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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
ESCOLA DE ENGENHARIA DE LORENA - EEL/USP
AMANDA FARIA BARUEL
SIMULAÇÃO DO NÚCLEO MORTO EM CATALISADORES
POROSOS UTILIZANDO ALGORITMO GENÉTICO
LORENA - SP
2012
AMANDA FARIA BARUEL
SIMULAÇÃO DO NÚCLEO MORTO EM CATALISADORES
POROSOS UTILIZANDO ALGORITMO GENÉTICO
Monografia apresentada à Escola de
Engenharia de Lorena da Universidade de
São Paulo como requisito parcial para
obtenção do título de Engenheiro
Químico.
Orientador: Prof. Dr. Félix Monteiro Pereira
LORENA - SP
2012
AUTORIZO A REPRODUÇÃO E PUBLICAÇÃO TOTAL OU PARCIAL DESTE
TRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRÔNICO, PARA
FINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE.
CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO
Assessoria de Documentação e Informação
Escola de Engenharia de Lorena
Baruel, Amanda Faria
Simulação do núcleo morto em catalisadores porosos utilizando
algoritmo genético. Amanda Faria Baruel; orientador Félix Monteiro
Pereira – Lorena, 2012.
27 f
Monografia apresentada como requisito parcial para a conclusão de
Graduação do curso de Engenharia Química da Escola de Engenharia de
Lorena, Universidade de São Paulo.
1. Modelagem e simulação de processos químicos; I. Baruel, Amanda
Faria II. Pereira, Félix Monteiro, Orient.
RESUMO
BARUEL, A. F. Simulação do núcleo morto em catalisadores porosos utilizando
algoritmo genético. 2012. 27 f. Monografia - Escola de Engenharia de Lorena, Universidade
de São Paulo, 2012.
Neste trabalho de conclusão de curso, foi realizado um estudo sobre a simulação da
ocorrência de núcleo morto em catalisadores porosos para cinéticas de ordem zero e de
primeira ordem. Para esse estudo foram utilizados os métodos numéricos, shooting e
colocação ortogonal global na resolução do problema de valor de contorno. Utilizou-se
também o algoritmo genético para a resolução do problema. A metodologia utilizando a
colocação global e o algoritmo genético foi capaz de representar os valores do fator de
efetividade obtidos com as soluções analíticas para ambas as cinéticas. Dessa forma a
resolução demandou um esforço menor de programação, do que se utilizado o método
numérico de colocação ortogonal de elementos finitos.
Palavras-chave: Modelagem e simulação, Núcleo morto, Catalisadores porosos, Algoritmo
genético.
ABSTRACT
BARUEL, A. F. Simulation of the dead core in porous catalysts using genetic algorithm.
2012. 27 f. Monograph - Escola de Engenharia de Lorena, Universidade de São Paulo, 2012.
In this work, it was studied the simulation of the dead core in porous catalysts for zero and
first-order kinetics. To solve the problems it was used two numerical methods: shooting and
global-orthogonal-collocation. It was also used the genetic algorithm computational system to
optimize the resolution of the problem. By using the global-orthogonal-collocation method
with genetic algorithm it was possible to attain the effectiveness-factor values obtained with
the analytical solutions for booth kinetics. The resolution demanded a minor programming
work than that with the numerical method orthogonal-collocation in finite elements.
Keywords: Modeling and simulation, Dead core, Porous catalysts, Genetic Algorithm.
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ....................................................................................... 6
1.1. OBJETIVOS ............................................................................................. 6
1.2. JUSTIFICATIVA ..................................................................................... 7
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .............................................................. 8
2.1. CATALISADORES .................................................................................. 8
2.1.1. Catalisadores porosos ............................................................................. 9
2.2. NÚCLEO MORTO ................................................................................... 9
2.3. MODELAGEM MATEMÁTICA .......................................................... 10
2.4. MÉTODO SHOOTING .......................................................................... 12
2.4.1. Insucesso da Utilização do Método Shooting...................................... 13
2.5. ALGORITMO GENÉTICO.................................................................... 14
2.5.1. Inicialização da população ................................................................... 16
2.5.2. Cálculo da aptidão ................................................................................ 16
2.5.3. Seleção .................................................................................................... 16
2.5.4. Reprodução ............................................................................................ 17
2.5.5. Mutação ................................................................................................. 17
2.5.6. Parâmetros genéticos ............................................................................ 18
2.5.7. Finalização ............................................................................................. 18
3. METODOLOGIA ................................................................................. 19
4. RESULTADOS ..................................................................................... 20
4.1. MÉTODO SHOOTING COM ALGORITMO GENÉTICO .................. 20
4.2. COLOCAÇÃO ORTOGONAL COM ALGORITMO GENÉTICO ...... 22
5. CONCLUSÕES ..................................................................................... 25
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................ 26
6
1. INTRODUÇÃO
Uma das abordagens clássicas para a resolução de problemas de valor de contorno
consiste no método shooting, que consiste em uma associação entre um método de integração
de sistemas de equações diferenciais ordinárias (Métodos de Runge-Kutta, Adams, entre
outros) e um método para a resolução de equações algébricas não lineares (Newton-Raphson,
bisseção, entre outros).
