1

2. Funciones de variable compleja

Gary Larson

2

Conjuntos de puntos en el plano complejo

Un conjunto S de puntos en el plano complejo es cualquier colección finita o infinita de puntos en el plano complejo. Por ejemplo las soluciones de una ecuación cuadrática, los puntos de una línea, los puntos del interior de un círculo, etc.

¿Qué lugares geométricos describen las siguientes ecuaciones?

βα << zArg

La ecuación Arg z= α define una semirecta infinita de pendiente α. Entonces la desigualdad anterior define un sector infinito comprendido entre las semirectas infinitas Arg z= α y Arg z= β.

βα <−< )Arg( ozz (...)

3

4

5

Un conjunto de puntos S se llama abierto si cada punto de S tiene un vecindad constituida enteramente por puntos que pertenecen a S. Por ejemplo los puntos del interior de un círculo o un cuadrado.

El complementario de un conjunto de puntos S es el conjunto de todos los puntos que no pertenecen a S.

Un conjunto de puntos S se llama cerrado si su complementario es abierto. Ej.: los puntos sobre y dentro de una circunferencia o un cuadrado, puesto que sus complementarios (los puntos exteriores a la circunferencia

o al cuadrado) son abiertos.

6

La distancia entre dos puntos z y a es |z-a|. De modo que un círculo C de radio ρ y centrado en a, puede expresarse como:

|z-a| = ρ

a

ρ

x

y z

En particular, el círculo de radio unidad centrado en el origen puede escribirse

como: |z| = 1x

y

1

i

¿C es abierto o cerrado?

7

Los puntos dentro del círculo C vienen representados por:

|z-a| < ρ (un entorno abierto centrado en a).

define un entorno circular cerrado centrado en a.

aρ

x

y z

aρ

x

y z

0 < |z-a| < ρ define un entorno punteado o reducido.

ρ ≤|z-a|

}||/{),( ρρ <−∈= azCzaB

8

El anillo abierto de radios ρ1 y ρ2, viene

dado por: ρ1 < |z-a| < ρ2

aρ1

x

y

ρ2

9

(1) Determina la región en el plano complejo dada por:

|z-3-i| ≤ 4Es la región circular cerrada de radio 4con centro en 3+i.

(2) Determina las regiones: (a) |z|<1; (b) |z| ≤ 1; (c) |z| >1

4

x

y

3+i

(a) Círculo unidad abierto (b) Círculo unidad cerrado (c) Exterior del círculo unidad.

10

Re(z) ≥ 1 (No es un conjunto abierto).

11

12

¿Qué lugar geométrico describe la siguiente ecuación?

5|2||2| =++− zzUna elipse de focos en -2 y 2 (suma de distancias a los focos igual a 5) con semieje mayor igual a 5/2).

2-2

Ejercicio: ¿Qué representan las siguientes ecuaciones?

cbzazc

cbzazb

cbzaza

≤−−−>−+−=−+−

||||)(

||||)(

||||)(

13

¿Qué lugar geométrico describen las siguientes ecuaciones:

1Im||)(

3)Re(|2|)(

||||)(

+=−+=−=−−−

zizf

zze

cbzazd

Nota: Busca las definiciones de parábola e hipérbola.

14

• Un punto interior de un conjunto S es un punto para el que podemos encontrar un entorno o vecindad cuyos puntos pertenecen todos a S. Por ejemplo, el centro de un círculo. • Un punto frontera de un conjunto S es un punto tal que todo entorno alrededor de él contiene puntos que pertenecen a S y que no pertenecen a S. Por ejemplo los puntos que forman la frontera de un círculo.• Si un punto no es interior ni frontera de un conjunto de puntos S, entonces es un punto exterior a S.• Entonces, si S es abierto no posee puntos frontera, solo puntos interiores. Si S es cerrado posee también a sus puntos frontera.• Algunos conjuntos no son ni abiertos ni cerrados. Contienen algunos puntos frontera. Por ejemplo un entorno punteado.• El plano complejo C es abierto y cerrado a la vez. No posee

puntos frontera.

15

• Una región es un conjunto formado por un dominio, más, quizás, algunos o todos sus puntos frontera (Cuidado: algunos autores usan región para indicar dominio).• Un conjunto es acotado si todo punto de S está dentro de algún círculo |z| = R. En caso contrario es no acotado.• Un punto de S se dice que es de acumulación si cada entorno punteado del mismo contiene al menos un punto de S.Entonces, si S es cerrado contiene a todos sus puntos de acumulación.• Un punto no es de acumulación si existe un entorno punteado del mismo que no contenga puntos de S. P.ej.: Todos los puntos del conjunto S = {i/n} (n = 1,2,...) no son de acumulación a excepción del cero.

16

Semiplanos infinitos

x

y

Inferior: z = x+iy tales que y < 0 o Im(z) < 0.

Semiplano superior: el conjunto de todos los puntos z = x+iy tales que y > 0 o Im(z) > 0.

Derecho: z = x+iy tales que x > 0 o Re(z) > 0.

