Vanja Alendar

PROJEKTOVANJE SEIZMIČKI OTPORNIH ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJA

KROZ PRIMERE

Deo A - Osnovi teorije i uvod u propise

Vežbe u okviru kursa Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 2

na IX semestru odseka za konstrukcije

Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu Institut za materijale i konstrukcije

Beograd, novembar 2004.

PREDGOVOR drugom izdanju

Pet godina je prošlo od objavljivanja prvog izdanja ovih skripti. Ako je i godinu dana trebalo

za odmor od napora da se prvo izdanje pripremi, u naredne četri godine moglo je puno toga da se uradi, ali nije. A onda nam se pridružio naš mladi asistent Ivan Ignjatović, koji se ponudio da prekuca delove teksta pisane rukom. Takva se ponuda ne odbija, njemu ne. Kada je odlučeno da se nastavi sa radom, ispostavilo se da je kasno da se ceo tekst preradi kako bi valjalo, naravno. Nastava je u toku, pa je kao prvi - prolazni cilj usvojeno da se Deo B - Primeri prebaci u 'elektronsku formu', tako da ceo materijal studenti dobiju na CD-u. Ni to nije bio mali posao, trebalo je pripremiti dosta skica, ilustracija.

Šta je novo? Prvi deo je nepromenjen. Osim što je prekucan, tekst drugoga dela - Primeri je i izmenjen, nadam se na bolje. Stare skice su prerađene, dodate su i nove, kao i fotografije koje ilustruju efekte dogođenih zemljotresa, ili rezultate eksperimentalnih ispitivanja na modelima. Uz fotografije na žalost nije naveden izvor, što je osnovni red. Izvinjavam se autorima, biće urađeno u sledećem izdanju. Deo teksta koji se odnosi na hale, a koji nije ni pripadao skriptama, potpuno je prerađen, dopunjen i uključen u tekst kao Primer 4.

Kako se koristi tekst? Obim originalnog teksta bio je prilagođen raspoloživom vremenu od četrnaest nedelja nastave. U međuvremenu, izmenjen je program predmeta, pa se ravnopravno, po sedam nedelja, studentima izlažu problemi prethodnog naprezanja, odnosno zemljotresa. Takođe, deo problema koji je ranije izlagan na vežbama, sada je deo predavanja. Tekst skripti ipak nije skraćen, ali se može čitati na razne načine. Obavezni deo obuhvata:

- Deo A - Osnovi teorije, kao dopunski tekst predavanjima, ali bez poglavlja 6 - Uvod u Evrokod 8;

- Deo - B - Primeri proći ceo, ali bez poglavlja Pitanja i odgovori u Primerima 1-3, koja zahtevaju poznavanje koncepta propisa Evrokod 8.

To je minimun, koji još uvek ima smisla. Time se narušava prvobitna koncepciju, ali je dovoljno, ako je jedini cilj da se savlada primena važećih domaćih propisa iz ove oblasti. Godišnji zadatak i pismeni ispit se ionako rade isključivo prema važećim domaćim propisima. Šta još pročitati, stvar je dogovora sa predmetnim nastavnikom. Toplo se preporučuje da se i ostali delovi pročitaju, bar kao priča. Koncept skripti je da se preko Evrokoda 8 objašnjava suština domaćih propisa i filozofija projektovanja.

Na kraju, želim da se zahvalim asistentu Ivanu Ignjatoviću, koji me je doveo u situaciju da ne smem da ga izneverim. Ivane, da sredimo i prvi deo?

Beograd, novembar 2004. Vanja Alendar

PREDGOVOR prvom izdanju

U podnaslovu teksta koji sledi, stoji da je u pitanju materijal za ve`be na IX-om, zavr{nom semestru studenata odseka za konstrukcije. Tako je i po~elo, iz `elje da studenti sa fakulteta ponesu vi{e "papira" i znanja nego {to se to mo`e zapisati kredom na tabli, u 14 nedelja nastave. @elja da tekst mo`da bude interesantan i in`enjerima u praksi, nadam se da je doprinela samo kvalitetu, ne i preteranom obimu.

Pisanje i pravljenje mno{tva skica zapo~eo sam po~etkom septembra 1999., nebi li se stiglo za po~etak nastave. Kasno, naravno. U tih mesec dana, pripremljen je ovaj prvi deo, nadam se da ima glavu i rep, a da nema grubih previda. Ovih sedamdesetak strana je program prve polovine kursa, sedam nedelja. Drugi deo, koji treba da sadr`i probrane primere sa razradom pojedinih delova iznetih ovom prilikom, treba da bude gotov do po~etka drugih sedam nedelja nastave. Ako me ne{to spre~i u tome, ovaj prvi deo je u svakom slu~aju celina za sebe, i najva`niji.

Tekst je koncizan i obiman u isto vreme. Izneti su i ilustrovani osnovni pojmovi, bez ~ijeg se razumevanja nebi trebalo upu{tati u odgovorno projektovanje seizmi~ki otpornih AB konstrukcija. Ako su neki pojmovi ve} usvojeni na drugim predmetima, ovde se ipak ponavljaju, jedino iz `elje da se na jednom mestu pove`u u zaokru`en koncept.

Pri skiciranju sinopsisa, po{ao sam od ~injenice da na{i va`e}i "seizmi~ki propisi" deluju vrlo jednostavno, "ni{ta lak{e nego uraditi projekat slo`ene konstrukcije uz pomo} nekog od softvera iz ove oblast". Me|utim, propisi su pisani 1981. godine, kada nije bilo ra~unara u praksi, a o aseizmi~kom projektovanju je bilo vrlo malo re~i u redovnoj nastavi. U me|uvremenu su se nepovoljno preklopile tri stvari: formalno jednostavni propisi, nedovoljno obrazovanje in`enjera u praksi i pojava atraktivnih softvera koji "sve re{avaju"- najgora mogu}a kombinacija. Otuda i koncept teksta, iz namere da se objasni su{tina, da se pojasne na{i propisi i da se da uvod u budu}e evropske propise, ~iji se prednacrt u me|uvremenu pojavio.

Od studenata se o~ekuje normalno predznanje, kao i priprema unapred. Na ~asovima }e se prvenstveno ukazati na bitne stvari sadr`ane u tekstu a dokle }e se sti}i, zavisi od inspiracije izlaga~a i zainteresovanosti studenata. Sve {to je potrebno sadr`ano je u tekstu, tabla }a slu`iti samo za ad-hok diskusije, prema tome, studenti treba pred sobom da imaju tekst. Nakon nekih od poglavlja, studenti }e dobiti zadatke koje treba sami da urade. Zadaci se rade kod ku}e, predaju, prihvataju ili ne, ali su obja{njenja eventualnih zabluda kolektivna, jer su gre{ke obi~no sistematske.

O~igledno je da u ovakvom sistemu nedostaje li~no upoznavanje, kontakt, rad sa svakim pojedina~no. Prednost je data konceptu "svi sve ~uju", kako obja{njenja tako i odgovore na pojedina~na javna pitanja. Koga materija bude posebno zainteresovala, vrata kabineta su mu otvorena, pa }emo to nadoknaditi, u kamernom okru`enju.

Dugujem zahvalnost svima kojima sam eventualno bio potreban ovih mesec dana, nadam se da nisu digli ruke od mene. Predmetnom nastavniku prof.M.A}i}u zahvaljujem na podr{ci pri pisanju teksta. Posebnu zahvalnost izra`avam Branku Milosavljevi}u koji je ~itavu stvar inicirao, podsticao da bi na kraju i pa`ljivo pro~itao tekst. Prihvatio sam sve njegove primedbe, posebno onu da mu se sve ovo dopada i da smatra da je u pitanju "jedna korisna i dobra knjiga". Ko se ne slo`i, neka ka`e, bi}e pomenut, u slede}em, "pravom" izdanju.

Beograd, oktobar 1999. Vanja Alendar

SADR@AJ uz Deo A

1. REKAPITULACIJA OSNOVNIH POJMOVA O ZEMLJOTRESIMA 1-1

1.1 OPIS ZEMLJOTRESA 1-1

1.2 ZAPISI UBRZANJA TLA U TOKU VREMENA - AKCELEROGRAMI 1-3

2. PONA[ANJE PRI ZEMLJOTRESU LINEARNO ELASTI^NIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE 2-1

2.1 REKAPITULACIJA OSNOVNIH POJMOVA IZ DINAMIKE KONSTRUKCIJA 2-1

2.2 SPEKTRI ODGOVORA ELASTI^NIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE 2-5

3. PONA[ANJE PRI ZEMLJOTRESU NELINEARNIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE 3-1

3.1 TRADICIONALNA - SAVREMENA ZA[TITA KONSTRUKCIJA OD ZEMLJOTRESA 3-1

3.2 OSNOVI DINAMIKE ELASTO-PLASTI^NIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE 3-2

3.3 ODGOVOR NA ZEMLJOTRES ELASTO-PLASTI^NIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE 3-4

3.4 NELINEARNI SPEKTRI ODGOVORA EP SISTEMA 3-6

3.5 KONCEPT NELINEARNOG PRORA^UNA SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE 3-7

3.6 AKUMULACIJA O[TE]ENJA I EKVIVALENTNA DUKTILNOST POMERANJA 3-8

4. KAKO REALIZOVATI ELASTO-PLASTI^AN SISTEM U ARMIRANOM BETONU 4-1

4.1 KRIVINA PRESEKA - POMERANJE KONSTRUKCIJE 4-1

4.2 NELINEARNI ODGOVOR AB KONSTRUKCIJA 4-3

4.3 PO^ETNA KRUTOST AB PRESEKA I KONSTRUKCIJA 4-6

4.4 REALNO PONA[ANJE ARMIRANO BETONSKIH KONSTRUKCIJA PRI CIKLI^NIM DEFORMACIJAMA 4-7

4.5 MODELIRANJE AB KONSTRUKCIJA 4-8

5. SISTEMI SA VI[E STEPENI SLOBODE 5-1

5.1 REKAPITULACIJA OSNOVNIH POJMOVA IZ DINAMIKE KONSTRUKCIJA 5-1

5.2 UPRO[]ENA MODALNA SPEKTRALNA ANALIZA 5-2

5.3 PLASTI^NI MEHANIZMI SISTEMA SA VI[E STEPENI SLOBODE 5-5

5.4 OBEZBE\ENJE POUZDANOSTI @ELJENOG MEHANIZMA KONSTRUKCIJE - "PROGRAMIRANO PONA[ANJE" 5-6

5.5 OCENA PONA[ANJA KONSTRUKCIJA NELINEARNOM STATI^KOM ANALIZOM 5-7

5.6 OCENA PONA[ANJA KONSTRUKCIJA PRI "ZAMRZNUTIM POMERANJIMA" 5-8

6. KONCEPT SAVREMENIH PROPISA - UVOD U EVROKOD 8 (EC8) 6-1

6.1 OP[TI ALGORITAM PROPISA 6-1

6.2 ULAZNI SEIZMI^KI PODACI 6-2

6.3 ELASTI^NI SPEKTAR UBRZANJA 6-2

6.4 KLASE DUKTILNOSTI KONSTRUKCIJA 6-3

6.5 DOZVOLJENA VREDNOST FAKTORA REDUKCIJE OPTERE]ENJA

- FAKTORA PONA[ANJA PREMA EC8 6-4

6.6 PROJEKTNI (NELINEARNI) SPEKTAR UBRZANJA 6-5

6.7 REGULARNOST KONSTRUKCIJE 6-6

6.8 TORZIONA KRUTOST KONSTRUKCIJE 6-7

6.9 KRUTOST TAVANICA U SVOJOJ RAVNI 6-7

6.10 OSNOVNI NOSE]I SISTEM PRI ZEMLJOTRESU 6-8

6.11 PRORA^UNSKA KRUTOST ELEMENATA 6-9

6.12 PROSTORNO DEJSTVO ZEMLJOTRESA 6-11

6.13 PRORA^UN UTICAJA USLED ZEMLJOTRESA 6-12

6.14 EFEKTI DRUGOGA REDA 6-12

6.15 PRERASPODELA UTICAJA 6-13

6.16 KOEFICIJENTI SIGURNOSTI 6-13

6.17 DIMENZIONISANJE, KONSTRUISANJE DETALJA

I OBEZBE\ENJE ZAHTEVANE DUKTILNOSTI 6-14

6.18 PROGRAMIRANO PONA[ANJE 6-14 6.18.1 Faktor preoptere}enja 6-14 6.18.2 Zidovi 6-15 6.18.3 Grede 6-15 6.18.4 Stubovi 6-16 6.18.5 ^vorovi okvira 6-16 6.18.6 Konstrukcijski sistem 6-17

6.19 KONTROLA POMERANJA KONSTRUKCIJE 6-18

6.20 KADA SE EFEKTI ZEMLJOTRESA MOGU ZANEMARITI ? 6-20

6.21 OKVIRNE KONSTRUKCIJE SA ISPUNOM 6-20

6.22 MONTA@NE KONSTRUKCIJE 6-20

6.23 FUNDIRANJE 6-20

7. SEIZMI^KI PRORA^UN PREMA YU PROPISIMA 7-1

7.1 ULAZNI SEIZMI^KI PODACI 7-1

7.2 ELEMENTI PRORA^UNA SEIZMI^KIH UTICAJA 7-1

7.3 PORE\ENJE EC8 I YU81 7-3 8. LITERATURA uz Deo A

1-1

1. REKAPITULACIJA OSNOVNIH POJMOVA O ZEMLJOTRESIMA UVOD

U uvodnom delu izlo`eni su osnovni seizmolo{ki pojmovi : opis zemljotresa u pro-

storu, ja~ina zemljotresa u epicentru - magnutuda, povratni period zemljotresa kao i opis efekata zemljotresa na objekte i okolinu na nekoj lokaciji - intenzitet. U nastavku, defini-{u se merljive fizi~ke veli~ine koje su podloga za in`enjerski opis zemljotresa na nekoj lokaciji: ubrzanje, brzina i pomeranje tla, postupak registrovanja - akcelerogrami kao i njihove empirijske veze sa magnitudom i rastojanjem lokacije od epicentra. Na kraju, dat je primer efekata zemljotresa u Mionici 1998. na lokaciji teritorije Beograda.

1.1 OPIS ZEMLJOTRESA

Zemljotres predstavlja kretanje tla usled naglih tektonskih poreme}aja u delu zemljine kore - `ari{tu (hipocentar), na dubini H - `ari{na dubina, slila 1.1 Zemljotresi sa `ari{nom dubinom H<70 km smatraju se plitkim zemljotresima. Oblast na vertikalnoj projekciji `ari{ta na povr{inu zemlje naziva se epicentar. Rastojanje objekta od `ari{ta odnosno epicentra naziva se `ari{no - R odnosno epicentralno - Re rastojanje , slika 1.1.

Seizmi~ki talasi izazivaju kretanje osnovne stene ispod objekta, propagiraju kroz lokalno tlo do temelja objekta i izazivaju kretanje temelja i objekta. Lokalna tla u kojima se pri zemljotresu mogu pojaviti likvefakcija ili klizi{te, nazivaju se dinami~ki nestabilnim tlom. Objekti fundirani u takvom tlu nisu predmet narednih razmatranja, pretpostavlja se da je objekat fundiran u stabilnom tlu, bez zna~ajnije interakcije konstrukcije i tla.

Mera ja~ine zemljotresa naziva se magnituda zemljotresa - M. Prema Richteru /1/, veza oslobo|ene energije E u `ari{tu i magnitude M glasi

log10 E=4,8 + 1,5M (Joul-a) (1.1)

Zemljotres magnitude M , 32 puta je "ja~i" od zemljotresa magnitude M-1, 1000 puta ja~i od zemljotresa magnitude M-2 itd. Za zemljotrese magnitude M<5 smatra se da prakti~no ne izazivaju {tete, dok sa porastom magnitude raste zahva}ena povr{ina kao i intenzitet (El Centro 1940. M=6,6 ; Skoplje 1963. M=6,0 ; Crna gora 1979. M=7,0 ;

H -

`ar

i{na

dub

ina

Re - epicentralno rastojanje

R - `ari{no rastojanje

Likvefakcija

Klizi{te

Lokalno tlo

@ari{te (hipocentar)

Epicentar

Osnovna stena

Slika 1.1 Zemljotres - prostorni opis

1-2

Maljen-Mionica 1998. M=5,6 ). Smatra se da je najve}a mogu}a magnituda M=9 (Lisabon 1755. M=8,6 ).

Prose~an vremenski interval Tp (godina) izme|u pojave dva zemljotresa iste ja~ine naziva se povratni period zemljotresa sa magnitudom M. Ja~i zemljotresi doga|aju se re|e, sa du`im povratnim periodom. Za zemljotres sa povratnim periodom od Tp=50 godina o~ekuje se da se pojavi jedanput u 50 godina, dva puta u 100 godina itd.

Recipro~na vrednost povratnog perioda, P=1/Tp, predstavlja verovatno}u pojave zemljotresa odre|ene ja~ine u jednoj - teku}oj godini.

Ocena merodavnog zemljotresa za projektovanje konstrukcija vr{i se prema prihvatljivom riziku za odre|eni objekat /2/ :

P=0,02 (Tp=50 godina) - o{te}enja koja ne zahtevaju popravku, P=0,002 (Tp=500 godina) - o{te}enja koja se mogu popraviti, tzv. projektni

zemljotres, P=0,0002 (Tp=5000 godina) - nepopravljiva o{te}enja.

Verovatno}a pojave zemljotresa sa povratnim periodom Tp u vremenskom intervalu od T godina iznosi Pt=1-(1-P)T . Verovatno}a pojave zemljotresa sa povratnim periodom Tp=500 godina u narednih T=10 godina iznosi P10=1-(1-1/500)10 = 0,02 = 1/50. U periodu od T=Tp godina, verovatno}a pojave zemljotresa sa povratnim periodom Tp iznosi PTp = 0,63 (P50=P500=P5000).

Mera efekata, posledica zemljotresa na objekte i okolinu naziva se intenzitet zemljotresa - I na odre|enoj lokaciji. Gradacija posledica izra`ava se skalama intenziteta, koje mogu da budu opisne (..."padaju dimnjaci, zvone crkvena zvona, otpada malter"...) ili kvantitativne (ubrzanje, brzina, pomeranje tla, ili kombinacija ovih veli~ina). Na osnovu opisnih skala procenjuje se o~ekivana ili dogo|ena {teta, ali za analizu efekata zemljotresa na konstrukcije podatak da "zvone zvona" je neupotrebljiv.

U Jugoslaviji se koristi MSK-64 skala, sa dvanaest stepeni intenziteta zemljotresa. Zemljotresi intenziteta do {est stepeni ne smatraju se {tetnim, dok na teritoriji Jugoslavije najve}i o~ekivani intenzitet zemljotresa sa povratnim periodom Tp=500 godina iznosi devet stepeni. Mada izme|u o~ekivane {tete i ubrzanja tla postoji slaba korelacija, ako ne postoje pouzdaniji podaci obi~no se za vezu intenziteta I i gornje granice najve}eg o~ekivanog ubrzanja tla ag pretpostavlja:

intenzitet VII-og stepena: ag ≤ 0,10 g (zona niskog seizmi~kog intenziteta) intenzitet VIII-og stepena: ag ≤ 0,20 g

intenzitet IX-og stepena: ag ≤ 0,40 g gde je g=9,81 m/s 2 ubrzanje zemljine te`e. Pove}anju intenziteta za jedan stepen odgo-vara dva puta ve}e ubrzanje tla. Prema Siko{eku /1/, za vezu magnitude M i intenziteta zemljotresa I u epicentru, za teritoriji Jugoslavije mo`e da se usvoji relacija

I = 1,5M - 0,5 (1.2)

Za odre|enu lokaciju - teritoriju, ocena o~ekivanog intenziteta zemljotresa sa razli~itim povratnim periodima Tp vr{i se na osnovu seizmi~ke rejonizacije - analize lokalnih geolo{kih uslova, kao i o~ekivanih magnituda, `ari{nih dubina i epicentralnih rastojanja zemljotresa koji mogu da se pojave u potencijalnim `ari{tima. Rejonizacija mo`e da bude prose~na - makro-rejonizacija (globalna podela teritorije Jugoslavije, prema kojoj se u Beogradu mo`e o~ekivati zemljotres intenziteta I=VIII sa povratnim periodom Tp=500 godina), ili detaljna - mikro-rejonizacija. Podaci se sistematizuju u obliku seizmolo{kih karata, koje prikazuju intenzitet ili neki merljiv podatak, kao {to je ubrzanje tla. Za potrebe izgradnje stanice "Beograd - Centar" u Prokopu, nakon

1-3

seizmi~ke mikrorejonizacije, za maksimalno o~ekivano ubrzanje tla pri zemljotresu sa povratnim periodom Tp=500 godina usvojeno je ag = 1,18 m/s 2 = 0,12g , {to je znatno manje od navedene gornje granice ubrzanja tla za VIII-u seizmi~ku zonu od 0,20g.

1.2 ZAPISI UBRZANJA TLA U TOKU VREMENA - AKCELEROGRAMI

Zemljotres izaziva prostorno kretanje temeljnog tla, koje se mo`e opisati sa tri translacije i tri rotacije tla - "{est stepeni slobode". U zoni epicentra jakih zemljotresa obi~no su izra`ene sve komponenete kretanja, dok se za ocenu odgovora konstrukcije udaljenijih objekata rotacije tla obi~no mogu zanemariti. Kako se pouzdanost konstrukcija ionako proverava za efekte gravitacionih optere}enja, to se naj~e{}e zanemaruju i vertikalna ubrzanja tla usled zemljotresa.

Mada zemljotres u su{tini izaziva "prinudna pomeranja" konstrukcija, naj~e{}e se njegovi efekti opisuju preko ubrzanja mase konstrukcije, kao jo{ jedan slu~aj horizontalnog optere}enja, analogno dejstvu vetra.

Podaci o o~ekivanim ubrzanjima tla zasnivaju se, izme|u ostalog, i na zapisima ubrzanja tla u toku trajanja zemljotresa - akcelerogramima, koji se registruju pomo}u ure|aja akcelerografa. Za ocenu efekata zemljotresa na konstrukcije zna~ajni su podaci: maksimalno registrovano ubrzanje tla - max ag (na dalje - ag ), trajanje jakog dela zemljotresa - tD , predominantni period oscilovanja tla - Tg , slika 1.2. Na osnovu registrovanih ubrzanja, analiti~ki se mogu dobiti zapisi promene brzine tla - vg odnosno pomeranja tla - dg u toku vremena, slika

1.3b-c. Ra~unska apsolutna pomeranja tla su problemati~an podatak, jer se dobijaju nakon dvostruke integracije dijagrama ubrzanja tla, kome obi~no nedostaje po~etni deo, dok se akcelerograf automatski ne uklju~i. Zapisi ubrzanja obi~no se koriguju, pa kako postupci korekcije vremenom napreduju, menja se i ra~unsko pomeranje tla zemljotresa El Centro iz 1940. godine.

Prema Naumoskom /1/, maksimalno ubrzanje tla ag (cm/s 2) zemljotresa magni-tude M , na lokaciji sa `ari{nim rastojanjem R - atenuacijska formula, mo`e da se oceni prema relaciji

ag = 654e 0,54 M/(R+20) 1,33 (1.3)

maksimalna o~ekivana brzina tla vg (cm/s) iznosi

vg = 4,43e 0,94 M/(R+20) 1,38 (1.4)

a maksimalno o~ekivano pomeranje tla dg (cm) mo`e da se oceni pomo}u relacije

dg = 0,060e 1,20 M/(R+20) 1,34 (1.5)

Prema Paulay /2/, veza maksimalnog ubrzanja tla ag (m/s 2) i intenziteta zemljo-tresa I na jednoj lokaciji mo`e da se prika`e u obliku

ag = 10 - 2,40 + 0,34 I odnosno (1.6)

I = (log10 ag + 2,40)/0,34 (1.7)

max ag

Tg

tD

Ubr

zanj

e tla

- a g(

t)

Vreme - t (s) Slika 1.2 Karakteristike zapisa

ubrzanja tla

1-4

Prema Watabe-u /1/, trajanje jakog dela zemljotresa tD (s) mo`e da se proceni

prema relaciji

tD = 10 (M-2,5)/ 3,23 (1.8)

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0 5 10 15 20 25 30

Ubr

zanj

e (g

)

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0 5 10 15 20 25 30

Ubr

zanj

e (

g)

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0 5 10 15 20 25 30

Vreme - (s)

Ubr

zanj

e (g

)

Petrovac '79ag=0,30g

Ulcinj '79ag=0,24g

Beograd '98ag=0,023g

d.

e.

f.

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0 5 10 15 20 25 30

Ubr

zanj

e (g

)

-400

-200

0

200

400

0 5 10 15 20 25 30

Brz

ina

(mm

/s)

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

0 5 10 15 20 25 30

Vreme (s)

Pom

eran

je (m

m)

El Centro '40ag=0,32g

El Centro '40 vg=361mm/s

El Centro '40dg=214mm

a.

b.

c.

Slika 1.3 Zapisi zemljotresa: a)El Centro (zemljotres Imperial Walley, California, 1940.,

komponenta EW, M=6,6), b-c) El Centro - brzina i pomeranje tla, d)Petrovac (Crna Gora 1979., komponenta EW, M=7,0), e)Ulcinj (Crna Gora 1979., komponenta EW, M=7,0), f)Beograd (Mionica 29.09.1998., komponenta EW, M=5,6, epicentralno rastojanje Re=74 km, dubina `ari{ta H=16 km). Zapis "Beograd" registrovan je na sarmatskim kre~njacima

("lokalno tlo"), na stanici Ta{majdan Republi~kog seizmolo{kog zavoda u Beogradu.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 50 100 150 200

R (km)

a g (g

)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0 100 200 300R (km)

Peri

od T

g (s

)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

5 6 7 8 9Intenzitet - I

a g (g

)

M=6

M=7

M=8

a. b. c.

M=8

M=7

M=6

70 km70 km

Slika 1.4 (a) atenuacijska kriva prema (1.3); (b) ubrzanje tla - intenzitet prema (1.6); (c) predominantni period oscilovanja tla Tg u zavisnosti od magnitude i `ari{nog rastojanja /1/

1-5

Prema Seed-u /1/, predominantni period sopstvenih oscilacija tla Tg na nekoj lokaciji raste sa porastom magnitude M, ali i sa pove}anjem `ari{nog rastojanja R, slika 1.4.c - "tlo filtrira" visoke frekvence sopstvenih oscilacija. Navedene empirijske relacije treba shvatiti kao kvalitativne, izme|u ostaloga i zbog toga {to su preuzete od razli~itih autora, pa je mogu}a neusagla{enost veli~ina, intenziteta na primer.

Primer 1.1 .......... Na osnovu ocenjene magnitude M=5,6 i dubine `ari{ta H=16 km zemljotresa u

Mionici 1989. godine, analiti~ki odrediti parametre kretanja tla u epicentru i na lokaciji Beograd, R∼Re=74 km.

Prema (1.2), intenzitet zemljotresa u epicentralnom podru~ju Mionice 1998.

godine iznosio je

I = 1,5x5,6-0,5 = 7,9

{to se dobro sla`e sa registrovanim o{te}enjima na terenu.