No trabalho realizado por Pereira (2008) verificou-se que para alguns casos, o método
shooting não foi capaz de resolver o problema de valor de contorno, gerando respostas
insatisfatórias, ou simplesmente divergindo. Para conseguir resolver o problema, Pereira
(2008) propôs a utilização de uma metodologia um pouco mais complexa, o método da
colocação ortogonal em elementos finitos. Porém, essa metodologia requer um maior esforço
de programação, uma vez que para cada tipo de problema de valor de contorno, um grande
sistema de polinômios ortogonais deve que ser criado.
1.1. OBJETIVOS
O presente trabalho possui como objetivo principal realizar a simulação do núcleo
morto em catalisadores porosos utilizando algoritmo genético na resolução do problema de
valor de contorno obtido a partir do balanço material no interior da partícula. A fim de
cumprir esse objetivo utilizou-se o método shooting empregando o algoritmo genético em
substituição aos métodos tradicionais de resolução de sistemas de equações algébricas.
A diferença entre se utilizar uma meta-heurística como o algoritmo genético em
substituição aos métodos tradicionais consiste no modo em que a convergência para a resposta
desejada se dá. Dessa forma, obtendo-se sucesso com a metodologia proposta, a resolução do
problema de valor de contorno demandará um menor esforço de programação, simplificando
sua utilização para diferentes tipos de cinética de reação.
7
1.2. JUSTIFICATIVA
A modelagem e a simulação do fenômeno de difusão-reação no interior da partícula
consistem em etapas do projeto de reatores utilizando catalisadores porosos.
Em um trabalho anterior, Pereira (2008) observou que o método shooting não era
capaz de simular problemas envolvendo a ocorrência de núcleo morto, que consiste em uma
região no interior do catalisador na qual a concentração de reagente é nula. Testou ainda os
métodos de colocação ortogonal global e de colocação ortogonal em elementos finitos sendo
que, no caso, apenas o método da colocação ortogonal em elementos finitos foi capaz de
simular a ocorrência de núcleo-morto satisfatoriamente.
Porém, por envolver uma metodologia mais complexa, a colocação ortogonal em
elementos finitos gera um esforço de programação grande, uma vez que cada tipo equação
diferencial acarreta em um diferente sistema de polinômios ortogonais.
A fim de diminuir o esforço de programação, uma abordagem diferente para o método
shooting está sendo proposta nesse trabalho, essa abordagem envolve a utilização do método
heurístico de otimização utilizando algoritmo genético em substituição aos métodos
tradicionalmente utilizados na solução de sistemas de equações algébricas (Newton-Raphson
e Bisseção). Sendo o modo de convergência do algoritmo genético diferente das metodologias
utilizadas anteriormente no trabalho de Pereira (2008), espera-se que seja possível obter
resultados diferentes.
Portanto o presente trabalho pretende verificar a utilização da metodologia proposta,
que, caso tenha sucesso na simulação, simplificará a programação computacional para a
estimativa do núcleo-morto em catalisadores porosos.
8
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1. CATALISADORES
Catalisadores são substâncias que aumentam a velocidade de uma reação. Essa
mudança de velocidade de reação ocorre através da alteração no mecanismo da reação
acarretando na redução da energia de ativação sem que haja alteração da entalpia e da energia
livre da mesma. Esse fenômeno é mostrado na Figura 1 (FOGLER, 1996).
Figura 1. Ação do catalisador na redução da energia de ativação para uma reação: (I) reação
não catalisada; (II) reação catalisada.
Hoje em dia, aproximadamente 85% dos produtos químicos são produzidos através de
reações catalíticas, que possibilitam a produção em alta escala de produtos de uso diário.