Izquierdo: z = x+iy tales que x < 0 o Re(z) < 0

x

y

x

y

x

y

¿Qué regiones describen?(a) Im(z) = 0, (b) Im(z) = a, (c) Re(z) = 0, (d) Re(z) = a

17

18

Conjuntos de Julia

Iteración:2

1 nn zz =+Condición inicial y órbita:

( ){ } { },...,,,...)(,)(, 210

220

200 zzzzzz =

Utilizando la identidad de Moivre:

( ){ }{ }),...4sin4(cos),2sin2(cos),sin(cos

,...))sin(cos(,))sin(cos(),sin(cos

)sin(cos

42

222

0

θθθθθθθθθθθθ

θθ

iririr

iririr

irz

+++=+++

+=

Gaston Maurice Julia1893 - 1978

Cuando decía en 1980 a mis amigos que estaba trabajando con H. Hubbard en el estudio de polinomios de grado 2 en variable compleja (y más específicamente en z → z2 + c ), me preguntaban: ¿Esperas encontrar alguna cosa nueva? Adrien Douady

19

)]2sin()2[cos(2 θθ ninrzn

n +=

En el paso enésimo tendremos:

Si comenzamos con un número complejo de módulo r < 1, sucesivamente el módulo irá disminuyendo hasta tomar valor r = 0 para n infinito.

Al contrario, si r > 1 el módulo aumentará exponencialmente, tendiendo a infinito.

El caso frontera, r = 1, mantendrá los valores de la iteración en un círculo de radio unidad sobre el plano complejo.

20

De modo que todos los puntos del plano complejo pertenecen a uno de estos dos conjuntos:

(a) Si escapan al infinito (r > 1): conjunto de escape E.En este caso los puntos exteriores del círculo unidad.

La frontera de P (r = 1) es el conjunto de Julia de esta iteración: la circunferencia unidad.

(b) Si permanecen recluidos en una región finita (r ≤ 1): conjunto prisionero P. En este caso el círculo unidad cerrado.

21

Julia centró sus estudios en el conjunto de iteraciones cuadráticas:

Fijado el parámetro complejo c establecemos una iteración cuadrática en concreto.

czz nn +=+2

1

Al potenciar el módulo, la iteración nos manda al origen o al infinito, excepto para el módulo de valor 1 (con c = 0).

Elevar al cuadrado implica multiplicar el ángulo por dos.

Sumar c = a + ib, consiste en una traslación.

22

c = 0.275

c = 1/4

c = 0

c = -3/4

c = -1.312

c = -1.375

c = -2

c = i

c=(+0.285,+0.535)

c=(-0.125,+0.750)

c=(-0.500,+0.563)

c=(-0.687,+0.312)

23

¿Cómo discriminar si un punto del plano complejo pertenece o no al conjunto de escape Ec?

Existe un sencillo criterio:

Si |z| ≥ |c| y |z| > 2, entonces z es un punto de escape de la iteración zn+1 = zn

2 + c.

Supongamos que definimos r(c) = max (|c|, 2), y que se cumplen las condiciones del criterio. Entonces, existe un ε > 0 tal que r(c) = 2 + ε y |z| ≥ r(c).

24

Observemos que:

|z2 + c| ≥ |z2| - |c| = |z|2 - |c| ≥ |z|2 - |z| = (|z| - 1)·|z|

Recordemos que |z| ≥ r(c) = 2 + ε . Entonces:

(|z| - 1)·|z| ≥ (1 + ε)·|z|.

En conclusión, si z cumple las condiciones previas, entonces: |z2 + c| ≥ (1 + ε)·|z|.

De modo que en cada iteración el módulo del nuevo valor crece.

25

•Fractint/Winfract•Ultrafractal (UF) probablemente es el programa de generación de fractales más usado por la comunidad de ciberartistas que experimentan con fractales.

•Puedes bajarte una versión de evaluación en http://www.ultrafractal.com/, la página oficial del programa.

•No te pierdas la galería de imágenes en: http://www.ultrafractal.com/showcase.html. Te harás una idea de las posibilidades de UF.

Ejecutar Ultrafractal localmente.

Curso de fractales en nuestra página del departamento:http://matap.dmae.upm.es/cursofractales/index.html

26

Conjuntos conexos

¿Son los siguientes conjuntos de puntos dominios?

No existe camino entre el triángulo inferior y el triángulo superior.

a

ρ

x

yUn disco abierto

a

ρ1

x

y

ρ2

Un anilloabierto

x

y

Un cuadrado abierto sin diagonal.

Un conjunto S se llama conexo si cualquier par de sus puntos pueden conectarse mediante un camino formado por puntos que pertenecen a S. Un abierto conexo se denomina dominio (en algunos textos se denomina región). P.ej.: todo entorno es un dominio.

27

Teorema:

Cualesquiera dos puntos de un dominio pueden unirse por medio de una línea poligonal contenida en el dominio.

