uravnenia s parametrami reshenie

Подготовка к ЕГЭ

Задачи с параметрами

Уравнения с модулемзадачи типа заданий С 5

Дихтярь М.Б. Общие сведения

1. Абсолютной величиной, или модулём числа х, называется само число х, если число , если ноль, если

При решении уравнения с модулем пользуемся тем, что

2. Построение графиков функций, содержащих модуль.

а) Построить график функции где

Решение. Имеем

Графиком функции ,

где является «уголок» с вершиной

в точке и сторонами

График функции , где

схематично изображён на рисунке

1, для случая когда

б) Построить график функции где

Решение. Имеем1

Графиком функции ,

где , является «уголок» с

вершиной в точке и со

сторонами

График функции , где

, схематично изображён на

рисунке 2, для случая когда

в) Построить график функции . Решение. Найдём нули выражений, стоящих под знаком модуля:

Функция линейная на каждом промежутке , , . Для построения графика функции: 1) найдём значения функции в тех точках, в которых

выражения, стоящие под знаком модуля равны нулю, а также в одной из точек, например, в точке , принадлежащей промежутку

, и, например, в точке , принадлежащей промежутку . Имеем , ;

2) построим точки: (– 2; –1), (–1; 1), (2; 1), (3; 3); 3) на каждом промежутке , ,

построим часть прямой (функция

линейная на каждом промежутке), проходящей через точки, абсциссы которых принадлежат

соответствующему промежутку.График функции схематично изображён на

рисунке 3.

г) Построить график функции . Решение. 1. Найдём нули выражений, стоящих под знаком

модуля:2

Нули выражений, стоящих под знаком модуля:

2. Так как функция линейная на каждом промежутке , , , , , то для того чтобы построить график функции

на каждом промежутке проделаем следующее.1) Найдём значения функции в тех точках, в которых

выражения, стоящие под знаком модуля равны нулю, а также в точках и .

Имеем .2) На плоскости построим точки

3). На каждом промежутке , , , , построим часть прямой,

проходящей через точки, абсциссы которых принадлежат соответствующему промежутку. График функции

схематично

изображён на рисунке 4.

3. Построение графика функции .

График функции получается из графика функции

следующим образом:

а) строим график ;

б) те точки графика, для которых , остаются без

изменения, а точки графика, для которых отображаются относительно оси х.

4. ПримерыПостроить графики функций

1) 2) 3)

Решения.

3

1) а) Имеем Из последнего уравнения следует,

что графиком функции является парабола с вершиной в точке (2; –1), ветви которой направлены вверх. Точки пересечения параболы

с осью абсцисс находим из

уравнения

Строим график параболы

(рис. 5 а).

б) Строим график функции (рис. 5 б).

2) а) Имеем Из последнего уравнения следует, что графиком функции

является парабола с вершиной в точке (2; 1), ветви которой направлены вверх. Так как вершина параболы расположена выше оси абсцисс и её ветви направлены вверх, то парабола не пересекает ось абсцисс. Тогда .

Таким образом, имеем .

Графиком функции является парабола .

Замечание. Графиком функции является гипербола,

асимптотами которой являются прямые

3)

Имеем

4

Графиком функции является гипербола (рис. 6 а)),

асимптотами которой являются прямые

б) Строим график функции (рис. 6 б)).

Уравнения с модулем

Основные методы решения уравнений с модулем рассмотрим на примерах 1. – 3..

Метод интервалов

1. Сколько корней в зависимости от параметра а имеет уравнение ? Найдите эти корни.

Решение. 1. Приравняем нулю выражения, стоящие под знаком модуля: . Точки и разбивают числовую ось на три промежутка: .

2. Рассмотрим исходное уравнение на каждом промежутке. Замечание. При раскрытии модуля надо учитывать знак

выражения, стоящего под модулем на соответствующем промежутке. Так как знак выражения на каждом промежутке постоянный, то знак выражения на промежутке совпадает со знаком выражения в любой точке этого промежутка.

Раскрывая модули, заменим исходное уравнение равносильной совокупностью трёх уравнений:

а) Рассмотрим первое уравнение совокупности (1.1).

Корнем исходного уравнения на промежутке является , если

5

Итак, корнем исходного уравнения на промежутке является , если

б) Рассмотрим второе уравнение совокупности (1.1). Корнем исходного уравнения на промежутке является

, если

Итак, корнем исходного уравнения на промежутке является , если

в) Рассмотрим третье уравнение совокупности (1.1). Корнем исходного уравнения на промежутке является

, если

Итак,

корнем исходного уравнения на промежутке является , если

Нанесём корни уравнения на числовую прямую параметра (рис.7).Ответ. Если , то нет корней; если , то один

корень ; если , то два корня ,

; если , то два корня ,

.

Графический метод

2. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет не менее трёх корней.

Решение. Рассмотрим функции

Уравнение задаёт семейство прямых, проходящих через начало координат (исключая ось ординат). На рисунке 8 изображён график функции а также графики представителей семейства .

Отметим. Парабола и прямая (не параллельная оси ординат) могут 1) пересекаться в одной точке (прямая является касательной к параболе); 2) пересекаться в двух точках; 3) не пересекаться.

6

Исходное уравнение имеет три корня при тех значениях параметра а, при которых графики функций

пересекаются в трёх точках.

Если касательной к параболе является прямая

и абсцисса точки касания , то прямая

пересекает график функции в трёх точках (рис. 8).

Найдём значение параметра .

Отметим: прямая является касательной к параболе , если имеет единственное решение система уравнений

Последняя система имеет единственное решение, если имеет единственное решение квадратное уравнение

Прямая является касательной к

параболе , если имеет единственное решение квадратное уравнение

.

Квадратное уравнение

имеет единственное решение при тех значениях

параметра , при которых равен нулю

дискриминант D этого уравнения. Имеем

Так как

дискриминант D квадратного уравнения равен нулю

при или то решением квадратного уравнения является

, где или Точка является

абсциссой точки касания прямой и параболы. Если то

прямая пересекает график функции в трёх

точках. Если , то не удовлетворяет условию .

7

Если то , удовлетворяет условию . Тогда

прямая пересекает график функции в трёх точках. Итак, исходное уравнение при имеет три корня.

2. Исходное уравнение имеет четыре корня при тех значениях

параметра а, при которых графики функций

пересекаются в четырёх точках. Из рисунка 8 следует, что прямая , где , пересекает

график функции в четырёх точках. Тогда исходное

уравнение при имеет четыре корня. Ответ. .

Метод областей3. Решите уравнение .

Решение. На плоскости построим множество точек, удовлетворяющих исходному уравнению.

Для построения множества точек проделаем следующее.1. Приравняем нулю выражения, стоящие под знаком модуля:

и . Откуда следует: и .

На плоскости построим прямые и . Эти прямые разобьют плоскость на 4 области.