Esses produtos incluem, por exemplo, gasolina, fertilizadores, plásticos, detergentes, remédios
e certos alimentos (AMORIM et al., 2007).
Atualmente, a catálise é uma poderosa área de pesquisa acadêmica e industrial. Essas
pesquisas têm acarretado em melhorias para os processos industriais que utilizam
catalisadores. Os catalisadores heterogêneos se destacam entre os catalisadores de maior
interesse industrial, esses catalisadores geralmente são constituídos de sólidos inorgânicos
porosos ou não porosos, mássicos ou suportados, de diferentes áreas específicas, contendo
sítios ativos que irão efetivamente catalisar a reação (CALDAS, 2009).
Em um processo químico pode ser vantajoso utilizar o catalisador na forma sólida.
Pois assim é possível eliminar vários estágios de separação, além de colaborar com a redução
9
da corrosão dos equipamentos e a poluição do meio ambiente. O catalisador nessa forma pode
ser regenerado com maior frequência e possui maior estabilidade térmica, permitindo um
melhor controle da reação em temperaturas elevadas (AMORIM et al., 2007).
Os catalisadores na forma sólida podem ser separados de uma forma simples e
completa, podendo assim ser reutilizados. Para alguns catalisadores essa reutilização é
necessária devido ao seu elevado valor de mercado. Essa separação torna a catálise
heterogênea economicamente atrativa (OLIVEIRA, 2006).
2.1.1. Catalisadores porosos
Catalisadores porosos são aqueles que possuem uma grande área resultante de poros.
Como por exemplo, o níquel Raney, que é utilizado na hidrogenação de óleos vegetais e
animais, a platina sobre a alumina utilizada para se obter altas octanagens na reforma de
naftas de petróleo e o catalisador de ferro promovido, utilizado na síntese da amônia
(OLIVEIRA, 2006).
Esses catalisadores são utilizados para se obter uma maior área de contato com os
reagentes, aumentando o número de sítios ativos para a adsorção e reação química na
superfície catalítica (ROSA, 2005).
2.2. NÚCLEO MORTO
Na catálise em que se empregam catalisadores porosos o reagente precisa difundir em
seu interior, podendo o sistema pode entrar em equilíbrio antes mesmo que o catalisador possa
ser utilizado inteiramente. Isso se deve a relação entre o tamanho do catalisador, a taxa de
reação e a taxa de difusão (AMORIM et. al., 2004).
Quando todo o catalisador não for utilizado, haverá uma região onde a concentração
de reagente é nula. Essa região é chamada de núcleo morto como demonstrado na Figura 2.
Sendo assim nem todo o catalisador é reativo, e dependendo das dimensões do grão, seu
rendimento será baixo (OLIVEIRA et al., 2004).
10
Figura 2. Ocorrência do núcleo morto em Ω0 na partícula catalítica Ω (ROSA et al., 2004).
Se a relação entre a taxa de reação e a taxa de difusão for pequena, o tamanho da
partícula não será um problema para que o reagente difunda por todo o catalisador. Porém,
caso essa relação seja muito elevada, pode ser que não se consiga difundir o reagente de modo
suficientemente rápido para que atinja os pontos mais interiores da partícula catalítica,
podendo assim ocorrer o núcleo morto (AMORIM et al., 2004; ROSA et al., 2004).
2.3. MODELAGEM MATEMÁTICA
Para uma cinética de ordem n qualquer, o balanço material adimensionalizado é dado
pela seguinte equação diferencial (PEREIRA, 2008).
n
a
a
a
aa
a cdx
dc
xdx
cd 22
2
21
(1)
Onde na Equação 1:
ca é a concentração adimensional de reagente no interior da partícula,
calculada através da divisão da concentração em uma determinada posição do
interior da partícula pela concentração de reagente no meio fluido externo à
partícula;
xa é a coordenada espacial que corresponde à divisão entre uma posição
medida a partir do centro da partícula e a distância entre o centro e a superfície
da partícula (comprimento para placa plana infinita e raio para cilindro infinito
ou esfera);
α é o fator correspondente à geometria da partícula (=1 para geometria
retangular, =2 para geometria cilíndrica e =3 para geometria esférica);
11
0
02
cD
v
ef
é o módulo de Thiele;
v0 é a velocidade da reação para a concentração de reagente no meio fluido
externo à partícula (c0).
