vektor mattek 1
DESCRIPTION
matematika teknik, vektorTRANSCRIPT
![Page 1: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/1.jpg)
VEKTORDEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO
UNIVERSITAS INDONESIA
![Page 2: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/2.jpg)
Pengertian Dasar
Vektor merupakan kombinasi dari suatu besaran dan suatu arah
Vektor dapat dinyatakan dalam panah-panah, panjang panah menyatakan besarnya vektor dan arah panah menunjukkan arah vektor
Ekor panah dinamakan titik awal dan ujung panah dinamakan titik terminal
P
S
R
Q
![Page 3: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/3.jpg)
Jika titik awal suatu vektor v adalah P dan titik terminalnya adalah Q, maka dapat dituliskan
v = PQ
Vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama disebut vektor ekivalen (sama)
Vektor nol merupakan vektor yang mempunyai besar 0
P
Q
v
t
x
![Page 4: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/4.jpg)
Penjumlahan Vektor
cb + c
a + b + c
a + b
b
a
![Page 5: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/5.jpg)
Pengurangan Vektor
Jika a dan b adalah sebarang 2 vektor, maka pengurangan vektor a dari b didefinisikan oleh : a – b = a + (-b)
a + b
b
a
- b
a - b
![Page 6: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/6.jpg)
Skalar dikalikan Vektor
Jika v adalah vektor tak nol dan k adalah bilangan riil tak nol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang v yang arahnya sama seperti arah v jika k > 0 dan berlawanan dengan arah v jika k < 0
v
2v
0,5v
-1v-1,5 v
![Page 7: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/7.jpg)
Operasi Vektor di R2
xv1 w1
w2
v2
w
v
( v1+w1 , v2+w2 )
(v1,v2)
(w1,w2)
v +
w
y
![Page 8: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/8.jpg)
CONTOH :
Jika v = (3,-2) dan w = (4,5) maka :
v + w = (3,-2) + (4,5) = ( 3+4 , -2+5 ) = (7,3)
v - w = (3,-2) - (4,5) = ( 3-4 , -2-5 ) = (-1,-7)
5v = 5 (3,-2) = (15,-10)
Operasi Vektor di R2
![Page 9: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/9.jpg)
Operasi Vektor di R2
Kadangkala vektor titik awalnya tidak pada titik asal, jika vektor P1P2 mempunyai titik awal P1 (x1,y1) dan titik terminal P2 (x2,y2) maka
P1P2 = (x2-x1 , y2-y1)
x
(x1,y1)
y
P1P2
P1
P2 (x2,y2)
![Page 10: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/10.jpg)
Panjang Vektor
Besar atau panjang sebuah vektor dinyatakan dengan
Panjang suatu vektor a (a1 , a2) diruang 2 adalah
aatau a
22
21 a a a
y
x
(a1,a2)
a
![Page 11: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/11.jpg)
CONTOH APLIKASI VEKTOR R-2
Salah satu sistem yang menggunakan vektor adalah perhitungan daya pada bidang Listrik
Terdapat tiga Komponen Daya Listrik Daya Kompleks (S) -- VA Daya Aktif (P) -- Watt Daya Reaktif (Q) -- VAr
P(Watt)
QL (VAr)
Qc(VAr)
S = P + QL
P = (x,0)Q = (0,y)S = P + Q = (x,y)
![Page 12: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/12.jpg)
Power Factor Correction
P(Watt)
Qc(VAr)
S (VA) last
lastlast
QL(VAr)
S new
![Page 13: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/13.jpg)
![Page 14: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/14.jpg)
Panjang Vektor di R-3
x
y
z
0D
CB
A (a1,a2,a3)
a
23
22
21
23
22
21
2
2222
222
)()0()0(
)()0(
aaaa
aaaa
CADBa
CACa
![Page 15: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/15.jpg)
Jika P1(x1,y1,z1) dan P2(x2,y2,z2) adalah titik diruang 3, maka jarak d diantara kedua titik tersebut adalah :
212
212
21221
12121221
)()()(
),,(
zzyyxxPPd
zzyyxxPP
x
y
z
P2 (x2,y2,z2)
P1 (x1,y1,z1)
v
![Page 16: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/16.jpg)
DOT PRODUCT
![Page 17: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/17.jpg)
ORIENTASI RUANG
Vektor i panjangnya 1 unit searah sumbu x
Vektor j panjangnya 1 unit searah sumbu y
Vektor k panjangnya 1 unit searah sumbu z
x
y
z
k
j
i
(0,0,1)
(1,0,0)
(0,1,0)
Triple i,j,k disebut vektor basisSetiap vektor diruang 3 dapat diungkapkan dengan i,j,k sehingga v =(v1,v2,v3) = v1i + v2j + v3k
![Page 18: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/18.jpg)
Definisi
Jika u dan v adalah vektor-vektor di ruang-2 dan ruang-3 dan adalah sudut diantara u dan v, maka hasil kali titik (dot product) u.v didefinisikan :
. cos jika u 0 dan v 0
. 0 jika u=0 dan v=0
u v u v
u v
v
u
v
u
![Page 19: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/19.jpg)
Contoh
Jika u=(0,0,1) dan v=(0,2,2) dan sudut antara u dan v adalah 45o (lihat gambar) maka u.v adalah :
x
y
z
(0,2,2)
u
v
(0,0,1)
22
1220100.
cos.
