variabler...dragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. henvendelser om denne utgivelsen kan...

Arne Hole

VaRiAbleRMatematikk Vg 1

© Arne Hole EMF 2020

Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser.Uten særskilt avtale med rettighetshaverne er enhver eksemplarfremstilling ogtilgjengeliggjøring berre tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillattgjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk.Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inn-dragning, og kan straffes med bøter eller fengsel.

Henvendelser om denne utgivelsen kan rettes til:Arne HoleLillevannsskogen 180785 Oslo

www.variabler.no

ForordDenne boka er en del av VariAbler-serien for matematikk på trinn 8-13, skrevetetter Fagfornyelsen i 2020. Boka dekker matematikken på trinn 11, altså vide-regående skoles første trinn (Vg 1). Alle bøkene i VaRiAbleR-serien kan lastesned gratis som pdf fra

www.variabler.no

På www.variabler.no finner du også ekstramateriell til bøkene, blant annet lenkertil videoer som går gjennom hvert av delkapitlene.

Lykke til!Hilsen Arne

Innhold1. Programmering og logikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1 Programmering i Python 21.2 Mengdelære og utsagnslogikk 71.3 Teoremer, definisjoner og bevis 14

2. Algebra og likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1 Polynomer 192.2 Leddvis faktorisering 202.3 Polynomdivisjon 222.4 Nullpunkter og faktorisering 232.5 Polynomlikninger 262.6 Ekvivalens mellom likninger 292.7 Lineære likningssystemer 302.8 Matriser og determinanter 35

3. Trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.1 Sinus, cosinus og tangens 423.2 Generelle definisjoner 443.3 Sider og vinkler i trekanter 48

4. Funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.1 Mer om funksjonsbegrepet 504.2 Ekstremalpunkter 544.3 Polynomfunksjoner 564.4 Kontinuitet og grenser 604.5 Asymptoter 664.6 Rasjonale funksjoner 684.7 Briggsk logaritmefunksjon 724.8 Andre logaritmefunksjoner 754.9 Potensfunksjoner 774.10 Trigonometriske funksjoner 784.11 Ekstra oppgaver 81

5. Modellering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.1 Matematiske modeller 835.2 Modellering med funksjoner 845.3 Modellering av endringer 925.4 Gjennomsnittlig endringsfart 925.5 Øyeblikkelig endringsfart 945.6 Den deriverte 98

Fasit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104Stikkord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Denne boka er en direkte fortsettelse av bøkene VaRiAbleR Matematikk 8,VaRiAbleR Matematikk 9 og VaRiAbleR Matematikk 10. Det kan være lurt å hade bøkene tilgjengelig når du arbeider med denne.

Vi henviser til sider i VaRiAbleR Matematikk 8 ved å sette 8 foran sidetallet.Så “side 8.64” og “s. 8.64” betyr side 64 i VaRiAbleR Matematikk 8. På sammemåte skal “side 9.36” og “s. 9.35” bety side 36 i VaRiAbleR Matematikk 9, og“s. 10.36” bety side 36 i VaRiAbleR Matematikk 10.

1 Programmering og logikk

1.1 Programmering i Python

En algoritme er en metode for å gjøre noe. Hvis du har et programmerings-språk, kan du kode algoritmen som et program i dette språket.

I denne boken skal vi bruke programmeringsspråket Python. Python er ettekstbasert programmeringsspråk. Det betyr at vi taster inn koden uten å brukeferdige blokker, slik man gjør i såkalte blokkbaserte programmeringsspråk.

Vi skal i denne boken konsentrere oss om de delene av Python som er mestrelevant for den matematikken vi jobber med. Vi antar at du har en plattformder du kan taste inn og kjøre Python-programmer.

Kommandoene “print” og “input” i Python

Tast inn følgende lille Python-program og kjør det:

print("Hei på deg")x=input("Si noe til meg, da: ")print("Hyggelig at du sa",x)

Hvis du tastet riktig, skal programmet først skrive “Hei på deg”, og så “Si noetil meg, da:” etterfulgt av et mellomrom. Hvis du bak dette skriver inn “hei” ogtrykker Enter, vil programmet svare “Hyggelig at du sa hei”, og avslutte. Altså:

• print("noe")betyr at programmet skriver “noe”

• x = input("noe")betyr at programmet skriver “noe”, og at variabelen x settes lik detsom brukeren taster inn bak “noe”

1.1 Programmering i Python 3

I programmet på forrige side ble variabelen x satt lik det “ordet” brukeren tasterinn som svar på “Si noe til meg, da”. Man sier da at x ble en strengvariabel.Grunnen er at et ord som “hei” kan oppfattes som en “tekststreng” av de tresymbolene h, e og i. Tekststrenger kan inneholde mellomrom også, så de kanvære hele setninger. Men siden x her ble en strengvariabel, kan vi ikke regnemed den. Hvis vi vil at x i stedet skal bli en heltallsvariabel, altså kunne lagrehele tall, må vi skrive “int” foran “input”. Her er “int” forkortning for “integer”,som betyr heltall på engelsk. Vil vi at x skal kunne lagre desimaltall, må viskrive “float” foran. Da kalles x en flyttallsvariabel. Altså:

• x = int(input("noe"))betyr at x settes lik et heltall som brukeren taster inn bak “noe”

• x = float(input("noe"))betyr at x settes lik et desimaltall brukeren taster inn bak “noe”

Her er et eksempel på et Python-program som bruker begge disse variantene.Hvis du kjører dette, så merk at i Python skrives desimaltall med desimalpunkti stedet for desimalkomma. Altså for eksempel 5.4 i stedet for 5,4.

x=int(input("Gi meg et heltall x: "))

y=float(input("Gi meg et desimaltall y: "))

print("Du gav meg x =",x,"og y =",y)

print("Da får jeg at x+y =",x+y)

I siste linje av dette programmet ser du hvordan Python kan regne med tall.

Oppgave 1.1

a) Tast inn programmet ovenfor og kjør det.

b) Gjør om på programmet slik at det i stedet regner ut x − y, og kjør det.c) Gjør om på programmet slik at det i stedet regner ut x · y, og kjør det.

Gangetegn skrives ∗ i Python.d) Gjør om på programmet slik at det regner ut y : x, altså y

x, og kjør det.

Deletegn skrives med skråstrek i Python, altså skriver du y/x.

e) Gjør om på programmet slik at det i stedet regner ut (x + y)2, og kjør det.Å opphøye skrives ∗∗ i Python, så dette uttrykket kodes (x+y)**2.

f) Gjør om på programmet slik at det i stedet regner ut√

x + y, og kjør det.Kvadratrot skrives sqrt i Python, så dette uttrykket kodes sqrt(x+y).

4 Kapittel 1: Programmering og logikk

Regneuttrykk med variabler i kalles algebraiske uttrykk. Hvis uttrykket inne-holder mer en en regneoperasjon, kalles det også et sammensatt regneuttrykk.Skrivemåten for slike uttrykk i Python følger i stor grad skrivemåten i matema-tikk, men det er også unntak. Et annet ord for skrivemåte er syntaks.

Både i matematikk og i Python er grunnregelen at regneuttrykk skal regnesut fra venstre mot høyre, bortsett fra at parenteser skal tas først. Er det flereparenteser inne i hverandre, skal regningen starte innerst. I matematikk skrivesmultiplikasjon med en prikk, i Python med en stjerne. I matematikk kan delingskrives a : b eller a

beller a/b, men i Python er det kun skrivemåten a/b som

brukes. Pythons syntaks for andre regneoperasjoner ser du i oppgave 1.1.I matematikk har man også blitt enige om regler som sier at parenteser og

gangetegn i noen tilfeller kan gjøres underforståtte. Dette betyr at man ikkeskriver dem, men tenker seg at de er der likevel. Vi kan si at de er gjort usynlige.Noen av disse reglene kan brukes i Python, men ikke alle. Her er en oversikt.

Regler for underforståtte tegn

• I matematikk kan du la parenteser rundt eksponenten i et eksponent-uttrykk være underforstått. Så 23+4 betyr 2(3+4). Dette er ikke lov iPython, her må du skrive 2 ∗ ∗(3 + 4). Se oppgave 1.1 e).

• I både matematikk og Python kan du la parenteser rundt potensuttrykkvære underforstått. Eksempel: 5 · 23 betyr 5 · (23) i matematikk, og5 ∗ 2 ∗ ∗3 betyr 5 ∗ (2 ∗ ∗3) i Python.

• Både i matematikk og Python er det underforståtte parenteser rundtmultiplikasjoner og divisjoner (brøker). Eksempel: 2 + 3 · 5 betyr2 + (3 · 5) i matematikk, og 2 + 3 ∗ 5 betyr 2 + (3 ∗ 5) i Python.

• Hvis to variabler står inntil hverandre, eller et tall står inntil en variabel,er det underforstått gangetegn mellom dem i matematikk. Eksempler:2x betyr 2 ·x, og xy betyr x ·y. Dette kan ikke brukes i Python. Skriverdu 1 + 2x i Python, får du melding om “invalid syntax”.

• Hvis en variabel eller et tall står inntil en parentes, eller to parenteserstår inntil hverandre, er underforstått gangetegn mellom i matematikk.Så 2(6 + 2) betyr 2 · (6 + 2), og (2 + 3)(5 + 1) betyr (2 + 3) · (5 + 1).Dette kan ikke brukes i Python.

Reglene for underforståtte parenteser kalles også regler for regnerekkefølge.Røft sagt sier de nemlig at hvis det ikke er synlige parenteser inne i bildet, såskal man først regne ut potenser, så multiplikasjoner og divisjoner, og til sluttaddisjoner og subtraksjoner.

1.1 Programmering i Python 5

While-løkker i Python. Utforskning av formler

Tenk deg at du skal sette opp en formel eller et algebraisk uttrykk for noe. Duhar et forslag, men du lurer på om formelen din er riktig. Da kan programmeringvære en grei metode for å teste formelen.

Eksempel La Tn være tall nummer n i 3-gangen. Da er altså T1 = 3,T2 = 6, T3 = 9 og så videre. Finn en formel for Tn, og test den ved å skriveet Python-program som bruker formelen til å skrive ut de 100 første tallenei 3-gangen.

Løsning La oss si at vårt første forslag til formel er Tn = n+3. Vi kan dateste om denne formelen er riktig ved hjelp av følgende Python-program:

n=1while n


Oppgave 1.3I denne oppgaven skal vi jobbe videre med programmet i forrige eksempel.

a) Gjør om programmet slik at det i stedet skriver ut de 100 første tallene i4-gangen.

b) Gjør om programmet slik at det i stedet skriver ut de 10 første oddetallene.

c) Gjør om programmet slik at det i stedet skriver ut de 10 første kvadrat-tallene, altså 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

Oppgave 1.4La Tn være kvadratet av oddetall nummer n. Da er T1 = 12 = 1, T2 = 32 = 9,T3 = 52 = 25, T4 = 72 = 49, og så videre. Finn en formel for Tn, og test denved å lage et Python-program som bruker formelen til å skrive ut kvadratet avde 100 første oddetallene.

Utforskning av tallfølger

En tallfølge er en uendelig lang liste av tall. Et eksempel på en tallfølge er

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,...

Prikkene betyr at følgen fortsetter uendelig langt. Når du kjenner starten på entallfølge, kan du prøve å finne et mønster i den. Så kan du prøve å finne enformel for det n-te tallet Tn i følgen som stemmer med mønsteret ditt. Herser vi at T1 = 2, T2 = 4 og så videre. Et mønster er at dette er partallene, slikat

Tn = 2nVi kunne nå skrevet et Python-program som testet denne formelen, akkurat slikvi gjorde ovenfor.

Oppgave 1.5I hver deloppgave ser du starten på en tallfølge. Finn et mønster i tallfølgen, oglag en formel for Tn som stemmer med mønsteret ditt. Test formelen din ved ålage et Python-program som skriver ut Tn fra n = 1 opp til n = 10.

a) 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,...

b) 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70,...

c) 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71,...

d) 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77,...

