vectores hacia las estrellas

Vectores hacia las estrellas

Ad Astra

ALGEBRA LINEAL

Chapter 1

Nociones básicas de los vectores“Ser o no ser”, esa es la cuestión. La idea central de vivir se engloba en lo que queremos o no queremos hacer. La esencia de la vida se encuentra en lo que es o lo que no es. Cada una de las cosas que nos “rodean” forman parte de un todo, y al mismo tiempo son com-pletamente diferentes. Cada cuerpo esta compuesto en sí por la misma esencia. Parte de la esencia de este mundo son los vectores. ¿Vectores? Un vector es un seg-mento de recta que tiene una dirección y magnitud. ¿Cómo puede ser aplicado a nuestra vida? Espera aden-trarte un poco más y te darás cuenta de cómo dejas de ver tu vida con los mismos ojos.

Section 1

TEMAS

1. ¿Qué es un vector?

2. Características de un vector

3. Vectores equivalentes

4. Formas de escribir un vector

5. Vectores paralelos y ortogonales

6. Vector unitario

Indice de Capitulo

2

¿QUÉ VAMOS A APRENDER?

1. ¿Qué es un vector?

2. Relacionar vectores con nuestra vida diaria

3. Conocer nociones básicas de los vectores

4. Ver la vida desde una perspectiva más analítica

Section 2

SI QUEREMOS QUE EL LECTOR SE IN-

TRODUZCA AL MUNDO DE LOS VECTO-

RES, ANTES DEBEMOS DEFINIRLE,

QUÉ ES UN VECTOR.

Un vector es un segmento de recta dirigido que indica desplazamiento desde un punto A cualquiera a otro punto B cualquiera.

Un escalar es un numero real que sirve para describir una magnitud, más no tiene dirección ni sentido, lo que difiere de un vector que tiene ambas.

Para representar un vector, éste se puede hacer en dos dimensiones en el espacio (R2) o bien tres dimensiones en el espacio (R3).

¿Qué es un vector?

3

Punto inicial o Cola

NotaciónPunto Terminal o Cabeza

Interactive 1.1 Partes de un vector

Section 3

PARA DETERMINAR SI ES UN VECTOR

DEBE POSEER LAS SIGUIENTES CARAC-

TERÍSITICAS:

1. Magnitud, longitud y norma.

2. Dirección (ángulo medido en radianes que forma el vector con el eje x)

3. Sentido

Características de un Vector

4

Section 4

EXISTEN DIFERENTES FORMAS DE REP-

RESENTAR UN VECTOR POR MEDIO DE

LA ESCRITURA:

1. Para denotar un vector se utilizan letras en negrilla, pero en casos de escritura a mano se acostumbra utilizar una fleva encima de la letra r .

2. Para denotar la magnitud de un vector se utiliza doble barra entre la magnitud del vector. Por ejemplo r = ⟦ c ⟧.

3. Para denotar un vector del punto A al punto B se hace AB

Formas de escribir un vector

5

Section 5

Para que dos o más vectores sean equivalentes; ambos vectores deben tener la misma dirección (el mismo ángulo respecto al eje x), así como también la misma magnitud.

Para afirmar que ambos vectores son equivalentes, no necesariamente tienen que tener la misma posición en el plano cartesiano.

Vectores Equivalentes

6

Section 6

Para que un vector sea paralelo a otro, ambos vectores v y u, tengan la misma dirección (ángulo que se forma respecto al eje x). No hace falta que tengan el mismo sentido si tienen la misma dirección.

Para que sean paralelos deben cumplir la siguiente propiedad: v = ku. ( Donde k es un escalar o numero real; y v y u son vectores cualquieras.

Esta propiedad se cumple para cualquier dimensión en que se este trabajando (R2 o R3).

Vectores Paralelos y Ortogonales

7

Vectores Paralelos

Interactive 1.2 Ejemplo de vectores paralelos.

8

Vectores Ortogonales

Un vector es llamado ortogonal al m o m e n t o d e o b s e r v a r q u e e s perpendicular a otro vector. En R2 o R3, dos vectores u y v son ortogonales, mientras ambos tienen 90° entre sí; además los dos vectores tiene que tener un valor distinto de cero. Dos vectores u y v en Rn son mutuamente ortogonales si u ˑ v=0.

90°

Interactive 1.3 Diagrama de vectores ortogonales.