222222
vu
vuvu
![Page 20: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/20.jpg)
Jika u, v dan w adalah vektor di ruang dimensi 2 atau 3, dan k merupakan skalar, maka:
![Page 21: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/21.jpg)
i.i=1 j.j=1 k.k=1 i.j=0 j.k=0 k.i=0
x
y
z
k
j
i
(0,0,1)
(1,0,0)
(0,1,0)
![Page 22: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/22.jpg)
VEKTOR SATUAN, COSINUS ARAH
Jika u=(ux,uy,uz) adalah vektor yang panjangnya satu, maka u disebut vektor satuan.
ux = u.i = 1 x 1 cos = cos dengan adalah sudut antara vektor u dan arah positif sumbu x.
uy = cos
uz = cos
![Page 23: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/23.jpg)
VEKTOR SATUAN, COSINUS ARAH
Vektor a mempunyai komponen ax,ay,az. Jika a adalah vektor bukan nol maka :
Adalah vektor satuan, dengan komponen-komponen yang merupakan cosinus arah :
a
kajaia
a
a zyx
a
a
a
a
a
a zyx cos cos cos
![Page 24: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/24.jpg)
Sudut antar Vektor
332211
222
222
222
.
)(21.
)(21cos
cos2
vuvuvuvu
uvvuvu
uvvuvu
uvPQ
vuvuPQ
x
y
z
(v1,v2,v3)
u
v
(u1,u2,u3)
Q
P
vu
vu.cos
![Page 25: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/25.jpg)
Contoh
Diketahui vektor u=(2,-1,1) dan v=(1,1,2) carilah sudut diantara vektor u dan v.
u.v = u1v1+ u2v2+ u3v3
= (2)(1) + (-1)(1) + (1)(2)
= 3
6dan 6 vu
o
vu
vu
60
5,06
3
)6)(6(
3.cos
(2,-1,1)
x
y
z
u
v
(1,1,2)
![Page 26: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/26.jpg)
Resume sudut
Jika u dan v adalah vektor-vektor taknol dan adalah sudut diantara kedua vektor tersebut maka :
lancip , jika dan hanya jika u.v > 0 tumpul, jika dan hanya jika u.v < 0 tegaklurus (/2), jika dan hanya jika u.v = 0
![Page 27: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/27.jpg)
PROYEKSI ORTHOGONAL
w1 dinamakan proyeksi orthogonal u pada aDinyatakan dengan : proyau
w2 dinamakan komponen vektor u yang orthogonal terhadap a w2 = u – w1 = u - proyau
a
w2
w1
u
![Page 28: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/28.jpg)
Formula Proyeksi
a) orthogonalu (komponen .
2
a) sepanjangu (komponen .
1
2
2
aa
auuuproyuw
aa
auuproyw
a
a
a
w2
w1
u
aa
au
a
a
a
auw
a
au
au
auuuw
au
au
21
cos1
cos
![Page 29: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/29.jpg)
w1=ka u= w1 + w2 = ka + w2 u.a = (ka+w2).a = k + w2.a Karena w2 tegak lurus a maka w2.a = 0
2a
2
.
a
auk
![Page 30: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/30.jpg)
Panjang Komponen Proyeksi
coscos
1
.1
.
.
1 22
ua
auuproyw
a
auuproyw
aa
aua
a
auuproyw
a
a
a
a
w2
w1
u
![Page 31: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/31.jpg)
Contoh
Carilah rumus untuk jarak D diantara titik Po(xo,yo) dan garis ax + by + c = 0
Misal Q (x1,y1) adalah sebarang titik pada garis dan n=(a,b) vektor dengan titik awal di Q
![Page 32: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/32.jpg)
22
1111
11
22
11
22
11
11
:
sehingga 0
maka tersebut garis pada terletak),( titik karena
)()(
)()(.
),(
ba
cbyaxD
Substitusi
byaxccbyax
yxQba
yybxxaD
ban
yybxxanQP
yyxxQP
oo
oo
ooo
ooo
ax+by+c=0
x
y
Q(x1,y1) P(x0,y0)
n=(a,b)
![Page 33: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/33.jpg)
CROSS PRODUCT
![Page 34: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/34.jpg)
DEFINISI CROSS PRODUCT
Hasil kali silang dari vektor u dan v adalah sebuah vektor w = u x v besarnya w didefinisikan sebagai hasil kali antara besarnya u dan v dan sinus sudut antara keduanya.
