VALJAK I KUPA• Valjak ili cilindar je konveksno

geometrijsko telo. Može se definisati pomoću jedne kružnice i duži u prostoru. Ukoliko se jedno teme date duži postavi u centar date kružnice, a kružnica neprekidno umnožava duž nje, dobijeno telo će biti upravo valjak

• Kupa je geometrijsko telo. Može se definisati kao geometrijsko mesto tačaka koje čini sve duži između kružnice, koja se nalazi u jednoj ravni, i tačke, koja se nalazi izvan te ravni.

h

r

ns

Ob=r

c=l

h=H

T

ELEMENTI VALJKA I KUPE

r

ns

= Hc=

b=

H

VALJAK

• Karakterističan deo površini valjkastih tela je takozvana cilindrična ili valjkasta površ.

• Telo ograničeno delom cilindrične površi i sa dva kruga normalna na osu ove površi, naziva se prav valjak ili cilindar.

• Deo cilindrične površi koji pripada valjku je omotač valjka, a dva kruga su osnove ili baze valjka.

Primer 1.• Pravougaonik stranica a = 1 dm i b = 6 cm

obrće se oko stranice a) b); b) a). • Odredi prečnik osnove i visinu valjka, koji se

dobija ovim obrtanjem.

Rešenje.

• a) Prema slici levo, visina je stranica b, tj. H = 6 cm. Poluprečnik osnove je stranica

a, pa je prečnik 2r = 2a = 2 dm.

• b) H = 10 cm i 2r = 12 cm.

POVRŠINA VALJKA

• Možemo ceo valjak “ispraviti” u ravan i dobićemo mrežu valjka.

Formule

• Površina valjka: P = 2B + M • Površina osnove valjka: P = r2π

• Površina osnove valjka: P = 2rπH

• Prema tome, površina valjka je:

P = 2r2π + 2rπH

Ili

P = 2r π(r + H)

• Površina ravnostranog valjka: P = 6r2π

Primer 2.

• Kvadrat stranice 5 cm obrće se oko jedne svoje stranice. Kolika je površina dobijenog valjka?

Broj π računaj na dve decimale.

• Rešenje. Poluprečnik osnove je r = 5 cm, koliko i visina H, što se jasno vidi na slici dole. Prema tome, P = 2r2π + 2rπH = 2 · 52 · 3,14 + 2 · 5 · 3,14 · 5 = 100 · 3,14 cm2 = 314 cm2.

ZAPREMINA VALJKA

• Valjak je telo slično prizmi. Zapremina valjka se računa po formuli koja važi za prizmu:

V = B · H

• Zapremina valjka: V = r2πH• Zapremina ravnostranog valjka: V =

2r³π

Primer 3.

• Izračunaj zapreminu valjka kome je prečnik

osnove 20 cm i visina 50 cm. (Računaj π =

3,14).

• Rešenje. Poluprečnik osnove je r = 10 cm, pa je

zapremina V = r2πH = 102 · 3,14 · 50 cm³ =

15 700 cm³ = 15,7 dm³.

KUPA• Tačka A opisuje kružnu

liniju sa centrom O .• Svaka tačka hipotenuze

AS opisuje kružnu liniju sa centrom na duži SO.

• Na taj način kateta AO opiše krug,a hipotenuza AS opise oblu površ-KONUSNU POVRŠ sa vrhom S i osom OS.

Prava kupa je oblo telo koje je ograničeno jednim krugom i delom konusne površi,između tog kruga i vrha.Pritom je osa konusne površi normalna na ravan kruga i prolazi kroz centar kruga.

H:x=r:r₁ ; B= r2π ; Q=k2 B

Osni presek kupe je jednakokraki trougao površine

Q=r ·H

Ravnostrana kupa je kupa kojoj je osni presek jednakostranični trougao.

S=2r H=r √3

Primer 1:Osni presek kupe je trougao u kome je 1 unutrasnji ugao 120,a visina 5dm.Odredi izvodnicu I poluprecnik osnovice.

Prikazan je osni presek.U pravouglom trouglu AOS kateta OS=H=5dm je polovina hipotenuze AS=s.Dakle,AS=

10dm =2H,a poluprecnik osnove je r=AO=SO₃=53

POVRŠINA KUPE

• P=B + M• B= r2π

• M=Pi M=πrs

• Odnosno, P= r2π+πrs

ili P=πr(r+s)

Primer 2:Jednakokraki trougao PQR,osnovice PQ=16cm I kraka 2dm se obrće oko svoje simetrale.Odredi

površinu omotača ove kupe.

• Izvodnica kupe je krak trougla,s=20cm,a poluprečnik osnove je r=PQ:2=8cm.

• Površina omotača je: M=πrs=502,4 cm2

ZAPREMINA KUPE

Zapremina kupe se računa po istoj formuli kao i zapremina za piramidu.

V=(BH):3ili

V =1/3. r²π ·H

Primer 3:Izračunaj V kupe kojoj je prečnik osnove 12cm i visina 25 cm.

• Poluprečnik osnove je r=6cm

• Tražena zapremina je V=(r2πH) :3 V=942 cm

Marta Marjanović

Sofija Čabarkapa