valuación de activos e inversiones -...
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VALUACIÓN DEACTIVOS E INVERSIONESVALUACIÓN DEACTIVOS E INVERSIONES
Alejandro Diosdado RodríguezAdministración de Riesgos Financieros
Ernst & Young (México)[email protected]
Temario
1. Entorno de la Inversiones
2. Valuación de Activos No Financieros
3. Valuación de Activos Financieros (Bonos)
4. Estructura Intertemporal de Tasas de Interés
5. Instrumentos Financieros Derivados
Valuación de Activos e InversionesPage 2
1. Entorno de la Inversiones
2. Valuación de Activos No Financieros
3. Valuación de Activos Financieros (Bonos)
4. Estructura Intertemporal de Tasas de Interés
5. Instrumentos Financieros Derivados
El Entorno de las Inversiones
TierrasInmueblesEquiposTecnologíaOtros
PréstamosBonosAcciones
Conjunto de ActivosReales
Conjunto de ActivosFinancieros
Valuación de Activos e InversionesPage 3
TierrasInmueblesEquiposTecnologíaOtros
PréstamosBonosAcciones
Usados para crear bienes y servicios(Tangibles e Intangibles) Rendimientos Variables Lado Activo del Balance
Derechos “generados” para reclamaractivos reales.
Rendimientos Fijos y Variables
Lado Activo y Pasivo del Balance
Activos – Valuación, Rendimiento y Riesgo
Tanto los activos reales, como los activosfinancieros que soportan dichos activos reales,representan cierto riesgo para la empresa y paralos inversionistas.
Dependiendo el tipo de inversionista, existendiversos niveles de aceptación de riesgo yrendimiento requerido (desde aversión absolutahasta indiferencia completa al mismo).
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Tanto los activos reales, como los activosfinancieros que soportan dichos activos reales,representan cierto riesgo para la empresa y paralos inversionistas.
Dependiendo el tipo de inversionista, existendiversos niveles de aceptación de riesgo yrendimiento requerido (desde aversión absolutahasta indiferencia completa al mismo).
Valuación de un Activo
Proceso que relaciona el riesgo y el rendimiento deun activo para determinar su valor razonable.
Influyen en el valor del activo tres factores principales:
► Flujos de efectivo► Momento en que ocurren los flujos► Rendimiento requerido (en función del riesgo)
Valuación de Activos e InversionesPage 5
Proceso que relaciona el riesgo y el rendimiento deun activo para determinar su valor razonable.
Influyen en el valor del activo tres factores principales:
► Flujos de efectivo► Momento en que ocurren los flujos► Rendimiento requerido (en función del riesgo)
Modelo Básico de Valuación
► El valor de cualquier activo es el valor presente detodos los flujos de efectivo futuros que se esperaproporcione durante el periodo de tiempo relevante.
► Es decir, el valor del activo se determina aldescontar los flujos de efectivo esperados usandoun rendimiento requerido acorde con el riesgo delactivo.
Valuación de Activos e InversionesPage 6
► El valor de cualquier activo es el valor presente detodos los flujos de efectivo futuros que se esperaproporcione durante el periodo de tiempo relevante.
► Es decir, el valor del activo se determina aldescontar los flujos de efectivo esperados usandoun rendimiento requerido acorde con el riesgo delactivo.
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Valuación de ActivosValuación de ActivosNo FinancierosNo Financieros
Valuación de ActivosValuación de ActivosNo FinancierosNo Financieros
Ejemplo Valuación de “Real Estate”… (1)
Un inversionista está considerando comprar un edificio de oficinas, y comoparte de su análisis, debe calcular la Utilidad Neta de Operación (NOI porsus siglas en inglés).
La información disponible del edificio es la siguiente:
Ingresos Brutos potenciales por Renta $250,000Tasa estimada de pérdidas por vacancy & collection 5%Seguro $10,000Impuestos $8,000Mantenimiento y mejoras $22,000
Método de Flujos de efectivo descontados después deimpuestos. Este método liga el valor de una propiedad a latasa de impuesto marginal de un inversionista
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Un inversionista está considerando comprar un edificio de oficinas, y comoparte de su análisis, debe calcular la Utilidad Neta de Operación (NOI porsus siglas en inglés).
La información disponible del edificio es la siguiente:
Ingresos Brutos potenciales por Renta $250,000Tasa estimada de pérdidas por vacancy & collection 5%Seguro $10,000Impuestos $8,000Mantenimiento y mejoras $22,000
NOI = $250,000 – (250,000 * 0.05) - $10,000 - $8,000 - $22,000 = $197,500
Ejemplo Valuación de “Real Estate”… (2)
Valor del Inmueble (Perpetuidad)
Una vez calculado el NOI, y asumiendo una tasa de incremento en las rentas(market rate) de 10%, podemos calcular el valor del Bien Raíz como unaperpetuidad:
Valor del Inmueble: NOI / market rate
Valor del Inmueble: $197,500 / 0.10 = $1’975,000
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Valor del Inmueble (Perpetuidad)
Una vez calculado el NOI, y asumiendo una tasa de incremento en las rentas(market rate) de 10%, podemos calcular el valor del Bien Raíz como unaperpetuidad:
Valor del Inmueble: NOI / market rate
Valor del Inmueble: $197,500 / 0.10 = $1’975,000
Ejemplo Valuación de “Real Estate”… (3)
Cálculo de los flujos de efectivo después de Impuestos,Valor Presente Neto (NPV) y rendimiento.
Continuando con el ejemplo anterior, podemos asumir que un inversionistaadquiere el inmueble en $1,850,000, otorgando un 20% en efectivo y elresto con un préstamo hipotecario a 30 años a una tasa anual de 10%.
La inversión inicial por el inmueble es de $370,000 ($1’850,000 * 20%)
El primer pago anual del préstamo son de $156,997 ($148,000 porintereses + 8,997 por pago a capital)
La tasa impositiva del inversionista es del 28%
La depreciación anual estimada es de $45,000
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Cálculo de los flujos de efectivo después de Impuestos,Valor Presente Neto (NPV) y rendimiento.
Continuando con el ejemplo anterior, podemos asumir que un inversionistaadquiere el inmueble en $1,850,000, otorgando un 20% en efectivo y elresto con un préstamo hipotecario a 30 años a una tasa anual de 10%.
La inversión inicial por el inmueble es de $370,000 ($1’850,000 * 20%)
El primer pago anual del préstamo son de $156,997 ($148,000 porintereses + 8,997 por pago a capital)
La tasa impositiva del inversionista es del 28%
La depreciación anual estimada es de $45,000
Ejemplo Valuación de “Real Estate”… (4)
Cálculo de los utilidad neta después de impuestos
Como primer punto, debemos calcular el Ingreso Neto después de Impuestos:
Utilidad Neta Operativa (NOI) $ 197,500- Depreciación - $ 45,000- Intereses - $ 148,000= Utilidad Neta Antes de Impuestos = $ 4,500- Impuestos (NI * Tasa impositiva) - $ 1,260= Utilidad Neta después de Impuestos (UNDI) =$ 3,240
El objetivo de este método, es conocer el flujo de efectivo real que tendríaun inversionista en el futuro.
Sin embargo, la UNDI contiene elementos que no son flujos de efectivocomo la depreciación y a su vez también falta por considerar el pago querealiza como abono a capital del préstamo hipotecario.
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Cálculo de los utilidad neta después de impuestos
Como primer punto, debemos calcular el Ingreso Neto después de Impuestos:
Utilidad Neta Operativa (NOI) $ 197,500- Depreciación - $ 45,000- Intereses - $ 148,000= Utilidad Neta Antes de Impuestos = $ 4,500- Impuestos (NI * Tasa impositiva) - $ 1,260= Utilidad Neta después de Impuestos (UNDI) =$ 3,240
El objetivo de este método, es conocer el flujo de efectivo real que tendríaun inversionista en el futuro.
