limiti i vargut - përmbledhje

LIMITI I VARGUT | 2014

1 LIMITI I VARGUT


2 LIMITI I VARGUT

GJIMNAZI GJON BUZUKU

MATEMATIK - INFORMATIK

Punim Seminarik Limiti i vargut Vargjet Numerike

Punoi :

Artan Gruda

Mentor :

Prof. Afrim Shemsidini

Lnda :

Analiz

Punuar :

Maj, 2014 Prizren


3 LIMITI I VARGUT

Prmbajtja Kuptimi i vargut numerik ......................................................................................................... 5

Vargjet e kufizuara dhe ato monotone .................................................................................. 6

Vargu Aritmetik ........................................................................................................................ 7

Kuptimi I vargut aritmetik ...................................................................................................... 7

Shuma e termave te vargu aritmetik.................................................................................. 8

Vargu Gjeometrik ...................................................................................................................... 9

Kuptimi I vargut gjeometrik.................................................................................................... 9

Shuma e termave te vargu gjeometrik ............................................................................. 10

Shembuj Vargjet Numerike ................................................................................................. 12

Kuptimi i limitit t vargut ....................................................................................................... 16

Kuptimi I epsilon delta rrethins .......................................................................................... 17

Vetit e vargjeve .................................................................................................................. 18

Shembuj t t gjitha formave .............................................................................................. 19

Numri e ................................................................................................................................ 22

Detyra t kombinuara ......................................................................................................... 25

Literatura ................................................................................................................................ 29


4 LIMITI I VARGUT

HYRJE

Vargjet numerike n prgjithsi si kapitull n Matematik kan prdorim

jashtzakonisht t madh n t gjitha shkencat, pa to shum kuptime dhe dukuri

nga fizika dhe shkencat e tjera nuk do mund t studioheshin n trsi. Duke e

ditur rndsin e vargjeve, do prkushtohemi n kuptimin e Vargut numerik dhe

shqyrtimin e detyrave nga Vargjet Aritmetike dhe Gjeometrike ndrsa rndsi

m t madhe do ti kushtojm studimit t Limitit t vargut i cili si kuptim n

matematik sht fundamental, dhe shum praktik si n matematik ashtu

edhe n fusha t tjera. Gjithashtu do t studiojm delta rrethinn, q prmendet

shum shpesh n shqyrtimin e limiteve.


5 LIMITI I VARGUT

KUPTIMI I VARGUT NUMERIK

Fillimisht le t jet E nn bashksi e numrave real, dhe nse elementet e saj i shkruajm n

nj renditje t caktuar :

1, 2, 3, 4, ,

fitojm vargun apo progresionin numerik.

P.sh.: 1, 5, 7, 8, ... , apo 3, 4, 6, 8, ..., jan dy vargje numerike.

Pra, duke iu referuar shembullit t mparshm, Varg numerik apo thjesht varg quajm

pasqyrimin nga bashksia e numrave natyral n bashksin e numrave real, apo :

q do t thot se funksioni i cili do numri natyral ia shton numrin real

Elementet 1, 2, 3, 4, , , quhen terma ose kufiza t vargut. Kufiza apo termi i vargut

quhet term i prgjithshm i tij, dhe nga ktu themi se vargu konsiderohet i njohur vetm nse

dihet termi i prgjithshm. Pra, kufiza na jep vargun e numrave natyral 1 = 1, 2 =

2, 3 = 3.. e nse krkojm termin e 42 t vargut, nisemi nga termi i prgjithshm, ku 42 =

2 , pra termi i 42 i vargut sht 42.

Shembulli 1. Nse kemi termin e prgjithshm = 2 + 2 ather fitojm vargun me terma

:

1 = 2 1 + 2 = 2 + 2 = 4 2 = 2 2 + 2 = 4 + 2 = 6 3 = 2 3 + 2 = 6 + 2 = 8 4 = 2 4 + 2 = 8 + 2 = 10

Nga termi i prgjithshm i prmendur m lart fitojm vargun: 4, 6, 8, 10 , ... ,

Shembulli 2. Nse kemi termin e prgjithshm = 3 + 1 ather fitojm vargun me terma

:

1 = 3 1 + 1 = 3 + 1 = 4 2 = 3 2 + 1 = 6 + 1 = 7 3 = 3 3 + 1 = 9 + 1 = 10 4 = 3 4 + 1 = 12 + 1 = 13

Nga termi i prgjithshm i prmendur m lart fitojm vargun: 4, 7, 10, 13 ,... ,

Ku p.sh termi i 50 i ktij vargu sht : 50 = 3 50 + 1 = 150 + 1 = 151

Nga shembujt 1 dhe 2 kuptojm ndrtimin e vargut numerik, bazuar n termin apo kufizn e

prgjithshme q na jepet, ku na jep vargun e numrave natyral (1, 2, 3, 4, ...)