Section 7

Un vector unitario es un vector cuya magnitud es 1.

Normalización de un vector:

Normalizar un vector es encontrar un vetor unitario en la misma dirección del vector.

La ecuación está dada por:

u = v/⟦v⟧

Vector Unitario

9

Section 8

En este capítulo se presentó lo que es un vector, las características de este, los tipos de vectores, las formas de escribir un vector. Cada uno de estos subtemas fue llevado para el conocimiento del estudiante.

Se presentó el significado de un vector, el cual reza que un vector es un segmento de recta que es dirigido que indica desplazamiento desde un punto A cualquiera, hasta otro punto B cualquiera. También se mencionó que un escalar es un número real que no tienen dirección ni sentido. Cada vector se puede representar en dos o tres dimensiones.

Se presentaron las características de un vector y la forma de escribirlo, el cual se puede denotar por una letra minúscula y una flecha por encima o varias formas distintas. Se mencionó que los vectores equivalentes son aquellos que tienen direcciones iguales y de igual magnitud.

Se presentaron los significados de vectores paralelos y ortogonales, y lo que es un vector unitario.

Resumen del Capitulo

10

Review 1.1 Evalución del primer capitulo.

Check Answer

Question 1 of 10Cuál de las siguientes características le pertenece a un vector.

A. Tiene Dirección

B. Es Normal

C. Tiene Valor (x,y,z)

D. Tiene forma rectangular.

Chapter 2

Operaciones y Aplicación de los VectoresAhora bien, ya que sabemos qué es un vector, de qué se conforma y cómo se forma, es importante saber cómo se comporta. Los vectores existentes en nuestra vida diaria, pocas veces son estáticos, y en todo momento se mantienen relacionándose entre sí. Se relacionan por medio de las llamadas “Operaciones entre vectores”. Acerca de eso se tratará este capítulo. Acerca de cómo los vectores pueden formar millones de cosas interesantes entre sí.

Section 1

TEMAS

1. Suma de Vectores

2. Resta de Vectores

3. Multiplicación Escalar

4. Producto Punto o Escalar

5. Vectores Unitarios Estándar

6. Desigualdad de Cauchy-Scharz

7. Desigualdad del Triangulo

8. Distancia entre dos Vectores

9. Angulo entre dos vectores

10. Vectores Paralelos

11. Vectores Ortagonales

12. Proyección de un vector sobre otro.

13. Producto Vectorial o Cruz

14. Combinación Lineal de Vectores

Indice de Capitulo

12


1. Sumar y restar vectores

2. Proyectar vectores

3. ¿Cómo saber si un vector es paralelo con otro?

4. ¿Cómo saber si un vector es ortogonal a otro?

5. Operaciones entre vectores

Section 2

Suma de Vectores

13

¿Qué es suma de vectores?

Es el resultado de encadenar dos vectores entre sí, con el fin de obtener un vector resultante a través de la relación entre ambos vectores por medio de la adición de sus componentes.

Suma analítica

La suma analítica de vectores consta de la suma de los componentes de dos o más vectores , por ejemplo: u=[1,2,3] v=[4,5,6] ; u+v=[1+4, 2+5, 3+6]=[5, 7, 9].

Suma gráfica

La suma de vectores también se puede realizar de una forma gráfica, esta consta de la unión de la punta de un vector con la cola del otro vector; el resultado consta de una recta desde la cola del primer vector hasta la punta del último vector sumado.

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Section 3

Resta de vectores

14

¿Qué es resta de vectores? Es el resultado de encadenar dos vectores, al contrario de la suma, uno de los dos vectores será el contrario de lo que es realmente, lo que conlleva a que la dirección y el sentido cambien.

Resta analíticaLa resta, al igual que la suma, se puede realizar de forma analítica, por ejemplo: u=[1,2,3] v=[4,5,6] ; u-v=[1-4, 2-5, 3-6]=[-3, -3, -3].

Resta gráficaTambién se puede realizar de forma gráfica, al igual que la suma, esta consta de la unión de la punta de un vector con la cola del otro vector, el resultado de esta operación consta de una recta desde la cola del primer vector hasta la punta del último vector sumado; se debe tomar en cuenta que el segundo vector se le debe cambiar la dirección y sentido.



