VEKTORIKENTÄT

Keijo Ruohonen

(Kalvosarja 2013)

Sisalto

1 I PISTE. VEKTORI. VEKTORIKENTTA

1 1. Geometriset pisteet4 2. Geometriset vektorit14 3. Koordinaattipisteet ja -vektorit18 4. Tangenttivektori. Vektorikentta. Skalaarikentta22 5. Kenttien derivaattaoperaattorit33 6. Aikariippuvat skalaari- ja vektorikentat

36 II MONISTO

36 1. Funktion kuvaaja40 2. Monisto43 3. Monistot urina51 4. Monistojen kuvaaminen. Koordinaatisto-

riippumattomuus54 5. Moniston parametrisointi68 6. Tangenttiavaruus79 7. Normaaliavaruus85 8. Monistot ja vektorikentat

88 III MONISTON VOLYYMI

88 1. Joukon volyymi96 2. Parametrisoitujen monistojen volyymi101 3. Laajennettu parametrisointi

i

108 IV MUODOT

108 1. k-muodot122 2. Muotokentat127 3. Muodot ja monistojen suunnistus140 4. Fysikaalisten vektori- ja skalaarikenttien

perusmuotokentat

144 V YLEISTETTY STOKESIN LAUSE

146 1. Reunalliset alueet ja niiden suunnistus162 2. Ulkoderivaatta171 3. Fysikaalisten muotokenttien ulkoderivaatat180 4. Yleistetty Stokesin lause

191 VI POTENTIAALIT

191 1. Eksaktit muotokentat ja potentiaalit201 2. Vektorikentan skalaaripotentiaali214 3. Vektorikentan vektoripotentiaali223 4. Helmholtzin hajotelma227 5. Nelipotentiaali230 6. Dipoliapproksimaatio ja -potentiaali

237 VII OSITTAISDIFFERENTIAALIYHTALOT

237 1. Standardimuodot239 2. Esimerkkeja

252 Liite I: OSITTAISINTEGROINTI JA

GREENIN KAAVAT

252 1. Osittaisintegrointi257 2. Greenin kaavat

ii

261 Liite II: KAYRAVIIVAISET KOORDINAA-

TISTOT

261 1. Lokaali koordinaatisto265 2. Derivaatan muunnos268 3. Kenttien derivaattojen muunnokset271 4. Derivaatat sylinteri- ja pallokoordinaatistoissa

276 Liite III: KULMAT

276 1. Kulmamuotokentta ja kulmapotentiaali278 2. Tasokulma282 3. Avaruuskulma

iii

Kirjallisuus

ABRAHAM, R. & MARSDEN, J.E. & RATIU, T.: Manifolds, Ten-

sor Analysis, and Applications. Springer–Verlag (1993)

AKCOGLU, M.A. & BARTHA, P.F.A. & HA, D.M.: Analysisin Vector Spaces. A Course in Advanced Calculus. Wiley(2009)

APOSTOL, T.M.: Calculus. Vol. II: Multi-Variable Calculus

and Linear Algebra with Applications to Differential Equa-

tions. Wiley (1975)

APOSTOL, T.M.: Mathematical Analysis. Modern Approach

to Advanced Calculus. Addison–Wesley (1982)

CHERN, S.-S. & CHEN, W.H. & LAM, K.S.: Lectures on Dif-

ferential Geometry. World Scientific (1999)

HUBBARD, J.H. & HUBBARD, B.B.: Vector Calculus, LinearAlgebra, and Differential Forms. Matrix Editions (2009)

JANICH, K. & KAY, L.D.: Vector Analysis. Springer–Verlag(2010)

LOOMIS, L.H. & STERNBERG, S.: Advanced Calculus. Jonesand Bartlett (1990)

LOVRIC, M.: Vector Calculus. Wiley (2007)

iv

MARSDEN, J.E. & TROMBA, A.J.: Vector Calculus.W.H. Free-

man (2003)

MISNER, C.W. & THORNE, K.S. & WHEELER, J.A.: Gravita-

tion. W.H. Freeman (1973)

NIKOLSKY, S.M. & VOLOSOV, V.M.: A Course of Mathema-

tical Analysis. MIR Publishers (1987)

O’NEILL, B.: Elementary Differential Geometry. Academic

Press (2006)

OSTROWSKI, A.: Vorlesungen uber Differential- und Integral-

rechnung. Birkhauser (1972)

RUDIN, W.: Principles of Mathematical Analysis. McGraw–

Hill (1987)

SCHEY, H.M.: Div, Grad, Curl, and All That. An Informal

Text on Vector Calculus. W.W. Norton (1997)

SPIVAK, M.: Calculus on Manifolds. A Modern Approach to

Classical Theorems of Advanced Calculus. W.A. Benjamin

(1971)

TALLQVIST, H.: Grunderna av vektoranalysen med tillamp-

ningar i fysiken. Soderstrom (1923)

v

VAISALA, K.: Vektorianalyysi. WSOY (1972)

WADE, W.R.: An Introduction to Analysis. Prentice–Hall

(2004)

WEINTRAUB, S.H.: Differential Forms. A Complement to Vec-

tor Calculus. Academic Press (1996)

vi

LUKU 1 Piste. Vektori. Vektorikentta

1. Geometriset pisteet

Avaruuden piste on fysikaalis-geometrinen primitiivi, jota ei

sen kummemmin tassa maaritella. Mainittakoon vain, et-

ta pisteiden, suorien, tasojen ja kappaleiden kasittely kuu-

luu matemaattisesti ns. avaruusgeometriaan. Pisteita mer-

kitaan jatkossa isoin kursivoiduin antiikvakirjaimin: P,Q,

R, . . . ja P1, P2, . . . jne. Pisteiden P ja Q valista etai-

syytta merkitaan d(P,Q):lla. Ilmeisesti d(P, P) = 0,

d(P,Q) = d(Q,P) seka

d(P,R) ≤ d(P,Q) + d(Q,R) (kolmioepayhtalo).

Avoin R-sateinen P -keskinen pallo B(R,P) muodostuu

kaikista niista pisteista Q, joille d(P,Q) < R. Edelleen:

• Pistejoukko A on avoin, jos sen jokaiselle pisteelle P

on sellainen luku RP > 0, etta B(RP , P) ⊆ A.

Erityisesti tyhja joukko ∅ on avoin.

1

• Pistejoukon A reuna ∂A muodostuu tarkalleen niis-

ta pisteista P , joille jokainen avoin pallo B(R,P)

(R > 0) sisaltaa seka A:n pisteen etta A:n komple-

mentin pisteen. Erityisesti tyhjan joukon reuna on tyh-

ja. Joukko on siis avoin tarkalleen silloin, kun se ei

sisalla yhtaan reunansa pistetta.

• Pistejoukko A on suljettu, jos se sisaltaa reunansa.

Erityisesti tyhja joukko on siis suljettu. Koska joukon ja

sen komplementin reunat ovat ilmeisesti samat, joukko

on suljettu tarkalleen silloin, kun sen komplementti on

avoin.

• PistejoukonA sulkeuma∗ on joukko A = A∪∂A ja

sisaosa on A = A − ∂A. Avoimen joukon sisaosa

on se itse ja suljetun joukon sulkeuma on se itse.

Geometrisille pisteille ei luonnollisesti ole maaritelty yhteen-

eika vahennyslaskua eika skalaarilla (reaalivakiolla) kerto-

mista. Kuten peruskursseilta muistetaan, koordinaattipis-

teille nama operaatiot on maaritelty. Oikeastaan silloin on

∗Ala sekoita tata komplementtiin, jota myos usein merkitaan ylavii-valla!

2

kuitenkin kyse koordinaattivektorien vastaavista operaati-

oista, asiaan palataan kohta. Pisteet ja vektorit eivat ole

sama asia.

HUOMAUTUS. Tassa ja jatkossa kasitellaan vain ava-

ruuden pisteita, vektoreita seka skalaari- ja vektorikenttia.

Naihin liittyvat kasitteet voidaan joitain poikkeuksia lukuun-

ottamatta maaritella myos tason ja reaalisuoran pisteille,

vektoreille ja kentille. Esimerkiksi avoin pallo on tasolla

avoin ympyra, reaalisuoralla avoin pallo on avoin aarellinen

vali jne.

3

2. Geometriset vektorit

Kahden eri pisteen P (alkupiste) ja Q (loppupiste) valis-

ta suunnattua janaa merkitaan−−→PQ:lla. Kahden suunnatun

janan−−→PO ja

−→RS sanotaan olevan ekvivalentit, jos ne ovat

yhdensuuntaissiirroilla muunnettavissa toinen toisikseen, ts.

jos on sellainen translaatio, etta se muuttaa P :n R:ksi ja

Q:n S:ksi.

Suunnatut janat jakautuvat nain ekvivalenssiluokkiin. Kus-

sakin ekvivalenssiluokassa olevat suunnatut janat ovat ai-

na keskenaan ekvivalentit, ja kahdessa eri luokassa olevat

suunnatut janat eivat ole ekvivalentit. Ekvivalenssiluokkaa,

jossa on suunnattu jana−−→PQ, merkitaan 〈

−−→PQ〉:lla. Suun-

nattu jana−−→PQ on luokan ns. edustaja. Jokaiselle luokalle

voidaan valita edustaja, jonka alkupiste (vast. loppupiste)

on mielivaltainen annettu piste.

Geometriset vektorit ovat ym. ekvivalenssiluokat. Geomet-

risella vektorilla, jonka edustaja on−−→PQ, on suunta (suun-

ta pisteesta P pisteeseen Q) ja pituus d(P,Q). Koska

ekvivalenssiluokan edustajat ovat ekvivalentteja translaa-

tion kautta, suunta ja pituus eivat riipu edustajan valin-

nasta.

4

Jatkossa geometrisia vektoreita merkitaan nuolella varus-

tetuin pienin kursivoiduin antiikvakirjaimin: ~r, ~s, ~x . . . ja

~r0, ~r1, . . . jne. Mukavuussyista mukaan otetaan viela nol-

lavektori ~0, jolla ei ole suuntaa ja jonka pituus on = 0.

Vektorin ~r pituutta merkitaan |~r |:lla. Vektoria, jonka pi-

tuus on = 1, kutsutaan yksikkovektoriksi.

Fysikaaliseen vektoriin liitetaan usein sen fysikaalinen yksik-

ko L (eli laatu eli dimensio), esimerkiksi kg/m2/s. Tal-

loin geometrinen vektori ~r kytkee fysikaalisen vektorisuu-

reen vaikutussuunnan geometriseen suuntaan—ellei ~r ole

nollavektori—ja ko. suureen suuruus |~r | annetaan fysikaa-

lisissa yksikoissa L. Huomaa, etta jos valitaan yksikoksi

L kaytetty pituusyksikko, vaikkapa metri, on geometrinen

vektori ~r tulkittavissa fysikaaliseksi vektoriksi. Fysikaalinen

vektori voi olla laaduton, ts. siihen ei liity mitaan fysikaalis-

ta yksikkoa eli sen yksikko on tyhja. Fysikaalisia yksikoita

voi kertoa ja korottaa potenssiin ja niilla voi jakaa, tyhja

yksikko vastaa naissa operaatioissa lukua 1.

Usein fysikaalinen vektori samaistetaan taysin geometriseen

vektoriin. Jatkossa puhutaankin vain yleisesti vektoreista.

5

Vektoreille on maaritelty tavalliset peruskursseilta tutut ope-

raatiot, joiden geometriset maaritelmat ovat seuraavat. Geo-

metrisesti on melko selvaa, etta nama operaatiot ovat hyvin

maariteltyja, ts. etteivat ne riipu edustajien valinnasta.

• Vektorin ~r = 〈−−→PQ〉 vastavektori on vektori

−~r = 〈−−→QP 〉.