2. Рассмотрим исходное уравнение в каждой области. Для этого надо раскрыть модули в каждой области.

Замечание. При раскрытии модулей надо учитывать знак выражения, стоящего под модулем в соответствующей области. Так как знак в каждой области постоянный, то знак выражения в области совпадает со знаком выражения в любой точке этой области.

1) В области I исходное уравнение равносильно системе

В области I строим часть прямой , которая параллельна прямой и пересекает прямую в точке А(–1; 3,5).

2) В области II исходное уравнение равносильно системе

8

В области II строим часть прямой , которая параллельна оси абсцисс и пересекает прямые и соответственно в точках А(–1; 3,5) и В(–3,5; 3,5).

3) В области III исходное уравнение равносильно системе

В области III строим часть прямой , которая параллельна оси ординат и пересекает прямую в точке В(–3,5; 3,5).

4) В области IV исходное уравнение равносильно системе

Ни одна точка не удовлетворяет последней системе.

График исходного уравнения изображён на рисунке 9 (графиком исходного уравнения является совокупность части прямых: ,

, ). Для того чтобы найти решения исходного уравнения при каждом значении параметра , надо провести прямые (если прямая пересекает график исходного уравнения в n точках, то исходное уравнение при имеет n решений ) и найти абсциссы точек пересечения графиков исходного уравнения и прямой . Из рисунка 9 следует ответ.

Ответ. При уравнение не имеет решений; при

решением уравнении являются (уравнение имеет бесконечное множество решений); при уравнение имеет два решения ,

4. Сколько решений в зависимости от параметра а имеет

уравнение на отрезке ?

9

Метод интервалов.

Решение. 1. Если то уравнение на отрезке не имеет решений, так как оно принимает вид

2. Пусть

Имеем .

Замечание. Если пара удовлетворяет уравнению, то и пара

также удовлетворяет этому уравнению.

Из замечания и 1. следует: уравнение надо рассмотреть при Если , то исходное уравнение равносильно уравнению

, где и (4.1)

Раскрывая модули, на отрезке заменим уравнение (4.1) равносильной совокупностью уравнений

2) Рассмотрим первое уравнение совокупности (4.2), если

Так как то , а тогда

Решением уравнения (4.1), а значит и исходного уравнения, на

отрезке является , если

Итак, если , то является решением уравнения (4.1), а

значит и исходного уравнения на отрезке .3) Рассмотрим второе уравнение совокупности (4.2), если а) Если то легко проверить, что уравнение , а

значит и исходное уравнение, не имеет решений.б) Пусть Тогда

Решением уравнения (4.1), а значит и исходного уравнения, на

10

промежутке при является , если

Итак, если , то является решением уравнения (4.1), а

значит и исходного уравнения на промежутке .Из 1. и 2. с учётом замечания следует ответ.Ответ. Если , то нет решений; если , то одно

решение; если , то два решения.

Метод областей.

Решение. На плоскости построим множество точек, удовлетворяющих уравнению

, где и (4.3).

Уравнение (4.3) равносильно совокупности (см. первый метод)

(4.2)

Легко проверить, что не удовлетворяет исходному уравнению. Поэтому рассмотрим первое уравнение совокупности (4.2) при . Имеем

На отрезке строим часть гиперболы ,

асимптотой которой является прямая . Гипербола пересекает

11

прямую в точке А .2. Второе уравнение совокупности (4.2) равносильно системе

На промежутке строим часть гиперболы ,

асимптотой которой является прямая . Гипербола пересекает

пря-

мую в точке В .

График уравнения (4.3) изображён на рисунке 10. Из рисунка 10 для и замечания следует ответ.

Ответ. Если , то нет решений; если , то одно


Графический метод.

Решение. Если , то исходное уравнение равносильно уравнению (4.3)

Рассмотрим функции , где и .

1. Графиком функции , где , является часть прямой, проходящей через точки А(–3; 2) и В(5; 10).

2. Графиком семейства функций является «подвижный

уголок» с неподвижной вершиной в точке С(–1; 0) и подвижными сторонами

3. Найдём при каких значениях параметра а график функции

проходит через точку А(–3; 2) и определим сколько

решений имеет исходное уравнение в этом случае.

12

а) График функции проходит через точку А(–3; 2), если

б) Если , то функция принимает вид и

на отрезке имеем

в) Так как прямая

параллельна прямой , а прямая пересекает

прямую в точке А(–3; 2), то график функции на

отрезке пересекает прямую в одной точке А(–3; 2)

(рис.11). Тогда исходное уравнение при имеет единственное решение.

4. Найдём при каких значениях параметра а график функции

проходит через точку В (5; 10) и определим сколько

решений имеет исходное уравнение в этом случае.

а) График функции проходит через точку В (5; 10),

если

б) Если , то функция принимает вид

и на отрезке имеем

в) Точку пересечения прямых , , где

найдём из системы

13

Прямые , пересекаются на отрезке в

точке С(–2,5; 2,5).г) Точку пересечения прямых и , где

найдём из системы

Прямые , на промежутке пересекаются в точке В(5; 10).

д) График функции на отрезке пересекает

прямую в двух точках: В(5; 10), С(–2,5; 2,5) (рис.11).Исходное уравнение при имеет два решения.Из рисунка (рис.11) для и замечания следует ответ.

Ответ. Если , то нет решений; если , то одно


Замечание. Графический метод даёт наглядную интерпретацию решения задачи. С помощью этого метода может быть получен ответ наглядно и быстро, но очень часто только графическая интерпретация оказывается недостаточной и для полного обоснования требуются дополнительные исследования.

5. При каких значениях параметра уравнение имеет единственный корень; имеет два корня; не

имеет корней? Решение. 1. Рассмотрим функции

где . Построим графики функций и при (областью

определения функции является интервал ).

Графиком функции , где является «уголок» с вершиной в точке А(2; 1) и сторонами

14

Функция для каждого значения параметра а задаёт семейство логарифмических функций, проходящих через точку В(1; 0).

На рисунке 12 а) изображён график функции ,

где а на рисунке 12 б) изображён график функции ,

если , при некоторых значениях параметра .

2. Если график функции проходит через точку А(2; 1),

то он может пересекать график функции в одной точке А(2; 1) или в двух точках (одна из этих точек А(2; 1)). В этом случае исходное уравнение имеет одно или два корня.

График функции проходит через точку А(2; 1), если

При исходное уравнение принимает вид (5.1)

3. Уравнение (5.1) равносильно совокупности уравнений

(5.2) 1) Рассмотрим первое уравнение

совокупности (5.2).Так как функция

убывает, а функция возрастает, то графики функций пересекаются только в одной точке – это точка (2; 1), а тогда уравнение (5.1) при

, а значит и исходное уравнение при и , имеет единственный корень: .

