2 22 2 SMA YPPI 1 SURABAYA BY: KAMTO EKOMEDI,S.Pd TUJUAN : Diharapkan siswa dapat memahami dan menganalisis gerak dengan menggunakan vector Dalam bab ini semua gerak akan ditinjau secara vector yang akan didapat besar dan arah gerakan yang telah dilakukan Dalam koordinat cartesius digunakan lambang i pada arah sumbu x dan lambang j pada arah sumbu y. serta lambang k pada sumbu z. Sebuah partikel berada di titik P pada koordinat (x,y), maka posisi partikel dapat dinyatakan sebagai berikut : KINEMATICS WITH VECTOR ANALYSIS I.PARTICLE POSITION ON A PLANE A. POSITION

Keterangan : r) = vector posisi i) = vector satuan arah sumbu x j)= vector satuan arah sumbu y Besar vector atau panjang vector dapat dinyatakan sebagai besaran scalar : Seseorang mengendarai mobil menuju sebuah kota Ayang berjarak 160 km dengan arah 300 timurlaut.Nyatakanvektorperpindahanrdalamnotasivektorsatuandenganmenggunakansistemkoordinatx ke timur, dan y ke utara

32130 cos . r r Axo= = 3 80 3 ) 160 (21= =km r r Ayo2130 sin . = = 80 ) 160 (21= =km Solution 2 2y x r + = j y i x r) ))+ = SAMPLE PROBLEM: Seorang bergerak dari titik O menuju titik P kemudian melanjutkan bergerak menuju titik Q, maka perpindahan orang dari titik P ke titik Q ditinjau dari titik O sebagai berikut (lihat gambar) P Qr r r = Vektor perpindahan dapat ditulis : Persamaanvectorposisipartikeldapatditulisdalam j t i t t r) )r) 4 ( ) (2 2+ + = ,dimanatdalamsekondanrrdalammeter. Tentukan besar dan arah vector perpindahan partikel dari t = 1 sdan t = 2 s j t i t t r) )r) 4 ( ) (2 2+ + =untuk t = 1 s maka,j x i r) )r) 1 4 ( ) 1 1 (2 21+ + ==j i) )4 2 +untuk t = 2 s maka, j x i r) )r) 2 4 ( ) 2 2 (2 22+ + ==j i) )8 6 +Vektor perpindahanrradalah 1 2r r r) ) r = j i j i j i r) ) ) ) ) )r) 4 8 ( ) 2 6 ( ) 4 2 ( ) 8 6 ( + = + + = j i r) )r4 4 + = Besarnya vector perpindahan adalah : 2 4 4 42 2= + = rmeter Arah vector perpindahan adalah : Oxy45 ) 1 ( tan 144tan1= = = == Solution B. DISPLACEMENT SAMPLE PROBLEM:j r r i r r rP Q P Q) ))) ( ) ( + = Kecepatan rata-rata adalah hasil bagi perpindahan terhadap selang waktu Dari gambar diatas perpindahan partikel dari titik P ke titik Q dinyatakan dalam bentuk P Qr r r = dalam selang waktu P Qt t t = , maka kecepatan rata-rata dapat dinyatakan dalam bentuk : trv=) atau Keterangan : v = kecepatan rata-rata P Qr r = vector perpindahan P Qt t = selang waktu Kecepatan sesaat merupakan harga limit dari tr))sehingga dapat dirumuskan : trvt= )0lim ataudtr dv = Jadi kecepatan sesaat merupakan hasil turunan atau diferensial dari perpindahan terhadap waktu, maka kecepatan sesaat dapat dikatakan laju (speed) yang dirumuskan : Atau Keterangan : v= kecepatan sesaat atau laju vx = laju kearah sumbu x vy = laju kearah sumbu y II.PARTICLE VELOCITY ON A PLANE A. AVERAGEVELOCITY P QP Qt tr rv=) ) B. INSTANTANEOUSVELOCITY dtr dv v = =2 2y xv v v + = Sebuah partikel bergerak memenuhi persamaanj t t i t z) 4 3 (22 3+ + =r, dimana z dalam meter dan t dalam sekon, tentukan : a.Kecepatan rata-rata pada saat t1 = 1 sekon dan t2 = 2 sekon b.Kelajuan sesaat t = 1 sekon Solution a. Kecepatan rata-rata . Pada saat t1 = 1 sekon, makaj i j x x i x z72) 1 4 1 3 (1 22 31+ = + + =Pada saat t2 = 2 sekon, makaj i j x x i x z3216) 2 4 2 3 (2 22 32+ = + + =