Section 4

Multiplicación Escalar

15

¿Qué es multiplicación escalar?Es una multiplicación que está dada por un vector cualquiera, ya sea v, con un número real, ya sea c, dando como resultado un vector paralelo a este.

Multiplicación analíticaComo se mencionó, es una multiplicación de un vector, v= [1, 2, 3], con un escalar, c= 5, que en este caso da como resultado cv=[cv1, cv2, cv3] cv=[5, 10, 15].

Multiplicación gráficaEsta se puede representar al momento de mostrar un vector y multiplicarlo por un escalar este se puede prolongar o se puede acortar.



Section 5

Producto Punto o Escalar

16

Es la suma de los productos de los componentes correspondientes de los vectores, u y v; para poder realizar este producto, es necesario que ambos vectores tengan la misma cantidad de componentes. El resultado de esta operación, u ˑ v, es un escalar, no otro vector.Ejemplo: u = [1, 2, 3] v = [2, 3, 4]

u ˑ v = (1*2) + (2*3) + (3*4) = 20



Section 6

Vectores Unitarios Estandar

17

Vectores Unitarios

Es un vector cuya magnitud es 1. Normalización de un vectorEs el proceso, por el cuál se encuentra un vector unitario en la misma dirección de otro vector cualquiera. La fórmula para realizar esta operación es

Vector unitario estándar En R2 = [1, 0] y = [0, 1] En R3 = [1, 0, 0], = [0, 1, 0] y = [0, 0, 1]



Section 7

Desigualdad de Cauchy-Scharz

18

Para todos los vectores y en Rn, se puede saber la magnitud del producto escalar entre estos vectores puesto que es menor o igual a la multiplicación entre la magnitud del vector y el vector .

| u ∙ v | ≤ ‖ u ‖ ‖ v



Section 8

Desigualdad del Triangulo

19

Para todos los vectores y en Rn, se puede saber la magnitud de la suma de estos vectores puesto que es menor o igual a la suma de la magnitud de cada uno de los respectivos vectores ya mencionados.

u + v ‖ ≤ ‖ u ‖+ ‖ v ‖

Section 9

Distancia entre dos Vectores

20

La distancia entre dos vectores es el análogo directo de la distancia entre dos puntos en la recta numérica real o entre dos puntos en el plano cartesiano. Esta está dada por la magnitud de la diferencia de estas; o bien por la raíz cuadrada de la diferencia entre los componentes de los dos vectores y la suma de cada una de estas al cuadrado.

d(a,b) = (a1 − b1)2 + (a2 − b2)2 = a − b

Section 10

Angulo entre dos vectores

21

El producto punto también se puede usar para calcular el ángulo entre un par de vectores. En R2 o R3, el ángulo entre los vectores distintos de cero se referirá al ángulo determinado por estos vectores que satisfaga 0 ≤ θ ≤ 180°. Para poder calcular el ángulo, es necesario aplicar la fórmula para vectores distintos de cero en Rn, donde

Cos ø =u • v

u ‖ ‖ v ‖

Section 11

Vectores Paralelos

22

Se sabe que un vector es paralelo o no si y solo si existe un escalar c, tal que u = c v . Si esto se cumple se puede decir que los vectores u y v son paralelos.

Section 12

Vectores Ortogonales

23

Se sabe que un vector es paralelo o no si y solo si, la multiplicación escalar entre ambos, da como resultado 0; . Se puede decir que son perpendiculares.

Section 13

Proyección de un vector sobre otro

24

La proyección de un vector sobre otro es qué tanto se aprovechará un vector de otro.

Proyuv = [ (u•v)

v ]•( vv )

Section 14

Producto Vectorial o Cruz

25

El producto vectorial es un tipo de producto entre 2 o mas magnitudes vectoriales (magnitudes que tienen sentido, modulo y direccion). el resultado de un producto vectorial (tambien llamado "cruz", denotado por "X") es siempre un vector perpendicular a los 2 vectores.

Se expresa de la siguiente manera:

Section 15


26

Review 2.1 Ejercicios aplicación de vectores

Check Answer

Encuentre el vector unitario de u, del vector v = [3,6,9]

Existen diferentes operaciones que se pueden realizar entre vectores, entre estas está la suma, resta, de forma análoga o gráfica. Se presentó lo que es la multiplicación escalar y el producto punto, el cual consiste en multiplicar el primer componente del primer vector con el primer componente del segundo vector y la suma de, la multiplicación del segundo componente del primer vector con el segundo componente del segundo vector, así sucesivamente.

