1

ارتعاشات

بعامن

تئوری ارتعاشات و کاربرد آن در مهندسی -1

انتشارات دانشگاه تهران –دکتر منصور نیکخواه بهرامی

2 - Vibration Theory with Applications - Thomson W.T. and M.D.Dahleh

3 - Mechanical Vibrations - Rao, S.S

سرفصل درس

تعاریف و مفاهیم پایه

آزادي درجه یك هايسیستم زادآ ارتعاشات

اجباري هارمونیك ارتعاش

ارتعاش گذرا

هاي دو درجه آزاديسیستم

هاي چند درجه آزاديسیستم

2

فصل اول

حرکت نوسانی

شود، یعنی ارتعاشات یک پدیده ها مربوط میمطالعه ارتعاشات به حرکت نوسانی اجسام و نیروهای وابسته به آن

دینامیکی است.

باشند قادر به ارتعاش هستند.جسام دارای جرم و خاصیت االستیسیته )کشسانی( تمامی ا

در بیشتر مواقع ارتعاشات زاییده ناخواسته یک عملکرد مفید است نطیر شفت تجهیزات دوار و الستیک خودرو

مکانیکی هایشود نظیر سازهای موسیقی، ویبراتورها و الکدر برخی موارد ارتعاشات به صورت عمدی ایجاد می

ارتعاشات عمدی )مفید( ارتعاشات ناخواسته )مزاحم(

های ارتعاشی بر حسب مدل ریاضیطبقه بندی سیستم

های هستند که تعداد درجه آزادی معین دارند.سیستم مدل ناپیوسته: -1

نهایت هستند.های هستند که دارای درجه آزادی بیسیستم مدل پیوسته: -2

سیستم یک درجه آزادی )مدل ناپیوسته(

3

سیستم دو درجه آزادی )مدل ناپیوسته(

آزادی )مدل ناپیوسته(سیستم سه درجه

مدل پیوسته )بی نهایت درجه آزادی(

4

آزادیدرجه

مختصات مستقل برای توصیف حرکت یک سیستم درجه آزادی نام دارد.د تعدا

نقطه مادی در فضا سه درجه آزادی دارد هر(𝑥, 𝑦𝑧)

صلب در فضا شش درجه آزادی دارد جسم(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜃𝑥, 𝜃𝑦 , 𝜃𝑧)

هاهای ارتعاشی بر اساس رفتار آنبندی سیستمطبقه

اگر معادله دیفرانسیل سیستم خطی باشد یعنی اگر هر ترم در معادله دیفرانسیل حرکت فقط های خطی:سیستم -1

اشد سیستم خطی است.شامل تابع و یا مشتقات آن از توان اول ب

�̈� +𝑘

𝑚𝑥 = 0

نهی )سوپرپوزیشن( است. یعنی پاسخ حاصل سیستمی از اصل برهمهای خطی پیروی های مهم سیستمویژگیاز

ها به تنهایی.اد شده توسط هر یک از محرکهای ایجورود همزمان دو محرک عبارتست از ترکیب پاسخبه خاطر

هایی که متغیر تابعی غیرخطی باشد، سیستم غیرخطی است.در سیستم های غیرخطی:سیستم -2

بندی عمومی ارتعاشاتطبقه

کند و نیروهای سیستم در اثر اعمال نیروهای ذاتی و الینفک خود تحت یک تحریک اولیه نوسان می آزاد:ارتعاش -1

خارجی حضور نداشته باشند.

شود.تحت ارتعاش آزاد با یک یا چند فرکانس طبیعی خود منتشر میسیستم

.پذیردمیارتعاشی است که تحت تاثیر نیروهای خارجی صورت اجباری:ارتعاش -2

5

F(t)ارتعاش اجباری تحت نیروی خارجی

حالت تشدید ودهای طبیعی سیستم منطبق شنس نیروی محرک بر یکی از فرکانسدر ارتعاش اجباری فرکااگر

ها و بال های عظیم نظیر پلتواند سبب شکست سازهافتد، یعنی نوسانی با دامنه بزرگ که می)رزونانس( اتفاق می

هواپیما شود.

در اثر تشدید ناشی از نیروی باد Tacoma – Narrowتخریب پل

میرا و نامیراارتعاشات

شود و اگر انرژی بدین انرژی در اثر اصطکاک و یا سایر نیروهای مقاوم حین نوسان تلف نشود بدان ارتعاش نامیرا گفته میاگر

شود.صورت تلف شده و تحلیل یابد بدان ارتعاش میرا گفته می

6

حرکت هارمونیک

حرکت د بدان گردتکرار می τحرکت نوسانی ممکن است به طور منظم تکرار شود. وقتی این حرکت در فواصل زمانی یکسان شود.گفته می متناوب )پریودیک(

𝑥(𝑡) = 𝑥(𝑡 + 𝜏)

𝜏 زمان تکرار

𝑓 =1𝜏

تعداد نوسان در یک ثانیه ←فرکانس )بسامد( تکرار

شود که از یک فنر سبک است که به وسیله حرکت یک جرم توصیف می حرکت هارمونیکترین فرم حرکت متناوب ساده

آویزان شده است.