2) Рассмотрим второе уравнение совокупности (5.2).Найдём число точек пересечений графиков функций

при Рассмотрим функцию

Найдём промежутки монотонности функции .

а) Найдём производную функции . Имеем

15

б) Определим знак

если

Так как , то . Так как функция

убывает, если то , а тогда

Таким образом, если . Тогда функция

возрастает на интервале

Так как и функция возрастает на интервале , то

(5.3)

Из системы (5.3) следует: графики функций и

не пересекаются при . Это означает, что уравнение (5.1) при , а значит и исходное уравнение при и не имеет корней.

Из 1) и 2) следует, что уравнение (5.1), а значит и исходное при , имеет единственный корень.4. Построим графики функций и при и .

Для этого воспользуемся следующим: так как то найдётся

такое значение что для всех выполняется неравенство

На рисунке 12 в) изображены графики функций

если и .

Из рисунка 12 в) следует ответ. Ответ. Один корень, если ; два корня, если ; нет

корней, если

6. Найдите все значения параметра , при которых уравнение имеет единственный корень.

Решение. Рассмотрим функции

Построим графики функций и при (областью

определения функции является интервал ).

16

Графиком функции , где , является «уголок» с вершиной в точке А(2; 1) и сторонами

Функция для каждого значения параметра а задаёт семейство логарифмических функций, проходящих точку В(1; 0).

На рисунке 14 а) и изображён график функции ,

где а на рисунке 14 б) изображён график функции ,

если , при некоторых значениях параметра .

2. Если график функции проходит через точку А(2; 1), то

он может пересекать график функции в одной точке А (2; 1) или в двух точках (одна из этих точек А (2; 1)). В этом случае исходное уравнение имеет одно или два корня.


При исходное уравнение принимает вид

(6.1)


(6.2)1) Рассмотрим первое уравнение совокупности (6.2).Так как функция убывает, а функция

возрастает, то графики этих функций пересекаются только в одной точке – это точка А(2; 1), а тогда уравнение (6.1) при , а значит и исходное уравнение при и , имеет единственный корень:

.2) Рассмотрим второе уравнение совокупности (6.2).Найдём число точек пересечений графиков функций ,

при Рассмотрим функцию

17

Найдём промежутки монотонности, точки экстремума функции


б) Из уравнения находим критические точки. Имеем

(Отметим: ).

б) Критическая точка разбивает интервал на

интервалы , на каждом из которых сохраняет знак.

в) Определим знаки функции . Знаки функции показаны на рисунке 13.

г) Из рисунка 13. делаем вывод. Функция убывает на промежутке и

возрастает на

промежутке (критическая точка, в которой функция определена, принадлежит и промежутку возрастания, и промежутку убывания).

В точке функция имеет минимум. Так как функция

убывает на промежутке и то

на этом промежутке функция отрицательная. Тогда .

Замечание. Если функция непрерывна на отрезке [a; b] и на концах отрезка имеет значения разных знаков, то существует такая точка что

Вычислим:

Так как , и функция непрерывна при ,

то существует такая точка что Это означает, что

функции и пересекаются в точке Тогда уравнение (6.1) при , а значит и исходное уравнение при и , имеет корень.

18

Из 1) и 2) следует, что исходное уравнение при имеет два корня.

4. Построим графики функций и , если при .

Для этого воспользуемся следующим: так как то

найдётся такое значение что для всех выполняется неравенство

На рисунке 14 в) изображены графики функций

где , и если и . Из рисунка 14 в) следует,

что уравнение ни при каких значениях параметра не имеет единственного корня.

Ответ.

7. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственный корень; имеет два корня; не имеет корней?

Решение. Так как то исходное уравнение имеет решение, если

Рассмотрим функции , , где 1. На плоскости построим график функции

, где Имеем

Найдём: и построим график функции , где

Для каждого значения параметра функция

задаёт семейство показательных функций, которые проходят

через точку В(0; 1).На рисунках 15 а) и б) соответственно изображены графики

функций и , где .

19

2. Если график функции проходит через точку А(3; 2),

то он может пересекать график функции в одной точке А(3; 2) или в двух точках (одна из этих точек А(3; 2)). В этом случае исходное уравнение имеет одно или два корня.


При исходное уравнение принимает вид

, где

(7.1)


(7.2)1) Рассмотрим первое уравнение

совокупности (7.2).Найдём число точек

пересечений графиков функций и , где

Рассмотрим функцию

Найдём промежутки монотонности функции


б) Определим знак

Так как , то . Так как функция

возрастает, то , а тогда

20

Таким образом, если Тогда функция

возрастает на интервале в) Так как и функция возрастает на интервале ,

то имеем

Из последней системы следует, что графики функций

и не пересекаются при . Это означает, что

уравнение (7.1) при , а значит и исходное уравнение при

и , не имеет корней.2) Рассмотрим второе уравнение совокупности (7.2).Так как функция убывает, а функция

возрастает, то графики этих функций пересекаются только

в одной точке – это точка А(3; 2), а тогда уравнение (7.1) при а значит и исходное уравнение при и имеет единственный корень.

Из 1) и 2) следует, что уравнение (7.1), а значит и исходное при , имеет единственный корень.

На рисунке 15 в) изображены графики функций , где , , где

Из рисунка следует ответ.Ответ. Если то корней нет; если то единственный

корень; если или , то два корня.

8. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение не имеет решений.

Решение 1. Имеем

Исходное уравнение не имеет решений, если одновременно не

имеют решений оба уравнения совокупности (8.1).

Возможны следующие случаи.

1) Если то первое уравнения совокупности (8.1) не имеет

21

решений, а второе уравнение – имеет решение (это легко проверить).

Это означает, что исходное уравнение при имеет решение.

2) Если то второе уравнения совокупности (8.1) не имеет

решений. Первое уравнение совокупности (8.1) при принимает

вид

Так как уравнение не имеет решений, то и

первое уравнения совокупности (8.1) не имеет решений Это означает,

что исходное уравнение при не имеет решений.

3) Если то исходное уравнение равносильно

совокупности

Совокупность (8.2) не имеет решений при тех значениях

параметра а, которые удовлетворяют системе

Из последнего двойного неравенства следует, что исходное

уравнение при не имеет решений.

Из 2) и 3) следует ответ.Ответ. .

9. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет не менее двух решений.

Решение. 1. На плоскости построим множество точек,

удовлетворяющих уравнению .Найдём нули выражений, стоящих под знаком модуля:

Нули выражений, стоящих под знаком модуля: 22

2. Так как функция линейная на каждом промежутке , , , , то для построения графика функции

проделаем следующее.1) Найдём значения функции в точках и в

точках (принадлежит промежутку ) и (принадлежит интервалу ). Имеем

.

2) На плоскости построим точки: (–5; –9), (–4; –8), (0;4), (4;0), (5;1). 3) На каждом промежутке , ,

, построим часть прямой,

проходящей через точки абсциссы, которых принадлежат соответствующему промежутку.