1) 7 32 () 2 16 (1 2)72 ( )3216 (1 21 2j i j i j it tz zv + =+ +==Komponen vector kecepatan rata : j i v2514 + =Besar kecepatan rata-rata : 821 625 196 25 142 2 2 2= + = + = + = =y xv v v vm/s bKecepatan sesaat j t t i t z) 4 3 (22 3+ + =r Vektor kecepatan sebagai fungsi waktu t tdtddtdxvx6 ) 2 (3= = =dan) 4 6 ( ) 4 3 (2+ = + = = t t tdtddtdyvy makaj t i t v ) 4 6 () 6 ( + + =Pada saat t = 2 sekon, maka j i j x i x v106 ) 4 1 6 () 1 6 ( + = + + =Besar kecepatan sesaat : 136 10 36 10 62 2 2 2= + = + = + =y xv v vm/s Arah kecepatan sesaat 666 , 1610tan = = =xyvvSAMPLE PROBLEM: Percepatan rata-rata didefinisikan sebagai perubahan kecepatan terhadap waktu. Secara matematik dapat dirumuskan : Dalam komponen vector kecepatan rata-rata dapat ditulis : Atau Keterangan : a= percepatan rata-rata xa = percepatan pada sumbu x ya = percepatan pada sumbu y Percepatan sesaat merupakan nilai limit dari kecepatan rata-rata pada saat t mendekati nol, secara matematik dapat ditulis : dtv dtvat== 0limJadi percepatan merupakan hasil diferensial atau turunan kecepatan terhadap waktu. atau III.PARTICLE ACCELERATION ON A PLANE A. AVERAGEACCELERATION P QP Qt tv vtva== jtvitvtj v i vayxy x) )) )+= + = j a i a ay x + = B. INSTANEOUSACCELERATION jdtdvidtdvayx + = j a i a ay x + = Percepatan sesaat juga dapat diperoleh dari diferensisal kedua atau turunan kedua perpindahan terhadap waktu. Dimana dtr dv v = =maka22dtr ddtr ddtddtv da =||

\|= =Besar percepatan sesaat dapat ditentukan : Arah percepatan sesaat adalah : Keterangan : ay = percepatan pada sumbu y ax = percepatan pada sumbu x 2 2y xa a a + = xyaa= tan Sebuah partikel bergerak memenuhi persamaan 2 34 2 t t x + = , dimana t dalam sekon dan x dalam meter. Tentukan : a. Percepatan rata-rata pada saat t = 1 sekon dan t = 2 sekon b. Percepatan sesaat pada saat t = 1 sekon SAMPLE PROBLEM: Untuk mengetahui posisi suatu partikel dari kecepatan dapat menggunakan metode integral.Komponen pada sumbu x. dtdxv = dimanadt v dx . = =t xxodt v dx0. = todt v x x0. Komponen pada sumbu y. dtdyv =dimana dt v dy . =

2 34 2 t t x + =Turunan pertama dari x adalah : t t v 8 62+ =a. Percepatan rata-rata pada t1 = 1 sekon maka14 1 8 1 621= + = x x vm/s pada t2 = 2 sekon maka 40 16 24 2 8 2 6221= + = + = x x vm/s 261 214 401 21 2===t tv va m/s2 b. Percepatan sesaat t t v 8 62+ =Turunan pertama dari v adalah : 8 12 + = t apada saat t = 1sekon, maka 20 8 ) 1 12 ( = + = x am/s2 Solution IV.DETERMINING POSITION FROM VELOCITY FUNCTION + =tdt v x x00. =t yydt v y0 0. = todt v y y0. Posisi partikel pada koordinat (x,y) menggunakan persamaan vector posisi j y i x r + = , demgan mensubstitusikan komponen sumbu x dan y didapat : + =tdt v y y00. j dt v y i dt v x rt t..0000||

