uygulamali İstatİstİk i - İstanbul...
TRANSCRIPT
İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ AÇIK VE UZAKTAN EĞİTİM FAKÜLTESİ
UYGULAMALI İSTATİSTİK I
UZAKTAN EĞİTİM
DOÇ. DR. HANDAN YOLSAL
İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ AÇIK VE UZAKTAN EĞİTİM FAKÜLTESİ
İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ AÇIK VE UZAKTAN EĞİTİM FAKÜLTESİ
ORTAK DERS (UZAKTAN EĞİTİM) PROGRAMI
UYGULAMALI İSTATİSTİK I
Doç. Dr. Handan YOLSAL
Yazar Notu
Elinizdeki bu eser, İstanbul Üniversitesi Açık ve Uzaktan Eğitim Fakültesi’nde okutulmak için
hazırlanmış bir ders notu niteliğindedir.
I
ÖNSÖZ
II
İÇİNDEKİLER
ÖNSÖZ ....................................................................................................................................... I
İÇİNDEKİLER........................................................................................................................ II
KISALTMALAR ..................................................................................................................... X
YAZAR NOTU ....................................................................................................................... XI
1. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ ................................................................................ 1
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz? ............................................................................................ 2
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular .................................................................................. 3
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri .................................................... 4
Anahtar Kavramlar................................................................................................................... 5
Giriş.......................................................................................................................................... 6
1.1. Giriş................................................................................................................................... 7
1.2. Klasik Zaman Serisi Analizi ............................................................................................. 9
1.3. Zaman Serilerinin Unsurları: .......................................................................................... 10
1.3.1. Trend ....................................................................................................................... 11
1.3.2. Konjonktürel Dalgalanmalar ................................................................................... 12
1.3.3. Mevsimsel Etkiler ................................................................................................... 13
1.3.4. Rastlantısal Etkiler .................................................................................................. 14
1.4. Gözlenemeyen Unsurların Ayrıştırma Modelleri ........................................................... 16
1.4.1. Toplamsal Ayrıştırma Modeli ................................................................................. 16
1.4.2. Çarpımsal Ayrıştırma Modeli ................................................................................. 17
1.4.3. Yapay Toplamsal Ayrıştırma Modeli ...................................................................... 19
Uygulamalar ........................................................................................................................... 21
Uygulama Soruları ................................................................................................................. 22
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti ............................................................................................ 23
Bölüm Soruları ....................................................................................................................... 24
2. TREND ANALİZİ .............................................................................................................. 26
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz? .......................................................................................... 27
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular ................................................................................ 28
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri .................................................. 29
Anahtar Kavramlar................................................................................................................. 30
Giriş........................................................................................................................................ 31
III
1.5. Trend Analizi .................................................................................................................. 32
1.5.1. Trendin Belirlenmesinde Kullanılan Parametrik Olmayan Testler ......................... 33
1.5.1.1. Kendall’ın τ Sıra Korelasyon Testi ......................................................................... 33
1.5.1.2. Spearman Sıra Korelasyon Testi .................................................................................. 34
1.5.2. Hareketli Ortalamalar Yöntemi ............................................................................... 38
Uygulamalar ........................................................................................................................... 49
Uygulama Soruları ................................................................................................................. 50
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti ............................................................................................ 51
Bölüm Soruları ....................................................................................................................... 52
3. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-I ........................................................................... 54
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz? .......................................................................................... 55
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular ................................................................................ 56
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri .................................................. 57
Anahtar Kavramlar................................................................................................................. 58
Giriş........................................................................................................................................ 59
1.5.3. En Küçük Kareler Yöntemi ..................................................................................... 60
1.5.3.1. Doğrusal Trend Modeli ................................................................................................ 61
Uygulamalar ........................................................................................................................... 77
Uygulama Soruları ................................................................................................................. 78
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti ............................................................................................ 79
Bölüm Soruları ....................................................................................................................... 80
4. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-II .......................................................................... 82
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz? .......................................................................................... 83
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular ................................................................................ 84
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri .................................................. 85
Anahtar Kavramlar................................................................................................................. 86
Giriş........................................................................................................................................ 87
1.5.3.2. Doğrusal Olmayan Trend Modelleri ............................................................................ 88
1.5.3.2.1. Özünde Doğrusal Olan Trend Modelleri ............................................................... 88
1.5.3.2.1.1. Polinominal Trend Modelleri ......................................................................... 88
1.5.3.2.1.1.1. Kuadratik Trend Modeli .......................................................................... 89
1.5.3.2.1.1.2. Kübik Trend Modelleri ............................................................................ 94
1.5.3.2.1.2. Üssel Modeller................................................................................................ 95
IV
Uygulamalar ........................................................................................................................... 99
Uygulama Soruları ............................................................................................................... 100
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti .......................................................................................... 101
Bölüm Soruları ..................................................................................................................... 102
5. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-III ...................................................................... 104
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz? ........................................................................................ 105
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular .............................................................................. 106
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri ................................................ 107
Anahtar Kavramlar............................................................................................................... 108
Giriş...................................................................................................................................... 109
1.5.3.2.2. Özünde Doğrusal Olmayan Trend Modelleri ...................................................... 110
1.5.3.2.2.1. Lojistik Eğri .................................................................................................. 110
1.5.3.2.2.2. Gompertz Eğrisi ............................................................................................ 111
1.6. Yıllık Trend Denkleminin Aylık Değerlere Dönüştürülmesi ....................................... 113
• Yıllık veriler aylık gözlemlerin ortalaması olarak hesaplanmışsa; ......................... 114
• Yıllık veriler aylık gözlemlerin toplamı olarak hesaplanmışsa; .............................. 116
1.7. Mevsimsel ve Aylık Değerlerin Yıllık Verilere Dönüştürülmesi ................................. 118
• Mevsimsel veya Aylık Değerlerin Toplamı Alınarak Yapılan Dönüştürme ........... 118
• Mevsimsel veya Aylık Değerlerin Ortalaması Alınarak Yapılan Dönüştürme .................. 118
• Geometrik Ortalama Yöntemi; ........................................................................................... 118
Uygulamalar ......................................................................................................................... 120
Uygulama Soruları ............................................................................................................... 121
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti .......................................................................................... 122
Bölüm Soruları ..................................................................................................................... 123
6. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-IV ...................................................................... 125
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz? ........................................................................................ 126
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular .............................................................................. 127
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri ................................................ 128
Anahtar Kavramlar............................................................................................................... 129
Giriş...................................................................................................................................... 130
1.8. Trend Analizinin Gelecek Tahmininde Kullanımı ....................................................... 131
1.8.1. Ortalama Hata Kare ............................................................................................... 132
1.8.2. Yüzde Hata ............................................................................................................ 133
1.8.3. Ortalama Mutlak Hata ........................................................................................... 133
V
1.8.4. Ortalama Mutlak Yüzde Hata ............................................................................... 133
1.8.5. Theil’in U Eşitsizliği ............................................................................................. 133
1.9. Uygulamalar .................................................................................................................. 134
Uygulamalar ......................................................................................................................... 141
Uygulama Soruları ............................................................................................................... 142
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti .......................................................................................... 143
Bölüm Soruları ..................................................................................................................... 144
7. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-V ........................................................................ 146
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz? ........................................................................................ 147
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular .............................................................................. 148
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri ................................................ 149
Anahtar Kavramlar............................................................................................................... 150
Giriş...................................................................................................................................... 151
2.1. Mevsim Etkisinin Belirlenmesi..................................................................................... 152
2.1.1. Mevsim Endekslerinin Oluşturulması ................................................................... 154
2.1.1.1. Mevsim Endeksinin Toplamsal Ayrıştırma Modeline Göre Oluşturulması ............... 154
Uygulamalar ......................................................................................................................... 162
Uygulama Soruları ............................................................................................................... 163
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti .......................................................................................... 164
Bölüm Soruları ..................................................................................................................... 165
8. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-VI ...................................................................... 167
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz? ........................................................................................ 168
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular .............................................................................. 169
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri ................................................ 170
Anahtar Kavramlar............................................................................................................... 171
Giriş...................................................................................................................................... 172
2.1.1.2. Mevsim Endeksinin Çarpımsal Ayrıştırma Modeline Göre Oluşturulması ............... 176
Uygulamalar ......................................................................................................................... 188
Uygulama Soruları ............................................................................................................... 189
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti .......................................................................................... 190
Bölüm Soruları ..................................................................................................................... 191
9. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-VII ..................................................................... 193
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz? ........................................................................................ 194
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular .............................................................................. 195
VI
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri ................................................ 196
Anahtar Kavramlar............................................................................................................... 197
Giriş...................................................................................................................................... 198
2.1.1.3. Aylık Ortalamaların Genel Ortalamaya Oranı Yöntemi ............................................. 199
2.1.1.4. Aylık Ortalamaların Trende Oranı Yöntemi .............................................................. 200
2.1.2. Mevsimselliğin Belirlenmesinde Kullanılan Parametrik Olmayan Testler .......... 203
Uygulamalar ......................................................................................................................... 208
Uygulama Soruları ............................................................................................................... 209
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti .......................................................................................... 210
Bölüm Soruları ..................................................................................................................... 211
10. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-VIII ................................................................. 213
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz? ........................................................................................ 214
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular .............................................................................. 215
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri ................................................ 216
Anahtar Kavramlar............................................................................................................... 217
Giriş...................................................................................................................................... 218
2.2. Mevsimsel Düzeltme Gerektiren Nedenler ................................................................... 219
2.2.1 Takvim Etkileri ...................................................................................................... 219
2.2.1.1. Ticari Gün Etkisi ........................................................................................................ 220
2.2.1.2. Hareketli Tatil Etkisi ................................................................................................. 221
2.2.2. Aykırı Gözlemler .................................................................................................. 221
2.2.2.1. Toplamsal Aykırı Gözlemler ...................................................................................... 222
2.2.2.2. Yenileşim Aykırı Gözlemi ......................................................................................... 222
2.2.2.3. Düzey Kayması .......................................................................................................... 223
2.2.2.4. Aykırı Gözlemler ve Müdahale Analizi ..................................................................... 223
2.3. İstatistik Ofisleri Tarafından Kullanılan Mevsimsel Düzeltme Yöntemleri ................. 225
2.3.1. Filtre Bazlı Yaklaşımlar ........................................................................................ 226
2.3.2. Model Bazlı Yaklaşımlar ...................................................................................... 226
2.3.3. “X-11” Mevsimsel Düzeltme Yöntemi ................................................................. 228
• Trend için ön tahmin: ...................................................................................................... 228
• Mevsim unsurları için ön tahmin ..................................................................................... 228
• Düzeltilmiş veri için ön tahmin ....................................................................................... 229
• Trend tahmini .................................................................................................................. 229
• Mevsim unsurlarının nihai tahmini ................................................................................. 229
VII
• Düzeltilmiş veri için nihai tahmin ................................................................................... 229
• Trendin nihai tahmini ...................................................................................................... 229
• Düzensiz unsurların nihai tahmini ................................................................................... 229
2.3.3.1. “X-11” Yönteminde Kullanılan Hareketli Ortalamalar Filtreleri ............................... 230
2.3.3.2. “X-11” ve Diğer Mevsimsel Düzeltme Yöntemlerinde Kullanılan Özel Değişkenler 233
Uygulamalar ......................................................................................................................... 236
Uygulama Soruları ............................................................................................................... 237
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti .......................................................................................... 238
Bölüm Soruları ..................................................................................................................... 239
11. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-IX .................................................................... 241
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz? ........................................................................................ 242
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular .............................................................................. 243
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri ................................................ 244
Anahtar Kavramlar............................................................................................................... 245
Giriş...................................................................................................................................... 246
2.4. Konjonktür Dalgalanmaları .......................................................................................... 247
2.4.1. Yıllık Serilerde Konjonktürün Ölçülmesi ............................................................. 248
2.4.2. Aylık Serilerde Konjonktürün Ölçülmesi ............................................................. 251
2.4.3. Öncü Göstergeler Yaklaşımı ................................................................................. 253
Referans Seri: .................................................................................................................. 254
Potansiyel Öncü Göstergeler: .......................................................................................... 255
Bileşik Öncü Göstergeler Endeksi: ................................................................................. 256
Uygulamalar ......................................................................................................................... 259
Uygulama Soruları ............................................................................................................... 260
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti .......................................................................................... 261
Bölüm Soruları ..................................................................................................................... 262
12. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-X ...................................................................... 264
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz? ........................................................................................ 265
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular .............................................................................. 266
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri ................................................ 267
Anahtar Kavramlar............................................................................................................... 268
Giriş...................................................................................................................................... 269
2.5. İnterpolasyon................................................................................................................. 270
2.5.1. Seçilmiş Noktalara Göre İnterpolasyon ................................................................ 270
VIII
2.5.2. En Küçük Kareler Yöntemine Göre İnterpolasyon ............................................... 280
Uygulamalar ......................................................................................................................... 283
Uygulama Soruları ............................................................................................................... 284
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti .......................................................................................... 285
Bölüm Soruları ..................................................................................................................... 286
13. ORANLAR ...................................................................................................................... 288
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz? ........................................................................................ 289
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular .............................................................................. 290
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri ................................................ 291
Anahtar Kavramlar............................................................................................................... 292
Giriş...................................................................................................................................... 293
2.6. Oranlar .......................................................................................................................... 294
2.6.1. Oran Çeşitleri ........................................................................................................ 294
2.6.1.1. İlişkinin Türüne Göre Oranlar .................................................................................... 295
• Bileşim Oranı .............................................................................................................. 295
• Türeme Oranı .............................................................................................................. 295
2.6.1.2. İlişkinin Derecesine Göre Oranlar .............................................................................. 296
• Genel Oran .................................................................................................................. 296
• Özel Oran .................................................................................................................... 296
2.7. Endeksler....................................................................................................................... 297
2.7.1. Bileşik Endekslerde Tartı ...................................................................................... 298
2.7.2. Laspeyres Fiyat İndeksi ......................................................................................... 300
2.7.3. Paashe Fiyat İndeksi .............................................................................................. 300
2.7.4. Fisher’in İdeal İndeksi ........................................................................................... 301
2.7.5. Türkiye’de Hesaplanan Fiyat Endeksleri .............................................................. 301
2.7.6. Reelleştirme ........................................................................................................... 304
Uygulamalar ......................................................................................................................... 308
Uygulama Soruları ............................................................................................................... 309
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti .......................................................................................... 310
Bölüm Soruları ..................................................................................................................... 311
14. UYGULAMALAR ......................................................................................................... 312
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz? ........................................................................................ 313
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular .............................................................................. 314
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri ................................................ 315
IX
Anahtar Kavramlar............................................................................................................... 316
Giriş...................................................................................................................................... 317
a) Mevsim endeksinin oluşturulması aşaması...................................................................... 320
b) Seri için mevsim endeksi oluşturulduktan sonra, mevsimsellikten arındırılır................. 321
c) Kruskal-Wallis yöntemi ile mevsimselliğin belirlenmesi ................................................ 321
d) Üç aylık ortalamaların genel ortalamaya oranlanması yöntemi ile mevsim endeksinin
oluşturulması yöntemine göre ............................................................................................ 323
Uygulamalar ......................................................................................................................... 325
Uygulama Soruları ............................................................................................................... 326
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti .......................................................................................... 327
Bölüm Soruları ..................................................................................................................... 328
KAYNAKÇA ........................................................................................................................ 329
X
KISALTMALAR
XI
YAZAR NOTU
1
1. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ
2
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
1.1.
1.2.
1.3.
3
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
4
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
5
Anahtar Kavramlar
6
Giriş
İstatistiğin konularından biri de zaman serisi analizleridir. Son yıllarda yaygın bir
şekilde kullanılan zaman serisi analizleri, tek değişkenli ve çok değişkenli olarak uygulanabilir.
Bu derste zaman serisi kavramı, fiyat endeksleri ile bağlantıları, zaman serilerinin
gözlenemeyen unsurları, bu unsurları ayrıştırma modelleri açıklanacaktır.
7
1.1. Giriş
İstatistik kolektif olaylardaki değişkenlikle ilgilenir. Kolektif olaylarla ilgilenirken
asılında iki işlevi gerçekleştirir. Bu işlevlerden ilki tümdengelimci bir yaklaşımla veriyi
betimleme ve özetleme işlevidir. Diğeri ise tümevarımcı bir yaklaşımla çıkarsama yapma
işlevidir. İstatistiğin ilk işlevi verilerin toplanması, düzenlenerek işlenmesi, tablolar, grafikler
halinde sunulması, odaklaşma ve dağılım özelliklerine ait özetleyici istatistiklerinin çıkarılması
ve bu istatistikler yardımıyla verilerin çözümlemesinin yapılması aşamalarını kapsayan
betimsel istatistiği oluşturur. İkinci işlevi ise toplanan verinin çözümlenmesi ile sonuç
çıkarmak ve karar almak amacıyla yorumlanması aşamalarını kapsayan çıkarsamalı istatistik
konularını oluşturur. Çıkarsamalı istatistikte örnekleme teknikleri ve örnekleme
dağılımlarından yararlanılarak anakütle hakkında varsayımlarda bulunulur. Bu varsayımların
geçerliliği parametrik ve parametrik olmayan testlerle sınanır. Tüm bu aşamalarda bir veya
çoğu kere birkaç değişken arasındaki ilişkiler incelenir. Tek bir değişkeninin incelenmesi tek
değişkenli analizleri, birden çok değişkenin incelenmesi ise çok değişkenli analiz yöntemlerini
kullanmayı gerektirir. En basiti iki değişkenli analizler olan çok değişkenli analizlerde iki veya
daha çok değişkenin birlikte hareketi, aralarındaki ilişkinin derecesi, neden-sonuç bağlantıları
regresyon ve korelasyon analizleri ile incelenir. İstatistiğin konuları arasında yer alan ve bir
değişkenin zaman içindeki gelişimini inceleyen zaman serisi analizleri de yer almaktadır. 19.
yy sonlarından itibaren gelişen zaman serisi analizleri, uzun yıllar tek değişkenli analiz
yöntemleri kapsamında yer alan bir analiz türüyken, giderek birden çok zaman serisinin
birbirleri ile ilişkilerini de analiz eden çok değişkenli zaman serisi yöntemlerinin geliştiği bir
alan haline gelmiştir. Bu nedenle zaman serisi analizlerinin ilk aşamaları klasik veya geleneksel
zaman serisi analizleri olarak adlandırılır. Zaman serisi analizleri meteoroloji, sosyoloji, tıp,
ekonomi gibi pek çok alanda çok geniş bir uygulama alanı bulmuş ve özellikle ekonomik zaman
serileri ile ilgili giderek büyüyen bir literatür oluşmuştur. Bu gelişimin en önemli nedeni gerek
tek değişkenli gerekse çok değişkenli zaman serilerinin gelecek tahmininde başarılı bir şekilde
kullanılabilmesidir.
Ekonomik zaman serilerinin geçmiş ve günümüzdeki değerlerinden gelecekte alacağı
değerin belirlenmesi gelecek tahmini veya öngörü modelleri aracılığıyla olmaktadır. Ekonomik
zaman serilerinin öngörüsü, hem makroekonomik ve mikroekonomik düzeyde mevcut
durumun belirlenmesi, hem de gelecekteki durumun önceden yaklaşık olarak bilinerek, bir
takım hazırlıkların yapılması ve kararların alınması için gereklidir. Makroekonomik açıdan
bakıldığında ekonomik zaman serilerinin çoğunun zamana bağlı olarak seyrinin belirlenmesinin
önemli olduğu görülmektedir. Bu önem, ekonomik zaman serilerinin ekonominin genel
gidişatını gösteren seriler olmasından kaynaklanmaktadır. Bu açıdan devlet, işletmeler ve
bireylerden oluşan tüm ekonomik birimler için:
• Fiyatlar genel seviyesinin tahmini tüm ekonomik faaliyetlerin fiyat hareketlerine bağlı olması nedeniyle önemlidir. Örneğin işçi-işveren ilişkilerinde maaş ve ücretlerin belirlenmesinde, ev sahibi-kiracı ilişkilerinde kira düzeylerinin belirlenmesinde, kısaca tüm mal ve hizmetlerin fiyatlandırılmasında gereklidir.
8
• Döviz kurunun tahmini uluslararası ilişkilerde, dış ticarette ithalat ihracat hareketlerinde önemlidir.
• Borsa endeksleri, hisse senedi fiyat hareketleri, faiz oranları, altın fiyatları gibi alternatif yatırım araçlarındaki gelişmeler bireysel yatırımcılar ve tasarruf sahipleri açısından önemlidir. Bu nedenle özellikle hisse senedi fiyat hareketlerini incelemek üzere teknik ve temel analizler yapılmaktadır.
• Bütün bu ekonomik zaman serileri üreticiler açısından da üretim politikalarının belirlenmesinde, talep tahmini yapmakta, sermaye ve hammadde temininde, üretimin pazarlanması, nakli ve stoklanmasında önemlidir.
Burada sözü edilen tüm makro ve mikro göstergeler genellikle zaman serileri olarak
derlenen değişkenlerdir. Zaman vasfının şıkları ile ilişkilendirilerek zaman serisi olarak
derlenen serilerin analizlerde kullanılmadan önce zamanın ve zaman içinde ekonomide
meydana gelen bazı değişmelerin etkisinden arındırılması gereklidir. Örneğin sanayi üretimi ile
ilgili bütün değişkenler aylık zaman serisi olarak derlenmektedir. Bu konuda yapılacak bir
araştırmada aylara göre üretim rakamları izlendiğinde, aylardaki gün sayısı farklılığının bu
rakamlara yansıdığı görülür. Bazı ayların 30 gün, bazı ayların31 gün sürmesi, Şubat ayının ise
28 gün ile tüm diğer aylardan kısa olması üretim rakamlarına da yansımaktadır.
Ekonomik zaman serileri miktar veya fiyat cinsinden derlenen serilerdir. Buna göre
örneğin bir malın fiyatındaki değişmeleri zamana bağlı olarak izlediğimizde, cari fiyatların
enflasyonun etkisini taşıdığını görürüz. Aynı şekilde maaş ve ücretlerin, Gayri Safi Milli Hasıla
(GSMH) gibi bir ülke ekonomisinde yıl içindeki mal ve hizmetler toplamını gösteren
değişkenlerin cari (nominal) değerleri de enflasyonun etkisini taşımaktadır. Bu nedenle fiyatlar
enflasyonun yüksek olduğu dönemlerde yüksek, düşük olduğu dönemlerde ise düşük
hissedilecektir. Bu gibi değişkenlerin analizlerde kullanılırken cari değerlerinden ziyade reel
değerleri ile kullanılması uygundur. GSMH gibi makroekonomik değişkenler yalnızca
enflasyonun etkisi altında olmayıp, aynı zamanda nüfusun etkisi altındadır. Ekonomik
analizlerde genellikle kişi başına düşen milli gelir, doktor başına düşen hasta sayısı gibi
rakamlarına bakılmaktadır. Dolayısıyla ekonomik zaman serilerinin yalnız fiyatların değil,
nüfusun etkisinden de arındırılması gereklidir. Aksi takdirde yapılacak zaman serisi
çözümlemeleri ve öngörüleri başarılı olmayacaktır. Ekonomik zaman serilerine uygulanması
gereken bu düzeltme işlemleri zaman serilerinin fiyat endeksleri ile ilişkilendirilmesine neden
olmaktadır. Çoğunlukla resmi istatistik ofisleri tarafından derlenen bu seriler kamuya
açıklanmadan önce genellikle düzeltilmektedir. Bu ofisler tarafından çoğu kere serilerin hem
düzeltilmemiş, hem de düzeltilmiş hallerinin yayınlandığı görülmektedir.
Bir ekonomik zaman serisinin geçmişteki değerlerinden öngörüde bulunurken, aslında
geçmişte olanların gelecekte de aynen veya benzer şekilde olacağına dair gizli veya açık bir
varsayımda bulunulmaktadır. Oysa bu varsayım çok da gerçekçi olmadığından, uygun modelin
bulunması ve öngörü başarısının ölçülmesi zaman serisi analizlerinde çok büyük bir yer tutar.
Uygun modelleme için öncelikle zaman serisinin genel eğilimi olan trend belirlenmelidir. Genel
eğilim ile birlikte ekonominin içinde bulunduğu koşullar da, diğer bir ifade ile konjonktür de
9
dikkate alınmalıdır. 1929 yılında Büyük Buhran adı verilen tüm dünyanın sarsıldığı bir finansal
kriz yaşanınca ekonomistler gelecekte oluşabilecek krizleri önceden tahmin edip gerekli
tedbirleri almak ve hatta mümkünse önleyebilmek amacıyla konjoktürel dalgalanmaları
izlemeye başlamıştır. Bu amaçla erken uyarı sistemleri geliştirilmiştir. Bu sistemler yoluyla
konjonktürün hep yüksek kalması sağlanmaya çalışılmıştır. Bunun için ekonomideki tüm
gösterge değişkenler izlenerek, herhangi bir değişkende bozulma olduğunda anında müdahale
edilip, gerekli tedbirlerin alınması istenmektedir. Resmi istatistik ofisleri tüm dünyada genel
ekonomik koşulların etkisini öncü göstergeler yaklaşımı ile izlemeye çalışmaktadır. Türkiye’de
de benzer yaklaşımlarla endeksler oluşturulmuştur. Özellikle T.C. Merkez Bankası (TCMB)
tarafından öncü göstergeler endeksleri hazırlanmakta ve beklenti anketleri ile ekonominin genel
eğilimi hakkında ekonomik karar birimlerinin görüşleri alınmaktadır.
Yine bu ofisler tarafından ekonomik zaman serilerinde gözlenen mevsimsel etkiler de
izlenmektedir. Tarım, sanayi ve hizmetler sektöründe pek çok ekonomik zaman serisinin
mevsimsel dalgalanmalar yaşadığı bilinmektedir. Bu seriler analizlerde kullanılmadan önce
doğal olarak taşıdıkları mevsimsel dalgalanmalar düzeltilmelidir. Mevsimsel dalgalanmaları
belirlemek için geliştirilen ve yaygın kullanımı olan ilk model, Amerika Birleşik Devletleri
tarafından geliştirilen Census X-11 modelidir. Bu model yerini günümüzde X-13 modeline
bırakmıştır. Avrupa Topluluğu’nda da benzer çalışmalar Eurostat tarafından yapılmaktadır.
Eurostat mevsimsel dalgalanmaları düzeltmede İspanya Merkez Bankası tarafından geliştirilen
Tramo-Seats programını kullanmaktadır.
Ekonomik zaman serileri ile ilgili uygun modelin bulunması ve öngörülerinin
yapılabilmesi için, bu seriler sürekli izlenirken aynı zamanda serilerin hangi unsurlardan
oluştuğunu ve bu unsurların ne şekilde bir araya geldiğini belirlemeli, gerekirse unsurları
birbirinden ayrıştırabilmelidir. Zaman serilerini oluşturan unsurlar trend, konjonktür,
mevsimsel etkiler ve rastlantısal etkilerdir. TCMB ve Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) gibi
kurumlar ve diğer ekonomik karar birimleri, tüm dünyada olduğu gibi Türkiye’de de zaman
serilerini oluşturan unsurları dikkatle takip edilmektedir.
Bu derste öncelikle klasik zaman serisi analizleri anlatılacak, zaman serilerini oluşturan
trend, konjonktür, mevsimsel etki ve rastlantısal etkiler açıklanacak, ayrıştırma modelleri
üzerinde durularak, serilerin bu unsurlardan arındırılma yöntemleri açıklanacaktır. Zaman
serilerinin fiyat endeksleri ile yukarıda söz edilen ilişkileri de kurularak, düzeltme yöntemleri
gösterilecektir. Uygulamalı istatistik dersinde tüm bu yöntemlerin öğrenci tarafından
kavranabilmesi için temel matematik ve istatistik bilgisinin yeterlidir.
1.2. Klasik Zaman Serisi Analizi
Herhangi bir vasfın değerlerini zamanın şıklarına bağlı olarak almasıyla oluşan serilere
zaman serisi adı verilmektedir. Buna göre zaman serileri inceleme döneminde değerlerini
zaman içinde günlük, haftalık, aylık, üç aylık veya yıllık olarak alan serilerdir. Ekonomik
zaman serisi tY ile zaman da t ile gösterildiğinde; 1. dönemden t. döneme tY ,
10
t Yt
1 y1
2 y2
3 y3
. .
. .
. . t yt
şeklinde değerlerini zamana bağlı olarak ardışık olarak alıyorsa, tY tek değişkenli zaman
serisidir. Pek çok ekonomik değişken zaman serisi olarak farklı sıklıklarda düzenlenmektedir.
Döviz kuru, altın fiyatları, borsa endeksleri günlük, yine borsa endeksi ve bankacılıkla ilgili
veriler haftalık, sanayi üretimi, ithalat, ihracat gibi dış ticaret verileri aylık, GSMH verileri üç
aylık, yine GSMH, yıllık olarak derlenen zaman serilerine örnek olarak verilebilir. Zaman
serilerinin değerlerini daha farklı sıklıklarla aldığı da bilinmektedir. Son yıllarda finansal
piyasalarda daha yüksek sıklıklarda derlenen verilere de rastlanmaktadır. Örneğin borsada
genel endeks veya herhangi bir hisse senedine ait fiyat hareketlerine ilişkin veriler 15 dakikalık,
hatta 5 dakikalık sıklıklarla derlenmektedir.
Zaman serilerinin değerleri zaman içinde birbirine bağlı olduğundan, serilerin cari t
dönemindeki ve gelecekteki t+k döneminde alacakları değerler geçmişte aldıkları değerlerin
etkisi altında olacaktır. Bu özellikleri nedeniyle zaman serileri gelecek tahmini yapmak
amacıyla kullanılmaktadır. Tek değişkenli zaman serilerini öngörü amacıyla kullanmak için
öncelikle serinin yapısının incelenmesi gerekir. Zaman serisini oluşturan unsurlar, bu unsurların
ne şekilde biraraya geldikleri ve bileşenleri belirlenmelidir. Aksi takdirde seriye uygun bir
model belirlenemeyecek ve yapılan öngörü başarısız olacaktır. Zaman serilerini oluşturan
unsurlar,
• Trend (Tt) ,
• Konjonktürel dalgalanmalar (Kt) ,
• Mevsimsel etkiler (Mt),
• Rastlantısal etkiler (Rt)
şeklinde sıralanabilir. Şimdi sırasıyla bu unsurları açıklayalım.
1.3. Zaman Serilerinin Unsurları:
Gözlenen zaman serisi tY ,
( , , , )t t t t tY f T K M R=
11
şeklinde trend, konjonktür, mevsimsel etkiler ve rastlantısal etkilerin bir fonksiyonudur.
Herhangi bir tY zaman serisi derlendiğinde, bu unsurlar gözlem değerleri içinde tek tek
ayrılamadığı için, serinin bu unsurlardan hangisini veya hangilerini barındırdığı bilinemez. Bu
nedenle zaman serilerini oluşturan unsurlara gözlenemeyen unsurlar adı verilmektedir. Zaman
serileri modellenirken öncelikle söz konusu bu unsurların ortaya çıkış nedenleri ve serilerin bu
unsurlardan hangisini ne kadar barındırdığı belirlenmelidir. Böylece unsurların her biri ayrı ayrı
tahmin edilerek,
ˆ ˆ ˆ ˆ( , , )t t t tY f T K M=
zaman serileri rastlantısal etkiler haricindeki diğer unsurlardan ayrıştırılabilir. Burada tY ,
orijinal zaman serisi tY ’nin tahmini değerini, ˆ ˆ ˆ, ,t t tT K M değerleri de sırasıyla Tt, Kt, Mt
unsurlarının tahmini değerlerini göstermektedir. Ancak bu tahminlerin ve ayrıştırmanın sağlıklı
bir biçimde yapılabilmesi için öncelikle zaman serisini oluşturan unsurların tanımlanması
gerekir.
1.3.1. Trend
Ekonomik zaman serilerin hemen hepsinde gözlenen ve serinin uzun dönem eğilimini
gösteren düzenli harekete trend adı verilir. Zaman serilerinin ortalama düzeyini gösteren trend,
ilgili serinin büyüme ölçüsüdür. Trendin yönünün yukarı doğru olması büyümeyi, aşağıya
doğru olması ise söz konusu serideki küçülmeyi veya daralmayı gösterir. Ekonomik zaman
serilerinde kısa dönemli hareketlere sık sık rastlanmaktadır. Ancak gerek makroekonomik
gerekse mikroekonomik değişkenlerin karakteristik yapısı bu kısa dönemli hareketlerden
bağımsız olarak uzun dönemde aynı kalır. Trend işte bu uzun dönemli harekete verilen addır.
Bir ekonomik zaman serisinin trendinin belirlenebilmesi için 10-15 yıllık bir sürecin izlenmesi
gerekir. Ekonomik zaman serilerinin zamana bağlı olarak grafikleri çizildiğinde;
12
Grafik1: Doğrusal Trend taşıyan seri örneği
şeklinde yukarı doğru düz bir çizgi gözleniyorsa, doğrusal trend söz konusu olur. Ancak zaman
serileri eğrisel trende de sahip olabilir.
1.3.2. Konjonktürel Dalgalanmalar
Konjonktürel dalgalanmalar veya konjonktür hareketleri zaman sersilerinin ekonomik
koşullar karşısında yaşadığı değişmeleri gösteren orta vadeli hareketlerdir. Ülke ekonomilerinin
de sektörlerin de her zaman büyümeleri, büyüseler bile aynı sabit hızla büyümeleri mümkün
olamayacağı için bazı dönemlerdeki daralmalar veya büyüme hızında meydana gelen
azalmalar, buna karşılık bazı dönemlerde yaşanan yüksek büyüme hızları zaman serilerinde
devri hareketlere ve dalgalanmalara neden olur.
0
2
4
6
8
10
12
14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
zaman
Y z
aman
ser
isi
Y
13
Grafik 2: Konjonktürel Dalgalanmalar gösteren seri örneği
Grafikten de görüldüğü gibi serinin uzun dönem eğilimi artış yönünde olsa bile tY serisi
orta vadede bazı dönemlerde trendin üstünde, bazı dönemlerde ise altında kalmaktadır.
Konjonktür hareketlerine iş çevrimleri (business cycle ) de denilmektedir. Konjonktür
hareketleri 3-5 yıllık devri (dairesel) hareketler olup, bir konjonktür dalgası durgunluk,
yükselme, refah ve yavaşlama evrelerinden oluşur. Konjonktür hareketlerinde her evre
birbirinden farklı uzunluğa sahip olabilir. Bu nedenle konjonktürel dalgalanmalar devri olduğu
halde dönemsel değildir.
1.3.3. Mevsimsel Etkiler
Ekonomik zaman serileri aylık veya üç aylık olarak derlendiğinde yıl içinde meydana
gelen ve mevsim etkisinden kaynaklanan dönemsel ve devri etkilere mevsimsel etkiler adı
verilmektedir. Ekonomik zaman serilerinin arz ve talebinin bazı aylarda mevsime bağlı olarak
diğer aylardan daha fazla olduğu bilinmektedir. Örneğin kış aylarında ısınmada kullanılan yakıt
talebinin, yaz aylarında dondurma gibi gıdaların daha fazla tüketildiği görülür. İşte mevsimlerin
getirdiği bu değişkenlik serilerde sabit dalgalanmalar yaratır. Mevsimsel dalgalanmalar her
mevsim yaklaşık olarak sabit bir şekilde tekrarlar. Mevsimsel hareketler bu nedenle aylık veride
12, üç aylık veride 4 dalga uzunluğu boyunca süren dönemsel ve devri hareketlerdir.
0
2
4
6
8
10
12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
zaman
Y z
aman
ser
isi
Y
14
Grafik 3: Mevsimsel Dalgalanma gösteren bir seri örneği
Bu özelliği ile mevsimsel dalgalar konjonktürel dalgalardan ayrılır. Konjonktürel
hareketler de devri hareketlerdir. Ancak her dönem aynı sabit dalgalarla tekrarlanmayan ve bir
yılı aşan bir sürede tamamlanan hareketlerdir. Mevsimsel dalgalanmalar çeşitli nedenlerle
ortaya çıkabilir. Bu nedenlerin ilki doğal olarak tabiattaki mevsimsel döngüdür. Diğer bir neden
ise takvim etkisi adı ile anılan etkilerdir. Takvimle ilgili nedenler toplumlardaki oldukça düzenli
seyreden dini, sosyal ve kültürel etkilerdir. Örneğin tarihleri Hicri takvime göre belirlenen
Ramazan ve Kurban Bayramları, tarihleri Miladi takvime göre belirlenen Noel ve Paskalya
zaman serilerinde mevsimsel etki yaratır. Anneler günü gibi sosyal olaylar, okulların açıldığı
ve kapandığı dönemler de mevsimsel etki yaratır. Hükümetlerin aldığı idari ve mali kararlar da
örneğin vergi dönemleri zaman serilerinde mevsimsel etki yaratır. Ayrıca yıl içinde ayların
farklı sayıda günlere sahip olması nedeniyle ekonomik faaliyetler aydan aya değişeceğinden
mevsimsel hareketler oluşur.
1.3.4. Rastlantısal Etkiler
Ortaya çıkış nedeni bilinmeyen, engellenemeyen veya tahmin edilemeyen olaylar
nedeniyle zaman serilerinde görülen genellikle çok kısa süreli dalgalanmalara rastlantısal
etkiler denilmektedir. Bu etkilerin meydana geldiği dönemler tamamen tesadüfi olduğundan
herhangi bir dönemsellik taşımazlar. Bu nedenle önceden tahmin edilmeleri oldukça zordur.
Rastlantısal etkilere düzensiz hareketler veya arızi etkiler de denir. Sel baskını, deprem gibi
büyük doğa olayları, savaşlar, grevler rastlantısal etkilere yol açar.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
aylar
Y z
aman
ser
isi
Y
15
Grafik 4: Bir zaman serisindeki Rastlantısal Dalgalanmalar
Zaman serisi analizlerinde amaç seriyi yalnızca rastlantısal etkiler kalıncaya dek, veri
kümesini önce mevsimsel etkilerden ardından trend ve konjonktürden arındırmak olduğundan
bu etkilere kalıntılar da denilmektedir. Yazın kar yağması gibi mevsim dışında oluşan hava
koşulları serilerde aykırı gözlemler oluşturabilir. Bu aykırı gözlemler çok yüksek değerlere
ulaşırsa uç değer adını alır. Aykırı ve uç değerler ise zaman serilerinde düzensiz hareketlerin
görülmesine yol açar. Bu hareketler çok kuvvetli olduğunda rastlantısal etkiler mevsimsel
hareketlerle karıştırılabilir. Dolayısıyla serilerin yapısının iyi çözümlenmesi ve her unsurun
dikkatli bir şekilde ayrıştırılması gereklidir. Ayrıştırma modellerine geçmeden önce bir
ekonomik zaman serisini oluşturan unsurları aylık olarak derlenmiş bir seride bir arada görelim.
Grafik 5: Ekonomik Zaman Serilerinin Gözlenemeyen Unsurları
0
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
zaman
Y z
aman
ser
isi
Y
16
Kaynak: K. Gürtan (1982), İstatistik ve Araştırma Metodları, İstanbul Üniversitesi
Yayınları No:2941, s. 423.
Bu grafikten de görüldüğü gibi unsurlardan biri, özellikle ana unsur olan trend
yükselirken diğerleri de yükselişte ise serinin yükselme hızı artacaktır. Tersine olarak
unsurlardan biri, özellikle trend yükselme eğilimindeyken, diğer unsurlar azalma eğiliminde
ise, bunların trend üzerindeki etkisi ters yönlü olacağından, serinin yükselme hızı düşecektir.
İşte bu nedenle ekonomik zaman serileri uygulamalarda kullanılmadan önce seriyi oluşturan
unsurların analiz edilmesi gerekir. Herhangi bir ekonomik olayın ilgilenilen değişkeni kendi
seyrinden ne kadar uzaklaştırdığı belirlenmelidir.
Klasik tek değişkenli zaman serilerinde trend, konjonktür, ve mevsimsel unsurlarının
serilerin sistematik kısmını oluştuğu ve bu unsurların zamanın bir fonksiyonu olarak
deterministik bir süreci izlediği varsayılmaktadır. Rastlantısal etkilerin ise olasılık kurallarına
bağlı olarak değer aldığı, dolayısıyla sıfır ortalama ve sabit varyans ile stokastik bir süreci
izlediği varsayılmaktadır. Ancak zaman serilerini oluşturan gözlenemeyen unsurların yalnızca
deterministik süreçlerle açıklanamayacağı ve stokastik süreçleri izlediği de bilinmektedir.
Uygulamalı istatistik dersi kapsamında gözlenemeyen unsurlarla ilgili çoğunlukla deterministik
süreç izledikleri varsayımı ile çözümlemeler yapılacaktır. Bu çözümlemelerin çoğu ayrıştırma
modellerine dayanmaktadır. Ayrıştırma modelleri kısaca gözlenemeyen unsurların tek tek
belirlenerek, serilerin bu unsurlardan arındırılmasında kullanılan modellerdir.
1.4. Gözlenemeyen Unsurların Ayrıştırma Modelleri
Ekonomik zaman serilerinin öngörü amacıyla kullanılabilmesi için her şeyden önce
serilerin yapısı belirlenerek, serileri oluşturan unsurların açıkça tanımlanması ve serilerin bu
unsurlardan arındırılması gerekir. Ayrıştırma için geliştirilen modellerden en bilinenleri
toplamsal ayrıştırma ve çarpımsal ayrıştırma modelleridir. Bu modellerin yanı sıra yapay
toplamsal ayrıştırma modeli gibi alternatif modeller de geliştirilmiştir. Bu modeller zaman
serilerindeki unsurları deterministik varsaymaktadır.
1.4.1. Toplamsal Ayrıştırma Modeli
Ekonomik zaman serilerini oluşturan unsurların her birinin birbirinden bağımsız ve aynı
büyüklükte olduğunu varsayan toplamsal ayrıştırma modeline göre, herhangi bir tY serisi;
t t t t tY T K M R= + + +
şeklinde söz konusu unsurların toplamından oluşmaktadır.
17
Kaynak: onlinecourses.science.psu.edu/stat510/?q=node/69
Toplamsal modelde unsurların sıfır etrafında değiştiği, bu nedenle toplamlarının sıfır
olacağı varsayılmaktadır. Buna göre ayrıştırılmak istenen unsur tahmin edildikten sonra seriden
fark alma işlemi ile arındırılır. Seriyi oluşturan unsurların birbirinden bağımsız olduğu
varsayımı ekonomik zaman serileri için çok gerçekçi bir varsayım değildir. Bu nedenle başka
ayrıştırma modelleri geliştirilmiştir.
1.4.2. Çarpımsal Ayrıştırma Modeli
Çarpımsal ayrıştırma modeli ekonomik zaman serisini oluşturan unsurların her birinin
mutlak büyüklüğünün birbiri ile bağımlı olduğu varsayımına dayanmaktadır. Bu varsayıma
göre diğer unsurlar serinin ortalamasına, diğer bir deyişle trendine bağlı ve 100 etrafında
değiştikleri düşünüldüğünden, ayrıştırma için trendin bir oranı şeklinde alınmaktadırlar.
Mevsimsel dalgalanmalar gibi dalgaların toplamı da, çarpımsal modellerde yine bu nedenle 1
olmaktadır. Çarpımsal ayrıştırma modeli tY serisini;
t t t t tY T K M R= × × ×
şeklinde unsurların çarpımı olarak tanımlamaktadır.
18
Kaynak: onlinecourses.science.psu.edu/stat510/?q=node/69
Bu modelde seriye trendin mutlak, diğer unsurların oransal (yüzdelik) etkisi olduğu
varsayılmaktadır. Unsurların birbirine bağımlı olduğu varsayımı pek çok zaman serisi için
geçerlidir. Bu nedenle zaman serileri ayrıştırılırken genellikle çarpımsal model tercih edilir.
Üstelik orijinal tY serisinde sıfır veya negatif değerler yoksa çarpımsal ayrıştırma modeli,
logaritma alınarak;
log log log log logt t t t tY T K M R= + + +
şeklinde logaritmik toplamsal ayrıştırma modeline dönüştürülebilir.
Logaritmik toplamsal ayrıştırma modeli trendin geometrik ortalama ile büyüdüğü, buna
rağmen trend tahminlerinin toplamsal modele göre yapıldığı seriler için uygundur. Aynı şekilde
toplamsal ayrıştırma modeli de çarpımsal modele dönüştürülebilir. Bu modellerin kullanımı
uygun değilse bu kez hem toplamsal hem de çarpımsal özelliklerden yararlanılarak oluşturulan
yapay toplamsal ayrıştırma modeli kullanılmalıdır.
19
1.4.3. Yapay Toplamsal Ayrıştırma Modeli
Bu ayrıştırma modelinde mevsimsel ve rastlantısal unsurların birbirinden bağımsızken,
trend-konjonktüre bağımlı olduğu varsayımı ile geliştirilmiştir. Oluşturulan model mevsimsel
ve rastlantısal etkilerin toplamını aldığından serinin değerleri arasında sıfır olması durumunda
çarpımsal modelin yaratacağı sakıncayı da ortadan kaldırır. Yapay toplamsal model;
( 1)t t t t tY T K M R= × + −
şeklindedir. Model her yıl aynı aylarda periyodik olarak sıfır veya çok küçük değerler alan
seriler için uygundur. Yapay toplamsal ayrıştırma modeli, örneğin İtalya’daki otomotiv sektörü
gibi kurumsal olarak yaz tatili uygulayan ve üretime uzun süre ara veren sektörlerin
incelenmesinde kullanılmaktadır. Model genellikle tarımsal üretimle ilgili serilerde
kullanılmaktadır.
Ayrıştırma modeli olarak geliştirilmiş başka model seçenekleri de mevcuttur. Örneğin,
( )t t t tY T K M= + ×
modelinde trend ve konjonktür unsurlarının toplamsal, buna karşılık mevsimsel etkilerin
çarpımsal olduğu varsayılmaktadır.
Genel olarak ayrıştırma modelleri toplamsal seçilmişse, o serideki tüm unsurların ön
düzeltmelerinin de toplamsal olarak yapılması önerilmektedir. Ayrıştırma modeli çarpımsal
olarak seçilmişse, bu kez tüm ön düzeltmeler çarpımsal olarak yapılmalıdır.
İlgilenilen seri için hangi ayrıştırma modelinin uygun olduğunu anlamanın en basit yolu
serinin grafiğinin çizilerek incelenmesidir. Çizilen grafikte mevsimsel dalgaların
büyüklüğünün trend ile birlikte yükseldiği ve yine trende bağlı olarak düştüğü görülürse,
çarpımsal modelde mevsimsel etkilerin serinin ana unsuru olan trende bağlı olduğu
bilindiğinden, çarpımsal ayrıştırma modeli seçilmelidir. Tersine çizilen grafikte mevsimsel
dalgaların trendden tamamen bağımsız bir şekilde hareket ettiği görülüyorsa, toplamsal
ayrıştırma modeli seçilmelidir.