ارمونیک سادهه – 9شکل

𝑥 = 𝐴 sin𝜔𝑡

𝐴 دامنه نوسان

𝜔 ایسرعت زاویه

𝜔 =2𝜋𝜏= 2𝜋𝑓

𝜔 گردد.ای نیز اطالق میشود و بدان فرکانس دایرهگیری میمعموالً بر حسب رادیان بر ثانیه اندازه

ای با سرعت ثابتحرکت هارمونیک به صورت حرکت دایره – 10شکل

�̇� = 𝐴𝜔 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 = 𝐴𝜔 sin (𝜔𝑡 +𝜋

2) �̈� = −𝐴𝜔2 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 = 𝐴𝜔2 sin (𝜔𝑡 + 𝜋)

.در حرکت هارمونیک، سرعت و شتاب نیز هارمونیک با همان فرکانس اصلی هستند

سرعت به اندازه𝜋 رادیان جلوتر از تغییر مکان است. 𝜋و شتاب به اندازه ⁄2

�̈� = −𝜔2𝑥

7

، سرعت و شتاب حرکت هارمونیک سادهجابجایی – 11شکل

حرکت متناوب )پریودیک(سری ها بیان نمود که بدان ها و کسینوستوان به وسیله یک سری از سینوسفوریه نشان داد که هر حرکت متناوب را می

شود.گفته می فوریه

:که در آن

𝑎0 =2𝜏∫ 𝑥(𝑡) 𝑑𝑡𝜏 2⁄

−𝜏 2⁄=𝜔

𝜋∫ 𝑥(𝑡) 𝑑𝑡𝜋 𝜔⁄

−𝜋 𝜔⁄

𝑎𝑛 =2𝜏∫ 𝑥(𝑡) cos𝜔𝑛𝑡 𝑑𝑡𝜏 2⁄

−𝜏 2⁄=

2𝜏∫ 𝑥(𝑡) cos 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡𝜏 2⁄

−𝜏 2⁄=𝜔

𝜋∫ 𝑥(𝑡) cos 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡𝜋 𝜔⁄

−𝜋 𝜔⁄

, 𝑛 = 1,2, … , 𝑛

𝑏𝑛 =2𝜏∫ 𝑥(𝑡) sin𝜔𝑛𝑡 𝑑𝑡𝜏 2⁄

−𝜏 2⁄=

2𝜏∫ 𝑥(𝑡) sin 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡𝜏 2⁄

−𝜏 2⁄=𝜔

𝜋∫ 𝑥(𝑡) sin 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡𝜋 𝜔⁄

−𝜋 𝜔⁄

, 𝑛 = 1,2, … , 𝑛

توان روابط باال را به صورت زیر نیز بیان نمود:شود میچون سری فوریه برای تابع هارمونیک نوشته می

𝜔 =2𝜋𝜏→ 𝜏 =

2𝜋𝜔

𝑎0 =2𝜏∫ 𝑥(𝑡) 𝑑𝑡𝜏

0=𝜔

𝜋∫ 𝑥(𝑡) 𝑑𝑡

2𝜋 𝜔⁄

0

𝑎𝑛 =2𝜏∫ 𝑥(𝑡) cos 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡𝜏

0=𝜔

𝜋∫ 𝑥(𝑡) cos 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡

2𝜋 𝜔⁄

0 , 𝑛 = 1,2, … , 𝑛

𝑏𝑛 =2𝜏∫ 𝑥(𝑡) sin 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡𝜏

0=𝜔

𝜋∫ 𝑥(𝑡) sin 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡

2𝜋 𝜔⁄

0 , 𝑛 = 1,2, … , 𝑛

8

توان به صورت تابع مختلط نیز بیان نمود:همچنین سری فوریه را می

که در آن:

شوند:از رابطه زیر محاسبه می 𝑐𝑛ضرایب

سری فوریه تابع زیر را محاسبه نموده و طیف فرکانسی را ترسیم نمایید. :1مثال

حل:

انتگرال جز به جز:

9

∫𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫𝑣 𝑑𝑢

روش جدولی:

توان نوشت:برای این مثال می

10

سری فوریه تابع زیر را محاسبه نموده و طیف فرکانسی را ترسیم نمایید. :2مثال

حل:

11

|2𝑐𝑛| = |𝑎𝑛| 𝑛

4𝐴𝜋2 1

4𝐴9𝜋2 3

4𝐴25𝜋2 5

4𝐴49𝜋2 7

4𝐴81𝜋2 9

4𝐴121𝜋2 11

12

فصل دوم

هاي یك درجه آزاديارتعاش آزاد سیستم

فرکانس طبیعی –معادله حرکت

فنر و دیاگرام آزاد –سیستم جرم – 1شکل

𝜔2با تعریف بسامد مدور

𝑛 =𝑘

𝑚 توان به صورت زیر نوشت:رابطه باال را می

𝐴 = 𝑥(0), 𝐵 = �̇�(0)

توان نوشت:رابطه باال را به صورت زیر می

13

: 1مثال

بیابید. 𝐹فشاری( را تحت نیروی کششی )یا 𝐸، مدول یانگ 𝐴، سطح مقطع 𝑙ثابت فنر معادل میله یکنواخت به طول

حل:

توان به صورت زیر بیان نمود:را می 𝐹تحت نیروی کششی )یا فشاری( δافزایش طول )یا کاهش طول(

شود:( به صورت زیر تعریف می𝜎و تنش ) (휀در رابطه باال کرنش )

휀 =تغییر طول

طول اصلی=𝛿

𝑙

𝜎 =نیرو

سطح

휀 =𝜎

𝐸

در نتیجه:

:2مثال

روی انتهای تیر یک سر درگیر با جرم ناچیز زیر را تعیین نمایید. 𝑀رکانس طبیعی جرم ف

14

:𝑃رابطه خمش تیر یک سر درگیر با نیروی متمرکز

𝑃 = 𝑊 = 𝑚𝑔

𝐼 ممان اینرسی تیر حول محور𝑧 ،𝐸 مدول االستیسیته یانگ

𝜔𝑛 = √𝑘𝑒𝑞

𝑚= √

3𝐸𝐼 𝑙3⁄𝑚

= √3𝐸𝐼𝑚𝑙3

:3مثال

نوسان را در 10ای قرار گرفته و رها شود، متر است. اگر چرخ تحت جابجایی زاویه 2و طول آن 𝑐𝑚 0/5قطر میله فوالدی

را محاسبه نمایید. دهد. ممان اینرسی قطبی چرخ و الستیکثانیه انجام می 2/30

حل:

رابطه پیچش به صورت زیر است:

𝐿𝛾 = 𝜌𝜙 → 𝜙 =𝐿𝛾

𝜌

𝜙 =𝑇𝐿

𝐽𝑏𝑎𝑟𝐺→ 𝑇 =

𝐽𝑏𝑎𝑟𝐺

𝐿𝜙 → 𝑇 = 𝐾𝜙

𝐾 =𝐽𝑏𝑎𝑟𝐺

𝐿

∑𝑀 = 𝐽𝛼 → −𝑇 = 𝐽�̈�

∑𝑀 = 𝐽𝛼 → −𝑇 = 𝐽�̈�

𝐽�̈� = −𝐾𝜃

𝐽 میله و الستیک ممان اینرسی جرمی ،𝐾 سختی پیچشی وθ .زاویه پیچش بر حسب رادیان است

15

توان نوشت:میله فوالدی می برای

𝐾 = 𝐺𝐽𝑏𝑎𝑟/𝑙

𝐽𝑏𝑎𝑟 =𝜋

2 𝑟4 =

𝜋

32𝐷4

𝐺 مدول برشی فوالد

𝐽𝑏𝑎𝑟 =

𝜋

32 (0/5 × 10−2)4= 0/006136× 10−8 𝑚4

𝜔𝑛2 =

𝐾

𝐽

:4مثال

معادله حرکت و فرکانس طبیعی سیستم زیر را بیابید.

حل:

حالت تعادل فرض شده که فنر سمت چپ از طول آزاد کشیده شده و فنر سمت راست فشرده شده است. اگر خالف این در

قضیه فرض شود باز جواب تغییر نخواهد کرد.

حالت تعادل

در حالت تعادل:

16

∑𝑀𝑂 = 0 → 𝑃1𝑎 −𝑚𝑔𝐶 + 𝑃2𝑏 = 0

:در حالت ارتعاش

∑𝑀𝑂 = −𝐽𝑂�̈� → (𝑃1 + 𝑘𝑎𝜃)𝑎 − 𝑚𝑔𝐶 + (𝑃2 + 𝑘𝑏𝜃)𝑏 = −𝐽𝑂�̈�

𝑃1𝑎 −𝑚𝑔𝐶 + 𝑃2𝑏 + 𝑘𝑎2𝜃 + 𝑘𝑏2𝜃 = −𝐽𝑂�̈�

→ (𝑘𝑎2 + 𝑘𝑏2)𝜃 = −𝐽𝑂�̈� → �̈� +𝑘(𝑎2 + 𝑏2)

𝐽𝑂𝜃 = 0

𝜔𝑛 = √𝑘(𝑎2 + 𝑏2)

𝐽𝑂

برای سادگی بهتر است که تغییر مکان گردندچون در معادله حرکت، عبارات مربوط به حالت تعادل در نهایت حذف می

نسبت به حالت تعادل سنجیده شود و نیروهای ذاتی موثر در حالت تعادل نیز در نظر گرفته نشوند:

∑𝑀𝑂 = −𝐽𝑂�̈� → (𝑘𝑎𝜃)𝑎 + (𝑘𝑏𝜃)𝑏 = −𝐽𝑂�̈� → �̈� +𝑘(𝑎2 + 𝑏2)

𝐽𝑂𝜃 = 0

𝜔𝑛 = √𝑘(𝑎2 + 𝑏2)

𝐽𝑂

:فنر –در مورد مثال جرم

−𝑘𝑥 = 𝑚�̈� → 𝑚�̈� + 𝑘𝑥 = 0

17

روش انرژی

رت انرژی جنبشی و در یک سیستم پایستار انرژی کل ثابت است. برای ارتعاش آزاد یک سیستم نامیرا بخشی از انرژی به صو

بخشی دیگر به صورت انرژی پتانسیل ظاهر شده است.

شود.ناشی از سرعت در جرم ذخیره می (𝑇)ین بدان معنی است که انرژی جنبشی

به شکل انرژی کرنش در تغییر مکان االستیک، یا کار انجام شده در میدان نیروی جاذبه ذخیره شده (𝑈)انرژی پتانسیل

است.

