utilidad de las derivadas
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Gráfica de funciones y problemas da máximos y mínimosTRANSCRIPT
7/17/2019 Utilidad de las derivadas
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APLICACIONES DE LA DERIVADA PARA REPRESENTAR GRÁFICAMENTE FUNCIONES YRESOLVER PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS.
1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES.
1er CASO: FUNCIONES POLINÓMICAS.
EJEMPLO-1:
V!"# re$re#e%&r 'r()*+!e%&e , )%+*%: )/0 2 03-3041 5 2 03-3041
16 DOMINIO: D"! /) 2 R
76 SIMETRÍA: N" &*e%e8 %* +"% re#$e+&" , e9e Y8 %* +"% re#$e+&" , "r*'e% e +""re%#.
36 CORTES CON LOS EJES:
• 0 2 ; ⇒ 5 2 1 → /;< 1
• 5 2 ; ⇒ 03-3041 2 ; 8 E++*% e &er+er 'r" ⇒ Tre# +"r&e#8 e% e#&e +#" *)=+*,e# e
>,,r
?6 ASÍNTOTAS:
• VERTICALES: DENOMINADOR 2 ;
• @ORIONTALES: 0/) ,*!50 ∞→
=
• OBLICUAS: Se % +%" &e%e!"# % +"+*e%&e e $",*%"!*"# e% e, e EL GRADODEL NUMERADOR SEA UNA UNIDAD MAYOR UE EL GRADO DEL DENOMINADOR.
6 MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS Ó LOCALES:
16 )/0 2 307-3
76 307-3 2 ; ⇒ 0 2 ±1 PUNTOS CRÍTICOS
36 )/0 2 H0
1
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?6 Se +,+, )/0 e% ,"# $%&"# +r=&*+"#:
• )/41 2 4H ; ⇒ E% 0 2 1 ) ,+% % !=%*!" re,&*K"
E, $%&" e , 'r()*+ e# /1< -1
• )/-1 2 -H; ⇒ E% 0 2 -1 ) ,+% % !(0*!" re,&*K"
E, $%&" e , 'r()*+ e# /-1< 3
H6 PUNTOS DE INFLEXIÓN: S"% $%&"# e% ,"# e , +rK re$re#e%&&*K +!* e+"%+K*. E9e!$,"#:
E% 0 2 >5 % $%&" e *%),e0*%8 $"re ,'r()*+ e , )%+*% $# e +%+K >+*rr* +%+K >+* 9".
16 )/0 2 H0
76 H0 2 ; ⇒ 0 2 ; ⇒ E% 0 2 ; >5 % $%&" e *%),e0*%.
7
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E, $%&" e , 'r()*+ e#: /;< 1
6 GRÁFICA:
EN ESTA GRÁFICA SE OBSERVA:
16 ) +re+e e% /-∞< -1 ∪/1< 4∞. C%" ) +re+e: )/0 ;
76 ) e+re+e e% /-1< 1. C%" ) e+re+e: )/0;
36 ) e# +%+K >+* 9" e% /-∞< ;. C%" ) e# +%+K >+* 9": )/0;
?6 ) e# +%+K >+* rr* e% /;< 4∞. C%" ) e# +%+K >+* rr*: )/0;
EJERCICIOS FÁCILES:
Re$re#e%& 'r()*+!e%&e ,# #*'*e%&e# )%+*"%e#:
5 2 70347 5 2 07-04H /Se'%" 'r" ⇒ #& e0&re!"# 5 +"r&e# +"% ,"# e9e#
+ 5 2 -0743 5 2 /0-7741 e 5 2 -7/0437-3
EJEMPLO-7
)/0 2 03-0 5 2 03-0
3
x
y
- 6 - 4 - 2 0 2 4 6
- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
4
5
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16 DOMINIO: D"!/) 2 R
76 SIMETRÍA: S*!&r*+ re#$e+&" e, $%&" /;<;
36 CORTES CON LOS EJES:
• 0 2 ; ⇒ 5 2 ; → /;< ;
• 5 2 ; ⇒ /;< ;8 /1< ;8 /-1<;
?6 ASÍNTOTAS: N" >5
6 MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS Ó LOCALES:
16 )/0 2 307-1
76 307-1 2 ; ⇒ 0 23
1± ⇒ "# $%&"# +r=&*+"#
36 )/0 2 H0
?6 Se +,+, )/0 e% ,"# $%&"# +r=&*+"#:
• ;3
1P/H
3
1/QQ) >+=+ ⇒ E% 0 2
3
1+ ) ,+% % !=%*!" re,&*K"
E, $%&" e , 'r()*+:3R8;
3
1
3
1
3
1/)
3
−=−
=e# /;8< -;83
?