20
21
Uygulamalar
22
Uygulama Soruları
23
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
24
Bölüm Soruları
1) Zaman serisi nedir? Zaman serisi analizleri ne amaçla yapılmaktadır?
2) Makroekonomik ve mikroekonomik açıdan zaman serisi analizlerinin önemini
belirterek, zaman serilerinin fiyat endeksleri ile ilişkisini açıklayınız.
3) Zaman serilerini oluşturan gözlenemeyen unsurlar nelerdir? Bu unsurları kısaca
açıklayınız.
4) Konjonktürel dalgalarla mevsimsel dalgaları nasıl ayırırsınız. Konjonktür hareketleri
ile mevsimsel etkilerin farkları nelerdir? Açıklayınız.
5) Zaman serilerini oluşturan gözlenemeyen unsurları açıklamak amacıyla geliştirilen
modelleri kısaca anlatınız. Bu modellerdeki temel varsayım nedir?
6)
7)
8)
9)
10)
Cevaplar
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
25
26
2. TREND ANALİZİ
27
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
2.1.
2.2.
2.3.
28
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
29
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
30
Anahtar Kavramlar
31
Giriş
Bu hafta ekonomik zaman serilerini oluşturan unsurlardan trend unsurunun varlığının
tespitinde kullanılan parametrik olmayan testlerden Kendall’ın sıra korelasyon testi ve
spearman’ın sıra korelasyon testi açıklanmış ve uygulaması yapılmıştır. Ayrıca trendin
belirlenmesinde kullanılan hareketli ortalamalar yöntemi anlatılarak, çeşitli hareketli
ortalamaların nasıl hesaplandığı gösterilmiştir. Hareketli ortalamalar yönteminin fayda ve
sakıncalarına değinilmiştir.
32
1.5. Trend Analizi
Ülkelerin ekonomi politikalarındaki tarımdan sanayiye geçiş, ihracata yönelik
politikalar gibi kararlar uzun dönemde gerçekleşen ve ekonomik yapıyı gösteren kararlar
incelenen ekonomik olayın dayandığı temel ve yapısını etkileyerek, bu olaya kısa vadede
değişmeyen bir yön verir. Bu şekilde serilerin uzun dönemli eğilimini gösteren seyre trend adı
verilir. Ekonomik yapıyı etkileyen bu kararlar genellikle makroekonomik etkiler yaratır. Ancak
örneğin bir firmanın üretim kararları, satış ve pazarlama politikaları gibi mikro düzeyde de trend
etkisinden söz edilebilir. Ekonomik zaman serilerinin trendinin hep aynı seviyede ve aynı yönde
kalması mümkün değildir. Serilerin trendi yükseliş eğiliminde olabileceği gibi azalış eğiliminde
de olabilir. Üstelik trendin artışı da, azalışı da hep aynı hızda olmayabilir. Alınan kararlar bir
ekonomik zaman serisinde artan bir trende neden olurken, diğer bir zaman serisinde azalan bir
trende neden olabilir. Bir ekonomik zaman serisinin trendinin doğrusal olması da gerekmez. Bu
nedenle eğrisel veya üssel trend modelleri de geliştirilmiştir. Bir ekonomik zaman serisinin
trendinin ortaya çıkarılabilmesi için genellikle 10-15 yıllık verinin izlenmesi gerekir. Trendin
belirlenebilmesi için gereğinden uzun bir süre alınırsa, yeni bir trend ile karşılaşılabilir.
Gereğinden kısa bir süre incelenirse, bu kez de orta vadeli hareketler olan konjonktür dalgaları
ile serinin ana unsuru karıştırılabilir.
Trend analizleri 19. yy. sonlarında sahte korelasyon sorununu çözmek amacıyla
geliştirilmiştir. X ve Y gibi iki ekonomik zaman serisi arasındaki ilişki incelenirken, bu
değişkenlerin arasındaki korelasyonun, değişkenlerin taşıdıkları trendin etkisi ile gerçekte
olduğundan farklı ve genellikle yüksek çıktığı görülür. Bu duruma sahte korelasyon
denilmektedir. Söz konusu değişkenler taşıdıkları trendin etkisinden arındırılmadan
aralarındaki ilişkinin yönü ve derecesi gerçekte var olduğu gibi belirlenemez. Trend analizi işte
bu şekildeki çok değişkenli analizlerde değişkenleri trendden arındırmak amacıyla yapılmaya
başlanmıştır.
Ekonomik zaman serisi Yt’nin;
( )t tY f T=
şeklinde zamanın bir fonksiyonu olduğu varsayıldığından, bir ekonomik zaman serisine diğer
analizleri uygulamadan önce seride trendin varlığı test edilmelidir. Trendin varlığını test etmek
amacıyla parametrik ve parametrik olmayan çeşitli testler önerilmiştir. Bu testler ekonomik
zaman serisi ile zaman arasındaki korelasyon katsayısına dayanır. Bilindiği gibi korelasyon
katsayısı iki değişken arasındaki doğrusal ilişkinin şiddetini gösteren ve
1 1r− ≤ ≤ +
aralığında değerler alan bir katsayıdır. Korelasyon katsayısı ±1’e yaklaştıkça değişkenler
arasındaki ilişkinin güçlendiği, sıfıra yaklaştıkça ilişkinin zayıfladığı, r =0 ise değişkenler
arasında doğrusal ilişki olmadığı söylenir. Burada ilgili zaman serisi ile zaman arasındaki
33
trendin varlığını belirlemede geliştirilen parametrik olmayan testlerden yalnızca ikisi kısaca
açıklanacaktır.
1.5.1. Trendin Belirlenmesinde Kullanılan Parametrik Olmayan Testler
Parametrik olmayan testler anakütle dağılımı hakkında herhangi bir varsayıma
dayanmayan, ilgili değişkenin sınıflayıcı veya sıralayıcı ölçekle ölçüldüğü ve küçük örneklerde
(n<30) kullanılan testlerdir. Bu nedenle parametrik olmayan testler genellikle anakütle dağılımı
bilinmediği için parametrik testlerin uygulanamadığı örneklemlerde veya parametrik testlerle
birlikte ve bu testlerin bulgularını desteklemek amacıyla kullanılır. F ve t testi gibi klasik
parametrik testlerin uygulanabilmesi için normallik, doğrusallık, hata teriminin ardışık gözlem
değerlerinin birbirinden bağımsız olması gibi pek çok varsayım gerekliyken, parametrik
olmayan testlerde bu varsayımlara gerek duyulmamaktadır.
Trendin varlığını belirlemede pek çok parametrik olmayan test olsa da burada zamanın
doğal bir sıra izlemesinden yararlanılarak, sıralama ölçeği ile ölçülmüş değişkenler için
kullanılan iki parametrik olmayan test anlatılacaktır. Bu testler Kendall’ın sıra korelasyon testi
ve Spearman’ın sıra korelasyon testidir.
1.5.1.1. Kendall’ın τ Sıra Korelasyon Testi
Kendall sıra korelasyon katsayısı, sıralama ölçeği ile ölçülmüş X ve Y gibi değişkenler
arasındaki ilişkiyi, bu değişkenlerle oluşturulmuş kontenjans tablolarındaki (Xi, Yi) sıralı
ikililer arasındaki ilişkiyi inceleyerek ölçer. Sıralama ölçeğinde değişkenler küçükten büyüğe
veya büyükten küçüğe doğru sıralandığından, Kendall sıra korelasyon katsayısı X değişkenini
sıraladıktan sonra, Y değişkeninin X’e göre sıralanması ile oluşan (Xi, Yi) gözlem çiftleri
arasındaki ilişkinin yönünü incelemiştir. Bu testten ekonomik zaman serilerinde trendin
varlığını belirlemekte de yararlanılmaktadır. Zaman zaten doğal bir sıra izlediğinden, testin
uygulanabilmesi için incelenen zaman serisinin gözlem değerlerinin zamana göre derlenmesi
yeterli olup, ayrıca sıralanmasına gerek yoktur.
İncelenen ekonomik zaman serisi ile zaman arasındaki ilişkiyi ölçek amacıyla Kendall
tarafından geliştirilen τ sıra korelasyon katsayısı;
2( )
( 1)
S S
t tτ
+ −−=
−
şeklinde tanımlanmıştır. Burada S+ zamana göre sıralanan değişkenin ilk gözlem değerinden
itibaren sağında sırasıyla kaç değerin ilgili değerden büyük olduğu sayılarak toplamının
34
alınması ile hesaplanır. S− için ise bu kez ilgili değerin solunda o değerden büyük değerler
sayılarak toplamları alınır. S’nin pozitif değerleri zaman serisinde artan eğilim olduğunu,
negatif değeri ise azalan eğilim olduğunu göstermektedir. Formülde t zaman serisinin gözlem
sayısını göstermektedir. Formül yeniden düzenlendiğinde korelasyon katsayısı;
21
1( 1)
2
S
t tτ
−
= −− veya
21
1( 1)
2
S
t tτ
+
= −−
olarak gözlem değerlerinin yalnızca sağındaki veya yalnızca solundaki sıralamalarla da
hesaplanabilir. Böylece sağdaki sıralamalar kullanıldığında; H0: 0τ = Yt serisi doğrusal trend
taşımamaktadır. Yt serisi zamandan bağımsızdır. Rastgele sıralanmıştır.
H1: 0τ > Yt pozitif trende sahiptir. Bu şekildeki hipotezler test edilebilir.
Böylece zaman serisi ile ilgili Kendallτ korelasyon katsayısı hesaplanarak, 4 10t≤ ≤
için Kendall tarafından hazırlanan tablo değerleri ile t>10 için normal dağılım tablosundaki
değerler ile kıyaslanarak;
{ }0 0p S S p> =
ise H0 hipotezi reddedilerek, pozitif trendin varlığı kabul edilir. (M. Genceli, s.404-405)
1.5.1.2. Spearman Sıra Korelasyon Testi
Spearman sıra korelasyon testi de trendin varlığını belirlemekte kullanılabilen
parametrik olmayan testlerdendir. Spearman sıra korelasyon katsayısı iki değişken arasındaki
ilişkiyi tıpkı Kendall testinde olduğu gibi ölçmektedir. Bu katsayı büyüklüklerine göre
sıralanmış değişkenler arasındaki farkın kareleri toplamına dayandırarak ölçmektedir.
Bu testte de trend araştırılırken, değişkenlerden biri zaman olacağından ve T=1,2,3,…,t
şeklinde doğal bir sıra izleyeceğinden, zaten büyüklüğüne göre sıralanmış olduğundan, yeniden
sıralamaya gerek yoktur. Spearman sıra korelasyonu hesaplanırken ilgilenilen ekonomik serinin
zamana göre büyüklük sıralaması yeterlidir.
Test anakütle sıra korelasyon katsayısı sρ yardımıyla zaman ile ekonomik seri arasında
var olduğu düşünülen ilişkiyi;
H0: 0sρ = Trend etkisi yoktur.
H1: 0sρ > Pozitif trend etkisi vardır.
35
şeklindeki hipotezlerle sınarken;
2
2
61
( 1)s
dr
T T= −
−∑
rs sıra korelasyonunu hesaplar. d değişkenlerin büyüklük sıraları arasındaki fark, T zaman
serisindeki gözlem sayısını göstermektedir.
Spearman sıra korelasyon katsayısı rs hesaplandıktan sonra ayrıca istatistiksel olarak
anlamlılığı test edilmelidir. rs için;
2
2
1
sr nt
r
−=
−
şeklinde hesaplanan thes>ttab= , 2ntα − ise, Spearman sıra korelasyon katsayısı rs
istatistiksel olarak anlamlıdır. Böylece H0 reddedilerek anakütlede pozitif trend etkisi olduğuna
karar verilir.
Soru: Bir firmanın 10 yıllık satış rakamları aşağıdaki gibidir.
Yıllar 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
Satışlar
(milyon TL)
20 23 25 27 28 26 29 31 30 33
Buna göre satışlar serisinde trendin varlığını
a. Kendall’ın testi ile test ediniz.
b. Spearman sıra korelasyon katsayısı ile test ediniz.
Çözüm:
A. Kendall sıra korelasyon testine göre değişkenlerin sıralanması gerekmektedir. Değişkenlerden biri zaman olduğundan ayrıca sıralanmasına gerek yoktur. Dolayısıyla satışlar serisi sıralanarak S+ ve/veya S− değerlerini bulmak yeterlidir. Burada sıralanmış satışlar serisinden yalnızca S+ değerleri hesaplanacaktır.
36
Yıllar 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
Satışlar
(milyon TL)
20 23 25 27 28 26 29 31 30 33
T (zaman) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Sıralanmış
satışlar
1 2 3 5 6 4 7 9 8 10
Bu sıralamaya göre sıralanmış satışlar serisinin ilk değeri olan 1’in sağında kendisinden
büyük 9 değer, daha sonra sıra ile 2’nin sağında 8 değer vardır. Bu şekilde tüm sıralanmış
değerlerin sağında toplamda
S+ =9+8+7+5+4+4+3+1+1+0=42
olduğu bulunur. S+ yardımıyla Kendall sıra korelasyon katsayısında;
H0: 0τ =
H1: 0τ >
şeklindeki hipotezleri test etmek amacıyla hesaplanan
21
1( 1)
2
S
t tτ
+
= −−
2(42)1 0.867
110(10 1)
2
= − =−
değeri tablo değeri ile karşılaştırılmalıdır. Kendall’ın sıra korelasyon katsayısının anlamlılığını
test etmek için 4 10t≤ ≤ için Kendall tarafından hazırlanan S tablosundan yararlanılır. S=41
ve t=10 değeri için p0 = 0.015, S=43 ve t=10 değeri için p0 =0.028 olup, her iki durumda da
p0<0.05 olduğundan, H0 hipotezi reddedilecektir. Satışlar serisi zamandan bağımsız değildir.
Satışlar üzerinde % 86.7’lik güçlü pozitif trend etkisi vardır.
Aynı serideki trend etkisini bir de Spearman sıra korelasyon katsayısı ile test edelim.
A. Spearman sıra korelasyon testine göre de satışlar serisi zamana göre sıralanmalı ve
aralarındaki büyüklük farkları hesaplanmalıdır. Buna göre yine yukarıda Kendall testi için
oluşturduğumuz sıralanmış değerler tablosundan yararlanabiliriz. Ancak bu kez sıralanmış
değerler arasındaki farklar (d) ve bu farkların kareleri toplamı (d2) alınır.
37
Yıllar 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 Satışlar (milyon TL)
20 23 25 27 28 26 29 31 30 33
T (zaman) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sıralanmış satışlar
1 2 3 5 6 4 7 9 8 10
d 0 0 0 -1 -1 2 0 -1 1 0 d2 0 0 0 1 1 4 0 1 1 0
Buradan d2 =8 olarak hesaplanır. Bu değer yardımıyla Spearman sıra korelasyon
katsayısı,
2
2
61
( 1)s
dr
T T= −
−∑
2
6(8) 481 1 1 0.048 0.952
10(10 1) 990= − = − = − =
−
olarak bulunur. rs= 0.952 değerinin istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığı da ayrıca test
edilmelidir.
2
2
1
s
s
r tt
r
−=
− 2
0.962 10 2 2.6928.797
0.3061 (0.952)
−= = =
−
şeklinde hesaplanan t hesap değeri t0.01, t-2=2.896 tablo değeri ile kıyaslandığında, thes>ttab
olduğundan
H0: 0sρ = Trend etkisi yoktur.
şeklindeki hipotez reddedilerek, satışlar üzerinde pozitif ve güçlü bir trend etkisi olduğu
söylenir.
Bir ekonomik zaman serisinde var olduğu anlaşılan trendin belirlenmesinde en basit
yöntem serinin grafiğinin çizilip incelenmesidir. Trendi belirlemekte hareketli ortalamalar
yöntemi ve en küçük kareler yöntemi kullanılmaktadır.
38
1.5.2. Hareketli Ortalamalar Yöntemi
Hareketli ortalamalar yöntemi ile trendin belirlenmesine geçmeden önce yöntem
hakkında bilgi verelim. Yöntem 1930’lu yıllarda geliştirilmiş olup, yalnız trendi değil, aynı
zamanda mevsimsel unsurları da belirlemek amacıyla kullanılır.
Hareketli ortalamalar, incelenen ekonomik zaman serisinin gözlem değerlerinin,
taşıdıkları dalgalara uyan belli bir zaman aralığında kaydırılarak, ortalamalarının alınmasına
dayanan bir düzleştirme yöntemidir. Hareketli ortalamalar yöntemi, zaman serisinin
düzleştirilmesini için;
• Basit hareketli ortalamalar
• Merkezi hareketli ortalamalar
• İkili hareketli ortalamalar
• Ağırlıklı hareketli ortalamalar
şeklinde farklı biçimlerde uygulanabilir. Burada öncelikle merkezi hareketli ortalamalar
yöntemi açıklanacaktır.
Merkezi hareketli ortalamalar yönteminde serinin taşıdığı dalga boyuna uyan bir grup
gözlem değerinin ortalaması alınarak, bu ortalama grubun tam ortasındaki gözlem değerini
temsilen kullanılır. Bu yolla serilerin taşıdıkları dalgaların düzleştirilmesi amaçlanmaktadır.
Toplamsal ayrıştırma modeline de çarpımsal ayrıştırma modeline de uygulanabilen
hareketli ortalamalar yönteminde en önemli nokta hareketli ortalamaların kaç gözlem değeri
üzerinden hesaplanacağıdır. Bir zaman serisinin taşıdığı dalgaların boyu (uzunluğu), dalganın
birbirini izleyen iki tepe noktası veya iki dip noktası arasındaki mesafedir (Grafik 6’da kırmızı
çizgi ile gösterilmiştir). Dalgaların şiddeti (yüksekliği) ise aynı dalganın dip noktası ile tepe
noktası arasındaki mesafedir (Grafik 6’da mavi çizgi ile gösterilmiştir.). Zaman serisinin dalga
boyu, hareketli ortalamaların kaç gözlem değeri üzerinden hesaplanacağını gösterecektir.
39
Grafik 6: Ekonomik Zaman Serilerinin Dalga Boyu ve Şiddeti
Hareketli ortalamalar yöntemi en basit haliyle zaman serisinin her gözlem değerine eşit
ağırlıklar verilerek uygulanır. Bir zaman serisinin gözlem değerleri;
y1, y2, y3, y4,y5,…,yt-2, yt-1, yt
şeklindeyken, seriye örneğin 3’erli hareketli ortalamalar uygulanırsa;
1 2 32
3
y y yy
+ +′ =
,2 3 4
33
y y yy
+ +′ =
,
3 4 54
3
y y yy
+ +′ =
, 4 5 6
53
y y yy
+ +′ =
ve serinin sonunda;
2 11
3t t t
t
y y yy − −
−
+ +′ =
şeklinde hesaplanan değerler sırayla her 3’erli ortalamanın ortasındaki terimi temsilen
kullanılır. Böylece oluşan yeni seride artık y2 yerine 2y′ , y3 yerine 3y′ , ve sırayla diğer
40
terimlerin yerine hareketli ortalamalarla hesaplanan değerler gelir. Burada uygulanan hareketli
ortalamalar, yukarıda da söylendiği gibi;
1 2 32 1 2 3
1 1 1
3 3 3 3
y y yy y y y
+ +′ = = + +
biçiminde her gözlem değerine eşit ağırlık veren simetrik ortalamalardır. Ekonomik zaman
serisi ne kadar uzun bir geçmişe sahip olursa olsun, geçmiş gözlem değerleri de yeni gözlem
değerleri de eşit ağırlıklarla cari ve gelecek değeri etkileyeceğinden, hareketli ortalamaların
kullanıldığı serilerde öngörü yaparken dikkatli olunmalıdır. Bu durumda zaman serisi Yt ile
hareketli ortalamalar alınarak oluşturulan yeni seri tY ′ ;
Yt tY ′
y1 —
y2 2y′
y3 3y′
y4 4y′
y5 5y′
… …
yt-2 2ty −′
yt-1 1ty −′
yt —
şeklinde olacaktır. Burada dikkat edilirse hareketli ortalamalar alındıktan sonra zaman serisi
Yt’nin başından ve sonundan birer gözlem değeri eksilmiştir. Uygulanan hareketli ortalamalar
3, 5, 7 gibi tek sayılı terimler üzerinden hesaplanıyorsa, oluşan yeni seride hareketli ortalaması
alınan terim sayısının bir eksiği kadar gözlem kaybolacaktır. 3’erli hareketli ortalamalarda,
terimlerden biri serinin başından, diğeri ise sonundan olmak üzere 3-1=2 terim kaybolacaktır.
Aynı şekilde 5’erli hareketli ortalamalarda oluşturulan hareketli ortalamalar serinin ilk terimi,
orijinal serinin üçüncü terimine karşılık geleceğinden, ilk terim
1 2 3 4 53
5
y y y y yy
+ + + +′ =
,…, ve son terim
4 3 2 12
5t t t t t
t
y y y y yy − − − −
−
+ + + +′ =
41
şeklinde olacak, böylece 2 terim başından ve 2 terim sonundan olmak üzere orijinal serinin
toplamda 5-1=4 terimi kaybolacaktır. Hareketli ortalamalar 7 terimli olarak hesaplanmışsa, 7-
1=6 terimin 3’ü serinin başından, 3’ü de sonundan kaybolacaktır.
Hareketli ortalamalar 4, 6, 8, gibi çift sayılı terimler üzerinden hesaplandığında ise, yeni
serinin terimleri tek terimli ortalamalardan farklı olarak, ortadaki iki terimin ortasına denk
gelecektir. Örneğin 4’erli hareketli ortalamalarda önce ayrı ayrı ortadaki terimler için
1 2 3 42 3
4
y y y yy −
+ + +′ =
ve
2 3 4 53 4
4
y y y yy −
+ + +′ =
değerleri hesaplanıp, ardından bu iki terimin ortalaması
2 3 3 43
2
y yy − −′ ′+′ =
alınır. Bu yöntem yerine
512 3 4
32 2
4
yyy y y
y+ + + +
′ =
şeklindeki ortalama hesabı da kullanılabilir. Böyle çift terimli hareketli ortalamalar serisi
Yt tY ′
y1 — —
y2 — —
2 3y −′
y3 3y′
3 4y −′
y4 4y′
4 5y −′
y5 5y′
… …
yt-2 2ty −′
2, 1t ty − −′
yt-1 — —
yt — —
42
şeklinde oluşturulur. Burada dikkat edilirse orijinal serinin başından 2 terim ve sonundan 2
terim olmak üzere toplam 4 terim kaybolmuştur. Çift terimli hareketli ortalamalarda ortalaması
alınan terim sayısı kadar gözlem değeri yitirilmektedir. 12’şerli hareketli ortalama hesaplanacak
olursa, serinin başından 6 ve sonundan 6 gözlem değeri olmak üzere toplamda 12 gözlem değeri
yitirilecektir. Bu nedenle yöntem gelecek tahmininde kullanılamamaktadır.
Çift terimli hareketli ortalamalar genellikle aylık ve üç aylık serilerde mevsimsel
dalgaları düzleştirmekte kullanılırlar. İncelenen ekonomik zaman serisi aylık ise 12’şerli
hareketli ortalamalar uygunken, üç aylık serilerde 4’erli hareketli ortalama kullanımı uygundur.
Çift terimli hareketli ortalamalar;
512 3 4
3 1 2 3 4 5
1 1 1 1 12 24 8 4 4 4 8
yyy y y
y y y y y y+ + + +
′ = = + + + +
şeklinde ortalaması alınan her terime eşit ağırlık vermese bile, her üç aylık döneme eşit ağırlık
veren simetrik ortalamalardır.
Örnek: Aşağıdaki bir fabrikanın yıllık üretim miktarları verilmiştir. Üretim serisinin
hareketli ortalamalar yöntemi ile trendini belirleyerek grafiğini çiziniz.
Yıllar Üretim
(bin ton)
2000 3
2001 5
2002 7
2003 4
2004 6
2005 8
2006 7
2007 9
2008 11
2009 8
Seri incelendiğinde artarak başlayan değerlerin 2003 yılında düştüğü, sonra yine arttığı
ve 2006 yılında düştüğü, son düşüşün 2009 yılında olduğu görülmektedir. Buradan yola çıkarak
serideki dalga 3 yıllık olduğu söylenebilir. Hareketli ortalamaları almadan önce serinin grafiğini
çizelim.
43
Grafikten ve serinin artış azalışlarından 3’erli hareketli ortalamaların hesaplanması
uygun görülmüştür. Buna göre;
(3+5+7)/3=5 (5+7+4)/3=5.33 (7+4+6)/3= 5.66 (4+6+8)/3=6 (6+8+7)/3=7 (8+7+9)/3= 8 (7+9+11)/3=9 (9+11+8)/3=9.33
şeklinde hesaplanan yeni seri trend doğrusunu verecektir. 3’erli hareketli ortalamalar
hesaplandığından serinin başından ve sonundan birer gözlem değeri yitirilecektir.
Yıllar Üretim
(bin ton)
3’erli HO
(Trend)
2000 3 —
2001 5 5
2002 7 5.33
2003 4 5.66
2004 6 6
2005 8 7
2006 7 8
2007 9 9
2008 11 9.33
2009 8 —
2
4
6
8
10
12
00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
Y
44
Bu örnekte yıllık veri kullanılmıştır. Yıllık verilerde görülen dalgalanmalar orta vadeli
konjonktür dalgalanmalarıdır. Konjonktür etkisi taşıyan serilerde dalgaların boyları genellikle
bu kadar düzgün ve eşit değildir. Dalga boylarının eşit olmaması halinde farklı dalga boylarının
ortalaması kadar terime sahip hareketli ortalamalar hesaplanır.
Örnek: Aşağıdaki bir fabrikanın yıllık satış miktarları verilmiştir. Buna göre satışlar
serisinin hareketli ortalamalar yöntemi ile trendini belirleyerek grafiğini çiziniz.
Yıllar Satışlar
(milyon TL)
2000 10
2001 13
2002 15
2003 16
2004 12
2005 14
2006 17
2007 19
2008 22
2009 24
2010 20
Burada satışlar serisinin 2004 yılına kadar arttığı, 2004 yılında düşüp, 2010 yılına kadar
yine arttığı görülmektedir. Bu durumda seride önce 3 yıllık bir dalga ve sonra 6 yıllık bir dalga
olduğu belirlenmiştir. Bu iki dalganın ortalaması alınarak [(4+6)/2=5], seriye 5’erli hareketli
ortalama uygulanmalıdır.
2
4
6
8
10
12
00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
TREND Y
45
Yıllar Satışlar
(milyon TL)
5’erli HO
(Trend)
2000 10 —
2001 13 —
2002 15 (10+13+15+16+12)/5=13.2
2003 16 (13+15+16+12+14)/5=14
2004 12 (15+16+12+14+17)/5=14.8
2005 14 (16+12+14+17+19)/5=15.6
2006 17 (12+14+17+19+22)/5=16.8
2007 19 (14+17+19+22+24)/5=19.2
2008 22 (17+19+22+24+20)/5=20.4
2009 24 —
2010 20 —
Görüldüğü gibi 5’erli hareketli ortalamalarda 5-1=4 terimin ikisi serinin başından ikisi
de sonundan yitirilmiştir.
Görüldüğü gibi farklı iki dalganın ortalaması kadar hareketli ortalama alındığında seri
düzleşerek, artış yönünde doğrusal trend belirmiştir.
Şu ana kadar yıllık verilere örnekler verdik. Oysa hareketli ortalamalar yöntemi aylık
ve üç aylık veride de kullanılabilir. Bu durumda aylık veride 12’şerli, üç aylık veride ise 4’erli
hareketli ortalamaların alınması uygundur. Aylık veya üç aylık serilerde hareketli ortalama
alındıktan sonra mevsimsel dalgalanmalar düzleşecektir. Ancak seride hâlâ konjonktürel
dalgalanmalar olabilir. Bu durumda serinin grafiği çizilerek konjonktür dalgalarının da
uzunluğu belirlenmeli ve tekrar bu dalga boylarına uygun hareketli ortalamalar alınarak, seri
konjonktürel etkilerden de arındırılmalıdır.
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
Y TREND
46
Örnek: Aşağıda bir firmanın üç aylık dönemler itibariyle üretim rakamları verilmiştir.
Buna göre üretim serisi için uygun hareketli ortalamaları hesaplayarak, grafiğini çiziniz.
Burada üç aylık dönemler itibariyle verilmiş üretim serisi ve 4’erli hareketli ortalamalar
aynı tabloda gösterilirse; 4 gözlem değerinin ortasına denk gelen değerlerin ortalaması
alınacağından aşağıdaki gibi hareketli ortalamalar hesaplanacaktır.
Dönemler
Üretim
(bin ton) 4'erli HO.
2006-I 12 —
2006-II 15 —
(12+15+18+21)/4=16.5
2006-III 18 17.125
(15+18+21+17)/4=17.75
2006-IV 21 18.375
(18+21+17+20)/4=19
2007-I 17 19.625
(21+17+20+23)/4=20.25
2007-II 20 20.75
(17+20+23+25)/4=21.25
2007-III 23 21.625
(20+23+25+20)/4=22
2007-IV 25 22.5
(23+25+20+24)/4=23
2008-I 20 23.25
(25+20+24+25)/4=23.5
2008-II 24 23.625
(20+24+25+26)/4=23.75
2008-III 25 24
(24+25+26+22)/4=24.25
2008-IV 26 24.25
(25+26+22+24)/4=24.25
2009-I 22 24.5
(26+22+24+27)/4=24.75
2009-II 24 25.25
(22+24+27+30)/4=25.75
2009-III 27 26.125
(24+27+30+25)/4=26.5
2009-IV 30 27
(27+30+25+28)/4=27.5
2010-I 25 28
(30+25+28+31)/4=28.5
47
2010-II 28 28.75
(25+28+31+32)/4=29
2010-III 31 29.5
(28+31+32+29)/4=30
2010-IV 32 30.25
(31+32+29+30)/4=30.5
2011-I 29 30.75
(32+29+30+33)/4=31
2011-II 30 31.375
(29+30+33+35)/4=31.75
2011-III 33 —
2011-IV 35 —
Görüldüğü gibi serinin başından ve sonundan 4/2=2’şer gözlem değeri yitirilmiştir.
Aslında trendin belirlenebilmesi için yaklaşık 10 yıllık seriye ihtiyaç olduğundan üç aylık veri
kullanıldığında 40 gözlemin incelenmesi gerekmektedir. Aynı şekilde aylık veri kullanılması
durumunda en az 120 gözlem gereklidir.
Hareketli ortalamalar yöntemi kolay uygulanabilen, görsel yönü güçlü olan, veri kümesi
ile ilgili herhangi bir varsayım gerektirmeyen bir yöntemdir. Ancak yöntemin uygulanabilmesi
için bir takım kısıtlamalar vardır.
• İncelenen ekonomik zaman serisinin trendinin doğrusal olması gerekir.
• Zaman serisinin dalga boylarının eşit olması gerekir.
10
15
20
25
30
35
40
2006 2007 2008 2009 2010 2011
Y TREND
48
• Zaman serisinin dalga şiddetlerinin de eşit olması gerekir.
Ekonomik zaman serisi bu gibi kısıtlamalara uymuyorsa hareketli ortalamalar yöntemi
ile trendi doğru belirlemek mümkün olmayacaktır. Özellikle yıllık veri kullanıldığında, pek çok
seride konjonktür dalgalarının boylarının ve şiddetlerinin eşit olmadığı görülmektedir. Yöntem
bu tip serilere uygun değildir. Ayrıca burada açıklanan merkezi hareketli ortalamalar
yönteminde hem tek sayıda terime sahip ortalamalarda, hem de çift sayıda terime sahip
ortalamalarda serinin başından ve sonundan çok sayıda gözlem değerinin yitirilmesi, yöntemin
gelecek tahmini yapmak amacıyla kullanılmasını önlemektedir. Ancak geçmiş dönem
değerlerinden mevsimsel, konjonktürel ve rastlantısal unsurların etkisini
yıllık veride
tt t
t
YK R
Y= ×
′ ve
aylık veride
tt t t
t
YK M R
Y= × ×
′
şeklinde arındırır.
Hareketli ortalamalar yönteminde veri kümesine eklenen her yeni gözlem değeri için
ortalamaların yeniden hesaplanması gerekmektedir. Bu da işlem yükünü artırmaktadır.
49
Uygulamalar
50
Uygulama Soruları
51
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
52
Bölüm Soruları
Aşağıda bir firmanın 10 yıllık ihracat miktarları verilmiştir.
Yıllar 200
2
200
3
200
4
200
5
200
6
200
7
200
8
200
9
201
0
201
1
İhracat
(milyon
TL)
12 15 17 20 19 22 23 21 25 24
Buna göre;
1) Kendall’ın sıra korelasyon testi ile trendin varlığını araştırınız.
2) Spearman’ın sıra korelasyon testi ile trendin varlığını araştırınız.
3) Korelasyon katsayısı ne amaçla kullanılır? Açıklayınız.
4) Aşağıdaki seri için uygun hareketli ortalamalar serisini hesaplayarak trendi
belirleyiniz ve serinin grafiğini çiziniz.
Yıllar Yt
1998 22
1999 24
2000 25
2001 27
2002 23
2003 25
2004 28
2005 30
2006 27
2007 29
2008 31
2009 33
2010 28
2011 32
5) Hareketli ortalamalar yönteminin fayda ve sakıncalarını açıklayınız.
6)
7)
8)
53
9)
10)
Cevaplar
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
54
3. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-I
55
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
3.1.
3.2.
3.3.
56
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
57
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
58
Anahtar Kavramlar
59
Giriş
Bu hafta trendin belirlenmesinde kullanılan en küçük kareler yönteminin esasları
doğrusal trend modelinin tahmini anlatılmıştır. Ekonomik zaman serisinin inceleme döneminde
tek sayılı gözlemlerden oluşması durumunda ve çift sayılı gözlemlerden oluşması durumunda
en küçük kareler yönteminin nasıl kullanıldığı örneklerle açıklanmıştır. Tahmin edilen
parametreler öngörü amacıyla kullanılmıştır.
60
1.5.3. En Küçük Kareler Yöntemi
Bağımlı değişkenin gerçek değeri ile regresyon denkleminden tahmin edilen değeri
arasındaki farkın kareleri toplamını;
( )2
1
ˆ minT
t tt
Y Y=
− →∑
şeklinde en küçükleme esasına dayanan en küçük kareler yöntemi klasik zaman serisi
analizlerinde ekonomik zaman serilerinin trendinin belirlenmesinde kullanılmaktadır.
Gerçek değerlerle tahmini değerler arasındaki fark, regresyon modellerinde kalıntı
(artık) adını almaktadır. Bu farkların kareleri toplamı ise,
( )2
2
1 1
ˆ minT T
t t tt t
e Y Y= =
= − →∑ ∑
şeklinde kalıntı kareler toplamı olarak bilinir. Bağımlı değişkeni açıklamak amacıyla kurulan
alternatif modeller arasından veri kümesine en uygun model, bu değeri en küçükleyen modeldir.
Bu durumda bağımlı değişkeni açıklamak amacıyla kurulacak modelin fonksiyonel formu
önem kazanacaktır.
Yöntem ekonomik zaman serilerine uygulandığında, bağımsız değişken zaman vasfının
yıl, mevsim (üç ay), ay veya gün gibi şıkları olabilir. Böylece kurulacak regresyon modelinde
bağımlı değişken incelenen ekonomik zaman serisiyken, bağımsız değişken zaman vasfının
şıkları olacaktır.
Yt=f(T, tε )=f(yıl, mevsim, ay veya gün, tε ) Ekonomik zaman serisi Yt incelendiği dönem içinde doğrusal artan veya azalan, eğrisel
artan veya azalan, hatta başka bir fonksiyonel kalıpta değişim sergileyebilir. Bu noktada zaman
serisi için veri kümesine en uygun modelin oluşturulması verinin yapısını analiz etmede ve
öngörü amacıyla kullanırken başarıyı artıracaktır.
Ekonomik zaman serilerini incelemek amacıyla geliştirilen modeller;
a. doğrusal trend modeli
b. doğrusal olmayan trend modeli
şeklinde sınıflanabilir. Doğrusal olmayan trend modelleri de kendi içinde özünde doğrusal olan
modeller ve özünde doğrusal olmayan modeller olmak üzere iki gruba ayrılmaktadır.
61
İki değişken arasındaki ilişkiyi incelerken regresyon analizi ile paralel olarak korelasyon
analizinden de yararlanılmaktadır. Bu nedenle trend analizi yaparken, ekonomik zaman serisi
Yt ile zaman arasındaki ilişki daha önce de söylendiği gibi korelasyon katsayısı yardımıyla da
incelenebilir. Korelasyon katsayısı +1 veya −1 değerini aldığında sırasıyla tam pozitif veya tam
negatif ilişki söz konusu olacaktır. Bu durumda Yt değişkeninin gözlem değerlerinin tümü
doğru üzerinde yer alacaktır. Kurulacak doğrusal bir fonksiyondan tahmin edilen tY değerleri
de Yt= tY şeklinde gerçek değerlere eşit olacaktır. Böylece kurulacak herhangi bir
t tY Tα β ε= + +
şeklindeki anakütle doğrusal regresyon modelinde her gözlem değerine ait kalıntılar
ˆ 0t t te Y Y= − =
olacaktır. Bunun sonucu olarak kalıntı kareler toplamı 2 0te =∑ olacaktır. Ancak
korelasyon katsayısı ± 1’den uzaklaştıkça gerçek değerlerle tahmini değerler arasındaki bu
uyum azalacaktır. Kalıntı kareler toplamı da sıfırdan farklı bir değer almaya başlayacaktır.
Korelasyon katsayısı sıfıra yaklaştıkça zaman ile ekonomik değişken arasında doğrusal ilişkinin
olmadığı ve/veya ilişkinin eğriselleşmeye başladığı düşünülecektir.
Ekonomik zaman serilerini incelemekte hangi tip eğrinin uygun olacağını belirlemenin
en basit yolu ilgili serinin zamana bağlı olarak grafiğinin çizilmesidir. Uygun eğri tipi orijinal
verinin şekline bakarak veya serinin Yt−Yt-1 şeklinde birinci farklarının grafiği incelenerek
belirlenebilir. Birinci fark serisinin grafiği incelendiğinde trend yoksa, sabitse, uygun model
doğrusal trend modeli olacaktır. Birinci fark serisinin trendi varsa ekonomik seri için eğrisel
model uygundur. Ancak grafikle uygun eğri tipi belirlemek yanıltıcı olabileceğinden, çözülen
alternatif modeller arasından kalıntı kareler toplamını en küçükleyen fonksiyon tipi alınmalıdır.
Ekonomik zaman serilerini modellemekte kullanılan en basit fonksiyonel kalıp, doğrusal trend
modelidir.
1.5.3.1. Doğrusal Trend Modeli
Ekonomik zaman serisi Yt için kurulacak doğrusal trend modeli;
t tY Tα β ε= + +
şeklindedir. Bu model özünde iki değişkenli basit doğrusal regresyon modeli olup, regresyonun
temel varsayımlarına uymaktadır. Burada α , T=0 iken, diğer bir ifade ile inceleme döneminin
başlangıcında Yt’nin alacağı değeri gösterir. β , T bir birim değiştiğinde, Yt’nin kaç birim
62
değişeceğini gösteren eğim katsayısıdır. Doğrusal trend modellerinde β , ekonomik zaman
serisinde her dönem aynı miktarda değişim olduğunu gösterir. Buna göre yıllık veride yıllık
ortalama değişimi, aylık veride ise aylık ortalama değişimi gösterir. Böyle bir mutlak artış veya
azalış, birinci fark serisi Yt−Yt-1’in sabit olmasına yol açar.
Doğrusal trend modeli anakütlede en küçük kareler yöntemi ile;
( ) [ ]2 2
2
1 1 1
ˆ ( ) minT T T
t t t tt t t
Y Y Y Tε α β= = =
= − = − + →∑ ∑ ∑
olacak şekilde tahmin edilmelidir. Bunun için fonksiyonun sırasıyla α ve β parametrelerine
göre birinci kısmi türevleri alınarak sıfıra eşitlenmelidir. Ancak uygulamada örneklem ile
çalışıldığından, bu işlem inceleme dönemi içinde kalıntı kareler kullanılarak yapılmaktadır.
2
1
1
2 ( 1)( ) 0
T
t Tt
tt
e
Y T
δα β
δα=
=
= − − − =∑
∑
2
1
1
2 ( )( ) 0
T
t Tt
tt
e
T Y T
δα β
δα=
=
= − − − =∑
∑
Buradan elde edilen
tY t Tα β= +∑ ∑
2tTY T Tα β= +∑ ∑ ∑
normal denklemlerinden α ve β parametreleri tahmin edilerek trend denklemi bulunur. Söz
konusu normal denklemlerin klasik regresyon modelindeki normal denklemlerden tek farkı
bağımsız değişkenin zaman olması ve hep bir birim aralıkla değişmesidir. Bu nedenle inceleme
döneminin başlangıç yılı 0 veya 1 olarak alınır ve 0 ile başlandığında diğer yıllar
1,2,3,…şeklinde sıralanarak işlemlerde kolaylık sağlanır. Zaman serisi analizlerinde yıllık veri
kullanıldığında yıl ortasını temsilen 30 Haziran tarihi, aylık veri kullanımında ayın 15. günü
alındığından, başlangıç yılı olarak alınan yılın ortası orijin tarihi olacaktır.
Ekonomik zaman serilerinde trendi belirlerken, zamanın hep bir birim aralıkla
değişmesinden yararlanılarak, işlemleri daha da kolaylaştırmak amacıyla orijin kaydırılır ve
63
veri kümesinin orta noktasına sıfır değeri verilir. Bu yöntem uygulandığında, veri kümesinin
tek sayılı gözlemlerden oluşması durumunda orta noktadan sonraki gözlem değerleri
+1,+2,+3,… şeklinde sıralanırken, orta noktadan önceki gözlem değerleri …−3,−2,−1 şeklinde
sıralanır. Böylece pozitif ve negatif değerler birbirini götüreceğinden,
1
0T
t
T=
=∑
olacağından, normal denklemlerden T∑ değeri düşerek,
tY tα=∑
2tTY Tβ=∑ ∑
biçimine dönüşür. Böylece trend denkleminin parametreleri
1
T
tt
Y
tα ==
∑ ve
2
tTY
Tβ = ∑
∑
şeklinde hesaplanır. Bu düzenleme tek sayılı gözlemlerden oluşan serilerde yapıldığında orijin
olarak 0 değeri atanan, ortadaki yılın 30 Haziran tarihi alınır.
Zaman serisi çift sayılı gözlemlerden oluşuyorsa, veri kümesinin orta noktası, ortadaki
iki gözlem değerinin ortası olacağından, sıfır değeri atanacak gözlem yarım yıllık döneme,
diğer bir ifadeyle 6 aylık döneme denk gelecektir. Bu durumda sıfır değerinden sonra seri
+0.5,+1.5,+2.5, … şeklinde devam edecek ve öncesindeki değerler de …−2.5,−1.5,−0.5
şeklinde devam edecektir. Bu durumda da negatif ve pozitif değerler birbirini götürerek,
1
0T
t
T=
=∑
elde edilir. Böylece normal denklemler yine,
tY tα=∑
64
2tTY Tβ=∑ ∑
biçimine dönüşür. Çift sayılı gözlemlerden oluşan seriler sıfır toplamlı hale getirildiğinde,
orijinde ortadaki iki yılın ortası olan 31 Aralık veya 1 Ocak tarihi olacaktır.
Orijin kaydırıldığında tahmin edilen trend denklemi, başlangıç değerine sıfır verilerek
tahmin edilen trend denklemi ile α parametresi hariç, tamamen aynı olacaktır. Bu nedenle
orijin kaydırıldığında β parametresinin yorumu değişmezken,α , Yt değişkeninin ortalama
düzeyini vermektedir. Trend denklemi bu yolla tahmin edildiğinde, ekonomik zaman serisinin
ortalama değişme hızı;
100βα
× olarak hesaplanır.
Şimdi önce zaman serisi tek sayılı gözlemlerden oluştuğunda, ardından da çift sayılı
gözlemlerden oluştuğunda trend denklemini tahmin edelim.
Örnek: Tek Sayılı Gözlem Değerlerine Sahip Zaman Serisi Uygulaması
Aşağıda bir firmanın 11 yıllık ihracat rakamları verilmiştir. Buna göre firmanın
ihracatındaki söz konusu dönemdeki ortalama yıllık değişimi belirleyiniz ve 2012 ile 2013
ihracatlarını tahmin ediniz.
Yıllar (T) 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011
İhracat
(Mil. $) 81.5 79.3 80.2 78.9 77.6 77.2 78.4 76.9 75.4 74.7 74.3
65
Görüldüğü gibi seride kimi dalgalanmalar olsa da azalan bir trend söz konusudur. Bu
nedenle öncelikle doğrusal trend denklemini önce birinci yolla sonra ikinci yolla tahmin edelim
ve gelecek iki yıla ait öngörüde bulunalım. Başlangıç yılı olan 2001 yılına 0 değeri atanarak,
orijin 30 Haziran 2001 yılı olarak alındığında,
Yıllar
(T)
İhracat
(Mil.$) T T2 TYt
2001 81.5 0 0 0
2002 79.3 1 1 79.3
2003 80.2 2 4 160.4
2004 78.9 3 9 236.7
2005 77.6 4 16 310.4
2006 77.2 5 25 386
2007 78.4 6 36 470.4
2008 76.9 7 49 538.3
2009 75.4 8 64 603.2
2010 74.7 9 81 672.3
2011 74.3 10 100 743
tY∑=854.4
T∑=55
2T∑=385
tTY∑=4200
Buna göre:
66
tY t Tα β= +∑ ∑ ⇒854.4=11α +55 β
2tTY T Tα β= +∑ ∑ ∑ ⇒4200=55α +385 β
şeklindeki normal denklemlerden tahmin edilen trend denklemi
tY =80.945−0.654T
olup, burada trendin istatistiksel olarak anlamlılığı tahmin edilen β parametresi yardımıyla test
edilir. Buna göre;
H0 : β =0
H1 : β <0 şeklindeki hipotezler,
ˆ ˆ
ˆ ˆ 0.65459.405
0.0695t
s sβ β
β β β− −= = = = −
olarak hesaplanan t istatistiği, 0.01, 2ttα = − = 2.821 ile kıyaslanarak thes> ttab
olduğundan H0 hipotezi reddedilerek, ekonomik zaman serisinde negatif trend etkisi olduğu
söylenir.