Sin embargo, la UNDI contiene elementos que no son flujos de efectivocomo la depreciación y a su vez también falta por considerar el pago querealiza como abono a capital del préstamo hipotecario.
Ejemplo Valuación de “Real Estate”… (5)
Flujo de Efectivo (Free Cash Flow)
Utilidad Neta después de Impuestos $ 3,240+ Depreciación + $ 45,000- Pago de Capital - $ 8,997= Flujo de Efectivo después de Impuestos: $ 39,243
Bajo esta metodología, es posible conocer para los añossubsecuentes, los flujos futuros de efectivo necesarios para calculartanto el Valor Presente Neto de una Inversión (VPN) y la tasa internade rendimiento del proyecto (TIR)
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Flujo de Efectivo (Free Cash Flow)
Utilidad Neta después de Impuestos $ 3,240+ Depreciación + $ 45,000- Pago de Capital - $ 8,997= Flujo de Efectivo después de Impuestos: $ 39,243
Bajo esta metodología, es posible conocer para los añossubsecuentes, los flujos futuros de efectivo necesarios para calculartanto el Valor Presente Neto de una Inversión (VPN) y la tasa internade rendimiento del proyecto (TIR)
Ejemplo Valuación de “Real Estate”… (6)Cálculo del Valor Presente Neto
Supongamos que el inversionista planea vender el edificio dentro detres años en $1’950,000. Dentro de 3 años, el saldo remanente delpréstamo hipotecario es de $1,450,000. Asumiendo que el costo decapital es de 10% y los flujos de efectivo después de impuestos son lossiguientes: Año 1 Año2 Año 3
Utilidad Neta Operativa (NOI) $197,500 $197,500 $197,500- Depreciación -$45,000 -$45,000 -$45,000- Intereses -$148,000 -$147,100 -$146,111= Utilidad Antes de Impuestos $4,500 $5,400 $6,389- Impuestos (NI * Tasa impositiva) -$1,260 -$1,512 -$1,789Utilidad Neta Después de Impuestos $3,240 $3,888 $4,600Depreciación $45,000 $45,000 $45,000Pago de Capital $8,997 $9,897 $10,887FCF $39,243 $38,991 $38,714
Utilidad x Venta $500,000Total Año 3 $538,714
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Año 1 Año2 Año 3Utilidad Neta Operativa (NOI) $197,500 $197,500 $197,500- Depreciación -$45,000 -$45,000 -$45,000- Intereses -$148,000 -$147,100 -$146,111= Utilidad Antes de Impuestos $4,500 $5,400 $6,389- Impuestos (NI * Tasa impositiva) -$1,260 -$1,512 -$1,789Utilidad Neta Después de Impuestos $3,240 $3,888 $4,600Depreciación $45,000 $45,000 $45,000Pago de Capital $8,997 $9,897 $10,887FCF $39,243 $38,991 $38,714
Utilidad x Venta $500,000Total Año 3 $538,714
Ejemplo Valuación de “Real Estate”… (7)
Cálculo del Valor Presente Neto (VPN) y TIR:
El Valor Presente de los flujos de efectivo es:
EL VPN es el valor presente de los flujos menos la Inversión Inicial:
Al presentar un VPN positivo, el proyecto de inversión es viabley puede ser aceptado.
649,472$10.1
721,53810.1991,38
10.1243,39$
32
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Cálculo del Valor Presente Neto (VPN) y TIR:
El Valor Presente de los flujos de efectivo es:
EL VPN es el valor presente de los flujos menos la Inversión Inicial:
Al presentar un VPN positivo, el proyecto de inversión es viabley puede ser aceptado.
649,102$000,370$649,472$
Ejemplo Valuación de “Real Estate”… (8)
Cálculo de la TIR:
Resumiendo, los flujos de efectivo de la inversión son los siguientes:
0CF$370,000-0 Año
1CF39,243$1 Año
Valuación de Activos e InversionesPage 15
1CF39,243$1 Año
3CF38,991$2 Año
3CF$538,7213 Año
20.18%TIR
Resumen de Variables y supuestos de la Valuación
► Determinación del NOI (Renta, Tasa dedesocupación, seguro, impuestos ymantenimiento).
► Tasa de Crecimiento de las Rentas.
► Tasa de Préstamo Hipotecario.
► Depreciación Anual.
► Costo de Capital.
► Valor del Inmueble a la fecha de venta.
Valuación de Activos e InversionesPage 16
► Determinación del NOI (Renta, Tasa dedesocupación, seguro, impuestos ymantenimiento).
► Tasa de Crecimiento de las Rentas.
► Tasa de Préstamo Hipotecario.
► Depreciación Anual.
► Costo de Capital.
► Valor del Inmueble a la fecha de venta.
Valuación de ActivosValuación de ActivosFinancierosFinancieros
Valuación de ActivosValuación de ActivosFinancierosFinancieros
Activos Financieros
Permiten la transferencia de fondos de los individuos consuperávit hacia quienes demandan recursos para invertir enActivos Reales. Existen 3 clases de activos financieros:
► Renta Fija (Fixed Income): el rendimiento de estosactivos está parcialmente relacionado con la evolucióneconómica del emisor (Bonos, Préstamos).
► Renta Variable: el retorno depende totalmente de laperformance del emisor (Acciones).
► Derivados: su rendimiento depende de la evolución delprecio de otro activo (Forwards, Swaps, Opciones).
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► Renta Fija (Fixed Income): el rendimiento de estosactivos está parcialmente relacionado con la evolucióneconómica del emisor (Bonos, Préstamos).
► Renta Variable: el retorno depende totalmente de laperformance del emisor (Acciones).
► Derivados: su rendimiento depende de la evolución delprecio de otro activo (Forwards, Swaps, Opciones).
Bonos: Componentes
Valor Nominal (Par Value, Face Value)Valor Nominal (Par Value, Face Value)Tipo de CupónTipo de Cupón
►► Cupón ceroCupón cero►► Cupón fijo (mensual, trimestral, semestral)Cupón fijo (mensual, trimestral, semestral)►► Cupón variable (mensual, trimestral, semestral)Cupón variable (mensual, trimestral, semestral)
Tiempo al vencimiento (Maturity)Tiempo al vencimiento (Maturity)Opciones Adheridas (Call, Put)Opciones Adheridas (Call, Put)
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Valor Nominal (Par Value, Face Value)Valor Nominal (Par Value, Face Value)Tipo de CupónTipo de Cupón
►► Cupón ceroCupón cero►► Cupón fijo (mensual, trimestral, semestral)Cupón fijo (mensual, trimestral, semestral)►► Cupón variable (mensual, trimestral, semestral)Cupón variable (mensual, trimestral, semestral)
Tiempo al vencimiento (Maturity)Tiempo al vencimiento (Maturity)Opciones Adheridas (Call, Put)Opciones Adheridas (Call, Put)
Riesgo de tasa de interésRiesgo de tasa de interés: El precio de un bono típico cambiará endirección contraria a cambios en la tasa de interés. Si el inversionistatiene que vender el bono antes de la fecha de vencimiento, unincremento en las tasas de interés significa la realización de una pérdidade capital.
Riesgo de reinversión:Riesgo de reinversión: Una disminución de la tasas de interés a lasque se planea reinvertir el flujo de dinero (cash flow) que recibe elinversionista provocará una pérdida de ingresos.
Riesgo de llamada:Riesgo de llamada:► El flujo de dinero de un bono “llamable” no se conoce con
certeza.► Como el emisor llamará cuando las tasas caen, el
inversionista está expuesto al riesgo de reinversión.
Riesgos en un Bono
Valuación de Activos e InversionesPage 20
Riesgo de tasa de interésRiesgo de tasa de interés: El precio de un bono típico cambiará endirección contraria a cambios en la tasa de interés. Si el inversionistatiene que vender el bono antes de la fecha de vencimiento, unincremento en las tasas de interés significa la realización de una pérdidade capital.