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• 3
1P/H
3
1/QQ) −=− ; ⇒ E% 0 2
3
1− ) ,+% % !(0*!" re,&*K"
E, $%&" e , 'r()*+: 3R8;
3
1
3
1
3
1/)
3
+=
−−
−=−
e# /-;8< 4;83
H6 PUNTOS DE INFLEXIÓN:
)/0 2 H0 ⇒ /;< ;
6 GRÁFICA:
EN ESTA GRÁFICA SE OBSERVA:
16 ) +re+e e% /-∞< -;8 ∪/;8< 4∞
76 ) e+re+e e% /-;8< ;8
36 ) e# +%+K >+* 9" e% /-∞< ;
?6 ) e# +%+K >+* rr* e% /;< 4∞
x
y
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3
- 2
- 1
0
1
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EJEMPLO-3:
)/0 2 03-70740
• CORTES CON LOS EJES:
/;< ; 5 /1< ;
• PUNTOS CRÍTICOS:
0 2 1 5 0 2 13
• EXTREMOS RELATIVOS:
M=%*!" e% /1< ; < M(0*!" e% /13< ;81?
• PUNTOS DE INFLEXIÓN:
E% /73< ;8;?
• GRÁFICA:
EN ESTA GRÁFICA SE OBSERVA:
16 ) +re+e e% /-∞<13 ∪/1< 4∞
76 ) e+re+e e% /13< 1
36 ) e# +%+K >+* 9" e% /-∞< 73
?6 ) e# +%+K >+* rr* e% /73< 4∞
H
x
y
- 6 - 4 - 2 0 2 4 6
- 4
- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
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PARA UNA REPRESENTACIÓN APROXIMADA8 NO ES NECESARIO @ALLAR LOSPUNTOS DE INFLEXIÓN.
EJERCICIOS.
D*9 APROXIMADAMENTE / #*% >,,r ,"# $%&"# e *%),e0*% , 'r()*+ e ,# #*'*e%&e#)%+*"%e#:
)/0 2 0?-07 / S*!e&r= → e# $r → S*!&r*+ re#$e+&" e, e9e Y< C"r&e# → /-1<; 5 /1<;< P%&"#+r=&*+"#→ 0 2 ; 5 7S10 ±=
)/0 2 703-041 / P%&"# e +"r&e +"% e, e9e Y: %" #e >,,% $"r *)=+*,e#. P%&"# +r=&*+"#:
1D81
3
?0 ±=±=
x
y
-1. 5 - 1 -0. 5 0 0. 5 1 1. 5
0
1
x
y
-1 5 -1 0 - 5 0 5 1 0 1 5
- 7
- 6
- 5
- 4
- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
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+ )/0 2 0?-707 / C"r&e#: 7± < P%&"# +r=&*+"#: ±1 5 ;
76 CASO: REPRESENTACIÓN GRÁFICA APROXIMADA DE FUNCIONES RACIONALESSIN USAR LA DERIVADA Y NO @AY ASÍNTOTAS OBLICUAS / V*#&" +"% ,"# ,=!*&e#. L"re$#re!"# +"% "&r"# e9er+*+*"#
C,+,re!"# ," #*'*e%&e:
16 A#=%&"&# >"r*"%&,e# 5 Ker&*+,e#
76 V,"re# e 0 , **er 5 , ere+> e ,# #=%&"&# Ker&*+,e#.
36 C"r&e# +"% ,"# e9e#.
EJERCICIOS.
170
15
−±
= 77
0
15
±= 3
30
05
−=
?10
1075
−+
= 0?
0D5
−=
x
y
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3
- 1
0
1
2
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3er CASO: REPRESENTACIÓN GRÁFICA APROXIMADA DE FUNCIONES RACIONALESSIN USAR LA DERIVADA @ABIENDO ASÍNTOTAS OBLICUAS.