1.2 Mengdelære og utsagnslogikk 7

1.2 Mengdelære og utsagnslogikk

I løpet av det siste halve århundret har det vært store svingninger i hvordanskolematematikken i Norge har vært lagt opp. På 1970-tallet skylte en mote-bølge kalt moderne matematikk inn over grunnskolen i Norge og de flesteandre vestlige land. I den moderne skolematematikken var mengdelære ogutsagnslogikk viktig. Disse tingene utgjør et viktig fundament i mer avansertmatematikk, altså den matematikken du kan studere på universiteter.

Det var mange fornuftige tanker bak den “moderne” skolematematikken,men i ettertid er nok konklusjonen at man gikk for langt. Det ble mengderoveralt. Resultatet var en svingning over til det motsatte: Mengdelære ogutsagnslogikk forsvant så godt som fullstendig ut av grunnskolen igjen. I dettedelkapitlet skal vi se på grunnbegreper knyttet til mengder og matematiskeutsagn. Mye av dette var altså pensum på barnetrinnet rundt 1975.

Mengder

En mengde er en samling objekter. Objektene i en mengde kalles elementeri mengden. Å skrive en mengde i listeform betyr å lage en liste med alleelementene i mengden. Man bruker da krøllparenteser foran og bak. Eksempel:

A = {1, 5, 7}

Dette betyr at mengden A har tallene 1, 5 og 7 som elementer. For å uttrykkeat 7 er et element i mengden A, skriver vi

7 ∈ A

Dette leses “7 er element i A”. På samme måte har vi 1 ∈ A og 5 ∈ A. Derimoter tallet 4 ikke et element i mengden A; dette skriver vi

4 /∈ A

Tegnet /∈ kan leses “er ikke element i”. Dette fungerer på samme måte somtegnet �=, som betyr “er ikke lik”. For eksempel 3 �= 4.

En mengde A sies å være inneholdt i en annen mengde B hvis alle elemen-tene i A også er elementer i B. Vi sier da også at mengden A er en delmengdeav mengden B. Vi skriver dette

A ⊆ B

Tegnet ⊆ leses “er inneholdt i”, eller “er en delmengde av”.


Eksempel La A = {1, 3, 5, 7, 9} og B = {1, 3, 5}. Da er B inneholdt i A,dvs. B ⊆ A. Derimot er ikke A ⊆ B, fordi 7 /∈ B og 9 /∈ B.

Oppgave 1.6La A = {3, 4, 5} og B = {3, 5}. Hvilke av følgende utsagn er sanne?

a) 3 ∈ B b) 4 ∈ A c) 2 ∈ Ad) B ⊆ A e) A ⊆ B f) 7 /∈ A

Snitt, union og differanse av mengder

La A og B være to mengder. Med snittet av A og B menes mengden av alleobjekter som er med i både A og B. Snittet av A og B skrives

A ∩ Bog leses “A snitt B”. Snittet består av de elementene som er felles for A og B.Med unionen av to mengder A og B menes mengden av alle objekter som ermed i enten A eller B, eller begge. Unionen av A og B skrives

A ∪ Bog leses “A union B”. Til slutt: Mengdedifferansen

A \ Bleses “A minus B” og består av alle objekter som er med i A og ikke med i B.Vi kan illustrere snitt, union og differanse av A og B slik:

BA

A ∪ B

BA

A ∩ B

BA

A \ B

Eksempel La A = {1, 3, 5, 7, 9, 11} og B = {1, 2, 3, 4, 5}. Da erA ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11}A ∩ B = {1, 3, 5} B \ A = {2, 4} A \ B = {7, 9, 11}


Oppgave 1.7La R = {1, 3, 5, 7} og S = {3, 5, 7, 9}. Finn R ∩ S, R ∪ S, R \ S og S \ R.

Tallmengdene N, Z, Q og R

Mengden av alle naturlige tall skrives N. Altså

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}

Mengden av alle hele tall skrives Z. Altså

Z = {. . . , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .}

Mengden av alle reelle tall skrives R. Mengden R består av alle hele tall ogdesimaltall, med endelig eller uendelig mange desimaler. Et reelt tall kallesrasjonalt hvis det kan skrives som en brøk m

nav hele tall m og n. Mengden av

alle rasjonale tall skrives Q. Vi har da

N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R

Intervaller

En delmengde av R som svarer til en sammenhengende bit av tallinjen kalleset intervall, og for disse har man en egen skrivemåte. Eksempel:

〈2, 5] = mengden av alle tall x slik at 2 < x og x ≤ 5

Dette intervallet består av alle punkter x på tallinjen som ligger mellom 2 og 5,med endepunktet 5 inkludert. Endepunktet 2 er ikke inkludert. Illustrasjon:

520

Som du ser, bruker man en hakeparentes hvis endepunktet skal være med iintervallet, og en spiss parentes ellers. Dette gjelder både i skrivemåten 〈2, 5]og på figurer. Vi kan også ha uendelige intervaller, og da brukes symbolene ∞(uendelig) og −∞ (minus uendelig). Eksempler:

[1, ∞〉 = mengden av alle tall x slik at 1 ≤ x〈−∞, 3〉 = mengden av alle tall x slik at x < 3


Oppgave 1.8

Skriv følgende mengder som intervaller, og illustrer dem på tallinjen:

a) Mengden av alle tall x slik at x ≥ −1 og x ≤ 2b) 〈0, ∞〉 ∩ 〈−∞, 3〉 c) 〈0, 6] ∩ 〈2, 10〉

Lukkede og åpne utsagn

Et utsagn i matematikken er en påstand om noe. Hvis utsagnet er lukket, vildet være enten sant eller usant. Et lukket utsagn kan for eksempel være entallsetning der det kun er konkrete tall og ingen variabler. Her er et eksempelpå en lukket tallsetning:

5 + 8 = 13Denne setningen sier “Fem pluss åtte er lik tretten”. Dette er et sant utsagn, sådenne tallsetningen er sann. Tallsetningen

6 + 8 = 13

er derimot usann. Se nå på utsagnet

x + 8 = 13

Dette sier “x pluss 8 er lik 13”. Om dette utsagnet er sant eller usant, kommeran på hvilken verdi vi gir til variabelen x. Dette er et åpent utsagn. Et åpentutsagn med en eller flere variabler i kan være sant eller usant, avhengig avverdiene vi gir til variablene. Noen åpne utsagn om tall er alltid sanne, noener av og til sanne, og noen er aldri sanne. Utsagnet

x + 8 = 13 (Av og til sant)

er et eksempel på et åpent utsagn som kan være både sant og usant. Det er santhvis x = 8, og usant for alle andre x-verdier. Et eksempel på et utsagn somaldri er sant, er

x = x + 1 (Aldri sant)Du finner ikke noe tall som er lik seg selv pluss 1, nemlig. Et eksempel på etutsagn som alltid er sant, er

5x + x = 7x − x (Alltid sant)

Her passer nemlig alle tall, som du kan se hvis du prøver å løse likningen.


Du er antakelig mer vant til å tenke på disse åpne utsagnene som likninger.Det er ingen ting i veien for det, de er likninger også. Man bruker ordet likningom matematiske utsagn som inneholder et likhetstegn. Oversatt til likningsspråkvil man si at det åpne utsagnet merket “Alltid sant” er en likning med uendeligmange løsninger. Utsagnet merket “Aldri sant’ sier man er en likning utenløsninger. Det kalles også en selvmotsigende likning. Utsagnet merket “Avog til sant” er en likning med én entydig løsning x = 8.

Åpne utsagn om tall som alltid er sanne, kalles også identiteter. Et berømteksempel på en identitet er følgende utsagn, som ofte kalles en distributiv lov:

a(b + c) = ab + acHvis vi tolker dette som et utsagn om tall, altså slik at variablene a, bog c stårfor tall, blir uttrykket på på venstre side av likhetstegnet alltid lik uttrykket påhøyre side, uansett hvilke tall vi setter inn for a, b og c. Så utsagnet er alltidsant. Dette kan forklares på mange måter, se kapittel 2.6.

Men det går også an å lukke utsagnet ovenfor. Da forteller vi hvilke talla, b og c regelen gjelder for:

For alle tall a, b og c gjelder at a(b + c) = ab + ac.Dette er et sant, lukket utsagn. Egentlig er det best å formulere algebraiske lover ilukket form på denne måten, fordi det da blir helt klart hvilke verdier variablenetillates å ha. Den distributive loven vi har her, er en av de grunnleggendealgebraiske lovene man jobber med på ungdomstrinnet. Vi skal komme tilbaketil denne loven i neste kapittel, som handler om algebra.

Oppgave 1.9For hvert av disse åpne utsagene om reelle tall, avgjør om utsagnet alltid er sant,av og til er sant, eller aldri er sant. Begrunn svarene dine.

a) xy + x = 2xy b) x(3 + x) = x2 + 3x c) x2 + 4 = 0d) For alle reelle tall x og y gjelder at hvis x > y, så er x2 > y2

Implikasjon og ekvivalens

La A og B være utsagn. Vi bruker følgende skrivemåter:

A �⇒ B betyr at hvis A er sant, så er også B sant.A ⇐⇒ B betyr at A �⇒ B og B �⇒ A.

Utsagnet A �⇒ B leses “A medfører B”. Pilene �⇒ og ⇐⇒ kalles henholds-vis en implikasjonspil og en ekvivalenspil. Hvis A ⇐⇒ B, sier man at A er


ekvivalent med B. Man sier også at utsagnene A og B er ekvivalente, eller atutsagnet A er sant hvis og bare hvis utsagnet B er sant. Ordet impliserer betyrdet samme som “medfører".

Ved hjelp av pilene �⇒ og ⇐⇒ kan vi lage nye utsagn ved å kombineregamle. Eksempler:

Du er i Bergen �⇒ Du er i NorgeDu er i Norges hovedstad ⇐⇒ Du er i Oslo

Lest med ord: At du er i Bergen medfører at du er i Norge. At du er i Norgeshovedstad er ekvivalent med at du er i Oslo. Begge disse utsagnene er sanne.Derimot er følgende utsagn ikke sant:

Du er i Norge �⇒ Du er i BergenDet går nemlig an å være andre steder i Norge enn i Bergen. Et mer matematiskeksempel:

x > 3 �⇒ x > 2Hvis dette tolkes som et utsagn om tall, er det sant. Hvis et tall er større enn3, må det også være større enn 2. Derimot er følgende implikasjon usann, hvisden tolkes som et åpent utsagn om alle reelle tall x og y:

x2 = y2 �⇒ x = yHvis vi lar x = 2 og y = −2, har vi nemlig x2 = y2 = 4. Men samtidig er detikke sant at x = y. Dette er et moteksempel som viser at implikasjonen ikkeer sann for alle x og y.

Når du løser likninger ved å skrive dem om, bør du passe på at du heleveien har ekvivalente utsagn. Teknikkene vi har for å løse likninger, gir vanlgivisekvivalens. Men der fins også unntak, som for eksempel når vi kvadrerer beggesider av en likning. Mer om dette i kapittel 4.6.

Oppgave 1.10Avgjør om følgende utsagn er sanne for alle reelle tall x og y, altså om de alltider sanne.

a) x > 10 �⇒ x2 > 10 b) x2 > 0 �⇒ x > 0c) x3 = 0 ⇐⇒ x = 0 d) x = √x2 ⇐⇒ x ≥ 0

Logiske operatorer og tester

Hvis et utsagn er sant, sier man at sannhetsverdien til utsagnet er “sant”.Er utsaget usant, sier man at sannhetverdien til utsaget er “usant”. Studiet


av hvordan sannhetsverdien til utsagn blir når de kombineres på ulike måter,kalles utsagnslogikk. Vi har allerede sett eksmepler på utsagnslogikk knyttettil implikasjonspiler og ekvivalenspiler. En annen måte å kombinere utsagn påer å bruke “og”, “eller” og “ikke”. I matematikk bruker man tegnene ∧, ∨ og¬ for disse. Hvis A og B er utsagn, så har vi følgende:

A ∧ B sier “A og B”, altså “både A og B er sanne”A ∨ B sier “A eller B”, altså “A eller B (eller begge) er sanne”¬A sier “ikke A”, altså “A er ikke sant”

Det tre tegnene ∧, ∨ og ¬ kalles logiske operatorer. I Python skrives de rettog slett

and, or, not

De kan brukes i forbindelse med tester av sannhetsverdi i programmer. Pythonhar blant annet en if-kommando (hvis) og en else-kommando (ellers) som kanbrukes til slike tester. Her er et program med en if-test:

x=float(input("Gi meg et tall:")

if x>5:

print("Tallet er større enn 5")

else:

print("Tallet er ikke større enn 5")

Dette programmet tester sannhetsverdien til utsagnet

x > 5

og skriver “Tallet er større enn 5” hvis det er sant. Ellers skriver det “Tallet erikke større enn 5”.