\|+ + ||

\|+ = Sebuah partikel dari keadaan diam pada posisi (0,0) kemudian bergerak dengan persamaanj t i t t v6 ) 2 4 (3 2+ + =), bila benda bergerak selama 2 sekon maka tentukan perpindahan dan arahnya. Untuk menentukan persamaan perpindahan, maka gunakan teori integral. j t i t t v6 ) 2 4 (3 2+ + =) vector kecepatan pada sumbu x i t t vx)) 2 4 (2+ =dt v dxx. =dt t t dx ). 2 4 (2+ =dt t t dxxx. ) 2 4 (2020 + =202 30)2234(((

+ = t t x x SAMPLE PROBLEM:Solution Karena pada saat t = 0 juga x0 = 0 344) 2 .222 .34(2 3=((

+ = xjadii x344=vector kecepatan pada sumbu y j t vy) 6 (3=dt v dyy. =makadt t dy ). 6 (3=dt t dyyy. ) 6 (2030 =2040)46(((

= t y y Karena pada saat t = 0 juga y0 = 0 24 2 .46(4=((

= yjadij y24 = Posisi partikel dalam koordinat vector j i r24344+ ||

\|= Besar vector perpindahan 12 , 28 ) 24 (34422= + ||

\|= rmeter Arah vector perpindahan 61 , 024244tan = = 04 . 31 61 , 0 tan = = inv Dengan menggunakan metode integral dapat menentukan kecepatan dari percepatan sebagai fungsi waktu dtdva = dimanadt a dv .. = =t vvdt a v0.0 = todt a v v0. Keterangan : v = kecepatan pada saat t sekon atau kecepatan akhir v0= kecepatan mula mula a= percepatan V.DETERMINING VELOCITY FROMACCELERATION FUNCTION + =tdt a v v00. Percepatan sebuah benda2 32+ = t apada saat t0 = 0 maka v0 = 0, tentukan kecepatan benda pada saa t1 = 2 s. 2 32+ = t adt a dv .. = =dt t ).. 2 3 (2+ dan dt t dvv.. ) 2 3 (2020 + =| |2030 0233((

+ = t v vv pada saat t0 = 0maka v0 = 0 10 2 23= + = vm/s SAMPLE PROBLEM:Solution Pada gerak parabola terdapat dua tinjauan gerak, yaitu pada sumbu x berlaku gerak lurus beraturan (GLB) dan pada sumbu y berlaku gerak lurus berubah beraturan (GLBB) Tinjauan untuk sumbu x berlaku gerak lurus beraturan maka didapat persamaan ; Tinjauan untuk sumbu y berlaku gerak lurus berubah beraturan maka didapat persamaan : VI.PARABOLIC MOTION txv v vx x= = = cos0 0 t g v vy y.0 =atau 2.21. t g t v yoy = atau Besar dan arah kecepatan disetiap titik digunakan persamaan : Keterangan : x= jarak tempuh pada sumbu x y = jarak tempuh pada sumbu y vx = kecepatan saat t detik pada sumbu x vy = kecepatan saat t detik pada sumbu y v0x = kecepatan awal pada sumbu x v0y= kecepatan awal pada sumbu y Dua titik istimewa dalam gerak parabola, yaitu titik tertinggi dan titik terjauh yang keduanya memiliki syarat tertentu. TITIK TERTINGGI Syarat pada titik tertinggi (titik C paga gambar) 0 =yv c yt g v v . sin .0 = makact g v . sin . 00 = Dengan memasukkan nilai t didapat persamaan untuk titik tertinggi. 20.21).. sin . (ct g t v y = makat g v vy. sin .0 = 2.21). sin ( t g t v yo = 2 2y xv v v + = xyvv= tan gvtc sin .0= 20 00sin ..21 sin .).. sin . (|||