28

El conjunto de Mandelbrot

Benoit Mandelbrot(1924 -)

29

czz nn +=+2

1

30

El valor de c determina si un conjunto de Julia es conexo o no.Para determinar qué valores de c producen conjuntos de Julia conexos parece que no quede más remedio que determinar cada conjunto iterando todos los puntos del plano complejo para cada función z2 + c.

Afortunadamente, se puede demostrar que basta con iterar z0 = (0, 0) para cada c.

czz nn +=+2

1

31

Si la órbita con semilla z0 = (0, 0) no escapa al infinito, entonces el conjunto de Julia es conexo.

El conjunto de todos los valores c tales que sus correspondientes conjuntos de Julia son conexos forman en el plano complejo el famoso conjunto de Mandelbrot.

Este es el dibujo original que Mandelbrot descubrió a la comunidad científica a finales de los 70 cuando trabajaba en el centro de investigación Thomas J. Watson.

32

En la figura de la izquierda están representados algunos conjuntos de Julia con distintos valores de c (indicados en el plano complejo por las líneas de color azul). Para valores de c dentro del conjunto de Mandelbrot la forma de los conjuntos de Julia es semejante a círculos. Fuera del conjunto tenemos nubes de puntos desconectados (conjuntos de Julia no conexos). Los conjuntos de Julia más interesantes estéticamente se observan en la frontera. Las formas dendríticas de los conjuntos de Julia corresponden a las fronteras filamentosas del conjunto de Mandelbrot. En la imagen inferior puedes observar un gif animado del efecto de la variación continua del parámetro c en las formas de los conjuntos J a lo largo de una línea que va desde la frontera de M (forma dendrítica) hasta su interior (forma circular).

33

34

35

36

37

38

Funciones complejasSea S un conjunto de números complejos z = x+iy.Una función f definida sobre S es una regla que asigna acada z en S un número complejo w llamado valor de f en z.

w = f(z)– z es una variable compleja.– S es el dominio de definición de f.– El conjunto de valores de la función f se llama rango de f. Como w es complejo (w = u+i v; con u y v reales) podemos

escribir:

w = f(z) = u(x,y) + i v(x,y)– Una función compleja f(z) es equivalente a un par de funciones

reales u(x,y) y v(x,y), cada una dependiente de dos variables reales x e y.

39

),( yxu

),( yxv

Ejemplos:)(zfw =

)2()(

)(

)(

22

2

2

xyiyx

iyx

zzf

+−=

+=

=

),(),( yxviyxuw +=

Función de variable compleja

),( yxu ),( yxv

)62()26(

)(6)(2

62)(

yxiyx

yixyixi

zizzf

−+−=−++=

+=)(zf

iz 23 +=

i

i

yxiyxzf

614

)2632()2236(

)62()26()(

−=⋅−⋅+⋅−⋅=

−+−=

¿Cuál es el valor de en ?

Parte real Parte imaginaria

¿Cuáles son los dominios de definición de estasfunciones?

40

Ejemplos: • Polinomios de grado n:

donde c0, c1...cn son constantes complejas y cn es distinto de

cero.• Funciones racionales (cocientes de polinomios):

• Si en f(z) = u+iv, v = v(x,y) = 0, entonces f es una función de variable compleja con valores reales. P.ej.: f(z)= |z|2 = x2 + y2 .

nn zczczczczcczP ++++++= 4

43

32

210)(

)(

)(

zQ

zP

41

42

x

Funciones de variable real

)(xfy =

2)( xxf =

Representación geométrica cartesiana

Variable real

y

Asignación

43

x

)(zfw =2)( zzf =

y

i+1

i2

1−

Funciones de variable compleja

¿Cómo representarlas geométricamente?

Parte imaginaria

1+

Asignación Parte real

Imagen

Preimagen. ¿Cuál es la otra?

1)1()1( 2 =−=−f

iiif 2)1()1( 2 =+=+

44

Representación mediante dos planos: z y w

yixz +=

iz += 13

iz 212 −=iz −−= 21

viuw +=

iw 431 +=

iw 432 −−=

14 −=z

14 +=w

iw 23 =

x

yPlano z

2)( zzf =

u

vPlano w

¿Cómo transforman ?zf(z)(c) iz, f(z)(b) c, zf(z)(a) ==+=

45

46

Transformaciones mediante funciones lineales

Existen muchas situaciones prácticas donde podemos simplificar un problema mediante una transformación en el plano complejo.

),(),(

),(con)(

21

21

cycxwyxz

cccczzfw

++=→==+==Translación:

)|,|(),(

)]sin()[cos(||)sin(cos

)sin(cos||con)(

φθθθφθφφφ

θθ

+→+++→+=

+===

brr

ibrirz

ibbbzzfw

Rotación alrededor del origen y alargamiento/contracción:

47

Funciones lineales

cbzzfw +== )( Translación

Rotación y alargamiento/contracción

Ejemplo: )1()( ++== iizzfwEsta función transforma el cuadrado A en el cuadrado B.