Erityisesti −~0 = ~0. Fysikaalisen vektorin yksikko ei

tassa operaatiossa muutu.

• Vektorien

~r = 〈−−→PQ〉 ja ~s = 〈

−→QR〉

(huomaa edustajien valinta) summa on vektori

~r + ~s = 〈−→PR〉.

Erityisesti maaritellaan

~r + ~0 = ~0 + ~r = ~r

ja

~r + (−~r ) = (−~r ) + ~r = ~0.

Vain samanlaatuisia vektoreita voidaan fysikaalisesti

laskea yhteen ja summan laatu on ko. laatu.

6

Summa on vaihdannainen ja liitannainen, ts.

~r+~s = ~s+~r ja ~r+(~s+~t ) = (~r+~s )+~t.

Nama ominaisuudet ovat geometrisesti melko ilmeisia.

Liitannaisyydesta seuraa, etta pitkat summat voidaan

suluttaa miten tahansa tai kirjoittaa kokonaan ilman

sulkuja tuloksen muuttumatta.

Vektorien ~r ja ~s erotus on vektori

~r − ~s = ~r + (−~s ).

Vahennettaessa fysikaalisia vektoreita niiden yksikoi-

den on oltava samat.

• Jos ~r = 〈−−→PQ〉 on vektori (6= ~0) ja λ positiivinen

skalaari, niin λ~r on vektori, joka saadaan seuraavasti.

– Muodostetaan pisteesta P lahteva puolisuora, jolla

on piste Q.

– Etsitaan talta puolisuoralta piste R, jonka etaisyys

P :sta on λ|~r |.

– Silloin λ~r = 〈−→PR〉.

– Erityisesti sovitaan, etta λ~0 = ~0 ja 0~r = ~0.

7

Tama operaatio on vektorin kertominen skalaarilla.

Maarittelemalla edelleen (−λ)~r = −(λ~r ) saadaan

mukaan myos negatiivisella skalaarilla kertominen. Il-

meisesti

1~r = ~r , (−1)~r = −~r , 2~r = ~r+~r jne.

Mikali fysikaalisella skalaarilla λ ja vektorilla ~r on fysi-

kaaliset yksikkonsa, λ~r:n yksikko on naiden tulo. Pie-

nella vaivalla voidaan todeta (geometrisesti) laskulait

λ1(λ2~r) = (λ1λ2)~r ,

(λ1 + λ2)~r = λ1~r + λ2~r ja

λ(~r1 + ~r2) = λ~r1 + λ~r2,

missa λ, λ1, λ2 ovat skalaareja ja ~r, ~r1, ~r2 vektorei-

ta.

Usein esiintyva skalaarilla kertominen on vektorin nor-

meeraus, jossa vektori ~r 6= ~0 kerrotaan pituutensa in-

verssilla. Tulos ~r/|~r | on yksikkovektori (ja laaduton).

• Vektorien ~r = 〈−−→PQ〉 ja ~s = 〈

−→PR〉 (huomaa edus-

tajien valinta) valinen kulma ∠(~r, ~s ) on suunnattu-

jen janojen−−→PQ ja

−→PR valinen kulma valilta [0, π]

rad. Tassa tietysti oletetaan, etta ~r, ~s 6= ~0. Huo-

mattakoon, etta kulma on aina laaduton, radiaani ei

ole fysikaalinen yksikko.

8

• Vektorien

~r = 〈−−→PQ〉 ja ~s = 〈

−→PR〉

(huomaa edustajien valinta) valinen etaisyys on

d(~r, ~s ) = d(Q,R) = |~r − ~s |.

Erityisesti d(~r, ~0 ) = |~r |. Myos tama etaisyys to-

teuttaa kolmioepayhtalon

d(~r, ~s ) ≤ d(~r,~t ) + d(~t, ~s ).

• Vektorien ~r ja ~s skalaaritulo eli pistetulo on

~r • ~s = |~r ||~s | cos∠(~r, ~s ).

Erityisesti

~r • ~0 = ~0 • ~r = 0 ja ~r • ~r = |~r |2.

Skalaaritulo on vaihdannainen, ts.

~r • ~s = ~s • ~r,

ja bilineaarinen, ts.

~r • (λ~s+ η~t ) = λ(~r • ~s ) + η(~r • ~t ),

missa λ ja η ovat skalaareja. Geometrisesti vaihdan-

naisuus on selva, bilineaarisuus sen sijaan vaatii han-

kalahkon johdon. Koordinaattiesityksen kautta biline-

aarisuus taas on ilmeinen.

9

Laadullisten fysikaalisten vektoreiden skalaaritulon yk-

sikko on naiden yksikoiden tulo. Geometrisesti, jos

~s on (laaduton) yksikkovektori, niin

~r • ~s = |~r | cos∠(~r, ~s )

on ~r:n projektio ~s :lla. (Nollavektorin projektio on aina

tietysti nolla.)

• Vektorien ~r ja ~s vektoritulo eli ristitulo on vektori

~r×~s, joka maaritellaan seuraavasti. Ensinnakin, jos ~r

tai ~s on ~0, tai ∠(~r, ~s ) on 0 tai π, niin ~r × ~s = ~0.

Muutoin ~r × ~s on se yksikasitteinen vektori ~t, jolle

– |~t | = |~r ||~s | sin∠(~r, ~s ),

– ∠(~r,~t ) = ∠(~s,~t ) =π

2ja

– ~r, ~s,~t on oikeakatinen systeemi.

Ristitulo on antivaihdannainen, ts.

~r × ~s = −(~s× ~r )

ja bilineaarinen, ts.

~r × (λ~s+ η~t ) = λ(~r × ~s ) + η(~r × ~t ),

10

missa λ ja η ovat skalaareja. Geometrisesti antivaih-

dannaisuus on selva, katisyys vaihtuu, bilineaarisuus

sen sijaan vaatii taas hankalahkon johdon. Koordinaat-

tiesityksen kautta bilineaarisuus on tassakin melko il-

meinen.

Ristitulo on paljon informaatiota sisaltava operaatio,

siina ovat mukana niin vektorien pituudet ja niiden va-

linen kulma kuin katisyyskin. Lisaksi se on helppo teh-

da koordinaattimuodossa. Geometrisesti

|~r × ~s | = |~r ||~s | sin∠(~r, ~s )

on sen suunnikkaan ala, jonka sivujen pituudet ovat

|~r | ja |~s | ja valinen kulma ∠(~r, ~s ). Jos ~r ja ~s ovat

laadullisia fysikaalisia vektoreita, niin ristulon ~r × ~s

yksikko on naiden yksikoiden tulo.

• Yhdistelemalla saadaan viela skalaarikolmitulo

~r • (~s× ~t )

seka vektorikolmitulot

(~r × ~s )× ~t ja ~r × (~s× ~t ).

Koska mitaan sekaannuksen vaaraa ei ole, skalaarikol-

mitulo kirjoitetaan usein ilman sulkeita: ~r • ~s × ~t.

11

Skalaarikolmitulo on kiertosymmetrinen, ts.

~r • ~s× ~t = ~s • ~t× ~r = ~t • ~r × ~s.

Taman ja skalaaritulon vaihdannaisuuden seurauksena

skalaarikolmitulossa operaatiot • ja× voidaan vaihtaa

keskenaan, ts.

~r • ~s× ~t = ~r × ~s • ~t.

Geometrisesti on helppo todeta, etta skalaarikolmitulo

~r•~s×~t on sen suuntaissarmion tilavuus, jonka yhdes-

ta karjesta P lahtevat sivut ovat (edustajina) vektorit

~r = 〈−→PR〉 , ~s = 〈

−→PS〉 ja ~t = 〈

−→PT 〉,

positiivisena, jos ~r, ~s,~t muodostavat oikeakatisen sys-

teemin, negatiivisena muuten. (Erikoistapauksina viela

tilanteet, joissa skalaarikolmitulo on= 0.) Kiertosym-

metria seuraa geometrisesti tasta.

Vektorikolmituloille on ns. kehityskaavat

(~r × ~s )× ~t = (~r • ~t )~s− (~s • ~t )~r ja

~r × (~s× ~t ) = (~r • ~t )~s− (~r • ~s )~t.

Nama ovat jossain maarin hankalia todettavia geomet-

risesti, johto koordinaattiesityksen kautta on helpom-

pi.

12

Samalla tavalla kuin pisteille voidaan maaritella R-sateinen

~r-keskinen avoin vektorien muodostama pallo ~B(R,~r ),

avoimet ja suljetut vektorijoukot seka vektorijoukon reu-

na, sulkeuma ja sisaosa, mutta samantapaista geometrista

intuitiota naille kasitteille ei yhta helposti saa.

13

3. Koordinaattipisteet ja -vektorit

Peruskursseilla pisteita kasitellaan koordinaattipisteina, ts.

reaaliluvuista muodostettuina kolmikoina (a, b, c). Talloin

taustalla on kiinnitetty suorakulmainen oikeakatinen koordi-

naatisto akseleineen ja origoineen. Koordinaattipisteitamer-

kitaan jatkossa lihavoiduin pienin antiikvakirjaimin: r, s,

x, . . . ja r0, r1, . . . jne. Erityisesti koordinaatiston origoa

vastaava koordinaattipiste on 0 = (0,0,0).

Koordinaatisto maaraytyy vastaavasta koordinaattifunkti-

osta, joka kuvaa geometriset pisteetR3:n kolmikoiksi. Koor-

dinaattifunktioita merkitaan jatkossa pienin lihavoiduin

kreikkalaisin kirjaimin ja niiden komponentteja vastaavin

indeksoiduin kirjaimin. Jos koordinaattifunktio on κ, niin

pisteen P koordinaatit ovat

κ(P) = (κ1(P), κ2(P), κ3(P)).

Koordinaattikuvaus on bijektio eli kaantaen yksikasitteinen

vastaavuus geometrisen avaruuden ja avaruuden R3 valilla.

Etaisyys saadaan tutulla tavalla R3:n normin avulla. Jos

κ(P) = (x1, y1, z1) ja κ(Q) = (x2, y2, z2),

niin

d(P,Q) = ‖κ(P)− κ(Q)‖

=√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)

2 + (z1 − z2)2.

14

Koordinaattifunktio κ antaa myos vektoreille koordinaat-

tiesityksen. Vektorin ~r = 〈−−→PQ〉 koordinaattiesitys on

κ(~r ) = (κ(Q)− κ(P))T =

κ1(Q)− κ1(P)κ2(Q)− κ2(P)κ3(Q)− κ3(P)

.

Huomaa pystyvektorimuoto. Erityisesti nollavektorin esitys

on κ(~0 ) = (0,0,0)T = 0T. Helposti voi todeta, etta

tama esitys ei riipu edustajien valinnasta. Myoskin vektorien

~r = 〈−−→PQ〉 ja ~s = 〈

−→PR〉 etaisyys saadaan R

3:n normin

avulla:

d(~r, ~s ) = ‖κ(~r )− κ(~s )‖

= ‖κ(Q)− κ(R)‖ = d(Q,R).

Edelleen |~r | = d(~r, ~0) = ‖κ(~r )‖.

Jatkossa merkitaan myos vektorien koordinaattiesityksia eli

koordinaattivektoreita pienin lihavoiduin kirjaimin, mutta

on muistettava etta koordinaattivektori on pystyvektori. Tie-

tyille koordinaattivektoreille on omat perinteiset merkintan-

sa:

i =

100

, j =

010

, k =

001

ja r =

xyz

.

15

Vektorit i, j,k ovat kantavektorit ja vektoria r kaytetaan

geneerisena muuttujavektorina. Taustalla on tietysti koko

ajan jokin kiinnitetty koordinaatisto ja koordinaattifunktio.

