Universidade Federal de Ouro Preto – UFOP Instituto de Ciências Exatas e Biológicas – ICEB

Departamento de Computação – DECOM Disciplina: Teoria dos Grafos

Professor: Marco Antonio M. Carvalho

Lista de Exercícios 03 1. Identifique todas as árvores geradoras dos grafos abaixo.

2. Mostre um grafo simples ponderado que possui duas árvores geradoras de custo mínimo distintas.

3. Execute os algoritmos de Prim e Kruskal para cada um dos grafos abaixo.

1. Execute o algoritmo baseado em DFS e o algoritmo de Kahn para obtenção de ordenações topológicas para

os grafos abaixo:

2. Execute o algoritmo baseado em DFS e o algoritmo de Kahn para obtenção de ordenações topológicas para o grafo abaixo, considerando os seguintes critérios para seleção de vértices:

a. Vértice de menor índice; b. Vértice com o menor número de arestas de saída; c. Vértice de maior índice; d. Vértice com o maior número de arestas de saída; e. Visualmente, da esquerda para a direita, de cima para baixo.

4. Seja G um grafo não dirigido com n vértices e C(G) o seu complemento. a. Se n<8, então G ou C(G) é planar;

�������

�����������

�����

��� ����

�������

��������

�����������

������

�������

������ ����

���

b. Se n>8, então G ou C(G) é não planar; c. Se n=8, nada pode ser dito. Posto isto, responda: d. G=K4,4. G é... ? C(G)é...? e. G=K3,3+aresta{x,y}. G é... ? C(G)é... ? 5. O grafo de Petersen é planar? 6. Mostre que o grafo dos estados do Brasil é planar. 7. Mostre que o complemento de um circuito de comprimento 6 é planar. 8. Mostre que um mapa plano tem uma e uma só face se e somente se o grafo do mapa é uma

floresta. 9. Seja M um mapa plano e suponha que o grafo do mapa é um caminho. Mostre que M tem apenas

uma face. 10. Considere um mapa plano que representa uma grade pxq. Quantas faces tem o mapa? 11. Seja M um mapa plano que representa uma grade 3-por-4. Faça uma figura do grafo das faces (ou

seja, do grafo dual) de M. 12. Faça uma figura dos grafos das faces de cada um dos grafos abaixo:

13. Mostre que se um grafo G não é 2-conexo, então G não é hamiltoniano. 14. Um grafo grade 5x5 é hamiltoniano? E um grafo grade nxn para qualquer valor de n? 15. Demonstre que o primeiro grafo abaixo é hamiltoniano, ao passo que o segundo grafo não é

hamiltoniano.

16. Para cada um dos grafos abaixo, determine se o mesmo: a. É hamiltoniano; b. É euleriano; c. É semi-hamiltoniano; d. É semi-euleriano; e. Está de acordo com o teorema de Dirac;

f. Está de acordo com o teorema de Ore; g. Está de acordo com o teorema de Bondy-Chvátal; h. Está de acordo com o teorema de Euler.

17. Execute os algoritmos de Hierholzer e Fleury para os grafos do exercício anterior que estão de

acordo com o teorema de Euler. 18. Para cada um dos grafos abaixo, determine a solução do problema do caixeiro viajante e do

problema do carteiro chinês utilizando os algoritmos vistos em aula.

19. Modele detalhadamente cada um dos problemas abaixo como o problema do caixeiro viajante ou o problema do carteiro chinês, o que melhor se adequar. Indique o que são os vértices, as arestas e porque o seu modelo é adequado ao problema.

a. Um veículo deve atender a uma determinada região, fazendo entregas pré-definidas. É

necessário determinar a rota de menor comprimento para tanto; b. A prefeitura de uma cidade está recadastrando todos os imóveis de uma cidade para o cálculo

do IPTU. Os funcionários fazem este serviço a pé, já que precisam visitar todas as casas de todas as ruas. É necessário determinar a rota que os funcionários caminharão, havendo preferência pelas rotas mais curtas;

c. Durante o projeto de um chip, você deve minimizar o uso do material utilizado para fazer as

conexões entre os componentes, dado que a localização dos componentes é pré-definida; d. Voluntários de um órgão de proteção à natureza planejam limpar as margens de todos rios de

uma região. No entanto, há vários cruzamentos entre diferentes rios. Como os voluntários farão o serviço a pé, eles estão interessados em obter a menor rota única para que o serviço seja realizado. Considere que as duas margens de cada rio são limpas ao mesmo tempo;

e. O tribunal eleitoral de uma pequena cidade está planejando recolher todas as urnas eletrônicas das sessões eleitorais logo após o término da votação para começar a apuração. Há apenas um carro disponível, e, dado o mapa viário da cidade, é necessário obter a menor rota entre os pontos de votação, incluindo a sede do tribunal, para que o veículo recolha as urnas e volte à sede do tribunal, para que a apuração comece o mais rápido possível;

f. Chapas de aço de diferentes profundidades podem ser cortadas industrialmente com um facho

de plasma, produzindo pequenas peças, como demonstra a figura abaixo. A posição de tais peças é pré-definida na chapa. O corte utilizando esta técnica é muito caro, e portanto, é necessário determinar a rota a ser seguida pelo braço mecânico que movimenta o facho de plasma ao longo da chapa de aço para realizar o corte. Esta rota deve ser minimizada, principalmente nos casos em que não se desliga em nenhum momento o facho de plasma, mesmo durante a movimentação entre o corte de duas peças diferentes.