van verbanden tussen grootheden naar functies - dpbbrugge.be 2-3...

VAN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

NAAR FUNCTIES

Wandelen door leerplan C voor de derde graad KSO/TSO via thema’s

Dirk Taecke

1

Van verbanden tussen grootheden naar functies D.Taecke

HET LEERPLAN

Het leerplan C is opgemaakt voor de studierichtingen met twee wekelijkse lestijden wiskunde.

In sommige richtingen kunnen één of twee extra lestijden worden ingericht.

Het basispakket voor alle richtingen bevat vier onderwerpen.

• reële functies en algebra

• statistiek

• financiële algebra

• mathematiseren en oplossen van problemen.

In deze syllabus worden uitgewerkte opdrachten aangereikt die als rode draad kunnen dienen bij het

eerste en vierde onderwerp. Hier en daar maken we hierbij gebruik van methodes uit de statistiek.

Inhoud van het leerplanonderdeel “Reële functies en algebra”

1) Grafieken en tabellen aflezen en interpreteren.

Uit de combinatie grafiek/tabel karakteristieken aflezen + interpretatie in de juiste context.

2) Grafieken tekenen en interpreteren.

LEERPLAN MOGELIJKE OPLOSSING

• Manueel tekenen van eenvoudige functies

(y = ax, y = a

x, y = ax + b, y = ax2)

• Met ICT: grafiek van tweedegraadsfuncties

en van de exp. functie y = b.ax

• Enkel voor nijverheidstechnische:

goniometrische functies y = a.sinb.(x+c)

• Elementaire karakteristieken van een

tweedegraadsfunctie

+ grafieken construeren.

• Manueel tekenen: lineaire groei,

tweedegraadsfuncties, exp. groei.

• Problemen oplossen en de oplossing

interpreteren (vraagstukken die aanleiding

geven tot gelijkheden of ongelijkheden).

A) VERBANDEN

Recht evenredig verband, lineair verband

(+ lineaire modellen en lineaire

interpolatie), omgekeerd evenredig

verband, kwadratisch verband,

exponentieel verband, machtsfuncties.

B) TWEEDEGRAADSFUNCTIES

C) EXPONENTIELE FUNCTIES (modellen)

D) GONIOMETRISCHE FUNCTIES

E) FUNCTIES MET MEERVOUDIG

VOORSCHRIFT.

Deze laatste twee hoofdstukken zijn in principe

uitbreiding, maar basis voor sommige

richtingen.

2


• UITBREIDING:

o Goniometrische functies

o Functies met meervoudig

voorschrift

o Exp. functies y = b.ax

3) Functies concretiseren uit een probleemomschrijving.

Lineaire en exponentiële verbanden. Zie voorgestelde oplossing bij nummer 2.

4) Veranderingen en hellingen.

• Gemiddelde verandering + grafische betekenis.

• Verandering in een punt met een tabel van differentiequotiënten (ICT).

• Problemen oplossen.

• UITBREIDING: afgeleiden + problemen oplossen.

Inhoud van het leerplanonderdeel “Mathematiseren en oplossen van problemen”

1) Problemen herkennen, analyseren en de probleemstelling verhelderen met behulp van

wiskundekennis.

2) Heuristische methodes gebruiken om een probleem aan te pakken.

Vertaling: het volgen van een niet-formele methode om volgens een bepaald criterium een niet

precies bekend doel te bereiken op een onderzoekende en voortdurend evaluerende wijze.

3) Resultaten interpreteren binnen de context van het gestelde probleem.

4) Een reflecterende houding verwerven door gecontroleerd terugkijken op de oplossingsweg en

de uitgevoerde berekeningen.

5) Vertrouwen verwerven door de wiskundekennis zinvol in te schakelen.

Nadenken over werkvormen en evalueren

Individueel Groepswerk

Driloefeningen

(klassieke toetsen en proeven)

BZL en groepsopdrachten

(assessment/peer-assessment)

Gewicht van attitudes

ICT-vaardigheid van de leerlingen en ondersteuning door de school

3


THEMA 1: verkeersongevallen

Het volgende diagram toont de evolutie van het aantal verkeersongevallen in het Vlaams Gewest.

1) Wat valt er op bij het assenstelsel in vergelijking met een “normaal wiskundig assenstelsel”?

2) In welk jaar waren er meest verkeersongevallen?

3) In welke perioden was er een daling?

4) Wanneer was de daling het sterkst?

5) Toon aan dat de daling eigenlijk sterker was in 2008 dan in de periode 2000 – 2005.

6) Schat met lineaire interpolatie het aantal ongevallen in 1998.

7) Voorspel door lineaire extrapolatie het aantal ongevallen in 2013.

8) Stel de gegevens van 2007 t.e.m. 2010 voor met een puntenwolk en teken de regressierechte.

9) Geef de betekenis van het intercept en van de richtingscoëfficiënt.

10) Schat m.b.v. de regressielijn en door lineaire extrapolatie van de laatste gegevens,

het aantal verkeersongevallen in 2011.