6 LIMITI I VARGUT

VARGJET E KUFIZIARA DHE ATO MONOTONE

Nisemi nga prkufizimi se, Vargu sht i kufizuar nga sipr (posht) n qoftse egziston

numri n mnyr q : Ndrsa numri quhet kufi i siprm (i poshtm) i vargut nga ku themi se

vargu i kufizuar nga sipr dhe posht quhet varg i kufizuar.

( ),

Duke u bazuar n prkufizim shqyrtojm vargun me termin e prgjithshm =(1)

Termat e ktij vargu jan : 1,1

2,

1

3,1

4

ktu vrejm se 1 1

2 q na jep t kuptojm se vargu i dhn sht varg i kufizuar

Nse do t shqyrtojm monotonin e vargjeve, ather do t na hyj n pun kjo tabel :

Shembulli 1. T tregohet se vargu me termin e prgjithshm = + 1 sht monotono-

rrits.

Zgjidhja. Detyrn e shqyrtojm prmes forms

+1 ,

+1

= + 1

( + 1) + 1=

+ 1

+ 2< 1,

Dhe themi se vargu sht monotono rrits duke u bazuar te < +1 ,

Vargu quhet monotono-jozvoglues n qoft se :

+1 , ;

quhet monotono-jorrits n qoft se :

+1 , ;

quhet monotono-rrits n qoft se :

< +1 , ;

quhet monotono-zvoglues n qoft se :

> +1 , ;


7 LIMITI I VARGUT

VARGU ARITMETIK

Pr studimin dhe shqyrtimin e vargjeve aritmetike duhet t nisemi nga prkufizimi pr vargun

numerik, pra nj renditje e numrave na jep vargun numerik. Nj varg sht aritmetik vetm

ather kur n mes dy termave ekziston nj distanc e njjt, apo t nisemi nga prkufizimi

ku thuhet se : Vargun e quajm varg aritmetik nse ndryshimi i secilit term dhe termit para tij

sht i njjt :

1 = , 2

Numri d quhet ndryshimi apo diferenca e vargut aritmetik.

Si formul q do na ndihmoj n shqyrtimin e vargjeve aritmetike sht:

= 1 + ( 1) , = 1 +

Shembulli 1. T shqyrtohet nse vargu vijues sht varg aritmetik dhe t gjendet diferenca d

2, 4, 6, 8, 10

duke u nisur nga prkufizimi kemi :

= 1 = 4 2 = 2 , = 2 = 6 4 = 2 , = 2 = 8 6 = 2 , = 2

shohim se diferenca n kt varg sht e njjt mes secilit term, dhe themi se ky varg sht

aritmetik

E nse e shqyrtojm prmes formuls tjetr kemi :

= 1 + ( 1) = 1 1

Nse nisemi nga 3 = 6 dhe 1 = 2

=62

31=

4

2= 2 , = 2


8 LIMITI I VARGUT

Nse shqyrtojm shumn e termave t vargut aritmetik, nisur nga :

1 = 1 2 = 1 + 2 3 = 1 + 2 + 3

= 1 + 2 + 3 + 4 + +

fitohen dy formula t cilat na ndihmojn n zgjidhjen e detyrave ku krkohet shuma e disa

termave t par t ndonj vargu t fardoshm aritmetik, pra :

=

2(1 + ) =

2[21 + ( 1)]

Pra quhet edhe shuma e n t pjesshme t vargut aritmetik, ndrsa vargu quhet vargu i

shumave t pjesshme.

Shembulli 1. T gjendet shuma e 100 termave t par t vargut aritmetik 1, 2, 3, 4, ...

Zgjidhja. Shohim se termi apo kufiza e par e vargut aritmetik t paraqitur m lart sht 1,

ndrsa diferenca mes termave sht 2. Kshtu vazhdojm dhe e shqyrtojm prmes

formulave t paraqitura m lart.

=

2(1 + ) 100 =

100

2(1 + 100) = 50 101 = 5050

E nse e shqyrtojm prmes formuls s dyt kemi :

=

2[21 + ( 1)] 100 =

100

2[2 1 + (100 1)1] = 50 101 = 5050

Pra shohim se n t dyja rastet rezultati sht i njjt, 5050, dhe themi se shuma e 100

termave t par t vargut 1, 2, 3, 4 ... sht 5050


9 LIMITI I VARGUT

VARGU GJEOMETRIK

Nse shqyrtojm vargun gjeometrik ather nisemi nga prkufizimi pr vargun t i cili thot

se vargu sht varg gjeometrik nse hersi i cilit do term dhe i termit para tij sht numr i njjt q. Pra :

