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Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad

Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado delibertad

F. Javier Cara

ETSII-UPM

Curso 2013-2014

1


Contenido

Seales y sistemas

Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguadorClculo de la respuesta mediante la ecuacin diferencialClculo de la respuesta mediante la transformacin en ecuacin diferencial deClculo de la respuesta mediante la integral de convolucinClculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en frecuencia

Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a movimientos de la base

Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a cargas aleatorias

2


Seales y sistemas

Representacin de los sistemas Un sistema es un modelo matemtico de un proceso fsico que

relaciona la seal de entrada (o excitacin) con la seal de salida (orespuesta).

Sea x(t) la seal de entrada e y(t) la seal de salida de un sistemadado. El sistema puede verse como una transformacin de x(t) eny(t). Esta transformacion se representa matematicamente como

y(t) = Tx(t)

T es un operador que representa las reglas de la transformacin dex(t) en y(t).

Grficamente, un sistema con una seal de entrada y una seal desalida se suele representar como

3


Seales y sistemas

Clasificacin de los sistemas.Los sistemas se pueden clasificar atendiendo a sus propiedades. Nosotrosvamos a considerar fundamentalmente:* Sistemas lineales. Si el operador T cumple

T(x1(t) + x2(t)) = Tx1(t) + Tx2(t) = y1(t) + y2(t)

entonces T es un operador lineal y el sistema representado por T sedenomina sistema lineal.

* Sistemas invariantes en el tiempo. Un sistema es invariante en eltiempo si las propiedades de T no dependen del tiempo, es decir,T 6= T(t). Por tanto se cumple que

Tx(t ) = y(t )* Sistemas causales. Un sistema es causal si la salida en un instantedependede slo de la entrada en ese instante y de las entradas eninstantes pasados.

* Sistemas estables. Un sistema es estable si para una seal de entradaacotada genera una seal de salida acotada

|x(t)| k1 |y(t)| k2 4


Seales y sistemas

Sistemas lineales e invariantes en el tiempo.Dado un sistema T lineal e invariante en el tiempo y una seal de entradax(t), la seal de salida y(t) se puede calcular mediante:

1. Ecuacin diferencial.

Nk=0

akdky(t)

dtk=

Mm=0

bmdmx(t)

dtm

donde ak y bm son coeficientes reales y constantes.

2. Integral de convolucion.

y(t) = x(t) h(t) =

x()h(t )d

donde h(t) es la respuesta del sistema a un impulso unitario o deltade Dirac:

h(t) = T(t)

5


Seales y sistemas

3. Transformada de Laplace - Transformada de Fourier.La transformada de Laplace de la integral de convolucin es:

L (y(t)) = L

(

x()h(t )d) Y (s) = H(s)X (s)

dnde Y (s) es la transformada de Laplace de la salida, Y (s) = L (y(t)). X (s) es la transformada de Laplace de la entrada, X (s) = L (x(t)). H(s) es la transformada de Laplace de la respuesta impulsional,

H(s) = L (h(t)). Se conoce como funcin de transferencia.

Para determinados sistemas, como los sistemas mecnicos, espreferible utilizar la T. Fourier en lugar de la T. Laplace. sto sedebe a que la variable independiente de la T. Fourier es la frecuencia.

F (y(t)) = F

(

x()h(t )d) Y () = H()X ()

Y () es la transformada de Fourier de la salida, Y () = F (y(t)). X () es la transformada de Fourier de la entrada, X () = F (x(t)). H() es la transformada de Fourier de la respuesta impulsional,

H() = F (h(t)). Es la funcin de respuesta en frecuencia.6


Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador


Figura: (a), (b) Modelos dinmicos para un edificio; (c) Modelo general paraun sistema de un grado de libertad.

7



Clculo de la respuesta mediante la ecuacin diferencial

Clculo de las respuesta mediante la ecuacin diferencial

Figura: Equilibrio de fuerzas.

Aplicando la 2a Ley de Newton (segn el principio de DAlambert, lafuerza my (t) tiene sentido opuesto al movimiento)

F (t) = my(t) F (t) Fc(t) Fk(t) = my (t)Sustituyendo cada fuerza por su valor

my (t) + cy(t) + ky(t) = F (t)

La ecuacin diferencial del sistema masa-muelle-amortiguador es

my (t) + cy(t) + ky(t) = F (t) (1a)

y(0) = y0, y (0) = y0 (1b) 8




Solucin para fuerza constanteSlo para determinadas situaciones la ecuacin anterior se puede resolverde manera exacta. Uno de estos casos es cuando la fuerza aplicada alsistema es constante:

my(t) + cy(t) + ky(t) = F0 (2a)

y(0) = y0, y(0) = y0 (2b)