Prema (1.3), maksimalno prose~no ubrzanje tla u Beogradu iznosi

ag= 654e 0,54x5,6/(74+20)1,33=31,9cm/s 2 = 0,032g

dok je na stanici Ta{majdan, na kre~njacima, registrovano ubrzanje od 0,023g, slika 1.3.f.

Prema (1.4), maksimalna brzina tla u Beogradu iznosi

vg = 4,43e 0,94x5,6/(74+20)1,38 = 1,62 cm/s

dok se integracijom registrovanih ubrzanja dobija vrednost vg = 0,85 cm/s. Prema (1.5), maksimalno pomeranje tla u Beogradu iznosi

dg=0,060e 1,20x5,6/(74+20)1,34 = 0,11 cm

dok se integracijom registrovanih ubrzanja dobija vrednost dg = 0,07 cm. Prema (1.7), ra~unski intenzitet zemljotresa u Beogradu iznosi

I=(log10 0,032x9,81 + 2,40)/0,34 = 5,6

dok se ocene kre}u u granicama I=5-5,5. Prema (1.8), trajanje jakog dela zemljotresa iznosi

tD = 10 (5,6-2,5)/3,23 = 9,1 s

{to se sla`e sa merenjima. Prema slici 1.4c, predominantni period sopstvenih oscilacija tla je u granicama

Tg = 0,25 - 0,30 s, {to ukazuje da je ovaj zemljotres bio najopasniji za krute konstrukcijske sisteme, sa niskim periodom sopstvenih oscilacija.

Ukupni utisak je da predlo`eni izrazi prihvatljivo opisuju merene i osmatrane

veli~ine. I pored niskog intenziteta registrovanog u Beogradu, zemljotres sa epicentrom u Mionici izazvao je prili~no uznemirenje u Beogradu, pa i mala o{te}enja na pojedinim starijim objektima. Prema re~ima svedoka, na pojedinim lokacijama pojavila se i panika u visokim objektima.

1-6

Generalno, zemljotresi ~ija je du`ina trajanja jakog dela tD<10 sekundi, kod kojih je predominantni period oscilacija tla Tg<1 sekunde i kod kojih je odnos ubrzanja i brzine tla ag /vg >1, spadaju u zemljotrese visoke frekvence, kratkog trajanja i niske energije. Takav je bio i mioni~ki zemljoters (ag / vg =0,023x981/0,85 = 26,5 1/s > 1).

Prema va`e}oj rejonizaciji teritorije Jugoslavije, Beograd se nalazi u VIII-oj, a Mionica u IX-oj zoni seizmi~kog intenziteta, prema skali MSK-64. Utisak je pojedinih gra|evinaca kao i seizmologa da su o~ekivani efekti zemljotresa na teritoriji Beograda precenjeni. Ako je `ari{te u podru~ju Mionice, pri zemljotresu magnitude M=5,6, u Beogradu izazvalo ubrzanje od samo 0,02g na steni, postavlja se pitanje koje je to `ari{te, i kolika je energija potrebna da se iniciraju ubrzanja od oko 0,2g, sa povratnim periodom od Tp=500 godina?

Beograd je podru~je sa najve}om koncentracijom stanovni{tva i materijalnih dobara u Jugoslaviji, pa pri dono{enju budu}ih propisa i utvr|ivanju karata ubrzanja tla treba izvr{iti ozbiljne analize.

Izneta dilema ni u kom slu~aju nije prilog pau{alnim procenama tipa "ma kakav zemljotres!". [ta mo`e da se dogodi na teritoriji Beograda prvenstveno treba da procene seizmolozi. Za gra|evince je to jedno od dejstava na konstrukcije, ma koliko iznosilo. I slab zemljotres mo`e da bude opasan za lo{a konstrukcijska re{enja.

2-1

2. PONA[ANJE PRI ZEMLJOTRESU LINEARNO ELASTI^NIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE UVOD Poznavanje pona{anja konstrukcije, uz pretpostavku njenog elasti~nog odgovora na kretanje tla pri zemljotresu je osnovni podatak za ocenu efekata zemljotresa na konstrukcije. Realne konstrukcije naj~e{}e imaju vi{e stepeni slobode, ali je prvi ton oscilacija naj~e{}e dominantan, i predstavlja osnovu ve}ine propisa u ovoj oblasti. Nakon definisanja osnovnih pojmova iz dinamike konstrukcija, prikazan je odgovor dva elasti~na sistema sa jednim stepenom slobode, na dva karakteristi~na zapisa ubrzanja tla - akcelerograma. U nastavku, re{enje se generalizuje na ceo opseg sopstvenih perioda realnih gra|evinskih konstrukcija, formulisanjem elasti~nih spektara ubrzanja i pomeranja .

2.1 REKAPITULACIJA OSNOVNIH POJMOVA IZ DINAMIKE KONSTRUKCIJA

Za opisivanje kretanja jedne mase konstrukcije u prostoru u op{tem slu~aju potrebno je {est komponenti pomeranja, tri translacije i tri rotacije mase. Zavisno od dispozicije konstrukcije, rasporeda masa kao i pravca dejstva dinami~ke pobude - kretanja tla, broj nezavisnih komponenti pomeranja koji je dovoljan da se opi{e kretanje se smanjuje, i naziva se broj stepeni slobode. U slu~aju dominantnog horizontalnog kretanja jedne mase u ravni, govori se o sistemu sa jednim stepenom slobode - nepoznatim horizontalnim pomeranjem mase d(t) u toku vremena, slika 2.1.

Pri dejstvu spoljne stati~ke sile F, horizontalno pomeranje d mase u op{tem slu~aju posledica je vi{e komponenti pomeranja: pomeranja δ usled klizanja temelja, pomeranja αH usled rotacije temelja za ugao α, pomeranje d1 i d3 usled deformacija savijanja i smica-nja i pomeranja d2 usled aksijalnog optere}enja pojedinih delova konstrukcije, slika 2.1

d = ∆ + αH + d1 + d2 + d3 = δF = F/k (2.1)

Ukupno pomeranje δ usled jedini~ne sile F=1 , naziva se fleksibilnost konstrukcije ("matrica fleksibilnosti"), dok se inverzna vrednost k=1/δ naziva krutost konstrukcije na pomeranje ("matrica krutosti"). U ve}ini slu~ajeva, fleksibilnost odnosno krutost konstruk-

W W W W

d1 d2d3

∆h

bh

αH

d = +∆ αΗ d1+ +

α

H

d

W

k

FW

∆

d2 d3+

M,Q N M,Q

Slika 2.1 Komponente pomeranja sistema sa jednim stepenom slobode

2-2

cije mogu dovoljno ta~no da se odrede samo iz deformacija savijanja, na osnovu krutosti EI preseka na savijanje.

Pri kretanju tla sa zna~ajnijim ubrzanjem d"g(t), problem postaje dinami~ki, jer se u konstrukciji javljaju i inercijalne sile. Osnovne dinami~ke karakteristike sistema su period sopstvenih oscilacija sistema

T=2π√(m/k) = 2π√(mδ) (2.2)

odnosno kru`na frekvenca sopstvenih oscilacija

ω = 2π/T = √(k/m) (2.3)

gde je m - masa sistema.

Ukupno pomeranje d t mase u odnosu na po~etni polo`aj u prostoru jednako je zbiru pomeranja dg konstrukcije kao krutog tela zajedno sa tlom, slika 2.1.b, i relativnog pomeranja d mase u odnosu na temelj, slika 2.1.c. Totalno, apsolutno ubrzanje mase u prostoru iznosi d t" = d"g + d".

Odgovor konstrukcije na kretanje tla sa promenljivim ubrzanjem d"g (t) mo`e da se odredi na osnovu re{enja problema relativnog kretanja mase konstrukcije sa nepomerljivim temeljom, optere}ene efektivnom dinami~kom silom u centru mase Pef =-md"g slika 2.1.d.

U svakom trenutku vremena t , rezultanta horizontalnog "spoljnog opetre}enja" - zbir efektivne Pef i inercijalne sile FI = md" usled relativnog ubrzanja, u ravnote`i je sa unutra{njim silama konstrukcije, otporu elasti~ne konstrukcije pomeranjima - FK=kd, i sili prigu{enja kretanja FC=cd', gde je c - viskozno prigu{enja a d' - relativna brzina kretanja, slika 2.1.d

Pef - FI - Fk - Fc = 0 odnosno (2.4)

md" + cd' + kd = -md"g (2.5)

Podeljena sa masom m, jedna~ina (2.5) glasi

d" + 2ξωd' + ω 2d = -d"g (2.6)

gde je ξ=c/2mω koeficijent prigu{enja, a A(t)=ω 2d "pseudo ubrzanje" mase. Za veli~ine koeficijenta prigu{enja ξ<0,10, pseudo ubrzanje, koje odre|uje iznos naprezanja konstrukcije prakti~no je jednako totalnom ubrzanju, koje uti~e kako na ljude, tako i na opremu objekta, (d"g + d") ≈ ω 2d.

H

M

d

M

dt

M

dg

k,C

= + d

M

k,C

FI

FKFC

FCFK

Pef

W

a. b. c. d.

d"g

Slika 2.2 Osnovni parametri dinami~kog modela

2-3

U slu~aju kretanja tla, re{enje jedna~ine (2.6) mo`e da se odredi u obliku Duhamel-ovog integrala, ili se primenjuju numeri~ke metode, kao {to je Njumarkova metoda sa konstantnim ubrzanjem /3/, /4/. Ulazni podatak je promena ubrzanja tla u toku vremena d"g(t), definisana zapisima ubrzanja tla - akcelerogramima, slika 1.3.

^esto se umesto registrovanih vred-nosti ubrzanja koriste skalirane vrednosti ubrzanja tla. Oblik zapisa se zadr`ava, ali

se sve ordinate akcelerograma multiplikuju odnosom ag / maxd"g(t) , tako da maksimalno ra~unsko ubrzanje tla bude jednako `eljenoj vrednosti ag .

Rezultati analize se tradicionalno prikazuju u obliku sile elasti~nog otpora konstrukcije Fk(t)=mA(t)=mω 2d(t) - koncept"zemljotresa kao spoljnog optere}enja", slika 2.3.a. Danas je trend da se efekti zemljotresa interpretiraju kao "prinudno relativno pomeranje" konstrukcije, dok je sila F(t)=kd(t) u op{tem slu~aju funkcija krutosti k konstrukcije, slika 2.3.b.

d(t)FK(t)=Kd(t)

d(t)FK(t)

a. b.

Slika 2.3 Interpretacija rezultata analize

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 5 10 15 20 25 30

-200

-150

-100

-50

0

50

100

0 5 10 15 20 25 30

Pomeranje tlaPomeranje konstr.

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 5 10 15 20 25 30

a.

b.

c.

d.

e.

f.

T=0,5s T=1,5s

T~ 1,5sT~ 0,5s

El Centroag=0,2g

-200

-150

-100

-50

0

50

100

0 5 10 15 20 25 30

Pomeranje tlaPomeranje konstr.

Aps

olut

no p

omer

anje

(m

m)

Rel

ativ

no p

omer

anje

(m

m)

Ubr

zanj

e (g

)

0,58

35,7

66,2

0,12

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0 5 10 15 20 25 30

Vreme t (sec)

Pseudo ubrzanje

Ubrzanje tla

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0 5 10 15 20 25 30

Vreme t (sec)

Pseudo ubrzanje

Ubrzanje tla

Slika 2.4 Odgovor elasti~ne konstrukcije na zapis El Centro

2-4

Primer 2.1...... Njumarkovom metodom odrediti odgovor elasti~ne konstrukcije sa jednim stepenom

slobode na uticaj zapisa El Centro prema slici 1.3.a, skaliranog na maksimalno ubrzanje tla ag=0,2g. Analizirati dva slu~aja konstrukcija, sa periodom sopstvenih oscilacija T=0,5s odnosno T=1,5s. Za vrednost koeficijenta prigu{enje usvojiti ξ=5%.

Na slici 2.4 prikazani su rezultati analize sa korakom integracije od 0,02 sekunde: ukupna - apsolutna pomeranja tla odnosno mase konstrukcije (sl.2.4.a i d), relativna pomeranja mase u odnosu na temelj (sl.2.4.b i e) kao i vrednosti ubrzanja tla odnosno pseudo ubrzanja mase konstrukcije A(t)/g, (sl.2.4.c i f).

Tlo sa sobom "nosi" konstrukciju, i nizom impulsa ubrzanja u toku vremena izaziva sopstvene oscilacije i relativna pomeranja mase. Nepravilan niz impulasa u oba slu~aja izaziva oscilacije konstrukcije sa periodama prakti~no jednakim sopstvenim periodima oscilovanja T=0,5 odnosno T=1,5s. Konstrukcija sa ni`om periodom T=0,5s ima manja relativna pomeranja u odnosu na mek{u konstrukciju, {to je op{ti trend i za druge zapise, ali ne i pravilo.

U oba slu~aja maksimalno ubrzanje tla je naravno 0,2g, ali se kod kru}e konstrukcije, sa ni`om periodom ubrzanja mase dodatno uve}avaju, amplifikuju na iznos 0,58g, dok je u slu~aju "mek{e" konstrukcije pseudo ubrzanja od 0,12g manje od ubrzanja tla. Vrednost faktora amplifikacije - odnos maksimalnog ubrzanja konstrukcije i tla iznosi β0 = 0,58g/0,2g = 2,9 (T=0,5s) odnosno β0 = 0,12g/0,2g = 0,6 (T=1,5s). Primer 2.2.....

Njumarkovom metodom odrediti odgovor elasti~ne konstrukcije sa jednim stepenom slobode za uticaj zapisa Petrovac prema slici 1.3.d, skaliranog na maksimalno ubrzanje tla ag=0,2g. Analizirati dva slu~aja konstrukcija, sa periodom sopstvenih oscilacija T=0,5s odnosno T=1,5s. Za vrednost koeficijenta prigu{enje usvojiti ξ=5%.

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

0 5 10 15 20 25

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

0 5 10 15 20 25

a.

b.

c.

d.

T=0,5 s T=1,5 sPetrovacag=0,2g

Rel

ativ

no p

omer

anje

(m

m)

Ubr

zanj

e (g

)

60,5

30,3

0,054

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

0 5 10 15 20 25

Vreme t (sec)

Pseudo ubrzanjeUbrzanje tla

0,97

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

0 5 10 15 20 25

Vreme t (sec)

Pseudo ubrzanjeUbrzanje tla

Slika 2.5 Odgovor konstrukcije na zapis Petrovac

2-5

Na slici 2.5 prikazani su rezultati analize sa korakom integracije od 0,02 sekunde: relativna pomeranja mase u odnosu na temelj (sl.2.5.a i c) kao i vrednosti ubrzanja tla odnosno pseudo ubrzanja mase konstrukcije A(t)/g, (sl.2.5.b i d).

U ovom slu~aju konstrukcija sa ni`om periodom ima ve}a relativna pomeranja. Ubrzanja kru}e konstrukcije se amplifikuju 4,85 puta na iznos od ~ak 0,97g, dok u slu~aju mek{e konstrukcije, pseudo ubrzanje iznosi samo 0,054g.

Dva navedena primera pokazuju da za odgovor konstrukcije nije bitan samo iznos

maksimalnog ubrzanja tla nego i predominantni period oscilacija tla Tg , slika 1.4.c kao i frekventne karakteristike zemljotresa - tok promene ubrzanja u vremenu. Sa druge strane, za isti zapis, odgovor konstrukcija sa razli~itim periodama sopstvenih oscilacija se razlikuje.

2.2 SPEKTRI ODGOVORA ELASTI^NIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE KRETANJA

Za isti zapis ubrzanja tla d"g(t), svi elasti~ni sistemi sa istim periodom T, odnosno kru`nom frekvencom sopstvenih oscilacija ω (m/k=const) i prigu{enjem ξ pona{aju se identi~no u toku trajanja zamljotresa, i dosti`u iste ekstremne vrednosti relativnih pomeranja, relativnih brzina odnosno totalnih - pseudo ubrzanja. Ukoliko se ordinate ubrzanja tla pomno`e, normalizuju faktorom α, u istom odnosu promeni}e se i odgovoraju}e ekstremne vrednosti.

Projektante u praksi obi~no interesuju upravo ove ekstremne vrednosti, jer defini{u maksimalno naprezanje i pomeranje konstrukcije, ali za o~ekivani zemljotres na datoj lokaciji, za koji se eventualno zna o~ekivano maksimalno ubrzanje tla ag , ali ne i tok, frekventne karakteristike zemljotresa. Zbog toga se za analizu naj~e{}e koriste zapisi dogo|enih zemljotresa, ili se matemati~ki formiraju simulacije - sintetizovani zapisi ubrzanja tla, skalirani na o~ekivano maksimalno ubrzanje tla ag .

Postupkom prikazanim u prethodnim primerima, efekti pojedinih zapisa Z ubrzanja tla na konstrukcije sa razli~itim priodama Ti mogu da se sistematizuju u obliku spektra odgovora, koji prikazuju maksimalni odgovor konstrukcije - pomeranje, brzinu ili ubrzanje, ~iji je algoritam prikazan na slici 2.6.

Za izabrani zapis Z (El Centro na primer), numeri~kom integracijom sra~unava se

odgovor konstrukcija sa razli~itim periodama T1 -Tn. Za svaku od perioda Ti , registruje se

d(t)

T1

Ti

Tnξ=5%

D=max d(t)

V=ωDA=ω2D

Novi zapis ubrzanja tla - Z

D1(T1)

Di(Ti)Dn(Tn)

Period T

Pom

eran

je D Z1

Zj

Zm

Start

Slika 2.6 - Algoritam formiranja spektra odgovora

2-6

maksimalno sra~unato pomeranje sistema D=maxd(t), na osnovu ~ega se formira dijagram, spektar pomeranja D(T) za zapis Z. Umesto sra~unatih maksimalnih relativnih brzina i totalnih ubrzanja, obi~no se koriste pseudo vrednosti brzina - V=ωD odnosno pseudo ubrzanja A=ω 2D, za koja je re~eno da su prakti~no jednaka totalnim ubrzanjima mase. Postupak se ponavlja sa novim zapisima ubrzanja tla (Petrovac na primer), ~ime se dobija familija spektra odgovora, koji se obi~no normalizuju ili na ubrzanje zemljine te`e g, ili na maksimalno o~ekivano ubrzanje tla ag . Primer 2.3.....

Za zapise ubrzanja tla El Centro, Petrovac, Ulcinj i Beograd, formirati elasti~ne spektre pseudo ubrzanja i relativnih pomeranja u intervalu perioda T=0,02 - 3,0s, prigu{enje ξ=5%.

Na slici 2.7 prikazani su rezultati prora~una, normalizovani na maksimalno ubrzanje

tla ag . Na dijagramima su ozna~ene i prethodno dobijene vrednosti iz primera 2.1 i 2.2. Op{ti trend je da sa produ`enjem perioda oscilacija konstrukcije opada vrednost

maksimalnih ubrzanja ali i raste vrednost maksimalnih pomeranja konstrukcije. Zapisi Petrovac i Ulcinj registrovani su istovremeno, pri istom zemljotresu, ali na

razli~itim lokacijama. Razlike spektara odgovora ukazuju na zna~aj lokalnih efekata tla, koji mogu znatno da izmene frekventni sastav oscilacija tla koje poti~u iz istog izvora - `ari{ta zemljotresa.

Primer 2.4..... Za elasti~nu konstrukciju sa periodom oscilovanja T=1,5s, odrediti maksimalno relativno pomeranje i ubrzanje za efekte zemljotresa "tipa" El Centro sa maksimalnim ubrzanjem tla ag = 0,2g. Prema slici 2.7.b, maksimalno pomeranje iznosi

D = ag D(ag ) = 0,2g x 0,034 = 0,2x9810x0,034 = 66,7 mm.

Prema slici 2.7.a, maksimalno ubrzanje iznosi

A = ag A(ag ) = 0,2g x 0,59 = 0,118g (=ω 2D /g = (2π /1,5) 2x66,7/9810)

0

1

2

3

4

5

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Period (s)

A (

ag )

= A

/a g

El Centro

Petrovac

Ulcinj

Beograd Petrovac

Beograd4,85

2,87

1,972,18

0,590,27

0.000

0.025

0.050

0.075

0.100

0.125

0.150

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0Period (s)

D(

a g ) =

D/a

g (

s)

Ulcinj

Petrovac

El Centro

Beograd0,015

0,034

0,124

0,031 0,018 0,012

Slika 2.7 Spektar odgovora: a) pseudo ubrzanja i b) relativnog pomeranja elasti~nog sistema

2-7

Za sistem sa masom m, maksimalna vrednost reakcije konstrukcije - ra~unskog seizmi~kog optere}enja F iznosi

F = mA = 0,118mg

Transverzalna sila i moment uklje{tenja konzole visine H iznose Q=F odnosno M=FH. Primer 2.5..... Za konzolu visine H=6,67m, sa te`inom konstrukcije na vrhu W=300 kN, odrediti potreban moment inercije I stuba punog kvadratnog popre~nog preseka, tako da pri zemljotresu El Centro, sa maksimalnim ubrzanjem tla od ag=0,2g pomeranje vrha konzole D bude jednako 1% od visine konzole H. Moduo elasti~nosti beton E=250 GPa.

Masa konstrukcije iznosi

m = W/g=300/9,81 = 30,58 kNs 2/m

Dozvoljeno pomeranje vrha konstrukcije iznosi

maxD=1%H = 0,01 x 6,670 m = 0,0667 m odnosno

maxD/ag = 0,0667/0,2x9,81 = 0,034 s

Prema slici 2.7.b, za zapis El Centro i vrednost D(ag )= 0,034 s, sledi da konstrukcija treba da ima period oscilovanja od T=1,15s. Kako je T=2π√(mδ), to pomeranje vrha konzole usled stati~kog dejstva jedini~ne sile δ=1H 3/3EI treba da iznosi

δ = (T/2π) 2/m = (1,5/2π) 2/30,58 = 1,86 10 -3 m pa je

potI = H 3/3Eδ = 6,67 3/3 x 2,5 10 7 x 1,86 10 -3 = 2,12 10 -3 m4.

Potrebna dimenzija b stuba kvadratnog popre~nog preseka iznosi

b=(12 x potI) 1/4 = (12 x 2,12 10 -3) 1/4 = 0,40 m.

3-1

3. PONA[ANJE PRI ZEMLJOTRESU NELINEARNIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE UVOD Nivo optere}enja elasti~ne konstrukcije usled zemljotresa mo`e, u slu~aju izuzetno zna~ajnih objekta da se usvoji kao projektno optere}enje konstrukcije pri zemljotresu, ili da se kontrolisano smanji. Klasi~ni koncept smanjenja nivoa optere}enja zasniva se na dopu{tanju nelinearnog odgovora konstrukcije, uz pojavu kontrolisanih o{te}enja konstrukcije. Nakon obja{njenja osnovnih pojmova dinamike elasto-plasti~nih sistema, ilustruje se postupak formiranja nelinearnog spektra ubrzanja, uspostavljanjem veze raspolo`ive duktilnosti pomeranja konstrukcije i dozvoljenog nivoa redukcije seizmi~kog optere}enja. Polaze}i od nelinearnog spektra ubrzanja, izlo`en je op{ti algoritam projektovanja seizmi~ki otpornih konstrukcija, koji je osnova svih propisa. Na kraju, osim jednostavnog kriterijuma iscrpljenja konstrukcije dostizanjem kapaciteta deformacija pri monotonom stati~kom optere}enju, formulisan je i kombinovani kriterijum, kao podloga za definisanje ekvivalentne duktilnosti pomeranja, ~ime se obuhvata i cikli~na istorija deformacija konstrukcije pri zemljotresu.

3.1 TRADICIONALNA - SAVREMENA ZA[TITA KONSTRUKCIJA OD ZEMLJOTRESA

Nivo seizmi~kog optere}enja pri elasti~nom odgovoru konstrukcija obi~no je izuzetno visok, i te{ko ga je konstrukcijskim merama prihvatiti. Pri tome, ve} je uvo|enje viskoznog prigu{enja od ξ = 5% zna~ajno, ali ne i dovoljno ubla`ilo efekte zemljotresa, slika 3.1 - pseudo ubrzanje konstrukcije normalizovano na ubrzanje zemljine te`e.

Problem ima i svoju ekonomsku stranu, kao i

uvek - ulo`iti sredstva pri gra|enju za ne{to {to se mo`da ne}e ni desiti, ili prihvatiti rizik o{te}enja i eventualnih popravki? Pri razmi{ljanju kako da se konstrukcija racionalno adaptira zemljotresu, da se za{titi od preoptere}enja usled prinudnih pomeranja izazvanih pomeranjem tla koje ne mo`emo da spre~imo, treba imati u vidu da su pri dinami~kim pojavama mogu}i i konstrukcijski sistemi - privremeni mehanizmi koji su "stabilni" dok traje kretanje, slika 3.2. Kod realnih konstrukcija, potrebno je ipak obezbediti stabilnost sistema pre i nakon prestanka kretanja, kao i ograni~iti mogu}u trajnu deformaciju sistema.

Tradicionalni koncept smanjenja efekata zemljotresa zasniva se na umanjenju seizmi~kog optere}enja putem adaptacije krutosti osnovne nose}e konstrukcije pomeranjima

Slika 3.2 "Stabilan sistem" pri

kretanju

-4-3-2-101234

0 5 10 15 20 25

Vreme (s)

Ubr

zanj

e (

g)

Prigu{enje 0%Prigu{enje 5%Prigu{enje 20%

Slika 3.1 Efekat viskoznog prigu{enja, T=0,5s

3-2

usled zemljotresa, slika 3.3, {to podrazumeva pojavu odre|enog nivoa o{te}enja konstrukcije - neelasti~an tj. nelinearan odgovor konstrukcije. Usvojeni iznos prigu{enja od 5% tako|e podrazumeva pojavu nagla{enijih prslina.

Deluje kao paradoks da konstrukcija sa manjim optere}enjem F<Fe ima ve}a

o{te}enja, slika 3.3.b, ali redosled je obrnut, optere}enje je ni`e jer je upravo pojavom o{te}enja sni`ena krutost konstrukcije, tipi~no za uticaje prinudnih pomeranja. Ako se ne mo`e spre~iti pomeranje tla, konstrukcijski je mogu}e u horizontalnoj ravni prese}i, izolovati temelj konstrukcije od kretanja tla, konceptualni primer savremene za{tite konstrukcija - ku}a "na to~kovima" na slici 3.4.a. Ovaj koncept je efikasan u slu~aju krutih konstrukcija, produ`ava se period oscilovanja i smanjuje se efektivna sila Pef .

Ono {to je bitno, treba ubla`iti pobu|ivanje kretanja mase usled propagiranja oscilacija kroz konstrukciju. Ako je glavna masa konstrukcije visoko, stubovi mogu da se za{tite postavljanjem dinami~ke izolacije ispod mase, primer konstrukcija krovova velikih raspona na neoprenskim le`i{tima na vrhu stubova, konceptualno re{enje prema slici 3.4.c. U oba navedena slu~aja, relativna pomeranja mase konstrukcije u odnosu na podlogu - smicanje le`i{ta ~esto je merodavan kriterijum za realizaciju za{tite.

