GJIMNAZI GJON BUZUKU

MATEMATIK - INFORMATIK

Punim Seminarik Vargjet Numerike - Prmbledhje

Punoi :

Artan Gruda

Mentor :

Prof. Afrim Shemsidini

Lnda :

Analiz

Punuar :

Prill, 2014 Prizren

HYRJE

Vargjet numerike n prgjithsi si kapitull n Matematik kan prdorim

jashtzakonisht t madh n t gjitha shkencat, pa to shum kuptime dhe dukuri

nga fizika dhe shkencat e tjera nuk do mund t studioheshin n trsi. Duke e

ditur rndsin e vargjeve, do prkushtohemi n kuptimin e Vargut numerik dhe

shqyrtimin e detyrave nga Vargjet Aritmetike dhe Gjeometrike ndrsa rndsi

m t madhe do ti kushtojm studimit t Limitit t vargut i cili si kuptim n

matematik sht fundamental, dhe shum praktik si n matematik ashtu

edhe n fusha t tjera.

KUPTIMI I VARGUT NUMERIK

Fillimisht le t jet E nn bashksi e numrave real, dhe nse elementet e saj i shkruajm n

nj renditje t caktuar :

1, 2, 3, 4, ,

fitojm vargun apo progresionin numerik.

P.sh.: 1, 5, 7, 8, ... , apo 3, 4, 6, 8, ..., jan dy vargje numerike.

Pra, duke iu referuar shembullit t mparshm, Varg numerik apo thjesht varg quajm

pasqyrimin nga bashksia e numrave natyral n bashksin e numrave real, apo :

q do t thot se funksioni i cili do numri natyral ia shton numrin real

Elementet 1, 2, 3, 4, , , quhen terma ose kufiza t vargut. Kufiza apo termi i vargut

quhet term i prgjithshm i tij, dhe nga ktu themi se vargu konsiderohet i njohur vetm nse

dihet termi i prgjithshm. Pra, kufiza na jep vargun e numrave natyral 1 = 1, 2 =

2, 3 = 3.. e nse krkojm termin e 42 t vargut, nisemi nga termi i prgjithshm, ku 42 =

2 , pra termi i 42 i vargut sht 42.

Shembulli 1. Nse kemi termin e prgjithshm = 2 + 2 ather fitojm vargun me terma

:

1 = 2 1 + 2 = 2 + 2 = 4 2 = 2 2 + 2 = 4 + 2 = 6 3 = 2 3 + 2 = 6 + 2 = 8 4 = 2 4 + 2 = 8 + 2 = 10

Nga termi i prgjithshm i prmendur m lart fitojm vargun: 4, 6, 8, 10 , ... ,

Shembulli 2. Nse kemi termin e prgjithshm = 3 + 1 ather fitojm vargun me terma

:

1 = 3 1 + 1 = 3 + 1 = 4 2 = 3 2 + 1 = 6 + 1 = 7 3 = 3 3 + 1 = 9 + 1 = 10 4 = 3 4 + 1 = 12 + 1 = 13

Nga termi i prgjithshm i prmendur m lart fitojm vargun: 4, 7, 10, 13 ,... ,

Ku p.sh termi i 50 i ktij vargu sht : 50 = 3 50 + 1 = 150 + 1 = 151

Nga shembujt 1 dhe 2 kuptojm ndrtimin e vargut numerik, bazuar n termin apo kufizn e

prgjithshme q na jepet, ku na jep vargun e numrave natyral (1, 2, 3, 4, ...)

VARGJET E KUFIZIARA DHE ATO MONOTONE

Nisemi nga prkufizimi se, Vargu sht i kufizuar nga sipr (posht) n qoftse egziston

numri n mnyr q : Ndrsa numri quhet kufi i siprm (i poshtm) i vargut nga ku themi se

vargu i kufizuar nga sipr dhe posht quhet varg i kufizuar.

( ),

Duke u bazuar n prkufizim shqyrtojm vargun me termin e prgjithshm =(1)

Termat e ktij vargu jan : 1,1

2,

1

3,

1

4

ktu vrejm se 1 1

2 q na jep t kuptojm se vargu i dhn sht varg i kufizuar

Nse do t shqyrtojm monotonin e vargjeve, ather do t na hyj n pun kjo tabel :

Shembulli 1. T tregohet se vargu me termin e prgjithshm = + 1 sht monotono-

rrits.

