universiteti i gjakov Ës “fehmi agani fakulteti i … krasniqi.pdf · punimi përbëhet prej dy...
TRANSCRIPT
UNIVERSITETI I GJAKOV
ZHVILLIMI DHE FORMIMI I NJOHURIVE FILLESTARE TEK
FËMIJËT E MOSHËS PARASHKOLLORE P
Mentori:
Prof. Ass. Dr. Ilmi Hoxha
UNIVERSITETI I GJAKOVËS “FEHMI AGANI
FAKULTETI I EDUKIMIT
PROGRAMI PARASHKOLLOR
PUNIM DIPLOME
ZHVILLIMI DHE FORMIMI I NJOHURIVE FILLESTARE TEK
FËMIJËT E MOSHËS PARASHKOLLORE PËR TRUPAT DHE FIGURAT
GJEOMETRIKE
Prof. Ass. Dr. Ilmi Hoxha
Gjakovë, 2018
S “FEHMI AGANI”
PROGRAMI PARASHKOLLOR
ZHVILLIMI DHE FORMIMI I NJOHURIVE FILLESTARE TEK
R TRUPAT DHE FIGURAT
Kandidatja:
Erseka Krasniqi
Punim diplome
2
Ky punim diplome u mbrojt më______________________ para komisionit
vlerësues.
Në përbërje ׃
1. __________________________Kryetarё
2. __________________________ Antarё
3. __________________________ Antarё
Komisioni vlerëson punimin më notën׃ ________________
Nënshkrimet e antarëve të Komisionit Vlerësues ׃
1. _____________________________
2. _____________________________
3. _____________________________
Punim diplome
3
Falënderime
Dëshiroj të falënderoj të gjithë ata persona që më përkrahën gjatë këtij rrugëtimi drejt
përfundimit të studimeve bachelor.
Falënderoj familjen për mbështetjen e pakursyer, miqtë që më qëndruan gjithmonë pranë,
profesorin udhëheqës në këtë punim diplome Prof. Dr. Ilmi Hoxha, stafin akademik të
Universitetit “Fehmi Agani”.
Faleminderit!
Punim diplome
4
Përmbajtja Abstrakti .................................................................................................................................................. 5
Hyrje ........................................................................................................................................................ 6
1. Gjeometria ....................................................................................................................................... 7
2. Format gjeometrike .......................................................................................................................... 8
3. Figurat gjeometrike .......................................................................................................................... 9
3.1 Shumëkëndëshat ...................................................................................................................... 9
3.2 Trekëndëshi ............................................................................................................................ 11
3.3 Katërkëndëshi......................................................................................................................... 13
3.4 Pesëkëndëshi .......................................................................................................................... 14
3.5 Rrethi ..................................................................................................................................... 15
4 Trupat gjeometrik .......................................................................................................................... 16
4.1 Kuboidi ................................................................................................................................... 16
4.2 Kubi ........................................................................................................................................ 17
4.3 Prizmi ..................................................................................................................................... 18
4.4 Piramida ................................................................................................................................. 21
4.5 Sfera ....................................................................................................................................... 25
5 Aktivitete matematike-logjike dhe lojëra në funksion të kuptimit të formave gjeometrike.............. 27
5.1 Aktiviteti: Pjesa e humbur ....................................................................................................... 28
5.2 Aktiviteti: Formojmë figura gjeometrike ................................................................................. 29
5.3 Aktiviteti: Formojmë bashkësi me figura ................................................................................. 30
5.4 Aktiviteti: Bashkojmë pjesët ................................................................................................... 31
5.5 Aktiviteti: Plotësojmë format .................................................................................................. 32
5.6 Aktiviteti: Modelojmë figura ................................................................................................... 33
5.7 Aktiviteti: Modelojmë figurat .................................................................................................. 34
5.8 Aktiviteti: Kërcejmë mbi figura ................................................................................................ 35
Përfundim .............................................................................................................................................. 36
Shqyrtimi i literaturës ............................................................................................................................ 37
Punim diplome
5
Abstrakti
Matematika si shkencë synon të përcjell tek nxënësit zhvillim intelektual, aftësinë për të
gjykuar nga këndvështrime të ndryshme, si dhe zhvillimi i imagjinatës dhe aftësisë krijuese.
Punimi fokusohet te dega e matematikës, gjeometria, përkatësisht trupat dhe figurat
gjeometrike dhe formimi i njohurive fillestare i këtyre koncepteve tek fëmijët parashkollor
përmes lojës, aktiviteteve dhe lidhjes së këtyre koncepteve me jetën dhe punën e përditshme të
fëmijëve.
Punimi përbëhet prej dy pjesëve, pjesa e parë flet për trupat dhe figurat gjeometrike,
mbështetur në literaturë dhe njohuri paraprake për temën e caktuar ndërsa pjesa e dytë përmban
lojëra dhe aktivitete të ndryshme në funksion të kuptimit të gjeometrisë, përdorimit të gjeometrisë
në jetën e përditshme të fëmijëve. Qëllimi i lojërave dhe aktiviteteve është që nxënësit përmes
tyre të zhvillojnë njohuri, shkathtë si dhe qëndrime për trupat dhe figurat gjeometrike,
identifikimin e figurave dhe formave të objekteve të ndryshme.
Punim diplome
6
Hyrje
Në klasën përgatitore dhe arsimin fillor matematika paraqet përvetësimin themelor të
nocioneve dhe koncepteve matematike, përforcim dhe zhvillim, kryerjen e veprimeve themelore
në matematikë (mbledhje, zbritje, shumëzim dhe pjesëtim), matjen, formën e trupave dhe
figurave gjeometrike, gjithashtu zgjidhjen e problemeve të ndryshme në jetën e përditshme të
tyre.
Kuptimi i gjeometrisë, përkatësisht figurave dhe trupave gjeometrik, tek fëmijët
parashkollor ka për qëllim t’i aftësoj ata për të kuptuar format, modelet në kontekste të ndryshme,
marrëdhëniet dhe funksionet, paraqitjen dhe analizimin e strukturave matematikore.
Mësimdhënia bashkëkohore mbi lëndën e matematikës e aktualizon aktivitetin e nxënësit,
si një faktor i rëndësishëm në zhvillimin e tij. Parakusht për praktikë të suksesshme mësimore në
lëndën e matematikës është përcaktimi i aktiviteteve të cilat do të mundësojnë stimulim pozitiv
në zhvillimin e çdo fëmije. Prandaj, në orën e matematikës duhet të zbatohen punë praktike,
aktivitete të pavarura dhe kognitive.