Def é o coeficiente de difusão efetivo de reagente no interior da partícula.
O fator de efetividade (), o qual é a razão entre a velocidade de reação real (incluindo
a restrição difusional) e a velocidade v0 pode ser calculado a partir da seguinte equação
(PEREIRA, 2008):
1
2
1
axa
a
dx
dc
(2)
As condições de contorno, considerando a possibilidade da ocorrência de núcleo morto
são apresentadas pelas seguintes equações:
0a
a
dx
dc para axa (3)
1ac para 1ax (4)
Onde, na Equação (3), a corresponde à posição adimensional a partir do centro da
partícula, delimitando a região na qual ocorre o núcleo morto.
Para a cinética de ordem zero, o fator de efetividade obtido analiticamente, para as
geometrias retangular, esférica e cilíndrica é dado pela seguinte equação (PEREIRA, 2008):
a1 (5)
Quando não ocorre núcleo morto, a = 0, o fator de efetividade é igual a 1, pois para a
cinética de ordem zero a velocidade de reação independe da concentração de reagente.
Para a cinética de ordem um, o fator de efetividade obtido analiticamente, para as
geometrias retangular esférica e cilíndrica, é dado pelas seguintes equações, respectivamente:
tanh (6)
12
)2(I
)2(I
0
1
(7)
23
1
3tanh
1
(8)
Onde, 0 e 1 são funções de Bessel modificadas de primeiro tipo e ordem zero e um,
respectivamente.
Segundo Peneireiro (1994), irá ocorrer núcleo morto apenas para cinéticas de ordem
inferior a 1. Entretanto, Pereira (2008) considerou necessário avaliar a ocorrência de um
núcleo morto prático, que consiste na região interna do catalisador a para a qual a
concentração de reagente, obtida utilizando métodos numéricos, seja igual a zero, pois ao se
resolver numericamente o problema para cinética de ordem 1, Pereira (2008) verificou a
ocorrência do núcleo morto para elevados valores de módulo de Thiele, o que está relacionado
ao erro computacional inerente a qualquer método numérico.
2.4. MÉTODO SHOOTING
Método shooting é uma entre várias outras técnicas para solução de problemas de
equações diferenciais envolvendo valores de contorno (REZENDE, 2007).
O método shooting consiste na utilização de um método numérico para a integração de
equações diferenciais ordinárias partindo-se de uma das condições de contorno (estimada à
priori), em conjunto com um método de solução de equações algébricas não lineares para
satisfazer a outra condição de contorno, no caso de uma equação de 2a ordem (PEREIRA,
2008).
Se o objetivo não for atingido, o problema não estará resolvido e a condição inicial
deverá ser ajustada. O parâmetro de shooting pode ser a derivada inicial ou valor inicial
(REZENDE, 2007).
13
2.4.1. Insucesso da Utilização do Método Shooting
No trabalho realizado por Pereira (2008) observou-se que o método Shooting,
apresentou problemas de convergência, para elevados valores de modulo de Thiele, para as
cinéticas de ordem zero (para a geometria esférica) e de primeira ordem(para todas as
geometrias clássicas), conforme apresentado na Figura 3, que consiste em um gráfico do fator
de efetividade em função do módulo de Thiele para as cinéticas de ordem zero (0) e de
primeira ordem (1) para as geometrias retangular (ret.), cilíndrica (cil.) e esférica (esf.) para os
resultados obtidos analiticamente (an.) e numericamente (num.).
Figura 3. Fator de efetividade em função do módulo de Thiele para as cinéticas de ordem
zero e um – método shooting (PEREIRA, 2008).
Na Figura 3 observa-se que, para o método shooting, foram obtidos valores de fator de
efetividade idênticos aos calculados utilizando a solução analítica, porém o método não foi
capaz de calcular o valor do fator de efetividade para elevados valores de ( >10) para a
cinética de ordem um, para todas as geometrias e para a cinética de ordem zero, para a
geometria esférica. Segundo Pereira (2008), o perfil simulado de concentração de reagente no
interior da partícula consistia de um valor de concentração constante e igual a zero, o que
desrespeita a condição de contorno na superfície da partícula.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0,01 0,1 1 10 100
an.ret.0 num.ret.0 an.cil.0 num.cil.0 an.esf.0 num.esf.0
an.ret.1 num.ret.1 an.cil.1 num.cil.1 an.esf.1 num.esf.1
14
Ao avaliar o método shooting para cinéticas enzimáticas mais complexas para as quais
a solução analítica não pode ser obtida, Pereira (2008) verificou que o método shooting não
era capaz de calcular, de forma satisfatória, o fator de efetividade em várias condições, o que
acarretou na busca por outra metodologia mais complexa para a resolução do problema de
valor de contorno, e dentre as metodologias analisadas pelo autor, apenas o método da
colocação ortogonal em elementos finitos foi capaz de resolver satisfatoriamente o problema
de valor de contorno para todas as cinéticas estudadas naquele trabalho.
