A.Interval Konfidensi pada Selisih Rata-rata

1. Bila kita mempunyai 𝑥1 dan 𝑥2 masing-masing adalah meansample acak bebas berukuran n1 dan n2 yang diambil daripopulasi dengan ragam 1

2 dan 22 diketahui, maka selang

kepercayaan 100(1-)% bagi 1-2 adalah

2

2

2

1

2

12121

2

2

2

1

2

121 22

)()(nn

zxxnn

zxx

Dengan adalah nilai z yang luas daerah di sebelah kanandibawah kurva normal standar adalah 𝛼/2

2/z

CATATAN : Jika 12 dan 2

2 tidak diketahui, tetapi n1 dan n2lebih besar dari 30, maka 1

2 dan 22 dapat diganti dengan s1

2

dan s22.

Contoh Soal:Diketahui nilai ujian kimia yang diberikan pada 50 siswa putri dan 75 siswa putramempunyai rata-rata secara berurutan adalah 76 dan 86. Cari selang kepercayaan 96% untukselisih μ1‒μ2. ! Anggap standar deviasi populasi untuk masing-masing putra dan putri adalah8 dan 6.Jawab:Misal: 𝑥1 = 86 adl rata-rata nilai siswa putra, n1 = 75 dan σ1 = 8.

𝑥2= 76 adl rata-rata nilai siswa putri, n2 = 50 dan σ2 = 6.α = 0.04 → z0.02 = 2.05

Selang kepercayaan 96% bagi selisih rata-rata nilai siswa putra dengan siswa putri adalah

(86 – 76) – (2,05) 82

75+

62

50< 𝜇1 − 𝜇2 < (86 – 76) + (2,05)

82

75+

62

50

3,43 < 𝜇1 − 𝜇2 < 8,57

2

2

2

1

2

12121

2

2

2

1

2

121 22

)()(nn

zxxnn

zxx

1x2x

2

2

2

1

2

12121

2

2

2

1

2

121 22

)()(nn

zxxnn

zxx

2. Adapun penduga selang kepercayaan 100(1-)% bagi 1-2 untuksampel kecil; bila 1

2=22 tapi nilainya tidak diketahui adalah

21

2121

21

21

11)(

11)(

22 nnstxx

nnstxx pp

dengan derajat bebas untuk distribusi t = v =n1 + n2 – 2 dan

2 2

1 1 2 2

1 2

1 1

2p

n S n SS

n n

Contoh Soal:Sebanyak 12 sampel bulanan diambil dari stasiun muara, data indeks keragaman spesiesnyamenghasilkan nilai rata-rata 3.11 dan standar deviasi 0.771, sedangkan dari stasiun hulu diambil 10sampel bulanan dengan rata-rata indeks 2.04 dan standar deviasi 0.448. Buat selang kepercayaan90% untuk selisih rata-rata populasi dari kedua stasiun, anggap kedua populasi berdistribusi hampirnormal dengan varians sama!Jawab:Misal : 𝑥1 = 3.11 adl rata-rata indeks stasiun muara, n1 = 12, S1 = 0.771

𝑥2 = 2.04 adl rata-rata indeks stasiun hulu, n2 = 10, S2 = 0.448.Diasumsikan varians sama, maka

α = 0.1→ t0.05db=12+10-2 = t0.05

db=20 = 1.725Jadi, selang kepercayaan 90% untuk selisih rata-rata indeks keragaman spesies di muara dengan dihulu adalah

2 2

12 1 0.771 10 1 0.4480.646

12 10 2pS

21

2121

21

21

11)(

11)(

22 nnstxx

nnstxx pp

(3,11 – 2,04) – (1,725) (0,646) 1

12+

1

10≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ (3,11 – 2,04) + (1,725) (0,646)