Tutut koordinaattivektoreille maaritellyt operaatiot vastaa-

vat nyt tarkasti edellisen pykalan geometrisia vektoriope-

raatioita. Muistettakoon vain, etta jos

κ(~r ) =

a1b1c1

ja κ(~s ) =

a2b2c2

,

niin

~r • ~s = a1a2 + b1b2 + c1c2

ja

κ(~r × ~s ) =

b1c2 − b2c1c1a2 − c2a1a1b2 − a2b1

.

Jalkimmainen esitetaan usein helpommin muistettavana for-

maalina determinanttina∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i a1 a2j b1 b2k c1 c2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

,

joka kehitetaan ensimmaisen sarakkeensa suhteen.

Koordinaatiston vaihto vaihtaa koordinaattifunktiota. Mi-

kali κ ja κ∗ ovat kaksi koordinaattifunktiota, ne ovat yh-

16

teydessa koordinaatistomuunnoksen kautta, ts. on sellainen

3 × 3-ortogonaalimatriisi∗ Q seka koordinaattivektori b,

etta

κ∗(P) = κ(P)Q+ b

ja

κ(P) = κ∗(P)QT − bQT.

Vastaavasti muuntuu vektorin ~r = 〈−−→PQ〉 koordinaattiesi-

tys:

κ∗(~r ) = (κ∗(Q)− κ

∗(P))T

= (κ(Q)Q+ b− κ(P)Q− b)T

= QT(κ(Q)− κ(P))T = QTκ(~r )

ja

κ(~r ) = Qκ∗(~r ).

Huomaa, etta b on ”vanhan” koordinaatiston origon esi-

tys ”uudessa”koordinaatistossa ja ettaQT:n sarakkeet ovat

”vanhan” koordinaatiston kantavektorien i, j,k esitykset

”uudessa”koordinaatistossa. Vastaavasti−bQT on ”uuden”

koordinaatiston origon esitys ”vanhassa” koordinaatistossa

ja Q:n sarakkeet ovat ”uuden”koordinaatiston kantavekto-

rien i∗, j∗,k∗ esitykset ”vanhassa”kordinaatistossa.

∗Tassa ja jatkossa matriiseja merkitaan lihavoiduin isoin antiikva-kirjaimin. Koska katisyyden pitaa sailya, pitaa tassa olla det(Q)= 1. Ortogonaalisuushan merkitsi sita, etta Q−1 = QT.

17

4. Tangenttivektori. Vektorikentta. Skalaarikentta

Geometrisesti tangenttivektori ∗ on yksinkertaisesti suun-

nattu jana−−→PQ, piste P on sen vaikutuspiste.

Tangenttivektoria on kuitenkin helpompi ajatella parina

[P,~r ], missa P on vaikutuspiste ja ~r on vektori. Talloin

tangenttivektoreille on helppo tehda vektoraalisia operaa-

tioita: suoritetaan operaatiot vain vektoriosalle ~r. Jos tu-

los on vektori, se voidaan joko ajatella tangenttivektorik-

si, vaikutuspisteena tangenttivektorien yhteinen vaikutus-

piste, tai sitten vain vektoriksi ilman vaikutuspistetta. Li-

saksi tangenttivektoreille saadaan parimuodossa yksinker-

taisesti koordinaattiesitys kayttaen koordinaattifunktiotaκ:

κ([P,~r ]) = [κ(P),κ(~r )].

Parissa [P,~r ] voidaan ~r ajatella myos pisteessa P vaikut-

tavaksi fysikaaliseksi vektoriksi.

Jos tangenttivektorin vaikutuspiste on asiayhteydesta sel-

va tai silla ei ole valia, jatetaan se usein merkitsematta ja

kaytetaan vain vektoriosaa, mahdollisesti koordinaattimuo-

dossa. Nain tehdaan paljolti jatkossa.

∗Nimitys johtuu siita, etta kyseessa usein onkin nimenomaan tan-gentti.

18

Vektorikentta on funktio, joka kuvaa pisteen P tangent-

tivektoriksi [P, ~F(P)]. Usein merkitaan tallaista vektori-

kenttaa vain ~F :lla. Vektorikentta ei aina ole maaritelty kai-

kille geometrisen avaruuden pisteille, ts. sen maarittelyalue

voi olla suppeampi.

Koordinaattiesityksessa merkitaan

r = κ(P) seka F(r) = κ(~F (P)),

koordinaattimuotoisia vektorikenttia merkitaan siis lihavoi-

duilla isoilla antiikvakirjaimilla. Huomaa, etta koordinaatis-

tomuunnoksessa

r∗ = rQ+ b (eli κ∗(P) = κ(P)Q+ b)

vektorikentta F = κ(~F ) (siis esitys) muuntuu kentaksi

F∗ = κ∗(~F) kaavalla

F∗(r∗) = QTF((r∗ − b)QT).

Vektorikentta voidaan luonnollisesti maaritella tietyssa koor-

dinaatistossa tavalla tai toisella, muunnoskaavalla saadaan

sitten sen koordinaattiesitys muissa koordinaatistoissa. Fy-

sikaalis-geometrisen vektorikentan maarittely ei kuitenkaan

voi olla riippuvainen jostain koordinaatistosta, kenttahan on

olemassa ilman koordinaatistojakin ja toteuttaa automaat-

tisesti yo. muunnoskaavan.

19

Koordinaattimuodossaan vektorikentta on peruskursseilta

tuttu kolmen muuttujan vektoriarvoinen kuvaus

F(r) =

F1(r)F2(r)F3(r)

komponentteineen, ja sille ovat kaytossa kaikki naille maa-

ritellyt operaatiot, raja-arvot, jatkuvuus- ja derivoituvuus-

kasitteet, integraalit, nablaukset jne.

Skalaarikentta on funktio f , joka kuvaa pisteen P ska-

laariksi (reaaliluvuksi) f(P), skalaarikentille kaytetaan siis

merkinnallisesti kursivoituja antiikvakirjaimia, yleensa pie-

nia. Koordinaattiesityksessa merkitaan r = κ(P) seka

lyhyesti f(r) (oikeastaan siis f(κ−1(r))). Koordinaatis-

tomuunnoksessa

r∗ = rQ+ b (eli κ∗(P) = κ(P)Q+ b)

skalaarikentta f muuntuu skalaarikentaksi f∗ kaavalla

f∗(r∗) = f((r∗ − b)QT).

Myos skalaarikentta voidaan maaritella tietyssa valitussa

koordinaatistossa, josta sen esitys sitten siirretaan muihin

koordinaatistoihin muunnoskaavalla. Fysikaalis-geometrinen

20

skalaarikentta on olemassa ilman mitaan koordinaatistoa ja

toteuttaa automaattisesti muunnoskaavan koordinaatisto-

esityksissaan.

Tarkeaa on huomata, etta kaikki edellisen pykalan operaa-

tioilla vektorikentista ja skalaarikentista saatavat vektori-

ja skalaarifunktiot ovat kenttia, esimerkiksi skalaarikentta

kertaa vektorikentta on vektorikentta.

21

5. Kenttien derivaattaoperaattorit

Osittaisderivaattojen maarittely geometris-fysikaalisille ken-tille ei luonnollisestikaan ole suoraan mahdollista, ne liit-tyvat koordinaatistoihin. Koordinaatistoesityksessaan kent-tien osittaisderivaatat ovat maariteltavissa peruskursseiltatuttuun tapaan. Erityisesti nain saadaan skalaarikentan fosittaisderivaatat, derivaatta

f ′ =

(

∂f

∂x,∂f

∂y,∂f

∂z

)

ja gradientti

grad(f) = ∇f = f ′T =

∂f

∂x

∂f

∂y

∂f

∂z

seka vektorikentan F =

F1F2F3

derivaatta eli Jacobin

matriisi

F′ =

F ′1

F ′2

F ′3

=

∂F1

∂x

∂F1

∂y

∂F1

∂z

∂F2

∂x

∂F2

∂y

∂F2

∂z

∂F3

∂x

∂F3

∂y

∂F3

∂z

.

22

Koordinaatistomuunnoksessa r∗ = rQ+ b saadaan ket-

jusaannolla∗ derivoiden naille muunnoskaavat

f∗′(r∗) = (f((r∗ − b)QT))′

= f ′((r∗ − b)QT)Q

ja

F∗′(r∗) = (QTF((r∗ − b)QT))′

= QTF′((r∗ − b)QT)Q.

Huolimatta siita, etta kenttien osittaisderivaatat ovat koor-

dinaatistoriippuvia, derivoituvuus on koordinaatistoriippu-

maton: Jos kentalla on yhdessa koordinaatistossa osittais-

derivaatat, niin silla on ne myos missa tahansa toisessa

koordinaatistossa. Sama patee toisiin derivaattoihin.

Edelleen sama patee jatkuvuuteen: Yhdessa koordinaatis-

tossa jatkuva kentta on sita missa tahansa toisessa koordi-

naatistossa.

∗Yhden muuttujan ketjusaanto sanoo, etta olettaen f ja g derivoi-tuviksi yhdistetyn funktion derivaatta on

(f(g(x)))′ = f ′(g(x))g′(x).

Yleisemmin, olettaen seka F etta G pystyvektoreiksi ja jatkuvastiderivoituviksi, saadaan

(F(G(r)T)))′ = F′(G(r)T)G′(r).

Muuttujat ajatellaan siis tassa vaakavektoreiksi kuten vektoriken-tillekin. Saanto patee myos korkeammissa dimensioissa.

23

Ja viimein sama patee myos jatkuvaan derivoituvuuteen:

Jos kentalla on yhdessa koordinaatistossa jatkuvat osittais-

derivaatat (ensimmaiset tai toiset), niin silla on ne myos

missa tahansa toisessa koordinaatistossa. Kaikki tama seu-

raa kenttien muunnoskaavoista.

Tavallisimmat kenttien derivaattaoperaattorit ovat skalaa-

rikentan f gradientti (nabla) ja Laplacen operaattori

∆f = ∇ • (∇f) = ∇2f =∂2f

∂x2+

∂2f

∂y2+

∂f2

∂z2

seka vektorikentan F =

F1F2F3

divergenssi

div(F) = ∇ • F =∂F1

∂x+

∂F2

∂y+

∂F3

∂z

ja roottori

rot(F) = ∇×F =

∂F3

∂y−

∂F2

∂z

∂F1

∂z−

∂F3

∂x

∂F2

∂x−

∂F1

∂y

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i∂

∂xF1

j∂

∂yF2

k∂

∂zF3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

(Ristitulon tapaan myos roottori voidaan esittaa formaalina

determinanttina.)

24

Kuten pian todetaan, gradientti, divergenssi ja roottori ovat

koordinaatistoriippumattomia. Nain ∇•F on tulkittavissa

skalaarikentaksi ja, kuten pystyvektorimerkintakin jo osoit-

taa, ∇f seka ∇× F tulkitaan vektorikentiksi.

Gradientin tapauksessa koordinaatistoriippumattomuus on

fysikaalisesti ilmeista. Gradientti nimittain osoittaa suun-

taan, johon skalaarikentta nopeimmin kasvaa, ja sen pi-

tuus on juuri ko. kasvunopeus (suunnattu derivaatta). Di-

vergenssin ja roottorin tapaukset eivat sitten enaa olekaan

yhta selvia.

Gradientin koordinaatistoriippumattomuudesta seuraa, etta

skalaarikentan f suunnattu derivaatta suuntaan n (yksik-

kovektori)

∂f

∂n= n • ∇f

on myos koordinaatistoriippumaton ja siten skalaarikentta.

Laplacen operaattori voidaan myos kohdistaa vektorikent-

taan. Talloin

∆F =

∆F1∆F2∆F3

.

Myos tama ∆F on koordinaatistoriippumaton ja tulkitta-

vissa vektorikentaksi.