Loja ka vlerë të jashtëzakonshme të motivimit, ajo shkakton interes tek nxënësit,
aktivizon vëmendjen dhe mundëson që mësimi të jetë i organizuar dhe i drejtuar. Nxënësit janë
vazhdimisht të interesuar dhe aktiv, gjithashtu në të njëjtën kohë zhvillohet interesi dhe vendosen
bazat e të menduarit logjik dhe matematikor.
Zbatimi i aktiviteteve ka rëndësi të madhe në procesin mësimor për arsye të konkretizimit,
lidhjes së temave në jetën dhe punën e përditshme të fëmijëve. Detyrë e mësimdhënësit është të
siguroj kushte për realizimin e këtyre aktiviteteve dhe lojërave, të siguroj nxitje, vetëbesim,
kushte për mbështetje të nxënësve si dhe pjesëmarrjen e të gjithë nxënësve në këto aktivitete.
Punim diplome
7
1. Gjeometria
Gjeometria është degë e matematikës që merret me çështjen e formës, madhësisë,
pozicionit relativ të figurave dhe trupave.Gjeometria aplikohet në shumë fusha, duke përfshirë
artin, arkitekturën, fizikën si dhe degë të tjera të matematikës.
Fillimet më të hershme të regjistrimit të gjeometrisë mund të gjurmohen në
Mesopotaminë e lashtë dhe në Egjipt. Gjeometria e hershme ishte një koleksion i parimeve të
zbuluara në mënyrë empirike në lidhje me gjatësinë, këndet, zonat dhe vëllimet. Gjeometria më
vonë u revolucionarizua nga Euklidi, që paraqiti ashpërsinë matematikore përmes metodës
aksiomatike dhe është shembulli më i hershëm i formatit të përdorur edhe sot në matematikë:
përkufizimit, aksiomës, teoremës dhe provës1.
Gjeometria bashkëkohore ka shumë nënfusha:
Gjeometria euklidiane është gjeometri në kuptimin e saj klasik, përfshinë studimin e
pikave, vijave, këndeve, trekëndëshave, përputhshmërinë, ngjashmërinë;
Gjeometria diferenciale përdor teknika të njehsimit diferencial dhe algjebrës lineare
për të studiuar problemet gjeometrike. Ka aplikime në fizikë, duke përfshirë në
realitetin e përgjithshëm;
Topologjia është fusha që ka të bëjë më vetitë e objekteve gjeometrike që janë të
pandryshuara nga funksionet e vazhdueshme;
Gjeometria konvekse zbulon forma konvekse në hapësirën Eukilidiane, shpesh duke
përdorur teknika të analizës reale;
Gjeometria algjebrike studion gjeometrinë përmes përdorimit të polinomeve
multivariate dhe teknikave tjera algjebrike;
Gjeometria diskrete ka të bëjë kryesisht me pyetjet e pozicionit relativ të objekteve të
thjeshta gjeometrike, të tilla si pikat, drejëza, etj.
1https://en.wikipedia.org/wiki/Geometry
Forma gjeometrike
orientimi dhe reflektimi hiqen nga p
formë si njëra tjetra themi se jan
se janë të njëtrajtshme.
Punim diplome
8
2. Format gjeometrike
Forma gjeometrike është informacioni gjeometrik që mbetet kur vendndodhja, shkalla,
orientimi dhe reflektimi hiqen nga përshkrimi i një objekti gjeometrik.Objektet q
tra themi se janë të ngjashme, nëse ato gjithashtu kan
Figura.1. Format gjeometrike
betet kur vendndodhja, shkalla,
objekti gjeometrik.Objektet që kanë të njëjtën
se ato gjithashtu kanë të njejtën shkallë, themi
Punim diplome
9
3. Figurat gjeometrike
Format gjeometrike dy-dimensionale përcaktohen nga një sërë pikash dhe vijash që lidhin
pikat në një zingjir të mbyllur, si dhe pikat e brendshme që përmbajn ato forma.
Forma të tilla janë: trekëndëshi, katrori, pesëkëndëshi(pentagon i rregullt). Forma të tjera
mund të përbëhen nga vija të lakuara të mbyllura si: rrethi dhe elipsa.
3.1 Shumëkëndëshat
Figurën e formuar nga vija e thyer e mbyllur e quajmë shumëkëndësh apo poligon.
Segmentet të cilat e përbëjnë vijën e thyer të mbyllur, quhen brinjët e shumëkëndëshit.
Pikat e përbashkëta të brinjëve të njëpasnjëshme quhen kulmet e shumëkëndëshit.
Shumëkëndëshat klasifikohen sipas numrit të brinjëve që kanë. Shumëkëndëshin që ka n-brinjë e
quajmë n-këndësh.2
Nr. i brinjëve 3 4 5
Shumëkëndëshi Trekëndësh Katërkëndësh Pesëkëndësh
Shembull
Shumëkëndëshat quhen konveks, nëse i tëri shtrihet në njërën anë të çdo drejtëze që
përmban cilëndo brinjë të tij, shiko figurën 2.1.a. Në të kundërtën, shumëkëndëshat quhen
konkav, fig 2.1.b
Figura.2.1
2 R. Zenjullahu, E.Hamiti, E.Vula “Matematika 6”, Peje, 2004, f.139
Punim diplome
10
Brinjët e shumëkëndëshit ABCD, i shënojmë me AB, BC, CD dhe DA ose me shkronja të
vogla të alfabetit latin: a, b, c, d,..., etj. Kulmet i shënojmë me shkronja të mëdha të alfabetit latin:
A, B, C, D,…, etj. Kulmet që janë në skaje të të njëjtës brinjë quhen kulme fqinjë, ndërsa në të
kundërtën quhen jofqinjë3.
Në figurën 1.2, kulmet A dhe B, B dhe C, janë kulme fqinjë, kurse A dhe C, B dhe D janë
kulme jofqinjë. Këndin te kulmi A e quajmë kënd i brendshëm i shumëkëndëshit ABCDE dhe e
shënojmë me α. Ndërsa këndin e formuar nga njëra brinjë e shumëkëndëshit dhe vazhdimi i
brinjës tjetër e quajmë kënd i jashtëm i shumëkëndëshit.
Figura.2.2
Segmentet që bashkojnë kulmet jofqinje të shumëkëndëshit, quhen diagonal të
shumëkëndëshit.
