (x) = e�x ; 0 < x <1entonces

f (x)

g (x)=

r2

�ex�x

2=2

y el valor máximo ocurre en el valor de x que maximiza a x�x2=2; es decir, ocurreen x = 1; de modo que podemos considerar

c = max

�f (x)

g (x)

�= max

�f (1)

g (1)

�=

r2e

�

como

f (x)

cg (x)= exp

�x� x

2

2� 12

�= exp

(�(x� 1)

2

2

)esto implica que se obtiene el valor absoluto de una variable aleatoria normal

unitaria por :

1. Generar Y una variable aleatoria exponencial con razón 1

2. Generar un número aleatorio U

3. Si U < exp

(�(Y � 1)

2

2

)hacer X = Y: En caso contrario, regresar al paso 1.

Método de Composición :

Supongamos que tenemos un método e�ciente por simular una variable aleatoriacon una de las dos funciones de probabilidad

�p1j ; j � 0

o�p2j ; j � 0

y queremos

simular el valor de la variable aleatoria X con función de probabilidad

P fX = jg = �p1j + (1� �) p2j ; j � 0 ; 0 < � < 1

Una forma de simular esta variable aleatoria X es observar que si X1 y X2 sonvariables aleatorias con funciones de probabilidad

�p1jy�p2j; entonces la variable

aleatoria X de�nida como

X =

�X1 con probabilidad �X2 con probabilidad 1� �

tiene como función de probabilidad �p1j+(1� �) p2j : esto implica que para generarel valor de esta variable aleatoria primero generamos un número aleatorio U y luegoun valor de X1; si U < � y de X2 si U > �.

97

Ejemplo :

Supongamos que queremos generar el valor de una variable aleatoria X tal que

pj = P fX = jg =�0:05 para j = 1; 2; 3; 4; 50:15 para j = 6; 7; 8; 9; 10

si observamos quepj = 0:5p

1j + 0:5p

2j

donde

p1j = 0:1 ; j = 1; � � � ; 10

p2j =

�0 para j = 1; 2; 3; 4; 50:2 para j = 6; 7; 8; 9; 10

por tanto, generamos un número aleatorio U y despues a partir de la distribuciónuniforme discreta en 1; � � � ; 10, si U < 0:5 y de la distribución uniforme discreta en6; 7; 8; 9; 10 en caso contrario. Podemos simular la variable aleatoria X por :

1. Generar un número aleatorio U1

2. Generar un número aleatorio U2

3. Si U1 < 0:5 hacer X = Ent (10U2) + 1: En caso contrario, hacer

X = Ent (5U2) + 6

Ejemplo :

Sea f (x) =3

2x2 para �1 � x � 1; haciendo

p1 =1

2y f (x) = 3x2X[�1;0]

y

p2 =1

2y f (x) = 3x2X[0;1]

entonces las funciones de distribuciones son

F1 (x) =

Z x

�13t2 dt = x3 + 1

F2 (x) =

Z x

0

3t2 dt = x3

entonces

x3 + 1 = U1 ) x = (U1 � 1)1=3

x3 = U2 ) x = 3pU2

de esta manera :

1. Se generan dos números aleatorios U1 y U2

2. Si U1 �1

2entonces x = (U2 � 1)1=3 : En caso contrario, hacemos x = 3

pU2

98

CAPÍTULO VIAplicaciones de Simulación

En capítulos anteriores, se han explicado y analizado los conceptos, teoremas yherramientas requeridas para un estudio de simulación. Por consiguiente, ahora yaestamos preparados por empezar a discutir el papel tan importante que los modelosde simulación juegan en el análisis y estudio de varios tipos de sistemas.

Los modelos de simulación presentan la ventaja de ser manipulados en diferentesformas, que serian imposibles, imprácticas y demasiado costosas si se hicieran a travésde otra metodología. Por ejemplo, se puede simular la operación de un sistema sin queéste aun exista, también se puede a través del uso de simulación determinar el sitiode localización de un almacén, determinar políticas óptimas de inventarios cuando lademanda y el tiempo de entrega son estocásticos, etc.

El presente capítulo, tiene como objetivo presentar una serie de ejemplos, a travésde los cuales se podrá tener una idea de los múltiples usos y de la utilidad que sepuede obtener al utilizar las técnicas de simulación.

Ejemplo #1 : ( Servicios Públicos )

Un centro estatal de examen para licencias de conducir quiere evaluar su operaciónpara una mejora potencial en la atención a sus clientes. Los clientes que llegan entranal edi�cio y toman un número para determinar su lugar en la línea para un examenescrito, que es autoadministrado por uno de los cinco examinadores electrónicos. Lostiempos de la prueba se encuentran distribuidos como EXPO(8); todos los tiemposestán en minutos.

Trece por ciento (13%) de los clientes fallan la prueba. A estos clientes se les da unfolleto de las reglas estatales de manejo para su estudio posterior y dejan el sistema(a pie). Los clientes que pasan la prueba seleccionan una de las dos cabinas donde seles toma su fotografía y se expide la nueva licencia.

Los tiempos de la cabina fotográ�ca son distribuidos como TRIA (2.5, 3.6, 4.3).Las cabinas de fotos tienen líneas separadas y los clientes entran a la línea con elmenor número de clientes esperando en la cola, ignorando si alguna está en servicio;si las líneas son iguales, entran a la cabina más cercana que es la 1.

99

Note que este conjunto de reglas puede originar lo que puede parecer un compor-tamiento irracional del cliente en el caso de que ninguna cabina tenga una cola (estoes, las longitudes de ambas colas son cero), la cabina 1 está ocupada y la cabina 2ociosa; un cliente que llega al área de fotografía escogería formarse en la cola de lacabina 1 (vía la regla de romper el empate, ya que las longitudes de las colas soniguales a cero) en lugar de ir la derecha al servicio en la cabina 2 (¡ellos no puedenver dentro de las cabinas fotográ�cas!).

Luego, estos clientes dejan el sistema (manejando), sosteniendo orgullosamentesus nuevas licencias. El centro está abierto para los clientes que llegan ocho horas aldía, aunque los servicios continúan por una hora más para satisfacer a los que faltan.

El patrón de llegada de los clientes varía durante el día y se resume a continuación:

Hora Llegada por Hora Hora LLegada por Hora

1 22 5 35

2 35 6 43

3 40 7 29

4 31 8 22

Ejecute la simulación por diez días, manteniendo las estadísticas en el númeropromedio de pruebas fallidas por día, examinadores electrónicos y utilización de cabi-nas fotográ�cas (no la utilización para todo el recurso de prueba, pero si utilizacionesseparadas para cada cabina fotográ�ca) número promedio en la cola y tiempo prome-dio de clientes en el sistema para aquellos que pasan el examen escrito.

Solución :

El modelo construido con ARENA es el siguiente

Este diseño contiene los siguientes módulos de �ujos de datos

100

1. Un módulo Create

2. Tres módulos Process

3. Dos módulos Decide

4. Dos módulos Record

5. Dos módulos Dispose

Ahora se mostrarán las diferentes cajas de diálogo, correspondiente a cada uno delos distintos módulo de �ujos de datos

Módulo Create

Módulo Process

Módulo Decide

Módulo Record

101

Módulo Dispose

Los módulos de datos, están referidos por :

1. Un módulo de datos Entity

2. Tres módulos de datos Queue

3. Tres módulos de datos Resource

4. Un módulo de datos Schedule

Módulo de datos Entity

Módulo de datos Queue

Módulo de datos Resource

102

Módulo de datos Schedule

Los resultados de la simulación son :

Número promedio de clientes atendidos 229.30Número promedio de fallas 33.2Utilización del test electrónico 75.43%Utilización de primera cabina fotográ�ca 83.85%Utilización de segunda cabina fotográ�ca 63.17%Número promedio de cliente en la cola 4.6512Número promedio de cliente en la cabina 1 1.7255Número promedio de cliente en la cabina 2 1.3461Tiempo promedio de operación 27.7195 min

Ejemplo # 2 : ( Modelo de Inventario )

Un pequeño almacén proporciona almacenamientos de trabajo en proceso parauna instalación de fabricación que produce cuatro tipos diferentes de partes. Losporcentajes de tipo de parte y los costos de inventarios por parte son :

Costo de InventarioTipo de Parte Porcentaje Por Parte

1 20 $ 5.5

2 30 $ 6.5

3 30 $ 8.0

4 20 $ 10.5

La interpretación de �costo de inventario por parte�es como sigue. Cada partede inventario contribuye con una cantidad de la última columna de la tabla anterioral costo total (valor) del inventario que se mantiene en el momento. Por ejemplo, siel inventario actual es de tres unidades de la parte 1, ninguna de la parte 2, cinco dela parte 3 y una de la parte 4, entonces el costo de inventario actual es

3� $5:50 + 0� $6:50 + 5� 8:00 + 1� $10:50 = $67:00

103

Conforme las partes entran y salen, como se describe a continuación, este costode inventario aumentara y disminuirá.

Las partes arriban con tiempos entre llegadas TRIA (1.5, 2.0, 2.8) (todos lostiempos están en minutos). Dos grúas almacenan y retiran las partes con un tiempo deviaje UNIF (1.2, 2.9) para cada camino. Las peticiones de remoción de partes siguenel mismo patrón que para las llegadas. Si no hay ninguna parte disponible, la peticiónno se llena. Todas las peticiones de partes tiene prioridad sobre los almacenajes y laprioridad se da para recuperarse con base en el costo más alto por parte.

Para las llegadas de partes, aumenta el costo de inventario sobre llegada y elnúmero total de partes en inventario después de que la parte es almacenada. Parapeticiones de partes, disminuya el número total de partes de inventario, tan prontocomo sepa que hay una parte por recuperar, y el costo de inventario después de quela parte sea recuperada.

