vector space & subspaceincpaper.snu.ac.kr/images/5/58/2018em_lap1_v1-2.pdf · 2018-07-05 ·...

SCONELab.

Seoul

University

National

Vector Space & SubspaceDate

Name: 종

SCONELab.

Seoul National University

Vector Space£ Vector space : 든 n 차원 컬럼 벡 집합

− : { , : ∈ , ∈ }

− (1, 2), (2, 5), (-2.4, 3), (2.7, -3.77), (0,0),…

− 차원 공간 채

− : { , , : ∈ , ∈ , ∈ }

− (2,3,4), (3,2,-5), …

£ Vector space 성질− u, v ∈ è cu + dv ∈

− “closed to” linear combination

2018-07-05 73

SCONELab.


Vector Space & Subspace£ Ax

− m by n A 컬럼 벡 Linear combination

− (: , 1) + (: , 2) + ⋯ (: , )

− m 차원 컬럼 벡 n 개 linear combination

− A 성질에 라 A 컬럼 벡 가 space를 정 할 수 고Subspace를 정 할 수

£ 특수 스: n by n matrix A

− A is invertible

● 어 n 차원 벡 b ∈ 에 해서 Ax=b 를 만족하는 x를 할 수

èx를 조정해서 Ax는 어 b ∈ 가 수 게 함

è A 컬럼 벡 linear combination space를 차지함

− A is singular

è b ∈ 를 만족 할 수

● Ax 는 스페 스를 정

2018-07-05 74

SCONELab.


Column Space & Subspace£Column space: C(A)

− 행 A 컬럼 벡 linear combination 형성 space

− 컬럼 벡 가 n 차원 벡 라 C(A)⊆

£ Subspace− 벡 space

− Subspace는 linear combination 에 “closed” 어야 함

● u, v ∈ ⊆ è cu + dv ∈

● S는 0 벡 를 포함해야 함

2018-07-05 75

SCONELab.


Vector Space & Subspace£ Example

2018-07-05 76

1 22 1

1 −22 −4

12

+ 21

= 든 b ∈ 에 한 x 해가

è 가 든 를 만들지 함

12

+ −2−4

= 특정한 b ∈ 에 한 x 해가è 가 든 를 만들지 함

SCONELab.


Vector Space & Subspace£ Example

2018-07-05 77

2 1 32 1 31 3 −1

2 1 32 1 31 3 2

2 4 −22 4 −21 2 −1

SCONELab.


Vector Space & Subspace

2018-07-05 78

컬럼 스페 스: C(A)A 컬럼 벡 linear combination

SCONELab.


Independent Vectors£ n 차원 벡 , , … ,

£만약 , , … , 가 서 independent ( 립적) , , … , linear combination 전 채

− = ∑ 현할 수 없

− A = [ … ] invertible

− C(A) =

£만약 n개 중 m개 벡 만 independent 하다− , , … , : independent vector

− = ∑ for k > m

− A = [ … ] singular

− C(A) ⊆

2018-07-05 79

SCONELab.


Examples− Independent

● , , = 111

, 122

, 113

− Dependent

● , , = 110

, 123

, 343

● , , = 112

, 224

, −3−3−6

2018-07-05 80

SCONELab.


Exercises£ Subspace 가 아닌 것 ?

− 제 벡 , Z

− 11

−2+

−3−36

− (x, y, z) that satisfies 2x + 5y + z =5

− (x, y, z) that satisfies 2x + 5y + z =0

£ =21

−1, =

12

−1, =

22

−1− Ax= , Ax= 해는 나 Ax= 해는 없는 3 by 3 matrix A

를 하시

£ 반적 m차원 벡 , , 가 다. Ax= , Ax= 해는나 Ax= 해는 없는 m by n matrix A를 하시

2018-07-05 81

SCONELab.


Null Space£ Ax = 0

− 만약 n by n 향 A 가 invertible 하다

è x= 0 Ax = 0 만족하는 한 해

− 만약 n by n 향 A 가 singular 하다

è Ax = 0 만족하는 해가 무수히 많

− , 가 Ax = 0 만족하는 해라고 하

è , linear combination + 역시 해가

£ N(A): Null space of A− Ax = 0 해 집합

2018-07-05 82

Null space를 어 게 할 ?