2.5. ALGORITMO GENÉTICO
Algoritmos genéticos consistem em modelos computacionais inspirados no
mecanismo de evolução natural, que incorporam uma solução potencial para um problema
específico da mesma forma que um cromossomo aplicando operadores de seleção,
reprodução, e mutação. Uma vantagem dos algoritmos genéticos é a simplificação que eles
permitem na formulação e solução de problemas de otimização (PACHECO, 1999;
MIRANDA, 2011).
O algoritmo genético se inspira na teoria de evolução de Charles Darwin, e de acordo
com essa teoria, a seleção para os mais aptos é privilegiada, tendo esses indivíduos maior
probabilidade de reprodução (PACHECO, 1999).
Para construção do algoritmo genético, esses princípios são imitados, por meio de
populações e soluções codificadas através de cromossomos artificiais, buscando uma melhor
solução para o problema (PACHECO, 1999).
A estrutura de um algoritmo genético, apresentada na Figura 4 começa com uma
população inicial aleatória de cromossomos. Essas estruturas são avaliadas e associadas a uma
probabilidade de reprodução sendo que maiores probabilidades são associadas aos
cromossomos que representam uma melhor solução para o problema de otimização do que
aqueles que representam uma pior solução (PACHECO, 1999; MIRANDA, 2011).
15
Figura 4. Estrutura de um algoritmo genético (MIRANDA, 2011).
A função objetivo de um problema de otimização é construída a partir dos parâmetros
envolvidos no problema. É essa função que permite o cálculo da aptidão bruta de cada
indivíduo, que será usada para calcular a probabilidade do indivíduo ser selecionada para
reprodução (MIRANDA, 2011).
Analisando a Figura 4, pode-se observar que a iteração do algoritmo genético
corresponde a quatro aplicações básicas: cálculo da aptidão, seleção, reprodução e mutação.
Depois de efetuadas essas operações é criada uma nova população que se espera que
represente uma melhor solução do problema de otimização. Essa nova população é chamada
de geração (MIRANDA, 2011).
Fim
Seleção
Mutação
Reprodução
Não
Sim Solução
encontrada?
Cálculo da aptidão
Início
Inicialização
da população
16
2.5.1. Inicialização da população
Aqui é determinado o processo de criação dos indivíduos para a primeira geração do
algoritmo genético. Normalmente, indivíduos criados aleatoriamente formam a população
inicial. Essa população pode ser formada por bons cromossomos para evoluir mais
rapidamente (PACHECO, 1999).
2.5.2. Cálculo da aptidão
Os indivíduos são avaliados para que se determine seu grau de aptidão. Indivíduos
mais aptos tem um maior grau de aptidão. Este é o ponto do algoritmo mais dependente do
problema em si. Aqui é necessário que o algoritmo seja capaz de responder se uma resposta é
boa ou não para o problema inicial (LUCAS, 2002).
2.5.3. Seleção
Nessa etapa os indivíduos são selecionados para o cruzamento. Aqui é realizado um
sorteio utilizando o grau de aptidão de cada um. Onde a probabilidade dos mais aptos serem
selecionados é maior (LUCAS, 2002).
O método da roleta é um método muito utilizado para a seleção, nesse método os
indivíduos são representados por uma fatia de tamanho proporcional a sua aptidão relativa.
Assim indivíduos com uma maior aptidão relativa têm uma fatia de tamanho maior na roleta,
e os indivíduos com menor aptidão relativa tem uma fatia pequena. A roleta então é girada
dependendo do tamanho da população. Os novos indivíduos sorteados são os escolhidos para
fazer parte da nova geração. Como representado na Figura 5 (PACHECO, 1999;
CARVALHO, 2012).
Figura 5. Indivíduos de uma população e sua correspondente roleta de seleção (PACHECO,
1999; CARVALHO, 2012).
