UNIVERSIDAD CATLICA DEL NORTE DEPARTAMENTO DE FSICA INTRODUCCIN A LA FSICA

GUA N 1

DE

INTRODUCCIN A LA

FSICA:

Vectores

PRIMER SEMESTRE 2010

Profesor: Hctor Len Cubillos

EJERCICIOS RESUELTOS DE VECTORES.-

I.- Teorema del Coseno y del Seno.-

1) Resolver el tringulo ABC, dados c = 25, A = 35, y B = 68.

-Para hallar ngulo C: C = 180 - (A + B) =

180 - (35 + 68) = 77.

-Para hallar a: a = senC

senAc* (aplicando teorema

del seno) a = 9744,0

)5736,0(*25

)77(

)35(*25

sen

sen= 15.

-Para hallar b:

b= .249744,0

)9272,0(*25

)77(

)68(25*

sen

sen

senC

senBc

2) A y B son dos puntos de orillas opuestas de un ro. Desde A se mide una base recta AC = 275 m y se miden los ngulos CAB = 125 y ACB = 48. Hallar el ancho del ro AB.

En el tringulo ABC, B = 180 - (C A) = 5

Aplicando el teorema del seno:

senB

senCbABc

senC

c

senB

b *

msen

senc 6,2348

087,0

)743,0(*275

)5(

)48(*275

3) Dos fuerzas de 17,5 N y 22, 5 N actan sobre un cuerpo. Si sus direcciones forman un ngulo de 50, hallar su resultante y el ngulo que hace con la mayor de las fuerzas.

En el paralelogramo ABCD, A + B = C + D = 180 y

B= 180 - 51 = 129 En el tringulo ABC,

b2 = c2 + a2 -2a*c*cos(129) = (22,5)2 + (17,5)2 2(22,5)(17,5)(-0,629) b2 = 1307,8 b = 36,2 N

a

68 35 A B

b

c = 25

C

a

A

B b

c 125

48 C

A B

C D

17,5N

c=22,5N

b a=17,5N

129 51

1,22372,02,36

)129(*5,17*

sen

b

senBasen

La fuerza resultante es de 36,2 N; y el ngulo pedido es 22,1

4) Dado el paralelogramo de la figura:

a) Calcule b) Determine las magnitudes de las

diagonales. Solucin: a) En el paralelogramo #ABCD, se cumple que:

i) La suma de los cuatro ngulos interiores miden 360.

ii) Los ngulos opuestos son congruentes.

Considerando el tringulo ABC

Calculamos el lado b por el teorema

del coseno: b2 = a2 + c2 2*a*c*cos (120) b2 = (6)2 + (10)2 2*(6)*(10)*(-0,5) = 196 b = 14

Aplicando el teorema del seno:

8,216

866,0

14

120

sensen

a

sen

b

b) Determinaciones de las diagonales.

Una de ellas ya fue obtenida en el punto (a) que es valor b = 14. Faltara calcular la diagonal BD. Considerando el tringulo ABD, se tiene:

Aplicando el teorema del coseno:

DB2 = (6)2 + (10)2 2*(6)*(10)*cos(60)

DB = 8,7

II.- Vectores.-

1.- El cuadriltero ABCD est formado por cuatro vectores cba

,, y d

(vase la figura).

Expresar: a) las diagonales en funcin de los lados.

D

60

10

6

A B

C

B

C

A

6

120

b

10

6

B A

D

60

10

b) El lado BA

como suma de dos vectores.

c) El lado BA

como suma de tres vectores.

d) El Lado CB

como una diferencia de vectores.

e) La diagonal DB

como una diferencia de dos vectores. Solucin: a) las diagonales en funcin de los lados:

Las dos diagonales del cuadriltero ABCD son

e

y f

, por lo tanto las podemos considerar

como:

cde

bae

bcf

adf

b) El lado BA

o a

como suma de dos vectores:

beBA

c) El lado BA

como suma de tres vectores: bcdBA

d) El Lado CB

como una diferencia de vectores: eaCB

e) La diagonal DB

como una diferencia de dos vectores: adDB

3) Los vectores representados en el reticulado de la figura son ,A

,B

,C

D

y E

. Cada

cuadrito mide una unidad por

lado.

a) Escribir los vectores ,A

,B

,C

,D

E

y F

como pares

ordenados. b) Calcular el vector

)(2 EBDG

c) Calcular el mdulo de BA

Solucin:

a) Escribir los vectores ,A

,B

,C

,D

E

y F

como pares ordenados:

f

e

b

c

a

d

C

B A

D

F

B

A

C

E

D

Vector A

: Este vector contiene una componente en direccin horizontal hacia la derecha con una magnitud o mdulo, correspondiente a cuatro cuadritos; y una componente vertical hacia arriba cuya magnitud es de tres cuadritos.

Entonces el vector A

en par ordenado es:

A

= (4,3)

Vector B

: Este vector contiene una componente en direccin horizontal hacia la izquierda con una magnitud o mdulo, correspondiente a ocho cuadritos; y una componente vertical hacia abajo cuya magnitud es de seis cuadritos.

Entonces el vector B

en par ordenado

es:

B

= (-8,-6)

Vector C

: Este vector contiene una componente en direccin horizontal hacia la derecha con una magnitud o mdulo, correspondiente a ocho cuadritos; y una componente vertical hacia abajo cuya magnitud es de seis cuadritos.

Por lo tanto el vector C

en par ordenado es:

C

= (5,-5)

Vector D

: Este vector contiene una componente en direccin horizontal hacia la izquierda con una magnitud o mdulo, correspondiente a dos cuadritos; y una componente vertical hacia arriba cuya magnitud es de dos cuadritos.

Por lo tanto el vector D

en par ordenado es:

D

(-2,2)

Vector E

: Este vector no contiene una componente en direccin horizontal, solamente posee una componente vertical cuya magnitud es de dos cuadritos.

Por lo tanto el vector E

en par ordenado es:

E

(0,2)

A

B

C

D

E

Vector F

: Este vector no contiene una componente en direccin vertical, solamente posee una componente horizontal cuya magnitud es de cuatro cuadritos.

Por lo tanto el vector F

en par ordenado es:

F

(-4,0)

b) Calcular el vector )(2 EBDG

)2,0()6,8()2,2(*2 G

= (-4,4) [(-8+0,-6+2)] = (-4,4) [(-8, -4]

= (-4,4) + (8,4) = (-4+8, 4+4)

G

= (4, 8)

c) Calcular el mdulo de BA

5)3()4()3,4()63,84()6,8()3,4( 2 22 BABA

4) La circunferencia de centro O de la figura adjunta est dividida en tres arcos

congruentes. En ella estn representadas, por medio de vectores, sendas fuerzas ,1F

2F

y 3F

, todas de igual magnitud actuando sobre el punto 0. En cul de los casos

presentados, la resultante de dichas fuerzas es el vector 0

?

a) Slo en (I); b) Slo en (II); c) Slo en (III); d) Slo en (I) y (II); e) En I, II y III Solucin: La resultante o suma vectorial de los vectores dados se puede determinar usando la propiedad asociativa de la suma de vectores, es decir, que dados los

vectores 1F

, 2F

y 3F

se cumple siempre que:

( 1F

+ 2F

) + 3F

= 1F

+ ( 2F

+ 3F

).

Por otra parte, en este tipo de ejercicios, hay que usar la simetra que tiene el problema, dadas las condiciones del mismo, es decir en este caso, que todos los vectores que aparecen en la circunferencia dada tienen la misma magnitud. En efecto, dicho mdulo corresponde al tamao del radio de la circunferencia dada. Veamos cmo opera esta hiptesis para cada uno de los casos presentados.