1

12+

1

10

0,593 ≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ 1,547

3.Selang kepercayaan 100(1-)% bagi 1-2 untuk sampel kecil; bila

122

2 tapi nilainya tidak diketahui

2

2

2

1

2

12121

2

2

2

1

2

121 22

)()(n

s

n

stxx

n

s

n

stxx

Dengan derajat bebas untuk distribusi t adalah

)]1()([)]1()([

)(

2

2

2

2

21

2

1

2

1

2

2

2

21

2

1

nnsnns

nsnsv

Contoh soal :Lima belas sampel dikumpulkan dari stasion 1 dan 12 sampel diukur dari stasion 2. ke 15sampel dari stasion 1 mempunyai rata-rata kadar ortofosfor 3.84 mg/l dan standar deviasi3.07 mg/l, sedangkan 12 sampel dari stasion 2 mempunyai rata-rata kadar 1.49 mg/ldengan standar deviasi 0.80 mg/l. Cari selang kepercayaan 95% untuk selisih rata-ratakadar ortofosfor sesungguhnya pada kedua stasion tersebut, anggap bahwa pengamatanberasal dari populasi normal dengan varians yang berbeda!

Jawab:Misal : 𝑥1 = 3.84 adl rata-rata kadar ortofosfor stasion 1, n1 = 15, S1 = 3.07

𝑥2 = 1.49 adl rata-rata kadar ortofosfor stasion 2, n2 = 12, S2 = 0.80Diasumsikan varians berbeda, maka

α = 0.05 → t0.025db= v = t0.025

db=16 = 2.120Jadi, selang kepercayaan 95% untuk selisih rata-rata kadar ortofosfor di stasion 1 denganstasion 2 adalah

22 2

2 22 2

3.07 0.80

15 1216.3 16

3.07 0.80

15 12

15 1 12 1

v

2 2 2 2

1 2

1 2

3.07 0.80 3.07 0.803.84 1.49 2.120 3.84 1.49 2.120

15 12 15 12

0.60 4.10

B.Interval Konfidensi pada VariansiEstimasi selang untuk σ2 diturunkan dengan menggunakan statistik χ2 (baca: chi-square) denganderajat bebas db = n-1

2

2

2

1n S

Bila s2 adalah adalah penduga titik bagi varians sampel acak berukuran n yang diambil darisuatu populasi normal dengan varians 2, maka selang kepercayaan 100(1-)% bagi 2 adalah

2

)1,1(

22

2

),1(

2

22

)1()1(

nn

snsn

2

)2/,1( n

2Dengan adalah nilai dengan derajat bebas v = n–1 yang luas daerah di sebelahkanannya sebesar α/2

Contoh Soal:Suatu Proses pengolahan seharusnya dilakukan pada suhu 68°C. selama 10 jampengolahan, ternyata suhu yang terbaca pada thermometer mesin tersebutadalah sebagai berikut:

Jam Ke- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Suhu 67.4 67.8 68.2 69.3 69.5 67.0 68.1 68.6 67.9 67.2Dengan interval kepercayaan 95%, Carilah estimasi variansi suhupada mesin tersebut!Jawab:n = 10 → n-1 = 9 ; 1 – α = 0.95 → α = 0.05 → 1 – α/2 = 0,97

= 2.70 ; = 19.02

Variansi sampel s2 memberikan estimasi titik untuk s 2

𝑆2 = 𝑥𝑖− 𝑥 2

𝑛−1=

6.3

9= 0.70

Estimasi populasi variamsi dengan tingkay kepercayaan 95% adalah:

10−1 0.70

19.02≤ 𝜎2 ≤

10−1 0.70

2.70

0.33 ≤ 𝜎2 ≤ 2.33

2

)975.0;9(2

)025.0;9(

2

)1,1(

22

2

),1(

2

22

)1()1(

nn

snsn

C.Interval Konfidensi pada Rasio Variansi

Bila σ1 dan σ2 varians dua populasi normal, maka estimasi selanguntuk rasio σ1/σ2 diperoleh dengan menggunakan statistik f yakni,

2 2

2 11, 22 2

1 2

.~

.v v

SF F

S

Dengan derajat bebas v1=n1 – 1 dan v2=n2 – 1

Bila S12 dan S2

2 varians dari sampel acak masing-masing berukuran n1 dann2 dari populasi normal, maka selang kepercayaan (1-α)100% untuk rasioσ1/σ2 adalah

),(2

2

2

1

2

2

2

1

),(

2

2

2

1

122

212

1vv

vv

fs

s

fs

s

Varians dikatakan sama jika dan hanya jika selang mencakup nilai 1