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Chapter 2

Chapter 2

向量分析

(Vector Analysis)

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§2-1 介紹

• 純量(Scalar) : e, I , , 向量(Vector): , , , ,

1.對於一個給定的幾何物理定律要採用坐標系描述。

2.但物理定律和定理是保持不變與坐標系統無關。

3.本章中三大主題：

a.向量代數

b.正交坐標系統

c.向量微積分

mWcWE H B D J


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§2-2向量加法和減法

Figure2-1 向量A用圖形表示

AaA A

AA

A

A

A

AaA


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Figure2-2 向量條件

BAC

(1) Commutative law :

(2) Associate law :

ABBA

CBACBA

)()(

(交換律)

(結合律)


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Figure2-3 向量條件

向量減法 :

)( BABA

BaB B)(


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§2-3向量積

Figure2-4 說明 A 和 B 的向量積

ABABBA cos

2AAA

A A A ABBA

CABACBA

)(

)( kAaAkA


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例子 2-1

證明三角形的餘弦定理

Figure2-5 說明例子2-1

cos222 ABBAC


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cos2

),cos(2

2

)()(

22

22

2

ABBA

ABBA

BABBAA

BABACCC

ABAB

例子2-1 證明三角形的餘弦定理

Figure2-5 說明例子2-1


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2-3.2 Vector or cross product (向量積或叉積)

Figure2-6 向量積

ABn ABaBA sin

BAAB

CABACBA

)(

CBACBA

)()(


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§2-3.3純量三重積(Scalar triple product)

Cyclic permutation (循環互換)

)()()( BACACBCBA

)()()()()()( ABCBACCABACBBCACBA

1sinBCCB

21cossin ABCVolume


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321

321

321

4

2

3

aaaC

aaaB

aaaA

0....(3) 2 4 0

0.....(2) 3 1 4 0

(1) 0....... 6 0

CB

CA

BA

-42

-134

-6

11

7

210

304

011

4-10

1-04

6-11

,11

58-

210

304

011

24-0

31-4

06-1

,11

8

210

304

011

214-

301-

016-

1, 2, 32-3.1 a a a 為三度空間正交基底.向量 . . . CBA

為

若三向量兩兩垂直.求 ? . .

Solve :


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§2.4正交座標系統

三種正交的坐標系統:

1.笛卡爾（或直角）坐標(Cartesian coordinate)

2.圓柱坐標(Cylindrical coordinate)

3.球面坐標(Spherical coordinate)


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§2.4.1 直角座標

),,(),,( 321 zyxuuu

yxz

xzy

zyx

aaa

aaa

aaa

111 zayaxapo zyx


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zzyyxx AaAaAaA

zyx

zyx

zyx

BBB

AAA

aaa

BA

1321 hhh

dxdydzdv

dxdyds

dxdzds

dydzds

z

y

x

zzyyxx BABABABA

dzadyadxald zyx

h : metric coefficient

(度規係數)

zzyyxx BaBaBaB


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Figure2-11 直角座標的微分體積


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1 2 3

1 2 3

1 2 3

-2 3

4 2

?

a a a

A a a a

B a a a

A B

例題2-3補充假設、、為一組正交基底

則向量在方向的分量為何

321

)321(

)321(

)321(

222

21

16

21

8

21

32

2421

8

2421

1

21

8cos

2421

1

21

21

8

21

624coscos

21214

: solve

aaa

aaa

aaaAu

aaaB

u

B

BAABABA

B

B

B

B

A


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x y za a a A B C例題: 、、為一組正交基底，若有三向量、、分別為

? ).1( CBACBACABA

、、、求zy

zyx

zyx

aaC

aaaB

aaaA

23

32

　　　

1 1 -1

. A B C 2 -3 1

0 3 -2

6 6 3 4 1

C

-211-3-121 A. BA

2 3 0

1 1 1

.

zyx aaa

CAB

zyx

zyx

aaa

aaa

32

3232

BACCABCBAD

.

zyx aaa

51510CAB 523CA

zy aa

46 BAC -21-3-2BA

BAC-CAB

CBA

zyx aa9-a10

Solve:


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x(2) a = A + B + C ? 求，，

: x y za a a A B C例題補充、、為一組正交基底，若有三向量、、分別為

zy

zyx

zyx

aaC

aaaB

aaaA

23

32

　　　

x y

Sol:

A+ B + C=( +2 )a +( -3 +3 )a +(- + -2 ) a

2 0 1

-3 3 0

-1 2 0

1 2 0 1 1 0 1 2 0

0 3 3 1 0 3 1 3 1

0 1 2 1 0 2 1 0 13 3 2 1 33, 1,

1 2 0 1 2 0 1 2 01 1 1

1 3 3 1 3 3 1 3 3

1 1 2 1 1 2 1 1 2

z

2

: 3 1 2Ans

，，


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給定 , 找出單位向量的表達示

像是 , (a) (b) , 假設位於xy平面

例子2-4

30

2-,

30

5,

30

1

30

1

14251[2][1]

052-

....[2]505-

....[1]-202

0

1 2- 5

0||(a)

1:runit vecto

yx2

2

222

2y

2x

2

2y

2x

BBBB

BBBBBB

BB

BBBB

BBBB

BBB

aaa

AB

ABAB

BBB

zz

zzzz

yx

zxzx

zyzy

zyx

zyx

z

得到代入跟將

可得

的話，則

Solve:


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Chapter 2 29

2,

29

5 1

25

29

125

41

5

2 05-2

0

plane)- xy0(in the :)(

xy2

y

2y

2y

2y

2x

z

BBB

BBBB

BBBB

ABAB

Bb

yxxy

的話，則

解shared by:www.cnantennas.com

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例子2-5 （a）寫出向量點到點的直角坐標表示式。

（b）這條線的長度是多少？

252

)23()423(

)(

1221

zyx

zyxzyx

aaa

aaaaaa

OPOPPP

a

33

2)5(2

)(

222

2121

PPPP

b


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§2.4-0 正交座標系統

正交曲面座標系統滿足:

321 uuu aaa

132 uuu aaa

213 uuu aaa

0133221 uuuuuu aaaaaa

1332211 uuuuuu aaaaaa

332211 uuuuuu AaAaAaA

2

3

2

2

2

1 uuu AAAAA

三度空間:三個面的描述

3

2

1

u

u

u 常數

常數

常數

1ua

: base vector

(for examples)

(正交曲線座標系統: Orthogonal coordinate system）

(單位向量)


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對於向量微積分在電磁學裡的應用

1.微分長度

iii duhdl , hi : metric coefficient

Eq. ),(),( 21 ruu

2222 : duhrddldud

rh 2

)()()( 333222111

332211

duhaduhaduha

dladladlald

uuu

uuu

233

222

211

23

22

21

duhduhduh

dldldldl

(度規係數）

dl

d

h


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2.微分體積

3.微分面積

微分面積垂直於單位向量 :

321321

321

dududuhhh

dldldldv

eq

dsasd n

dsaJ

sdJdI

n

1ua

3232321 duduhhdldlds

31312 duduhhds

21213 duduhhds


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),,(),,( 321 zruuu

aaa

aaa

aaa

rz

rz

zr

§2.4.2圓柱坐標

zzrr AaAaAaA

zzrr BABABABA

zzrr BaBaBaB

(m) (rad), : 不是真正長度徑度

圖2-10 圓柱座標。(a)一個圓柱面;一個以Z軸為一邊的半平面，和一個垂直Z軸的平面。(b)圓柱面和在(a)中的二個平面的交點定出P點的位置。


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dzardadrald zr

dzrdrddv

rdrdds

drdzds

dzrdds

z

r

rh

hh

2

31 1shared by:www.cnantennas.com

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直角坐標和圓柱座標向量分量之間的關係

z

r

z

y

x

A

A

A

A

A

A

1 0 0

0 cos sin

0 sin cos

xxrr

xx

aaAaaA

aAA

zzyyxx

zzrr

AaAaAa

AaAaAaA

)0( xz aa

cos xr aa

sin)2

cos( xaa

sincos AAA rx

sin)2

cos( yr aa

cos yaa

cossin AAA ry


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從圓柱坐標變換為直角坐標

zz

ry

rx

sin

cos

zz

x

y

yxr

1

22

tan


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範例 2-6

假設一個向量場在圓柱座標中的表示式為 52cos3 zr araaA

(a)在點P(4,600,5)的場為何?(b)在直角坐標中表示在P處的場

(c)直角坐標中表示點P的位置! P

A

0 0

( ) 3 / 2 8 5

( ) 7.68 2.7 5

( )(4cos60 ,4sin60 ,5) (2,2 3,5)