Ejecute el modelo por 5000 minutos comenzando con cuatro partes de cada tipoen el almacén. Recopile estadísticas en la utilización de grúa, el costo promedio deinventario, el número promedio de cada tipo de parte en el almacén y el número depeticiones sin llenar debido a que no se tienen partes del tipo requerido.

Solución :

El modelo construido con ARENA es el siguiente

Este diseño contiene los siguientes módulos de �ujos de datos

1. Dos módulos Create

2. Cinco módulos Assign

3. Dos módulos Process

104

4. Un módulo Decide

5. Un módulo Record

6. Dos módulos Dispose

Ahora se mostrarán las diferentes cajas de diálogo, correspondiente a cada uno delos distintos módulo de �ujos de datos

Módulo Create

Módulo Assign

Módulo Process

Módulo Decide

Módulo Record

Módulo Dispose

105

Los módulos de datos, están referidos por :

1. Dos módulos de datos Entity

2. Dos módulos de datos Queue

3. Un módulo de datos Resource

4. Cuatro módulos de datos variables

Módulo de datos Entity

Módulo de datos Queue

Módulo de datos Resource

Módulo de datos Variable

Los resultados obtenidos por esta simulación son :

Utilización de la grúa 97.81%Costo promedio de inventario 602.22Promedio de Parte 1 7.1637Promedio de Parte 2 17.5253Promedio de Parte 3 15.1452Promedio de Parte 4 28.4287Solicitudes sin cubrir 74

106

Ejemplo # 3 : (Area de descarga)

Los camiones arriban con tiempos entre llegadas EXPO(9) ( Todos los tiemposestán en minutos ) a una área de descarga que posee tres puertos. Los tiempos dedescarga son TRIA(25; 28; 30) y TRIA(23; 26; 28) y TRIA(22; 25; 27) para los puertos1,2 y 3 respectivamente. Si hay un puerto vacío, el camión procede inmediatamentehacia ese puerto. Suponga cero tiempos de viaje para todos los puertos. Si haymás de un puerto vacío, el camión se coloca de preferencia en el puerto de mayornúmero (3; 2; 1) : Si todos los puertos se encuentran ocupados, escoge el puerto con elnúmero mínimo de camiones en espera. Si hay un empate, se coloca de preferencia enel puerto con menor numeración (1; 2; 3) : Desarrolle un modelo de simulación paraimplementar la lógica de selección. Ejecutar el modelo por 20,000 minutos y recopilarestadísticas de utilización de puertos, números en la cola, tiempo en la cola y el tiempoen el sistema.

Solución :

El modelo construido con ARENA es el siguiente

Este diseño contiene los siguientes módulos de �ujos de datos

1. Un módulo create

2. Dos módulos Decide

3. Tres módulos Assign

4. Tres módulos Seize

5. Tres módulos Delay

6. Tres módulos Release

7. Un módulo Dispose

107

Ahora se mostrarán las diferentes cajas de diálogo, correspondiente a cada uno delos distintos módulo de �ujos de datos

Módulo Create

Módulo Decide

Módulo Assign

Módulo Seize (Advanced Process)

Módulo Delay (Advanced Process)

Módulo Release (Advanced Process)

108

Los módulos de datos, están referidos por :

1. Cuatro módulos de datos entity

2. Tres módulos de datos Queue

3. Tres módulos de datos Resource

Módulo de datos Entity

Módulo de datos Queue

Módulo de datos Resource

Los resultados de una réplica de la simulación son :

Utilización del Muelle 1 96.40%Utilización del Muelle 2 95.18%Utilización del Muelle 3 94.67%Número promedio en la cola del muelle 1 4.8416Número promedio en la cola del muelle 2 4.4987Número promedio en la cola del muelle 3 4.1795Tiempo promedio en la cola del muelle 1 138.32Tiempo promedio en la cola del muelle 2 121.09Tiempo promedio en la cola del muelle 3 108.84Tiempo promedio en el sistema del muelle 1 166.09Tiempo promedio en el sistema del muelle 2 146.88Tiempo promedio en el sistema del muelle 3 133.66

109

Ejemplo #4 : (Teoría de Colas)

La administración quiere estudiar la terminal de una central aeroportuaria con la�nalidad de mejorar. El primer paso es modelarla tal cual está durante las ochos horasde la parte más ocupada de un día laboral típico. Modelaremos solo las operacionesde facturación y seguridad, esto es, una vez que los pasajeros pasan la seguridad seencuentran en su camino hacia su puerta y salen de nuestro modelo.

Los pasajeros llegan uno a la vez a través de la puerta de enfrente del transportede tierra con tiempos entre llegadas distribuidos exponencialmente con media de 0.5minutos (todos los tiempos son en minutos).

De estos pasajeros, 35% van a la izquierda a un mostrador de facturación manualobsoleto, 50% van a la derecha hacia un mostrador de fracturación automatizado y15 % restante no necesita facturar nada y se dirigen directamente de la puerta delfrente hacia el área de seguridad (esto le toma a este último tipo de pasajeros entre3 y 5 minutos, distribuídos uniformemente, para hacer el recorrido de la puerta deentrada a la entrada del área de seguridad; los otros dos tipos de pasajeros se mueveninstantáneamente de su llegada al mostrador de facturación manual o automáticosegún sea el caso).

Hay dos agentes en la estación de facturación manual, abastecidos por una solacola FIFO; los tiempos de facturación manual siguen una distribución triangular entre1 y 5 minutos con una moda de 2 minutos. Después de la facturación manual lospasajeros caminan al área de seguridad, un paseo que les toma entre 2 y 6 minutos,distribuidos uniformemente.

La facturación automática tiene dos estaciones (una estación consiste de un mó-dulo de pantalla táctil y un empleado para tomar las bolsas registradas; vea al par deempleado/kiosco como una unidad uni�cada, es decir, el kiosco y su empleado no sepueden separar), alimentándose por una sola cola FIFO, y los tiempos de facturacióntienen una distribución triangular entre 0.5 y 1.5 con una moda de 1.

Después de la facturación automática los pasajeros caminan al área de seguridady tardan entre 1 y 3 minutos, distribuidos uniformemente, en llegar ahí (los pasajerosde la facturación automática son un poco más rápido que los pasajeros de registromanual en todo).

Finalmente todos los pasajeros de registro llegan al área de seguridad, donde hayseis estaciones alimentadas por una sola cola FIFO; los tiempos de revisión de seguri-dad son de distribución triangular entre 1 y 6 con una moda de 2 (ésta distribucióncaptura todas las posibilidades ahí, como los rayos X del equipaje de mano, caminara través del detector de metales, búsqueda de bolsos, detector de metales de mano,quitarse los zapatos, revisión de computadoras portátiles, etc.).

Una vez que aprueban la revisión de seguridad (todos pasan, aunque a algunosles toma más tiempo que a otros), los pasajeros se dirigen a sus puertas y ya no seencuentran en nuestro modelo.

110

Simule este sistema por un período de 8 horas.y observe las longitudes promediode las colas, tiempos promedio en la cola, utilización de los recursos y el tiempo totalpromedio en el sistema de los pasajeros.

Animar el modelo, incluyendo colas, recursos y pasajeros que caminen hacia elárea de seguridad. Inserte grá�cas que rastreen la longitud de cada una de las trescolas durante la simulación de ocho horas (ya sean tres grá�cas por separado o trescurvas en una única grá�ca.)

Solución :

El modelo construido con ARENA es el siguiente

Este diseño contiene los siguientes módulos de �ujos de datos

1. Tres módulos Create

2. Cuatro módulos Process

3. Un módulo Decide

4. Tres módulos Assign

5. Un módulo Record

6. Un módulo Dispose

7. Cuatro Route (Advanced Transfer)

8. Cinco Station (Advanced Transfer)

Ahora se mostrarán las diferentes cajas de diálogo, correspondiente a cada uno delos distintos módulo de �ujos de datos

111

Módulo Create

Módulo Process

Módulo Decide

Módulo Station

Módulo Route

Módulo Dispose

Los módulos de datos, están referidos por :

1. Tres módulos de datos entity

2. Tres módulos de datos Queue

3. Tres módulos de datos Resource

4. Cuatro módulos Schedule

112

Módulo de datos Entity

Módulo de datos Queue

Módulo de datos Resource

Los resultados de la simulación son :

Longitud promedio de cola en chequeo manual 4.5772Longitud promedio de cola en chequeo automático 0.1413Longitud promedio de cola en recurso seguridad 8.7337Tiempo promedio de cola en chequeo manual 6.1198Tiempo promedio de cola en chequeo automático 0.1592Tiempo promedio de cola en recurso seguridad 4.4967Utilización de la estación chequeo manual 0.9470Utilización de la estación chequeo automático 0.4607Utilización de la estación recurso seguridad 0.9521Tiempo promedio total en el sistema 14.1443

Ejemplo #5: (Sistema de Servicios Alimenticios Comida Rápida)

Una compañía de servicios alimenticio está interesada en observar a su personal enla hora pico de almuerzo, que va de 10 a.m. a 2 p.m. Las personas llegan caminando,en auto, o en un autobús, como sigue:

1. Caminando: Uno a la vez los tiempos entre llegadas son exponenciales conmedia de 3 minutos; la primera persona que llega ocurre EXPO(3) minutosdespués de las 10 am.

2. En auto: Con 1, 2, 3 o 4 personas por auto con probabilidades respectivas0:2; 0:3; 0:3 y 0:2; el tiempo entre llegadas se distribuyen como distribucionesexponenciales con media de 5 minutos; el primer auto llega EXPO(5) minutosdespués de las 10 am.