\| =gvggvv y Jarak pada sumbu x pada saat benda pencapai titik tertinggi. ct v x ). sin . (0 = maka ) sin . (cossin .). cos . (20 00 gvgvv x = = TITIK TERJAUH Syarat untuk titik terjauh (titik E pada gambar) yaitu y = 0 dan waktu tempuhnya sama dengan dua kali waktu tempuh titik tertinggi. 2.21). sin (E E ot g t v y = maka 2.21). sin ( 0E E ot g t v = Jarak pada sumbu x pada saat benda pencapai titik terjauh Et v x ). sin . (0 = maka|||

\|=gvv xEsin . 2). sin . (00 . 2 sin .20gvx = .. 2sin .2 20gvy= gvt E sin . . 20= gvxE2 20sin 2= A ski jumper leaves the ski trackmoving inthe horizontal directionwith a speed of25.0 m/s, as shown in Figure. The landing inclinebelow him falls off with a slopeof 35.0 .Where does he land on the incline? It is reasonable to expect the skier to be airborne for less than 10 s, and so he will not go farther than 250 m horizontally. We should expect the value of d, the distance traveled along the incline, to be of the same order of magnitude. It is convenient to select the beginning of the jump as the origin (xi = 0, yj = 0). Because vxi =25 m/s and vyj = 0 and the x and y component forms of Equation are (1)t s m t v xxi f). / 250 ( . = =(2) 2 2 2) / 80 . 9 (2121t s m t a vy f = = From the right triangle in Figure, we see that the jumpers x and y coordinates at the landing point are35 cos . d xf = and35 sin d yf =Substituting these relationships into (1) and (2), we obtain (3)t s m d ) / 0 . 25 ( 0 . 35 cos2 0=(4)2 2 0) / 80 . 9 (210 . 35 sin t s m d = Solving (3) for t and substituting the result into (4), we find that d =109 m. Hence, the x and y coordinates of the pointatwhich he lands are m m d xf 3 . 89 0 . 35 cos ) 109 ( 0 . 35 cos0 0= = =m m d Yf 5 . 62 0 . 35 sin ) 109 ( 0 . 35 sin0 0 = = = SAMPLE PROBLEM:Solution Sebuah partikel bergerak dari titik P membentuk sudut 1 terhadap sumbu x menuju titik B membentuk sudut 2 terhadap sumbu x. Perpindahan sudut partikel dari posisi A ke B dapat dirumuskan : KECEPATAN RATA-RATA Dari gambar diatas partikel yang bergerak sapai dititik A dalam selang waktu t1 dan sampai di titik B dalam selang waktu t2, maka dapat didefinisika kecepatan rata-rata adalah perubahan sudut partikel atau benda dalam selang waktu. atau Keterangan : = kecepatan sudut rata-rata (rad/s) = selisih sudut (rad) t = selang waktu (second) V.ANGULAR MOTION A. ANGULAR DISPLACEMENT 1 2 = B. ANGULAR VELOCITY 1 21 2t t = t = KECEPATAN SESAAT Kecepatan sudut sesaat merupakan harga limit dari t sehingga dapat dirumuskan tt= 0lim atau Jadi merupakan hasil diferensial dari posisi sudut terhadap waktu dtd = Sebuah benda bergerak melingkar memenuhi persamaant t 2 32+ = dimanadalam radian dan t dalam sekon, tentukan : a. Posisi benda pada saat t1 = 1 sekon dan t2 = 2 sekon b. Perpindahan benda dari t1 = 1 sekon sampai dengan t2 = 2 sekon c. Kecepatan sudut sesaat benda pada t = 1 sekon d. Kecepatan sudut rata-rata dari t1 = 1 sekon sampai dengan t2 = 2 sekon Solution a. Posisi benda pada t1 = 1 sekon maka 5 1 2 1 321= + = x x rad pada t2 = 2 sekon maka 16 2 2 2 322= + = x x rad b. Perpindan bnda 11 5 161 2= = + = rad c. Kecepatan sudut sesaat 111 25 161 21 2==++=t t rad/s d. Kecepatan sudut sesaat 2 6) 2 3 (2+ =+= = tdtt t ddtd8 2 ) 1 6 ( = + = x rad/s SAMPLE PROBLEM: PERCEPATAN SUDUT RATA-RATA Partikel yang bergerak dari P ke A dengan kecepatan sudut 1dalam waktu t1 dan benda bergerak ke titik Q dengan kecepatan sudut 2dalam waktu t2, maka dapat didefinisikan percepatan sudut rata-rata adalah perubahan kecepatan sudut dibagi dengan selang waktu tempuh. Secara matematik dapat ditulis :

