vectores

C.E.Te.CCarrera: Técnico Superior En Análisis De SistemasAsignatura: Matemática I Unidad 4 Vectores

Prof. Alfonso

UNIDAD IV: VECTORES Y MATRICES.

PARTE I: VECTORES.

Definición: Es un segmento orientado que representa gráficamente por una flecha y en el que sedistinguen el origen y el extremo.

Las letras a y b designan al vector ab , donde el punto a es el origen y el punto b es el extremo.

Magnitudes Vectoriales:

Hay magnitudes que quedan perfectamente definidas con un número y una unidad de medida, porejemplo cuando decimos “necesito 3 metros de cable”. A estos se les llama magnitudes escalares. Otrasveces, con una información semejante, no alcanza para que nos entiendan.Por ejemplo, si damos la orden de caminar 2 metros desde el punto a. Si a esta información le agregamosque camine sobre la recta R, la orden es mas precisa, pero aún así existen dos posibilidades: ir hacia p o irhacia q. Por lo tanto necesito saber 3 cosas: Cuanto, en que dirección y en que sentido.Estas son magnitudes vectoriales y conforman las componentes de un vector.

Dirección: Es la recta que lo contiene. Ejemplo: R

Módulo: Es la longitud del segmento medido en una cantidad determinada. Ejemplo: 2 .aq mts=

Sentido: Está dado por la orientación de la flecha, hacia dónde apunta.

Nota: en cada dirección hay dos sentidos.

Vectores Iguales:Dos o más vectores son iguales o equivalentes cuando tienen igual módulo, la misma dirección y el

mismo sentido. Se simboliza: ab cd↑↑ .

a

b

ab

2 mts.

R

q

p

a

2 cma

bc

2 cm

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d


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Vectores Libres:

Cualquier vector representado gráficamente representa en general a uno de los infinitos equivalentes a él.El conjunto de todos los vectores equivalentes conforma una clase. Cada clase define un vector libre (sepuede tomar cualquiera de los vectores equivalentes).

La clase de los vectores equvalentes al ab se simboliza ab , y los vectores libres se simbolizan con una

letra minúscula. Ejemplo: u .

Los vectores , y ab cd ef , representan el mismo vector u .

Vector Nulo:

Se simboliza 0 . Estos vectores no tienen definida su dirección ni su sentido.

Versor:

Se llama así a todo vector cuyo módulo es la unidad.Se lo simboliza de la siguiente manera

: es vector versor, de modo que el vector tiene la propiedad de que 1v v v =

Vectores Paralelos O Colineales:

Se dice que dos vectores son paralelos si están en la misma recta o en rectas paralelas.

pues y

pues y

ab Bab ef A B

ef A

ab Bab dc B B

dc B

⊂

⊂ ⊂

⊂

Observación: 1) El símbolo “⊂”significa “incluído en”.2) Esta relación “es paralelo a” no está definida para el vector nulo.

Vectores Opuestos:Se llaman vectores opuestos a aquellos que tienen igual dirección y módulo pero sentido contrario.

a

bc

d

e

f

u

e

f

d

cb

a

AB

a

a−



Operaciones Con Vectores:

Suma De Vectores Libres: Para sumar dos vectores libres y u v se elige un representante decada clase de manera tal que “el extremo del segundo coincida con el extremo del primero”.

Ejemplo: Sea ab un representante del vector y u bc un representante del vector . Entonces v u v w+ =de manera tal que el origen de w coincida con el origen de u y el extremo de w coincida con el extremo

de v . (Se puede usar también, el método del paralelogramo).

Método Triangular:

De igual manera se pueden sumar más de dos vectores obteniendo así una poligonal de vectores.Ejemplo:

Ejemplo:

Diferencia De Vectores: Es la operación inversa de la adición, entonces, dados y a b , para

efectuar la diferencia a b− , le sumamos al vector ( ) el opuesto de . Entonces: a b d a b a b= − = + − .