113

3. Un solo autobús llega cada día a veces entre las 11 a.m. y 1 p.m. (el tiempo dellegada distribuido de manera uniforme en este período). El número de personasen el autobús varía de un día a otro, pero parece seguir una distribución Poissoncon una media de 30 personas.

Una vez que las personas llegan, tanto solas como en grupos de cualquier fuente,funcionan independientes sin importar su proveniencia. La primera parada es con unode los empleados en el mostrador ordenar/pagar, donde ordenar toma TRIA (1, 2, 4)minutos y pagar toma TRIA (1, 2, 3) minutos; éstas dos operaciones son secuenciales,primero se toma la orden luego se paga, por el mismo empleado para un cliente dado.

La siguiente parada es para recoger la comida ordenada, que toma una cantidad detiempo distribuida de manera uniforme entre 30 segundos y 2 minutos. Entonces cadacliente va al comedor que tiene 36 asientos (las personas esperan sentarse en cualquierlugar, no necesariamente con su grupo), y participar de los alimentos sublimes, enlo que se tarda unos TRIA (10, 20, 30) minutos. Después de eso, el cliente caminasatisfechos a la puerta y se va. Está permitido formarse en cada una de las tresestaciones de "servicios� (ordenar/pagar, recoger la comida y el comedor), con unadisciplina FIFO.

Hay un tiempo de viaje EXPO (30) segundos cada estación para todos, exceptopara la puerta de salida. Después de comer, las personas se mueven más despacio,así que el tiempo de viaje desde el comedor hasta la salida es de EXPO (1) minuto.

Los empleados tanto en ordenar/pagar como en recoger la comida tiene un únicoreceso que �comparten�rotándose. Más especí�camente, en 10:50, 12:50 y 1:50, unempleado de cada estación tiene receso de 10 minutos; si la persona que debe ir alreceso en una estación está ocupado en el tiempo de receso, termina de servir al clientepero aun así tiene que estar de vuelta a la hora (así que el receso puede ser un pocomás corto que 10 minutos).

Actualmente, hay seis empleados en la estación ordenar/pagar y dos en la estaciónde recoger la comida durante todo el período de 4 horas. Ya que saben que el autobúsllega a veces durante las dos horas de en medio, están considerando un plan depersonal variable en el que, para la primera y última hora habría tres en la estaciónordenar/pagar y uno en la de recoger la comida, y para las dos horas de en mediohabría nueve en la estación ordenar/pagar y tres en la de recoger la comida (note queel número total de personas por hora en la nómina es el mismo, 32, bajo cualquierade los dos planes: el plan actual de personal o el plan alternativo, así que el costo dela nómina es el mismo)

¿Cuál es el consejo a esta compañía de servicios de alimentos rápidos?

Solución :

114

El modelo construido con ARENA es el siguiente :

Este diseño contiene los siguientes módulos de �ujos de datos :

1. Un módulo Create

2. Tres módulos Process

3. Un módulo Decide

4. Cuatro módulos Station (Advanced Transfer)

5. Tres módulos Route (Advanced Transfer)

6. Un módulo Dispose

Módulo Create

Módulo Process

115

Módulo Decide

Módulo Assign

Módulo Record

Módulo Station

Módulo Route

Módulo Dispose

Los módulos de datos, están referidos por :

1. Un módulo de datos entity

2. Tres módulos de datos Queue

3. Tres módulos de datos Resource

116

Módulo de datos Entity

Módulo de datos Queue

Módulo de datos Resource

Los resultados de la simulación son

Longitud promedio de cola en ordenar/pagar de personal �jo 8.85Longitud promedio de cola en ordenar/pagar de personal variable 5.98Longitud promedio de cola en recoger alimentos de personal �jo 0.86Longitud promedio de cola en recoger alimentos de personal variable 0.80Longitud promedio de cola en área de comedor de personal �jo 0.08Longitud promedio de cola en área de comedor de personal variable 0.54Número máximo de clientes en cola ordenar/pagar de personal �jo 48No. máximo de clientes en cola ordenar/pagar de personal variable 30Número máximo de clientes en cola recoger alimentos de personal �jo 7No.máximo de clientes en cola recoger alimentos de personal variable 7Número máximo de clientes en cola área de comedor de personal �jo 3No.máximo de clientes en cola área de comedor de personal variable 12Tiempo promedio de cola en ordenar/pagar de personal �jo 9.16Tiempo promedio de cola en ordenar/pagar de personal variable 5.46Tiempo promedio de cola en recoger alimentos de personal �jo 0.91Tiempo promedio de cola en recoger alimentos de personal variable 0.83Tiempo promedio de cola en área de comedor de personal �jo 0.08Tiempo promedio de cola en área de comedor de personal variable 0.64Tiempo máximo de clientes en cola ordenar/pagar de personal �jo 32.41Tiempo máx. de clientes en cola ordenar/pagar de pers. var 26.53Tiempo máx. de clientes en cola recoger alimentos de personal �jo 5.08Tiempo máx. de clientes en cola recoger alimentos de pers, var 10.97Tiempo máximo de clientes en cola área de comedor de personal �jo 1.77Tiempo máx. de clientes en cola área de comedor de pers. var 6.22Número de cliente atendidos 207Número de clientes que abandonaron el sistema 196Número de clientes no atendidos 11

117

CAPÍTULO VIIAnálisis Estadístico

Los resultados de una simulación evalúan la e�ciencia u operación de un sistema.Sin embargo, la con�abilidad de estos resultados dependen del número de observa-ciones que se tienen, es decir, la con�abilidad de los resultados obtenidos en un estudiode simulación, depende de la longitud de la corrida y del número de corridas. Porconsiguiente, es necesario determinar intervalos de con�anza para las variables delsistema que se están analizando.

La determinación de intervalos de con�anza depende de si los resultados de lasimulación son independientes o están correlacionados. Por ejemplo, en la simulaciónde un sistema de colas, el tiempo de espera de un cliente en el sistema, depende delnúmero de clientes que este último cliente encontró al llegar al sistema (correlaciónentre ti y ti�1).

También, la obtención de intervalos de con�anza depende de si el sistema se analizaen estado variable o estable. Por consiguiente, el objetivo de este capítulo en analizarla determinación de intervalos de con�anza para las dos situaciones mencionadas, esdecir, para:

1. Sistemas cuyos resultados son independientes uno del otro

2. Sistemas variables con alta correlación en sus resultados.

Para el primer caso se utilizan los métodos tradicionales de intervalos de con�anza,para el segundo, se utiliza simulación regenerativa.

Cuando los sistemas que se analizan se encuentran en estado estable, y además losvalores que toman las variables que interactúan en el sistema son independientes, en-tonces es posible utilizar los procedimientos tradicionales de intervalos de con�anza.En la determinación de estos intervalos de con�anza se utiliza el teorema del límitecentral. Este teorema establece que la suma de n variables aleatorias independientes,obtenidas de un universo con media � y varianza �2, es aproximadamente una dis-tribución normal con media n� y varianza n�2. También, es obvio que a partir deeste teorema la distribución de:

x =1

nX1 +

1

nX2 + � � �+

1

nXn

es una distribución normal con media � y varianza�2

ny por consiguiente

x� ��=pn

118

sigue una distribución normal estándar con media 0 y varianza 1. De acuerdo a estaúltima expresión, y suponiendo un nivel de signi�cado �, el intervalo de con�anza delparámetro � sería:

P

��Z�=2 �

x� ��=pn� Z�=2

�= 1� �

P

�x� �p

nZ�=2 � � � x+

�pnZ�=2

�= 1� �

La expresión anterior establece que el ancho del intervalo de con�anza es

2�Z�=2pn

lo cual signi�ca que el tamaño del intervalo sería más pequeño entre mayor sea elnúmero de observaciones que se tienen de la variable aleatoria X. Por ejemplo, parareducir el intervalo de con�anza a la mitad, es necesario de acuerdo a la expresiónanterior, aumentar cuatro veces el número de observaciones.

En las expresiones anteriores se asume que la varianza es conocida. Sin embargo,en muchos problemas reales la varianza generalmente se desconoce. Para este tipo desituaciones, es posible utilizar el siguiente estimador de la varianza:

s2 =1

n� 1

nXi=1

(xi � x)2

Ahora, si ésta identidad se sustituye en la expresiónx� ��=pnlo que resulta es:

x� �s=pn

lo cual sigue una distribución t con (n� 1) grados de libertad. De acuerdo a estanueva distribución y suponiendo un nivel de signi�cado �, el intervalo de con�anzadel parámetro � sería:

P

�x� sp

ntn�1;�=2 � � � x+

spntn�1;�=2

�= 1� �

el cual de�ne un ancho del intervalo de con�anza de:

2stn�1;�=2pn

119

Ejemplo :

Suponga que la simulación de un proyecto de inversión arrojó los resultados que semuestran en la tabla siguiente. Para estos resultados se desea determinar un intervalode con�anza del 95% (� = 5%) para la tasa interna de rendimiento (TIR).

Puesto que la varianza del universo se desconoce, entonces el intervalo de con�anzapara la TIR, se determina a partir de la expresión :

13:37%� 6:71p100

(1:99)%

13:37%� 1:34%

lo cual de�ne el intervalo (12:03%; 14:71%) ; cuyo ancho es de 2:68%

Tabla 2. Resultados de la simulación de un proyecto de inversión (%)

12 8 5 3 7 5 3 29 27 915 22 7 21 3 15 26 17 8 1318 13 18 17 5 3 4 7 13 1911 16 13 13 9 8 7 13 15 1213 12 14 14 20 22 11 12 18 1117 4 23 8 15 7 18 19 24 1519 24 12 7 18 15 13 8 21 49 17 11 15 21 18 15 28 13 314 19 19 18 4 27 21 4 5 810 21 25 21 7 2 8 9 7 11

Finalmente, conviene señalar que si el ancho del intervalo se.quisiera reducir a1:34%, entonces se necesitaría aumentar a 400 el número de simulaciones de la TIR.