Figura.2.3 Diagonalet e shumëkëndëshit
3 R. Zenjullahu, E.Hamiti, E.Vula “Matematika 7”, Peje, 2004, f.50
Trekëndëshi ësht
themelore në gjeometri.
Trekëndëshat klasifikohen
sipas brinjëve:
Trekëndëshi barabrinjësbrendshme i ka të barabarta dhe secili prej tyre është nga 60°
Trekëndëshi barakrahës ose dybrinjëshëm Trekëndëshi brinjëndryshëm
Figura.
Klasifikimi sipas k
Trekëndëshi kënddrejtë Trekëndësh këndgjerë
Trekëndësh këndngushtë
Figura.
Punim diplome
11
3.2 Trekëndëshi
Figura.3: Trekëndëshi
shtë një shumëkëndësh me tre skaje dhe tre kulme,
tri.
klasifikohen në dy grupe: sipas brinjëve dhe sipas
Trekëndëshi barabrinjës, të gjitha brinjët i ka të barabarta poashtu edhe këndet e brendshme i ka të barabarta dhe secili prej tyre është nga 60°.
Trekëndëshi barakrahës ose dybrinjëshëm, ka dy brinjë respektTrekëndëshi brinjëndryshëm, të tre brinjët dhe këndet i ka të ndryshme
Figura.3.1. Llojet e trekëndëshave sipas brinj
Klasifikimi sipas këndeve:
kënddrejtë ka një kënd të brendshëm prej 90°. këndgjerë ka një kënd më të madh se 90°.
Trekëndësh këndngushtë të tre këndet i ka më të vogla se 90°.
Figura.3.2. Llojet e trekëndëshave sipas këndeve
tre kulme, është një ndër format
e dhe sipas këndeve. Klasifikimi
, të gjitha brinjët i ka të barabarta poashtu edhe këndet e
, ka dy brinjë respektivisht kënde të barabarta. , të tre brinjët dhe këndet i ka të ndryshme.
sipas brinjëve.
ndeve.
Punim diplome
12
Shuma e këndeve të brendshme të trekëndëshit është gjithmonë 180 shkallë. Një kënd i
jashtëm i një trekëndëshi është kënd që është palë lineare në një kënd të brendshëm. Masa e një
këndi të jashtëm të një trekëndëshi është e barabartë më shumën e masave të dykëndeve të
brendshmeqë nuk janë ngjitur më të. Prandaj, shuma e këndeve të jashtme të çdo trekëndëshi
është 360 shkallë.
Një teoremë e rëndësishme lidhur me trekëndëshat kënddrejtë është Teorema e Pitagorës,
sipas së cilës në çdo trekëndësh kënddrejtë, katrori i gjatësisë së hipotenuzës është i barabartë me
shumën e katërorëve të gjatësisë së kateteve:
Figura.3.3. Teorema e Pitagorës
Syprina e trekëndëshit tëçfardoshëm
Syprina e trekëndëshit tëçfarëdoshëm ështëbaras me gjysmën e prodhimit të një brinje të
tij me lartësinë përkatëse:
1 1 1
2 2 2a b cS ah bh ch
Vërtetim: Syprina e ∆ABC, lartësia e të cilit është AA’, është baras me shumën e syprinave të
trekëndëshave kënddrejtë ∆A’AB dhe ∆ A’AC, ose me diferencën e syprinave të tyre.
Figura.3.4 . Syprina e trekëndëshit
1 1 1
’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’2 2
( )2
S A A A C AA BA ABA C AA BC AA
Punim diplome
13
Nëse shënojmë gjatësinë e brinëve të trekendëshit më a, b, c dhe lartësitë përkatëse me ha, hb,
hc, kemi:
1 1 1
2 2 2a b cS ah bh ch
3.3 Katërkëndëshi
Figura.4. Katërkëndëshi
Katërkëndëshi është figurë e formuar nga vija e thyer e mbyllur poligonale, e cila
përbëhet prej katër brinjëve, të cilat formojnë katër kënde.
Shuma e këndeve të brendshme të një katërkëndëshi të thjeshtë ABCD është 360 shkallë.
Llojet e katërkëndëshave:
Katrori është një katërkëndësh që ka brinjët e barabarta dhe çdo kënd është i drejtë.
Brinjët e kundërta janë paralele.
Drejtkëndëshi është një formë e katërkëndëshit ku çdo kënd është kënd i drejtë.
Gjithashtu, brinjët e kundërta janë paralele me gjatësi të barabartë
Rombi është një formë katërfaqesh ku të gjitha brinjët kanë gjatësi të barabartë.
Gjithashtu, brinjët e kundërta janë paralele dhe të barabarta. Një gjë interesant është se
diagonalet takohen në mes dhe priten në kënd të drejtë.
Paralelogrami ka brinjëte kundërta paralele dhe të barabarta në gjatësi. Diagonalja e
paralelogramit e ndan atë në dy trekëndësha kongruent.
Punim diplome
14
Figura.4.1. Llojet e katërkëndëshit
3.4 Pesëkëndëshi
Figura.5. Pesëkëndëshi
Në gjeometri, pesëkëndësh quajmë çdo shumëkëndësh që ka pesë brinjë të drejta.
Shuma e këndeve të brendshme të një pesëkëndëshi të rregullt është 540 shkallë.
Pesëkëndëshi mund të jetë i rregullt dhe jo i rregullt. I rregullt është në qoftë se i ka
këndet dhe të gjitha brinjët të barabarta, përndryshe është jo i rregullt. Gjithashtu forma e tij
mund të jetë konkave apo konvekse, një pesëkëndësh konveks këndet e brendshme të tij nuk
mund të jenë më shumë se 180 shkallë, ndërsa kur çdo kënd i brendshëm është më i madh se 180
shkallë atëherë pesëkëndëshi është konkav.
Vijë rrethore ( rreth) me qend
në rrafsh, largesa e të cilave nga pika O
Elementet e rrethit:
Rrezja e rrethit: segmenti
rreze e rrethit dhe
Hark rrethor quajm
saj, duke përfshir
Diametri i rrethit
dhe kalon nëpër qendr
pjesëve e quajmë
Korda e rrethit: segmentin i
diametri i rrethit
Sipërfaqja rrethore
sipërfaqe rrethore.
Segmenti rrethor
quajmë segment rrethor.