PERCEPATAN SUDUT SESAAT Bila partikel bergerak dalam selang waktu mendekati nol, maka percepatan yang dimiliki benda dinapakan percepatan sesaat, secara matematis dapat ditulis ; tt= 0lim atau Jadi percepatan sudut merupakan hasil diferensial pertama dari kecepatan sudut terhadap waktu atau hasil diferensial kedua dari posisi sudut terhadap waktu. Keterarangan : = percepatan sudut sesaat (rad/s2) C. ANGULAR ACCELERATION 1 21 2t t= dtd = 22dtddtddtd =((

= Sebuah benda bergerak memiliki persamaan kecepatan sudut4 32+ = t , tentukan a. percepatan sudut rata-rata pada t1 = 1 sekon dan t2 = 2 sekon b. tentukan percepatan sesaat t = 3 sekon SAMPLE PROBLEM: Posisi sudut partikel dapat ditentukan dari kecepatan sudut dengan menggunakan teori integral. dtd =ataudt d . = =ttdt d0 0. = ttdt0.0 Keterangan : = Posisi sudut akhir 0 = Posisi sudut awal = Kecepatan sudut a. Percepatan sudut rata-rata 4 32+ = t pada saat t1 = 1 s, maka7 4 1 321= + = x rad/s2 pada saat t2 = 2 s, maka18 4 2 322= + = x rad/s2 111 27 181 21 2===t t rad/s2

b. Percepatan sudut sesaat ) 4 3 (2+ = = tdtddtdt 6 = pada saat t = 3 s, maka18 3 6 = = x rad/2 Solution D. DETERMINING ANGULAR POSITION + =ttdt0.0 Kecepatan sudut partikel dapat ditentukan dari percepatan sudut dengan menggunakan teori integral dtd =ataudt d . = =ttdt d0 0. = ttdt0.0 Keterangan : = Kecepatan sudut akhir 0= Kecepatan sudut awal = Percepatan sudut Sebuah partikel memilki persamaan percepatan sudut2 32+ = t , tentukankecepatan sudut pada saat t = 2 sekon a Kecepatan sudut 2 32+ = t + =ttdt0.0 + + =ttdt t0). 2 3 (20 dt t t2020233((