Caso (I)

I) II)

1F

1F

2F

2F

3F

3F

III)

1F

2F

3F

O

O O

F

Cuando se suman los vectores 1F

y 2F

en el caso I, completando el paralelogramo de

las fuerzas, 1F

+ 2F

tienen la misma magnitud que 3F

, la misma direccin tambin,

pero tiene sentido opuesto. Esto significa necesariamente que se cumple la igualdad

321 FFF

y, por lo tanto, se cumple la ecuacin equivalente: 0321

FFF . Por

consiguiente, en este caso se cumple la relacin pedida.

Caso (II)

Es fcil ver, observando la figura, que cada una de las fuerzas que all aparecen es la correspondiente opuesta o inversa aditiva del caso (I). Es decir, se cumple que las

fuerzas son: - 21 FF

y 3F

, con respecto a las fuerzas del caso (I). Luego, la suma de

ellas vale:

(- ()1F

2F

) + (- 3F

) = -( 00)321

FFF

De tal modo que en este caso tambin se cumple la relacin pedida.

Caso (III)

En este caso, slo dos fuerzas coinciden con las del caso (I) y la otra es opuesta. Luego en este caso no se cumple la relacin pedida. Problema tpico de operatoria con vectores que exige tambin el conocimiento de elementos geomtricos en torno a la circunferencia. Respuesta correcta: alternativa D.

21 FF

2F

3F

O 1F

EJERCICIOS PROPUESTOS DE VECTORES.-

1) Con los vectores A

y B

se efectan las operaciones cuyos resultados estn indicados a, b, c y d (Fig. 1). Coloque dentro del parntesis una V si la operacin est bien hecha, o una F si es falsa o incorrecta.

Vectores dados

a) ( ) b) ( )

c) ( ) d) ( )

Figura 1 2) De las magnitudes dadas a continuacin indicar las de carcter escalar y las de carcter

vectorial. a) peso (c) calor especfico (e) densidad (g) volumen (i) potencia b) calor (d) mpetu (f) energa (h) distancia (j) intensidad del campo magntico.

3) Representar grficamente:

a) una fuerza de 10 newtons en la direccin Este 30 Norte.

A

B

AB

A

B

BA

AB

A

B

BA

A

B

BA

B

BA

AB

B

B

A

b) Una fuerza de 15 newtons en la direccin Norte 30 Este.

Sea el tringulo rectngulo de la figura 2.

4) El seno del ngulo es: (a) 6/8; (b) 8/6; (c) 6/10;

(d) 8/10; (e) 10/8.

5) La tangente de es:

(a) 6/8; (b) 8/6; (c) 6/10; (d) 8/10; (e) 10/8. Figura 2

6) En el tringulo ABC de la Figura 3,

(a) CBBA

(____)

(b) AB

(____) = CB

(c) (___) + AB

= CB

(d) (___) + BA

= AA

(e) ( ACCBBA

) (___)

(f) )( BCCAAB

= (___)

(g) (___) + BCCA

Las preguntas 7, 8 y 9 se refieren a la siguiente informacin:

7) La magnitud del vector suma es:

(a) 3; (b) 4; (c) 5; (d) 6; (e) 7.

8) La magnitud del vector resta es:

(a) 1; (b) 3; (c) 4; (d) 5; (e) 7.

9) Si cada vector de la figura duplica su magnitud, cul es la

magnitud de la suma?

(a) 6; (b) 8; (c) 10; (d) 14;

(e) 20.

10) Una diagonal de un paralelogramo tiene 24,8 unidades de longitud y forma ngulos de 42,3 y 27,6 con los lados. Determine los lados.

11) Dos puntos A y B situados a un mismo lado de una carretera

distan 10 metros. Un punto C del otro lado de la carretera

6 8

10

4

3

Figura 4

B

A C

Figura 3

A B

C

10 m

Figura 5

est situado de manera que el ngulo CAB mide 70 y el ngulo ABC mide 80. Cul es el ancho de la carretera?