Simulación Regenerativa

La simulación de un sistema estocástico puede ser visto como un experimentoestadístico, donde primero se construye el modelo del sistema, el cual captura laesencia del problema y describe su estructura fundamental en términos de relacionescausa-efecto.

Con la ayuda de una computadora se realizan experimentos y se analizan los resul-tados de la simulación con el propósito de hacer inferencias sobre el comportamientodel sistema. Por consiguiente, los experimentos de simulación son experimentos es-tadísticos y como tales, están basados en procedimientos probabilísticos o estadísticos.

En particular, las técnicas de estimación son útiles en estudios de simulación, puespermiten hacer inferencias estadísticas sobre las variables estocásticas del modelo.

Recientemente, una nueva metodología estadística ha sido desarrollada para analizarlos resultados de una simulación. A esta nueva técnica se Ie conoce con el nombre de

120

"Simulación Regenerativa". este nuevo enfoque se basa en el hecho de que muchossistemas estocásticos se regeneran (empiezan en el mismo punto de partida) a inter-valos regulares de tiempo. esta particularidad permite al analista observar y estudiardurante el curso de la simulación, bloques de datos independientes e idénticamentedistribuídos.

Más generalmente, la simulación regenerativa resuelve los problemas de :

1. ¿Cómo empezar la simulación?

2. ¿Cuándo empezar a colectar datos?

3. ¿Tamaño de la corrida y número de corridas

4. ¿Cómo manejar los resultados cuándo estos están correlacionados?

Mostraremos el proceso de simulación regenerativa mediante la simulación de unsistema de colas de un servidor. Aqui los clientes son generados por una fuentealimentadora, la cual genera X número de clientes por unidad de tiempo. Si uncliente que llega al sistema encuentra desocupado al servidor, entonces éste clienteempieza a ser inmediatamente servido y su salida del sistema empieza inmediatamentedespués de que su servicio ha terminado.

Por el contrario, si un cliente al arribar encuentra al servidor ocupado, entonceseste cliente pasa a un salón de espera donde esperará su turno para ser servido.Finalmente, los clientes que permanecen en la cola, son servidos en base a atenderprimero a los que llegaron primero a la cola.

Para el sistema particular que se está analizando, suponga que la fuente alimen-tadora genera un nuevo cliente cada 2 minutos. También, suponga que el tiempo deservicio es una variable aleatoria uniformemente distribuída entre 1 y 2 minutos.

Además, suponga que la forma de evaluar el funcionamiento y operación del sis-tema, es en base al valor esperado del tiempo que un cliente permanece en la colaE(W ), cuando el sistema se encuentra en una situación de estado estable. Para estesistema en particular, no existen procedimientos analíticos capaces de obtener E(W ).Por consiguiente, la única forma de evaluar y analizar este sistema es a través desimulación.

Por consiguiente, el objetivo de esta simulación, es analizar los resultados obtenidoscon el propósito de estimar E(W ). Más generalmente, se desea que la estimación deE(W ) sea con�able, es decir, se requiere que el valor de E(W ) pertenezca a un inter-valo con un cierto nivel de con�anza, por ejemplo, del 95% (� = 5%).

Una forma razonable de estimar E(W ) sería: seaW1 el tiempo de espera en la coladel cliente 1, W2 el tiempo de espera en la cola del cliente 2, y así sucesivamente. Por

121

consiguiente, si durante la simulación del sistema entraron a este N clientes, entoncesel promedio muestral sería:

WI +W2 + :::+WN

N

el cual representa a un estimador consistente de E(W ). Sin embargo, el promediomuestral sería en general un estimador sesgado de E(W ) debido a las condicionesiniciales. Por ejemplo, si W1 tiene un valor de cero, entonces los tiempos de esperade los primeros clientes tienden a ser pequeños.

La forma tradicional de tratar el sesgo del estimador debido a condiciones iniciales,es correr el modelo de simulación durante algún tiempo sin colectar ningún dato, hastaque el sistema de colas haya aIcanzado la condición de estado estable.

A partir de este instante, se empieza a colectar la información. Por ejemplo, sepuede simular el sistema para 1000 clientes y sólo considerar los tiempos de esperade los últimos 500, y entonces usar:

W501 +W502 + :::+W1000

500

como un estimador de E(W ). Sin embargo, esta solución no es recomendable por lassiguientes razones :

1. Es muy difícil determinar la longitud del período de estabilización

2. Una gran cantidad de tiempo de computadora es desperdiciado.

Otra de las desventajas que se Ie atribuyen al procedimiento anterior, es la altacorrelación que existe entre Wk. y Wk+1 independientemente de que el sistema seencuentre o no en estado estable.

Por consiguiente, siWI+W2+ :::+WN no son independientes, la teoría estadísticaclásica sería de poca utilidad en la determinación del intervalo de con�anza del tiempopromedio de espera en la cola.

Se puede observar de los comentarios anteriores, que el sesgo debido a condicionesiniciales variables y a la alta correlación de los datos, ofrecen serios obstáculos en ladeterminación de E(W ). Por consiguiente, es necesario buscar y proponer un nuevoprocedimiento que elimine y resuelva los problemas antes mencionados. Afortunada-mente el procedimiento existe y se Ie llama simulación regenerativa.

Para entender la lógica de esta nueva técnica, suponga que al empezar la simu-lación se establece W1 = O. En seguida, se empieza a correr el modelo de simulacióny valores del tiempo de espera en la cola empiezan a ser colectados. La obtención detales datos suponga que son tal y como se muestran en la tabla siguiente. En estatabla se puede observar que los clientes 1; 4; 8; 9; 14; 17 y 20 fueron muy afortunados,puesto que encontraron desocupado al servidor al momento de arribar al sistema.

122

También, en la tabla 3; se puede apreciar que el servidor está constantementeocupado desde que llega el cliente 1 hasta que se va el cliente 3, en seguida se en-cuentra ocioso hasta que llega el cliente 4, y así sucesivamente. Si más de 20 clientesson servidos, entonces el sistema simulado mostrará este mismo comportamiento,es decir, servidor ocupado, servidor ocioso, servidor ocupado, servidor ocioso, y asísucesivamente.

Por consiguiente, si al tiempo que transcurre entre empezar a servir y quedarocioso, se Ie considera como un ciclo, entonces por la corta simulación mostrada enla Tabla 3, existen 6 ciclos, donde el primer ciclo comprende a los clientes 1; 2 y 3,el segundo ciclo comprende a los clientes 4; 5; 6 y 7 y así sucesivamente.

Tabla 3. Tiempo de espera en la cola

No: Cliente W1 02 103 5

9>>=>>; 1

No: Cliente W4 05 256 157 20

9>>>>=>>>>; 2

No: Cliente W8 0

�3

No: Cliente W9 010 1811 2012 3013 40

9>>>>>>=>>>>>>;4

No: Cliente W14 015 1616 12

9>>=>>; 5

No: Cliente W17 018 2519 30

9>>=>>; 6

El séptimo ciclo empieza con el arribo del cliente número 20. Por tanto, un nuevociclo es iniciado cuando un cliente llega al sistema y encuentra al servidor ocioso.

Puesto que cada vez que un cliente llega al sistema y encuentra al servidor ocioso,es equivalente y está gobernado por la misma estructura probabilística que cuandollega el primer cliente al sistema, entonces sería razonable agrupar los resultados dela simulación en bloques de datos, donde el primer bloque contendrá los tiempos deespera en la cola de los clientes que forman parte del primer ciclo, el segundo bloquecontendrá los tiempos de espera en la cola de los clientes que forman parte del segundociclo, y así sucesivamente.

Para la corta simulación mostrada en la tabla 3, los bloques serían:

(W1;W2;W3); (W4;W5;W6;W7)

(W8); (W9;W10;W11;W12;W13)

(W14;W15;W16); (W17;W18;W19)

123

De este modo, puesto que cada ciclo es iniciado en las mismas condiciones, los blo-ques de datos de ciclos sucesivos son estadísticamente independientes e idénticamentedistribuídos. Por consiguiente, si se de�ne Ek como la suma de los tiempos de esperade los clientes servidos en el ciclo k y Ck como el número de clientes servidos en elciclo k, entonces los pares

(E1; C1); (E2; C2); (E3; C3); (E4; C4); (E5; C5) y E6; C6)

son estadísticamente independientes e idénticamente distribuídos, a pesar de la altacorrelación que existe entre Ek y Ck. De la Tabla 3, los valores de (Ek; Ck) que seobtienen son los siguientes:

(E1; C1) = (15; 3) (E4; C4) = (108; 5)(E2; C2) = (60; 4) (E5; C5) = (28; 3)(E3; C3) = (0; 1) (E6; C6) = (55; 3)

Por consiguiente, la alta correlación entre Wk y Wk+l ha sido eliminada y losdatos han sido agrupados en bloques estadísticamente independientes e idénticamentedistribuídos.