Исходное уравнение будет иметь не менее двух решений при тех значениях параметра , при которых прямые пересекают график функции в двух или трех точках (рис 16). Из рисунка 16 следует ответ.

Ответ. .10. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет хотя бы один корень.

Решение. 1. Перепишем уравнение в виде

Так как , то последнее уравнение, а значит и

исходное уравнение может иметь решение, если

Рассмотрим исходное уравнение при . 2. Запишем уравнение в виде

Рассмотрим функцию где .а) Если , то при любом раскрытии модулей имеем

23

Очевидно, Тогда функция (линейная) при

возрастает.б) Если , то при любом раскрытии модулей имеем

Очевидно,

Тогда функция при убывает.

Так как при

функция возрастает, а при – убывает,

то точка – точка максимума. Определим знаки функции в точках и Имеем

Так как точка – точка максимума и

то исходное уравнение будет иметь хотя бы один корень тогда и только

тогда, когда (рисунка 17)

И

сходное уравнение имеет хотя бы один корень, если Ответ.

11. Решите уравнение .

Решение. Рассмотрим функции и

24

Построим график функции .Имеем

График функции схематично

изображён на рисунке 18.Число корней исходного уравнения при каждом значении d равно

количеству точек пересечения графиков функций и

. Корнями исходного уравнения являются

абсциссы точек пересечения графиков функций и

.Из рисунка 18 следует, что исходное уравнение: а) не имеет

корней, если ; б) имеет бесконечное множество корней, (корнем является любое ), если ; в) имеет два корня, если . Эти корни находятся из совокупности

Итак, если , то исходное уравнение имеет два корня:

, ;

Ответ. Если , то два корня (корень

меньше b), (корень больше с); если , то

бесконечное множество корней, (корнем является любое ); если , то не имеет корней.

25


имеет четыре корня.

Решение. 1. Исходное уравнение равносильно уравнению

Сделаем замену Очевидно,

Исходное уравнение принимает вид

, где (12.1)

2. Рассмотрим квадратное уравнение (12.2)

Если , то корень уравнения (12.2) кратности 2. Для

любого , уравнение (12.2) имеет два различных корня

или . Исходное уравнение имеет четыре корня при тех значениях пара-

метра, при которых уравнение (12.1) имеет два положительных корня. 3. Рассмотрим уравнение (12.1).

1) Так как , то уравнение (12.1), а

значит и исходное уравнение имеет решение, если .Если то уравнение (12.1) не имеет решений, так как оно

принимает вид .

2) Пусть Обозначим: Тогда

уравнение (12.1) принимает вид где (12.3)

Очевидно, если то Уравнение (12.3) имеет два корня (задача 11), если В

этом случае числа и являются корнями

уравнения (12.3) тогда и только тогда, когда .

а) Число является корнем уравнения (12.3), если

26

б) Так как то . Тогда является корнем

уравнения (12.3) при любом Итак, если то уравнение (12.3) имеет два положительных

корня, тогда исходное уравнение имеет четыре корня. Ответ. .

13. Найдите все значения параметров а и при которых

уравнение имеет

единственный корень. Решение. Обозначим: Тогда исходное

уравнение принимает вид (13.1)

Уравнение (13.1), если имеет, либо два корня, либо бесконечное множество корней, либо не имеет корней (задача 11). Поэтому уравнение (13.1), а значит и исходное уравнение может иметь единст-венный корень только в случае, если

Если то уравнение (13.1) принимает вид

(13.2) Последнее уравнение имеет единственное решение тогда и только

тогда, когда Итак, уравнение (13.2), а значит и исходное уравнение, имеет

единственный корень тогда и только тогда, когда

Из последней совокупности следует ответ.Ответ.


имеет три корня. Найдите эти корни.

Решение. 1. Сделаем замену

27

Так как то . (14.1)

2. Рассмотрим квадратное уравнение (14.1).Если , то является корнем квадратного уравнения

(14.1) кратности 2. Для любого квадратное уравнение (14.1)

имеет два различных корня или .

3. Если где , то исходное уравнение

принимает вид где . (14.2)

4. Из уравнения (14.2) следует, что . Последнее

равенство означает: при точки и одновременно являются корнями уравнения (14.2). Из 2. и 4. следует, что исходное уравнение может иметь три корня только в случае, когда уравнение (14.2) имеет два корня, причём один из корней , а другой корень

Из уравнения (14.2) следует, если , то 5. Имеем

если , то ;

если , то , .

Ответ. Если , то уравнение имеет три корня , , .


имеет не менее 7 корней, являющихся

натуральными числами.Решение. 1. Если , то уравнение имеет бесконечное

множество корней (уравнение принимает вид 1=1). Итак, при уравнение имеет не менее семи корней, являющихся натуральными числами.

2. Если , то исходное уравнение равносильно уравнению

(15.1)

а) Так как , то уравнение (15.1), а значит и

исходное уравнение, имеет решение, если

28

.

Итак, исходное уравнение имеет решение, если .

б) Если то исходное уравнение принимает вид

Последнее уравнение, а значит и исходное уравнение, если имеет единственный корень.

3. Рассмотрим уравнение (15.1), если .

Обозначим: Очевидно, и так

как то .

Уравнение (15.1) принимает вид (15.2)Уравнение (15.2), а значит и исходное уравнение, имеет

бесконечное множество корней (задача 11). Корнем уравнения (15.2) является любое (задача 11). Тогда число корней уравнения (15.1), являющихся натуральными числами, совпадает с числом натуральных чисел отрезка , где .

4. Рассмотрим все возможные случаи.1) Если то

Отрезок , где

содержит не менее семи натуральных чисел (отрезкупринадлежат числа 1, 2, …, 7, или 1, 2, …, 7, 8, или 1, 2, …, 7, 8, …), если

Исходное уравнение имеет не менее семи корней, являющихся натуральными числами, если

2) Если то исходное уравнение имеет корнем одно натуральное число (уравнение принимает вид

3) Если то


содержит не менее семи натуральных чисел (отрезку принадлежат числа 1, 2, …, 7, или 1, 2, …, 7, 8, или 1, 2, …, 7, 8, …), если

29

Исходное уравнение имеет не менее семи корней, являющихся натуральными числами, если

4) Если то


не содержит натуральных чисел. Ответ.

16. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет 1) единственное решение, 2) два решения.

Решение. 1. На плоскости построим множество точек,

удовлетворяющих уравнению .Для построения множества точек проделаем следующее.Приравняем нулю выражение, стоящие под знаком модуля

и получим уравнение . Построим прямую . Эта прямая разобьют плоскость на 2 области. В области I выполняется неравенство а в области II –

Рассмотрим исходное уравнение в каждой области. 2. В области I, где исходное уравнение равносильно

уравнению .В области I построим множество точек, удовлетворяющих

уравнению .1) Найдём нули выражений, стоящих под модулями:

Итак, нули выражений, стоящих под модулями:

2) Так как функция линейная на каждом

промежутке , , , , , , то для того

30

чтобы построить график функции на каждом промежутке проделаем следующее.