Zoek de cijfers voor 2011 op via het internet en controleer je berekende waarden.

27000

28000

29000

30000

31000

32000

33000

34000

1995 2000 2005 2006 2007 2008 2009 2010

32487

33022

31457 3157831935

31341

30024

29115

VERKEERSONGEVALLEN IN VLAANDEREN

4


Bij het bekijken van het aantal ongevallen in Vlaanderen is het aantal verreden kilometer op Vlaamse

wegen een waardevolle parameter. Belangrijker is echter het mogelijke verband met de grootte van

het wagenpark in Vlaanderen.

11) Waarom?

De grootte van het Vlaamse wagenpark is niet exact te achterhalen omdat de inschrijving van

voertuigen een federale bevoegdheid is.

Je ziet in onderstaande tabel de evolutie van het aantal ingeschreven voertuigen in België.

jaartal 2007 2008 2009 2010

aantal ingeschreven

voertuigen 6362161 6482033 6574789 6689065

Je kunt het voertuigenpark in Vlaanderen schatten door de bevolkingsverdeling in België te bekijken.

12) Zoek op het internet hoeveel procent van de Belgische bevolking in Vlaanderen woont en

geef op die manier een schatting voor het voertuigenpark in Vlaanderen.

13) Er is dus een stijging van het aantal ingeschreven voertuigen in Vlaanderen, terwijl het aantal

verkeersongevallen daalt. Toon aan dat het verband niet omgekeerd evenredig is.

14) Voer een lineaire regressie uit om een verband te bepalen tussen het aantal verkeersongevallen

(afhankelijke veranderlijke) en het aantal ingeschreven voertuigen (onafhankelijke veranderlijke).

15) In 2011 waren er in België 6 861 777 voertuigen ingeschreven. Schat hieruit het aantal

verkeersongevallen en vergelijk met de schattingen van vraag 10.

16) Toon aan dat beide regressiemodellen op de lange duur geen enkele steek meer zullen houden.

17) Welk regressiemodel is, volgens jou, het meest betrouwbaar. Waarom?

18) De overheid wil de “kans op een ongeval” met een Vlaams voertuig terugdringen tot 0,75 %.

In welk jaar zullen ze deze doelstelling bereiken?

19) Waarom is het antwoord op vraag 18 niet erg betrouwbaar?

5


Je bekijkt nu of geslacht en leeftijd een invloed hebben op het ongevallenrisico.

3 januari 2008 2004/01

Vrouwen zijn slechtste chauffeurs Vrouwen zijn beste chauffeurs

Uit onderzoek door psychologen van de Queen Mary University of London, is gebleken dat vrouwen slechter presteren in taken waarbij navigatie en ruimtelijk inzicht is vereist. De computergebaseerde tests werden uitgevoerd op 140 vrijwilligers (70 mannen en 70 vrouwen). In deze test moest men virtueel zwemmen door een onderwater doolhof naar een verborgen platform. Vrouwen deden er veel langer over om de bestemming te bereiken.

Het is nu officieel: vrouwen zijn de beste chauffeurs. Een studie van de Weense verkeers-veiligheid heeft vastgesteld dat slechts 35% van de ongelukken op de weg door vrouwen worden veroorzaakt.

20) Geef voor beide onderzoeken twee redenen waarom de conclusie voorbarig is.

Op het volgende lijndiagram zie je de relatie tussen het risico op een ongeval en de leeftijd.

De leeftijden zijn in klassen ondergebracht. Een klasse is dan een halfopen interval.

De getallen 20, 30, … zijn de klassenmiddens die de klassen vertegenwoordigen.

2,50

1,55

0,95

0,750,60

0,80

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

20 30 40 50 60 70

risi

co p

er

10

0 0

00

in

wo

ne

rs

leeftijd

6


21) Vul de tabel aan.

leeftijd midden risico per

100 000

20

30

40

50

60

70

22) Wat is het risico van een 40-jarige op een verkeersongeval?

23) Welke leeftijdsgroep kan je beschouwen als de veiligste en welke als de onveiligste?

24) Geef een mogelijke verklaring voor het verloop van het risico op een verkeersongeval.

25) Zet de gegevens uit in een puntenwolk en teken de pest passende regressielijn.

26) Geef een schatting voor het risico op een verkeersongeval voor de leeftijdsklasse [75,85[.

27) Acht je deze schatting realistisch? Waarom (niet)?

28) Op welke leeftijd heb je, volgens het regressiemodel, minst risico op een verkeersongeval?

29) Bereken de gemiddelde afname per jaar van het risico op een verkeersongeval tussen de leeftijd

van 30 en die van 50 jaar.

7


Het risico op een verkeersongeval is, volgens een studie van het Instituut voor Mobiliteit van de

universiteit Hasselt even groot voor mannen als voor vrouwen. De kans op een ongeval met doden of

gekwetsten is wel afhankelijk van het geslacht. De volgende tabel toont de kans, per leeftijd en

geslacht, op een ziekenhuisopname bij een ongeval.

leeftijd midden risico in %

mannen vrouwen

[15,25[ 20 1,90 1,30

[25,35[ 30 1,10 0,70

[35,45[ 40 0,82 0,49

[45,55[ 50 0,68 0,49

[55,65[ 60 0,52 0,55

[65,75[ 70 0,51 0,64

30) Stel de gegevens voor met een meervoudig lijndiagram.