Za{tita konstrukcija mo`e da se ostvari i intervencijama koje modifikuju prigu{enje kretanja. Efekti prigu{enja mogu da se poja~aju dodavanjem posebnih "dampera" - prigu{iva~a, slika 3.4.b, sistem pogodan u slu~aju fleksibilnih konstrukcija. Tradicionalni na~in gra|enja i za{tite jo{ uvek preovla|uje, i u propisima pa i u praksi, tako da se naredne analize odnose na ovaj koncept. Ako pri prinudnim pomera-njima treba ograni~iti nivo naprezanja nelinearnim odgovorom konstrukcije, tada je elasto-plasti~an model odgovora konstrukcije svakako najjednostavniji.

3.2 OSNOVI DINAMIKE ELASTO-PLASTI^NIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE

Na slici 3.5 ilustrovan je sistem sa jednom masom m za koji se pretpostavlja da je konstrukcijskim merama obezbe|ena elasto-plasti~na veza sile F i pomeranja d vrha konstrukcije.

Pri prinudnom pomeranju vrha dm , reakcija elasti~nog sistema sa kruto{}u k iznosila bi Fe= kdm, ta~ka I na slici 3.5.b. Pri pomeranju dm , akumulirana potencijalna energija jednaka je zbiru povr{ina Ee1 + Ee2 + Eh , slika 3.5.b. Ukoliko se sistem oslobodi oslonca, nastupi}e oscilacije du` prave I-II, sa periodom oscilovanja T=2π√(m/k), uz stalnu izmenu

F < Fe !?W W

Fe

O{te}enja

Elasti~an odgovorkonstrukcije

Neelasti~an odgovorkonstrukcije

Paradoks ?Manja sila - ve}a o{te}enja

a. b.

Slika 3.3 Tradicionalni koncept gra|enja i za{tite od zemljotresa

W W

a. b.

W

c.

Slika 3.4 Savremeni koncepti gra|enja i

za{tite od zemljotresa

3-3

kineti~ke i potencijalne energi-je. Ukoliko nema prigu{enja, amplitude oscilacija jednake su po~etnom pomeranju dm - elas-ti~an sistem "se se}a" stanja iz koga je izveden i reaguje "koleri~no".

Pretpostavimo da je ela-sti~ni nivo optere}enja Fe kon-strukcijski neprihvatljiv, i da `elimo da ga smanjimo na iz-nos Fy = Fe /R, gde je R usvo-jena vrednost faktora redukcije

elasti~nog optere}enja. Pri prinudnom pomeranju dm , elasto-plasti~an sistem (EP - sistem) sa istom inicijalnom kruto{}u k "sti}i }e" u ta~ku 3 na slici 3.5.b.

Akumulirana potencijalna energija EP sistema jednaka je povr{ini Ee2 , jer je znatan deo unete energije Eh nepovratno izgubljen proizvo|enjem trajne deformacije dp . Osloba|anjem od oslonca, EP sistem }e da osciluje u "pomerenom polo`aju", sa smanjenim ubrzanjem i amplitudom, po pravoj 3-4 odnosno izme|u ta~aka M-EP na slici 3.5.a. Kako su masa i inicijalna krutost isti, to je i period oscilovanja EP sistema jednak periodu oscilovanja elasti~ne konstrukcije.

Zavisno od nosivosti Fy odnosno stepena redukcije optere}enja R, EP sistem akumulira manje potencijalne energije - delimi~no "zaboravlja odakle je krenuo", adaptira se trajnim deformacijama, reaguje relativno "flegmati~no".

Ukoliko je u pitanju monotoni stati-~ki opit cikli~nih deformacija, pri "rastere}e-nju", pomeranju iz ta~ke 3 u suprotnom smeru, odgovor EP sistema opisan je "putem" 3-4-5-6 itd. Primer 3.1..... Za sistem sa jednom masom i perio-dom oscilovanja T=0,5s, odrediti odgovor sis-tema na impuls ubrzanja tla koji linearno raste od ag(t=0)=0 do ag (t=0,1s)=0,2g , slika 3.6.a. Za vrednosti faktore redukcije usvojiti R=1 (elasti~an sistem), 2,5, 5 i 10, a za prigu{enje ξ = 0. Za re{enje nelinearnog dinami~kog problema upotrebljen je program DIANA - TNO Delft /5/. Zadatak je re{en primenom Njumarkove metode integracije i modifi-kovane Njutn-Rapsonove iterativne proce-dure /3/,/4/. Na slici 3.6.a prikazana su rela-tivna pomeranja, a na slici 3.6.b optere}enje odgovaraju}e konstrukcije, normalizovano na proizvod mase i maksimalnog ubrzanja tla - pseudo ubrzanje konstrukcije. Kao {to je i nagove{teno, nakon prestanka kretanja

ME EP

dm

dp

k (ξ=0)

d

F

dm

-dm

dp

Fe

Fy

-Fe

-Fy

k

k

1

II

3

4

dy

Eh

Ee1

Ee2

2

I

5

6

a. b.

Slika 3.5 Dinamika elasto-plasti~nog - EP sistema

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Vreme (s)

Pom

eran

je (

mm

)

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0F/(

ma g

)

R=1,0R=2,5R=5,0R=10

R=1,0R=2,5R=5,0R=10

Fy=maxFe/R

0,2g

0,1s

a.

b.

Slika 3.6 Odgovor EP sistema na impuls

ubrzanja tla

3-4

tla (t=0,1s), EP sistemi osciluju u pomerenom - deformisanom polo`aju, sa smanjenim ubrzanjem odnosno optere}enjem sistema, limitiranim usvojenom nosivo{}u sistema Fy .

3.3 ODGOVOR NA ZEMLJOTRES ELASTO-PLASTI^NIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE

Pretpostavimo da je poznat odgovor elasti~ne konstrukcije sa kruto{}u k na dati zapis ubrzanja tla, maksimalno seizmi~ko optere}enje Fe i relativno pomeranje de , slika 3.7. Potrebno je odrediti tok i maksimalnu vrednost pomeranja dm EP sistema sa istom inicijalnom kruto{}u k , ali sa redukovanom nosivo{}u Fy=Fe /R i odgovaraju}im

pomeranjem dy na granici dostizanja nosivosti tj. granici elasti~nosti.

Odnos µd = dm /dy naziva se potrebna duktilnost pomeranja sistema. Da bi se obezbedila stabilnost kon-strukcije, kapacitet pomeranja konstrukcije du treba da je ve}i od o~ekivanog maksimalnog pomeranja dm pri zemljotresu. Cilj nelinearnih dinami~kih analiza naj~e{-}e je utvr|ivanje potrebne duktilnosti pomeranja pri usvojenoj redukciji nosivosti sistema. Jedna~ine kretanja (2.6) i dalje va`e na po~etnom delu 1-2, dok na delu 2-3 glasi

md" + cd' + Fy = -md"g (3.1)

a na delu 3-4, slika 3.5.b

md" + cd' + k(d-dp)= -md"g (3.2)

Primer 3.1 Za zapise El Centro, Petrovac i Ulcinj, analizirati odgovor elasto - plasti~nih sistema sa

periodom oscilovanja T=0,5, 1,5 i 3,0 sekunde, za vrednosti faktora redukcije R=2,5, 5 i 10. Za sva tri zapisa, za maksimalno ubrzanje tla usvojiti ag=0,2g.

U prvom koraku odre|eno je maksimalno optere}enje elasti~nog sistema Fe , i potom su formirani elasto-plasti~ni sistemi sa redukovanom nosivo{}u u odnosu na zahtevanu nosivost elasti~nog sistema Fe . U Tabeli 1 dat je prikaz rezultata analiza za sve zapise i periode oscilovanja, dok je na slici 3.8 prikazan vremenski odgovor konstrukcije sa periodom T=0,5 sekundi usled zemljotresa El Centro. Kriva R=1 predstavlja odgovor elasti~ne konstrukcije, koji je prethodno prikazan i na slici 2.4.

d

F

de

dm=µddy

Fe

Fy =Fe/R

k

1 dy

2

I

3

µd

R

EP

E

4Lom

du

Slika 3.7 Osnovni parametri EP

modela

Tabela 1 Period T0.50 0.50 0.50 0.50 1.50 1.50 1.50 1.50 3.00 3.00 3.00 3.00

R A/ag D/ag µd DM A/ag D/ag µd DM A/ag D/ag µd DM1.0 2.87 0.018 0.00 0.59 0.034 0.00 0.39 0.088 0.00

El Centro 2.5 1.15 0.013 1.76 0.96 0.24 0.032 2.40 1.21 0.15 0.073 2.08 1.055.0 0.58 0.014 3.89 1.35 0.12 0.037 5.42 1.77 0.08 0.054 3.03 0.9210.0 0.29 0.017 9.31 2.05 0.06 0.055 16.30 2.85 0.04 0.078 8.88 1.351.0 4.85 0.031 0.27 0.015 0.11 0.024

Petrovac 2.5 1.95 0.019 1.54 0.92 0.11 0.022 3.61 1.68 0.04 0.019 2.02 0.985.0 0.97 0.012 1.88 0.90 0.05 0.011 3.57 1.42 0.02 0.014 2.85 0.9010.0 0.49 0.015 4.75 1.12 0.03 0.010 6.42 1.88 0.01 0.016 6.85 1.291.0 1.97 0.012 2.18 0.124 0.34 0.115

Ulcinj 2.5 0.79 0.029 5.91 3.01 0.87 0.100 2.02 0.98 0.20 0.125 2.72 1.235.0 0.40 0.052 20.80 6.64 0.44 0.098 3.94 1.06 0.10 0.087 3.80 0.9710.0 0.20 0.071 57.30 9.43 0.22 0.127 10.20 1.40 0.05 0.062 5.42 0.91

3-5

Relativna pomeranja EP sistema u granicama su pomeranja koja dosti`e elasti~an

sistem (35,6mm), pri ~emu je najmanje pomeranje sistema sa faktorom redukcije R=2,5 (25,0mm = 70% pomeranja elasti~nog sistema), slika 3.8.a.

Kao {to je i zadato, maksimalno optere}enje EP sistema ne prelazi propisanu nosivost u odnosu na elasti~an sistem, slika 3.8.b, normalizovano na mag.

Deljenjem pomeranja d(t) u nekom trenutku vremena sa odgovoraju}om vredno{}u pomeranja na granici elasti~nosti dy za svaki od EP modela, dobija se tok promene faktora duktilnosti pomeranja µd(t), slika 3.8.c. Karakteristi~no je da maksimalna potrebna duktilnost pomeranja EP sistema raste sa veli~inom faktora redukcije elasti~nog optere}enja R. Smanjenje nosivosti "pla}a se" pove}anim zahtevima za obezbe|enje post-elasti~nih deformacija konstrukcije. Zahtevane vrednosti potrebne duktilnosti pomeranja µd relativno su bliske usvojenim vrenostima faktora redukcije optere}enja R, razlike su do 30%.

U Tabeli 1, prikazane su maksimalne vrednosti odgovora konstrukcija, maksimalno pseudo ubrzanje A/ag i pomeranje D/ag normalizovani na maksimalno ubrzanje tla

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

0 5 10 15 20 25 30

R=1R=2,5R=5R=10

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 5 10 15 20 25 30

-10.0

-7.5

-5.0

-2.5

0.0

2.5

5.0

0 5 10 15 20 25 30

35,6

25.0

33,1

9,31 R=10

3,89 R=5

El Centroag=0,2g T=0,5sPomeranje (mm)

a.

El Centroag=0,2g T=0,5s

Sila/mag

1,76 R=2,5

El Centroag=0,2g T=0,5s

Duktilnost pomeranja µd

Trajna deformacija27,7

2,87

2,87/2,5

b.

c.

Slika 3.8 Odgovor EP sistema na zemljotres El Centro

3-6

ag = 0,2g. Pored maksimalne potrebne duktilnosti pomeranja µd , prikazane su i vrednosti indeksa o{te}enja DM konstrukcije, koji }e biti komentarisan kasnije, u poglavlju 3.6.

Na slici 3.9.a prikazana je zavisnost pseudo ubrzanja A(ag ) konstrukcije u funkciji perioda oscilovanja i faktora redukcije R za zapis El Centro. Kroz sra~unate vrednosti za tri perioda oscilovanja provu~ena je regresiona kriva. Maksimalno ubrzanje pa i optere}enje konstrukcije opadaju sa porastom faktora redukcije R kao i sa porastom perioda T.

Na slici 3.9.b prikazana je zavisnost potrebne duktilnosti pomeranja µd u funkciji

faktora redukcije R i perioda oscilovanja T za zapis El Centro. U podru~ju perioda du`ih od t=0,5 sekundi, trend je da potrebna duktilnost ne zavisi od perioda oscilovanja, kao i da vrednost potrebne duktilnosti pomeranja te`i usvojenoj vrednosti faktora redukcije R.

Izneta zapa`anja va`e i za zapis Petrovac, Tabela 1, dok odgovor konstrukcije sa periodom T=0,5s na zapis Ulcinj pokazuje potpuno odstupanje.

3.4 NELINEARNI SPEKTRI ODGOVORA EP SISTEMA

U praksi je obi~no poznata obezbe|ena vrednost faktora duktilnosti pomeranja µd , a tra`i se dozvoljena vrednost faktora redukcije optere}enja R, inverzan problem.

Analogno prethodnoj analizi, ali uz malo vi{e truda, mogu da se formiraju inverzne krive R(µd ,T), crtkaste linije na slici 3.10.a. Sistematskom parametarskom analizom razli~i-tih EP sistema podvrgnutih razli~itim zapisima ubrzanja tla, mogu}e je ustanoviti pogodne aproksimacije ove zavisnosti, od kojih je jedna, mo`da i najpoznatija prikazana na slici 3.10.a, puna linija, za vrednosti faktora duktilnosti pomeranja konstrukcije µd =2,5, 5 i 10.

U podru~ju izrazito kratkih perioda oscilovanja, ispod vrednosti T1 , vrednost faktora redukcije iznosi R=1, za sve obezbe|ene duktilnosti pomeranja. To je tzv. oblast "jednakih ubrzanja konstrukcije i tla ", karakteristi~na za izrazito krute konstrukcije koje se moraju projektovati na prakti~no elasti~an odgovor konstrukcije.

2.08

3.89

5.42

3.03

9.31

16.30

8.88

1.76

2.40

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0.0 1.0 2.0 3.0

Period (s)

d

R=2,50

R=5,00

R=10,0

2.87

0.39

1.15

0.24

0.58

0.12 0.080.29

0.59

0.15

0.040.060.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0.0 1.0 2.0 3.0

Period (s)

A (

a g)

R=1,00

R=2,50

R=5,00

R=10,0

a. b.

Slika 3.9 Zapis El Centro: a) pseudo ubrzanje, b) potrebna duktilnost pomeranja

3-7

U podru~ju kra}ih i srednjih perioda T=T1 -T2 , dozvoljena vrednost faktora

redukcije R mo`e da se aproksimira izrazom

R=(µd -1) 1/2 (3.3)

U podru~ju du`ih perioda, T>T2 , za vrednost faktora redukcije mo`e da se usvoji da je jednaka vrednosti obezbe|enog faktora duktilnosti pomeranja

R = µ d

(3.4)

Ukoliko se vrednosti elasti~nog spektra ubrzanja (R=1) podele odgovaraju}im vrednostima faktora redukcije R(µd ,T), dobija se nelinearni spektar pseudo ubrzanja konstrukcije , primer za zapis El Centro na slici 3.10.b. Na slici 3.11 prikazana je uobi~ajena interpretacija navedenih veza. Iz sli~nosti trouglova dijagrama F-d, mo`e da se zaklju~i da identitet R=µd ustvari zna~i da je pomeranje EP sistema jednako pomeranju elasti~nog sistema sa istom po~etnom kruto{}u, fundamentalni zaklju~ak na kome }e se zasnivati propisi, slika 3.11.a.

Prema slici 3.11.b, relacija R=(µd -1) 1/2 mo`e da se interpretira kao uslov jednakih povr{ina ispod dijagrama F-d elasti~nog i EP sistema, otuda i naziv "uslov jednakih energija

deformacija".

3.5 KONCEPT NELINEARNOG PRORA^UNA SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE

Na osnovu rezultata dosada{njih analiza, mo`e da se uspostavi koncept prora~una odgovora konstrukcija na dejstva zemljotresa, koji se zasniva na poznatim nelinearnim spektrima odgovora konstrukcija na dejstva zemljotresa, prema algoritmu na slici 3.12.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3Period (s)

R

µd=2,5

µd=5

µd=10

T1 T20

1

2

3

0.0 1.0 2.0 3.0

Period (s)

A (

a g)

µd=1,0

µd=2,5

µd=5,0

µd=10

a.

b.

a.

Slika 3.10 a) Zavisnost faktora redukcije R od obezbe|ene duktilnosti pomeranja;

b) nelinearni spektar pseudo ubrzanja konstrukcije

Fe

Fy=Fe/R

dyd=de=µddy

R=µd

d

Fe

Fy=Fe/R

dyd=µddy

R=(µd -1)1/2

de

d

a.

b.

Slika 3.11 Interpretacija

faktora redukcije R

3-8

Sa poznatim podacima o geometriji, materijalu, optere}enju konstrukcije kao i maksimalnom o~ekivanom ubrzanju tla ag , projektant mo`e da sra~una period oscilovanja T1 . Na osnovu tipa konstrukcijskog sistema, nivoa aksijalnog optere}enja i predvi|enih detalja armiranja, usvaja se obezbe|ena duktilnost pomeranja µd , recimo µd =5. Na osnovu sra~unatog perioda i duktilnosti, sa referentnog nelinearnog spektra ubrzanja o~itava se vrednost ubrzanja konstrukcije A(ag ), pa je projektno optere}enje jednako proizvodu mase, ubrzanja tla i normalizovanog ubrzanja, Fd =(Fy )=mag A.

Sa projektnim optere}enjem vr{i se "stati~ki prora~un", odre|uju se naprezanja delova konstrukcije, dimenzioni{u preseci i proverava stvarno pomeranje konstrukcije pri zemljotresu, polaze}i od pomeranja na granici elasti~nosti. Kona~no, vr{i se konstruisanje detalja tako da se obezbedi pretpostavljena vrednost duktilnosti pomeranja konstrukcije.

U prethodnom poglavlju, nelinearni spektar ubrzanja konstrukcije konstruisan je razmatraju}i elasto-plasti~ni model odgovora konstrukcije. Izlo`eni algoritam se principijelno ne menja i ako se odgovor konstrukcije modelira na neki drugi na~in, koji bolje opisuje realni odgovor konstrukcija od armiranog betona, na primer. Osnov koncepta je da, za poznatu duktilnost pomeranja konkretne konstrukcije, nosivost nelinearnog sistema mo`e da se redukuje u odnosu na maksimalni odgovor elasti~nog sistema.

3.6 AKUMULACIJA O[TE]ENJA I EKVIVALENTNA DUKTILNOST POMERANJA

Rezultat dosada{njih razmatranja je da je definisan odgovor elasti~ne, kao i elasto-plasti~ne konstrukcije na zemljotres - pomeranje dm odnosno potrebna duktilnost pomera-nja µd , definisana kao odnos maksimalnog pomeranja dm nelinearnog sistema pri zemljo-

W

H

m=W/g

b,d,MB k T1=2π(m/k)1/2

Procena µd (= 5,0)

0

1

2

3

0.0 1.0 2.0 3.0

Period (s)

µd=1,0

µd=2,5

µd=5,0

µd=10

Projektno seizmi~kooptere}enje

Fd = (Fy) = m agA

ag

W

Stati~kiprora~un

Fd

M,Q,N,dDimenzionisanje

presekaKontrola pomeranja

Kon

stru

is. d

etal

jaO

bezb

e|en

je µ

d

T1

A (

a g)

Slika 3.12 Koncept prora~una konstrukcija na bazi nelinearnog spektra ubrzanja konstrukcije

3-9

tresu i pomeranja dy pri dostizanju nosivosti nelinearnog sistema. Me|utim, koliki treba da bude kapacitet pomeranja konstrukcije du pri monotonom stati~kom optere}enju, da bi nivo o{te}enja konstrukcije nakon zemljotresa bio u prihvatljivim, `eljenim granicama? - nije definisan kriterijum prihvatljivog odgovora nelinearne konstrukcije pri zemljotresu.

Kao najjednostavniji kriterijum mo`e da se usvoji odnos maksimalnog pomeranja dm pri zemljotresu i obezbe|enog kapaciteta pomeranja du konstrukcije pri monotonom stati~kom prinudnom pomeranju, slika 3.13. Tada indeks o{te}enja konstrukcije DM iznosi

DM=dm /du = µd /µu < 1 (3.5)

gde je µu=du /dy duktilnost pomeranja pri dostizanju loma, iscrpljenja nosivosti konstrukcije. Ako je pri zemljotresu indeks o{te}enja dostigao vrednost DM=1, konstrukcija je dovedena u stanje kolapsa. Projektant mo`e da uti~e na nivo za{tite konstrukcije od o{te}enja izborom odgovaraju}e ve}e vrednosti du .

Kriterijum (3.5) prihvatljiv je u slu~aju odgovora konstrukcija sa jednim izra`enim pomeranjem preko granice elasti~nosti dy , i sa zanemarljivom akumulacijom o{te}enja zbog ve}eg broja ciklusa post-elasti~nih deformacija.

Me|utim, u situacijama kada konstrukcija trpi ve}i broj zna~ajnijih ciklusa post-elasti~nih deformacija, akumulacija o{te}enja u toku du`eg trajanja jakog dela zemljotresa mo`e da "iscrpi" konstrukciju. U takvim slu~ajevima, kao mera o{te}enja konstrukcije ~esto se usvaja kombinovana vrednost indeksa o{te}enja u obliku

DMdd

EF d

m

u

h

y u= + β

Σ (3.6)

gde je ΣΕh integral potro{ene energije - histerezisne krive EP sistema, slika 3.13, ~ija vred-nost raste sa du`inom trajanja zemljotresa odno-sno sa brojem ciklusa, Fy je nosivost sistema, dok je prvi ~lan dm /du ve} definisan izrazom (3.5.). Vrednost faktora β utvr|uje se eksperimentalno, a za kvalitativnu analizu odgovora AB konstruk-

cija mo`e da se usvoji β=0,15 /6/. Kao i ranije, vrednost DM=1 defini{e potpuno iscrpljenje nosivosti konstrukcije. Primer 3.2....... Na slici 3.14 prikazan je tok promene vrednosti indeksa o{te}enja DM u toku

d

F

de

-du

Fe

-Fy

k

1

Eh

2 "Lom"

dydm

3

45

6du

Fy

Monotoni opit

Slika 3.13 Indeks o{te}enja DM

0

1

2

3

0 5 10 15 20 25 30

Vreme (s)

DM

T=1,5;R=10

T=0,5;R=10

T=1,5;R=5

T=3,0;R=5

T=3,0;R=2,5T=0,5;R=2,5

0

1

2

0 5 10 15 20 25 30

Vreme (s)

DM

T=1,5;R=10

T=1,5;R=5

a. b.

Slika 3.14 Zapis El Centro, indeks o{te}enja DM: a) du = de ; b) du > de

3-10

trajanja zemljotresa El Centro sa maksimalnim ubrzanjem tla ag=0,2g. Dijagram 3.14.a do-bijen je uz pretpostavku da je kapacitet pomeranja du pri monotonom optere}enju upravo jed-nak maksimalnom ostvarenom pomeranju de odgovaraju}e elasti~ne konstrukcije, du = de . U tom slu~aju je µu=R, slika 3.7. Po~etna vrednost indeksa, DM(t=0), pretstavlja ustvari izraz (3.5), da bi potom vrednost indeksa DM rasla u toku trajanja zemljotresa.

Predvi|eni kapacitet pomeranja je nedovoljan (DM>1), po pravilu u slu~ajevima ve}ih stepena redukcije optere}enja R, kada je zna~ajan udeo akumilacije o{te}enja, drugi ~lan izraza 3.6, slika 3.13. Za dati zapis zemljotresa, kapacitet deformacija konstrukcije du u ovom slu~aju treba korigovati.

Na slici 3.14.b prikazana je promena indeksa DM za korigovanu konstrukciju, kod koje je za kapacitet pomeranja du pri monotonom optere}enju usvojeno: du = 1,5de u slu~aju R=2,5, du = 1,8de u slu~aju R=5 i du = 2,4de u slu~aju R=10. Kao {to se vidi, vrednosti indeksa DM prakti~no su svedene u granice DM=1, osim za slu~aj konstrukcije sa periodom T=1,5 za koju je vrednost faktora redukcije optere}enja R=10 u ovom slu~aju prevelika.

Tok akumulacije o{te}enja u toku trajanja zemljotresa Petrovac i Ulcinj prikazan je

na slikama 3.15 odnosno 3.16. Za konstrukciju sa periodom T=0,5 sekundi "lociranu" u Ulcinju "nema spasa", ako bi se stvarno pona{ala prema primenjenim modelima.

0

1

2

0 5 10 15 20 25Vreme (s)

DM

T=1,5;R=10

T=3,0;R=10T=1,5;R=5

T=1,5;R=2,5

T=0,5;R=10

0

1

2

0 5 10 15 20 25Vreme (s)

DM

T=1,5;R=2,5

a. b.

Slika 3.15 Zapis Petrovac, indeks o{te}enja DM: a) du = de ; b) du > de

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 5 10 15 20 25Vreme (s)

DM

T=0,5;R=10

T=0,5;R=5,0

T=0,5;R=2,5

0

1

2

3

4

0 5 10 15 20 25Vreme (s)

DM

T=0,5;R=10

T=0,5;R=5,0

T=0,5;R=2,5

a. b.

Slika 3.16 Zapis Ulcinj, indeks o{te}enja DM: a) du = de ; b) du > de

3-11

Rezultati izvr{enih analiza ukazuju da je u znatnom broju slu~ajeva potrebno

obezbediti ne{to ve}i potreban kapacitet duktilnosti pomeranja µu pri monotonom optere}enju od zahtevane duktilnosti pomeranja µd pri zemljotresu - tzv. ekvivalentnu duktilnost, na~elno

µµ αµ

ud d

DM=

+( )1 (3.7)

gde se za vrednost faktora α mo`e kvalitativno usvojiti a=0,10. Za vrednost DM=1,0, relacija 3.7 prikazana je na slici 3.17, za dve vrednosti parametra α.

^emu vrednost DM u izrazu 3.7? Kvalitativno, smatra se da su u slu~aju kada je DM<0,5, o{te}enja konstrukcije posle zemljotresa popravljiva, da sa porastom vrednosti DM nivo o{te}enja raste, da bi pri vrednosti DM=1 nastupio kolaps konstrukcije /7/.

Projektant na~elno mo`e da bira nivo o{te}enja konstrukcije, pri ~emu se kriterijum o{te}enja mo`e formulisati i po drugim veli~inama: obrtanju preseka,

relativnom spratnom pomeranju, rotacijama preseka, izdu`enju armature, {irini prslina itd. Koncept je ilustrovan na primeru kriti~nog preseka, ali se mo`e generalizovati na element konstrukcije, sprat i konstrukciju u celini.