Sektori rrethor: pje
rreze, e quajmë sek
Perimetri i rrethit është sa dyfishi i prodhimit të rrezes me piformulën e mëposhtme:
Sipërfaqja e rrethit gjendet duke shumëzuar pi
Punim diplome
15
3.5 Rrethi
Figura.6. Rrethi dhe sektori i rrethit
rrethore ( rreth) me qendër në pikën O dhe rreze r e quajm
cilave nga pika O është e njëjtë, r. E shënojm
Elementet e rrethit:
: segmentin i cili bashkon qendrën e rrethit me cil
rreze e rrethit dhe zakonisht shënohet me r.
quajmë bashkësinë e pikave të rrethit (vijës rrethore) nd
rfshirë edhe vetë ato pika.
rrethit: diametër të rrethit quajmë segmentin, i cili bashkon dy pika t
r qendrën e tij. Diametri e ndan rrethin në dy
ë gjysmërreth. Diametri shënohet me d: d =2r
: segmentin i cili bashkon çdo dy pika të rrethit
rrethit është një kordë.
rfaqja rrethore: bashkësinë e pikave të rrethit dhe pikave brenda tij, e quajm
rfaqe rrethore.
Segmenti rrethor: pjesën e sipërfaqes rrethore të kufizuar me nj
segment rrethor.
: pjesën e sipërfaqes rrethore, të kufizuar me nj
sektor rrethor.
Perimetri i rrethit është sa dyfishi i prodhimit të rrezes me pi-në ( P = 2πr = πd.
Sipërfaqja e rrethit gjendet duke shumëzuar pi-në (π) me katrorin e rrezes:
n O dhe rreze r e quajmë bashkësinë e pikave
nojmë me l(O,r).
hit me cilëndo pikë të tij e quajmë
s rrethore) ndërmjet dy pikave të
cili bashkon dy pika të rrethit
pjesë, secilën prej këtyre dy
d =2r.
hit, e quajmë kordë e rrethit,
rrethit dhe pikave brenda tij, e quajmë
kufizuar me një kordë dhe një hark e
kufizuar me një hark rrethor dhe me dy
në (π) dhe gjendet me
π) me katrorin e rrezes: S = πr2
Punim diplome
16
4 Trupat gjeometrik
Format gjeometrike tre-dimensionale mund të përcaktohen nga një grup i pikave, vijat që
lidhin këto pika me sipërfaqet dy-dimensionale nga ato rreshta si dhe pika e brendshme që
përmban. Forma të tilla janë: kubi, kuboidi, prizmi dhe piramida.
Figura.7. Llojet e trupave gjeometrik
4.1 Kuboidi
Figura.7.1. Kuboidi
Kuboidi është një shumëfaqësh konveks i kufizuar nga gjashtë katërkëndësha, grafiku i
të cilit ështëinjëjtë me atë të një kubi.
Kuboidi është trup i veçantë, sipërfaqet drejtkëndëshe, tëcilat e kufizojnë kuboidin
paraqesin sipërfaqen e përgjithshme të tij. Secila prej sipërfaqeve drejtkëndëshe është një faqe e
kuboidit. Faqet e kuboidit të cilat u takojnë rrafsheve paralele, i quajmë faqe të përballshme të
kuboidit. Te kuboidi, secilën faqe të tij mund ta konsiderojmë si bazën e tij. Gjatësia e brinjës e
Punim diplome
17
cila është normale mbi bazën, është lartësia e kuboidit lidhur me atë bazë. Në praktikë thuhet se
kuboidi i ka tri dimensione (përmasa): gjatësinë, gjerësinë dhe lartësinë. Gjatësia dhe gjerësia
janë përmasat e bazës.
Syprina anësore dhe syprina e përgjithshme e kuboidit.
Sipërfaqen anësore të kuboidit e formojnë katër faqe të kuboidit, të cilat nuk janë paralele
me bazën. Syprina e sipërfaqes anësore është e barabartë me shumën e syprinave të katër
sipërfaqeve drejtkëndëshe, të cilat përbëjnë sipërfaqen anësore të kuboidit. Nëse shënojmë me a
gjatësinë e kuboidit, me b gjerësinë e tij dhe lartësinë e shënojmë më c, formula për njehsimin e
sipërfaqes së kuboidit do të jetë4:
S = 2ab + 2ac + 2bc = 2( ab + bc +ca)
Sipërfaqja e përgjithshme e kuboidit është sipërfaqja e përbërë nga faqet e tij. Syprina e
sipërfaqes së përgjithshme të kuboidit është e barabartë me shumën e syprinave të të gjitha faqeve
të tij.
4.2 Kubi
Figura.7.2. kubi
Kubi është një objekt tredimensional i ngurtë i kufizuar nga gjashtë faqe ose anë
katrore, me tre takime në çdo kulm.
Kur dimensionet e kuboidit a, b dhe c janë të barabarta; a = b = c, kuboidin e tillë e
quajmë kub.
4 R. Zenjullahu, E.Hamiti, E.Vula, S. Bilalli “Matematika 6”, Peje, 2004, f.232
Punim diplome
18
Vëllimi i kuboidit tregon sasinë e hapësirës të zënë nga një trup, V a b c . Vëllimi
matet me njësi kubike metër kub.
4.3 Prizmi
Figura.7.3. Prizmi
Në gjeometri, prizmi është një shumëfaqësh që përmban n-faqe dhe një bazë prej n-
këndesh. Prizmi është bashkësia e të gjitha pikave të kufizuara më sipërfaqe të mbyllura.
Sipërfaqja e cila e përkufizon prizmin është sipërfaqja e përgjithshme e prizmit. Dy sipërfaqet
shumëkëndëshe janë bazat e prizmit. Sipërfaqen të cilën e përbëjnë sipërfaqet paralelograme
(faqet anësore) është sipërfaqja anësore e prizmit5.
Distanca ndërmjet bazave të prizmit paraqet lartësinë e prizmit. Secila faqe anësore e
prizmit ka dy brinjë të përbashkëta me bazat (brinjët e bazës).
Dallojmë dy lloje të prizmit:
Prizmi i drejtë i ka të gjitha brinjët anësore normale në brinjët e bazës. Prizmin e drejtë i
cili e ka bazën sipërfaqe të rregullt e quajmë prizmi i rregullt
Prizmi që nuk është i drejtë quhet prizmi i pjerrtë.
Sipas formës së bazës dallojmë këto lloje:
Prizmi trefaqësor kur baza e tij është sipërfaqe trekëndëshe;
Prizmi katërfaqësor kur baza e tij është sipërfaqe katërkëndëshe;
Prizmi pesëfaqësor kur baza e tij është sipërfaqe pesëkëndëshe.
