Variable Compleja Dr. Fernando Galaz Fontes

Enero-Junio 2013

Bilbiografía

Notas de clase, www.cimat.mx/~galaz

L. Ahlfors

J. E. Marsden, Basic complex analysis

W. Rudin, Real and complex analysis

Forma de trabajo

Tareas semanales (15)

Sesión de tareas

o Se resuelve la tarea en clase el mismo día que se entrega

Examen parcial cada 5 tareas (3)

o No se reciben tareas fuera del parcial correspondiente

Examen final

Evaluación

NÚMEROS COMPLEJOS

Definiciones y propiedades básicas

Motivación

En hay ecuaciones relativamente sencillas que no se pueden resolver. Por poner un ejemplo, la

ecuación

no tiene soluciones.

Históricamente, los números complejos aparecieron para resolver el problema anterior. Un primer

paso para lograrlo es buscar ‘ampliar’ con el propósito de obtener un nuevo sistema algebraico,

el cual denotaremos por .

Intuitivamente, podemos pensar agregar a un número que, por definición, satisfaga .

Eso es,

¿el nuevo sistema algebraico

tiene ecuaciones que no se pueden resolver?

no. teorema fundamental del álgebra

Hemos hecho notar que y que es necesario. En buscamos definir también dos

operaciones algebraicas –pues queremos que tenga estructura de campo igual que . Pensar en

la suma y multiplicación en nos lleva a concluir que cualquier expresión de la forma

debería pertenecer al sistema que estamos construyendo.

notación:

cuando hablemos de con

asumimos que

Definimos un número complejo como una expresión , es decir, definimos como la

colección de todas las expresiones de la forma .

Esto, sin embargo, no es lógicamente correcto pues el símbolo no ha sido definido. La clave para

superar esta dificultad es notar que existe una correspondencia

así, en lugar de la expresión , podemos pensar en la pareja ordenada , y podemos

observar que .

podemos pensar en como

campo vectorial sobre

Así pues, como conjunto, podemos pensar como , falta considerar sus propiedades

algebraicas.

Sean y consideremos (respectivamente y ). Con la finalidad

de que las operaciones mantengan las propiedades que tienen en , definimos

o bien

que corresponde a la suma de vectores en ,

y

o bien

Falta verificar que las operaciones mantienen las propiedades algebraicas en .

por comodidad, muchas veces

usaremos la notación de en las demostraciones

Definición. Un número complejo es una pareja ordenada de números reales . El conjunto de

estos elementos se denotará por . La suma y producto en se definen respectivamente como:

Sean . Entonces

Las igualdades anteriores muestran que las operaciones en corresponden a las operaciones en

. Luego, mediante la biyección

en adelante identificaremos en .

Definimos ahora

Proposición.

1)

2)

Demostración.

1)

2) de donde .

Observación. Sean . Entonces, de (2) en la proposición anterior resulta que

Definición. Sean y . Entonces

a)

b)

c) –

d) si

Observación.

1) Sea . Entonces

2) Sea . Entonces

En general, si y

Teorema. es un campo, esto es, si , entonces se cumple

i) Asociatividad

ii) Conmutatividad

iii) Neutros

iv) Inversos

satisface

si , entonces satisface que

v) Distributividad

les debo las

demostraciones

Definición. Sea . Entonces y, para ,

si y , entonces

Lema (Leyes de los exponentes). Sean y . Entonces

i)

ii)

iii)

iv)

Conjugado

Definición. Sea . Entonces

a) Su parte real es

b) Su parte imaginaria es

c) Su conjugado es

d) El número es imaginario puro si

Notemos que y siempre son números reales. Además, es un número real si y sólo si

.

Proposición. Sean . Entonces

i)

En general, si

las funciones

son lineales en .

recordemos que tiene estructura

de campo vectorial sobre .

ii)

iii)

iv)

v)

vi)

Módulo

El módulo de es

de (iii) de la proposición anterior, notemos que

De aquí, debe ser claro que .

Proposición. Sean . Entonces

i)

ii)

Demostración. Como son no negativos, para concluir que son iguales, basta con verificar

que sus cuadrados lo son. Usando (vi) de la proposición anterior, resulta que

Observación. Sea . Entonces

Representación geométrica

Ya que los números complejos son parejas ordenadas de números reales, podemos representarlos

como vectores en un plano. En esta situación, la parte real corresponde a la componente

horizontal y la parte imaginaria a la componente vertical. El plano es llamado entonces plano

complejo y a los ejes horizontal y vertical se les llama eje real y eje imaginario, respectivamente.

dibujito

Podemos representar al número complejo como el punto o como el vector que va del origen a

ese punto.