Como es bien conocido, la solucin de esta ecuacin es la suma de lasolucin de la parte homognea ms una solucin particular

y(t) = yh(t) + yp(t)

Solucin de la ecuacin homogneaLa ecuacin homognea correspondiente a (2) es

myh(t) + cyh(t) + kyh(t) = 0

La solucin de esta ecuacin es de la forma

yh(t) = Aest

9




Sustituyendoms2Aest + csAest + kAest = 0

Para est 6= 0, esto es, para yh(t) 6= 0 se tienems2 + cs + k = 0

cuya solucin es

s1 =c +c2 4mk

2m, s2 =

c c2 4mk2m

y la solucin homognea queda

yh(t) = A1es1t + A1e

s2t = A1ec+

c24mk2m t + A2e

c

c24mk2m t

En dinmica de estructuras es usual definir los siguientes trminos

ndef=

k

m[rad/s]

def=

c

2

mk(0 1)

dnde n es la frecuencia natural de vibracin y es la razn deamortiguamiento. 10




Podemos expresar la solucin de la ecuacin homognea teniendo encuenta estas variables

yh(t) = A1e

(n+in

12

)t+ A2e

(nin

12

)t

donde se ha considerado que c2 4mk < 0. En caso contrario el sistemano es estable.Definimos ahora otra nueva variable, la frecuencia natural amortiguada

ddef= n

1 2 [rad/s]

por lo queyh(t) = A1e

(n+id )t + A2e(nid )t

Solucin particularUna solucin particular de (2) es

yp(t) =F0

k

Solucin finalFinalmente

y(t) = yh(t) + yp(t) = A1e(n+id )t + A2e

(nid )t +F0

k 11




la velocidad se obtiene derivando

y (t) = A1 (n + id) e(n+id )t + A2 (n id ) e(nid )t

Ahora podemos sustituir las condiciones iniciales, y(0) = y0, y(0) = y0

y(0) = A1 + A2 +F0

k= y0

y (0) = A1 (n + id) + A2 (n id ) = y0La solucin de este sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas es

A1 =d(y0 F0k

) i (n (y0 F0k )+ y0)2d

A2 =d(y0 F0k

)+ i

(n

(y0 F0k

)+ y0

)2d

12




Sustituyendo

y(t) =

(y0 F0

k

)ent cosdt+

(n

(y0 F0k

)+ y0

d

)ent sendt+

F0

k

(3)

y (t) = y0ent cosdt

(n(y0 F0k

)+ y0

1 2

)ent sendt (4)

y la aceleracin se obtiene sustituyendo en (2)

y (t) =1m(F0 cy(t) ky(t)) (5)

13




Ejemplo

Calcular la respuesta de un sistema masa-muelle-amortiguador de ungrado de libertad sometido a vibracin libre.

Un sistema est sometido a vibracin libre cuando la fuerza externa esnula. Por tanto las ecuaciones de equilibrio se obtienen a partir de (1)

my(t) + cy(t) + ky(t) = 0 (6a)

y(0) = y0, y(0) = y0 (6b)

y la solucin se obtiene fcilmente de las ecuaciones (3) y (4)

y(t) = ent[y0 cosdt +

(ny0 + y0

d

)send t

](7)

y(t) = ent

[y0 cosd t

(ny0 + y0

1 2

)send t

](8)

y(t) = 1m(cy(t) + ky(t)) (9)

14




0 5 10 151

0.5

0

0.5

1

t (s)

y (m

)

0 5 10 1510

5

0

5

10

t (s)

v (m

/s)

0 5 10 1540

20

0

20

40

t (s)

a (m

/s2)

Figura: Vibracin libre de un sistema de un gdl con: m = 1 kg , n = 2pi rad/s, = 0,025, y0 = 1 m, y0 = 0 m/s.

15




Ejemplo

Calcular la respuesta de un sistema masa-muelle-amortiguador de ungrado de libertad sometido a una fuerza escalon.