Ejemplo:

u

v

wv

u

ba

c

d ba

c

d

3 .a unid=

2 .b unid=1 .S a b unid= + =

a

b b−

d

b−

a



Producto De Un Vector Por Un Escalar O Número Real: El producto de un vector

por un escalar a α , es otro vector cuya dirección es la misma que a , su módulo es tantas veces el

módulo de a cómo lo indique α y el sentido equivalente con el de a si α es positivo y es opuesto al de

a si α es negativo.Ejemplo:

Observación:

Si es tal que 0 . 0 (Vector Nulo)

Si 0 0. 0 Cualquiera sea

Si 1 1. Cualquiera sea

a a a

b b

b b b

α

α

α

• = ⇒ =

• = ⇒ =

• = − ⇒ − = −

Propiedades De Las Operaciones:

1) Asociativa: ( ) ( )a b c a b c+ + = + +

2) Conmutativa: a b b a+ = +3) Existencia de un elemento neutro para la suma de vectores:

, existe el vector nulo 0 tal que +0 0+a a a a∀ = =4) Existencia del vector opuesto aditivo:

( ) ( ) ( ), tal que 0a a a a a a∀ ∃ − + − = − + =

5) Distributiva de la suma de escalares por un vector

( ). . . con y a a aα β α β α β+ = + ∈6) Distributiva de la suma de vectores por un escalar

( ). . . con a b a bα α α α+ = + ∈

7) Asociativa para el producto de dos números reales y un vector

( ) ( ). . . .u uα β α β=

8) Existencia de un elemento neutro para el producto

1. .1u u u= =9) Propiedad Triangular: “El módulo de la suma de dos vectores es menor o igual que la suma de

los módulos”.

u v u v+ ≤ +

Un conjunto cuyos elementos verifican estas propiedades, constituyen en espacio vectorial, enconsecuencia el conjunto de los vectores libres forman un espacio vectorial real.

2 .a

1

2a−

aSi 2 2.

1 1Si

2 2

a

a

α

α

= ⇒

= − ⇒ −



Vectores En El Plano:

Forma Cartesiana De Un Vector: Dados dos vectores y u v no paralelos del plano π, cualquier otro

vector del plano se puede descomponer en dos vectores con las direcciones de y u v .Ejemplo:

Como los vectores y u uw x son paralelos a u , pueden expresarse como el producto de u por un

número real.Ejemplo:

3 . o 1.

23

Lo mismo para: 1. o .2

Por lo tanto si volvemos a la fórmula y reemplazamos, obtenemos:

3 w

u u

v v

w u x u

w v x v

= = −

= =

=2

. 1. y 1. .2 3

u v x u v+ = − +

De la misma manera, se puede expresar cualquier otro vector del plano tomando a v como base.

y u v representan en este caso una base del espacio vectorial y podemos concluir que “un espaciovectorial admite infinitas bases”. Generalmente se toma como base del espacio vectorial a dos versorescuyas direcciones y sentidos coincidan con los correspondientes a los semiejes positivos de un sistema decoordenadas cartesianas ortogonales.

Los versores se nombran generalmente con las letras i y j.

u

v

w

vw

uw

Puedo escribir: u vw w w⇒ = +

x

uxvx

Puedo escribir: u vx x x⇒ = +



Para hallar las componentes de u con origen en 0.

En general: 1 2. .u a i a j= + Es la forma cartesiana de un vector.

Nota: Todo punto del plano “determina” un vector y a su vez, todo vector determina un punto.

Cálculo Del Módulo De Un Vector:

Se calcula aplicando la fórmula de Pitágoras ( ) ( ) ( )2 2 2.1 .2hipotenusa cat cat= +

Por lo tanto, dado un vector ( )0 0,u x y= , su módulo se calcula como: 2 20 0u x y= +

Nota: El módulo de un vector siempre es positivo o cero

Suma De Vectores En Forma Cartesiana:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

Dados 5,2 y 3,4

5 2

3 4

5 2 3 4 5 3 2 4 8 6

8 6 8,6

a b

oa i j

ob i j

oa ob i j i j i i j j i j

oc i j c

= =

= +

= +

+ = + + + = + + + = +

= + ⇒ =

2

1

-1

-2

1 2 3j

i

u

u

( )

3 2

Componentes del vector : 3 y 2

Cooredenadas del vector : 3, 2

u i j

u i j

u

= −

−

−

u

x0

y0

O 3 5 8

6

4

2

b

c

a



En general, dados los vectores:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1

2 2 2 1 2 1 2 se deduce:

Ejemplo: v 2,5 2, 3 2,5 2, 3 4,2

V x i y j

V x i y j V x x i y y j

x v x u

= +

= + = + + +

= = − ⇒ + = + − = =

Resta De Vectores:

En general, dados dos vectores

( ) ( )

1 1 1

2 2 2 1 2

1 2 1 2

, hacemos la resta

se obtiene:

V x i y j

V x i y j V V

V x x i y y j

= +

= + −

= − + −

( ) ( )( )( ) ( )

Ejemplo: Dados 3,5 y 7,4

3 5 y 7 4 3 7 5 4

10 1

a b

oa i j ob i j oc i i j j

oc i j

= = −

= + = − + ⇒ = − − + −

= +

( ) 10,1c =

Multiplicación De Un Vector Por Un Escalar:

Dado un vector 1v y un escalar real α, se puede definir al producto entre 1v y α como un nuevo vector.

( ) ( )1 1 1 1 1 1 1. . . . . , .v v x i y j x i y j x yα α α α α α= = + = + =

( ) ( ) ( )1

1

Ejemplo: Dado 4 3 y =2

Entonces . 2. 4,3 2. 4,2.3 8,6 8 6

v i j

v v i j

α

α

= − +

= − = − = − ⇒ = − +

Cálculo Del Módulo De Un “Versor”:

Existe la propiedad que dice: “Sea ( )1 1,u x y= , el vector versor asociado es aquel que resulta de:

( )1 1 1 1

2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1

,,

x yu x yu

u x y x y x y

= = = + + +

.

Se verifica que 1u

uu

= = .

Ejemplo:

( )( )( )

( ) ( ) ( )

( )

2 2

3,2

3,2 3,2 3,2 3,2 3 2,

3,2 9 4 13 13 133 2

0,8321 , 0,5547

u

u

u

=

= = = = = + +

=



Para verificar, calculamos su módulo:2 2

3 2 3 2 9 4 13, 1 1

13 13 1313 13 13 13u

= = + = + = = =

Entonces el módulo es siempre

positivo.

Producto Escalar De Vectores:

Esta es otra operación, llamada también “producto interior de vectores”.

Podemos definir al producto escalar entre dos vectores y u v , al número que resulta de realizar lasiguiente operación:

( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2 , ,u v x y x y x x y y= = ⋅ + ⋅i i

Por ejemplo: Si ( ) ( ) ( ) ( )2,5 y 1,4 2,5 1,4 2 ( 1) 5 4 2 20 18u v u v= = − ⇒ = − = ⋅ − + ⋅ = − + =i iNota: El producto escalar es un número real.

Otra forma de definir el producto escalar entre dos vectores es realizando el producto de los módulos delos vectores por el coseno del ángulo comprendido por ambos.Es decir:

( )Dados y cos

Donde ,

a b a b a b

áng a b

θ

θ

⇒ = ⋅ ⋅

=

i

Observación: Esta forma es generalmente utilizada cuando se necesita conocer el ángulo existente entredos vectores.

Casos Particulares:(1) Si y el sentido de es igual al sentido , se tiene que 0º y cos 1

(2) Si se tiene que 90º y cos 0 0

a b a b a b a b

a b a b

θ θ

θ θ

= = ⇒ = ⋅

⊥ = = ⇒ =

i

i

Vectores En El Espacio:

Así como trabajamos en 2 , se puede trabajar en 3 . Para ubicar un punto en el espacio, debemos dar la

referencia de las tres coordenadas (x, y, z) y los vectores unitarios (versores) se llamaran , ,i j k ,correspondiendo a x, y, z respectivamente. Mientras que no se diga lo contrario, se supondrá que este

sistema de coordenadas se dibujará como muestra la figura, siendo: ( )0 0 0 0 0 0, ,op x y z x i y j z k= = + +

( )

( ) ( ) ( )

( )

2 2 2

0 0 0

2,1,3 2 1 3 (gráfico)

El módulo , se calculará:

El vector nulo será: 0 0,0,0 0 0 0

op i j k

op op x y z

i j k

= = + +

= + +

= = + +

kji

x

y

z

3

12

P



Las operaciones de suma, resta y producto por un escalar se realizarán de igual forma que en el plano,utilizando las tres (3) componentes. El producto escalar será:

1 1 2 2 3 3

cos

Donde si 0 y se tiene que ninguno de los vectores es nulo, entonces ambos s

a b a b a b a b

o

a b a b

a b

ϖ

= ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ ⋅

=

i

i

i on .perpendiculares

Observación: Lo visto para vectores en el plano y vectores en el espacio, se puede generalizar para

vectores de n componentes; es decir, si ( )1 2 3 , , , ,nnv v v v v v∈ ⇒ = …

Vectores Filas Y Columnas:

Un vector fila es un conjunto ordenado de números escritos en fila.