Arah vektor w = u x v tegak lurus pada bidang yang memuat u dan v sedemikian rupa sehingga u, v dan w membentuk sebuah sistem tangan kanan
n sin x uvvu
![Page 35: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/35.jpg)
Hasil Cross pada Vektor basis
i x i = j x j = k x k = 0 i x j = k j x k = i k x i = j
x
y
z
k
j
i
(0,0,1)
(1,0,0)
(0,1,0)
kji
)1,0,0(
10
01,
00
01,
01
00 x
j x i = - k k x j = -i i x k = -j
i
k j
![Page 36: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/36.jpg)
DEFINISI CROSS PRODUCT
Jika u=(u1,u2,u3) dan v =(v1,v2,v3) adalah vektor diruang 3 maka hasil kali silang u x v adalah vektor yang didefinisikan oleh :
u x v = (u1i + u2j + u3k) x (v1i + v2j + v3k)
= u1i x (v1i + v2j + v3k) +
u2j x (v1i + v2j + v3k) +
u3z x (v1i + v2j + v3k)
= ( u2v3- u3v2)i + (u3v1- u1v3)j + ( u1v2- u2v1 )k
![Page 37: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/37.jpg)
Atau dalam notasi determinan :
k
vv
uuj
vv
uui
vv
uuvu
21
21
31
31
32
32 ,, x
321
321 x
vvv
uuu
kji
vu
![Page 38: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/38.jpg)
Jika u dan v adalah vektor di ruang 3, maka : u . (u x v) = 0 (u x v orthogonal ke u) v . (u x v) = 0 (u x v orthogonal ke v) u x v = - ( v x u ) u x ( v + w ) = ( u x v ) + ( u x w ) ( u + v ) x w = ( u x w ) + ( v x w ) k ( u x v ) = k(u) x v = u x k(v) u x u = 0
![Page 39: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/39.jpg)
Contoh Soal
Carilah u x v dimana u=(1,2,-2) v=(3,0,1)
1 2 2
3 0 1
2 2 1 2 1 2 x , ,
0 1 3 1 3 0
x (2, 7, 6)
i j k
u v i j k
u v
![Page 40: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/40.jpg)
HASIL KALI VEKTOR DARI VEKTOR TRIPEL
Pernyataan ( a x b ) x c dan a x ( b x c ) dikenal sebagai hasil kali vektor dari vektor tripel.
Tanda kurung sangat mempengaruhi : ( i x i ) x j = 0 i x ( i x j ) = i x k = - j
![Page 41: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/41.jpg)
Latihan
Diketahui segitiga ABC
Buktikanab
c
2 2 21. 2 cosa b c bc
2.sin sin sin
a b c
13. Luas Segitiga ABC = ( )
2AB AC
A B
C
![Page 42: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/42.jpg)
2 2
2 2
( )
2 cos 180
2 cos
b c b c
b b b c c b c c
b c b c
b c b c
a a
0
sin sin
sin sin
a a a b c
a b a c
a b a c
a b a c
b c
1
21
sin21
2
L ABC AB t
AB AC
AB AC
![Page 43: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/43.jpg)
SOAL Vector
Misalkan u = (1,2,3) v = (2,-3,1) w = (3,2,-1) carilah komponen vektor x yang memenuhi :
2u – v + x = 7x + w Misalkan u,v,w adalah vektor seperti soal 1, carilah
skalar c1, c2 dan c3 sehingga :
c1u + c2v + c3w = (6,14,-2) Hitunglah jarak antara P1(8,-4,2) dan P2 (-6,-1,0) Carilah semua skalar sehingga dimana v =
(1,2,4)
3kv
![Page 44: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/44.jpg)
SOAL Dot Product Tentukanlah apakah u dan v membentuk sudut
lancip, tumpul atau ortogonal u=(7,3,5) v=(-8,4,2) u=(1,1,1) V=(-1,0,0) u=(6,1,3) v=(4,0,6) u=(4,1,6) v=(-3,0,2)
Carilah sudut diantara diagonal kubus dan salah satu sisinya
carilah komponen vektor u yang ortogonal ke a jika : u=(-7,1,3) v=(5,0,1) u=(0,0,1) v=(8,3,4)
![Page 45: VEKTOR Mattek 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050723/5571f38249795947648e27d3/html5/thumbnails/45.jpg)
SOAL Cross Product Jika a = 4i –j +3k dan b = -2i +j -2k, tentukanlah
vektor satuan yang tegak lurus pada kedua vektor tersebut
Titik titik A, B, C mempunyai posisi vektor a = 3i – 2j – k b = i + 3j + 4k dan c= 2i + j – 2k terhadap titik asal 0 (Gambar. 2). Hitunglah jarak terdekat antara titik A terhadap bidang 0BC A
b
a
0
C
B
c
s