Figura: Fuerza escalon

16




La respuesta se divide en: t0 t t1 Vibracin forzada con F (t) = F0. Por lo tanto:

y(t) =

(y0 F0

k

)ent cosdt+

(n

(y0 F0k

)+ y0

d

)ent sendt+

F0

k

y (t) = y0ent cosdt

(n(y0 F0k

)+ y0

1 2

)ent sendt

y (t) =1m(F0 cy(t) ky(t))

en t1 la posicion y la velocidad y seran y(t1) y y (t1). t t1 Vibracin libre con condiciones iniciales y(t1) y y (t1).

y(t) = en(tt1)[y(t1) cosd(t t1) +

(ny(t1) + y(t1)

d

)send(t t1)

]

y(t) = en(tt1)

[y (t1) cosd (t t1)

(ny(t1) + y (t1)

1 2

)send (t t1)

]

y(t) = 1m(cy(t) + ky(t))

17




0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

t (s)

F(t) (

N)

0 5 10 15 20 25 300.5

0

0.5

t (s)

y (m

) F0/k

0 5 10 15 20 25 302

0

2

t (s)

v (m

/s)

0 5 10 15 20 25 3010

0

10

t (s)

a (m

/s2)

Figura: Vibracin de un sistema de un gdl con: m = 1 kg , n = 2pi rad/s, = 0,025, y0 = 0 m, y0 = 0 m/s, F0 = 10 N.

18




Solucin para una fuerza cualquiera. Mtodo incremental.Vamos a calcular ahora la respuesta del sistema para una fuerzacualquiera F (t). Para ello se tiene que resolver la ecuacin diferencial (3)utilizando tecnicas numericas. Mtodos de integracin de escuaciones diferenciales:

Newton-Raphson, diferencias finitas, ... Mtodos especficos para dinmica de estructuras: mtodo de

Newmark, mtodo de Wilson,...Nosotros vamos a utilizar uno muy sencillo, el mtodo incremental. Paraello aproximamos F (t) en escalones, como en la figura:

19




Para ti t ti+1F (t) =

{F (ti ) ti t ti+1

0 resto

Adems tenemos las condiciones iniciales yti , yti y yti . Por tanto

y(t) =

(y(ti ) F (ti )

k

)en(tti ) cosd (t ti )

+

n

(y(ti ) F (ti )k

)+ y (ti)

d

en(tti ) send(t ti) + F (ti )

k

y (t) = y(ti )en(tti ) cosd (t ti)

n

(y(ti) F (ti )k

)+ y (ti)

1 2

en(tti ) send(t ti)

y(t) =1m(F (ti ) cy(t) ky(t))

Con esas expresiones calculamos yti+1 , yti+1 y yti+1 y repetimos el proceso. 20




0 1 2 3 4 5 6 7 8200

0

200

t (s)F(

t) (N)

0 1 2 3 4 5 6 7 810

0

10

t (s)

y (m

)

0 1 2 3 4 5 6 7 850

0

50

t (s)

v (m

/s)

0 1 2 3 4 5 6 7 8500

0

500

t (s)

a (m

/s2)

Figura: Vibracin de un sistema de un gdl con: m = 1 kg , n = 2pi rad/s, = 0,025, y0 = 0 m, y0 = 0 m/s, N = 128 puntos.

21



Clculo de la respuesta mediante la transformacin en ecuacin diferencial de primer orden

Transformacin en ecuacin diferencial de primer orden La ecuacin de equilibrio es una ecuacin diferencial de 2do orden

my (t) + cy(t) + ky(t) = F (t)

que se puede reescribir como

y(t) = m1ky(t)m1cy(t) + m1F (t) Si aadimos la ecuacin trivial y(t) = y(t)

y(t) = y (t)

y(t) = m1ky(t)m1cy(t) + m1F (t) En forma matricial[

y(t)y(t)

]=

[0 1

m1k m1c] [

y(t)y (t)

]+

[0

m1

]F (t)

Que es una ecuacin diferencial de primer orden

x(t) = Acx(t) + BcF (t)

22




Solucin de la ecuacin de primer orden

x(t) = Acx(t) + BcF (t)

La solucin de esta ecuacin se puede encontrar haciendo:

eAct(

d

dtx(t) Acx(t)

)= eAc tBcF (t)

d

dt

(eActx(t)

)= eActBcF (t)

eAc tx(t) = k +

tt0

eAcsBcF (s)ds

x(t) = eAc tk + eAc t t

t0

eAcsBcF (s)ds

x(t0) = eAc t0k k = eAct0x(t0)

x(t) = eAc(tt0)x(t0) + eAct

tt0

eAcsBcF (s)ds

23




Solucin en tiempo discreto

x(t) = eAc(tt0)x(t0) + eAct

tt0

eAcsBcF (s)ds

Por tanto

x(t +t) = eAc(t+tt0)x(t0) + eAc(t+t)

t+tt0

eAcsBcF (s)ds

eActx(t) = eAc(t+tt0)x(t0) + eAc(t+t)

tt0

eAcsBcF (s)ds

Restando

x(t+t)eActx(t) = eAc (t+t)[

t+t

t0

eAc sBcF (s)ds

t

t0

eAc sBcF (s)ds

]