25

Tarkea muistettava ominaisuus on, etta kaikki nama deri-

vaattaoperaattorit ovat lineaarisia, ts. jos λ1 ja λ2 ovat

skalaarivakioita, niin esimerkiksi

∇(λ1f + λ2g) = λ1∇f + λ2∇g ja

∇ • (λ1F+ λ2G) = λ1∇ • F+ λ2∇ •G jne.

Usein esiintyva merkinnallinen lausekemuoto on

G • ∇ = G1∂

∂x+G2

∂

∂y+G3

∂

∂z,

missa G = (G1, G2, G3)T on vektorikentta. Tama tul-

kitaan operaattoriksi, jolla operoidaan skalaarikenttaan f

tai vektorikenttaan F = (F1, F2, F3)T:

(G • ∇)f = G • (∇f) = G1∂f

∂x+G2

∂f

∂y+G3

∂f

∂z

ja (tulkiten F1, F2, F3 skalaarikentiksi)

(G • ∇)F =

(G • ∇)F1(G • ∇)F2(G • ∇)F3

= F′G.

Molemmat ovat koordinaatistoriippumattomia ja siten kent-

tia. (G • ∇)F:n koordinaatistoriippumattomuus seuraa

nablaussaannoista, ks. alla.

Taulukoidaan alle tutut ”nablauskaavat”:

26

(i) ∇(fg) = g∇f + f∇g

(ii) ∇1

f= −

1

f2∇f

(iii) ∇ • (fG) = ∇f •G+ f∇ •G

(iv) ∇× (fG) = ∇f ×G+ f∇×G

(v) ∇ • (F×G) = ∇× F •G− F • ∇ ×G

(vi) ∇× (F×G) = (G • ∇)F− (∇ • F)G

+ (∇ •G)F− (F • ∇)G

(vii) ∇(F •G) = (G • ∇)F− (∇× F)×G

− (∇×G)× F+ (F • ∇)G

Matriisimuodossa ∇(F•G) = F′TG+G′TF.

(viii) (∇× F)×G = (F′ − F′T)G

(ix) ∇ • (∇× F) = 0

(x) ∇×∇f = 0

(xi) ∇× (∇× F) = ∇(∇ • F)−∆F

(ns. kaksoisroottorin kehityskaava)

(xii) ∆(fg) = f∆g + g∆f +2∇f • ∇g

Kaavoissa (ix), (x), (xi) oletetaanF ja f kahdesti jatkuvasti

derivoituviksi. Kaikki nama kaavat ovat itse asiassa symbo-

lisia identiteetteja ja ne voidaan todentaa raa’alla laskulla

tai esimerkiksi Maple-ohjelmistolla.

27

Todennetaan viela operaattoreiden koordinaatistoriippu-

mattomuus. Koordinaatistomuunnoksessa

r∗ = rQ+ b

merkitaan uusissa koordinaateissa laskettua nablaa ∇∗:lla.

Koordinaatistoriippumattomuus perusoperaattoreille tar-

koittaa silloin seuraavia kaavoja:

1. ∇∗(f((r∗ − b)QT)) = QT∇f(r) (gradientti)

Siirrytaan vahentamalla b seka QT:lla kertomalla uu-

sista koordinaateista r∗ vanhoihin, lasketaan f ja muo-

dostetaan gradientti uusien koordinaattien avulla. Tu-

loksen pitaa olla sama kuin laskettaessa gradientti van-

hoissa koordinaateissa ja siirtamalla tulos QT:lla ker-

tomalla uusiin koordinaatteihin.

2. ∇∗ • (QTF((r∗ − b)QT)) = ∇ • F(r)

(divergenssi)

Siirrytaan vahentamalla b seka QT:lla kertomalla uu-

sista koordinaateista r∗ vanhoihin, lasketaan F, siirre-

taanQT:lla kertomalla tulos uusiin koordinaatteihin ja

muodostetaan divergenssi uusien koordinaattien avul-

la. Tuloksen pitaa olla sama kuin laskettaessa diver-

genssi vanhoissa koordinaateissa.

28

3. ∇∗ × (QTF((r∗ − b)QT)) = QT(∇× F(r))

(roottori)

Siirrytaan vahentamalla b seka QT:lla kertomalla uu-

sista koordinaateista r∗ vanhoihin, lasketaan F, siir-

retaan QT:lla kertomalla tulos uusiin koordinaatteihin

ja muodostetaan roottori uusien koordinaattien avul-

la. Tuloksen pitaa olla sama kuin laskettaessa roottori

vanhoissa koordinaateissa ja siirtamalla tulos QT:lla

kertomalla uusiin koordinaatteihin.

LAUSE 1.1. Gradientti, divergenssi, roottori ja Laplacen

operaattori ovat koordinaatistoriippumattomia.

Edelleen, jos F ja G ovat vektorikenttia, niin samoin on

(G • ∇)F.

Todistus. Edella todetun mukaan

f∗′(r∗) = (∇f(r))TQ

ja

F∗′(r∗) = QTF′(r)Q.

Tasta saadaan valittomasti kaava 1.:

∇∗f∗(r∗) = f∗′(r∗)T = QT∇f(r).

29

Kaavan 2. nayttamiseksi kaytetaan Jacobin matriisin jal-

kea. Palautellaan mieleen, etta neliomatriisin A jalki, mer-

kitaan trace(A), on sen lavistajaalkioiden summa. Jal-

jen eras perusominaisuus∗ on, etta jos matriisitulo AB on

neliomatriisi—jolloin myos BA on neliomatriisi—niin

trace(AB) = trace(BA).

Koska

trace(F′) =∂F1

∂x+

∂F2

∂y+

∂F3

∂z= ∇ • F,

kaava 2. saadaan helposti:

∇∗ • F∗(r∗) = trace(F∗′(r∗))

= trace(QTF′(r)Q)

= trace(QQTF′(r)) (valitaan B = Q)

= trace(F′(r)) = ∇ • F(r).

Kaavan 3. toteamiseksi tarvitaan matriisin Q sarakkeet

q1,q2,q3. Lasketaan malliksi roottorin∇∗×F∗(r∗) en-

simmainen komponentti. Jacobin matriisin muuntokaavan,

∗Jos merkitaan A = (aij) (n×m-matriisi), B = (bij) (m× n-matriisi), AB = (cij) ja BA = (dij), niin

trace(AB) =

n∑

k=1

ckk =

n∑

k=1

m∑

l=1

aklblk

=

m∑

l=1

n∑

k=1

blkakl =

m∑

l=1

dll = trace(BA).

30

kaavan (viii) ja skalaarikolmitulon laskusaantojen nojalla

(∇∗ × F∗(r∗))1 =∂F ∗

3

∂y∗−

∂F ∗2

∂z∗

= qT3F′(r)q2 − qT2F

′(r)q3 (silla F∗′ = QTF′Q)

= qT3F′(r)q2 − qT3F

′(r)Tq2 (qT2F

′q3 on skalaari)

= qT3(F′(r)− F′(r)T)q2 (qT

3 ja q2 tekijoiksi)

= q3 • (∇× F(r))× q2 (kaava (viii))

= q2 • q3 × (∇× F(r)) (kiertosaanto)

= q2 × q3 • (∇× F(r)) (vaihdetaan • ja ×)

= q1 • (∇× F(r)) (tassa q2 × q3 = q1)

= (QT(∇× F(r)))1.

Huomaa, etta q2 × q3 = q1, koska uusikin koordinaa-

tisto on oikeakatinen. Muut komponentit menevat samaan

tapaan.

Laplacen operaattorin koordinaatistoriippumattomuus ska-

laarikentille seuraa suoraan gradientin ja divergenssin vas-

taavasta ominaisuudesta ja vektorikentille kaavasta (xi).

Edelleen laskemalla puolittain yhteen kaavat (vi) ja (vii)

saadaan (G • ∇)F:lle lauseke

31

(G • ∇)F =1

2

(

∇× (F×G) + (∇ • F)G

− (∇ •G)F+∇(F •G)

+ (∇× F)×G+ (∇×G)× F)

.

Kaikki oikean puolen kuusi termia ovat koordinaatistoriip-

pumattomia ja siis vektorikenttia. Nain ollen myos vasen

puoli (G • ∇)F on koordinaatistoriippumaton ja vekto-

rikentta. (Taman nakee myos helposti matriisimuodosta

(G • ∇)F = F′G, mutta yo. kaavakin on mielenkiin-

toinen!)

32

6. Aikariippuvat skalaari- ja vektorikentat

Fysikaaliset kentat ovat usein aikariippuvia, ts. kentan maa-

rittelyssa on mukana aikamuuttuja t.

Skalaarikentta on silloin muotoa f(P, t) ja vektorikentta

muotoa ~F (P, t) (vektorikentan antamasta tangenttivek-

torista jatetaan tassakin pois vaikutuspiste). Koordinaatti-

esityksessa muodot ovat vastaavasti f(r, t) seka F(r, t).

Aikariippuvia kenttia sanotaan ei-stationaarisiksi, aikariip-

pumattomia taas stationaarisiksi.

Koordinaattiesityksesta, tulkittuna neljan muuttujan x, y,

z, t funktioiksi, saadaan jalleen peruskursseilta tutut kasit-

teet, jatkuvuus, derivoituvuudet jne. myos aikamuuttujan

t suhteen. Koordinaatistomuunnoksessa r∗ = rQ + b

aikamuuttuja ei muutu, ts.

f∗(r∗, t) = f((r∗ − b)QT, t)

ja

F∗(r∗, t) = QTF((r∗ − b)QT, t).

Nain ollen aikaderivaatoille saadaan vastaavat muunnos-

kaavat

∂i

∂tif∗(r∗, t) =

∂i

∂tif((r∗ − b)QT, t)

33

ja

∂i

∂tiF∗(r∗, t) = QT ∂i

∂tiF((r∗ − b)QT, t),

mika osoittaa, etta ne ovat kenttia.

Aikaderivaatalle saadaan edelleen—tuttujen osittaisderivoin-

tikaavojen lisaksi—mm. seuraavat perusderivointikaavat,

jotka ovat todettavissa suoralla laskulla:

(1)∂

∂t(F •G) =

∂F

∂t•G+ F •

∂G

∂t

(2)∂

∂t(F×G) =

∂F

∂t×G+ F×

∂G

∂t

(3)∂

∂t(fF) =

∂f

∂tF+ f

∂F

∂t

(4)∂

∂t(F •G×H) =

∂F

∂t•G×H+F •

∂G

∂t×H

+ F •G×∂H

∂t

(5)∂

∂t(F× (G×H)) =

∂F

∂t× (G×H)

+F×(

∂G

∂t×H

)

+F×(

G×∂H

∂t

)

34

Toisenlainen aikariippuvuus koordinaattiesityksessa syntyy,

kun koordinaatisto liikkuu (esimerkiksi pyorii).

Jos esitys alunperin on f(r) (skalaarikentta) taiF(r) (vek-

torikentta) kiinteassa koordinaatistossa, niin hetkella t on

kaytossa koordinaatistomuunnos

r∗(t) = rQ(t) + b(t)

ja kenttien esitykset ovat

f∗(r∗, t) = f((r∗(t)− b(t))Q(t)T) ja

F∗(r∗, t) = Q(t)TF((r∗(t)− b(t))Q(t)T).

Huomaa, etta tassa kentat ovat stationaarisia, aikariippu-

vuus syntyy koordinaatiston liikkeesta ja se on vain koordi-

naattiesityksessa.

Vastaavalla tavalla aikariippuville kentille f(r, t) seka

F(r, t) saadaan liikkuvassa koordinaatistossa esitykset

f∗(r∗, t) = f((r∗(t)− b(t))Q(t)T, t) ja

F∗(r∗, t) = Q(t)TF((r∗(t)− b(t))Q(t)T, t).

Nyt osa koordinaattiesityksen aikariippuvuudesta tulee ken-

tista, osa koordinaatiston liikkeesta.