SCONELab.


Example− =

1 1 11 2 21 2 3

2018-07-05 83

1 1 11 2 21 2 3

1 1 10 1 10 1 2

1 1 10 1 10 0 1

1 1 00 1 00 0 1

1 0 00 1 00 0 1

Row Echelon Form

Forward elimination

Reduced Row Echelon Form (RREF)

x + y + z = 0x + 2y + 2z = 0x + 2y + 3z = 0

Back substitution

Pivot 컬럼

SCONELab.


Example

2018-07-05 84

1 0 00 1 00 0 1

A 컬럼 스페 스 Null 스페 스는 ?

3개 3차원 pivot 컬럼 벡

è Independent

C(A) =

X = 000

Ax = 0 한 해

N(A) = Z, 벡 집합

SCONELab.


Example− =

1 1 11 2 20 −1 −1

C(A), N(A) 를 하시

è1 1 10 1 10 −1 −1

è1 1 10 1 10 0 0

è1 0 00 1 10 0 0

− C(A): Pivot 컬럼, 100

,010

linear combination è 2차원 subspace

− N(A):

100

+

010

+

010

= 000

− Free variable에 값 넣 다 , 함 (특수해, special solution)

= 1 è =-1, =0 N(A) = −011

2018-07-05 85

Free 컬럼Pivot 컬럼

Pivot variable: ,

Free variable:

Independent 한 특수해 들Linear combination

Free 컬럼 pivot 컬럼Linear combination

현 수

SCONELab.


Exercise£ 다 matrix C(A), N(A) 를 하시

£ A=1 23 6

£ =1 1 12 2 2

−1 −1 −1

2018-07-05 86

SCONELab.


Column and Null- Space£m by n matrix A

− m 차원 컬럼 벡 n 개 linear combination

£ Independent 한 컬럼 벡 수, p− C(A): p 개 independent vector (m 차원) linear combination

− N(A): n-p 개 independent 한 n 차원 특수해 (special solution) linear combination

2018-07-05 87

SCONELab.


Example£ A: 3 by 4 matrix

−1 1 2 32 2 8 103 3 10 13

è1 1 2 30 0 4 40 0 4 4

è1 1 2 30 0 4 40 0 0 0

− è1 1 2 30 0 1 10 0 0 0

è1 1 0 10 0 1 10 0 0 0

−

100

+

100

+

010

+

110

= 000

− Free variable, , 에 값 해서 특수 해 함

● =1, = 0 è =-1, = 0 è (-1, 1. 0, 0)

● =0, = 1 è =-1, = −1 è (-1, 0, -1, 1)

2018-07-05 88

P F P F

P F P F

SCONELab.


Example£ N(A)

− Linear combination of

−1100

,

−10

−11

£C(A) = ?

2018-07-05 89

SCONELab.


Exercise£ Null space of A=

1 5 70 0 9

£ Null space of A= 0 0 0 00 0 0 0

£ Null space of A= 3 6 3 61 2 1 2

£ A: 3 by 4 matrix, − Ax = 0 special solution 다 과 같다

− =

−3100

, =

−20

−61

1. N(A)를 하시 .

2. 런 N(A) 를 성하는 행 A 를 하시 .

2018-07-05 90

SCONELab.


Rank£ Rank of A

− Independent 컬럼 (row) 벡 수

− Pivot 컬럼(row) 수

£ Rank 가 1 행

− A = 1 3 102 6 203 9 30

è1 3 100 0 00 0 0

− 컬럼123

,369

,102030

라 u = 123

상에

− = [1 3 10]

− A= è = 0

è = 0

è , 는 서 직

2018-07-05 91

3차원 공간에서 = [1 3 10] 에 직 하는벡 들 linear combination null space 형성

= , , ∎ = , = è (-3, 1, 0)∎ = , = è (-10, 0, 1

SCONELab.