r z

r z

a A a a a

b A a a a

c


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§2.4.3 球座標

圖2-13 (a)一個球面，一個正圓錐，和一個含Z軸的半平面。(b)在(a)中的球、圓錐，和半平面的交點定義了P點。


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),,(),,( 321 Ruuu

aaa

aaa

aaa

R

R

R

§2.4.3 球座標

AaAaAaA RR


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sin

1

3

2

1

Rh

Rh

h

dRaRdadRald R sin

ddRdRdv

RdRdds

dRdRds

ddRdsR

sin

sin

sin

2

2


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圖 2-14 在球座標中的微分體積


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(x,y,z) (R,,)


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球坐標可轉變為直角坐標

cossinRx 222 zyxR

sinsinRy z

yx 22

1tan

x

y1tan

),,( zyx

cosRz


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dzadyadxald zyx

dzardadrald zr

dRaRdadRald R sin


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r

z

ds

ds drdz

ds

dv rdrd dz

2sin

Rds R d d

ds

ds RdRd

dv

r zdl a dr a d a dz

R

dl a dR a d a d


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範例2-7

在球座標中表示單位向量。 za

cos

sin

0

Thus,

cos sin

z R

z

z

z R

a a

a a

a a

a a a

.

.

.


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範例2-8 假設被侷限在半徑為2和5(cm)的二個球面之間的電子雲的電荷密度為

求出包含在此區域中的總電荷。

, cos103 32

4

8

mCR

)(8.1)4/2(sin)2/(10*8.1

2/)2cos1(cos.. cos)cos(10*9.0

cossin3010*3

cossin1

10*3

cos)10*3

(

sin

2

0

6

222

00

6

2

0

2

0

8

205.0

02.0 20

2

0

8

05.0

02.00

2

0

2

4

8

2

C

spd

dd

ddRdR

Q

dvQdvQ

R

ddRdRdv

Solve :


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R.2-11什麼是度規係數？

R.2-14純量和純量場之間的區別是什麼？

R.2-15向量和向量場之間的區別是什麼？

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S

n

S

dsaAsdA

(double integral)

正方向：向外取決於在其中開口表面的周邊

被穿過的方向

is a constant na


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§ 2.5純量場的梯度(Gradient of a scalar field) 定義:一個純量場V(u1,u2,u3)在給定的點上空間變化率(會是一個向量)

└─→如溫度、海拔、電位

P1→P2:沿著法線向量

P1→P3:沿著另一個向量

nd

nddl

dn :兩個等位面之間的最短距離,等位面:

cdVV

cV

1

1

dV/dl :電位對空間的變化率

(數學上稱為方向導數)

V=V(x,y,z)


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gradn

dVV a

dn

n

dVV a

dn

方向導數: cos

n l

l

dV dV dn dV

dl dn dl dn

dVa a

dn

V a

,ldVdlaVdV l

)( dlald l

dn

dV : maximum1cos

定義:一個純量V的最大空間變率的大小和方向的向量

稱為該純量V的梯度( grad V)

dn

dV

dl

dV

dl

dV

dl

dV 01cosmax )()()(


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3

3

2

2

1

1

dll

Vdl

l

Vdl

l

VldVdV

332211

321

321

321

duhaduhaduha

dladladlald

uuu

uuu

)()( 321

321321321dladladla

l

Va

l

Va

l

VadV uuuuuu

321321 l

Va

l

Va

l

VaV uuu

l

dVV a

dl


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直角坐標

),,,(),,( 321 zyxuuu 1321 hhh

)V( z

ay

ax

a

z

Va

y

Va

x

VaV

zyx

zyx

za

ya

xa zyx

332211

321

uha

uha

uha uuu

向量微分運算:

一般形式:


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EXAMPLE 2-9

電場強度可由純量電位V的負梯度導出;亦即, .