𝑇 + 𝑈 = تثاب 𝑑

𝑑𝑡(𝑇 + 𝑈) = 0

توان نوشت:از اصل بقای انرژی می

𝑇1 + 𝑈1 = 𝑇2 + 𝑈2

گذرد:را برای حالتی در نظر بگیریم که جرم از وضعیت تعادل استاتیکی خود می 1اگر اندیس

𝑈1 = 0 → 𝑇1 = 𝑇𝑚𝑎𝑥

باشد در این حالت سرعت جرم برابر صفر خواهد بود: متناظر با حالتی باشد که متناظر با حداکثر تغییر مکان 2اگر اندیس

𝑇2 = 0 → 𝑈2 = 𝑈𝑚𝑎𝑥

توان به صورت زیر نوشت:پس اصل بقای انرژی را می

𝑇𝑚𝑎𝑥 = 𝑈𝑚𝑎𝑥 توان برای تعیین فرکانس طبیعی سیستم استفاده نمود.از رابطه باال می

:5 مثال

به دست آورید. 𝑘و ثابت فنر 𝑚به جرم فنر –معادله حرکت را برای سیستم جرم

حل:

12𝑚𝑉

2 +12 𝑘𝑥

2 = →ثابت12𝑚�̇�

2 +12 𝑘𝑥

2 = ثابت𝑑

𝑑𝑡(12𝑚�̇�

2 +12𝑘𝑥

2) = 0 → (𝑚�̈� + 𝑘𝑥)�̇� = 0

𝑥 در حالت کلی ≠ 0 →̇ 𝑚�̈� + 𝑘𝑥 = 0

18

:6مثال

ایید.فرکانس طبیعی سیستم زیر را تعیین نم

حل:

در زمان عبور از تعادل استاتیکی

در حالت حداکثر تغییر مکان فنر

𝜃 = 𝐴 sin(𝜔𝑛𝑡 + 𝜑)

𝜃̇= 𝐴𝜔𝑛 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑛𝑡 + 𝜑)

12 (𝐽 + 𝑚𝑟1

2)𝜃̇ 2|𝑚𝑎𝑥

=12𝑘𝑟2

2 𝜃2|𝑚𝑎𝑥

sin(𝜔𝑛𝑡 + 𝜑) = 1 → 𝜃𝑚𝑎𝑥 = 𝐴

𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑛𝑡 + 𝜑) = 1 → �̇�𝑚𝑎𝑥 = 𝐴𝜔𝑛

→ (𝐽 + 𝑚𝑟12)(𝐴𝜔𝑛)

2 = 𝑘𝑟22𝐴2

یادآوری از دینامیک:

19

ای کلیحرکت صفحه حرکت دورانی حرکت انتقالی

فنر: پتانسیل انرژی

𝑇 =12𝑘𝑥

2

رکز جرم:از م 𝑑رابطه ممان اینرسی در فاصله

:7مثال

فرکانس طبیعی سیستم زیر را با فرض غلتش بدون لغزش تعیین نمایید.

سرعت انتقالی مرکز دیسک𝑉𝑐 = (𝑅 − 𝑟)�̇�

𝑉𝑐 = 𝑟�̇�} → �̇� =

(𝑅 − 𝑟)

𝑟�̇�

𝑇 =12𝑚𝑉𝑐

2 +12 𝐼�̇�

2

بنابراین:

ت از:ممان اینرسی دیسک حول مرکز جرمش عبارتس

𝐼 =12𝑚𝑟

2

𝑑

𝑑𝑡(𝑇 + 𝑈) = 0

به ازای زوایای کوچک:

sin 𝜃 ≈ 𝜃

20

راه دوم:

𝑇 =34𝑤

𝑔(𝑅 − 𝑟)2�̇�2

𝜃 کوچک→ 𝑈 = 2𝑤(𝑅 − 𝑟)𝑠𝑖𝑛2 𝜃

2 = 2𝑤(𝑅 − 𝑟) ×𝜃2

4 =12 𝑤

(𝑅 − 𝑟)𝜃2

𝜃=𝐴sin(𝜔𝑡+𝜑)→ 𝑇 =

34𝑤

𝑔(𝑅 − 𝑟)2 × 𝐴2𝜔2 cos2(𝜔𝑡 + 𝜑) → 𝑇𝑚𝑎𝑥 =

34𝑤

𝑔(𝑅 − 𝑟)2 × 𝐴2𝜔2

𝜃=𝐴sin(𝜔𝑡+𝜑)→ 𝑈 =

12 𝑤

(𝑅 − 𝑟)𝜃2 =12 𝑤

(𝑅 − 𝑟)𝐴2 𝑠𝑖𝑛2(𝜔𝑡 + 𝜑) → 𝑈𝑚𝑎𝑥 =12 𝑤

(𝑅 − 𝑟)𝐴2

𝑇𝑚𝑎𝑥 = 𝑈𝑚𝑎𝑥 →34𝑤

𝑔(𝑅 − 𝑟)2 × 𝐴2𝜔2 =

12 𝑤

(𝑅 − 𝑟)𝐴2 → 𝜔𝑛 = √2𝑔

3(𝑅 − 𝑟)

: جرم موثرروش رایلی

های جرم گسترده به کار برد به شرط آن که حرکت هر نقطه های چند جرمی یا سیستمتوان برای سیستمروش انرژی را می

از سیستم معلوم باشد.

ه صورت زیر تبدیل نمود:توان بانرژی جنبشی سیستم را در نهایت می

𝑇 =12𝑚𝑒𝑓𝑓�̇�

2

𝑚𝑒𝑓𝑓 جرم موثر یا جرم تجمیعی معادل در نقطه مشخص استو اگر سختی فنر در آن نقطه معلوم باشد فرکانس طبیعی از

شود:رابطه زیر تعیین می

𝜔𝑛 = √𝑘

𝑚𝑒𝑓𝑓

:8مثال

فنر ساده تعیین نمایید. –سیستم جرم اثر جرم فنر را بر روی فرکانس طبیعی

حل:

𝑦به صورت خطی با 𝑦توان فرض کرد سرعت یک المان جزء طولی از فنر در فاصله باشد می 𝑀سرعت جرم متمرکز �̇�اگر

