Úvod do kombinatoriky

Mgr. Miloš Jurč

Matematika sa nachádza všade, sprevádza nás každodenným životom.

Matematika sa týka bývania, cestovania, nakupovania potravín, čokolády, cukríkov, zmrzliny.....

Matematika sa týka tiež parlamentných aj komunálnych volieb, ale aj počasia Takto zameranú matematiku voláme kombinatorika, pravdepodobnosť a štatistika

Čo v prvom rade sledujeme pri matematických úlohách zameraných na kombinatoriku:

Sledujeme, či záleží na usporiadaní (poradí) jednotlivých prvkov

Čo v prvom rade sledujeme pri matematických úlohách zameraných na kombinatoriku:

Sledujeme, či sa jednotlivé prvky môžu alebo nemôžu opakovať

Čo v prvom rade sledujeme pri matematických úlohách zameraných na kombinatoriku:

Na základnej škole budeme všetky možné riešenia vypisovať. Pritom si musíme zvoliť správny a jednoduchý systém!

V prehľade je uvedených

10 jednoduchých príkladov

z kombinatoriky

Zuzana sa chce obliecť na Veľkonočnú diskotéku. V skrini má 5 rôznych tričiek a 3 rôzne nohavice. Koľkými spôsobmi sa môže obliecť?

T – tričká, N – nohavice

T N

T

T N

T

T N

Výpočet:x = 5 . 3x = 15 spôsobov

Zuzana sa môže obliecť 15 spôsobmi.

1

2František má z písmen M, A, K vytvoriť všetky trojpísmenkové slová. Koľko takýchto slov existuje?

MAK

MKA

AKM

AMK

KAM

KMA

Existuje 6 takýchto slov.

Pomocou cifier 2,3,4,5 vytvorte všetky 3-ciferné čísla. Čísla sa nesmú opakovať. Koľko ich je?

3

234243235253245254

324342325352345354

423432425452435453

523532524542534543

Existuje 24 takýchto čísel.

6 + 6 + 6 + 6 = 24

Hokejového turnaja sa zúčastnil 5 mužstiev: Dubnica, Trenčín, Zvolen, Púchov a Košice. Koľko zápasov sa odohrá, ak musí hrať každý s každým?

4

DTDZDPDK

TZTPTK

ZPZK

PK

Na hokejovom turnaji sa odohrá 10 zápasov.

Výpočet:4 + 3 + 2 + 1 =

10

Koľko podaní rúk prebehne, ak sa stretne šesť ľudí, pričom každý podá ruku každému práve raz?

5

5

12

3

4

6

Výpočet: 5 + 4 + 3 + + 2 + 1 = 15

Na stretnutí 6 ľudí prebehne 15 podaní rúk.

a) Dvojité zmrzliny:JB

JK JC JV

B KC B K V B C V

KCKV

CV

b) Trojité zmrzliny:

J B K J B C J B V J K C J K V J C V

KCV

BK BC BV

V cukrárni majú zmrzliny: jahodovú, banánovú, kakaovú, citrónovú a vanilkovú. Koľko dvojitých a trojitých rôznych zmrzlín si môžeme kúpiť?

6

Môžeme si kúpiť 20 rôznych zmrzlín.

7 Pomocou cifier 5, 6, 8 vytvorte všetky 3-ciferné čísla. Čísla sa môžu opakovať. Koľko ich je?555

556558565566568585586588

555556558565566568585586588

555556558565566568585586588

Existuje 27 takýchto čísel.

8Päť úsečiek má dĺžky 3, 5, 7, 9, 11 cm. Koľkými spôsobmi je možné vybrať tri úsečky tak, aby tvorili tri strany trojuholníka ?

Pri vypisovaní musíme vyškrtnúť možnosti, ktoré nevyhovujú trojuholníkovej nerovnosti!3, 5, 73, 5, 93, 5,113, 7, 93, 7,113, 9,11

5, 7, 9 5, 7,11 5, 9,11 7, 9,11

Z uvedených úsečiek môžeme zostrojiť 7 trojuholníkov.

AHOJ

9Máme 5 guliek, z ktorých sú 3 červené a 2 modré. Usporiadajte ich do radu. Koľko rôznych usporiadaní existuje?

Všetkých rôznych usporiadaní guliek je

10.

Hádžeme troma hracími kockami. Koľko je prípadov, že na všetkých troch kockách padne spolu menej ako 9 bodov.

Riešenie:Kocky majú body 1,2,3,4,5,6Súčet môže byť: 1+1+1=3 2+2+1=5 2+2+3=7

1+1+2=4 1+2+3=6 2+2+4=81+2+2=5 2+2+2=6 2+3+3=81+2+4=7 1+3+4=8 atď.

Súčet čísel menej ako 9 je v 11 prípadoch.

10

Použité zdroje:

1. Ľ. Bálint: Kombinatorika, pravdepodobnosť a štatistika, SPN 1998 2. E. Stachová: Kombinatorika a pravdepodobnosť3. www.zborovna.sk4. www.infovek.sk

Ďakujem za pozornosť!