I programmet ovenfor brukte vi tegnet “>” for “større enn” i utsagnet somskulle testes. Dette skrives på samme måte i Python som i matematikk. Slik erdet også med “= i PythonMindre enn eller lik: Skrives ≤ i matematikk, og


Merk at siden Python bruker vanlig likhetstegn for “settes lik”, trengs en egenskrivemåte for å uttrykke vanlig likhet. Da brukes altså to likhetstegn etterhverandre. Her er et program som bruker dette, samt operatoren or:

print("Jeg sjekker om x>5, eller x=0")

x=float(input("Gi meg et tall x:"))

if x>5 or x==0:

print(x,"oppfyller kravet")

else:

print(x,"oppfyller ikke kravet")

Dette programmet tester om tallet x enten er større enn 5, eller lik 0. Kravetprogrammet sjekker, er altså om en av disse betingelsene er oppfylt. Vi kanaltså si at programmet sjekker sannhetsverdien av utsagnet

(x > 5) ∨ (x = 0)

For at dette utsagnet skal være sant, må minst ett av utsagnene x > 5 og x = 0være sant.

Oppgave 1.11

Gjør om programmet ovenfor slik at det i stedet sjekker om x oppfyller detoppgitte kravet. Test programmet ditt i hvert tilfelle.

a) x < 5 eller x > 23 b) (x = 0) ∨ (x = 7)c) x > 3 og x ≤ 10 d) x ligger i intervallet [0, 2〉e) x ∈ 〈0, 1〉 f) (x2 ≥ 8) ∨ (x2 = 4)g) (x2 ≥ 4) ∧ (x > 0) h) x ∈ [−3, ∞〉

1.3 Teoremer, definisjoner og bevis

Som nevnt i forordet til denne boken, er det viktig å forstå at matematikk har tosider. Når man jobber med matematikk, kan man både finne ut ting og finne påting. Derfor består også matematisk teori av to typer stoff: Ting som er funnetut, og ting som er funnet på. Tingene som er funnet ut, er “oppdagelsene”. Folkhar oppdaget hvordan tallene i gangetabellen blir, de har oppdaget at det finsakkurat 25 primtall som er mindre enn 100, de har oppdaget at vinkelsummen i

1.3 Teoremer, definisjoner og bevis 15

en trekant er 180 grader, og så videre. Hver slik ting som er funnet ut, altså hveroppdagelse, kalles et teorem. For å forstå dette ordet, tenk deg at et teorem eren byggekloss i en teori. Et annet ord for teorem er “matematisk setning” ellerbare “setning”. Av og til kalles teoremer også resultater eller lover.

Til hvert teorem man har oppdaget, kan man gi en begrunnelse. Detteblir da en begrunnelse for at det teoremet sier, faktisk er sant. Hvis en slikbegrunnelse tilfredsstiller visse krav, kalles den et bevis for teoremet.

Den andre siden av matematikken, altså det man finner på, handler om detsom kalles definisjoner og notasjon. Et annet ord for notasjon er skrivemåte.Definisjoner og notasjon handler kun om det matematiske språket vi bruker.At en firkant med fire rette vinkler kalles et rektangel, er en definisjon. At

3 · 4 = 4 + 4 + 4er også en definisjon. Alt dette er ting man bare har funnet på. Man har funnetpå at

3 · 4,altså 3 og 4 med en prikk mellom, skal bety 4 + 4 + 4. Man har også funnetpå å kalle et tall for et primtall hvis det er et heltall større enn 1 som kun kandeles på 1 og seg selv.

Matematiske bevis

Matematiske bevis kan være av flere ulike typer. En ting som kan virke for-virrende, er at de også kan være på ulike nivåer. Det vi kaller et bevis forPytagoras’ setning i skolen, vil ikke nødvendigvis bli godtatt som et bevis fordenne setningen på universitetsnivå. Hva som er kriteriene for å bli godtattsom et bevis etter “vitenskapelig” matematisk bevisstandard, kan vi ikke gåinn på her. Denne standarden har ligget fast siden slutten av 1800-tallet, ogden kan kobles til såkalt formalisering av bevisene og sjekking av dem vedhjelp av datamaskiner. Teori for matematiske bevis er en del av fagområdetmatematisk logikk. Resultatet som (i praksis) sier at alle holdbare matematiskebevis kan formaliseres, kalles Gödels kompletthetsteorem. Dette er oppkalt et-ter Kurt Gödel, som også er berømt for sine såkalte inkompletthetsteoremer.Inkompletthetsteoremene beskriver begrensninger på hva man kan bevise i engitt matematisk teori, der man går ut fra visse grunnleggende antakelser. Slikegrunnleggende antakelser kalles aksiomer.

Selv om profesjonelle matematikere flest ikke jobber innenfor fagfeltetmatematisk logikk, og dermed ikke kjenner teorien for formalisering av bevisfullt ut, har de utviklet en presis følelse for hva som trengs for at et bevis foret teorem faktisk skal være formaliserbart. Kort sagt må et slikt bevis vise atteoremet bare er en logisk konsekvens av aksiomene man bruker.


Bevis og begrunnelser i skolematematikken

I skolematematikken kan vi ikke kun tillate begrunnelser som er beviser ettervitenskapelig matematisk standard. Selv i videregående skole ville det bli altforomfattende og ikke minst vanskelig. Men noen av begrunnelsene vi kommerbort i, er beviser etter vitenskapelig standard, eller skisser av slike. For dissevil jeg bruke betegnelsen bevis. De andre vil jeg kalle begrunnelse. Dissebegrunnelsene kan være av mange ulike typer; vi snakker her om alt som kanbidra til å forklare deg hvorfor noe man oppdager, eller har oppdaget, er riktig.

Svært mange av de matematiske begrunnelsene du kanskje har sett i grunn-skolen, er ikke egentlige bevis slik vi bruker ordet nå. Et typisk eksempel erbegrunnelsen for formelen A = πr2 for arealet av en sirkel som du finner påside 10.0.0. Denne begrunnelsen går ut på å dele sirkelskiven opp en mange“pizzabiter”, sakse dem sammen og se at vi da får “omtrent” et rektangel medlengde π ·r og høyde r . Når størrelsen av pizzastykkene blir mindre og mindre,blir tilnærmingen bedre og bedre. Dette resonnementet gir god forståelse forhvorfor arealet av en sirkel bør være πr2, men noe komplett bevis er det ikke.Når vi sier “mindre og mindre”, feier vi et problem under teppet.

Ulike typer bevis og begrunnelser

Vi skal nå se på noen ulike metoder man kan bruke når man skal forklare noei matematikken. Disse metodene kan brukes både i “offisielle” bevis og andrebegrunnelser. For enkelhets skyld bruker jeg ordet “bevis” her, men det vi siergjelder for det vi kaller “begrunnelser” også.

• Direkte bevis. Her utleder vi konklusjonen direkte fra forutsetningene.De fleste bevisene og begrunnelsene i boken er av denne typen.

• Kontrapositivt bevis. Denne bevisteknikken kan brukes til å vise teoremersom sier at et utsagn A medfører et annet utsagn B. Teoremet må altsåvære på formen

A �⇒ BIdeen er at istedet for å anta at A er sant og prøve å utlede B (direkte bevis),starter vi i et kontrapositivt bevis med å anta at B er usant. Hvis vi kanvise at A da også må være usant, har vi slått fast at B er sant i alle tilfellerder A er sant. Og det var det vi ville. Vi beviser altså

¬B �⇒ ¬A

Beviset for setningen på side 24 er et eksempel på et kontrapositivt bevis.

1.3 Teoremer, definisjoner og bevis 17

• Bevis ved selvmotsigelse. Her starter vi med å anta at teoremet ikke ersant. Hvis vi så kan utlede noe som åpenbart er galt, altså en selvmotsigelsefra dette utgangspunktet, kan vi konkludere med at teoremet må være sant.Et eksempel kommer nedenfor.

Eksempel på bevis ved selvmotsigelse

Som eksempel på et bevis ved motsigelse, skal vi ta det berømte beviset forat

√2 er et irrasjonalt tall, altså at

√2 ikke kan skrives som en brøk m

nav

hele tall. Mange synes dette er vanskelig, så ikke bli bekymret om du ikkeklarer å forstå det uten videre. Jeg tar det med fordi det er et godt eksempel påselve bevismetoden, samtidig som resultatet har hatt stor matematikkhistoriskbetydning.

Anta at√

2 ikke er et irrasjonal tall, altså at det er rasjonalt. I så fall finsdet hele tall m og n slik at

√2 = m

n

Her kan vi anta at brøken er forkortet slik at minst ett av tallene m og n eroddetall. Kvadrerer vi begge sider i denne likningen, får vi

(√

2)2 = (mn

)2

Dette kan vi skrive om til

2 = m2

n2

Ganger vi med n2 på begge sider, får vi

2 · n2 = m2

Dette betyr at tallet m2 må være et partall. Da må også m være et partall, fordihvis m var et oddetall, vil også m2 vært et oddetall (se oppgaven under). Menhvis m er et partall, vil m ·m faktisk være delelig med 4. Fra den siste likningenovenfor får vi da at 2 ·n2 er delelig med 4. Dette betyr at n2 må være partall, ogda må igjen n også være et partall. Så både m og n må være partall. Dette er istrid med antakelsen vi gjorde; vi har utledet en selvmotsigelse fra antakelelsenom at

√2 er et rasjonalt tall. Dermed har vi bevist at

√2 er irrasjonalt.


Oppgave 1.12Forklar hvorfor alle oddetall x kan skrives på formen x = 2n + 1, der n er etnaturlig tall. Bruk dette til å bevise at hvis x er et oddetall, så er x2 også etoddetall. Er beviset ditt et direkte bevis, et kontrapositivt bevis, eller et bevisved selvmotsigelse?

2 Algebra og likninger2.1 Polynomer

PolynomEt polynom p(x) av grad n med variabel x er et uttrykk på formen

p(x) = anxn + · · · + a2x2 + a1x + a0der a0, a1, . . . an er gitte tall, og an �= 0.

Tallene a0, a1, . . . an kalles koeffisientene til polynomet p(x). Altså:

• Et polynom av grad 1 er et uttrykk på formenp(x) = a1x + a0

Eksempel: p(x) = 3x + 7. Her er a1 = 3 og a0 = 7.• Et polynom av grad 2 er et uttrykk på formen

p(x) = a2x2 + a1x + a0Eksempel: p(x) = (0,8)x2 − 2x + 1. Her er a2 = 0,8 og a1 = −2.

• Et polynom av grad 3 er et uttrykk på formenp(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0

Eksempel: p(x) = x3 − 6x2. Her er a3 = 1, a2 = −6 og a1 = a0 = 0.Et polynom av grad n kalles også for et n-tegradspolynom. Så et førstegrads-polynom har grad 1, et annengradspolynom har grad 2 og så videre. Vi kanselvsagt også bruke en annen variabel enn x i et polynom, for eksempel kanvi ha t . Da skriver vi polynomet P(t), vi markerer altså at variabelen heter t .Skrivemåten P(x) tilsvarer den som brukes for funksjoner.

Oppgave 2.1

Skriv uttrykket (x − 1)(x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1) på formenanx

n + · · · + a2x2 + a1x + a0Hva blir graden til dette polynomet?

20 Kapittel 2: Algebra og likninger

2.2 Leddvis faktorisering

Som vi vet, kan du multiplisere sammen parentesuttrykk med flere ledd ved ågange hvert ledd i den ene parentesen med hvert ledd i den andre (alle mot alle).Vi skal nå se hvordan dette kan brukes baklengs til å faktorisere polynomer.Teknikken kalles leddvis faktorisering.