Se presentó lo que son los vectores unitarios estándar, la desigualdad de Cauchy-Scharz y del triángulo, y el cómo medir la distancia entre dos vectores junto con el ángulo entre dos vectores. Se aprendió a encontrar cuales vectores eran paralelos, si la multiplicación de un escalar con un vector era igual a otro vector, entonces son paralelos; como encontrar vectores ortogonales y a sacar la proyección de un vector sobre otro, el producto vectorial o cruz y la combinación lineal de vectores.

Chapter 3

Rectas

¿Qué sentido tiene un vector si no lo aplicamos a la vida diaria? Una de las aplicaciones más importantes de los vectores en la vida real son las rectas. Las rectas forman parte esencial de nuestra vida, y en este capítulo profundizaremos acerca de estas.

Section 1

TEMAS

1. ¿Qué es una Recta?

2. Rectas

1. Forma General de una Recta

2. Vector Normal de una Recta

3. Forma Normal de la Recta

4. Vector Dirección

5. Forma Vectorial de una Recta

6. Ecuaciones Paramétricas

7. Ecuaciones Simetricas

Indice de Capitulo

28


1. Escribir una recta

2. Identificar una recta

3. Identificar los tipos de rectas

4. Establecer diferencia entre vector y recta.

Section 2

¿Qué es una Recta?

29

En un plano XY, se define con la ecuación ax+by=c . Si b≠0, se

puede reescribir la recta como y= −( ab

x)+cb

que es igual a

decir que y=mx+k , que es la ecuación comúnmente usada para describir a la recta, donde m es la pendiente de esta y k es la distancia que esta movida del origen.

Section 3

Rectas en R2

30

Son las rectas determinadas por dos componentes de un vector, común mente llamados X y Y.

Section 4

Forma General de una Recta

31

Existe una forma general de la ecuación de una recta que se

define como ax+by=c , donde n = [ ab ] es un vector normal

de la recta.

Section 5

Vector Normal de una Recta

32

El vector n es siempre perpendicular a la recta; esto es, ortogonal a cualquier vector x que sea paralelo a la recta y se le conoce como vector normal a la recta.

Section 6

Forma Normal de la recta

33

La forma normal de una recta es n · ( x – p) = 0; donde p es un punto específico sobre l y n es distinto de 0 es un vector normal a l.

Section 7

Vector Dirección

34

El vector d es un vector particular paralelo a l, llamado vector dirección para la recta.

Section 8

Forma Vectorial de una recta

35

x = p + td donde x: es cualquier punto sobre la recta; p es un punto conocido sobre la recta. T es el parámetro y d la dirección.

Section 9

Ecuaciones Paramétricas

36

Es una ecuación la cual se deriva de la ecuación vectorial de una recta. Donde x es un punto cualquiera de la recta; p es una punto conocido sobre la recta; y t es el paramétro y d la dirección.

x = p + tdy = p + tdz = p + td

Section 10

Ecuaciones Simetricas

37

Las ecuaciones simétricas se derivan de las ecuaciones simétricas; al despejar para las valores de los parámetros t, se pueden igualar todas y concluir que la ecuación simétrica es:

(x − p)d

=(y − p)

d=

(z − p)d

Section 11


38

Review 3.1 Evaluación Capitúlo Rectas

Check Answer

Encuentre el vector dirección de la recta que pasa por los puntos P(3,5) y Q(-6,7)

A. đ = [-3,12]

B. đ = [-9,12]

C. đ = [9,-2]

D. đ = [9,7]

Se presentó lo que es una recta, los diferentes tipos de rectas, las que se encuentran en R2, la forma general de una recta, el vector normal de esta, la forma normal de la recta, su vector dirección, la forma vectorial de estas y las ecuaciones paramétricas. También pueden ser representadas en R3 que tiene similitudes con lo que son rectas en R2, se aprendió a obtener la forma general de esta, el vector normal, la forma normal, el vector dirección, la forma vectorial de esta, las ecuaciones paramétricas y las simétricas, y la distancia de un punto F a una recta L.