Ejemplo: Dado ( )1 2 3: , , , ,nnv v v v v v∈ = …

Un Vector Columna es un conjunto de números ordenados dispuestos en columna como sigue:

1

2

3

n

v

v

v v

v

=

Un Vector Fila es un arreglo de números ordenados en filas de la siguiente manera:

[ ]1 2 3 nv v v v v=

( )

3

3

Ejemplo:

3

(1) -1 con

2

(2) 4 7 -9 con

v v

v v

= ∈

= ∈

Operaciones:

Dos vectores filas o columnas pueden sumarse entre sí, si tienen el mismo número de componentes.

1 1 1 1

2 2 2 2

n n n n

a b a b

a b a b

a b a b

+ + + = +

Combinación Lineal Entre Vectores:

Dado nv∈ , se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores 1 2, , , nv v v… si existe

1 2, , , nα α α ∈… tal que se verifique que: 1 1 2 2 n nv v v vα α α= ⋅ + ⋅ + + ⋅…



( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 3

1 2

1 2

1 2 2

1 2

Ejemplo: Sean 3, 1,4 , 1,0,3 , 1,1,2

3, 1,4 . 1,0,3 . 1,1,2

3 .1 .( 1)

1 .0 .1 1

4 .3 .2

v v v

α α

α αα α α

α α

= − = = −

− = + −

= + −− = + → = −

= +

( ) ( ) ( )

1 1 1

1

1 1 1

3 ( 1).( 1) 1 3 1 2

2

4 2 64 .3 ( 1).2 .3 2 2

3 3

3, 1,4 2. 1,0,3 ( 1). 1,1,2

y

α α αα

α α α

= + − − = + → = − =

=+= + − = − → = = =

− = + − −

Diremos que esos vectores son linealmente independientes cuando:

1 1 2 2 1 2. . . 0 con 0n n nv v vα α α α α α+ + + = = = = =… …

En caso de que un vector sea combinación lineal de otros, se dice que es linealmente dependiente.



Trabajo Práctico Nº4Vectores

1) Graficar los siguientes vectores en un sistema de coordenadas ortogonales:

( ) ( )( ) ( )

a) 2,4 c) 1,2

b) 2, 3 d) 4,2

v u

a w

= = −

= − − =

2) Hallar en cada uno de los vectores del punto 1) el módulo y el versor correspondiente

3) Dados los vectores ( ) ( ) ( )3, 1 , 3,2 y 2,3a b c= − = = − hallar en coordenadas cartesianas los

siguientes vectores:

a) b) 2 3 c) 3 2 4a b c a b c b c a+ − − + − +

4) Determinar un vector paralelo a ( )3, 1u = − que tenga la misma longitud que ( )1,2v =

5) Dados los vectores ( ) ( )8,5 y 3, 1a b= = − , obtener un versor que tenga la misma dirección que

a b+ . Graficar.

6) Determinar el vector paralelo a ( )2, 1v = − , de sentido contrario a v y de módulo 2.

7) Calcular el producto escalar v ui en cada uno de los siguientes casos:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

a) 3, 2 ; 2, 2, d) 2, 3,6 ; 8,2, 3

b) ; e) 1,0, 1,3 ; 3,6,4,1

c) 7 3 7 ; 4

u v u v

u i v i j u v

u i j k v i

= − = − = − = −

= = − + = − =

= − + + = − 2j k−

8) Hallar k para que los vectores y u v sean perpendiculares.

( ) ( )1, , 3 ; 2, 5,4u k v= − = −

9) Hallar r sabiendo que ( )39 y 1, , 2,5u u r= = −

10) Hallar un vector ( ) tal que 0, siendo 2,3v u v u= = −i . Graficar.

vectores

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