Examples – Rank 1 행

£ A=1 3 42 6 8

, 0 30 5

,52

, [6]

£ RREF(A)

2018-07-05 92

SCONELab.


Row Space£ Independent row 벡 linear combination

£ Example

−1 3 100 0 00 0 0

è Row space: 1-dimensional 선 [1 3 10]

è Null space는?

−1 3 101 1 20 0 0

è Row space: 벡 [1 3 10], [1 1 2] 선형 조

합

è Null space 는?

2018-07-05 93

Column space dimension Row space dimension?

SCONELab.


Special Solutions£ A=

1 3 0 2 −10 0 1 4 −31 3 1 6 −4

è R = 1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 0

− E= 1 0 00 1 0

−1 −1 1, =

1 0 00 1 01 1 1

− Ax = 0, Rx=0

−1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 0

=000

−1 0 3 2 −10 1 0 4 −30 0 0 0 0

=000

2018-07-05 94

SCONELab.


Special Solutions

−1 0 3 2 −10 1 0 4 −30 0 0 0 0

=000

− Free variable ( , , ) 에 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) 해서 special solution 3개 함

− =

−30100

, =

−2−4010

, =

−13001

2018-07-05 95

m by n 행 ARank(A) = r 라Independent column(row) 수는?Free variable 수는?N(A) dimension ?

SCONELab.


Special Solutions

£ R = 1 0 3 2 −10 1 0 4 −30 0 0 0 0

0 0

£ Null space− Linear combination of special solutions

− =

−

10..0

, =

−

01..0

, …, =

−

00..1

,

£ Null space matrix, N = −

2018-07-05 96

r pivot rows

m-r zero rows

r pivot columns n-r free columns

SCONELab.


Exercises£ R=[1 2 3] N(A)를 하시

£ A=

1 −1−1 2

0 0−1 0

0 −10 0

2 −1−1 1

rank 및 special solution 하

시 .

2018-07-05 97

SCONELab.


Exercises£다 rank1 matrix 를 A= 형태 factorization 하시

−1 3 102 6 203 9 30

£다 rank 2 matrix 를 R 하여 (3 by 2) times (2 by 4)형태

+ 형태 factorization 하시

− A= 1 1 0 21 2 0 32 3 0 5

=1 1 01 2 02 3 1

1 0 0 10 1 0 10 0 0 0

= R

2018-07-05 98

SCONELab.


Complete Solution£ n by n matrix A,

− Ax=b: 만약 A 가 invertible 하 x unique 해는 b

− Ax=0: 만약 A 가 singular 하고 rank 가 r n-r 차원 null space 가짐

£ A rank 가 r ( ≤ n) 경 , Ax = b 해는

− 해가 없는 경● b 가 C(A) 에 속하지 않

− 해가 는 경● b 가 C(A) 에 속함:

● A 컬럼 벡 들 linear combination b를 만들 수

£ Ax = b 해가 는 경 무한개− Ax = b 해를 particular solution 라고 함 ( )

● Particular b 를 만드는 벡 linear combination

− Ax = 0 해를 special solution 라고 함( )

£ Complete solution of Ax = b− +

2018-07-05 99

+ ( ⋯ )

SCONELab.



−1 0 3 20 1 0 41 1 3 6

=167

−1 0 3 2 10 1 0 4 61 1 3 6 7

è1 0 3 2 10 1 0 4 60 1 0 4 6

−1 0 3 2 10 1 0 4 60 1 0 4 6

−1 0 3 2 10 1 0 4 60 0 0 0 0

2018-07-05 100

0=0, Consistent

Let =0, =0 è =1, =6 =(1, 6, 0, 0): particular solution

Special solutions, =

−2610

, =

−1201

Complete solution, + +

SCONELab.


Example

−1 0 3 20 1 0 41 1 3 6

=16

−1 0 3 2 10 1 0 4 60 0 0 0 −2

2018-07-05 101

7à5

0 = -2No solution to Ax = bOnly special solutions

SCONELab.