Razvoj propisa kre}e se u pravcu formulisanja koncepta projektovanja na bazi kontrole nekog od bitnih parametara koji opisuju pona{anje i o{te}enje objekata - "performance based design".

0

5

10

15

20

0 2 4 6 8 10

α=0

α=0,10

µ u=µ d

Zahtevana duktilnost µd

Pot

reba

n ka

paci

tet d

ukt. µ

u

5

DM=1

Slika 3.17 Potreban kapacitet

duktilnosti pomeranja

4-1

4. KAKO REALIZOVATI ELASTO-PLASTI^AN SISTEM U ARMIRANOM BETONU

UVOD

U prethodnim razmatranjima analiziran je odgovor konstrukcije sa elasto-

plasti~nom vezom sile i pomeranja vrha. U ovom poglavlju, analiza silazi na nivo popre~nog preseka i razmatraju se zahtevi koji se postavljaju u pogledu potrebnih krivina preseka odnosno veza napon - dilatacija na nivou materijala. U nastavku, razmatra se kapacitet nelinearnih deformacija uobi~ajenih betonskih preseka i konstrukcija, kao i konstrukcijske mere za pove}anje kapaciteta - utezanje betonskih preseka uzengijama. Na kraju je dat prikaz jednog ispitivanja kao i savremenih postupaka modeliranja AB konstrukcija.

4.1 KRIVINA PRESEKA - POMERANJE KONSTRUKCIJE

Ako su rezultati prethodnih analiza zadovoljavaju}i, postavlja se pitanje kako realizovati EP model pomeranje-sila u realnim konstrukcijama sa jednim stepenom slobode, konzola na slici 4.1.a.

Da bi se postigla elasto-plasti~na veza sila-pomeranje F-d, neophodan uslov je da je bar na delu visine konstrukcije mogu}e realizovati elasto-plasti~nu vezu moment-krivina preseka M-κ , slika 4.1.b.

Primer 4.1........

Odgovor elasti~ne konstrukcije na dejstvo sile F u vrhu konzole je moment Me=FH u uklje{tenju, pomeranje vrha dm i krivina preseka u uklje{tenju κe slika 4.1.a-b. Za zahtevanu vrednost duktilnosti pomeranja µd i uz pretpostavku da je faktor redukcije optere}enja R=µd , potrebno je konstruisati konstrukciju za koju }e moment u uklje{tenju imati vrednost My=Me

/R. Krutost konstrukcije na pomeranje odrediti prema krutosti preseka na savijanje EI . Sa poznatom vredno{}u momenta u uklje{tenju - nosivosti preseka My=Me /R

odre|ena je i krivina na granici elasti~nosti κy=My /EI , slika 4.1.b. Prema Morovoj analogiji, pomeranje dy vrha konzole na granici elasti~nosti iznosi

d HH H

y yy= =0 5

23 3

2

, κκ

(4.1)

W

Krivina

Pomeranje

κm=µκκy

κy

H

Hp

µk

dm=µddydy

κe

EP

E

µd

b.

F

Me

My=Me/RR

EP

E

a.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 0.05 0.1 0.15 0.2Du`ina plast. zgloba - Hp/H

Potr

ebna

duk

t.kri

vine

- µk

µd=2,5

µd=5,0

µd=10

c.

Slika 4.1 Obezbe|enje elasto-plasti~ne veze sila-pomeranje

4-2

Ostatak pomeranja vrha do zahtevanog iznosa dm realizova}e se konstruisanjem plasti~nog zgloba u oblasti uklje{tenja. Sve elasto-plasti~ne deformacije konstrukcije bi}e koncentrisane na du`ini plasti~nog zgloba Hp , sa nepoznatom maksimalnom vredno{}u krivine preseka κm = µk κy , slika 4.1.b. Za ostali deo konstrukcije pretpostavlja se da ostaje u oblasti elasti~nog odgovora materijala. Za du`inu Hp plasti~nog zgloba okvirno mo`e da se usvoji polovina dimenzije d preseka elementa u ravni savijanja.

Pomeranje δ vrha konzole usled pove}anih krivina preseka preko granice elasti~nosti na du`ini plasti~nog zgloba Hp iznosi

δ κ κ κ µ= − − = − −( ) ( ) ( ) ( , )m y pp

y k pp

H HH

HHH2

1 0 52 (4.2)

Da bi se obezbedilo zahtevano pomeranje vrha konzole dm , treba da je zadovoljen uslov

δ = dm - dy = dy(µd -1) (4.3)

Uvr{}enjem (4.1) i (4.2) u (4.3) dobija se veza potrebne duktilnosti krivine µk na du`ini plasti~nog zgloba Hp i zahtevane duktilnosti pomeranja vrha konzole µd

µκκ

µk

m

y

d

p pHH

HH

= = +−

−1

1

3 1 0 5( , ) (4.4)

Na slici 4.1.c prikazana je zavisnost potrebne duktilnosti krivine µk u funkciji du`ine plasti~nog zgloba Hp i zahtevane duktilnosti pomeranja µd . Veza va`i za bilo koji materijal, ~elik, beton, druga je stvar da li se potrebne duktilnosti krivina mogu, i pod kojim uslovima realizovati. Pri zahtevanoj duktilnosti pomeranja µd = 5 i du`ini plasti~nog zgloba Hp /H = 0,10, potrebna duktilnost krivine iznosi µk=15, {to uop{te nije malo, u slu~aju AB konstrukcija.

Primer 4.2.........

Na slici 4.2 prikazan je okvir sa beskona~no krutom riglom - "smi~u}i okvir". Pri pomeranju vrha od dm , na slici 4.2.b prikazana je raspodela krivina, koja se mo`e interpretirati kao dve ekvivalentne konzole visine H. U ovom slu~aju, relacija (4.4) glasi

µκκ

µk

m

y

d

p pHH

HH

= = +−

−1

0 5 1

3 1 0 5

,

( , ) (4.5)

Pri zahtevanoj duktilnosti pomeranja µd =5, i du`ini plas-ti~nog zgloba Hp /2H = 0,10, potrebna duktilnost krivine izno-si µk=3,8 {to je u slu~aju AB konstrukcija lako ostvarljivo.

Da bi se ostvarila potrebna duktilnost pomeranja konstrukcije, i konstrukcijski sistem igra zna~ajnu ulogu.

dm

HH

Hp

κy

κmEkvivalentna

konzola

a. b.dm/2

dm/2

Slika 4.2 EP smi~u}i okvir

4-3

4.2 NELINEARNI ODGOVOR AB KONSTRUKCIJA

U armirano betonskim konstrukcijama, krivina preseka κ posti`e se dilatacijama skra}enja usled pritiska u betonu - εc i izdu`enja ~elika εs , slika 4.3.a

κ = (εc + εs )/h (4.5)

Da bi se u zoni plasti~nog zgloba uop{te realizovale nelinearne deformacije betona i armature, armatura mora da bude pouzdano usidrena u temelj, uz efikasno fundiranje koje }e da obezbedi da se pomeranje vrha konzole realizuje krivinama preseka, a ne rotacijom ili "skakutanjem" temelja.

Primer 4.3.........

Pri dimenzionisanju nosivosti preseka za uticaje uobi~ajenih optere}enja, dilatacije su propisima ograni~ene na εc <0,0035 u betonu odnosno εs< 0,010 u ~eliku, ~ime je ograni~ena i maksimalna vrednost krivine preseka za uobi~ajene slu~ajeva optere}enja. Me|utim, ni taj iznos krivine preseka ~esto nije mogu}e dosti}i, jer iznos aksijalnog optere}enja preseka bitno uti~e na sposobnost post-elasti~nih deformacija preseka, primer stuba kvadratnog popre~nog preseka, MB30, slika 4.3.b.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 0.01 0.02 0.03 0.04Krivina (1/m)

Mom

ent (

kNm

)

n=0,20max εs = 4%

µ=1%

µ=2%

µ=4%

0

50

100

150

200

250

300

0 0.01 0.02 0.03 0.04Krivina (1/m)

Mom

ent (

kNm

)

MB50

MB40

MB30

N=656 kNµ=1%

max εs=4%

m

n=Nu/bdβb

µ

MB50MB30

0

50

100

150

200

250

300

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08Krivina (1/m)

Mom

ent (

kNm

)

max εs = 1% max εs = 4%

n=0

n=0,10

n=0,20

n=0,50

n=0,80

b=40

40

κy

κu κu

µ=1%

κu/κy=4-5

Detalj

d

F

H

Pouzdano sidrenjearmature i fundiranje !

ε s

ε c Hp

h

κ

φ a. b.

c. d.

Slika 4.3 Nelinearni odgovor AB stuba

4-4

Za kvadratni presek stuba prikazani su dijagrami M-n-κ (n=N/b 2βΒ) sa dilatacijama ~elika ograni~enim na 0,010 odnosno 0,040, "mimo propisa". Sa porastom aksijalnog optere}enja, opada grani~na vrednost krivine preseka pri lomu. Dopu{tanje ve}ih dilatacija ~elika pove}ava grani~nu vrednost krivine preseka, ali samo pri ni`im nivoima aksijalnog optere}enja, u slu~ajevima "loma po armaturi". Duktilnost krivine pri ~istom savijanju iznosi 4 - 5 (εs< 0,010) odnosno 8 - 10 (εs< 0,040), {to ne obe}ava, slika 4.1.c.

Poku{aj da se pri nivou aksijalnog optere}enja n = 0,20 duktilnost krivine preseka pove}a pove}anjem procenta armiranja µ , slika 4.3.c ili marke betona, slika 4.3.d ne}e dati zadovoljavaju}e rezultate.

Postavlja se pitanje mo`e li se onda uop{te ne{to posti}i u armiranom betonu, mogu li se u slu~aju zemljotresa obezbediti pove}ane dilatacije armature i betona, makar i uz smanjenu nosivost preseka?

Na slici 4.4 uobi~ajeni "radni dijagrami" betona i ~elika prikazani su linijom 1, dok linije 2 prikazuju "po`eljne" dijagrame, odgovor materijala u slu~aju zemljotresa. Na dijagramu σ−ε ~elika, linija 3 je u slu~aju zemljotresa nepo`eljna, ~elik treba da poseduje osobinu oja~anja - linija 2, kako bi se obezbedila ve}a du`ina plasti~nog zgloba, postepenim propagiranjem dilatacija te~enja armature du` elementa.

Na slici 4.5 prikazani su rezultati jednoaksijalnih opita betona i ~elika. Dok se u

slu~aju rebrastih ~elika mogu dopustiti pove}ane dilatacije ~ak i do 10%, slika 4.5.b, dotle su dilatacije pritiska betonskih cilindara sa ~vrsto}om fc' u granicama definisanim propisma.

"Lom"

0,2 0,35

βb

ε (%)

σ

"Lom"

"g+p"

Zemljotres

1,5?

12

βbu

"Lom"

1,0

fy

ε (%)

σ

"Lom"

"g+p"

Zemljotres

6,0?

1

2

3

ft

a. b.

Slika 4.4 Radni dijagrami a) betona i b) ~elika

Dilatacija (%)

Nap

on (

MP

a)

0

10

20

30

40

50

60

70

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005Dilatacija

Nap

on (

MPa

)

fc'=60

fc'=50

fc'=40

fc'=30

fc'=20 a. b.

0,0035

Slika 4.5 Rezultati jednoaksijalnih opita: a) betona i b) ~elika /8/

4-5

Pove}anje duktilnosti krivine dopu{tanjem pove}anih dilatacija ~elika nije dovoljno, potrebno je da se nekako pove}a i kapacitet deformacija betona.

Opiti na slici 4.5.a su naravno izvedeni na nearmiranim betonskim prizmama. Na rezultatima ovih opita jednoaksijalne ~vrsto}e zasnivaju se uobi~ajeni algoritmi prora~una preseka na savijanje sa normalnom silom, u kom slu~aju se jednoaksijalno stanje napona prostire na delu ukupne povr{ine popre~nog preseka. U realnim konstrukcijama, "jednoaksijalna ~vrsto}a preseka elementa" je ve}a, jer se bo~nom {irenju betona pri pove}anim dilatacijama pritiska, sa pojavom podu`nih prslina u pravcu optere}enja suprotstavljaju uzengije preseka - preseci su "popre~no utegnuti", slika 4.6.b-c.

Bo~nom {irenju betona opire se ustvari "omota~" od podu`ne armature i uzengija.

Efikasnost utezanja zavisi od koli~ine i podu`nog razmaka uzengija, granice razvla~enja ~elika ali i od razmaka podu`nih {ipki koje su "bo~no pridr`ane - poduprte" uzengijama, slika 4.6.c. Ovaj omota~ defini{e utegnuto jezgro preseka dimenzija b0 prema slici 4.6.b. Primer 4.4.......

Za opisivanje efekata utezanja betona na pove}anje jednoaksijalne nosivosti i deformabilnosti postoje razli~iti predlozi, jedan od njih ilustrovan je na slici 4.6.a /2/. Kriva B1 predstavlja paraboli~nu aproksi-maciju rezultata opita sa slike 4.5.a za fc'=25 MPa, a linija B2 se odnosi na isti beton, ali utegnut uzengijama Rφ10/10 prema slici 4.6.b. Pove}anje nosivosti je zna~ajno, i {to je va`nije, kapacitet dilatacija - deformabilnosti je pove}an.

Za dalje ra~unske analize, pret-postavljen je ne{to ni`i efekat utezanja - beton B3 , sa pove}anom ~vrsto}om od fc'=35 MPa koja se dosti`e pri dilataciji betona od 0,004, slika 4.6.a.

Na slici 4.7 prikazani su rezultati prora~una moment - krivina preseka prema

bw

l w

B3

B1-B3?

B1

0.0

10.1

25.0

39.7

19.9

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 0.005 0.01 0.015

Dilatacija

Nap

on (

MP

a)

B1

B2

B3

0,0022

0,004

F=fuσv

34

b0=34

B3

B1

a.

c.

b.

d.

40

Slika 4.6 Utezanje AB preseka uzengijama

0

50

100

150

200

250

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

Krivina (1/m)

Mom

ent (

kNm

)

Neutegnut presek - (B1)

Utegnut ceo presek - (B3)

Utegnuto jezgro preseka - jezgro (B3) - za{titni sloj (B1)

1

2

3

Slika 4.7 Efekat utezanja betona

4-6

slici 4.6.b, za iznos normalne sile od N=0,2fc'b 2=0,2x2,5x40 2=800kN. Kriva 1 predstavlja odgovor neutegnutog preseka, model betona B1 sa slike 4.6.a. Linija 2 predstavlja odgovor preseka uz pretpostavku da je ceo popre~ni presek utegnut, model betona B3 . Pri pove}anim dilatacijama pritiska nastupa odvajanje, "oljuskavanje" za{titnog sloja preseka, i svo|enje nosivog preseka na presek utegnutog jezgra. Linija 3 prikazuje odgovor preseka kod koga je za jezgro usvojen model utegnutog betona B3 , a za za{titni sloj model neutegnutog betona B1 , slika 4.6.b.

U oba slu~aja, utezanje preseka znatno pove}ava grani~ne dilatacije pri dostizanju loma preseka, samim tim i maksimalne krivine odnosno kapacitet deformacija.

Isti princip va`i za bilo koju pritisnutu zonu slo`enih preseka, kao {to je zid T - preseka na slici 4.6.d, kod koga je potrebno pove}ati duktilnost krivine preseka utezanjem {rafiranih "skrivenih stubova". U zoni spoja rebra i flan{e zida uvek se postavljaju uzengije, ali eventualno ra~unski potrebno utezanje nije uvek potrebno.

Svi prora~uni moment - krivina ura|eni su programom RESPONSE, koji se na disketi distribuira uz ud`benik /9/.

4.3 PO^ETNA KRUTOST AB PRESEKA I KONSTRUKCIJA

Pri dosada{njim analizama teorijskih elasto-plasti~nih modela odgovora konstrukcija na dejstvo zemljotresa, formiranju nelinearnih spektara odgovora na primer, pretpostavljeno je da je inicijalna, po~etna krutost k elasti~ne i EP konstrukcije identi~na. Postavlja se pitanje kako odrediti prora~unsku krutost preseka i konstrukcije sa kojom se potom formira dinami~ki model konstrukcije?

Primer 4.5.......

Na slici 4.8.a prikazan je popre~ni presek slo`enog AB zida. Uz pretpostavku da je centri~ni napon pritiska usled gravitacionog optere}enja σ0=1,5 MPa (N0=Acσ0 = 2580 kN, Ac - povr{ina bruto preseka betona), i da je zid armiran minimalnom koli~inom armatute prema YU seizmi~kim propisima /10/, izvr{iti analizu prora~unskih krutosti preseka konstrukcije.

Ako se za krutost preseka na savijanje EI usvoji krutost EI0 bruto I-preseka slo`enog zi-da prema slici 4.8.a, veza moment - kri-vina prikazana je li-nijom 1 na slici 4.8.c.

Veza mome-nt-krivina odre|ena modeliranjem armi-ranog preseka pre-ma postupku iz

prethodnog primera, prikazana je na slici 4.8.b, pri ~emu je modelirano i oja~anje ~elika. Maksimalna krivina preseka zida iznosi skoro 3%. Detalj dijagrama, do vrednosti krivina od 0,2% prikazan je na slici 4.8.c. Elasto-plasti~na aproksimacija dijagrama moment-krivina prikazana je linijom 2 na slici 4.8.c, koja prolazi kroz karakteristi~nu ta~ku ra~unskog dijagrama za koju se naj~e{}e usvaja nivo od 75% momenta nosivosti My=8000 kNm. Sa

Krivina

Mom

ent

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002Krivina (1/m)

Mom

ent (

kNm

)

b.

c.

0,75My = 6000 kNm

0,0005

EIef=6000/0,0005 =1,2 107 kNm2

My=8000 kNm

12

0,03

10000Detalj

300

300 20

20

MB30Ec=250GPa

a.

EI0=5,5EIef

A (

a g)

F

Slika 4.8 Slo`eni zid, prora~unska krutost preseka

4-7

odgovaraju}om krivinom od 0,0005 1/m, efektivna krutost preseka iznosi EIeff = 1,2 10 7 kNm 2, {to je 5,5 puta manje od krutosti EI0 bruto I - preseka zida. Primer 4.6.......

U praksi ~est slu~aj usvajanja karakteristika samo rebra za prora~un krutosti preseka slo`enih zidova, zasniva se upravo na ~injenici da }e nakon dostizanja ~vrsto}e betona na zatezanje, beton zategnute flan{e i dela rebra zida biti isklju~en iz nosivosti i krutosti preseka, osim armature u ovom zonama.

Me|utim, onda bi trebalo biti dosledan, pa i za krutost jednostavnog zida koji nema flan{e tako|e usvojiti prora~unsku vrednost efektivne krutosti EIef , manju od krutosti bruto preseka EI0 , {to u praksi naj~e{}e nije slu~aj.

Na slici 4.9 prikazani su dijagrami moment-krivina pravougaonog zida, rebra zida na slici 4.8.a, sa istim normalnim naponom od gravitacionog optere}enja i istim minimalnim procentom armiranja. Efektivna krutost preseka iznosi EIef = 2,8 10 6 kNm 2 , linija 2, {to je ~ak 4,1 puta manje od krutosti bruto pravougaonog preseka EI0 , linija 1 na slici 4.9.

Usvajanje sni`ene krutosti zida I -preseka i pune krutosti zida pravougaonog preseka za posledicu ima poreme}aj relativnih krutosti elemenata konstrukcije, {to ima uticaja na prora~unske uticaje

slo`enih sistema, poglavlje 6.11.

4.4 REALNO PONA[ANJE ARMIRANO BETONSKIH KONSTRUKCIJA PRI CIKLI^NIM DEFORMACIJAMA

Elasto-plasti~ni model jeste jednostavan za obja{njenje problema, dovoljno ta~no opisuje pona{anje betonskih preseka pri monotonim optere}enjima u istom smeru, ukoliko je lom po ~eliku, koji i daje karakter krive. Me|utim, pri cikli~nim deformacijama usled zemljotresa, fenomeni su slo`eniji i modeliraju se drugim, slo`enijim vezama moment - krivina ili sila - pomeranje.

Zbog poznatog Bau{ingerovog efekta, ni sam ~elik ne pokazuje idealan elasto-plasti~an odgovor na cikli~ne deformacije, dolazi do zaobljenja krive odgovora, sa povr{inom histerezisne krive manjom od elasto-plasti~nog odgovora, slika 4.10.

Pri formulisanju racionalnih modela pona{anja AB konstrukcija pri zemljotresu, nezamenljivu ulogu imaju laboratorijski eksperimenti kao i osmatranja pona{anja realnih konstrukcija pri zemljotresu. Kao primer, na slici 4.11 prikazana je dispozicija opita na modelima AB trospratnih zidova izvedenih na ETH - Cirih /8/.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002Krivina (1/m)

Mom

ent (

kNm

)

0,75My = 1800kNm

0,00065

EIef=1800/0,00065 =2,8 106 kNm2

My=2400 kNm

12

EI0=4,1EIef

Slika 4.9 Krutost pravougaonog preseka zida

σ

ε

1 2

3

4

5

6

7

Slika 4.10 Cikli~ne deformacije ~elika

4-8

Model zida trospratne zgrade u razmeri 1:3, sa tri mase od po 120 kN, testiran je zadavanjem ubrzanja vibracionoj platformi pomo}u prese - aktuatora, prema sintetizovanom akcelerogramu. Efekat gravitacionog optere}enja simuliran je vertikalnim prethodnim naprezanjem.

Na slici 4.12 prikazani su rezultati opita cikli~nog monotonog optere}enja dva zida, razli~ito armirana. Zid na slici 4.12.b poka-zuje dobar - po`eljan odgovor za AB konstrukcije. Elasto- plasti~ni

dijagram monotonog opita je anvelopa cikli~nih deformacija, ali histerezis znatno odstupa od elasto-plasti~nog modela (EP), su`en je i pokazuje tendenciju pada krutosti u toku ciklusa. Povr{ina histerezisa je manja nego u slu~aju teorijskog elasto-plasti~nog modela, samim tim i koli~ina potro{ene energije.

Zid na slici 4.12.a pokazuje nepo`eljnu, ali sasvim mogu}u situaciju u praksi. Osim pada krutosti preseka, prisutan je i pad nosivosti sa pove}anjem broja ciklusa, i definitivni lom pri relativno malom broju ciklusa.

4.5 MODELIRANJE AB KONSTRUKCIJA

Sve do pojave rezultata opita na modelu realne AB konstrukcije iz prethodnog poglavlja, teorija zasnovana na elasto-plasti~nom modelu odgovora konstrukcije je "lepo napredovala". Budu}i da se konstrukcije od betona stvarno izvode, i to uglavnom prema Propisima, zna~i da re{enje ipak postoji. Pre napu{tanja razmatranja efekata zemljotresa na primeru najjednostavnije konstrukcije, konzole sa jednom masom, potrebno je bar nagovestiti kako }e to "beton"

"Mase"3x120 kN

"N-sila"Kablovi

"AB zid"R=1:3

Vibracionaplatforma

Aktuator

Slika 4.11 Dispozicija opita /8/

Horizontalno pomeranje vrha (mm)

Sila

akt

uato

ra (

kN)

Mom

ent

u uk

lje{t

enj u

(kN

m)

S ila

akt

uato

ra (

kN)

Mom

ent

u uk

lje{t

enj u

(kN

m)

Horizontalno pomeranje vrha (mm)

Monotoni opit Monotoni opit

Pad nosivosti

Pad krutosti

a. b.

EP

Beton

Slika 4.12 Histerezisne krive /8/

Fy

Fy

d

k0

dydy

kn

kr

1 2

3

4

56

78

910

Slika 4.13 Model F-d sa uticajem akumulacije o{te}enja na krutost

4-9

sa slike 4.12.b da se uklopi u op{ti algoritam iz poglavlja 3.5. Ako elasto-plasti~ni model F(sila, moment)- d(pomeranje, krivina preseka) ne opisuje

korektno odgovor realnih AB konstrukcija, onda treba "smeniti" model. Na slici 4.13 kvalitativno je prikazan ra~unski model odgovora kakvi se danas koriste u nelinearnoj analizi AB konstrukcija izlo`enih dejstvu zemljotresa. Inicijalna krutost k0 kao i nosivost Fy (pri ~emu plato ne mora da bude horizontalan) odre|eni monotonim opitom formiraju kostur krive. Zavisno od trenutnog iznosa deformacije d, ali i od istorije deformacija, krutost sistema se menja u toku cikli~nih deformacija pri zemljotresu. Pravila po kojima se odre|uju krutosti kn , kr itd. pojedinih grana, histerezisna pravila, utvr|uju se usagla{avanjem sa eksperimentalno utvr|enim rezultatima, prema slici 4.12 na primer.

Osim {to je formulacija matemati~ki komplikovanija, princip analize je isti kao i u slu~aju EP modela. Ako su u konstrukciji definisane zone plasti~nih zglobova, odgovor tih zona mo`e da se opi{e prethodnim modelom, dok se za ostale delove konstrukcije mo`e usvojiti da se pona{aju elasti~no - koncept "koncentrisanog nelinearnog odgovora" u ~vorovima {tapova modela konstrukcije.

Danas je popularan koncept "makroskopskog modeliranja", gde se deo zida visine h, na primer, modelira vi{eslojnim sistemom nelinearnih opruga, od kojih svaka, k1 -kn mo`e da ima svoje histerezisno pravilo, tako da ukupni efekat bude usagla{en sa rezultatima eksperimenata, slika 4.14.

Za razliku od prethodnih, "makroskopskih modela",

koji su trenutno jedino racio-nalno re{enje za modeliranje konstrukcija objekata u celini, metod kona~nih elemenata se uglavnom koristi za nelinearnu seizmi~ku analizu delova ili detalja AB kon-strucija - "mikroskopsko mo-deliranje".

Na slici 4.15 prikazan je model sedmospratnog armiranobetonskog slo`enog zida, kod koga su prva dva sprata, beton i sva armatura modelirani nelinearno, a za ostatak konstrukcije je usvo-jen idealno elasti~an model /11/. Ukupna masa konstruk-cije koncentrisana je u visini petoga sprata, nivou "rezul-tante" seizmi~kog optere}e-nja. Napon u betonu usled

k1 k2

k3

Konzola

h

Slika 4.14 Vi{eslojni model

nelinearnih opruga

10

15

20

25

30

35

40

1 2 3 4

fcm=38

fc=30

fctm=2.9-1

C30/37

2.2Ecm=31935

f (MPa)

ε (0/00)

c.)

14x200=2800

13x2

00=

2600

3000

2800

F1 R1

F2 R2

e=200

b.)

Strana 1

Strana 2

1

2

3

4

5

6

7

Nee

last

i~no

Ela

sti~

no

7x30

00=

2100

0

+Pomeranje

W/2

W/2

a.)

Strana 1 Strana 2

F1

R1

Slika 4.15 "Mikroskopsko modeliranje": a) model zida, b)presek i raspored armature, c) jednoaksijalni model betona

4-10

gravitacionog opetere}enja u ovom slu~aju iznosi 2,0MPa, dok ujedna~eni procenat

armiranja vertikalnom armaturom iznosi 1,2%. Nelinearna stati~ka i dinami~ka analiza ura|ene su programom DIANA-TNO /5/.