+1

= , 0, 0,

Sikur edhe te vargu aritmetik, dhe te kuptimi i vargjeve numerike , quhet term i prgjitshm edhe tek vargu gjeometrik. Dhe qartazi ai konsiderohet i njohur vetm ather

kur sht dhn termi i prgjithshm i tij. Edhe vargu gjeometrik mund t jepet me nj

formul :

+1 = , , > 1

Ku, numri q quhet hers i vargut gjeometrik

Shembulli 1. T shqyrtohet nse vargu vijues sht varg gjeometrik dhe t gjendet hersi q

2, 4, 8, 16

Zgjidhja. Duke u nisur nga prkufizimi kemi : +1 = =+1

=4

2= 2, = 2

=8

4= 2, = 2

Shohim se hersi q sht i njjt dhe themi se vargu sht gjeometrik.

Shembulli 2. T shqyrtohet nse vargu vijues sht varg gjeometrik dhe t gjendet hersi q

2, 1,1

2,1

4,

Zgjidhja. Duke u nisur nga prkufizimi kemi : +1 = =+1

=1

2=

1

2, =

1

2

=

121

=1

2, =

1

2

Themi se vargu i paraqitur m lart sht varg gjeometrik, me hers =1

2


10 LIMITI I VARGUT

Te vargu gjeometrik vlen edhe nj formul e cila prdoret pr gjetjen e n termave t vargut

gjeometrik, dhe thuhet se termi i prgjithshm i vargut gjeometrik, me termin e par dhe

me hersin q, sht :

= 1 1

Shembulli 1. T gjendet termi i prgjithshm i vargut gjeometrik nse termi i 4 i tij sht 16,

dhe i dyti sht 4. Po ashtu t gjenden termi i 7 dhe termi i 20 .

Nga t dhnat q na jan paraqitur n detyr rrjedh se :

{4 = 1

3 = 162 = 1 = 4

1

3

1=

14

4 = 2

Pra, 1 =16

23= 2

Prandaj = 1 1 2 21 = 2, 2

prej ku gjejm edhe 7 = 2

7 = 128

dhe 20 = 220 = 12058624

Nse shqyrtojm shumn e termave t vargut gjeometrik fillimisht kemi :

= 1 + 1 + 12 + 1

3 + + 11

nga ku fitojm dy barazime, pres t cilve fitojm formuln

= 1 1

1, 1 = 1

1

1

Shembulli 1. Nse pr vargun gjeometrik duhet se termi i par sht 5, dhe hersi 2, t

gjendet shuma e 3 termave t par

Zgjidhja. Nisemi nga formula e dhn m lart dhe zvendsojm :

= 1 1

1 3 = 5

23 1

2 1= 2

8 1

1= 14,

pra shuma e 3 termave t par t vargut sht 3 = 14


11 LIMITI I VARGUT

Shembulli 2. Nse pr vargun gjeometrik duhet se termi i par sht 5, q= 2, = 155 t

gjendet n

Zgjidhja. Nisemi nga formula e dhn m lart dhe zvendsojm :

= 1 1

1

155 = 5 2 1

2 1

31 =2 1

1

2 = 32

2 = 25 = 5

pra numri i termave sht 5


12 LIMITI I VARGUT

SHEMBUJ

1. 2, 3, 4, 5, 6, 1. , 1 = , = 3 2 = 1 ,

= 4 3 = 1, = 5 4 = 1, = 1

2. 10,8,6,4, 2. , = 8 (10) = 8 + 10 = 2

3. 3, 5, 8, 10, 12, 3. , , = 5 3 = 2 ; = 8 5

= 3

4. 3

2, 2,

5

2, 3,

7

2,

4. ,

1 = = 2 3

2=

1

2, =

5

2 2 =

1

2 , =

1

2

5. 16, 1 = 4, = 5. 5. , = 1 + ( 1) 16 = 4 + 15 5 = 4 + 75 = 79, 16 = 79

6. 17, 1 = 10 , = 3. 6. , 17 = 4 + 16 (3) = 10 48 = 58, 17 = 58

7. 12, 1 = 2, =1

3.

7. ,

12 = 2 + 11 (1

3) = 2 +

11

3=

17

3, 17 =

17

3

8. 5, 9, 13, 17, 16 8. 1 = 5,

= 4,


13 LIMITI I VARGUT

16 = 5 + 15 4 = 5 + 60 = 65, 16 = 65

9. 15,10,5, 0, 25 9. 1 = 15,

= 5, 25 = 15 + 24 5 = 15 + 120 = 105, 25 = 105

10. 5,1, 3, 7, , 115. 10. 1 = 5 = 115,

= 1 (5) = 5 1 = 4. = 1 + ( 1) , 115 = 5 + ( 1)4 115 = 5 + 4 4 124 = 4

=124

4, = 31

11. 14, 29, 44, 59, , 89. . 11. 1 = 14 = 89,

= 29 14 = 15. = 1 + ( 1) , 89 = 14 + ( 1)15 89 = 14 + 15 15 90 = 15

=90

15, = 6

12. 1

2, 0,

1

2, 1, ,

27

2

12. 1 = 14 = 89,

= 0 1

2=

1

2.