若 E

VE

E

4sin (a) 0

yeVV x cos (b) 0REV

)16

(12

1E

2

1*)

4(

2

1EE where

Ea]2

1

4a-

2

1a[E

]2

1

4a-

2

1a[eV(1,1,0)E

y]4

cos4

a-y4

sina[eV

y]4

cose4

ay4

sinea[--V

y4

sine]Vz

ay

ax

a-[V-E

2

0

2

0

Eyx0

yx

1-

0

yx

x-

0

x-

y

x-

x0

x-

0zyx

161

4a-a

)16

(12

1E

]2

1

4a-

2

1a[E

E

Ea

2

yx

2

0

yx0

E

Solve:

1

00 eVEset

，決定在(1,1,0)點的


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cos (b) 0REV

sincos : Because

E-

]sincos[-E

)](-sincos[-E

cos]EsinR

-[E

0

0

0

0

θRZ

Z

θR

θR

φθR

aaa

a

aa

aa

RR

aR

aa

If

Solve :

000 )()cos(-E (c) EazEz

aREz

aV zzz


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R.2-15純量場的梯度在物理上的定義是什麼？

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§ 2.6 向量場的散度(Divergence of a vector field)

向量場的空間導數

(a) 由密度 (b) 由長度 (c) 均勻場

源點的存在：正的淨散度

匯點的存在：負的淨散度均勻場：散度為０

為了表示磁場的變化圖形

div A 是一個測量源點強度的量度

0 A

0 A

通量線(Flux lines)


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Chapter 2

散度(Divergence )的定義向量場的散度之定義:

A

當圍繞該點的體積趨近於0時，單位體積

的淨向外通量:代表向量的空間導數

A

vA

v

sdAlimdiv

0

(散度是純量)

(Scalar quantity)

(空間導數: Spatial derivative ) A

(純量)


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vA

v

sdAlimdiv

0

(Scalar quantity)

0 A

0 A


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直角坐標系統

sdAsdA

bottomtopfaceleft faceright faceback facefront

vA

v

sdAlimdiv

0

zzyyxx AaAaAaA

(eq.2.98)

zyzyx

xA

zyaAsAsdA

x

x

000

spacefront spacefront spacefront

facefront

,,2

(a.)

P(x0,+ ,y0,z0) 2

x


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對函數進行泰勒級數展開:

0,0,0000000

2,,,,

2zyx

x

xx

x

AxzyxAzy

xxA

000 ,,

2zy

xxAx

高次項

zyx

AxzyxA

zyzyx

xAsdA

zyx

x

x

x

H.O.T.2

,,

,,2

0,0,0000

000

facefront

zyzyx

xA

zyaAsAsdA

x

x

000

faceback faceback faceback

faceback

,,2

)(

(b.)

(a.)


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0,0,0000000

2,,,,

2zyx

x

xx

x

AxzyxAzy

xxA 高次項

zyxx

AsdA zyx

x

0,0,0

faceback facefront

)x

H.O.T.(

(a)+(b):

x

A

zyx

zyxxx

A

vAdiv

xzyx

x

vvx

0,0,0

00

)H.O.T.

(

limsdA

lim)(

0, as

的泰勒級數展開為

000 ,,

2zy

xxAx

zyx

AxzyxA

zyzyx

xAsdA

zyx

x

x

x

H.O.T.2

,,

,,2

0,0,0000

000

faceback

(b.)

0v


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Substitution of (eq.2-107) to (eq.2-98) yields:

z

A

y

A

x

AA

zyx

div

AA

div

321

3

231

2

132

1321

1Ahh

uAhh

uAhh

uhhhA

In spherical coordinate

A

RA

RAR

RRA R

sin

1sin

sin

11 2

2

General form:

)..( , ,in sorder termhigher),,( 000TOHzyxzyx

z

A

y

A

x

AsdA zyx

zyx

(eq.2.107)

sin 1 321 RhRhh


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例題2-10

求出到任一點的位置向量的散度。

x y z

Solve:

(a)

op a x a y a z

Ax Ay Az A

x y z

x y z (op) 3

x y z

直角座標。任意點的位置向量可表為：

R

2

2

2

2

(b)

op a R

1 1 1 sin

sin sin

1 3R 3

R

RA

A R A AR R R R

球座標。此時的位置向量為


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例題2-11 在很長的載流導線外的磁通量密度是環狀的且和導線軸心距離成反比。求

B

? B

重合。依題意標系中的解：令長導線和圓柱座 z

r

kaB

中，向量場的散度可由在圓柱座標 zr ,,

式 110-2 1

321

3

231

2

132

1321

Ahh

uAhh

uAhh

uhhhA

式得到 114-2 11

B z

BB

rrB

rr

zr

式得到，由，且其中， 114-2 0 zr BBr

kB

0B

z

r

BAhzu

BArhu

BAhru

333

222

111

1

1

　　　　

　　　　

　　　　

因圓柱座標，所以代入

Bzr

zBBrr

rrB 1111

11

1

0 所以微分是沒有無散度場(Divergenceless field)

稱為螺旋場(Solenoidal field).