کند:تغییر می

𝑉 = �̇� ×𝑦

𝑙

21

توان با انتگرال زیر محاسبه نمود:انرژی جنبشی فنر را می

𝑇 =12∫ 𝑉

2𝑙

0𝑑𝑚, 𝑑𝑚 =

𝑚𝑠𝑙𝑑𝑦

𝑚𝑠 جرم فنر است

𝑇 =

12 𝑚𝑠3 �̇�2 +

12 𝑚�̇�

2 =12 𝑚𝑒𝑓𝑓�̇�

2

:9مثال

در وسط آن قرار دارد. جرم موثر و فرکانس طبیعی سیستم زیر را تعیین 𝑀است و جرم متمرکز 𝑚𝑏جرم تیر زیر

𝑃𝑙3در وسط تیر از رابطه 𝑃نیروی متمرکز نمایید.خمش در اثر 48𝐸𝐼⁄ شود.محاسبه می

حل:

در حالتی که میله فاقد جرم باشد:

𝑦𝑚𝑎𝑥 =𝑊𝑙3

48𝐸𝐼

𝜔𝑛 = √𝑘𝑒𝑞

𝑀= √

𝑊 𝑦𝑚𝑎𝑥⁄

𝑀= √

48𝐸𝐼/𝑙3

𝑀= √

48𝐸𝐼𝑀𝑙3

نماییم:ه به صورت زیر عمل میبرای در نظر گرفتن جرم میل

𝑇 =12∫ 𝑉2𝑑𝑚

𝑙/2

0, 𝑑𝑚 =

𝑚𝑏𝑙/2

انرژی جنبشی بیشینه تیر به تنهایی:

𝑇𝑚𝑎𝑥,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =12𝑀�̇�𝑚𝑎𝑥

2 +12 (0/4857𝑚𝑏)�̇�𝑚𝑎𝑥2 =

12𝑚𝑒𝑓𝑓�̇�𝑚𝑎𝑥

2

22

:10مثال

سیستم زیر بیابید.برای Cو Aدو نقطه در جرم معادل را

𝑚𝑟 جرم بازو

𝑚𝑣 جرم سوپاپ

𝑚𝑝 جرم میله متصل به پیرو

𝑚𝑠 جرم فنر

حل:

𝑇 =

12𝑚𝑝�̇�𝑝

2 +12𝑚𝑣�̇�𝑣

2 +12(𝐼𝑂)�̇�𝑟

2 +12 (

13𝑚𝑠) �̇�𝑣

2

𝐼𝑂 = 𝐽𝑟 +𝑚𝑟𝑙32

داریم: Aدر نقطه

�̇�𝑝 = 𝑙1�̇�, �̇�𝑣 = 𝑙2�̇�, �̇�𝑟 = 𝑙3�̇�

𝑇 =12𝑚𝑝(𝑙1�̇�)

2+

12𝑚𝑣(𝑙2�̇�)

2+

12 (𝐽𝑟 +𝑚𝑟𝑙3

2)�̇�𝑟2 ++

12 (

13𝑚𝑠) (𝑙2�̇�)

2

𝑇 =12𝑚𝑒𝑓𝑓�̇�𝐴

2 =12𝑚𝑒𝑓𝑓�̇�𝑝

2 =12𝑚𝑒𝑓𝑓(𝑙1�̇�)

2

→12𝑚𝑝(𝑙1�̇�)

2+

12𝑚𝑣(𝑙2�̇�)

2+

12 (𝐽𝑟 +𝑚𝑟𝑙3

2)�̇�𝑟2 + +

12 (

13𝑚𝑠) (𝑙2�̇�)

2=

12𝑚𝑒𝑓𝑓(𝑙1�̇�)

2

𝑚𝑒𝑓𝑓 = 𝑚𝑝 +𝑚𝑣 (𝑙2𝑙1)

2

+ 𝐽𝑟 (1𝑙1)

2+𝑚𝑟 (

𝑙3𝑙1)

2

+13𝑚𝑠 (

𝑙2𝑙1)

2

داریم: Cدر نقطه

𝑇 =12𝑚𝑝(𝑙1�̇�)

2+

12𝑚𝑣(𝑙2�̇�)

2+

12 (𝐽𝑟 +𝑚𝑟𝑙3

2)�̇�𝑟2 ++

12 (

13𝑚𝑠) (𝑙2�̇�)

2

𝑇 =12𝑚𝑒𝑓𝑓�̇�𝐶

2 =12𝑚𝑒𝑓𝑓�̇�𝑣

2 =12𝑚𝑒𝑓𝑓(𝑙2�̇�)

2

→12𝑚𝑝(𝑙1�̇�)

2+

12𝑚𝑣(𝑙2�̇�)

2+

12 (𝐽𝑟 +𝑚𝑟𝑙3

2)�̇�𝑟2 + +

12 (

13𝑚𝑠) (𝑙2�̇�)

2=

12𝑚𝑒𝑓𝑓(𝑙2�̇�)

2

𝑚𝑒𝑓𝑓 = 𝑚𝑝 (𝑙1𝑙2)

2

+𝑚𝑣 + 𝐽𝑟 (1𝑙2)

2+𝑚𝑟 (

𝑙3𝑙2)

2

+ (13𝑚𝑠)

23

سختی معادل فنرها

فنرهای موازی

فنر موازی: 𝑛برای

فنرهای سری:

ی:فنر سر 𝑛برای

24

:11مثال

ثابت فنر معادل سیستم زیر را بیابید.