48

2)( zzf =

x

y

u

v

)]2sin()2[cos(22 θθ irzwz +==→La función/transformación

¿Es biyectiva la transformación?

Plano z Plano w

49

2)( zzf =

x

y

u

v

)]2sin()2[cos(22 θθ irzwz +==→

¿Cómo puede ser? Si a cada punto de la semicircunferencia del plano z le corresponde un solo punto del plano w, ¿cómo media circunferencia se transforma en una entera? ¿No hay el doble de puntos en una circunferencia que en media?

Plano z Plano w

50

]1,0[;)1()( 2 ∈+−= µµµµ zzzf

51

]1,0[;)1()( 2 ∈+−= µµµµ zzzf

52

0),( =yxF

)()()( tiytxtzz +==

),(),()( yxivyxuzfw +==

0),( =Φ vu

Curva en el plano z

Transformación f(z)

Curva en el plano w

Parametrizamos la curva:

)](),([)(

)](),([)(

tytxvtv

tytxutu

==

Obtenemos la transformación de la parametrización:

Y de aquí la curva transformada:

En general

53

¿En qué curva se transforma una circunferencia de radio unidad centrado en el origen a través de la función f(z)=z2?

)2()(

)()(22

22

xyiyx

iyxzzf

+−=

=+==

01),( 22 =−+= yxyxF

ttyttxiyxz

ttittzz

sin)(,cos)(;

)2,0[,sincos)(

==+=∈+== π

)2sin(sincos2)(

)2cos()(sin)(cos)( 22

ttttv

ttttu

===−=

01),( 22 =−+=Φ vuvuLa imagen traza una circunferencia de radio unidad centrada en el origen dando dos vueltas.

Circunferencia de radio unidad centrada en el origen:

Parametrizamos. Todos los puntos de la cincurferencia pueden expresarse como:

La transformación es:

xyyxv

yxyxu

2),(

),( 22

=−=

En componentes:

Usando la parametrización:

Que nos proporciona la curva:

54

]1,0[;)1()( 2 ∈+−= µµµµ zzzf

55

Encuentra la imagen de la línea Re(z) = 1 bajo la transformación f(z) = z2.

Re(z) = x = 1, yxyyxv

yyxyxu

iyxzzf

22) ,(

1) ,(

)()(222

22

==−=−=

+==

4/1 entonces ,2/ 2vuvy −==

56

¿En qué curvas se transforman rectas verticales en el plano z a través de la función f(z)=z2 en el plano w?

kx =kyxyyxv

ykyxyxu

22),(

),( 2222

==−=−=

iykz +=

La ecuación de un parábola abierta hacia la izquierda: con vértice en (k2, 0) y foco en el origen.

Idem para rectas horizontales (pero serán parábolas hacia la derecha):

)(4

2

222

2

kukv

k

vy

uky−−=

=

−=

ikxz

ky

+==

kxxyyxv

kxyxyxu

22),(

),( 2222

==−=−=

)(4

2

222

2

kukv

k

vx

kux−=

=

−=

57

Tomemos como dominio un rectángulo con esquinas en ±3/2±3/2i. Observacomo las líneas verticales, formadas por complejos de parte real constante, seconvierten en parábolas abiertas hacia la izquierda. Y las líneas horizontales,formadas por números complejos de parte imaginaria constante, en parábolasabiertas a la derecha. Observa también como los ángulos entre rectas amarillas yrosas siguen siendo rectos: la transformación es conforme..

http://www.ima.umn.edu/~arnold/complex.html Douglas N. Arnold

58

]1,0[;)1()( 2 ∈+−= µµµµ zzzf

59

60

61

)2,(),(

2),(),(22

22

xyyxyx

xyyxvyxyxu

−→=−=Observa que puesto

que la transformación w = f(z) = z2 es:

Los puntos z sobre la hipérbola x2 – y2 = k se transforman en lineas u = k.Los puntos z sobre la hipérbola 2xy = k’ se transforman en lineas v = k’.

62

f(z) = z2

Esquema de color dependiente del valor real

Dominio Rango

http://winnie.fit.edu/~gabdo/function.html

63

f(z) = z3

Esquema de color dependiente del argumento

Dominio Rango

64

65

Límite de una función compleja

Una función f(z) se dice que tiene límite w0 cuando z tiende a z0, y

se escribe:

u

si f está definida en un entorno de z0 (a excepción tal vez de z0 mismo) y si: ∀ real ε > 0, ∃ un real δ > 0: ∀ z ≠ z0 , y |z - z0| < δ, entonces |f(z) - w0| < ε.

0)(lim0

wzfzz

=→

x

z0

δy

z

w0

εv

f(z)

En general δ=δ(ε, z0) Si el límite existe, es único.

Es decir: si dado un entorno de radio ε alrededor del límite, podemos determinar un entorno de radio δ(ε, z0) alrededor de z0.