17
2.5.4. Reprodução
Os indivíduos selecionados na etapa anterior são embaralhados e assim é formada uma
lista de parceiros. Os indivíduos são então cruzados com seus devidos parceiros criando assim
novos indivíduos que farão parte da nova geração. Os descendentes terão o material genético
dos seus pais, mas são diferentes dos mesmos, como demostrado na Figura 6 (PACHECO,
1999; MIRANDA, 2011).
Figura 6. Exemplo de um cruzamento. (a) dois indivíduos são escolhidos (b) um ponto de
crossover é escolhido (c) são recombinadas as características, gerando dois
indivíduos (CARVALHO, 2012).
2.5.5. Mutação
A mutação é necessária para haver diversidade genética da população, existem várias
formas de se efetuar essa operação.
A forma mais convencional consiste em, alterar facultativamente alguns dos
componentes de uma estrutura escolhida, como demostrado na Figura 7. Trazendo para a
população novos indivíduos (CARVALHO, 2012).
Figura 7. Exemplo de mutação (CARVALHO, 2012).
A mutação também pode ser efetuada através da troca de posição de dois genes
aleatoriamente escolhidos (PACHECO, 1999).
18
2.5.6. Parâmetros genéticos
Dentre os vários parâmetros que podem ser escolhidos para melhorar o desempenho
do algoritmo genético, os mais importantes são (PACHECO, 1999; MIRANDA, 2011):
Tamanho da população: Número de pontos do espaço de busca sendo
considerados em paralelo a cada ciclo.
Numero de gerações: Total de ciclos de evolução no algoritmo genético.
Probabilidade de cruzamento: Probabilidade de um indivíduo ser recombinado
com outro. Na literatura essa probabilidade está na faixa de 60 a 65%.
Probabilidade de mutação: Probabilidade do conteúdo de uma posição/gene do
cromossomo ser alterado. Na literatura essa probabilidade está entre 0,1 e 5%.
2.5.7. Finalização
A finalização ocorre por meio de um teste. O fim do processo de evolução se dá
quando o algoritmo atinge um ponto de parada pré-estabelecido. O critério de finalização
pode ser desde o número de gerações criadas até o grau de convergência da atual população
(por convergência entende-se o grau de proximidade dos valores da avaliação de cada
indivíduo da população) (LUCAS, 2002).
19
3. METODOLOGIA
Para a resolução numérica serão utilizados os métodos numéricos existentes no
software computacional Scilab ®, função “ode” na integração numérica e função “optim_ga”
para a otimização da condição de contorno utilizando algoritmo genético, ambas no seguinte
algoritmo proposto para o presente trabalho apresentado na Figura 8.
Figura 8. Fluxograma da metodologia utilizada para o cálculo do fator de efetividade, para a
avaliação da ocorrência do núcleo morto e para o cálculo do parâmetro relativo à
sua posição.
Parâmetros fornecidos:
- Módulo de Thiele ();
- Geometria ();
Valor inicial: Parâmetro relativo ao núcleo morto (a=0).
Método numérico para integração da equação:
- Shooting;
Algoritmo genético
Fixa a = 0 ;
Calcula ca ( para xa=0) que otimize a função
objetivo fobj (condição de contorno)
fobj=|ca( paraxa=1)-1|.
Resultados finais:
- Seleciona a função objetivo mais próxima de zero;
- Calcula o fator de efetividade e retorna os valores de a e de ca para xa=a.
Algoritmo genético
Fixa ca= 0 para xa=a ;
Calcula a que otimize a função objetivo fobj
(condição de contorno)
fobj=|ca( paraxa=1)-1|.
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4. RESULTADOS
4.1. MÉTODO SHOOTING COM ALGORITMO GENÉTICO
A metodologia proposta, empregando-se o algoritmo genético, foi avaliada a partir de
comparações entre os resultados obtidos numericamente e aqueles obtidos analiticamente
conforme discutido a seguir.
Utilizando o programa elaborado a partir do algoritmo computacional descrito, foram
obtidos os resultados apresentados na Tabela 1, na qual estão apresentados: o fator de
efetividade calculado numericamente (ηn), e analiticamente (ηa), os valores do módulo de
Thiele crítico calculados numericamente (n) e analiticamente (a).
21
Tabela 1. Resultados obtidos utilizando método shooting com algoritmo genético para as
cinéticas de ordem zero e um.