Eksempel Finn et polynom q(x) slik at

x4 + 7x − 2 = (x + 2) · q(x)

Løsning Vi skal finne et polynom som er slik at når vi ganger det medparentesen (x + 2), får vi x4 + 7x + 2. Teknikken er at starter med leddetsom har høyest eksponent, altså x4. Vi prøver så å finne et ledd som gir ossx4 når vi ganger det med x, som er leddet med høyest eksponent i polynomet(x + 2). Siden x · x3 = x4, kan vi bruke x3. Vi har

(x + 2) · x3 = x4 + 2x3

Så vi mangler fortsatt mye for å få x4 + 7x − 2. Vi trenger altså flere leddi svaret vårt. For å finne ut hva vi mangler, trekker vi fra det vi nå har fått.Vi setter det opp slik:

(x4 + 7x − 2) = (x + 2) · (x3 + . . .)x4 + 2x3

− 2x3 + 7x − 2

Her trakk vi altså fra (x + 2)x3 = x4 + 2x3. Så gjentar vi prosessen. Vispør nå hva vi må gange x med for å få −2x3. Svaret er −2x2, så dette blirneste ledd i svaret vårt. Vi trekker så fra (x + 2) · (−2x2) = −2x3 − 4x2 :

(x4 + 7x − 2) = (x + 2) · (x3 − 2x2 + . . .)x4 + 2x3

− 2x3 + 7x − 2− 2x3 − 4x2

4x2 + 7x − 2

Neste steg er å spørre hva vi må gange x med for å få 4x2. Svaret er 4x, så4x blir neste ledd i svaret vårt. Vi trekker så fra (x + 2) · (4x) = 4x2 + 8x.

2.2 Leddvis faktorisering 21

Regningen vår så langt blir da:

(x4 + 7x − 2) = (x + 2) · (x3 − 2x2 + 4x + . . .)x4 + 2x3

− 2x3 + 7x − 2− 2x3 − 4x2

4x2 + 7x − 24x2 + 8x

− x − 2Nesten i mål! Vi spør nå hva vi må gange x med for å få −x. Svaret er −1,så dette blir neste ledd i svaret vårt. Vi trekker fra (x + 2) · (−1) = −x − 2:

(x4 + 7x − 2) = (x + 2) · (x3 − 2x2 + 4x − 1)x4 + 2x3

− 2x3 + 7x − 2− 2x3 − 4x2

4x2 + 7x − 24x2 + 8x

− x − 2− x − 2

0

Her fikk vi 0, så vi trenger ikke flere ledd. Faktoriseringen lot seg altsågjennomføre, og vi fant q(x) = x3 − 2x2 + 4x − 1. Jeg anbefaler at dusjekker faktoriseringen ved å gange sammen parentesene. Sjekk altså at

(x + 2)(x3 − 2x2 + 4x − 1) = x4 + 7x − 2

Oppgave 2.2Finn et polynom q(x) slik at:

a) x3 − x2 − 12x + 3 = (x2 − 4x + 1) · q(x)b) x2 + 7x − 8 = (x − 1) · q(x)c) (x4 − 1) = (x2 + 1) · q(x)


2.3 Polynomdivisjon

Vi kan også sette opp faktoriseringen vi gjorde i forrige delkapittel som etdelestykke med polynomer:

(x4 + 7x − 2) : (x + 2) = x3 − 2x2 + 4x − 1x4 + 2x3

− 2x3 + 7x − 2− 2x3 − 4x2

4x2 + 7x − 24x2 + 8x

− x − 2− x − 2

0

Dette kalles polynomdivisjon. Tenkningen underveis er akkurat som da viførte regningen som en faktorisering. Vi starter med å spørre hva vi må gangex med for å få x4. Svaret er x3, og vi trekker så fra (x + 2)x3 = x4 + 2x3. Også videre. Hvis du ganger opp (x + 2) på begge sider i den øverste linjen, fårdu faktoriseringen vi fant i eksemplet:

x4 + 7x − 2 = (x + 2)(x3 − 2x2 + 4x − 1)

Polynomdivisjon med rest

Slik polynomdivisjon og leddvis faktorisering fungerer, starter vi med leddenesom har høyest eksponent. I hvert trinn gjennom regningen får vi da en restsom har lavere grad enn i forrige trinn. I eksemplet ovenfor var restene vi fikk:

−2x3 + 7x − 24x2 + 7x − 2

−x − 20

Så lenge resten har minst like høy grad som polynomet vi deler på, kan viredusere graden til resten enda ett hakk ved å ta et steg til. Men hvis vi får enrest som har lavere grad enn polynomet vi deler på, kommer vi ikke lenger. Damå resten være 0, ellers går ikke divisjonen opp. Her kommer et eksempel.

2.4 Nullpunkter og faktorisering 23

Eksempel Utfør polynomdivisjonen (x2 + 2x + 2) : (x − 1)

Løsning Vi får:

(x2 + 2x + 2) : (x − 1) = x + 3 + 5x − 1

x2 − x3x + 23x − 3

5

Vi stopper divisjonen når resten vår har lavere grad enn polynomet x − 1som vi deler på. Vi skriver så opp resten 5 delt på x − 1 til slutt i svaret,som vist. Konklusjonen er at

x2 + 2x + 2x − 1 = x + 3 +

5

x − 1Dette kan være en nyttig omskriving i mange tilfeller. Mulipliserer vi med(x − 1) på begge sider, får vi

x2 + 2x + 2 = (x − 1)(x + 3) + 5

Dette viser at vi ikke ville klart å faktorisere ut (x − 1) fra x2 + 2x + 2 vedtrinnvis faktorisering. Vi ville fått 5 til overs. Regningen i dette eksempletkunne også vært ført som trinnvis faktorisering hele veien.

Oppgave 2.3

Utfør polynomdivisjonene

a) (x3 + 1) : (x + 1) b) (x3 − 3x2 + 2x − 6) : (x − 3)c) (x4 + 2x3 + 3x2 + 6x) : (x2 + 2x)

Oppgave 2.4

Avgjør om polynomdivisjonene går opp. Hvis divisjonen ikke går opp, så angikonklusjonen som vist i forrige eksempel.

a) (x2 − 2x + 1) : (x + 1) b) (x2 − 2x − 3) : (x + 1)c) (x7 + x6 − 1) : (x + 1) d) (2x3 + 4x) : (x2 + 1)


2.4 Nullpunkter og faktorisering

Et tall a kalles et nullpunkt for et polynom p(x) hvis p(a) = 0. For eksempeler 3 et nullpunkt for polynomet p(x) = x2 − 9, fordi

p(3) = 32 − 9 = 9 − 9 = 0

Et nullpunkt gir oss en faktoriseringLa p(x) være et polynom, la a være et tall. Hvis a er et nullpunkt for p(x),så fins et polynom q(x) slik at

p(x) = (x − a) · q(x)

Bevis Vi skal føre dette som et kontrapositivt bevis, se kapittel 1.3. Vistarter da med å anta at konklusjonen i teoremet ikke er sann. Vi antar altsåat det ikke fins noe polynom q(x) slik at p(x) kan faktoriseres

p(x) = (x − a) · q(x)

Greit, la oss se da. Dette må bety at vi får en rest ulik 0 når vi prøver åfaktorisere p(x) leddvis med (x − a) som faktor. Resten vår må ha laveregrad enn polynomet x − a, så den må være et tall r �= 0. Da får vi

p(x) = (x − a) · q(x) + r

Innsetting av x = a gir nå

p(a) = (a − a) · q(a) + r = 0 · q(x) + r = 0 + r = r �= 0

Altså ikke a et nullpunkt for p(x). Vårt kontrapositive bevis er komplett.

Forrige teorem gir oss en metode for å sjekke om (x − a) er en faktor i etpolynom, altså om polynomet kan faktoriseres med (x − a) som faktor:

• Regn ut p(a), og se om du får 0.

Neste teorem oppsummerer situasjonen.

2.4 Nullpunkter og faktorisering 25

Nullpunkter, faktorisering og polynomdivisjonLa p(x) være et polynom, og la a være et tall. Da er disse tre utsagneneekvivalente. Det betyr at hvis et av utsagnene er sant, er alle sanne:

(i) p(a) = 0(ii) (x − a) er en faktor i polynomet p(x)

(iii) Polynomdivisjonen p(x) : (x − a) går opp.

Bevis Vi skal først bevise at hvis utsagn (i) er sant, så er utsagn (ii) sant.Det skriver vi (i)⇒ (ii). Så skal vi bevise at (ii)⇒ (iii), og at (iii)⇒ (i).(i)⇒ (ii). Dette har vi faktisk fra forrige side. Vi trenger ikke gjøre noe!(ii)⇒ (iii). Anta at (x − a) er en faktor i p(x). Da fins et polynom q(x)slik at

p(x) = (x − a) · q(x)Divisjon med (x − a) på begge sider gir

p(x) : (x − a) = q(x)

Altså går polynomdivisjonen p(x) : (x − a) opp.(iii)⇒ (i). Anta at polynomdivisjonen p(x) : (x − a) går opp. Da fins etpolynom q(x) slik

p(x) : (x − a) = q(x)Mulpiplikasjon med (x − a) på begge sider gir

p(x) = (x − a) · q(x)

Setter vi nå inn x = a, får vi

p(a) = (a − a) · q(a) = 0 · q(a) = 0.

Oppgave 2.5La p(x) = x3 − 6x2 + 11x − 6.

a) Vis at x = 1 er et nullpunkt for p(x).b) Skriv p(x) på formen p(x) = (x − 1) · q(x), der q(x) er et polynom.


2.5 Polynomlikninger

En polynomlikning med ukjent x er en likning på formen

p(x) = 0

der p(x) er et polynom. Hvis graden til polynomet p(x) er n, kalles det også foren n’te-gradslikning. Altså: En førstegradslikning er en likning på formen

ax + b = 0

der a og b er gitte tall, og a �= 0. En andregradslikning er en likning på formen

ax2 + bx + c = 0

der a, b og c er gitte tall, og a �= 0. En tredjegradslikning er en likning påformen

ax3 + bx2 + cx + d = 0der a, b, c og d er gitte tall, og a �= 0. Og så videre. Et eksempel på entredjegradslikning er

x3 − 4x2 − 3 = 0Her er a = 1, b = −4, c = 0 og d = −3. Det fins løsningsformler for likningerav grad 3 og 4 tilsvarende den for andregradslikninger, men vi skal ikke se pådem her. For grad 5 og høyere finnes ingen formel for løsningene. Dette blebevist av Niels Henrik Abel i 1824. For polynomlikninger av grad høyere enn 2skal vi nøye oss med metoden under, samt noen ekstra triks. Selv om metodenunder ikke fungerer i alle tilfeller, virker den på mange likninger man kommerborti i praksis.

Tips for å løse polynomlikninger av høyere grad enn 21. Prøv å finne en løsning ved gjetting. Tips: x = 0, x = 1, x = 2,

x = 3, x = −1 og så videre.2. Hvis du fant en løsning x = r , så faktoriser ut (x − r) ved leddvis

faktorisering. Se side 20. Ved setningen side 25 vet du at dette går.

3. Hvis polynomet du står igjen med har grad 2, så sett det lik 0 og løsved vanlig metode for andregradslikninger. Ellers gjentar du trinn 1og 2 til du er kommet ned til grad 2.

2.5 Polynomlikninger 27

Eksempel Løs tredjegradslikningen x3 + x2 − 17x + 15 = 0.

Løsning Vi starter med gjetting:

x = 0 innsatt gir 03 + 02 − 17 · 0 + 15 = 15. Virker ikke.x = 1 innsatt gir 13 + 12 − 17 · 0 + 15 = 2 − 17 + 15 = 0. Virker!

Så x = 1 er en løsning. Faktoriserer vi ut (x − 1) leddvis, får vi

x3 + x2 − 17x + 15 = (x − 1)(x2 + 2x − 15)

Så tredjegradslikningen kan skrives

(x − 1)(x2 + 2x − 15) = 0

For at produktet av to tall skal være null, må et av tallene være 0. Altså

x − 1 = 0 eller x2 + 2x − 15 = 0

Andregradslikningen til høyre har løsninger x = −5 og x = 3.Totalt: Løsningene av tredjegradslikningen er x = 1, x = −5 og x = 3.