35

LUKU 2 Monisto

1. Funktion kuvaaja

Funktion f : A → Rm, missa A ⊆ R

k on avoin joukko,

kuvaaja (engl. graph) on Rk+m:n osajoukko

(r, f(r)) | r ∈ A.

Kuvaajaa merkitaan usein hieman epatarkalla tavalla:

s = f(r) (r ∈ A).

Tassa r on ns. aktiivinen muuttuja ja s ns. passiivinen

muuttuja. Ylla aktiiviset muuttujat edeltavat komponent-

tijarjestyksessa passiivisia muuttujia. Kuvaajaksi katsotaan

myos sellainen osajoukko, jossa nama muuttujat ovat se-

kaisin. Kuvaaja on silea ∗, jos f on jatkuvasti derivoituva

maarittelyalueessa A. Huomaa, etta kuvaaja maaritellaan

nimenomaan tietyn koordinaatiston avulla ja on koordinaa-

tistoriippuvainen.

Tuttu kuvaaja on avoimella valilla (a, b) maaritellyn yhden

muuttujan reaaliarvoisen funktion f kuvaaja eli parien

(x, f(x)) (a < x < b)

∗Joissain teksteissa vaaditaan sileydelta, etta kaikkien kertalukujenkaikki osittaisderivaatat ovat jatkuvina olemassa.

36

muodostama R2:n osajoukko eli viiva y = f(x). Samoin

on kahden muuttujan x ja y reaaliarvoisen funktion f ku-

vaajapinta

z = f(x, y) ((x, y) ∈ A)

avaruudessa R3:

x

y

z = f(x,y)

z

(x,y)

A

Kaikki viivat tai pinnat eivat ole kuvaajia, esimerkiksi ym-

pyrankeha tai pallonpinta ei ole kuvaaja (miksei?).

Tavallisimmat dimensiot k ja m ovat tietysti fysikaalisten

paikkakoordinaattien ja ajan antamat 1, 2 ja 3, jolloin

k + m on 2, 3 tai 4. Mekaanisten ym. systeemien va-

pausasteiden antamat dimensiot voivat toisaalta olla hy-

vinkin korkeita.

37

Rajatapauksena sallitaan myos m = 0. Silloin Rm:ssa eli

R0:ssa on vain yksi alkio (ns. tyhja vektori ()), edelleen

Rk+m = R

k, kaikki muuttujat ovat aktiivisia ja funktion

f : A → Rm kuvaaja on A. Avaruuden avoimet joukot

ovat siis aina kuvaajia, jotka sovitaan sileiksi.

Vastaavasti sallitaan k = 0. Silloin f :lla ei ole muuttujia,

joten se on vakio ja kuvaaja on yksi piste.∗ Sopimuksen

mukaan nama kuvaajat ovat myos sileita.

Jatkossa tarvitaan myos joukkojen kaanteiskuvia. Funktiolle

g : A → B joukon C kaanteiskuva on joukko

g−1(C) = r | g(r) ∈ C.

Huomaa, ettei talla ole mitaan tekemista kaanteisfunktion

kanssa, funktiolla g ei tarvitse olla kaanteisfunktiota lain-

kaan eika C:n tarvitse sisaltya B:hen.

Jatkuvalle avoimessa joukossaAmaaritellylle funktiolle avoi-

men joukon kaanteiskuva on avoin.† Tasta saadaan tarkea

kuvaajien ominaisuus:

LAUSE 2.1. Jos sileaa funktion kuvaajaa leikataan avoi-

mella joukolla, niin tulos on silea kuvaaja tai tyhja joukko.

∗Tassa tapauksessa A on koko avaruus R0, joka on avoin joukko.†Tama on itse asiassa jatkuvuuden maaritelma. Nimittain g:n jat-kuvuus pisteessa r0 tarkoittaa nyt sita, etta olipa C miten tahansapieni g(r0)-keskinen avoin pallo, niin A:ssa on sellainen (pieni)r0-keskinen avoin pallo, joka kokonaisuudessaan kuvautuu C:hen.

38

Todistus. Asia on selva jos leikkaus on tyhja joukko, ja sa-

moin jos k = 0 (leikkaus on piste) tai m = 0 (kahden

avoimen joukon leikkaus on avoin). Muussa tapauksessa ku-

vaajan

s = f(r) (r ∈ A)

ja Rk+m:n avoimen joukon C leikkaus saadaan kuvaajana

s = f(r) (r ∈ D),

missa D on C:n kaanteiskuva jatkuvassa∗ kuvauksessa

g(r) = (r, f(r)).

∗Ei ole kovin vaikea todeta, etta jos f on jatkuva pisteessa r0, niinsamoin on g, silla

‖g(r)− g(r0)‖2 = ‖r− r0‖

2 + ‖f(r)− f(r0)‖2.

39

2. Monisto

Rn:n osajoukko M on k-ulotteinen monisto (engl. mani-

fold), jos se on lokaalisti jonkin k:n muuttujan funktion

silea kuvaaja.∗

”Lokaalisti” tarkoittaa sita, etta jokaista M:n pistetta p

kohti on sellainen Rn:n avoin joukko Bp, jossa on piste

p, etta M ∩ Bp on joidenkin k:n muuttujan funktion fpsilea kuvaaja. Eri pisteille p joukko Bp voi olla hyvinkin

erilainen, muuttujat voidaan valita eri tavalla, mutta niiden

lukumaara on aina k, ja funktio fp voi olla erilainen.

Funktioita fp kutsutaan kartoiksi (engl. chart) ja kaikkien

funktioiden joukkoa atlakseksi eli kartastoksi. Usein luon-

nollisesti pyritaan mahdollisimman suppeaan atlakseen.

ESIMERKKI.R2:n origokeskinenR-sateinen ympyranke-

ha on 1-ulotteinen monisto, silla (ks. kuva alla) sen jokainen

piste on joko mustien ympyroiden tai valkoisten ympyroiden

antamalla avoimella kaarella ja sellaiset ovat funktioiden

y = ±√

R2 − x2 ja x = ±√

R2 − y2

∗Moniston maaritelmia on kirjallisuudessa useita erityyppisia. Tas-sa oleva on kaytossa mm. kirjoissa HUBBARD & HUBBARD jaNIKOLSKY & VOLOSOV. Monesti niita kutsutaan tarkemmin ”sileik-si monistoiksi” tai ”differentioituviksi monistoiksi”. Samalla ideallavoidaan maaritella myos ns. abstrakteja monistoja, joihin ei tassamenna.

40

(atlas) sileita kuvaajia sopivilla avoimilla valeilla.

x

y

Samaan tapaan paatellen pallonpinta x2+y2+z2 = R2

on R3:n 2-ulotteinen monisto. Se on lokaalisti sopivissa

avoimissa joukoissa maariteltyjen funktioiden

x = ±√

R2 − y2 − z2 , y = ±√

R2 − x2 − z2

ja

z = ±√

R2 − x2 − y2

(atlas) silea kuvaajapinta.

Luonnollisesti jokainen silea kuvaaja on itsessaan monisto,

erityisesti jokainen Rn:n avoin osajoukko on sen n-ulottei-

nen monisto ja jokainen yksittainen piste on 0-ulotteinen

monisto.

41

Jos avaruusviiva on silea kuvaaja, vaikkapa muotoa

(y, z) = (f1(x), f2(x)) (a < x < b),

missa f1 ja f2 ovat jatkuvasti derivoituvia, niin se siis onR3:n 1-ulotteinen monisto. Samoin kuvaajapinta

z = f(x, y) ((x, y) ∈ A)

on R3:n monisto, jos f on jatkuvasti derivoituva. Toisaaltaesimerkiksi itseisarvofunktion kuvaaja y = |x| ei ole silea

eika nain ollen R2:n monisto.

Monistoa voidaan aina rajoittaa lokaalimmaksi. Lauseen 2.1valittomana seurauksena nimittain

LAUSE 2.2. JosRn:n k-ulotteista monistoa leikataan avoi-

mella joukolla, niin tulos on k-ulotteinen monisto tai tyhja

joukko.

HUOMAUTUS. Miksi tarvitaan monistoja? Syy on se,

etta loysasti maariteltyja viivoja ja pintoja on uskomatto-

man monenlaisia, eika niihin paase mitenkaan helposti ka-

siksi yleisin globaalein menetelmin. On jatkuvia viivoja, jot-

ka tayttavat yksikkonelion kokonaan tai jotka leikkaavat it-

seaan joka pisteessaan, on jatkuvia pintoja, joilla ei missaan

pisteessa ole normaalia, jne. Ainoa keino saada ote asiasta

on lokalisoida ja rajoittaa kasitteita pitaen huolta, ettei so-

vellettavuutta meneteta. Globaalisten tulosten etsiminen ja

todistaminen sen jalkeen onkin sitten hyvin vaativaa topo-

logista ja algebrallis-topologista matematiikkaa.

42

3. Monistot urina

Eras tapa maaritella monistoja on maaritella ne ns. urina

(engl. locus). Ura on yksinkertaisesti tietyt ehdot toteutta-

vien pisteiden joukko. Esimerkiksi P -keskinen R-sateinen

ympyra on niiden pisteiden ura, joiden etaisyys P :sta on

R, ja se on monisto kuten todettiin.

Yleisesti ura maaritellaan koordinaattiesityksen kautta ja

ehdot annetaan yhtalomuodossa. Tallainen ehto on muotoa

F(r, s) = 0,

missa r on k-ulotteinen, s on n − k-ulotteinen ja F on

n − k-ulotteinen n:n muuttujan funktio. Ehdon toteutta-

vien pisteiden ura on muodostuu juuri niista Rn:n pisteista

(r, s), jotka sen toteuttavat.

Kuten merkinnoistakin huomaa, ajatus on etta r on eraan-

lainen aktiivinen muuttuja ja s eraanlainen passiivinen muut-

tuja. Vaikka jarjestys tassa on ”aktiiviset ensin”, voivat muut-

tujat olla myos sekaisin yhtalossa ja niiden rooli olla erilai-

nen eri osissa avaruutta, aktiivinen vaihtuu passiiviseksi jne.

Ympyrankeha ja pallonpinta ovat juuri tallaisia uria, kun

valitaan

F(x, y) = R2 − x2 − y2

43

ja

F(x, y, z) = R2 − x2 − y2 − z2

(origokeskisina ja R-sateisina). Ympyralla jompikumpi

muuttujista on aina aktiivinen, pallolla kaksi kolmesta muut-

tujasta.

Kaikki urat eivat ole monistoja. Esimerkiksi ehdon

y − |x| = 0

toteuttavat R2:n pisteet eivat sita ole eivatka myoskaan

ehdon

y2 − x2 = 0

toteuttavat pisteet. Edellinen ura ei ole silea ja jalkimmai-

nen ei ole origossa lokaalisti minkaan yhden funktion ku-

vaaja (vaan kahden: y = ±x). Oikeastaan myoskaan esi-

merkiksi ehdon

(y − x)2 = 0

maarittama ura ei ole monisto, se on suora y = x, mutta

kaksinkertaisena!

Yhtalossa F(r, s) = 0 pitaisi F:n olla varmaankin joten-

kin jatkuvasti derivoituva ja toisaalta jotenkin pitaisi var-

mistaa ratkaisun lokaali yksikasitteisyys. Klassisessa diffe-

rentiaalilaskennassa eras tahan mainiosti sopiva tulos, ns.

Implisiittifunktiolause, on tunnettu kauan. Sen avulla voi-

daan siirtya uraehdosta lokaaliin kuvaajaan.