31) Op welke leeftijd is de kans op ziekenhuisopname voor vrouwen het kleinst?

32) Vanaf welke leeftijd is de kans op ziekenhuisopname groter voor vrouwen dan voor mannen?

33) Bepaal het omgekeerd evenredig verband dat zo goed mogelijk de relatie weergeeft tussen de

kans op een ziekenhuisopname bij een ongeval en de leeftijd (tussen 30 en 70 jaar).

Tenslotte bekijk je de invloed van ervaring op de kans om in een ongeval betrokken te zijn.

De tabel toont het aantal ongevallen per miljoen gereden kilometer voor 20-jarigen.

aantal km/jaar midden ongevallen per

miljoen km

[0,4000[ 2000 53

[4000,8000[ 6000 41

[8000,12000[ 10000 32

[12000,16000[ 14000 25

34) Toon aan dat de daling van het aantal ongevallen per miljoen kilometer exponentieel is.

35) Met hoeveel procent neemt het aantal ongevallen per miljoen km af per 1000 km extra

gereden km/jaar?

36) Schat het aantal ongevallen per miljoen km voor een 20-jarige die 25 000 km per jaar aflegt.

8


THEMA 2: de mens

DE GEBOORTE

Het volgende staafdiagram toont de evolutie van het aantal geboortes in België sinds 1850.

1) Geef het verloop schematisch weer.

2) Teken een toenamediagram met stapgrootte 10 jaar.

3) In welke periode was er de grootste toename?

4) In welke periode was er de grootste afname?

5) Wat betekent het woord “babyboom”?

6) Hoe zie je aan het toenamediagram dat er een overgang is van stijgen naar dalen?

7) In welke periode is het aantal geboortes per jaar nagenoeg constant gebleven?

8) Voorspel door lineaire extrapolatie het aantal geboortes in 2016.

Om voorspellingen te doen voor de toekomst moet je niet alleen rekening houden met het absolute

aantal geboortes per jaar, ook de evolutie van de totale bevolking is belangrijk.

Het vruchtbaarheidscijfer per leeftijd is de verhouding van het aantal levendgeborenen bij vrouwen

van een bepaalde leeftijd tot de gemiddelde getalsterkte van de vrouwen van die leeftijd.

Het totale vruchtbaarheidscijfer (TVC) is de som van de vruchtbaarheidscijfers per leeftijd. Het TVC is

dus gelijk aan het aantal kinderen dat een vrouw in het reproductieve leeftijdsinterval zou krijgen

indien ze het zelfde vruchtbaarheidscijfer zou blijven vertonen op elke leeftijd.

De volgende tabel toont de evolutie van het TVC in België in de periode [1960,2010[.

jaartal 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010

TVC 2,64 2,62 2,25 1,74 1,69 1,51 1,62 1,56 1,67 1,76 1,84

13

14

16

14

46

68

16

29

38

17

07

17

17

61

99

19

32

30

17

57

68

16

42

57

15

02

71

11

03

23 1

42

97

0

15

55

20

14

11

19

12

47

94

12

35

54

11

48

83

12

82

56

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

160000

180000

200000

220000

1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010

HET AANTAL GEBOORTES IN BELGIE

9


9) Teken een spreidingsdiagram en bepaal een regressiemodel van de tweede graad.

10) In welk jaar was, volgens dit model, het vruchtbaarheidscijfer het laagst?

11) Voorspel het vruchtbaarheidscijfer in 2020.

12) Ga na of dit cijfer klopt met de voorspellingen van bevolkingsexperts.

13) In België gaat men er in de officiële statistieken van uit dat een meisje van 14 jaar nog geen

kinderen krijgt. Stel een kwadratisch model op als je weet dat de leeftijd met het grootste

vruchtbaarheidscijfer 29 is, met een aantal geboortes van 0,1485 t.o.v. het totaal aantal vrouwen

in die leeftijd.

14) Op welke leeftijd van de vrouw zijn er, volgens dit model, geen geboortes meer mogelijk?

15) Bereken de gemiddelde daling, per jaar, van het vruchtbaarheidscijfer tussen de leeftijd

van 30 en 35 jaar.

16) Hoe snel stijgt het vruchtbaarheidscijfer op de leeftijd van 25 jaar?

Bekijk de volgende tabel. Je ziet telkens de toestand op 1 januari van het gegeven jaar.

totale bevolking aantal vrouwen aantal vrouwen in [15,50[

2000 10239085 5233071 2538274

2010 10839905 5527684 2585847

2011 10951266 5581032 n.g.

2012 11071483 n.g. n.g.

17) Bereken, op 0,01 %, de procentuele toename van de bevolking per jaar tussen 2000 en 2010.

