universidade do estado de mato grosso campus de...
TRANSCRIPT
Aula 04 – Teoria das deformações
Eng. Civil Augusto Romanini
Sinop - MT
2017/1
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS DE SINOP
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGIAS
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
MECÂNICA DOS SÓLIDOS II
Mecânica dos Sólidos II
Aula 01 – Teoria das Tensões
Aula 05 – Flambagem de Colunas
Aula 06 – Torção Simples/Pura
19/05/2017 2
AULAS
Aula 00 – Apresentação/Revisão
Aula 02 – Critérios de Resistência
Aula 04 – Teoria das Deformações
Aula 03 – Vasos de Pressão de Paredes Finas
Mecânica dos Sólidos II19/05/2017 3
Objetivos
Conceitos
Introdução
Lei de Hooke Generalizada
Estado Plano de Deformação
Rosetas de Deformação
Mecânica dos Sólidos II19/05/2017 4
Objetivos
Objetivo Geral: Apresentar a teoria das deformações aplicadas em estruturas civis usuais e afins.
Objetivo Especifico:
• Definir e aplicar o estado plano de deformações em quaisquer direções.
• Mostrar como transformar as componentes de deformação, associados a um sistema de coordenadas particular, em
componentes associadas a um sistema de orientação diferente.
Mecânica dos Sólidos II19/05/2017 5
Introdução
Ações Externas Tensões Deformações Deslocamentos
Ações de carregamento
Defeitos de fabricação
Variação de temperatura
Axial
Normal
Cisalhamento
Torção
Combinadas
Mecânica dos Sólidos II19/05/2017 6
Conceitos
Ações Externas Tensões Deformações Deslocamentos
Deformação longitudinal Deformação Transversal Deformação Distorcional
Importante: Deformação não é deslocamento, o deslocamento é uma
consequência das deformações.
Mecânica dos Sólidos II19/05/2017 7
Conceitos
A partir da Lei de Hooke, criou – se uma
constante que relaciona o a deformação
longitudinal com a transversal, essa constante
é denominada coeficiente de Poisson.
A letra representa o coeficiente de Poisson.
O valor deste coeficiente deve estar entre
𝟎, 𝟎𝟎 ≤ 𝝁 ≤ 𝟎, 𝟓𝟎
Mecânica dos Sólidos II19/05/2017 8
Lei de Hooke Generalizada
As expressões acima constituem a chamada Lei de Hooke Generalizada. Para esta expressão assumimos que os
materiais são homogêneos e isotrópicos - possuem as mesmas propriedades em todas as direções. Assumimos também
que as tensões de cisalhamento não afetam as deformações lineares. Assumimos ainda válido o princípio da
superposição. Para as tensões 1,2 e 3 ou tensões x,y,z.
𝜀𝑥 =1
𝐸∙ 𝜎𝑥 − 𝜇 ∙ (𝜎𝑦 + 𝜎𝑧 (1)
𝜀𝑦 =1
𝐸∙ 𝜎𝑦 − 𝜇 ∙ (𝜎𝑥 + 𝜎𝑧 (2)
𝜀𝑧 =1
𝐸∙ 𝜎𝑧 − 𝜇 ∙ (𝜎𝑦 + 𝜎𝑥 (3)
𝛾𝑥𝑦 =𝜏𝑥𝑦
𝐺(4)
𝛾𝑥𝑧 =𝜏𝑥𝑧
𝐺(5)
𝛾𝑦𝑧 =𝜏𝑦𝑧
𝐺(6)
Mecânica dos Sólidos II19/05/2017 9
Estado Plano de Deformação
Assim como o estado plano de tensão , tem – se o estado plano de deformações – EDP. As equações são semelhante
bem como a orientação de suas variáveis. O que é importante lembrar é que em situações de alongamento tem – se o
sinal positivo e na situação de encurtamento tem – se o sinal negativo.
Mecânica dos Sólidos II19/05/2017 10
Estado Plano de Deformação
Transformação de deformações
𝜀𝑥′ =𝜀𝑥 + 𝜀𝑦
2+
𝜀𝑥 − 𝜀𝑦
2∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 +
𝛾𝑥𝑦
2∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝜀𝑦′ =𝜀𝑥 + 𝜀𝑦
2−
𝜀𝑥 − 𝜀𝑦
2∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 −
𝛾𝑥𝑦
2∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝛾𝑥𝑦′
2= −
𝜀𝑥 − 𝜀𝑦
2∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃 +
𝛾𝑥𝑦
2∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃
Deformações Principais
𝜀1,2 =𝜀𝑥 + 𝜀𝑦
2±
𝜀𝑥 − 𝜀𝑦
2
2
+𝛾𝑥𝑦
2
2
Planos de Atuação
𝑇𝑔2𝛼1,2 =𝛾𝑥𝑦
𝜀𝑥 − 𝜀𝑦
𝑇𝑔2𝛼3,4 = −𝜀𝑥 − 𝜀𝑦
𝛾𝑥𝑦
Mecânica dos Sólidos II19/05/2017 11
Rosetas de Deformação
A deformação normal em um corpo de prova de teste de tração é medida usando-se um extensômetro de resistência elétrica,
que consiste em uma malha de filamentos ou um pedaço de folha de metal acoplado ao corpo-de-prova.