= 1 + ( 1) ,

27

2=

1

2+ ( 1)(

1

2)

27

2=

1

2

1

2 +

1

2

27

2= 1

1

2

1

2 =

29

2 / (2)

, = 29


14 LIMITI I VARGUT

13. 1 = 3, = 53. 29 13. = 1 + ( 1) , , 53 = 3 + (29 1) 53 = 3 + 28 56 = 28 = 2

=

2(1 + ) .

29 =29

2(3 53) =

29

2(50) = 29 (25) = 725,

29 729

14. 3, 5, 7, , 33 16 14. 1 = 3, = 33, 16

16 =16

2(3 + 33) = 8 36 = 288, 16 288

15. 1

2, 1,

3

2, , 9 18

15. 1 =1

2, = 9, 18

18 =18

2(1

2+ 9) = 9

19

2

= 85,5 851

2, 16 85

1

2

16. = 5 , 19 16. = 5 , 18

17. , 1 = 2, = 5, = 245

17. =

2[21 + ( 1)], .

245 =

2[2 2 + ( 1)5]

245 =

2[4 + 5 5]

245 =

2[5 1] / 2

490 = 2

2 490 = 0, 1,2 =1 1 + 8900

10=

1 + 99

10,

= 10 ,

=

2(1 + ),


15 LIMITI I VARGUT

245 =10

2(2 + )

245 = 5(2 + ) 245 = 10 + 5

=235

5, = 47

18. 1, 2 + 5 4 = 10, 1 + 6 = 17 18. = 1 + ( 1) , , 1 1 + + 1 + 4 1 3 = 10 2 1 + 1 + 5 = 17

{1 + 3 = 10 / (2)

21 + 5 = 17 , {

21 6 = 2021 + 5 = 17

, fitojm d=3

21 + 5 = 17, 1 = 16

21 + 5 = 17 21 15 = 17 21 = 32 1 = 16

19. , 1 = 4, 21 = 1134

19. =

2(1 + ) ,

1134 =21

2(4 + ) / 2

2268 = 21(4 + ) 2268 = 84 + 21 2184 = 21

=2184

21, = 104

, = 1 + ( 1) 104 = 4 + (21 1) 104 = 4 + 20 100 = 20 = 5


16 LIMITI I VARGUT

KUPTIMI I LIMITIT T VARGUT

Le t jet 0 nj pik, delta rrethin t piks 0 e quajm (0 , 0 + )

Numri a quhet limiti i vargut 0 n qoft se pr do rrethin t numrit a ekziston numri

natyror ()i till q t gjith termat n indekse m t mdhenj se () i takojn ksaj

rrethine, prandaj shnojm :

lim

=

Prkufizim : Vargu konvergjon te n qoft se cilado delta rrethin e piks

( > 0) prmban pothuajse t gjith termat e vargut q do t thot t gjith me prjashtim, ndoshta, t nj numri t fundm.

Vargu tenton n + n qoft se termat e vargut, duke filluar nga njri, jan m t mdhenj se numri i par i dhn, q do t thot se :

( > 0)(0() ) ( > 0()) >

Ngjashm mund t shnojm si :

lim

= ( > 0)(0() ) ( > 0()) <

Vargu i cili tenton n +() kur , nuk konvergjon, q do t thot se ai varg

divergjon. Me kt rast, me marrveshje ne e shkruajm si : ( ) , kur

ose lim

= +( lim

= )

Shembulli 1. T tregohet se lim

2 = +

Zgjidhje. Nse marrim M>0 si nj numr t fardoshm, tregojm se ekziston nj

0() n mnyr q = 2 > , > 0()

Shohim se 2 > > , prandaj marrim 0() = () dhe konstatojm se

( > 0)(0() = ()) ku kemi ( > 0()) 2 >

apo n qoft se do t marrim shembull M=400 do t kemi si vijon :

pr M=400 do t kemi : 0() = (400) = (20) = 20


17 LIMITI I VARGUT

Kuptimi i -delta rrethins

Nj epsilon delta rrethin sht prkufizim n matematik, i cili mbshtetet n nj funksion

real t nj variable (ndryshore) f t t pasurit p.sh formn pr t gjith fqinjt U i 0 ka nj

fqinj V i 0 i till q sa her , ather () = ku thuhet se pr t gjitha > 0

sht nj > 0 i till q kur 0 < | 0| < sht |() 0| < . Kto dy qndrime

jan formulime ekuivalente t prcaktimit t nj limiti apo kufiri (si e kemi paraqitur m

lart shkurtimisht ) :

lim

=

N qndrimin e dyt fqinji U sht zvendsuar me nj interval t hapur (0 , 0 + ),

gjithashtu edhe fqinji V interval t hapur si (0 , 0 + ).