66

Observemos que como en el caso de variable real, la definición de límite no nos dice cómo encontrarlo. Demostremos que: iiz

iz2)(lim =+

→

|||2)(||)(|

||||

)(

0

0

iziizwzf

izzz

izzf

−=−+=−−=−

+=Utilizando la notación anterior, tenemos en este caso:

ε<−< ||0 iz

δ<−< ||0 iz

Tomando δ = ε, por ejemplo, siempre se cumple.

Ejercicio: Demostrar que si el límite existe,es único. (Nota: Suponer dos valores distintos para el límite, aplicar definiciones y demostrar entonces que ambos valores han de ser, a la fuerza, el mismo).

67

¿Cuál es el equivalente a límite por la derecha y por la izquierda de variable real en el caso de variable compleja?En el plano complejo podemos acercarnos al límite a través de una infinidad de trayectorias. Por ejemplo:

zzf Arg)( =

x

y

0z1C

2CToda vecindad de z0 contienevalores de Arg z en el segundocuadrante arbitrariamente cerca de , pero también del tercer cuadrante arbitrariamente cerca de . Acercándonos por C1 y porC2 obtenemos dos valores distintos del límite.

π

π−

ππ +≤<− zArg

68

Ejemplo

yx

yyi

yx

xxzf

+++

++= )(

)(22

Esta función no está definida para z = x+iy = 0, (x = 0, y = 0).Veamos que no existe el límite de la función cuando z tiende a 0.

(1) Nos aproximamos al origen a lo largo del eje y. Tomandox=0 en f(z), tenemos:

)1()(

)(2

0 +=+== yiy

yyizf x

Que se aproxima a i, a medida que nos acercamos al origen.

(2) Tomando y=0 nos aproximamos a lo largo del eje x:

1)(2

0+=+=

=x

x

xxzf

y

Que tiende a 1.Como el límite por ambos caminos no coincide, el límite no existe.

69

70

Ejercicios:

(1) Sean: 000000 y),,(),()( ivuwiyxzyxviyxuzf +=+=+=Entonces:

0),(),(

0),(),(

0

),(limy),(lim

sii)(lim

0000

0

vyxvuyxu

wzf

yxyxyxyx

zz

==

=

→→

→

Nota: Utilizar la definición de límite y la desigualdad:

(2) Demostrar que si

|||)(|lim)(lim 0000

wzfwzfzzzz

=⇒=→→

|)(||||)(| 00 wzfwzf −≤−

71

Propiedades de los límites Sean w0 y w'0 los límites, cuando z

tiende a z0, de f(z) y g(z) respectivamente. Entonces:

En particular si f(z) = g(z) = z :

y por inducción: Como además:

Entonces, para un polinomio P(z) = a0+a1z+...+anzn,

tendremos:

0si)(

)(lim

)]()([lim)]()([lim

'0'

0

0

'00

'00

0

00

≠=

⋅=⋅+=+

→

→→

ww

w

zg

zf

wwzgzfwwzgzf

zz

zzzz

20

2

0

lim wzzz

=→

nn

zzwz 0

0

lim =→

cczz

=→ 0

lim

)()(lim 00

zPzPzz

=→

Nota: Es fácil demostrar estas propiedades a partir de u(x,y) y v(x,y).

72

)(lim)(lim00

zfzfzzzz →→

=

Ejercicio: Demostrar que

73

Punto del infinito

74

Punto del infinito•El número complejo infinito o punto del infinito, denotado por , no posee signo ni argumento.

•Su módulo es mayor que |z| para todo z complejo.

•¿Es un punto del plano complejo? No es localizable, pero sí “alcanzable” a través de cualquier trayectoria en la que |z| sea creciente.

•Se “opera” como en los reales. Por ejemlo:z / = 0, z/0 = , etc.

•Cuando el plano complejo incluye al punto del infinito , hablamos de plano complejo extendido.

∞

∞ ∞

∞

75

Ejemplo: Sea2

1)(

−−=

z

zzf

Determina la imagen para z = ∞.

11

12

1

11

lim2

1lim)(lim ==

−

−=

−−=

∞→∞→∞→

z

zz

zzf

zzz

Cuando z tiende a infinito obtenemos f(z) = 1.

Nota. Una forma alternativa de encontrar el valor en el infinito es encontrar la imagen de 1/z para z =0.

121

1lim

21

11

lim1

lim000

=−−=

−

−=

→→→ z

z

z

zz

fzzz

76

01

1lim)(lim

1lim)(lim

0)(

1lim)(lim

0

00

0

00

=

⇔∞=

=

⇔=

=⇔∞=

→∞→

→∞→

→→

zf

zf

wz

fwzf

zfzf

zz

zz

zzzz

Algunas relaciones útiles:

77

78

79

Sol.: a) 4, b) ∞, c) ∞, d) 0, e) No existe, f) 6i.

Sol.: No existe.

80

Bernhard Riemann(1826 - 1866)

Esfera de radio unidad centrada en el cero del plano complejo.Proyección estereográfica: hacemos corresponder cada punto del plano con un punto de la esfera como muestra la gráfica. El polo norte N de la esfera corresponde al punto del infinito.