Pomeranjem oslonca u nivou masa, prema shemi ciklusa na slici 4.16, prvo je definisan stati~ki odgovor konstrukcije, sila-pomeranje u nivou masa, pri monotonom cikli~nom optere}enju, slika 4.16. Prora~un je zavr{en pri maksimalnom pomeranju od 250mm i duktilnosti pomeranja qd =4,2, znatno iznad prognoziranog pomeranja od 150mm, prema elasto-plasti~nom modelu prethodno analiziranom, slika 4.18.

Pre dinami~ke analize utvr|en je period oscilovanja sistema sa jednom masom. Sa bruto kruto{}u celog I-preseka zida, period iznosi T=0,6s, dok se sa efektivnom kruto{}u period produ`ava na T=1,2s. Seizmi~ka analiza ura|ena je za sekvencu od prvih osam sekundi zapisa El Centro, normalizovanom na maksimalno ubrzanje tla ag=0,40g. U slu~aju

elasti~ne konstrukcije, u toku ove karakteristi~ne sekvence trajanja pojavljuju se ekstremi svih veli~ina - pomeranja i ubrzanja. Odgovor sistema prikazan je na slici 4.17, dok je tok pomeranja za tri razli~ita koncepta modeliranja prikazan na slici 4.18.

Na kraju ovog informativnog pregle-da, poenta: eksperimenti, osmatranje objekata posle zemljotresa, sofisticirani ra~unski modeli uz silan trud entuzijasta, treba projektantima u praksi da defini{u vezu dozvoljenog faktora redukcije optere}enja i obezbe|ene duktilnosti pomeranja - nelinearni spektar ubrzanja za AB konstrukcije prema "jednostavnom" algoritmu na slici 3.15.

a2.)-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

Pomeranje (mm)

Sila

(kN

)

ZID Z3-2El Centro-0,4g

F=1500

d=-75.3

BAB87

Slika 4.17 Odgovor sila-pomeranje pri zapisu

El Centro du`ine 8 sekundi

250

-250

d (mm)

0

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

-250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250

Pomeranje (mm)Si

la (

kN)

DIANA

BAB87

ZID Z3-2

qd=1 qd=4.2

a.)

Numeri~kagre{ka

1

2 3 4

Slika 4.16 Odgovor sila-pomeranje pri

monotonom cikli~nom opitu

- 160

- 140

- 120

- 100

- 80

- 60

- 40

- 20

0

20

40

60

80

100

120

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Vreme (s) Pom

eran

je (

mm

)

DIANAElasti~no T=0,6sElasto-plasti~no

ZID Z3-2El Centro-0,4g

Slika 4.18 Pomeranje u toku zemljotresa

5-1

5. SISTEMI SA VI[E STEPENI SLOBODE UVOD

Sva dosada{nja razmatranja odnosila su se na sistem sa jednim stepenom slobode. Sistemi sa vi{e masa - stepeni slobode su naravno naj~e{}i u praksi. Elasti~ni odgovor ovakvih sistema obi~no se analizira primenom multi-modalne analize, koja se zasniva na principu superpozicije uticaja. Me|utim, u nelinearnim problemima princip superpozicije ne va`i. U narednom poglavlju, prethodno razvijena re{enja za sistem sa jednim stepenom slobode se generalizuju i na slo`enije sisteme, pod odre|enim uslovima. U nastavku, analiziraju se elasto-plasti~ni modeli slo`enih konstrukcija - plasti~ni mehanizmi, kao i koncept obezbe|enja pouzdanog mehanizma pri zemljotresu - koncept programiranog pona{anja. Informativno, prikazani su i koncepti pojednostavljenih metoda nelinearne stati~ke analize.

5.1 REKAPITULACIJA OSNOVNIH POJMOVA IZ DINAMIKE KONSTRUKCIJA

U realnim konstrukcijama mase su raspodeljene u prostoru, formalno se mo`e govoriti o beskona~nom broju stepeni slobode.

Nakon {to je realna masa konstrukcije koncentrisana u ~vorovima, dvoeta`ni okvir u ravni na slici 5.1.a predstavlja model sa 12 stepeni slobode. Ako se elimini{u nebitni stepeni slobode - vertikalne oscilacije masa kao i njihova rotacija, dobija se sistem sa ~etri stepena slobode - horizontalne translacije, slika 5.1.b.

Ukoliko su grede okvira i tavanica kruti u svojoj ravni, tada su pomeranja masa iste

eta`e jednaka, pa se broj stepeni slobode svodi na dva nezavisna spratna pomeranja, slika 5.1.c-d. Broj stepeni slobode jednak je broju eta`a konstrukcije.

U slu~aju prostornih konstrukcija zgrada, ukoliko su tavanice dovoljno krute u svojoj ravni, pomeranja svih elemenata vezanih sa tavanicom mogu da se izraze preko tri komponenete pomeranja, dve translacije i rotacija neke karakteristi~ne ta~ke u ravni tavanice, obi~no centra mase CM, slika 5.2. Ukoliko objekat ima n - eta`a, i ukoliko se masa objekta koncentri{e samo u nivou tavanica, ukupan broj stepeni slobode prostorne konstrukcije iznosi samo N=3n.

ag

n=12 n=4 n=2 k1

k2

m1

m2

d1

d2

a. b. c. d.

Slika 5.1 Redukcija broja stepeni slobode

A

CMA'

CM'

dXM

d YM

φΜ

R

Slika 5.2 Pomeranja krute

tavanice

5-2

Da broj stepeni slobode mo`e da zavisi i od pravca dejstva pobu|iva~a, ilustrovano je na slici 5.3. Ukoliko ubrzanje tla deluje u ravni simetrije, kretanje sistema mo`e da se opi{e jednim pomeranjem dx , slika 5.3.a. Ukoliko je smer pobude u pravcu y - ose sistema, za opisivanje kretanja potrebna su dve veli~ine, translacija dy i rotacija mase φ. U op{tem slu~aju, slika 5.3.c, za opisivanje kretanja jedne mase potrebne su tri komponenete pomeranja - stepena slobode.

Elasti~ni sistemi sa vi{e stepeni slobode u praksi se naj~e{}e re{avaju primenom

multi-modalne analize, sa uzimanjem u obzir uticaja vi{e relevantnih tonova oscilacija. Ukupni rezultati dobijaju se kombinovanjem rezultata uticaja pojedinih tonova, primenom SRSS metode ("kvadratni koren sume kvadrata") na primer.

5.2 UPRO[]ENA MODALNA SPEKTRALNA ANALIZA

U slu~aju konstrukcija ~ija je dispozicija regularna kako u osnovi tako i po visini, ve}ina propisa pojednostavljuje problem dozvoljavanjem primene upro{}ene modalne analize. Osnovna pretpostvaka je da ukupna masa sistema osciluje samo u prvom, osnovnom tonu, ~iji period i oblik oscilovanja dovoljno ta~no opisuju kretanje sistema, slika 5.4.a.

Realni sistem sa vi{e masa, te`ina spratova Wi koji osciluje u prvom tonu, slika 5.4.a,

mo`e da se zameni ekvivalentnim sistemom sa jednim stepenom slobode, ~ija je masa m jednaka ukupnoj masi realnog sistema, i koji ima isti period oscilovanja T1 , slika 5.4.b.

x

y

dx

ag

m

n = 1(dx)

x

y

dy

a g

m

n = 2(dy, φ)

φx

y

dy

ag

m

n = 3(dx,dy,φ)

φ

dx

a. b. c.

Slika 5.3 Uticaj pravca pobude na broj stepeni slobode

W1

W2

F1

F2

a.

ag

d1

d2

H1

H2 =

H

W=W1+W2

Fb

b.

ag

dekv

Hek

v

0

1

2

3

0.0 1.0 2.0 3.0

Period (s)

µd=1,0

µd=2,5

µd=5,0

µd=10

T1

c.A (

a g)

Slika 5.4 Upro{}ena modalna analiza

5-3

Kako su periodi i masa jednaki, oba sistema imaju jednako prora~unsko pseudo ubrzanje A(ag ) . Ukupna seizmi~ka sila Fb tako|e je identi~na

Fb = m ag A(ag ) = W ag A / g (5.1)

Ubrzanja Ai pojedinih masa realnog sistema se razlikuju, najve}a pseudo ubrzanja ima masa na vrhu, sa najve}im pomeranjem d

Ai = ω 2di (5.2)

Da bi pri istoj krutosti EI na savijanje, a sa masom jednakom ukupnoj masi objekta m, ekvivalentni sistem imao isti period oscilovanja T1 , visina Hekv ekvivalentnog sistema mora da je manja od ukupne visine realne konstrukcije H, i okvirno se kre}e u granicama Hekv ≈ 0,7H. Zbog toga pomeranje dekv ekvivalentnog sistema nije jednako pomeranju vrha realne konstrukcije, koje je pribli`no 50% ve}e. O ovome treba voditi ra~una kod upotrebe spektra pomeranja, slika 2.7.b.

Period oscilovanja u prvom tonu mo`e da se pribli`no odredi preko pojednostavljene Rejlijeve relacije /13/

T1 = 2√(dW) (5.3)

gde je dW pomeranje, u metrima, vrha konstrukcije usled optere}enja horizontalnim silama jednakim te`inama spratova Wi , slika 5.5.a-b.

Raspodela ukupne seizmi~ke sile Fb po pojedinim masama - eta`ama mo`e da se

izvr{i prema pomeranjima di pojedinih spratova, slika 5.5.c.

F FW dW di b

i i

j jj

=∑

(5.4)

Me|utim, u fazi prora~una seizmi~kog optere}enja, pomeranja spratova jo{ uvek nisu odre|ena. Dovoljno je ta~no ako se usvoji oblik pomeranja koji fizi~ki ima smisla - korektni konturni uslovi, ili poznati dijagram pomeranja od nekog drugog optere}enja, recimo od te`ina spratova prema slici 5.5.b.

Imaju}i u vidu ukupnu ta~nost postupka, dozvoljava se i pretpostavka da se pomeranja menjaju linearno sa visinom, slika 5.5.d, u kom slu~aju sile spratova iznose

F FW zW zi b

i i

j jj

=∑

(5.5)

W1

W2

F1

F2

c.

d1

d2

Fb=ΣFi

W1

W2

F1

F2

d.

d1

d2

z 1

z n =

H

Fb=ΣFi

z

W1

W2

W3

W4

W5

W5

W4

W3

W2

W1

dW

a. b.

Slika 5.5 Period oscilovanja i raspodela seizmi~kog optere}enja

5-4

gde su z vertikalne koordinate spratova u odnosu na uklje{tenje modela. Primer 5.1........

Sra~unati period oscilovanja konstrukcije sa dva AB zida, slika 5.6.a. Te`ine svih eta`a su jednake W=3924 kN. Debljina zidova bW=15cm. Moduo elasti~nosti Eb=3 10 7 kNm 2.

I1=0,15x3 3/12=0,3375 m 4 I2=0,15 x4,5 3 /12 = 1,139 m 4 ΣI=I1+I2 = 0,3375 + 1,139 =1,476 m 4 Wj=W=3924 kN

q = W / h = 3924/3,5 = 1121,1 kN/m dW = qH 4 /8EΣI = 1121,1x17,5 4 /8 x3x10 7 x 1,476 = 0,296 m T=2√ 0,296 = 1,08 s

Primer 5.2............ Uz pretpostavku da je ukupno sezimi~ko optere}enje 5% te`ine objekta iz prethodnog

primera, odrediti raspodelu ukupnog optere}enje po visini: prema pomeranjima usled te`ina spratova i prema linearnoj raspodeli.

W1

W2

W3

W4

W5

c.

Z1 Z2

3,0 4,5

H=

5h =

5x3

,5=

17,5

m

W5

W4

W3

W2

W1

Krutatavanica

a.

m1

m2

m3

m4

m5

E(I1+I2)

b.

q i=W

i /h i

dW

d.

Slika 5.6 Odre|ivanje perioda a) dispozicija, b) dinami~ki model c) fiktivno optere}enje d) prora~unski model

Nivo - j z ξ = 1-z/H Wj dj Wjdj Fj Vj Mj

m kN m kNm kN kN kNm

5 17.5 0.00 3924 0.296 1161.5 466.7 466.7 0.0

4 14.0 0.20 3924 0.217 852.4 342.5 809.3 1633.6

3 10.5 0.40 3924 0.141 551.9 221.8 1031.1 4466.1

2 7.0 0.60 3924 0.072 282.5 113.5 1144.6 8074.9

1 3.5 0.80 3924 0.021 81.2 32.6 1177.2 12080.9

0 0.0 1.00 3924 0.000 0.0 0.0 1177.2 16201.1

Σ= 23544 2929.5 1177.2

Tabela 5.1

0.0

3.5

7.0

10.5

14.0

17.5

0 5000 10000 15000 200000.0

3.5

7.0

10.5

14.0

17.5

0 100 200 300 400 500

Niv

o

Niv

o

Ukupna sila(kN)

Ukupnimoment (kNm)

12

2 1a. b.

Slika 5.7 a) Raspodela sila i b) dijagrami momenata savijanja

5-5

Rezultati prora~una raspodele optere}enja prema pomeranjima prikazani su u Tabeli 5.1 i na slici 5.7, linija 1. Pomeranja konzole usled podeljenog optere}enja q iznosi d(ξ)=dW /3(3-4ξ+4ξ 4) gde je dW pomeranje vrha iz Primera 5.1.

Rezultati prora~una raspodele optere}enja prema linearnoj aproksimaciji prikazani su u Tabeli 5.2 i na slici 5.7, linija 2.

Raspodela ukupnog seizmi~kog optere}enja na pojedine zidove prema krutostima na pomeranje u ovom slu~aju mo`e da se izvr{i proporcionalno krutosti EI preseka zidova na savijanje.

5.3 PLASTI^NI MEHANIZMI SISTEMA SA VI[E STEPENI SLOBODE

Pri razmatranjima sistema sa jednim stepenom slobode usvojeno je da se sva nelinearna deformacija sistema - rotacije usled momenata savijanja odvijaju u oblasti uklje{tenja konzole, u plasti~nom zglobu konstrukcije, slika 5.8.a.

Da bi se ograni~ilo ukupno seizmi~ko optere}enje Fb slo`enijih konstrukcija, neophodno je da se formira elasto-plasti~ni mehanizam konstrukcije. Kod sistema zidova koji deluju kao konzole, mehanizam se formira u nivou uklje{tenja svih zidova - konzola, slika 5.8.a.

Kod sistema okvira, po`eljno je da se plasti~ni zglobovi formiraji na krajevima greda i u uklje{tenju stubova, slika 5.8.b.

Kod sistema povezanih zidova, sa pre~kama - veznim gredama, osim u uklje{tenju samih zidova, plasti~ni zglobovi treba da se otvore i u veznim gredama, slika 5.8.c. Zavisno od proporcija veznih greda i nivoa optere}enja transverzalnim silama, mogu}e je formiranje

Nivo - j z Wj Wjzj Fj Vj Mj

m kN kNm kN kN kNm

5 17.50 3924 68670 392.4 392.4 0

4 14.00 3924 54936 313.9 706.3 1373.4

3 10.50 3924 41202 235.4 941.8 3845.52

2 7.00 3924 27468 157.0 1098.7 7141.68

1 3.50 3924 13734 78.5 1177.2 10987.2

0 0.00 3924 0 0.0 1177.2 15107.4

Σ= 23544.0 206010 1177.2

Tabela 5.2

FbFbFb

a. b. c.

dm dmdm

θ θ θ

H

Fb

W

dm

θ

d.

Slika 5.8 Plasti~ni mehanizmi konstrukcija

5-6

ili zglobova na oba kraja vezne grede, ili formiranje transverzalnog plasti~nog zgloba prema slici 5.8.c.

Navedeni primeri su idealni slu~ajevi, kod kojih pomeranja konstrukcije nakon stvaranja mehanizma rastu proporcionalno visini. Ugao rotacije mehanizma definisan je odnosom maksimalnog pomeranja pri zemljotresu i visine objekta, θ = dm / Η.

Kod konstrukcija sa "mekim" ili fleksibilnim prizemljem, slika 5.8.d iznos prinudnog pomeranja dm pri zemljotresu ostvaruje se dominantno deformacijama prizemlja. U ovom slu~aju, rotacija mehanizma θ je znatno ve}a, pa su i deformacije krajeva stubova, zahtevi za duktilno{}u znatno pove}ani. Konstrukcija je osetljiva i na efekte drugoga reda, pa se kod ovih sistema ne dozvoljava zna~ajnija redukcija seizmi~kog optere}enja, ili se pak zabranjuju propisima.

5.4 OBEZBE\ENJE POUZDANOSTI @ELJENOG MEHANIZMA KONSTRUKCIJE - "PROGRAMIRANO PONA[ANJE"

Koncept sni`avanja seizmi~kog optere}enja formiranjem plasti~nog mehanizma limitirane nosivosti podrazumeva da je projektant prethodno odabrao mesta formiranja plasti~nih zglobova. U konstrukciji koja se "sastoji" od oblasti plasti~nih zglobova i oblasti "elasti~nog pona{anja", plasti~ni zglobovi su "osigura~i" konstrukcije od preoptere}enja elasti~nih zona, "najslabiji" delovi konstrukcije, ali sa kontrolisanim pona{anjem, projektovani na `eljeni nivo momenata savijanja. Osim obezbe|enja zahtevane duktilnosti plasti~nih zglobova, pouzdan mehanizam podrazumeva i slede}e:

- da se plasti~ni zglobovi formiraju u `eljenim presecima, a ne nekim drugim, nekontrolisano, i

- da ostali, na zglobove priklju~eni delovi konstrukcije, od kojih se o~ekuje da se pona{aju elasti~no, mogu da izdr`e najve}e uticaje koji se mogu javiti u plasti~nim zglobovima pri pomeranjima usled zemljotresa.

"Ne znaju}i za namere projektanta", prinudna pomeranja konstrukcije i rotacije preseka usled zemljotresa vrlo verovatno }e u plasti~nim zglobovima izazvati momente jednake kapacitetu nosivosti preseka na savijanje, a oni mogu zna~ajno da se razlikuje od prora~unskih momenata nosivosti.

Da bi se priklju~eni delovi konstrukcije pona{ali elasti~no, o~igledno da moraju biti dimenzionisani na realni kapacitet nosivosti plasti~nih zglobova pri datim pomeranjima. Pri tome, potrebno je obezbediti da se plasti~ni mehanizam formira upravo rotacijama zglobo-va, a ne nekim drugim, nepo`eljnim formama mehanizma, kao {to je gubitak stabilnosti u ~eli~nim konstrukcijama, ili krti lomovi usled transverzalnih sila u AB konstrukcijama.

Obezbe|enje ostatka konstrukcije od preoptere}enja usled pobu|ivanja realne nosivosti plasti~nih zglobova naziva se konceptom programiranog pona{anja (izvorno - capacity design). Na projektantu je da obezbedi hijerarhiju nosivosti konstrukcije, da "ka`e konstrukciji kako }e da se pona{a pri zemljotresu".

Primer 5.3.........

Za prora~unsko seizmi~ko optere}enje konzolnog zida na slici 5.9.a usvojena je ukupna seizmi~ka sila Fb (=Fe /R). Presek u uklje{tenju - plasti~ni zglob dimenzionisan je na moment savijanaja M=FbHF i transverzalnu sili Q=Fb . Na koje uticaje treba dimenzionisati konstrukciju, ako je realno izvedena nosivost plasti~nog zgloba na savijanje Mu=αM ?

Odgovor elasti~ne konstrukcije prikazan je linijom 1, a o~ekivani, prora~unski odgovor konstrukcije sila-pomeranje prikazan je linijom 2 na slici 5.9.b.

5-7

Uz pretpostavku da je stvarno pomeranje pri zemljotresu jednako ra~unskom pomeranju dm elasti~ne konstrukcije, u plasti~nom zglobu }e se indukovati moment savijanja Mu=αM>M, zavisno od realne koli-~ine ugra|ene armature i njenih kara-kteristika, u slu~aju AB konstrukcija na primer.

U tom slu~aju promeni}e se i ukupno seizmi~ko optere}enja, Fcd =Mu

/HF = αM/HF . Realan odgovor kon-strukcije prikazan je linijom 3 na slici 5.9.b.

Za pona{anje objekta u celini, realno ve}a nosivost plasti~nog zgloba ~ak je i povoljna, jer }e nelinearne de-formacije nastupiti kasnije, pri pome-

ranju dycd , o{te}enja }e biti manja. Me|utim, oblast plasti~nog zgloba treba obezbediti na realnu transverzalnu silu Q=Fcd , a vi{i deo konstrukcije i na realni moment αM.

Pri zemljotresu, od temelja se o~ekuje da se pona{aju elasti~no, ako nije druga~ije pretpostavljeno u analizi. Pri realnim uticajima u plasti~nom zglobu, potrebno je i temelj i {ipove na slici 5.9 sra~unati na uticaje Qt=Fcd i Mt=αM.

U AB konstrukcijama, pri zemljotresu vi{ak armature ne mora da bude na strani sigurnosti, jer je optere}enje tipa "prinudne deformacije"!

Ukolika su pomeranja konstrukcije zna~ajna, ukupno seizmi~ko optere}enje mo`e da opadne, jer se deo kapaciteta nosivosti plasti~nog zgloba anga`uje na uravnote`enju momenata usled gravitacionog optere}enja - efekti drugoga reda, Fb=(Mu - WeW )/HW , linija 4 na slici 5.9.

5.5 OCENA PONA[ANJA KONSTRUKCIJA NELINEARNOM STATI^KOM ANALIZOM

Osim za istra`ivanja, ponekada je i u praksi potrebno odrediti nosivost konstrukcije na horizontalna optere}enja, tok i kapacitet deformacija konstrukcije koja je prethodno dimenzionisana, i ~iji su detalji poznati, slika 5.10.

W

dm

dy

Fb

eW

HF

a

MQ

Mt

Qt

Hp

F

Fb

dy dycddm

Fe

1

2

3Fcd

d

a. b.

4

Slika 5.9 Koncept programiranog pona{anja

"g+p/2"

7 8

6 5

24

3 1

f d

θM+

u

M-u

θ

a. b.

c.

F

1

4

F

Fy

dydm

d

"Lom"

du

8

µd

k ks

dp

0,75My

Slika 5.10 "Pushover" analiza

5-8

Sa poznatim detaljima armature, mo`e da se odredi kapacitet nosivosti plasti~nih

zglobova, ~ija je dispozicija prethodno usvojena - pretpostavljena, slika 5.10.b. Ako nije unapred jasno koji mehanizam ima najni`u nosivost, potrebno je ispititati sve potencijalno opasne mehanizme, jer su velike {anse da zemljotres aktivira upravo najslabiji.

Uz pretpostavku da seizmi~ko optere}enje F ima u svim fazama isti oblik raspodele po visini, {to nije ta~no, konstrukcija se "horizontalno gura" postepeno pove}avaju}i nivo ukupnog optere}enja F - tzv. "pushover analiza". Kada u nekom od preseka prognoziranih plasti~nih zglobova vrednost momenta savijanja dostigne kapacitet nosivosti, kruta veza elemenata zamenjuje se umetanjem "plasti~nog zgloba" sa parom momenata savijanja na priklju~enim elementima.

U toku analize prati se razvoj formiranja mehanizma, redosled otvaranja zglobova, oznake 1-8 na slici 5.10.b. Za definisanje po~etne krutosti k usvaja se trenutak otvaranja prvog plasti~nog zgloba, ta~ka 1 na slici 5.10.c, ili karakteristi~na ta~ka pri 75% nosivosti konstrukcije. Sa porastom optere}enja, konstrukcija se "para", do formiranja kompletnog mehanizma pri pomeranju dp i optere}enju, kapacitetu nosivosti Fy , slika 5.10.c. Najranije otvoreni plasti~ni zglobovi ima}e i najve}e post-elasti~ne deformacije, pa i najve}e zahteve za obezbe|enjem potrebne duktilnosti, tako da se na nivou konstrukcije u celini mo`e govoriti o "prose~noj potrebnoj duktilnosti" µd .

Nosivost mehanizma Fy i vrednost o~ekivanog pomeranja dm pri zemljotresu defini{u efektivnu sekantnu krutost ks , na kojoj se zasnivaju moderni koncepti prora~una pomeranja nelinearne konstrukcije na zamenjuju}em modelu.

Nakon formiranja plasti~nog mehanizma, rad spoljnog optere}enja F na dodatnim pomeranjima usled rotacije θ jednak je radu momenata nosivosti plasti~nih zglobova Mu na rotacijama krajeva greda θ.

6-1

6. KONCEPT SAVREMENIH PROPISA - UVOD U EVROKOD 8 (EC8)

UVOD

Prethodna razmatranja se u ovom poglavlju sistematizuju u formi savremenih propisa, za ~iji je "uzorak" usvojen predlog budu}ih evropskih propisa Evrokod 8 /13/.

6.1 OP[TI ALGORITAM PROPISA

Na osnovu prethodnih op{tih razmatranja treba oformiti korektan, ali i dovoljno jednostavan koncept i detalje propisa za primenu u svakodnevnoj praksi.

Ulazni seizmi~ki podaci- zna~aj objekta - γI

- ubrzanje na steni - ag- lokalno tlo - S

Konstrukcijski sistem,primenjeni materijali- duktilnost pomeranja

- faktor redukcije opt. q=R

Elasti~ni spektar

PomeranjaDeformacije

Op{ti deo, zajedni~ki za svematerijale i sisteme

Nelinearni spektar

Projektno optere}enjeFb

Analiza- upro{}ena modalna

- multimodalna

Koncept programiranogpona{anja

Specifi~no za beton, ~elik i konstr.sisteme (zid, okvir.)

Sile u presecima

Dimenzionisanje idetalji plasti~nih

zglobova

ag, S q

γIKontrola pomeranja,

funkcionalnost

Nos

ivos

tT

p =

475

god

ina

Fun

kcio

naln

ost,

o{te

}enj

aT

p <

475

god

ina

Slika 6.1 Algoritam projektovanja seizmi~ki otpornih konstrukcija

6-2

Uva`avaju}i ~injenicu da je zemljotres samo jedno od dejstava na konstrukciju, a da sva ostala (stalno, korisno,....) in`enjeri u praksi modeliraju kao spoljno optere}enje konstrukcije, ve}ina propisa, pa i EC8 efekte zemljotresa na konstrukcije interpretira kao jo{ jedan slu~aj spoljnog optere}enja, slika 2.3.a. U tom slu~aju, iznos projektnog optere}enja, uz uslov da je obezbe|en duktilan nelinearan odgovor konstrukcije generalno se odre|uje prema op{tem algoritmu prikazanom na slici 3.12. Imaju}i u vidu specifi~nosti konstrukcija u pogledu primenjenih materijala, tehnologija gra|enja i konstrukcijskih re{enja objekata - dispozicija, op{ti algoritam se naravno modifikuje. Usvajaju}i dodatno i koncept programiranog pona{anja kao meru obezbe|enja pouzdanosti plasti~nog mehanizma konstrukcije u celini, algoritam prema EC8 prikazan je na slici 6.1.