Ax = b, A: m by n matric £ Assume n > m

− Rank of A is r ( ≤ m)

− [A b] will be reduced to R =

− 만약 g = 0, Ax = b n 차원 particular solution =

n-r 개 n 차원 special solutions 가짐

− 만약 g ≠ 0, Ax = b 는 해가 없

n-r개 n 차원 special solution 만 존

£ Full row rank, r=m

2018-07-05 102

I F

0

d

g

r n-r

r

m-r

C(A) 차원 수는?

I F’ d’

m n-m

C(A) 차원 수는?

SCONELab.


Ax = b, A: m by n matric £ Assume n < m

− Rank of A is r ( ≤ n)

− [A b] will be reduced to R =

− 만약 g = 0, Ax = b n 차원 particular solution =

n-r 개 n 차원 special solutions 가짐

− 만약 g ≠ 0, Ax = b 는 해가 없

n-r개 n 차원 special solution 만 존

£ Full column rank, r=n − No special solutions

− g’?

2018-07-05 103

I F

0

d

g

r n-r

r

m-r

I

0

d’

g’

n

n

m-n

SCONELab.



−

10

01

11

32

04

36

, =

12310

−

10

01

1 11 2

32

04

3 36 10

è

10

01

1 11 2

00

04

0 04 8

è

10

01

1 11 2

00

00

0 00 0

£

10

01

11

12

14

36

, =

12312

−

10

01

1 11 2

12

14

3 36 12

è

10

01

1 11 2

00

14

2 24 10

è

10

01

1 11 2

00

00

1 00 2

2018-07-05 104

SCONELab.


Full Row/Column Rank£ Full Column Rank (r=n)

− A 든 컬럼 벡 는 pivot 컬럼

− Free 컬럼 (variable) 및 special solution 없

− è N(A) = 0

− Ax=b 는해가 없거나 함

£ Full Row Rank (r=m)− A 든 벡 는 pivot row (R에 zero row 없 )

− N-m 개 free 컬럼(variable) 및 special solution

− è N(A)는 n-r 차원 공간

− C(A) =

● Ax=b 항상 해를 가지 무한개 가질 수

2018-07-05 105

SCONELab.


Exercises1. Linear equation system

+ 2 + 3 + 5 =

2 + 4 + 8 + 12 =

3 + 6 + 7 + 13 =

A) [A b] 를 elimination 하여 [U c] 형태 그리고 [R d] 형태 변환하시

B) Ax = b 가 해를 가질 수 는 b1, b2, b3 조건 하시

C) 컬럼 스페 스 C(A)를 하시

D) Special solution 하고 N(A)를 하시

E) b=(0, 6, -6) particular solution 및 complete solution 하시

2018-07-05 106

SCONELab.


Exercises

2. Ax=b 해가 다 과 같 행 A 형태에 해 설 하시

A) 한 해를 가짐

B) 든 해는 다 과 같 형태 : =21

+ 11

C) 해가 없

D) 든 해는 다 과 같 형태 : =110

+ 101

E) 무한개 해를 가짐

2018-07-05 107

SCONELab.


Exercises

3. =1 2 1 02 4 4 84 8 6 8

, b= 4210

complete solution 하시

2018-07-05 108

SCONELab.


Independent£ n 차원 벡 , , ⋯ , 이 (Linearly) Independent

− 를 , , ⋯ , , ⋯ linear combination 현할 수

없

− [ , , ⋯ , ] = 0 만족하는 한 해는 x=0

£ Example− 3 개 3차원 벡 , , ,

● , , 가 independent 하 들 linear combination 를 형성

è C([ , , ]) =

● , , 가 independent 하지 않 들 linear combination 를 형성하지 함

2018-07-05 109

SCONELab.


Exercise

£다 중 independent 벡 는− (1, 0) & (0, 1)

− (1, 0) & (1, 0.000001)

− (1, 1) & (-1, -1)

− (1, 1) & (0, 0)

2018-07-05 110

SCONELab.


Space Spanning£컬럼 벡 는 컴럼 스페 스 C(A)를 span 함

£어 공간(space)에 해서 벡 linear combination 공간 다 채 공간 span 한다고 함

− (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) 를 span 함

− (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0) subspace (a, b, 0) planespan함

− (1, 1, 0), (-1, -1, 0) subspace (a, a, 0) line span함

2018-07-05 111

SCONELab.