La esfera de Riemann

81

Otra forma de la esfera de Riemann

Ahora ya podemos definir límites al infinito. Si

para todo real ε > 0, ∃ un real δ> 0: |f(z) - w0| < ε para todo z: |z|> 1/δ.

0)(lim wzfz

=∞→

O: si para todo real ε > 0, ∃ un real δ > 0:

|f(z)| < 1/ε siempre que |z - z0| < δ.

∞=→

)(lim0

zfzz

82

)Arg(|| zrz ==Espiral de Arquímedes. Dado que , la ecuación anterior solo representa una espira de la espiral.

Espirales esféricas de M.C. Escher

La proyección estereográfica tiene dos propiedades importantes: las circunferencias siempre se transforman en circunferencias y la transformación conserva ángulos.

ππ +≤<− zArg

83

84

85

Funciones complejas continuas

Decimos que f(z) es continua

en una región si es continua

en todo punto de la región.

Una función f(z) se dice que es continua en z = z0 si f(z0)

está definida en z0 y )()(lim 00

zfzfzz

=→

Ejercicio:Las sumas, diferencias y productos de funciones continuas son continuas. El cociente de dos funciones continuas es continuo salvo en los puntos en que se anula el denominador. La composición de funciones continuas es continua. Sea f(z) = u(x,y) + iv(x,y), entonces u y v serán continuas en todo punto en el que f(z) lo sea. Y a la inversa: f(z) será continua en todo punto en que u(x,y) y v(x,y) lo sean.

(Nota: si en el límite δ = δ(ε, z0) no depende de z0, la continuidad es uniforme).

86

Ejemplo:Sea:

=

≠−+

=izi

iziz

zzf

,3

,1

)(

2

¿Es continua f(z) en z = i? (1) f(i) = 3i está definido. (2) Calculemos el límite de la función cuando z tiende a i:

iiziz

iziz

iz

ziziziz

2)(lim))((

lim1

lim2

=+=−

+−=−+

→→→

El límite existe pero no coincide con el valor de la función: la función no es continua.

87

Funciones continuas

Ejercicios:

(1) Sea f(z) = u(x,y) + iv(x,y), entonces u y v serán continuas en todo punto en el que f(z) lo sea.

(2) Y a la inversa: f(z) será continua en todo punto en que u(x,y) y v(x,y) lo sean.

Nota: Recuerda que, u(x,y) será continua en (a,b) sii lim(x,y)→(a,b) u(x,y) = u(a,b).

88

Transformación w = f(z) = 1/z

En este caso la transformación sí es biyectiva, excluyendo al origen. En coordenadas polares la transformación es:

),/1(),( θθ −→ rrUna inversión en el círculo unidad (lo de fuera pasa adentro y al contrario) seguida de una reflexión respecto al eje x.

Las circunferencias de radio r se convierten en circunferencias de radio 1/r. En particular, una circunferencia de radio unidad permanece invariante.

89

f(z) = 1/zEsquema de color dependiente del argumento

Dominio Rango

),/1(),( θθ −→ rr

Biyección

"We may thus think of the interior of the unit circle as a condensed image, a microcosmos, of its exterior". To infinity and beyond, Eli Maor

90

f(z) = 1/zEsquema de color dependiente del módulo

Dominio Rango

),/1(),( θθ −→ rr

?

¿Qué figura permanece invariante?

91http://mathworld.wolfram.com/Inversion.html

Gardner, M. The Sixth Book of Mathematical Games from Scientific American. Chicago, IL: University of Chicago Press, 1984.

92

Una línea que pase por el centro O, permanece invariante...

Una línea que no pase por el centro O se transforma en un círculo k que pasa por O (y al revés) y está completamente dentro del círculo unitario de inversión c.

Si la línea es tangente al círculo unitario de inversión c, el círculo k toca en el mismo punto a la línea y al centro O.

...

Planos z y w superpuestos

Vamos a describirlo con algo de mates...

93

2222

2222

2222

;

:entesimétricamy

;

;1

);,(),(11

)(

yx

yv

yx

xu

vu

vy

vu

ux

vu

vi

vu

u

ivuiyx

yxivyxuiyxz

zf

+−=

+=

+−=

+=

+−

+=

+=+

+=+

==

Veamos con más detalle la transformación f(z) = 1/z.

94

Ejemplo: ¿Cuál es la imagen de la recta x = c bajo la transformación f(z) = 1/z?

Es decir, un círculo de centro (1/(2c), 0) que pasa por el origen.El semiplano x > c se transforma en el interior del círculo.