Trendin varlığı aynı zamanda korelasyon katsayısı yardımıyla da sınanabilir. Bu
durumda ekonomik seri ile zaman arasındaki korelasyon hesaplanarak anlamlılığı test
edilmelidir. Regresyon modellerinde korelasyon katsayısının eğim parametresi ile aynı işareti
taşıdığı bilinmektedir. Burada da
, 0.9527Y Tr = −
ile zaman ve ekonomik seri arasında negatif ilişki olduğu görülmektedir. Korelasyon
katsayısının istatistiksel olarak anlamlılığı ise, daha önce de parametrik olmayan testlerde
uygulandığı gibi,
67
2
2 0.9527 11 2
1 0.90761
r tt
r
− − −= = =
−− −9.404
değeri 0.01, 2ttα = − = 2.821 değeri ile kıyaslanarak sınanır. Buna göre thes> ttab
olduğundan ekonomik serinin zamanla arasında anlamlı ilişki olduğu kabul edilir.
Ekonomik zaman serisinin negatif ve anlamlı trend etkisinde olduğu belirlendiğine göre,
tahmin edilen trend modeli öngörü amacıyla kullanılabilir. Buna göre;
2012Y =80.945 −0.654(11)= 73.751 bin ton
2013Y =80.945 −0.654(12)= 73.097 bin ton olarak tahmin edilir.
Tahmin edilen regresyon modeli için ekonomik zaman serisinin tahmini değeri, kalıntılar ve
kalıntı kareler hesaplandığında,
ˆtY
ˆt t te Y Y= −
2ˆ( )t tY Y−
80.94545 0.554545 0.307521
80.29091 -0.99091 0.981901
79.63636 0.563636 0.317686
78.98182 -0.08182 0.006694
78.32727 -0.72727 0.528926
77.67273 -0.47273 0.223471
77.01818 1.381818 1.909421
76.36364 0.536364 0.287686
75.70909 -0.30909 0.095537
75.05455 -0.35455 0.125702
74.4 -0.1 0.01
ˆtY∑
=854.4 te∑ =0
2te∑
=4.794
olduğu görülür. Burada hesaplanan kalıntı kareler toplamı aynı fonksiyon tipinde alternatif
modeller arasında tercih yapmakta kullanılmaktadır. Alternatif modeller arasından kalıntı
68
kareler toplamı en küçük olan modelin seçimi esastır. Ancak burada henüz yalnızca doğrusal
denklem çözüldüğünden, böyle bir kıyaslama yapılamaz.
Trend denklemini ikinci yolla orijin değiştirerek tekrar tahmin edelim. T=11 yıl ile tek
sayılı gözlemlerden oluşan bir seri incelendiğinden, serinin ortası olan 6. yıla sıfır değeri
verilerek, yıllarT∑ =0 olacak şekilde yeniden düzenlenir. Bu durumda orijin 30
Haziran 2006 tarihi olacaktır.
Yıllar (T) İhracat
(Mil.$) T T2 TYt
2001 81.5 -5 25 -407.5
2002 79.3 -4 16 -317.2
2003 80.2 -3 9 -240.6
2004 78.9 -2 4 -157.8
2005 77.6 -1 1 -77.6
2006 77.2 0 0 0
2007 78.4 1 1 78.4
2008 76.9 2 4 153.8
2009 75.4 3 9 226.2
2010 74.7 4 16 298.8
2011 74.3 5 25 371.5
tY∑=854.4
T∑=0
2T∑=110
tTY∑ =
−72
Böylece tahmin edilen trend denklemi:
tY =77.672−0.654T şeklinde olup, gelecek iki yıla ait tahmini değerler de,
2012Y =77.672 −0.654(6)= 73.748 bin ton
69
2013Y =77.672 −0.654(7)= 73.094 bin ton olarak tahmin
edilir. İhracat serisinin 2001-2011 döneminde ortalama azalma hızı ise,
100βα
×0.654
10077.672
−= × = −0.842
olarak bulunur.
Bu denklemde de tahmini değerler kalıntılar ve kalıntı kareler toplamı yine birinci yolda
hesaplandığı gibi olacaktır.
tY ˆ
t t te Y Y= − 2ˆ( )t tY Y−
80.94545 0.554545 0.307521
80.29091 -0.99091 0.981901
79.63636 0.563636 0.317686
78.98182 -0.08182 0.006694
78.32727 -0.72727 0.528926
77.67273 -0.47273 0.223471
77.01818 1.381818 1.909421
76.36364 0.536364 0.287686
75.70909 -0.30909 0.095537
75.05455 -0.35455 0.125702
74.4 -0.1 0.01
ˆtY∑
=854.4 te∑ =0
2te∑
=4.794
Örnek: Çift Sayılı Gözlem Değerlerine Sahip Zaman Serisi Uygulaması
Aşağıda verilen bir firmanın 10 yıllık üretimine ait seriyi kullanarak trend denklemini
tahmin ediniz ve 2012, 2013 ve 2014 yıllarına ait tahmini üretimi bulunuz.
Yıllar 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011
Üretim
(bin ton) 35 38 39 37 39 40 42 44 43 45
70
Burada inceleme dönemi T=10 ile çift sayılı gözlemlerden oluşmaktadır. Çözüm için ilk
olarak başlangıç yılı olan 2002 yılına 0 değeri vererek klasik en küçük kareler yöntemini
uygulayalım. Bu düzenlemede orijin 30 Haziran 2002 olur.
Yıllar(T) Üretim
(bin ton) T T2 TYt
2002 35 0 0 0
2003 38 1 1 38
2004 39 2 4 78
2005 37 3 9 111
2006 39 4 16 156
2007 40 5 25 200
2008 42 6 36 252
2009 44 7 49 308
2010 43 8 64 344
2011 45 9 81 405
tY∑=402
T∑=45
2T∑=285
tTY∑=1892
tY t Tα β= +∑ ∑ ⇒402=10α +45β
2tTY T Tα β= +∑ ∑ ∑ ⇒1892=45α +285β
denklemlerinin çözümünden α =35.672 ve β =1.006 olarak tahmin edilir. Böylece trend
denklemi
tY =35.672+1.006T
71
tY
ˆt t te Y Y= −
2ˆ( )t tY Y−
35.67273 -0.67273 0.452562
36.67879 1.321212 1.745601
37.68485 1.315152 1.729624
38.69091 -1.69091 2.859174
39.69697 -0.69697 0.485767
40.70303 -0.70303 0.494252
41.70909 0.290909 0.084628
42.71515 1.284848 1.650836
43.72121 -0.72121 0.520147
44.72727 0.272727 0.07438
tY∑ =402 te∑ =0
2te∑
=10.09696
olarak tahmin edilir. Üretim başlangıçta 35.672 bin ton iken, her yıl ortalama 1.006 bin ton
artmıştır. Tahmin edilen trend denklemini öngörü amaçlı kullanabiliriz. Buna göre söz konusu
72
firmanın 2012, 2013 ve 2014 yıllarına ait üretim rakamlarını tahmin etmek için 2012 yılına 10,
2013 yılına 11 ve 2014 yılına 12 değeri verilmelidir. Böylece üretim,
tY =35.672+1.006T
2012Y =35.672+1.006(10)= 45.732 bin ton
2013Y =35.672+1.006(11)= 46.738 bin ton
2014Y =35.672+1.006(12)= 47.774 bin ton
şeklinde tahmin edilir.
Şimdide orijin kaydırarak veri kümesinin ortasındaki değere sıfır verelim. Zaman serisi
çift sayılı gözlemlerden oluştuğu için 2006-2007 yıllarının ortasına sıfır değeri verilmelidir. Bu
durumda iki yılın ortası alındığından aslında altı aylık gelişim ölçülür. Böylece başlangıç yılına
sıfır verildiğinde orijin o yılın tam ortası olan 30 Haziran tarihine denk gelirken, orijin
kaydırıldığında ortadaki yıllarının ortası 31 Aralık tarihi veya 1 Ocak tarihi olacaktır.
73
Yıllar(T)
T : Orijin:
30.06.2002
T: Orijin
31.12.2006
2002 0 -4.5
2003 1 -3.5
2004 2 -2.5
2005 3 -1.5
2006 4 -0.5
0
2007 5 0.5
2008 6 1.5
2009 7 2.5
2010 8 3.5
2011 9 4.5
T∑ =45 T∑ =0
Bu durumda orijin kaydırılarak elde edilen yeni T serisi ile çözümümüz
74
Yıllar(T) Üretim
Bin ton T T2 TYt
2002 35 -4.5 20.25 -157.5
2003 38 -3.5 12.25 -133
2004 39 -2.5 6.25 -97.5
2005 37 -1.5 2.25 -55.5
2006 39 -0.5 0.25 -19.5
0
2007 40 0.5 0.25 20
2008 42 1.5 2.25 63
2009 44 2.5 6.25 110
2010 43 3.5 12.25 150.5
2011 45 4.5 20.25 202.5
tY∑
=402
T∑=0 82.5 83
tY tα=∑ ⇒402=10α
2tTY Tβ=∑ ∑ ⇒83=82.5 β
olacak, böylece α =40.2 ve β =1.006, dolayısıyla trend denklemi
tY = 40.2+1.006T
75
ˆtY
ˆt t te Y Y= −
2ˆ( )t tY Y−
35.6727 -0.67273 0.452562
36.6788 1.321212 1.745601
37.6848 1.315152 1.729624
38.6909 -1.69091 2.859174
39.697 -0.69697 0.485767
40.703 -0.70303 0.494252
41.7091 0.290909 0.084628
42.7152 1.284848 1.650836
43.7212 -0.72121 0.520147
44.7273 0.272727 0.07438
tY∑=402 te∑ =0
2te∑
=10.09696
olur. Buradan da görüleceği gibi bu yöntemle trend denkleminin yalnızca başlangıç değerini
gösteren α sabit terimi değişmiştir. Orijin kaydırıldığından bu durum aslında beklenen bir
durumdur. β eğim parametresi ise yine aynı şekilde tahmin edilmiştir. Buna göre üretim
serisinin 2002-2011 döneminde ortalama artış hızı ise,
100βα
×1.006
100 2.540.2
= × =
olarak bulunur.
Şimdi de bu yöntemle tahmin edilen trend denklemini öngörü amacıyla kullanalım ve
2012, 2013 ve 2014 yıllarına ait üretim rakamlarını tahmin edelim. Bu yöntemde 2012, 2013
ve 2014 yıllarına sırasıyla 5.5, 6.5 ve 7.5 değerleri verilecektir.
2012Y =40.2+1.006(5.5)= 45.732 bin ton
2013Y =40.2+1.006(6.5)= 46.738 bin ton
2014Y =40.2+1.006(7.5)= 47.774 bin ton
76
olarak ilk yöntemde olduğu gibi tahmin edilir.
Ancak yukarıdaki örneklerdeki serilerin grafikleri incelendiğinde de görüldüğü gibi
ekonomik zaman serilerindeki dalgalanmaların doğrusal modellerle tahmin her zaman uygun
olmayabilir. Bu nedenle uygun fonksiyon tipinin belirlenebilmesi için alternatif modeller
denenmelidir. Bu amaçla kurulan modeller doğrusal olmayan model kalıbında olacaktır.
77
Uygulamalar
78
Uygulama Soruları
79
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
80
Bölüm Soruları
Aşağıda aylık olarak verilen ekonomik zaman serilerinin trendlerini ayrı ayrı
1) En küçük kareler yönttemi ile belirleyiniz.
2) Tahmin ettiğiniz eğim parametrelerinin istatistiksel anlamlılığını % 5 anlam
düzeyinde sınayınız.
3) Ekonomik seri ile zaman arasındaki korelasyonu hesaplayarak, anlamlılığını % 5
anlam düzeyinde test ediniz.
4) Y serisi için ve X serisi için uygun olan orijin kaydırma yöntemleri ile trend
doğrularını yeniden tahmin ediniz.
5) Orijin kaydırma yöntemi ile yaptığınız tahminleri yorumlayarak, serilerin ortalama
değişme hızlarını hesaplayınız.
6) Y serisi için ve X serisi için kalıntı kareler toplamını
a. En küçük kareler yöntemi ile
b. Orijin kaydırma yöntemi ile ayrı ayrı bulunuz.
7) Y serisi için Aralık- Ocak ve Şubat ayları için öngörüde bulununuz.
8) X serisi için Ocak –Şubat ve Mart ayları için öngörüde bulununuz.
9) Y serisi için orijin kaydoroldığında, yeni orijin tarihi ne olmuştur?
10) X serisi için orijin kaydırıldığında yeni orijin tarihi ne olmuştur?
Aylar Y Aylar X
Ocak 2 Ocak 34
Şubat 5 Şubat 32
Mart 8 Mart 35
Nisan 7 Nisan 33
Mayıs 9 Mayıs 32
Haziran 10 Haziran 30
Temmuz 12 Temmuz 31
Ağustos 11 Ağustos 29
Eylül 14 Eylül 26
Ekim 15 Ekim 27
Kasım 17 Kasım 25
Aralık 23
81
Cevaplar
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
82
4. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-II
83
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
4.1.
4.2.
4.3.
84
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
85
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
86
Anahtar Kavramlar
87
Giriş
Bu hafta trendin belirlenmesinde kullanılan özünde doğrusal olan modeller
açıklanacaktır. Özünde doğrusal olan modeller başlıca iki gruba ayrılmaktadır. Bunlardan ilki
polinominal modeller, ikincisi ise üssel modellerdir. Polinominal modellerden özellikle ikinci
ve üçüncü dereceden modeller trendi belirlemekte kullanılır. Burada da ikinci ve üçüncü
dereceden modellerin trend tahminindeki kullanımı açnlatılacaktır. Ayrıca üssel modeller ve
doğrusallaştırılma yöntemleri açıklanacaktır. Modellerle ilgili örnekler çözülecektir.
88
1.5.3.2. Doğrusal Olmayan Trend Modelleri
Regresyon modellerinde doğrusallık, değişkenler itibariyle doğrusallık ve parametreler
itibariyle doğrusallık olmak üzere ikiye ayrılır. Regresyon modellerinin değişkenleri itibariyle
doğrusallıktan uzaklaşması durumunda, değişken dönüşümü yapılarak doğrusallık
sağlanacağından, Bu modeller özünde doğrusal modeller olarak anılır. Genellikle aynı bir
değişkenin farklı kuvvetlerinin bağımsız değişken olarak kullanıldığı polinominal modeller ve
logaritmik dönüşümle doğrusallaştırılabilen kimi üssel modeller özünde doğrusal olan modeller
kapsamındadır. Ancak parametreleri itibariyle doğrusallıktan uzaklaşan modeller değişkenleri
itibariyle doğrusallaşsalar bile, parametrelerin doğrusal tahmini elde edilemediğinden özünde
doğrusal olmayan modeller olarak karşımıza çıkar. Bu bölümde önce özünde doğrusal olan
modeller ve ardından özünde doğrusal olmayan modeller ele alınacaktır.
1.5.3.2.1. Özünde Doğrusal Olan Trend Modelleri
Başta polinomlar ve üssel modeller olmak üzere değişkenleri itibariyle doğrusallıktan
uzaklaşan modeller değişkenlere uygulanan dönüşüm ile doğrusal hale getirilebilir. Bu tip
modellerin tahmini ve parametrelerinin yorumu da en küçük kareler yöntemi ile başarılı bir
şekilde gerçekleştirilebilir. Ancak özellikle polinominal modellerin öngörü amaçlı
kullanımında dikkatli olunmalıdır.
1.5.3.2.1.1. Polinominal Trend Modelleri
Ekonomik zaman serisi trendin k. dereceden polinomu ile,
2 31 2 3 ...t tY T T Tα β β β ε= + + + + +
şeklinde açıklanırsa, bu modelde değişkenler T zaman değişkeninin karesi, küpü ve daha üst
derecelerden kuvvetleri şeklinde olduğundan, bu kuvvetlerin her birini farklı bir bağımsız
değişken gibi düşünebileceğimiz
T=X1, T2=X2, T3=X3,…
biçiminde bir değişken dönüşümü uygularsak, söz konusu model çok değişkenli doğrusal
regresyon modelleri gibi çözülebilir. Bu modellerin tahmininde karşılaşılabilecek sorun
bağımsız değişkenler arasındaki güçlü ilişki dolayısıyla ortaya çıkabilecek çoklu doğrusal
bağlantı sorunudur. Böyle bir durumda tahmin edilen parametrelerin standart hatasının yüksek
çıkacağı unutulmamalıdır. Bu nedenle polinominal modellerin öngörü amaçlı kullanımı
sakıncalı olabilir. Bu tip modellerin en basiti kuadratik (ikinci dereceden) trend modelidir.
89
1.5.3.2.1.1.1. Kuadratik Trend Modeli
Ekonomik zaman serilerinin zamana bağlı olarak ikinci dereceden bir eğri ile değiştiği
ve Grafik 7’de görüldüğü gibi bir maksimumu veya bir minimumu olan
Grafik 7: Kuadratik Trend
şeklindeki ilişkileri açıklamakta kullanılan model
21 2t tY T Tα β β ε= + + +
veya T=X1, T2=X2 dönüşümü ile,
1 1 2 2t tY X Xα β β ε= + + +
şeklinde ikinci dereceden veya kuadratik trend modeli olarak adlandırılan modeldir. İkinci
dereceden modeller 2β >0 ise bir maksimuma veya 2β <0 ise bir minimuma sahip olurlar. Bu
modellerin birinci türevinin sıfıra eşitlendiği nokta maksimum veya minimum noktasını verir.
Ekonomik zaman serisinin ikinci dereceden farkları sabit bir yüzde ile değişiyorsa, kuadratik
trend fonksiyonu uygundur. Model
( )2 2
2 21 2
1 1 1
ˆ ( ) minT T T
t t t tt t t
e Y Y Y T Tα β β= = =
= − = − + + → ∑ ∑ ∑
olacak şekilde kalıntı kareler toplamını minimize etmek üzere, sırasıylaα , 1β ve 2β ’e göre
kısmi türevlerin alınarak sıfıra eşitlenmesi ile elde edilen
Yt
T(zaman)
90
2
1 2tY t T Tα β β= + +∑ ∑ ∑
2 31 2tTY T T Tα β β= + +∑ ∑ ∑ ∑
22 3 41 2tT Y T T Tα β β= + +∑ ∑ ∑ ∑
normal denklemler yardımıyla çözülür. Burada α , 1β ve 2β parametrelerini tahmin edebilmek
için üç bilinmeyenli üç denklem çözmek gerekir. Bunun yerine doğrusal trend modellerine
uygulanan T∑ =0 olacak şekilde orijin kaydırma yöntemi bu modele de uygulandığında,
T∑ ve aynı zamanda 3
T∑ =0 olacağından, normal denklemler;
2
2tY t Tα β= +∑ ∑
21tTY Tβ=∑ ∑
22 42tT Y T Tα β= +∑ ∑ ∑
şekline dönüşür. Burada dikkat edilirse ikinci denklemden trend denkleminin eğimini gösteren
1β parametresi;
1 2
tTY
Tβ = ∑
∑
şeklinde tahmin edilirken, diğer iki denklemden α ve 2β parametreleri tahmin edilir. α ,
başlangıç yılında ekonomik zaman serisinin Y eksenini kestiği noktayı gösterir. 2β parametresi
ise eğimdeki değişimi gösterir.
Grafik 8: Çeşitli Kuadratik Modeller
1β >0 ve 2β >0 ise Yt serisi artarak artar.
91
1β >0 ve 2β <0 ise Yt serisi azalarak artar.
1β <0 ve 2β <0 ise Yt serisi artarak azalır.
1β <0 ve 2β >0 ise Yt serisi azalarak azalır.
Yt
T(zaman)
Yt
T(zaman)
Yt
T(zaman)
92
Bu grafiklerden görüldüğü gibi üssel modellerle kuadratik modeller birbirine oldukça
benzemektedir. Üssel modellerle kuadratik modellerin en önemli farklılığı üssel modellerin
sürekli artış veya azalışa, kuadratik modellerin ise bir maksimum veya minimuma sahip
olmasıdır.
Örnek: Bir firmanın 11 yıllık toplam maliyetleri aşağıdaki gibidir. Bu model için uygun
trend fonksiyonunu hesaplayınız.
Yıllar (T) 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
Toplam
Maliyet
(Mil. TL) 55.5 54.6 55 54.1 52.8 51.3 51.9 50.3 49.6 52.5 52.8
Söz konusu serinin öncelikle grafiğinin çizilmesi gerekmektedir. Grafik incelendiğinde;
Yt
T(zaman) kuadratik model
93
toplam maliyet serisi için bir minimum noktası olan ikinci dereceden bir fonksiyonun uygun
bir model olacağı düşünülerek, 21 2t tY T Tα β β ε= + + + şeklindeki kuadratik model orijin
kaydırma yolu ile 2005 yılına sıfır değeri atanarak çözülmüştür. Böylece 30 Haziran 2005 yılı
orijin olarak alınmıştır. Model
Y = 51.82−0.423T+0.094T2
şeklinde tahmin edilmiştir. Burada 1β <0 ve 2β >0 olduğundan firmanın toplam maliyet serisi
azalarak azalır. Veri kümesine ait grafik incelendiğinde bu bulgunun gerçekçi olduğu
görülmektedir. Ancak grafikten de görüldüğü gibi tahmin edilen maliyet fonksiyonu özellikle
son dönemde gerçek maliyetlerin altında kalmıştır. Bu nedenle model öngörü amaçlı
kullanılmak istendiğinde başarılı tahmin yapılamayacağı söylenebilir.
94
Bu tahmin 2011Y =51.82−0.423(6)+0.094(62)=52.666 şeklinde
yapılır.
1.5.3.2.1.1.2. Kübik Trend Modelleri
Kübik model;
2 31 2 3t tY T T Tα β β β ε= + + + +
şeklindeki üçüncü dereceden bir polinomdur. Bu modelin parametreleri de diğer trend
modelleri gibi en küçük kareler yöntemi ile yapılabilir. Kübik model ekonomide pek çok
uygulama alanı bulsa da, bu modelle yapılan öngörüler çok başarılı değildir.
49
50
51
52
53
54
55
56
57
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
MALIYET tahmaliyet
95
Grafik 9: Kübik Trend
Matematiksel olarak daha yüksek derecelerden polinominal modeller kurmak
mümkündür. Ancak bu modelleri iktisaden de geçerli olması gerekmektedir. Bu nedenle
ekonomik değişkenlerin trendi belirlenirken, genellikle üçüncü derecenin üstünde modeller
kurulmaz.
1.5.3.2.1.2. Üssel Modeller
Üssel büyüme modelleri zamana bağlı olarak azalarak artan ancak bir dönüm noktası
olmayan modellerdir. Genellikle piyasaya yeni sürülen bir ürünün ömrü gibi tanıtım, büyüme
ve doyum aşamalarına sahip olan ekonomik değişkenlerin modellenmesinde kullanılan üssel
büyüme modeli, firmaların, sektörlerin, ürünlerin yanı sıra demografide nüfusun büyümesi
yaşam süresi hesaplarında kullanılmaktadır.
Üssel büyüme modeli
tTtY e eεβα=
şeklindeyse büyüme hızı sabit hızla artan veya azalan modeller söz konusudur. Burada α , T=0
iken başlangıç değeri e doğal logaritma tabanı, eβ ; Yt serisinin beklenen büyüme oranı, β
sabit geometrik büyüme hızıdır. Yıllık veri kullanıldığında, β ×100 bileşik yıllık büyüme
hızıdır. Bu model
0 (1 )ttY Y r= +
şeklindeki kesikli veriye uygulanan bileşik faiz formülünün sürekli veriye uygulaması olarak
yorumlanabilir. Kesikli veri için bileşik faiz formülü 10 tabanına göre logaritma alınarak
dönüştürülürken, sürekli veri için uygulanan büyüme modelleri e doğal logaritma tabanına göre
Yt
T(zaman)
96
logaritması alınarak dönüştürülmelidir. Hem kesikli hem sürekli büyüme modellerinin
geometrik değişim gösteren dizilere uygulandığı unutulmamalıdır.
Üssel büyüme modeli parametreleri itibariyle doğrusallıktan uzaklaşan bir fonksiyon
olmasına rağmen,
tTtY e eεβα=
denklemin her iki tarafının doğal logaritması alındığında,
ln ln ln lnt tY T e eα β ε= + + lne=1 olduğundan,
ln lnt tY Tα β ε= + +
şeklinde doğrusallaştırılabilir. Bu doğrusallaştırmanın yapılabilmesi için modelin hata
teriminin toplamsal olarak değil, çarpımsal olarak tanımlanması gerekmektedir. Modelin
tahmini hata teriminin kareleri toplamını
( ) [ ]2 2
2
1 1 1
ˆln ln ln (ln ) minT T T
t t t tt t t
Y Y Y Tε α β= = =
= − = − + →∑ ∑ ∑
minimize edecek şekilde yapılır. Buna göre normal denklemler;
ln lntY t Tα β= +∑ ∑
2ln lntT Y T Tα β= +∑ ∑ ∑
şeklinde olur. 0T =∑ olacak şekilde tahmin yapıldığında ise,
lnln tY
tα = ∑
ve 2
ln tT Y
Tβ = ∑
∑ olur.
Burada e tabanına göre antilog α inceleme döneminde ilgili ekonomik zaman serisinin
ortalama düzeyini gösterirken, β yine sabit büyüme hızıdır.
Örnek: Türk Ekonomisinin gayri safi yurt içi hâsılası (GSYİH) üretim yöntemi ve sabit
1998 alıcı fiyatları ile (Kaynak: www.tuik.gov.tr ) aşağıdaki gibi derlenmiştir. GSYİH için üssel
trend modelini tahmin ederek, parametrelerini yorumlayınız.
97
Yıllar
GSYİH
(milyonTL)
1998 70.203
1999 67.841
2000 72.436
2001 68.309
2002 72.52
2003 76.338
2004 83.486
2005 90.5
2006 96.738
2007 101.255
2008 101.922
2009 97.003
2010 105.886
2011 114.874
0T =∑ olacak şekilde 31 aralık 2004 tarihi orijin olarak alınıp üssel trend
modelinin parametrelerinin tahmin edilmesi için;
Yıllar
GSYİH
(milyonTL) LnGSYİH T
1998 70.203 4.251391 -6.5
1999 67.841 4.217167 -5.5
2000 72.436 4.282703 -4.5
2001 68.309 4.224042 -3.5
2002 72.52 4.283862 -2.5
2003 76.338 4.335171 -1.5
2004 83.486 4.424679 -0.5
2005 90.5 4.50535 0.5
2006 96.738 4.572006 1.5
2007 101.255 4.617642 2.5
2008 101.922 4.624208 3.5
2009 97.003 4.574742 4.5
2010 105.886 4.662363 5.5
2011 114.874 4.743836 6.5
98
Ln GSYİH = 4.451+0.0421T
şeklinde tahmin edilir. Burada lnα = 4.451 değeri antilogaritması alındığında, 0T =∑ olacak
şekilde orijin kaydırıldığından GSYİH serisinin ortalama değerini verecektir. Buna göre
GSYİH inceleme döneminde α =85.7126 milyon TL ortalamaya sahiptir. β =0.0421 ise
GSYİH serisinin inceleme döneminde yıllık ortalama büyüme hızının % 4.21 oluğunu
göstermektedir. Buna göre GSYİH serisi için büyüme modeli;
GSYİH= 85.71260.0421Te şeklindedir.
Logaritmik doğrusal modellerde β >0 ise, sabit büyüme hızı, β <0 ise sabit küçülme
hızı söz konusudur. Model sabit elastikiyet modeli olarak da bilinir.
Üssel model,
TtY e β−=
şeklindeyse
ln tY Tβ= −
biçiminde doğrusallaştırılabilir. Model negatif üslü modeldir. Özellikle nüfus hareketlerinde
insan yaşı ile ilgili olarak kullanılır.
Yukarıdaki gibi üssel büyüme modellerine doğrusallaştırmak amacıyla yapılan
dönüşümler tam logaritmik olduğu gibi yarı logaritmik dönüşümler de olabilir.
Yt
T(zaman)
99
Uygulamalar
100
Uygulama Soruları
101
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
102
Bölüm Soruları
1)
Y 34 30 29 27 26.5 25 24 23 25 26 26.8 27 29
Serisinin grafiğini çizerek, kuadratik trend modelini tahmin ediniz ve parametrelerini
yorumlayınız.
2)
X 34 30 29 27 26.5 25 24 24.5 25 26 26.8 24 23
Serisinin grafiğini çizerek, kübik trend modelini tahmin ediniz ve parametrelerini
yorumlayınız.
3)
Z 4 8 20 32 44 56 67 78 85 96 100 112 132
Serisi için üssel büyüme modelini tahmin ediniz ve parametrelerini yorumlayınız.
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Cevaplar
103
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
104
5. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-III
105
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
5.1.
5.2.
5.3.
106
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
107
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
108
Anahtar Kavramlar
109
Giriş
Bu hafta trendin belirlenmesinde kullanılan özünde doğrusal olmayan modeller
açıklanacaktır. Özünde doğrusal olmayan modellerden Lojistik model ve bu modelin nüfustaki
büyümeyi tahmin amacıyla kullanılan Pearl-Reed eğrisi ile Gompertz modeli hakkında bilgi
verilecektir. Özünde doğrusal olmayan modeller S eğrileri olarak anılmaktadır. Burada da S
eğrilerinin tahmin yöntemi açıklanacaktır. Ayrıca yıllık değerlerin aylıkların ortalaması olması
halinde ve yıllık değerlerin aylıkların toplamı olması halinde yıllık trend denkleminin aylık
değerlere dönüştürülmesi anlatılacaktır.
110
1.5.3.2.2. Özünde Doğrusal Olmayan Trend Modelleri
Özünde doğrusal olmayan modeller parametreleri ve değişkenleri itibariyle doğrusal
olmayan ve doğrusallaştırılamayan modellerdir. Bu tip fonksiyonlar doğal logaritma tabanına
göre logaritması alınarak tahmin edilmektedir. Fonksiyonların grafikleri S harfi biçiminde
olduğundan S eğrileri olarak bilinen bu modeller, ilgilenilen değişkenin büyümesini gösteren
eğrilerdir. Bu nedenle büyüme eğrileri serilerin 25-35 yılı kapsayan uzun dönemlerde
incelenmesini gerektiren büyüme eğrileri nüfus hareketlerini ve teknolojik gelişmelere bağlı
olarak ürün yaşam seyrini ölçmekte kullanılmaktadır. Özünde doğrusal olmayan modellerden
bazıları:
• Lojistik Eğri
• Gompertz Eğrisi’ dir.
1.5.3.2.2.1. Lojistik Eğri
İncelenen ekonomik zaman serisinde önce hızlı bir büyüme ve ardından daha yavaş bir
büyüme görülüyorsa, lojistik eğri ile modellenmesi uygun olacaktır.
Lojistik eğri;
1
01t TY
e β
αβ −=
+
şeklinde incelenen Yt serisinin zamanla ters yönlü ilişkide olduğu eğrilerdir. Burada α >0, 0β
>0, 1β >0 olmaktadır. Serinin büyümesi α doyum noktasına ulaşıncaya dek hızlı bir şekilde
seyrederken, bu noktadan sonra yavaşlamaktadır. Bu nedenle α parametresine tavan değeri adı
verilmektedir. Eğrinin yavaşlaması 0β ve 1β parametrelerinin değerine bağlıdır. 1β büyüme
hızının oransal etmenidir. Tek bir dönüm noktasına sahip olan lojistik eğri çeşitli fonksiyonel
biçimlerde olabilir. Örneğin:
0 11 tt TY
eβ β ε
α+ +=
+
şeklinde tanımlanmışsa, her iki tarafın logaritması alınarak;
111
0 1ln 1 t
t
TY
αβ β ε
− = + +
şeklinde dönüştürülebilir. Burada 1β , Yt ekonomik zaman serisinin sabit artış oranını
göstermektedir.
Lojistik eğri 1920’lerde Pearl-Reed tarafından ABD’de nüfus artış hızını hesaplamakta
kullanıldığından, Pearl-Reed fonksiyonu olarak da adlandırılmaktadır. Pearl-Reed büyüme
eğrisi nüfusu öngörmek amacıyla:
1
t TY
A BC=
+
biçimindeki fonksiyonu kullanır. Bu fonksiyon
1 T
t
A BCY
= +
olarak da yazılabilir. Burada alt dönemler itibariyle nüfustaki büyüme;
2 11
1
1T
Y YA Y
T C
− = − − ( )
3 22
( 1)
1T
Y Y CB
C
− −=
−
3 2
2 1
T Y YC
Y Y
−=
−
değerleri yardımıyla bulunur. Burada Y1, Y2, Y3 incelenen zaman serisinin alt dönemleridir. T
ise her dönemin kaçar yıl olduğunu göstermektedir.
1.5.3.2.2.2. Gompertz Eğrisi
İlk olarak Gompertz tarafından ölüm oranlarını hesaplamak amacıyla kullanılan ve bu
nedenle Gompertz Eğrisi olarak anılan eğriler logaritmik büyümedeki sabit oranlı artışları
göstermektedir. Buna göre ilgili zaman serisi Yt;
10
T
tY eββα
−−= veya
10
TetY e
ββ −−=
veya başka fonksiyonel şekillerde ifade edilir. Bu modellerde α >0, 0β >0, 1β >0 olan sabit
parametrelerdir. Eğri,
1
0T
tY βαβ=
112
biçiminde ise
1 0ln ln lntY Tα β β= +
olarak dönüştürülebilir.
S eğrileri matematiksel olarak çok sayıda fonksiyonla temsil edilebilirler. Genel olarak,
T
tY eβ
α − =
şeklinde olan S eğrileri her iki tarafın da logaritması alınarak,
ln tYT
βα= −
olur. Bu denklemin en küçük kareler tahmincileri
2
1ln
ln 1 1
t
t
Y tT
Y
T T T
α β
α β
= +
= +
∑ ∑
∑ ∑ ∑
normal denklemlerinden bulunur.
Örnek: Bir firmanın piyasaya sürdüğü bir ürünün 12 yıllık satış rakamları milyon TL
olarak aşağıdaki gibidir. Buna göre büyüme fonksiyonunu tahmin ediniz.
T 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011
Yt 2.34 2.56 2.78 3.02 3.45 3.73 3.98 4.12 4.25 4.34 4.42 4.48
Burada ilk dikkat edeceğimiz nokta, T zaman değişkeninin tersi alınacağı için
işlemin tanımlı olmasını sağlamak amacıyla, 2000 yılına 1 değeri atayarak zamanı sıralamak
olmalıdır. Bu tür fonksiyonların çözümünde orijin kaydırması yapmak (1/T ) değişkenini
tanımsız hale getireceği için sakıncalıdır. Buna göre:
T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Yt 2.34 2.56 2.78 3.02 3.45 3.73 3.98 4.12 4.25 4.34 4.42 4.48
değerleri ile fonksiyon,
113
T Y(satışlar) T Ln Yt 1/T lnYt/T (1/T)2
2000 2.34 1 0.850151 1 0.850151 1
2001 2.56 2 0.940007 0.5 1.880015 0.25
2002 2.78 3 1.022451 0.333333 3.067353 0.111111
2003 3.02 4 1.105257 0.25 4.421027 0.0625
2004 3.45 5 1.238374 0.2 6.191871 0.04
2005 3.73 6 1.316408 0.166667 7.898449 0.027778
2006 3.98 7 1.381282 0.142857 9.668973 0.020408
2007 4.12 8 1.415853 0.125 11.32683 0.015625
2008 4.25 9 1.446919 0.111111 13.02227 0.012346
2009 4.34 10 1.467874 0.1 14.67874 0.01
2010 4.42 11 1.48614 0.090909 16.34754 0.008264
2011 4.48 12 1.499623 0.083333 17.99548 0.006944
toplamlar 15.17034 3.103211 107.3487 1.564977
işlemleri gerçekleştirilerek, yukarıdaki normal denklemler yardımıyla,
ˆln tY =1.4598−0.7564 (1/T)
şeklinde tahmin edilmiştir. Buradan ˆtY tahmini,
1.4598 0.7564(1/ )ˆ TtY e −=
olur. T zaman değişkenine 2012 yılının değeri atanarak satışların 2012 yılına ait öngörüsü;
1.4598 0.7564(1/13) 1.4016ˆ 4.0616tY e e−= = = milyon TL
olarak yapılabilir.
1.6. Yıllık Trend Denkleminin Aylık Değerlere Dönüştürülmesi
Ekonomik zaman serilerinin trendi genellikle yıllık veri kullanılarak hesaplanır. Ancak
aylık veya üç aylık olarak derlenen verilere de trend analizi yapmak mümkündür. Bu durumda
10-15 yıllık dönemi kapsayacak aylık veya üç aylık veriye ihtiyaç vardır. Trend tahmininde
yıllık veri kullanılmışsa, aylık değerleri bulmak da mümkündür. Bu durumda yıllık verilerin
nasıl derlendiği önem kazanmaktadır. Yıllık veriler ya aylık gözlemlerin ortalaması olarak
veya, aylık gözlemlerin toplamı olarak elde edilebilir. Yıllık trend denkleminden aylık trend
değerlerini bulmak için:
114
• Yıllık veriler aylık gözlemlerin ortalaması olarak hesaplanmışsa;
Bu durumda 12×yıl sayısı kadar gözlem değerine sahip olunur. t tY Tα β ε= + +
şeklindeki doğrusal trend denkleminde β parametresi incelenen zaman serisi tek sayılı
gözlemlerden oluşuyorsa, bir yıllık değişmeyi gösterdiğine göre, aylık değişme 12β olarak
hesaplanacaktır. Buna göre aylık trend denklemi; inceleme dönemini T ay cinsinden
gösterirken,
12tY T
βα= +
şeklinde olur. Yıllık verilerin aylık değerlerin ortalaması olarak kullanıldığı ekonomik zaman
serileri fiyat endeksleri, ürün fiyatları, bölgelere düşen yağış miktarı, sıcaklık dereceleri gibi
serilerdir.
Örnek: Aylık değerlerin ortalamasından oluşan Yt serisi bir malın fiyatını
göstermektedir.
T 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011
Yt 27 32 35 31 33 36 38 40 37 39 43
şeklinde 11 yıllık dönemde yıllık trend denklemi 30 Haziran 2006 tarihine sıfır değeri atanarak,
orijin kaydırma yöntemi ile,
tY =35.545+1.245T
olarak tahmin edilmiştir. Burada 391
35.54511
tY
tα = = =∑
olduğu bilinmektedir. Bu
denklem
12tY T
βα= +
biçiminde aylık trend denklemine dönüştürülürse; 1.245
0.10378812 12
β= = aylık
değişim bulunur. Aylık değerlerin ortalaması alındığına göre, her ay 15. günü ile temsil
edilecektir. Bu nedenle 30 Haziran 2006 tarihli orijin değerinin 15 Haziran 2006 tarihine
115
çekilmesi gerekecektir. Eğim parametresinin 15 günlük değişimi ise 0.103788/2=0.051894
olacaktır. Buna göre 15 Haziran 2006 tarihinde trend değeri 35.545−0.051894=35.49311 ve
aynı şekilde 15 Temmuz 2006 tarihinde trend değeri 35.545+0.051894=35.59689 olacaktır.
Benzer biçimde ilgili dönemdeki bütün aylara ait trend değerleri bulunabilir. Örneğin 15 Kasım
2011 tarihindeki trend değeri, bu tarihin orijinden uzaklığı gün, ay ve yıl olarak
hesaplandığında;
15. 11. 2011
30. 06. 2006
15 gün 04 ay 5 yıl olarak bulunur. Bu süre ay cinsinden (5×12=60 ay)+ 4ay+0.5 ay=64.5
ay olarak belirlenir. Bu durumda 15 Kasım 2011 tarihinin trend değeri
35.545 0.103788(64.5) 41.239312
tY Tβ
α= + = + =
olur. Burada inceleme dönemi tek sayılı gözlemlerden oluştuğundan T, zaman değişkeni
…,−3,−2,−1,0,+1,+2,+3,… şeklindedir. Dolayısıyla yıllık değişim bir birim olmaktadır. Oysa
inceleme döneminde zaman serisi çift sayılı gözlemlerden oluşuyorsa, T’ye atanan değerler
…,−2.5,−1.5,−0.5,0,+0.5,+1.5,+2.5,…şeklinde yıldan yıla iki birimlik değişmeyi gösterecektir.
Dolayısıyla yıllık değerler aylıklara dönüştürülürken, 12β yerine, 2
12 6β β= değeri
kullanılır.
Örnek: Bir ekonomik zaman serisi için aylık değerlerin ortalamalarından elde edilen
yıllık veri kullanılarak trend denklemi 2000-2013 döneminde;
tY =240−18T
tahmin edilmiştir. Buna göre Yt serisindeki aylık ortalama değişim ne kadardır?
2000-2013 yılları arasında 14 yıl olduğuna göre, ΣT=0 olması için orijin olarak 1 Ocak
2007 tarihi atanmalıdır. Böylece yıldan yıla iki birimlik değişme olacaktır. Yıllık değerler aylık
değerlere dönüştürülürken, 212 6
β β= değeri alınmalıdır. Buna göre aylık değişim oranı;
18 36 6β −= = − birim olacaktır.
Burada trend denklemi negatif eğimli olduğundan orijinden önceki tarihler,
orijinden sonraki tarihlerden daha yüksek değerde olacaktır.
116
• Yıllık veriler aylık gözlemlerin toplamı olarak hesaplanmışsa;
Aylık gözlemlerin toplamından oluşan seriler satışlar, üretim, ihracat, ithalat gibi
serilerdir. Aylık değerlerin toplamı olarak tahmin edilen yıllık trend denklemini aylığa
dönüştürmek için parametreler 12 aylık toplamlardan elde edildiğinden 12’ye bölmek gerekir.
Böylece:
tY Tα β= +
denkleminde α parametresi 12
αolarak dönüştürülürken, 12 aylık toplamın yıllık değişmesini
gösteren β parametresi önce 12’ye bölünerek yıllık toplam değerler aylık toplamlara ve daha
sonra tekrar 12’ye bölünerek yıllık değişmelerden aylık değişmelere 12 12 144
β β=
×biçiminde
dönüştürülür. Böylece aylık trend denklemi incelenen ekonomik seri tek sayılı gözlemlerden
oluşuyorsa,
12 144tY T
α β= +
biçimini alır. İncelenen ekonomik seri çift sayılı gözlemlerden oluşuyorsa, β iki birimlik
değişmeyi göstereceğinden,
2
12 12 12 12 72tY T T
α β α β= + = +
×
biçimini alır.
Örnek: Bir firmanın üretimden satışları 1000 TL cinsinden aşağıdaki gibidir.
T 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011
Y 125 146 158 162 179 190 185 205 220 210 235
2001-2011 döneminde 30 Haziran 2006 tarihi orijin olarak alındığında, yıllık trend
denklemi,
tY =183.1818+9.8545T
şeklinde tahmin edilmiştir. Burada
117
2015183.1818
11tY
tα = = =∑
olarak bulunmuştur. Firmanın yıllık satış rakamları aylık satışların toplamı olarak derlendiğine
göre aylık trend denklemini oluşturalım. Bunun için önce α parametresi 12’ye bölünerek
(183.1818/12=15.26515)aylık değer bulunur. Ardından β , 12×12’ye (9.8545/144=0.0684)
bölünmelidir. Böylece aylık trend denklemi;
tY =15.26515+0.0684T
olarak tahmin edilir. Buradan satışlar serisinin örneğin 15 Kasım 2012 tarihinin satış rakamı
15 11 2012
30 06 2006
15 gün 04 ay 6 yıl uzaklık için (6×12)+4+0.5=76.5 ay sonraki değer olacağından;
15 2012ˆ
kasımY =15.26515+0.0684(76.5)=20.49775
olacaktır.
Özetleyecek olursak;
118
Gözlem Sayısı
Tek ise; Çift İse;
Yıllık
Değerler Aylık
Değerlerin
Ortalamalarından
Oluşuyorsa; 12tY Tβ
α= + 6tY Tβ
α= +
Toplamlarından
Oluşuyorsa; 12 144tY T
α β= + 12 72tY T
α β= +
1.7. Mevsimsel ve Aylık Değerlerin Yıllık Verilere Dönüştürülmesi
Ekonomik zaman serileri yıllık değerlerden aylıklara dönüştürüldüğü gibi, mevsimsel
ve aylık değerler de gerektiğinde yıllık değerlere dönüştürülmelidir. Bu dönüştürme sırasında
da üç farklı yöntem uygulanmaktadır.
• Mevsimsel veya Aylık Değerlerin Toplamı Alınarak Yapılan Dönüştürme
Aylık değerlerin toplamından yola çıkılarak yıllık değerlerin bulunması genellikle gelir,
yatırım veya tüketim serilerine uygulanmaktadır. Örneğin aylık kazancı 1800 TL olan bir
ücretlinin yıllık kazancı 1800#12=21600 TL olarak hesaplanacaktır. Aynı şekilde bir ihracat
firması her mevsim 250 ton mal ihraç ediyorsa, yıllık ihracatı 250#4=1000 ton olacaktır.
• Mevsimsel veya Aylık Değerlerin Ortalaması Alınarak Yapılan Dönüştürme
Mevsim ve aylar itibariyle değişim gösteren serilerin yıllıklara dönüştürülmesinde
ortalamalar alınmaktadır. Örneğin bir inşaat firması her mevsimde farklı sayıda eleman
istihdam ediyorsa, yıllık ortalama çalışan sayısı alınmalıdır. Bu firma ilkbaharda 70, yazın 100
kişi sonbaharda 50 ve kışın 40 kişi çalıştırıyorsa, yıllık ortalama (70+100+50+40)/4=65 kişi
çalıştırmaktadır. Ortalama yöntemi istihdam edilen işçi sayısı ve borsa verileri gibi serilerin
yıllık değerlere dönüştürülmesinde kullanılmaktadır.
• Geometrik Ortalama Yöntemi;
Bu yöntem genellikle faiz oranı, işsizlik oranı, TÜFE, Sanayi Üretim endeksi gibi oran
şeklindeki verilerin dönüştürülmesinde kullanılmaktadır. Mevsimsel verilerin yıllıklara
dönüştürülmesinde;
119
41 2 3 4tY Y Y Y Y=
şeklindeki geometrik ortalama formülünden yararlanılır. Aynı şekilde aylıkların yıllığa
dönüştürülmesinde 12 ayın geometrik ortalaması alınacağından;
121 2 12...tY Y Y Y=
formülü kullanılmalıdır.
120
Uygulamalar
121
Uygulama Soruları
122
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
123
Bölüm Soruları
1)
X 34 30 29 27 26.5 25 24 24.5 25 26 26.8 24 23
Serisinin S eğrisine uyduğu varsayımı ile trend modelini tahmin ediniz ve
parametrelerini yorumlayınız.