Pr e >,, #=%&"&# ",*+#8 e, 'r" e, %!er"r ee #er % %* !5"r e e, 'r"e, e%"!*%"r.
C%" >5 #=%&"&# ",*+# %" >5 #=%&"&# >"r*"%&,e#.
C,+,re!"# ," #*'*e%&e:
16 A#=%&"&# Ker&*+,e# 5 ",*+#
76 V,"re# e 0 , **er 5 , ere+> e ,# #=%&"&# Ker&*+,e#.
36 C"r&e# +"% ,"# e9e#.
EJEMPLO:0
7005
7+−
=
L #=%&"& ",*+ #e $ee >,,r e)e+&%" , *K*#*%:0
7105 +−=
C%" 0 → ∞8 5-/0-1 →; ⇒5 0-1
@5 "&r" !&"" e #e # !(# e% 76 e B+>*,,. +"% )%+*"%e# NO r+*"%,e#:
5 2 !04%
• ! 20
0/) ,*!0 ∞→
• % 2 [ ]!00/) ,*!0
−
∞→
LA GRÁFICA ES:
x
y
-1 5 -1 0 - 5 0 5 1 0 1 5
- 9
- 8
- 7
- 6
- 5
- 4
- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
4
5
6
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EJERCICIOS.
10
05
7
3
−
=
/10
005
7−
+=
0
105
7 −=
/0
105 −+=
1;
x
y
-1 5 -1 0 - 5 0 5 1 0 1 5
- 8
- 7
- 6
- 5
- 4
- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
4
5
6
7
x
y
-1 5 -1 0 - 5 0 5 1 0 1 5
- 8
- 7
- 6
- 5
- 4
- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
4
5
6
7
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+30
70305
7
−
+−=
/30
705
−
+=
70
1005
7
−
−−=
?6 CASO: FUNCIONES NO RACIONALES.
EJERCICIOS.
=3
0,%5
L075 =
11
x
y
-1 5 -1 0 - 5 0 5 1 0 1 5
- 4
- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 0
1 1
x
y
-1 5 -1 0 - 5 0 5 1 0 1 5
- 7
- 6
- 5
- 4- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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+ 52,"'/0
5 2 7±0 /0
0
7
175
== −
e 5 2 3e0
) 5 2 77-0
7. PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS.
16 P'. 733-77-SM: C"% % ,!re e 1!8 #e *ere +"%#&r*r e, "re e % re+&(%'," e (re
!(0*!8 *!e%#*"%e# >5 e r , re+&(%',". / +r" e ;87! e ,". @5 %)%+*% "$&*!*r 5 % e++*% e ,*'r
76 P'. 733-77-SM: De#+"!$"%er 1 +"!" #! e "# %W!er"# $"#*&*K"#8 e !%er e e,$r"+&" e %" e e,,"# $"r e, +r" e, "&r" #e !(0*!". /17 5 H.
17
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3 P'. 733-7-SM:Se *ere K,,r % +!$" re+&%',r e e#&( 9%&" % +!*%". S* , K,,e, ," e, +!*%" +e#& ! 5 , e ,"# "&r"# ,"# 1 !8 >,, ,# *!e%#*"%e# 5 e, (re e,!5"r +!$" e $ee +er+r#e +"% 1.;; . / 0/9%&" , +!*%"21;!8 5 2 ?;! .
? P'. 733-7H-SM:U% 9r*%er" > e +"%#&r*r % $r&erre e% )"r! e #e+&"r +*r+,r +"% %$er=!e&r" e 7;!. C(, #er( e, r*" e e, $r&erre e (re !(0*!. / ! e r*" 5 1;! er+" .
P'. 733-7-SM:E% % ")*+*% e +"rre"# #," #e !*&e% $e&e# +"% )"r! e$r,e,e$=$e" re+&%',r8 &,e# e , %+>r #e *', , ,&r 58 e!(#8 , #! e %+>"8,&" 5 ,r'" ee #er 7!. @,, ,# *!e%#*"%e# e, $r,e,e$=$e" $r e e, K",!e% #e!(0*!". / +" e 7?! e r*#&
13