x(t +t) = eActx(t) + eAc (t+t) t+t

t

eAcsBcF (s)ds

24




Solucin en tiempo discreto (2)Hemos encontrado que

x(t +t) = eActx(t) + eAc (t+t) t+t

t

eAcsBcF (s)ds

Vamos a suponer que F (t) es constante en el intervalo(tk , tk +t) = (tk , tk+1) e igual a F (tk)

x(tk +t) = eActx(tk) + e

Ac (tk+t)

tk+ttk

eAcsBcF (tk)ds

x(tk +t) = eActx(tk) + e

Ac(tk+t)[eActA1c ]tk+ttk BcF (tk)

x(tk +t) = eActx(tk) +

[I2 eAct

]A1c BcF (tk)

Por tanto, la solucin en tiempo discreto es

x(tk+1) = Adx(tk) + BdF (tk) xk+1 = Adxk + BdFk

Ad = eAct , Bd = [I2 Ad ]A1c Bc

25




Clculo del desplazamiento, velocidad y aceleracin

xk+1 = Adxk + BdFk

Ad = eAct , Bd = [I2Ad ]A1c Bc , Ac =

[0 1

m1k m1c], Bc =

[0

m1

]Como el vector

x(t) =

[y(t)y(t)

] xk =

[ykyk

]Y adems

y(t) = m1ky(t)m1cy(t) + m1F (t)yk = m1kyk m1cyk + m1Fk

Podemos hacerykyk

yk

=

1 00 1m1k m1c

xk +

00m1

Fk

Una vez calculado xk se obtiene {yk , yk , yk} con esta ecuacin.26



Clculo de la respuesta mediante la integral de convolucin

Clculo de la respuesta a un impulsoSea una fuerza constante aplicada en ti hasta ti+1

Suponiendo que y(ti ) = 0, y(ti ) = 0, entonces se tiene que en ti+1

y(ti+1) =F0

k

(1 ent cosdt

(nd

)ent sendt

)

y (ti+1) =F0

k

[(n1 2

)ent sendt

]

27




Vamos a calcular la respuesta cuando t 0

limt0

y(ti+1) =1k

limt0

1 ent cosdt

(nd

)ent sendt

t

LHopital=

1k

limt0

(2nd

)ent sendt

1

= 0

limt0

y(ti+1) =n

k1 2

limt0

[ent sendt

t

]

LHopital=

n

k1 2 limt0

[nent sendt + dent cosdt1

]

=n

k1 2

(0+ d ) =1m

28




Es decir, cuando ti+1 ti

y(ti+1) = 0, y(ti+1) =1m

Para t > ti+1 tenemos vibracion libre con condiciones iniciales y(ti+1),y(ti+1), es decir

y(t) =

(1

md

)en(tti+1) send(t ti+1)

y(t) =

(1m

)en(tti+1)

[cosd(t ti+1)

(

1 2

)send(t ti+1)

]

Como hemos hecho ti+1 ti

y(t) (

1md

)en(tti ) send(t ti)

y(t) (1m

)en(tti )

[cosd (t ti)

(

1 2

)send(t ti)

]

29




Estas ecuaciones representan la respuesta a una funcin impulso (delta deDirac) aplicada en ti (se suele representar como h(t ti)), y la velocidaddebida a un impulso, h(t ti). Para una delta aplicada en t=s

F (t) = (t s)

y(t) = h(t s) =(

1md

)en(ts) send(t s)

y(t) = h(ts) =(1m

)en(ts)

[cosd (t s)

(

1 2

)send (t s)

]

Obviamente, ambas respuestas estn definidas para t s. Es inmediatoque

F (t) = A(t s)y(t) = A h(t s) t sy(t) = A h(t s) t s

30




Clculo de la respuesta mediante la integral de convolucinVamos a calcular la respuesta de un sistema masa-muelle-amortiguador auna fuerza F (t) utilizando la respuesta a un impulso.

La respuesta en t debido a F (t1)(t t1) es y(t) = F (t1)h(t t1). La respuesta en t debido a F (t2)(t t2) es y(t) = F (t2)h(t t2). La respuesta en t debido a F (t1)(t t1) y F (t2)(t t2) es

y(t) = F (t1)h(t t1) + F (t2)h(t t2)31




Siguiendo este razonamiento, la respuesta en t defido a F(t) es

y(t) =

s0

F (s)h(t s)ds

y(t) =

s0

F (s)h(t s)ds

En definitiva, la respuesta del sistema es la covolucin en el tiempo deF (t) y h(t s). Tambin se conoce como integral de Duhamel.Si sustituimos h(t s) y h(t s) por su valor

y(t) =

t0

(F (s)

md

)en(ts) send(t s)ds

y(t) =

t0

(F (s)

m

)en(ts)

[cosd (t s)

(

1 2

)send(t s)

]ds

32




0 5 10 15 20 25 300.2

0.15

0.1

0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

t (s)

h(t) (

N/m)

1/(m*wd)e(w

n*z*t)

Figura: Respuesta de un sistema de un gdl (m = 1 kg , n = 2pi rad/s, = 0,025), a un impulso o delta de Dirac aplicado en t=0.