Ordem α a n a ɳa ɳn
0 1 0,5 √ 1,4142 0 1 1
0 1 1 √ 1,4142 0 1 1
0 1 2 √ 1,4142 0,2929 0,7071 0,7071
0 1 4 √ 1,4142 0,6464 0,3536 0,3536
0 1 8 √ 1,4142 0,8232 0,1768 0,1768
0 2 0,5 1 1,0000 0 1 1
0 2 1 1 1,0000 0 1 1
0 2 2 1 1,0000 0,6184 0,6176 0,6176
0 2 4 1 1,0000 0,8173 0,332 0,3320
0 2 8 1 1,0000 0,9102 0,1715 0,1715
0 3 0,5 √ ⁄ 0,8165 0 1 1
0 3 1 √ ⁄ 0,8165 0,3870 0,9421 0,9421
0 3 2 √ ⁄ 0,8165 0,7409 0,5934 0,5934
0 3 4 √ ⁄ 0,8165 0,8770 0,3255 0,3255
0 3 8 √ ⁄ 0,8165 0,9399 0,1698 0,1698
1 1 0,5 - * 0 0,9242 0,9242
1 1 1 - * 0 0,7616 0,7616
1 1 2 - * - 0,482 -
1 1 4 - * - 0,2498 -
1 1 8 - * - 0,125 -
1 2 0,5 - 18,3477 0 0,8928 0,8928
1 2 1 - 18,3477 0 0,6978 0,6978
1 2 2 - 18,3477 0 0,4318 0,4318
1 2 4 - 18,3477 0 0,2338 0,2338
1 2 8 - 18,3477 - 0,1210 -
1 3 0,5 - 32,6911 0 0,8762 0,8762
1 3 1 - 32,6911 0 0,6716 0,6716
1 3 2 - 32,6911 0 0,4167 0,4167
1 3 4 - 32,6911 0 0,2292 0,2292
1 3 8 - 32,6911 - 0,1198 -
* O método não converge para elevados valores de módulo de Thiele,
impossibilitando a obtenção de um valor de n confiável.
Nota-se pela Tabela 1 que, apesar de não convergir para todos os casos, o
algoritmo genético associado ao shooting foi capaz de obter resultados idênticos aos
obtidos analiticamente.
22
A partir da metodologia utilizada, foi possível a obtenção de um gráfico do fator
de efetividade em função do módulo de Thiele para as cinéticas de ordem zero (0) e de
primeira ordem (1) para as geometrias retangular (ret.) cilíndrica (cil.) e esférica (esf.)
para os resultados obtidos analítica (an.) e numericamente (num.) apresentado na
Figura 9.
Figura 9. Fator de efetividade em função do módulo de Thiele para as cinéticas de ordem
zero e um – Shooting com Algoritmo genético.
A Figura 9 apresenta o mesmo problema obtido por Pereira (2008), o que indica
problemas no método de integração das equações. Quanto ao Algoritmo Genético, observa-se
que os resultados obtidos numericamente são idênticos aos analíticos o que indica que o
Algoritmo genético foi capaz de fazer o problema convergir para a solução adequadamente.
4.2. COLOCAÇÃO ORTOGONAL COM ALGORITMO GENÉTICO
Os resultados obtidos com o método da colocação ortogonal, utilizando a metodologia
proposta, estão apresentados na Tabela 2.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0,01 0,1 1 10 100
an.ret.0 num.ret.0 an.cil.0 num.cil.0
an.esf.0 num.esf.0 an.ret.1 num.ret.1
an.cil.1 num.cil.1 an.esf.1 num.esf.1
23
Tabela 2. Resultados obtidos utilizando método da colocação ortogonal com algoritmo
genético para as cinéticas de ordem zero e um.