Siden en andrgradslikning kan ha høyst to løsninger, kan en tredjegradslikninghar høyst tre løsninger. For en fjerdegradslikning ender vi opp med en andre-gradslikning etter å faktorisert ut to løsninger, så en fjerdegradslikning har høystfire løsninger. Generelt:

En polynomlikning av grad n har høyst n løsninger

Men som vi har sett med andregradslikninger, er det mange likninger som harfærre løsninger enn det maksimale antallet. Det er lett å lage likninger av grad2, 4, 6 og så videre som ikke har løsninger i det hele tatt. For eksempel disse:

x2 + 1 = 0 x4 + 1 = 0 x6 + 1 = 0

Hvis graden til en likning er et partall, kan det altså hende at likningen ikke harløsninger i det hele tatt. Er graden odde, viser det seg at likningen alltid vil haminst én løsning. Dette siste kan man bevise ved hjelp av et teorem som kallesskjæringssetningen. Vi dropper det.


Oppgave 2.6Løs likningene.

a) x3 + 2x2 − x − 2 = 0 b) x4 + 2x2 + 1 = 0c) x4 + 2x3 − x2 − 2x = 0

Kjernetrikset

Se på likningenx6 + 117x3 − 1000 = 0

Dette er en sjettegradslikning, så vi har ingen formel for å løse den. Du kanprøve deg med gjetting og faktorisering, men det vil kanskje ta litt tid. Herkommer et annet triks som kalles kjernetrikset. Likningen kan skrives

(x3)2 + 117(x3) − 1000 = 0

Hvis vi så setter u = x3, får vi en annengradslikning med u som ukjent:

u2 + 117u − 1000 = 0

Innsetting i abc-formelen gir

u = −117 ±√

1172 + 40002 · 1 =

−117 ± √176892

= −117 ± 1332

={ 8

−125Den nye variabelen u fungerer som en “kjerne” i likningen vi startet med. Vivet nå at kjernen u må være 8 eller −125. Siden u = x3, får vi likningene

x3 = 8 og x3 = −125

Høyre likning har løsningen x = 2, mens den til venstre har løsningen x = −5.Altså er løsningene av sjettegradslikningen vår x = 2 og x = −5.

Oppgave 2.7Løs likningene.

a) x4 − 5x + 4 = 0 b) x4 − 13x2 + 36 = 0c) x4 + 3x2 − 4 = 0 d) x6 − 9x3 + 8 = 0e) x4 + 5x2 + 6 = 0 f) x6 + 5x3 + 6 = 0

2.6 Ekvivalens mellom likninger 29

2.6 Ekvivalens mellom likninger

Når man skriver om en likning på en måte som ikke påvirker mengden avløsninger til likningen, plasserer man ofte en liten ekvivalenspil mellom de toutgavene av likningen. Eksempel:

x2 − 1 = 3�

x2 = 4

Hvis et tall x passer i den øverste av disse likningene, passer det også i dennederste, og omvendt. Vi sier at likningene er ekvivalente. De operasjonene vihittil har brukt for å løse likninger, er alle slik at de gir ekvivalens på denne måten.Hvis vi derimot kvadrerer begge sider av en likning, har vi ikke ekvivalens,bare implikasjon. Grunnen er at selv om u2 = v2, behøver ikke u være lik v.Eksempel:

x − √7 − x − 1 = 0 (vil isolere rottegnet)�

x − 1 = √7 − x (kvadrerer nå begge sider)⇓

(x − 1)2 = (√7 − x)2�

x2 − 2x + 1 = 7 − x (blir annengradslikning)�

x = 3 eller x = −2 (brukte formelen.)

Vi har her en ubrutt kjede av implikasjoner nedover, dvs. hvis x løser likningen,så må x = 3 eller x = −2. Men siden vi ikke har noen ubrutt kjede avimplikasjoner oppover, må vi sjekke om disse x-ene passer:

x = 3 gir innsatt 3 − √7 − 3 − 1 = 3 − 2 − 1 = 0. Ok!x = −2 gir innsatt −2 − √7 + 2 − 1 = −2 − 3 − 1 �= 0. Nix!

Med andre ord: Løsningen av likningen er

x = 3


Oppgave 2.8Løs følgende likninger med hensyn på x.

a)√

5 + x = x − 1 b) x = √x − 1 + 7c) 5x−2 + 4x−1 = 1 d) √x + 1 + √x + 10 = 9

2.7 Lineære likningssystemer

Et lineært likningssystem med to likninger og to ukjente x og y er etlikningssystem som kan skrives på standardformen

{a11x + a12y = b1a21x + a22y = b2

der a-ene og b-ene er gitte reelle tall som kalles koeffisientene til systemet. Eteksempel på et slikt likningssystem er

{−x + 2y = 53x + y = 6

Her er a11 = −1, a12 = 2, a21 = 3, a22 = 1, b1 = 5 og b2 = 6. Et eksempelpå et likningsssystem med to likninger og to ukjente som ikke er lineært, er

{x2 + 2y = 63x + y = 7

Grunnen til at dette systemet ikke er lineært, er leddet −x2. I et lineært lik-ningssystem skal alle de ukjente være opphøyd i første potens, altså 1. De kanikke være opphøyd i 2 eller noe høyere tall, vi kan ikke ha kvadratrøtter og slikt,og de ukjente kan ikke være i nevneren på en brøk.

Oppgave 2.9Løs det ikke-lineære likningssystemet

{x2 + 2y = 63x + y = 7

grafisk ved å bruke et digitalt verktøy.

2.7 Lineære likningssystemer 31

Vi kan selvsagt også ha lineære likningssystemer med flere enn to likningerog flere enn to ukjente. Et lineært likningssystem med tre likninger og treukjente x, y og z kan skrives på standardformen{

a11x + a12y + a13z = b1a21x + a22y + a23z = b2a31x + a32y + a33z = b3

der a-ene og b-ene er gitte tall. Systemet i eksemplet side 199 er av dennetypen.

Oppgave 2.10Avgjør om likningssystemet er lineært eller ikke. Løs systemet med en frittvalgt metode. Digitale hjelpemidler er tillatt.

a)

{5x − y = 133x + y = 11 b)

{x + 7y = 5π2x + y = 10π c)

{12x + y = 53x + y = 15

d)

{x + √y + z = 1y = 0−2x − 2z = 0

e)

{ 2x + y − z = 0−x + 2y + z = 03x + y + z = 0

Gauss-Jordan-metoden

Hittil har vi i denne boken brukt tre metoder for å løse likningssystemer:

• Innsettingsmetoden• Addisjonsmetoden• Grafisk metode

Vi skal nå se på en ny metode, som kalles Gauss-Jordan-metoden. Til forskjellfra metodene ovenfor, kan denne kun brukes på lineære likningssystemer.Fordelen med Gauss-Jordan-metoden er at den er helt systematisk, og at denkan programmeres. Den kan løse store likningssystemer effektivt, til og medlikningssystemer der antall likninger ikke er lik antall ukjente. Metoden er enavansert utgave av addisjonsmetoden.

Når man bruker Gauss-Jordan, skriver man likningssystemet om steg forsteg. I hvert steg bruker man en av disse tre operasjonene:

1. Addere et tall ganger en likning til en annen likning2. Gange en likning med et tall forskjellig fra 03. Bytte om likninger


Ingen av disse tre påvirker løsningene til systemet. Du synes kanskje den førsteser skummel ut, men den består bare i å legge til det samme på begge sider:Likningen du legger til, sier jo at de to sidene den har, er like!

Eksempel Løs systemet

{x + 2y − z = 1

−x − y + z = 02x − 2y + z = 1

Løsning Vi ønsker å lage en “trapp” der de ukjente står alene som trinn.For å få det til, skal vi fjerne ledd systematisk. Det vi ønsker å fjerne i hverttrinn, er markert med rødt. Operasjonene vi gjør, er beskrevet til høyre.

{x + 2y − z = 1

−x − y + z = 02x − 2y + z = 1

+1 · I−2 · I

1 ganger likning I

legges til II, og -2

ganger I legges til III.

{x + 2y − z = 1

y = 1−6y + 3z = −1 +6 · II

6 ganger II

legges til III

{x + 2y − z = 1

y = 13z = 5 ·( 13 )

Ganger tredje likning

med 1/3, så ertrappen ferdig

{x + 2y − z = 1

y = 1z = 5/3

+1 · III Vil nå fjerne leddeneover trappen. Legger

1 ganger III til I

{x + 2y = 8/3

y = 1z = 5/3

−2 · II Siste steg:-2 ganger II

legges til I

{x = 2/3

y = 1z = 5/3

Ferdig!

Vi sier at systemets generelle løsning er (x, y, z) = (2/3, 1, 5/3).Merk at vi fikk en entydig løsning i dette tilfellet.

Regningen i eksemplet viser stategien som brukes i Gauss-Jordan-metoden. Forå lage trappen, starter vi øverst til venstre, og fjerner leddene under hvert trinn.Etterpå fjerner vi leddene over trappen. Da starter vi fra høyre.

2.7 Lineære likningssystemer 33

Eksempel Løs

{ 2x1 + 9x2 + 32x4 = 13−x1 + x2 + 6x3 + 28x4 = −19x1 + 2x2 − 3x3 − 7x4 = 13

Løsning For å slippe å skrive så mye, regner vi med et “skjema” der baretallene i systemet er med.

[ 2 9 0 32−1 1 6 281 2 −3 −7

∣∣∣∣∣13

−1913

] (Bytt)(Bytt)

Bytter likning I og III

fordi vi vil ha en 1-eri øvre venstre hjørne

[ 1 2 −3 −7−1 1 6 282 9 0 32

∣∣∣∣∣13

−1913

]+1 · I−2 · I

Vil nå skaffe nullerunder den første eneren

i trappen vår

[ 1 2 −3 −70 3 3 210 5 6 46

∣∣∣∣∣13−6−13

]· 13

Ganger likning II med 1/3, for

å få en 1-er i neste “hjørne”

[ 1 2 −3 −70 1 1 70 5 6 46

∣∣∣∣∣13−2−13

]−5 · II

Vil nå drepe 5-eren

i siste likning

[ 1 2 −3 −70 1 1 70 0 1 11

∣∣∣∣∣13−2−3

] +3 · III−1 · III

Har fått “trappen”.

Vil så skaffe nullerover “hjørneleddene”

[ 1 2 0 260 1 0 −40 0 1 11

∣∣∣∣∣41

−3

] −2 · II

[ 1 0 0 340 1 0 −40 0 1 11

∣∣∣∣∣21

−3

]Gauss-Jordan fullført!

Oversetter vi dette til likningsform og flytter over x4-leddene, får vi

{x1 = 2 − 34x4x2 = 1 + 4x4x3 = −3 − 11x4

Dette er den generelle løsningen til likningssystemet. Hvis du vil lage enkonkret løsning, kan du velge x4 fritt og så finne x1, x2 og x3 ved disselikningene. Man sier at x4 er en fri parameter.


Her er en systematisk forklaring av Gauss-Jordan-metoden.

1. Sett opp tallskjema. Husk å fylle ut med nuller hvis det trengs.

2. Lag en trapp nedover mot høyre med 1-ere på hjørnene og nuller under.Start fra venstre, og ta kolonne for kolonne.

• Hvis en likning underveis blir 0 = 0 (bare nuller), så dropp den.• Hvis to likninger blir like, så dropp den ene.• Hvis en likning blir 0 = 1, 0 = −3 etc. (noe galt), så stopp!

Systemet er da selvmotsigende, dvs. det har ingen løsninger.

3. Skaff nuller over hjørneleddene ved å starte fra høyre. Når du har gjortdette, skal tallskjemaet være på redusert trappeform, som betyr atdet skal oppfylle følgende:

• I alle horisontale linjer skal første element fra venstre som er ikkeer 0, være en 1-er. Dette kalles linjens hjørneledd.

• Hjørneleddene skal danne en trapp nedover, dvs. hjørneleddet tilhver linje skal stå lenger til høyre enn hjørneleddet over.

• Alle hjørneleddene skal ha bare nuller over og under seg.4. Les av den generelle løsningen ved å oversette til likningsform og flytte

over eventuelle ukjente som ikke er hjørneledd. De ukjente du flytterover kan velges fritt, og kalles frie parametre. Antallet av dem kallesløsningsmengdens dimensjon.