Prizmin baza e të cilit është sipërfaqe paralelograme, e quajmë paralelopiped.
5 R. Zenjullahu, E.Hamiti, E.Vula “Matematika 7”, Peje, 2004, fq.169
Punim diplome
19
Figura.7.4. Rrjeti i prizmit
Syprina e prizmit
Sipërfaqe e prizmit quhet unioni i sipërfaeve të bazave dhe sipërfaqes së mbështjellsit.
Syprinë e prizmit quhet syprina e sipërfaqes së tij (numri matës i sipërfaqes).
Shënojmë më S, M dhe B, përkatësisht, syprinën e prizmit, të mbështijellsit dhe të bazës.
Atëherë:
S = 2B + M
E shprehim këtë formulë me anë të gjatësive të brinjëve të prizmit. Së pari, baza B është
ndonjë figurë, e cila shprehet me brinjët e saj. Marrim një prizëm të pjerrët, p.sh. trefaqësorë
ABCA’B’C’ dhe A1 B1C1 le të jetë një prerje e drejtë e tij. Syprina e mbështjellësit M është baras
me shumën e syprinave të prizmit, pra
M = S1 + S2 + S3
Shënojmë me a, b, c, gjatësinë e brinjëve të prerjes A1 B1C1, kurse me m gjatësinë e tehut
anësor të prizmit. Atëherë:
S1 = a∙ m, S2 = b ∙ m, S3 = c ∙ m
dhe syprina e mbështjellësit është:
M = S1 + S2 =a∙ m + b ∙ m + c ∙ m = ( a + b + c )m
Kështu kemi vertetuar se:
Syprina e mbështjellësit të prizmit (të pjerrët) është e barabartë me prodhimin e
perimetrit të prerjes së drejtë dhe gjatësisë së tehut anësor të prizmit.
Punim diplome
20
Kur prizmit është i drejtë, kemi:
Syprina e mbështjellësit të drejtëështë i barabartë me prodhimin e perimetrit të bazës dhe
lartësisë së prizmit.
Prizmi i rregullt trefaqësor
Nga prizmi i rregullt trefaqësor dhe baza e tij kemi:
B = ��√�
�, M = 3 a H,
prandaj:
S = 2B + M = 2 ∙a2√3
2 + 3 a H.
Prizmi i rregullt katërfaqësor
Formula për llogaritjen e syprinës së prizmit të rregullt katërfaqësor është:
S = 2 a (a + 2H)
Prizmi i rregullt gjashtëfaqësor
Le të jetë a brinja e bazës kurse H lartësia e prizmit gjashtëfaqësor. Baza B përbëhet nga 6
trekëndësha barabrinjës më brinjën a, prandaj
B = 6 a2√3
2 = 3
a2√3
2,
kurse M = 6 a H.
Prandaj:
S = 2B + M = 2 ∙ 3 a2√3
2 + 6 a H, pra:
S = 3a (√3� + 2H).
Shembull. Lartësia e prizmit të rregullt gjashtëfaqësor është H = 8 cm, kurse syprina e
mbështjellësit M = 192 cm2. Të njehsohet syprina e prizmit.
Zgjidhje: Së pari nga elementi i dhënë M = 192 cm2, meqë M = 6 a H, kemi:
Punim diplome
21
A = �
�� =
���
�� = 4 cm
Kurse, baza
B = 3 a2√3
2 = 3
��√�
� = 24 ∙ 1,73 = 41,52 cm2.
Syprina e prizmit është:
S = 2B + M ≈ 83,04 + 192 = 175,04, pra S = 175,04 cm2.
4.4 Piramida
Figura.7.4. Piramida
Piramidë quhet shumëfaqëshi i kufizuar nga faqet e një qosheje dhe nga një rrafsh që
pret të gjitha brinjët e kësaj qosheje.
Piramida është bashkësia e të gjitha pikave të hapësirës të kufizuara më sipërfaqe të
mbyllura. Sipërfaqja e cila e kufizon piramidën është sipërfaqja e përgjithshme ë piramidës.
Sipërfaqja shumëkëndëshe është baza e piramidës dhe sipërfaqja e formuar nga sipërfaqet
trekëndëshe është sipërfaqja e anëshme e piramidës. Secila faqe e anëshme ka me bazën një
brinjë të përbashkët(brinja e bazës).
Dallojmë dy tipa kryesor piramidash:
Piramida e drejtë, kur kulmi i saj ndodhet në drejtëzën e cila është normale në bazën e
piramidës dhe kalon nëpër qendrën e rrethit të brendashkruar në shumëkëndëshin e bazës.
Piramidën e drejtë e cila ka bazën në sipërfaqe të rregullt e quajmë piramidë e rregullt.
Piramidën e cila nuk është e drejtë e quajmë piramidë e pjerrët.
Sipas formës së bazës dallojmë:
Piramidën trifaqësore kur baza e saj është sipërfaqe trekëndëshe;
Punim diplome
22
Piramidën katërfaqsore kur baza e saj është sipërfaqe katërkëndëshe;
Piramidën pesëfaqsore kur baza e saj ështësipërfaqe pesëkëndëshe;
Sipërfaqja e përgjithshme e piramidës ka një veti të rëndësishme, ajo mund të shtrihet në
rrafsh.Në këtë mënyrë fitohet rrjeti i sipërfaqes së përgjithshme të piramidës.
Figura.7.5. Rrjeti i piramidës
Syprina e piramidës
Sipërfaqe e piramidës quhet unioni i sipërfaqes së bazës dhe sipërfaqes së mbështjellësit.
Syprinë e piramidës quhet numri matës i sipërfaqes së saj.
Shënojmë me B dhe M, përkatësisht, syprinën e bazës dhe të mbështjellësit, kurse me S
syprinën e priamidës, atëherë:
S = B + M (*)
Barazimi (*) paraqet formulën e përgjithsmë për njehsimin e syprinës së piramidës.
Le të jetë SA1A2... An një priamidë e rregullt n- faqësore. Mbështjellësi i saj përbëhet nga
n- trekëndësha barakrahësh kongruentë, prandaj:
M = n ∙ SA1A2... An = n ∙ �∙�
� =
�∙��
�.
Meqë n∙ a = P – perimetri i bazës, kemi:
Punim diplome
23
M = �∙�
�
Kështu kemi vertetuar pohimin: syprina e mbështjellësit të piramidës së rregullt është e
barabrtë me gjysmën e prodhimit të perimetrit të bazës dhe apoemës.