22

222

2222

2222

2

1

2

1;0

;;

)valorcualquier(:esrtransformaarectaLa

;1

;11

)(

=+

−=−+

=+

−==+

=

==+

−+

=+

=++=+

==

cv

cu

c

uvu

vu

vyc

vu

ux

ycx

vu

vi

vu

u

ivuiyxivu

iyxzzf

λ

λ

95

recta una deecuación 0círculoun deecuación 0

),,,(0)( 22

→=→≠ℜ∈=++++

aa

dcbadcybxyxa

Podemos escribir la ecuación general de un círculo y una recta en el plano z en la forma:

0)(

0

0

;

0)(

22

22

2222

2

22

2

22

2222

22

=+−++

=++

−+

=++

−+

+

+−+

+

+−=

+=

=++++

acvbuvud

dvu

cvbua

dvu

vc

vu

ub

vu

v

vu

ua

vu

vy

vu

ux

dcybxyxa

Bajo la transformación 1/z, la ecuación general se convertirá en:

96

recta una deecuación 0círculoun deecuación 0

),,,(0)( 22

→=→≠ℜ∈=++++

aa

dcbadcybxyxa

(1)a y d distintos de 0: círculos que no pasan por el centro se transforman en círculos que no pasan por el centro.

(2) a distinto de 0 y d = 0: círculos que pasan por el centro se transforman en rectas que no pasan por el centro.

(3) a = 0 y d distinto de 0: rectas que no pasan por el centro se transforman en círculos que pasan por el centro.

(4) a = d = 0: rectas que pasan por el centro se transforman en rectas que pasan por el centro.

0)( 22 =+−++ acvbuvudSe transforma bajo 1/z en:

De hecho, si pensamos en rectas como círculos de radio infinito, 1/z transforma círculos en círculos.

recta una deecuación 0círculoun deecuación 0 →=→≠ dd

97

f(z) = 1/zEsquema de color dependiente del argumento

Dominio Rango

98

u = 1/a

u = -1/b

b = 0; u = -vb distinto de 0; en circunferencias.

v = -ku

circunf.

u2 = -v3 /(1+v)

99

Transformaciones bilineales o de Möbius

),,,,0()( Cdcbabcaddcz

bazwzM ∈≠−

++==

La transformación inversa estambién bilineal:

acw

bdwzwM

−+−==− )(1

Observemos que la transformación no está definida para z = -d/c. Y lo mismo ocurre con w = a/c en el caso de la inversa.El conjunto de posibles transformaciones bilineales forman un grupo.

August Ferdinand Möbius (1790-1868)

100

),,,,0()( Cdcbabcaddcz

bazwzM ∈≠−

++==

101

Cuando c ≠ 0, T(z) tiene un cero simple en z0 = −d/c, y entonces:

./)( osescribiremy

,/

/lim)(lim

entonces,0 además, Si, .)( osEscribirem

,)(lim

0

0

caTc

a

zdc

zbazT

czT

zT

zz

zz

=∞

=++=

≠∞=

∞=

∞→∞→

→

Ejemplo: Si T(z) = (2z + 1)/(z – i), calcula T(0), T(∞), T(i).

∞=∞==

==∞=−=

→

∞→

)( ,)(lim)(

,2)(lim)( ,)/(1)0(

iTzTiT

zTTiiT

iz

z

102

Las transformaciones de Möbius son biyecciones

103

( )''

'

1''

''

)(

zc

adbc

c

a

zz

zc

adb

c

adczz

dczc

adb

c

a

cd

zc

cad

bcd

za

dcz

bazwzf

−+→≡

−

+→+≡

+

−

+=

+

−+

+

=++==

¿Cómo transforma la bilineal?

De modo que cualquier transformación bilineal puede obtenerse como una composición de una transformación lineal y una transformación 1/z.

Así que para las transformaciones bilineales transforman el conjunto de círculos y líneas en sí mismo.

104

22:4

2

2

1

82)( ≤−

+−=

+= zC

zz

zzf

Re(z)2 4

)(4' traslaciónzz +=

Re(z')2 4 6 8

26' ≤−z

22 ≤−z

82)(

+=

z

zzf

b) Determinar la imagen de la región , al considerar la transformación:

ExamenJUNIO 04/05: P-1

105

16

1

16

3''

16

1

16

30112)(32

03212)(2)6(26'

0)(0)(

'

1''

22

222

22222

2222

=−⇒

⇒=+

−⇒=+−+⇒

⇒=+−+⇒=+−⇒=−=+−++⇒=++++

=

z

vuuvu

xyxyxz

acvbuvuddcybxyxa

zz

Re(z'')3/16 1/4

16

1

16

3'' ≥−z

26':'

2

2

1

22:4

2

2

1

82)(

≤−−

≤−+

−=+

=

zCz

zCzz

zzf

Recordemos cómo actúa la inversión:

...exterior del círculo...

106

8

1

8

3'''

)homotecia(''2'''

≥−

=

z

zz

Re(z''')3/8 1/2

16

1

16

3''''2

2

1

26':'

2

2

1

22:4

2

2

1

82)(

≥−−

≤−−

≤−+

−=+

=

zz

zCz

zCzz

zzf

...seguimos en el exterior del círculo...