2)
Z 10 15 20 32 44 56 67 78 85 96 100 112 132
Serisinde 1999-2011 döneminde yıllık değerlerin aylık değerlerin ortalamasından
hesaplandığı varsayımı ile veriye orijin kaydırma yöntemi uygulayarak 30 Haziran 2005 tarihini
orijin kabul ederek,
a. 15 Haziran 2005 tarihinin aylık değerini
b. 15 Kasım 2012 tarihinin değerini tahmin ediniz.
3)
Z 24 30 42 45 50 56 67 78 85 96 100 105 110
Serisinde 1999-2011 döneminde yıllık değerlerin aylık değerlerin toplamından
hesaplandığı varsayımı ile veriye orijin kaydırma yöntemi uygulayarak 30 Haziran 2005 tarihini
orijin kabul ederek,
a. 15 Haziran 2005 tarihinin aylık değerini
b. 15 Kasım 2012 tarihinin değerini tahmin ediniz.
4)
5)
6)
124
7)
8)
9)
10)
Cevaplar
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
125
6. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-IV
126
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
6.1.
6.2.
6.3.
127
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
128
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
129
Anahtar Kavramlar
130
Giriş
Bu hafta trend denkleminin öngörüde kullanılması durumunda başvurulan kriterler
kısaca açıklanmıştır. Ayrıca Türkiye’nin mal ihracatı serisine uygun model seçimi yapılmaya
çalışılmış ve alternatif modeller tahmin edilerek aralarından en uygun olanı seçilmiştir. Ayrıca
çözümlü problemlerle sunulmuştur.
131
1.8. Trend Analizinin Gelecek Tahmininde Kullanımı
Ekonomik zaman serilerinin trendinin analiz edilmesi yalnızca inceleme dönemindeki
gelişmeleri belirlemek, diğer bir ifadeyle yapıyı analiz etmek ve mevcut durumu tespit etmek
amacıyla yapılmaz. Klasik zaman serisi analizlerinin gelişimi incelendiğinde, analizlerin önce
mevcut durumu saptamakla yetindiği, ancak zamanla bilgisayar teknolojisinin de gelişimi ile
yapılan modelleme çalışmalarında gelecek tahminin önemli bir yer tuttuğu görülmektedir.
Trend analizleri öncelikle veri kümesi için uygun fonksiyonel kalıbın bulunması ve
inceleme dönemini modelleme amacına yöneliktir. Burada kullanılan uygun model ister
doğrusal model olsun, ister çeşitli dönüşümlerle doğrusallaştırılan modeller olsun, klasik zaman
serisi analizlerinde genellikle en küçük kareler tahmin yöntemi ile parametreleri tahmin
edilebilmektedir.
En küçük kareler yöntemi ile tahmin yapıldığında, tahmin edilen parametreler yalnızca
inceleme dönemini temsil eden birer ortalama değerden ibarettir. İnceleme dönemindeki tüm
gözlem değerleri kullanılarak yapılan en küçük kareler tahminleri merkezi hareketli ortalamalar
yöntemi ile kıyaslandığında serinin başından ve sonundan veri kaybına yol açmaz. Bununla
birlikte uygulanacak fonksiyon tipinin veri kümesine uygun olarak belirlenmesi gerekmektedir.
Aksi takdirde ne başarılı tahminden, ne de başarılı öngörüden söz edilebilir. Ancak yine de
fonksiyonun mevcut durumu başarı ile modellemesi, geleceği başarı ile öngörmesi anlamına
gelmez. Burada önemli bir ayrım vardır. Öyle ki fonksiyon tahmin dönemine uygun olsa bile
öngörü dönemine uymadığı takdirde öngörü başarısından söz edilemez. Bu uyumsuzluğu
ortadan kaldırmak amacıyla ilk önce zamana bağlı olarak çizilen grafiğindeki dönüm noktaları,
maksimum ve minimum noktaları doğru belirlenmelidir. İnceleme döneminde ekonomik zaman
serisinin taşıdığı konjonktür devrelerinin uzunlukları, her devrenin başlangıç ve bitiş yılları
önemlidir. Trend tahmini bir minimumla başlayıp, bir maksimumla biten dönemde yapılırsa,
söz konusu dönemde artış yaratan eğim de güçlü ise, tepe noktasından hemen sonra gerçek veri
kümesi konjonktürün yavaşlama dönemine gireceğinden yapılan tahmin gerçekleşmenin
üstünde kalacaktır. Maksimumla başlayan dönemlerde de minimuma doğru bir hareket
olacağından, aynı durum bu kez azalan trend doğrusunda yaşanacaktır.
Gelecek tahminin başarısı inceleme dönemine ait gözlem sayısının artırılması ile de
ilgilidir. Ancak trend analizlerinde bu noktada dikkatli olmak da yarar vardır. Süre gereğinden
uzun tutulduğunda yeni bir trend dönemi ile karşılaşılabilir. Bu nedenle zaman zaman gözlem
sayısını artırmak amacıyla aylık veya üç aylık veri kullanılmaktadır. Böylece aylık veri 12×(10-
15 yıl) yaratılmaktadır. Bu yol izlendiğinde zamanın düzleştirici etkisi ile kısa dönemde
yaşanan anlık hareketler ortadan kalkmayacağı için seriye uygun model bulmak zahmetli
olacaktır. İnceleme dönemi başarılı bir şekilde modellense bile, geleceğin başarılı bir şekilde
tahmin edilmesi, ancak geleceğin geçmişle benzer olmasına bağlıdır. Gelecekte geçmiş
koşullardan önemli bir sapma olursa başarılı bir tahmin mümkün olmayacaktır.
Gelecek tahmininin başarısı kullanılan fonksiyon tipi ile de ilişkilidir. Model incelenen
veri kümesine ne kadar iyi uyum sağlarsa sağlasın, bazı modellerle uzun dönem öngörü yapılsa
bile bazı modeller ancak kısa dönem öngörüde başarılı olmaktadır.
132
Gelecek tahminin başarısını ölçen kriterler ortalama hata kare, ortalama mutlak hata,
ortalama mutlak yüzde hata, ortalama hata karenin kökü ve Theil’in U eşitsizliğidir.
Bu ölçütler ekonomik zaman serisinin ölçü birimine bağımlı olduğundan, farklı
ölçülerde ölçülmüş değişkenlerin öngörülerini kıyaslamak da uygun değildir. Örneğin doğrusal
trend modelinin öngörü başarısı, logaritmik bir modelin başarısı ile bu ölçüler yardımıyla
kıyaslanamaz. Kıyaslama için ya doğrusal modelin logaritmik modele veya logaritmik modelin
antilogaritması alınarak doğrusal modele dönüştürülmesi gerekir.
Öngörü başarısını ölçmekte kullanılan kriterler gerçek değerle öngörülen değer
arasındaki farkı dikkate alır. Bu farka öngörü hatası adı verilmektedir. Öngörülen değer gerçek
değere ne kadar yakınsa o derece başarılı bir gelecek tahmini yapılmış olacağından, öngörü
hatasının minimize edilmesi amaçlanır (I. Akgül, 2003, s.70-78).
1.8.1. Ortalama Hata Kare
Yapılan gelecek tahminlerinin başarısını ölçmekte kullanılan en bilinen ölçütlerden biri
olan ortalama hata kare (OHK), gerçek değerle öngörülen değer arasındaki farkın kareleri
toplamına dayanmaktadır. Buna göre;
( )2 2
1 1
k k
t t tt t
Y F e
OHKk k
= =
−= =∑ ∑
şeklindedir. Burada Yt, gerçek değeri, Ft öngörülen değeri göstermektedir. k ise öngörülen
dönem sayısıdır. OHK yalnızca öngörü başarısında değil aynı zamanda alternatif modeller
arasında seçim yapmakta da kullanılan bir kriterdir. Hangi amaçla kullanılırsa kullanılsın,
ortalama hata karenin minimum olması istenir. OHK mutlak bir ölçüdür.
Öngörü başarısını ölçmekte ayrıca bu ölçütün karekökü de kullanılmaktadır. Kök
ortalama hata kare olarak adlandırılan kriter;
( )2 2
1 1
k k
t t tt t
Y F e
KOHKk k
= =
−= =
∑ ∑
şeklindedir.
133
1.8.2. Yüzde Hata
Nispi bir ölçü olan yüzde hata,
100t t
t
Y FYH
Y
−= ×
şeklinde her dönem değeri için hesaplanabilir. Yüzde hata genellikle mutlak değerce veya
karesi alınarak kullanılmaktadır.
1.8.3. Ortalama Mutlak Hata
Ortalama mutlak hata (OMH), öngörü hatalarının mutlak değerleri yardımıyla
1 1
k k
t t tt t
Y F e
OMHk k
= =
−= =∑ ∑
şeklinde hesaplanır.
1.8.4. Ortalama Mutlak Yüzde Hata
Ortalama mutlak yüzde hata yüzde hataların mutlak değerlerinin toplamı olarak
hesaplanmaktadır.
1
100k
t t
t t
Y F
YOMYH
k
=
−×
=∑
Nispi bir ölçü olması nedeniyle en yaygın olarak kullanılan kriterlerdendir.
1.8.5. Theil’in U Eşitsizliği
Gelecek dönem geçmiş döneme (Yt=Yt-1) biçiminde eşit olacak varsayımı ile tahmin
edilen ilk model ile kurulan diğer öngörü modelini kıyaslayan U eşitsizliği;
134
( )
( )
2
1
2
11
k
t ttk
t tt
Y F
U
Y Y
=
−=
−=
−
∑
∑
şeklinde hesaplanır. Theil’in U katsayısı için:
• U>1 ise, ikinci model ilk modelden başarısızdır.
• U<1 ise, ikinci model ilk modelden başarılıdır.
• U=0 ise, ikinci model başarılıdır.
denilmektedir.
Bütün bu kriterlerin hesaplanabilmesi için öncelikle kurulan modelde yer alan bağımsız
değişkenin değerinin bilinmesi ve sonra modelden bağımlı değişkenin tahmin edilmesi, tahmin
edilen bağımlı değişkenin de gerçekleşmeleri ile kıyaslanmaları gerekir.
Trend analizlerinde tahmin edilen modelin başarısı klasik regresyon modellerinde
kullanılan anlamlılık testleri ile de ölçülmektedir. Bu modellerde parametrelerin anlamlılığı
daha önce de söz edildiği gibi t ve F testleri sınanmaktadır. Ayrıca belirlilik katsayısı R2 ve
korelasyon katsayısı r değeri ile, bu katsayıların anlamlılık sınamaları yapılarak da tahmin
edilen modellerin başarısı ölçülebilir. Elbette zaman serisi analizlerinde tahmin edilen modeller
bütün regresyon modelleri gibi temel varsayımları izlemelidir. Bu modellerde de hata terimi
sıfır ortalama ve sabit varyansla normal dağılıma uymalıdır. Hata teriminin rastsallığı
parametrik veya parametrik olmayan testler örneğin akış testleri ile sınanmalıdır.
1.9. Uygulamalar
Örnek: Aşağıda Türkiye’nin yıllık mal ihracat rakamları (milyon $) olarak verilmiştir.
Buna göre uygun trend modelini tahmin ediniz.
135
Yıllar
Mal İhracatı
Milyon $
1997 32647
1998 31220
1999 29325
2000 30721
2001 34373
2002 40124
2003 51206
2004 67047
2005 78365
2006 93611
2007 115361
2008 140800
2009 109647
2010 120902
2011 143397
Buna göre önce serinin grafiğini çizelim.
136
Grafikten de görüldüğü gibi ihracat serisi aslında doğrusal değildir. ancak yine de önce
doğrusal trend ve ardından kuadratik ve kübik modelleri deneyelim. Bütün model
denemelerinde de T=15 yıl olduğundan tek sayılı gözlemlere uygulandığı gibi 2004 yılına sıfır
atayarak ve 30. Haziran 2004 tarihini orijin kabul ederek, -2,-1,0,1,2 şeklinde orijin kaydırması
uygulayalım.
Buna göre doğrusal trend modelinin en küçük kareler tahmincileri
tY = 74583.07+9044.161 T
t: (20.23) (10.60) R2=0.896 2te =∑ 2649770766
modelin tüm parametreleri anlamlıdır. R2 değeri yüksektir. Yine de söz konusu seri için
doğrusal trend denkleminin uygun olmadığı düşünüldüğünden, alternatif modeller
denenecektir. Denenen ilk model kuadratik modeldir.
Kuadratik denklemin en küçük kareler tahmincileri
tY = 68021.79+9044.161T+351.4970T2
t: (13.102) (11.332) (1.6905) R2=0.916 2te =∑ 2140085221
Kübik denklemin en küçük kareler tahmincileri
ˆtY = 68021.79+13414.48T+351.497T2−130.848T3
T: (17.04) (8.607) (2.199) (−3.05) R2=0.9546
2te =∑ 1159328188
Mal ihracatı serisi ayrıca üssel model ile de tahmin edilmiştir. Üssel model
tTtY e eεβα=
şeklinde olup,
137
ln lnt tY Tα β ε= + +
şeklinde doğrusallaştırılabilir. Buradan normal denklemler
ln lntY t Tα β= +∑ ∑
2ln lntT Y T Tα β= +∑ ∑ ∑
şeklinde olur. 0T =∑ olacak şekilde tahmin yapıldığında ise,
lnln tY
tα = ∑
ve 2
ln tT Y
Tβ = ∑
∑ olur.
Buna göre mal ihracatı serisinin üssel tahminini yapabilmek için
Yt T T2 LnYt TLnYt
32647 -7 49 10.39351 -72.7546
31220 -6 36 10.34881 -62.0929
29325 -5 25 10.2862 -51.431
30721 -4 16 10.3327 -41.3308
34373 -3 9 10.44503 -31.3351
40124 -2 4 10.59973 -21.1995
51206 -1 1 10.84361 -10.8436
67047 0 0 11.11315 0
78365 1 1 11.26913 11.26913
93611 2 4 11.4469 22.89381
115361 3 9 11.65582 34.96746
140800 4 16 11.8551 47.42038
109647 5 25 11.60502 58.02511
120902 6 36 11.70274 70.21641
143397 7 49 11.87337 83.11361
Toplamlar: 0 280 165.7708 36.91853
değerlerinden
138
ln 165.7708ln 11.05139
15tY
tα = = =∑
2
ln 36.918530.131852
280tT Y
Tβ = = =∑
∑
ˆln tY =11.05139+0.131852T
t: (243.74) (12.56) R2=0.9239 2te =∑ 0.400873
olarak tahmin edilir. lnα = 11.05139 olduğundan antilogartması alınarak, α = 63031.50753
olarak bulunur. β parametresi için böyle bir dönüştürmeye gerek yoktur. Böylece mal ihracatı
serisi
0.131852ˆ 63031.50753 TtY e=
olarak tahmin edilir. Bu
modelin hata kareler toplamı yine antilogaritma alınarak 2te =∑ 1.49312 şeklinde bulunur.
Dikkat edilirse doğrusal, kuadratik ve kübik fonksiyonların hata kareler toplamı bu değerin çok
çok üstündedir.
et ˆln tY ˆ
tY
0.265084 10.12842 25044.76243
0.088538 10.26028 28574.78601
-0.10593 10.39213 32602.03537
-0.19128 10.52398 37196.87383
-0.21081 10.65583 42439.29581
-0.18795 10.78768 48420.56988
-0.07592 10.91954 55245.38022
0.061761 11.05139 63031.50753
0.085893 11.18324 71914.98957
0.131811 11.31509 82050.48438
0.208878 11.44694 93614.44711
0.2763 11.5788 106809.27
-0.10563 11.71065 121862.6659
-0.13976 11.8425 139037.6446
-0.10098 11.97435 158633.2162
Σ=2.53E-14 Σ=165.7708
139
Mal ihracatı serisi için uygun trend modeli üssel büyüme modelidir. Ancak bu modelin
parametrelerinin de anlamlılığı sınanmalıdır. Bunun için thes=243.74 thes= 12.56 değerleri tablo
değerleri olan ttab=t(15-2),0.01/2=3.012 ile kıyaslandığında, istatistiksel olarak anlamlı oldukları
görülür. Modelin belirlilik katsayısı da çok yüksektir. Mal ihracatı serisi için üssel model tercih
edilmelidir.
Model öngörü amaçlı kullanılırsa 2012 yılı için trend değerine 8 verilerek,
0.131852 0.131852(8)ˆ 63031.50753 63031.50753 180991.618TtY e e= = = olur.
Örnek: Bir ekonomik zaman serisi için aylık değerlerin toplamından oluşan yıllık
değerler kullanılarak 1999-2011tarihleri arasında trend denklemi 30. Haziran. 2005 tarihi orijin
alınarak,
ˆ 360 288tY T= +
olarak tahmin edilmiştir. Buna göre serinin aylık değişme hızı nedir?
Yıllık veri aylık değerlerin toplamı olarak hesaplandığında, analiz edilen dönem tek
sayılı gözlemlerden oluşuyorsa,
12 144tY T
α β= +
şeklinde yıllık değerler aylık değerlere dönüştürülür. Bu durumda aylık değişme hızı
2882
144 144
β= = olur. Trend denklemi değişimin pozitif olduğunu gösterdiğine göre, aylık
artış 2 birim olur.
Şimdi aylık trend denklemini yazalım. Bunun için ayrıca 360
3012 12
α= =
dönüştürmesi de yapılmalıdır. Böylece aylık trend denklemi
tY =30+2T
olur. 30 Haziran tarihi orijin olduğuna göre, ancak aylar 15. günleri ile temsil edildiğinden, 15
Haziran 2005 tarihini tahmin edelim. Bunun için önce 15 günlük değişim hesaplanmalı.
140
15 günlük değer 2/2=1 birimdir.
15 Haziran 2005 tarihi için trend değeri ˆtY =30−1=29 birim bulunur. Aynı şekilde 15
Temmuz 2005 tarihi için trend değeri ˆtY =30+1=31 birim bulunur.
Şimdi de Ocak 2005 tarihi için aylık trend değerini hesaplayalım. Öncelikle Ocak ayı
da 15. günü ile temsil edildiğinden, 15 Ocak tarihinin orijine olan uzaklığı bulunmalı.15 Ocak
2005 ile 30 Haziran 2005 tarihi arasında 5.5 ay fark olduğuna göre;
Ocak 2005 için aylık trend değeri ˆtY =30+2(−5.5)=19 birim olacaktır.
Şimdi de 15 Kasım 2012 tarihi için aylık değeri öngörelim. Bu tarih
15 11 2012
30 06 2005
15 gün 04 ay 7 yıl uzaklık için (7×12)+4+0.5=84+4+0.5=88.5 ay sonraki değer
olacağından;
ˆtY =30+2(88.5)=207 birim olur. Bu şekilde bütün dönem için aylık değerler tek tek
hesaplanabilir. Yıllık değerler aylık değerlerin toplamından oluştuğundan, her yıl 12 aya ait
rakam toplanarak o yıla ait toplam değer oluşturulur.
141
Uygulamalar
142
Uygulama Soruları
143
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
144
Bölüm Soruları
1) Bir ekonomik zaman serisinin 1998-2011 döneminde yıllık değerlerin aylık
değerlerin ortalamasından hesaplandığı varsayımı ile veriye orijin kaydırma yöntemi
uygulayarak 30. haziran 2005 tarihini orijin kabul ederek, tahmin edilen trend denklemi ˆtY =
65−48T’dir. Buna göre;
a. 15 Haziran 2005 tarihinin aylık değerini
b. 15 Kasım 2012 tarihinin değerini tahmin ediniz.
2) Bir ekonomik zaman serisinin 1998-2011 döneminde yıllık değerlerin aylık
değerlerin toplamından hesaplandığı varsayımı ile veriye orijin kaydırma yöntemi uygulayarak
30. haziran 2005 tarihini orijin kabul ederek, tahmin edilen trend denklemi ˆtY = 480−216 T
şeklindedir. Buna göre;
a. 15 Haziran 2005 tarihinin aylık değerini
b. 15 Kasım 2012 tarihinin değerini tahmin ediniz.
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Cevaplar
1)
2)
145
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
146
7. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-V
147
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
7.1.
7.2.
7.3.
148
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
149
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
150
Anahtar Kavramlar
151
Giriş
Bu hafta ekonomik zaman serilerinde gözlenemeyen unsurlardan mevsimsel etki, bu
etkinin ortaya çıkış nedenleri üzerinde durulacaktır. Mevsimsel etki taşıyan bir serinin bu
etkiden arındırılması için gerekli işlemler açıklanacaktır. Toplamsal ayrıştırma modeline göre
bir serinin mevsimsel düzeltmesi yapılarak, mevsim endeksi oluşturulacaktır.
152
2.1. Mevsim Etkisinin Belirlenmesi
Yıl içinde meydana gelen, sistematik, istikrarlı, genellikle takvimle ilgili dönemsel ve
devri karakterdeki etkilerdir. Aylık, üç aylık hatta haftalık veya günlük dalgalanmalar halinde
görülebilirler. Mevsimsel dalgalanma zaman serilerinde çeşitli nedenlerden kaynaklanabilir. Bu
nedenlerden biri takvimle ilgilidir. Resmi tatiller, vergi ödeme dönemleri, yılbaşı gibi bu tip
nedenler oldukça istikrarlı etkilerdir. Ayrıca bir de dini bayramların etkisi vardır ki, bu
bayramlar Hicri takvime göre belirlendiğinden hareketli tatil etkisi yaratırlar. Şubat ayının bazı
yıllarda 29 gün sürmesi ise artık yıl etkisi olup, istikrarsız bir etkidir. Ayrıca aylardaki gün
sayısının farklı olması dolayısıyla çalışma günlerinin farklılaşması ekonomik zaman serilerinde
mevsim etkisi yaratmaktadır.
Mevsimlerin doğal döngüsü de mevsimsel etki yaratmaktadır. Örneğin yazın dondurma
satışlarının artması ve kışın yakıt giderlerinin artması gibi. Mevsimlerin doğal döngüsü tarım,
inşaat, nakliye gibi ekonomik sektörleri etkilemektedir. Bazı idari ve mali kararlar da
mevsimsel etki yaratmaktadır. Okulların açılma dönemleri, vergi dönemleri gibi. Bu etkilerin
biri veya birkaçı mevsimsel etki yaratır. Etkiler değiştikçe serilerde görülen mevsimselliğin
yapısı da değişir.
Mevsimsellik aylık veya üç aylık veride belli bir modelden bağımsız yıl içinde
tekrarlayan sıklık bazlı hareketlerdir. Sıklık bazlı serilerde zaman serisinin belli dalga
boylarıyla sinüzoidal hareketler izlediği görülmektedir. Mevsimsellik deterministik ve
stokastik mevsimsellik olarak incelenebilir. Deterministik mevsimsellik yıl içinde ilgili mevsim
veya ayda serinin ortalamasında meydana gelen değişimdir. Deterministik mevsimsellik
genellikle kukla değişkenler kullanılarak,
1 1 2 2 ...t t t t k k tY D D D Dα ε α α α ε= + = + + + +∑
modellenebilir. Dt mevsimsel kukla değişkeni gösterirken, tε sıfır ortalama ve sabit varyanslı
hata terimidir. Stokastik mevsimsellik ise, serinin cari değerinin kendi geçmiş değerleri ve
rastlantısal şokların toplamı olarak tanımlanmasıdır.
Ekonomik zaman serisi analizlerinde aylık veya mevsimlik veri kullanıldığında, serinin
mevsimsel etki taşıyıp taşımadığı araştırılmalıdır. Mevsimsel etki taşıyan serilerde ise bu
etkinin ne türden olduğu araştırılmalıdır. Bir ekonomik zaman serisinde uygulanacak
politikaların geliştirilmesinde ve kararların alınmasında serinin uzun dönemli trendi ve orta
vadeli konjonktür dalgalanmalarını tahmin etmek gerekir. Ancak daha önce zaman serileri
içerdikleri kısa vadeli mevsimsel hareketlerden ve düzensiz unsurlardan arındırılmalıdır.
Mevsimsel etkinin belirlenmesi kısa dönem öngörü yapmak, incelenen ekonomik zaman
serisini analiz etmek ve seriyi mevsimsel etkilerden analiz etmek için gereklidir.
Şimdi önce mevsimsel etki yaratan nedenlerin özelliklerini kısaca açıklayalım.
Mevsimsel etki takvimle ilgili nedenler dolayısıyla ortaya çıkabilir. Bu etki takvimdeki ayların
farklı uzunluklara sahip olması nedeniyle ortaya çıkar. Takvimde en kısa ay 28 gün olup, diğer
153
aylar 29, 30 ve 31 gün sürmektedir. Bu durum ekonomik faaliyetleri etkiler. Özellikle 28 gün
süren Şubat ayından sonra 31 gün süren Mart ayındaki örneğin üretim, satışlar gibi faaliyetlerin
aynı miktarda olması beklenemez. Ayları uzunluğunun farklı olması ay içindeki bileşimin de
değişik olmasına neden olduğundan, ekonomik faaliyetler bu nedenle de etkilenir. Bir başka
etki ticari gün etkisidir. Ayların kendi içinde haftanın belli bir gününe kaç kere sahip olduğu ile
ilgili etki ticari gün etkisidir. Özellikle beş çalışma gününün ve cumartesi günü de dahil ticari
günlerin sayısı değiştikçe ekonomik faaliyetlerin miktarı da değişmektedir. Hareketli tatil etkisi
adı verilen etki ise, dini bayramların Hicri takvime dayanması nedeniyle her yıl kayan bir
döngüye sahip olmalarından kaynaklanır.
Ekonomik zaman serilerini oluşturan unsurlar gözlenemeyen unsurlardır. Klasik zaman
serileri analiz edilirken amaç, serinin bu unsurlardan arındırılarak, trendinin tahmin edilmesidir.
Oysa trend bilinmedikçe, mevsimsellik tanımlanamayacak, mevsimsellik düzeltilmedikçe trend
tahmin edilemeyecektir. Bu nedenle zaman serilerinin unsurları iterasyonlarla belirlenerek
ayrıştırılır ve arındırılır.
Mevsimselliğin arındırılmasında kullanılan en basit mevsimsel düzeltme yöntemi
hareketli ortalamalar yöntemidir. Buna göre seriye önce aylık veri kullanılmışsa 12’şerli,
mevsimlik veri kullanılmışsa 4’erli hareketli ortalamalar uygulanır. Böylece oluşturulan
mevsimsel faktörler seriden toplamsal ayrıştırma modeli uygulanmışsa trendden farklar,
çarpımsal ayrıştırma modeli uygulanmışsa trende oranlar alınarak arındırılır.
Ekonomik zaman serisine uygulanacak mevsimsel düzeltmenin hangi aşamada
yapılacağı da önemlidir. İncelenen zaman serileri iki veya daha çok serinin bileşiminden
oluşabilir. Bu tip serilere toplulaştırılmış seriler adı verilmektedir. Özellikle GSMH serisi başta
olmak üzere, makroekonomik zaman serilerinin çoğu bu yapıdadır. Sabit fiyat endeksleri gibi
seriler cari fiyatların uygun bir deflatöre oranlanarak hesaplandığından, aslında bileşik
serilerdir. Bu tip serilere düzeltme yapılırken, iki yol izlenebilir. Seriyi oluşturan bileşenler
değil, toplulaştırılmış seri düzeltilir. Bu düzeltme işlemine doğrudan mevsimsel düzeltme adı
verilir. İzlenen ikinci yol dolaylı mevsimsel düzeltmedir. Bu yöntemde seriyi oluşturan
bileşenler tek tek düzeltildikten sonra, seri toplulaştırılır. Bu yöntemler genellikle serilerde ayrı
ayrı sonuç vermektedir. İki yolun aynı sonucu vermesi için dolaylı düzeltme uygulandığında
serinin alt bileşenlerinin toplanabilirlik özelliğini yitirmemesi gerekir. Oysa alt bileşenler çoğu
kere farklı yönlerde hareket eder. Mevsimsel düzeltmenin nasıl yapılacağı araştırmacılar
tarafından tartışılan bir konudur. İstatistik ofisleri Almanya ve Fransa’da dolaylı düzeltme
uygulamaktadır. A.B.D.’de doğrudan düzeltme uygulanmaktadır. Türkiye’de fiyat endeksi
serilerine doğrudan düzeltme yöntemi uygulanmaktadır.
Mevsimsel düzeltme yöntemleri kolay uygulanabilen yöntemlerdir. Ancak düzeltme
yapılırken bazı noktalara dikkat edilmesi gereklidir. Unutulmamalıdır ki, düzeltme yapılmış
seri orijinal serinin taşıdığı bilgiyi artık taşımaz. Ancak düzeltme yapıldıktan sonra serinin
taşıdığı orijinal trendin bozulmaması gerekmektedir. Üstelik mevsimsel olarak düzeltilmiş çoğu
veride, düzeltmeden sonra hâlâ mevsimsellik görülmektedir.
154
Mevsimsel düzeltme yöntemlerinden en basiti, ilk geliştirilen ve en yaygın olarak
kullanılan yöntem olan mevsim endeksleri oluşturmak yoluyla ekonomik zaman serilerinin
düzeltilmesi yöntemidir.
2.1.1. Mevsim Endekslerinin Oluşturulması
Mevsim endekslerinin oluşturulmasında öncelikle uygun hareketli ortalamalar alınarak
serinin gözlenemeyen unsurları belirlenmeye çalışılmaktadır. Bu unsurlardan düzensiz
hareketleri ortadan kaldırmak için en azından altı veya yedi yıllık aylık veya mevsimlik veriye
ihtiyaç vardır. Mevsim endeksleri toplamsal ayrıştırma modeli uygulandığında trendden farklar
alınarak, çarpımsal ayrıştırma modeli uyguladığında trende oranlar yolu ile seriyi mevsim
etkisinden arındırmaktadır.
2.1.1.1. Mevsim Endeksinin Toplamsal Ayrıştırma Modeline Göre Oluşturulması
Toplamsal ayrıştırma modelinde, daha önce de söylendiği gibi, ekonomik zaman
serilerini oluşturan unsurların her birinin birbirinden bağımsız ve aynı büyüklükte olduğunu
varsayılır. Buna göre herhangi bir tY serisi;
t t t t tY T K M R= + + +
şeklinde söz konusu unsurların toplamından oluşmaktadır. Toplamsal modelde unsurların sıfır
etrafında değiştiği, bu nedenle toplamlarının sıfır olacağı varsayılmaktadır. Böyle olunca
ayrıştırılmak istenen unsurlar tahmin edildikten sonra seriden fark alma işlemi ile arındırılır.
Seriyi oluşturan unsurların birbirinden bağımsız olduğu varsayımı ekonomik zaman serileri için
çok gerçekçi bir varsayım değildir.
Toplamsal ayrıştırma modelinde mevsimsel hareketlerin büyüklüğünün zaman içinde
sabit kaldığı varsayılmaktadır. Buna göre, ayrıştırma şu aşamalardan oluşmaktadır.
• Ekonomik zaman serisi aylık ise 12’şerli üç aylık ise 4’erli hareketli ortalamalar
uygulanır. Böylece seride mevsimsel etki düzeltilmiş ve trend ve konjonktür unsurları
kalmış olur.
• Gerçek seriden ilk aşamada hareketli ortalamalar yoluyla oluşturulan trend-
konjonktür unsurları serisinin farkı alınarak, mevsimsel ve düzensiz etkiler elde edilir.
• Mevsimsel ve düzensiz unsurların etkisini ortadan kaldırmak amacıyla
mevsimsellik ortalamaları alınır.
155
• Mevsimsel tahminlerin toplamı sıfır olmalıdır. Toplam sıfır değilse, sıfır olacak
şekilde düzenleme yapılmalıdır.
• Gerçek veriden mevsimsel tahminlerin farkı alınarak, düzeltilmiş seri
oluşturulur.
• Mevsimsel etkisi düzeltilmiş seri için uygun trend tahmini yapılabilir. Bu trend
denklemi daha sonra öngörü amaçlı kullanılabilir.
Örnek: Türkiye’nin aylık toplam ihracat rakamları milyon $ cinsinden aşağıdaki
gibidir. Söz konusu serinin toplamsal ayrıştırma modeline göre mevsimsel endeksini
oluşturalım.
Yıllar
Toplam
ihracat Yıllar
Toplam
ihracat Yıllar
Toplam
ihracat
Oca.2007 6564.559 Oca.2009 7884.493 Oca.2011 9551.084
Şub.2007 7656.951 Şub.2009 8435.115 Şub.2011 10059.13
Mar.2007 8957.851 Mar.2009 8155.485 Mar.2011 11811.09
Nis.2007 8313.312 Nis.2009 7561.696 Nis.2011 11873.27
May.2007 9147.62 May.2009 7346.407 May.2011 10943.36
Haz.2007 8980.247 Haz.2009 8329.692 Haz.2011 11349.95
Tem.2007 8937.741 Tem.2009 9055.733 Tem.2011 11860
Ağu.2007 8736.689 Ağu.2009 7839.908 Ağu.2011 11245.12
Eyl.2007 9038.743 Eyl.2009 8480.708 Eyl.2011 10750.63
Eki.2007 9895.216 Eki.2009 10095.77 Eki.2011 11907.22
Kas.2007 11318.8 Kas.2009 8903.01 Kas.2011 11078.52
Ara.2007 9724.017 Ara.2009 10054.59 Ara.2011 12477.49
Oca.2008 10632.21 Oca.2010 7828.748 Oca.2012 10349.77
Şub.2008 11077.9 Şub.2010 8263.237 Şub.2012 11749.54
Mar.2008 11428.59 Mar.2010 9886.488 Mar.2012 13210.71
Nis.2008 11363.96 Nis.2010 9396.006 Nis.2012 12634.23
May.2008 12477.97 May.2010 9799.958 May.2012 13136.39
Haz.2008 11770.63 Haz.2010 9542.907 Haz.2012 13241.24
Tem.2008 12595.43 Tem.2010 9564.682 Tem.2012 12842.96
Ağu.2008 11046.83 Ağu.2010 8523.451 Ağu.2012 12844.83
Eyl.2008 12793.15 Eyl.2010 8909.23 Eyl.2012 13013.07
Eki.2008 9722.708 Eki.2010 10963.59
Kas.2008 9395.872 Kas.2010 9382.369
Ara.2008 7721.948 Ara.2010 11822.55
Önce serimizin grafiğini çizelim.
156
İhracat serisinin mevsimsel etki taşıdığı görülmektedir. Bu durumda mevsimsellikten
arındırmak için önce 12’şerli hareketli ortalamalar sonra yeniden 2’şerli hareketli ortalamalar
alınarak uygulandığı gibi çift sayılı hareketli ortalamalar uygulanarak, merkezi hareketli
ortalamalar serisi oluşturulur. Daha sonra ihracat serisinden merkezi hareketli ortalamalar serisi
çıkarılarak mevsim endeksi oluşturmak için gerekli aşamalara gelinir. Bunun için her aya ait
değerler kaç kere tekrarlanmışsa ortalamaları alınarak;
Ocak ayı için: (Ocak2008+Ocak2009+Ocak2010+Ocak2011+Ocak2012)/5=(-53.74-1217.09-
1288.05-940.7-1109.54)/5=(-4609.11)/5=-921.82 ile endeks değerine ulaşılır. Bu şeklide her
ay için endeks değeri hesaplanır. Ancak burada veri kümesinde her ayın aynı sayıda
tekrarlamadığı unutulmamalıdır. Bu veri kümesinde Nisan, Mayıs ve Haziran ayları 4 kez
tekrarladığı için endekslerken 4 gözlemin ortalaması alınmıştır. Böylece oluşturulan her aya ait
değerler
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
Oca
.07
Tem.0
7
Oca
.08
Tem.0
8
Oca
.09
Tem.0
9
Oca
.10
Tem.1
0
Oca
.11
Tem.1
1
Oca
.12
Tem.1
2
Yıllar
İhra
cat
157
Ocak -921.8218
Şubat -431.2214
Mart 482.9129
Nisan 60.38607
Mayıs 135.1213
Haziran 215.3144
Temmuz 533.9802
Ağustos -455.985
Eylül -9.439717
Ekim 441.5205
Kasım -128.9117
Aralık 257.0879
Toplam 178.943675
Toplamsal ayrıştırma modelinde mevsimsel etkilerin toplamının sıfır olması varsayımı
nedeniyle yeniden düzenlenerek; (178.943675/12=14.91197) değeri her aya ait değerden
çıkarılarak örneğin Ocak ayı için (-921.8218-14.91197= -936.73) değeri elde edilir. Aynı işlem
her ay için yapılarak oluşturulan seri mevsim endeksi seridir.
Ocak -936.73
Şubat -446.13
Mart 468.00
Nisan 45.47
Mayıs 120.21
Haziran 200.40
Temmuz 519.07
Ağustos -470.90
Eylül -24.35
Ekim 426.61
Kasım -143.82
Aralık 242.18
Toplam 0
Mevsim endeksi serisi her aya ait toplam İhracat-merkezi hareketli ortalamalar
serisinden çıkarılarak, düzeltilmiş toplam ihracat serisine ulaşılır.
İşlemler aşama aşama aşağıda gösterilmiştir.
158
Yıllar
Toplam
ihracat
Hareketli
Orta.
Merkezi
Har. Ort. Tp.İh.-MHO
Düzltmş.
İhracat
Oca.2007 6564.559 7501.29
Şub.2007 7656.951 8103.08
Mar.2007 8957.851 8489.85
Nis.2007 8313.312 8267.84
May.2007 9147.62 9027.41
Haz.2007 8980.247 8779.84
8939.312
Tem.2007 8937.741 9108.797 -171.06 8418.67
9278.283
Ağu.2007 8736.689 9420.822 -684.13 8761.04
9563.362
Eyl.2007 9038.743 9666.309 -627.57 9063.09
9769.256
Eki.2007 9895.216 9896.367 -1.15 9468.61
10023.48
Kas.2007 11318.8 10162.24 1156.56 11462.6
10301.01
Ara.2007 9724.017 10417.27 -693.26 9481.84
10533.54
Oca.2008 10632.21 10685.94 -53.74 11568.9
10838.35
Şub.2008 11077.9 10934.6 143.30 11524
11030.86
Mar.2008 11428.59 11187.29 241.30 10960.6
11343.72
Nis.2008 11363.96 11336.54 27.43 11318.49
11329.35
May.2008 12477.97 11249.23 1228.74 12357.76
11169.1
Haz.2008 11770.63 11085.69 684.95 11570.23
11002.27
Tem.2008 12595.43 10887.78 1707.65 12076.36
10773.29
Ağu.2008 11046.83 10663.17 383.66 11517.73
10553.06
Eyl.2008 12793.15 10416.68 2376.47 12817.5
10280.3
Eki.2008 9722.708 10121.87 -399.16 9296.099
9963.444
159
Kas.2008 9395.872 9749.629 -353.76 9539.696
9535.814
Ara.2008 7721.948 9392.441 -1670.49 7479.772
9249.068
Oca.2009 7884.493 9101.581 -1217.09 8821.227
8954.094
Şub.2009 8435.115 8820.472 -385.36 8881.248
8686.85
Mar.2009 8155.485 8507.165 -351.68 7687.484
8327.48
Nis.2009 7561.696 8343.025 -781.33 7516.222
8358.569
May.2009 7346.407 8338.033 -991.63 7226.198
8317.497
Haz.2009 8329.692 8414.69 -85.00 8129.29
8511.884
Tem.2009 9055.733 8509.561 546.17 8536.665
8507.238
Ağu.2009 7839.908 8500.077 -660.17 8310.805
8492.915
Eyl.2009 8480.708 8565.04 -84.33 8505.06
8637.166
Eki.2009 10095.77 8713.595 1382.17 9669.159
8790.025
Kas.2009 8903.01 8892.256 10.75 9046.834
8994.487
Ara.2009 10054.59 9045.038 1009.55 9812.415
9095.589
Oca.2010 7828.748 9116.795 -1288.05 8765.482
9138.001
Şub.2010 8263.237 9166.482 -903.24 8709.37
9194.963
Mar.2010 9886.488 9212.818 673.67 9418.487
9230.673
Nis.2010 9396.006 9266.832 129.17 9350.532
9302.991
May.2010 9799.958 9322.964 476.99 9679.749
9342.938
Haz.2010 9542.907 9416.603 126.30 9342.505
9490.268
Tem.2010 9564.682 9562.032 2.65 9045.614
160
9633.796
Ağu.2010 8523.451 9708.624 -1185.17 8994.348
9783.453
Eyl.2010 8909.23 9863.645 -954.41 8933.582
9943.836
Eki.2010 10963.59 10047.06 916.53 10536.98
10150.27
Kas.2010 9382.369 10197.92 -815.55 9526.193
10245.56
Ara.2010 11822.55 10320.85 1501.70 11580.38
10396.15
Oca.2011 9551.084 10491.78 -940.70 10487.82
10587.42
Şub.2011 10059.13 10700.83 -641.70 10505.26
10814.23
Mar.2011 11811.09 10890.95 920.13 11343.08
10967.68
Nis.2011 11873.27 11007 866.27 11827.79
11046.31
May.2011 10943.36 11116.99 -173.62 10823.15
11187.66
Haz.2011 11349.95 11214.95 135.00 11149.55
11242.24
Tem.2011 11860 11275.52 584.49 11340.94
11308.8
Ağu.2011 11245.12 11379.23 -134.11 11716.02
11449.66
Eyl.2011 10750.63 11507.98 -757.36 10774.98
11566.3
Eki.2011 11907.22 11598.01 309.21 11480.61
11629.71
Kas.2011 11078.52 11721.09 -642.56 11222.35
11812.46
Ara.2011 12477.49 11339.55 1137.94 12235.31
10866.64
Oca.2012 10349.77 11459.31 -1109.54 11286.5
12051.98
Şub.2012 11749.54 12118.64 -369.10 12195.67
12185.29
Mar.2012 13210.71 12279.56 931.15 12742.71
12373.83
Nis.2012 12634.23 12588.76
161
May.2012 13136.39 13016.18
Haz.2012 13241.24 13040.84
Tem.2012 12842.96 12323.89
Ağu.2012 12844.83 13315.72
Eyl.2012 13013.07 13037.42
162
Uygulamalar
163
Uygulama Soruları
164
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
165
Bölüm Soruları
1) Türkiye’nin Ocak 2007 –Eylül 2012 dönemleri için aylık Toplam İthalat (milyon $)
serisini bularak, ( www.tuik.gov.tr veya www.tcmb.gov.tr sitelerinden veriye ulaşabilirsiniz.)
mevsim endeksini hesaplayınız ve mevsimsel etkilerden toplamsal ayrıştıma modeli varsayımı
ile arındırınız.
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Cevaplar
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
166
167
8. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-VI
168
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
8.1.
8.2.
8.3.
169
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
170
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
171
Anahtar Kavramlar
172
Giriş
Bu hafta ekonomik zaman serilerinde gözlenemeyen unsurlardan mevsimsel etki taşıyan
bir serinin bu etkiden arındırlması için gerekli işlemler açıklanacaktır. 7. haftada toplamsal
ayrıştıma modeline göre mevsimsel düzeltmesi yapılarak, mevsim endeksi oluşturulan ihracat
serisi için uygun trend modeli tahmin edilecektir. Ardından aynı seri çarpımsal ayrıştırma
modeline göre mevsimsel etkiden arındırılarak, yine uygun trend modeli tahmin edilecektir.
Böylece toplamsal ve çarpımsal ayrıştırma modelleri yardımıyla tahmin edilen trend modelleri
arasında ihracat serisini mevsimsel etkiden arındıran optimal model belirlenecektir.
173
Böylece Ocak 2007-Eylül 2012 ihracat serisini mevsimsellikten arındırmak için
toplamsal ayrıştırma modeline göre oluşturulan mevsim endeksi serisi gerçek seriden
çıkarılarak düzeltilmiş ihracat sütunu elde edilir. Son aşamada mevsimsel etkiden arındırılan
seriler için uygun trend modeli tahmin edilerek öngörü yapılmalıdır. Ancak öncelikle
oluşturulan mevsim endeksi serisi daha yakından incelenmelidir. Burada mevsim endeksi
grafiği çizildiğinde ihracat serine ayların etkisi görülecektir. Mevsim endeksi serisini yeniden
hatırlarsak;
Ocak -936.73
Şubat -446.13
Mart 468.00
Nisan 45.47
Mayıs 120.21
Haziran 200.40
Temmuz 519.07
Ağustos -470.90
Eylül -24.35
Ekim 426.61
Kasım -143.82
Aralık 242.18
Toplam 0
Toplamsal ayrıştırma modeline göre mevsimsel etkiler sıfır etrafında
merkezileştiğinden herhangi bir ayın değeri sıfır olursa o ay ihracat serisinde mevsim etkisi
olmadığı söylenecektir. Buna göre mevsimsel etkinin en az olduğu ayların nisan ve eylül ayı
olduğu görülmektedir. Mart ayında mevsimsel etki pozitif, yani ihracatı artıcı yönde iken,
Mevsim Endeksi
-1200.00
-1000.00
-800.00
-600.00
-400.00
-200.00
0.00
200.00
400.00
600.00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
174
Ağustos ayında negatif, yani ihracatı azaltıcı yöndedir. İhracat serisinde mevsimsel etkinin en
yüksek olduğu ay ise Ocak ayı olup, bu etki negatiftir. Mevsimsel dalgalanmalar ihracat serisine
beş ay azaltıcı yönde etki ederken, yılın yedi ayında artırıcı yönde etki etmektedir. Bu şekilde
ihracat serisi ve mevsimsellikten arındırılan ihracat serisi aynı grafikte yer aldığında, mevsimsel
etkiden arındırılmış seride hâlâ dalgalanmalar olduğu görülmektedir. Mevsim etkisinden
arındırılmış seride görülen bu dalgalanmalar iki nedenle oluşabilir. Bunlardan biri serinin
taşıdığı orta vadeli konjonktürel dalgalanmaların hâlâ varlığını koruması olabilir. İkinci olarak
ise toplamsal ayrıştırma modelinin ihracat serisine uygun olmaması nedeniyle serinin
mevsimsellikten tam olarak arındırılamayışından kaynaklanabilir. Dolayısıyla bu nedenler
araştırılmalıdır.