44

IMPLISIITTIFUNKTIOLAUSE.∗ Oletetaan funktios-

ta F : S → Rn−k, missa 0 ≤ k < n, etta

1. maarittelyjoukko S on avoin Rn:n osajoukko,

2. F on jatkuvasti derivoituva S:ssa,

3. F′ on taysiranginen S:n pisteessa p0, ts. sen n − k

rivia ovat ko. pisteessa lineaarisesti riippumattomat,

jolloin myos jotkut n − k saraketta ovat lineaarisesti

riippumattomat, ja etta

4. pisteessa p0 on F(p0) = 0 ja n − k muuttujaa s

vastaavat F′(p0):n sarakkeet ovat lineaarisesti riip-

pumattomat.

Merkitaan r:lla muita muuttujia kuin s. Silloin on sellainen

avoin Rk:n osajoukko B, jossa on piste r0, ja sellainen

yksikasitteinen funktio f : B → Rn−k, etta

∗Implisiittifunktiolauseita tunnetaan kirjallisuudessa monenlaisinaversioina, hieman eri oletuksin ja johtopaatoksin.

45

(i) f :n kuvaaja sisaltyy S:aan,

(ii) p0 = (r0, f(r0)) vaihtamalla tarvittaessa muuttu-

jien jarjestysta niin, etta r tulee ensin,

(iii) F(r, f(r)) = 0 joukossa B,

(iv) f on jatkuvasti derivoituva joukossa B ja

f ′(r) = −F′s(r, f(r))

−1F′r(r, f(r)),

missa on merkitty F:n derivaattamatriisia vain muut-

tujien r suhteen F′r:lla ja vain muuttujien s suhteen

F′s:lla. (Jolloin ilmeisesti F

′ =(

F′r F′

s

)

lohkomuo-

dossa. Tama kohta on voimassa vain jos k > 0.)

Todistus. Todistus on pitka ja hankalahko, ks. esimerkiksi

APOSTOL tai HUBBARD & HUBBARD tai NIKOLSKY & VOLOSOV

tai kurssi MAT-43850 Matemaattinen analyysi 2. Tapaus

k = 0 on kuitenkin ilmeinen. Silloin r0 on tyhja vekto-

ri ja f on vakiofunktio p0. Kohdan (iv) derivaattalause-

ke taas saadaan implisiittisella derivoinnilla eli derivoimalla

ketjusaannolla puolittain identiteetti F(r, f(r)) = 0 jou-

kossa B ja ratkaisemalla f ′(r) saadusta yhtalosta

F′r(r, f(r)) + F′

s(r, f(r))f′(r) = O.

46

Implisiittifunktiolauseesta (ja Lauseesta 2.1) saadaan seu-

rauksena valittomasti monistomaarittely uran avulla:

SEURAUS 2.3. Jos Rn:n osajoukon M jokaista pistetta

p0 kohti on sellainen joukko S ja sellainen funktio

F : S → Rn−k, etta Implisiittifunktiolauseen ehdot

1.– 4. toteutuvat ja uraehto F(p) = 0 maarittaa joukon

M∩S, niin M on Rn:n k-ulotteinen monisto.

Kaanteinenkin tulos patee:

LAUSE 2.4. Jos M on Rn:n k-ulotteinen monisto ja

k < n, niin M:n jokaista pistetta p0 kohti on sellai-

nen joukko S ja sellainen funktio F : S → Rn−k, etta

Implisiittifunktiolauseen ehdot 1.– 4. toteutuvat ja uraehto

F(p) = 0 maarittaa joukon M∩S.

Todistus. Katsotaan vain tapaus k > 0. (Tapaus k = 0

menee samaan tapaan—oikeastaan erikoistapauksena.) Jos

M on Rn:n k-ulotteinen monisto, niin lokaalisti jossain

avoimessa joukossa, jossa on piste p0, se on jonkin jatku-

vasti derivoituvan funktion f kuvaaja

s = f(r) (r ∈ A)

joillekin k:lle muuttujalle r (aktiiviset muuttujat). Uudel-

leenjarjestamalla voidaan olettaa, etta aktiiviset muuttujat

tulevat ensin.

47

Valitaan nyt joukoksi S karteesinen tulo A× Rn−k, ts.

S = (r, s) | r ∈ A ja s ∈ Rn−k,

ja F:ksi funktio

F(r, s) = s− f(r).

Silloin S on avoin Rn:n osajoukko∗ ja F on jatkuvasti de-

rivoituva S:ssa. Edelleen silloin

F′ =(

−f ′ In−k

)

on taysiranginen (In−k on identiteettimatriisi).

Lukuunottamatta n-ulotteisia monistoja, Rn:n monistot

ovat nain tarkalleen ne joukot, jotka ovat lokaalisti uria.

Erityisesti muotoa

G(p) = c eli G(p)− c = 0

olevat ehdot, missa c on vakio, maarittelevat moniston (yo.

oletuksin), ns. G:n tasa-arvomoniston (engl. level mani-

fold).

∗Jos B on A:n R-sateinen r0-keskinen pallo ja s0 ∈ Rn−k, niin

Rn:n avoin R-sateinen (r0, s0)-keskinen pallo sisaltyy S:aan, silla

ko. pallossa

‖r−r0‖2 ≤ ‖r−r0‖

2+‖s−s0‖2 = ‖(r, s)−(r0, s0)‖

2 < R,

joten r ∈ B.

48

Uraesitysta kutsutaan usein implisiittiseksi esitykseksi ja

maaritelman mukaista esitysta lokaaleina kuvaajina taas

eksplisiittiseksi esitykseksi.∗

ESIMERKKI.R3:n 2-ulotteiset monistot ovat sileita pin-

toja. Lokaalisti tallainen pinta saadaan jonkin ehdon

F(x, y, z) = 0

maaraamana urana, missa tarkastelujoukossa

F ′ =

(

∂F

∂x

∂F

∂y

∂F

∂z

)

6= 0.

Erityisesti muotoa G(x, y, z) = c, missa c on vakio, ole-

vien ehtojen antamat pinnat ovat G:n tasa-arvopintoja.

Nain annetuille pinnoille on muuten usein helppoa tarkis-

taa onko piste p0 = (x0, y0, z0) pinnalla vai ei. Laske-

taan vain (lokaalisti)F(x0, y0, z0) ja tarkistetaan onko se

= 0, toki tassakin voi olla vaikeuksia.

ESIMERKKI. R3:n 1-ulotteiset monistot ovat avaruus-

viivoja. Lokaalisti viiva saadaan jonkin ehdon

F(x, y, z) = 0 eli

F1(x, y, z) = 0

F2(x, y, z) = 0

∗On kolmaskin klassinen esitystapa, ns. parametrinen esitys, vrt. Py-kala 5.

49

antamien pisteiden urana, missa viivalla derivaatta

F′ =

F ′1

F ′2

on taysiranginen eli sen kaksi rivia ovat lineaarisesti riippu-

mattomat. Kyseessa on silloin lokaalisti kahden silean pin-

nan

F1(x, y, z) = 0 ja F2(x, y, z) = 0

(uraehdot, ks. edellinen esimerkki) leikkausviiva. Huomat-

takoon, etta kahden silean pinnan leikkausviiva ei toisaalta

valttamatta ole silea monisto (viiva), tahan tarvitaan yo.

taysirangisuus.∗

∗Esimerkiksi pinnan F1(x, y, z) = z − xy = 0 (satulapinta) japinnan F2(x, y, z) = z = 0 (xy-taso) leikkaus ei ole monisto(miksei?).

50

4. Monistojen kuvaaminen. Koordinaatistoriippu-

mattomuus

Monistoja ”kasitellaan”usein kuvaamalla niita sopivilla funk-

tioilla tavalla tai toisella. Eo. tavalla maaritellyille monistoil-

le ei ole kovinkaan helppoa nayttaa, etta saatu joukko to-

della on monisto. Parametrisoiduille monistoille se on usein

helpompaa, ks. seuraava pykala.

Kaanteiskuvat ovat toisaalta usein yhta kayttokelpoisia.

LAUSE 2.5. Jos

• M on Rn:n k-ulotteinen monisto, joka sisaltyy avoi-

meen joukkoon B,

• A on Rm:n avoin osajoukko, missa m ≥ n, ja

• g : A → B on sellainen jatkuvasti derivoituva funk-

tio, etta sen derivaatta g′ on taysiranginen eli sen rivit

ovat lineaarisesti riippumattomat,

niin kaanteiskuva g−1(M) on m − n + k-ulotteinen

Rm:n monisto.

51

Todistus. Tapaus k = n on selva. Silloin M on Rn:n

avoin joukko ja sen kaanteiskuva g−1(M) on Rm:n avoin

joukko eli Rm:n m-ulotteinen monisto.

Siirrytaan sitten tapaukseen k < n. Otetaan tarkastelta-

vaksi g−1(M):n mielivaltainen piste r0, jolloin siis

g(r0) ∈ M. Lokaalisti pisteen p0 = g(r0) lahella

monisto M on maariteltavissa urana, Lauseen 2.4 nojal-

la. Tarkemmin sanoen on sellainen Rn:n avoin osajoukko

S ja funktio F : S → Rn−k, etta Implisiittilauseen ehdot

1.–4. toteutuvat.

Jatkuvalle avoimessa joukossa maaritellylle funktiolle avoi-

men joukon kaanteiskuva on avoin, joten g−1(S) on avoin.

Ehto

F(g(r)) = 0

maarittaa lokaalina urana ilmeisestikin jonkin osan joukkoa

g−1(M). Avoimessa joukossa g−1(S) yhdistetty funktio

F g toteuttaa nyt Implisiittifunktiolauseen ehdot 1.– 4.,

silla sen derivaatta on ketjusaannon nojalla

(F g)′(r0) = F′(g(r0))g′(r0) = F′(p0)g

′(r0)

ja se on taysiranginen. Nain ollen Seurauksen 2.3 mukaan

g−1(M) on Rm:n monisto ja sen ulotteisuus on

m−(n−k) (r:n ulotteisuus miinus F:n ulotteisuus).

52

Tahan mennessa ei ole otettu kantaa monistojen koordi-

naatistoriippuvuuteen. Monisto on maaritelty aina tietyn

koordinaatiston avulla ja koordinaatistosta toiseen paastaan

luonnollisesti koordinaattimuunnoksilla. Mutta onko yhdes-

sa koordinaatistossa maaritelty monisto enaa maaritelman

mukainen monisto, jos se esitetaan jossain toisessa koordi-

naatistossa, ja sailyyko ulotteisuus?

Lauseen 2.5 seurauksena vastaus on myonteinen. Jos nimit-

tain koordinaattimuunnos on

r∗ = rQ+ b,

niin valitaan vain lauseessa m = n ja

g(r∗) = (r∗ − b)QT.

Silloin koordinaateissa r∗ esitettyna monisto M on koor-

dinaateissa r esitetyn version kaanteiskuva ja siten monisto

myos uusissa koordinaateissa. Ulotteisuuskin sailyy.

Se, etta joukko on k-ulotteinen monisto yksissa koordinaa-

teissa takaa, etta se on sita myos muissa koordinaateissa.

”Monistoisuus”on koordinaatistoriippumaton ominaisuus.

53

5. Moniston parametrisointi

Mikali monisto onnistutaan parametrisoimaan, sen kasitte-

ly on monissa suhteissa helpompaa.∗ Esimerkiksi moniston

yli otettujen integraalien maarittely ja kasittely on talloin

huomattavasti yksinkertaisempaa.

Rn:n k-ulotteisen moniston M parametrisointi † muodos-

tuu Rk:n avoimesta osajoukosta U (ns. parametrialue) seka

jatkuvasti derivoituvasta bijektiivisesta funktiosta

γ : U → M,

jonka derivaatta γ′ on taysiranginen. Derivaatta γ′ on siis

n×k-matriisi, jonka sarakkeet ovat lineaarisesti riippumat-

tomat. Ko. sarakkeet tulkitaan yleensa vektoreiksi. (Tassa

luonnollisesti oletetaan, etta k > 0.)