33




0 1 2 3 4 5 6 7 8200

100

0

100

200

t (s)

F(t) (

N)

0 1 2 3 4 5 6 7 86

4

2

0

2

4

6

8

t (s)

y (m

)

incrementalduhamel


34




0 1 2 3 4 5 6 7 8200

0

200

t (s)

F(t) (

N)

0 1 2 3 4 5 6 7 810

0

10

t (s)

y (m

)

0 1 2 3 4 5 6 7 850

0

50

t (s)

v (m

/s)

0 1 2 3 4 5 6 7 8500

0

500

t (s)

a (m

/s2)

Figura: Posicin, velocidad y aceleracin.

35



Clculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en frecuencia

Clculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta enfrecuencia

Si consideramos una fuerza armnica de frecuencia y con amplitud quepuede ser distinta para cada :

F (t) = F ()e it

la respuesta del sistema masa-muelle-amortiguador a una carga de estetipo tambin es armnica de frecuencia :

y(t) = Y ()e it

y (t) = iY ()e it y(t) = 2Y ()e it

Sustituyendo estas ecuaciones en la ecuacin de equilibrio

m2Y ()e it + icY ()e it + kY ()e it = F ()e it

Y () = 1(k m2) + icF ()

36




Se define entonces:

H() =1

(k m2) + icEsta ecuacin es la funcin de respuesta en frecuencia de un sistemamasa-muelle-amortiguador de un grado de libertad. Se cumple que

Y () = H()F ()

La velocidad se calcula de:

y (t) = iY ()e it y (t) = iy(t)

y(t)eitdt =

iy(t)eitdt

Y () = iY ()De igual manera se tiene que:

Y () = 2Y ()37




0 10 200.04

0.02

0

0.02

0.04

0.06

(rad/s)

Rea

l(H(

)) (m

/N)

0 10 200

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

(rad/s)

|H(

)| (m

/N)

0 10 203.5

3

2.5

2

1.5

1

(rad/s)

|H(

)| (dB

ref 1

m/N

)

0 10 200.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

(rad/s)

Imag

(H(

)) (m

/N)

0 10 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

(rad/s)

(H(

)) (ra

d)

Figura: Funcin de respuesta en frecuencia de un sistema de un gdl con:m = 1 kg , n = 2pi rad/s, = 0,025.

38




Relacin entre h(t) y H()Consideremos de nuevo una fuerza armnica del tipo

F (t) = F ()e it y(t) = Y ()e itPor la integral de convolucin sabemos que

y(t) =

F (s)h(t s)ds =

F (t )h()d

=

F ()e i(t )h()d = F ()e it

eih()d

Y ()e it = F ()e it

eih()d

Y segn la funcin de respuesta en frecuencia

Y () = H()F () H() =

h(t)eitdt

Luego H() es la transformada de Fourier de h(t).39




En realidad, la T. de Fourier la hemos definido como

H() =12pi

h(t)eitdt H() = 2piH()

Luego la funcin de respuesta en frecuencia, H(), es 2pi veces latransformada de Fourier de h(t), H(). En el caso discreto

H() =

h(t)eitdt H(n) =N1k=1

h(tk)eintkt

H(n) =N1k=1

h(kt)ei(2pinNt )ktt = t

N1k=1

h(kt)ei2pink/N

H(n) = tHnEs decir, si utilizamos matlat, la funcin de respuesta en frecuenciadiscreta sera H(n) = tHmatlabn

40




Por tanto, el procedimiento para calcular la respuesta de un sistemamasa-muelle-amortiguador de un grado de libertad usando la funcin derespuesta en frecuencia es: Calcular la TF de la fuerza, F ().

Calcular la funcin de respuesta en frecuencia, H(). Multiplicarlas y calcular Y () = H()F ().

Calcular la velocidad y la aceleracin en frecuencias,V () = iY (), A() = 2Y ().

Calcular y(t), v(t), a(t) con la transformada inversa de Fourier.