107

8

1

8

3

)claro módulo, el omanteniend

,180º afijos los todosde giro(''''''

≥+

=−=

Z

zezZ iπ

Re(Z)-3/8-1/2

8

1

8

1

)(2

1

≥−

+=

w

traslaciónZw

Re(Z)1/41/8

108

Ejemplo: Sea a una constante compleja tal que Im(a) > 0. Encontrar la imagen del semiplano infinito superior bajo la transformación bilineal:

az

azw

−−=

Consideremos primero el borde. Para los puntos z sobre el eje x, tenemos:

1||

|||||||| =

−−=−=−

az

azwazaz

De modo que el eje x se transforma en el círculo unidad con centro en el origen.z = a se transforma en w = 0 (un punto interior del círculo).

La transformación es continua, y de aquí podemos deducir que la imagen del semiplano superior es el interior del círculo.

109

110

111

112

113

114

115

116

Möbius Transformations Revealed is a short video by Douglas Arnold and Jonathan Rogness which depicts the beauty of Möbius transformations and shows how moving to a higher dimension reveals their essential unity. It was one of the winners in the 2007 Science and Visualization Challenge and was featured along with the other winning entries in the September 28, 2007 issue of journal Science. The video, which was first released on YouTube in June 2007, has been watched there by more than a million viewers and classified as a "Top Favorite of All Time" first in the Film & Animation category and later in the Education category. It has been selected for inclusion in MathFilm Festival 2008.

117

Tripletes a TripletesObserva que podemos crear una transformación de Moebius

a partir de tres puntos:

esta transformación tendrá un cero en z = z1 (T(z1) = 0 ,

T(z2) = 1 y tiene un polo en z = z3 (T(z3) = ∞). De modo

que T(z) transforma los complejos z1, z2, z3 en 0, 1, e ∞, respectivamente.

( )( )

.

;

;;

)(

212

232

31

312

132

12

32

3

1

bzzzc

dzzza

zdzb

dcz

baz

zzzz

zzzz

zz

zz

zz

zzzM

+=−=+=−=

−=−=++=

−−−−=

−−⋅

−−=

118

De la misma manera, la transformación de Moebius:

transforma w1, w2, w3 en 0, 1 e ∞, y S-1 transforma 0, 1 e ∞ en w1, w2, w3.

De modo que w = S-1(T(z)) transforma el triplete z1, z2, z3 en el triplete w1, w2, w3. Observa que como w = S-1(T(z)), tenemos que S(w) = T(z) y

12

32

3

1)(wwww

wwww

wS−−

−−=

12

32

3

1

12

32

3

1

zz

zz

zz

zz

ww

ww

ww

ww

−−

−−=

−−

−−

119

Ejemplo:

Construye una transformación de Moebius que transforma los puntos 1, i, −1 sobre el círculo unidad |z| = 1 a los puntos −1, 0 y 1 sobre el eje real.

Despejando w, tenemos w = −i(z – i)/(z + i).

1

1

1

1 o

1

1

1

1

)1(0

10

1

1

+−−=

−+−

−+

+−=

−−−

−+

z

zi

w

w

i

i

z

z

w

w

12

32

3

1

12

32

3

1

zz

zz

zz

zz

ww

ww

ww

ww

−−

−−=

−−

−−

120

121

122

123

Ejemplo: Construye una transformación de Moebius que transforma los puntos ∞, 0, 1 sobre el eje real en los puntos 1, i, −1 sobre el círculo |w| = 1.

Puesto que z1 = ∞, los términos z − z1 y z2 − z1 en:

son 1. Y entonces:

)(1

1

1

1)( o

1

10

1

1

1

1

1

1zT

zw

wiwS

zi

i

w

w =−

−=−+−=−

−=

−+

+−

12

32

3

1)(zzzz

zzzz

zT−−

−−=

124

Versión matricial

Podemos asociar la transformación bilineal a una matriz:

=

++=

++=

++=

++=

=

11

11

22

22

12

22

222

11

111

)(por dada viene))(( entonces

,)( ,)( Si

)( ació transformla representa dc

ba matriz La

dc

ba

dc

ba

dc

badcz

bazzTzTT

dzc

bzazT

dzc

bzazT

dcz

bazzTA

125

adj :es asociada matriz La

.)( :escribir podemosy

entonces,)( Si

1

−

−=

+−−=

+−−=

++==

−

ac

bdacw

bdwwT

acw

bdwz

dcz

bazzTw

A

)).((encontrar ,1

)(y 2

12)( Si :Ejemplo 1- zTS

iz

izzS

z

zzT

−−=

+−=

−

−−

=

++=

21

12

1

1 adj

donde ,))(( Sea 1-

i

i

dc

badcz

bazzTS

izi

izizTS

ii

ii

i

i

++−+++−=

+−+−+−

=

−

−−

=

−

2)21(

21)2())((:entonces

,221

212

21

12

1

1

1

126

Jos Leys http://www.josleys.com/

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

August Ferdinand Möbius (1790-1868)

Max Bill, “Endless surface”. From 1953 to 1956. Size125 x 125 x 80 cm. Open air Sculpture

Middlelheim Museum, Antverpen, Belgium.

La banda de Moebius(Möbius strip)

140

141Moebius Strip II, M. C. Escher (1963)

142