حل:

جدول سختی فنر

𝐼 ممان اینرسی سطح مقطع

𝑙 طول کلی

𝐴 سطح مقطع

𝐽 ثابت پیچشی سطح مقطع

25

)ادامه( جدول سختی فنر

𝑛 تعداد دورهای فنر

26

ارتعاش آزاد با میرایی لزجی

بر روی الیه نازکی از سیال حرکت کند: 𝑣در حالتی که یک صفحه تخت با سرعت ثابت

𝑢 =

𝑣𝑦

ℎ→𝑑𝑢

𝑑𝑦=𝑣

ℎ→ 𝜏 = 𝜇

𝑣

ℎ

کند:ت صفحه عمل میکه در خالف جهت حرک متناسب با سرعت است 𝐹طبق رابطه باال نیروی میرایی لزجی

باشد.میرایی میرا کننده می ثابت 𝑐در رابطه باال

توان میرایی را از در میرایی لزجی، نیروی میرا کننده متناسب با سرعت جسم ارتعاشی است. به عنوان مثال در موارد زیر می

نوع لزجی فرض کرد:

الیه نازک سیال بین سطوح لغزنده -1

در یک سیلندر جریان سیال حول یک پیستون -2

فیسیجریان سیال از میان یک ار -3

الیه نازک سیال حول یک یاتاقان ژورنال -4

(2و 1اریفیس فلنج )شماره

27

یاتاقان ژورنال

فنر زیر با میرایی لزجی با نوشتن قانون دوم نیوتن خواهیم داشت: -برای سیستم جرم

یریم:اگر حل معادله باال را به شکل زیر در نظر بگ

𝐶 و𝑠 های نامعلوم هستند. با قرار دادن رابطه باال در معادله حرکت خواهیم داشت:در معادله باال ثابت

های معادله باال عبارتند از:ریشه

های معادله حرکت عبارتند از:حل

آید:، با ترکیب دو حل به صورت زیر به دست می)خطی( حل کلی معادله حرکت

28

شوند.های دلخواه هستند که از شرایط اولیه سیستم تعیین میثابت 𝐶2و 𝐶1 هایثابت

ثابت میرایی بحرانی

است که به ازای آن جمله زیر رادیکال در جواب معادله صفر شود: 𝑐مقداری از ثابت بحرانی 𝑐𝑐میرایی بحرانی

𝜔𝑛 =

𝑐𝑐2𝑚

نسبت میرایی

شود:ه صورت نسبت ثابت میرایی به ثابت میرایی بحرانی تعریف میب ζنسبت میرایی

در نتیجه:

و در نتیجه رفتار حل معادله حرکت به مقدار میرایی بستگی دارد. 𝑠2و 𝑠1های ماهیت ریشه

که در حالتیζ = .)میرایی بحرانی( انجامد که پیشتر بدان اشاره شدبه ارتعاشات آزاد می 0

حالتی که درζ > .)میرایی فوق بحرانی( افتدباشد هر دو ریشه حقیقی بوده و نوسانی اتفاق نمی 1

در حالتی کهζ < .)حالت زیرمیرایی( باشدمی باشد دو ریشه مختلط شده و حرکت نوسانی 1

Underdamped systemحالت زیرمیرایی -1

ζ)باشد در این شرایط در حالتی که 2− ها عبارتند از:منفی بوده و ریشه (1

29

𝐶1)در روابط باال

′ , 𝐶2′) ،(𝑋, 𝜙) و(𝑋0, 𝜙0) شوند.های دلخواه هستند که از شرایط اولیه محاسبه میثابت

شرایط اولیه:

𝑥(𝑡) = 𝑒−ζ𝜔𝑛𝑡 (𝐶1′ cos√1− ζ

2𝜔𝑛𝑡 + 𝐶2

′ sin√1− ζ2𝜔𝑛𝑡)

�̇�(𝑡) = (−ζ𝜔𝑛) × 𝑒−ζ𝜔𝑛𝑡 (𝐶1

′ cos√1− ζ2𝜔𝑛𝑡 + 𝐶2

′ sin√1− ζ2𝜔𝑛𝑡)

+𝑒−ζ𝜔𝑛𝑡√1− ζ2𝜔𝑛 (−𝐶1

′ sin√1− ζ2𝜔𝑛𝑡 + 𝐶2

′ cos√1− ζ2𝜔𝑛𝑡)

باشد:بنابراین حل به صورت زیر می

(I)

,𝑋) های ثابت 𝜙) و(𝑋0, 𝜙0) شوند:به صورت زیر بیان می

30

ζ√ای بیانگر حرکت هارمونیک میرا با فرکانس زاویه (I)معادله حرکت 2− 1𝜔𝑛 است اما به دلیل ضریب𝑒−ζω𝑛t اش با دامنه

یابد )شکل زیر(.زمان به صورت نمایی کاهش می

نمودار حل زیرمیرایی

𝜔𝑑 کمیت =√1− ζ

2𝜔𝑛 شود.نامیده می فرکانس ارتعاش میرا

است. 𝜔𝑛کمتر از فرکانس طبیعی 𝜔𝑑توان دید که فرکانس ارتعاش میرا می

𝜔𝑑 < 𝜔𝑛 است: ( همراه است. که در شکل زیر نشان داده شده𝜔𝑑کاهش فرکانس ارتعاش میرا با افزایش مقدار میرایی )طبق رابطه