18) Bereken de procentuele toename per jaar voor de voorbije twee jaren. Wat blijkt?

19) Zoek op het internet de verdeling van de groei per gewest.

20) Hoeveel procent van de Belgische bevolking bestaat uit vrouwen?

21) Hoeveel procent van de vrouwen behoort tot het reproductieve leeftijdsinterval?

22) Schat het percentage vrouwen dat in 2020 tot het leeftijdsinterval [15,50[ zal behoren.

23) Vul de tabel aan. Ga voor de groei van de bevolking uit van een jaarlijkse toename met 1 %.

totale bevolking aantal vrouwen aantal vrouwen in [15,50[

2000 10239085 5233071 2538274

2010 10839905 5527684 2585847

2020

24) Als de jaarlijkse groei 1 % blijft, in welk jaar zal België dan de kaap van 13 miljoen inwoners

overschrijden?

25) Geef een schatting voor het aantal geboortes in België in 2020.

10


EVOLUTIE

Het volgende toenamediagram toont de groei van de gemiddelde Belgische man en vrouw, volgens

een studie van het onderzoeksproject “DINBelg 2005”. De gegevens zijn afgerond op 0,5 cm.

26) Leg uit: “meisjes krijgen vroeger groeischeuten dan jongens”.

27) De gemiddelde geboortelengte, op 0,5 cm nauwkeurig, voor jongens is 51,0 cm.

Voor meisjes is dat 50,0 cm. Vul de volgende tabel aan voor de gemiddelde Belgische jongere.

leeftijd lengte jongen, in cm lengte meisje, in cm

0

2

4

4

6

8

10

12

14

16

18

28) Wat was in 2005 de gemiddelde lengte van een 18-jarige?

29) Met hoeveel centimeter groeit een meisje gemiddeld per jaar tussen haar 12de en haar 18de?

30) Schat de gemiddelde lengte van een jongen van 15 jaar.

37

15,5

13,5 13

10,511,5

14

12

1,5

37

1514

13

11

13

9

40,5

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

40

2 4 6 8 10 12 14 16 18

len

gte

toe

na

me

in

cm

leeftijd in jaren

jongens

meisjes

11


Op 4 januari 2007 publiceerde De Morgen het volgende artikel.

De Belgische bevolking is sinds 2002 een halve centimeter gegroeid en 800 gram dikker

geworden. Dat blijkt uit cijfers van de Europese Commissie. In 2005, bij de laatste

bevraging in het kader van de Eurobarometer, was de gemiddelde Belg 170,3 centimeter

groot, tegenover 169,8 centimeter in 2002. Het gemiddelde gewicht bedroeg 72,7

kilogram, tegenover 71,9 kilogram drie jaar eerder.

In het volgende onderdeel van dit thema ga je na in welke mate de gemiddelde man groter wordt.

De volgende grafiek toont de evolutie van de gemiddelde lengte van een volwassen man in België.

Noot: hier kan eventueel een statistisch onderzoek aan gekoppeld worden.

De bedoeling is om te kijken in welke mate de toename van de gemiddelde lengte van

een volwassene ook zichtbaar is bij de mensen die nu leven.

Er wordt aan 100 mannen/vrouwen van de leeftijdsklasse [20,30[, 100 mannen/vrouwen van

de leeftijdsklasse [30,50[ en 100 mannen/vrouwen van de leeftijdsklasse [50,70[ naar

hun lichaamslengte in cm gevraagd.

De verkregen gegroepeerde gegevens kunnen dan verwerkt worden via diagrammen, gemiddelde,

standaardafwijking, regressie van de gemiddelden, …

31) Waarom heeft een toenamediagram geen zin?

32) Bereken de gemiddelde toename per jaar voor de periodes 1881 – 1902 en 1979 - 2004.

33) Bereken het jaarlijkse groeipercentage voor de periode 1979 – 2004.

34) Voorspel de gemiddelde lengte van de Belgische man in 2050.

35) In welk jaar zou de gemiddelde Belgische man 2 m worden?

36) Acht je het waarschijnlijk dat dit exponentieel bruikbaar zal blijven in een verre toekomst?

37) Zoek op het internet uitleg over logistische modellen en vat samen in een voor iedereen

verstaanbare taal.

165,5 165,8 166167

168,2

169,8

171,7

175,3

180,6

160

165

170

175

180

185

1881 1902 1909 1926 1938 1947 1963 1979 2004

ge

mid

de

lde

le

ng

te i

n c

m

jaartal

12


We worden niet alleen steeds groter, maar we leven ook langer. De levensverwachting is

de gemiddelde resterende levensduur van een persoon die in een bepaald jaar geboren is.

De volgende tabel toont de evolutie van de levensverwachting bij vrouwen in België.

jaar 1885 1930 1948 1970 1981 1989 1997 2005 2006 2007 2008 2009 2010

l.v. in jaren 46,63 59,79 67,26 73,71 76,23 78,68 80,57 81,86 82,15 82,21 82,32 82,43 82,64

38) Stel de tabel grafisch voor d.m.v. een lijndiagram.