Row Space£ Recall: 어느 행 A C(A) 는 A 컬럼 벡 가 span 한 공

간

£ Row space− C( )

− A 벡 (또는 컬럼 벡 )가 span한 공간

− n 차원 벡 m 개가 span 하는 공간⊆

£ Examples

− A= 123

475

− A= 14

27

35

2018-07-05 112

SCONELab.


Basis of a Vector Space£ 벡 space를 span 하는 independent 벡 집합

− 보 무한개 basis 존

£ basis는 n 개 n 차원 independent 벡 성

£ Standard basis of

− = (1, 0,⋯ , 0), = (0, 1,⋯ , 0), …, = (0, 0,⋯ , 1),

£ For any v∈ , v 는 basis 벡 unique 한 linear combination 현 (증 ?)

− A: n by n matrix− n 개 컬럼 벡 가 independent

● Ax = b 는 unique 한 solution 가짐, x = b

● n 개 컬럼 벡 는 basis

£ A: n by n matrix 가 invertible− 든 b ∈ 에 해 Ax =b unique solution− Ax = 0 해는 0 è A 컬럼 벡 를 다름 컬럼 벡 linear

combination 현하지 함

2018-07-05 113

SCONELab.


Example£ A=

2 43 6

, = 1 20 0

컬럼 스페 스 및 스페 스를 하고, 컬럼 스페

스 및 스페 스 basis 를 하시 .

£ R=1 2 0 30 0 1 40 0 0 0

컬럼 스페 스 및 스페 스를 하고, 컬럼 스페 스 및

스페 스 basis 를 하시 .

2018-07-05 114

SCONELab.


Dimension£벡 스페 스 dimension = basis 를 성하는 vector

수

£벡 스페 스 basis 는 여러 개

− A= 14

27

35

− 어느 컬럼 벡 C(A) basis 가

£벡 스페 스 basis 벡 갯수는 같

£ Basis 벡 개수 = Vector space dimension

2018-07-05 115

SCONELab.


Exercises£ = 1, 2, 0 , = 2, 3, 0

A) 벡 는 linearly independent 한가?

B) 벡 는 어느 공간 basis 가 는가?

C) 벡 가 span하는 공간(V) 및 공간 dimension ?

D) V를 컬럼 스페 스 가지는 행 A 를 하시

E) V를 null space 가지는 행 A 를 하시

F) , 어 공간 span 하는 를 하시

2018-07-05 116

SCONELab.


Exercises

2018-07-05 117

SCONELab.


Exercises

2018-07-05 118

SCONELab.


Four Subspaces£ Row space: C( )⊆

£Column space: C(A) ⊆

£ Null space: N(A) ⊆

£ Left Null space: N( ) ⊆

2018-07-05 119

SCONELab.


Example

£ R= 1 3 5 0 70 0 0 1 20 0 0 0 0

− m=3, n=5, r=2

− C( ) = ?

− C(A) = ?

− N(A) = ?

− N( ) = ?

2018-07-05 120

SCONELab.


Dimension of Four Spaces

2018-07-05 121

SCONELab.


Subspaces of A & R£ A à R after elimination

− R= EA

− A=

£ A, R 스페 스는 동− = ( )

£ A, R 컬럼 스페 스 dimension 동− Dimension of C(A) = Dimension of C(R)

− C(A) ≠ C(R)

£ A, R Null space 는 동

− = ( )

£ A, R left null space dimension 동− Dimension of N( ) = Dimension of N( )

− C( ) ≠ C( )

2018-07-05 122

SCONELab.


Examples£ Four subspaces of

− A=[1 2 3]● m=1, n= 3

● r=?

● C(A) ?● C( ) = ?

● N(A) = ?

● N( ) = ?

£ Four subspaces of

− A=1 2 32 4 6● m=2, n=3,

● r=?

● C(A) ?

● C( ) = ?

● N(A) = ?

● N( ) = ?