De acuerdo a la agrupación anterior, y suponiendo que N clientes fueron servidosdurante la simulación, a partir de la cual se formaron n bloques, la estimación deltiempo de espera en la cola se puede determinar por medio de la siguiente expresión:

E (W ) =WI +W2 + :::+WN

N=E1 + E2 + :::+ EnC1 + C2 + :::+ Cn

Sin embargo, la segunda parte de la expresión anterior puede ser escrita de lasiguiente forma:

E (W ) =

E1 + E2 + :::+ Enn

C1 + C2 + :::+ Cnn

Puesto que (E1 + E2 + :::+ En) y (C1 + C2 + :::+ Cn) son variables aleatorias in-dependientes e idénticamente distribuídas, entonces por el Teorema del Límite Cen-tral, la expresión anterior converge a :

limn!1

E (W ) =E (E)

E (C)

Por consiguiente, el problema de estimar E(W ) se traduce a estimarE(E)

E(C)y

puesto queE(E)

E(C)puede ser estimado a partir de (E1; C1); (E2; C2); � � � ; (E3; C3), la

estadística clásica puede ser utilizada para hacer inferencias acerca del valor verdaderode E(W ).

124

Intervalo de Con�anza para E (W )

La determinación del intervalo de con�anza de E(W ), se deriva al hacer uso delteorema del límite central. para tal propósito, considere primeramente las siguientesidentidades:

t =E(E)

E(C)

Ui = Ei � tCi

de la expresión anterior es obvio que las Ui, son independientes e idénticamentedistribuídas y además:

E (Ui) = E (Ei)� tE (Ci) = 0También de la expresión anterior, se puede obtener la siguiente identidad

U = E � tC

donde

U =1

n

nXi=1

Ui

E =1

n

nXi=1

Ei

C =1

n

nXi=1

Ci

Por consiguiente, de acuerdo al teorema del límite central, U sigue una distribución

normal con media 0 y varianza�2pn=E (U2i )

n, y Además:

U

�=pn

sigue una distribución normal estándar con media 0 y varianza 1. Si en esta últimaexpresión se sustituye la expresión U = E � tC, se obtiene:

E � tC�=pn

La cual puede ser escrita en la forma siguiente :�bt� t�pn�=C

125

De acuerdo a esta última expresión y suponiendo un nivel de signi�cado �, el

intervalo de con�anza del parámetro t =E(E)

E(C)= E(W ) sería:

P

(�Z�=2 �

�bt� t�pn�=C

� Z�=2

)= 1� �

P

�bt� �

CpnZ�=2 � t � bt+ �

CpnZ�=2

�= 1� �

De la expresión anterior, es obvio que el intervalo de con�anza de t no puede serobtenido si el valor de � se desconoce. Sin embargo, el valor de � puede ser estimadocomo sigue:

�2 = E (Ei � tCi)2 = V ar (Ei)� 2tCov (Ei; Ci) + t2V ar (Ci)

Además, de la expresión anterior, la V ar (Ei) ; V ar (Ci) y la Cov (Ei; Ci) puedenser estimadas como sigue:

SE =1

n� 1

nXi=1

�Ei � E

�2SC =

1

n� 1

nXi=1

�Ci � C

�2SEC =

1

n� 1

nXi=1

�Ei � E

� �Ci � C

�Por consiguiente, la estimación de �2 se puede obtener de acuerdo a la expresión:

S2 = S2E � 2btSEC + bt2SCSustituyendo esta última expresión en la identidad

P

�bt� �

CpnZ�=2 � t � bt+ �

CpnZ�=2

�= 1� �;

se obtiene �nalmente el intervalo de con�anza para el parámetro

t =E(E)

E(C)= E(W )

P

�bt� S

CpnZ�=2 � t � bt+ S

CpnZ�=2

�= 1� �

El cual de�ne un intervalo cuyo ancho es de

2SZ�=2Cpn

126

Finalmente, conviene mencionar que aunque la variable aleatoria

t =E(E)

E(C)= E(W )

sigue una distribución de probabilidad t puesto que �2 se desconoce, la expresiónpenúltima sigue siendo válida ya que para valores de n muy grandes, la distribuciónt se aproxima a la distribución normal.

Ejemplo :

Para los tiempos de espera en la cola mostrados en la Tabla 3, determine unintervalo de con�anza del 90% (� = 10%) para E(W ).

Para los tiempos de espera mostrados en la tabla 3, los bloques de datos son:

(E1; C1) = (15; 3) (E4; C4) = (108; 5)(E2; C2) = (60; 4) (E5; C5) = (28; 3)(E3; C3) = (0; 1) (E6; C6) = (55; 3)

De acuerdo a estos bloques de datos, los promedios muestralesE yC y el parámetrot serian:

E =15 + 60 + 0 + 108 + 28 + 55

6E = 44:33

C =3 + 4 + 1 + 5 + 3 + 3

6C = 3:16

bt =E

C=44:33

3:16= 14:03

Por otra parte, los valores correspondientes de S2E; S2C ; SEC ; S

2 serían :

S2E =1

5

�(15� 44:33)2 + (60� 44:33)2 + � � �+ (28� 44:33)2 + (55� 44:33)2

�= 1501:07

S2C =1

5

�3 (3� 3:16)2 + (4� 3:16)2 + (1� 3:16)2 + (5� 3:16)2

�= 1:77

127

SEC =1

5

�(15� 44:33) (3� 3:16) + (60� 44:33) (4� 3:16) + (0� 44:33) (1� 3:16)+(108� 44:33) (5� 3:16) + (28� 44:33) (3� 3:16) + (55� 44:33) (3� 3:16)

�= 46: 333 36

S2 = 1501:07� 2 (14:03) (46:33) + (14:03)2 (1:77)

= 549:46

entonces:S = 23:44

Sustituyendo los resultados obtenidos, en la expresión

P

�bt� S

CpnZ�=2 � t � bt+ S

CpnZ�=2

�= 1� �

se tiene que:

14:03� (23:44) (1:65)(3:16) (2:45)

14:03� 4:99

lo cual de�ne el intervalo (9:04; 19:02) cuyo ancho es de 9:98. Como se puede observar,este intervalo quizá es demasiado amplio. este hecho se debe al número tan pequeñode bloques de datos analizados. Si se quisiera reducir a un décimo el tamaño deeste intervalo, entonces se necesitaría aumentar a 600 el número de bloques de datosanalizados.

128

CONCLUSIONES

Las principales conclusiones referidas en este trabajo son :

1. Presentación de diversas conceptualizaciones de tópicos de modelación y simu-lación.

2. Fundamentación matemática de las principales de�niciones, propiedades y teo-remas utilizado en el proceso de simulación y modelación matemática. Se in�ereque todo proceso de modelación y simulación está ligado a un proceso abstractode lógica formal que permite representar y analizar cualquier fenómeno de lavida real que pueda ser modelizado, independientemente del tipo de fenómeno.

3. Destacar la importancia del proceso de modelado y simulado, en la solución deproblemas.

4. Reconocimiento e importancia de una correcta interpretación estadística de losproblemas resueltos por medio de simulación.

5. Establecimiento de relaciones internas entre las principales componentes de unestudio de simulación y sus medidas de desempeños.

6. Presentación de diversos ejemplos en diferentes aplicaciones de las ciencias, tec-nologías y administración de recursos.

7. Utilización del software de simulación ARENA ( versión 12.0 ), permitió modelary simular diversos ejemplos prácticos.

129

RECOMENDACIONES

Las principales recomendaciones contempladas en esta memoria son :

1. El pensum de la carrera de sistema podría ser fortalecida con algunos cursosespecializados sobre temas de modelación y simulación.

2. En una futura transformación curricular, se deben de actualizar los programasanalíticos de análisis numéricos, estadísticas, modelación y simulación, incor-porando algunos contenidos que permitan elevar la calidad de la enseñanzauniversitaria en estos tópicos de estudios.

3. Incluir algunos temas de investigación matemática dentro del contenido pro-gramático de la asignatura de Modelación y Simulación Matemática

4. Establecer coordinaciones con otras universidades públicas o privadas con elobjetivo de enriquecer el intercambio académico entre los estudiantes y docentesde asignaturas ligadas a la modelación y simulación matemática.

5. Establer un programa de pasantía estudiantil, con instituciones públicas y pri-vadas, que permitan a los estudiantes de la carrera de sistema, aplicar susconocimientos teóricos mediante el diseño y construcción de sistemas de simu-lación.

6. Establecer un banco de temas para tesis monográ�cas, ligadas al proceso demodelación y simulación matemática.

7. Estudiar en la carrera de sistemas otros softwares de simulación que permitancombinar la programación orientada a objetos con programación grá�ca.

130

BIBLIOGRAFÍA

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13. George Fishman. (1980). Conceptos y métodos en la simulación de SistemasDiscretos", Ed. Limusa.