Oppgave 2.11

Finn den generelle løsningen av likningssystemene under, og angi løsnings-mengdens dimensjon i hvert tilfelle.

a)

{x − 2y = 0x − y + 2z = 3

−2x + 3y − z = −1

b)

{x1 + 2x2 − 2x3 + 5x4 = 0

−2x1 − 3x2 + 3x3 − 9x4 = −1−x1 + x2 + 2x4 = −2

c)

{−x + y − z = 04x + 5y + z = 0

d)

{ 3x − y = 14x + y = 6

5x + y = 26e)

{2x1 − 4x2 + 6x3 − 2x4 + 3x5 = 03x1 − 7x2 + 3x3 − 2x4 − x5 = 1

2.8 Matriser og determinanter 35

2.8 Matriser og determinanter

Alle lineære likningssystemer kan løses ved Gauss-Jordan-metoden. Som vi såi forrige delkapittel, er det tre mulige utfall når vi bruker den metoden:

• Vi får en selvmotsigelse (0 = 1 etc.) underveis.Systemet har da ingen løsninger.

• Systemet lar seg gjøre om til redusert trappeform, men vi får ingen frieparametre å flytte over. Systemet har da en entydig løsning.

• Systemet lar seg gjøre om til redusert trappeform, og vi har en eller flerefrie parametre. Systemet har da uendelig mange løsninger.

Så med andre ord: Et lineært likningssystem har alltid enten ingen løsninger,en entydig løsning eller uendelig mange løsninger.

La oss se på et typisk likningssystem, for eksempel{ 3x + y − 5z = 1−7x − y + z = 72x + 2z = 1

Tenker du gjennom hvordan Gauss-Jordan-metoden fungerer, kan du med littflaks innse at hemmeligheten om hvorvidt dette likningssystemet har en entydigløsning eller ei må ligge gjemt i skjemaet av tall som står foran de ukjente påvenstre side i systemet:

M =[ 3 1 −5

−7 −1 12 0 2

]

Skjemaet M kalles en 3 × 3-matrise. Vi sier at M er koeffisientmatrisen tillikningssystemet ovenfor. Generell definisjon:

MatriserMed en m × n-matrise menes et “tallskjema” med m linjer og n søyler.Eksempler:[ 2 1

3 20 1

]3 linjer, 2 søyler (3 × 2-matrise)

[2 −3 5 −1

−1 0 0 1]

2 linjer, 4 søyler (2 × 4-matrise)


Hvis et likningsystem har like mange likninger som ukjente, viser det seg at dukan avgjøre om systemet har en entydig løsning ved å regne ut et tall som kallesdeterminanten til koeffisientmatrisen. Hvordan man regner ut determinanten,er forklart nedenfor. Vi har følgende teorem, som vi skal bevise øverst på side40.

Antall løsninger av likningssystemerGitt et lineært likningssystem med like mange likninger som ukjente, la Dvære determinanten til koeffisientmatrisen. Da har vi at

Systemet har en entydig løsning ⇐⇒ D �= 0.

Jeg skal nå forklare hvordan determinanten til en matrise er definert. Det er kunkvadratiske matriser (n × n-matriser) som har determinanter. Vi skal her kunse på determinanten til 2 × 2-matriser og 3 × 3-matriser.

Determinanten til 2 × 2-matriserer gitt ved formelen

det

[a b

c d

]=∣∣∣∣ a bc d

∣∣∣∣ = ad − bc.(rette streker betyr determinant). Eksempel:

det

[4 32 −3

]=∣∣∣∣ 4 32 −3

∣∣∣∣ = 4 · (−3) − 3 · 2 = −12 − 6 = −18.

Determinanten til 3 × 3-matriserregnes ut ved å “løse opp etter første linje”:

∣∣∣∣∣a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣ = a∣∣∣∣ e fh i

∣∣∣∣− b∣∣∣∣ d fg i

∣∣∣∣+ c∣∣∣∣ d eg h

∣∣∣∣ = etc.Regler for slik oppløsning:

• fortegnet veksler + − + bortover (pluss først)• de små “underdeterminantene" vi får å gange hvert tall med, fremkommer

ved å stryke den linjen og søylen tallet er med i.


Eksempel:

∣∣∣∣∣2 3 10 2 1

−1 2 1

∣∣∣∣∣ = 2∣∣∣∣ 2 12 1

∣∣∣∣− 3∣∣∣∣ 0 1−1 1

∣∣∣∣+ 1∣∣∣∣ 0 2−1 2

∣∣∣∣= 2(2 − 2) − 3(0 − (−1)) + 1 · (0 + 2) = −1

Her kommer et eksempel der vi bruker determinantberegning til å finne antallløsninger av et likningssystem.

Eksempel Finn antall løsninger av systemet

{ 17x − y + 3z = 0x + y − z = 0x − 7y + z = 0

Løsning Determinanten til koeffisientmatrisen er

D =∣∣∣∣∣17 −1 31 1 −11 −7 1

∣∣∣∣∣ = 17(1 − 7) − (−1)(1 + 1) + 3(−7 − 1)= −17 · 6 + 2 − 24 = −124

Siden D �= 0, har systemet en entydig løsning.

Hvis du kikker litt nærmere på eksemplet ovenfor, kan du med litt flaks se hvaden entydige løsningen er også. Løsningen er

(x, y, z) = (0, 0, 0).

Denne løsningen, der alle ukjente er 0, kalles den trivielle null-løsningen.Det er klart at alle lineære likningsystemer (på standardform) som har bare 0-erpå høyre side, vil ha en slik null-løsning. Språkbruk:

Lineære likningsystemer som har bare nuller på høyre side når de står påstandardform, kalles homogene. Alle homogene, lineære likningssystemerhar den trivielle null-løsningen, dvs. de er aldri selvmotsigende. Liknings-systemer som ikke er homogene, kalles inhomogene.


Her kommer et eksempel hvor vi har en såkalt parameter a i likningssystemet.Vi tenker oss at a er et tall som er oppgitt når vi skal løse systemet.

Eksempel La a være et reelt tall. Finn antall ulike løsninger (x, y, z) avsystemet {

ax + y = 2−x + a2y = −2−x + y + az = 0

Løsning Systemet er inhomogent, og

D =∣∣∣∣∣

a 1 0−1 a2 0−1 1 a

∣∣∣∣∣ = a∣∣∣∣ a2 01 a

∣∣∣∣− 1∣∣∣∣−1 0−1 a

∣∣∣∣+ 0 ·∣∣∣∣−1 a2−1 1

∣∣∣∣ = a4 + a.Hvorvidt D = 0 eller ei, avhenger altså av hva a er. Likningen D = 0 gira4 + a = 0, dvs.

a(a3 + 1) = 0,som har løsninger a = 0 og a = −1.Konklusjon: Hvis a �= 0, a �= −1 har systemet en entydig løsning.

For a = 0 og a = −1 har vi ingen eller uendelig mange løsninger.

• Med a = 0 innsatt blir systemet{

y = 2−x = −2−x + y = 0

Dette systemet kan vi løse uten å bruke Gauss-Jordan-metoden. Den førstelikningen sier y = 2, den andre sier x = 2, og x = y = 2 passer også i densiste. Så systemet kan ikke være selvmotsigende.

Konklusjon: Hvis a = 0 har systemet uendelig mange løsninger.

• Med a = 0 innsatt blir systemet{−x + y = 2

−x + y = −2−x + y − z = 0

Bruker du Gauss-Jordan på dette, får du en selvmotsigelse ganske raskt.Man kan se det direkte også: Likning 1 og 2 er i strid med hverandre, for−x + y kan ikke være både 2 og −2 samtidig.Konklusjon: Hvis a = −1 har systemet ingen løsninger.


Effekten av Gauss-Jordan på determinanter1. Hvis to linjer i en matrise byttes, skifter determinanten fortegn.

2. Å legge et tall ganger en linje til en annen linje endrer ikke deter-minanten til en matrise.

3. Hvis en av linjene i en matrise ganges med et tall k, så ganges deter-minanten med k også.

Bevis Vi skal vise dette i tilfellet 2 × 2. Tilfellet 3 × 3 er helt tilsvarende,bare at regningen blir lengre. Vi starter med matrisen

M =[

a b

c d

]

Vi har |M| = ad − bc. Bytter vi de to linjene, får vi matrisen[

c d

a b

]

Determinanten til denne er cb − da = −(ad − bc) = −|M|. Altså erpåstand 1 i teoremet bevist for 2 × 2-matriser. La oss så tenke oss at vilegger et tall t ganger første linje til andre linje i M . Da får vi matrisen

[a b

c + ta d + tb]

Determinanten til denne er

a(d + tb) − b(c + ta) = ad + atb − bc − bta = ad − bc = |M|Altså er påstand 2 bevist i tilfellet at et tall ganger første linje legges til andrelinje. Tilfellet at et tall ganget med andre linje legges til første, sjekkes helttilsvarende. Vi dropper det. Nå over til påstand 3 i teoremet. Hvis førstelinje i M ganges med tallet t , får vi matrisen

[ta tb

c d

]

Determinanten til denne er ta ·d − tb ·c = t (ad −bc) = t · |M|. Tilfellet atet tall ganges med andre linje, sjekkes tilsvarende. Vi dropper det. Dermeder også påstand 3 i teoremet bevist for 2 × 2-matriser.


Vi kan nå begrunne regelen om antall løsninger av likningssystemer på side 36.Hvis et likningssystem med n likninger og n ukjente har entydig løsning, betyrdet at koeffisientmatrisen

M

ved Gauss-Jordan-metoden kan omformes til en redusert trappeform med bare1-ere langs diagonalen, og nuller ellers. Altså

(1 00 1

)eller

( 1 0 00 1 00 0 1

)

for n = 2 og n = 3. Som du kan sjekke ved utregning, er determinanten tildisse matrisene lik 1. Den er altså ikke 0. Men dermed kan ikke det(M) være0 heller, for ved teoremet forrige side kan ingen Gauss-Jordan operasjon endreen determinant som er 0 til en som ikke er 0.

Omvendt, hvis systemet ikke har en entydig løsning, må det bety at koef-fisientmatrisen M ved Gauss-Jordan kan gjøres om til en matrise som har enren nullrad. Og determinanten til en matrise med en nullrad er 0. Ved teoremetforrige side må da

det(M) = 0

Oppgave 2.12Beregn determinantene

a)

∣∣∣∣ 5 43 7∣∣∣∣ b)

∣∣∣∣ 0 31 4∣∣∣∣ c)

∣∣∣∣∣2 3 51 0 4

−1 3 2

∣∣∣∣∣d)

∣∣∣∣∣1 −3 −57 −3 04 −2 2

∣∣∣∣∣ e)∣∣∣∣∣

2 3 −30 2 0

−1 1 −2

∣∣∣∣∣ f)∣∣∣∣∣7 3 −30 5 −10 0 2

∣∣∣∣∣

Oppgave 2.13Gitt likningssystemet { 4x + 7y + z = −3

−2x − 17y + 3z = 03x + 2y + 5z = 3

a) Skriv opp koeffisientmatrisen til systemet, og finn dens determinant D.

b) Finn antall løsninger av likningssystemet.


Oppgave 2.14Bestem antall løsninger av likningssystemene

a)

{ 3x − 5y + z = 1−x − y − z = 07x + z = 17

b)

{ 2r + 5s + 3t = 06r + 3s − 3t = 0−r + 4s + 5t = 0

3 Trigonometri3.1 Sinus, cosinus og tangensTrigonometri betyr læren om trekanter. Men slik ordet trigonometri vanligvisbrukes i skolen, mener man den delen av teorien for trekanter som har å gjøremed de tre begrepene sinus, cosinus og tangens. Disse setter oss i stand til åregne mye mer effektivt på sider og vinkler i trekanter. Her er definisjonen avsinus, cosinus og tangens til en vinkel:

Sinus, cosinus og tangensHvis vi har en vinkel v plassert i en rettvinklet trekant som vist på figurenunder, så er per definisjon

sin v = bc

= motstående katethypotenus

cos v = ac

= hosliggende katethypotenus

vb

a

c

tan v = ba

= motstående katethosliggende katet

Tallet sin v kalles sinus til vinkelen v, tallet cos v kalles cosinus til v, og tallettan v kalles tangens til v. Disse definisjonene blir uavhengige av trekantensstørrelse, for det å øke størrelsen betyr å gange alle sidelengdene i trekantenmed et fast tall. Dette tallet forkortes i likningene for sin v, cos v og tan v.