Hay que tener cuidado con la construccin de la H() discreta, H(n).Hay dos opociones:

1. Calcular la transformada de Fourier discreta de h(tk).

2. Construir H(n) a partir de la frmula de H(). Hay que tenercuidado con esta opcin como se observa en la figura siguiente(recordad que a partir de la frecuencia de Nyquist, la transformadade Fourier discreta tiene que cumplir H(N2 +r)

= H(N2 r)

)

41




0 2 4 60.2

0.1

0

0.1

0.2

t (s)

h(tk)

(N/m

)

0 20 40 600.2

0.1

0

0.1

0.2

(rad/s)

T.Fo

urie

r h(t k)

(m/N

)

fnq

Parte real

0 20 40 600.2

0.1

0

0.1

0.2

(rad/s)

T.Fo

urie

r h(t)

(m/N

)

fnq

Parte imaginaria

0 20 40 600.2

0.1

0

0.1

0.2

(rad/s)

H(

=

n) (

m/N)

0 20 40 600.2

0.1

0

0.1

0.2

(rad/s)

H(

) (m/

N)

Figura: Funcin de respuesta en frecuencia de un sistema de un gdl con:m = 1 kg , n = 2pi rad/s, = 0,025, obtenidas a partir de la TF de h(t) y apartir de la frmula terica.

42




0 1 2 3 4 5 6 7 8200

100

0

100

200

t (s)

F(t) (

N)

0 1 2 3 4 5 6 7 86

4

2

0

2

4

6

8

t (s)

y (m

)

incrementalduhamelFRF


43




0 1 2 3 4 5 6 7 8200

0

200

t (s)

F(t) (

N)

0 1 2 3 4 5 6 7 810

0

10

t (s)

y (m

)

0 1 2 3 4 5 6 7 850

0

50

t (s)

v (m

/s)

0 1 2 3 4 5 6 7 8500

0

500

t (s)

a (m

/s2)

Figura: Posicin, velocidad y aceleracin.

44




Distintas funciones de respuesta en frecuencia

Se tiene que

H() =1

(k m2) + icEliminando los complejos del denominador queda:

H() =(k m2) ic

(k m2)2 + (c)2

Se define la funcin de ganancia como el mdulo de la funcin derespuesta en frecuencia:

|H()| =

H()H() =(Re H)2 + (Im H)2

|H()| = 1(k m2)2 + (c)2

45




Existen otras relaciones, como por ejemplo

Relacion entre la velocidad y la fuerza excitadora:

Y () = H1()F ()

H1() =i

(k m2) + ic|H1()| =

(k m2)2 + (c)2 = |H()|

Relacion entre la aceleracin y la fuerza excitadora:

Y () = H2()F ()

H2() =2

(k m2) + ic

|H2()| = 2

(k m2)2 + (c)2 = 2|H()|

46




Relacion entre la fuerza transmitida a la base y la fuerza excitadora:

FB() = HFB()F ()

Como

FB(t) = ky(t) + cy(t)T .F .= FB() = kY () + cY ()

HFB() =k + ic

(k m2) + ic

|HFB()| =

k2 + (c)2(k m2)2 + (c)2

47



Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador amovimientos de la base

Vamos a estudiar ahora el sistema masa-muelle-amortiguador cuandoest sometido a un movimiento de la base:

Esto ocurre, por ejemplo, en un terremoto. La fuerza en el muelle y en elamortiguador son proporcionales al movimiento relativo. Si definimos:

y(t) = ym(t) yB(t)48



Sustituyendo en la ecuacin de equilibrio

Figura: Equilibrio de fuerzas.

Aplicando la 2a Ley de Newton (segn el principio de DAlambert, lafuerza mym(t) tiene sentido opuesto al movimiento)

F (t) = mym(t) Fc(t) + Fk(t) = mym(t)

Sustituyendo cada fuerza por su valor

cy(t) + ky(t) = mym(t) = m(y (t) + yB(t))

my (t) + cy(t) + ky(t) = myB(t)49



En frecuencias se pueden definir, por ejemplo, las siguientes relaciones: Relacion entre el desplazamiento relativo y la aceleracin de la base:

F (t) = myB(t) T .F .= F () = mYB()Y () = H()F () = H1()YB()

H1() =m

(k m2) + ic|H1()| = m

(k m2)2 + (c)2 = m|H()|

Relacion entre la aceleracin relativa y la aceleracin de la base:

Y () = 2Y ()Y () = H2()YB ()

H2() =m2

(k m2) + ic

|H2()| = m2

(k m2)2 + (c)250



Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a cargasaleatorias

En este apartado vamos a calcular la respuesta de un sistemamasa-muelle-amortiguador cuando la carga que excita el sistema es unproceso estocstico (carga aleatoria).Partimos de la respuesta del sistema ante cualquier carga:

y(t) =

t

F (s)h(t s)ds

Otra forma de expresar la integral de convolucion se obtiene haciendo = t s

y(t) =

t

F (t )h()d

Esta formula es el punto de partida de para los resultados obtenidos eneste apartado.