Найдём значения функции в точках а также, например, в точках (принадлежит промежутку ) и

(принадлежит интервалу ).

Имеем

3) В области I построим точки:

.4) На каждом промежутке , , , , , построим часть прямой, проходящей через точки абсциссы,

которые принадлежат соответствующему промежутку. 3. В области II, где исходное уравнение равносильно

уравнению В области II построим множество точек, удовлетворяющих

уравнению .

1) Нули выражений, стоящих под модулями:

2) Так как функция линейная на каждом

промежутке , , , , , , то для того чтобы построить график функции на каждом промежутке проделаем следующее.

Найдём значения функции в точках ; .

Имеем

3) В области II построим точки:

31

4) На каждом промежутке , , , , , построим часть прямой, проходящей через точки абсциссы,

которых принадлежат соответствующему промежутку.

Из рисунка следует ответ. Ответ. Единственное решение, если

два решения, если


имеет 3 различных

корня. Найдите эти корни.Решение. При исходное

уравнение имеет единственный корень: так как при уравнение принимает вид

Пусть Рассмотрим функции , .

1. На плоскости построим график функции .

Так как функция является чётной (так как ), то

график функции симметричен относительно оси у.

Построим график функции , если .

Если , то .

Графиком функции является «подвижный

уголок» с вершиной в точке и со сторонами

График функции , где , отобразим

относительно оси у и получим график функции .

2. Функция , где задаёт семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом

На рисунке 20 изображён график функции при некотором значении параметра а, а также несколько прямых семейства функции .

32

3. Исходное уравнение имеет три корня тогда и только тогда, когда прямая , где пересекает график функции

в трёх точках. Из рисунка 20 следует, что это

возможно, если прямая , где проходит через точку

или через точку .

а) Прямая , где проходит через точку ,

если

При исходное уравнение принимает вид . Это уравнение имеет три корня.

Из рисунка 20 следует, что один корень – это Два других

корня являются корнями уравнения при . Найдём

эти корни. Имеем

Итак, если то исходное уравнение имеет три корня:

б) Прямая , где проходит через точку ,

если

Итак, если , то исходное уравнение принимает вид

. Это уравнение имеет три корня.Найдём эти корни из уравнения

(17.1)

Первое уравнение совокупности (17.1) равносильно совокупности

Из (17.2) следует: корнями первого уравнения совокупности (17.1), значит и исходного уравнении при являются

.Второе уравнение совокупности (17.1) равносильно совокупности

33

Корнем второго уравнения совокупности (17.1) является Итак, если , то исходное уравнение имеет три корня:

Ответ. Если то ; если то

.18.

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет бесконечное множество решений. Найдите множество решений уравнения при этих значениях параметра а.

Решение. Сделаем замену Очевидно, Исходное уравнение принимает вид

, где (18.1)

Отметим: исходное уравнение и уравнение (18.1) при одних и тех же значениях параметра а имеют бесконечное множество решений.

Уравнение (18.1) равносильно совокупности

Из последней совокупности следует, что уравнение (18.1) имеет бесконечное множество решений, если . (Отметим, что первое и третье уравнения последней совокупности имеют не более чем по одному решению.)

Так как корни уравнения – это или то

при решениями уравнения (18.1) являются .

Так как то при решениями исходного

уравнения

являются (рис 21, так как, если

то если то ).

Ответ.


34

Решение. 1. Очевидно, что является корнем исходного уравнения при любом

2. На плоскости построим множество точек, удовлетворяющих исходному уравнению при условии, что . Имеем

При исходное уравнение равносильно совокупности (19.1).

3. На рисунке 22 изображён график совокупности (19.1). Из рисунка 22 и так как является корнем исходного уравнения при любом следует, что исходное уравнение имеет

один корень , если ; два корня: , (корень находим из уравнений 2 и 3 совокупности (19.1)), если

; то три корня: ,

(последние два корня

находим из уравнений 1 и 2 совокупности (19.1)), если .Ответ. Один корень , если ; два корня: , если

; три корня: , если .

20. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых

уравнение имеет 1) три корня; 2) два

корня. Найдите эти корни.

Решение. 1. Так как

то исходное уравнение равносильно уравнению

Сделаем замену

2. Рассмотрим уравнение (20.1)

35

Если то уравнение (20.1) имеет единственный корень . Для любого , уравнение (20.1) имеет два различных корня

или .

3. Если то исходное уравнение принимает вид

, где . (20.2)Уравнение (20.2) равносильно совокупности

4. На плоскости построим множество точек, удовлетворяющих последней совокупности.

а) Графиком функции где , является часть прямой.

Из уравнения следует, что Обозначим

б) Графиком функции где , является часть

параболы. Из уравнения где , следует, что

Обозначим График рассматриваемой совокупности изображён на рисунке 23.

5. Исходное уравнение может иметь три корня только в случае, когда уравнение (20.2) имеет два корня, причём одним из корней является , а второй корень (следует из 2.).

Из рисунка 23 следует, что уравнение (20.2) имеет два корня, причём одним из корней является , в двух случаях.

1) Если , то уравнение (20.2) имеет два корня: , (так как ). Так как то из 2. следует, что при исходное уравнение имеет три различных корня:

если , то ;

если , то ,

2) Если , то уравнение (20.2) имеет два корня: ,

(так как ). Так как то из 2. следует, что при исходное уравнение имеет три различных корня:

если , то ;

36

если , то ,

6. Исходное уравнение может иметь два корня только в случае, когда уравнение (20.2) имеет один корень, который не равен нулю.

Из рисунка 23 следует, что уравнение (20.2) имеет один корень в трёх случаях.

1) Если , то Из 2. следует, что при исходное уравнение имеет два корня:

,

2) Если , то . Из 2. следует, что при исходное уравнение имеет два корня:

, .3) Уравнение (20.2) имеет один корень при тех значениях

параметра при которых графики функций

где , пересекаются.

Точку пересечения графиков функций найдём из системы

Из 2. следует, что при и исходное уравнение имеет два

корня: , .

Ответ. 1) Три корня, если , то , , если

, то ,

2) Два корня, если , то , если , то

если , то , .

21. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет единственный корень.

Решение. 1. При любом значении корнем уравнения является , так как в этом случае исходное уравнение принимает вид .

37

2. Уравнение имеет единственный корень при тех значениях параметра а, при которых оно имеет только корень (так как корень исходного уравнения при любом значении ).