Riesgo de reinversión:Riesgo de reinversión: Una disminución de la tasas de interés a lasque se planea reinvertir el flujo de dinero (cash flow) que recibe elinversionista provocará una pérdida de ingresos.
Riesgo de llamada:Riesgo de llamada:► El flujo de dinero de un bono “llamable” no se conoce con
certeza.► Como el emisor llamará cuando las tasas caen, el
inversionista está expuesto al riesgo de reinversión.
Riesgo de crédito:Riesgo de crédito: Riesgo de que el emisor no pueda pagar el principaly los intereses, ya sea parcialmente o en su totalidad (riesgo dedefault). También se consideran las pérdidas potenciales debido a ladisminución de la calidad crediticia del emisor (riesgo de migración).
Riesgo de inflación:Riesgo de inflación: Disminución del poder de compra de los flujos deefectivo de debido a la inflación.
Riesgo de tipo de cambio:Riesgo de tipo de cambio: Cuando el bono se encuentra en unamoneda diferente a la de curso legal y los flujos dependen del tipo decambio.
Riesgo de liquidez:Riesgo de liquidez: Tiene que ver con la facilidad a la cual la emisiónpuede ser vendida lo más cerca posible de su precio.
Riesgos en un Bono
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Riesgo de crédito:Riesgo de crédito: Riesgo de que el emisor no pueda pagar el principaly los intereses, ya sea parcialmente o en su totalidad (riesgo dedefault). También se consideran las pérdidas potenciales debido a ladisminución de la calidad crediticia del emisor (riesgo de migración).
Riesgo de inflación:Riesgo de inflación: Disminución del poder de compra de los flujos deefectivo de debido a la inflación.
Riesgo de tipo de cambio:Riesgo de tipo de cambio: Cuando el bono se encuentra en unamoneda diferente a la de curso legal y los flujos dependen del tipo decambio.
Riesgo de liquidez:Riesgo de liquidez: Tiene que ver con la facilidad a la cual la emisiónpuede ser vendida lo más cerca posible de su precio.
Valuación de un Bono
Valuación de Flujos de DineroValuación de Flujos de Dinero
El precio de cualquier instrumento financiero es igual al valor presentede todos los flujos esperados futuros, por lo que necesitamos estimar:
► los flujos esperados► la tasa de rendimiento (yield) apropiada
Para un bono “no llamable”, la estimación de flujos es
► Pago de cupones periódicos hasta la fecha de madurez► El par value al vencimiento.
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Valuación de Flujos de DineroValuación de Flujos de Dinero
El precio de cualquier instrumento financiero es igual al valor presentede todos los flujos esperados futuros, por lo que necesitamos estimar:
► los flujos esperados► la tasa de rendimiento (yield) apropiada
Para un bono “no llamable”, la estimación de flujos es
► Pago de cupones periódicos hasta la fecha de madurez► El par value al vencimiento.
Si la tasa de interés se mantiene constante (Tasa Fija) hasta lamadurez T:
r es la tasa compuesta continua, y R la tasa simple efectiva.
0 t1
$C1 $C2 $Ci
Valor Futuro
$CN
Valor Presente
tit2 tN=T
Valuación de un Bono (Flujos)
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Si la tasa de interés se mantiene constante (Tasa Fija) hasta lamadurez T:
r es la tasa compuesta continua, y R la tasa simple efectiva.
1 1
( ) ( )
1 1
(1 )
(1 )
i
i
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N Nr t i
i ti i
N Nr T t T t
i ii i
CVP C e
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VF C e C R
1
11 1
N N
C VNP
y y y
Y RN M m y C VN
m m
0 1
$C $C $C $C+ $VN
Precio
i2 N
R = tasa cupón (anual)Y = rendimiento actual (anual)m = frecuencia anual de pagos
Valuación de un Bono (Anualidad)
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1
11 1
N N
C VNP
y y y
Y RN M m y C VN
m m
R = tasa cupón (anual)Y = rendimiento actual (anual)m = frecuencia anual de pagos
Precio de un bono cupón-cero: 1N
VNP
y
Si la tasas de interés NO se mantienen constante (TasaRevisable) hasta la madurez T:
R1 ,…, RN son conocidas hoy, pero F1 ,…, FN no lo son (tasasforward).
1 1
( ) ( )
1 1
(1 )
(1 ) ¿?
i i
i
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N Nr t i
i ti i i
N Nf T t T t
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CVP C e
R
VF C e C F
Valuación de Bonos Tasa RevisableTasas Forward
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Si la tasas de interés NO se mantienen constante (TasaRevisable) hasta la madurez T:
R1 ,…, RN son conocidas hoy, pero F1 ,…, FN no lo son (tasasforward).
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CVP C e
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VF C e C F
Relación Precio – Yield
El precio cambia endirección contraria acambios en la yieldrequerida.
Cuando la tasa cupón esigual a la yield requerida,el precio del bono seráigual al par value.
Precio
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El precio cambia endirección contraria acambios en la yieldrequerida.
Cuando la tasa cupón esigual a la yield requerida,el precio del bono seráigual al par value.
YieldTasa Cupón
VN
Bono a Premio y Bono a Descuento
VN
Bono a premio
Bono a la par
Bono a descuento
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Pull to parPull to par::Según se acerca el momento de la madurez, el precio delbono converge a su valor nominal.
Madurez
Yield To Maturity
El yield (o rendimiento) de cualquier inversión es la tasa de interés queigualará el valor presente de los flujos al precio o costo de la inversión.
1 1(1 )i
i
N Nr t i
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CP Ce
y
• P = precio de mercado• y = yield compuesto simple• r = yield compuesto continuo
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1 1(1 )i
i
N Nr t i
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CP Ce
y
el yield calculado con esta relación es la TIR (tasa interna de retorno)
Rendimiento al vencimientoRendimiento al vencimiento (yield to maturity o YTM)
Yield curve
Curva de tasas de rendimientosCurva de tasas de rendimientos (yield curve):
Grafica la relación entre el rendimiento a la madurez (TIR) de bonos dela misma calidad crediticia, pero con diferente madurez.
Para construirla se suelen utilizar los precios de bonos de gobierno on-the-run (los más recientemente emitidos), pues se asume que estoscarecen de riesgo de default.
yield
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Curva de tasas de rendimientosCurva de tasas de rendimientos (yield curve):
Grafica la relación entre el rendimiento a la madurez (TIR) de bonos dela misma calidad crediticia, pero con diferente madurez.
Para construirla se suelen utilizar los precios de bonos de gobierno on-the-run (los más recientemente emitidos), pues se asume que estoscarecen de riesgo de default.
Madurezcorto plazo mediano plazo largo plazo
Yield de un Portafolio
El yield de un portafolio NO es simplemente su promedio opromedio ponderado de las YTM de los instrumentos quelo conforman.
Se debe calcular determinando los flujos de efectivo delportafolio y la tasa que igualará el valor presente dedichos flujos al valor de mercado del portafolio.
Valuación de Activos e InversionesPage 30
El yield de un portafolio NO es simplemente su promedio opromedio ponderado de las YTM de los instrumentos quelo conforman.
Se debe calcular determinando los flujos de efectivo delportafolio y la tasa que igualará el valor presente dedichos flujos al valor de mercado del portafolio.
Volatilidad en el Precio de los Bonos
Algunas de las medidas más utilizadas:Algunas de las medidas más utilizadas:
a) D*: Duraciónb) PVBP: Price Value of a Basis Point = Dollar Value of an 01c) Conv: Convexidad
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Algunas de las medidas más utilizadas:Algunas de las medidas más utilizadas:
a) D*: Duraciónb) PVBP: Price Value of a Basis Point = Dollar Value of an 01c) Conv: Convexidad
Duración
*
12
*
YTM1
/11
1 1 1
11
1 1
YTM
n n
n n
D Dm
n VN C YC
Y Y YD
P m
C VNP
Y Y Y
Rn M m Y C VN
m m
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*
12
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YTM1
/11
1 1 1
11
1 1
YTM
n n
n n
D Dm
n VN C YC
Y Y YD
P m
C VNP
Y Y Y
Rn M m Y C VN
m m
Duración y PVBP
La duración es solamente una aproximación lineal. Asume que la relaciónprecio-rendimiento es lineal.