12) Complete las igualdades siguientes:

ha

..

fc

=

edc

.

hg

.

dcba

hdc

.

ei

..

idc

.

a

..

eh

.

si

.

gc

sia

sib

igcs

..

fhsd

=

feibsd

.

13) Dos vigas, uno en A y el otro en B, estaban colocados a 1600 m de distancia cuando observaron el fogonazo de un can enemigo situado en C. Si el ngulo A meda 38 y el ngulo B 61, a qu distancia del can enemigo estaba cada uno de los vigas? (ver Figura 6)

14) Un automvil recorre 3 kilmetros hacia el Norte y luego 5 kilmetros al Noreste.

Represente estos desplazamientos y hallar el desplazamiento resultante: (a) grficamente, (b) analticamente.

f

e

b

c

a

d

s

h

i

g

A B

C

1600 m

Figura 6

15) Hallar la suma o resultante de los siguientes desplazamientos:

A

, 10 metros hacia el Noroeste; B

, 20 metros, Este 30 Norte; C

, 35 metros hacia el Sur.

16) Sumar geomtricamente y despus como pares ordenados los vectores )3,5(a

y

)4,2(b

. Calcular el mdulo y direccin del vector suma.

17) Restar geomtricamente y, en seguida, como pares ordenados los vectores )3,5(a

y )4,2(b

. Calcular el mdulo y la direccin del vector diferencia ba

y del

vector ab

.

18) Determinar la suma de los vectores )2,4( a

)3,1(b

, )4,4(c

, )2,5( d

.

Calcular el mdulo y la direccin del vector suma: 1) Geomtricamente; 2) por componentes rectangulares; 3) por pares ordenados.

19) Un vector desplazamiento D

en el plano XY tiene una magnitud de 50m y est dirigido en un ngulo de 120 en relacin con el eje x positivo. Obtenga las componentes

rectangulares de D

y un vector unitario en la

direccin de D

. 20) El diagrama de la figura representa las fuerzas

actuando sobre un objeto. Calcular la magnitud de las fuerzas resultantes, si sus magnitudes son: F1 = 8 N, F2 = 12 N, F3 = F4 = 2 N.

RESPUESTA A ALGUNOS DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS.-

1) a) ( V ); b) ( V ); c) ( F ); d) ( V )

2) (a) peso: vectorial; (b) calor: escalar; (c) calor especfico: escalar; (d) mpetu: vectorial; (e) densidad: escalar; (f) energa: escalar; (g) volumen: escalar; (h) distancia: escalar; (i) potencia: escalar; (j) intensidad campo magntico: vectorial.

3) (a) una fuerza de 10 newtons en la direccin Este 30 Norte.

60 1F

2F

3F

4F

(b) Una fuerza de 15 newtons en la direccin Norte 30 Este.

4) (d) 10

8

5) (b) 6

8

6) En el tringulo ABC de la Figura 3,

(a) CBBA

( CA

)

(b) AB

( CA

) = CB

(c) ( CA

) + AB

= CB

(d) ( AB

) + BA

= AA

(e) ( ACCBBA

) ( AA

)

(f) )( BCCAAB

= ( AA

)

(g) ( AB

) + BCCA

7) La magnitud del vector suma es:

(c) 5

8) La magnitud del vector resta es:

(d) 5

9) Si cada vector de la figura duplica su magnitud, cul es la magnitud de la suma?

(c) 10

10) a = 12,24 y b = 17,2

11) ancho de la carretera aprox. 4,7 m

13) a = 997,6 m y b = 1417 m

N

E O

S

30

N

E O

S

30

(a) (b)

B

A C

Figura 3

14)

(a) Grficamente: (b) analticamente:

jiA 30

[Km]

jseniB 45545cos5

[Km]

])[)2

253(

2

25( KmjiBA

4,7 BA

[Km] MAGNITUD

= arctan

2

25

2

253

= 61,6 DIRECCIN

15) ])[79,1307,7( mjiCBAR

, mR 4,14

y = -62,9

A

B

A

B

BA

S

N

O E

45