𝜔𝑑2 + ζ

2𝜔𝑛

2 = 𝜔𝑛2

با میرایی 𝜔𝑑نمودار تغییرات

شود.حالت زیرمیرایی در مطالعه ارتعاشات مکانیکی بسیار با اهمیت است زیرا تنها حالتی است که منجر به حرکت نوسانی می

31

(Critically Damped System)میرایی بحرانی -2

در این حالت:

ζ = یا 1 𝑐 = 𝑐𝑐 یا 𝑐 2𝑚 = √𝑘 𝑚⁄⁄

:)ریشه مضاعف( های معادله حرکت با هم برابرنددر این حالت ریشه

باشد:حل معادله حرکت به صورت زیر می

�̇�(𝑡) = 𝐶2𝑒

−𝜔𝑛𝑡 − 𝜔𝑛(𝐶1 + 𝐶2𝑡)𝑒−𝜔𝑛𝑡

شرایط اولیه:

در نتیجه:

𝑡اال غیرپریودیک است زیرا وقتی شود که حل بمشاهده می → 𝑒−𝜔𝑛𝑡رود می ∞ → و حرکت به صورت کند میل می 0

یابد )شکل زیر(.صفر کاهش می ناگهانی به

مقایسه حرکت با انواع متفاوت میرایی

حالت فوق میرایی -3

ζ > یا 1 𝑐 > 𝑐𝑐 یا 𝑐 2𝑚 > √𝑘 𝑚⁄⁄

زا به صورت زیر دارد:در این حالت معادله حرکت دو ریشه مج

32

𝑠2که در آن ≪ 𝑠1 توان به صورت زیر بیان نمود:باشد. حل معادله حرکت را میمی

𝑥(𝑡) = 𝐶1 𝑒(−ζ+√ζ

2−1)𝜔𝑛𝑡

+ 𝐶2 𝑒(−ζ−√ζ

2−1)𝜔𝑛𝑡

�̇�(𝑡) = 𝐶1 𝜔𝑛 (−ζ+√ζ

2− 1)𝑒

(−ζ+√ζ2−1)𝜔𝑛𝑡

+ 𝐶2 𝜔𝑛 (−ζ−√ζ

2− 1)𝑒

(−ζ−√ζ2−1)𝜔𝑛𝑡

شرایط اولیه:

در نتیجه:

دهد که صرفنظر از شرایط اولیه تحمیلی بر سیستم، حرکت غیرپریودیک است. های باال، نشان میحل معادله حرکت با ثابت

یابند که در شکل باال نشان داده شده است.مایی با زمان کاهش میهر دو منفی بوده و به صورت ن 𝑠2و 𝑠1های زیرا ریشه

کاهش لگاریتمی

یک روش ساده برای تعیین میرایی یک سیستم اندازه گیری زوال نوسان آزاد آن سیستم است. هرچه میرایی بیشتر باشد

میزان زوال بیشتر خواهد شد.

باشد.آزاد میکاهش لگاریتمی بیانگر نرخ کاهش دامنه ارتعاش میرای

شود.کاهش لگاریتمی به صورت لگاریتم طبیعی نسبت هر دو دامنه متوالی تعریف می

توان نوشت:اند میهای متناظر دو دامنه متوالی باشند که برای یک سیستم زیرمیرا اندازه گیری شدهزمان 𝑡2و 𝑡1اگر

اما

که در آن

33

𝜔𝑑 =√1− ζ

2𝜔𝑛

ناوب ارتعاش میراست. بنابراین:دوره ت

بنابراین:

شود:به صورت زیر محاسبه می (𝛿)کاهش لگاریتمی

معادله )الف(

به ازای مقادیر بسیار کوچک میرایی خواهیم داشت:

معادله )ب(

تغییرات کاهش لگاریتمی با میرایی

مثال:

توان از رابطه زیر برای تعیین کاهش لگاریتمی استفاده نمود:مینشان دهید که به جای استفاده از دو جابجایی پشت سر هم

باشند.می 𝑡𝑚+1و 𝑡1های های نوسان مربوط به زمانبه ترتیب دامنه 𝑥𝑚+1و 𝑥1یک عدد صحیح بوده و 𝑚در رابطه باال

34

حل:

میرایی کولمب

شود.یکدیگر نتیجه می میرایی کولمب از لغزش دو سطح خشک بر روی

شود:نیروی میرایی برابر است با حاصلضرب نیروی عمود بر سطح و ضریب اصطکاک سطح و مستقل از سرعت فرض می

فنر با میرایی کولمب –سیستم جرم

جهت حرکت جرم به کدام سمت باشد دو حالت مختلف را باید بررسی نمود:بسته به این که

𝑥وقتی که -1 > 𝑑𝑥و 0 𝑑𝑡 > 𝑥است یا زمانی که ⁄0 < 𝑑𝑥و 0 𝑑𝑡 > وقتی که جرم از سمت چپ به سمت یعنی ⁄0

کند:راست حرکت می

(I)معادله

باشد:حل معادله باال به صورت زیر می

35

𝐴1 و𝐴2 هایی هستند که باید به کمک شرایط اولیه در نیم سیکل مزبور محاسبه گردند.ثابت

𝑥وقتی که -2 > 𝑑𝑥 و 0 𝑑𝑡 < 𝑥است یا زمانی که ⁄0 < 𝑑𝑥و 0 𝑑𝑡 < وقتی که جرم از سمت راست به یعنی ⁄0