De fleste kalkulatorer har knapper som regner ut sinus, cosinus og tangenstil gitte vinkler. De har gjerne også “omvendte funksjoner” (typisk merketsin−1, cos−1 og tan−1) som lar deg regne ut vinkelen v hvis du kjenner sin v,cos v eller tan v. Vær obs på at kalkulatoren antakelig kan innstilles på å regnevinkler

enten i grader (DEG) eller radianer (RAD).

Radianer er en måte å måle vinkler på som vi skal jobbe med i kapittel 4.9. Idette kapitlet skal vi kun regne vinkler i grader.

3.1 Sinus, cosinus og tangens 43

Oppgave 3.1

Figuren under viser en 30/60/90-trekant der hypotenusen er 1.

30◦

60◦1

a

b

a) Hvor lange er sidene a og b i trekanten?

b) Bruk figuren til å finne sin 30◦, cos 30◦ og tan 30◦. Sjekk svarene dine vedkalkulator.

Oppgave 3.2

Regn ut sin 13◦, cos 78◦ og tan 45◦ på kalkulator.

Oppgave 3.3

En 2 meter høy stolpe kaster en 5 meter lang skygge på flatt underlag, se figurenunder. La v være vinkelen solstrålene danner med bakken. Finn tan v, og finnså vinkelen v ved å bruke kalkulator.

5 m

2 m

v

Oppgave 3.4

I en rettvinklet trekant er den ene vinkelen 25◦, og hypotenusen har lengden 3.Finn lengden av de to katetene i trekanten.

Oppgave 3.5

En 6 meter lang stige står opp mot en vegg slik at den nedre enden av stigen står2 meter fra veggen. Hva er vinkelen mellom stigen og bakken? (Tegn figur!)

44 Kapittel 3: Trigonometri

Oppgave 3.6

Du har en dobbeltgarasje med flatt tak, og lurer på om det går an å bygge etspisst tak på den slik at du får en brukbar 2. etasje på toppen. Garasjen din er 6meter bred, se figur under. Hvor stor høyde vil du få i annen etasje midt undermønet hvis du bygger med 40◦ takvinkel?

40◦ 40◦

Høyde?

6 m

3.2 Generelle definisjoner

Definisjonen vi har gitt av sin v, cos v og tan v kan kun brukes for vinkler mel-lom 0◦ og 90◦, for det er bare slike vinkler som kan plasseres inn i rettvinkledetrekanter. Vi skal imidlertid nå se hvordan man utvider definisjonene til å gjeldefor andre vinkler også. Det er ofte aktuelt å tenke på vinkler som dreininger,og da er det praktisk å regne vinklene med fortegn. Negative vinkler tilsvarerdreining i negativ retning, som betyr med klokken. Positiv retning er mot klok-ken. Videre kan vi ha vinkler som er større enn 360◦, disse tilsvarer da mer ennén full omdreining. På denne måten kan alle reelle tall oppfattes som vinkler.

Vinkel 90◦ · 3 = 270◦ Vinkel − 90◦

Vinkel 360◦ + 90◦ = 450◦Vinkel 720◦

Vi lager så følgende definisjon:

3.2 Generelle definisjoner 45

Sinus og cosinus, generell versjonMed enhetssirkelen menes sirkelen som har radius 1 og sentrum i origo.Hvis vi plasserer en vinkel v med toppunktet i origo slik at det første vin-kelbeinet er langs x-aksen, så vil det andre vinkelbeinet til v skjære enhets-sirkelen i et punkt P . Vi definerer da cos v som x-koordinaten til P ogsin v som y-koordinaten til P .

y

xv

1

cos v

sin vP

Denne nye definisjonen stemmer med den gamle når v ∈ 〈0◦, 90◦〉, for i den nyehar vi hypotenus c = 1. Se den lille trekanten på figuren i den nye definisjonen.

Eksempel Finn eksakte verdier for cos(120◦) og sin(120◦).

Løsning Vi tegner opp enhetssirkelen og setter inn vinkelen 120◦ slik atden starter på x-aksen. Dermed får vi plassert punktet P . Vi må så finne deeksakte koordinatene til P . I dette tilfellet kan vi få til dette ved å resonneremed trekanter:

120◦

P

−1 1Forstørrelse 1

1/2

d

(1

2

)2+ d2 = 12

gir d2 = 34

30◦

Den skraverte trekanten som dannet seg her, er rettvinklet. Fordi 120◦ er30◦ mer enn 90◦, har den dessuten er vinkel som er 30◦. Altså er den en30/60/90-trekant. Så

cos(120◦) = −12

og sin(120◦) =√

3

4=

√3

2


Oppgave 3.7Bruk definisjon 3.2.1 til å finne sinus og cosinus til vinklene.

a) 0◦ b) 90◦ c) 180◦

d) 270◦ e) 360◦ f) −90◦

Oppgave 3.8Finn på tilsvarende måte som i forrige eksempel sinus og cosinus til følgendevinkler.

a) 30◦ b) 60◦ c) 45◦

d) 210◦ e) 135◦ f) −45◦

Oppgave 3.9Begrunn at vi for alle vinkler v har

(sin v)2 + (cos v)2 = 1

Hint: Se på figuren i definisjonen øverst forrige side. Finner du en rettvinklettrekant der? Bruk Pytagoras.

Likningen du ble bedt om å utlede i forrige oppgave, skrives vanligvis

sin2 v + cos2 v = 1

Dette er en grunnleggende trigonometrisk identitet som ofte er nyttig. Ideenmed å skrive

(sin v)n som sinn v

og(cos v)n som cosn v

for alle positive tall n, er igjen noe matematikerne har funnet på for å slippe åskrive så mye parenteser.

Oppgave 3.10Regn ut uten å bruke digitale hjelpemidler.

a) sin2(30◦) b) cos2(30◦) c) sin4(−30◦)

3.2 Generelle definisjoner 47

Når vi nå har utvidet definisjonene av sinus og cosinus til alle vinkler, kan viutvide definisjonen av tangens ved å definere

tan v = sin vcos v

Dermed er tangens definert for alle vinkler v slik at cos v ikke er 0. For å forståat dette stemmer med vår gamle definisjon for tangens til en vinkel i en trekant,se på denne figuren:

vb

a

c

Ifølge den gamle definisjonen er tangens til vinkelen v lik motstående katet deltpå hosliggende katet. Altså

tan v = ba

Ifølge den nye definisjonen er

tan v = sin vcos v

=bcac

= ba

I annen overgang satte vi her inn uttrykkene vi får for sin v og cos v hvis vi brukerden gamle definisjonen på trekanten vist i figuren. I siste overgang multiplisertevi brøken oppe og nede med c. Til slutt vi samme svar som når vi brukte kunden gamle definisjonen. Så de to definisjonene er ikke i strid med hverandre.

Oppgave 3.11

Tangens er kun definert for noen av vinklene under. Finn tangens til de vinkleneden er definert for.

a) 0◦ b) 90◦ c) 180◦

d) 270◦ e) 360◦ f) −90◦g) 30◦ h) 60◦ i) 45◦

j) 210◦ k) 135◦ l) −45◦


3.3 Sider og vinkler i trekanter

En trekant har tre vinkler og tre sidelengder. Vi skal nå se at hvis vi kjenner

a) alle de tre sidene, eller

b) to sider og én vinkel, eller

c) én side og to vinkler,

så vil vi alltid kunne regne ut de resterende vinklene eller sidene, og finnetrekantens areal. I tilfellene a) og c) blir løsningen entydig, i tilfelle b) kan vifå to mulige løsninger. Til dette kan vi bruke to teoremer om trekanter som viskal utlede nå, nemlig sinus-setningen og cosinus-setningen. Vi skal samtidigutlede den såkalte arealsetningen.

Tre setninger om trekanterBetrakt en vilkårlig trekant med sidelengder a, b og c og vinkler A, B ogC. Se figur under.

A B

C

c

b a

Da gjelder:

(1) Arealsetningen: Areal trekanten = 12bc · sin A

(2) Sinussetningen:sin A

a= sin B

b= sin C

c

(3) Cosinussetningen: a2 = b2 + c2 − 2bc · cos A

De tre problempunktene ovenfor kan behandles slik:

• I tilfelle a) kan du bruke cosinus-setningen til å finne vinklene.• I tilfelle b) kan du bruke enten sinussetningen eller cosinussetningen.• I tilfelle c) kan du først finne den siste vinkelen ved å bruke at vinkel-

summen i en trekant er 180◦. Deretter kan du bruke sinussetningen til åfinne de to manglende sidene.

3.3 Sider og vinkler i trekanter 49

Begrunnelse Vi ser kun på tilfellet der trekanten ikke har stumpe vinkler.Det andre tilfellet (en stump vinkel og to spisse) tas temmelig tilsvarende,vi dropper det her. Fra figuren under ser vi at

ah

src

b

A B

C

h

b= sin A h

a= sin B r

b= cos A

Altså: h = b sin A = a sin Br = b cos As = c − r = c − b cos A

Dermed fås regningene under. I punkt (2) tas kun den ene likheten. Denandre utledes på tilsvarende måte.

(1) Arealet = 12ch = 12c(b sin A).(2) Siden h = b sin A = a sin B, får vi (sin A)/a = (sin B)/b.(3) Ved Pytagoras er h2 + s2 = a2. Innsatt det vi fant ovenfor, gir dette

(b sin A)2 + (c − b cos A)2 = a2

Ganger vi ut parentesene, får vi

b2(sin A)2 + c2 − 2bc cos A + b2(cos A)2 = a2

som kan skrives b2[(sin A)2 + (cos A)2] + c2 − 2bc cos A = a2. Men(sin A)2 + (cos A)2 = 1, og dermed får vi cosinussetningen.

Oppgave 3.12

I en gitt trekant har to av sidene lengdene 3 og 5, og vinkelen mellom dem er30◦. Hva er lengden av den siste siden? Hva er arealet av trekanten?

Oppgave 3.13

En trekant har sidelengdene 5, 4 og 7. Finn vinklene i trekanten og trekantensareal.

Oppgave 3.14

I en trekant har en av sidene lengde 1, og vinklene denne siden danner med deto andre sidene er 20◦ og 40◦. Finn de resterende sidelengdene og vinklene itrekanten.

4 Funksjoner4.1 Mer om funksjonsbegrepet

Begrepet funksjon kan defineres på mange måter, noen mer formelt korrekteenn andre. En funksjon kan i mange tilfeller oppfattes som en “regel” som tilhvert aktuelt tall x gir oss en “funksjonsverdi” som vi skriver f (x).

FunksjonEn funksjon fra en mengde A til en mengde B er en regel som til hvertelement

a ∈ Agir oss et entydig element

f (a) ∈ B

Mengden A kalles definisjonsmengden til funksjonen f , og skrives

Df

Mengden av alle funksjonsverdier f (x) for f kalles verdimengden til f ogskrives

Vf

Hvis f en en funksjon fra mengden A til mengden B, må altså Vf være endelmengde av B. Men den trenger ikke være hele B.

I denne boken skal vi kun se på funksjoner som er slik at både definisjons-mengden og verdimengden er delmengder av R. Slike funksjoner kalles reellefunksjoner av én variabel, eller bare funksjoner av én variabel. Når vi iresten av denne boken bruker ordet “funksjon” uten noe mer forklaring, menesalltid en slik funksjon. Med grafen til en slik funksjon f menes mengden avalle punkter (a, b) i planet som er slik at

a ∈ Df og b = f (a)

4.1 Mer om funksjonsbegrepet 51

y

x

Grafen til f

a

f (a)

y

xDf

Vf

y

x

Oppgave 4.1I denne oppgaven skal vi la definisjonmengdene Df til funksjonene være meng-den av reelle tall, altså hele tallinjen. Finn verdimengden Vf til funksjonene.

a) f (x) = x2 b) f (x) = x2 + 7 c) f (x) = 3x2 + 1

Eksempel La funksjonen f være definert ved

f (x) = 14x − 1, med Df = [−4, 8〉.

Grafen til f er gitt vedx ∈ [−4, 8〉

og

y = 14x − 1,

så grafen er en bit av en rett linje. Se figuren under. Hvis et endepunkt pågrafen ikke skal være med, så kan dette markeres med en liten pilspiss. Seendepunktet (8, 1) på grafen under.

y

x

−2

1

8

−4

Vi har herVf = [−2, 1〉.