Ilmeisesti, jos monisto on jonkin funktion kuvaaja, ts.

s = f(r) (r ∈ A),

∗Monissa teksteissa monisto suorastaan maaritellaan yleista lokaaliabijektiivista parametrisointia kayttaen, ks. esimerkiksi SPIVAK taiO’NEILL. Talloin tarvitaan ns. transitioehdot takaamaan, etta kart-tafunktiot sopivat yhteen. Myoskin tassa kaytetty moniston maa-rittely on lokaali parametrisointi, mutta se ei ole yleinen sellainen.

†Usein puhutaan sileasta parametrisoinnista.

54

se on parametrisoitu, valitaan vain

U = A ja γ(r) = (r, f(r)).

Myoskin Rn:n n-ulotteinen monisto eli avoin osajoukko A

on luonnollisella tavalla parametrisoitu, valitaan paramet-

rialueeksi itse A ja γ:ksi identiteettikuvaus. Toisaalta se

voidaan parametrisoida muullakin tavoin.

ESIMERKKI. Ympyra Y : x2 + y2 = R2 on R2:n

1-ulotteinen monisto, joka ei ole parametrisoitavissa.

Taman nayttamiseksi tehdaan vastaoletus, jonka mukai-

sesti Y on parametrisoitavissa. Parametrialue U on silloin

reaaliakselin avoin joukko, ts. se muodostuu erillisista avoi-

mista valeista. Otetaan tarkasteltavaksi jokin naista va-

leista, sanotaan (a, b) (missa voi olla a = −∞ ja/tai

b = ∞). Kun valin (a, b) piste u liikkuu kohden a:ta, ym-

pyralla vastaava piste γ(u) liikkuu kehalla jompaan kum-

paan suuntaan. Se ei voi pysahtya paikalleen eika kaantya

takaisin, koska γ on bijektio ja γ′ taysiranginen. Nain ollen

Y :ssa on myos raja-arvopiste

p = limu→a+

γ(u).

55

Mutta nyt U :ssa ei voi olla sellaista pistetta v, etta

p = γ(v). Tallainen piste olisi jollain U :n muodostavista

avoimista valeista ja—samalla tavoin kuin edella—voidaan

paatella, etta kyllin lyhyt avoin vali (v− ǫ, v+ ǫ) kuvau-

tuu avoimeksi ympyran Y kaareksi, jolla on piste p, eika γ

nain olisi bijektiivinen.

Jos sen sijaan jatetaan ympyrasta pois yksi piste, sanotaan

piste (R,0), se on edelleen monisto (miksi?) ja paramet-

risoitavissa tutulla napakulmalla φ:

(x, y) = γ(φ) = (R cosφ,R sinφ) (0 < φ < 2π).

Nyt

γ(φ) = (R cosφ,R sinφ)

on jatkuvasti derivoituva bijektio ja

γ′(φ) =

(

−R sinφ

R cosφ

)

on aina 6= 0.

Kaanteiskuvaus saadaan helposti:

φ = atan(x, y),

missa atan on kahden muuttujan arkustangentti eli arkus-

tangentti, jossa kvadrantti ja arvot akseleilla tulevat oikein,

56

ts.

atan(x, y) =

arctany

x, kun x > 0 ja y ≥ 0

2π + arctany

x, kun x > 0 ja y < 0

π + arctany

x, kun x < 0

π

2, kun x = 0 ja y > 0

3π

2, kun x = 0 ja y < 0.

Se loytyy muodossa tai toisessa kutakuinkin kaikista ohjel-

mistoista. atan muuten on jatkuva ja jatkuvasti derivoi-

tuvakin—ei-negatiivista x-akselia tietysti lukuunottamatta,

ks. kuva alla (Maple)—silla (totea!)

∂atan(x, y)

∂x= −

y

x2 + y2ja

∂atan(x, y)

∂y=

x

x2 + y2.

57

0

2

4

6

8

10

–2

–1

1

2

y

–2

–1

1

2

x

Myoskaan pallo x2+ y2+ z2 = R2 ei ole parametrisoi-

tavissa. Jos jatetaan pois puoliympyran kaari

x2 + z2 = R2 , y = 0 , x ≥ 0,

saadaan monisto, jonka parametrisointi on mahdollista tu-

tuilla pallokoordinaateilla:

(x, y, z) = γ(θ, φ)

= (R sin θ cosφ,R sin θ sinφ,R cos θ)

ja parametrialue on avoin suorakulmio

U : 0 < θ < π , 0 < φ < 2π.

58

Derivaattamatriisi

γ′(θ, φ) =

R cos θ cosφ −R sin θ sinφR cos θ sinφ R sin θ cosφ−R sin θ 0

on taysiranginen ja kaanteiskuvauskin on jalleen helppo loy-

taa:

θ = arccosz

Rφ = atan(x, y).

ESIMERKKI. Yleinen silean avaruusviivan parametrisoin-

ti on muotoa

r = γ(u) (u ∈ U),

missa U on avoin vali. (Periaatteessa parametrialue voisi

muodostua useastakin avoimesta valista, mutta talloin viiva

voitaisiin vastaavasti jakaa osiin.) Talloin γ on jatkuvasti

derivoituva ja γ′ 6= 0, mika takaa, etta viivalla on joka

pisteessaan tangentti.

ESIMERKKI. Yleinen silean pinnan parametrisointi on

muotoa

r = γ(u) (u ∈ U),

missa U on avoin R2:n osajoukko. Edelleen γ on jatku-

vasti derivoituva ja γ′ on taysiranginen, ts. sen kaksi sara-

ketta ovat lineaarisesti riippumattomat. Tama takaa, etta

pinnalla on joka pisteessaan normaalivektori (mainittujen

sarakkeiden ristitulon antama vektori).

59

Parametrisointi on siis rajoitetumpi kuin eo. moniston maa-

rittelyt. Toisaalta sen avulla on helpompi kasitella monisto-

ja. Integroinnissa parametrisoinnin rajoitukset voidaan pal-

jolti jattaa huomiotta, silla ne kohdistuvat joukkoihin, joilla

ei ole vaikutusta integraalien arvoihin, kuten tullaan nake-

maan. Todetaan viela, etta jos joukko on onnistuttu para-

metrisoimaan, niin se on monisto tietyssa lokaalissa mieles-

sa.

LAUSE 2.6. Jos M ⊆ Rn, U on R

k:n avoin joukko,

u0 ∈ U ja on jatkuvasti derivoituva bijektiivinen funktio

γ : U → M, jonka derivaatta γ′ on taysiranginen, niin

on sellainen U :n avoin osajoukko V , etta u0 ∈ V ja γ(V)on R

n:n k-ulotteinen monisto.

Todistus. Otetaan tarkasteltavaksi M:n piste

p0 = γ(u0).

Silloin γ′(u0):n sarakkeet ovat lineaarisesti riippumatto-

mat ja sen jotkut k rivia ovat myos lineaarisesti riippumat-

tomat. Tarvittaessa uudelleenjarjestamalla voidaan olettaa,

etta nama rivit ovat γ′(u0):n k ensimmaista rivia.

Katsotaan ensin tapaus, missa k < n. Merkitaan nyt M:n

yleiselle pisteelle p = (r, s), missa r:ssa ovat k ensim-

maista komponenttia. Merkitaan edelleen γ1:lla funktiota,

joka saadaan ottamalla γ:sta k ensimmaista komponent-

tia, ja r0 = γ1(u0). Merkitaan viela γ2:lla funktiota,

60

joka saadaan ottamalla γ:sta n− k viimeista komponent-

tia. Avoimessa joukossa S = U × Rk (vrt. Lauseen 2.4

todistus) maaritelty funktio

F(u, r) = r− γ1(u)

toteuttaa silloin Implisiittifunktiolauseen ehdot 1.– 4. Nain

ollen on jossain avoimessa joukossa B maaritelty jatkuvasti

derivoituva funktio g : B → Rk, jonka kuvaaja u = g(r)

sisaltyy S:aan ja jolle

r = γ1(g(r)).

Karttafunktio f pisteessa p0 saadaan silloin valitsemalla

f(r) = γ2(g(r)).

Edelleen valitaan V = γ−11 (B), joka on avoin joukko. (Ja

missa tarvitaankaan γ:n bijektiivisyys?)

Tapaus k = n menee samaan tapaan. Avoimessa joukossa

S = U × Rn maaritelty funktio

F(u,p) = p− γ(u)

toteuttaa silloin Implisiittifunktiolauseen ehdot 1.– 4. Nain

ollen on jokin avoin joukko B, jossa on piste p0, ja jat-

kuvasti derivoituva funktio g : B → Rn, jonka kuvaaja

u = g(p) sisaltyy S:aan ja jolle

p = γ(g(p)).

61

Nain ollen B ⊆ M. Jalleen valitaan V = γ−1(B), joka

on avoin joukko.

Moniston M parametrisointi funktiolla

γ : U → M

voidaan vaihtaa haluttaessa toiseksi seuraavalla tavalla, ns.

uudelleenparametrisoinnilla. Etsitaan uusi parametrialue

V ⊆ Rk ja sellainen jatkuvasti derivoituva bijektiivinen

funktio

η : V → U ,

etta sen derivaatta η′ on ei-singulaarinen. Uusi paramet-

risointi tapahtuu silloin yhdistetylla funktiolla γ η, ts.

muodossa

r = γ(η(v)) (v ∈ V).

Kyseessa on todellakin parametrisointi, silla ketjusaannon

nojalla γ η on jatkuvasti derivoituva ja sen derivaatta

γ′(η(v))η′(v)

on taysiranginen. Myoskin Rn:n n-ulotteiset monistot eli

avoimet joukot kannattaa toisinaan uudelleenparametrisoi-

da.

62

ESIMERKKI. R3:n 3-ulotteisia monistoja eli avoimia

joukkoja (eli ”kappaleita”) esitetaan usein parametrisoitui-

na muutenkin kuin vain triviaalilla tavalla identiteettifunk-

tiolla.

Tuttuja tallaisia parametrisointeja ovat esitykset sylinteri-

tai pallokoordinaattien avulla. Esimerkiksi alla olevan kuvan

pallonviipale (avoimena joukkona) voidaan parametrisoida

pallokoordinaateilla:

(x, y, z) = γ(ρ, θ, φ)

= (ρ sin θ cosφ, ρ sin θ sinφ, ρ cos θ)

ja parametrialue on avoin suorakulmainen sarmio

V : 0 < ρ < R , 0 < θ < π , 0 < φ < α.

z

y

x

φ = 0

ρ = R

φ = α parametrialue

α

Rρ

θ

φ

π

U

63

Moniston eri parametrisoinnit voivat tulla ”omia teitaan”,

ilman etta niita mitenkaan uudelleenparametrisoitaisiin toi-

nen toisikseen. Silloinkin tilanne palautuu periaatteessa uu-

delleenparametrisointiin.

LAUSE 2.7. Moniston eri parametrisoinnit voidaan aina

saada toinen toisistaan uudelleenparametrisoinnilla.

Todistus. Otetaan tarkasteltavaksi tilanne, missa Rn:n

k-ulotteisella monistolla M on parametrisoinnit

r = γ1(u) (u ∈ U) ja r = γ2(v) (v ∈ V).

Sopiva ehdokas uudelleenparametrisoivaksi kuvaukseksi on

ilmeisestikin η = γ−11 γ2, jolloin saadaan parametrin

vaihto

u = γ−11 (γ2(v)).

Tama η on bijektiivinen, pitaa vain nayttaa, etta se on jat-

kuvasti derivoituva. Tata varten maaritellaan ensin funktio

G(u,v) = γ1(u)− γ2(v).

Silloin sen derivaatan G′ muuttujia u vastaavat sarakkeet

eli γ′1 ovat lineaarisesti riippumattomat.