Nse ndalemi te funksionet ather themi se pr nj funksion me n ndryshore, vlera

absolute do t zvendsohej me normn t , dhe respektivisht intervalet :

(0, ) (0, ) .

Kjo nuk do t ndikonte n kuptimin e saj q pr do pik

e nj fqinji prmban nj rreth me qendr n at pik.

Q t dyja qndrimet e paraqitura m lart shprehin

faktin se pr t gjith t cilt shtrihen mjaft afr 0,

ather () do t shtrihet aq afr ndaj 0 .

N formulimin e dyt ky kusht sht shprehur trsisht

n terma t numrave ku sht thn se epsilon dhe delta

jan distanca t cilat masin afrsin. Kjo e lehtson

mjaft shqyrtimin e limiteve pasi nisen nga formulat

fundamentale apo themelore t cilat n t vrtet jan

treguar nisur nga ndrtimi, pr do elpsilon dhe delta n

vendin apo pronn e caktuar.


18 LIMITI I VARGUT

Llogaritja e limitit me an t prkufizimit q e kemi paraqitur m lart, shpesh her pr disa

lloje t vargjeve nuk sht aq e thjesht, gjithashtu ajo ecuri shpesh her na sjell edhe

probleme n detyr duke sjellur njehsime shpesh her t komplikuara. Prandaj pr

llogaritje m efikase na shrbejn disa rezultate pr vargjet konvergjente.

Vargu quhet konvergjent n qoft se ka limit. N t kundrt ai varg quhet divergjent. N

qoft se ekzistojn lim

dhe lim

ather kemi 6 veti t vargut konvergjent

1. lim

( ) = lim

lim

.

2. lim

( ) = lim

lim

3. lim

=

lim

lim

( lim

0)

4. lim

() = ( lim

)

; ( > 0)

5. lim

|| = | lim

|

6. lim

log() = log( lim

)

7. lim

= lim

lim

8. lim

= lim

Pos ktyre teoremave kemi edhe teoremn mbi kufizueshmrin ku thuhet se vargu

konvergjent sht i kufizuar, pastaj teoremn mbi unicitetin e limitit t vargut ku thuhet se

vargu konvergjent ka limit t vetm dhe s fundmi teorema mbi vlern absolute t ciln e

kemi shnuar m lart.

Shembulli 2. T vrtetohet n baz t prkufizimit se vlen : lim

3+2

2+7=

3

2

Fillimisht duhet t tregojm se ( > 0)(()) i till q pr > () vlen kjo shprehje :

|3 + 2

2 + 7

3

2| < .

nisur nga prkufizimi i paraqitur te kuptimi i limiteve do t kishim : >1714

4

mirpo n qoft se do pjestonim me do t kishim si vijon :

lim

3 + 2

2 + 7=

3 +

2

2 +

7

2

=

7

= 0 lim

3 + 2

2 + 7=

3

2

Limiti ka format:

Format e pacaktuara :

, ,

Format e caktuara:

= ,

= ,

=


19 LIMITI I VARGUT

Pra kemi vrtetuar se limiti i shtruar n detyr sht i barabart me 3

2

Njjte sikur n shembullin e par, do t shqyrtojm edhe limitet :

1. lim

2 + 3 4

( + 2)2 2. lim

2 + 2 + 7

2 + 7 + 2 3. lim

2 + 4

4 + 1

1. lim

2 + 3 4

( + 2)2= lim

2 + 3 4

2 + 4 + 4 2, : lim

2

2+

32

42

2

2+

42

+42

=1 + 0 + 0

1 + 0 + 0=

1

1= 1

2. lim

2 + 2 + 7

2 + 7 + 2= lim

2

2+

22

+72

2

2+

72

+22

=1 + 0 + 0

1 + 0 + 0=

1

1= 1

3. lim

2 + 4

4 + 1 4,

lim

2

4+

44

4

4+

14

=

2

4+

44

4

4+

14

=0 + 0

1 + 0= 0

Ngjashm njehsojm edhe kta shembuj :

4. lim

23 + 3 + 1

2 + + 1= lim

23

3+

33

+13

2

3+

3

+13

= lim

1 +32

+13

1 +

2

+13

=1

0=

N kt detyr pjestojm me 3duke ditur se sht vlera m e madhe

5. lim

2 + 2

32 + 2= lim

22

+22

32

2+

22

= lim

2 +

22

3 +22

=0 + 0

3 + 0=

0

3= 0

6. lim

( + 1) + ( + 2) + ( + 3)