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§ 2.7散度定理(高斯定理) (Divergence Theorem)

一個向量場散度體積分等於該向量通過包圍這個體積之

表面的總向外通量

SV

sdAdvA

sd

: outward normal

適用於有邊界表面的任意體積

Bounded by a surface sj

(垂直往外)


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Chapter 2

jS

jj sdAVA

從定義 A

in Eq. (2.98)得出

SV

N

j

jSV

N

j

jjV

sdAdVA

sdAVAjjj

limlim1

01

0

)(1

N

j

jVV

它將一個向量散度的體積分轉換為向量在封閉表面上的積分

散度定理是向量分析中一個重要的等式。

div A 是一個測量源點強度的量度


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Chapter 2

例題 2-12

給定，在一個單位邊長的立方體上

驗證散度定理這個立方體位於直角坐標的第一個象限中，

其中一個角的位置是在原點上。

yzaxyaxaA zyx

2


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Chapter 2

• (a)前面 : x=1，

• (b)背面: x=0，

dydzaxds

dydzdydzxdsA 2

11

0

1

0

1

0

1

0

dydzdsA

0 dsAdydzads x

Solve :首先我們對這立方體的六個面計算其面積分。


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Chapter 2

• (c)左面:y=0

• (d)右面:y=1,

0 xydxdzdsAdxdzads y

dxdzads y

xdxdzxydxdzdsA

2

1

2

1 1

0

21

0

1

0

1

0 dzxxdxdz



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Chapter 2

• (e)下面:z=0,

• (f)上面:z=1,

dxdyads z

0 yzdxdydsA

dxdyads z

ydydxyzdxdydsA

2002

1

2

11 dsA六個面加總

2

1

2

1 1

0

21

0

1

0

1

0 dxyydydx



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Chapter 2

• 散度:

)1082(,

z

A

y

A

x

AA zyx

yxyxxyzz

xyy

xx

32)()()( 2代入

VdvAxxdxx

dxyxydydxyx

dzdydxyxdxdydzyx

2

2

4

2

1

2

3)

2

1

2

3()

2

13(

)2

13()3(

)3()3(

1

0

1

0

2

1

0

1

0

1

0

1

0

2

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

yzaxyaxa zyx 2A已知shared by:www.cnantennas.com

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Chapter 2

例題 2-13

給定 ,決定散度定理由在和

中心在原點的球面，如圖2-21所示，所包圍的球殼區域中是否成立。

kRaF R

1RR 122 RRRR


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Chapter 2

)-(4 F

sin)(- F

sina - , :

sin)( F

sina , :

3

1

3

2s

1

3

1

0

1

2

0

11

2

3

2

0

2

2

0

22

4-

4

2

2

2

2

RRksd

ddRkRsd

ddRsdRR

ddRkRsd

ddRsdRR

kR

kR

R

R

兩個結果相加，得到

在內表面上

在外表面上

內表面

外表面

解 : shared by:www.cnantennas.com

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Chapter 2

2

3

2

2

R

2 3

2 2

2 R2

0 0 R1

22

0 0 1

( , , )

1 1 1sin

sin sin

F F F

1 1F F k 3k

F d 3 sin

1 R 3 sinR3

R

R

R

AA R A A

R R R R

R RR R R R

v kR dRd d

k R d d

球座標中的散度

本題只對分量的求出可得

3 32 1 ( - ) 4k R R

2sindv R dRd d


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R.2-18 一個向量場的散度所代表的物理定義?