Man kan si at f er en funksjon fra mengden [−4, 8〉 til mengden [−2, 1〉.

52 Kapittel 4: Funksjoner

Eksempel Skisser grafen til funksjonen f definert ved

f (x) ={

x + 1 for x ∈ [−2, 2〉1 for x = 2x for x ∈ 〈2, ∞〉

Df = [−2, ∞〉

Løsning Dette er en funksjon som har en såkalt delt funksjonsforskrift.I dette tilfellet er regelen som angir f (x) delt i tre formler. For å analysereslike funksjoner, kan man rett og slett ta hver bit for seg.

Tegner vi de tre bitene av grafen til funksjonen f definert ved den deltefunksjonsforskriften ovenfor, får vi grafen under.

y

x2

−2

−1

2

3

1Punktet (2, 1) ermed i grafen

Oppgave 4.2Skisser grafen til funksjonen f .

a) f (x) = 2x − 3 Df = [−1, 2〉

b) f (x) ={

x − 2 hvis x �= −25 hvis x = −2x hvis 1 < x ≤ 3

Df = 〈−∞, 3]

c) f (x) = 1x + 1 Df = [0, 4〉

d) f (x) = x3 Df = [−2, 2〉

e) f (x) = 11 + x2 Df = R

4.1 Mer om funksjonsbegrepet 53

Representasjoner av funksjoner

Som vi har sett, kan en funksjon beskrives på mange ulike måter. Den kanbeskrives ved å oppgi et funksjonuttrykk

f (x)

som forteller hvordan funksjonsverdiene regnes ut, men den kan også beskrivesfor eksempel ved en graf . Man sier at funksjonsuttrykket og grafen er to ulikerepresentasjoner av funksjonen.

En funksjon kan også representeres ved en situasjonsbeskrivelse. Jeg kan foreksempel si at temperaturen i rommet der jeg nå sitter, kjennes ut til å stige.Hvis vi da tenker oss temperaturen i rommet som en funksjon av tiden, har jegnå beskrevet denne funksjonen. Men her har vi verken et funksjonsuttrykk elleren graf, vi har bare en situasjonsbeskrivelse.

Blant andre måter en funksjon kan beskrives på, kan nevnes en verditabell.Hvis du leser av temperaturen utenfor hver hele time gjennom dagen og lageren tabell over resultatene, har du lagd en represntasjon av temperaturen somfunksjon av tiden. En funksjon kan også beskrives ved en algoritme for hvordanfunksjonsverdiene kan regnes ut.

Hvis man skal beskrive en funksjon ved å oppgi et funksjonsuttrykk f (x),må man egentlig også beskrive definisjonsområdet Df til funksjonen. Menfor å slippe å skrive så mye, har matematikerne her blitt enige om at hvisdefinisjonsområdet ikke er oppgitt, så skal det bestå av

alle punkter som gjør at formelen for f (x) gir mening

Så hvis vi for eksempel snakker om “funksjonen f (x) = x2 ” utan å oppgidefinisjonsområdet Df , er meningen at Df består av alle tall slik at uttrykketx2 er definert. Siden uttrykket x2 gir mening for alle reelle tall x, blir Df = Ri dette tilfellet.

Oppgave 4.3La f være funksjonen representert ved følgene algoritme:Gitt x, gang med 2. Legg til 8. Ta så kvadratroten.

a) Finn et funksjonsuttrykk for f (x). Hva blir definisjonsområdet Df ?

b) Lag en verditabell for f , og skisser grafen til f ved å bruke verditabellen.


4.2 Ekstremalpunkter

Se på grafen under.

x

Lokaltminpunktx = −2

Lokalt makspunktx = 1

Minpunktx = 6

Makspunkt x = 11

−2 1 6 11

Vi tenker oss at dette er grafen til en funksjon f med definisjonsområde

Df = [−2, 11]

At definisjonsområdet Df er et lukket intervall, betyr at endepunktene x = −2og x = 11 er med i Df . På grafen er det markert at x = 11 er et makspunkt forf . Dette er en forkortning for maksimalpunkt, også kalt maksimumspunkt.Poenget er funksjonsverdien f (11) er den høyeste som finnes i hele Df . Påsamme måte er x = 6 markert som et minpunkt, dette er forkortning forminimalpunkt eller minimumspunkt. Dette betyr at funksjonsverdien f (6)er den minste funksjonen får på hele Df .

I tillegg ser du på figuren at punktene x = −12 og x = 1 er markert somhenholdsvis lokalt minpunkt og lokalt makspunkt. Dette betyr at hvis vikun tar hensyn til funksjonsverdier f (x) for x i et tilstrekkelig lite intervallrundt hvert av disse punktene, så blir x = −2 et minimumspunkt og x = 1et maksimumspunkt. Lokale makspunkter og minpunkter er altså punkter somgir størst og minst funksjonsverdi “lokalt”, det vil si i et passe lite “nabolag”eller omegn rundt seg selv. Så enten ser lokale makspunkter og minpunkterut som små “topper” og “bunner” på grafen, eller så er de de endepunkter idefinisjonområdet. Begge muligheter vises på figuren ovenfor.

For å skille dem fra lokale makspunkter og minpunkter, kalles makspunkter ogminpunkter for en funksjon også av og til for globale makspunkter og min-punkter. Denne språkbruken er inspirert av jordkloden: Man kan si at MountEverest er det globale makspunktet på Jorda. Enhver liten topp i terrenget er etlokalt makspunkt.

4.2 Ekstremalpunkter 55

La oss oppsummere:

Maksimalpunkter og minimalpunkterLa f være en funksjon. Punktet a ∈ Df kalles et

• maksimalpunkt for funksjonen f hvis f (x) ≤ f (a) for alle x ∈ Df• minimalpunkt for funksjonen f hvis f (x) ≥ f (a) for alle x ∈ Df

Punktet a er et lokalt maksimalpunkt for f hvis det fins et åpent intervallom a slik at f (x) ≤ f (a) for alle x ∈ Df som ligger i intervallet, og et lokaltminimalpunkt hvis det fins et åpent intervall om a slik at f (x) ≥ f (a) foralle x ∈ Df i intervallet.

Ordet ekstremalpunkt brukes som fellesnavn på maksimalpunkter og minimal-punkter. Så et lokalt ekstremalpunkt er et lokalt maksimalpunkt eller et lokaltminimalpunkt. Funksjonsverdien i et maksimalpunkt kalles maksimalverdientil funksjonen. Funksjonsverdien i et minimalpunkt kalles minimalverdien. Etfellesnavn på maksimalverdi og minimalverdi er ekstremalverdi.

I tillegg brukes ordene toppunkt og bunnpunkt. Dette er punktene pågrafen som svarer til maksimumspunkter og minimumspunkter. Så mens mak-simumspunkter og minimumspunkter bare er x-verdier, har toppunkter og bunn-punkter to koordinater (x, y). Så på grafen forrige side er prikken over x = −2på grafen et lokalt bunnpunkt, prikken over x = 1 er et lokalt toppunkt, prikkenover x = 6 er et bunnpunkt, og prikken over x = 11 er et toppunkt.

En siste ting: Siden vi kun kreverf (x) ≤ f (a) i definisjonen av makspunktog f (x) ≥ f (a) i definisjonen av minpunkt, vil konstante funksjoner somf (x) = 3 ha alle punkter x som både makspunkter og minpunkter! Dette kanvirke rart, men definisjonen er valgt slik fordi det gjør at det blir enklere åuttrykke visse ting som vi kommer til etter hvert.

Oppgave 4.4I denne oppgaven er det meningen at du skal tegne grafer for hånd, altså barelage skisser. Du trenger ikke finne funksjonsuttrykk for funksjonene.

a) Skisser grafen til en funksjon f (x) som har et globalt maksimumspunkt ix = 4 med maksimalverdi f (4) = 5, et globalt minimumspunkt i x = 2med minimalverdi f (2) = 1, og definisjonsområde [0, 6].

b) Skisser grafen til en funksjon f (x) som har et globalt maksimumspunkti x = 3, et globalt minimumspunkt i x = 0, et lokalt maksimumspunkt ix = 1 og et lokalt minimumspunkt i x = 2.

c) Skisser grafen til en funksjon f (x) med definisjonsområde Df = [1, 6]som har et toppunkt i (1, 5) og et bunnpunkt i (2, 2).


4.3 Polynomfunksjoner

Tenk deg at vi har en plate som er 12 cm hver vei (figurer under), og at vi skallage en eske uten lokk ved å klippe vekk de skraverte kvadratene med sidelengdex og brette opp. Vi spør:

• Hvordan skal x velges for at volumet av esken skal bli størst mulig?

Bunn

12 cm

12 cm

x

x

x x

Brett opp

Siden den totale lengden av hver side er 12 cm, får vi målene vist på figurenunder til høyre. Volumet V av esken blir (regnet i cm3)

V = (bredde) · (lengde) · (høyde)= (12 − 2x) · (12 − 2x) · x= 4x3 − 48x2 + 144x 12 − 2x 12 − 2x

x

Her har vi fått uttrykt volumet V av esken som en funksjon av x. For å markeredette, skriver jeg

V (x) = 4x3 − 48x2 + 144x

Dette er ikke en andregradsfunksjon, det er en tredjegradsfunksjon. Tredje-gradsfunksjoner kan skrivast på formen

f (x) = ax3 + bx2 + cx + d

der a, b, c og d er tall, a ikke er null. Tegner vi grafen til vår funksjon V (x),får vi at den blir seende slik ut:

4.3 Polynomfunksjoner 57

V (x)

x1 2 3 4 5 6

Vi kan ikke klippe inn mer enn 6 cm, så derfor har jeg kun tegnet grafen fra0 til 6. Man sier at det naturlige definisjonsområdet for funksjonen V (x) erintervallet [0, 6].

Fra grafen ser det ut til at V (x) blir størst når x = 2, med andre ord:

Vi bør klippe 2 cm inn

Volumet blir daV (2) = 128 (cm3)

Punktet x = 2 kalles maksimumspunktet for V (x), og verdien 128 kalles formaksimalverdien.

Både lineære funksjoner, andregradsfunksjoner og tredjegradsfunksjoner er spe-sialtilfeller av begrepet polynomfunksjoner.

Polynomfunksjoner kan skrivast på formen

f (x) = p(x)

der p(x) er et polynom. Graden til p(x) kalles også graden til f .

Et eksempel på en polynomfunksjon av grad 6, som da også kalles en sjette-gradsfunksjon, er

f (x) = 9x6 − 4x5 + 12x3 − 1000x + 1

Polynomfunksjoner av grad 1 er lineære funksjoner, og de har grafer som errette linjer. Polynomfunksjoner av grad 2 er andregradsfunksjoner, og de hargrafer formet som parabler. Men hvis graden til polynomfunksjonen er høyereenn 2, er det ikke lenger slik at alle polynomfunksjonane med samme grad hargrafer med samme “form”. Se for eksempel på disse to tredjegradfunksjonene:


y

x1

−11

−1

x3

y

x1−1

1

−1

x3 − x

Hvis vi skal lete etter nullpunkter for en polynomfunksjon p(x), må vi setteopp likningen

p(x) = 0Dette blir en polynomlikning av grad n, og fra kapittel 3.9 vet vi at en sliklikning har høyst n løsninger. Med andre ord:

En polynomfunksjon av grad n har høyst n ulike nullpunkter.

Funksjonen f (x) = x3 − x har altså det maksimale antallet nullpunkter for entredjegradsfunksjon, nemlig 3. Se grafen ovenfor. Dette svarer til at funksjons-uttrykket for f (x) kan faktoriseres slik:

f (x) = x3 − x = x(x2 − 1) = x(x + 1)(x − 1)Her brukte vi konjugatsetningen baklengs i siste overgang. Pent, hva? Øverstpå neste side er vist grafen til

f (x) = x(x + 1)(x − 1)(x + 2)(x − 2) regning= x5 − 5x3 + 4xDenne har maksimalt antall nullpunkter for en femtegradsfunksjon, nemlig 5.Nullpunk

variabler...dragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. henvendelser om denne utgivelsen kan...

Documents