Zgjidhja. Detyrn e shqyrtojm prmes forms

+1 ,

+1

= + 1

( + 1) + 1=

+ 1

+ 2< 1,

Dhe themi se vargu sht monotono rrits duke u bazuar te < +1 ,

Vargu quhet monotono-jozvoglues n qoft se :

+1 , ;

quhet monotono-jorrits n qoft se :

+1 , ;

quhet monotono-rrits n qoft se :

< +1 , ;

quhet monotono-zvoglues n qoft se :

> +1 , ;

VARGU ARITMETIK

Pr studimin dhe shqyrtimin e vargjeve aritmetike duhet t nisemi nga prkufizimi pr vargun

numerik, pra nj renditje e numrave na jep vargun numerik. Nj varg sht aritmetik vetm

ather kur n mes dy termave ekziston nj distanc e njjt, apo t nisemi nga prkufizimi

ku thuhet se : Vargun e quajm varg aritmetik nse ndryshimi i secilit term dhe termit para tij

sht i njjt :

1 = , 2

Numri d quhet ndryshimi apo diferenca e vargut aritmetik.

Si formul q do na ndihmoj n shqyrtimin e vargjeve aritmetike sht:

= 1 + ( 1) , = 1 +

Shembulli 1. T shqyrtohet nse vargu vijues sht varg aritmetik dhe t gjendet diferenca d

2, 4, 6, 8, 10

duke u nisur nga prkufizimi kemi :

= 1 = 4 2 = 2 , = 2 = 6 4 = 2 , = 2 = 8 6 = 2 , = 2

shohim se diferenca n kt varg sht e njjt mes secilit term, dhe themi se ky varg sht

aritmetik

E nse e shqyrtojm prmes formuls tjetr kemi :

= 1 + ( 1) = 1

1

Nse nisemi nga 3 = 6 dhe 1 = 2

=62

31=

4

2= 2 , = 2

Nse shqyrtojm shumn e termave t vargut aritmetik, nisur nga :

1 = 1 2 = 1 + 2 3 = 1 + 2 + 3

= 1 + 2 + 3 + 4 + +

fitohen dy formula t cilat na ndihmojn n zgjidhjen e detyrave ku krkohet shuma e disa

termave t par t ndonj vargu t fardoshm aritmetik, pra :

=

2(1 + ) =

2[21 + ( 1)]

Pra quhet edhe shuma e n t pjesshme t vargut aritmetik, ndrsa vargu quhet vargu i

shumave t pjesshme.

Shembulli 1. T gjendet shuma e 100 termave t par t vargut aritmetik 1, 2, 3, 4, ...

Zgjidhja. Shohim se termi apo kufiza e par e vargut aritmetik t paraqitur m lart sht 1,

ndrsa diferenca mes termave sht 2. Kshtu vazhdojm dhe e shqyrtojm prmes

formulave t paraqitura m lart.

=

2(1 + ) 100 =

100

2(1 + 100) = 50 101 = 5050

E nse e shqyrtojm prmes formuls s dyt kemi :

=

2[21 + ( 1)] 100 =

100

2[2 1 + (100 1)1] = 50 101 = 5050

Pra shohim se n t dyja rastet rezultati sht i njjt, 5050, dhe themi se shuma e 100

termave t par t vargut 1, 2, 3, 4 ... sht 5050

VARGU GJEOMETRIK

Nse shqyrtojm vargun gjeometrik ather nisemi nga prkufizimi pr vargun t i cili thot

se vargu sht varg gjeometrik nse hersi i cilit do term dhe i termit para tij sht numr i njjt q. Pra :

+1

= , 0, 0,

Sikur edhe te vargu aritmetik, dhe te kuptimi i vargjeve numerike , quhet term i prgjitshm edhe tek vargu gjeometrik. Dhe qartazi ai konsiderohet i njohur vetm ather

kur sht dhn termi i prgjithshm i tij. Edhe vargu gjeometrik mund t jepet me nj

formul :

+1 = , , > 1

Ku, numri q quhet hers i vargut gjeometrik

Shembulli 1. T shqyrtohet nse vargu vijues sht varg gjeometrik dhe t gjendet hersi q

2, 4, 8, 16

Zgjidhja. Duke u nisur nga prkufizimi kemi : +1 = =+1

=4

2= 2, = 2

=8

4= 2, = 2

Shohim se hersi q sht i njjt dhe themi se vargu sht gjeometrik.

Shembulli 2. T shqyrtohet nse vargu vijues sht varg gjeometrik dhe t gjendet hersi q

2, 1,1

2,1

4,

Zgjidhja. Duke u nisur nga prkufizimi kemi : +1 = =+1

=1

2=

1

2, =

1

2

=

121

=1

2, =

1

2

Themi se vargu i paraqitur m lart sht varg gjeometrik, me hers =1

2

Te vargu gjeometrik vlen edhe nj formul e cila prdoret pr gjetjen e n termave t vargut

gjeometrik, dhe thuhet se termi i prgjithshm i vargut gjeometrik, me termin e par dhe

me hersin q, sht :

= 1 1

Shembulli 1. T gjendet termi i prgjithshm i vargut gjeometrik nse termi i 4 i tij sht 16,

dhe i dyti sht 4. Po ashtu t gjenden termi i 7 dhe termi i 20 .