6.2 ULAZNI SEIZMI^KI PODACI

Prema EC8, nacionalna teritorija se deli na "seizmi~ka podru~ja", zavisno od "lokalnog hazarda". Za povratni period referentnog zemljotresa usvaja se Tp=475 godina.

Kao referentni podatak za opisivanje efekata zemljotresa usvaja se maksimalno ubrzanje tla ag na nivou osnovne stene, slika 1.1. Za primenu u praksi, seizmi~ke karte intenziteta treba zameniti kartama ubrzanja osnovne stene. Oblasti sa ubrzanjima ag>0,10g smatraju se oblastima visoke seizmi~nosti. U oblastima sa ubrzanjima ag<0,04g nije potrebna posebna analiza za uticaje zemljotresa.

Klasifikacija lokalnog tla, vr{i se prema brzini prostiranja smi~u}ih talasa kroz tlo. Za razli~ite klase tla defini{e se multiplikator S ubrzanja ag osnovne stene:

Klasa A stena brzina talasa Vs>800 m/s S = 1,0 Klasa B zbijene naslage brzina talasa Vs>200 m/s S = 1,0 Klasa C rastresite naslage brzina talasa Vs<200 m/s S = 0,9

6.3 ELASTI^NI SPEKTAR UBRZANJA

Efekti dejstva zemljotresa na elasti~an sistem sa jednim stepenom slobode i periodom oscilovanja T opisuju se elasti~nim spektrima ubrzanja, sa prigu{enjem od 5%.

Se (T) = ag S A(ag) (6.1)

Funkcija A(ag ) za kategoriju tla B prikazana je crtkastom linijom na slici 6.2. Kriva dobro opisuje efekte zemljotresa El Centro, ali ne i na{e lokalne zemljotrese, o ~emu eventualno treba voditi ra~una pri dono{enju budu}ih nacionalnih propisa.

Elasti~ni spektri ubrzanja definisani su relacijama (6.2-5), gde je β0 faktor amplifikacije ubrzanja konstrukcije, TB , TC i TD karakteristi~ne periode, S parametar lokalnog tla, a µ korekcioni faktor za slu~aj prigu{enja razli~itih od 5% (za ξ=5%, µ=1,0 ). U tabeli 6.1 prikazane su vrednosti parametara zavisno od kategorije lokalnog tla.

0 ≤ T ≤ TB S T a STTe g

B( ) ( )= + −

1 10ηβ (6.2)

TB ≤ T ≤ TC S T a Se g( ) = ηβ0 (6.3)

TC ≤ T ≤ TD S T a STTe g

C k( ) ( )= ηβ01 (6.4)

TD ≤ T S T a STT

TTe g

C

D

k D k( ) ( ) ( )= ηβ01 2 (6.5)

6-3

Za kategoriju tla B, na slici 6.3 ilustrovane su karakteristi~ne vrednosti elasti~nog

spektra ubrzanja, pri ~emu je A(ag ) = Se (T)/ag S . Za krute konstrukcije, sa niskim peri-odama sopstvenih oscilacija, ubrzanje konstrukcije je prakti~no jednako ubrzanju tla ag . U oblasti srednjih perioda T<TC , ubrzanja konstrukcije su 2,5 puta ve}a od ubrzanja tla.

6.4 KLASE DUKTILNOSTI KONSTRUKCIJA

Elasti~ni odgovor konstrukcije je teorijska gornja granica optere}enja konstrukcijskog sistema. Me|utim, svaka armiranobetonska konstrukcija poseduje izvestan kapacitet nelinearnih deformacija, kako zbog pojave prslina, tako i zbog ~injenice da dimenzionisanje preseka sa dilatacijama ~elika od 0,010 ili vi{e, obezbe|uje izvestan minimalni kapacitet nelineranih deformacija - najni`u realnu duktilnost konstrukcije.

Pri redukciji elasti~nog odgovora do nivoa prihvatljivog, projektnog optere}enja tako|e postoji granica. Ni`e sile podrazumevaju ve}i udeo nelinearnih deformacija koje konstrukcija treba da izdr`i bez zna~ajnijeg pada nosivosti. Pored toga, rano otvaranje plasti~nih zglobova, pri malim horizontalnim silama, sni`ava op{tu stabilnost konstrukcije za dejstva gravitacionih optere}enja i vetra. Zbog toga se, za razli~ite vrste konstrukcijskih sistema ograni~ava najni`a vrednost projektnog optere}enja, odnosno najvi{a prihvatljiva duktilnost konstrukcije.

Nezavisno od vrste konstrukcijskog sistema, EC8 nudi izbor izme|u tri nivoa projektnog optere}enja, nazvana klasom duktilnosti: klasa visoke duktilnosti sa oznakom DCH (najni`i iznos projektnog optere}enja), klasa srednje duktilnosti - DCM i klasa niske duktilnosti - DCL (najvi{i iznos projektnog optere}enja). Za svaku od klasa duktilnosti, definisani su i odgovaraju}i uslovi za konstruisanje detalja koji treba da obezbede zahtevano pona{anje konstrukcije.

Projektanti se u praksi sve ~e{}e susre}u sa slo`enim arhitektonskim zahtevima, koji za posledicu imaju nejasna konstrukcijska re{enja sa stanovi{ta pona{anja u uslovima zemljotresa, koja se ne uklapaju u "idealne konstrukcijske sisteme" na koje se eksplicitno odnose stavovi EC8. Ovakvi sistemi se ~esto nazivaju sistemima ograni~ene duktilnosti, za koje se dokaz sigurnosti vr{i sa pove}anim seizmi~kim uticajima.

0

1

2

3

4

5

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Period (s)

El Centro

Petrovac

Ulcinj

Beograd

EC8-Se (B)

EC8-Sd (A)

EC8-Sd (B)

EC8-Sd (C)

A (

a g)

EC8 - q=1,0

Slika 6.2 Elasti~an spektar ubrzanja

Tabela 6.1 Kat. tla

S β0 k1 k2 TB TC TD

A 1,0 2,5 1,0 2,0 0,10 0,40 3,0 B 1,0 2,5 1,0 2,0 0,15 0,60 3,0 C 0,9 2,5 1,0 2,0 0,20 0,80 3,0

TB=0,15TC=0,60 TD=3,00

2,5ag

ag

T(s)

Kategorija tla BPrigu{enje 5%

A (

a g)

Slika 6.3 Parametri spektra

6-4

6.5 DOZVOLJENA VREDNOST FAKTORA REDUKCIJE OPTERE]ENJA - FAKTORA PONA[ANJA PREMA EC8

^injenicu da raspolo`iva duktilnost pomeranja realnih konstrukcija zavisi od raspolo`ive duktilnosti krivina preseka elemenata kao i konstrukcijskog sistema, EC8 uva`ava definisanjem promenljive vrednosti faktora redukcije optere}enja R , koji se u EC8 naziva faktor pona{anja q :

q=q0 kD kR kW ( 1,5 ≤ q ≤ q0) (6.6)

gde su q0 osnovna vrednost faktora pona{anja, zavisna od vrste konstrukcijskog sistema,

definisana u Tabeli 6.2; kD faktor koji uzima u obzir usvojenu klasu duktilnosti, jednak: =1,00/0,75/0,50 za klase

duktilnosti DCH/DCM/DCL, respektivno; kR faktor koji uzima u obzir pravilnost konstrukcije po visini, jednak: 1,00/0,80 za

regularne odnosno neregularne konstrukcije, respektivno;

kW faktor koji uzima u obzir "preovla|uju}u vrstu loma konstrukcijskih sistema sa zidovima", zavisno od toga da li su zidovi vitki ili kratki. Za okvirne sisteme je kW =1, dok za sisteme zidova i dvojne sisteme zidova, njegova vrednost zavisi od preovla|uju}ih proporcija zidova, i manja je od 1,0 kada je odnos visine prema {irini zida manji od 3.

Minimalna vrednost fakto-

ra pona{anja ograni~ena je na 1,5, iz ~ega treba zaklju~iti da "bilo kakva " armiranobetonska kon-strukcija, dimenzionisana prema grani~nim stanjima nosivosti, poseduje minimalnu duktilnost, tako da nivo optere}enja mo`e da se obori na 1/1,5 (67%) punog elasti~nog optere}enja.

To {to je za dve konstrukcije usvojena ista klasa

duktilnosti, ne mora da zna~i da }e i nivo optere}enja biti isti, slika 6.4. Vodotoranj, tzv. sistem obrnutog klatna visoke duktilnosti projektuje se na 2,5 puta ve}e seizmi~ko

Tabela 6.2: Osnovne vrednosti faktora pona{anja q0

VRSTA KONSTRUKCIJSKOG SISTEMA q0 Okvirni sistem 5,0 sa dominantnim okvirima 5,0 Dvojni sistem

sa dominantnim zidovima, sa povezanim zidovima

5,0

sa dominantnim zidovima, sa nepovezanim zidovima

4,5

Sistem zidova sa povezanim zidovima 5,0 sa nepovezanim zidovima 4,0 Sistem sa jezgrom 3,5 Sistem obrnutog klatna 2,0

minFb=Fe/5

maxFb=Fe/1,5

d

Fb=SdW

d

dmdy

DCH

DCM

DCL

Fb

FeF

Okvirq0=5,0

minFb=Fe/2

maxFb=Fe/1,5

d

Fb=SdW

d

dmdy

DCH

DCM

(DCL)

Fb

FeF

"Obrnutoklatno"q0=2,0

a. b.

Slika 6.4 Klase duktilnosti: konstrukcijski sistem - projektno optere}enja

6-5

optere}enje od okvira tako|e visoke duktilnosti. Izborom klase duktilnosti i vrednosti faktora pona{anja, projektant uti~e na nivo

projektnog optere}enja usled zemljotresa, pri kome }e da nastupi formiranje plasti~nog mehanizma konstrukcije. Ni`e projektno optere}enje podrazumeva potrebnu ve}u

duktilnost, ve}i iznos nelinearnih deformacija i stro`ije uslove za konstruisanje detalja. Prema tome, na projektantu je da izabere optimalno re{enje, balansiraju}i izme|u

nosivosti i duktilnosti.

6.6 PROJEKTNI (NELINEARNI) SPEKTAR UBRZANJA

Prema EC8, za usvojenu klasu duktilnosti, vrednost faktora pona{anja q je konstantna vrednost . Uticaj perioda oscilovanja, videti sliku 3.10.a, EC8 aproksimira razli~itim defini-sanjem projektnog spektra u podru~ju kra}ih odnosno du`ih perioda oscilovanja.

Sa druge strane, nepouzdanost upro{}ene modalne analize u podru~ju du`ih perioda, gde su uticaji vi{ih tonova obi~no zna~ajniji, EC8 popravlja korekcijom eksponenata k1 i k2 funkcije elasti~nog spektra (6.4-5). Ordinate projektnog spektra Sd (q,T) za vrednost faktora pona{anja q=1,0 ("korigovani elasti~ni odgovor konstruk-cije") prikazane su na slici 6.2 za sve tri kategorije tla.

Ordinate tako koncipiranog projektnog spektra definisane su izrazima (6.7-10). Da bi se ukupna seizmi~ka sila Fb izrazila kao proizvod Fb=Sd W ( W - ukupna te`ina konstrukcije),

umesto ubrzanja osnovne stene ag pojavljuje se odnos α = ag /g :

0 1 10≤ < = + −

T T S T S

TT qB d

B( ) ( )α

β (6.7)

T T T S T S q S T gqB C d e≤ < = =( ) / ( ( ) / )α β0 (6.8)

T T T S T Sq

TTC D d

C kd≤ ≤ = ≥( ) ( ) ,αβ

α0 1 0 20 (6.9)

T T S T Sq

TT

TTD d

C

D

kd D kd≤ = ≥( ) ( ) ( ) ,αβ

α0 1 2 0 20 (6.10)

gde je kd1 = 2/3 a kd2=5/3. Za kategoriju tla B, na slici 6.5 prikazan je nelinearni, projektni spektar ubrzanja za

razli~ite vrednosti faktora pona{anja q.

NOSIVOST DUKTILNOSTOPTIMALAN

BALANS

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0Period (s)

q=5,00 - DCH

q=3,75 - DCM

q=2,50 - DCL

q=1,00 - Elastic

A (

a g)

Slika 6.5 Projektni spektar ubrzanja

6-6

6.7 REGULARNOST KONSTRUKCIJE

Za pouzdano pona{anje konstrukcije pri zemljotresu, jedna od najefikasnijih mera je obezbe|enje regularnosti konstrukcije, kako u osnovi tako i po visini, slika 6.6.

Konstrukcije koje su stabilne za uticaje gravitacionih optere}enja, mogu u toku zemljotresa da postanu nestabilne i da do`ive kolaps, slika 6.6.a. Radijalno raspore|eni zidovi konstrukcije hotela mogu da prime hori-zontalne uticaje prakti~no samo u svojoj ravni. Rezul-tanta sila zidova pro-lazi kroz centar kru-tosti - CK, na eks-centricitetu e u od-nosu na centar mase - CM. Konstrukcija je uslovno stabilna

samo u slu~aju horizontalnih uticaja u upravnom pravcu, kada rezultanta seizmi~kih sila koje deluju u centru mase prolazi kroz centar krutosti. Pri dejstvu zemljotresa u popre~nom pravcu, stvara se neuravnote`eni moment torzije u osnovi Fbx e koji mo`e lako dovesti do kolapsa.

Dodavanje vertikalnog liftovskog {ahta, povezanog pasarelom sa tavanicom objekta, formalno re{ava problem torzije, jer se moment torzije osnove mo`e prihvatiti spregom sila HM =Fbx e/z, slika 6.6.b.

Betonska konstrukcija liftovskog jezgra verovatno da mo`e da prihvati predvi|ena optere}enja, ali problem fundiranja je u ovakvim slu~ajevima ponekada te{ko re{iv. Naime, zna~ajne horizontalne sile prenete su na element ~ije je gravitaciono optere}enje nesrazmerno, pa je te{ko spre~iti preturanje konstrukcije, bez povezivanja sa temeljima susednih elemenata koji imaju zna~ajniju normalnu sili.

Na slici 6.6.c prikazan je primer konstrukcije tako|e hotela, sa dva AB zida oslonjena na re{etkasti okvir. Za uticaje gravitacionih optere}enja konstrukcija je stabilna, mo`e da bude stabilna i u slu~aju zemljotresa, samo je nejasno koji nivo optere}enja usvojiti, kolika je vrednost faktora pona{anja, i kako izgleda plasti~ni mehanizam odnosno raspored plasti~nih zglobova? U "uklje{tenju" {estoeta`nih nose}ih zidova elasti~no "fundiranih" na okviru, sigurno ne mogu da se realizuju plasti~ni zglobovi.

Tehni~ki je izvodljivo, ali ipak treba izbegavati komplikovane "migracije" horizon-talni sila naglom promenom konstrukcijskog sistema u jednoj eta`i, slika 6.6.d. Prenos seizmi~kog optere}enja bo~nih zidova mora u nivou najni`e tavanice da se reorganizuje, da se momenti do temelja sprovedu spregom sila stubova, {to mo`e da ugrozi stubove, a da se transverzalne sile preko tavanice prevedu na srednji zid.

CM

CK

e

Fbx

bw

Fbx

e

z

HM=Fbxe/z

HM

Lift

Pasarela

F

a.

c.Q1

M1 Q2

M2

Q 1+

Q 2

l w

M2/lw

d. e.1

2 3

b.

Slika 6.6 Regularnost konstrukcije

6-7

Kona~no, "sitni detalji" mogu da izmene pretpostavljeno pona{anje konstrukcije. Konstrukcija okvira na slici 6.6.e. mo`e pri zemljotresu da se blokira prisustvom stepenica, detalj 1. Naknadno umetanje pregradnih zidova u ravni okvira mo`e da izazove skra}enje visine stuba i lom transverzalnim silama, detalj 2. Ako je povr{ina ispune zna~ajna a ispuna intimno spojena sa okvirom, detalj 3, velika je verovatno}a da }e se umesto sistema sa dve mase, konstrukcija pona{ati kao sistem sa fleksibilnim prizemljem, i da }e se sva deformacija obaviti u okviru prizemlja, {to je vrlo neprijatno i nepo`eljno, prema EC8 prakti~no zabranjeno.

6.8 TORZIONA KRUTOST KONSTRUKCIJE

Pri razmatranju stabilnosti konstrukcija usled samo gravitacionih optere}nja, obi~no se ne proverava torziona krutost i stabilnost objekta u celini, otpornost na uvrtanje oko vertikalne ose usled gravitacionih optere}nja. Pri zemljotresu, torzione oscilacije, deformacije i naprezanja postaju zna~ajni, pri ~emu torziona krutost objekta uti~e ~ak i na dozvoljenu maksimalnu vrednost redukcije optere}enja, faktora pona{anja q.

Na slici 6.7.a pri-kazana je osnova poslov-nog objekta, sa ~etri AB zida, bez izra`enih okvira. Torziona krutost kon-strukcije najve}a je ako su zidovi na fasadi, a=L/2, b=B/2. Ako su zidovi koncentrisani ka centru osnove i konstrukcija pre-lazi u "sistem sa jezgrom", tada bi ve}e dopu{tene nelinearne deformacije

zidova uz rotacije tavanice mogle u ravni fasade da izazovu neprijatne posledice, prevelika ukupna pomeranja. U konkretnom slu~aju, kada je a=L/4 (b=B/4), torziona krutost objekta prema EC8 postaje niska, i sistem treba tretirati kao sistem sa jezgrom, sa sni`enom osnovnom vredno{}u faktora pona{anja q0 = 3,5.

U ovakvim situacijama, potrebno je konstruisati okvire po obimu objekta, ~est koncept konstrukcije u slu~aju visokih objekata, slika 6.7.b.

Za prizemlje konstrukcije na slici 6.6.d tako|e se mo`e re}i da je torziona krutost problemati~na.

6.9 KRUTOST TAVANICA U SVOJOJ RAVNI

Da bi vertikalni nose}i elementi mogli da prihvate inercijalne sile masa tavanica, moraju pre svega da budu pouzdano povezani sa tavanicama. Sa druge strane, da bi se obezbedila prora~unska pretpostavka da tavanice diktiraju pomeranja priklju~enih vertikalnih elemenata, moraju konstrukcije tavanica u svojoj ravni da budu dovoljno krute, slika 6.8.a.

U suprotnom, mo`e do}i ~ak i do nezavisnog oscilovanja pojedinih vertikalnih elemenata sa pripadaju}im masama tavanica, pa i do kolapsa sistema, ukoliko su dva dela konstrukcije pojedina~no torziono nestabilni, delovi A i B na slici 6.8.b.

a a

bb

kx

kx

k y

k y

L

B

kx

kx

k y k y

L

B

kxO

kxO

k yOk yO

a. b.

Slika 6.7 Torziona krutost

6-8

6.10 OSNOVNI NOSE]I SISTEM PRI ZEMLJOTRESU

Ako je dispozicija konstrukcije usvojena, potrebno je odlu~iti koji od raspolo`ivih konstrukcjskih elemenata treba uklju~iti u prora~unski model za prijem horizontalnih optere}enja. Na~elno, treba uklju~iti sve elemente ~ije prisustvo zna~ajnije uti~e na dinami~ko pona{anje konstrukcije, na period oscilovanja i iznos optere}enja i pomeranja. Na slici 6.9 prikazana je osnova objekta koji sadr`i okvire i dva zida u x - pravcu, za koju je usvojeno da se projektuje kao konstrukcija klase visoke duktilnosti - DCH. Zbog potpune simetrije, centar masa CM i krutosti CK se poklapaju, slika 6.9.a.

Za kontrolu objekta za uticaje zemljotresa u x - pravcu, obi~no se za osnovni nose}i

sistem usvajaju samo zidovi, slika 6.9.b. Za uticaj zemljotresa u y - pravcu nema dileme, tri okvira su nose}i sistem.

Objekat u celini svrstan je u klasu visoke duktilnosti, ali vrednost faktora pona{anja pa ni projektnog optere}enja nije ista za oba pravca, jer se razlikuje konstrukcjski sistem. Za nepovezane zidove je q0 =4,0, a za okvire je q0 =5,0.

Prikazana dispozija name}e jo{ jedno pitanje. Formalno, zbog poklapanja centra masa i krutosti, pri horizontalnim uticajima nema torzionih naprezanja. Me|utim, bilo zbog razli~itih kvaliteta materijala (razli~ito Eb), bilo zbog razli~itog stanja prslina (razli~ita krutost), bilo zbog odstupanja rasporeda optere}enja od pretpostavljenog, torzioni efekti uvek postoje, i treba ih uzeti bar u minimalnom iznosu - tzv. slu~ajni ekscentricitet. Za ilustraciju, red veli~ine koji se ~esto primenjuje je iznos od 5% odgovaraju}e dimenzije objekta, ex = 0,05B, odnosno ey=0,05L prema slici 6.9. b-c.

Izbor zidova za osnovni sistem u x - pravcu ne zna~i da se okviri u tom slu~aju mogu u potpunosti zaboraviti - zanemariti. Okviri moraju da prate deformacije osnovnog sistema - zidova, sa nepoznatim ra~unskim uticajima jer nisu uklju~eni u prora~un. Prema nekim propisima, okvire ipak treba prora~unati na deo ukupne sile, recimo 25% od Fx . Prema

A B

B

CKB

ACKA

A B

CKA

A

B

CKA

CKBa. b.

CMCMA

CMB

Slika 6.8 Krutost tavanica

Y

XZid

Okv

ir 1

L

B CM=CK

Okvir 2

a. b. c.

DCH

Fx (q=4,0)

e x

Y

X

Y

X

F y (q=

5,0)

ey

Slika 6.9 Osnovni nose}i sistem

6-9

EC8, okviri u ovom slu~aju pripadaju konstrukciji klase visoke duktilnosti, pa detalje armature svakako treba prilagoditi visokim zahtevima za tu klasu.

Na slici 6.10. ilustrovan je odgovor dvojnog sistema konstrukcije, okvira i zida pri zemljotresu. Odgovor samostalnog zida na uticaj sile F prikazan je linijom Z, odgovor samo okvira linijom O a odgovor kompletnog sistema okvira i zida linijom Z+O, slika 6.10.b. (O pona{anju dvojnih sistema, videti /15/, /16/).

Ako se za osnovni nose}i sistem usvoji samo zid, ~est slu~aj u praksi, prora~unski mehanizam konstrukcije se formira pri optere}enju Fd i pomeranju dyZ , linija 1 na slici 6.10.b. Budu}i da se i okvir pomera, odgovor realne konstrukcije pribli`no je prikazan linijom 2 (period, ukupno optere}enje i pomeranje dm ne}e biti ba{ isti). Ukoliko pri pomeranjima dyO i okviri pre|u u mehanizam, ostvaren je potpuni mehanizam konstrukcije. Prema tome, izostavljanje okvira iz osnovnog sistema ne osloba|a projektanta obaveze da oceni i obezbedi pouzdano pona{anje okvira. U

ovakvim slu~ajevima, naprezanje okvira mo`e da se proceni naknadno, zadavanjem modelu okvira sra~unatog iznosa i oblika pomeranja osnovnog sistema, prema poglavlju 5.6.

6.11 PRORA^UNSKA KRUTOST ELEMENATA

Tendencija propisa je da se seizmi~ka pouzdanost konstrukcije osigurava prvenstveno dobrim detaljima i konceptom konstrukcije, a manje slo`enim numeri~kim modelima i numeri~kim analizama. Me|utim, i jednostavni numeri~ki algoritmi zahtevaju pa`ljiv izbor ulaznih parametara, od kojih je krutost elemenata jedan od najva`nijih, jer direktno uti~e na veli~inu perioda oscilovanja, vrednost ukupnog optere}enja, relativnu raspodelu optere}enja izme|u vertikalnih elemenata kao i iznos ukupnih i relativnih pomeranja.

Prema EC8, krutosti elemenata mogu da se usvoje na osnovu bruto dimenzija elemenata bez uticaja prslina i armature, "osim kada su pomeranja merodavna"? Pri tome, nema uputstva kako odrediti krutosti u tom slu~aju, prakti~no u svim slu~ajevima. Kao {to je zbrka u propisima, tako je i u praksi.

U praksi se prora~unske krutosti greda obi~no usvajaju na osnovu dimenzija rebra, sa zanemarenjem efekta T-preseka zbog prisustva plo~e tavanice. Analogno va`i za stubove. U slu~aju zidova, naj~e{}e se prora~unski moment inercije i samostalnih i slo`enih zidova sa flan{ama odre|uje samo na osnovu bruto dimenzija pravougaonog preseka rebra zida. Koliko je to opravdano, vide}e se.

Stvar se u me|uvremenu dodatno zakomplikovala pojavom komercijalnih softvera za prostornu analizu konstrukcija na bazi kona~nih elemenata, gde projektant ima su`ene mogu}nosti intervencije jer program automatski obuhvata uticaj ne samo flan{i slo`enih zidova,

nego i tavanica, slika 6.11.

Okvir 2 Zidd

F

d

FFe

Fd

F

dyZ dm

O

Z

Z+O

1

2

dyO

12

3

a.

b.

Slika 6.10 Dvojni sistem

1

2

3

4

5

6

7

7x30

00=

2100

0

+d

W/2

W/2

Slika 6.11 Model

zida

6-10

Primer 6.1............ Za presek slo`enog zida iz primera 4.5, izvr{iti analizu posledica razli~itih prora~unskih

krutosti preseka konstrukcije konzole na odgovor konstrukcije pri seizmi~kim optere}enjima. Masa sistema odre|ena je tako da, sa kruto{}u EI0 bruto preseka slo`enog zida, period oscilovanja iznosi T1=0,6s

Ako se za krutost preseka na savijanje EI usvoji krutost EI0 bruto I - preseka

slo`enog zida, elasti~ni odgovor konstrukcije, za vrednost faktora pona{anja q=1,0 i tlo klase B prema EC8, prikazan je linijama 1 na slici 6.12.

Prakti~no isti re-zultat dobi}e se i mode-liranjem konstrukcije kona~nim elementima, slika 6.11, postupak koji u principu daje najkru}e prora~unske modele o ~emu treba voditi ra~una.

Sa 5,5 puta ma-njom prora~unskom kruto{}u EIef odre|e-

nom na osnovu elasto-plasti~ne aproksimacije, period oscilovanja iznosi T2 =1,4s (T1 /T2

=√(EI2 /EI1 )), a odgovor konstrukcije prikazan je linijama 2 na slici 6.12. Ukupno optere-}enje je 1,6 puta manje (F1 /F2 =(T2 /T1 ) 2/3 ), ali je i pomeranje 3,1 puta ve}e (d1 /d2 =F1 xEI2

/F2 x EI1 ) nego u slu~aju modeliranja krutosti na osnovu bruto preseka zida. Ve}i nivo optere}enja zahteva vi{e armature, ako mo`e da se smesti, plasti~ni

mehanizam }e kasnije da se formira i o{te}enja }e verovatno biti manja. Me|utim, na osnovu prora~unskog pomeranja de1 ne mo`e da se zaklju~i da li su pomeranja u redu, jer je prora~unska krutost nerealno visoka. Sra~unate vrednosti bi trebalo korigovati, pri ~emu navedena relacija d1 /d2 =F1 xEI2 /F2 x EI1 mo`da mo`e da se usvoji kao gornja granica faktora korekcije ra~unskih pomeranja.