39) Schat met behulp van de grafiek

• de levensverwachting in 1958;

• in welk jaar de levensverwachting boven de 75 jaar steeg.

40) Gebruik lineaire interpolatie om dezelfde schattingen te doen.

41) Waarom is het lijndiagram niet bruikbaar om te bepalen in welke periode de levensverwachting

het sterkst is gestegen?

42) Bedenk een methode om de stijgingsgraad in elke periode wel te kunnen vergelijken.

43) In welke periode steeg de levensverwachting het sterkst?

44) Geef de grafische betekenis van je berekeningen voor het lijndiagram.

45) Met hoeveel procent is de levensverwachting gestegen tussen 1930 en 2010?

Om voorspellingen te doen naar de toekomst toe, gebruik je enkel de waarden van de laatste vijf jaar

en je neemt er ook de mannen bij.

jaar 2005 2006 2007 2008 2009 2010

l.v. vrouwen 81,86 82,15 82,21 82,32 82,43 82,64

l.v. mannen 76,14 76,51 76,74 76,77 77,15 77,36

46) Maak een lineair regressiemodel voor beide gegevensrijen.

47) Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt van beide regressierechten.

48) Voorspel de levensverwachting in 2030.

49) In welk jaar mag een pasgeboren meisje verwachten dat ze 90 jaar oud zal worden?

50) De levensverwachting stijgt vlugger bij de mannen dan bij de vrouwen.

In welk jaar zal de levensverwachting van de mannen dezelfde zijn als die bij de vrouwen?

13


THEMA 3: sport

WORDEN VROUWEN OOIT SNELLER DAN MANNEN?

Deze titel was te vinden in De Morgen van 11 augustus 2012.

Je bekijkt de vraag bij twee sporten: de 100 meter sprint in de atletiek en de 100 meter vrije slag in

het zwemmen.

De volgende tabellen tonen de evolutie van het wereldrecord op de 100 m sprint sinds 1968.

In dat jaar werd de tijd voor het eerst elektronisch gestopt op de Olympische Spelen van Mexico.

mannen

1968 1983 1991 1994 1996 1999 2005 2007 2008 2009

9,95 9,92 9,86 9,85 9,84 9,79 9,77 9,74 9,69 9,58

vrouwen

1968 1972 1976 1977 1980 1983 1984 1988

11,08 11,07 11,01 10,88 10,87 10,79 10,76 10,49

1) Waarom heeft het weinig zin om voorspellingen voor de toekomst te doen met behulp van

lineaire extrapolatie van de laatste tijden?

2) Bepaal voor beide tabellen de best passende regressielijn.

Neem het aantal jaren na 1968 als onafhankelijke veranderlijke.

3) Toon aan dat dit model voor de mannen zowel in het begin als op het einde weinig accuraat is.

4) Het model van vraag 2 voor de vrouwen wordt vooral bepaald door het wereldrecord van 1988.

Zoek op het internet een goede reden om dit gegeven als uitschieter te verwijderen.

5) Verwijder het wereldrecord van 1988 uit de tabel van de vrouwen en vervang deze door

de respectievelijke tijden 10,65 s in 1998 en 10,64 s in 2009.

Bekijk de invloed op de regressiemodellen.

6) Waarom is bij de mannen een lineair model te verkiezen boven een kwadratisch model?

Ga voor beide records nu verder uit van het lineaire model.

Voor de vrouwen kies je voor het model van vraag 5.

7) Hoe kan je zien dat, volgens de gehanteerde modellen, er ooit een tijd zal komen dat de vrouwen

even snel lopen als de mannen?

8) In welk jaar worden de vrouwen dan sneller dan de mannen?

14


We volgen de evolutie van het wereldrecord op de 100 m vrije slag vanaf 1975.

mannen

1975 1976 1981 1985 1986 1988 1994 2000 2008 2009

50,59 49,44 49,36 48,95 48,74 48,42 48,21 47,84 47,05 46,91

vrouwen

1975 1976 1978 1980 1986 1992 1994 2000 2004 2006 2008 2009

56,22 55,65 55,41 54,79 54,73 54,48 54,01 53,77 53,52 53,30 52,88 52,07

9) In welke periode is de verbetering van het wereldrecord relatief het snelst gegaan?

10) Bepaal voor beide tabellen de best passende regressielijn.

Neem het aantal jaren na 1975 als onafhankelijke veranderlijke.

11) Toon aan dat, volgens het regressiemodel voor de mannen, er een jaar zal komen waarna

het record niet meer zal kunnen gebroken worden. Wat zou dat ultieme record dan zijn?

12) Schat het wereldrecord bij de vrouwen in 2020 m.b.v. het regressiemodel van vraag 10.

13) Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt en het intercept bij het regressiemodel voor

de vrouwen.

14) In welk jaar zal, volgens het regressiemodel voor de mannen, het wereldrecord voor het eerst

onder 46,50 seconden duiken?

15) In welk jaar zullen, volgens de regressiemodellen van vraag 10, de vrouwen sneller zwemmen

dan de mannen?