R.2-21 描述散度定理


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Chapter 2

§ 2.8 向量場的旋度(Curl of a vector field)

1.流源(Flow source): div A 是量度流源強度的大小

2.渦流源(Vortex source) :周圍向量場的旋轉

A 環繞路徑C的環場積

C

ldAc

兩種流源:

環場積(Circulation)的物理意義與向量A是代表那一種場有關

例1:渦水槽：水向下旋轉水槽排水管導致流體速度的循環。

例2:若向量A代表電場強度，則環場積為環繞封閉路徑的電動勢


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例題 2-14

給訂一個向量場 ,求出它環繞圖2-22所示的路徑OABO的環場積。

xaxyaF yx 2

B

AldF


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Chapter 2

xdyxydxdF

dyadxad yx

2

2

2

222

9

9

30

30

3

xy

yx

y

x

yx

xaxyaF yx 2

219

1sin9273

1

3sin999

3

1

929

1

3

0

120

32

32

3

0

20

3

2

yyyx

dyydxxxdFB

A

2

3

2

1

2

3

1

2

1

9

u

duu

dxxx

xdxdu

xdxdu

xu

2

1

2

9 2

Solve : shared by:www.cnantennas.com

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Chapter 2

dxxydF )cos2sin(3

dald

xxyaxxyaF r

3

)cos2sin()sin2cos(

219

)cossinsin9

2cos1cos2 , )cos2cossin3(9

)cos6cossin9(3

2/

0

3

22/

0

22

2/

0

22

d

ddFB

A

解題用圓柱座標系統會更簡單，你可以試試看!

0

2

1 0 0

0 cos sin-

0 sin cos

x

xy

F

F

F

z

r

z

r

z

y

x

A

A

A

A

A

A

1 0 0

0 cos sin

0 sin cos

求反矩陣!


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Chapter 2

向量場A的旋度，記為curl A

S

ldAaAcurl C

n

S

max

0lim

or A

是一個向量，它的大小是單位面積的最大淨環場積(當面積趨近於0時)，而它的方向是使淨環場積為最大面積的法線方向。

A

Right hand rule

(2.125)

(右手定則)


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Chapter 2

S

ldHaHHcurl C

n

S

max

0lim

(2.125)

circulation

0C

H dl

I

rdar

Ia

ldH

ncirculatio

C

2

2

0


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Chapter 2

的組成在任意方向

A

ua

uu C

uS

uu ldAS

AaA 1

lim0

4 3, 2, 1, Sides

1lim

0ldA

zyA

zyx

2-126

使用2-126式找出直角坐標中的三個分量 A

(微分矩形平行於y-z平面區域)


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Side1 :

4 3, 2, 1, Sides

1lim

0ldA

zyA

zyx

zzyyxx aAaAaAA

,zald z

,,2

, 000 zzy

yxAldA z

能用泰勒級數展開:

TOHy

AyzyxAz

yyxA zyx

zzz ..

2,,,

2, 0,0,0000000

000 ,

2, z

yyxAz

,..2

,, 0,0,0000

1 side

zTOHy

AyzyxAldA zyx

zz

(a)

Eq.2-127


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能用泰勒級數展開:

TOHy

AyzyxAz

yyxA zyx

zzz ..

2,,,

2, 0,0,0000000

000 ,

2, z

yyxAz

,..2

,, 0,0,0000

3 side

zTOHy

AyzyxAldA zyx

zz

Side3 : ,zald z

,,2

, 000 zzy

yxAldA z

(b)

,..

0,0,0

3& 1 side

zyy

TOH

y

AldA zyx

z

(a)+(b):

,..

0,0,0

4& 2 side

zyz

TOH

z

AldA zyx

x

Eq.2-133

Eq.2-132

Similarly,

(積分方向顛倒為負)


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y

A

x

Aa

x

A

z

Aa

z

A

y

AaA

xy

z

zx

y

yz

x

zyx

zyx

AAA

zyx

aaa

A

33 22 11

321

3 2 1

321

hh

1

321

AhAhAh

uuu

haaa

hhhA

uuu

一般型式:

最後:

That is :

替代 Eqs.(2-132) and (2-133) in Eq. (2-127), 能夠推論:

z

A

y

AA

yzx


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例題2-15

表示如果

(a) 在圓柱座標裡，k是一個常數

(b)

rkaA

0 A

RfaA R

0

0k 0

z

r

ar a a

r

1A

, A

,

A rA A

z

r

ar a a

r

1A

00ar

ka0aA ,137)-(2

1hr,h1,hz);,(r,)u,u,(u,)(

:

zr

zr

zr

zr

321321

可得對題目所給的

可得式由

在圓柱座標中

解

a


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0

0 0 f(R)