а) Если , то исходное уравнение имеет единственный корень (так как уравнение принимает вид ).б) Пусть . Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

Рассмотрим первое уравнение совокупности (21.1), если .

Имеем

Из последней системы следует, что первое уравнение совокупности (21.1), имеет единственный корень , если

Отметим, что и удовлетворяют условию .

Корнем второго уравнение совокупности ( ) не является ни при каких значениях .

Итак, исходное уравнение при имеет единственный корень

Ответ. 22. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых

уравнение имеет три корня.

Решение. 1. Если , то исходное уравнение принимает вид

. (22.1)

Уравнение (22.1) имеет нечётное число корней тогда и только тогда, когда является корнем уравнения (так как и являются одновременно корнями уравнения). Легко проверить, что

не является корнем уравнения (22.1), поэтому при исходное уравнение не может иметь трёх корней.

2. Пусть Перепишем уравнение в виде

38

Так как то последнее уравнение, а значит и

исходное уравнение, имеет решение, если Итак, исходное уравнение имеет решение, если

Замечание. Если точка является корнем исходного уравнения

при , то является корнем этого уравнения при . Это

следует из того, что и

Из замечания следует: если исходного уравнения имеет три корня при , то оно имеет также три корня при .

3. Рассмотрим исходное уравнение при Исходное уравнение, если (так как ) равносильно

совокупности уравнений

4. Рассмотрим функции

где а)

Графиком функции , где является «уголок»

с вершиной в точке (0; 12). Очевидно,

б) Графиком функции , где

является «уголок» с вершиной в точке

(0; 76). Очевидно,

в) Графиком функции

является парабола с подвижной вершиной в точке (– 0,5а; 0), где ветви которой

направлены вверх. 5. Из рисунка 24 (масштаб на осях координат разный) следует, что

исходное уравнение имеет три корня при тех значения параметра ,

при которых парабола проходит через точку (8; 36) при

условии, что

39

Парабола проходит через точку (8; 36), если

Из замечания следует, что исходное уравнение и при имеет три корня.

Ответ.


уравнение имеет единственный

корень. Решение. 1. Если , то исходное уравнение принимает вид

. (23.1)Уравнение (23.1) имеет нечётное число корней тогда и только

тогда, когда является корнем уравнения (так как и являются одновременно корнем уравнения). Легко проверить, что не является корнями уравнения (23.1), поэтому при исходное уравнение не может единственного корня.

2. Исходное уравнение равносильно уравнению

.

Сделаем замену Тогда Исходное уравнение принимает вид (23.2)

Исходное уравнение и уравнение (23.2) имеют одинаковое число решений при одних и тех же значениях параметра а (так как , то для каждого значения t находится единственное значение х).

Перепишем уравнение (23.2) в виде Так как

то уравнение (23.2), имеет решение, если

Из последней системы следует, что уравнение (23.2), имеет решение, если

Замечание. Если точка является корнем уравнения (23.2) при

, то является корнем этого уравнения при . Это следует

из того, что и

40

Из замечания следует: если уравнение (23.2), а значит и исходное уравнение, имеет один корень при , то оно имеет также один

корень при . Рассмотрим исходное уравнение при Имеем

где и (23.3)Уравнение (23.3) равносильно совокупности

2. На плоскости при построим множество точек, удовлетворяющих совокупности (23.4).

Для построения множества точек проделаем следующее.Приравняем нулю выражение, стоящие под знаком модуля ,

где и получим уравнение . Построим прямую . Этапрямая разобьют плоскость на 2 области. В области I выполняется неравенство где а в области II – где

Рассмотрим совокупность (23.4) в каждой области. 1) В области I совокупность (23.4) равносильна совокупности

а) Если то

Графиком функции где является часть параболы. Так как абсцисса вершины параболы не принадлежит отрезку и ветви параболы направлены вверх, то

на этом отрезке функция возрастает. Поэтому для построения части параболы найдём следующие значения функции

,

Отметим: точки принадлежат области I.

Строим часть параболы где

41

б) Если то

Графиком функции где является

часть параболы. Так как абсцисса вершины параболы не

принадлежит отрезку и ветви параболы направлены вниз, то на

этом отрезке функция убывает. Поэтому для построения части параболы найдём следующие значения функции

: ,

Отметим: точки принадлежат области I.

Строим часть параболы где

2) В области II совокупность (23.4) равносильна совокупности

а) Если то

Графиком функции где является часть параболы. Абсцисса вершины параболы не

принадлежит множеству и ветви параболы

направлены вниз. Поэтому для построения части параболы найдём следующие значения функции :

Отметим: точки принадлежат области II, а

точки не принадлежат области II, они лежат выше оси абсцисс.

Строим часть параболы , где

б) Если то

Графиком функции где является часть параболы. Абсцисса вершины параболы не принадлежит множеству и ветви параболы направлены вверх. Поэтому для построения части параболы найдём следующиезначения функции :

42

Отметим: точки принадлежат области II, а

точки не принадлежат области II, они лежат выше оси абсцисс.

Строим часть параболы ,

где

2. Из рисунка 25 следует: если то совокупность (23.4), а значит и исходное уравнение,

имеет единственный корень. Из замечания следует, что и при исходное уравнение

имеет единственный корень. Ответ.

или

24. Сколько корней в зависимости от параметра а имеет уравнение ?

Решение. Очевидно, что не является корнем исходного уравнения. Имеем

На плоскости построим график функции .

1. Очевидно, .2. Найдём промежутки монотонности, точки экстремума,

значения функции в точках экстремума. а) Найдём производную функции . Имеем

б) Из уравнения находим критические точки:

43

Эти точки и точка разбивают

числовую прямую на интервалы

в) Определим знаки функции на каждом интервале (рис. 26). Надо учесть то, что функция задана различными выражениями.

г) Из рисунка 26 делаем вывод. Функция возрастает на каждом промежутке

Функция убывает на каждом промежутке

В точках и функция

имеет максимум.

3. Рассмотрим поведение функции вблизи границ области

определения функции. Имеем

4. Строим график функции .5. Из рисунка 27 (масштаб на осях координат разный) следует

ответ.Ответ. Если то 4 корня; если то 3 корня; если

то 2 корня; если то 1 корень; если то корней нет.


Решение. Очевидно, что не является корнем исходного уравнения. Имеем

На плоскости построим график функции . 1. Очевидно, .

44

2. Найдём промежутки монотонности, точки экстремума, значения функции в точках экстремума.


б) Из уравнения находим

критическую точку:

Кроме того, критической точкой является точка (функция в этой точке определена, а производная не существует).

Эти точки и точка разбивают числовую прямую на

интервалы в) Определим знаки функции на каждом интервале (рис. 28).

Надо учесть то, что функция задана различными выражениями.г) Из рисунка 28 делаем вывод. Функция возрастает на каждом

промежутке

Функция убывает на каждом

промежутке . Функция

в точке имеет максимум, а в

точке – минимум.