Es de nuestro interés representar las operaciones en usando el plano complejo. Para la suma no

hay novedad pues la suma en corresponde con la suma de vectores que se representa con la ley

del paralelogramo.

dibujito

La descripción geométrica del producto requiere la introducción de coordenadas polares. Las

coordenadas polares de son los números reales determinados por

y la condición . Se sigue que

de donde .

El ángulo se le llama argumento de y se le denotará por .

dibujito

Representar polarmente un número significa encontrar tales que se satisface

sin embargo, como tienen periodo , si satisface la condición, también

, es decir, no está definido unívocamente. Denotaremos por al

conjunto formado por todos los argumentos de

por el modo en que definimos

Volviendo a nuestro desarrollo, notemos que las ecuaciones equivalen a

a la cual se le llama forma polar o trigonométrica del número . Consideremos y

expresémoslo también en su forma polar, . Entonces

al usar las fórmulas para el coseno y el seno de una suma de ángulos.

Ya sabíamos que el módulo del producto es el producto de los módulos; lo que resulta de mayor

interés es observar que si uno tiene un argumento para y un argumento para , su suma es un

argumento para el producto. Puesto que , la igualdad anterior permite concluir que al

sumar cualquier argumento de con cualquier argumento de , se obtiene un argumento de ,

esto es:

Así, geométricamente, el producto se obtiene rotando un ángulo y localizando

sobre el rayo correspondiente el punto cuyo módulo es .

En particular, notemos que si , entonces la multiplicación por corresponde a un rotación

por el ángulo .

dibujito

dibujito

Consideremos . Geométricamente, el conjugado de corresponde a reflejar con respecto al

eje real.

dibujito

Por otra parte, notemos que Luego,

dibujito

Así, geométricamente, se obtiene rotando por el ángulo .

Lema. Sean . Entonces,

1)

Luego, si , se cumple que

2) .

recuerden

que son conjuntos

Demostración.

1) Para demostrar la igualdad de conjuntos, veremos la doble contención.

Suponemos que , esto es, . Entonces,

pues coseno es función par y seno es función impar.

Esto nos dice que

Esto prueba que

Usando en la contención anterior, en lugar de , obtenemos

que nos da la igualdad de conjuntos, pues implica, multiplicado por , que

que prueba la primera igualdad.

en general, cuando se tienen

propiedades con respecto del conjugado,

hay que aprovechar que .

La segunda igualdad se sigue de observar que

si . Entonces

observando que si , entonces

es decir, el argumento no cambia.

Luego, como

y

tenemos que

2) Si , entonces y .

Entonces,

suponiendo que .

Ahora, si suponemos que , sólo resta establecer la contención

Fijemos . De acuerdo con (i), . Sea . Usando la

contención que conocemos, con en lugar de y con en lugar de , resulta que

luego,

que prueba la contención que hacía falta.

Función exponencial

Sean . Tomando se obtiene

observemos que esta igualdad expresa la función

tiene una propiedad similar a la ley de los exponentes para la función exponencial.

Definición. Si , entonces

Proposición. Se cumple lo siguiente:

i) ,

ii)

iii) si y entonces existe tal que . Esto indica que

iv) Luego,

v)

Demostración.

i) Es claro pues . Para los demás, basta notar que

y que

ii) Es consecuencia de que las funciones seno y coseno tengan periodo .

iii) Sea tal que . Luego, , lo que implica que existe tal que

. Esto implica que

iv) La primera parte se sigue directamente del producto en coordenadas polares. Por otra

parte, de aquí que

v) Si , la igualdad es clara. Para , la igualdad se obtiene a partir de (iv).

Supongamos finalmente que . Ya que

si ,

de los dos casos anteriores.

TAREAS

Tarea 1.

1. i) Procediendo como se definieron las operaciones en a partir de las operaciones en

, define la suma y el producto en a partir de las operaciones en .

ii) Determina si , con las operaciones anteriores, es un campo. (Justifica tu respuesta.)

2. Sean . Verifica que

para todo natural.

En particular, si se cumple

para todo natural.

3. Sean y definamos . Si , prueba que es una

biyección.

4. Prueba que .

5. Encuentra las partes real e imaginaria de

para todo .

6. Prueba que es real si y sólo si .

7. Prueba que son linealmente dependientes (como elementos en el espacio vectorial

real ) si y sólo si .

8. Sea . Encuentra , siendo .

9. Prueba la desigualdad del triángulo para la función distancia en .

10. Sea y ; demuestra que las raíces ésimas de son los vértices de un

polígono regular.

11. Prueba que .