2018-07-05 123

SCONELab.


Exercises£다 행 four subspaces 를 하시 .

− A=1 0 02 1 05 0 1

1 3 0 50 0 1 60 0 0 0

= =

£ 행 A entry 중 하나만 변경해서 four subspacedimension 변경해 보시 .

2018-07-05 124

SCONELab.

Seoul

University

National

DeterminantDate

Name: 종

SCONELab.


Determinant£ Square 행 A 특성 현할 수 는 scalar 값

£ 호− det A− |A|

−

£1 00 1

= 1

£

= ad-bc

£ det A= 0 :

● ad-bc = 0 è (b d) = x(a c)

● A는 singular 행

≠0 : A는 invertible 2018-07-05 126

SCONELab.


Determinant£ det A = product of pivot entries

=

0 −

£ =

− −

£ − −

= −

£ det A = ?

2018-07-05 127

SCONELab.


Determinant 계산방법

£ n by n 행

1. Pivot formula− Multiply n pivots

2. ‘Big’ formula− Sum of n! terms

3. Cofactor formula− n 개 n-1 by n-1 행 determinant 값 sum

2018-07-05 128

SCONELab.


Ten Properties of Determinant1. Determinant of Identity matrices = 1

−1 00 1

= 1,1 0

⋱0 1

= 1

2. Row(또는 컬럼) 개 치를 바꾼 행 determinant는원래 행 값과 ± 호가 다름

−0 11 0

= −1,

ℎ

= −

ℎ

2018-07-05 129

SCONELab.


Ten Properties of Determinant3. Linearity based on single row (or column)

− + +

=

+

−

=

− Examples

●4 8 80 1 10 0 1

= 41 2 20 1 10 0 1

,4 8 80 1 10 0 1

=4 0 00 1 10 0 1

+0 8 80 1 10 0 1

● 2I ≠ 2,

●2 00 2

= 4, 2 0 00 2 00 0 2

= 8

2018-07-05 130

SCONELab.


Ten Properties of Determinant4. (또는 컬럼) 같 행 determinant 는 0

5. 행 row 에서 다른 row 배수배를 뺀 결과 행 원래 행 과 같 determinant 가짐

− 행 elimination 해 determinant 는 변동없

−

− − =

6. Row(또는 column) 가 0 행 determinant 는 0

− 0 0

= 0

2018-07-05 131

SCONELab.


Ten Properties of Determinant7. Triangular matrix determinant 는 diagonal entries product

− 0

= ad,

0 0 0

0 0

⋱

= ⋯

8. Singular 행 determinant 는 0, Invertible 한 행determinant 는 0 아님

− A is singular çè det A = 0

2018-07-05 132

SCONELab.


Ten Properties of Determinant9. |AB| = |A||B|

−

= + + + +

− det = 1/det

− From |AB| = |A||B| è |A| = |AB| / |B|

10. det = det A

−

=

2018-07-05 133

SCONELab.


Exercises

2018-07-05 134

SCONELab.


Exercises

£Determinant 값 ½ 4 by 4 matrix A 가 다. A를 변형한 matrices determinan를 하시

− det (2A)

− det (-A)

− det ( )

− det ( )

2018-07-05 135

SCONELab.


Exercises

2018-07-05 136

SCONELab.


Pivot Formula£ Determinant 를 하는 방법 중 하나

£ Note:− Triangular matrix determinann는 diagonal entry 들 product

− det AB = det A ∗ det B

£ A=LU factorization

£ 만약 row exchange 를 했다− PA = LU

£ det P * det A = det PA = det LU = det L * det U− det P는 exchange를 번 했는지에 라

● -1: 홀수번 한 경

● 1: 짝수번 한 경

− det L = 1

− det U = ⋯

£ det A = ±( ⋯ )

2018-07-05 137

SCONELab.


Pivot Formula - Example

£ A=0 0 10 2 34 5 6

è PA= 4 5 60 2 30 0 1

£ det A = - 4*2*1 = -8

2018-07-05 138

SCONELab.