Yine de ihracat serisi için uygun trend modeli tahmin edilerek, ihracatın öngörüsü
yapılmalıdır. Bu grafikten de görüldüğü gibi trend modeli eğrisel olmalıdır. Buna göre Ocak
2007 tarihine sıfır değeri atanarak, düzeltilmiş ihracat serisinin kuadratik model ile tahmini;
Dihracat= 9851.328−63.915T+1.619T2
t: (21.85) (−2.085) (3.715) R2:0.427,
olarak yapılmıştır. Görüldüğü gibi tüm parametreler istatistiksel olarak anlamlıdır. Ancak
modelin açıklayıcılık gücünü gösteren belirlilik katsayısı R2 oldukça düşüktür. Yapılan
tahminin veriye uyumuna bakıldığında ise;
175
Özellikle ilk dönemlerde uyumun yakalanamadığı ve üçüncü dereceden bir fonksiyonun
daha uygun olacağı görülmektedir. Bu nedenle kübik model ile de tahmin yapılmıştır. Buna
göre;
Dihracat= 8592.578+166.673T−6.919T2+0.083T3
176
t: (15.96) (2.414) (−2.92) (3.657) R2:0.525, 2 90323483ie =∑
Burada da tüm parametrelerin istatistiksel olarak anlamlı olduğu belirlenmiştir. Ancak
yine belirlilik katsayısı orta düzeyde açıklayıcılık göstermektedir. Grafikten de görüldüğü gibi
özellikle son dönemde gerçek değerlerin tahmin edilen verinin altında kaldığı görülmektedir.
Toplamsal ayrıştırma modeli her unsurun birbirinden bağımsız ve aynı büyüklükte olduğunu
varsaydığından, ekonomik zaman serilerine çok uygun olmadığı bilinmektedir. Bu nedenle
ihracat serisine çarpımsal ayrıştırma modeline göre mevsimsellikten arındırma uygulanmıştır.
2.1.1.2. Mevsim Endeksinin Çarpımsal Ayrıştırma Modeline Göre Oluşturulması
Çarpımsal ayrıştırma modeli, daha önce de söylendiği gibi ekonomik zaman serisini
oluşturan gözlenemeyen unsurların her birinin mutlak büyüklüğünün birbiri ile bağımlı olduğu
varsayımına dayanmaktadır. Bu varsayıma göre diğer unsurlar serinin ortalamasına, diğer bir
deyişle trendine bağlı ve 100 etrafında değiştikleri düşünüldüğünden, ayrıştırma için trendin
bir oranı şeklinde alınmaktadırlar. Mevsimsel dalgalanmaların toplamı da, çarpımsal
modellerde yine bu nedenle 1 olmaktadır. Çarpımsal ayrıştırma modeli tY serisini;
177
t t t t tY T K M R= × × ×
şeklinde unsurların çarpımı olarak tanımlamaktadır. Bu modelde seriye trendin mutlak, diğer
unsurların oransal (yüzdelik) etkisi olduğu varsayılmaktadır. Unsurların birbirine bağımlı
olduğu varsayımı pek çok zaman serisi için geçerlidir. Bu nedenle zaman serileri ayrıştırılırken
genellikle çarpımsal model tercih edilir.
Buna göre, trende veya hareketli ortalamaya oranlar olarak adlandırılan ayrıştırma şu
aşamalardan oluşmaktadır:
• Ekonomik zaman serisi aylık ise 12’şerli üç aylık ise 4’erli hareketli ortalamalar
uygulanır. Böylece seride mevsimsel etki düzeltilmiş ve trend ve konjonktür unsurları
kalmış olur.
• Gerçek seri ilk aşamada hareketli ortalamalar yoluyla oluşturulan trend-
konjonktür unsurları serisine oranlanarak, mevsimsel ve düzensiz etkiler elde edilir. Bu
oranlamadan dolayı yöntem hareketli ortalamaya oranlar şeklinde de
adlandırılmaktadır.
• Mevsimsel ve düzensiz unsurların etkisini ortadan kaldırmak amacıyla, ikinci
aşamada elde edilen hareketli ortalamalar serisinin mevsimsellik ortalamaları alınır.
• Mevsimsel tahminlerin toplamını serinin dönem uzunluğuna eşit olmalıdır. Bu
toplam incelenen ekonomik zaman serisi aylık ise 12, mevsimlik ise 4 olmalıdır. Toplam
farklı çıkmışsa yeniden düzenleme yapılmalıdır.
• Gerçek veri, toplamı 12 veya 4 olan mevsimsel tahminlere oranlanarak,
düzeltilmiş seri oluşturulur.
• Mevsimsel etkisi düzeltilmiş seri için uygun trend tahmini yapılabilir. Bu trend
denklemi daha sonra öngörü amaçlı kullanılabilir.
Görüldüğü gibi her iki ayrıştırma modeli arasındaki temel fark, toplamsal ayrıştırmanın
fark alma işlemine, çarpımsal ayrıştırmanın ise oranlamaya dayanmasıdır. Uygulamada hangi
serinin toplamsal ayrıştırma modeline hangi serinin ise çarpımsal ayrıştırma modeline göre
gözlenemeyen unsurlardan ayrıştırılması gerektiği çoğu kere bilinemez. Genellikle izlenen yol
her iki ayrıştırma modelinin de kullanılarak hata kareler toplamı en küçük olan yöntemin
seçilmesidir.
Şimdi daha önce toplamsal ayrıştırma modeline göre mevsimsellikten arındırılmaya
çalışılan ihracat serisini bu kez çarpımsal ayrıştırma modeline göre arındıralım. Dikkat edilirse
her iki yöntemin de başlangıç aşamaları aynı olup, mevsimsel dönem uzunluklarına göre
12’şerli veya 4’erli merkezi hareketli ortalamaların alınmasını gerektirmektedir. İhracat serisini
178
daha önce incelediğimiz için zaten 12’şerli merkezi hareketli ortalama serisini oluşturmuştuk.
Daha sonra toplamsal ayrıştırma modelinde
Toplam İhracat−MHO serisi oluşturulmuş ve seri önce
Temmuz 2007 değeri 8939.312−9108.797= −171.06
şeklinde bulunarak elde edilmiştir. Burada ise çarpımsal ayrıştırma modeli uygulandığından,
hareketli ortalamaya oranlar serisi oluşturulmalıdır. Söz konusu seri;
Temmuz 2007 8939.312/9108.797=0.981221
Ağustos 2007 8736.689/9420.822=0.927381
Eylül 2007 9038.743/9666.309=0.935077
…
olacak şekilde oluşturulur. Daha sonra mevsim endeksini oluşturmak üzere her ayın ortalaması
Ocak ayından başlanarak,
(Ocak2008+Ocak2009+Ocak2010+Ocak2011+Ocak2012)/5=(0.99497
1+0.866277+0.858717+0.910339+0.903176)/5=0.906696
şeklinde hesaplanmalıdır. Böylece mevsimsel tahminler
Ocak 0.906696
Şubat 0.956091
Mart 1.042733
Nisan 1.000353
Mayıs 1.006462
Haziran 1.019284
Temmuz 1.050872
Ağustos 0.950367
Eylül 0.99816
Ekim 1.047391
Kasım 0.988788
Aralık 1.022613
Toplam 11.9898091
biçiminde elde edilir. Çarpımsal ayrıştırma modelinde aylık veri kullanıldığında mevsimsel
tahminler toplamı 12 olmalıdır. Bu nedenle
179
12/11.9898091=1.00085
ayarlama katsayısı yardımı ile toplamı 12’ye eşitleyecek düzenleme yapılarak;
Ocak 0.906696 0.906696*1.00085 0.907467
Şubat 0.956091 0.956091*1.00085 0.956903
Mart 1.042733 1.0942733*1.00085 1.04362
Nisan 1.000353 … 1.001203
Mayıs 1.006462 … 1.007317
Haziran 1.019284 … 1.02015
Temmuz 1.050872 … 1.051765
Ağustos 0.950367 … 0.951175
Eylül 0.99816 … 0.999008
Ekim 1.047391 … 1.048281
Kasım 0.988788 0.988788*1.00085 0.989629
Aralık 1.022613 1.022613*1.00085 1.023482
Toplam 11.9898091 12
mevsim endekslerine ulaşılır. Mevsim endeksi serisinin grafiği;
şeklindedir. Toplamsal ayrıştırma modelinde herhangi bir ayın mevsim etkisi taşıdığı mevsim
endeksinin 0’dan farklı değer alması ile belirlenmektedir. Buradan da bilindiği gibi, çarpımsal
ayrıştırma modelinde herhangi bir ay mevsimsel etki taşımamış olsa o aya ait mevsim endeksi
değerinin 1 olması gerekir. Buna göre ihracat serisinin tüm ayları 1’den farklı olduğu için
mevsimsel etki taşımaktadır. Bu etki 1’in altında iken ihracatta azalmalar, 1’in üstünde iken
180
artışlar olduğu anlamına gelmektedir. Mevsim endeksi yüzdelik olarak ifade edilmek amacıyla
100 ile çarpılarak yorumlanmaktadır. Buna göre;
Ocak 0.907467 90.74669
Şubat 0.956903 95.69033
Mart 1.04362 104.362
Nisan 1.001203 100.1203
Mayıs 1.007317 100.7317
Haziran 1.02015 102.015
Temmuz 1.051765 105.1765
Ağustos 0.951175 95.11747
Eylül 0.999008 99.90083
Ekim 1.048281 104.8281
Kasım 0.989629 98.96287
Aralık 1.023482 102.3482
mevsimsel etki Ocak ayı için % 9.25 (100−90.75=9.25) azalma ile yılın en düşük düzeyinde,
ekim ayı için % 4.82 artış ile yılın en yüksek düzeyindedir. Endeks değeri 1’e yaklaştıkça
mevsim etkisinin son olarak ihracat serisi her ay kendi ilgili mevsim endeksine oranlanarak
mevsimsel etkiden arındırılarak düzeltilmiş ihracat serisine ulaşılır. Düzeltilmiş ihracat serisi
son aşamada uygun trend modeli ile tahmin edilerek, öngörü amacıyla kullanılabilir.
Ocak 2007-Eylül 2012 döneminde ihracat serinsin çarpımsal ayrıştırma modeline göre
mevsim etkisinden arındırılması ve düzeltilmiş ihracat serinsin oluşturulması ile ilgili
hesaplamalar aşağıdaki gibidir.
181
Yıllar
toplam
ihracat
Hareketli
Orta.
Merkezi
Har. Ort. Tp.İh./MHO
düzeltmş
İhracat
Oca.2007 6564.559 7233.938
Şub.2007 7656.951 8001.802
Mar.2007 8957.851 8583.443
Nis.2007 8313.312 8303.325
May.2007 9147.62 9081.173
Haz.2007 8980.247 8802.865
8939.312
Tem.2007 8937.741 9108.797 0.981221 8497.85
9278.283
Ağu.2007 8736.689 9420.822 0.927381 9185.157
9563.362
Eyl.2007 9038.743 9666.309 0.935077 9047.716
9769.256
Eki.2007 9895.216 9896.367 0.999884 9439.466
10023.48
Kas.2007 11318.8 10162.24 1.113809 11437.42
10301.01
Ara.2007 9724.017 10417.27 0.933451 9500.919
10533.54
Oca.2008 10632.21 10685.94 0.994971 11716.36
10838.35
Şub.2008 11077.9 10934.6 1.013105 11576.82
11030.86
Mar.2008 11428.59 11187.29 1.021569 10950.91
11343.72
Nis.2008 11363.96 11336.54 1.002419 11350.31
11329.35
May.2008 12477.97 11249.23 1.109229 12387.33
11169.1
Haz.2008 11770.63 11085.69 1.061787 11538.14
11002.27
Tem.2008 12595.43 10887.78 1.156841 11975.51
10773.29
Ağu.2008 11046.83 10663.17 1.03598 11613.88
10553.06
Eyl.2008 12793.15 10416.68 1.228141 12805.85
10280.3
Eki.2008 9722.708 10121.87 0.960564 9274.904
9963.444
Kas.2008 9395.872 9749.629 0.963716 9494.341
182
9535.814
Ara.2008 7721.948 9392.441 0.822145 7544.783
9249.068
Oca.2009 7884.493 9101.581 0.866277 8688.464
8954.094
Şub.2009 8435.115 8820.472 0.956311 8815.013
8686.85
Mar.2009 8155.485 8507.165 0.958661 7814.613
8327.48
Nis.2009 7561.696 8343.025 0.906349 7552.612
8358.569
May.2009 7346.407 8338.033 0.881072 7293.043
8317.497
Haz.2009 8329.692 8414.69 0.989899 8165.16
8511.884
Tem.2009 9055.733 8509.561 1.064183 8610.035
8507.238
Ağu.2009 7839.908 8500.077 0.922334 8242.343
8492.915
Eyl.2009 8480.708 8565.04 0.990154 8489.127
8637.166
Eki.2009 10095.77 8713.595 1.158623 9630.781
8790.025
Kas.2009 8903.01 8892.256 1.001209 8996.314
8994.487
Ara.2009 10054.59 9045.038 1.111614 9823.908
9095.589
Oca.2010 7828.748 9116.795 0.858717 8627.035
9138.001
Şub.2010 8263.237 9166.482 0.901462 8635.394
9194.963
Mar.2010 9886.488 9212.818 1.073123 9473.266
9230.673
Nis.2010 9396.006 9266.832 1.013939 9384.718
9302.991
May.2010 9799.958 9322.964 1.051163 9728.772
9342.938
Haz.2010 9542.907 9416.603 1.013413 9354.412
9490.268
Tem.2010 9564.682 9562.032 1.000277 9093.935
9633.796
Ağu.2010 8523.451 9708.624 0.877926 8960.973
183
9783.453
Eyl.2010 8909.23 9863.645 0.903239 8918.074
9943.836
Eki.2010 10963.59 10047.06 1.091224 10458.63
10150.27
Kas.2010 9382.369 10197.92 0.920028 9480.696
10245.56
Ara.2010 11822.55 10320.85 1.145501 11551.31
10396.15
Oca.2011 9551.084 10491.78 0.910339 10524.99
10587.42
Şub.2011 10059.13 10700.83 0.940033 10512.17
10814.23
Mar.2011 11811.09 10890.95 1.084486 11317.42
10967.68
Nis.2011 11873.27 11007 1.078702 11859
11046.31
May.2011 10943.36 11116.99 0.984382 10863.87
11187.66
Haz.2011 11349.95 11214.95 1.012038 11125.76
11242.24
Tem.2011 11860 11275.52 1.051837 11276.29
11308.8
Ağu.2011 11245.12 11379.23 0.988215 11822.35
11449.66
Eyl.2011 10750.63 11507.98 0.934189 10761.3
11566.3
Eki.2011 11907.22 11598.01 1.026661 11358.8
11629.71
Kas.2011 11078.52 11721.09 0.945179 11194.63
11812.46
Ara.2011 12477.49 11339.55 1.100351 12191.21
10866.64
Oca.2012 10349.77 11459.31 0.903176 11405.12
12051.98
Şub.2012 11749.54 12118.64 0.969543 12278.71
12185.29
Mar.2012 13210.71 12279.56 1.075829 12658.55
12373.83
Nis.2012 12634.23 12619.05
May.2012 13136.39 13040.97
Haz.2012 13241.24 12979.69
184
Tem.2012 12842.96 12210.86
Ağu.2012 12844.83 13504.17
Eyl.2012 13013.07 13025.98
İhracat serisi ile mevsimsel etkiden arındırılarak düzeltilmiş ihracat serisinin grafiği
aşağıdaki gibidir.
Buradan da görüldüğü gibi ihracat serisi mevsimsel etkiden arındırılsa bile konjonktürel
hareketlerin etkisi altındadır. Şimdi son aşamada düzeltilmiş ihracat serisine uygun trend
modelini tahmin etmeye çalışalım. Bunun için Ocak 2007 tarihine 0 değeri verilerek orijin kabul
edilmiştir. Böylece ihracat serisi doğrusal olmadığından, önce kuadratik ve daha sonra kübik
trend denklemleri tahmin edilmiştir. İhracat serisinin kuadratik trend tahmini;
Dihracat=9878.985 −65.20467T+1.633319T2
t: (21.7995) (−2.1163) (3.7264) R2:0.4231
6,000
7,000
8,000
9,000
10,000
11,000
12,000
13,000
14,000
2007 2008 2009 2010 2011 2012
DIHRACAT IHRACAT
185
değerleri ile tüm parametreleri istatistiksel olarak anlamlı, ancak açıklayıcılık gücü düşük
olarak tahmin edilmiştir. Grafikten de görüldüğü gibi tahmin edilen değerlerin gerçek veri
kümesine uyumu azdır. Çarpımsal ayrıştırma modeline göre mevsimsellikten arındırılmış
ihracat serisinin kuadratik model ile yapılan tahminlerinin toplamsal ayrıştırma modeli ile
yapılan tahminlere çok yakın olduğuna dikkat edilmelidir.
Kübik modelin tahmini ise;
Dihracat=8586.87 +171.4957T−7.1327T2+0.08594T3
t: (15.9433) (2.482) (−3.0083) (3.751) R2:0.525 2 90472053ie =∑
olarak tahmin edilmiştir. düzeltilmiş ihracat serisi ile kübik modele göre tahmin edilen serinin
grafikleri incelendiğinde ise;
7,000
8,000
9,000
10,000
11,000
12,000
13,000
14,000
2007 2008 2009 2010 2011 2012
DIHRACAT TAHMINIIHRACAT
186
yine toplamsal ayrıştırma modelindeki bulgulara benzer olarak, eğrinin seriye kuadratik
fonksiyona göre daha iyi uyum sağladığı ancak yine son dönem tahminlerin düzeltilmiş ihracat
serisinin oldukça üstünde kaldığı gözlenmektedir.
Toplamsal ayrıştırma modeli yardımıyla tahmin edilen kübik model ile çarpımsal
ayrıştırma modeli yardımıyla tahmin edilen kübik model arasında tercih yapmak üzere
modellerin hata kareler toplamına bakıldığında;
Toplamsal ayrıştırma modelinde 2 90323483ie =∑ ve
Çarpımsal ayrıştırma modelinde 2 90472053ie =∑
olduğu görülmektedir. Buna göre ihracat serisinin mevsimsel etkiden arındırılmasında, en
küçük hata kareler toplamını veren toplamsal ayrıştırma modeline göre tahmin edilen kübik
model tercih edilmelidir.
Toplamsal ayrıştırma modeline göre arındırılan ihracat serisinin kübik modele göre
Ekim 2012 tarihine ilişkin öngörüsü ise;
7,000
8,000
9,000
10,000
11,000
12,000
13,000
14,000
15,000
2007 2008 2009 2010 2011 2012
TAHMINIIHRACAT DIHRACAT
187
Dihracat= 8592.578+166.673T−6.919T2+0.083T3
Dihracat= 8592.578+166.673(69)−6.919(692)+0.083(693)= 42605.201
milyon dolar olarak bulunur.
188
Uygulamalar
189
Uygulama Soruları
190
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
191
Bölüm Soruları
1) Türkiye’nin Ocak 2007 –Eylül 2012 dönemleri için aylık Toplam İthalat (milyon $)
serisini bularak, ( www.tuik.gov.tr veya www.tcmb.gov.tr sitelerinden veriye ulaşabilirsiniz.)
mevsim endeksini hesaplayınız ve mevsimsel etkilerden çarpımsal ayrıştıma modeli varsayımı
ile arındırınız.
2) Çarpımsal ayrıştırma modeline göre elde ettiğiniz mevsim endeksinin grafiğini
çizerek yorumlayınız.
3) Hem toplamsal ayrışma hem de çarpımsal ayrıştırma modelleri ile mevsimsel etkiden
arındırılmış ithalat serisi için uygun trend modelini bularak, iki ayrıştırma modeli arasında
tercih yapınız.
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Cevaplar
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
192
10)
193
9. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-VII
194
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
9.1.
9.2.
9.3.
195
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
196
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
197
Anahtar Kavramlar
198
Giriş
Bu hafta ekonomik zaman serilerinde gözlenemeyen unsurlardan mevsimsel etki taşıyan
bir serinin bu etkiden arındırılması ve mevsim endeksinin oluşturulması ile ilgili diğer
yöntemler açıklanacaktır. Ayrıca mevsimselliğin paarametrik olmayan bir yöntem olan
Kruskal-Wallis testi ile sınanması açıklanarak, örneklenecektir.
199
2.1.1.3. Aylık Ortalamaların Genel Ortalamaya Oranı Yöntemi
Mevsimsel dalgalanmaların belirlenmesinde ve mevsim endeksi oluşturmakta
kullanılan en basit yöntem aylık ortalamalar yöntemidir. Bu yönteme göre;
• Öncelikle veri kümesindeki her ayın ortalama değeri ( aY ) alınır.
• İkinci aşamada her ayın ortalamasından oluşan aylık değerlerin ortalaması alınır.
Böylece ayların ortalamalarının ortalaması olan bir genel ortalama oluşturulur.
12aY
Y
=
• Son olarak her aya ait ortalama değer genel ortalamaya oranlanarak mevsim endeksi
elde edilir.
100aYME
Y= ×
Örneğin Ocak 2007-Eylül 2012 yılları arasında incelediğimiz Toplam ihracat serisi için
ilk olarak veri kümesindeki sırasıyla tüm Ocak aylarının, Şubat aylarının ,..., Aralık aylarının
ortalaması alınır. Daha sonra bu ortalama değerlerin ortalaması hesaplanarak genel ortalamaya
ulaşılır. Ardından her aya ait ortalama genel ortalamaya oranlanır.
Toplam
İhracat 2007 2008 2009 2010 2011 2012
Ayların
Ortalaması
Mevsim
Endeksi
Ocak 6564,559 10632,21 7884,493 7828,748 9551,084 10349,77 8801,81 86,32199
Şubat 7656,951 11077,9 8435,115 8263,237 10059,13 11749,54 9540,311 93,56468
Mart 8957,851 11428,59 8155,485 9886,488 11811,09 13210,71 10575,03 103,7125
Nisan 8313,312 11363,96 7561,696 9396,006 11873,27 12634,23 10190,41 99,94043
Mayıs 9147,62 12477,97 7346,407 9799,958 10943,36 13136,39 10475,28 102,7343
Haziran 8980,247 11770,63 8329,692 9542,907 11349,95 13241,24 10535,78 103,3275
Temmuz 8937,741 12595,43 9055,733 9564,682 11860 12842,96 10809,42 106,0113
Ağustos 8736,689 11046,83 7839,908 8523,451 11245,12 12844,83 10039,47 98,4601
Eylül 9038,743 12793,15 8480,708 8909,23 10750,63 13013,07 10497,59 102,953
Ekim 9895,216 9722,708 10095,77 10963,59 11907,22 10516,9 103,1424
Kasım 11318,8 9395,872 8903,01 9382,369 11078,52 10015,71 98,22711
Aralık 9724,017 7721,948 10054,59 11822,55 12477,49 10360,12 101,6048
Genel Ortalama 10196,49
200
Hesaplanan mevsim endekslerine baktığımızda toplam ihracatın Ocak, Şubat, Nisan,
ağustos ve Kasım aylarında düştüğü diğer aylarda yükseldiği görülmektedir. En büyük düşüşün
Ocak ayında olduğu, en yüksek artışın ise Temmuz ayında gerçekleştiği anlaşılmaktadır. Bu
bulgu daha önce hesaplanan mevsim endeksleri ile uyuşmaktadır. Ancak burada düşüş ve
yükseliş miktarları kabaca belirlenmiştir.
Buradan da görüldüğü gibi mevsim endeksleri serinin taşıdığı diğer gözlenemeyen
unsurlar hiç dikkate alınmadan hesaplanmıştır. Oysa ekonomik zaman serilerinde dalgalanma
yaratan nedenler yalnızca mevsimsellik değildir. Özellikle trend ve konjonktür unsurlarının
dikkate alınmaması yöntemin en büyük zaafıdır. Bu nedenle aylık ortalamalar yardımıyla
hesaplanan mevsim endeksi ancak kaba bir tahmin verecektir. Bu nedenle yöntem trendin
etkisini de gösterecek şekilde geliştirilmiştir.
2.1.1.4. Aylık Ortalamaların Trende Oranı Yöntemi
Aylık ortalamaların genel ortalamaya oranlanması yönteminin en büyük eksikliği veri
kümesindeki trendi dikkate almamasıdır. Bu nedenle aylık ortalamaların trende oranı yöntemi
geliştirilmiştir. Bu yöntemde;
• Her yıla ait toplam değerler bulunur.
• Yıllık toplam değerlere dayanılarak en küçük kareler yöntemi ile trend modeli
tahmin edilir.
• Trend denkleminden aylık değerler bulunur. Aylık değerler bulunurken, gerekli
ayarlamalar yapılmalıdır.
• Son olarak ayarlanmış değerlerin aylık ortalama değere, trenddeki artış veya
azalış eğilimine göre eklenir veya çıkarılır.
• Her ayın ayarlanmış değeri bu ortalamaya oranlanmak suretiyle mevsim endeksi
oluşturulur.
Şimdi yine daha önce kullandığımız toplam ihracat serisi ile ilgili mevsim endeksini
aylık ortalamaların trende oranı yöntemi ile oluşturalım. Ancak Ocak 2007- Eylül 2012
tarihlerini kapsayan serimizde en küçük kareler yöntemi ile yıllık trend analizi yapılması
gerektiğinden, bu hesaplamada serimizi 2007-2011 yılları arasında tam beş yıllık olarak
alacağız.
Böylece ilk olarak her yılın toplam değeri ilgili yıla ait sütunun son satırında
gösterilerek;
201
Toplam
İhracat 2007 2008 2009 2010 2011
Ocak 6564,559 10632,21 7884,493 7828,748 9551,084
Şubat 7656,951 11077,9 8435,115 8263,237 10059,13
Mart 8957,851 11428,59 8155,485 9886,488 11811,09
Nisan 8313,312 11363,96 7561,696 9396,006 11873,27
Mayıs 9147,62 12477,97 7346,407 9799,958 10943,36
Haziran 8980,247 11770,63 8329,692 9542,907 11349,95
Temmuz 8937,741 12595,43 9055,733 9564,682 11860
Ağustos 8736,689 11046,83 7839,908 8523,451 11245,12
Eylül 9038,743 12793,15 8480,708 8909,23 10750,63
Ekim 9895,216 9722,708 10095,77 10963,59 11907,22
Kasım 11318,8 9395,872 8903,01 9382,369 11078,52
Aralık 9724,017 7721,948 10054,59 11822,55 12477,49
Toplam 107271,7 132027,2 102142,6 113883,2 134906,9
toplamlardan oluşan yıllık değerler elde edilir.
Yıllar
Toplam
İhracat
2007 107271,7
2008 132027,2
2009 102142,6
2010 113883,2
2011 134906,9
Şimdi bu değerlerle en küçük kareler yöntemi ile trend denklemini tahmin edelim.
Elbette daha önce söylendiği gibi trend tahmini için en az 10 yıllık veriye ihtiyaç vardır. Ancak
burada işlemlerin kolaylaştırılması için 5 yıllık veri kümesi ile yetinilmiştir.
Toplam ihracat=118046.3+3712,626T
şeklinde 2009 yılı orijin alınaraktahmin edilmiştir. Buradan yılda ortalama 3712,626 milyon $
lık ihracat artışımızın olduğu görülmektedir. Şimdi bu değerlerden aylık artışları elde edelim.
Değerler aylık değerlerin toplamı olarak oluşturulduğunda, tek sayılı bir seri kullandığımızdan,
12 144tY T
α β= +
denklemi yardımıyla, önce eğim parametresi 144’e oranlanır.
202
3712,62625,782
144=
Bu değer serinin 30 Haziran 2009 tarihi olan tam ortasına denk gelecektir. Aylık trend
değerlerini bulabilmek için
25,78212,891
2=
şeklinde her ayın 15. gününe ait değerler hesaplanmalıdır. Böylece trend artış eğiliminde
olduğu için ortalamada düzeltme yapmak amacıyla orijin öncesi değerlere aylık ve on beş
günlük değerler eklenerek, orijin sonrası değere ise tersine olarak çıkarılarak düzeltme yapılır.
15 Haziran 2009 değeri için 12,891 Mayıs 2009 değeri 12,891+25,782=37,782 Nisan 2009 değeri 12,891+25,782+25,782=63,564
15 Temmuz 2009 değeri de -12,891 ile düzeltilir. Böylece Ağustos 2009 değeri ve
yılın diğer aylarından aylık değerler düşürülerek düzeltme yapılır.
Aylar 2007 2008 2009 2010 2011 Ortalama
Ocak 6705,469 10773,12 8025,403 7969,658 9691,994 8633,128
Şubat 7772,079 11193,03 8550,243 8378,365 10174,25 9213,594
Mart 9047,197 11517,93 8244,831 9975,834 11900,43 10137,25
Nisan 8376,876 11427,53 7625,26 9459,57 11936,83 9765,213
Mayıs 9185,402 12515,75 7384,189 9837,74 10981,15 9980,845
Haziran 8993,138 11783,53 8342,583 9555,798 11362,84 10007,58
Temmuz 8924,85 12582,54 9042,842 9551,791 11847,11 10389,83
Ağustos 8698,907 11009,05 7802,126 8485,669 11207,34 9440,618
Eylül 8975,179 12729,58 8417,144 8845,666 10687,06 9930,927
Ekim 9805,87 9633,362 10006,42 10874,24 11817,87 10427,55
Kasım 11203,67 9280,744 8787,882 9267,241 10963,4 9900,587
Aralık 9583,107 7581,038 9913,681 11681,64 12336,58 10219,21
Buradan hesaplanan aylık ortalamalar ortalamasına oranlanarak
203
Aylar
Aylık
Ortalama
İhracat
Trend
İçin
Ayarlama
Değerleri
Ayarlnmş
Aylık
Orta.lar
Mevsim
Endeksi
Ocak 8801,81 140,91 8633,128 0,877601
Şubat 9540,311 115,128 9213,594 0,936608
Mart 10575,03 89,346 10137,25 1,030502
Nisan 10190,41 63,564 9765,213 0,992683
Mayıs 10475,28 37,782 9980,845 1,014603
Haziran 10535,78 12,891 10007,58 1,01732
Temmuz 10809,42 -12,891 10389,83 1,056178
Ağustos 10039,47 -37,782 9440,618 0,959686
Eylül 10497,59 -63,564 9930,927 1,009528
Ekim 10516,9 -89,346 10427,55 1,060013
Kasım 10015,71 -115,128 9900,587 1,006444
Aralık 10360,12 -140,91 10219,21 1,038834
Ortalama 9837,194
şeklinde mevsim endeksi bulunur. Buradan hesaplanan mevsim endeksinde de çarpımsal
ayrıştırma modeline göre hesaplanan mevsim endeksine benzer şekilde en düşük ihracatın Ocak
ayında en yüksek ihracatın ise Ekim ayında yapıldığı görülmektedir.
Mevsimsel hareketlerin varlığı çoğu kere serinin grafiği çizilerek anlaşılabilir. Ancak
her zaman serideki mevsimsellik gözle görülür derecede net değildir. Bu durumda öncelikle
serinin mevsimsel etki taşıyıp taşımadığı belirlenmelidir. Bu amaçla ekonomik zaman serileri
test edilmelidir. Mevsimselliğin belirlenmesinde parametrik ve parametrik olmayan testler
kullanılmaktadır.
2.1.2. Mevsimselliğin Belirlenmesinde Kullanılan Parametrik Olmayan Testler
Daha önce de söz edildiği gibi parametrik olmayan testeler bir dağılıma dayanmayan,
küçük örneklemlerde kullanılan testlerdir. Bu testler genellikle parametrik bir testin
alternatifidir. Mevsimselliğin belirlenmesinde kullanılan parametrik test F testidir. Bu testin
parametrik olmayan alternatifi ise Kruskal-Wallis testidir.
Tek yönlü varyans analizine alternatif olan Kruskal-Wallis testi sıralanmış veri
kümelerine uygulanan ve iki ve daha fazla anakütleden çekilen bağımsız örnekler yardımıyla
ilgili anakütlelerin benzer olup olmadığını sınayan bir testtir. Test istatistiği
204
2123( 1)
( 1)i
i
RKW N
N N n= − +
+ ∑
şeklinde olup, s-1 serbestlik derecesi ile 2χ dağılımına uyar. Burada aylık veri kullanılıyorsa
s=12-1, ve üç aylık veri kullnılıyorsa s=4-1 şeklinde alınmalıdır. N toplam gözlem sayısını, Ri
her mevsim için sıralam değerlerinin toplamınıve ni ise,her mevsim içinde sıralanan değerlerin
sayısını gösterir. Bu durumda hesaplanan KW test istatistiği tablo değerinden büyük ise
H0: mevsimsellik yoktur.
şeklindeki sıfır hipotezi reddedilerek mevsimselliğin bulunduğu sonucuna varılır.
Şimdi daha önce mevsimsel dalgalanmalar olduğunu zamana bağlı grafiğini çizerek
belirlediğimiz toplam ihracat serisinin mevsimselliğini Kruskal -Wallis testi yardımıyla
sınayalım. Bu sınama için daha önceden hazırladığımız toplam ihracat serisinin merkezi
hareketli ortalamalara oranlanması ile elde edilen seri kullanılmalıdır. Kruskal-Wallis testi için
• İlk olarak veri kümesi küçükten büyüğe doğru sıralanmalıdır.
• Daha sonra aylara karşılık gelen sıra değerleri toplanarak Ri değerleri oluşturulmalıdır.
• Ardından Kruskal-Wallis test istatistiği hesaplanarak tablo değeri ile kıyaslanmalıdır.
Bu basamaklar toplam ihracat serisine uygulandığında, sıralama
Yıllar Top. İhr. Top.İhr/MHO Sıralama
Oca.2007 6564.559
Şub.2007 7656.951
Mar.2007 8957.851
Nis.2007 8313.312
May.2007 9147.62
Haz.2007 8980.247
Tem.2007 8937.741 0.981221 24
Ağu.2007 8736.689 0.927381 13
Eyl.2007 9038.743 0.935077 16
Eki.2007 9895.216 0.999884 30
Kas.2007 11318.8 1.113809 53
Ara.2007 9724.017 0.933451 14
Oca.2008 10632.21 0.994971 29
Şub.2008 11077.9 1.013105 35
Mar.2008 11428.59 1.021569 38
Nis.2008 11363.96 1.002419 33
205
May.2008 12477.97 1.109229 51
Haz.2008 11770.63 1.061787 43
Tem.2008 12595.43 1.156841 55
Ağu.2008 11046.83 1.03598 40
Eyl.2008 12793.15 1.228141 57
Eki.2008 9722.708 0.960564 21
Kas.2008 9395.872 0.963716 22
Ara.2008 7721.948 0.822145 1
Oca.2009 7884.493 0.866277 3
Şub.2009 8435.115 0.956311 19
Mar.2009 8155.485 0.958661 20
Nis.2009 7561.696 0.906349 9
May.2009 7346.407 0.881072 5
Haz.2009 8329.692 0.989899 27
Tem.2009 9055.733 1.064183 44
Ağu.2009 7839.908 0.922334 12
Eyl.2009 8480.708 0.990154 28
Eki.2009 10095.77 1.158623 56
Kas.2009 8903.01 1.001209 32
Ara.2009 10054.59 1.111614 52
Oca.2010 7828.748 0.858717 2
Şub.2010 8263.237 0.901462 6
Mar.2010 9886.488 1.073123 45
Nis.2010 9396.006 1.013939 37
May.2010 9799.958 1.051163 41
Haz.2010 9542.907 1.013413 36
Tem.2010 9564.682 1.000277 31
Ağu.2010 8523.451 0.877926 4
Eyl.2010 8909.23 0.903239 8
Eki.2010 10963.59 1.091224 49
Kas.2010 9382.369 0.920028 11
Ara.2010 11822.55 1.145501 54
Oca.2011 9551.084 0.910339 10
Şub.2011 10059.13 0.940033 17
Mar.2011 11811.09 1.084486 48
Nis.2011 11873.27 1.078702 47
May.2011 10943.36 0.984382 25
Haz.2011 11349.95 1.012038 34
Tem.2011 11860 1.051837 42
Ağu.2011 11245.12 0.988215 26
Eyl.2011 10750.63 0.934189 15
Eki.2011 11907.22 1.026661 39
206
Kas.2011 11078.52 0.945179 18
Ara.2011 12477.49 1.100351 50
Oca.2012 10349.77 0.903176 7
Şub.2012 11749.54 0.969543 23
Mar.2012 13210.71 1.075829 46
Nis.2012 12634.23
May.2012 13136.39
Haz.2012 13241.24
Tem.2012 12842.96
Ağu.2012 12844.83
Eyl.2012 13013.07
şeklinde elde edilir. Buradan her ay için sıra değerleri
ROcak= 29+3+2+10+7=51
RŞubat=35+19+6+17+23=100
RMart=38+20+45+48+46=197
RNisan=33+9+37+47=126
RMayıs=51+5+41+25=122
RHaziran=43+27+36+34=140
RTemmuz=24+55+44+31+42=196
RAğustos=13+40+12+4+26=95
REylül=16+57+28+8+15=124
REkim=30+21+56+49+39=195
RKasım=53+22+32+11+18=136
RAralık =14+1+52+54+50=171
biçiminde toplanarak, son aşamada Kruskal-Wallis test istatistiği;
207
2123( 1)
( 1)i
i
RKW N
N N n= − +
+ ∑2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 212 51 100 197 126 122 140 196 95 124 195 136 171
3(57 1)57 58 5 5 5 4 4 4 5 5 5 5 5 5
= + + + + + + + + + + + − + ×
=25.28
Tablo değeri
212 1,0.05χ − = 19.675<25.28 olduğundan H0: toplam ihracat
serisinde mevsimsellik yoktur şeklindeki hipotez reddedilir. Toplam ihracat serisi mevsimsel
etki taşımaktadır. Bu nedenle yapılan düzeltme işlemleri ile mevsimsellikten arındırılmıştır.
208
Uygulamalar
209
Uygulama Soruları
210
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
211
Bölüm Soruları
1) Türkiye’nin Ocak 2007 –Eylül 2012 dönemleri için aylık Toplam İthalat (milyon $)
serisini bularak, ( www.tuik.gov.tr veya www.tcmb.gov.tr sitelerinden veriye ulaşabilirsiniz.)
Söz konusu veri için mevsimsel endeksini;
a. Aylık ortalamaların genel ortalamaya oranı yöntemi ile
b. Aylık ortalamaların trende oranı yöntemi ile oluşturunuz.
c. Veri kümesinin mevsimselliğini Kruskal-Wallis yöntemi ile sınayınız.
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Cevaplar
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
212
8)
9)
10)
213
10. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-VIII
214
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
10.1.
10.2.
10.3.
215
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
216
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
217
Anahtar Kavramlar
218
Giriş
Bu hafta ekonomik zaman serilerinde gözlenemeyen unsurlardan mevsimsel etki taşıyan
bir seride bu etkiyi yaratan takvimle ilgili nedenler, ticari gün etkisi ve hareketli tatil etkisi gibi
nedenler ile zaman serilerinde ortaya çıkan aykırı gözlemler açıklanacaktır. Ayrıca resmi
istatistik ofisleri tarafından kullanılan mevsimsel düzeltme yöntemlerinden X-11 yöntemi
açıklanacaktır.
219
2.2. Mevsimsel Düzeltme Gerektiren Nedenler
Ekonomik zaman serilerinde mevsim etksinin belirlenmesi durumunda düzeltilmesi için
öncelikle mevsimsel etkinin kaynağı belirlenmelidir. Mevsimsel düzeltme gerektiren ve
serilerde mevsim etkisi yaratan nedenler;
• Takvimle ilgili nedenler
• Ticari gün etkisi ve hareketli tatil etkisidir.
Bu etkileri açıklamadan önce takvimin özelliklerini inceleyelim.
2.2.1 Takvim Etkileri
Zaman serilerindeki takvim etkisi takvim aylarının farklı uzunlukta olmasından
kaynaklanmaktadır. Takvim ayları en az 28 gün en çok 31 gün süren aylardır. Özellikle üretim
ve satışlar gibi ekonomik zaman serilerinde 28 gün süren bir Şubat ayı ile 32 gün süren Mart
ayının ekonomik faaliyetleri kıyaslandığında, piyasa koşullarında hiçbir değişiklik olmasa bile
yalnızca gün sayısındaki farklılaşma nedeniyle aylar arasındaki ortalama verimlilik farklı
olacaktır. Ayların farklı sayıda güne sahip olması nedeniyle ortaya çıkan bu etkiye ay uzunluğu
etkisi adı verilir. Takvimle ilgili etkiler bundan ibaret değildir. Farklı sayıda güne sahip ayların
artarda gelmesiyle oluşan etkiye de aylar arası değişim adı verilmektedir. Aydan aya değişimler
ele alındığında;
• Otuz günlük aylardan otuz bir günlük aylara yedi farklı şekilde geçildiği
• Otuz bir günlük aylardan otuz günlük aylara yine yedi farklı biçimde geçildiği
• Otuz bir günlük aylardan yine otuz bir günlük aylara yedi farklı biçimde
geçildiği
• Şubat ayından otuz bir günlük aylara on dört farklı biçimde geçildiği
Böylece toplam kırk dokuz farklı bileşimin olduğu görülmektedir.
Ay arası değişimle birlikte ayların bileşimi yıldan yıla da değişir. Buna göre:
• Otuz bir günlük yedi ay
• Otuz günlük yedi ay
• Yirmi sekiz gün süren yedi Şubat ayı ile yirmi dokuz gün süren ve artık yıl olarak
adlandırılan bir Şubat ayı, ile birlikte yirmi iki farklı tipte takvim ayı bulunmaktadır.
220
Belli bir ay içinde belli bir günün kaç tane olduğu da bilinmelidir. Bir ayda aynı günün
farklı sayıda olmasına ay içi değişim adı verilmektedir. Takvimde yirmi sekiz yılda bir ayların
başlangıcı aynı güne gelmektedir.
2.2.1.1. Ticari Gün Etkisi
Ticari gün değişimi, ekonomik zaman serilerinde ay uzunluğu ve ayların kendi içindeki
bileşimine bağlı olarak haftanın belli bir gününün ayda kaç kere tekrarlandığına bağlı etkidir.
Ekonomik faaliyetlerin ticari günü fazla olan aylarda az olan aylara oranla daha yüksek
gözükmesi nedeniyle ortaya çıkan etkilerin diğer mevsimsel etkilerden ayrıştırılabilmesi için
ticari gün değişiminin ayrıca belirlenmesi gerekmektedir. Ticari gün etkisi modellerde dışsal ve
bağımsız etki olarak kabul edilmektedir. Pazartesi ve Cumartesi günleri arasındaki altı gün
ticari gün olarak sayılmakta iken, Pazartesi ve Cuma günleri arasındaki beş gün çalışma günleri
olarak sayılmaktadır.
Buna göre serilerde ticari gün değişiminin etkisini belirlemek amacıyla, kullanılan
ayrıştırma modellerinde haftanın günlerine ağırlıklar atanmaktadır. Ekonomik zaman serisini
mevsim etkisinden arındırmak amacıyla toplamsal ayrıştırma modeli seçilirse, ağırlıklar
toplamının sıfır olması, çarpımsal ayrıştırma modeli seçilirse toplamın yedi olması, böylece
ticari gün etkisinin nötr olması istenmektedir.
Ticari gün etkisi aylık verilerde olduğu kadar üç aylık verilerde de söz konusudur. Üç
aylık verilerde genellikle:
Ocak-Şubat-Mart ayları I. Çeyrek Nisan-Mayıs-Haziran ayları II. Çeyrek Temmuz-Ağustos-Eylül ayları III. Çeyrek Ekim-Kasım-Aralık ayları IV. Çeyrek
olarak alınmaktadır. Her çeyrek dönem 90 ile 92 gün arasında olup, ticari gün etkisi aylık veriye
oranla üç aylık veri de daha zayıftır.
Ayrıca yine yılların 365 gün altı saat olması nedeniyle dört yılda bir ortaya çıkan artık
yıl etkisinden özellikle sanayi üretimi ve enerji sektöründeki ekonomik seriler etkilenmektedir.
Bu tip veri kümeleri ile çalışılması halinde önce, artık yıl etkisinden arındırılmaları
gerekmektedir.
Ticari gün düzeltmesi yapmak veride aydan aya değişimi azaltacağından, trend ve
konjonktür unsurlarının daha açık bir şekilde ortaya çıkmasını sağlar.
221
2.2.1.2. Hareketli Tatil Etkisi
Yıl içinde meydana gelen ve tarihleri sistematik olarak değişen tatillerin yarattığı etkiye
hareketli tatil etkisi adı verilmektedir. Özellikle dini bayramlar dolayısıyla uygulanan tatiller
bu kapsamdadır. Ramazan ve Kurban Bayramlarının tarihleri yıl içinde Hicri takvim esas
alınarak belirlendiğinden sürekli bir döngü ile gerçekleşmektedirler. Genellikle Şubat ayında
olan Çin Yeni Yılı ve Mart sonu veya Nisan başında olan Paskalya da yine tarihleri yıl içinde
değişen hareketli tatillerdendir. Bu tatillerin tarihleri ay takvimi esasına dayanılarak
belirlenmektedir. Üstelik ülkemizde iki tatil günü arasında kalan çalışma günleri genellikle tatil
edildiğinden bu bayramlar bazı yıllarda dokuz günlük tatillere dönüşmektedir.
Hareketli tatillerin özellikle turizm verileri, hava yolu yolcu taşımacılığı gibi seriler
üzerinde etkili olduğu bilinmektedir. Hareketli tatillerin ekonomik zaman serileri üzerindeki
etkisi sabit büyüklük ve yöndedir. Bu tip tatiller üretimde iş günü kaybına yol açtığı gibi,
ekonomik ve sosyal davranışları da değiştirmektedir. Bu tip tatiller her yıl başka bir tarihte
gerçekleştiğinden, etkilerini standart bir mevsimsel düzeltme süreci içinde tahmin etmek
oldukça güçtür. Ancak sağlıklı bir trend-konjonktür tahmini için zaman serilerine mevsimsel
düzeltme uygularken, veriyi takvim ve tatil etkilerinden arındırmak gerekmektedir. Bunun yanı
sıra düzensiz unsurların içerdiği aykırı gözlemlerin varlığı ve etkileri de incelenmeli, aykırı
gözlemlerin etkisi belirlendiği takdirde veri kümesi bu etkilerden de arındırılmalıdır.
2.2.2. Aykırı Gözlemler
Zaman serilerinde sık sık rastlanan aykırı gözlemlere iki farklı yaklaşım
uygulanmaktadır. Bu yaklaşımlardan ilki tanı sınamaları (diagnostics) yaklaşımı olup, tahmin
edilen modelin kalıntılarına olası aykırı gözlemleri tanımlayarak test etmek amacıyla uygulanan
sınamalar sürecidir. Bu yaklaşımda aykırı gözlem, önerilen modelle birlikte tanımlanarak,
modelin parametreleri ile aykırı gözlemin etkisi birlikte tahmin edilmektedir. Böylece aykırı
gözlemin etkisi bulunurken, aynı zamanda modelin parametrelerinin dayanıklı (robust)
tahminleri de bulunmaktadır.