Nga t dhnat q na jan paraqitur n detyr rrjedh se :

{4 = 1

3 = 162 = 1 = 4

1

3

1=

14

4 = 2

Pra, 1 =16

23= 2

Prandaj = 1 1 2 21 = 2, 2

prej ku gjejm edhe 7 = 27 = 128

dhe 20 = 27 = 12058624

Nse shqyrtojm shumn e termave t vargut gjeometrik fillimisht kemi :

= 1 + 1 + 12 + 1

3 + + 11

nga ku fitojm dy barazime, pres t cilve fitojm formuln

= 1 1

1, 1 = 1

1

1

Shembulli 1. Nse pr vargun gjeometrik duhet se termi i par sht 5, dhe hersi 2, t

gjendet shuma e 3 termave t par

Zgjidhja. Nisemi nga formula e dhn m lart dhe zvendsojm :

= 1 1

1 3 = 5

23 1

2 1= 2

8 1

1= 14,

pra shuma e 3 termave t par t vargut sht 3 = 14

Shembulli 2. Nse pr vargun gjeometrik duhet se termi i par sht 5, q= 2, = 155 t

gjendet n

Zgjidhja. Nisemi nga formula e dhn m lart dhe zvendsojm :

= 1 1

1

155 = 5 2 1

2 1

31 =2 1

1

2 = 32

2 = 25 = 5

pra numri i termave sht 5

SHEMBUJ

1. 2, 3, 4, 5, 6, 1. , 1 = , = 3 2 = 1 ,

= 4 3 = 1, = 5 4 = 1, = 1

2. 10, 8, 6, 4, 2. , = 8 (10) = 8 + 10 = 2

3. 3, 5, 8, 10, 12, 3. , , = 5 3 = 2 ; = 8 5

= 3

4. 3

2, 2,

5

2, 3,

7

2,

4. ,

1 = = 2 3

2=

1

2, =

5

2 2 =

1

2 , =

1

2

5. 16, 1 = 4, = 5. 5. , = 1 + ( 1) 16 = 4 + 15 5 = 4 + 75 = 79, 16 = 79

6. 17, 1 = 10 , = 3. 6. , 17 = 4 + 16 (3) = 10 48 = 58, 17 = 58

7. 12, 1 = 2, =1

3.

7. ,

12 = 2 + 11 (1

3) = 2 +

11

3=

17

3, 17 =

17

3

8. 5, 9, 13, 17, 16 8. 1 = 5,

= 4, 16 = 5 + 15 4 = 5 + 60 = 65, 16 = 65

9. 15, 10, 5, 0, 25 9. 1 = 15,

= 5,

25 = 15 + 24 5 = 15 + 120 = 105, 25 = 105

10. 5, 1, 3, 7, , 115. 10. 1 = 5 = 115,

= 1 (5) = 5 1 = 4. = 1 + ( 1) , 115 = 5 + ( 1)4 115 = 5 + 4 4 124 = 4

=124

4, = 31

11. 14, 29, 44, 59, , 89. . 11. 1 = 14 = 89,

= 29 14 = 15. = 1 + ( 1) , 89 = 14 + ( 1)15 89 = 14 + 15 15 90 = 15

=90

15, = 6

12. 1

2, 0,

1

2, 1, ,

27

2

12. 1 = 14 = 89,

= 0 1

2=

1

2.

= 1 + ( 1) ,

27

2=

1

2+ ( 1)(

1

2)

27

2=

1

2

1

2 +

1

2

27

2= 1

1

2

1

2 =

29

2 / (2)

, = 29

13. 1 = 3, = 53. 29 13. = 1 + ( 1) , , 53 = 3 + (29 1) 53 = 3 + 28 56 = 28 = 2

=

2(1 + ) .

29 =29

2(3 53) =

29

2(50) = 29 (25) = 725,

29 729

14. 3, 5, 7, , 33 16 14. 1 = 3, = 33, 16

16 =16

2(3 + 33) = 8 36 = 288, 16 288

15. 1

2, 1,

3

2, , 9 18

15. 1 =1

2, = 9, 18

18 =18

2(

1

2+ 9) = 9

19

2

= 85,5 851

2, 16 85

1

2

16. = 5 , 19 16. = 5 , 18

17. , 1 = 2, = 5, = 245

17. =

2[21 + ( 1)], .