ordem α a n a ɳa ɳn
0 1 0,5 √ 1,4142 0 1 1
0 1 1 √ 1,4142 0 1 1
0 1 2 √ 1,4142 0,2929 0,7071 0,7071
0 1 4 √ 1,4142 0,6464 0,3536 0,3536
0 1 8 √ 1,4142 0,8232 0,1768 0,1768
0 2 0,5 1 1,0000 0 1 1
0 2 1 1 1,0000 0 1 1
0 2 2 1 1,0000 0,6184 0,6176 0,6176
0 2 4 1 1,0000 0,8173 0,332 0,3320
0 2 8 1 1,0000 0,9102 0,1715 0,1715
0 3 0,5 √ 0,8165 0 1 1
0 3 1 √ /3 0,8165 0,3870 0,9421 0,9421
0 3 2 √ /3 0,8165 0,7409 0,5934 0,5934
0 3 4 √ /3 0,8165 0,8770 0,3255 0,3254
0 3 8 √ /3 0,8165 0,9406 0,1698 0,1655
1 1 0,5 - 11,5076 0 0,9242 0,9242
1 1 1 - 11,5076 0 0,7616 0,7616
1 1 2 - 11,5076 0 0,482 0,482
1 1 4 - 11,5076 0 0,2498 0,2498
1 1 8 - 11,5076 0 0,125 0,125
1 2 0,5 - 25,3817 0 0,8928 0,8928
1 2 1 - 25,3817 0 0,6978 0,6978
1 2 2 - 25,3817 0 0,4318 0,4318
1 2 4 - 25,3817 0 0,2338 0,2338
1 2 8 - 25,3817 0,238 0,1210 0,1210
1 3 0,5 - 23,3568 0 0,8762 0,8762
1 3 1 - 23,3568 0 0,6716 0,6716
1 3 2 - 23,3568 0 0,4167 0,4167
1 3 4 - 23,3568 0,065 0,2292 0,2291
1 3 8 - 23,3568 0,395 0,1198 0,1196
Os resultados apresentados na Tabela 2 mostram que o método da colocação ortogonal
foi capaz de calcular, com boa precisão, o fator de efetividade e a posição do núcleo-morto
para a cinética de ordem zero. Para a cinética de primeira ordem observa-se a ocorrência de
núcleo-morto, o que, pela solução analítica não ocorre. Porém, mesmo na para a solução
24
analítica, para elevados valores de módulo de Thiele, a concentração no interior da partícula
se aproxima de zero em uma parte do catalisador, porém, devido ao erro computacional e dos
métodos utilizados, verifica-se a ocorrência de um núcleo-morto prático para elevados valores
de módulo de Thiele para a cinética de primeira ordem quando resolvida numericamente, o
que já foi descrito e discutido no trabalho de Pereira, 2008. Dessa forma, utilizando-se o
método da colocação ortogonal foi possível obter o fator de efetividade para qualquer módulo
de Thiele, conforme mostrado na Figura 10.
Figura 10. Fator de efetividade em função do modulo de Thiele para as cinéticas de ordem
zero e um – colocação ortogonal com algoritmo genético
A Figura 10 não apresenta o problema obtido por Pereira (2008), o que indica que o
algoritmo genético associado ao método da colocação ortogonal global resolveu os problemas
causados pela metodologia utilizada no referido trabalho que utilizava na busca da solução os
métodos de Newton-Raphson e da bissessão. Dessa forma, pode-se utilizar o algoritmo
genético em conjunto com o método da colocação ortogonal global ao invés de se utilizar o
método da colocação ortogonal em elementos finitos, que gera um grande número de
equações não lineares a ser resolvido, tornando mais trabalhoso o processo de programação.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0,01 0,1 1 10 100
an.ret.0 num.ret.0 an.cil.0 num.cil.0an.esf.0 num.esf.0 an.ret.1 num.ret.1an.cil.1 num.cil.1 an.esf.1 num.esf.1
25
5. CONCLUSÕES
A partir dos resultados obtidos durante a avaliação da metodologia proposta permitem
concluir que:
O método shooting, apresentou problemas de convergência, não sendo capaz de
resolver o problema de valor de contorno para todos os casos;
É possivel resolver o problema de valor de contorno utilizando o algoritmo
genético para a estimativa da posição do núcleo-morto para o método da
colocação ortogonal global, eliminando dessa forma a necessidade da utilização
do método da colocação ortogonal em elementos finitos;
A desvantagem do algoritmo genético em comparação com os métodos da
bisseção e de Newton-Raphson é o maior tempo de processamento necessário,
porém, o maior tempo de processamento é compensado pelo número de respostas
obtidas, pois enquanto o método da bisseção e o de Newton-Raphson possibilitam
a abtenção de uma única resposta, o algoritmo genético gera uma população de
respostas, da qual podemos retirar o melhor resultado da população, ou em casos
que possibilitem mais de uma resposta, permitindo retirar as melhores respostas
distintas entre si.
26
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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ao problema de determinação do núcleo morto em catalisadores porosos. Lorena – SP, 2007
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solução do problema de determinação do núcleo morto em catalisadores porosos. Lorena –
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27
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