İkinci yaklaşım ise, dayanıklı tahmin yaklaşımıdır ki, burada aykırı gözlem varlığı ile
kirlenen (contaminate) parametre tahminleri iyileştirilerek aykırı gözlem tanımlanıp, test
edilmektedir. Söz konusu yaklaşımlar birbirini tamamlayan ve birlikte kullanıldıklarında
yapılan denetimi ve tahminleri geliştiren yaklaşımlardır.
Zaman serileri üzerine yapılan çalışmalarda serileri etkileyen pek çok farklı tipte aykırı
gözlem olduğu, bunların farklı nedenlerden kaynaklandığı ve seriler üzerindeki etkilerinin de
doğal olarak birbirinden farklı olduğu belirlenmiştir. Zaman serilerinde görülen başlıca aykırı
gözlemler; toplamsal (additive) aykırı gözlem, yenileşim (innovative veya innovation) aykırı
gözlemi ve düzey kayması (level shift) olarak sıralanabilir.
222
2.2.2.1. Toplamsal Aykırı Gözlemler
Zaman serisinin gözlenen değerinde belli bir T noktasında meydana gelen bir dışsal
değişme veya ölçme hatası gibi bir dışsal hatadan kaynaklanan aykırı gözleme “toplamsal aykırı
gözlem” (TAG) adı verilmektedir. Toplamsal aykırı gözlem olması durumunda orijinal Yt serisi
yerine artık Zt serisi,
....................
.......t
t
t TAG
Y t TZ
Y t Tα
≠=
+ =
şeklinde gözlenecektir. TAG, genel olarak belli bir T anında meydana gelen grev ve kaza gibi
beklenmeyen bir olayın zaman serisinin bu noktadaki ve dolayısıyla gelecek değerleri
üzerindeki etkisidir. Bu gözlemler serinin tahmin edilen kalıntılarını ve tahmin edilen parametre
değerlerini de etkileyecektir. TAG meydana gelmeden önce kalıntılar, orijinal sürecin
kalıntıları ile aynı iken, T anından sonra farklılaşacak ve artık saf rassal süreci izlemeyecektir.
Toplamsal aykırı gözlemlerin model parametreleri üzerinde de kuvvetli etkileri görülmektedir.
TAG çok geniş ise, tahmin edilen parametreler sıfıra doğru sapmalı (bias) olacaktır. Bu
durumda otokorelasyon katsayıları da sıfıra doğru çekilecektir. TAG etkisinin örneklem
büyüklüğü artıkça azalması beklenmektedir.
2.2.2.2. Yenileşim Aykırı Gözlemi
Zaman serisinin kalıntıları üzerindeki bazı içsel etkiler veya içsel değişimler tarafından
üretilen aykırı gözlemlere “yenileşim aykırı gözlemi” (YAG) adı verilmektedir. Yenileşim
aykırı gözlemi olması durumunda orijinal Yt serisi yerine gözlenen Zt serisi,
.......................
...... ,......... 0t
t
t YAG i
Y t TZ
Y t T i iβ λ
<=
+ = + >
şeklinde olacaktır. Burada iλ ARIMA sürecindeki MA(∞ ) katsayıları olup, YAG’ın zaman
serisinin değerleri üzerindeki etkisi ARIMA modeline bağlı ve bu modelin gürültüsü üzerinde
etkili olan sistematik olmayan bütün değişkenlerin bileşik etkisi olarak açıklanabilir.
Yenileşim aykırı gözlemlerinin zaman serileri üzerindeki zararlı etkileri genel olarak
toplamsal aykırı gözlemlerden daha azdır. Bu gözlemler de hem kalıntılar hem de tahmin edilen
parametreler üzerinde etkili olduğu halde, kalıntıları, yalnızca T anında etkiledikleri
belirlenmiştir. Dolayısıyla otokorelasyon katsayıları ve parametre tahminleri üzerinde çok
küçük bir etki yaratmaları beklenmektedir. Örneklem büyüklüğü artıkça tutarlı parametre
223
tahmini yapılabildiğinden, yenileşim aykırı gözlemlerinin parametreler üzerindeki etkisi ihmal
edilebilir. Saf rassal süreci izleyen zaman serileri üzerinde TAG ve YAG eş değer etkiye
sahiptir.
2.2.2.3. Düzey Kayması
Belli bir noktadan başlayarak sürecin düzeyini veya yerel (local) ortalamasını gözlenen
zaman döneminin sonuna kadar değiştiren etkiye “düzey kayması” (DK) adı verilmektedir.
Durağan süreçler için düzey kayması sürecin ortalamasında belli bir noktadan sonra meydana
gelen değişme olup, seriyi durağan olmayan sürece dönüştüren etkidir. Düzey kayması
meydana geldiğinde orijinal Xt serisi yerine, gözlenen Zt serisi,
≥+
<=
TtX
TtXZ
DKt
tt ...........
......................
η
şeklinde olacaktır. Böylece düzey kayması zamanda belli bir anda başlayan ve dönem sonuna
kadar süren aynı büyüklükteki ardışık aykırı gözlemler olarak açıklanabilir. Durağan olmayan
zaman serileri üzerinde düzey kaymaları yenileşim aykırı gözlemi gibi etki etmektedir. Düzey
kaymaları serinin kalıntıları ve parametre tahminleri üzerinde kuvvetli etkiye sahiptir. Durağan
AR(p) süreçlerinde düzey kaymasından sonra bütün kalıntıların aynı miktarda etkilendiği
görülmüştür. Durağan olmayan süreçlerde kalıntılar T anından durağanlığı sağlayacak uygun
AR(h) derecesi olan T+h dönemine kadar etkilenmektedir. Rassal gidiş sürecinde düzey
kaymasından yalnızca T anındaki kalıntı etkilenecektir. Özetle düzey kaymasının etkisi, seriyi
açıklayan modele bağlı olup, durağan olmayan süreçlerden ziyade durağan süreçler üzerinde
daha büyük etkiye sahiptir. Düzey kaymasının meydana geldiği an serinin sonuna doğru ise,
etkisi de o nispette azalacaktır. Öyle ki, serinin son gözleminde meydana gelen bir kayma
yalnızca son kalıntıyı etkileyecektir.
Düzey kaymasının otokorelasyon katsayıları üzerinde de etkili olduğu görülmüştür. Bu
etki ile ilk otokorelasyon katsayısı bire doğru sapmalı olacaktır. Gözlem sayısı t iken, t-T geniş
ise, durağan serilerde düzey kayması görüldüğü anda birim kök ile karşılaşılacaktır.
2.2.2.4. Aykırı Gözlemler ve Müdahale Analizi
Müdahale analizi (intervention analysis) bilinen belli bir anda meydana gelen dinamik
değişmelerin zaman serileri üzerindeki etkisini modellemek amacıyla yapılmaktadır. Aykırı
gözlemlerin etkisi çoğu kere zaman serileri üzerindeki deterministik etki veya müdahale analizi
ile birlikte ele alınmaktadır. Gözlenen zaman serisi Zt için müdahale analizi;
224
( )( ) ( )Tt t tZ V B D B aα θ= +
şeklinde bir fonksiyon ile yapılmaktadır. burada α sabit değer; Dt(T), t=T için Dt=1, diğer bütün
gecikmeler için sıfır değeri alan kukla değişken; ( )Bθ , MA polinomu, at, N(0, 2aσ ) ile bağımsız
ve tıpkı dağılan saf rassal süreç; B geriye kaydırma işlemcisi ve V(B)=(1+v1B+v2B2+…) T
anındaki müdahalenin transfer fonksiyonudur.
V(B)=1 ise toplamsal aykırı gözlem söz konusu olacaktır. Bu durumda müdahalenin
herhangi bir dinamiğe sahip olmadığı, toplamsal aykırı gözlem büyüklüğünün α olduğu
söylenebilir. Müdahalenin dinamiği orijinal sürecin dinamiği ile aynı olduğunda yenileşim
aykırı gözlemi ortaya çıkmaktadır. Zamanla azalan ve belli bir andan itibaren kaybolan düzey
kayması etkisi ise “geçici değişmeler” (transitory change)(GD) olarak ele alınmakta ve düzey
kaymasını üssel olarak söndüren müdahale etkisi V(B)=(1 δ− B)-1 olarak tanımlanmaktadır.
Burada δ =1 olduğunda müdahale, geçici değişme düzey kayması ile özdeş olurken, δ =0
olduğunda, toplamsal aykırı gözlem oluşmaktadır. Zaman serilerinde karşılaşılan bir başka
aykırı gözlem ise toplamsal aykırı gözlemlerin toplanması veya bütünleşmesiyle bulunan bir
düzey kayması olan “eğim kayması” (ramp shift) (EK) adı verilen aykırı gözlemdir. Eğim
kayması, gerçekleştiği T anından itibaren zaman serisinin eğiminde meydana gelen değişmeyi
göstermektedir.
Bir zaman serisinde aykırı gözlemlerin etkisini giderebilmek için,
• Öncelikle aykırı gözlemin hangi tarihte gerçekleştiğini tespit etmek
• Daha sonra gerçekleşen aykırı gözlemin hangi tip aykırı gözlem olduğunu
tanımlamak
• Son olarak uygun modeli tahmin ederek seriyi aykırı gözlem etkisinden
arındırmak gerekmektedir.
Bu süreç aykırı gözlemin meydana geldiği tarih ve tipi bilinemeyeceğinden oldukça
karmaşık olacaktır. Aynı anda hem örneklemdeki her nokta hem de aykırı gözlemin tipi
araştırılmalıdır. Mevsimsel düzeltme yapmak için geliştirilen tüm yöntemler, ilk yöntem olan
(X-11)’den itibaren, aykırı gözlemleri incelemekte ve özellikle son yıllarda geliştirilen
yöntemler genellikle toplamsal aykırı gözlem ve düzey kaymasını belirleyerek, seriden
arındırmaktadır.
225
2.3. İstatistik Ofisleri Tarafından Kullanılan Mevsimsel Düzeltme Yöntemleri
Zaman serilerine, mevsimsel düzeltme yöntemlerinin uygulanması, 1920’lerde Amerika
Birleşik Devletlerinde (ABD) National Bureau of Economic Research (NBER)’da yapılan
çalışmalarla başlamıştır. NBER bünyesinde Frederick R. Macaulay (1931) tarafından serilere
standart hareketli ortalamalara oranlar yöntemi uygulandığında, işlem tamamen yeni bir yöntem
olarak karşılanmıştı. Macaulay’nin geliştirmiş olduğu mevsimsel düzeltme yöntemi,
• Serilerin uygun hareketli ortalamalarını alarak trend tahmininin yapılması
• Seçilen ayrıştırma modeline göre mevsimsel ve düzensiz unsurlardan
arındırılmış trend tahmini
• Hareketli ortalamalar kullanarak mevsimsel faktörlerin tahmin edilmesi
aşamalarını izlemektedir. Bu aşamalar bir yineleme süreci oluşturmaktadır. Burada dikkat
edilmesi gereken nokta, seriyi oluşturan unsurların, daha önce de sözü edildiği gibi,
gözlenemeyen unsurlar olması nedeniyle serinin trendi bilinmedikçe mevsimselliğin
tanımlanamayacağı ve seri mevsimsel olarak düzeltilmedikçe trendin tahmin edilemeyeceğidir.
Zaman serilerinin gözlenemeyen unsurlarını ayrı ayrı tespit etmek amacıyla yinelemelerden
yararlanmak fikri, daha sonra geliştirilen hemen hemen tüm mevsimsel düzeltme yöntemlerinde
de benimsenmiştir.
Ayrıştırma modellerine uygulanan bu en basit mevsimsel düzeltme yönteminde, önce Xt
zaman serisinin sıklığına göre, aylık verilerin kullanılması halinde onikişerli, üç aylık verilerin
kullanılması halinde dörderli hareketli ortalamalar alınmaktadır. Daha sonra veriye merkezi
hareketli ortalamalar uygulanarak, oluşturulan mevsimsel faktörlerle toplamsal ayrıştırma
modellerinde trendden farklar, çarpımsal modellerde ise, trende oranlamalar yoluyla
mevsimsellikten arındırılmış seri üretilmektedir.
Oldukça uzun bir tarihi geçmişe sahip olan mevsimsel düzeltme yöntemleri
Macaulay’den günümüze dek hızla gelişmiş ve kullanımı yaygınlaşmıştır. Günümüzde istatistik
ofisleri tarafından mevsimsel düzeltme amacıyla uygulanan yöntemler filtre bazlı ve model
bazlı yaklaşımlar olmak üzere iki sınıfta toplanmıştır.
• Filtre Bazlı Yaklaşımlar
• Model Bazlı Yaklaşımlar
Şimdi kısaca bu yaklaşımlar hakkında bilgi verelim.
226
2.3.1. Filtre Bazlı Yaklaşımlar
Filtre bazlı yöntemler zaman serisinin taşıdığı trend, konjonktür, mevsimsellik ve
düzensiz unsurları genellikle sabit bir hareketli ortalamalar filtresi uygulayarak ayrıştıran
yöntemlerdir. Bu yöntemlerde tipik olarak serilerin ortasına denk gelen değerlere simetrik
doğrusal filtreler uygulanırken, başına ve sonuna denk gelen değerlere asimetrik doğrusal
filtreler uygulanmaktadır. Yöntemlerin amacı orijinal veriyi dairesel döngülerden
arındırmaktır. Böylece düzleştirilmiş (smoothing) bir trend tahmini yapmak mümkün olacaktır.
Filtre bazlı yöntemlerde unsurların açık bir model yardımıyla modellenmesi
gerekmemektedir. Düzensiz unsurlar mevsimsel sıklığa bağlı olarak düzleştirilmiş bir trend
tahmini sonrasında bulunur. Bu yöntemlerde düzeltme sürecinin özellikleri kullanılan filtrenin
özellikleri ile doğrudan bağlantılıdır.
Filtre bazlı modeller Census II X-11 tipi yöntemler olup, X-11, X-11 ARIMA, X-12
ARIMA, X-13, STL, SABL VE SEASABS modellerini kapsayan bir aileyi oluşturmaktadır. X-
11 tipi yöntemler genellikle yinelemeli yöntemlerdir. Trend, mevsimsellik ve düzensiz
unsurları kendi hesaplama süreci içinde ayrı ayrı tahmin etmektedir. X-11 tipi yöntemler
arasındaki başlıca hesaplama farklılıkları genellikle zaman serisinin başında ve sonunda
kullanılan değişik tekniklerden kaynaklanmaktadır. Yöntemlerden bazıları serilerin başındaki
ve sonundaki değerler için asimetrik filtreler uygularken, bazıları serileri genişletmek için
ARIMA modelleri ve simetrik filtreler kullanmaktadır.
2.3.2. Model Bazlı Yaklaşımlar
Model bazlı yöntemler orijinal serideki trend, konjonktür, mevsimsellik ve düzensiz
unsurların ayrı ayrı modellenmesini gerektirmektedir. Ancak bunun yerine orijinal seri
modellenerek bu modelden trend, konjonktür, mevsimsellik ve düzensiz unsurlar çıkarılabilir.
Her unsurun ayrıca modellenerek genellikle eş-anlı olarak tahmin edildiği yöntemler
Kalman filtresi ve ilgili teknikleri kullanmaktadır. Bu yöntemler her unsurun geniş spectral
karakterini, orijinal serinin taşıdığı devri hareketleri belirleyen kendi modeli tarafından tayin
edilmektedir.
Model bazlı yöntemler düzensiz unsurların sıfır ortalama ve sabit varyansa sahip saf
rassal süreç olduğunu varsaymaktadır. Model bazlı yöntemlerin değişik teknikleri arasındaki
başlıca hesaplama farklılıkları çoğunlukla model spesifikasyonundan doğmaktadır. Bazı
durumlarda unsurlar doğrudan modellenirken, diğer bazı durumlarda önce orijinal seri
modellenmekte sonra bu modelden unsurlar ayrıştırılmaktadır. Unsurların ayrıştırılmasında pek
çok alternatif söz konusu olabilir. STAMP ve TRAMO/SEATS gibi paket program haline
getirilerek araştırmacıların hizmetine sunulan yöntemler, model bazlı yaklaşımlardır.
Filtre bazlı yöntemler incelenen serinin özelliklerine çok bağlı olmayan yöntemlerdir.
Bu yöntem tercih edildiğinde, serilerin düzeltilmesi için belli sayıda filtreden uygun olanı
227
seçilmelidir. Bu yöntemlerde mevsimsel düzeltme sonuçlarının kesinlik ölçülerini oluşturmak,
sonuçlara yönelik sıkı bir denetim uygulamak, istatistiki çıkarsamalar yapmak mümkün
olmamaktadır. Bu nedenle yapılan tahminler için güven aralıkları oluşturmak da söz konusu
olamamaktadır.
Model bazlı yöntemler serilerin stokastik özelliklerini incelemeye olanak tanımaktadır.
Bu yöntemler serilerin stokastik yapısını esas alan filtre ağırlıkları kullanmaktadır. Uygulanan
modelin spesifikasyonu ve serilerin davranışlarını tanımlayabilme yeteneği
denetlenebilmektedir. Düzensiz unsurların saf rassal süreci takip ettiği varsayımı geçerli olursa,
tahminler için istatistiki çıkarsamalar yapmak mümkün olmaktadır.
Mevsimsel düzeltme yöntemleri Macaulay’ın çalışmalarının ardından hızla gelişmiştir.
Yöntemlerin asıl gelişimi ise, zaman serileri ile ilgili tüm hesaplamalarda büyük veri kümeleri
ile çalışılması gerekliliği ve dolayısıyla işlemlerin elde yapılması neredeyse imkânsız olması
nedeniyle, bilgisayar teknolojisine paralel olmuştur. Mevsimsel düzeltme yapmak amacıyla
üretilen ilk bilgisayar programı 1954 yılında NBER tarafından CENSUS-I adı ile kullanıma
sunulmuştur. Bu programla firma, ilgili endüstri kolu ve ulusal hesaplamaların toplulaştırılmış
düzeyde ve geniş ölçekte yapılması mümkün olmuştur. 1955 yılında ise, program serilerdeki
ticari gün etkisi, uç değerler etkisi gibi etkileri de inceleyebilecek şekilde hareketli ortalamalarla
birlikte çok değişkenli regresyon modellerini ve spectral analizi de kullanabilen CENSUS-II
programına dönüştürülmüştür.
CENSUS-II metodu serilerdeki mevsimsel düzeltmeyi iki farklı koldan yapmaktadır. İlk
olarak eskiden beri uygulanan standart hareketli ortalamaya oranlar yöntemi iyileştirilerek,
zaman serisi unsurlarına ayrıştırılırken, aylık verideki ticari gün değişmeleri ve uç değerler de
dikkate alınarak, serinin başında ve sonundaki değerler için farklı hareketli ortalama ağırlıkları
uygulanmaya başlanmıştır. CENSUS-II yöntemi ayrıca çok değişkenli regresyon modellerini
de kullanmaya başlamıştır. Regresyon modellerinin kullanımı serilerdeki trend-konjonktür,
mevsimsel ve düzensiz unsurların açık bir fonksiyonel biçimle ifade edilebilmesine olanak
sağlamıştır. Böylece unsurlar parametrik yöntemlerle tahmin edilebilir ve istatistiki anlamlılık
sınamaları uygulanarak, test edilebilir olmuştur.
CENSUS programının türevleri “X” harfi ve ardından gelen bir sayı ile
simgelenmektedir. Program X-0’dan başlayarak, X-1, X-2,…, gibi her aşamada mevsimsel
düzeltme için gerekli görülen yeni bir düzenleme ile devam eden bir zincir şeklinde
geliştirilmiştir. 1965 yılında ilk nüvesi oluşturulan X-11 yöntemi, 1967 yılında CENSUS II X-
11 adı ile standart şeklini almıştır. Özü X-9 ve X-10 yöntemlerine dayanan X-11, kendisinden
sonra geliştirilen X-11 ARIMA ve X-12 ARIMA yöntemleri için de bir başlangıç noktası
oluşturmaktadır. Bu nedenle bu derste filtre bazlı yaklaşımlardan yalnızca X-11 yöntemi
hakkında bilgi verilecektir.
228
2.3.3. “X-11” Mevsimsel Düzeltme Yöntemi
X-11 yöntemi belli bir aydaki pazartesilerin, salıların,… sayısı gibi, ay içinde ticari
faaliyette bulunulan gün sayısı olarak tanımlanan ticari günlerin aydan aya değişiminin ve belli
bir aydaki gün sayısının diğer aylardaki gün sayısından farklı olmasının serilerde yaratacağı
etkileri çok değişkenli regresyon teknikleri ile ölçebilir. Serilerde oluşan uç değerleri ve
bunların yarattığı etkilerin yanı sıra, Noel, Ramazan ve Kurban Bayramı gibi dini bayramlar
nedeniyle yaşanan tatillerin etkilerini de hesaplayabilmektedir. Üstelik mevsimsel düzeltmesi
yapılan seri için mevsim, konjonktür ve düzensiz unsurların yanı sıra, ticari gün ve tatil
düzeltmesi yapabilmekte, bu unsurların ortalama yüzde değişmelerini ve standart sapmalarını
da hesaplayabilmektedir. Orijinal veride istikrarlı (stable) mevsim etkisi olup olmadığını, ticari
gün değişmelerinin anlamlılığını, anlamlı olmaları halinde söz konusu günlere ağırlık verilip
verilmeyeceğini F testi yardımıyla sınayan yöntem, ticari gün ağırlıklarının ve aylık düzeltme
faktörlerinin standart hatalarını da tahmin edebilmektedir.
X-11 süreci gözlenemeyen çarpımsal unsurlardan oluştuğu varsayılan aylık Xt serisi için
mevsim düzeltmesini kısaca;
• Trend için ön tahmin:
Seriye simetrik 13 (2×12) terimli hareketli ortalamalar uygulanarak, trend için bir ön
tahmin yapılır ve orijinal veri tahmin edilen trende oranlanarak mevsim ve düzensiz unsurlar
elde edilir.
t t t t tt t
t t t t
Y T K M RM R
T K T K
× × ×= ≈ ×
× ×
Bu aşamada kullanılan simetrik hareketli ortalamalar filtresi serinin başından ve
sonundan altışar gözlemin kaybolmasına yol açar.
• Mevsim unsurları için ön tahmin
Elde edilen Mt× Rt serisine ağırlıklı (3×3) veya (3×5) hareketli ortalamalar uygulanarak
mevsim unsurlarının ön tahmini yapılır. Bu aşamada da uygulanan hareketli ortalamalar veri
kaybına yol açar.
229
• Düzeltilmiş veri için ön tahmin
Orijinal veri ilk mevsimsel düzeltmesi yapılmış seriye oranlanarak Tt× Kt× Rt değeri
bulunur.
• Trend tahmini
Serideki oynaklığa bağlı olarak seçilen 9, 13 veya 23 terimli Henderson hareketli
ortalamaları mevsim düzeltmesi yapılmış seriye uygulanır. Serinin oynaklığı ne kadar fazla ise
o kadar uzun hareketli ortalama seçilmelidir. Buradan elde edilen seri tahmin edilen trend
serisine oranlanır.
• Mevsim unsurlarının nihai tahmini
İkinci aşamadaki (3 × 5) ağırlıklı hareketli ortalamaları tekrarlanarak mevsim
unsurlarının nihai tahmini elde edilir.
• Düzeltilmiş veri için nihai tahmin
Üçüncü aşamada olduğu gibi orijinal veri nihai mevsimsel düzeltmesi yapılmış veriye
(5. aşamadaki) oranlanarak Tt× Kt× Rt değeri bulunur.
• Trendin nihai tahmini
Mevsim düzeltmesi yapılmış nihai veriye yine 9, 13 veya 23 terimli Henderson hareketli
ortalamaları uygulanır.
• Düzensiz unsurların nihai tahmini
Mevsimsel düzeltmesi yapılmış seri tahmin edilen trende oranlanarak düzensiz unsurlar
elde edilir.
ˆt t t
t
t t
T K RR
T K
× ×=
×
230
aşamalarından geçirerek uygular. Yukarıdaki aşamalar daha önce de söylendiği gibi çarpımsal
ayrıştırma yöntemi için geliştirilmiş olup, veri toplamsal veya log toplamsal ise bazı
farklılıklarla, örneğin oranlama yerine fark alma işlemleri ile yapılmaktadır.
X-11 yöntemi ile mevsimsel düzeltme yapılırken iki taraflı, simetrik, doğrusal, ağırlıklı
hareketli ortalamalar ardışık olarak uygulandığından, serinin başında ve sonunda yaşanan veri
kayıplarını telâfi etmek için ya asimetrik ağırlıklı hareketli ortalamaların kullanılması veya
kaybolan gözlemlerin ekstrapole edilmelisi uygun olacaktır. X-11’in bu zafiyetlerini gideren
yöntem The Statistisc Canada için geliştirilen X-11 ARIMA yöntemidir. Şimdi X-11
yönteminde kullanılan filtrelerden söz edelim.
2.3.3.1. “X-11” Yönteminde Kullanılan Hareketli Ortalamalar Filtreleri
Filtre bazlı yaklaşımlar daha önce de değinildiği gibi, Macaluay (1931) tarafından
geliştirilen hareketli ortalamalara oranlar yöntemine dayanmaktadır. Hareketli ortalamalar
filtre bazlı yaklaşımlarda zaman serilerini oluşturan gözlenemeyen unsurları ayrıştırırken, iki
farklı amaçla kullanılmaktadır. Bu amaçlardan biri trend unsurunu diğeri ise mevsimsel
unsurları tahmin etmektir. Bu durumda doğal olarak, iki farklı tipte hareketli ortalama
kullanılmalı; seri önce uygun hareketli ortalamalar filtresi ile mevsimsel unsurlardan
arındırılmalı, daha sonra trendden arındırmak için uygun olan bir başka hareketli ortalamalar
filtresi kullanılmalıdır.
Hareketli ortalamalar, incelenen zaman serisini oluşturan gözlem değerlerinin belli
uzunluklar için kayan bir zaman aralığında ağırlıklı ortalamalarının alınması yöntemidir.
Zaman serilerinde hareketli ortalamalar, seçilen ağırlıklara ve uzunluğa bağlı olarak, serilerin
içerdikleri dalgalanmaları düzleştirmek ve iyileştirmek amacıyla uygulanmaktadır. Bu amaç en
basit haliyle seriyi örneğin düzensiz unsurlardan olabildiğince arındırarak, daha düzleşmiş
seriden trendi elde etmektir. Hareketli ortalamalar bir yandan serideki düzensiz unsurları
azaltarak düzleştirirken, bir yandan da serideki mevsimsel patikayı arındıracak şekilde
seçilmelidir. Filtre bazlı yaklaşımlarda X-11 yönteminden itibaren seriyi düzensiz unsurlardan
arındırırken, trend unsurunu mümkün olduğunca gerçek durumuna yakın bir şekilde muhafaza
eden çeşitli tipte hareketli ortalamalar geliştirilerek kullanılmıştır. Bu hareketli ortalamalar
toplamsal ve logaritmik toplamsal ayrıştırma modellerine uygulanabildiği gibi çarpımsal
ayrıştırma modellerinde de kullanılmaktadır.
Hareketli ortalamalar ve doğrusal düzleştirme filtrelerine dayanan yöntemler aslında
dolaylı da olsa, zaman serilerini oluşturan trend-konjonktür ve mevsimsel unsurların
deterministik değil, stokastik olduğunu varsaymaktadır.
Hareketli ortalamalar filtreleri en basit haliyle, her gözlem değerine eşit ağırlıklar
verilerek uygulanan simetrik hareketli ortalamalardır. Bir zaman serisinin gözlem değerleri,
231
y1, y2, y3, y4, y5, y6, …, yt-1, yt,, yt+1
olsun. Serinin gözlem değerlerine 3’erli hareketli ortalamalar uygulanması durumunda,
1 2 32 1 2 3
1 1 1
3 3 3 3
y y yz y y y
+ += = + +
şeklinde her gözleme eşit ağırlık (w= 1/3) verilmekte ve oluşan yeni hareketli ortalamalar
serisinin ilk değeri, orijinal verinin ikinci gözlem değerine eşit olmaktadır. (3×1)’lik hareketli
ortalamalar olarak adlandırılan bu seride orijinal verideki değerlerin başında ve sonundaki birer
gözlem yitirilecektir.
Filtre bazlı yaklaşımlar mevsimsel unsurları tahmin etmek için eşit olarak
ağırlıklandırılmış basit hareketli ortalamaları değil, genellikle bunların bileşimleri olan formları
kullanmaktadır. Örneğin sıkça kullanılan (3×3)’lük hareketli ortalamalar, (3×1)’lik hareketli
ortalamaların ardışık üç gözlem değerinin ortalamasından oluşmaktadır. (3×3)’lük hareketli
ortalamaların genel formu;
2 1 1 1 1 21
3 3 3 3t t t t t t t t t
t
y y y y y y y y yz − − − + + + + + + + + + = + +
2 1 1 2
1 2 3 2 1
9 9 9 9 9t t t t t tz y y y y y− − + += + + + +
Simetrik hareketli ortalamaların yanında her döneme farklı ağırlıklar veren asimetrik
hareketli ortalamalar da mevcuttur. Uygulanacak hareketli ortalamaların uzunluğu, orijinal
verinin ne kadar düzleştirilmek istendiğine ve dolayısıyla serinin içerdiği düzensiz unsurların
boyutuna bağlı olarak seçilmelidir. Güçlü düzensiz unsurlara sahip olan serilerde hareketli
ortalamaların uzunluğu da artacaktır. Hareketli ortalamaların uzunluğunun artması, kısa
dönemli seriler için bir kusur olarak düşünülebilir. Ancak serilerin sahip olduğu doğrusal trend
genellikle uzun dönemler boyunca devam ettiğinden, uygulamada uzun hareketli ortalamalar
alınabilmektedir. Trend doğrusal değil de, eğrisel unsurlar taşıyorsa, uzun hareketli
ortalamaların kullanımı halinde, veriyi dönüm noktalarını kaçıracak veya serinin düzeyini
değiştirecek derecede düzleştireceğinden, trend bozulacaktır. Hareketli ortalamaların seçimi
düzleştirilmek istenen trendin yapısına uygun olmalıdır. Örneğin üç aylık serilerde kullanılan
(2×4)’lük hareketli ortalamalar dört ardışık terimin ortalaması alınarak üretildiğinden, bu tip
serilerde görülen istikrarlı mevsimsellik izleri kaybolacaktır. (2×4)’lük hareketli ortalamalar
mevsimsel üç aylık veride düzensiz unsurları azaltmak, veriyi mevsimsellikten arındırmak ve
aynı zamanda trend unsurunu bozmadan korumak amacıyla alınmaktadır. Seçilecek hareketli
232
ortalama uzunluğu daima bu dengeyi sağlamalıdır. Aynı durum doğrusal trend içeren aylık
verilere uygulanan (2×12)’lik hareketli ortalamalar için de geçerli olmaktadır.
Pek çok ekonomik zaman serisinde trendin fazlasıyla eğrisel olduğu görülmektedir. Bu
durumda trendin basit hareketli ortalamalarla tahmini uygun olmayacaktır. Serilerin eğrisel
trende sahip olduğu durumlarda filtre bazlı yaklaşımlar, Henderson hareketli ortalamalarını
kullanmaktadır. İlk olarak aktüaryal hesaplamalarda veriyi düzleştirmek amacıyla kullanılan
Henderson hareketli ortalamaları, uygulandığı belli bir uzunlukta incelenen zaman serisinde
maksimum düzleşmeyi sağlarken, serinin sahip olduğu varsayılan kübik polinomik trendi tam
olarak üretebilecek özelliktedir. Ancak bu filtrelerin verideki mevsimsel etkiyi
arındırmadıklarına dikkat edilmelidir. Bu nedenle Henderson hareketli ortalamaları filtre bazlı
modellerde genellikle mevsimsel düzeltmesi önceden yapılmış veriden trend tahmini yapmak
amacıyla kullanılmaktadır. Henderson hareketli ortalamalarının uzunluğu zaman serisinin
oynaklığını gösteren R / K oranına göre seçilmektedir. Aylık veri üç aylık veri için farklı
uzunlukta hareketli ortalamalar filtreleri kullanılmaktadır.
Gözlem değerlerine farklı ağırlıklar verebilen Henderson hareketli ortalamalarının
ağırlıkları;
• Üçüncü farkların kareleri toplamını en küçükleyecek şekilde (düzleştirme
kriteri)
• Serinin sahip olduğu varsayılan üçüncü dereceden trendi yeniden tam olarak
üretebilecek şekilde seçilmelidir.
Uygulamada simetrik veya simetrik olmayan Henderson trend filtreleri
kullanılmaktadır. Simetrik filtreler zaman serisinin düzleşmiş değerlerini eşit sayıdaki önceki
değer ve eşit sayıdaki sonraki değer yardımıyla hesapladığından, veri kümesinin ortasına denk
gelen gözlem değerleri için yeterli tahminler üretebilmektedir. Simetrik Henderson filtrelerinde
doğrusal filtre uzunluğu n=2H+1 iken, i= −h,…, h için wi ağırlıkları verideki kübik polinomik
trendi korumak amacıyla;
∑−=
=r
riiw 1 ve ∑
−=
=r
rii
j wi 0 j=1,2,3
olacak şekilde seçilmelidir. Filtrelerin ağırlıkları toplamının bire eşit olması düzleştirme
sürecinde orijinal verinin ortalamasının değişmediği anlamına gelmektedir. Filtre ağırlıklarının
toplamını orijinal verinin ortalamasının düzleştirilmiş verinin ortalamasına oranı
belirlemektedir. Bu kısıtlamayı sağlayan uzunluğu birden büyük ve en fazla yüzbir olan elli
farklı tipte Henderson simetrik filtresi geliştirilmiştir. X-11 yönteminde kullanılan 9,13,23
terimli filtrelere ait ağırlıklar X-11 için geliştirilen bilgisayar yazılım programında otomatik
olarak atanmaktadır.
233
Simetrik hareketli ortalamaların kullanımı halinde zaman serisinin başında ve sonunda
veri kaybı yaşanacağından, “son ağırlıklar sorunu” adı verilen sorun doğmaktadır. Bu sorunu
çözmek için veri kümesinin son noktalarını düzleştirmeyi sağlayan simetrik olmayan ağırlıklar
geliştirilmiştir. Simetrik olmayan ağırlıklar trendin önsel ve nihai tahmini arasındaki
yenilemelerin kareleri toplamını en küçükleyecek şekilde belirlenmektedir. Simetrik olmayan
Henderson trend hareketli ortalamalarının ağırlıkları da simetrik filtrelerin ağırlıkları toplamı
gibi bire eşittir. Ancak ağırlıkların çıkarımı ile ilgili bir bilgi verilmemiştir. Söz konusu
ağırlıklar daha sonra yeniden üretilmiştir. Ağırlıklar, mevsimsel düzeltme uygulanacak veriye
X-11 programında otomatik olarak atanmaktadır.
X-11 yönteminde Henderson trend filtreleri kullanılmadan önce, incelenen seriyi
mevsimsel unsurlardan arındırmak gerekmektedir. Yöntem, harmonik karakterdeki mevsimsel
unsurları ayrıştırmak amacıyla yine hareketli ortalamalar filtrelerinden yararlanmaktadır.
Ancak bu işlem MR mevsimsel faktör eğrisine (seasonal factor curve) uygulanmaktadır.
Böylece örneğin Ocak ayı için bulunan mevsimsel faktör ardışık yıllardaki bütün Ocak aylarını
düzleştirmek için kullanılmaktadır. Bu süreç düzensiz unsur ve mevsimsel faktörün birlikte
tahmin edilmesini sağlamaktadır. Bu işlem için genellikle üç terimli (3×1)’lik basit, ağırlıklı
beş terimli (3×3)’li, ağırlıklı yedi terimli (3×5)’li ve ağırlıklı onbir terimli (3×9)’lu hareketli
ortalamalar kullanılmaktadır. Mevsimsel filtrenin seçimi zaman içinde mevsimsel unsurun nasıl
değiştiğine bağlıdır. Örneğin mevsimsel unsurlarda büyük hareketler gözleniyorsa, en kısa
filtreler olan (3×1) veya (3×3)’lük hareketli ortalamalar kullanılmalıdır. X-11’de aynen
Henderson trend filtresinde olduğu gibi, mevsimsel unsurlar için de serinin başında ve sonunda
oluşan veri kayıplarından dolayı yaşanan “son ağırlıklar sorunu”nu çözmek için yine simetrik
olmayan mevsimsel faktör hareketli ortalamaları seçilmektedir.
Geliştirilen X-11 yöntemi tüm dünyada pek çok resmi istatistik bürosu tarafından
mevsimsel düzeltmede yaygın olarak kullanılan standart bir program halini almıştır. NBER
tarafından geliştirilen CENSUS yöntemi yaygınlaşarak hemen hemen her ülkenin resmi
istatistik kurumları tarafından kullanılmaya başlanmış veya kurumlar kendilerine özel
mevsimsel düzeltme yöntemleri geliştirilmiştir. Şu anda dünyada en yaygın olarak kullanılan
yöntemler X-12 ARIMA ve TRAMO/SEATS yöntemleridir. Canada’da X-11 ARIMA/88,
ABD, İngiltere ve Yeni Zellanda’da X-12 ARIMA kullanılırken, Avustralya’da SEASABS,
kıta Avrupa’sında EUROSTAT aracılığıyla, genellikle, ilk olarak İspanyol Merkez Bankasınca
geliştirilen TRAMO/SEATS tekniği kullanılmaktadır. Eurostat hem X-12ARIMA hem de
TRAMO/SEATS düzeltmesi yapabilen DEMETRA adında bir yazılım geliştirmiştir.
Demetra’da Türkiye de dahil olmak üzere, Avrupa ülkelerinin her birine ait resmi tatil günlerini
içeren bir takvim mevcuttur.
2.3.3.2. “X-11” ve Diğer Mevsimsel Düzeltme Yöntemlerinde Kullanılan Özel Değişkenler
234
Mevsim düzeltme yöntemlerinin tümünde ticari gün, çalışma günü, artık yıl, resmi tatil,
dini bayram vb. gibi ekonomik serileri üzerinde deterministik mevsim etkisi yarattıkları
varsayılan durumlar modellere dahil edilen kukla değişkenler aracılığıyla temsil edilir.
Ticari gün etkisi, pazartesi gününden cumartesi gününe dek haftanın altı gününün
serilerde yarattığı etkidir ve bir ay içinde kaç pazartesi, …, kaç cumartesi etkisi olduğu, N,
ilgilenilen aydaki söz konusu gün sayısı iken,
(N Pazartesi- N Pazar), (N Salı – N Pazar),…, (N Cumartesi – N Pazar)
Djt ; t dönemindeki j. gün sayısını gösterirken, ticari gün etkisi
TGjt = (Djt- D7t)
şeklinde tanımlanan altı kukla değişken ile ölçülür. Ticari gün katsayıları jβ , j=1,…,7 iken,
haftanın günlerinin etkileri toplamı sıfır olmalıdır.
07
1
=∑=j
jβ ve dolayısıyla ∑
=
−=6
17
jjββ
olur.
Ticari gün etkisi özellikle ticaret, üretim, nakliye, istihdam ve hizmet sektörüne ait
verilerde anlamlı bulunmaktadır.
Çalışma günü etkisi ise, hafta içindeki beş iş gününün etkisini ifade eder ve aynı ticari
gün değişkenleri gibi her bir günün ayda kaç kere tekrarlandığına bağlı olarak, tek bir
değişkenle temsil edilir. Çalışma günü etkisini belirlerken haftanın günleri çalışma günleri ve
tatil günleri olarak ikiye ayrılır ve değişken;
[ N(Pazartesi, Salı, Çarşamba, Perşembe, Cuma)]- [N (Cumartesi, Pazar) × (5/2)]
olarak tanımlanır. Ticari gün katsayılarında olduğu gibi, çalışma günü katsayıları da,
54321 βββββ ==== ve 76 ββ = olduğundan, 61 25 ββ −= olacaktır.
Ay uzunluğu da bir değişken olarak modellere dâhil edilebilir. Bu değişken mi , i.
aydaki gün sayısını gösterirken, ( mmi − ) olarak tanımlanır. Burada m =30.4375 ortalama ay
uzunluğudur.
Ekonomik zaman serilerinde görülen bir diğer etki de artık yıl etkisidir. Artık yıl etkisini
ölçmek üzere modele dahil edilen değişkene şubat ayı haricindeki tüm aylarda sıfır değeri
atanırken, incelenen yılda şubat ayı yirmi sekiz gün çekiyorsa -0.25 değeri, söz konusu yıl artık
yıl ve şubat yirmi dokuz gün çekiyorsa, 0.75 değeri atanır.
Mevsim düzeltme yöntemleri doğal afetler, ekonomi politikalarındaki değişmeler,
yaşanan grevler ve bunun gibi etkilerin veride yarattığı düzey kayması (level shift), geçici
235
değişiklik (temporary change) gibi durumları müdahale değişkenleri (intervantion variables)
olarak modele dahil eder ve söz konusu durumların gerçekleşmesi halinde “1” değerini, diğer
hallerde “0” değerini atadığı gölge değişkenlerle temsil eder. Düzey kayması zamanda belli bir
noktadan sonra sürecin ortalamasında meydana gelen sürekli değişmedir. Böyle bir değişme
yaşayan durağan süreç durağan olmayan hale gelir. Düzey kayması aynı büyüklükteki ardışık
toplamsal uç değerler gibi açıklanabilir. Toplamsal uç değer ise, bir dışsal şokun zamanda belli
bir noktada serinin gözlenen değerinde yarattığı ani bir sıçramadır. Toplamsal uç değerler
genellikle ölçme hataları ile ilgili olarak açıklanır.
Ekonomik zaman serilerinde kayıp veri (missing value) olması durumu mevsimsel
düzeltme modellerinde toplamsal uç değer olarak algılanır. Bu durumda kayıp veriye keyfi bir
değer atanarak, veri kümesi eksiksizmiş gibi tahmin yapılır. Tahmin edilen regresyon
parametresi ile atanan keyfi değer arasındaki fark kayıp verinin interpolasyon değeri olarak
kabul edilir.
236
Uygulamalar
237
Uygulama Soruları
238
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
239
Bölüm Soruları
1) Takvim etkisi ne anlama gelmektedir? Açıklayınız.
2) Ticari gün etkisi hakkında bilgi veriniz. Ekonomik zaman serileri ticari gün
etkisinden ne şekilde arındırılmaktadır?
3) Hareketli tatillerin ekonomik zaman serilerine etkisi ne şekilde olmaktadır?
4) Aykırı gözlem nedir? Ekonomik zaman serilerinde görülen aykırı gözlemler hakkında
bilgi veriniz.
5) Mevsimsel düzeltme amaçlı kullanılan filtre bazlı yaklaşımlarla model bazlı
yaklaşımların farkları nelerdir?
6) X-11 yöntemini ve ne amaçla geliştirildiğini kısaca açıklayınız.
7) X-11 yönteminde kullanılan filtreler hakkında bilgi veriniz.
8)
9)
10)
Cevaplar
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
240
241
11. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-IX
242
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
11.1.
11.2.
11.3.
243
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
244
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
245
Anahtar Kavramlar
246
Giriş
Bu hafta ekonomik zaman serilerinde gözlenemeyen unsurlardan konjonktür etkisi
açıklanacaktır. Konjonktür dalgaları ve devreleri anlatılarak, dünya ekonomilerinin yaşadığı
konjonktürel dalgalanmalara örnekler verilecektir. Konjonktürün belirlenmesi yıllık ve aylık
bazda derlenen serilerde gösterilecek ve konjonktür dalgalanmalarının belirlenmesinde
kullanılan öncü göstergeler yaklaşımı açıklanacaktır.
247
2.4. Konjonktür Dalgalanmaları
Ekonomik faaliyetlerdeki değişimleri tahmin etmek hem piyasalar ve yatırımcılar hem
de politika yapıcılar açısından önemlidir. Bu nedenle büyüme, tüketim, yatırım, sanayi üretimi
gibi makroekonomik değişkenlerdeki değişimleri ve bu değişkenleri etkileyen nedenleri
araştırmak önemlidir. Bir ülkedeki makroekonomik değişkenlerin seyri ekonomideki yapısal
değişimlere, politik istikrarsızlıklara, küresel ekonomiye, doğal afetlere v.b. gibi pek çok etkene
bağlı olarak değişmektedir. Bunlar gibi nedenlerle makroekonomik değişkenlerde meydana
gelen dalgalanmalara konjonktür dalgalanmaları veya iş çevrimleri adı verilmektedir.
Ekonomik faaliyetleri izlemek, makroekonomik değişkenler arasındaki ilişkiyi incelemek için
konjonktür dalgalanmalarının takibi ve bileşenlerinin belirlenmesi önemlidir.
Konjonktür dalgalanmaları makroekonomik değişkenlerde eş-zamanlı olarak ortaya
çıkan yükseliş ve düşüşlerdir. Birbiri ardınca gelen yükselme ve durgunluk dönemleri makro
ekonomik değişkenlerde ve en önemlisi GSMH’da değişimler meydana getirmektedir. İşte bu
değişimler konjonktür dalgalanmaları olarak adlandırılmaktadır. Yaşanan dalgalanmalarda
yükselme ve durgunluk devrelerinin süreleri birbirinden farklı olduğundan konjonktür
dalgalanmaları devri. ancak dönemsel olmayan dalgalanmalardır. Dalgaların süreleri hakkında
kesin bir uzlaşma olmamakla birlikte. yavaşlama dönemi GSMH’da yılın iki çeyrek dönemi
veya daha fazla düşüş olması ile açıklanmaktadır. Yavaşlama dönemlerinde ekonomik
faaliyetler. özellikle talep azalmaktadır. Bundan dolayı işsizlik artar ve böylece talep daha çok
azalır. Sonuç olarak yavaşlayan ekonomiler durgunluğa girer. Durgunluk devresinde yüksek
işsizlik oranı ve düşük gelir düzeyi ortaya çıkmaktadır. Durgunluk devrelerinin ne kadar
süreceğine dair iktisatçılar arasında kesin bir uzlaşma yoktur. 1929 Büyük Buhranı konjonktür
dalgalanmalarında görülen durgunluk devrelerine verilebilecek başlıca örneklerdendir.