$40
$55
$70
$85
$100
$115
5.0% 6.0% 7.0% 8.0% 9.0% 10.0% 11.0% 12.0%
Precio Correcto Precio con D
Error
Precio
*
*
100001
323200
10032
32
D PPVBP
YVPVBP
YVD P
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$40
$55
$70
$85
$100
$115
5.0% 6.0% 7.0% 8.0% 9.0% 10.0% 11.0% 12.0%
Precio Correcto Precio con D
–D*$
Rendimiento(Y)
Teorema de Inmunización
Teorema de Inmunización:Teorema de Inmunización:Diseño de un portafolio que genere los fondos suficientes para satisfaceruna obligación (pasivo) en un horizonte determinado,independientemente de cómo las tasas de interés cambian desde elpresente hasta el horizonte.
Si el horizonte de inversión H es exactamente igual a la duración delportafolio D, entonces el retorno total de la inversión V no cambia, aún siel yield r cambia en Δr:
Esto se debe a que el Riesgo de Reinversión y el Riesgo de Tasas secancelan exactamente para un Horizonte igual a la Duración.
Un portafolio con horizonte H=D estará inmunizado, su rendimiento totalserá el yield de hoy r, y:
Valuación de Activos e InversionesPage 34
Teorema de Inmunización:Teorema de Inmunización:Diseño de un portafolio que genere los fondos suficientes para satisfaceruna obligación (pasivo) en un horizonte determinado,independientemente de cómo las tasas de interés cambian desde elpresente hasta el horizonte.
Si el horizonte de inversión H es exactamente igual a la duración delportafolio D, entonces el retorno total de la inversión V no cambia, aún siel yield r cambia en Δr:
Esto se debe a que el Riesgo de Reinversión y el Riesgo de Tasas secancelan exactamente para un Horizonte igual a la Duración.
Un portafolio con horizonte H=D estará inmunizado, su rendimiento totalserá el yield de hoy r, y:
( , ) ( , )V r r D V r D
Teorema de Inmunización
$0
$200,000
$400,000
$600,000
$800,000
$1,000,000
$1,200,000
0 1 2 3 4 5 6
4.00% 8.00% 12.00%
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$0
$200,000
$400,000
$600,000
$800,000
$1,000,000
$1,200,000
0 1 2 3 4 5 6
4.00% 8.00% 12.00%D = H
Cuando las tasas bajan, la pérdida por reinversión de cupones escompensada con un mayor precio del bono. Cuando las tasas suben,la pérdida por valor del bono, se compensa por la reinversión decupones.
Convexidad
12
*
1 23 2
11
1 1
/11
1 1
1 /2 1 21
1 1 1Conv.
n n
n n
n n n
C VNP
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n VN C YCY Y Y
DP
n n VN C YC CnY Y Y Y Y
P
Valuación de Activos e InversionesPage 36
12
*
1 23 2
11
1 1
/11
1 1
1 /2 1 21
1 1 1Conv.
n n
n n
n n n
C VNP
Y Y Y
n VN C YCY Y Y
DP
n n VN C YC CnY Y Y Y Y
P
Convexidad
$0.00
$50.00
$100.00
$150.00
$200.00
$250.00
0.0% 2.0% 4.0% 6.0% 8.0% 10.0% 12.0% 14.0% 16.0% 18.0% 20.0%
P correcto Nuevo Precio por D* Nuevo Precio por D*+C
Se define como el grado de curvatura de la relación precio-rendimiento, alrededor de cierto nivel de tasas de interés.
Valuación de Activos e InversionesPage 37
$0.00
$50.00
$100.00
$150.00
$200.00
$250.00
0.0% 2.0% 4.0% 6.0% 8.0% 10.0% 12.0% 14.0% 16.0% 18.0% 20.0%
P correcto Nuevo Precio por D* Nuevo Precio por D*+C
Aproximación Numérica de la Duración yConvexidad
YTM actual
Precio o valor para unyield y
Cambio de yield
0
( )
y
P y
yDenotamos:
Calculamos:
Aproximamos:
0 0
0
0
( )
( )
( )
P P y
P P y y
P P y y
Precio actual
Precio para una disminución deyield
Precio para un aumento de yield
Valuación de Activos e InversionesPage 38
*
0
02
0
2
2Conv
( )
P PD
P y
P P P
P y
Denotamos:
Calculamos:
Aproximamos:
0 0
0
0
( )
( )
( )
P P y
P P y y
P P y y
Precio actual
Precio para una disminución deyield
Precio para un aumento de yield
Duración y Convexidad de un Portafolio
La Duración de un portafolio con “n” activos será:
La Convexidad de un portafolio con “n” activos será:
“w” se refiere a la proporción del activo “n” con respecto al total delportafolio
Por tanto:
1 1 2 21
...n
P n n i ii
D w D w D w D w D
1 1 2 21
Conv Conv Conv ... Conv Convn
P n n i ii
w w w w
Valuación de Activos e InversionesPage 39
La Duración de un portafolio con “n” activos será:
La Convexidad de un portafolio con “n” activos será:
“w” se refiere a la proporción del activo “n” con respecto al total delportafolio
Por tanto:
ii
Pw
P
1 2 ... 1nw w w
1 1 2 21
Conv Conv Conv ... Conv Convn
P n n i ii
w w w w
Estructura IntertemporalEstructura Intertemporalde Tasas de Interésde Tasas de Interés
Estructura IntertemporalEstructura Intertemporalde Tasas de Interésde Tasas de Interés
Bonos del Gobierno
►El Gobierno de México emite los siguientes bonos:
► Cupón ceroCupón cero:►CETES: Certificados de la Tesorería de la Federación (cupón cero)
madurez de 7 días a un año (han habido hasta 728 días)► Cupón fijoCupón fijo:
►BONOS-M: Bonos de Desarrollo del Gobierno Federal con Tasa de Interés Fijamadurez de 3 a 5 años (cupón semestral)
► Cupón FlotanteCupón Flotante:►BREMS►Bondes►Bonos IPAB►Udibonos
Valuación de Activos e InversionesPage 41
►El Gobierno de México emite los siguientes bonos:
► Cupón ceroCupón cero:►CETES: Certificados de la Tesorería de la Federación (cupón cero)
madurez de 7 días a un año (han habido hasta 728 días)► Cupón fijoCupón fijo:
►BONOS-M: Bonos de Desarrollo del Gobierno Federal con Tasa de Interés Fijamadurez de 3 a 5 años (cupón semestral)
► Cupón FlotanteCupón Flotante:►BREMS►Bondes►Bonos IPAB►Udibonos
Insumos para la construcción de curvas cero
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Problemas de valorar usando la Yield Curve
Ejemplo:Se tiene una bono cupón cero A, con tasa 7% y que vence en 6 meses, y unbono con cupón semestral B, con tasa cupón 8% a la par, y que vence en 1año.¿Cómo valorar un bono con cupón semestral C, con tasa cupón 10.08%, y quevence en 1 año?
Si se asume que el YTM de C es también 8%, estaríamos subestimando el valorreal del bono.
Cetes (A) B CValor Nominal 100 100.00 100.00Cupón 0.00% 8.00 10.08YTM 7 8.00 ????Frecuencia 180 180DXV 180 360 360Precio 96.62 100.00 ????# Títulos 1.00 1.00 1.00
Valuación de Activos e InversionesPage 43
Ejemplo:Se tiene una bono cupón cero A, con tasa 7% y que vence en 6 meses, y unbono con cupón semestral B, con tasa cupón 8% a la par, y que vence en 1año.¿Cómo valorar un bono con cupón semestral C, con tasa cupón 10.08%, y quevence en 1 año?