16) Hoe kan je het probleem van vraag 15 ontwijken?

17) Herhaal de opdracht van vraag 15, maar met het gewijzigde regressiemodel voor de mannen.

15


HOE SNEL LOOPT EEN SPURTER?

Tijdens de 100 meter in de atletiek komt het erop aan zo snel mogelijk je topsnelheid te bereiken en

die dan zo lang mogelijk vast te houden.

Dankzij het gebruik van supersnelle camera’s heeft men van de Jamaicaan Asafa Powell om de 10 m

zijn tussentijden bepaald tijdens een wedstrijd in zijn eigen land.

Je ziet de resultaten in de volgende tabel (x is de afgelegde weg in meter).

x 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

t(s) 0 1,93 2,95 3,89 4,76 5,62 6,47 7,33 8,19 9,03 9,89

18) Bereken zijn gemiddelde snelheid, in km/h, over het ganse traject.

19) Bereken zijn gemiddelde snelheid tijdens de eerste 50 meter en tijdens de tweede 50 meter.

20) Bereken zijn gemiddelde snelheid voor iedere 10 meter.

21) Liep Asafa Powell na 10 m tegen exact de berekende snelheid?

22) Waarom kan je na 90 m wel precies zijn ogenblikkelijke snelheid bepalen?

Om de ogenblikkelijke snelheid van Asafa Powell te bepalen zul je een regressie uitvoeren op

de gegevens van de eerste 70 meter.

Neem de tijd als onafhankelijke veranderlijke en voer een derdegraadsregressie uit.

23) Vul de volgende tabel in voor zijn ogenblikkelijke snelheid.

t(s) 0 1,93 2,95 3,89 4,76 5,59 6,43 7,28

afstand(m) 0 10 20 30 40 50 60 70

v (m/s)

v(km/h)

Je bepaalt nu wanneer hij zijn topsnelheid bereikte.

Voer hiervoor een regressie uit op de gegevens tussen 10 en 70 meter.

24) Na hoeveel meter bereikte Asafa Powell zijn topsnelheid. Hoeveel bedroeg zijn snelheid dan?

16


SPEERWERPEN

Het wereldrecord speerwerpen bij de vrouwen staat op naam van de Tjechische Barbora Spotakova.

Op 13 september 2008 gooide ze, op een meeting in Stuttgart, de speer 72,28 m ver.

De speerpunt had een maximale hoogte van 14,86 m en dit op een afstand van 35,39 meter van

de afwerplijn.

25) Stel het kwadratisch verband op tussen de hoogte h van de speerpunt en de horizontale afstand

x tot de afwerplijn.

26) Bereken de hoogte van de speerpunt op het ogenblik dat hij de afwerplijn overschrijdt.

27) Vanaf welk punt bereikte de speerpunt een hoogte van minstens 10 m?

De volgende tabel toont de horizontale afstand tot de afwerplijn in functie van de tijd,

gedurende de eerste 3 seconden van de vlucht.

tijd (s) 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 2,75 3

afstand (m) 0,00 5,54 11,08 16,62 22,16 27,71 33,30 38,71 44,28 49,82 55,36 60,90 66,44

28) Welk soort verband is er tussen de afstand en de tijd? Waarom?

29) Geef de formule voor het verband tussen de afstand en de tijd.

30) Hoelang duurt het vooraleer de speer de grond bereikt?

31) Bepaal het verband tussen de hoogte van de speerpunt en de tijd.

32) Wat is het verband tussen de coëfficiënt van t² en de valversnelling?

33) Wat betekent de “valversnelling”?

34) Wat is de betekenis van de constante term in de formule van vraag 31?

35) In de fysica ziet men dat de coëfficiënt van t gelijk is aan ⋅0v sin . Hierbij is v0 de beginsnelheid

en α de hoek waaronder een projectiel wordt weggeworpen. Als je weet dat Spotakova de speer

onder een hoek van 33° heeft gegooid, bereken dan de beginsnelheid.

36) Na hoeveel seconden heeft de speerpunt zijn maximale hoogte bereikt?

37) Bereken, met de formule van vraag 31, hoe lang het duurt vooraleer de speer de grond bereikt

38) Hoelang blijft de speerpunt boven 12 m? Los grafisch op.

17


HOE WORDEN DE PUNTEN GEGEVEN OP DE TIENKAMP?

Op de jongste Olympische Spelen in Londen behaalde onze landgenoot Hans Van Alphen

een schitterende vierde plaats in de tienkamp. Zijn puntentotaal bedroeg 8 447 punten.

Hoe worden de prestaties in de verschillende onderdelen naar waarde geschat?

Met andere woorden op welke manier worden de punten toegekend?

Men moet rekening houden met de aard van de nummers.

• In het lopen moeten de tijden zo laag mogelijk liggen, in het springen en werpen moet de afstand

zo hoog mogelijk liggen.

• 230 cm ver springen is niets, 230 cm hoog springen is een heel goede prestatie.

• Er moet een nulpunt voorzien worden: een score waaronder je geen punten haalt.