Piramida e rregullt trefaqësore
Baza e piramidës së rregullt trefaqësore e ka syprinën
B = a2√3
2
dhe nga pohimi i vertetuar më sipër për syprinën e mbështjellësit, kemi :
M = �∙�
� =
���
�,
Prandaj syprina e piramidës është:
S = B + M = a2√3
2 +
���
�
Shembull. Njehsoni syprinën e piramidës së rregullt trefaqësore me brinjën e bazës 12 cm e
apotemën 20 cm.
Zgjidhje: Drejtpërdrejtë nga formula e fundit, duke zëvendësuar elementet e dhëna, kemi:
S = �
���√�
�+ 3ℎ� = S =
��
����√�
�+ 3 ∙ 20� = 6 �6√3+ 60� = 422,3 cm2.
Piramida e rregullt katërfaqësore
Baza e kësaj piramide është katror me brinjën a, pra B = a2. Syprina e mbështjellësit
M = ���
� = 2ah.
Prandaj syprina e piramidës është:
S = B + M = a2 + 2 a h = a (a + 2h).
Punim diplome
24
Piramida e rregullt gjashtëfaqësore
Baza e piramidës është gjashtëkëndësh i rregullt, që përbëhet nga 6 trekëndësha
barabrinjës me brinjën a, prandaj:
B = 6 a2√3
2= 3
a2√3
2 dhe M =
�∙�
� =
��∙�
�= 3ah.
S = M + B = 3 a2√3
2 + 3ah = 3 a �
�√�
�+ ℎ�.
Paraqet formulën për njehsimin e syprinës së piramidës së rregullt gjashtëfaqësore (a
është gjatësia e brinjës së bazës, h – apotema).
Vëllimi i piramidës
Fillimisht njehsojmë vëllimin e piramidës së rregullt trefaqësore që është baras me një të
tretën e prodhimit të numrit matës të syprinës së bazës së saj dhe lartësisë:
V = �
�Sb ∙ H (Sb = B - syprina e bazës, H - lartësia e piramidës).
Po e marrim prizmin trefaq
njëkohësisht është edhe baza e piramid
lartësitë e barabarta H = EB. Me ndarjen e piramid
ACFDE, baza e të cilit
diagonalen DC) përfitohen p
fig.7.7 c), d).
Këto tri piramida kan
Prizmi ABCDEF
vëllimi i prizmit është i barabart
është:
Tani mund të përgjithësojmë edhe piramidën shumëfaqsore, bazat e së cilës është n
këndëshi ABC∙∙∙X∙∙∙, që ka syprinën B, dhe lartësia e trupit është H:
V =
Sferë quhet bashkësia e pikave të
cilën pikë e quajmë qendër e sferës
Punim diplome
25
Figura.7.7 a), b), c) dhe d)
Po e marrim prizmin trefaqësor ABCDEF, baza e të cilit
edhe baza e piramidës trefaqësore ABCE, fig.7.7 a), b). T
e barabarta H = EB. Me ndarjen e piramidës ABCE, mbetet piramida
cilit është dretkëndëshi ACFD, prej të cilit me prerje diagonale (
rfitohen përseri dy piramida trefaqësore: piramida
to tri piramida kanë vëllimë të barabarta, sepse kanë baza dhe lart
ABCDEF është ndarë, pra, në tri piramida trefaqësore t
i barabartë me prodhimin B ∙ H, vëllimi i piramid
V = �
�B ∙ H
Tani mund të përgjithësojmë edhe piramidën shumëfaqsore, bazat e së cilës është n
∙∙∙X∙∙∙, që ka syprinën B, dhe lartësia e trupit është H:
V = �
�B1 ∙ H +
�
�B2 ∙ H + ∙∙∙=
�
�( B1 + B2 + ∙∙∙) =
4.5 Sfera
Figura.8. Sfera
Sferë quhet bashkësia e pikave të hapësirës të baraslarguara nga një pikë e
qendër e sferës.
cilit është trekndëshi ABC dhe
, fig.7.7 a), b). Të dy trupat kanë
s ABCE, mbetet piramida katërfaqsore
cilit me prerje diagonale (nëpër
sore: piramida ACDE dhe piramida FDCE,
baza dhe lartësi të barabartë.
sore të barabarta mes vete. Pasi
llimi i piramidës së dhënë trefaqësore
Tani mund të përgjithësojmë edhe piramidën shumëfaqsore, bazat e së cilës është n-
�
� B ∙ H
të baraslarguara nga një pikë e fiksuar, të
Punim diplome
26
Sipërfaqja që përfitohet nga rrotullimi i një gjysmërrethi rreth diametrit të tij, quhet
sipërfaqe sferike ose shkurt sferë.
Qendra e gjysmërrethit quhet qendra e rrethit. Segmenti që bashkon qendrën mëçfarëo
pike të sferës, quhet rreze e sferës. Këto pika janë të baraslarguara nga qendra e saj.
Bashkësia e të gjitha pikave në hapësirë, që kane largësi jo më të madhe se një gjatësi e
caktuar nga një pikë e caktuar, quhet rruzull.
Syprina e sferës
Për sferën nuk mund të bëjmë një model material, i cili mund të shtrihet në rrafsh dhe të
caktohet numri matës, pra syprina e sferës.
Tash këtë detyrë mund ta kryejmë me një provë “materiale”. Modelin prej druri të një
rruzulli e ndajmë në dy gjysmërruzuj. Njëri gjysmërruzull vehet mbi tavolinë dhe në majën e tij
ngulim një gozhdë. Një spango, që më parë e kemi lyer me dyll fillojmë ta mbështjellim për
gozhdë dhe vazhdojmë, derisa të mbulohet gjysmësfer.
Pas kësaj, në qendrën gjysmërruzullit tjetër e ngulim një gozhdë dhe nga i njëjti lëmsh i
spangos e përgatitim pjesën tjetër, të cilën e mbështjellim për gozhdë me kujdës, derisa të
mbulohet baza e gjysmërruzullit. Në të dy rastët sasia e spangos të shpenzuar është matur, p.sh.
gjatësinë e tij.
Pas kryerjës së këtij veprimi do të shohim se baza e gjysmërruzullit është mbuluar me
gjysmën e spangos së nevojshme për të mbuluar gjysmërruzullin. Kjo tregon s syprina e
gjysmësferës është sa dyfishi i syprinës së qarkut të madh (brendisë së rrethit të madh).