245 =

2[2 2 + ( 1)5]

245 =

2[4 + 5 5]

245 =

2[5 1] / 2

490 = 2

2 490 = 0, 1,2 =1 1 + 8900

10=

1 + 99

10,

= 10 ,

=

2(1 + ),

245 =10

2(2 + )

245 = 5(2 + ) 245 = 10 + 5

=235

5, = 47

18. 1, 2 + 5 4 = 10, 1 + 6 = 17 18. = 1 + ( 1) , , 1 1 + + 1 + 4 1 3 = 10 2 1 + 1 + 5 = 17

{1 + 3 = 10 / (2)

21 + 5 = 17 , {

21 6 = 2021 + 5 = 17

, fitojm d=3

21 + 5 = 17, 1 = 16

21 + 5 = 17 21 15 = 17 21 = 32 1 = 16

19. , 1 = 4, 21 = 1134

19. =

2(1 + ) ,

1134 =21

2(4 + ) / 2

2268 = 21(4 + ) 2268 = 84 + 21 2184 = 21

=2184

21, = 104

, = 1 + ( 1) 104 = 4 + (21 1) 104 = 4 + 20 100 = 20 = 5

20. , 1 = 7, 13 = 403

20. =

2(1 + ) ,

403 =13

2(7 + ) / 2

806 = 91(7 + ) 806 = 91 + 13 715 = 13

=715

13, = 55

, = 1 + ( 1) 55 = 7 + (13 1) 58 = 7 + 12 51 = 12 = 4

21. ,

a) 1 = 45, n = 32, = 0

0 =32

2(45 + )

0 = 16(45 + ) /: 16 0 = 45 + = 45, , = 1 + ( 1) 45 = 45 + 30 90 = 30 = 3

22. 1,

a) = 21, n = 7, = 105 Nisemi nga formula 13 = 5 + ( 1), dhe z

105 =7

2(1 + 21) / 2

210 = 7(1 + 21) 210 = 147 + 71 63 = 71

1 =63

7, 1 = 9,

= 1 + ( 1) 21 = 9 + 6 12 = 6 = 2

23. ,

a) 1 = 5, d = 3, = 13 = 1 + ( 1) 13 = 5 + ( 1)3 13 = 5 + 3 3 13 = 8 + 3 21 = 3

= 7, 7 =

2(1 + )

=

2(1 + ) =

7

2(5 + 13) =

7

2(8) = 7 4 = 28

24. 1 8 =1

2, 8 = 3

, 1,

1 =87

=3

1128

= 3 128 = 384, .

= 1 1

1 = 384

1 12

8

1 12

= 765

25. 1 = 2, = 3. 8 .

= 1 1

1

8 = 2 1 28

1 2= 2

1 256

1= 2 255 = 510,

8,

26. 1, , , ) 7 5 = 48, 6 4 = 24

= 1 1,

1 6 1

4 = 48 1 5 1

3 = 24

1 ,

14(21)

13(21)=

48

24

1

4

13= 2

= 2 ,

27. , ) 1 = 2, = 1458, q = 3

= 1 1 ,

1458 = 2 31 /: 2

729 = 31 36 = 31 6 = 1 = 7

28. , , ) 1 = 7, = 3, = 847

847 = 7 1 3

1 3

121 =1 3

2

242 = 1 3

3 = 243 , 243 = 35 = 5

= 11 = 7 3

5 = 7 243 = 1701, = 1701

29. 1, , ) = 128, = 2, = 7

, .

= 11 1 =

1

, 1 =128

26= 2 , 2

= 2.

7 = 1 1

1

7 = 2 1 26

1 2

7 = 2 1 64

1

7 = 2 63 7 = 126, 7 7 = 126

30. , , a) 1 = 2, q = 4, n = 4 ,

= 11 = 2 (4)

3 = 2 (64) = 128 , = 128

, = 1 1

1

4 = 2 1 (4)4

1 (4)= 2

1 256

1 + 4= 2

255

5= 2 51 = 102

LITERATURA

1. Matematika 11

Gjimnazi Matematik- Informatik / Minir Efendija, Qamil Haxhibeqiri, Ramadan Limani

Peje : Dukagjini , Qershor 2005

2. Wikipedia Enciklopedia e Lir

www.sq.wikipedia.org

Prmbajtja Kuptimi i vargut numerik ......................................................................................................... 4

Vargjet e kufizuara dhe ato monotone .................................................................................. 5

Vargu Aritmetik ........................................................................................................................ 6

Kuptimi I vargut aritmetik ...................................................................................................... 6

Shuma e termave te vargu aritmetik.................................................................................. 7

Vargu Gjeometrik ...................................................................................................................... 8

Kuptimi I vargut gjeometrik.................................................................................................... 8

Shuma e termave te vargu gjeometrik ............................................................................... 9

Prmbledhje e detyrave .......................................................................................................... 11

Literatura ................................................................................................................................ 19