Chapter 4

Planos

Muchas veces oímos mencionar la palabra “Plano” y pensamos en algún arquitecto. Y no es para menos, ya que ellos son los que se pasan la mayoría de su vida viendo planos, sin embargo nosotros le podemos dar una perspectiva diferente. ¿Cómo se vería un plano a la intemperie en una realidad como la actual? De esto se trata este capítulo, de la profundización en los planos.

Section 1

TEMAS

1. ¿Qué es un Plano?

2. Forma General de un Plano

3. Forma Normal de un Plano

4. Forma Vectorial de un Plano

5. Planos Paralelos

6. Distancia de un punto F a un punto P

Indice de Capitulo

40


1. Saber qué es un plano

2. Escribir un plano en lenguaje técnico

3. Diferenciar entre plano y recta

Section 2

¿Qué es un Plano?

41

Un plano debe tener 2 vectores dirección. Sean u y v esos vectores dirección con la condición que no sean paralelos entre sí.

Section 3

Forma General de un Plano

42

Al igual que la ecuación general de una recta en R3 la ecuación general de un plano, la satisface en todos sus puntos por tener un vector n ortogonal al mismo. Ax + by + cz = d.

Section 4

Forma Normal de un Plano

43

La forma normal de la ecuación de un plano P en R3 es n · x = n · p donde p es un punto específico sobre el plano y n es distinto de 0 es un vector normal para el plano.

Section 5

Forma Vectorial de un Plano

44

La forma vectorial de la ecuación de un plano en R3 donde p es un punto sobre el plano y u y v son vectores direcciones para el plano. Las ecuaciones corresponden a los componentes de la forma vectorial de la ecuación ella se llama ecuaciones paramétricas del plano. x = p + su + tv.

Section 6

Planos Paralelos

45

Dos planos son paralelos si y solo si, amos cumplen con que el producto vectorial si existe un valor c que cumpla que u = cv.

Section 7

Planos Ortogonales

46

Dos o más planos son ortogonales si y solo si cumplen con que el producto escalar de los vectores normales da como resultado 0. (n · p = 0)

Section 8

Distancia de un punto F a un plano P

47

Para encontrar la distancia hay que hacer un plano a un punto fuera de él, se encuentra por la fórmula de proyección

ProyPFn = d

Section 9


48

Review 4.1 Evaluación de Planos

Check Answer

Encuentre la ecuacion general del plano que contiene a los puntos: P=(-8.4.1) ; Q=(-1-8--3) ; R=(-3.-2.-1)

A. -5+13z=9

B. -6-18z+6=0

C. 5x+10+9=3

D. -7-24z+7=0

Para este capítulo se presentó lo que es un plano, la forma general de esta, la forma normal, la forma vectorial, las ecuaciones paramétricas, que son planos paralelos, el ángulo entre dos planos y como obtener la distancia de un punto F a un plano P.

Chapter 5

Algebra Modular

Muchas veces hemos visto el código de barras. Algo tan esencial en la vida, es no tan cotidiano. ¿Sabías que los números en cada código de barras no son interpretados de una manera “normal”? Te gustaría saber por qué, ingresa en la aventura del capítulo 5

Section 1

TEMAS

1. ¿Qué es Algebra Modular?

2. Modulos

3. Operaciones en Modulos

4. Codigo Universal de Producto (UPC)

5. ISBN (Libros)

Indice de Capitulo

50


1. Interpretar un código de barras

2. Interpretar los códigos de libros

3. Aprender a realizar operaciones en módulos diferentes

Section 2

¿Qué es Algebra Modular?

51

Es el método por el cuál se transforma números de un sistema a otro, dependiendo del módulo a utilizar.

Section 3

Modulos

52

Existen dos tipos de módulos, UPC, que es el que se encuentra en todo producto que tiene código de barra; ISBN, que es el que se encuentra en los libros, un dato interesante es que ahora los libro ya no tienen el modulo ISBN, puesto que no alcanza la cantidad de libros para los números utilizados en este módulo.

Section 4

Operaciones en Modulos

53

Existen dos tipos de operaciones con módulos, la Suma y la Multiplicación.

SumaAl momento de sumar dos números que se encuentran en un módulo cualquiera, la suma se realiza normalmente, pero si el número resultante es mayor al número del módulo, este se debe volver un número que sea menor, ejemplo:

En ℤ5 . 4+3=7, en este caso el número 7 tiene el mismo valor que el número 2 puesto que al llegar a 5 se reinicia la cuenta donde 5 es igual a 0, 6 es igual a 1 y 7 igual a 2. Es decir que 4+3=2.