No carregamento geral de um corpo, as deformações normais em um ponto da superfície livre são determinadas em geral
usando-se três extensômetros de resistência elétrica agrupados de acordo com um padrão específico. Esse padrão é
denominado Roseta.
As deformações são medidas no plano das malhas. O corpo não sofre tensões em sua superfície, os extensômetros podem
está sujeitos ao estado plano de tensões, mas não ao estado plano de deformações
Mecânica dos Sólidos II19/05/2017 12
Rosetas de Deformação
Mecânica dos Sólidos II19/05/2017 13
Rosetas de Deformação
𝜀𝑎 = 𝜀𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑎 + 𝜀𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑎 + 𝛾𝑥𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑎
𝜀𝑏 = 𝜀𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑏 + 𝜀𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑏 + 𝛾𝑥𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑏
𝜀𝑐 = 𝜀𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑐 + 𝜀𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑐 + 𝛾𝑥𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐
Mecânica dos Sólidos II19/05/2017 14
Circulo de Mohr para EPD
𝜀𝑐 =𝜀𝑥 + 𝜀𝑦
2
𝑅 =𝜀𝑥 − 𝜀𝑦
2
2
+𝛾𝑥𝑌2
2
Mecânica dos Sólidos II19/05/2017 15
Referências
GERE, J. M. Mecânica dos Materiais. Tradução de Luiz Fernando de Castro Paiva, Revisão Técnica de Marco Lucio Bittencourt. 5 ed.
São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. 689 p.
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. Tradução de Arlete Simille Marques; Revisão Técnica de S. S.da Cunha Junior.7 ed. São
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 641 p.
Mecânica dos Sólidos II
Obrigado pela atenção.
Perguntas?
19/05/2017 16
Mecânica dos Sólidos II19/05/2017 17
Exemplos
Exemplo 01 – Para o EPT abaixo obtenha. O material possui E = 21000 kN/cm² e G = 8100 kN/cm².
EPT𝜎𝑥 = 20,00 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
𝜎𝑦 = 10,00 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
𝜏𝑥𝑦 = 5,00 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
a) Deformações para o EPT
b) Deformações principais
c) Deformações especificas para um plano a 30º.
𝐺 =𝐸
2 1 + 𝜇
𝜀𝑥 =1
𝐸∙ 𝜎𝑥 − 𝜇 ∙ (𝜎𝑦 + 𝜎𝑧 (1)
𝜀𝑦 =1
𝐸∙ 𝜎𝑦 − 𝜇 ∙ (𝜎𝑥 + 𝜎𝑧 (2)
𝛾𝑥𝑦 =𝜏𝑥𝑦
𝐺(4)
𝜀𝑥′ =𝜀𝑥 + 𝜀𝑦
2+
𝜀𝑥 − 𝜀𝑦2
∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 +𝛾𝑥𝑦2
∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝜀𝑦′ =𝜀𝑥 + 𝜀𝑦
2−
𝜀𝑥 − 𝜀𝑦2
∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 −𝛾𝑥𝑦2
∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝛾𝑥𝑦′2
= −𝜀𝑥 − 𝜀𝑦
2∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃 +
𝛾𝑥𝑦2
∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃
𝜀1,2 =𝜀𝑥 + 𝜀𝑦
2±
𝜀𝑥 − 𝜀𝑦2
2
+𝛾𝑥𝑦2
2
Mecânica dos Sólidos II19/05/2017 18
Exemplos
Exemplo 02 – Os componentes de deformação especifica em
um ponto de um corpo sujeito ao estado plano de
deformações são εx =+435με, εy =-135μe e xy=-642μrad. A
figura mostra a configuração deformada de um elemento
sujeito a essas deformações. Determine as deformações
especificas principais e a deformação especifica por
cisalhamento máxima absoluta para a situação. Mostre
em um desenho (circulo de Mohr) esquemático as
deformações especificas principais e a distorção máxima no
plano das deformações.