3. Рассмотрим поведение функции вблизи границ области определения функции. Имеем

4. Строим график функции (рис. 29).5. Из рисунка 29 (масштаб на осях координат разный) следует

ответ.Ответ. Если то корней нет; если то 1 корень; если

то 4 корня; если , то 3 корня; если

то 2 корня.

45


Решение. 1. Так как то при уравнение

решений не имеет.

Замечание. Точки и одновременно

удовлетворяют уравнению . Поэтому можно сначала решить

уравнение при

2. Так как точки (х; а) и (–х; а) одновременно удовлетворяют исходному уравнению, то рассмотрим это уравнение при

Имеем

Из системы (26.1) следует, если , то 3. Рассмотрим систему (26.1) при Имеем

3. Графиком системы (26.2)

является часть окружности с центром

в точке (3; 0) и радиусом, равным 5.

Построим график системы (26.2) на плоскости х0а.

а) Точку пересечения графика системы (26.2) с осью 0а найдём из

системы

Итак, график системы (26.2) проходит через точку (0; 4).

Строим часть окружности при и . 5. Из

рисунок 30 следует, что система (26.2) имеетодин корень если ; один корень , если ;

два корня: , если ; два корня:

если ;

корней не имеет, если .Из замечания, а также из 1. для исходного уравнения следует

ответ.

46

Ответ. Если , то корней не имеет;

если , то два корня: ;

если , то три корня: ;

если , то четыре корня:

если , то два корня: .27. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет четыре корня. Решение. 1. Исходное уравнение при имеет два корня, так как

оно принимает вид .2. Пусть Сделаем замену , где

а) Если то уравнение имеет единственный корень.

Для любого уравнение имеет два различных корня

или . б) Пусть Так как и то исходное уравнение принимает

вид, где и (27.1)

Исходное уравнение имеет четыре корня, если уравнение (27.1) имеет два различных положительных корня.

Так как то уравнение (27.1) равносильно уравнению

(27.2)Замечание. Квадратное уравнение

имеет два

положительных корня тогда и

только, когда

Итак, квадратное уравнение (27.2), а значит и квадратное уравнение (27.1) имеет два положительных корня тогда и только, когда выполняется условие

47

Итак, квадратное уравнение (27.2) имеет два положительных

корня, если Тогда исходное уравнение имеет четыре

различных корня при

Ответ.



корень.Решение. Очевидно, для любых значений выполняется

двойные неравенства , .

Обозначим Исходное уравнение

принимает вид Так как функция возрастает и

то . Тогда последнее уравнение, а значит и исходное уравнение, равносильно уравнению

Итак, исходное уравнение равносильно уравнению (28.1)

Так как то уравнение (28.1), значит и исходное

уравнение, имеет решение, если

Итак, исходное уравнение имеет решение, если . Найдём, при каких значениях параметра а имеет единственное

решение уравнение где . (28.2)

48

Первый способ.Имеем

1) Рассмотрим первое уравнение совокупности (28.3).Это уравнение имеет единственное решение, в двух случаях.

а) Уравнение , где

имеет два корня,

которые лежат по разные стороны от числа 3. В этом случае рассматриваемое уравнение имеет единственный корень, не равный 3.

Замечание. Квадратное уравнение имеет два корня, которые лежат по разные стороны от числа тогда и только, когда

Из замечания следует: уравнение , где

имеет два корня, которые лежат по разные стороны от числа 3 тогда и только, когда

Из последнего неравенства следует: первое уравнение совокупности (28.3) не имеет корней, которые лежат по разные стороны от числа 3.

б) Корнем уравнения , где является число 3.

Легко проверить, что число, равное 3, является корнем рассматриваемого уравнения при

Итак, если то первое уравнение совокупности (28.3) имеет единственный корень.

2) Рассмотрим второе уравнение совокупности (28.3).Это уравнение имеет единственное решение, в двух случаях.

49

а) Уравнение , где

имеет два

корня, которые лежат по разные стороны от числа 5. В этом случае рассматриваемое уравнение имеет единственный корень, не равный 5.

Из замечания следует: уравнение , где

имеет два корня, которые лежат по разные стороны от числа 5 тогда и только, когда

Из последнего неравенства следует: второе уравнение совокупности (28.3) не имеет корней, которые лежат по разные стороны от числа 5.

б) Корнем уравнения , где является число 5.

Легко проверить, что число, равное 5, является корнем рассматриваемого уравнения при

Итак, если то второе уравнение совокупности (28.2) имеет единственный корень.

Так как первое уравнение совокупности (28.3) имеет единствен-ный корень при а второе – при то совокупность (28.3), а значит и исходное уравнение, имеет единственный корень, если

Второй способ.2. На плоскости построим множество точек,

удовлетворяющих уравнению , где .Для построения множества точек проделаем следующее.1) Приравняем нулю выражение, стоящие под знаком модуля и получим уравнение . Построим прямую . Эта

прямая разобьют плоскость на 2 области. В области I выполняется неравенство а в области II –

2) Рассмотрим исходное уравнение в каждой области. В области I, где исходное уравнение равносильно

уравнению

50

а) Если то Тогда . Прямая

проходит через точки В области I через точки проводим часть прямой .

б) Если , то Тогда . Прямая

проходит через точки В области I через точки

проводим часть прямой .В области II, где исходное уравнение равносильно

уравнению а) Если то Тогда

. Прямая проходит через

точки В области II через точки

проводим часть прямой .

б) Если , то Тогда . Прямая

проходит через точки В области II через точки

проводим часть прямой .Из рисунка 31(масштаб на осях координат разный) следует:

исходное уравнение, имеет единственный корень, если Третий способ.

Рассмотрим функции где .

Графиком функции , где , является «уголок» с вершиной в точке (4;–1), проходящий через точки (3;0) и

(5;0).Графиком функции , где

, является «подвижный

уголок» с вершиной в точке . Рассмотрим следующие случаи.1) Пусть Из рисунка 32 а) следует, что

уравнение (28.2), а значит и исходное уравнение, если имеет не менее двух корней.

2) Пусть

51

Замечание. Точка пересечения прямых , где

находится из системы

Уравнение (28.2) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда имеет решение одна из систем (рис. 32 б), в))

а) Из замечания следует, что ордината точки пересечения системы (28.3) – это . Система (28.4) имеет решение, если

Решением последней системы является . Решением системы (28.4) является точка (5; 0). Итак, уравнение (28.2), а значит и исходное уравнение при , имеет единственный корень:

б) Из замечания следует, что ордината точки пересечения системы (28.5) – это . Система имеет решение, если

Решением последней системы является . Решением системы (28.5) является точка (3; 0). Итак, уравнение (28.2), а значит и исходное уравнение при , имеет единственное решение

Итак, если , то уравнение (28.2), а значит и исходное уравнение, имеет единственное решение.