+ + = pada t0 = 0 maka 0= 0 8 2 2 22= + = x rad/s SAMPLE PROBLEM:Solution D. DETERMINING ANGULAR POSITION + =ttdt0.0 1.Seekor semut bergerak dengan persamaan posisir = (4t2+2)i + 3t2 j, r dalam meter, dan t dalam sekon .Besar perpindahan setelah artikel bergerak 2 sekon pertama adalah a. 8 mb.12 m c. 16 md. 18 me. 20 m 2.Sebutir kelereng melakukan gerak lurus ke arah sumbu y dengan persamaan y = 4t+5t2, y dalam meter dan t dalam sekon. Kecepatan benda tepat setelah bergerak4 sekon adalah.. a. 20 m/sb. 30 m/sc. 44 m/sd. 50 m/se. 52 m/s 3Sebuah roket bergerak ke arah sumbu y dengan percepatan tetap 5 m/s2. Pada saat berjalan tepat 4 sekon, kecepatannya 28 m/s, jarak yang ditempuh 80 m. Maka kecepatan awal dan posisi awalnya adalaha. 4 m/s dan 2 md. 16 m/s dan 24 m b.8 m/s dan 8 me. 24 m/s dan 30 m c. 8 m/s dan 16 m 4.Sebuah benda bergerak ke arah sumbu y ditunjukkan oleh grafik posisi y terhadap waktu t sebagai berikut. Posisi awal benda tersebut adalah 4 m Kecepatan rata-rata selama 2 sekon awal adalah 1 m/s Kecepatan pada saat t = 2s adalah 7 m/s Selama 1 sekon pertama gerak benda tersebut diperlambat Pernyataan yang benar adalah a. 1, 2, dan 3b. 1 dan 3 c. 2 dan 4d. 4 sajae. Semua benar 5.The position of a particle at a moment is expressed as = (+ 4 sin 2t) m. Determine the velocity of particle at t = second. a. 5m/s b. 2m/sc. 5 m/sd. 4 m/se. 2 m/s 6.The equation of a particle velocity is = (Vx + Vy ) m/s where Vx = 4t and Vy = (5 +6t2). The equation of the position vector of the particle is ... a .= 2t2 + (5 + 2t2) b. = 2t2 + (5 + 2t3) c. = 2t3 + (5t2 + 2t) d. = 2t3 + (5t2 - 2t) e. = 2t+ 5t27.The equation of position vector of a matter is = (t32t2) + (3t2). If is in m and t in s, then the magnitude of the matter acceleration exactly after 2s from the initial observation is ... a. 2 m/s2b. 4 m/s2c. 6 m/s2d. 8 m/s2e. 10 m/s2 8. The position vector of a body is expressed by4t2(6t2 + 2t)(4t31) ; t is in second and is in meter. The acceleration of the body at t = 1 second is ... a. 10 m/s2b. 14 m/s2c. 20 m/s2d. 28 m/s2e. 30 m/s2 9.Sebuah benda mempunyai posisi awal yang dinyatakan dalam koordinat kartesian (2,1). Benda tersebut mempunyai kecepatan yang dinyatakan dalam komponen vx= 2t, vy = t2 2. Pada saat t = 3 detik, posisi benda sejauh a. 25b. 26c. 32d. 55e. 45 UJI KEMAMPUAN PEMAHAMAN 10. Sebuah benda bergerak melingkar dengan posisi sudut dinyatakan sebagai = t2 + 6.Jika jari jari lintasan R = 10 m, percepatan normal pada t = 2 detik adalah a. 150 m/sb. 180 m/sc. 160 m/sd. 140 m/se. 120 m/s 11. Perbandingan jarak terjauh dari 2 buah peluru yang ditembakkan dengansudut elevasi 30o dan 60o adalah .. a. :b. : 1c. 1 :d. 2 : 1 e. 1 : 1 12. Sebuah benda dijatuhkan dari pesawat terbang yang sedang melaju horizontal 720 km/jam dari ketinggian 490 m. Benda akan jatuh pada jarak horizontal sejauh( g = 9.8 m/s2) .. a. 4000 mb. 2900 mc. 2450 md. 2000 me. 1000 m 13. Sebuah peluru ditembakkan dengan kecepatan 10 m/s dan membentuk sudut 30o terhadap arah mendatar. Kecepatan peluru setelah 2 detik adalah .. a. 20 b. 20c. 10 d. 10 e. 10 14. Peluru ditembakkan dengan kecepatan awal tertentu 30 m/s dan membentuk sudut 30o terhadap bidang horizontal pada saat mencapai titik tertinggi. Kecepatannya adalah .. a. 30m/sb. 30 m/sc. 15m/sd. 15 m/se. 0 m/s 15. Seorang pemain basket melemparkan bolanya kea rah ring. Pada saat bola mencapai titik tertingginya kecepatannya menjadi setengah kecepatan lemparannya (V0). Maka sudut lempar bola adalah .. a. 90ob. 60oc. 45od. 30oe. 0o 20. A particle moves along the x axis according to the equation 23 2 t t x + =, where x is in meters and t is in seconds. At t = 3 s, find(a) the position of theparticle (b) its velocity (c) its acceleration. 21.An object moves along the x axis according to the equation ) 3 2 3 (2= = t t x m. Determine (a) the average speed between t = 2 s and t = 3 s, (b) the instantaneous speed at t = 2 s and at t = 3 s (c) the average acceleration between t = 2 s and t = 3 s(d) the instantaneous acceleration at t = 2 s and t = 3 s.