Si se asume que el YTM de C es también 8%, estaríamos subestimando el valorreal del bono.
Cetes (A) B CValor Nominal 100 100.00 100.00Cupón 0.00% 8.00 10.08YTM 7 8.00 ????Frecuencia 180 180DXV 180 360 360Precio 96.62 100.00 ????# Títulos 1.00 1.00 1.00
► Si descomponemos el bono B, obtenemos dos bonos cupón cero(strips):► Strip D : madura en 6 meses, y paga un valor nominal de $4► Strip E : madura en un año, y paga un valor nominal de $104
► ¿Cuáles deberían ser los yield de los strip D y E?
► El Strip D no es más que 0.04 unidades del Bono A, por lo que deberíatener el mismo yield de 7%.
► Para evitar que exista arbitraje, el yield Y del Strip E debería satisfacer:
Problemas de valorar usando la Yield Curve
Valuación de Activos e InversionesPage 44
► Si descomponemos el bono B, obtenemos dos bonos cupón cero(strips):► Strip D : madura en 6 meses, y paga un valor nominal de $4► Strip E : madura en un año, y paga un valor nominal de $104
► ¿Cuáles deberían ser los yield de los strip D y E?
► El Strip D no es más que 0.04 unidades del Bono A, por lo que deberíatener el mismo yield de 7%.
► Para evitar que exista arbitraje, el yield Y del Strip E debería satisfacer:
2
$4 $104$100
1.0351
2Y
precio de Bono B =
► El yield del Strip E será entonces Y =8.0201%, y la forma correcta devalorar el Bono C (tasa cupón 10.8%), será:
Lo que equivale aun YTM de 7.9951%, en vez de 8%
► La forma correcta de valorar un bono (o flujo de dinero en general) serádescontando con las tasas de rendimiento de bonos cupón cero.
2
$5.04 $105.04$101.9662
1.035 1.0401 precio de Bono C =
Problemas de valorar usando la Yield Curve
Valuación de Activos e InversionesPage 45
► El yield del Strip E será entonces Y =8.0201%, y la forma correcta devalorar el Bono C (tasa cupón 10.8%), será:
Lo que equivale aun YTM de 7.9951%, en vez de 8%
► La forma correcta de valorar un bono (o flujo de dinero en general) serádescontando con las tasas de rendimiento de bonos cupón cero.
►► Tasa Spot o Tasa CeroTasa Spot o Tasa Cero (spot rate)Es el rendimiento (yield) de un bono cupón cero de gobierno a una madurezdada.
►► Curva Spot o Curva CeroCurva Spot o Curva Cero (spot rate curve, zero curve)Grafica la relación entre el rendimiento y la madurez de bonos cupón cero degobierno.
► Como no existen en el mercado bonos cupón cero emitidos por el gobierno acualquier madurez dada, es necesario derivar los puntos de la Curva Cero apartir de los instrumentos cotizados, y de consideraciones teóricas.
► La curva obtenida de esta manera se denomina Curva Cero TeóricaCurva Cero Teórica(theoretical spot rate curve) y es la representación gráfica de laEstructura Intertemporal de Tasas de InterésEstructura Intertemporal de Tasas de Interés (term structure of interestrate). Este proceso se logra, mediante un proceso de “Bootstrapping”
Curva Cero
Valuación de Activos e InversionesPage 46
►► Tasa Spot o Tasa CeroTasa Spot o Tasa Cero (spot rate)Es el rendimiento (yield) de un bono cupón cero de gobierno a una madurezdada.
►► Curva Spot o Curva CeroCurva Spot o Curva Cero (spot rate curve, zero curve)Grafica la relación entre el rendimiento y la madurez de bonos cupón cero degobierno.
► Como no existen en el mercado bonos cupón cero emitidos por el gobierno acualquier madurez dada, es necesario derivar los puntos de la Curva Cero apartir de los instrumentos cotizados, y de consideraciones teóricas.
► La curva obtenida de esta manera se denomina Curva Cero TeóricaCurva Cero Teórica(theoretical spot rate curve) y es la representación gráfica de laEstructura Intertemporal de Tasas de InterésEstructura Intertemporal de Tasas de Interés (term structure of interestrate). Este proceso se logra, mediante un proceso de “Bootstrapping”
Curva cero futura (Tasa Forward Implícita)
► Ejemplo: Supongamos que un inversionista con horizonte deinversión de 1 año tiene dos alternativas:
► A1: comprar un bono cupón cero a un año► A2: comprar un bono cupón cero a seis meses, y dentro de seis
meses reinvertir las ganancias en otro bono cupón cero a seismeses.
► ¿Para qué tasa esperada f dentro de 6 meses ambas alternativasserían equivalentes?
y0.5= 5.25%
y1= 5.50%
Valuación de Activos e InversionesPage 47
► Ejemplo: Supongamos que un inversionista con horizonte deinversión de 1 año tiene dos alternativas:
► A1: comprar un bono cupón cero a un año► A2: comprar un bono cupón cero a seis meses, y dentro de seis
meses reinvertir las ganancias en otro bono cupón cero a seismeses.
► ¿Para qué tasa esperada f dentro de 6 meses ambas alternativasserían equivalentes?
0Hoy
0.56 meses 1
año
y0.5= 5.25%
E(f)= ???%
2
5.75%0.055 0.0525
1 1 12 2 2
ff
Instrumentos FinancierosInstrumentos FinancierosDerivadosDerivados
Instrumentos FinancierosInstrumentos FinancierosDerivadosDerivados
Probabilidad Tradicional (Valor Esperado)
► Sea M un activo que paga según el resultado dellanzamiento de una moneda:
► ¿Cuál debería ser el “precio correcto” $m del activo Men el mercado?
M: $m = ¿?
p = 0.5 $2
Valuación de Activos e InversionesPage 49
► Sea M un activo que paga según el resultado dellanzamiento de una moneda:
► ¿Cuál debería ser el “precio correcto” $m del activo Men el mercado?
M: $m = ¿?
p = 0.5 $0
► S es un activo con precio $2 hoy, y posibles valores de $1 o $5 mañana.► D es un contrato que paga $2 si sube el valor de S, y $0 si baja:
► M y D tienen los mismos posibles valores, con iguales probabilidades:
► ¿Cuál debería ser el “precio correcto” $d del contrato D en el mismomercado que el ejemplo anterior?
S: $2
p = 0.5
p = 0.5
$5
$1D: $d
si S=$5(p = 0.5)
si S=$1(p = 0.5)
$2
$0
Probabilidad Tradicional (Valor Esperado)
Valuación de Activos e InversionesPage 50
► S es un activo con precio $2 hoy, y posibles valores de $1 o $5 mañana.► D es un contrato que paga $2 si sube el valor de S, y $0 si baja:
► M y D tienen los mismos posibles valores, con iguales probabilidades:
► ¿Cuál debería ser el “precio correcto” $d del contrato D en el mismomercado que el ejemplo anterior?
si S=$1(p = 0.5)
M: $1p = 0.5
p = 0.5
$2
$0
p = 0.5
p = 0.5
$2
$0D: $d = ¿?