Mecânica dos Sólidos II19/05/2017 19
Exemplos
Exemplo 03 – Uma viga de testes será instrumentada para que possam ser mensuradas as deformações
geradas pelas combinações impostas pelo carregamento. A viga foi instrumentada com três
extensômetros. Os três extensômetros são denominados A,B,C. No entanto durante o ensaio o
extensômetro A não forneceu leituras devido a um defeito. O ponto instrumentado é considerado crítico e
deseja – se saber as tensões atuantes. São fornecidas os dados na tabela. Utilize E = 20705,00 kN/cm² e
= 0,35.
a) O EPT para a viga
b) O efeito da deformação
Dados da leitura crítica
Extensômetro Deformação Posição com a horizontal
A Desconhecida 0 º
B 15,10 E-5 30º
C 8,20 E-5 90º
𝜀𝑎 = 𝜀𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑎 + 𝜀𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑎 + 𝛾𝑥𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑎
𝜀𝑏 = 𝜀𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑏 + 𝜀𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑏 + 𝛾𝑥𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑏
𝜀𝑐 = 𝜀𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑐 + 𝜀𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑐 + 𝛾𝑥𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐
𝜀𝑥 =1
𝐸∙ 𝜎𝑥 − 𝜇 ∙ (𝜎𝑦 + 𝜎𝑧 (1)
𝜀𝑦 =1
𝐸∙ 𝜎𝑦 − 𝜇 ∙ (𝜎𝑥 + 𝜎𝑧 (2)
𝜀𝑥′ =𝜀𝑥 + 𝜀𝑦
2+
𝜀𝑥 − 𝜀𝑦2
∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 +𝛾𝑥𝑦2
∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃
Mecânica dos Sólidos II19/05/2017 20
Exemplos
Exemplo 04 – Um tanque de formato cilíndrico tem parede de 6 mm de
espessura e diâmetro interno de 600 mm. O aço utilizado na construção tem
módulo de extensão longitudinal de 20000 kN/cm² e coeficiente de Poisson de
0,30. Você foi contratado para prestar uma consultoria para a empresa que é
responsável pelo tanque para aferir a pressão no tanque. A necessidade da
empresa ocorreu porque os manômetros instalados apresentam leituras
diferentes. A solução encontrada foi instrumentar a parede do tanque com
extensômetros. Por estar começando na sua carreia você só tem um
extensômetros e seus “colegas” de profissão não podem emprestar outros para
você por motivos diversos. Consultando um profissional mais experiente ele lhe
disse apenas uma informação: posicione o extensômetro a 18º com o plano
horizontal. Coletadas as informações constatou – se que a leitura no
extensômetro manteve – se constante no valor de 2,8E-4. Obtenha a informação
solicitada pela empresa. Sugere – se que você utilize as equações abaixo se
necessário. Considere, se necessário, x = 1 e y = 2;
𝜀𝑚é𝑑𝑖𝑜 = 0,525 ∙𝜎𝑥𝐸
𝑅 = 0,325 ∙𝜎𝑥𝐸
Mecânica dos Sólidos II19/05/2017 21
Exemplos
Exemplo 05 – Um tanque de armazenamento cilíndrico é utilizado para
transporta gás sobre pressão. Por questão de segurança do tanque
optou – se construir o tanque com placas de aço com 19 mm de
espessura. O tanque tem diâmetro interno de 610 mm. A empresa que
armazena e transporta os tanques precisa apresentar para as
autoridades as pressões dentro do tanque e as tensões que atuam na
parede do tanque. Os tanques devido ao seu formato e ao tipo de gás
não possuem manômetros, dessa forma a empresa instalou um par de
extensômetro na parede de um tanque e realizou leituras , o
extensômetro posicionado longitudinalmente apresentou leitura de 6,0
E-5, enquanto o outro apresentou leitura de 2,55 E-4,esta situação é a
principal no plano de análise. A empresa sabe que o módulo transversal
do tanque é de 7720 kN/cm² e tem os EPT’s de tração e compressão
apresentados a seguir. Considere, se necessário, x = 1 e y =2;
Apresente as informações solicitadas anteriormente e ainda:
a) Apresente o EPT para a situação;.
b) Verifique com base no critério de Mohr se este material pode ser
utilizado ;
M1 7,00
2,00
4,50
M1 8,00
6,00
4,00
Mecânica dos Sólidos II19/05/2017 22
Exercícios Sugeridos
Hibeller 7ed – Capitulo 10 – Pag.371 – Disponível na biblioteca.
10.1, 10.3, 10.4, 10.28, 10.29, 10.48