3 +12

2 +34 +

56

= lim

3 + 62 + 11 + 6

3 +12

2 +34 +

56

3

lim

3

3+

62

3+

113

+63

3

3+

123

2 +3

43 +

563

=

1 +6 +

112

+63

1 +12 +

342

+5

63 =

1 + 0 + 0 + 0

1 + 0 + 0 + 0= 1


20 LIMITI I VARGUT

7. lim

( + 1)( + 2)( + 3)

( + 1)( + 2)( + 4)= lim

(2 + )( + 2)( + 3)

(2 + 3 + 2)( + 4)

= lim

(3 + 32 + 2)( + 3)

(3 + 72 + 12 + 8)= lim

4 + 63 + 112 + 6

3 + 72 + 12 + 8

= lim

4

4+

63

4+

112

4+

64

3

4+

72

4+

124

+84

= lim

1 +6 +

112

+63

1 +

72

+123

+84

=1 + 0 + 0 + 0

0 + 0 + 0 + 0

=1

0=

8. lim

+ 1

+ 2 + = lim

+

1

+

2 +

=1 + 0 1

1 + 0 + 1=

1 + 0 1

1 + 0 + 1=

0

2= 0

9. lim

2 + 3

3 223 = lim

2 + 3

3 223

= lim

2 + 3

2

3 223

33

= lim

2 + 32

3 22

33

= lim

1 +3

1 2

3= 1

10. lim

23 + 13

+

72 + 3 + 3 + 2= lim

23

3+

13

3

+

72

2+

32

+3 +

2

= lim

2 +13

3

+ 1

7 +32

+ 3 +2

= lim

23

+ 1

7 + 37 3

7 3=

(2 + 13

)(7 3)

(7)2 32

=(2 + 1

3)(7 3)

7 9

= (2 + 1

3)(7 3)

2

11. lim

77 + 22 + 15

+

4 + 13 = lim

77

5+

22

5+

15

5

+

4

3+

13

3= lim

72 +23

+15

5+ 1

1 + +13

3

= lim

725

+ 1

1 3 = lim

72

155

+1

3

1

3

3=

0 + 0

0 1=

0

1= 0


21 LIMITI I VARGUT

Pos ksaj forme, kemi edhe formn shqyrtimi i s cils do paraqitet prmes disa

shembujve

12. lim

(2 + 1) (2 1) (2 + 1) + (2 + 1)

(2 + 1) + (2 + 1)

= lim

(2 + 1)2+ (2 + 1)

2

(2 + 1) + (2 + 1)= lim

2 + 1 + 2 + 1

(2 + 1) + (2 1)=

2

= 0

Ktu kemi racionalizuar shprehjen me qllim t fitojm ndryshimin e katrorve

13. lim

(1 33

+ )(1 3

3) 1 3

3 + 2

(1 33

) 1 33

+ 2= lim

(1 33

)3+ 3

(1 33

) 1 33

+ 2

= lim

1 3 + 3

(1 33

) 1 33

+ 2=

1

= 0

14. lim

(2 + 2 + 2) + 2 4 + 32 + 2 + 2 2 4 + 3

2 + 2 + 2 2 4 + 3

= lim

(2 + 2 + 2)2 (2 4 + 3)

2

(2 + 2 + 2)2 (2 4 + 3)

2

= lim

6 1

(2 + 2 + 2)2 (2 4 + 3)

2

= lim

6 1

1 +2 +

22

1 4 +

32

=6

1 1=

6

0= 0

15. lim

(1

1

3

1 3) = lim

1 + + 2 3

1 3

= lim

2 + 2

(1 )(1 + + 2)

= lim

( 1)( + 2)

(1 )(1 + + 2)= lim

( + 2)

(1 + + 2)=

2

22

12

+2

+2

2

= 0


22 LIMITI I VARGUT

Numri e

Numri e s bashku me numrat , , dhe njsin imagjinare sht njra prej konstantave m t rndsishme n matematik. Numri e sht numri i vetm real i till q funksioni ex gjat derivimit t tij nuk ndryshon. Funksioni ex quhet funksion eksponencial dhe funksioni inverz i tij sht funksion logaritmik i cili pr baz e ka pikrisht numrin e. Numri e quhet edhe numr i Eulerit.

Pasi e sht numr transcedent dhe iracional vlera e tij nuk mund t jepet n form t nj numri decimal t fundm por ai sht nj numr decimal i pafundm dhe joperiodik vlera etij me 20 shifra decimale sht

2.71828182845904523536.