Nëse me r shënojmë gjatësinë e rrezes së rrethit të madh të sferës, syprina e qarkut të
madh është r2 π, prandaj syprina e gjysmësferës do të ishte 2 r2 π, kurse syprina e sferës, do të
jetë:
S = 2 ∙ 2 r2 π = 4 r2 π.
D.m.th, syprina e sferës është baras me katërfishin e syprinës së rrethit të madh të sferës.
Vërejtje: kur thuhet syprina e ruzullit, mendohet në syprinën e sferës e cila përcakton
rruzullin.
Punim diplome
27
5 Aktivitete matematike-logjike dhe lojëra në funksion të
kuptimit të formave gjeometrike
Efikasiteti i procesit mësimor është i kushtëzuar në masë të madhe nga përgatitja e
nxënësve për fitimin e njohurive, shkathtësive dhe aftësive të reja. Vëmendje e veçantë duhet t’i
kushtohet krijimit të atmosferës stimuluese për mësimin e matematikës. Mësimdhënësit duhet të
organizojnë aktivitete dhe lojëra përmes të cilave nxënësit arrijnë t’i përmbushin rezultatet e
caktuara të të nxënit, pra tek fëmijët parashkollor metodë e mësimdhënies është loja.
Loja aktive është veprimtaria themelore e fëmijëve të moshës parashkollore, loja i
ndihmon ata që të zhvillojnë aftësitë motorike e njohëse, të socializohet me moshatarët, të
zhvillohen në aspekte sociale, mendore dhe emocionale. Përzgjedhja e aktiviteteve dhe lojërave
sociale bëhetnë bashkëpunim mes edukatores dhe prindërve. Lojërat arsimore janë lojëra të
dizajnuara me qëllime edukative për të ndihmuar fëmijët të mësojnë rreth çështjeve të caktuara,
për të zgjeruar konceptet, për të kuptuar ngjarje historike apo për kulturën. Prindërit dhe
edukatoret e kuptojnë nevojën psikologjike dhe përfitimet e lojës në procesin e të nxënit, prandaj
loja është bërë rrjedhë e zakonshme e procesit arsimor.6
Zbatimi i aktiviteteve në procesin mësimor ka rëndësi të madhe në konkretizimin e
termave matematikore. Mësimdhënësi duhet te sigurojë kushte që të gjithë nxënësit marrin pjesë
në aktivitete, sidomos gjatë zbatimit të lojërave karakter garues, të kenë kujdes në përfaqësimin e
drejtë të nxënësve në role.
Mjetet e konkretizimit në mësimin e matematikës luajnë rol të rëndësishëm, por gjithsesi
të kufizuar. Në çastin kur është e mundur, duhet të lirohemi prej tyre dhe punës kërkimore-
miniaturale duhet t’i qasemi pa ato. Po qe se aplikohen, atëherë ka shumë rëndësi jo vetëm
“shikimi” por edhe “të prekurit” e mjeteve mësimore. Suksesi përfundimtar i të mësuarit të
matematikës nuk varet ekskluzivisht nga fakti, sa të pasur jemi me mjete të konkretizimit dhe me
çfarë shkalle të komoditetit dhe të elegancës përcillen dhe pranohen të vërtetat matematike7.
6https://en.m.wikipedia.org/wiki/Educational_game
7 B. Jaka “Metodologji e mësimdhënies së matematikës”, Prishtinë, 2008, fq.10
Punim diplome
28
5.1 Aktiviteti: Pjesa e humbur
Fusha: Gjeometri
Materialet e nevojshme: Letër më ngjyra, marker, ngjitës letre, hamer, gërshërë.
Përgatitja dhe përshkrimi i aktivitetit:
Aktiviteti zhvillohet nëgrupe nëklasë. Fillimisht përgatisim fletat me ngjyra i
presim në forma tëndryshme gjeometrike me ngjyra të ndryshme, pastaj ato forma i
ndajmë përgjysmë dhe të gjitha së bashku ivendosim në enë. I vendosim enët me figura
gjeometrike prej letre në mes të grupit.
Iu shpjegojmë fëmijëve se detyra e tyre është qët’i përzgjedhin figurat dhe ti
bashkojnë ato më pjesët tjera të ndara dhe pastaj t’i ngjesin në hamer. Pasi t’i bashkojnë
pjesët secili nxënës tregon emrin e figurës së gjetur.
Foto: Pjesa e humbur
Punim diplome
29
5.2 Aktiviteti: Formojmë figura gjeometrike
Fusha: Gjeometri
Mjetet e nevojshme: Shkopinj më ngjyra, marker, letra me ngjyra, gërshërë.
Përgatitja dhe përshkrimi i aktivitetit:
Shkopinjtë i ngjyrosim më ngjyra të ndryshme dhe në to shënojmë numrine
këndeve, përshembull trekëndësh, pastaj fletat me ngjyra i presim në forma gjeometrike
dhe i përshtatim me ngjyrat e shkopinjve (fleta katrore dhe shkopinjtë me shënim katrori
janë me ngjyrë të kuqe).
Iu shpjegojmë nxënësve se detyrë e tyre është që të formojnë figura gjeometrike
me anë të shkopinjve duke u bazuar në figurën e punuar nga letra, ata i zgjedhin
individualisht sipas ngjyrave dhe formojnë figurën e caktuar.Shih foton.
Foto: Formojmë figura gjeometrike
Punim diplome
30
5.3 Aktiviteti: Formojmë bashkësi me figura
Fusha: Gjeometri
Mjetet e nevojshme: Shirita me ngjyra dhe fleta me ngjyra.
Përgatitja dhe përshkrimi i aktivitetit:
Përmes shiritave me ngjyra në dysheme (ose tavolinë) formojmë figura (të mëdha)
gjeometrike. Ndërsa letrat me ngjyra i presim në madhësi, ngjyra dhe forma tëndryshme
gjeometrike, të cilat i vendosim në një enë tëmadhe afër figurave të punuara me shirita në
dysheme.
Nxënësve u tregojmë se detyrë kanë që figurat që janë në shportë, enë, t’i
vendosin brenda figurës së ngjashme që ndodhet në dysheme. Përshembull, i zgjedhim
figurat e trekëndëshit në shportë dhe i vendosim në trekëndëshin e formuar në dysheme.
Aktiviteti realizohet në grupe dhe në fund secili nxënës tregon për figurat e mbledhura.
Foto: Formimi i bashkësisë me figura gjeometrike
Punim diplome
31
5.4 Aktiviteti: Bashkojmë pjesët
Fusha: Gjeometri
Mjetet e nevojshme: Shkopinj druri, marker me ngjyra, ngjitës.