Krutost preseka sra~unata samo sa dimenzijama rebra 20/300cm u ovom slu~aju prakti~no se poklapa sa ra~unskom efektivnom kruto{}u, ali ne treba zaboraviti da ona zavisi od nivoa normalne sile kao i koli~ine i rasporeda armature. Oba parametra su u navedenom primeru na donjoj granici uobi~ajenih vrednosti.

Usvajanje u praksi samo karakteristika rebra za prora~un krutosti preseka slo`enih preseka zidova zasniva se upravo na ~injenici da }e nakon dostizanja ~vrsto}e betona na zatezanje, beton zategnute flan{e i dela rebra zida biti isklju~en iz nosivosti i krutosti preseka, osim armature u ovom zonama. Me|utim, onda bi trebalo biti dosledan, pa i za krutost jednostavnog zida pravougaonog preseka, koji nema flan{e, tako|e usvojiti efektivnu krutost preseka, {to u praksi naj~e{}e nije slu~aj. Usvajanje sni`ene krutosti zida I-preseka zida, i pune krutosti zida pravougaonog preseka, za posledicu ima poreme}aj relativnih krutosti i promenu centra krutosti konstrukcije {to dovodi do nerealnih torzionih momenata i preraspodele seizmi~kog optere}enja po pojedinim zidovoma.

0

1

2

3

0.00 1.00 2.00 3.00Period - T (s)

A (

a g)

EC8 - Kat.tla Bq=1,0

T2=1,4T1=0,6

a.

de1 de2=3.1de1

de

Fe2

Fe1=1.6Fe2

Fe

k2

k1=5.5k2

b.

1

2

1 2

Slika 6.12 Slo`eni zid, analiza efekata prora~unskih krutosti

6-11

6.12 PROSTORNO DEJSTVO ZEMLJOTRESA

Kretanje konstrukcije pri zemljotresu je prostorno, primer zapisa Petrovac na slici 6.13.a gde su zajedno prikazani uticaji obe istovremeno registrovane komponenete ubrzanja tla na relativno kretanje mase. Spektar ubrzanja prikazuju maksimalni odgovor sistema u ravni, pri o~ekivanom ubrzanju tla.

Kako se maksimalna ubrzanja tla ne mogu istovremeno javiti u dva ortogonalna

pravca, to se prostorno dejstvo zemljotresa prema EC8 mo`e pribli`no uzeti u obzir kombinacijom maksimalnog dejstva u jednom pravcu, sa 30% istovremenog dejstva u upravnom pravcu, slike 6.13.b-c, gde je prikazano prora~unsko pomeranje konstrukcije u osnovi. Za obe istovremene komponente va`i isti projektni spektar ubrzanja. Ako su pomeranja elasti~nog i nelinearnog sistema pribli`no jednaka, pri vrednosti faktora pona{anja q=4-5 konstrukcija }e pre}i u plasti~ni mehanizam i pri 30% maksimalnog pomeranja dmx ili dmy . Posledice iznetog zahteva su koso savijanje stubova, pri verovatnom istovremenom dostizanju kapaciteta nosivosti plasti~nih zglobova greda priklju~enih na stub iz dva pravca.

Primer 6.2.............

Na slici 6.14 prikazana je osnova prizemnog objekta sa tri nose}a zida. Pri dejstvu zemljotresa u X - pravcu, ukupna sila deli se na dva zida Z1, slika 6.14.a.

Pri dejstvu zemljotresa u Y - pravcu, usled nepoklapanja centra masa CM i centra krutosti CK, javlja se i moment torzije u osnovi, koji mo`e da bude prihva}en samo spregom sila zidova Z1, slika 6.14.b, tako da je u sva tri zida sila jednaka Fby .

U na{oj praksi i propisima, objekat treba proveriti ili za jedan, ili za drugi slu~aj dejstva zemljotresa. Prema EC8, ova dva slu~aja se kombinuju, tako da zidove treba

-100

-50

0

50

100

-100 0 100

EW

NS

x

y

dmx

dmy

0,30dmy

X-zemljotresx

y

dmx

dmy

Y-z

emljo

tres

0,30dmx

a. b. c.

Slika 6.13 Prostorno dejstvo zemljotresa

a.L/2

L

L/4

L/4

CM CKFbx

Fbx/2

Fbx/2

L/2 b.L/2

L

L/4

L/4

CM CK

F by

Fby

Fby

L/2

Fby

c.

Fbx/2 + 0,3Fby

0,3Fbx/2 + Fby

max F by

Z1

Z1

Z2

Z2

Z1

Z1 Z1

Z1

Z2

Slika 6.14 Koncept odre|ivanja prora~unskih uticaja zidova

6-12

dimenzionisati prema optere}nju prikazanom na slici 6.14.c. Primer na slici 6.14 ukazuje na jo{ jedno

pitanje, a to je koji je ugao dejstva zemljotresa φ merodavan. Obi~no se dejstvo zemljotresa ispituje u pravcima glavnih osa konstrukcije objekta. U prin-cipu, svaki pojedina~ni element konstrukcije Z1 treba pouzdano da izdr`i bilo koji pravac ortogonalnog para istovremenih seizmi~kih dejstava. Naj~e{}e su objekti konstruisani u ortogonalnom sistemu, kao i svi primeri do sada. Ako nije o~igledno, onda treba ortogonalni par vektora dejstva postaviti u vi{e polo`aja, slika 6.15.

6.13 PRORA^UN UTICAJA USLED ZEMLJOTRESA

Za regularne i umereno vitke konstrukcije (T1<2s prema EC8), analiza se naj~e{}e vr{i upro{}enom modalnom spektralnom analizom, na bazi samo osnovnog tona oscilovanja. Uticaji vi{ih tonova oscilovanja obi~no se uvode korekcijom spektralnih krivih u podru~ju du`ih perioda, kao i korekcijom sra~unatih dijagrama momenata i transverzalnih sila zidova uvo|enjem prora~unskih anvelopa.

Savremeni propisi vi{e pa`nje poklanjaju dobroj dispoziji, konstruisanju i obradi detalja, uz primenu koncepta programiranog pona{anja. Stav je da konstrukciju treba dobro pripremiti za o~ekivana pomeranja, koja je ionako te{ko ta~no predvideti, pogotovo kada se dogodi zemljotres "mimo propisa", koji se ne uklapa u propisane spektralne krive, primer zapisa Ulcinj. U sportskom `argonu, zglobove konstrukcije treba dobro banda`irati.

6.14 EFEKTI DRUGOGA REDA

U praksi se efekti drugoga reda naj~e{}e ne analizraju, niti komentari{u, izme|u ostalog i zbog toga {to nije postojao jednostavan postupak njihove kontrole. Ovi efekti mogu biti posebno zna~ajni kod konstrukcija sa fleksibilnim prizemljem ili spratom, slika 6.16. Prema EC8, efekte drugoga reda ne treba uzeti u obzir ako je za sve spratove zadovoljen uslov

θ = Ptot dr /Vto t h ≤ 0,10 (6.11)

gde je Vtot rezultuju}a seizmi~ka sila u nivou posmatranog sprata, Ptot suma gravitacionog optere}enja u nivou sprata, h spratna visina a dr stvarno relativno pomeranje - smicanje sprata. Ukoliko uslov (6.11) nije zadovoljen, uticaji drugoga reda obuhvataju se jednostavnim uve}anjem sra~unatog horizontalnog optere}enja Fb .

Prema (6.11), ako je seizmi~ko optere}enje 5% gravitacionog, Vtot /Ptot = 0,05, efekti drugoga reda su zanemarljivi ukoliko je relativna rotacija sprata dr /h ≤ 0,10x0,05 = 0,005. Pri visini sprata od h=3000mm, spratno pomeranje treba da je manje od dr ≤ 15 mm.

X

Y

F ξ0,30F µ

φ

Z1

Slika 6.15 Dejstvo pod uglom

dr

h

VtotPtot

Slika 6.16 Uticaji drugoga

reda

6-13

6.15 PRERASPODELA UTICAJA

Na slici 6.17 prikazana su dva zida, u op{tem slu~aju razli~ite krutosti na savijanje EI i normalnih sila N usled gravitacionoh optere}enja.

Pri jednakim pomeranjima dm , svaki od zidova prihvata svoj deo seizmi~kog optere}enja ~ija je rezultanta F1+2 , slika 6.17.a, na visini HF od temelja. Na slici 6.17.b prikazani su momenti savijanja zidova, proizvod sile i kraka sila.

Za primer, pretpostavlja se da je moment inercije zidova isti, ali da zid 2 ima znatno ve}e gravitaciono optere}enje N2>N1 . U tom slu~aju, horizontalno optere}enje zidova je jednako, F1=F2 , pa su i momenti jednaki. Zbog manje normalne sile, zid 1

zahteva}e vi{e armature, a i temelji }e biti nepovoljnije optere}eni. To zna~i i da }e zid 1 imati izra`enije prsline, pa realna krutost dva zida istih nominalnih dimenzija ne}e biti ista.

Savremeni propisi dozvoljavaju da se u ovakvim slu~ajevima umanji optere}enje kriti~nog zida 1, ali da se razlika momenata ∆M, a to zna~i i deo horizontalnih sila prebaci na zid 2, tako da ostane sa~uvana rezultanta F1+2 kao i "moment preturanja" F1+2 HF . Zavisno od klase duktilnosti, vrednost momenta preraspodele ∆M se ograni~ava na 20-30%.

6.16 KOEFICIJENTI SIGURNOSTI

Prema jugoslovenskim propisima, koeficijent sigurnosti za sva optere}enja u kombinaciji u slu~aju zemljotresa iznosi γ = 1,3. Na prvi pogled, budu}i da se multiplikuju optere}enja, reklo bi se da se zahteva sigurnost od pojave plasti~nih zglobova. Savremeni propisi znatno jasnije defini{u problem.

EC8 na primer, razlikuje koeficijente sigurnosti za materijal γM od koeficijenata sigurnosti γF za optere}enja. Ordinate radnog dijagrama betona, definisanog ~vrsto}om cilindra fck , tako|e parabola i prava, dele se koeficijentom sigurnosti za beton γc=1,50, linija 2 na slici 6.18.a. U slu~aju ~elika, EC8 tako|e ograni~ava dilatacije na 1% ako se modelira i oja~anje ~elika, linija 1 na slici 6.18.b. Ukoliko se koristi bilinearni model sa horizontalnom granom, dilatacije ~elika nisu ograni~ene, linija 2. U svakom slu~aju, ordinate napona se dele sa koeficijentom sigurnosti za ~elik γs=1,15, linija 3 na slici 6.18.b.

Prema EC8, koeficijent sigurnosti za sva optere}enja u slu~aju zemljotresa jednak je γF =1, jer mi upravo `elimo da se pri tom optere}enju formira mehanizam, ne {titimo se od njegove pojave.

Uticaji usled dejstva zemljotresa ustvari se mno`e sa koeficijentom zna~aja objekta γi , ali tu je u pitanju korekcija povratnog perioda zemljotresa za va`nije

F1+2

F1 F2

HF

N1 N2

EI1 EI2

dm dm

1 2

F1HF F2HF

F1+2HF

∆M

F1RHF F2RHF

M

a. b.

Slika 6.17 Preraspodela optere}enja

1

2

σfck

fcd=fck/γc

0,2 0,35ε(%)

σfyk

fyd=fyk/γs

Es=200 kN/mm2

1,0 ε (%)

12

3

a.

b.

Slika 6.18 Modeli betona i ~elika

6-14

objekate, da sa istom pouzdano{}u izdr`e zemljotres sa povratnim periodom Tp > 475 godina.

6.17 DIMENZIONISANJE, KONSTRUISANJE DETALJA I OBEZBE\ENJE ZAHTEVANE DUKTILNOSTI

Da bi se obezbedila zahtevana duktilnost pomeranja konstrukcije i opravdao ~itav algoritam, potrebno je da se na nivou preseka elemenata obezbedi odgovaraju}a duktilnost krivine. Zavisno od klase duktilnosti, EC8 postavlja odre|ene zahteve u vezi armiranja preseka, minimalnih i maksimalnih dozvoljenih procenata armiranja, utezanja preseka

uzengijama, nastavljanja armature itd. Za svaku od klasa duktilnosti, za stubove je defini-

sana zahtevana minimalna vrednost tzv. konvencionalnog faktora duktilnosti krivine - CCDF. Umesto dokaza CCDF, EC8 dozvoljava da se zahtevani CCDF smatra zadovo-ljenim ako je obezbe|ena vrednost mehani~kog zapreminskog procenta armiranja - utezanja uzengijama

ωwdh yd

cd

VV

ff

=0

(6.12)

gde je Vh zapremina sloja uzengija na ramaku s, a V0 zapremina utegnutog jezgra betona visine s. Prema slici 6.19.b, zapremina uzengija iznosi Vh=8fu b0 , a zapremina utegnutog jezgra V0 = sb 2

0 . Presek stuba i kraja zida na slici 6.19.a,c je prema

EC8 prakti~no neutegnut, neduktilan, jer su uzengije usidrene u za{titnom sloju betona koji ima tendenciju otpadanja, pa }e se uzengije "razmotati", kao i zbog toga {to su samo ~etri ugaone podu`ne {ipke armature bo~no pridr`ane uzengijama, usidrene u jezgro preseka betona.

Isti principi va`e i za pritisnute krajeve zidova, koji se tretiraju kao skriveni stubovi aksijalno optere}en tzv. efektivnom normalnom silom.

6.18 PROGRAMIRANO PONA[ANJE

6.18.1 Faktor preoptere}enja Oblast plasti~nih zglobova dimenzioni{e se na prora~unsku vrednost momenata

savijanja MSd dobijenu analizom. Me|utim, realan moment nosivosti MRd koji se mo`e javiti pri pomeranjima usled zemljotresa, odre|uje se na osnovu stvarno ugra|ene i anga`ovane armature preseka, kao i uz pretpostavku da su stvarne karakteristike ~elika ve}e od nominalnih, uz eventualno zala`enje dilatacija ~elika u zonu oja~anja. Ve}a nosivost ~elika obuhvata se faktorom preoptere}enja γRd ~ija vrednost se kre}e u granicama 1,15-1,25. Sa vredno{}u momenta

lw/10

b w

0,15lw

b w

a. b.

c.

d.

b0

fu/s

Slika 6.19 Utezanje preseka

0

100

200

300

400

500

600

0 50 100 150 200 250Dilatacija (0/00)

Nap

on (

MPa

)

462/

400=

1,15

548/

400=

1,37

515/

400=

1,28

1

2

6.20 Opit kidanja RA400/500

6-15

preoptere}enja MRd treba sra~unati uticaje u priklju~enim elementima na plasti~ni zglob. Na slici 6.20 prikazani su rezultati opita kidanja rebraste armature RA400/500

izvr{eni u IMK - GF-a, linija 2, kao i nominalni radni dijagram rebraste armature, linija 1. Nazna~eni odnos stvarnih i nominalnih karakteristika potvr|uje predlo`ene iznose faktora preoptere}enja γRd .

6.18.2 Zidovi U slu~aju zidova, stav o obezbe|enju "elasti~nog dela zida" na uticaje jednake

kapacitetu nosivosti na savijanje plasti~nog zgloba, uz preoptere}enje ~elika i efekte vi{ih tonova dovodi do dramati~nih posle-dica, slika 6.21. Ra~unske trans-verzalne sile zida V'sd, linija 1 na slici 6.21.b, treba multiplikovati fak-torom uve}anja ε, ~ime se dobija pro-ra~unska vrednost transvrezalnih sila Vsd, linija 2, na osnovu koje se

formira prora~unska anvelopa, linija 3. Vrednost faktora uve}anja ε definisana je izrazom

εγ

= + ≤qq

MM

S TS T

qRd Rd

Sd

e C

e( ) , (

( )( )

)2

1

20 1 (6.13)

Na slici 6.21.a prikazane su vrednosti faktora uve}anja ε za tri klase duktilnosti. Za periode oscilovanja konstrukcija sa zidovima du`e od 1,6 sekundi, sra~unate transverzalne sile treba znatno uve}ati, prakti~no vratiti na nivo elasti~nog odgovora konstrukcije.

6.18.3 Grede Za prelazak konstrukcije u plasti~ni mehanizam, potrebno je da se u svakom

rasponu greda okvira pojave dva plasti~na zgloba. Ako su uticaji usled zemljotresa veliki u odnosu na uticaje usled gravitacionih optere}enja, najve}i ukupni momenti javi}e se na krajevima greda, i prema njima se odre|uje potrebna gornja Asg i donja Asd armatura plasti~nih zglobova greda, slika 6.22.a-b. U op{tem slu~aju, jedan od maksimuma momenata savijanja mo`e da se javi i polju grede, pa se polo`aj plasti~nih

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3Period (s)

Fak

tor

uve}

anja

ε

ε = 3,0

ε = 4,0

T=0,6s

ε = 1,3

DCH

DCM

DCL

Tlo klase BMRd/MSd = 1

DCH q=4 γRd =1,25 DCM q=3 γRd=1,15

1

2

3

VSd=εV'Sd

V'Sd

>0,5VSd

H/3

2H/3

a. b.

Slika 6.21 Faktor uve}anja transverzalnih sila zida

MAd

MAg

Asd

Asg

MBg

MBd

1

1

2

2

1

1

2

23

3

VBg

VBd

VAd

VAg

a.

b.

c.

d. "Kosa armatura"

Slika 6.22 Programirano pona{anje greda: 1) "g+p/2", 2)

"g+p/2" + zemljotres, 3) prora~unski dijagram transverzalnih sila V

6-16

zglobova projektuje pa`ljivim konstruisanjem anvelope nosivosti podu`ne armature. U slu~aju konstrukcija visoke zahtevane duktilnosti, osiguranje greda od krtog loma

"smicanjem" vr{i se prema najve}im mogu}im vrednostima transverzalnih sila greda koje uop{te mogu da se pojave pri pomeranjima usled zemljotresa - dostizanju kapaciteta nosivosti na savijanje plasti~nih zglobova, sa realno ugra|enom armaturom, uklju~uju}i i deo armature iz plo~e (T - presek) i uz preoptere}enje ~elika, linija 3 na slici 6.22.c-d.

Ukoliko pri zemljotresu mogu da se pojave velike transverzalne sile promenljivog znaka, osiguranje oblasti plasti~nog zgloba od proloma vertikalnim klizanjem preseka po ukr{tenim prslinama zahteva}e postavljanje ukr{tene kose armature.

6.18.4 Stubovi Po`eljno je da u plasti~nom mehanizmu konstrukcije stubovi "participiraju" samo

jednim plasti~nim zglobom, u uklje{tenju stuba. Usled gravitacionog optere}enja, unutra{nji stubovi okvira obi~no imaju zanemar-

ljive momente savijanja, slika 6.23.a - "~ekaju zemljotres". Pri pomeranjima dm usled zemljo-tresa i dostizanju kapaciteta nosivosti plasti~nih zglobova priklju~enih greda u ~voru okvira, MA i Mg na slici 6.23.b, ukupna nosivost gornjeg i donjeg preseka stuba stuba treba da je ve}a od rezultuju}eg momenta greda Mg

Ms = Msg + Msd > φ Mg (6.14.)

gde je φ dodatni faktor korekcije. Vrednost "ulaznog momenta" Mg je poznata jer je limitirana fizi~kim parametrima, ali raspodela ovog momenta na gornji, Msg i donji, Msd presek stuba u slu~aju zemljotresa prili~no je neizvesna. Naime, raspodela ulaznog momenta bitno zavisi i od oblika deformacija stuba, relativnih pomeranja dva kraja stuba,

zbog ~ega treba nekako proceniti uticaje vi{ih tonova - formi oscilacija. Razli~iti pro-pisi sadr`e razli~ita re{enja, pitanje merodavnih uticaja za dimenzionisanje stubova je stalno otvoreno.

Iako se u stubovima konceptualno ne predvi|a pojava plasti~nih zglobova, prora~unske transverzalne sile stuba odre|uju se analogno slu~aju greda visoke duktilnosti, iz kapaciteta

nosivosti na savijanje krajeva stuba. O~igledna je `elja da se krti lom "smicanjem" bilo kog elementa konstrukcije spre~i,

pri bilo kojem iznosu i obliku pomeranja konstrukcije pri zemljotresu.

6.18.5 ^vorovi okvira Tradicionalno, "dimenzionisanjem" je obuhva}en prora~un greda i stubova, dok se

~vorovi potom konstrui{u. Iskustva dogo|enih zemljotresa pokazuju da kolaps konstrukcije mo`e da nastupi i zbog otkazivanja nosivosti oblasti betona na ukr{tanju stuba i grede - ~vorova okvira. Konceptualno, oblast ~vora treba razmatrati kao deo stuba, slika 6.24.

Mg

MS

Msg Msd

∆2

Mg

MS

Msg Msd

∆1

MB

MA

Mg

a. b. c.

dm dm

"g+p/2"

"g+p/2"

Slika 6.23 Programirano pona{anje stubova

6-17

Pomeranja usled zemljotresa izazivaju momente suprotnog znaka na krajevima priklju~enih greda. Horizontalna armatura greda je sa jedne strane stuba "vu~ena", a sa druge strane "gurana" kroz ~vor, tako da mo`e da nastupi lom usled proklizavanja armature grede kroz ~vor, detalja 1 na slici 6.24. Obezbe|enje od proklizavanja svodi se na ograni~enje maksimalnog pre~nika armature grede u zavisnosti od {irine grede. Problem je nagla{eniji kod krajnjih stubova, sa gredom samo sa jedne strane stuba.

Ako je proklizavanje spre~eno, tada je obezbe|eno formiranje mehanizma re{etke sila kojim se trajektorije pritisaka skre}u kroz ~vor, sa jedne na drugu stranu grede odnosno stuba, sile Di na slici 6.24. Ukoliko je pritisak u rezultuju}em dijagonalnom pravcu prevelik, mo`e da nastupi, izme|u ostalog, lom

betona bo~nim cepanjem i otvaranjem prslina, detalj 2 na slici 6.24. Uzengije - 3 i podu`na armatura stuba - 4 treba da dopune mehanizam prenosa sila kroz ~vor, tako da ~vor postaje "nova pozicija stait~kog prora~una".

6.18.6 Konstrukcijski sistem Razmatran na nivou elemenata konstrukcije, koncept programiranog pona{anja

deluje vrlo jednostavno, "in`enjerski". U praksi se stvari naravno komplikuju. Na slici 6.25 prikazan je ~est slu~aj okvira ve}ih raspona, sa velikim uticajima gravi-

tacionog optere}enja, kod koga ra~unski momenti usled zemljotresa ne uspevaju da "obrnu" znak momenta savijanja MBC iznad srednjeg stuba. Osim {to u polju BC nedostaje jedan plasti~ni zglob do stvaranja potpunog mehanizma, postavlja se pitanje na koje uticaje treba dimenzionisati stub, da li je u pitanju "raspad" koncepta programiranog pona{anja?

Jedno od re{enja je da se ipak dozvoli pojava plasti~nih zglobova i u stubovima, ali samo unutra{njim, stub B na slici 6.25. Krajnji stubovi A i C "{tite konstrukciju" od pojave fleksibilnog sprata. Generalno, ono {to treba apsolutno spre~iti kod okvirnih konstrukcija je istovremena pojava plasti~nih zglobova na oba kraja svih stubova sprata.

Ukupan rezultat restriktivnih uslova za obezbe|enje `eljenog plasti~nog mehanizma i duktilnosti mogu da budu pora`avaju}i za konkurentnost i atraktivnost primene betona u oblastima povi{enog seizmi~kog rizika. Dana{nje tehnologije materijala i gra|enja omogu}avaju izvo|enje stubova malih dimenzija preseka uz veliku aksijalnu nosivost, na primer. Me|utim, zahtevi za obezbe|enje pouzdanog pona{anja AB konstrukcije pri zemljotresu ~esto ne dozvoljavaju iskori{}enje mogu}nosti materijala. Rezultat je pove}ana masa i cena konstrukcije kao i "unesre}eni arhitekta", koji je o~ekivao "pau~inastu" konstrukciju. Sve to, da bi na kraju, posle zemljotresa jo{ imali i o{te}enja, jer sve vreme razmatramo klasi~an, pasivan koncept za{tite od zemljotresa.

D1

D2

D3

D4

1

1

2

3

4

Slika 6.24 ^vor okvira

12

A B C

MB

C

Slika 6.25 Gde je drugi plasti~ni zglob ?

6-18

Osim samo nagove{tenog savremenog koncepta za{tite od zemljotresa, poglavlje 3.1, uvek ima mesta i "kompromisnim" re{enjima, slika 6.26, na primer. Konstrukcija tavanice je tanka prethodno napregnuta plo~a direktno oslonjena na stubove.

Stubovi su zglobno vezani na oba kraja - "pendel stubovi", izvedeni od betona povi{enih ~vrsto}a (MB100 na primer) ili spregnuti, eventualno izvedeni monta`no. Horizontalnu stabilnost obezbe|uje AB zid, prema konceptu "ako problem ne mo`e da se re{i na zadovoljavaju}i na~in, mo`da mo`e da se elimini{e".

Konstrukcija ima jednostavnu oplatu, korisna visina spratova je velika, lako se vode instalacije ispod tavanice, tavanice i stubovi su konstruisani sa maksimalnim iskori{}enjem mogu}nosti betona, izbegnuto je neprijatno pogor{anje uslova proboja tavanice pri pomeranjima objekta usled zemljotresa, zidovi {tite konstrukciju od velikih pomeranja i pojave fleksibilnog sprata, a i sama konstrukcija zidova bi se mogla "doterati", bitno je da se ne vidi "{ta je unutra".

6.19 KONTROLA POMERANJA KONSTRUKCIJE

Sa usvojenim ra~unskim seizmi~kim optere}enjem Fb , za povratni period zemljotresa od Tp=475 godina, vr{i se analiza naprezanja i deformacija linearno elasti~nog modela konstrukcije sa kruto{}u k - "stati~ki prora~un".

[to se ti~e pomeranja, rezultat prora~una je pomeranje dy na granici elasti~nosti odnosno formiranja plasti~nog mehanizma. U praksi se ~esto previ|a da "realno" pomeranje elasti~ne konstrukcije iznosi de a nelinearne, realne konstrukcije dm , slika 6.27. Prema EC8, realno pomeranje pri projektnom zemljotresu mo`e da se usvoji u iznosu

dm = q dy (6.15)

Kako je Fb / Fe ∼ q, sledi da su pomeranja pri linearnom i nelinearnom odgovoru konstrukcije jednaka, dm = de - tzv. "koncept jednakih pomeranja".

Ako je to tako, prora~un konstrukcije za nivo optere}enja Fe elasti~nog odgovora konstrukcije, q = 1,0, kao rezultat daje "ta~na pomeranja pri zemljotresu", ali i prevelike, neredukovane sile u presecima. Ovaj stav pru`a razli~ite korisne mogu}nosti primene u praksi.