کند:سمت چپ حرکت می

(II)معادله

𝐴3 و𝐴4 هایی هستند که باید به کمک شرایط اولیه در این نیم سیکل محاسبه گردند.ثابت

یر بیان نمود:توان تنها با رابطه زرا می (II)و (I)معادالت

𝑚�̈� + 𝜇𝑚𝑔�̇�

|�̇�|+ 𝑘𝑥 = 0

�̇�در رابطه باال

|�̇�| شود:جایگزین نمود که بدان تابع عالمت گفته می ̇𝑠𝑔𝑛(𝑥)توان با تابع را می

(III)معادله

شود:تابع عالمت به صورت زیر تعریف می

𝑠𝑔𝑛(𝑦) =

{

𝑦 به ازای 0 = 0

𝑦 به ازای 1 > 0

𝑦 به ازای 1− < 0

اگر شرایط اولیه زیر را در نظر بگیریم: (III)برای حل معادله

𝑡یعنی در لحظه .1 = های و ثابت باشدو سرعت صفر است. بنابراین حرکت جسم از راست به چپ می 𝑥0جابجایی 0

𝐴3 و𝐴4 گردند:به صورت زیر محاسبه می

�̇�(𝑡) = −𝐴3𝜔𝑛 sin𝜔𝑛𝑡 + 𝐴4𝜔𝑛 cos𝜔𝑛𝑡

36

توان با رابطه زیر بیان نمود:و حل معادله حرکت را می

(IV)معادله

0حل باال تنها برای بازه زمانی ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 𝜔𝑛⁄ .صادق است

𝑡وقتی = 𝜋 𝜔𝑛⁄ صله از رابطه زیر باشد جرم در دورترین فاصله در سمت چپ نقطه تعادل قرار دارد که این فا

گردد:محاسبه می

𝑥چون حرکت از جابجایی = 𝑥0 آغاز شده است پس اندازه کاهش𝑥 در زمان𝑡 = 𝜋 𝜔𝑛⁄ 2به میزان𝜇𝑁 𝑘⁄ می-

باشد.

𝑡)در زمان 𝐴2و 𝐴1های در نیمه دوم حرکت برای محاسبه ثابت .2 = 𝑡توان از زمان ( می 0 = 𝜋 𝜔𝑛⁄ عادله در م(IV)

استفاده نمود:

�̇�(𝑡) = −𝐴1𝜔𝑛 sin𝜔𝑛𝑡 + 𝐴2𝜔𝑛 cos𝜔𝑛𝑡

𝑥|𝑡=0 = 𝑥|𝑡=𝜋 𝜔𝑛⁄ (IV)در معادله = −(𝑥0 −2𝜇𝑁𝑘)

�̇�|𝑡=0 = �̇�|𝑡=𝜋 𝜔𝑛⁄ (IV)در معادله = −𝜔𝑛 (𝑥0 −𝜇𝑁

𝑘) sin𝜔𝑛𝑡|

𝑡=𝜋 𝜔𝑛⁄= 0

گردند:به صورت زیر محاسبه می 𝐴2و 𝐴1های بنابراین ثابت

گردد:سیکل چپ به راست به صورت زیر بیان میجواب معادله حرکت در نیم

𝜋حل باال تنها برای بازه زمانی 𝜔𝑛⁄ ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 𝜔𝑛⁄ .صادق است

سیکل عبارتست از:جابجایی در پایان این نیم

باشند. سیکل سوم میاین مقادیر، شرایط اولیه برای شروع نیم

𝑥𝑛شود حرکت جرم زمانی متوقف می ≤ 𝜇𝑁 𝑘⁄ باشد زیرا در این شرایط نیروی𝑘𝑥 کمتر از نیروی اصطکاکμ𝑁 .خواهد بود

توان از رابطه زیر محاسبه نمود:میرا (𝑟)های پیموده شده پیش از توقف بنابراین تعداد نیم سیکل

37

خالصه نتایج:

معادله حرکت در حالتی که میرایی کولمب وجود داشته باشد غیرخطی است در حالی که در میرایی لزجی معادله -1

باشد.خطی می

𝑚�̈� + 𝑘𝑥 + 𝜇𝑁 = 0

𝑚�̈� + 𝑘𝑥 − 𝜇𝑁 = 0

اند در حالی که با افزودن میرایی لزجی کاهش مفرکانس طبیعی سیستم با افزودن میرایی کولمب بدون تغییر می -2

یابد.می

𝜔𝑛,کولمب =

√𝑘

𝑚, 𝜔

𝑑,لزجی =√1− ζ

2𝜔𝑛

تواند غیرتناوبی باشد.در میرایی کولمب حرکت تناوبی )پریودیک( است اما در میرایی لزجی )حالت فوق میرایی( می -3

رسد در حالی که در حالت تئوری میرایی لزجی حرکت به حالت سکون میدر میرایی کولمب سیستم پس از مدتی -4

به صورت مداوم ادامه خواهد داشت.

شیب خط کاهش دامنه در میرایی کولمب به صورت زیر قابل محاسبه است: -5

2𝜋در هر دو سیکل متوالی از میرایی کولمب )در اختالف زمان -6 𝜔𝑛⁄ 4(، دامنه حرکت به میزان𝜇𝑁 𝑘⁄ کاهش

یابد:می

یابد در حالی که در میرایی لزجی کاهش به صورت نمایی در میرایی کولمب دامنه به صورت خطی کاهش می -7

باشد.می

در میرایی لزجی:

𝑥𝑚+1 = 𝑥1𝑒𝑚ζ𝜔𝑛𝜏𝑑

در میرایی کولمب:

𝑥2𝑚 = 𝑥0 −4𝑚𝜇𝑁𝑘

38

حرکت جرم با میرایی کولمب

39

40