R

Rsina Ra a

sinR

1A

,A

,

ARsin RA A

R

Rsina Ra a

sinR

1A

00a0a(f(R))aA

,

;RsinhR,h1,h);,(R,)u,u,(u,(b)

R

2

R

R

2

R

321321

得帶入題目所給的

因此

在球座標中

一個沒有旋度的向量稱為無旋場或保守場(irrotational field) (無旋場或保守場)


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R.2-22 一個向量場的旋度的物理意義是什麼?


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Chapter 2

§ 2.9 Stoke’s定理一個非常小的面積差 jS

jC

jj dlASA

S

N

j

jjS

sdASAj

10

lim

C

N

jCS

ldAldAjj

10

lim

CS

ldAsdA

一個向量場的旋度在一個開放的表面上的面積分等於向量沿著包圍該表面的路徑的封閉線積分

以Cj為邊界範圍

左:

右:

(2.141)

(2.142)

結合 Eqs.(2.141) and (2.142), 我們得到:

0S

sdA

注意 :對任一個封閉表面S,

(Based on 2.125)


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例題 2-16

給一個 , 驗證 Stokes’s theorem 超過四分之一圓形的磁盤的半徑3在第一象限，如圖Fig.2-21

(Example 2-14, page 39).

xaxyaF yx 2

dxdyadsasd zzz

290

30

yx

y


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)2(2

02

2

:Solve

xaxaa

xxy

zyx

aaa

F

xaxyaFyaFxaF

的面積分F首先求

zzz

zyx

yxyx


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)1)(2

1(9)( )2

1(9]92

9[

]6

27

2

271sin9[

]62

9

3sin99[

)]9(2

192[

)2

12(

)2)(1(

))2((

1

3

0

312

223

0

9

0

23

0

9

0

3

0

9

0

3

0

2

2

2

sdF

yy

yyy

dyyy

dyxx

dxdyx

dxdyaxa

sdF

s

y

y

zz

y

s

首先


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Chapter 2

theorem')2)(1(

)2)(2

1(9

)2

1(9142

00

)(

)1)(2

1(9)(

3

0

0

3

0

0

sStoke

ldFldF

ldF可知由例題

ldFdxdy

ldFdxaFdyaFldF

sdF

B

AABOA

B

A

B

A

B

Ax

A

yB

s

可知滿足

其次

就像散度定理一樣, Stokes’s 定理是向量分析的一個重要關係式!

以後經常用到!!!!!!


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R.2-22 1.用文字敘述 Stokes’s定理.

2.該於何時使用Stokes’s 定理?

回顧問題:

Stokes’s 定理的應用永遠是在一個具有邊緣的開放表面上!

最簡單的開放表面是一個二維平面或圓盤圓周輪廓。


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§ 2.10兩個零恆等式的特性

2.10.1 恆等式 I 0 V

1.任何純量場梯度的旋度恆等於零

CSdVldVsdV 0

2.恆等式I的反向敘述

if VEE

0

若一個無旋度的向量場永遠可以表為成一個純量場的梯度

證明:


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2.10.2恆等式II

1 21 2

1 2

:

0

V S

n nS S

C C

A

A dv A ds

A a ds A a ds

A dl A dl

對取體積分

0 A


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2.10.2恆等式II(Identity II)

恆等式II的反向敘述

if ABB

0

若一個向量場是無散度的，則它可以表示為另一個向量場的旋度.

A

: 向量磁位

0 A

A

稱為 “向量磁位(Vector potential)”


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例題 2-17

給一個向量方程式

zycazxcazcyaF zyx 321 23

(a)如果向量是無旋場.計算常數

(b)決定純量場函數V，使其負梯度等於

, , 21 cc 3cF

F

: 0

: 0

F

F

螺旋的場

無旋轉的場

2.11 :場的分類和赫姆霍茲定理

(Solenoidal field)

(Irrotational field)


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Chapter 2

Homework

P2.1

P.2.12

P2.17

P2.19

P2.21

P2.23

P2.29

P2.32

P2.34


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(vector analysis)chapter 2 chapter 2 向量分析 (vector analysis) shared by:

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