Durgunluk devresi kamu harcamalarının artması sonucu ekonominin canlanmaya başlaması ile
yerini yükselme ve ardından refah devresine bırakır. Böylece bir konjonktür dalgasının dört
devresi tamamlanmış olur. Buna göre konjonktür dalgalanmaları büyüme ve istihdamın trendi
etrafındaki dalgalanmalar olarak tanımlanabilir. Bu dalgalanmaların 18 aydan daha kısa
olmadığı kabul edilmektedir. Bu noktada konjonktür dalgalanmalarının başlama ve bitiş
tarihleri ile devrelerin süreleri önem kazanmaktadır. ABD’de yapılan araştırmada 1854-1949
yılları arasında görülen 23 dalgalanmanın ortalama süresinin 49 ay olduğu. bir dalgadan
diğerine süreler arasında büyük farklar olduğu görülmüştür. Bu dönem içinde yaşanan
dalgalanmaların en kısası 29 ay en uzunu ise 99 ay sürmüştür. Dünyada Büyük Buhran ve
Dünya Harplerinden sonra yaşanan en önemli konjonktür dalgalanmaları 1970’ler ve
1980’lerdeki I. ve II. Petrol şoklarıdır. Oluşan dalgaları süreleri ve tarihleri ABD’de National
Bureau of Economic Research (NBER) ve Centre for Economic Policy Research (CEPR) gibi
kuruluşlarca izlenmektedir. Ekonomide yaşanan krizlerin aslında bir konjonktür dalgasının
devresi olduğu kabulü ile bu dalgalanmaların sürelerinin ve tarihlerinin belirlenmesi. politika
yapıcılar açısından özel önem taşımaktadır.
Türk ekonomisi için çeşitli yazarlar tarafından yapılan çalışmalarda 1988-2001 tarihleri
arasında en az 4 yavaşlama ve 5 yükselme devresi yaşandığı belirlenmiştir. İlk yavaşlama 1988
yılının başı itibariyle başlamaktadır. İkinci yavaşlama ise ilk körfez krizi ile yaşanmıştır. 1994
248
finansal krizi üçüncü yavaşlama devresidir. Son olarak 2001 yılındaki bankacılık krizi ise
dördüncü yavaşlama devresini oluşturmuştur. Konjonktür dalgalanmalarının tarih ve süre
aralıklarının belirlenmesinde parametrik olmayan yöntemler ve parametrik yöntemler
kullanılmaktadır. Ekonomik zaman serilerinde konjonktür etkisini belirlemekte kullanılan
parametrik olmayan yöntemler öncü göstergeler yaklaşımıdır.
Konjonktür dalgalanmalarının düzensiz olması ölçülmesini ve serinin bu dalgalardan
arındırılmasını zorlaştırmaktadır. Mevsimsel etkileri arındırmakta kullanılan indeks oluşturma
yöntemi burada kullanılamamaktadır. Ancak yine de ekonomik zaman serileri konjonktür
etkisinden arındırılabilmektedir. Arındırma yıllık bazdaki serilerde farklı. aylık bazdaki
serilerde farklı yollarla yapılmaktadır. Şimdi ekonomik zaman serilerini konjonktür etkisinden
arındırmak için yapılan işlemleri görelim.
2.4.1. Yıllık Serilerde Konjonktürün Ölçülmesi
Yıllık bazda derlenmiş ekonomik zaman serilerinde mevsimsel etkilerin olmadığını
daha önce söylemiştik. Bu nedenle seriler trend. konjonktür ve rastlantısal unsurlardan oluşur.
Yıllık seriler tahmin edilen uygun trend değerlerine ( Y ′ ) oranlanırsa, seride konjonktür ve
rastlantısal etkiler kalacaktır.
Y Y K RK R
Y T
× ×= = ×
′
Ardından rastlantısal etkilerle birlikte konjonktürün payını trendin bir yüzdesi olarak;
100Y
KY
= ×′
biçiminde nispi bir şekilde buluruz. Ekonomik zaman serisinin gerçekleşen değerlerinin trend
değerlerinden
Y Y ′−
biçiminde farkını alırsak; trendin konjonktüre oranla (+) veya (−) yöndeki mutlak etkisi
belirlenmiş olur. Şimdi daha önce ekonomik zaman serilerinde uygun trend denklemini tahmin
etmek ve seriyi trendden arındırmak amacıyla kullandığımız örneği verelim.
Örnek: Türk Ekonomisinin gayri safi yurt içi hâsılası (GSYİH) üretim yöntemi ve sabit
1998 alıcı fiyatları ile (Kaynak: www.tuik.gov.tr ) aşağıdaki gibi derlenmiştir.
249
Yıllar
GSYİH
(milyon TL)
1998 70.203
1999 67.841
2000 72.436
2001 68.309
2002 72.52
2003 76.338
2004 83.486
2005 90.5
2006 96.738
2007 101.255
2008 101.922
2009 97.003
2010 105.886
2011 114.874
GSYİH için 0T =∑ olacak şekilde 31 aralık 2004 tarihi orijin olarak alınıp uygun
trend modeli olarak belirlenen üssel trend modeli
Ln GSYİH = 4.451+0.0421T
şeklinde tahmin edilmiş ve antilogaritma alındıktan sonra GSYİH serisi için büyüme modeli;
GSYİH= 85.7126 0.0421Te
şeklinde bulunmuştur. Burada
250
Yıllar
GSYİH
(milyon
TL)
Ln
GSYİH T
1998 70.203 4.251391 -6.5
1999 67.841 4.217167 -5.5
2000 72.436 4.282703 -4.5
2001 68.309 4.224042 -3.5
2002 72.52 4.283862 -2.5
2003 76.338 4.335171 -1.5
2004 83.486 4.424679 -0.5
2005 90.5 4.50535 0.5
2006 96.738 4.572006 1.5
2007 101.255 4.617642 2.5
2008 101.922 4.624208 3.5
2009 97.003 4.574742 4.5
2010 105.886 4.662363 5.5
2011 114.874 4.743836 6.5
değerlerinden
Yıllar ln Y lnY’ Y Y’ Y-Y’
K=(Y/Y’)*10
0 K-100
1998 4.2514 4.1772 70.2030 65.1861 5.0169 107.6962 7.6962
1999 4.2172 4.2194 67.8410 67.9940 -0.1530 99.7750 -0.2250
2000 4.2827 4.2616 72.4360 70.9228 1.5132 102.1336 2.1336
2001 4.2240 4.3038 68.3090 73.9778 -5.6688 92.3372 -7.6628
2002 4.2839 4.3459 72.5200 77.1643 -4.6443 93.9813 -6.0187
2003 4.3352 4.3881 76.3380 80.4881 -4.1501 94.8438 -5.1562
2004 4.4247 4.4303 83.4860 83.9551 -0.4691 99.4412 -0.5588
2005 4.5053 4.4725 90.5000 87.5714 2.9286 103.3442 3.3442
2006 4.5720 4.5146 96.7380 91.3435 5.3945 105.9057 5.9057
2007 4.6176 4.5568 101.2550 95.2781 5.9769 106.2731 6.2731
2008 4.6242 4.5990 101.9220 99.3822 2.5398 102.5556 2.5556
2009 4.5747 4.6411 97.0030 103.6630 -6.6600 93.5753 -6.4247
2010 4.6624 4.6833 105.8860 108.1282 -2.2422 97.9263 -2.0737
2011 4.7438 4.7255 114.8740 112.7858 2.0882 101.8515 1.8515
olarak bulunur. Gerçekleşen değerlere oranla yüzde değişmelerin görüldüğü son sütunda 1999-
2004 yıllarında konjonktürün yavaşlama devresinde olduğu, 2001 yılında dip noktasına geldiği,
2005-2008 yıllarında ise yükselme devresinde olduğu görülmektedir.
251
2.4.2. Aylık Serilerde Konjonktürün Ölçülmesi
Yıllık serilerde yalnızca trend etkisi varken, aylık ve mevsimlik serilerde hem trend hem
de mevsimsel etki söz konusudur. Bu nedenle aylık serilerde konjonktür etkisini hesaplarken.
öncelikle serinin mevsimsel etkilerden arındırılması gerekmektedir. Bu arındırma işlemi
mevsimsel etki hesaplanırken bulunan mevsim endeksleri yardımıyla yapılmaktadır. Ekonomik
zaman serilerinde trend yıllar itibariyle büyüme eğilimi gösterirken. mevsim endeksleri her yıl
düzenli olarak tekrarlayan hareketleri göstermektedir. Aylık verilerde konjonktür değişmeleri;
Y T K M RK R
Y M T M
× × ×= = ×
′× ×
şeklinde bulunur. Aylık serilerde konjonktürün etkisi; önce aylık trend değerleri ilgili ayın
mevsim endeksi ile çarpılarak, her ay için konjonktür etkisini içermeyen değerler ( )Y M′×
hesaplanır. Ardından gerçekleşen değerler, bu değere ( )Y M′× oranlanarak yüzdelik olarak
ifade edilir.
100Y
K RY M
× = ×′×
Böylece her ay gerçekleşen değerlerin konjonktür nedeniyle normalin ne oranda üstüne
çıktığı veya altında olduğu belirlenir.
80.0000
85.0000
90.0000
95.0000
100.0000
105.0000
110.0000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Yıllar
Y'
252
Şimdi daha önce kullandığımız ve mevsim endeksini hesapladığımız serimizi
konjonktür etkisinden arındıralım.
Örnek: Türkiye’nin aylık toplam ihracat rakamları milyon $ cinsinden verilmiştir. Söz
konusu seri birçok yöntemle mevsimsellikten arındırılmış ve mevsim endeksi hesaplanmıştır.
Burada aylık ortalamaların trende oranı yöntemi ile elde edilen mevsim endeksi değerleri
Aylar Mevsim
Endeksi
Ocak 0.877601
Şubat 0.936608
Mart 1.030502
Nisan 0.992683
Mayıs 1.014603
Haziran 1.01732
Temmuz 1.056178
Ağustos 0.959686
Eylül 1.009528
Ekim 1.060013
Kasım 1.006444
Aralık 1.038834
şeklindedir. Mevsimsellikten arındırılan ihracat serisi için işlemleri kısaltmak amacıyla
yalnızca 2009 yılına ait değerler hesaplanmıştır.
2009
Aylar
Toplam
İhracat
Trend
Değeri
Mevsim
Endeksi
T×M K=(Y/T×M)100
Ocak 7884.49 8025.4 0.8776 7043.1017 111.9463
Şubat 8435.12 8550.24 0.93661 8008.226 105.3306
Mart 8155.49 8244.83 1.0305 8496.31484 95.9885
Nisan 7561.7 7625.26 0.99268 7569.46597 99.89735
Mayıs 7346.41 7384.19 1.0146 7492.02031 98.05642
Haziran 8329.69 8342.58 1.01732 8487.07654 98.1456
Temmuz 9055.73 9042.84 1.05618 9550.85078 94.81598
Ağustos 7839.91 7802.13 0.95969 7487.59109 104.7053
Eylül 8480.71 8417.14 1.00953 8497.34255 99.80424
Ekim 10095.8 10006.4 1.06001 10606.9353 95.18084
Kasım 8903.01 8787.88 1.00644 8844.51111 100.6614
Aralık 10054.6 9913.68 1.03883 10298.6689 97.63
253
Buna göre 2009 yılının Ocak ve Şubat ayları konjonktürün sırasıyla % 11.94 ve % 5.33
oranında üstünde kalırken, Mart- Temmuz ayları konjonktürün altında kalmıştır. Ocak ayı
konjonktüre göre en yüksek değeri vermiştir. Temmuz ayı dip noktası olup, bu ayda ihracat
serisi konjonktürün % 5.184 oranında altında kalmıştır. Kasım ayı yine konjonktürün üstünde,
ancak aralık ayı altındadır.
2.4.3. Öncü Göstergeler Yaklaşımı
Öncü göstergeler konjonktür dalgalanmaları reel GSMH’da henüz ortaya çıkmadan
GSMH’yı etkileyebileceği düşünülen makro ekonomik değişkenlerde meydana gelen
değişimleri izleyerek GSMH’nın konjonktürden ne ölçüde ve yönde etkileneceğini önceden
tahmin etmek amacıyla geliştirilmiştir. Makroekonomik değişkenler GSMH ile hep aynı yönde
ve eş zamanlı olarak değişmemektedir. Bir grup makro gösterge öncü (leading) niteliğinde olup,
GSMH’dan önce ekonominin yaşayacağı sinyalleri vermektedir. Bir grup makro gösterge ise
eş zamanlı (coincident) değişim göstermektedir. Diğer bir grup gösterge ise ekonomideki
değişimlere gecikmeli (lagging) olarak tepki vermektedir. Öncü göstergeler endeksleri
oluşturulurken, reel sektör, para ve finansal sektör, ödemeler dengesi ve dış ticaretle ilgili
değişimleri dikkate alacak değişkenlere yer verilmesi amaçlanır.
Öncü göstergeler endeksleri oluşturulurken, öncü olabilecek nitelikteki değişkenler;
• İmalat sanayindeki ortalama (haftalık, aylık) çalışma saati
• İşsizlik sigortası başvuruları
• Tüketim malları üretimi için verilen yeni siparişler
• Ertelenmiş mal teslimleri
• Kurulan yeni işletme sayısı
• Makine ve teçhizat satın almaları için verilen siparişler
Öncü göstergeler endekslerinde eş zamanlı göstergeler olarak kullanılabilecek makro
değişkenler;
• Tarım dışı sektörlerde ödenen ücretler
• Kişisel gelir
• Sanayi üretim endeksi
254
• İmalat ve ticaret sektöründeki satış hacmi
Öncü göstergeler endekslerinde gecikmeli olarak kullanılabilecek makro değişkenler;
• Ortalama işsizlik süresi
• Birim işgücü maliyeti
• Stokların satışlara oranı
• Ticari kredi hacmi
Bu değişkenlerin hepsi veya bir kısmı çeşitli yöntemlerle ağırlıklandırılarak bileşik öncü
göstergeler endekslerinde yer alır.
Türk ekonomisi için hazırlanan bileşik öncü göstergeler endeksi OECD ile birlikte
yürütülen çalışmalar sonucunda oluşturulmuştur. (Kaynak: Ekonomik Faaliyetler İçin Bileşik
Öncü göstergeler Endeksine (MBÖNCÜ-SÜE) İlişkin Yöntemsel Açıklama,
http://www.tcmb.gov.tr/yeni/evds/yayin/oncu_gos/Metodoloji.pdf)
Bileşik öncü göstergeler endeksi oluşturulurken izlenen temel adımlar aşağıda
verilmiştir:
1) Ekonomik faaliyet göstergesi olarak kullanılacak referans serinin seçilmesi
2) Ekonomik faaliyet ile ilişkisi olduğu düşünülen makroekonomik değişkenlerin
seçilmesi (potansiyel öncü göstergeler)
3) Farklı bileşik öncü göstergeler endeksleri oluşturularak performanslarının
incelenmesi
4) En iyi performanslı bileşik öncü göstergeler endeksine karar verilmesi.
Referans Seri:
Bileşik öncü göstergeler endeksi çalışmasının ilk aşaması, referans seri olarak
adlandırılan ve ekonomik faaliyet göstergesi olarak kullanılacak değişkenin seçilmesidir.
Ekonomik faaliyet göstergesi olarak genellikle Gayri Safi Yurtiçi Hasıla ve Sanayi Üretim
Endeksi kullanılmaktadır. Gayri Safi Yurtiçi Hasıla üç aylık bir veridir ve ilgili olduğu
dönemden yaklaşık bir dönem sonra açıklanmaktadır. Öncü göstergeler yönteminde, hem daha
yüksek frekanslı hem de daha az gecikme ile yayımlanan bir serinin referans seri olarak
kullanılması tercih edilmektedir. Bu nedenle, bu çalışmada referans seri olarak dönüş noktaları
255
Gayri Safi Yurtiçi Hasıla’nın dönüş noktaları ile uyumlu olan ve aylık olarak açıklanan Sanayi
Üretim Endeksi kullanılmıştır.
Sanayi Üretim Endeksi’nin ve Gayri Safi Yurtiçi Hasıla’nın dönüş noktalarının uyumlu
olması, bileşik öncü göstergeler endeksini oluşturan serilerin sadece sanayi üretimine değil
bütün ekonomik faaliyetlere öncülük etmesi açısından önemlidir.
Potansiyel Öncü Göstergeler:
Referans serinin seçilmesinden sonra, ekonomik faaliyet ile ilişkisi olabilecek
değişkenleri kapsayan bir veri tabanı oluşturulmuştur. İyi bir öncü göstergenin sahip olması
gereken özellikler aşağıdaki gibi özetlenebilir:
i. Seriye kolay ve hızlı bir şekilde ulaşılabilmelidir.
ii. Seride daha önceki sonuçları etkileyecek önemli değişikliklerin yapılmıyor olması
gerekmektedir.
iii. Serinin yayın süresinde önemli bir gecikme olmamalıdır.
iv. Serideki devresel hareketler, referans serideki hareketleri önceden göstermelidir.
Yukarıdaki özelliklere sahip değişkenler potansiyel öncü göstergeler olarak seçilmiştir.
Seçilen potansiyel öncü göstergeler şunlardır:
- Dayanıklı Tüketim Malları Üretim Miktarı (Fırın, TV, Buzdolabı, Çamaşır Makinesi)
- Elektrik Üretim Miktarı
- Kapasite Kullanım Oranı
- Otomobil Satışları
- Yatırım Teşvik Belgeleri
- Reel Efektif Döviz Kuru
- Üç Ay Vadeli Mevduat Faiz Oranı
- Altı Ay Vadeli Mevduat Faiz Oranı
- On iki Ay Vadeli Mevduat Faiz Oranı
- Satış Miktarı ile Ağırlıklandırılmış Hazine İhalesi Faiz Oranı
256
- Ara Malları İthalatı
- Toplam İstihdam (kişi sayısı)
- TCMB İktisadi Yönelim Anketi - Mamul Mal Stok Miktarı ile İlgili Soru
- TCMB İktisadi Yönelim Anketi - Yatırım Harcaması ile İlgili Soru
- TCMB İktisadi Yönelim Anketi - Üretim Hacmi ile İlgili Soru
- TCMB İktisadi Yönelim Anketi - İç Piyasadan Alınan Yeni Siparişlerin Miktarı ile
İlgili Soru
- TCMB İktisadi Yönelim Anketi - İhracat İmkanları ile İlgili Soru
- TCMB İktisadi Yönelim Anketi - Toplam İstihdam Miktarı ile İlgili Soru
Bileşik Öncü Göstergeler Endeksi:
Seçilen potansiyel serilerle farklı bileşik öncü göstergeler endeksleri oluşturulmuştur.
Bu endeksler oluşturulmadan önce, farklı dalga boylarında olan potansiyel öncü
göstergelerin devresel hareketlerini birleştirebilmek amacıyla seriler aynı ölçeğe getirilmiştir.
Oluşturulan farklı bileşik öncü göstergeler endekslerinden en iyi performansı gösteren seri,
nihai bileşik öncü göstergeler endeksi olarak seçilmiştir. En iyi endeksin seçilmesinde
kullanılan temel kıstaslar şunlardır:
i. Endeksin dönüş noktalarının, referans serinin dönüş noktalarını öncüleme süresinin
uzun olması
ii. Dönüş noktalarını öncüleme süresinin varyansının düşük olması
iii. Oluşturulan endekste düzensiz dalgalanmaların fazla olmaması
iv. Endeksin, referans seride gözlenen devre sayısından değişik sayıda devre
içermemesi.
Bu kıstaslara göre seçilen bileşik öncü göstergeler endeksini (MBÖNCÜ-SÜE)
oluşturan seriler şunlardır:
- Elektrik Üretim Miktarı
- Satış Miktarı ile Ağırlıklandırılmış Hazine İhalesi Faiz Oranı
257
- Ara Malları İthalatı
- TCMB İktisadi Yönelim Anketi - Mamul Mal Stok Miktarı ile İlgili Soru
- TCMB İktisadi Yönelim Anketi - İç Piyasadan Alınan Yeni Siparişlerin Miktarı ile
İlgili Soru
- TCMB İktisadi Yönelim Anketi - İhracat İmkanları ile İlgili Soru
- TCMB İktisadi Yönelim Anketi - Toplam İstihdam Miktarı ile İlgili Soru
MBÖNCÜ-SÜE’yi oluşturan serilerden Hazine ihalesi faiz oranı, TCMB İktisadi
Yönelim Anketi-ihracat imkanları ve toplam istihdam miktarı ile ilgili sorulardan elde edilen
serilerde önemli bir mevsimsellik gözlenmemiştir. Diğer seriler ise TRAMO/SEATS yöntemi
kullanılarak mevsimsel bileşeninden arındırılmıştır. Bileşik öncü göstergeler endeksi
oluşturulurken, sanayi üretimi ile ters yönlü ilişkisi olan Hazine ihalesi faiz oranı ve TCMB
İktisadi Yönelim Anketi-mamul mal stok miktarı serilerinin –1 ile çarpılmış halleri
kullanılmıştır. Burada amaç, bu serilerin devrelerinin Sanayi Üretim Endeksi’nin devreleri ile
aynı yönlü hareket etmesini sağlamaktır.
Öncü göstergeler endeksi Aralık 1987 yılından itibaren hesaplanmaktadır. Burada
endeksin Ocak 2007 tarihinden itibaren değerleri verilmiştir.
258
YILLA
R
MBONC
U-SUE
Trend
Kapsayan
MBONC
U-SUE
Devreler
MBONC
U-SUE 6
Aylık (%)
Değişim YILLAR
MBONC
U-SUE
Trend
Kapsaya
n
MBONC
U-SUE
Devreler
MBONCU-
SUE 6 Aylık
(%) Değişim
Oca.07 172.84 107.18 10.99 Oca.10 186.24 102.24 21.92
Şub.07 174.46 107.82 11.67 Şub.10 188.4 103.08 19.23
Mar.07 173.48 106.85 9.1 Mar.10 189.21 103.18 15.33
Nis.07 172.67 105.99 6.94 Nis.10 190.16 103.34 12.59
May.07 172.95 105.81 6.25 May.10 190.73 103.3 10.43
Haz.07 174.17 106.2 6.68 Haz.10 191.04 103.12 8.82
Tem.07 177.74 108 9.64 Tem.10 193.39 104.03 9.83
Ağu.07 180.21 109.13 11.01 Ağu.10 194.96 104.52 9.83
Eyl.07 180.88 109.17 10.05 Eyl.10 196.62 105.06 9.74
Eki.07 182.4 109.71 9.99 Eki.10 195.24 103.97 6.55
Kas.07 183.06 109.74 8.96 Kas.10 195.13 103.56 4.98
Ara.07 182.76 109.19 6.97 Ara.10 195.2 103.24 3.82
Oca.08 185.28 110.32 8.46 Oca.11 195.32 102.96 3.03
Şub.08 184.11 109.25 6.05 Şub.11 196.5 103.23 3.42
Mar.08 181.92 107.59 2.88 Mar.11 197.15 103.23 3.39
Nis.08 178.97 105.49 -0.9 Nis.11 198.44 103.55 3.98
May.08 177.88 104.49 -2.53 May.11 197.56 102.74 2.46
Haz.08 176.32 103.23 -4.5 Haz.11 196.6 101.9 1
Tem.08 174.81 102 -6.18 Tem.11 196.72 101.61 0.67
Ağu.08 170.51 99.15 -10.18 Ağu.11 198.81 102.35 2.38
Eyl.08 160.85 93.22 -18.67 Eyl.11 199.71 102.46 2.93
Eki.08 146.3 84.5 -30.54 Eki.11 199.86 102.19 2.82
Kas.08 136.05 78.31 -37.33 Kas.11 196.61 100.19 -0.6
Ara.08 134.55 77.19 -35.98 Ara.11 193.87 98.46 -3.25
Oca.09 138.33 79.09 -29.6 Oca.12 193.63 98.01 -3.37
Şub.09 142.02 80.92 -22.8 Şub.12 196.1 98.92 -0.95
Mar.09 151 85.75 -10.01 Mar.12 199.72 100.41 2.48
Nis.09 161.19 91.23 4.61 Nis.12 201.36 100.89 3.83
May.09 169.84 95.8 17.24 May.12 199.66 99.7 1.99
Haz.09 175.13 98.45 25.07 Haz.12 198.95 99.01 1.15
Tem.09 175.47 98.31 25.67 Tem.12 198.85 98.63 0.88
Ağu.09 174.97 97.7 24.92 Ağu.12 200.18 98.95 1.96
Eyl.09 176.41 98.17 26.27 Eyl.12 201.13 99.09 2.74
Eki.09 178.34 98.9 26.86 Eki.12 201.99 99.17 3.44
Kas.09 180.57 99.8 25.83 Kas.12 202.6 99.14 3.84
Ara.09 184.16 101.44 25.06
259
Uygulamalar
260
Uygulama Soruları
261
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
262
Bölüm Soruları
1) Konjonktür dalgalarının özellikleri açıklayınız.
2) Bir konjonktür dalgası kaç devreden oluşmaktadır.
3) Türk ekonomisi için aylık bazda derlenmiş toplam ithalat değerlerini kullanarak,
konjonktür etkisini belirleyiniz.
4) Konjonktür etkisinin belirlenmesinde kullanılan öncü göstergeler yaklaşımını
açıklayınız.
5) Türk ekonomisi için oluşturulan öncü göstergeler endeksinde hangi değişkenler
kullanılmıştır?
6)
7)
8)
9)
10)
Cevaplar
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
263
264
12. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-X
265
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
12.1.
12.2.
12.3.
266
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
267
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
268
Anahtar Kavramlar
269
Giriş
Bu hafta ekonomik zaman serilerinde eksik gözlem olması durumunda bu gözlemlerin
tahmin edilmesi ile ilgili yöntemler açıklanacaktır. Eksik gözlemler seride iki gözlem değeri
arasında iken tahmini interpolasyon olarak adlandırılırken, eksik gözlem serinin başında veya
sonunda ise tahmini ekstrapolasyon olarak adlandırılmaktadır.
270
2.5. İnterpolasyon
Ekonomik zaman serileri incelenirken, bazen serilerin bütün gözlem değerlerine
ulaşılamamaktadır. Eksik gözlemler serinin başında sonunda veya iki gözlem değeri arasında
yer alabilir. Bu durumda eksik gözlemlerin tahmin edilmesi gerekmektedir. Örneğin adrese
dayalı nüfus sayımına geçmeden önce Türkiye’de nüfus sayımları beş yılda bir yapılmaktaydı.
Bu nedenle sonu sıfır ve beş ile biten yıllara ait nüfus rakamları tam olarak bilinebilirdi. Ancak
sayım yapılmayan diğer yıllarda nüfusu tam olarak bilmanin imkânı yoktu. Bu nedenle söz
konusu arayılların tahmin edilmesi gerekmekteydi. Aynı şekilde gelir düzeyi ile ilgili
araştırmalarda da gelir yüzde yirmilik paylara bölündüğünden, aradaki değerler
bilinememektedir. Bu durumda serilerin bilinen değerleri yardımıyla bilinmeyen değerleri
hakkında matematiksel yöntemlerle tahmin yapma ve sonuç çıkarma işlemine interpolasyon
(ara değer atama) adı verilir. Bilinmeyen değerler serilerin başında veya sonunda ise, bu
durumda yapılan tahmine ekstrapolasyon adı verilmektedir. Bu işlem de özünde bir
interpolasyon işlemidir. Ancak ekstrapolasyon ile serinin serinin baştan veya sondan uzatılması
söz konusudur.
İnterpolasyon metamatiksel yöntemlerle tahmin anlamına geldiğine göre, seride bilinen
değerleri bir matematiksel foksiyon yardımıyla ifade etmek, örneğin bir doğru veya eğri
denklemi ile açıklamak ve bu ilişkinin bütün değerler için aynı ve geçerli olduğunu varsaymak
anlamına gelmektedir. Bu varsayım yardımıyla bilinmeyen değerler de tahmin edilmektedir.
Bilinmeyen değerlerin tahmininde iki yaklaşım kullanılmaktadır. Bunlar:
• Seçilmiş noktalara göre interpolasyon
• En küçük kareler yöntemi ile interpolasyon
yöntemidir.
Seçilmiş noktalara göre interpolasyon yönteminde, kullanılacak fonksiyonun denklemi
koordinat düzlemi üzerinde verileri temsil eden veya aralarından seçilmiş bütün noktaların
üzerinden geçecek şekilde hesaplanır.
En küçük kareler yöntemi ile interpolasyonda ise, fonksiyon noktaların üzerinden değil,
aralarından geçecek şekilde tahmin edilir.
2.5.1. Seçilmiş Noktalara Göre İnterpolasyon
Bu yöntemde tahmin için kullanılan fonksiyonun tipinin ve derecesinin önemi büyüktür.
Bu ndenle öncelikle fonksiyon tipinin ve derecesinin belirlenmesi gerekmektedir. İnterpolasyon
genellikle bir polinom veya bir üssel fonksiyon üzerinden yapılmaktadır. Polinomik
fonksiyonun genel formu;
271
2 3 ...Y T T Tα β γ δ= + + + +
şeklinde yazılmaktadır. Burada Y, ekonomik zaman serisini gösterirken, T, trendi
göstermektedir. İnterpolasyon yalnızca zaman serisi analizlerinde kullanılan bir yöntem
değildir. Aynı zamanda çok değişkenli istatistiksel modellerde de kullanılabilir. Bu durumda
X, Yt zaman serisini açıklayan bağımsız değişkeni gösterirken, denklem
2 3 ...Y X X Xα β γ δ= + + + +
şeklinde olacaktır. Uygulamada genllikle polinomik modeller kullanılırken, nüfus artışı ile ilgili
araştırmalarda birinci veya ikinci dereceden modeller nüfus artışını yansıtmayacaktır. Ayrıca
polinominal fonksiyonlar ekonomik zaman serisinin değerinin sıfırın altına düşemeyeceği
hallerde negatif bir tahmin verebilmektedir. Polinominal fonksiyonların kullanımının yarattığı
bu gibi sakıncaları gidermek amacıyla ve doğru tahmin yapabilmenin yolu uygun fonksiyon
tipinin seçilmesi olduğundan, özellikle nüfus artışı ile ilgili olarak üssel modellerin seçilmesi
gerekmektedir. Burada seçilecek fonksiyon tipi kesikli ve sürekli verilerde ayrı ayrı olmaktadır.
Nüfus geometrik dizi ile artış gösterdiğinden, kesikli büyüme
0 (1 )ttY Y r= +
şeklindeki bileşik faiz formülü ile, sürekli büyüme ise;
0tr
tY Y e=
şeklindeki fonksiyon ile tahmin edilmektedir. Kesikli büyümede 10 tabanına göre sürekli
büyümede ise e tabanına göre logaritmik dönüşüm yapılması gerekmektedir. Logaritmik model;
2X XtY αβ γ=
biçiminde de yazılabilir. Bu durumda fonksiyon logaritmik dönüşümle;
2log log log logtY X Xα β γ= + +
şeklinde tahmin edilir.
Fonksiyonun tipi belirlendikten sonra derecesi de belirlenmelidir. Fonksiyonun derecesi
seride interpolasyon için kullanılacak değerlerin sayısına bağlı olarak belirlenmelidir. Buna
göre, n sayıda gözlem değeri kullanılıyorsa, fonksiyon (n-1). Dereceden olmalıdır. Bu yolla
fonksiyona ait doğru veya eğri seçilmiş gözlem değerlerinin üzerinden geçecektir. Kullanılacak
veri sayısına göre fonksiyonun derecesi artacağından, işlemleri kolaylaştırmak amacıyla
272
genellikle üç veya dördüncü dereceden daha yüksek dereceden fonksiyon seçilmez. Bu
durumda kullanılacak veri sayısı da dört veya beş gözlemle sınırlı olacaktır.
Şimdi seçilmiş iki noktaya dayanarak polinominal ve üssel fonksiyonlarla yapılan
interpolasyonlara örnekler verelim.
Örnek: Türkiye’nin nüfusu 1985 ve 1990 yıllarında yapılan sayımlarla aşağıdaki gibi
belirlenmiştir. Buna göre 1986, 1987, 1988 ve 1989 yıllarının nüfusunu tahmin ediniz.
Nüfus
Yıllar (bin) T
1985 50.664 0
1990 56.473 1
Kaynak: Tüik: Genel Nüfus Sayımları 1927-2000
Buna göre elimizde yalnızca iki gözlem değeri olduğuna göre, fonksiyonun derecesi (n-
1)=2-1=1 olacaktır. Bu da doğrusal denklem ile tahmin yapılacağı anlamına gelir. Trend
analizinde görüldüğü gibi yılları değil de, yıllar için atanmış değerleri kullanarak, 1985 yılını
orijin değeri olarak aldığımızda, beş sonrasının 1 değerini alabilmesi için nüfusta her yıl 1/5=0,2
oranında büyüme olacaktır. Öyleyse
Y Tα β= +
şeklindeki doğru denkleminde önce söz konusu iki yıla ait nüfus değerleri ile parametreleri
tahmin edelim. Burada orijin olarak 1985 yılı alındığından, başlangıç nüfusu α = 50664
olacaktır.
50664
56473 (1)
Y Tα βαα β
= +
=
= +
olacak ve böylece 56473=50664+ β ’dan β =5809 olarak bulunur. İnterpolasyon doğrusunun
denklemi de
50664 5809Y T Tα β= + = + şeklinde olacaktır. Burada her yıl
0,2 oranında nüfus artış hızı olacağına göre, sırasıyla 1986 yılında 0,2, 1987 yılında
2×0,2=0,4,... değerleri doğru denkleminde yerine konarak,
1986 için 50664 5809(0, 2) 50664 1161,8 51825,8Y Tα β= + = + = + =
273
1987 için 50664 5809(0,4) 52987,6Y Tα β= + = + =
1988 için 50664 5809(0,6) 54149, 4Y Tα β= + = + =
1989 için 50664 5809(0,8) 55311,2Y Tα β= + = + =
şeklinde hesaplanacaktır. Burada doğrusal bir fonksiyon kullanılarak aslında nüfusun aritmetik
dizi ile değiştiği varsayımı kabul edilmektedir. Bu varsayımla nüfusun yıllık ortalama değişme
hızı bulunarak, her yıl başlangıç yılındaki nüfusun üzerine ilave edilir. Bu durumda, aynı
tahmin;
1990 19851986 1985ˆ 1
5
Y YY Y
− = + ×
şeklinde de yapılabilir. Burada ortalama değişme hızı, her yıl için yeniden artacağından, nüfus
1986
56473 50664ˆ 50664 50664 1161,8 51825,85
Y− = + = + =
1987
56473 50664ˆ 50664 2 50664 (2 1161,8) 52987,65
Y− = + × = + × =
.....
1989
56473 50664ˆ 50664 2 50664 (4 1161,8) 55311, 25
Y− = + × = + × =
olarak aynı şekilde tahmin edilecektir. Ancak nüfus değişimlerinin aritmetik dizi şeklinde değil,
geometrik dizi şeklinde olduğu bilinmektedir. Dolayısıyla buradaki doğrusal artış varsayımı
gerçeği yansıtmayacaktır. Söz konusu dönemde nüfus artışlarını üssel fonksiyon yardımıyla
tahmin etmek gerekmektedir. İki gözlem değerine dayanılarak tahmin yapılacağından, üssel
model;
TtY αβ=
şeklinde olmalı ve logaritmik dönüşümle,
log log logtY Tα β= +
274
Nüfus
Yıllar (bin) Log (Nüfus) T
1985 50.664 4,7046 0
1990 56.473 4,7518 1
buradan üssel modelin parametreleri,
4,7046 log
4,7518 log (1) log
αα β
=
= +
ve
log 4,7518 4,7046 0,0472β = − =
log(0,0472) 1,1148antiβ⇒ = =
olarak tahmin olur. Böylece model,
ˆ 50664(1,1148)TY =
olacaktır. Burada 1985 ile 1990 arasındaki her yıla sırasıyla, 0,2, 0,4,... değerleri verilerek ara
değerler;
0,21986ˆ 50664(1,1148) 50664(1,0219) 51777, 23Y = = =
0,41987ˆ 50664(1,1148) 50664(1,0444) 52913, 48Y = = =
0,61988ˆ 50664(1,1148) 50664(1,0673) 54073,68Y = = =
0,81989ˆ 50664(1,1148) 50664(1,0908) 55264, 29Y = = = milyon
olarak tahmin edilir.
Aynı dönemde nüfus artışı bileşik faiz fomülü ile de tahmin edilebilir. Bu durumda
0 (1 )ttY Y r= +
şeklindeki model yardımıyla, önce yıllık ortalama nüfus artış hızını hesaplamalıyız.
275
0
5
(1 )
56473 50664(1 )
ttY Y r
r
= +
= +
log 56473 log50664 5log(1 )r= + +
4,7518 4,7046log(1 ) 0,00944
5r
−+ = =
1+r=antilog(0,00944)=1,02197
ve böylece yıllık ortalama nüfus artış hızı r = ‰ 21,97 olarak tahmin edilir. Şimdi bileşik faiz
formülünü kullanarak her ara yıla ait nüfus tahminlerini yapalım. Tahminler,
0 (1 )ttY Y r= +
11986 50664(1 0,02197) 51777,088Y = + =
21987 50664(1 0,02197) 52914,63Y = + =
31988 50664(1 0,02197) 54077,16Y = + =
41989 50664(1 0,02197) 55265, 24Y = + =
şeklinde daha önce TtY αβ= üssel fonksiyonu ile yapılan tahminlerle aynı sonuçlar çıkmıştır.
Burada nüfus tahminlerindeki küçük küsurat farkları logaritmik dönüşüm sırasında bütün
hanelerin alınmayışından kaynaklanmaktadır.
Burada ayrıca doğrusal denklem ile yapılan interpolasyonlarda nüfusun yıllık artış
miktarının sabit kabul edildiği, üssel fonksiyon ve bileşik faiz fonksiyonunda ise nüfusun artış
hızının sabit kabul edildiği varsayılmaktadır. Üssel fonksiyon ve bileşik faiz oranı nüfus
tahminleri için daha uygun modellerdir. Nitekim 1985-1990 dönemlerinde TÜİK tarafından
açıklanan gerçek yıllık ortalama nüfus artış hızı ise ‰ 21,71 şeklindedir. Görüldüğü gibi
interpolasyon işlemi ile gerçek artış hızına oldukça yakın bir tahmin yapılmıştır.
276
İnterpolasyon işlemi daha önce de söylendiği gibi seçilmiş üç nokta üzerinden
yapıldığında n-1=3-1=2. dereceden polinominal fonksiyondan yararlanılmalıdır. Bu durumda
2Y T Tα β γ= + +
şeklindeki polinom yardımıyla 1980-1990 dönemlerine ait aşağıdaki nüfus verileri için
interpolasyon yapalım.
Nüfus
Yıllar (bin) T
1980 44.737 0
1985 50.664 1
1990 56.473 2
Kaynak: Tüik: Genel Nüfus Sayımları 1927-2000
Bu durumda
2Y T Tα β γ= + +
şeklindeki denklemde zamanın yerine değerler konulduğunda,
44737
50664 (1) (1)
56473 (2) (4)
αα β γα β γ
=
= + +
= + +
denklem takımından,
50664 44737
56473 44737 2 4
β γβ γ
= + +
= + +
5927
11736 2 4
β γβ γ
= +
= +
277
44737α = , 5986β = , 59γ = −
olarak tahmin edilir. Bu durumda interpolasyon denklemi
244737 5986 59Y T T= + −
şeklindedir. Böylece örneğin 1987 yılı için nüfus tahmini
244737 5986(1, 4) 59(1, 4)Y = + − =53001,76
biçiminde tahmin edilecektir. Şu ana kadar çeşitli fonksiyon tipleri ile interpolasyon işleminin
nasıl yapıldığını gördük. Ancak serilerin başında veya sonunda olan verilerin tahmini işlemini,
yani ekstrapolasyon işlemini henüz uygulamadık. Şimdi yukarıdaki örneğimizde 1995 yılına
ait nüfusu ekstrapolasyon yöntemi ile tahmin edelim. Bunun için yıllara
Yıllar T
1980 0
1985 1
1990 2
1995 3
şeklinde değer atamamız gerekmektedir. Bu durumda 2. dereceden denklemde T=3 yazarak
244737 5986 59Y T T= + −
244737 5986(3) 59(3)Y = + − = 62164
şeklinde tahmin edilir.
Derlenen veri kümelerinin sınıf aralıkları çok geniş olduğunda, söz konusu aralıkları
interpolasyon yöntemi ile daraltmak mümkündür. İnterpolasyon bu amaçla kullanıldığında,
yukarıdaki şekilde tahmin yapılabileceği gibi, birikimli seriler yardımıyla da tahmin edilebilir.
Birikimli seriler kullanıldığında, gerçek serideki sınıfların bölüneceği noktalara göre ara
değerler atandıktan sonra, birbirini takip eden ara sınıflar arasındaki farklar alınarak sıklık
bölünmesi şekliyle gerçek değerlere ulaşılacaktır.
Örnek: Bir holdingin çalışanlarına ait gelir dağılımı aşağıdaki gibidir.
278
Gelir
Sınıfları
(TL)
Gelir
Sahipleri
Sayısı
0-1000 250
1000-2000 170
2000-3000 95
Buna göre son iki sınıfı eşit aralıklı ikişer sınıfa bölmek istediğimizde; veri sayısı üç
olduğuna göre; n-1=3-1=2. dereceden bir polinom yardımıyla tahmin yapılacaktır. Bu durumda
2Y X Xα β γ= + +
denklemi birikimli seriyi oluşturarak,
Gelir
Sınıfları
(TL) X
Birikimli
Gelir
Sahipleri
Sayısı
1000’den az 0 250
2000’den az 1 420
3000’den az 2 515
şeklindeki veriler yardımıyla
250 α=
2420 (1) (1)α β γ= + +
2515 (2) (2)α β γ= + +
170= β γ+
265= 2 4β γ+
şeklindeki denklem takımından
279
250α = , 207,5β = , 37,5γ = − ve denklem
2250 207,5 37,5Y X X= + −
olarak tahmin edilir. Son iki sınıfı eş aralıklı ikişer sınıfa bölmek istediğimize göre;
1500’den az sınıfı için X=0,5 değeri ve 2500’den az sınıfı için X=1,5 değeri atanarak 2250 207,5 37,5Y X X= + − denkleminden sırasıyla
2250 207,5(0,5) 37,5(0,5) 344,375Y = + − =
2250 207,5(1,5) 37,5(1,5) 476,875Y = + − =
değerleri tahmin edilir. Bu değerlerle birikimli seri yeniden yazılarak, sınıflar arasındaki farklar
Gelir
Sınıfları
(TL) X
Birikimli
Gelir
Sahipleri
Sayısı Farklar
1000’den az 0 250 -
1500’den az 0,5 344,375 344,375-250=94,375
2000’den az 1 420 420-344,375=75,625
2500’den az 1,5 476,875 476,875-420=56,875
3000’den az 2 515 515-476,875=38,125
biçiminde bulunduğunda, gerçek sıklık bölünmesi serisine ulaşılır. Burada gelir sahipleri kişi
sayısını gösterdiğinden ve tamsayılı değerlere sahip olması gerektiğinden, bulunan yeni sınıflar
tamsayılı olarak ifade edilmiştir. Böylece,
Gelir
Sınıfları
(TL)
Gelir
Sahipleri
Sayısı
0-1000 250
1000-1500 94
1500-2000 76
2000-2500 57
2500-3000 38
280
Toplam: 515
biçiminde tahmin edilen ara sınıflar istendiği takdirde farklı sınıf aralıklarına da bölünebilir.
2.5.2. En Küçük Kareler Yöntemine Göre İnterpolasyon
Daha önce ekonomik zaman serilerinin trend analizini yaparken, tahmin ettiğimiz trend
denklemi yardımıyla seride yer almayan yılların değerlerini elde etmiştik. Kısaca trend
denklemini bir interpolasyon denklemi gibi kullanmış ve özellikle son gözlem değerlerinin
ekstrapolasyonunu yapmıştık. Şimdi öncelikle en küçük kareler yöntemi ile interpolasyonun
seçilmiş noktalara göre interpolasyondan farkını görelim.
• Seçilmiş noktalara göre interpolasyonda fonksiyonun denklemi seçilen her
noktanın üstünden geçecek şekilde ayarlandığı halde, en küçük kareler yönteminde
tahmin edilen denklem veri kümesindeki değerlerin ortalamalarından geçer. Bu
durumda noktaların üstünden değil, genellikle en yakın olacak şekilde aralarından geçer.
• Seçilmiş noktalara göre interpolasyonda kullanılacak veri sayısı azdır.
İnterpolasyon için oluşturulan denklem de veri sayısının bir eksiği olacak şekilde
ayarlanır. En küçük kareler yönteminde ise veri sayısı çoktur. Fonksiyonun tipi ise,
verinin grafiğinin seyrine göre ve hatayı en küçükleyecek şekilde seçilmektedir.
• Bu farklılıklar sonucunda en küçük kareler yöntemi ile interpolasyon yapılması
durumunda seri için tahmin edilen ara değerler ve serinin başındaki veya sonundaki uç
değerler, ekonomik zaman serisinin taşıdığı dalgalanmaları değiştirmeden tahmin
edilmektedir. Oysa seçilmiş noktalara göre interpolasyon yönteminde serinin seyri ve
taşıdığı dalgalanmalar dikkate alınmaz.
Şimdi en küçük kareler yöntemi ile interpolasyona polinominal ve üssel model örnekleri
verelim.
Örnek: Doğru denklemine göre interpolasyon örneği için daha önce bir firmanın 11
yıllık ihracat rakamlarına ait olarak verdiğimiz örnekte firmanın ihracatındaki söz konusu
dönemdeki ortalama yıllık değişimi belirleyerek 2012 ile 2013 ihracatlarını tahmin etmiştik.
Yıllar (T) 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011
İhracat
(Mil. $) 81.5 79.3 80.2 78.9 77.6 77.2 78.4 76.9 75.4 74.7 74.3
281
Buna göre normal denklemlerden tahmin edilen trend denklemi
tY =80,945−0,654T
Ve 2012- 2013 interpolasyonu
2012Y =80,945 −0,654(11)= 73,751 bin ton
2013Y =80,945 −0,654(12)= 73,097 bin ton şeklindeydi.
Aynı şekilde kuadratik fonksiyon için verdiğimiz örnekte de bir firmanın 11 yıllık
toplam maliyetlerine uygun trend fonksiyonu
Yıllar (T) 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
Toplam
Maliyet
(Mil. TL) 55.5 54.6 55 54.1 52.8 51.3 51.9 50.3 49.6 52.5 52.8
Y = 51,82−0,423T+0,094T2
şeklinde tahmin edilerek, 2011 yılı için ekstrapolasyon
2011Y =51,82−0,423(6)+0,094(62)=52,666 biçiminde yapılmıştır.
Üssel model için Türk Ekonomisinin gayri safi yurt içi hâsılası (GSYİH) üretim yöntemi
ve sabit 1998 alıcı fiyatları ile (Kaynak: www.tuik.gov.tr ) derlenen veri kümesinden
Yıllar 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011
GSYİH
(milyon
TL)
70.203 67.841 72.436 68.309 72.52 76.338 83.486 90.5 96.738 101.255 101.922 97.003 105.886 114.874
GSYİH için üssel trend modeli
GSYİH= 85,71260.0421Te
282
biçiminde tahmin edilmişti. Bu denklem ekstrapolasyon amacıyla kullanıldığında, örneğin 2012
GSYİH değerini tahmin etmek istediğimizde, T=7,5 değeri atayarak,
GSYİH= 85,71260.0421(7,5) 0,3157585,712e e=
=85,712(1,3713)=117,537 milyon TL
şeklinde tahmin edilecektir.