14. H. Fischer:(2000). The Central Limit Theorem from Laplace to Cauchy.

15. J. V. Uspensky. (1937). Introduction to Mathematical Probability; Mc Graw-Hill Book Company London.

16. Javier Aracil. (1978). Introducción a la simulación dinámica".

17. Jerry Banks, John S. Carson II & Barry Nelson. (1996). Discret-Event SystemSimulation", Ed. Prentice-Hall..

18. Loéve, M. (1976). Teoría de la Probabilidad, Editorial Tecnos, Madrid.

131

19. M. Fisz. (1963). Probability Theory and Mathematical Statistics, John Wiley& Sons, Inc.

20. P. Meyer. (1963). Probabilidad y aplicaciones estadísticas, Fondo EducativoInteramericano, S.A.

21. Pedro Voltes Bou. La teoría general de sistemas. Editorial Hispano Europea.

22. Raúl Coss Bu. (2008). Simulación, un enfoque práctico", Ed. Limusa

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132

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8. http://www.mmc.igeofcu.unam.mx/

9. http://www.terra.es/personal2/jpb00000/ttcentrallímite.htm

133

Anexo

Teorema ( Desigualdad de Markov )

Si X solo toma valores no negativos, entonces para cualquier valor a > 0

P fX � ag � E (X)

a

Demostración ( Caso Discreto )

E (x) =1Xx=0

xf (x) dx

=aXx=0

xf (x) dx+1Xx=a

xf (x) dx

�1Xx=a

xf (x) dx

�1Xx=a

af (x) dx pues xf (x) � af (x) cuando x � a

= a1Xx=a

f (x) dx

= aP fX � ag

y entonces

P fX � ag � E (X)

a

Demostración ( Caso Continuo )

E (x) =

Z 1

0

xf (x) dx

=

Z a

0

xf (x) dx+

Z 1

a

xf (x) dx

�Z 1

a

xf (x) dx

�Z 1

a

af (x) dx pues xf (x) � af (x) cuando x � a

= a

Z 1

a

f (x) dx

= aP fX � ag

Corolario ( Desigualdad de Chebyshev )

Si X es una variable aleatoria con media u y varianza �2; entonces para cualquiervalor k > 0

P fjX � �j � k�g � 1

k2

Demostración :

Como(X � �)2

�2

es una variable aleatoria no negativa, cuya media es

E

(X � �)2

�2

!=E�(X � �)2

��2

=�2

�2= 1

entonces utilizando la desigualdad de Markov y el hecho de que

(X � �)2

�2� k2

es equivalente ajX � �j � k�

obtenemos

P

((X � �)2

�2� k2

)� 1

k2

Teorema ( Ley débil de los grandes números )

Sea X1; X2; X3; � � � una sucesión de variables aleatorias independientes e idénti-camente distribuídas con media �: Entonces, para cada " > 0

P

�����X1 +X2 + � � �+Xn

n� �

���� > "� �! 0 cuando n �!1

Demostración :

Supongamos que las variables aleatorias Xi tienen una varianza �nita �2;entonces

E

�X1 +X2 + � � �+Xn

n

�=1

n(E (X1) + E (X2) + � � �+ E (Xn)) = �

y

V

�X1 +X2 + � � �+Xn

n

�=1

n2(V (X1) + V (X2) + � � �+ V (Xn)) =

�2

n2

por la desigualdad de Chebyshev, para cualquier k > 0

P

�����X1 +X2 + � � �+Xn

n� �

���� � k�pn

�� 1

k2

por lo tanto, para cualquier " > 0; si k es tal quek�pn= "; es decir, k2 =

n"2

�2;

entonces

P

�����X1 +X2 + � � �+Xn

n� �

���� � "� � �2

n"2

con lo cual queda establecido el resultado.

Una generalización de la ley débil es la ley fuerte de los grandes números, la cualestablece que, con probabilidad 1;

limn!1

X1 +X2 + � � �+Xn

n= �

es decir, con toda certeza, a largo plazo el promedio de una sucesión de variablesindependientes e idénticamente distribuídas convergerá a su media.

Teorema Central de Límite

Sean X1; X2; � � �Xn variables aleatorias que veri�can independencia entre sí, queson igualmente distribuídas y con media y varianza �nitas, entonces

Yn =nXk=1

Xk

y de�namos

Z =Yn �my

�y

donde

my = E [Yn]

�2y = V ar [Yn]

entonces

limn!1

fZ (z) =1p2�e�

z2

2 ; �1 � Z � 1

Demostración :

Por construcción, se sabe que E [Z] = 0 y V ar [Z] = 1; Calculemos la funcióncaracterística, CZ (s) de la variable aleatoria Z.

CZ (s) = E�eisZ

�= E

264eisYn �my

�y

375

como Yn =

nXk=1

Xk se veri�ca que E [Yn] = nmX y al ser las variables xj inde-

pendientes, V ar [Yn] = nV ar [X] ; entonces

CZ (s) = E

2666666664eis

nXj=1

(xj �my)

pn�x

3777777775= E

2666666664e

ispn

nXj=1

(xj �my)

�x

3777777775

= E

2666666664nYj=1

e

ispn

nXj=1

(xj �my)

�x

3777777775=

nYj=1

E

2666666664e

ispn

nXj=1

(xj �my)

�x

3777777775ya que las variable Xj son independientes entre sí. Como todas las variables Xj

tienen la misma función de densidad,

CZ (s) = E�eisZ

�= E

264e ispn (xj �my)

�x

375 =8><>:E

264e ispnW3759>=>;n

donde W =(X �my)

�x; siendo X una cualquiera de las variables Xj:

Desarrollemos ahora e

ispnW

en Serie de Taylor alrededor del punto W0 = 0; esdecir

e

ispnW

= 1 +Wispn+W 2

�ispn

�2+W 3

�ispn

�3e

ispn�

; 1 � � � 1

observando que E[W ] = 0 y V ar[W ] = 1 obtenemos

E

264e ispnW375 = 1� s2

2n� 1

nE

264 i3s36pne

ispn�

375= 1� s2

2n� Rnn

Por tanto

CZ (s) =

�1� s2

2n� Rnn

�n

Tomando ahora límites, y recordando que limn!1

Rn = 0; se obtiene

limn!1

CZ (s) = limn!1

�1� s2

2n� Rnn

�n

= limn!1

�1� s2

2n

�n= lim

n!1

2641� s2

2n

375n

= e�s2

2

A partir de aquí, vamos a calcular la función de densidad de Z (en el límite).Recordando que la relación entre la función característica y la función de densidad es

fX (x) =1

2�

Z +1

�1e�isxCX (s) ds

obtenemos

fX (z) =1

2�

Z +1

�1e�isZe

�s2

2 ds =1

2�

Z +1

�1e�s2

2 [cos (�sZ) + i sin (�sZ)] ds

=1

2�

264Z +1

�1e�s2

2 cos (sZ) ds� iZ +a

�ae�s2

2 sin (sZ) ds

375=

1

�

Z +1

0

e�s2

2 cos (sZ) ds =1

�

1

2

p2�e

�z2

2 =1p2�e�z2

2

luego

fZ (z) =1p2�e�z2

2 ; Z 2 (�1;1)

pero como Z =Yn �my

�yy tomando límite, entonces

fY (y) =1

�p2�e�1

2

y �m�

!2; Y 2 (�1;1)

que es la usualmente denominada distribución normal con media m y desviacióntípica �

GLOSARIO

1. Algoritmo : Conjunto �nito de reglas que dan una secuencia de operacionespara resolver un problema, es decir, son pasos organizados que describe el pro-ceso que se debe seguir, para dar solución a un problema especí�co.

2. Análisis de sistemas : Es la ciencia encargada del análisis de sistemas grandesy complejos y la interacción entre esos sistemas. Es un conjunto o disposiciónde procedimientos o programas relacionados de manera que juntos forman unasola unidad. Un conjunto de hechos, principios y reglas clasi�cadas y dispuestasde manera ordenada mostrando un plan lógico en la unión de las partes.

3. Atributos : Cualidad o característica propia de un objeto, especialmente algoque es parte esencial de su naturaleza.

4. Ciclo de vida : Es el conjunto de fases (o etapas) por la que pasa el sistemadesde que se concibe hasta que se retira y/o desecha del servicio.

5. Codi�cación : Es la aplicación de las reglas de un código o regla para con-vertir una pieza de información. Establece la lógica del programa mediante unlenguaje de programación, aplicando una sintáxis y gramática correcta.

6. Diseño de sistemas : Produce los detalles que establece la forma en que elsistema cumplirá con los requerimientos identi�cados durante la fase de análisis.

7. Distribución Chi-Cuadrada : Una variable aleatoria continua tiene unadistribución Chi-Cuadrada si su función de densidad de probabilidad está dadapor

f (x; k) =

8>>><>>>:1

2k=2�

�k

2

�xk2�1e�x2 para x � 0

0 para x < 0

Esta distribución es un caso particular de la distribución gamma, haciendo elparámetro � =

�

2y � = 2: El valor esperado y varianza de esta distribución

son � y 2� respectivamente.

8. Distribución de probabilidad : Es una función que asigna a cada sucesode�nido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra.La distribución de probabilidad está de�nida sobre el conjunto de todos loseventos rango de valores de la variable aleatoria.

9. Distribución t de Student : Es una distribución de probabilidad que surge delproblema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuandoel tamaño de la muestra es pequeño. Su función de densidad de probabilidadestá dado por

f (t) =

�

�v + 1

2

�pv��

�v2

� �1 + t2v

��v + 12

El parámetro v = n� 1 representa el número de grados de libertad.

10. Espacio de probabilidad : Es una terna (; A; P ) donde es el espaciomuestral, A es una �-algebra de sucesos de ( que en particular puede ser elconjunto potencia P () ) y P es una función de probabilidad.

11. Estadística descriptiva : Se re�ere a la recolección, presentación, descrip-ción, análisis e interpretación de una colección de datos, esencialmente consisteen resumir éstos mediante estadísticos de tendencia central y de dispersión,permitiendo obtener de un conjunto de datos conclusiones sobre sí mismos.

12. Estadística inductiva o inferencial : Trata de la generalización hacia laspoblaciones de los resultados obtenidos en las muestras y de las condiciones bajolas cuales estas conclusiones son válidas. Se enfrenta básicamente con dos tiposde problemas: Estimación, que puede ser puntual o por intervalos y contrastede hipótesis.

13. Estadísticamente independientes : Signi�ca que los valores estudiados noestán correlacionados, es decir, que la probabilidades de cada uno de ellos noestá in�uida por que el otro suceso ocurra o no.

14. Estadísticas : Conjunto de métodos cientí�cos ligados a la toma, organización,recopilación, presentación y análisis de datos.

15. Estadístico : Es una medida cuantitativa, derivada de un conjunto de datos deuna muestra, con el objetivo de estimar o inferir características de una poblacióno modelo estadístico.

16. Estimación : Conjunto de técnicas que permiten dar un valor aproximado deun parámetro de una población a partir de los datos proporcionados por unamuestra.