• Hoe beter je scoort, hoe moeilijker het is om die prestatie nog te verbeteren (het is bijvoorbeeld

veel moeilijker om je tijd op de 100 m te verbeteren van 11 seconden naar 10 seconden,

dan van 15 seconden naar 14 seconden).

Na vele jaren en nog meer debatten tussen sportwetenschappers en statistici, is men tot

de volgende formules gekomen.

loopnummers springnummers Werpnummers

( )cp (T )a b T= ⋅ −

T is de gelopen tijd in seconden

( )cp (S )a S b= ⋅ −

S is de gesprongen afstand in cm

( )cp (W )a W b= ⋅ −

W is de werpafstand in m

De parameters a, b en c zijn afhankelijke van het onderdeel.

onderdeel a b c

loo

pn

um

me

rs 100 m 25,4347 18 1,81

110 m horden 5,74352 28,5 1,92

400 m 1,53775 82 1,81

1500 m 0,03768 480 1,85

spri

ng

-

nu

mm

ers

verspringen 0,14354 220 1,4

hoogspringen 0,8465 75 1,42

polstokspringen 0,2797 100 1,35

we

rp-

nu

mm

ers

kogelstoten 51,39 1,5 1,05

discuswerpen 12,91 4 1,1

speerwerpen 10,14 7 1,08

18


39) Geef de betekenis van de parameter b in de formules.

40) Verklaar de vorm van het gedeelte tussen haakjes (grondtal van de machtsverheffing).

41) Zet de volgende prestaties van Hans Van Alphen om naar punten.

Deze worden altijd naar onder afgerond op een geheel.

onderdeel prestatie punten

100 m 11,05 s

1500 m 4 min 22,20 s

hoogspringen 2,05 m

speerwerpen 61,37 m

42) Zet de volgende punten van Hans van Alphen om naar prestaties.

onderdeel punten prestatie

110 m horden 863

verspringen 970

kogelstoten 819

43) Teken de grafiek voor de punten bij de 100 meter.

a) Waarom daalt de grafiek?

b) Geef de betekenis van de parameter b.

c) Hoe zie je aan de grafiek dat hoe beter je scoort, hoe moeilijker het is om

die prestatie nog te verbeteren?

d) Schat via de grafiek hoeveel extra punten je krijgt bij een verbetering met een seconde

• van 12 naar 11 seconden:

• van 14 naar 13 seconden:

44) Teken de grafiek voor de punten bij het hoogspringen.

a) Schat via de grafiek hoe hoog je moet springen om 1000 punten te krijgen.

b) Beschrijf in welke mate de parameter a de grafiek beïnvloedt.

c) Waarom is c > 1?

19


THEMA 4: de maatschappij

DE VERGEETCURVE VAN EBBINGHAUS

Wie het wil maken in de maatschappij moet eerst heel wat kennis opdoen.

Het probleem daarbij is dat een mens niet alles onthoudt …

De vergeetcurve van Ebbinghaus, een Duits psycholoog (1850 – 1909) toont hoe snel iemand

opgedane informatie vergeet, als deze informatie niet herhaald wordt.

1) Bespreek wat je kunt aflezen op de curve.

2) Wat valt er op bij de horizontale as?

3) Waarom zou men dat gedaan hebben?

4) Zoek op hoe Ebbinghaus zijn onderzoek heeft gehouden.

5) Schat door lineaire interpolatie hoeveel je nog onthouden hebt na twee weken.

6) Schat met lineaire interpolatie na hoeveel tijd je al de helft vergeten bent.

7) Hoeveel procent van de opgedane kennis verlies je

• tijdens het eerste uur?

• tijdens de daaropvolgende acht uren?

• tussen de eerste dag en het einde van de maand?

8) Hoeveel procent van de opgedane kennis verlies je per dag tussen dag 6 en dag 31?

9) Schat met het percentage van vraag 8 hoeveel procent van de kennis er nog overschiet na 1 jaar.

20


Om leerstof goed te beheersen, moet je dus regelmatig herhalen!

10) Hoeveel keer moet je de leerstof herhalen om na één week nog minstens 90 % van

de leerstof te kennen?

11) Hoeveel leerstof heb je dan onthouden?

12) Wat is de betekenis van de helling van elke grafiek?

13) Toon aan dat herhaling loont.

14) Hoeveel leerstof zou je per dag vergeten na de zesde herhaling?

21


GEZINNEN EN INTERNETAANSLUITINGEN

jaar aantal aansluitingen aantal gezinnen totale bevolking

2004 1651505 4408695 10396421

2005 1771016 4445978 10445852

2006 2004716 4488141 10511382

2007 2175578 4529799 10584534

2008 2302888 4575959 10666866

2009 2565855 4606544 10753080

2010 2731764 4643739 10839905

15) Teken een samengesteld lijndiagram en bespreek de evolutie.

16) Stel de relatieve evolutie van het aantal gezinnen met een internetaansluiting grafisch voor

met een toenamediagram en bespreek.