► Si $d = $m = $1 entonces: Vendo dos unidades del contrato D, comprouna unidad de S:
► A diferencia de M, el valor futuro de D depende del valor de otro activo S.► Se dice que D es un derivadoderivado, con subyacentesubyacente S.► Solo se puede evitar la oportunidad de hacer dinero sin riesgo (arbitrajearbitraje) si
$d = $1.50 y este valor no depende de p, sino de q (probabilidad neutralal riesgo)
# Títulos Riqueza Inicial-2 Vendo 2 unidades de D -D2 $21 Compro una Unidad de S +S -$2
$0D Paga Valor de S Riqueza Final
Escenario 1S=$5, p=0.5 -$4 $5 $1Escenario 2S=$1, p=0.5 $0 $1 $1
p=1
Probabilidad Neutral al Riesgo
Valuación de Activos e InversionesPage 51
► Si $d = $m = $1 entonces: Vendo dos unidades del contrato D, comprouna unidad de S:
► A diferencia de M, el valor futuro de D depende del valor de otro activo S.► Se dice que D es un derivadoderivado, con subyacentesubyacente S.► Solo se puede evitar la oportunidad de hacer dinero sin riesgo (arbitrajearbitraje) si
$d = $1.50 y este valor no depende de p, sino de q (probabilidad neutralal riesgo)
D Paga Valor de S Riqueza FinalEscenario 1S=$5, p=0.5 -$4 $5 $1Escenario 2S=$1, p=0.5 $0 $1 $1
p=1
Instrumentos Financieros Derivados
►► Instrumento DerivadoInstrumento Derivado se refiere a un título cuyos flujos futurosdependen funcionalmente de del valor de otro título o variable demercado (subyacentesubyacente) .
► El subyacente (underlying variable) puede ser un activo:
► acción, índice accionario, bono, commodity (oro, plata, petróleo), etc.
► … o una variable de mercado:
► tasa de interés, tipo de cambio, índice de inflación, etc.
► Se pueden utilizar con varios fines:► cobertura de cierto riesgo,► especulación (apostar a cierto comportamiento futuro del mercado),► Derivado Implícito
Valuación de Activos e InversionesPage 52
►► Instrumento DerivadoInstrumento Derivado se refiere a un título cuyos flujos futurosdependen funcionalmente de del valor de otro título o variable demercado (subyacentesubyacente) .
► El subyacente (underlying variable) puede ser un activo:
► acción, índice accionario, bono, commodity (oro, plata, petróleo), etc.
► … o una variable de mercado:
► tasa de interés, tipo de cambio, índice de inflación, etc.
► Se pueden utilizar con varios fines:► cobertura de cierto riesgo,► especulación (apostar a cierto comportamiento futuro del mercado),► Derivado Implícito
Clasificación de InstrumentosFinancieros Derivados
► Los tipos de instrumentos derivados básicos son:
►►ForwardsForwards:► obligación de comprar/vender en el futuro a un precio
prefijado
►►FuturosFuturos:► como el Forward, pero estandarizado y con marca-mercado
►►OpcionesOpciones:► derecho de comprar/vender en el futuro a un precio prefijado
►►SwapsSwaps:► intercambio de dos flujos de dinero en el futuro
Valuación de Activos e InversionesPage 53
► Los tipos de instrumentos derivados básicos son:
►►ForwardsForwards:► obligación de comprar/vender en el futuro a un precio
prefijado
►►FuturosFuturos:► como el Forward, pero estandarizado y con marca-mercado
►►OpcionesOpciones:► derecho de comprar/vender en el futuro a un precio prefijado
►►SwapsSwaps:► intercambio de dos flujos de dinero en el futuro
Determinación de Precios Forward bajo laprobabilidad neutral al riesgo (libre de arbitraje)
0rTF S e
( )0
er r TF S e
0er TrTS e Fe
Precio Forward sobre subyacentes que nogeneran ingresos
rTteFS 0
Precio Forward sobre divisas
Valuación de Activos e InversionesPage 54
( )0
er r TF S e
ft(T1,T2)
yt(T1)
yt(T2)
T1 T2t
2 1 2 1
2 1 1 21 ( ) 1 ( ) 1 ( , )T t T t T T
t t ty T y T f T T
PrecioForward sobre
tasas deinterés
Precio del Swap
► Como para cualquier otro instrumento financiero, el cálculodel precio se basa en el principio de no arbitraje:
► Si no se cumple con la condición de no arbitraje, una partetendrá que compensar a la otra con un pago por adelantadoigual a la diferencia de los valores presentes.
► Por lo general el precio del swap se fijará de acuerdo a lastasas de mercado vigentes en el momento.
fijo flotanteVP VP
Valuación de Activos e InversionesPage 55
► Como para cualquier otro instrumento financiero, el cálculodel precio se basa en el principio de no arbitraje:
► Si no se cumple con la condición de no arbitraje, una partetendrá que compensar a la otra con un pago por adelantadoigual a la diferencia de los valores presentes.
► Por lo general el precio del swap se fijará de acuerdo a lastasas de mercado vigentes en el momento.
swap fijo flotanteV VP VP
Contratos de Opciones
►► OpciónOpción es un contrato que le da al tenedor (posición larga) el derecho,pero no la obligación, de realizar una compra (Opción callOpción call) o una venta(Opción putOpción put) en un momento futuro.
► Por este derecho, el tenedor de la opción paga un precio o prima (optionoptionpremiumpremium).
► Terminología:►► EjercicioEjercicio: acto de invocar el derecho de compra (call) o venta (put)►► Precio de ejercicioPrecio de ejercicio (strike price): precio prefijado al que el
comprador de la opción tiene derecho a comprar (call) o vender(put) el subyacente
►► Fecha de expiraciónFecha de expiración: en la que vence el contrato►► PrimaPrima: valor de mercado del contrato
Valuación de Activos e InversionesPage 56
►► OpciónOpción es un contrato que le da al tenedor (posición larga) el derecho,pero no la obligación, de realizar una compra (Opción callOpción call) o una venta(Opción putOpción put) en un momento futuro.
► Por este derecho, el tenedor de la opción paga un precio o prima (optionoptionpremiumpremium).
► Terminología:►► EjercicioEjercicio: acto de invocar el derecho de compra (call) o venta (put)►► Precio de ejercicioPrecio de ejercicio (strike price): precio prefijado al que el
comprador de la opción tiene derecho a comprar (call) o vender(put) el subyacente
►► Fecha de expiraciónFecha de expiración: en la que vence el contrato►► PrimaPrima: valor de mercado del contrato
Option Payoffs
Max { ST–K , 0} Max { K–ST , 0}
Valuación de Activos e InversionesPage 57
Max { ST–K , 0}
-Max { ST–K , 0} = Min { K–ST , 0}
Max { K–ST , 0}
-Max {K–ST , 0} = Min {ST–K , 0}
Clasificación de Opciones
► Por sus condiciones de “Fecha de Ejercicio”, puedenclasificarse en:
► Opciones Europeas: Aquellas que solo se pueden ejercer en lafecha del contrato “Fecha de Ejercicio”
► Opciones Americanas: Opciones que permiten el ejercicioanticipado, de manera espontánea.
► Opciones Bermudas: Opciones que permiten el ejercicioanticipado en fechas específicas.
Valuación de Activos e InversionesPage 58
► Por sus condiciones de “Fecha de Ejercicio”, puedenclasificarse en:
► Opciones Europeas: Aquellas que solo se pueden ejercer en lafecha del contrato “Fecha de Ejercicio”
► Opciones Americanas: Opciones que permiten el ejercicioanticipado, de manera espontánea.
► Opciones Bermudas: Opciones que permiten el ejercicioanticipado en fechas específicas.
Clasificación de Opciones
► Por sus condiciones de “Payoff”, pueden clasificarse en:
► No dependientes de la trayectoria del precio delsubyacente: Aquellas cuyo valor y ejercicio dependenexclusivamente del precio o nivel del subyacente al final de latrayectoria (incluyen todas las de tipo Europeo). Regularmenteexisten fórmulas analíticas “cerradas” para determinar suvalor.
► Dependientes de la trayectoria: Su valor depende no sólodel valor del subyacente al vencimiento del contrato si no de unoo más valores de éste durante la vida del contrato.Regularmente requieren de un modelo o aproximaciónnumérica (árbol binomial o simulación) para determinar suvalor.