Konstanta e pr her t par u shfaq n vitin 1618 n punimet n lidhje me logaritmet t matematikanit skocez John Napier jo si konstant e izoluar, por vetm si baz e logaritmeve. Zbulimi i atribuohet matematikanit zviceran Jacob Bernoulli, i cili u prpoq t gjej limitin e vargut :

lim

(1 +1

)

vlera e t cilit n fakt sht numri e (shnimi me kt germ sht dhn nga matematikani Leonhard Euler n vitin 1727). Numri e shfaqet n mnyra t ndryshme edhe at si seri e pafundme, prodhim i pafundm, thyes e vazhdueshme, ose si limit i nj vargu t pafundm paraqitje kjo e cila sht edhe kryesorja dhe merret si prkufizuesja e numrit n kurset fillestare t analizs matematike

lim

(1 +1

)

Pr llogaritjen e vlers s tij me saktsi t dshiruar m e prshtatshme sht seria e pafundme

= 1

!

=0

e cila konvergjon shum shpejt. Nj paraqitje si thyes e pafundme e vazhdueshme sht kjo:


23 LIMITI I VARGUT

Si shembuj pr t kuptuar numrin e kemi paraqitur :

16. lim

(

+ 1)

= lim

(1 +

+ 1 1)

= lim

(1 + 1

+ 1)

= lim

[(1 1

+ 1)+1

]

+1

= lim

+1 =

12

pra 1

2 lim

+1= lim

+1

=1

1+1=

1

2

17. lim

( + 2

+ 5)

= lim

(1 + + 2

+ 5 1)

= lim

(1 + + 2 5

+ 5)

= lim

(1 3

+ 5)

= lim

[

(1 1

+ 53

)

+53

]

3+5

= lim

3+5 = 3 lim

3

+ 5= lim

3

1 +5

= 3

18. lim

(2 + 1

2 + 3)

2+1

= lim

(1 +2 + 1

2 + 3 1)

2+1

= lim

(1 +2 + 1 2 + 3

2 + 3)

2+1

= lim

(1 2

2 + 3)

2+1

= lim

[

(1 1

2 + 32

)

2+32

]

4+22+3

= lim

4+22+3 = 0

= 1

lim

4 + 2

2 + 3= lim

42

+22

2

2

2

+32

=0

1= 0


24 LIMITI I VARGUT

19. lim

(2 + 4

2 4)

2+1

= lim

(1 +2 + 4

2 4 1)

2+1

= lim

(1 +2 + 4 2 + 4

2 4)

2+1

= lim

(1 +8

2 4)2+1

= lim

[

(1 +1

2 48

)

248

]

82+824

= lim

82+824

= 8

E cila ka rrjedhur nga :

lim

82 + 8

2 4= lim

82

2+

82

2

2

42

=8

1= 8

20. lim

(2 3 + 7

2 + 4 5)

+2

= lim

(1 +2 3 + 7

2 + 4 5 1)

+2

= lim

(1 +2 3 + 7 2 4 + 5

2 + 4 5)

+2

= lim

(1 7 12

2 + 4 5)+2

= lim

[

(1 1

2 + 4 57 12

)

2+45712

]

(+2)(712)2+45

= lim

72+2242+45 = 7

lim

72 + 2 24

2 + 4 5= lim

72

2+

22

242

2

2+

42

+52

=7

1= 7


25 LIMITI I VARGUT

Detyra t kombinuara

22. lim

1 5+2

3 5= lim

1 552

3 5= lim

1 5 25

3 5= lim

15

5

5 25

35

5

5

=25

1= 25

23. lim

4 10 3 102

3 101 2 1021= lim

4 10 3 102

3 10 110 2 10

2 110

= lim

4 1

10 3 1

3 110

110 2

110

=3

15

= 15

24. lim

23 + 13

+

72 + 3 + 3 + 2= lim

23

3+

13

3

+

72

2+

32

+3 +

2

= lim

2 +13

3

+ 1

7 +32

+ 3 +2

= lim

23

+ 1

7 + 37 3

7 3=

(2 + 13

)(7 3)

(7)2 32

=(2 + 1

3)(7 3)

7 9

= (2 + 1

3)(7 3)

2

25. lim

3 +12 + 1 +

4 +32 + 1

3

5 + 3 64

+ 6 2 + 15 = lim

3

2+

22

+12

+ 4

3+

323

+13

3

5

4+

34

64

4

+ 6

5+

25

+15

5

= lim

+12 +

12

+ +32

+13

3

+33

64

4+ +

24

+15

5= lim

+ 3

4 +

5 = lim

1 + 6

3

8

4+

10

5

=1

0=


26 LIMITI I VARGUT

26. lim

+ +

= lim

+ +

= lim

1

+ +

= lim

1

1 + +

= lim

1

1 + +

2

= lim

1

1 + 1 +

2

= lim

1

1 + 1 +

13

= 1

27. lim

( + 1)! + ( + 2)!