İnterpolasyon yöntemi gerek seçilmiş noktalara göre tahmşnde, gerekse en küçük
kareler yönteminde veri kümesinin fonksiyon tipine tam olarak uyum sağladığı varsayımını
taşımaktadır. Oysa veri kümesi her zaman seçilen fonksiyona tam olarak uyum sağlamamktadır.
Özellikle ekstrapolasyon yaparken, tahmin edilen fonksiyon ile henüz gerçekleşmemiş veriler
için değerler atanmakatadır. Bu durumda seçilen fonksiyonun gelecekte de aynı şekilde olacağı
varsayılmaktadır. Oysa gelecekte aynı dalgalanmaların yaşanması özellikle son gözlem
değerlerinden uzaklaşıldıkça gerçeğe oldukça aykırı bir varsayım olacaktır. Dolayısıyla
özellikle ekstrapolasyon yaparken kısa dönem tahmini yapmak ve kullanım ve yorumunda
dikkatli olmak gereklidir.
283
Uygulamalar
284
Uygulama Soruları
285
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
286
Bölüm Soruları
1) İnterpolasyon ve ekstrapolasyon nedir? Aralarındaki fark nedir?
2) Bir ilçenin nüfusu 2005 yılında 2865 kişi ve 2010 yılında 3250 kişi olarak sayılmıştır.
Buna göre lçenin nüfusuna ait ara değerleri;
a. Uygun polinominal model ile tahmin ediniz.
b. Üssel model ile tahmin ediniz.
c. Bileşik faiz formülü ile tahmin ediniz.
d. 2011 ve 2012 nüfusları için kullandığınız tüm fonksiyonlarla ekstrapolasyon
yapınız.
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Cevaplar
1)
2)
3)
4)
5)
6)
287
7)
8)
9)
10)
288
13. ORANLAR
289
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
13.1.
13.2.
13.3.
290
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
291
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
292
Anahtar Kavramlar
293
Giriş
Bu hafta oranlar ve kullanımları ike ilgili bilgi verilecektir. Ayrıca özünde bir oran olan
endeksler ve hesaplanma yöntemleri özetlenecektir. Ardından Türkiye’de hesaplanan fiyat
endeksleri açıklanacaktır. Reelleştirme kavramı ve endekslerin önemi anlatılarak
örneklenecektir.
294
2.6. Oranlar
Oran aralarında ilişki bulunan veya birlikte değişen değişkenlerin birbirine bölünmesi
olarak tanımlanabilir. İstatistiğin temel amacı değişkenlerdeki değikenliği ölçmek, değişkenler
arasındaki ilişkiyi bularak, birbirleriyle kıyaslamak olduğuna göre, oranlar bu amaçlara uygun
olarak, değişkenleri birbirleri ile kıyaslamakta kullanılmaktadır. Oranlar iktisadi göstergelerin
karşılaştırılmasında faydalıdır. Örneğin, iki ülkenin kişi başına düşen milli geliri, aynı şekilde
iki farklı sınıfın aynı dersten başarı durumları gibi...
Oranlar, oranı hesaplanan değişkenlerin gerçek değerleri hakkında fikir vermezler.
Örneğin A sınıfının %75’i istatistik dersinden 50 üzerinde not almış dediğimizde, bu bilgi ile,
bu sınıftaki öğrencilerin notlarının hangi aralıkta değiştiği hakkında bir fikrimiz olamaz.
Öğrencilerin dersi geçmesi kadar yüksek puanlarla geçmesi de önemlidir. Ancak yukarıdaki
ifadeden öğrenciler arasında 100 puan alan birinin olup olmadığı anlaşılamamaktadır. Bu
nedenle oranlar genellikle gerçek değerlerle birlikte dikkate alınır.
Oranlar hesaplanırken genellikle değerler birbirine tam olarak oranlanamaz. Bu
durumda bulunan değerin çoğunlukla yuvarlanarak ifade edilmesi gerekmektedir. Yuvarlama
işleminde çoğunlukla virgülden sonra iki basamak yeterli olsa da, bazen bulunan oran çok
küçük olduğunda, oranı yüzde ile değil de, binde ile ifade etmek daha doğru olacaktır.
Oranların kullanım alanı son derece geniştir. Demografide, ulusal hesaplarda, dış
ticarette kullanılan iktisadi göstergelerin hemen tamamı oran şeklindeyken, işletme ve finansta
da oranlardan yararlanılmaktadır. Finansal analizlerde kullanılan oranlara genellikle rasyolar
adı verilir. Bu amaçla kullanılan oranlar, likidite oranları, finansal yapı oranları, faaliyet
oranları, kârlılık oranları şirketlerin yükümlülüklerini karşılama güçlerini ölçmek amacıyla
kullanılan oranlar, finansal yapı ile ilgili oreanlardır. Oran analizi işletme ve finansta
yöneticiler, finansal analistler, incelenen işletme ile ilişkisi olan banka ve benzeri finans
kurumları, mevcut ortaklar, potansiyel bireysel ve kurumsal yatırımcılar tarafından
kullanılmaktadır.
Oranları hesaplamak önemli olmakla birlikte, analizlerin mekanik yönüdür. Önemli
olan hesaplanan oranların yorumlanması ve değerlendirilmesidir. Bu nedenle hesaplanan
oranların daha yakından incelenmesi gerekmektedir.
2.6.1. Oran Çeşitleri
Oranlar değişkenler arasındaki
• İlişkinin türüne göre
• İlişkinin derecesine göre
295
hesaplanmaktadır. Ancak bu şekilde sınıflandırılamadıkları için, bu iki grubun dışında kalan
oranlar da vardır.
2.6.1.1. İlişkinin Türüne Göre Oranlar
Aralarında parça-bütün veya sebep-sonuç ilişkisi bulunan iki değişkenin kıyaslandığı
oranlar bu gruptadır. Bunlardan ilki bileşim oranı, diğeri ise türeme oranıdır.
• Bileşim Oranı
Bu tip oranlar genellikle bölünme serilerine ve mekân serilerine uygulanmaktadır.
Bölünme serilerine uygulanması nedeniyle bölünme oranı da denen bileşim oranı, değişkene
ait gözlem değerlerinin toplam gözlem sayısına oranlanarak 100 ile çarpılması yoluyla
hesaplanırlar. Bu nedenle bileşim oranlarının toplamı % 100’e eşit olur. Bileşim oranı zaman
serileri bir bütün oluşturmadığı için, bu tip serilerde kullanılmaz.
Örneğin adrese dayalı nüfus kayıt sistemine göre, Türkiye’nin 2011 yılı nüfusunun
medeni hallerine göre dağılımı;
Medeni Hal Nüfus %
Hiç Evlenmedi 15260068 27,44
Evli 35667658 64,13
Eşi Öldü 3017052 5,42
Boşandı 1673661 3,01
Toplam: 55618439 100,00
olduğuna göre, bileşim oranları;
15260068
556184100 4
94
327,× =
,... şeklinde hesaplanır.
• Türeme Oranı
Değişkenler arasındaki sebep-sonuç ilişkisine bağlı olarak, değişkenin gözlem değerleri
oranın payında, sebep konumundaki değer de paydada yer aldığında oluşan orana türeme oranı
296
adı verilir. Nüfusun içindeki doğum, ölüm, evlenme,...vb. oranlar, türeme oranıdır. Buna göre,
yine Türkiye’nin 2011 nüfusu 74 724 269 kişi ve doğum sayısı 1 237 172 olduğuna göre;
Doğum oranı =1 237 172
0,01655674 724 26
1009× =
olarak ‰ 16,5 şeklinde hesaplanır.
2.6.1.2. İlişkinin Derecesine Göre Oranlar
Değişkenler arasındaki ilişkinin derecesine göre de oranlar kendi arasında genel oran ve
özel oran olmak üzere ikiye ayrılır.
• Genel Oran
Aralarında zayıf ilişki bulunan iki değişkenin oranlanması ile genel oran oluşur. Bu
anlamda yukarıda hesapladığımız doğum oranı, doğum sayısı toplam nüfusa bölünerek
oluşturulduğundan, aslında genel doğum oranıdır. Genel oranlarda oranlanan değerler arasında
güçlü bir ilişki yoktur. Doğum oranının hesaplarken nüfusun tamamının ele alınması, erkekleri,
yaşlı ve çocukları da doğumla ilişkilendirdiğinden, ilişkiyi zayıflatmaktadır.
• Özel Oran
Aralarında güçlü ilişki bulunan değişkenlerin oranlanması ile oluşturulan oranlara özel
oran adı verilir. Örneğin, doğum olayı aslında yalnızca doğurganlık yaşındaki kadınlarla ilişkili
olduğundan, doğum oranı hesaplanırken doğum sayısının nüfusun tamamına değil, 15-49 yaş
arası kadın nüfusa oranlanması durumunda özel doğum oranı hesaplanacaktır. Bu orana
demografide toplam doğurganlık oranı adı verilir.
Toplam doğurganlık oranı1 237 172
6,201199506
003
19
= × =
‰ 62’dir.
Oranların analizlerde sağlıklı bir şekilde kullanılabilmesi için, genellikle özel oran
olarak hesaplanması gerekmektedir. Yukarıda sayılanlardan başka oranlar da söz konusudur.
Bu oranlardan ortalama oran, birlikte değişen farklı yapıdaki değişkenlerin oranı şeklinde
hesaplanmaktadır. Örneğin, 2011 nüfusu içinde erkek nüfusun kadın nüfusa oranı;
297
Genel cinsiyet oranı37532954
371913100 1 9
1, 2
500= × = gibi..
Kişi başına milli gelir, bin kişiye düşen doktor sayısı, ... gibi oranlar da ortalama oranlara
örnektir.
Ayrıca belli bir değişkenin veya değişkenlerin zamanda veya mekânlar arasında
gösterdiği değişimin oransal ölçüsü olan endeksler de oranlara bir örnek olarak verilebilir.
Oranlama yapılırken dikkat edilmesi gereken nokta kıyaslanacak değerlerden hangisinin
paya hangisinin paydaya alınacağıdır. Bu noktada seçim araştırmanın amacına bağlı olarak
yapılmalıdır. Ayrıca oranları okurken de dikkatli olunmalıdır. Öyle ki bir malın fiyatı 100
TL’den 200 TL’ye çıktığında fiyat artışının 2 misli olduğunu düşünmek yanlıştır. Burada artış
yalnızca 1 misli olmuştur.
Bu noktada endekslerle ilgili bilgilerimizi tazeleyelim ve bazı önemli iktisadi oranlardan
söz edelim.
2.7. Endeksler
Özellikle fiyat hareketleri ile ilgili gelişmeleri takip etmekte önemli bir yeri olan
endeksler aslında belli bir olayın değerinde zaman ve mekâna göre görülen nispi değişim olarak
tanımlanabilir. Bu tanımlamadan anlaşılacağı gibi endeksler bir oranı ifade eder. Bu nedenle
endeksler aslında bir orandır. Bu oranlamada aynı cinsten iki değer birbirine bölündüğünden,
birimsiz olan endeks değeri, oranlama sonunda 100 ile çarpılarak, yüzde ile ifade edilir.
Endeksler ister zamana göre ister mekâna göre hesaplansın, iki değerin oranı şeklinde
olduklarından, genel olarak;
i
0
XI 100
X= ×
formülü ile ifade edilir. Burada Xi ilgili dönemin veya mekânın değeri iken, X0 ise, temel (esas-
baz) alınan dönemin veya mekânın değeridir. Bu şekilde hesaplanan endekslere sabit esaslı
endeksler adı verilir.
i
0
XSEI 100
X= ×
Sabit esaslı endekslerde 0. döneme göre değişim ölçülmektedir. Aynı şekilde bir önceki
döneme göre değişimi ölçmekte mümkündür. Bu durumda;
298
i
i 1
XDEI 100
X −
= ×
Bir önceki yıla göre değişim değeri hesaplanmaktadır. Bu durumda ise değişik esaslı
endeksler söz kunusudur. Öyleyse indekler;
• Kullanılan seriye göre zaman ve mekân endeksleri,
• Temel devreye göre sabit ve değişik esaslı endeksler,
• İçerdikleri madde sayısına göre basit ve bileşik endeksler
gibi esas aldıkları dönem ve içerdikleri madde sayılarına bağlı olarak gruplandırılabilir. Tüm
bu gruplandırmalarda değişim fiyatlar ve miktarlar cinsinden hesaplanabilir. Maddelerin
değişimi fiyatlar cinsinden hesaplandığında fiyat endeksleri, miktarlar cinsinden
hesaplandığında ise miktar endeksleri söz konusudur.
Fiyatlar genel seviyesindeki değişimleri göstermek amacıyla kullanılan endeksler tartılı
bileşik endekslerdir. Bu amaçla geliştirilen ve TÜİK tarafından her ay hesaplanarak yayınlanan
ÜFE ve TÜFE endeksleri de birer tartılı bileşik endekstir. Şimdi ÜFE, TÜFE ile ilgili yorum
ve açıklamalarımızı yapabilmek için önce kısaca tartılı bileşik endekslerin hesaplanma
yöntemlerini hatırlayalım.
2.7.1. Bileşik Endekslerde Tartı
Bileşik Endeks hesabı yapmak aynı zamanda ortalama hesabı yapmak anlamına gelir.
Bileşik endeks birden fazla mal veya hizmetin fiyatlarında ortalama olarak ne kadarlık bir
değişme olduğunu gösterir.
Ancak fiyat endekslerinin hesaplanmasında endeks kapsamında yer alan tüm mal ve
hizmetler tüketici için aynı öneme sahip değildir. Örneğin ekmekle çiklet fiyatı aynı endekste
yer aldığında çikletin fiyatındaki %5 lik artış, ekmeğin fiyatındaki %5 lik artış kadar tüketiciyi
etkilemeyecektir. Bu nedenle endeks rakamının hesaplanmasında ekmeğin ağırlığının daha
fazla olması gerekir.
Fiyat endekslerinde ağırlık yani tartı bir malın tüketilen veya satılan miktarı ile o malın
fiyatı çarpılarak bulunur. Böylece bileşik endeks hesabında tartı kullanıldığında, daha fazla
ödeme yapılan mal veya hizmetin ağırlığı endeks hesabında daha etkili olacaktır.
Fiyat endekslerinin hesaplanması için gerekli değişkenler şunlardır:
1. Mal ve hizmet sepeti
2. Temel yıl tartıları (ağırlıkları)
299
3. Temel yıl fiyatları
4. Cari fiyatlar
1. Mal ve hizmet sepeti: İndekslerin hesaplanabilmesi için gereken mal ve
hizmetlerin fiyatlarının takip edileceği sepete mal ve hizmet sepeti denir. İndekslerde bütün mal
ve hizmetlerin düzenli olarak fiyat hareketlerini izlemek çok zordur. Tercihen bunlar belirli mal
ve hizmetlerle sınırlandırılarak temsil edilirler ve “mal ve hizmet sepeti” olarak adlandırılırlar.
Seçilen mal ve hizmetler; miktar, tür ve kalite olarak açıkça tanımlanır ve endeks hesaplanma
süresince değişmeden kalır.
2. Temel yıl tartıları (ağırlıklar): İndeksin hesaplanabilmesi için gerekli gerekli
seçilmiş toplam mal ve hizmetlerin toplam sepet içindeki değerlerine bağlı olarak aldıkları paya
“tartı” denir. İki tür tartı söz konusudur.
i) Sabit tartı: Tüketim ya da üretim yapısı aylar veya mevsimlerden etkilenmeyen
maddelerin ağırlıklarıdır.
ii) Değişken tartı: Tüketim ya da üretimi mevsimlerden etkilenen maddelerin
ağırlıklarıdır.
3. Temel yıl fiyatları: Fiyat endekslerinin hesaplanabilmesi için gerekli olan mal
ve hizmetlerin temel yıla ait 12 aylık ortalama fiyatlarına denir.
4. Cari Fiyat: Fiyat endekslerinin hesaplanabilmesi için gerekli olan mal ve
hizmetlerin cari aya ait fiyatlarına denir.
Endeksler oluşturulurken mal ve hizmet sepetine alınacak maddelerin seçiminde dikkate
alınan unsurlar şöyledir;
1. Üretimde ve hane halklarının tüketiminde önemli ağırlığa sahip olmalı
2. Tanımlanabilir nitelikte ve birim fiyatına ulaşılabilir olmalı
3. Fiyatı izlenebilir olmalı
4. Yurtiçi üretimden satışlarında ve tüketimde sürekliliği olmalıdır.
Tartılı endeksler söz konusu olduğunda Laspeyres fiyat endeksi, Paasche fiyat endeksi
en çok kullanılan endekslerdir.
300
2.7.2. Laspeyres Fiyat İndeksi
Bu endekste tartı hesaplanmasında sıfırıncı dönem miktarları kullanılır.
10000
00
0 ⋅
=∑
∑qp
qpxp
p
I
i
L
0p ’lar sadeleştirildiğinde;
10000
0 ⋅=∑∑
qp
qpI
i
L
Tartı hesabında sıfırıncı dönem miktarı kullanılıyor. Böylece i. dönemde sıfırıncı
dönemin tüketim kalıbına göre ne kadar ödendiğini gösterir. Sıfırıncı dönemde 100TL ödenerek
satın alınan tüketim kalıbının bugün ne kadar para ödenerek satın alınabildiğini gösterir.
Laspeyres fiyat endeksi değişik esaslı olarak hesaplanmak istendindiğinde ise formül;
10001
0 ⋅=∑∑
− qp
qpI
i
i
L
2.7.3. Paashe Fiyat İndeksi
Tüketim kalıbının her dönem değiştiği varsayımından hareket eder.
1000
0
0 ⋅
=∑
∑
i
ii
Pqp
qpxp
p
I
0p ’lar sadeleştiğinde;
1000
⋅=∑∑
i
ii
Pqp
qpI
301
Tüketim kalıbının her dönem değiştiği varsayımı veri toplama konusunda sıkıntı yaratır.
Paasche endeksi bugünkü tüketim kalıbı sıfırıncı dönemde tüketiciler tarafından tercih edilseydi
sıfırıncı dönemde bu tüketim kalıbına ne kadar ödenirdi sorusuna cevap verir.
Bugün tercih edilen tüketim kalıbına sıfırıncı dönemde tercih edilseydi kaç TL
ödenecekti sorusuna cevap verir.
Paasche fiyat endeksi değişik esaslı olarak hesaplandığında;
1001
⋅=∑∑
− ii
ii
Pqp
qpI
2.7.4. Fisher’in İdeal İndeksi
Fisher tarafından önerilen Laspeyres ve Paasche endekslerinin çarpımlarının karekökü
diğer bir ifade ile geometrik ortalaması alınarak hesaplanan endeks
PLF III ⋅=
İdeal endeks olarak adlandırılmaktadır. Ancak uygulamada kullanılmamaktır.
Laspeyres endeksi tartı olarak temel devreyi esas aldığı için fiyat değişimlerini fazla, Paasche
endeksi tartı olarak cari dönemi aldığı için fiyat değişimlerini olduğundan az gösterir. Fisher bu
iki endeksin geometrik ortalamasını alarak, her iki endeksin zayıf yönlerini dengeler.
2.7.5. Türkiye’de Hesaplanan Fiyat Endeksleri
Endeksler hem bir oran hem de bir ortalama değer olup, özellikle fiyat endekslerinden
fiyatlar genel seviyesinin bir göstergesi olarak yararlanılmaktadır. Türkiye’de bu amaçla
hesaplanan endeksler, üretici fiyat endeksi (ÜFE) ve tüketici fiyat endeksi (TÜFE)’dir. TÜİK
tarafından hesaplanan bu endeksler son olarak 2003=100 bazlı hesaplanan endekslerdir.
Bunlardan TÜFE, hanehalklarının tüketimine yönelik mal ve hizmet fiyatlarının zaman
içindeki değişimini ölçmektedir. Tüm sosyo-ekonomik gruplardan yaklaşık yıllık 13248 (3 yıl
toplamı 39,774) hanehalkı ile yapılan Hanehalkı Bütçe Anketi, kurumsal nüfus anketi, yabancı
uyrukluların Türkiye’de yapmış oldukları harcamalar için turizm anketi ve idari kayıtlardan
elde edilen harcama ve ciro bilgileridir. 2003=100 temel yıllı TÜFE’de, yurtiçinde mal ve
hizmet tüketmek amacıyla yapılan, tüm nihai parasal tüketim harcamaları esas alınmaktadır.
Endekste tüm il merkezlerinden ve 74 ilçeden fiyat derlenmektedir.
302
Endekste yer alacak ağırlıkların tespitinde ve endeks hesaplamasında Amaca Göre
Bireysel Tüketim Sınıflaması (COICOP) kullanılmış ve bu harcamalar 12 ana grup 44 alt grup
altında toplanmıştır. Endekste 444 madde kapsama alınmıştır.
TÜFE hesabında, madde sepetlerinin ve ağırlıklarının güncellemesi, her yılın sonunda
yapılmakta ve zincirleme Laspeyres formülü ile seri devam ettirilmektedir. Her yıl Aralık ayı
itibari ile, yeni maddeler endekse dâhil edilmekte ya da önemini kaybeden maddeler endeksten
çıkarılmakta ve yeni ağırlıklar endeks hesabında kullanılmaktadır. Cari fiyatların, “yeni fiyat
referans dönemi (Po)” olan bir önceki Aralık ayının fiyatlarına bölünmesiyle, endeks
hesaplanmakta ve Aralık ayı endeksi ile çarpılarak zincirleme işlemi yapılmaktadır. Sepete
alınan taze sebze ve meyveler, petrol ve seçilmiş 15 gıda ürünü haftada bir kez ve diğer ürünler
ayda iki kez; kiralar ayda bir kez derlenmektedir. http://www.tuik.gov.tr
I=w * (Pi / Po)
I : endeks
Pi : cari ay fiyatı
w : ağırlık
Po: temel yıl fiyatı
It=wi * (Pit / PAralik(t-1)) * IAralik(t-1)
wi : yeni ağırlık
t : zaman
Madde çeşidi fiyatları geometrik ortalama ile hesaplanmaktadır. Veri mevsimsel olarak
düzeltilmemektedir.
TÜFE içinde ayrıca özel kapsamlı enflasyon göstergeleri de hesaplanmaktadır. Özel
kapsamlı TÜFE göstergeleri (çekirdek enflasyon), enflasyonun geleceğine ilişkin tahmin edici
gücü yüksek olan, enflasyonun eğilimini belirleyen ve para politikasının oluşmasına yardımcı
olan göstergelerdir. Özel kapsamlı TÜFE göstergeleri, fiyatlarda gözlenen tüm geçici etkilerin
arındırılması sonucunda fiyatlar genel düzeyinde meydana gelen artışı ifade etmektedir.
Özel kapsamlı TÜFE göstergelerinin kapsamı;
303
• Mevsimlik ürünler hariç TÜFE
• İşlenmemiş gıda ürünleri hariç TÜFE
• Enerji hariç TÜFE
• İşlenmemiş gıda ürünleri ve enerji hariç TÜFE
• Enerji, alkollü içkiler ve tütün hariç TÜFE
• Enerji, alkollü içkiler, tütün, fiyatı yönetilen/yönlendirilen ürünler ve dolaylı
vergiler hariç TÜFE
• Enerji, alkollü içkiler, tütün, fiyatı yönetilen/yönlendirilen ürünler, dolaylı
vergiler ve işlenmemiş gıda ürünleri hariç TÜFE
• İşlenmemiş gıda ürünleri, enerji, alkollü içecekler, tütün ve altın hariç TÜFE
• Gıda ve alkolsüz içecekler, enerji, alkollü içecekler, tütün ve altın hariç TÜFE
Üretici Fiyatları Endeksi (ÜFE) ise, belirli bir referans döneminde ülke ekonomisinde
üretimi yapılan ürünlerin yurtiçine yönelik üretici fiyatlarını zaman içinde karşılaştırarak fiyat
değişikliklerini ölçen fiyat endeksidir. Yurtiçi üretimde önemli paya sahip üreticiler ÜFE
kapsamındadır. İhracat kapsanmamaktadır. Bu bağlamda ÜFE, tarım ve ormancılık, balıkçılık,
madencilik ve taş ocakçılığı, imalat sanayi, elektrik, gaz ve su sektörlerini kapsamaktadır.
http://www.tuik.gov.tr
Üretici fiyatı, yurtiçinde üretimi yapılan ürünlerin, KDV ve benzeri vergiler hariç, peşin
satış fiyatıdır. Üretici fiyatları endeksinde tarım, avcılık, ormancılık ve balıkçılık sektörlerinde
faaliyet gösteren üreticilerin yetiştirdiği ve piyasaya arz ettiği ürünlerin ilk el satış fiyatları
izlenmektedir. Sanayi sektörüne ilişkin ürünlerin fiyatları da doğrudan sanayi sektöründeki
üretici firmalardan alınmaktadır. ÜFE Türkiye genelinde hesaplanmaktadır.
Ürün sepetinin ve ağırlıklarının güncellemesi, her yılın sonunda yapılmakta ve
zincirleme Laspeyres formülü ile seri devam ettirilmektedir. Her yıl Aralık ayı itibarı ile yeni
maddeler endekse dâhil edilmekte ve yeni ağırlıklar endeks hesabında kullanılmaktadır. Cari
fiyatların, “yeni fiyat referans dönemi (Po)” olan bir önceki Aralık ayının fiyatlarına
bölünmesiyle, endeks hesaplanmakta ve Aralık ayı endeksi ile çarpılarak zincirleme işlemi
yapılmaktadır.
Temel fiyat endekslerinin hesaplanmasında fiyatların ağırlıklı aritmetik
ortalaması alınmaktadır. Ağırlıkların güncellenmesi her yıl yapılmaktadır. Cari ağırlıkların ait
olduğu dönem t-2 dönemidir.
Tarım ve balıkçılık ürünleri için mevsimsel maddeler olmaları nedeniyle değişken
ağırlıklar kullanılmaktadır. Ayrıca mevsimsel düzeltme yapılmamaktadır.
304
Temel veri kaynağı olarak Ulusal hesaplar, sanayi ve tarıma ilişkin ürün ve üretim
istatistikleri ve Üretici Fiyatları Endeksi anketi kullanılmaktadır. Fiyat verileri anket yoluyla
derlenmektedir. Fiyatlar, anket yolu ile derlenmektedir. Anketler faks veya e-posta yolu ile
gönderilmektedir. ÜFE’de sanayi kapsamında yer alan maddelerin her ayın 5., 15. ve 25.
günlerindeki fiyatları derlenmektedir. Tarım ürünlerinin ayın 25. gününe kadar olan fiyatları
kapsanmaktadır.
2.7.6. Reelleştirme
Cari fiyatları enflasyonun etkisinden arındırmak için ilgili malın i. dönemdeki nominal
değeri sabit esaslı bir fiyat endeksine oranlanarak, yüz ile çarpılmalıdır. Böylece reel fiyat;
. 100i CFi
XRF
TÜFE= ×
şeklinde hesaplanır. Reelleştirme işlemine deflate etme işlemi de denilmektedir. Reelleştirme
işleminde ÜFE veTÜFE’nin yanı sıra milli gelir deflatörü de kullanılabilir. Bu noktada GSMH
zımni deflatöründen de söz edelim. Öncelikle deflatör kelimesinin anlamı üzerinde duralım.
Deflatör, parasal terimlerle (nominal) ifade edilmiş olan bir iktisadi büyüklüğün
(örneğin ücretler, hammadde fiyatları, maliyetler vb.) değerinin gerçek değere (reel)
çevrilmesinde kullanılan fiyat endeksini ifade eder. (Kaynak:
http://www.tcmb.gov.tr/yeni/iletisimgm/sozluk.htm#deflatör). Buna göre, gayri safi milli
hasıla zımni fiyat deflatörü cari fiyatlarla gayri safi milli hasıla değerinin sabit GSMH değerine
bölünmesiyle elde edilir. Bir ekonomide fiyatlar genel düzeyindeki değişmeleri gösteren
kapsamlı bir fiyat endeksidir. Gayri safi milli hâsıla kapsamına giren tüm mal ve hizmetlerin
fiyatlarındaki artışı ifade etmektedir.
305
Yıllar
GSYH Harcamalar
Yönüyle (cari
fiyatlar)
GSYH Harcamalar
Yönüyle (1998
sabit fiyatları)
GSYH
Deflatörü-
GDP DEF.
1998=100
1998 70.203.147 70.203.147 100,00000
1999 104.595.916 67.840.570 154,17901
2000 166.658.021 72.436.399 230,07497
2001 240.224.083 68.309.352 351,67086
2002 350.476.089 72.519.831 483,28310
2003 454.780.659 76.338.193 595,74460
2004 559.033.026 83.485.591 669,61618
2005 648.931.712 90.499.731 717,05375
2006 758.390.785 96.738.320 783,96109
2007 843.178.421 101.254.625 832,73077
2008 950.534.250 101.921.732 932,61197
2009 952.558.579 97.003.114 981,98762
2010 1.098.799.348 105.885.644 1.043,84546
2011 1.298.062.004 114.889.302 1129,837143
Bu noktada ÜFE, TÜFE ve GSMH zımni deflatörü arasındaki farklardan da söz edilmesi
gerekmektedir. Bunlardan ÜFE ve TÜFE kavram olarak birbirine yakındır. Aralarında sadece
endeksi oluşturan mal sepeti konusunda farklılık vardır. GSMH Deflatörü ise tümüyle farklı bir
yaklaşım getirmektedir. Dolayısıyla aşağıda, ÜFE ve TÜFE birlikte ele alınarak GSMH
deflatörü ile karşılaştırılacaktır. Aralarındaki temel farklar ve her birinin avantaj ve
dezavantajları incelenecektir.
(Kaynak:http://www.treasury.gov.tr/irj/go/km/docs/documents/Hazine%20Web/Arasti
rma%20Yayin/Kitaplar/reel_ekonomi.pdf ).
• ÜFE-TÜFE ve Deflatör arasındaki en temel fark endekse dâhil edilen mal ve
hizmetlerden kaynaklanmaktadır.
• ÜFE ve TÜFE maddelerden oluşan bir sepettir. Bu sepetlerdeki her bir maddeye,
yapılan anketler ve çalışmalarla tespit edilen ve maddelerin toplam içindeki önemlerini
yansıtmayı hedefleyen ağırlıklar verilmektedir.
• GSMH Deflatöründe ise bazı malların seçilmesiyle oluşturulmuş herhangi bir
sepet söz konusu değildir. GSMH Deflatörü; cari fiyatlarla milli gelirin, "herhangi" bir
yıldaki fiyatların baz alınması ile hesaplanmış sabit fiyatlarla milli gelire oranı ile elde
edilen bir endekstir. Dolayısıyla söz konusu olan bazı seçilmiş mal ve hizmetler değil,
ülkede üretilen tüm mal ve hizmetlerdir.
306
Hangi mal sepetinin genel fiyat artışlarını daha iyi temsil ettiği sorusuna her durum için
geçerli olabilecek bir cevap verilmesi olanaksızdır. GSMH Deflatörünün ülkede üretilen tüm
malları içeriyor olması nedeniyle daha iyi bir gösterge olacağı ilk anda akla gelebilir. Ancak,
örneğin fiyat artışlarının ücretliler üzerindeki etkisi ile ilgileniyorsak, GSMH Deflatörü,
ücretlilerin tüketim sepetinde hiç olmayan malları da içeriyor olması nedeniyle, yanıltıcı bir
gösterge olabilir. Dolayısıyla, hangi endeksin daha iyi bir gösterge olduğu, fiyat artışları ile
neden ilgilenildiğine bağlı olarak değişecektir. Örneğin, temel olarak halkın satın alma gücü ile
ilgileniyorsak TÜFE, fiyat artışları ile üretim arasındaki ilişkiyle ilgileniyorsak ÜFE,
ekonomideki makro dengeler ve büyüklükler ile ilgileniyorsak GSMH Deflatörü daha iyi bir
gösterge olacaktır.
Ayrıca temel devreler farklı ise önce temel devre değişikliği yapılmalıdır. Türk
ekonomisi için hesaplanan enflasyon endeksleri 2003=100 bazlı endekslerdir. Örneğin tüketici
fiyat endeksi;
Yıllar 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011
TÜFE
(2003=100) 100.00 108.59 117.48 128.75 140.03 154.65 164.32 178.4 189.94
şeklindedir.
Buna göre, örneğin İstanbul ilinde bulaşık makinelerinde yaşanan fiyat artışlarını
belirlemek amacıyla cari bulaşık makinesi fiyatlarını reel hale getirelim. Bu amaçla 2003=100
bazlı TÜFE’nin kullanılması daha uygun olacaktır. Cari olarak bulaşık makinesi fiyatlarının
sürekli olarak arttığı görülmektedir.
Yıllar
Bulaşık
Makinesi
Cari Fiyat
TÜFE
2003=100
Bulaşık
Makinesi
Reel Fiyat
2007 869,99 140.03 621,28
2008 924,36 154.65 597,71
2009 876,67 164.32 533,51
2010 902,76 178.4 506,03
2011 1016,54 189.94 535,19
Reel bulaşık makinesi fiyatlarına baktığımızda, fiyatların artmadığı aksine 2007 yılına
göre düştüğü ve en düşük seviyesine 2010 yılında ulaştığı görülmektedir.
307
308
Uygulamalar
309
Uygulama Soruları
310
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
311
Bölüm Soruları
1) Oran nedir? Çeşitleri nelerdir? Açıklayınız.
2) Endeks nedir? Çeşitleri nelerdir? Açıklayınız.
3) Bileşik endekslerde tartı nelere bağlı olarak oluşturulur? Açıklayınız.
4) Türkiye’de hesaplanan fiyat endeksleri hakkında bilgi veriniz.
5) Reelleştirme kavramını açıklayarak, önemini belirtiniz.
6)
7)
8)
9)
10)
Cevaplar
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
312
14. UYGULAMALAR
313
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
14.1.
14.2.
14.3.
314
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
315
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
316
Anahtar Kavramlar
317
Giriş
Bu hafta üç aylık ekonomik zaman serilerinde mevsim endekslerinin çeşitli yöntemlerle
oluşturulması, parametrik olmayan bir test olan Kruskal-Wallis testinin uygulaması, konjonktür
etkisinin belirlenmesi gösterilecek ve genel bir tekrar yapılacaktır.
318
Örnek: 2005:Q1-2011:Q4 döneminde GSYİH (harcamalar yönüyle -cari fiyatlar-bin
TL ) serisi için çarpımsal model varsayımı ile
Mevsim endeksini oluşturunuz.
Mevsim etkisinden arındırınız.
Mevsimselliği Kruskal-Wallis testi ile araştırınız.
Üç aylık ortalamaların genel ortalamaya oranı yöntemi ile mevsim endeksini
oluşturunuz.
Çözüm:
Çarpımsal ayrıştırma modeli tY serisini;
t t t t tY T K M R= × × ×
şeklinde unsurların çarpımı olarak tanımlamaktadır. Bu modelde seriye trendin mutlak, diğer
unsurların oransal (yüzdelik) etkisi olduğu varsayılmaktadır. Buna göre, trende veya hareketli
ortalamaya oranlar olarak adlandırılan ayrıştırma şu aşamalardan oluşmaktadır:
• Ekonomik zaman serisi üç aylık olduğundan 4’erli hareketli ortalamalar
uygulanır. Böylece seride mevsimsel etki düzeltilmiş ve trend ve konjonktür unsurları
kalmış olur.
• Gerçek seri ilk aşamada hareketli ortalamalar yoluyla oluşturulan trend-
konjonktür unsurları serisine oranlanarak, mevsimsel ve düzensiz etkiler elde edilir. Bu
oranlamadan dolayı yöntem hareketli ortalamaya oranlar şeklinde de
adlandırılmaktadır.
• Mevsimsel ve düzensiz unsurların etkisini ortadan kaldırmak amacıyla, ikinci
aşamada elde edilen hareketli ortalamalar serisinin mevsimsellik ortalamaları alınır.
319
Tablo1: GSYİH Serisinin Hareketli ortalamaya oranlar yoluyla mevsimsellikten arındırılması
Yıllar GSYİH 4'lü HO 2'li MHO GSYİH/MHO DGSYİH
2005Q1 141085930 153468878,84
2005Q2 153763755 155675207,42
162232928 2005Q3 181572348 164606258 1,103071 166774311,47
166979588,5 2005Q4 172509679 170715634 1,010509 171782251,84
174451680 2006Q1 160072572 178417061 0,897182 174121956,44
182382442 2006Q2 183652122 185990069 0,98743 185935119,66
189597696 2006Q3 213295396 193082462 1,104686 195911950,25
196567227 2006Q4 201370695 199020675 1,011808 200521568,66
201474123 2007Q1 187950694 203844269 0,922031 204446908,96
206214415 2007Q2 203279705 208504510 0,974942 205806695,08
210794605 2007Q3 232256566 214251475 1,084037 213327796,36
217708345 2007Q4 219691456 222218811 0,988627 218765075,91
226729277 2008Q1 215605654 230496228 0,935398 234529112,80
234263178 2008Q2 239363433 235948370 1,014474 242338983,47
237633563 2008Q3 262392170 236673605 1,108667 241007366,86
235713647 2008Q4 233172993 234364705 0,994915 232189764,88
233015763 2009Q1 207925991 232930548 0,892652 226175414,55
232845333 2009Q2 228571898 235492489 0,970612 231413298,13
238139645 2009Q3 261710449 242277148 1,080211 240381205,62
246414651 2009Q4 254350241 251092772 1,012973 253277713,79
320
255770894 2010Q1 241026016 260056538 0,926822 262180590,56
264342183 2010Q2 265996869 269521010 0,986924 269303502,34
274699837 2010Q3 295995607 280721339 1,054411 271872144,07
286742840 2010Q4 295780856 293124291 1,009063 294533627,27
299505743 2011Q1 289198028 306331020 0,94407 314580604,32
313156297 2011Q2 317048480 318835899 0,994394 320989740,96
324515501 2011Q3 350597825 2011Q4 341217671
a) Mevsim endeksinin oluşturulması aşaması
• Mevsimsel tahminlerin toplamını serinin dönem uzunluğuna eşit olmalıdır. Bu
toplam incelenen ekonomik zaman serisi mevsimlik olduğundan 4 olmalıdır.
Öncelikle her çeyrek döneme ait toplamlar alınıp,
∑Q1=5,518155, ∑Q2=5,928776, ∑Q3=6,535082,
∑Q4=6,027895
ardından ortalamalarını hesaplamalıyız. Her mevsim altı kere gözlendiğinden;
Q1=5,518155/6=0,919692,
Q2=5,928776/6=0,988129,
Q3=6,535082/6=1,08918,
Q4=6,027895/6=1,004649
Mevsimlik tahminlerin toplamı (0,919692+0,988129+1,08918+1,004649=4,001651)
olarak bulunmuştur. Toplam 4’den farklı çıktığından;
4/4,001651=0,999587
değeri ile yeniden düzenleme yapılmalıdır.
321
Dönemler
Mevsim
Endeksi Düzeltme Faktörü
Ayarlanmış
Mev.End.
Q1 0,919692 0,919692*0,999587 0,919313
Q2 0,988129 0,988129*0,999587 0,987722
Q3 1,08918 1,08918*0,999587 1,088731
Q4 1,004649 1,004649*0,999587 1,004235
Görüldüğü gibi yılın I. ve II. çeyrek döneminde mevsimsel etkiler GSYİH’yi düşürücü
yöndeyken, III. ve IV. çeyrek dönemlerde arttırıcı yöndedir.
b) Seri için mevsim endeksi oluşturulduktan sonra, mevsimsellikten arındırılır.
• Gerçek veri 4 olan mevsimsel tahminlere oranlanarak, düzeltilmiş seri
oluşturulur. Bu seri tablo 1’de son sütunda görülmektedir.
• Mevsimsel etkisi düzeltilmiş seri için uygun trend tahmini yapılabilir. Bu trend
denklemi daha sonra öngörü amaçlı kullanılabilir.
c) Kruskal-Wallis yöntemi ile mevsimselliğin belirlenmesi
Mevsimselliğin belirlenmesinde kullanılan Kruskal-Wallis testi sıralanmış veri
kümelerine uygulanan bir parametrik olmayan testtir. Buna göre;
2123( 1)
( 1)i
i
RKW N
N N n= − +
+ ∑
şeklindeki test istatistiği s-1 serbestlik derecesi ile 2χ dağılımına uyar. Burada üç aylık veri
kullnıldığı için s=4-1 şeklinde alınmalıdır. N toplam gözlem sayısını, Ri her mevsim için
sıralama değerlerinin toplamını ve ni ise,her mevsim içinde sıralanan değerlerin sayısını
gösterir. Bu durumda hesaplanan KW test istatistiği tablo değerinden büyük ise
H0: mevsimsellik yoktur.
şeklindeki sıfır hipotezi reddedilerek mevsimselliğin bulunduğu sonucuna varılır. Testin
aşamaları;
• İlk olarak veri kümesi küçükten büyüğe doğru sıralanmalıdır.
322
Yıllar GSYİH GSYİH/MHO Sıralama
2005Q1 141085930 2005Q2 153763755 2005Q3 181572348 1,103070745 22
2005Q4 172509679 1,010508965 15
2006Q1 160072572 0,897181978 2
2006Q2 183652122 0,98742972 10
2006Q3 213295396 1,104685502 23
2006Q4 201370695 1,011807921 16
2007Q1 187950694 0,922030799 3
2007Q2 203279705 0,974941525 8
2007Q3 232256566 1,084037184 21
2007Q4 219691456 0,988626727 11
2008Q1 215605654 0,935397755 5
2008Q2 239363433 1,014473771 18
2008Q3 262392170 1,108666809 24
2008Q4 233172993 0,994915139 13
2009Q1 207925991 0,892652307 1
2009Q2 228571898 0,970612267 7
2009Q3 261710449 1,080211036 20
2009Q4 254350241 1,012973167 17
2010Q1 241026016 0,926821596 4
2010Q2 265996869 0,986924429 9
2010Q3 295995607 1,054410785 19
2010Q4 295780856 1,009062929 14
2011Q1 289198028 0,944070333 6
2011Q2 317048480 0,994393921 12
2011Q3 350597825 2011Q4 341217671
• Daha sonra mevsimlere (üç aylık dönemlere) karşılık gelen sıra değerleri
toplanarak Ri değerleri oluşturulmalıdır.
323
RQ1=1+2+3+4+5+6=21
RQ2=7+8+9+10+12+18=64
RQ3=19+20+21+22+23+24=129
RQ4=11+13+14+15+16+17=86
• Ardından Kruskal-Wallis test istatistiği hesaplanarak tablo değeri ile
kıyaslanmalıdır.
Yukarıda hesaplanan Ri değerleri ile;
2 2 2 2 212 12 21 64 129 863( 1) 3(24 1) 20,24668
( 1) 24(25) 6 6 6 6i
i
RKW N
N N n
= − + = + + + − + = +
∑
değeri % 5 olasılıkla 2 24 1,0.05 3,0.05 7,81χ χ− = = değeri ile kıyaslanarak,
KW=20,24668>7,81 olduğundan, ‘mevsimsellik yoktur’ şeklindeki H0 hipotezi reddedilerek
GSYİH serisinde mevsimsellik olduğu belirlenir. Bu nedenle yapılan arındırma gereklidir.
d) Üç aylık ortalamaların genel ortalamaya oranlanması yöntemi ile mevsim endeksinin oluşturulması yöntemine göre
• Öncelikle veri kümesindeki her üç ayın ortalama değeri ( aY ) alınır.
• İkinci aşamada her üç ayın ortalamasından oluşan değerlerin ortalaması alınır. Böylece
mevsim ortalamalarının ortalaması olan bir genel ortalama oluşturulur.
4aY
Y
=
• Son olarak her mevsime ait ortalama değer genel ortalamaya oranlanarak mevsim
endeksi elde edilir.
100aYME
Y= ×
324
GSYİH Yıllar Q1 Q2 Q3 Q4
2005 141085930 153763755 181572348 172509679
2006 160072572 183652122 213295396 201370695
2007 187950694 203279705 232256566 219691456
2008 215605654 239363433 262392170 233172993
2009 207925991 228571898 261710449 254350241
2010 241026016 265996869 295995607 295780856
2011 289198028 317048480 350597825 341217671
Üç Aylık Ort. 206123555 227382323 256831480 245441942
Genel Ort. 233944825 Mevsim
Endeksi 0,8810776 0,97194851 1,097829286 1,0491446
Bu yöntemle de kabaca belirlenen mevsim endeksinin yine ilk iki çeyrekte GSYİH’yı
azaltıcı yönde, ikinci iki çeyrekte ise arttırıcı yönde etkisi olduğu görülmektedir.
325
Uygulamalar
326
Uygulama Soruları
327
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
328
Bölüm Soruları
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Cevaplar
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
329
KAYNAKÇA
Akgül I. (2003), Geleneksel Zaman Serisi Yöntemleri, Der Yayınları, İstanbul
Cillov H. (1984), İstatistik Metodları, İstanbul Üniversitesi Yayınları, No: 3235, Gür-
Ay Matbaası, İstanbul
Genceli M. (2001), Ekonometri ve İstatistik İlkeleri, Filiz Kitabevi, İstanbul
Gürtan K. (1982), İstatistik ve Araştırma Metodları, İstanbul Üniversitesi Yayınları
No:2941, İstanbul
Kadılar C. (2009), SPSS Uygulamalı Zaman Serileri Analizine Giriş, Hacettepe
Üniversitesi, Fen Fakültesi, İstatistik Bölümü, ISBN:975-8201-95-6
Newbold Paul, (1995), İşletme ve İktisat İçin İstatistik, Literatür Yayınları, Çev. Ü.
Şenesen, 2006, İstanbul
Orhunbilge N. (1999), Zaman Serileri Analizi Tahmin ve Fiyat İndeksleri, Avcıol
Basım- Yayın, İstanbul
Genceli M. (2001), Ekonometri ve İstatistik İlkeleri, Filiz Kitabevi, İstanbul
Yolsal H. (2010), Mevsimsel Düzeltmede Kullanılan İstatistiki Yöntemler Üzerine Bir
İnceleme, Öneri, M.Ü. Sosyal Bilimler Enstitüsü Hakemli Dergisi, Sayı:33,Yıl:16, Cilt: 9,
Ocak, 245-257
http://www.ekodialog.com/konular/konjonktur_tur.html
http://www.tcmb.gov.tr/yeni/evds/yayin/oncu_gos/Metodoloji.pdf
Ayrıca tüm temel istatistik kitaplarının zaman serileri ile ilgili bölümlerinden
yararlanabilirsiniz.