51



Media de la respuestaSi la carga que excita el sistema es un proceso estocstico (cargaaleatoria), se calcula la media de la respuesta como

Y (t) = E (y(t))

= E

[ t

F (t )h()d]=

t

E [F (t )] h()d

=

t

h()F d = F

t

h()d

A medida que t aumenta, Y (t) se aproxima a un valor lmite. De hecho

Y = limt

F

t

h()d = F

h()d = FH(0) =Fk

ya que

H() =

h(t)e itdt =1

(k m2) + ic52



Funcin de autocorrelacin de la respuesta

RY (t, s) = E [Y (t)Y (s)] = E

[ t

h(u)F (t u)du s

h(v)F (s v)dv]

= E

[ t

s

h(u)h(v)F (t u)F (s v)dudv]

=

t

s

h(u)h(v)E [F (t u)F (s v)] dudv

=

t

s

h(u)h(v)RF (t u, s v)dudv

Cuando la fuerza es un proceso estacionario

RY (t, s) = RY (s t) = t

s

h(u)h(v)RF (s t (v u))dudv

Y a medida que t, s , siendo = s t:

RY () =

h(u)h(v)RF ( + u v))dudv 53



Funcion de densidad espectral de la respuestaLa funcin de densidad espectral de la respuesta es la transformada deFourier de la funcin de autocorrelacin

SY () =12pi

RY ()eid

=12pi

[

h(u)h(v)RF ( + u v))dudv]

eid

= H()H()SF ()Como h(t) es real, se cumple que:

H() = H()y por lo tanto

SY () = |H()|2SF ()Esta ecuacion es muy importante. Nos dice que la funcion de densidadespectral de la respuesta del sistema es igual a la funcion de densidadespectral de la fuerza multiplicada por el modulo de la funcion derespuesta en frecuencia. 54



Fijaos que para calcular la funcin de autocorrelacin hay quecalcular una integral doble; sin embargo, para calcular SY () nohace falta ninguna integral. Por tanto, es mas comodo obtenerRY () como la transformada de Fourier inversa de SY ().

La varianza de la respuesta se calcula como el rea bajo la funcinde densidad espectral

2Y =

SY ()d =

|H()|2SF ()d

55



0 2 4 6 8 100

0.01

0.02

|H(

)|

Ft = Wt + Wt1

0 2 4 6 8 100

0.01

0.02Ft = 0.75Ft1 0.50Ft2 + Wt

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

GF(

)

0 2 4 6 8 100

2

4

6x 103

Gy(

)

(rad/s)

0 2 4 6 8 100

10

20

0 2 4 6 8 100

0.01

0.02

(rad/s)

Figura: Funcion de densidad espectral de la respuesta de un sistema de 1 gdl(m = 1 kg , n = 2pi rad/s, = 0,10).

Interpretacin de la RESONANCIA! 56



Respuesta del sistema masa-muelle-amortiguador a ruidoblanco

Si consideramos que la fuerza es ruido blanco, se puede poner

SF () = S0, <



Para ciertos sistemas, la respuesta a un ruido blanco es finita.Consideremos por ejemplo un sistema masa-muelle-amortiguador. Si lafuerza es ruido blanco

SY () = |H()|2SF () = S0(k m2)2 + (c)2

Por lo tanto, la funcion de densidad espectral de la respuesta, SY (),tiene la misma forma que |H()|2, y esta escalada por S0. La varianza dela respuesta es

2Y =

SY ()d = S0

|H()|2d

En determinados casos, esa integral se puede calcular de manera exacta:

58



Para sistemas estables con funcion de transferencia de la forma

Hn() =B0 + (i)B1 + (i)

2B2 + + (i)n1Bn1A0 + (i)A1 + (i)2A2 + + (i)nAn

la integral del mdulo de Hn()

In =

|Hn()|2d

est dada por

n = 1 I1 = pi B20

A0A1

n = 2 I2 = piA0B21+ A2B

20

A0A1A2

n = 3 I3 = piA0A3(2B0B2 B21 ) A0A1B22 A2A3B20

A0A3(A0A3 A1A2)

59



Por tanto, ya podemos calcular la integral que buscbamos

2Y =

SY ()d = S0

|H()|2d

Sabemos que

H() =1

(k m2) + ic =B0 + (i)B1

A0 + (i)A1 2A2y por tanto

B0 = 1, B1 = 0, A0 = k , A1 = c , A2 = m.