Valuación de Activos e InversionesPage 59
► Por sus condiciones de “Payoff”, pueden clasificarse en:
► No dependientes de la trayectoria del precio delsubyacente: Aquellas cuyo valor y ejercicio dependenexclusivamente del precio o nivel del subyacente al final de latrayectoria (incluyen todas las de tipo Europeo). Regularmenteexisten fórmulas analíticas “cerradas” para determinar suvalor.
► Dependientes de la trayectoria: Su valor depende no sólodel valor del subyacente al vencimiento del contrato si no de unoo más valores de éste durante la vida del contrato.Regularmente requieren de un modelo o aproximaciónnumérica (árbol binomial o simulación) para determinar suvalor.
Ejemplos de Opciones
NO DEPENDIENTES DE LA TRAYECTORIA
► Plain Vanilla (call, put, swaption)► Exóticas
► Barrera Europea► Binomial (cash “K”or nothing)► Chooser
DEPENDIENTES DE LA TRAYECTORIA
► Americana, bermuda► Exóticas
► Barrera Americana► Lookback► Asiática
Valuación de Activos e InversionesPage 60
NO DEPENDIENTES DE LA TRAYECTORIA
► Plain Vanilla (call, put, swaption)► Exóticas
► Barrera Europea► Binomial (cash “K”or nothing)► Chooser
DEPENDIENTES DE LA TRAYECTORIA
► Americana, bermuda► Exóticas
► Barrera Americana► Lookback► Asiática
Opción de Compra (Call)
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
20 30 40 50 60 70
Stock Price ($)
Payo
ff ($
)
K
R ise = C u -C d
Slope =
R un = S u -S d
du
du
ss
ccD e lta
Valuación de Activos e InversionesPage 61
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
20 30 40 50 60 70
Stock Price ($)
Payo
ff ($
)
K
R ise = C u -C d
Slope =
R un = S u -S d
Métodos Numércos (Árbol Binomial)
S0
S1= dS0
S1= uS0
S2= u2 S0
S2= ud S0
S2= d2 S0
S3= u 3S0
S3= u2 dS0
S3= ud2 S0
S3= d3 S0
0 1 2 3
u
d
u
u
u
u
u
d
d
d
d
d
Valuación de Activos e InversionesPage 62
S0
S1= dS0
S1= uS0
S2= u2 S0
S2= ud S0
S2= d2 S0
S3= u 3S0
S3= u2 dS0
S3= ud2 S0
S3= d3 S0
0 1 2 3
u
d
u
u
u
u
u
d
d
d
d
d
Árbol Binomial de Precios de un Activo
8/27(2/3)3=8/271
12/27(1/3)(2/3)2=4/273
6/27(1/3)2(2/3)=2/273
1/27(1/3)3=1/271
Probabilidadtotal: P(S3=x)
Prob. portrayectoria
Núm. detrayectorias
P(Ω)=18
8/27(2/3)3=8/271
12/27(1/3)(2/3)2=4/273
6/27(1/3)2(2/3)=2/273
1/27(1/3)3=1/271
Probabilidadtotal: P(S3=x)
Prob. portrayectoria
Núm. detrayectorias
P(Ω)=18
S0
S1
S1
S2
S2
S2
x=8.64
x=5.04
x=2.94
x=1.71
TOTAL
S3P(H)=1/3P(T)=2/3
H
T
u=1.2d=0.7
Valuación de Activos e InversionesPage 63
8/27(2/3)3=8/271
12/27(1/3)(2/3)2=4/273
6/27(1/3)2(2/3)=2/273
1/27(1/3)3=1/271
Probabilidadtotal: P(S3=x)
Prob. portrayectoria
Núm. detrayectorias
P(Ω)=18
8/27(2/3)3=8/271
12/27(1/3)(2/3)2=4/273
6/27(1/3)2(2/3)=2/273
1/27(1/3)3=1/271
Probabilidadtotal: P(S3=x)
Prob. portrayectoria
Núm. detrayectorias
P(Ω)=18
S0
S1
S1
S2
S2
S2
x=8.64
x=5.04
x=2.94
x=1.71
TOTAL
S3P(H)=1/3P(T)=2/3
H
T
u=1.2d=0.7
Modelo de Cox-Ross Rubinstein
► El modelo de Cox-Ross Rubinstein, toma como base el modelobinomial para simular precios de un activo y lo adapta para valoraropciones de tipo Europeo y Americano.
► El principal reto del modelo consiste en:
► Determinar, a partir de la volatilidad ( ) y la tasa libre de riesgos (r):
u = Monto fijo al cual crece sd = Monto fijo al cual decrece sp = Probabilidad de que ocurra u1-p = Probabilidad de que ocurra d
Valuación de Activos e InversionesPage 64
► El modelo de Cox-Ross Rubinstein, toma como base el modelobinomial para simular precios de un activo y lo adapta para valoraropciones de tipo Europeo y Americano.
► El principal reto del modelo consiste en:
► Determinar, a partir de la volatilidad ( ) y la tasa libre de riesgos (r):
u = Monto fijo al cual crece sd = Monto fijo al cual decrece sp = Probabilidad de que ocurra u1-p = Probabilidad de que ocurra d
Ejemplo PUT – Europeo
S = 50T=2yr ∆t = 0.40K = 52,r = 5%σ = 30%
129.11540
106.80130
88.34353 88.343530 0
73.07573 73.075731.21088 0
60.44656 60.44656 60.446563.707454 2.498793 0
50 50 507.085107 6.412333 5.156553
41.35885 41.35885 41.3588510.82913 10.67695 10.64115
34.21108 34.2110815.78894 16.75925
28.29862 28.2986221.66243 23.70138
23.4079727.56237
19.3625332.63747
Node Time:0.0000 0.4000 0.8000 1.2000 1.6000 2.0000
Valuación de Activos e InversionesPage 65
t
t
eud
eu
1
129.11540
106.80130
88.34353 88.343530 0
73.07573 73.075731.21088 0
60.44656 60.44656 60.446563.707454 2.498793 0
50 50 507.085107 6.412333 5.156553
41.35885 41.35885 41.3588510.82913 10.67695 10.64115
34.21108 34.2110815.78894 16.75925
28.29862 28.2986221.66243 23.70138
23.4079727.56237
19.3625332.63747
Node Time:0.0000 0.4000 0.8000 1.2000 1.6000 2.0000du
dep
tr
Ejemplo PUT – Americano
S = 50T=2yr ∆t = 0.40K = 52,r = 5%σ = 30%
129.11540
106.80130
88.34353 88.343530 0
73.07573 73.075731.21088 0
60.44656 60.44656 60.446563.824623 2.498793 0
50 50 507.670889 6.654124 5.156553
41.35885 41.35885 41.3588511.91813 11.17591 10.64115
34.21108 34.2110817.78892 17.78892
28.29862 28.2986223.70138 23.70138
23.4079728.59203
19.3625332.63747
Node Time:0.0000 0.4000 0.8000 1.2000 1.6000 2.0000
Valuación de Activos e InversionesPage 66
129.11540
106.80130
88.34353 88.343530 0
73.07573 73.075731.21088 0
60.44656 60.44656 60.446563.824623 2.498793 0
50 50 507.670889 6.654124 5.156553
41.35885 41.35885 41.3588511.91813 11.17591 10.64115
34.21108 34.2110817.78892 17.78892
28.29862 28.2986223.70138 23.70138
23.4079728.59203
19.3625332.63747
Node Time:0.0000 0.4000 0.8000 1.2000 1.6000 2.0000
t
t
eud
eu
1
du
dep
tr
Alternativas Analíticas al Modelo Binomial
► Para opciones Europeas y Opciones Exóticas NOdependientes de la trayectoria del subyacente:► Black – Scholes para valorar opciones europeas y otras
soluciones analíticas a la EDE de Black-Merton-Scholes
► Para opciones Americanas (dependiente de la trayectoria)► Barone-Adesi and Whaley Approximation
► Opciones Dependientes de la trayectoria distintas a lasOpciones Americanas:► Simulación MonteCarlo
Valuación de Activos e InversionesPage 67
► Para opciones Europeas y Opciones Exóticas NOdependientes de la trayectoria del subyacente:► Black – Scholes para valorar opciones europeas y otras
soluciones analíticas a la EDE de Black-Merton-Scholes
► Para opciones Americanas (dependiente de la trayectoria)► Barone-Adesi and Whaley Approximation
► Opciones Dependientes de la trayectoria distintas a lasOpciones Americanas:► Simulación MonteCarlo