Ответ.

29. Найдите все значения параметра а, если , при которых


хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию .

Решение. 1. Так как

, то левая часть

уравнения не больше 5.

52

Так как, левая часть уравнения не больше 5, правая – равна 5, то исходное уравнение равносильно системе

2. Так как по условию задачи , то из второго уравнения системы (29.1), имеем

Из последнего двойного неравенства следует, что или .

а) Если , то Подставим в первое уравнение системы (29.1) и получим

Так как и по условию задачи , то

Из последнего двойного неравенства следует, что или .

Если , то Если , то б) Если , то

Подставим в первое уравнение системы (29.1) и получим

Так как и по условию задачи , то

Ни одно значение не удовлетворяет последнему двойному

неравенству.Ответ. или

30. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет решения. Найдите эти решения.

Решение. Имеем: и .

Таким образом, левая часть данного уравнения не больше и

равна только в случае, когда , а правая часть не меньше

53

и равна только в случае, когда . Тогда исходное уравнение равносильно системе

Из последней системы следует ответ.Ответ. Если

31. Чётная периодическая функция , с периодом , определённая на всей числовой прямой, на отрезке

задана уравнением . Найдите все значения

параметра а, при которых уравнение имеет ровно 6 корней.

Решение. 1. Построим график функции на отрезке

. Имеем

Так как абсцисса вершины параболы не принадлежит отрезку и ветви параболы направлены вверх, то функция

на отрезке убывает. Поэтому для построения

графика части параболы на отрезке найдём значения:

Точку пересечения параболы на отрезке с осью

абсцисс находим из системы

Строим график параболы на отрезке (рис. 33 а)).

2. Строим график функции на отрезке (рис. 33 б)).

3. Построим график функции , которая является чётной периодической функцией, с периодом , определённая на всей

числовой прямой и на отрезке задана уравнением .

54

а) На рисунке 33 в) изображён график функции на отрезке

(воспользовались тем, что функции является чётной).

б) На рисунке 34 изображён график функции на отрезке

(воспользовались тем, что функции является периодической с периодом ).

Отметим: исходное уравнение имеет бесконечное множество корней, если и не имеет корней, если (рис. 34); не является корнем исходного уравнения.

Замечание. Так как функции является чётной, то, если пара

удовлетворяет уравнению , то и пары

также удовлетворяет этому уравнению.

Из замечания следует, что исходное уравнение надо рассмотреть при и Если при и исходное уравнение

имеет три корня, то при и это уравнение имеет шесть корней.

2. Исходное уравнение при и имеет три корня, если графики функций , пересекаются в трёх точках.

а) Из рисунка 34 следует, что графики функций , при пересекаются в одной точке, если .

б) Найдём число точек пересечения графиков функций ,

, где , если график функции проходит через

точку А(3; 6). Имеем

При функция принимает вид .

Число точек пересечения графиков функций

, где , найдём из системы

55

Итак, графики функций , , если пересекаются в двух точках.

Из а) и б) следует: если , то графики функций ,

, пересекаются в трёх точках.

б) Найдём число точек пересечения графиков функций ,

, где , если график функции проходит через точку А (6; 6). Имеем

При функция принимает вид .

Из рисунка 34 следует, что графики функции и , где пересекаются в четырёх точках. Из рисунка 34 следует, если и , то графики функций

, пересекаются в трёх точках.

Отметим: если и , то графики функций , пересекаются более чем в трёх точках.

Из замечания следует, что исходное уравнение имеет шесть корней, если .

Ответ. .

Упражнения.

1. Сколько корней в зависимости от параметра а имеет уравнение ? Найдите эти корни.

Ответ. Если , то два корня , ; если

, то два корня , .


имеет два корня. При графическом методе надо

обосновать, что при уравнение имеет два корня. Для этого надо

доказать, что имеет два корня система

56

Ответ.

3. Решите уравнение .Ответ. При уравнение имеет одно решение при

решениями уравнения являются (уравнение имеет бесконечное множество решений); при уравнение имеет одно решение

4. Сколько решений в зависимости от параметра а имеет

уравнение на отрезке ?

Ответ. Если , то одно решение; если , то два решения.

5. Найдите все значения параметра , при которых уравнение

имеет единственный корень.

Ответ. 6. Найдите все значения параметра , при которых уравнение


Ответ. 7. Найдите все значения параметра , при которых уравнение

имеет единственный корень; имеет более одного корня; не имеет корней.

Ответ. 8. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

не имеет корней. Ответ. .

9. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет не менее двух решений.


имеет два корня.

Ответ.


57

Ответ. Если , то не имеет корней; , то два

корня , ; если , то бесконечное

множество корней, корнем является любое .12. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение


Ответ. 13. Найдите все значения параметров а и b, при которых


единственный корень. Ответ.


имеет три корня. Найдите эти корни.

Ответ. Если , то три корня , , .


имеет не менее четырёх различных решений,

являющихся целыми числами.

Ответ.

16. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет два решения.

Ответ.

17. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет 3 различных корня. Найдите эти корни.

Ответ. Если то ; если то

.18.

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет бесконечное множество решений. Ответ.


Ответ. Если то два корня: , ; если , то

два корня: , ; если то четыре корня: ,

58

, , ; если то три корня: ,

; если , то два корня: , .


уравнение имеет 1) один корень; 2) два

корня. Найдите эти корни.Ответ. 1) Три корня, если , то , ,

если , то , 2) Два корня, если ,

то , если , то

если то

21. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет единственный корень.


уравнение имеет три корня.



корень. Ответ. или


Ответ. Если то 4 корня; если то 3 корня; если то 2 корня; если то 1 корень; если то корней

нет.25. Сколько корней в зависимости от параметра а имеет

уравнение ?Ответ. Если то 2 корня; если то 3 корня;

если то 4 корня; если , то 1 корень; если

то

корней нет.


59

Ответ. Если , то корней нет; если , то три

корня: ; если , то четыре корня:

если , то два

корня: .27. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение



уравнение имеет ровно один корень.

Ответ.

29. Найдите все значения параметра , при которых

уравнение имеет хотя бы одно

решение, удовлетворяющее условию . Ответ. или

30. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет решения. Найдите эти решения.

Ответ. Если

31. Нечётная периодическая функция , с периодом ,

определённая на всей числовой прямой, на отрезке задана

уравнением . Найдите все значения параметра а, при которых

уравнение имеет ровно 6 корней. Ответ.

32. Найдите все значения параметра а, при которых уравнения

и имеют корни, причём число корней в этих

уравнениях одинаковое.

Ответ.

33. При каких значениях k уравнение имеет три корня?

Ответ.

60


уравнение имеет один корень.

Ответ. 35. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение




Ответ.

61

uravnenia s parametrami reshenie

Documents