|H()|2d = piA0B21+ A2B

20

A0A1A2=

pi

kc

Finalmente

2Y = S0(rad/s)pi

kc=

G0(Hz)

4kc

60



Aproximacin de una fuerza estocstica por ruido blanco

Sea un sistema masa-muelle-amortiguador sometido a una fuerza F (t)estocstica, de media cero y funcin de densidad espectral unilateralGF (f ). La varianza de la respuesta es (varianza exacta)

2Y =

|H()|2GF (f )df

Si se cumple que

1. GF (f ) es suave en el entorno de fn.

2. El amortiguamiento es pequeo ( 0,20).Entonces podemos aproximar GF (f ) por ruido blanco de valor igual aGF (fn), por lo que

2Y GF (fn)

4kc

61



Esta aproximacin se entiende mejor en la siguiente figura

62



Ejemplo

El sistema mostrado en la figura est sometido en su base a unaaceleracin aleatoria con funcin de densidad espectral igual a la indicada.Se sabe que la frecuencia natural del sistema es 8 Hz, y adems, paradeterminar el amortiguamiento se realiz un experimento de vibracinlibre, observando que la amplitud mxima de oscilacin disminuy de0.80 cm a 0.40 cm en 5 ciclos. Determinar la varianza del desplazamientodel sistema (desplazamiento relativo de la masa y del suelo).

63



La ecuacin que gobierna el movimiento relativo de la masa con respectoal suelo es

my (t) + cy(t) + ky(t) = myB(t)y la varianza de y(t) se calcula como el rea bajo la densidad espectralde y(t):

2Y =

|H()|2SF ()d

Por otro lado sabemos que la funcin de respuesta en frecuencia entre laaceleracin de la base y el movimiento relativo es:

H() =m

(k m2) + ic =m

(k m2) + i2mn=

mk

(1 mk2) + i2 m

kn

=1

2n

((1 22n

)+ i2 n

)

|H()|2 = 14n

((1 22n

)2+(2 n

)2)64



Necesitamos conocer el amortiguamiento. Para ello sabemos que se hahecho un ensayo de vibracin libre y se mide el desplazamiento pico. Envibracin libre tenemos que

y(t) = ent[y0 cosdt +

(ny0 + y0

d

)send t

]Supongamos que el primer pico se produce en t = t1. Entonces

y(t1) = Aent1 , A = max

[y0 cosdt +

(ny0 + y0

d

)send t

]El segundo pico se producir en t = t1 + T , donde T es el periodod =

2piT

(consideramos los picos con el mismo signo)

y(t2) = Aen(t1+T )

y el pico n-simo (n ciclos)

y(tn) = Aen(t1+nT ) = Aent1e

2pin n

d = y(t1)e2pin

12

= ln y(t1) ln y(tn)2pin

=ln 0,8 ln 0,4

2pi5= 0,0221

donde se ha utilizado que1 2 1 ya que . 65



Ahora podemos calcular la funcin de densidad espectral del movimientorelativo y por tanto, la funcin de densidad espectral de la respuesta

GY () = |H()|2GF () 2Y =

0

|H()|2GF ()d

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

f (Hz)

GF

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5x 104

f (Hz)

|H(f)|2

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5x 104

f (Hz)

Gy

El rea se puede calcular fcilmente utilizando integracin numrica (porejemplo, el mtodo del trapecio). El resultado es

2Y =

0

Gy (f )df =

N1n=0

Gy (fn+1) + Gy (fn)

2f 6,6056 105 m2

66



Tambin se puede resolver teniendo en cuenta que la funcin de densidadespectral de la entrada es constante en el entorno de n, luego podemosaproximar la entrada por ruido blanco:

2Y

|H()|2SF (n)d = SF (n)

|H()|2d

Sabemos que

H() =m

(k m2) + ic =B0 + (i)B1

A0 + (i)A1 2A2y por tanto

B0 = m, B1 = 0, A0 = k , A1 = c , A2 = m.

|H()|2d = piA0B21 + A2B

20

A0A1A2=

pim2

kc

Finalmente

2Y =SF (n)pim

2

kc=

GF (fn)pim2

4pik2mn=

GF (fn)

1984f 3n= 6,6817 105 m2.

donde fn = 8 Hz, y G(8) = 1,5 m2/s2/Hz.67

Seales y sistemasSistemas mecanicos masa-muelle-amortiguadorClculo de la respuesta mediante la ecuacin diferencialClculo de la respuesta mediante la transformacin en ecuacin diferencial de primer ordenClculo de la respuesta mediante la integral de convolucinClculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en frecuencia

Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a movimientos de la baseRespuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a cargas aleatorias

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