Sra~unato maksimalno pomeranje dm koje mo`e da se dogodi jedanput u 475 godina merodavno je za odre|ivanje {irine dilatacije izme|u objekata, da bi se izbeglo sudaranje konstrukcija, slika 6.28. Ako se to ne mo`e izbe}i, bar treba izbe}i da tavanica jednoga objekta udari i prelomi stubove drugog objekta. Samu veli~inu pomeranja sa povratnim periodom od 475 godina EC8 na primer direktno ne ograni~ava, naprezanja sa efektima drugoga reda su limitiraju}i faktor.

Slika 6.26 Savremeni koncept AB konstrukcije-studija

dyde dm

d

F

Fe

Fy=Fb=SdW

k

Slika 6.27 "Jednaka pomeranja"

6-19

Do ovoga trenutka pa`nja je bila usmerena na pitanja obezbe|enja nosivosti konstrukcije. Projektante, a jo{ vi{e investitore interesuje i kako }e konstrukcija da se pona{a pri "obi~nom" zemljotresu, koji mo`e da se pojavi svakih 50 godina na primer, 2-3 puta u toku eksploatacije objekta. Ako }e tom prilikom sva stakla, pregradni zidovi i skupocena oprema da budu upropa{}eni, sve to mo`da bez o{te}enja nose}e konstrukcije ~ija je cena ina~e reda veli~ine 25% ukupne cene objekta, onda je koncept nepotpun.

Da bi se obim o{te}enja objekta pri zemljotresu sa ve}om verovatno}om pojave sveo u prihvatljive granice, EC8 ograni~ava relativna spratna pomeranja usled zemljotresa sa povratnim periodom od Tp=475 godina na

dr,i / ν ≤ 0,004 hi (krute pregrade) (6.16)

dr,i / ν ≤ 0,006 hi (fleksibilne pregrade) (6.17)

gde je dr,i relativno pomeranje - smicanje sprata i , hi visina sprata i , a ν faktor koji ra~unska pomeranja usled projektnog zemljotresa prevodi na slu~aj zemljotresa sa kra}im povratnim periodom Tp . Za obi~ne zgrade, vrednost faktora iznosi ν = 2 .

Pomeranje jednako polovini ra~unskog pomeranja pri zemljotresu sa povratnim periodom od Tp=475 godina izazva}e zemljotres sa povratnim periodom od pribli`no Tp=50 godina, sa duplo manjim ubrzanjem tla, slika 6.29.c. I u tom slu~aju konstrukcija mo`e da za|e u nelinearnu oblast, ali sa manjim o{te}enjima, slika 6.29.c.

Odnos dr / h pribli`no je jednak uglu nagiba sprata α. Ako se realni oblik deformacija aproksimira parabolom, kriti~an nivo je prizemlje i donje eta`e u slu~aju

okvirnih konstrukcija, odnosno najvi{i delovi u slu~aju konstrukcija zidova. Treba uo~iti da navedeni kriterijumi prakti~no defini{u minimalnu potrebnu krutost

konstrukcije objekta, o ~emu treba voditi ra~una ve} kod usvajanja dispozicija konstrukcija.

dm1

dm2dα

1 2

A

Slika 6.28 Sudar konstrukcija

h

dr

α

h

dr

α

a. b.

Fe(Tp=475)

Fe(Tp=50)

dy dm

d

F

Fb(Tp=475)

k

dm/ν

Tp=50 Tp=475

c.

Slika 6.29 Koncept dozvoljenih pomeranja

6-20

6.20 KADA SE EFEKTI ZEMLJOTRESA MOGU ZANEMARITI ?

Uobi~ajeno je u praksi da se merodavno optere}enje ocenjuje pore|enjem vrednosti sila u presecima - prema kriterijumu nosivosti. Najve}i "konkurent" zemljotresu je vetar, pa se postavlja pitanje u kom slu~aju zemljotres "nije merodavan".

Ako su za odre|ivanje dimenzija preseka ili koli~ine armature merodavni grani~ni uticaji usled vetra γv Fv >γe Fb , tada je vetar merodavan za definisanje nosivosti konstrukcije.

Pri realnom optere}enju vetrom Fv , pomeranje }e iznositi dv , konstrukcija se na vetru pona{a "elasti~no", slika 6.30.b.

Pri projektnom zemljotresu (Tp=475 godina), konstrukcija te`i pomeranju dm , pa }e se plasti~ni mehanizam formirati pri ra~unskoj nosivosti odre|enoj prema uticajima vetra. Prema tome, izvestan nivo duktilnosti pomeranja mora da se obezbedi, a treba proveriti i relativna spratna pomeranja prema (6.16-17).

Zemljotres definitivno nije merodavan jedino ako je optere}enje vetrom ve}e i od nivoa elasti~nog odgovora konstrukcije na zemljotres, Fv > Fe .

Osim uticaja vetra, i druga optere}enja mogu da izazovu pomeranje i savijanje stubova - gravitaciona optere}enja, temperatura, skupljanje betona, potisci tla itd. ^est slu~aj u praksi je da pri dimenzionisanju preseka kombinacija sa uklju~enim zemljotresom "nije merodavna", ili da je potreban minimalni procenat armiranja. U takvim situacijama razmi{ljanje o zemljotresu kao prinudnom pomeranju, pribli`no jednakom pomeranju elasti~ne konstrukcije je za preporuku. Ono {to }e pri zemljotresu da se dogodi to su pomeranja, naprezanja mo`e ali i ne mora da bude.

6.21 OKVIRNE KONSTRUKCIJE SA ISPUNOM

Na slici 6.6 ilustrovani su problemi koji mogu da nastanu usled prisustva pregradnih zidova. Nije tema ovoga kursa, ali se iz metodolo{kih razloga skre}e pa`nja da savremeni propisi obi~no sadr`e dodatne odredbe za ovakve slu~ajeve, pa i EC8.

6.22 MONTA@NE KONSTRUKCIJE

U praksi je uobi~ajeno da se prakti~no ne pravi razlika izme|u livenih i monta`nih AB konstrukcija. Sve do sada izlo`eno odnosi se na livene armiranobetonske konstrukcije, kod kojih postoji kontinuitet armature i betona.

Nije redak slu~aj da projekat konstrukcije, predvi|en za izvo|enje u livenom betonu, izvo|a~ preradi na delimi~nu ili ~ak potpunu monta`u. To jeste mogu}e, ali onda treba pogledati i dodatne delove propisa koji se odnose na specifi~ne probleme monta`nih konstrukcija i veze elemenata. Ova pitanja tako|e nisu predmet ovoga kursa.

6.23 FUNDIRANJE

Fundiranje je geomehani~ki ali i konstrukcijski problem. Problemi pona{anja tla pri zemljotresu obi~no pripadaju posebnoj oblasti pa i propisima. [to se ti~e konstrukcija zgrada, pretpostavka prethodnih izlaganja je da su naprezanja tla u granicama elasti~nosti,

dy dm

d

F

Fv

k

Zemljotres

Fb

γvFv

γeFb

Fe

dv

Vetar

1

5

2

34

dm

dv

Fb , Fv

a. b.

Slika 6.30 Vetar - zemljotres

6-21

bez trajnih deformacija ili nestabilnosti tla, niti izra`enijih neravnomernih sleganja delova konstrukcije pri zemljotresu. [to se ti~e konstrukcije temelja, ona treba da obezbedi pretpostavljeni odgovor kosntrukcije na zemljotres, pri ~emu se nelinearni odgovor konstrukcije mo`e delom realizovati i u okviru temeljne konstrukcije. Me|utim, ni to nije predmet ovoga kursa.

7-1

7. SEIZMI^KI PRORA^UN PREMA YU PROPISIMA (YU81)

UVOD U prvom delu ovoga poglavlja dat je rezime jugoslovenskih propisa (na dalje YU81)

u ovoj oblasti /10/, sa tuma~enjem nekih stavova koji su se pokazali nejasni u praksi. U drugom delu, data je delimi~na uporedna analiza jugoslovenskih propisa i EC8, sa prvenstvenim ciljem da se stavovima jugoslovenskih propisa da savremeno obja{njenje i tuma~enje, koje ina~e nedostaje propisima.

7.1 ULAZNI SEIZMI^KI PODACI

Teritorija Jugoslavije podeljena je na seizmi~ka podru~ja, sa kartama o~ekivanog intenziteta zemljotresa sa povratnim periodima Tp=50 - 10000 godina. Za zna~ajnije objekte, zahteva se sprovo|enje seizmi~ke mikrorejonizacije.

Prema lokalnim uslovima, tla su svrstana u tri kategorije tla: I (∼ A - EC8), II (∼ B - EC8), III (∼ C - EC8).

7.2 ELEMENTI PRORA^UNA SEIZMI^KIH UTICAJA

Upro{}ena modalna spektralna analiza prema EC8 ovde se naziva metoda ekvivalentnog stati~kog optere}enja.

Za slo`enije objekte, zahteva se metoda linearne i nelinearne dinami~ke analize. Na{i propisi ne spominju multimodalnu analizu, koja se danas ~esto primenjuje u

praksi, nakon pojave komercijalnih softvera iz ove oblasti. Ukupna seizmi~ka sila S, defini{e se kao

S = k G (7.1)

gde je G ukupna te`ina objekta iznad gornjeg ruba uklje{tenja (temelj ili gornja ivica krutih podrumskih konstrukcija), a k - ukupni seizmi~ki koeficijent

k = k0 ks kd kp ≥ 0,02 (7.2)

Prema zna~aju, objekti se dele u kategorije : van kategorije (elektrane...), I kategorija (ve}i skupovi ljudi..., koeficijent kategorije objekta ko=1,5 ) i II kategorija (stambene zgrade..., koeficijent kategorije objekta ko=1,0 ).

Za objekte II-ge kategorije za projektovanje je merodavan intenzitet zemljotresa sa povratnim periodom Tp=500 godina (EC8 - Tp=475 godina).

Koeficijent seizmi~kog intenziteta ks vezan je za o~ekivani intenzitet zemljotresa u datom seizmi~kom podru~ju

Stepen MSK-64 ks ag /g VII 0,025 ≤ 0,10 VIII 0,050 ≤ 0,20 (7.3) IX 0,100 ≤ 0,40

Vrednosti ag / g u (7.3) predstavljaju gornju granicu maksimalnih o~ekivanih ubrzanja tla, ako ne postoje podaci seizmi~ke mikrorejonizacije, pa se veza koeficijenta sezimi~kog intenziteta i maksimalnog o~ekivanog ubrzanja tla mo`e izraziti kao

ks = 0,25 ag / g (7.4)

Za stanicu "Beograd Centar" u Prokopu, na osnovu seizmi~ke mikrorejonizacije utvr|eno je o~ekivano ubrzanja tla od ag=118 cm/s 2 sa povratnim periodom Tp=500

7-2

godina, pa je ks = 0,25x118/981 = 0,03, ~emu pribli`no odgovara VII zona seizmi~kog intenziteta.

Koeficijent dinami~nosti kd zavisi od kategorije tla i perioda oscilovanja osnovnog tona T

Kategorija tla kd I 0,33 ≤ kd = 0,5/T ≤ 1,0 II 0,47 ≤ kd= 0,7/T ≤ 1,0 (7.4) III 0,60 ≤ kd=0,9/T ≤ 1,0

Na slici 7.1 prikazane su vrednosti koeficijenata dinami~nosti, sa preklopljenim odgovaraju}im krivama spektra ubrzanja prema EC8, normalizovanim na maksimalnu vrednost 1,0.

Koeficijent duktiliteta i prigu{enja kp se za sve "savremene armiranobetonske konstruk-cije" usvaja da je jednak kp = 1,0. Za kon-strukcije od "armiranih zidova" - kp=1,30. Za vitke konstrukcije, sa periodom T>2 sekunde, kp = 1,6. Za konstrukcije sa "fleksibilnim pri-zemljem odnosno naglom promenom krutosti", kp = 2,0.

Naziv koeficijent duktiliteta nije ba{ najbolji, i brojno nema veze sa vrednostima duktilnosti pomeranja iz prethodnih izlaganja. O~igledno da je ekvivalent faktoru pona{anja q prema EC8 ugra|en u formulu (7.2), a da se "faktorom duktiliteta" samo koriguje osnovna vrednost.

Zbog nepotpunosti odredbe, u praksi se prakti~no svaka AB konstrukcija smatra "savremenom", i usvaja najni`a vrednost kp . Prakti~no, ve}ina AB konstrukcija se projektuje na isti nivo seizmi~kog optere}enja, {to je neopravdano.

Nije redak slu~aj da se u praksi za armiranobetonske zidove usvoji kp=1,3, {to je nesporazum. "Armirani zidovi" su zidovi od opeke, oja~ani armaturom.

Jedan od razloga pove}anja seizmi~kog optere}enja za konstrukcije sa periodama du`im od dve sekunde je obuhvatanje efekata vi{ih tonova oscilacija, analogno korekciji spektralnih krivih prema EC8.

Procena da li konstrukcija te`i "fleksibilnom spratu" ili poseduje "naglu promenu krutosti" ostavljena je projektantima. EC8 prakti~no zabranjuje fleksibilna prizemlja ili

spratove. Raspodela ukupne seizmi~ke sile prema (7.1 ) vr{i se

linearno kao u EC8 za objekte do pet spratova, dok se za vi{e objekte 85% ukupne sile raspodeljuje linearno, a ostatak od 15% se postavlja na vrh objekta, da bi se obuhvatili i efekti vi{ih tonova, slika 7.2.

Prema YU81, uticaji zemljotresa se ra~unaju bez kombinovanja istovremenih uticaja iz dva pravca.

Koeficijent sigurnosti za sva optere}enja koja ulaze u seizmi~ku kombinaciju optere}enja je jedinstven i iznosi γ =1,3, bez obzira na iznos dilatacija armature. Ukoliko

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0Period (s)

Koe

f.din

ami~

nost

i - K

d

0.50.7

0.9

1.5

0.33

0.47

0.60 Kategorija tla III

Kategorija tla II

Kategorija tla I

Slika 7.1 Koeficijent dinami~nosti

Hi

Gi Si

Gn

Sn

S S

Hi

Gi Si

Gn

a. b.

0,85S

0,15S

Slika 7.2 Raspodela sile

7-3

stalno optere}enje deluje povoljno, treba proveriti i kombinaciju sa sni`enom vredno{}u koeficijenta sigurnosti za stalno optere}enje γ =1,0. Nije redak slu~aj u praksi da se seizmi~ka dejstva tretiraju kao "ostala optere}enja" prema BAB-u /16/, {to je naravno pogre{no.

Seizmi~ka kombinacija optere}enja obuhvata dejstvo stalnog, 50% korisnog i optere}enje snegom, bez vetra. Propisi ne ukazuju da li se dejstva "ostalih optere}enja" prema BAB-u /16/- temperatura, skupljanje betona, sleganje oslonaca itd. kombinuju sa dejstvom zemljotresa. U praksi se obi~no ne kombinuju, ali ima argumenata i za i protiv, pri ~emu treba razlikovati problem kapaciteta nosivosti preseka od potrebnog kapaciteta pomeranja, neoprenskih le`i{ta mostova, na primer.

Ovde su izlo`eni samo podaci potrebni za naredne analize. Ostali detalji prora~una i konstruisanja bi}e prikazani uz primere, u Delu B.

7.3 PORE\ENJE EC8 I YU81

Primer 7.1.......... Za lokaciju jednog objekta u Beogradu, nestandardnog okvirnog sistema, seizmi~kom

mikrorejonizacijom utvr|ena je vrednost maksimalnog o~ekivanog ubrzanja temeljnog tla, ag = 118 cm/sec 2 (12% ubrzanja zemljine te`e - g) za povratni period zemljotresa od 500 godina. Objekat je druge kategorije kao i tlo. Sra~unati vrednost ukupnog seizmi~kog optere}enja prema YU81 i EC8 ako je period oscilovanja konstrukcije u prvom tonu T=0,4 sekunde.

YU81 S=kG=ko ks kd kp G ≥ 0,02G ko=1,0 (druga kategorija objekta) ks=0,25ag / g=0,25 x 118/981 = 0,03 kd=0,7/T=0,7/0,4=1,75>1 usvojeno kd =1,0, II-ga kategorija tla kp=1,0 ("savremena armiranobetonska konstrukcija") k=1,0x0,03x1,0x1,0=0,03 S=0,03G >0,02G EC8 Kategorija tla B T=0,4s < Tc = 0,6 s. Fb = Sd W = αSβ0 W/q ≥ 0,2αW α = ag /g = 118/981 = 0,12 S = 1,0 (kategorija tla B) β0=2,5 (faktor amplifikacije

ubrzanja tla) Sd = 0,12x1,0x2,5/q = 0,30/q Okvirni sistem q=q0 kD kR kW q0 = 5,0 kR = kW = 1,0 q = 5 kD

a) Klasa visoke duktilnosti - DCH kD = 1,0 q=5,0 x 1,0 = 5,0 Sd = 0,3/5,0 = 0,06 > 0,2α = 0,2 x

0,12 = 0,024 Fb = 0,06W ( = 2 x YU81) b) Klasa niske duktilnosti - DCL kD = 0,5 q=5,0 x 0,5 = 2,5 Sd = 0,3/2,5 = 0,12 Fb = 0,12W ( = 4 xYU81)

7-4

Na slici 7.3 ilustrovan je nivo ukupnih seizmi~kih sila, prema EC8 i YU81, sa oznakama prema YU81. Pretpostavljeno je da je elasti~ni odgovor konstrukije identi~an prema oba propisa.

Uop{tenije, na slici 7.4 prikazane su vred-nosti ukupnog seizmi~kog koeficijenta prema oba propisa /12/. Bez obzira na konceptualne, kao i razlike u detaljima, nivo ukupnog projektnog seizmi~kog optere}enja prema EC8 i YU81 je uporedljiva veli~ina.Usvojene su slede}e vred-nosti parametara prema EC8 (YU81):

kategorija zna~aja III (kategorija objekta II); kategorija tla B (II); ag /g=0,20 (Ks=0,05). Vrednost "koeficijenta prigu{enja" prema YU81 iznosi Kp=1,0 (T1 ≤ 2s), odnosno Kp=1,6 (T1>2s). Propis YU81 ne defini{e eksplicitno vrednost "faktora pona{anja" q, a nivo projektnog

optere}enja prakti~no je jedinstvena vrednost za sve "savremene armiranobetonske konstrukcije".

Zavisno od usvojene klase duktilnosti, projektno seizmi~ko optere}enje prema EC8 je dva (visoka duktilnost - DCH, q=5,0 ) do ~etiri puta (niska duktilnost - DCL, q=2,5 ) ve}e nego prema YU81, osim u podru~ju du`ih perioda, u kojem pove}ana vrednost "koeficijenta prigu{enja" prema YU81, umanjuje razlike. Uz pretpostavku da je prema oba propisa odgovor elasti~ne konstrukcije identi~an (q=1,0 prema EC8), "ekvivalentna vrednost faktora pona{anja" ugra|ena u YU81 propise isnosi oko qYu81=10, "crtkasta" kriva na slici 7.4.b.

Ni`i nivo projektnog optere}enja prema YU81 svakako da podrazumeva obezbe|enje visoke duktilnosti konstrukcije, vi{e nego prema EC8. U slu~aju konstrukcija koje realno mogu da razviju visoku duktilnost (q=5-10 ), duplo ni`e projektno optere}enje prema YU81 ne mora unapred da bude razlog za zabrinutost. Posledice su ne{to ve}i iznos post-elasti~nih deformacija, samim tim i o{te}enja u zoni "plasti~nih zglobova". Prema YU81, u pitanju je koncept "ni`eg standarda" obezbe|enja konstrukcija od o{te}enja pri zemljotresu, sa manjim inicijalnim ulaganjima pri gra|enju, primeren ekonomskoj snazi

d

S

d

dmdy

DCH

DCM

DCL

SeS

potµd

S YU81

Slika 7.3 Optere}enje prema EC8 i YU81

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 1 2 3 4Period (s)

q=5,00-DCH

q=? YU-81

q=3,75-DCM

q=2,50-DCL

q=1,00-"Elastic"

a.

Fb /

W

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4Period (s)

q=1,00-"Elastic"

q=2,50-DCL

q=3,75-DCM

q=5,00-DCH

b.

Fb/

W -

Odn

os E

C8/

YU

81

Slika 7.4 a) Ukupni seizmi~ki koeficijent, b) odnos EC8/YU81

7-5

dru{tva. Me|utim, ni`i nivo projektnog optere}enja prema YU81 u odnosu na EC8 trebalo bi da bude propra}en i stro`ijim konstrukcijskim zahtevima za obezbe|enje zahtevane duktilnosti {to, po svemu sude}i nije slu~aj. Osim nekoliko zahteva u vezi detalja armiranja, kao i izgleda dobro ocenjenog ograni~enja nivoa normalne sile u stubovima, σ0 /βB ≤ 0,35, na{i propisi daju na~elne stavove u vezi obezbe|enja duktilnog pona{anja konstrukcije, tako da je, strogo uzev, samo vrlo obrazovan specijalista razumeo su{tinu propisa, i imao {ansu da konstrui{e korektan objekat.

Problem je i to {to, prema YU81, ista vrednost faktora pona{anja, kao i isti konstrukcijski zahtevi za obezbe|enje duktilnosti va`e za prakti~no sve konstrukcijske sisteme zgrada, kao i sve nivoe aksijalnog naprezanja, - za "sve savremene armirano-betonske konstrukcije".

Deluje zbunjuju}e, i izaziva sumnju da YU81 propis nije "izbalansiran" u svim svojim delovima, to {to je nivo optere}enja koji YU81 zahteva za "konstrukcije sa fleksibilnim prizemljem ili spratom" (Kp=2,0 ), pribli`no jednak iznosu projektnog optere}enja za konstrukcije visoke duktilnosti prema EC8. Pri tome treba imati u vidu da ovakve "konstrukcijske sisteme" EC8 prakti~no zabranjuje. Najvi{i nivo projektnog optere}enja prema YU81 zahtevan za "neregularne konstrukcije", jednak je najni`em nivou projektnog optere}enja prema EC8, dozvoljenom za "savr{ene", regularne konstrukcije. Primer 7.2..........

Uporediti kriterijume dozvoljenih pomeranja konstrukcija prema EC8 i YU81

Prema YU81, ra~unsko pomeranje δ vrha zgrade pri projektnom zemljotresu, sa povratnim periodom od 500 godina treba da je jednako ili manje od H/600, slika 7.5 /12/. Uz pretpostavku paraboli~nog oblika deformacije, dozvoljeno pomeranje vrha zgrade od H/600 defini{e maksimalni spratni nagib od tgβ=1/300, slika 7.5. Ako vrednost faktora pona{anja prema YU81 iznosi oko q=10, tada je realno pomeranje vrha zgrade deset puta ve}e, tgβ = 1/30.

Pri pribli`no dva puta manjem ubrzanju i pomeranju, usled zemljotresa sa povratnim periodom od 50 godina, nagib iznosi pribli`no tgβ=1/60, {to je oko 2 - 3 puta vi{e od nagiba dozvoljenog prema EC8, tgβ=0,004-0,006.

Manji iznos dozvoljenih pome-ranja prema EC8 svakako da zna~i i manja o{te}enja fasada i pregradnih zido-va. Me|utim, ako se ima u vidu da iznos pomeranja pri zemljotresu dominantno zavisi od inicijalne krutosti "elasti~ne konstrukcije", to posledice ovakvog zahte-va mogu biti dramati~ne - minimalna doz-voljena krutost konstrukcija prema EC8

je pribli`no dva puta ve}a nego prema YU81. Za razliku od EC8, YU81 ne ukazuje eksplicitno kolika su "realna" pomeranja

konstrukcija pri zemljotresu, pa nisu retki slu~ajevi da se ra~unska pomeranja de na granici elasti~nosti smatraju i realnim pomeranjima. Verovatno da u jugoslovenskoj praksi ima propusta pri proceni realnih pomeranja, pri odre|ivanju potrebnih visina neoprenskih le`i{ta, na primer.

δ < Η/600

α

b.

α

a.

δ δ

H

SS

Slika - 7.5 Koncept dozvoljenih pomeranja prema

YU81.

LITERATURA uz Deo A /1/ D.Ani~i}, P.Fajfar, B.Petrovi}, A.Szavits-Nossan, M.Toma`evi~, Zemljotresno in`enjerstvo - visokogradnja, Gra|evinska knjiga, Beograd, 1990. /2/ T. Paulay, M.J.N. Priestley, Seismic Design of Reinforced Concrete and Masonry Buildings, John Wiley & Sons, New York, 1992. /3/ B.]ori}, S.Rankovi}, R.Salati}, Dinamika konstrukcija, Univerzitet u Beogradu, 1998. /4/ A.K.Chopra, Dynamics of Structures - Theory and Applications to Earthquake Engineering, Prentice Hall International, New Jersey, 1995. /5/ Diana Finite Element Analysis, User's Manual, Release 7, TNO, Delft, 1998. /6/ P.Fajfar, T.Vidic, M.Fischinger, On Energy Demand and Supply in SDOF Systems, Nonlinear Seismic Analysis and Design of Reinforced Concrete Buildings, P.Fajfar, H.Krawinkler editors, Workshop, Bled, Slovenia 1992., Elsevier Applied Science, London 1992. /7/ E.Cosenza, G.Manfredi, A Seismic Design Method Including Damage Effects, 11th European Conference on Earthquake Engineering, Balkema, Rotterdam, 1998. /8/ H.Bachman, A.Dazio, P.Lestuzzi, Developments in the Seismic Design of Buildings with RC Structural Walls, 11th European Conference on Earthquake Engineering, Balkema, Rotterdam, 1998. /9/ M.P.Collins, D.Michell, Prestressed Concrete Structures, Prentice Hall, New Jersey, 1991. /10/ Pravilnik o tehni~kim normativima za izgradnju objekata visokogradnje u seizmi~kim podru~jima, Slu`beni list SFRJ, Beograd, 1981, sa naknadnim dopunama /11/ N.Stojanovi}, V.Alendar, M.A}i}, Seizmi~ki odgovor AB zidova slo`enog preseka, Me|unarodni simpozijum povodom 30 godina Banjalu~kog zemljotresa, Banja Luka, Republika Srpska, 26-27. oktobar 1999. g /12/ V.Alendar, M.A}i}, "EC8 zemljotres" potresa Jugoslaviju, ~asopis Izgradnja, Beograd, oktobar 1999., u {tampi. /13/ Evrokod 8, Projektovanje seizmi~ki otpornih konstrukcija, Deo 1-1 do 1-3, R.Foli} editor, Gra|evinski fakultet Univerziteta u Beogradu, 1997. /14/ M.A}i}, M.Uli}evi}, S.Jankovi}, Projektovanje seizmi~ki otpornih zgrada od armiranog betona, Gra|evinski kalendar 1998. /15/ M.A}i}, M.Uli}evi}, Projektovanje seizmi~ki otpornih zgrada od armiranog betona - II deo, Gra|evinski kalendar 1999. /16/ Pravilnik o tehni~kim normativima za beton i armirani beton, Slu`beni list br. 07-719/1, Beograd, 13.02.1986.