17. Estimación por intervalos : El intervalo de con�anza es una expresión deltipo [�1; �2] ó �1 � � � �2, donde � es el parámetro a estimar. Este intervalocontiene al parámetro estimado con una determinada certeza o nivel de con-�anza, es decir, en la estimación por intervalos se obtienen dos puntos ( unextremo inferior y un extremo superior) que de�nen un intervalo sobre la rectareal, el cual contendrá con cierta seguridad el valor del parámetro �.

18. Estimación puntual : Consiste en la estimación del valor del parámetro me-diante un sólo valor, obtenido de una fórmula determinada.

19. Estimador consistente : Es cuando sus valores se acercan cada vez másdel valor del parámetro según el tamaño de la muestra aumenta, es decir, elvalor esperado del parámetro tiende al parámetro poblacional o bien cuando lavarianza del parámetro tiende a cero.

20. Estimador insesgado : Es aquel que carece de sesgo, es decir, su sesgo esnulo por ser su esperanza igual al parámetro que se desea estimar.

21. Experimento aleatorio : Son los que pueden dar lugar a varios resultados,sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de estos va a ser obser-vado en la realización del experimento a pesar de haberlo realizado en similarescondiciones.

22. EXPO(n) : Siglas utilizadas por el software ARENA para representar a la dis-tribución exponencial. El valor de n representa la media de dicha distribución.

23. FIFO : Son las siglas de First In, First Out - primero en entrar, primero ensalir. Método de estructuración de datos que es utilizado en los procesos delíneas de espera.

24. Función de distribución : El valor en cada número real x es la probabilidadde que la variable aleatoria sea menor o igual que x.

25. Función de probabilidad : Es una aplicación entre el conjunto de resultadosy el conjunto de números reales, que asigna a cada suceso la probabilidad deque se veri�que, es decir, es una función que asocia a cada punto de su espaciomuestral la probabilidad de que ésta lo asuma.

26. Generadores congruenciales : Son funciones recursivas modulares. Existendos tipos de generadores : Multiplicativo y Mixto. Ambos métodos permitengenerar sucesiones de números pseudoaleatorios uniformemente distribuidos yestadísticamente independientes.

27. Grados de libertad : Estima un número de categorías independientes en unexperimento estadístico. Se determina mediante la fórmula n� r, donde n es elnúmero de sujetos en la muestra (también pueden ser representados por k � r,donde k es el número de grupos, cuando se realizan operaciones con grupos y nocon sujetos individuales) y r es el número de sujetos o grupos estadísticamentedependientes.

28. Lenguaje de alto nivel : Es aquel que se aproxima más al lenguaje naturalhumano que al lenguaje binario de las computadoras. Se caracteriza por expre-sar los algoritmos de una manera adecuada a la capacidad cognitiva humana,en lugar de a la capacidad ejecutora de las máquinas.

29. Media aritmética : Es una medida de tendencia central, que es igual a lasuma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos. Expresadade forma más intuitiva, podemos decir que la media aritmética es la cantidadtotal de la variable distribuida a partes iguales entre cada observación. El valormedio o promedio no signi�ca que sea exactamente la mitad.

30. Metodología de sistemas : Integra los conceptos básicos fundamentales parael desarrollo del estudio y aplicación de sistemas. Es un marco de trabajo usadopara estructurar, plani�car y controlar el proceso de desarrollo de los sistemas.

31. Métodos analíticos : Implica un proceso de análisis (del griego análisis, quesigni�ca descomposición), esto es la separación de un todo en sus partes o ensus elementos constitutivos.

32. Métodos numéricos : Es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casisiempre de manera aproximada, la solución de ciertos problemas realizandocálculos puramente aritméticos y lógicos.

33. Modelo : Es una simpli�cación que imita los fenómenos del mundo real, demodo que se puedan comprender las situaciones complejas y podamos hacerpredicciones.

34. Nivel de signi�cancia : Valor especi�cado de probabilidad usado para estable-cer el límite de aceptación o rechazo de una hipótesis en el análisis estadístico.

35. Número pseudoaletorio : Es un número generado en un proceso de recurren-cia por una determinada formula matemática. La sucesión de estos números nomuestran ningún patrón o regularidad, lo que permite hablar de independenciaestadística. Normalmente estos valores son especi�cados por una función dis-tribución. Cuando no se especi�ca ninguna distribución, se presupone que seutiliza la distribución uniforme continua en el intervalo (0; 1).

36. Palabra de computadora : Es una cadena �nita de bits que son manejadoscomo un conjunto por la máquina. Es un conjunto de información expresada enforma binaria (0 y 1) y que se transmite dentro del sistema como una unidadde información. Esta palabra puede ser de 8, 16, 32, 64 bits o más. A mayornúmero de bits, más potente es la computadora.

37. Paradigma : Es un conjunto de realizaciones cientí�cas "universalmente" re-conocidas, que durante un tiempo proporcionan modelos de problemas y solu-ciones a una comunidad cientí�ca. Conjunto de conceptos, leyes y medios quesirven para de�nir un conjunto de modelos. Los modelos se construyen sobreun paradigma particular.

38. Parámetro : Es una función de�nida sobre los valores numéricos de unapoblación. Se trata de un valor representativo que permite modelar la realidad,permitiendo obtener un panorama general de la población y realizar compara-ciones y predicciones.

39. Probabilidad : Ciencia matemática que estudia los fenómenos aleatorios, per-mitiendo establecer una medida numérica sobre la realización de los mismos.

40. Pruebas no parámetrica : Son aquellas que no presuponen una distribuciónde probabilidad para los datos, por ello se conocen también como de distribuciónlibre.

41. Sesgo de un estimador : Diferencia entre la esperanza o valor esperado delestimador y el verdadero valor del parámetro a estimar.

42. Simulación : Metodología que abarca desde el planteamiento del estudio delsistema, hasta el análisis de los resultados, pasando por la modelización delsistema, programación del modelo y diseño de experimentos a realizar, previavalidación y veri�cación.

43. Sistema : Un sistema es un conjunto de partes o elementos organizados yrelacionados que interactúan entre sí para lograr un objetivo.

44. Subsistemas : Es un sistema que es parte de otro sistema mayor (suprasistemao supersistema).

45. Teoría de Colas : Es un formulación matemática para la optimización desistemas en que interactúan dos procesos normalmente aleatorios: un procesode "llegada de clientes" y un proceso de "servicio a los clientes", en los queexisten fenómenos de "acumulación de clientes en espera del servicio", y dondeexisten reglas de�nidas (conductos) para la "prestación del servicio".

46. TRIA(n1; n2; n3) : Siglas utilizadas por el software ARENA para representara la distribución triangular. Los valores de n1; n2 y n3 representan los valoresmínimo, la moda y máximo de la distribución.

47. Uniformemente distribuidos : Todos los valores generados en un deter-minado intervalo están distribuidos uniformemente con igual probabilidad, esdecir, son igualmente probables.

48. Valor esperado : Es la suma de la probabilidad de cada suceso multiplicadopor el valor que toma la variable aleatoria.

49. Variable Aleatoria : Es una aplicación que asocia a cada elemento del espaciomuestral de un experimento, un número real.

50. Varianza : Es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a lamedia de una distribución estadística. Si atendemos a la colección completa dedatos (la población en su totalidad) obtenemos la varianza poblacional; y si porel contrario prestamos atención sólo a una muestra de la población, obtenemosen su lugar la varianza muestral.

Módulos de Arena

1. Módulo Create (Módulo Crear)

Este módulo está pensado como punto de partida para las entidades de unmodelo de simulación. Las entidades son creadas con un programa o en basea un tiempo entre llegadas. El grá�co siguiente muestra los atributos de estacaja de diálogo.

Donde

Name Nombre del módulo createEntity Type Tipo de entidad que se generaType Especi�ca el tipo de datosValue Valor referido a expresión o la distribución probabilísticaUnits Unidad del tiempo ( segundos, minutos, horas, etc )Entities per Arrival Número de entiddas que entran al sistemaMax Arrivals Máximo numero de entidades a ser generadasFirst Creation Hora de inicio de la primera entidad en llegar al sistema

Usos:

(a) El inicio de la producción de una pieza en una línea de fabricación

(b) Un documento llegado (por ejemplo, el orden, control, aplicación) a unproceso de negocio.

(c) Un cliente llega a un proceso de servicio (por ejemplo, tienda, comerciominorista, restaurantes, información).

2. Módulo Process (Módulo Proceso)

Es el módulo de procesamiento principal en la simulación. Posee opciones parael retardo y liberación de los recursos, asi como, la utilización de submodelo. Elgrá�co siguiente muestra los atributos de esta caja de diálogo

Donde

Name Nombre del módulo processType Tipo de entidad que se genera ( standar o submodel )Action Especi�ca el tipo de retardo y liberación del recursoDelay Type Tipo de distribución o expresión de retardoUnits Unidad del tiempo ( segundos, minutos, horas, etc )Allocations Especi�ca el tipo de asignación al recursoMinimum Valor mínimo de la distribución triangularValue Valor más común de la distribución triangularMaximum Valor máximo de la distribución triangular

Usos:

(a) Area de producción de partes

(b) Cumplimiento de órdenes o procesos.

(c) Atención a clientes

3. Módulo Dispose (Módulo Salida)

Es el punto �nal para las entidades en un modelo de simulación. Representala salida de las entidades del sistema. También se pueden registrar estadísticaasociada a este módulo. El grá�co siguiente muestra los atributos de esta cajade diálogo.