Modelo de Black – Scholes
rFdS
FdS
dt
dF
dS
dFrS
2
222
2
Ecuación Diferencial Estocástica de Black-Merton-Scholes
SdWSdtdS
Valuación de Activos e InversionesPage 68
SdWSdtdS
Para resolver esta ecuación, es necesario una establecer unacondición de frontera, por ejemplo, en el caso de un CALLEuropeo:
]0,)([),( KTSMAXTsF
Modelo de Black – Scholes
► Para una Opción call:
► Para una Opción put:
► donde:
2 0 1
payoff max( ,0)T
rT
K S
p Ke N d S N d
0 1 2
payoff max( ,0)T
rT
S K
c S N d Ke N d
2
21( )
2
d x
N d e dx
Valuación de Activos e InversionesPage 69
► Para una Opción call:
► Para una Opción put:
► donde:
2 0 1
payoff max( ,0)T
rT
K S
p Ke N d S N d
2 20 0
1 2 1
ln ln2 2
S Sr T r T
K Kd d d T
T T
Modelo de Black
► Para una Opción call:
► Para una Opción put:
► donde:
0 1 2
payoff max( ,0)
(0, )
TV K
c z T F N d KN d
Valuación de Activos e InversionesPage 70
► Para una Opción call:
► Para una Opción put:
► donde:2 2
0 0
1 2 1
ln ln2 2
F FT T
K Kd d d TT T
2 0 1
payoff max( ,0)
(0, )
TK V
p z T KN d F N d
Interpretación Gráfica de Black – Scholes
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
20 30 40 50 60 70
Sto ck P rice ($ )
R un =
x
)1(dNDelta
Valuación de Activos e InversionesPage 71
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
20 30 40 50 60 70
Sto ck P rice ($ )
R un =
x
Supuestos del modelo de Black – Scholes
► Los supuestos del modelo son:
► No existen oportunidades de arbitraje en el mercado► Los precios futuros del subyacente siguen una distribución log-
Normal► El intercambio (compra/venta) del subyacente se puede llevar a cabo
de manera continua (trading continuo).► No hay costos de transacción► La tasa instantánea libre de riesgo se mantiene constante a lo
largo de la vida de la opción.► La volatilidad es conocida y se mantiene constante a lo largo de
la vida de la opción.
Valuación de Activos e InversionesPage 72
► Los supuestos del modelo son:
► No existen oportunidades de arbitraje en el mercado► Los precios futuros del subyacente siguen una distribución log-
Normal► El intercambio (compra/venta) del subyacente se puede llevar a cabo
de manera continua (trading continuo).► No hay costos de transacción► La tasa instantánea libre de riesgo se mantiene constante a lo
largo de la vida de la opción.► La volatilidad es conocida y se mantiene constante a lo largo de
la vida de la opción.
Simulación MonteCarlo
► El método Monte Carlo permite encontrar solucionesaproximadas de problemas matemáticos que involucranvariables aleatorias dependientes del tiempo.
► Requiere de un procedimiento para calcular realizacioneso trayectorias de variables aleatorias, dependientes deltiempo mediante ensayos independientes. Por ejemplo unMovimiento Browniano Geométrico.
► Donde r es una tasa de interés constante, s es lavolatilidad instantánea y
Valuación de Activos e InversionesPage 73
► El método Monte Carlo permite encontrar solucionesaproximadas de problemas matemáticos que involucranvariables aleatorias dependientes del tiempo.
► Requiere de un procedimiento para calcular realizacioneso trayectorias de variables aleatorias, dependientes deltiempo mediante ensayos independientes. Por ejemplo unMovimiento Browniano Geométrico.
► Donde r es una tasa de interés constante, s es lavolatilidad instantánea y ),0(~ dtNdWt
tttt dWSdtrSdS
Movimiento Browniano Geométrico
tt dWdtrSd
2
2
1)(ln
tttt dWSdtrSdS
Asumiendo un Movimiento Browniano Gemétrico
A partir de cálculo estocástico se obtiene la ecuación para simularprecios de un activo:
Valuación de Activos e InversionesPage 74
tt dWdtrSd
2
2
1)(ln
r
ttSS ttt
ˆ2
1ˆexp 2
tt dWdtrSd
2
2
1)(ln
Simulación Montecarlo
Simulación Montecarlo
9.00
9.50
10.00
10.50
11.00
11.50
12.00
12.50
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Días simulados (dt)
Tray
ecto
ria d
el S
ubya
cent
e (M
XP/U
SD)
Strike Price=K
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► Útil para valuar opciones dependientes de la trayectoria(asiáticas y barreras americanas)
Simulación Montecarlo
9.00
9.50
10.00
10.50
11.00
11.50
12.00
12.50
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Días simulados (dt)
Tray
ecto
ria d
el S
ubya
cent
e (M
XP/U
SD)
Strike Price=K
Problemas del Movimiento BrownianoGeométrico
► Es siempre positivo► Su media crece exponencialmente► Apropiado para precios de acciones, divisas y
algunos commodities, pero no apropiado parasimular la evolución de tasas de interés.
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► Es siempre positivo► Su media crece exponencialmente► Apropiado para precios de acciones, divisas y
algunos commodities, pero no apropiado parasimular la evolución de tasas de interés.
Alternativas al Movimiento BrownianoGeométrico
Otros Modelos Estocásticos:
► Vasicek► Cox-Ingersoll-Ross► Modelo de Dothan► Modelos Multifactoriales► Black-Derman-Toy (BDT)
Todos estos modelos cumplen con propiedades de equilibrio yno arbitraje.
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Otros Modelos Estocásticos:
► Vasicek► Cox-Ingersoll-Ross► Modelo de Dothan► Modelos Multifactoriales► Black-Derman-Toy (BDT)
Todos estos modelos cumplen con propiedades de equilibrio yno arbitraje.
Bibliografía
► Hull, John (2005). Options, Futures and other Derivatives6ª. Ed. Prentice-Hall.
► Fabozzi, Frank (2007). Bond Markets: Analysis andStrategies 6ª. Ed. Prentice-Hall.
► Sundaresan, Suresh (2002). Fixed Income Markets andtheir Derivatives 2ª. Ed. South-Western Collage Pub.
► Venegas Francisco (2007). Riesgos Financieros yEconómicos. 1ª Ed. Thomson
Valuación de Activos e InversionesPage 78
► Hull, John (2005). Options, Futures and other Derivatives6ª. Ed. Prentice-Hall.
► Fabozzi, Frank (2007). Bond Markets: Analysis andStrategies 6ª. Ed. Prentice-Hall.
► Sundaresan, Suresh (2002). Fixed Income Markets andtheir Derivatives 2ª. Ed. South-Western Collage Pub.
► Venegas Francisco (2007). Riesgos Financieros yEconómicos. 1ª Ed. Thomson
Hacia la Implementación del NuevoRégimen de Solvencia
“Valuación de Activos e Inversiones”
Gracias por su atención!
Alejandro Diosdado RodríguezAdministración de Riesgos Financieros
Ernst & Young (México)[email protected]
Hacia la Implementación del NuevoRégimen de Solvencia
“Valuación de Activos e Inversiones”
Gracias por su atención!