Big Formula

£

= + + + −

− −

£ n by n matrix

è n! terms− For example n= 10, è ~10 terms

£

= 0

+0

= 0 0

+ 00

+0 0

+0 0

= 1 00 1

+ 0 11 0

= −

2018-07-05 139

SCONELab.


Big Formula£ 3 by 3 matrix

−

= 27 개 각 에서 entry를 하나씩 고르고 나 지

개는 0 만든 matrix determinants 합

− 같 컬럼에서 0 세개 나 는 matrices determinant 는 0

−

=

0 00 00 0

+

0 00 0

0 0+

0 0 0 00 0

+

0 00 0

0 0+

0 0

0 00 0

+

0 0

0 0 0 0

=

1 0 00 1 00 0 1

+

1 0 00 0 10 1 0

+

0 1 01 0 00 0 1

+

0 1 00 0 11 0 0

+

0 0 11 0 00 1 0

+

0 0 10 1 01 0 0

2018-07-05 140

SCONELab.


Big Formula - Example£ Triangular matrix, U

− 각 row 에서 서 다른 컬럼에 는 entry 를 뽑는 방법 수

= n!

− Diagonal entry 만 성 matrix를 제 하고 0 entry를 가지고

● 그런 matrix determinant는 0

£ det U = ⋯ ?⋯ ⋱ ⋯0 ⋯

= ⋯

2018-07-05 141

SCONELab.


Big Formula - Example

£ det Z =

1 0 00 1 000

00

01

=

£ det =

0 1 0 01 0 1 000

10

01

10

=

0 1 0 01 0 0 000

00

01

10

= 1

2018-07-05 142

SCONELab.


Cofactor Formula

£

= + + + −

− −

= ( − ) + ( - ) + ( − )

=

+

+

2018-07-05 143

Cofactor Cofactor Cofactor

= (−1) det

SCONELab.


Cofactor Formula -Example£

2 −1−1 2 −1

−1 2−1

−12

= 22 −1

−1 2 −1−1 2

− (−1)−1 −1

2 −1−1 2

è =2 −

£ 반적 =2 −

£ det =

1 −1−1 2 −1

−1 2−1

−12

=2 −1

−1 2 −1−1 2

− (−1) −1 −1

2 −1−1 2

è det = −

2018-07-05 144

=(-1)2 −1

−1 2

SCONELab.


Exercises£Hessenberg matrix는 extra diagonal 는 triangular

matrix 다.

− =2 11 2

, =2 1 01 2 11 1 2

, =

2 1 0 01 2 1 011

11

21

12

− Row 1 cofactor를 사 해서 | | = | | + | | 증 하시 .

£ Big formula를 해서 다 matrix determinant를 하시

−1 1 01 0 10 1 1

, 1 2 34 4 45 6 7

, 1 1 11 1 01 0 0

,

2018-07-05 145

SCONELab.


Exercises£Cofactor formula를 사 하여 determinant를 하시

−

, 1 2 34 5 67 0 0

£Cofactor matrix C를 하고 를 비 하시

− A= 2 −1 0

−1 2 −10 −1 2

, = 1/43 2 12 4 21 2 3

2018-07-05 146

SCONELab.


Cramer’s Rule£ Solve Ax = b

− Elimination 해서 A à R 변환

£Cramer’s Rule− 3 by 3 matrix A, Ax = b

− AI = A 1 0 00 1 00 0 1

= A

− A

0 0 1 0 0 1

=

=

è detA ( ) = det

è = det / det A

2018-07-05 147

첫번째 컬럼 x 체

를 정하 해서 j번째 컬럼 x 체

= det / det A

SCONELab.


Cramer’s Rule - Example1. 3 + 4 = 2

5 + 6 = 4

det A = 3 45 6

, det = 2 44 6

, det =3 25 4

= det / det A

= det / det A

2. 하

A =

첫번째 컬럼 ( , ) 라고 하고 번째 컬럼 ( , ) 라고

하

A

=

10

, A

=

01

A=

, 1 0

, 1 0

,0 1

, 0 1

2018-07-05 148

SCONELab.


Exercises

2018-07-05 149

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