Section 5

Codigo Universal de Producto (UPC)

54

La operación que se realiza con este módulo, es el verificar si este existe, para esto se utiliza un vector de verificación para UPC. El código de verificación, consiste en listar los números del código UPC y debajo de cada uno de estos colocar, desde el último número y empezando con uno, un listado de números alternados entre el uno y el tres; se debe hacer la multiplicación escalar entre los dos vectores. El resultado que debe dar esta operación debe estar en ℤ10 y debe ser 0.

Section 6

ISBN (Libros)

55

Para este, la operación es similar al del UPC, pero en este caso se debe verificar con que cantidad de dígitos se trabaja, pueden ser tanto 10 como 13 dígitos. Para hacer una verificación de código de un ISBN de 10 dígitos, se debe colocar en orden el listado de números del código y por debajo se coloca un listado del código de verificación que empieza desde el 10, que se coloca bajo el primer número y descendiendo de uno en uno hasta llegar a uno que sería debajo del primer número. Para los dígitos que tienen 13 dígitos, se realiza el mismo procedimiento, pero en vez de empezar desde 10, se empieza con 13 y desciende de uno en uno hasta llegar a 1 que irá debajo del primer número. Las operaciones de 10 dígitos ser realizan en ℤ11 y las de 13 dígitos en ℤ14 . Se realiza el mismo producto escalar entre los dos vectores y debe dar como resultado 0.

Section 7


56

Review 5.1 Ejercicios relacionados a Algebra Modular

Check Answer

Dado el número 841234567890x (UPC) en-contrar el número faltante

A. 8

B. 3

C. 5

D. -5

Se presentó lo que es la aritmética modular, lo que cada módulo representa, las operaciones que se pueden realizar con este, las cuales son la suma y multiplicación, lo que es el Código Universal del Producto o UPC, y como se puede saber si es verídico o no, lo que es ISBN, como saber si es verídico o no.

Chapter 6

Sistema de Ecuaciones LinealesDesde el principio de nuestra vida como estudiantes, hemos resuelto sistemas de ecuaciones. Desde siempre hemos utilizado métodos como suma y resta, igualación, sustitución, ect. En este capítulo aprenderás a resolver una ecuación de una manera más didáctica.

Section 1

TEMAS

1. ¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales?

2. ¿Qué es Matriz?

3. Metodos Directos para resolver sistema de ecuaciones lineales

Indice de Capitulo

58


1. Resolver series de ecuaciones

2. Aprender lo básico acerca de las matrices

Section 2

¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales?

59

Es un conjunto de ecuaciones lineales. Para resolver este sistema, consiste en calcular las incógnitas para que se cumplan todas las ecuaciones del sistema simultáneamente. Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mimas soluciones. Este es consistente si tiene solución, e inconsistente si no tiene solución. Para poder resolver una ecuación, existen diferentes métodos, por sustitución, igualación o de forma gráfica.

Section 3

¿Qué es Matriz?

60

Es un arreglo rectangular de números llamados entradas, se denotan con letras mayúsculas A, B, C, D, etc., o con letras minúsculas con doble subíndice aij, bij, etc .

Section 4

Metodos Directos para resolver sistema de ecuaciones lineales

61

Existen diferentes métodos para poder resolver los sistemas de ecuaciones, puede ser por medio de la eliminación gaussiana o realizando operaciones de renglón. Estos procedimientos se basan en la idea de reducir la matriz aumentada del sistema dado a una forma que luego pueda resolverse mediante sustitución hacia atrás. Los métodos son directos en el sentido de que conducen directamente a la solución (si existe una) en un número finito de pasos.

Teorema

Un sistema de ecuaciones lineales con matriz aumentada [A| b] es consistente si y sólo si b es una combinación lineal de las columnas de A. Que un vector dado w sea combinación lineal de otros vectores, por ejemplo, u y v significa que se puede hallar escalares c1 y c2 (un escalar para cada vector) tales que

w = c1 u + c2 v.

Espacio generado

Si S = {v1, v2, …, vk} es un conjunto de vectores en Rn, entonces el conjunto de todas las combinaciones lineales de v1, v2, …, vk se denomina el espacio generado por los vectores v1, v2, …, vk y se denota como generado(v1, v2, …, vk) o generado(S).