Përgatitja dhe përshkrimi i aktivitetit:
Në shkopinjtë e drurit i vizatojmë figurat gjeometrike gjysmë, dy shkopinjë një
figurë në mënyrë simetrikë dhe me ngjyra të njëjta, shih foton poshtë, pastaj nxënësve u
shpjegojmë për detyrat e tyre.
Puna zhvillohet individualisht, secili fëmijë zgjedh një shkop dhe pastaj tek
shkopinjtë e tjerë kërkon pjesën tjetër të figurës. Kur figura bashkohet saktë u kërkojmë
fëmijëve që me anë të ngjitësit ti bashkojnë shkopinjët. Në këtë rast, nxënësit përsërisin
ngjyrat dhe emërtojnë figurat e bashkuara.
Foto: Bashkojmë pjesët
Punim diplome
32
5.5 Aktiviteti: Plotësojmë format
Fusha: Gjeometri
Mjetet e nevojshme: Hamer, laps, gërshërë, fleta me ngjyra, ngjitës.
Përgatitja dhe përshkrimi i aktivitetit:
Në hamer vizatojmë një figurë të madhe, në këtë rast një tortë ditëlindjeje, dhe
brenda asaj figure vizatojmë figura gjeometrike në madhësi të ndryshme, letrat me ngjyra
i presim në forma gjeometrike në madhësi të ngjashme me ato që i kemi vizatuar në
hamer. Hamerin e vendosim në mes të klasës dhe afër tij vendosim figurat e prera.
U shpjegojmë fëmijëve se kanë për detyrë që individualisht me radhë secili të
vendos nga një figurë në “tortën e ditëlindjes”, ta plotëson figurën brenda tortës.
Nxënësit zgjedhin vetë figurën dhe pastaj kërkojnë brenda “tortës” për figurën e
ngjashme, pasi i gjejnë vendin e figurës para klasës tregojnë se çfarë figure kanë zgjedhur
dhe në fund me anë të ngjitësit e vendosin në hamer. Shih foton.
Foto: Plotësojmë format
Punim diplome
33
5.6 Aktiviteti: Modelojmë figura
Fusha: Gjeometri
Mjetet e nevojshme: Shirita me ngjyra, material recikluese ( kapakë, makarona), forma kubike
(lego).
Përgatitja dhe përshkrimi i aktivitetit:
Me anë të shiritave me ngjyra në dysheme formojmë figura gjeometrike (katror,
drejtkëndësh, trekëndësh). Materialet e nevojshme për modelim si: materialet recikluese apo legot
i vendosim në disa enë. Pastaj, fëmijëve u sqarojmë detyrat e tyre të cilat do t’i realizojnë në
grupe, secili grup zgjedh se çfarë materiali dëshiron të përdor për modelim dhe së bashku i
modelojnë format në dysheme dhe tregojnë se cilat forma kanë modeluar. Shih foton.
Foto: Modelojmë figura
Punim diplome
34
5.7 Aktiviteti: Modelojmë figurat
Fusha: Gjeometri
Mjetet e nevojshme:Plastelina, shkopinj prej druri, kartonë me figura gjeometrike,
marker.
Përgatitja dhe përshkrimi i aktivitetit:
Në kartona janë të vizatuar figurat gjeometrike dhe detyrë e nxënësve është që
individualisht të punojë përmes plastelinës dhe shkopinjve figurat. Me plastelinë formon
sferë dhe pastaj me anë të shkopinjve i bashkon këto sfera në forma të trekëndëshit apo
figurave tjera të caktuara në karton, tek trekëndëshi punon tre sfera dhe i bashkon me tre
shkopinj, pra tregojnë për këndet dhe brinjët e secilës prej tyre.
Foto: Modelojmë figurat
Punim diplome
35
5.8 Aktiviteti: Kërcejmë mbi figura
Fusha: Gjeometri
Mjetet e nevojshme: Letra me ngjyra, gërshërë.
Përgatitja dhe përshkrimi i aktivitetit:
Fletat me ngjyra i presim në forma dhe madhësi të ndryshme dhe i vendosim në
dysheme. Pastaj nxënësve u tregojmë për aktivitetin, secili me radhë individualisht do të
kërcejë mbi figurën të cilën e thotë edukatorja. Përshembull, kur edukatorja thotë rrethi,
nxënësi do të kërcejë mbi rrethin e vendosur në dysheme.
Foto: Kërcejmë mbi figura
Punim diplome
36
Përfundim
Hapat e parë të fëmijëve në të nxënë kanë rëndësi mjaft të madhe në zhvillimin e
mëtutjeshëm të tyre. Tek fëmijët parashkollor, mësimi i matematikës mbështetet në të nxënit e
integruar, në kontekstin e jetës së përditshme dhe të nxënit përmes lojërave. Vend qendror në
procesin e mësimit duhet të ketë puna e pavarur dhe kognitive e nxënësve. Me këtë kontribuohet
qënxënësit të zhvillojnë interesat dhe shkathtësitë kognitive, aftësinë për vëzhgim dhe pranim të
vetive thelbësore të objekteve dhe dukurive, si dhe formimin e termave matematikore.
Përmes këtij punimi dëshirojmë të paraqesim kuptimin e njohurive fillestare të nxënësve
parashkollor rreth trupave dhe figurave gjeometrike, punën dhe aktivitete të cilat realizohen me
nxënësit në kopshte apo shkolla në funksion të kuptimit të këtyre formave.
Punim diplome
37
Shqyrtimi i literaturës
1. “Korniza Kurrikulare e Arsimit Parauniversitar të Republikës së Kosovës”, Prishtinë,
2016.
2. Bedri Jaka, “Metodologji e mësimdhënies së matematikës”, Prishtinë, 2008.
3. Ramadan Zenjullahu\Ejup Hamiti\Eda Vula\Sejdi Bilalli, “Matematika 6”, Pejë, 2004.
4. Ramadan Zenjullahu\Ejup Hamiti\Eda Vula\Sejdi Bilalli, “Matematika7”, Pejë, 2004.
5. Ramadan Zenjullahu\Ejup Hamiti\Sejdi Bilalli, “Matematika8”, Pejë, 2005.
6. Islam Shehu\Rexhep Gjergj\Mustafe Kadriu, “Matematika 10”, Pejë, 2004
Burime interneti:
https://en.ëikipedia.org/ëiki/Geometry
https://masht.rks-gov.net/
https://en.m.ëikipedia.org/ëiki/Educational_game