17) Bekijk de evolutie van het aantal leden per gezin in België.

18) Gebruik regressie om het percentage van de Belgische gezinnen met internetaansluiting

te voorspellen in 2020.

19) Gebruik de schatting van de Belgische bevolking uit thema twee om

het aantal internetaansluitingen in 2020 te voorspellen.

22


De volgende grafische voorstelling toont de evolutie van de vijf meest populaire browsers in België.

20) Wanneer haalde Mozilla Firefox zijn grootste marktaandeel?

21) Hoelang is Google Chrome al populairder dan Firefox?

22) Hoeveel marktaandeel is Internet Explorer verloren in 2011?

23) Voorspel wanneer Google Chrome populairder zal worden dan Internet Explorer.

24) Zal Safari ooit populairder worden dan Internet Explorer?

23


HET KLIMAAT

We bekijken de opwarming van de aarde vanuit gegevens voor Ukkel.

25) Beschrijf wat je kan aflezen op bovenstaande grafieken.

26) Wat valt er uit de kromming van de grafiek af te lezen.

27) Toon aan dat de stijging van de gemiddelde wintertemperatuur lineair is.

Geef de grafische en fysische betekenis van je berekeningen.

28) Schat de gemiddelde wintertemperatuur in 2050.

29) Bereken voor elke periode de gemiddelde temperatuursverandering per jaar tijdens de zomer.

Rond de berekende waarden af op 0,001 °C.

30) Schat, via lineaire extrapolatie, de gemiddelde zomertemperatuur in 2050.

31) Bepaal een kwadratische regressielijn die het verband weergeeft tussen

de gemiddelde zomertemperatuur en het aantal jaren na 1830.

32) In welke jaar was, volgens deze regressielijn, de zomer het koelst?

33) Wat was de gemiddelde zomertemperatuur in dat jaar?

34) Vanaf welk jaar steeg, volgens de kwadratische regressielijn, de gemiddelde zomertemperatuur

voor het eerst boven 17°C?

35) Bereken de ogenblikkelijke verandering van de gemiddelde zomertemperatuur in 2020 en

geef de fysische betekenis.

24


Niet alleen de temperatuur neemt toe. Ook de hoeveelheid neerslag stijgt.

De volgende grafiek toont de evolutie in Ukkel.

36) Welk jaar was het droogste jaar sinds het begin van de metingen?

37) Hoeveel jaar werd er meer dan 1000 mm per jaar gemeten?

38) Hoeveel jaar werd er minder dan 600 mm per jaar gemeten?

39) Bepaal zo eenvoudig mogelijk de vergelijking van de trendlijn uit onderstaande tabel.

jaar 1840 1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000 2010

meting 713 826 864 747 738 798 963 916 852 914

trend 750 761 771 781 792 802 812 823 833 838

40) Vanaf welk jaar zou er, volgens het lineaire model, meer dan 850 mm neerslag per jaar vallen?

41) Stel dat het in de winter gemiddeld 1°C warmer zou worden.

Hoeveel meer neerslag mag men dan in één jaar verwachten?

25


Tenslotte bekijken we de hoogte van het zeewater in Oostende.

Het zeeniveau wordt uitgedrukt in mm RLR (Revised Local Reference). Daarbij zijn de data van

een lokale referentie (voor de Belgische Kust is die de TAW of Tweede Algemene Waterpassing)

omgezet t.a.v. het internationaal referentieniveau.

42) Wat is de Tweede Algemene Waterpassing?

43) Met hoeveel procent is het zeeniveau per jaar gestegen in 60 jaar?

44) Toon aan dat een exponentieel model niet geldig is.

45) Bepaal een kwadratisch regressiemodel dat het verband geeft tussen het zeeniveau in mm en

het aantal jaren na 1950.

46) Als de zeespiegel 14 m zou bedragen, zou België er als volgt uitzien.

Schat in welk jaar dit de kaart van België zou zijn.

26


TIP VOOR EXTRA ONDERWERP

Evolutie van het gezinsbudget in België (huishoudbudget-onderzoek FOD Economie).

jaar 1978 1987 1995 1999 2001 2004 2008 2010

totale consumptie

in euro 12491 18015 24781 27308 28653 30607 32986 34801

Je kunt nog kijken naar het aandeel van voeding, kledij, huisvesting, …

BRONNEN

FOD Economie – Statistics Belgium (vroeger Nationaal Instituut voor de Statistiek)

Geslacht en leeftijd in relatie tot verkeersongevallen – Instituut voor Mobiliteit Universiteit Hasselt.

Nationaal Kompas Volksgezondheid – Rijksinstituut voor Volksgezondheid en Milieu (NL)

DinBelg2005

De Morgen

Wikipedia

Science.uva.nl

Humo (Lieven Scheire – Geek my nerd)

Stuff4educators.com

ml.sun.ac.za/wordpress

zoekmachine-marketing-blog.com

MIRA (VMM) op basis van gegevens KMI

Lowtechmagazine

van verbanden tussen grootheden naar functies - dpbbrugge.be 2-3...

Documents