Conjunto Generador

Si generado(S) = Rn, entonces a S se le identifica como un conjunto generador para Rn.

Dependencia o independencia lineal

Un conjunto de vectores {v1, v2, …, vk} es linealmente dependiente (l. d.) si existen escalares c1, c2, …, ck y al menos uno de ellos no es cero, tales que:

c1 v1 + c2 v2 + … + ck vk = 0.

Un conjunto de vectores que no es linealmente dependiente se denomina linealmente independiente (l. i.).

Algo importante de destacar es que Los vectores v1, v2, …, vm en Rn son linealmente dependientes si y sólo si al menos uno de los vectores puede ser expresado como una combinación lineal de los otros.

Section 5

Conjuntos generadores e independencia lineal

62

Section 6


63

Review 6.1 Ejercitación del sistema de ecuaciones lineales.

Check Answer

Indique si el siguiente conjunto de matrices es linealmente independiente o dependiente

A. Linealmente Independiente

B. Linealmente Dependiente

C. Falta Información

D. Infinitas Soluciones

Este tema trata acerca de qué es un sistema de ecuaciones lineales, cómo poder resolverlo, qué es matriz, como poder representar una matriz que es con letras mayúsculas, los diferentes métodos directos para resolver un sistema de ecuaciones lineales y las ecuaciones con variables libres. Se presentó las diferentes fórmulas de resolución de un sistema de ecuaciones, como el método de Gauss y el de Gauss-Jordan.

Chapter 7

Autores

Este libro es obra, en todo el sentido de la palabra, de estudiantes de Ingeniería Mecatrónica de la Universidad del Valle de Guatemala. Aunque para su conocimiento no tiene fin alguno el saber un poco de la vida de los autores, es menester que usted conozca el origen del poco de sabiduría que le ofrece este libro.

Section 1

Nació un 22 de junio de 1993. Fue el tercero y último hijo de su familia. Mantuvo sus estudios de nivel primario y secundario en el Colegio Salesiano Don Bosco, ostentando el privilegio de poder colgar entre sus honores el decir que fue Presidente del Gobierno estudiantil y del Movimiento de jóvenes más grande de Guatemala, el Movimiento Juventud. Reconocido por sus labores estudiantiles y su impecable récord. Graduado con honores en grado Magna Cum Laude de Bachiller en Ciencias y letras con o r i e n t a c i ó n e n c o m p u t a c i ó n . Deportista con disciplina y gran amigo.

Ricardo Hegel

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Section 2

Geovanni Rojas

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Geovanni Gerardo Rodolfo Eduardo nació un 11 de abril de 1994. El primero de tres hermanos. Implacable en disciplina cuando se propone algo, y sobresaliente en los proyectos en los que se ve implicado. Desarrolló sus estudios en el Colegio Salesiano Don Bosco llegando a colocarse como dirigente de la comisión de Secretaría y Eventos Especiales, y postulado a Presidente del Gobierno Estudiantil. Graduado en grado Magna Cum Laude de Bachil ler en Ciencias y Letras con Orientación en Computación. Genio de la programación y gran amigo.

Section 3

Erick Rodas

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Nació un 27 de junio de 1994. Es el segundo de cuatro hermanos. Desarrolló sus estudios la mayoría de su vida en el Colegio Salesiano Don Bosco, llegando a ser el Coordinador de la Comisión de Periodismo. Capaz de desarrollar proyectos a gran escala con entusiasmo y disciplina. Deportista y gran amigo. Graduado en grado Magna Cum Laude de Bachiller en Ciencias y letras con Orientación en Computación. Actualmente se encuentra trabajando en un proyecto de Reparación de computadoras, con la espectativa de colocarse en la élite del campo.

Section 4

Alex Bolaños

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Nació un 26 de noviembre de 1993. Es el primero de 4 hermanos de una pequeña familia del Valle de Guatemala. Desarrolló sus estudios de primaria y secundaria en el Colegio Salesiano Don Bosco, llegando a colocarse como Coordinador de la Comisión de Orden. Reconocido en algunos certámenes de Ciencias, Física, Matemáticas y Ortografía. Graduado en grado Suma Cum Laude del Colegio Salesiano Don Bosco. Amante de la filosofía, los números y la programación.

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