DondeName Nombre del módulo disposeRecord Entity Statistic Registro de estadistica

Usos:

(a) Objetos saliendo de un proceso de simulación

(b) Terminación de un proceso de negocio

(c) Clientes concluyendo un trabajo

4. Módulo Decide (Módulo Decidir)

Permite a los procesos tomar decisiones en el sistema. Cuenta con opciones paratomar decisiones basadas en una o más condiciones, las cuales se pueden basaren los valores de atributo (prioridad), valores de variables, el tipo de entidad, ouna expresión. El grá�co siguiente muestra los atributos de esta caja de diálogo.

Donde

Name Nombre del módulo decideType Tipo de condición simple o múltiplesPercent true (0-100) Especi�ca el tipo de porcentaje verdadero de la condición

Usos:

(a) Decisión sobre una pieza defectuosa para reparación

(b) Decision para aceptar entidades en un proceso de producción

(c) Decision de clientes frente a un nivel de prioridad especí�co

5. Módulo Assign (Módulo Asignación)

Se utiliza para asignar nuevos valores a variables, atributos de la entidad, tiposde entidad u otras variables del sistema. Varias asignaciones se pueden hacercon un solo módulo asignar. El grá�co siguiente muestra los atributos de estacaja de diálogo.

DondeName Nombre del módulo assignAssignments Tipo de asignación

Usos:

(a) Incrementar o decrementar un numero

(b) Cambiar el tipo de una entidad para representar a una entidad

(c) Establecer la prioridad de un cliente

6. Módulo Record (Módulo Registro):

Se utiliza para recopilar datos estadísticos en el modelo de simulación, talescomo tiempo y costo de las entidades, estadísticas de intervalo y contadores. Elgrá�co siguiente muestra los atributos de esta caja de diálogo.

Donde

Name Nombre del módulo recordType Tipo de conteoValue Numero que se registrará en la estadísticaRecord into set Especi�ca si se utilizará el contadorCounter Name Nombre del contador

Usos:

(a) Número de trabajos terminados en un período de tiempo

(b) Conteo de pedidos retrasado o cumplido

(c) Registro del tiempo empleado por clientes en alguna actividad.

7. Módulo Delay (Módulo Retrasar)

Aplica un retardo o retraso de período de tiempo a una entidad especí�ca,permaneciendo esta el tiempo establecido por su retardo. El grá�co siguientemuestra los atributos de esta caja de diálogo.

DondeName Nombre del módulo delayAllocations Tipo de retardo que se generaráDelay Time Especi�ca el tiempo de retardoUnits Unidad de tiempo para el retardo

Usos:

(a) El procesamiento de un cheque en el banco

(b) Realización de una instalación en una máquina

(c) La transferencia de un documento a otro departamento

8. Módulo Route (Módulo Ruta)

Especi�ca la ruta de una entidad hacia una estación. También se puede estable-cer un tiempo de retardo para la transferencia de la entidad, de esta manera,la entidad se envía a la estación de destino, utilizando el tiempo de recorridoespeci�cado. El grá�co siguiente muestra los atributos de esta caja de diálogo.

Donde

Name Nombre del módulo routeRoute Time Tiempo de rutaUnits Unidad del tiempo ( segundos, minutos, horas, etc )Destination Type Tipo de destino mediante ruta, secuencia, atributo o expresiónStation Name Nombre de la estación

Usos:

(a) Envio de entidades entre áreas de producción

(b) Comunicación entre clientes de un destino a otro.

(c) Intercambio entre las partes de una área de producción

9. Módulo Station (Módulo Estación):

De�ne una estación (o un conjunto de estaciones) que corresponde a una ubi-cación lógica en el proceso de simulación. Si el módulo de la estación de�ne unconjunto de estaciones, entonces de�ne varios lugares de procesamiento. Cadaestación tiene un área de actividad correspondiente que se utiliza para informarde todos los tiempos y los costes acumulados de las entidades en esta estación.El grá�co siguiente muestra los atributos de esta caja de diálogo.

Donde

Name Nombre del módulo stationStation Type Tipo de estación individual o conjuntoStation Name Nombre de la estaciónParent Activity Area Nombre del área de actividadAssociated intersection Nombre de la intersección asociadaReport Statistics Reporte estadísticos asociada a la estación

Usos:

(a) De�nición de un área de producción

(b) De�nición de un conjunto de casetas de peaje

(c) De�nición de un área de preparación de alimentos

10. Módulo Seize (Módulo Regulador)

Asigna uno o más reguladores a la entidad. Cuando una entidad entra en estemódulo, se espera en una cola hasta que todos los reguladores especi�cadosestén disponibles al mismo tiempo. Un regulador asignado es liberado por unaentidad cuando el tiempo de servicio ha concluido. El grá�co siguiente muestralos atributos de esta caja de diálogo

.

DondeName Nombre del módulo seizeAllocation Especi�ca el tipo de reguladorPrioirity Establece el nivel de prioridadResource Nombra los recursos a utilizarseQueue Type Establece el tipo de colaQueue Name Nombre de la cola

Usos:

(a) Múltiples entidades tratando de usar el mismo recurso

(b) Aplica una selección dependiendo el tipo de recurso

(c) Clientes utilizando al mismo tiempo el único recurso

11. Módulo Release (Módulo Liberador)

Se utiliza para liberar las acciones que ha realizado una entidad en el móduloseize, permitiendo que otras entidades que están en espera puedan apoderarsedel recurso. El grá�co siguiente muestra los atributos de esta caja de diálogo.

DondeName Nombre del módulo releaseResource Nombra los recursos a utilizarse

Usos:

(a) Línea de espera de un proceso productivo en serie.

(b) Dispostivo para cerrar o abrir una válvula.

(c) Proceso que cede el control a otro proceso.

12. Módulo Variable (Módulo Variable)

Se utiliza para de�nir variables y valores iniciales. Las variables pueden hacerreferencia a otros módulos y asignar otros valores, tales como incrementar odecrementar y ser utilizado por cualquier otra expresión. La asignación se puederealizar a traves de : Interfaz de hoja de cálculo, y de la hoja del módulo. Elgrá�co siguiente muestra los atributos de esta caja de diálogo.

DondeName Nombre del módulo scheduleVariable Type Tipo de variable o arregloVariable Name Nombre de la variableTo value Número inicial de�nidoRate De�nición del incrementoUnits Incremento en tiempoUpdate Interval Actualizar arregloAllocation Tipo de asignación

Usos:

(a) Número de entidades procesadas en una actividad

(b) Número de serie para asignar a las partes en un proceso de producción

(c) Incremento o decremento de una variable

Utilización de Distribuciones Probabilísticas

1. UNIFORME(Min, Max) o UNIF(Min, Max)

Se usa cuando todos los valores en un rango �nito se consideran igualmenteprobables. A veces se emplea cuando no hay disponible ninguna otra infor-mación más que el rango. La distribución uniforme tiene una varianza másgrande que otras distribuciones que se utilizan cuando escasea la información(por ejemplo, la distribución triangular).

2. TRIANGULAR(Min, Mode, Max) o TRIA(Min, Mode, Max)

Es totalmente asimétrica y se presenta al estudiar tiempos entre averías, en-tre llegadas, entre accidentes, o en fabricación donde existe la imposibilidad desuperar un valor o bien se ha realizado una selección de 100% de alguna carac-terística. Se utiliza cuando no se conoce la forma exacta de la distribución perose estima el mínimo, el máximo y la moda. La distribución triangular es másfácil de usar y explicar que otras distribuciones que se pueden utilizar en estasituación (por ejemplo, la distribución beta)

3. BETA(Beta, Alfa) o BE(Beta, Alfa)

Por su capacidad para tomar una amplia variedad de forma, esta distribucióna medida se usa como un modelo aproximado en la ausencia de datos. Labeta a menudo se usa para representar proporciones aleatorias, tales como laproporción de artículos defectuosos en un lote. También se puede usar comouna distribución general y muy �exible para representar muchas cantidades deentrada que se supone que tienen un rango limitado a ambos extremos.

4. EXPONENCIAL(Mean) o EXPO(Mean)

Se utiliza para modelar tiempos entre eventos en llegadas y procesos de nofuncionamiento aleatorios, pero por lo general no es apropiada para modelartiempos de retraso del proceso.

5. GAMMA(Beta, Alfa) o GAMM(Beta, Alfa)

Para parámetros de forma de números enteros, la gamma es la misma que ladistribución Erlang. La gamma se usa con frecuencia para representar el tiemporequerido para completar alguna tarea (por ejemplo, un tiempo de máquina oun tiempo de reparación de máquina).

6. NORMAL(Mean, StdDev) o NORM(Mean, StdDev)

Se usa en situaciones en las que aplica el teorema del límite central, esto es, lascantidades que son las sumas de otras cantidades. También se utiliza de formaempírica para muchos procesos que parecen tener una distribución simétrica.Debido a que el rango teórico es de menos in�nito a más in�nito, la distribuciónno debería emplearse para cantidades positivas como tiempos de proceso.

7. POISSON(Mean) o POIS(Mean)

Es una distribución discreta que a menudo se utiliza para modelar el número deeventos aleatorios que ocurren en un intervalo �jo de tiempo. Si el tiempo entrelos eventos sucesivos está distribuido de forma exponencial, entonces el númerode eventos que ocurren en un intervalo �jo de tiempo tiene una distribuciónPoisson. La distribución Poisson también se usa para modelar tamaños de lotealeatorios.

8. WEIBULL(Beta, Alfa) o WEIB(Beta, Alfa)

Se emplea mucho en modelos de �abilidad para representar el tiempo de vida deun mecanismo. Si un sistema consiste en un gran número de partes que fallan deforma independiente y si el sistema se descompone cuando cualquier parte falla,entonces el tiempo entre fallas sucesivas puede aproximarse con la distribuciónWeibull. Esta distribución también se utiliza para representar tiempos de tareano negativos.