! ( + 3)!= lim

( + 1)! + ( + 2)( + 1)!

! ( + 3)( + 2)( + 1)!

= lim

! ( + 1 + 2 + 3 + 2)

! [1 (3 + 62 + 11 + 6)]

= lim

2 + 4 + 3

1 3 62 11 6= lim

2 + 4 + 3

3 62 11 5

= lim

2

3+

43

+33

3

3

62

3

113

53

=0 + 0 + 0

1 0 0 0=

0

1= 0

28. lim

3( + 1)! 6!

6! 18( 1)!= lim

3( + 1)( 1)! 6( 1)!

6( 1)! 18( 1)!

= lim

3( 1)[( + 1) ( 1)]

6( 1)( 3)= lim

(2 + 2 + )

2( 3)

= lim

2

2 6= lim

2

2

6

=2

2 0=

2

2= 1


27 LIMITI I VARGUT

29. lim

(1 33

+ )[(1 3

3)2 1 3 +

32]

[(1 33

)2 1 3 +

32]

= lim

(1 33

)3+ 3

[(1 33

)2 1 3 +

32]

= lim

1 3 + 3

[(1 33

)2 1 3 +

32]

= lim

1

[(1 33

)2 1 3 +

32]

=1

= 0

30. lim

(2 + 5 + 63

2 + 5 + 23

) =

2+5+63

+ 2+5+6

2+5+2

+ 2+5+23

2+5+63

+ 2+5+6

2+5+2

+ 2+5+23

=

lim

2+5+6252

2+5+63

+ 2+5+6

2+5+2

+ 2+5+23

=

lim

4

2+5+63

+ 2+5+6

2+5+2

+ 2+5+23

=4

= 0

31. lim

3 10 + 5 102

6 101 + 1021= lim

3 10 + 5 102

610 10

+110 10

2

= lim

3 10 + 5 102

102610 10

+110 10

2

102

= lim

310 + 5 1

610 10 +

110 1

=0 + 5

0 +110

=5

110

= 50

Kjo form i prket forms 1, prandaj fillimisht e zbrthejm fuqin 2n+1 dhe pastaj

pjestojm me fuqin m t madhe


28 LIMITI I VARGUT

31. lim

(1 2

+ 3)

+4

= lim

(1 1

+ 3

2

)

+4

=

[

lim

(1 1

+ 3

2

)

+3

2

]

(+4)2+3

= lim

(+4)2+3 = 2

Kjo form i prket forms e, zgjidhja ka rrjedhur nga shqyrtimi i limitit :

lim

( + 4)2

+ 3= lim

2 + 42

+ 3

= lim

2 +42

1 +3

=2 + 0

1 + 0= 2

32. lim

ln (2 2 + 7

2 + 5)

+1

= ln lim

(1 +2 2 + 7

2 + 5 1)

+1

= ln lim

(1 +2 2 + 7 2 + 5

2 + 5)

+1

= ln lim

(1 +2

2 + 5)+1

= ln

[

lim

(1 +1

2 + 52

)

2+52

]

(+1)(2)2+5

= lnlim

( + 1)(2 )

2 + 5

= ln1 = 1.

lim

( + 1)(2 )

2 + 5= lim

=

2 + + 2

2 + 5= lim

2

2+

2

+22

2

2

2

+52

=1 + 0 + 0

1 0 + 0= 1


29 LIMITI I VARGUT

LITERATURA

1. Matematika 11

Gjimnazi Matematik- Informatik

Minir Efendija, Qamil Haxhibeqiri, Ramadan Limani

Peje : Dukagjini , Qershor 2005

2. Wikipedia Enciklopedia e Lir

www.sq.wikipedia.org

3. Barile, Margherita. "Epsilon-Delta Definition." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein. http://mathworld.wolfram.com/Epsilon-DeltaDefinition.html

4. Mitchell, C. W. Jr. In "Media Clips" (Ed. M. Cibes and J. Greenwood). Math. Teacher 100, 339, Dec. 2006/Jan. 2007. Prevost, S. "Exploring the - Definition of Limit with Mathematica." Mathematica Educ. 3, 17-21, 1994.

Smith, W. K. Limits and Continuity. New York: Macmillan, 1964.

5. Gruntz, D. On Computing Limits in a Symbolic Manipulation System. Doctoral thesis.

Zrich: Swiss Federal Institute of Technology, 1996.

6. http://armendshabani.dmon.com/FSHMN/AnalizaMatemat1/3.Vargjetnumerike.pdf

7. Kemal Halilovi, profesor matematike Brko - Granine vrijednosti

limiti i vargut - përmbledhje

Documents