Otetaan tarkasteltavaksi M:n piste

r0 = γ1(u0) = γ2(v0).

64

Koska γ′1(u0):n k saraketta ovat lineaarisesti riippumat-

tomat, myoskin γ′1(u0):n jotkut k rivia ovat lineaarisesti

riippumattomat. PoimitaanG:sta vastaavat k komponent-

tia ja muodostetaan niista funktio F. Avoimessa joukossa

S = U × V funktio F toteuttaa Implisiittifunktiolauseen

ehdot 1.– 4. ja lauseen lokaalisti antama funktio f on ilmei-

sestikin juuri η.

Koska pisteeksi v0 kay tassa mika tahansa V :n piste, η

on nain ollen jatkuvasti derivoituva. Toisaalta η′ on myos

ei-singulaarinen, silla γ2 = γ1η ja ketjusaannon nojalla

γ′2(v) = γ

′1(η(v))η

′(v),

ja jos η′ olisi jossain V :n pisteessa vajaaranginen, niin sa-

moin olisi γ′2.

Parametrisesti esitetty monisto voidaan lokalisoida myos

parametrialueen puolella: Otetaan parametrialueen U avoin

osajoukkoU ′ ja tulkitaan se uudeksi parametrialueeksi. Nain

saatu parametrisoitu joukko on jalleen monisto ja silla on

parametriesitys (vrt. Lause 2.6).

Itse asiassa talla tavoin saadaan myos eraanlainen moniston

yleistys. Parametrisoidaan joukko N kuten edella paramet-

rialueella U ja funktiolla γ : U → N , joka on jatkuvasti

derivoituva ja jonka derivaatta γ′ on taysiranginen, mutta

65

ei vaadita, etta γ olisi bijektiivinen. Jos nyt jokaista N :n

pistetta p kohti on sellainen U :n avoin osajoukko Up, etta

• p = γ(u) jollekin Up:n pisteelle u ja

• Up:lle rajoitettuna γ on bijektiivinen,

niin Lauseen 2.6 mukaisesti Up:lle rajoitettuna parametri-

sointi maarittaa moniston. Joukko N ei itsessaan kuiten-

kaan valttamatta ole monisto. Tallaisia yleistettyja para-

metrisia monistoja kutsutaan ratamonistoiksi (engl. trajec-

tory manifold). Ratamonisto voidaan uudelleenparametri-

soida tasmalleen samalla tavalla kuin monistokin.

ESIMERKKI. Napakulmalla φ parametrisoitu R2:n osa-

joukko

(x, y) = γ(φ)

= (r(φ) cosφ, r(φ) sinφ) (0 < φ < 2π),

missa

r(φ) = ecosφ − 2 cos 4φ+ sin5φ

12,

on mutkikas tasoviiva, joka ei ole monisto, koska se kul-

kee origon kautta kuusi kertaa, ks. kuva alla vasemmalla

(Maple). Se on kuitenkin 1-ulotteinen ratamonisto.

66

Oikeanpuoleinen kuva on puolestaan hodograafiviiva

(x, y) = γ′(φ)T (0 < φ < 2π).

Se osoittaa, etta γ′ on taysiranginen (kuvaaja ei kulje ori-

gon kautta). Samalla nakyy, etta itse asiassa myoskin pa-

rametrin arvoa φ = 0 (tai φ = 2π) vastaava piste oli-

si voitu ottaa lokaalisti mukaan. Myos siina viiva nimit-

tain olisi silea. Ilmio on yleinen napakoordinaattityyppisis-

sa parametrisoinneissa, silla vaikka atan on epajatkuva,

niin sin(atan(x, y)) ja cos(atan(x, y)) ovat jatku-

vasti derivoituvia. Samoin, jos parametrivaliksi olisi otettu

vaikkapa 0 < φ < 4π ja mukana olisi myos tuo paramet-

rin arvo φ = 2π.

–3

–2

–1

0

1

2

3

–1 1 2 3

–8

–6

–4

–2

0

2

4

6

–6 –4 –2 2 4 6

67

6. Tangenttiavaruus

Lokaalisti pisteen p0 lahella Rn:n k-ulotteinen monistoM

on k muuttujan funktion f kuvaaja

s = f(r)

Rn:ssa ja

p0 = (r0, f(r0)).

GeometrisestiM:n tangenttiavaruus pisteessa p0 muodos-

tuu kaikista niista tangenttivektoreista p0:ssa, jotka sivua-

vat siina M:aa. Tapaukset k = n ja k = 0 kasitel-

laan erikseen. Edellisessa tangenttiavaruus muodostuu kai-

kista vektoreista, jalkimmaisessa vain nollavektorista. Jat-

kossa oletetaan, etta 0 < k < n.

Lokaalisti f on pisteen r0 lahella likimain sama kuin affiini

approksimaationsa, ts.

f(r) ∼= f(r0) + (r− r0)f′(r0)

T.

Funktion affiini approksimaatio jossain pisteessa on ko. pis-

teessa tarkka niin funktion arvon kuin sen derivaatankin

osalta. Merkitaan

g(r) = f(r0) + (r− r0)f′(r0)

T

(jolloin g′(r0) = f ′(r0)). Silloin s = g(r) on kuvaaja,

68

joka lokaalisti sivuaa monistoa M pisteessa p0. Geometri-

sesti ko. kuvaaja on osa k-ulotteista hypertasoa, alemmissa

ulottuvuuksissa osa tasoa tai suoraa.

M:n tangenttiavaruus pisteessa p0, merkitaan Tp0(M),

muodostuukin niista (tangentti)vektoreista, joiden edusta-

jajanan alkupiste on p0 ja loppupiste on kuvaajalla

s = g(r), ts. se muodostuu tarkalleen kaikista vektoreista

(

(r, g(r))− (r0, f(r0)))T

=(

r− r0, (r− r0)f′(r0)

T)T

=

(r− r0)T

f ′(r0)(r− r0)T

=

Ik

f ′(r0)

(r− r0)T,

missa r ∈ Rk ja Ik on identiteettimatriisi. Mukana on eri-

tyisesti r = r0, joten nollavektori on tangenttiavaruudes-

sa.

Ko. tangenttiavaruus on siis vektoriarvoisen vektorimuuttu-

jan h funktion

T(h) = f ′(r0)h

69

kuvaaja. Ilmeisesti T on lineaarinen funktio ja f ′(r0) on

sen maarittava matriisi kaytetyssa kannassa.

Huomaa, etta kuvaajan s = f(r) vaihtaminen toiseen ku-

vaajaan t = h(u) vastaa lokaalista uudelleenparametri-

sointia u = η(r) ja tangenttiavaruuden kannan vaihtoa

matriisilla η′(r0) (vrt. Lause 2.7 ja sen todistus). Itse ava-

ruus pysyy samana.

ESIMERKKI. Silea avaruusviiva eliR3:n 1-ulotteinen mo-

nisto M on lokaalisti kuvaaja

(y, z) = f(x) = (f1(x), f2(x))

(tai toinen niista kahdesta muusta vaihtoehdosta). M:n

tangenttiavaruus sen pisteessa p0 = (x0, y0, z0), missa

(y0, z0) = f(x0), muodostuu silloin tarkalleen kaikista

vektoreista

hf ′1(x0)h

f ′2(x0)h

(h ∈ R).

Geometrisesti vektorit ovat siis suoralla r = p0 + tv

(t ∈ R), missa v = (1, f ′1(x0), f′2(x0)).

70

x

y

p0 = (x0 , f1(x0) , f2(x0))

avaruusviiva + tangenttivektori

z

ESIMERKKI. Silea pinta R3:ssa on 2-ulotteinen monis-

to M. Lokaalisti M on kuvaaja z = f(x, y) (tai sitten

toinen kahdesta muusta vaihtoehdosta). M:n tangentti-

avaruus pisteessa p0 = (x0, y0, z0), missa siis z0 =

f(x0, y0), muodostuu silloin tarkalleen kaikista vektoreis-

ta

1 00 1

∂f(x0, y0)

∂x

∂f(x0, y0)

∂y

(

h1h2

)

((h1, h2) ∈ R2).

Geometrisesti vektorit ovat siis tasolla

r = p0 + t1v1 + t2v2 (t1, t2 ∈ R),

missa

v1 =

(

1,0,∂f(x0, y0)

∂x

)

71

ja

v2 =

(

0,1,∂f(x0, y0)

∂y

)

.

x

y

p0 = (x0 , y0 , f(x0,y0))

z v1tangenttitaso

v2

Entas jos monisto M onkin esitetty lokaaleina urina, tar-

kemmin sanoen lokaalisti ehdon

F(r, s) = 0

maaraamana urana (olettaen sopiva muuttujajarjestys)? Sil-

loin Seurauksen 2.3 mukaisesti M saadaan lokaalisti pis-

teen p0 = (r0, s0) lahella myos kuvaajana s = f(r) ja

(katso Implisiittifunktiolause)

f ′(r0) = −F′s(r0, f(r0))

−1F′r(r0, f(r0)),

missa

F′ =(

F′r F′

s

)

.

72

Tangenttiavaruuden Tp0(M) muodostavat vektorit

Ik

f ′(r0)

h.

Mutta namahan ovat tarkalleen kaikki vektorit

m =

(

h

k

)

,

jotka toteuttavat ehdon

F′s(r0, f(r0))k+ F′

r(r0, f(r0))h = 0

eli

F′(p0)m = 0.

Siispa saadaan

LAUSE 2.8. Jos monisto M maaraytyy lokaalisti ehdon

F(p) = 0 maaraamana urana pisteen p0 lahella (Seu-

rauksen 2.3 oletuksin), niin tangenttiavaruus Tp0(M) on

matriisin F′(p0) nolla-avaruus.

Kaytannossa riittaa tietenkin etsia tangenttiavaruudelle (eli

nolla-avaruudelle) jokin kanta. Tangenttiavaruuden koordi-

naatistoriippumattomuutta ei ole viela todettu, mutta lau-

seen seurauksena

73

SEURAUS 2.9.Moniston tangenttiavaruus on koordinaa-

tistoriippumaton.

Todistus. Tama seuraa siita, etta nolla-avaruus on koordi-

naatistoriippumaton ja etta jokainen monisto voidaan esit-

taa lokaalina urana (Lause 2.4). Jos nimittain merkitaan

koordinaatistomuunnoksessa p∗ = pQ+ b

F∗(p∗) = F((p∗ − b)QT) ja m∗ = QTm,

niin (vrt. Pykala 1.5)

F∗′(p∗0)m

∗ = F′((p∗0−b)QT)QQTm = F′(p0)m.

Lisaksi Rn:n 0-ulotteiset monistot (pisteet) ja n-ulotteiset

monistot (avoimet joukot) tietysti ovat koordinaatistoriip-

pumattomia.

ESIMERKKI. Ympyran

F(x, y) = x2 + y2 −R2 = 0

tangenttiavaruus pisteessa (x0, y0) saadaan siis nain

1× 2-matriisin

F ′(x0, y0) = (2x0 2y0)

74

nolla-avaruutena. Se muodostuu sellaisista vektoreista

(

hk

)

,

etta

2x0h+2y0k = 0

(vrt. suoran yhtalo).

Vastaavasti pallonpinnan

F(x, y, z) = x2 + y2 + z2 −R2 = 0

tangenttiavaruus pisteessa (x0, y0, z0) saadaan 1 × 3-

matriisin

F ′(x0, y0, z0) = (2x0 2y0 2z0)

nolla-avaruutena. Se muodostuu sellaisista vektoreista

hkl

,

etta

2x0h+2y0k +2z0l = 0

(vrt. tason yhtalo).

Toisen asteen viivojen ja pintojen tangenttiavaruuksia kut-

sutaan myos polaariavaruuksiksi.

ESIMERKKI. Yleisestikin implisiittisesti yhtalolla

F(x, y, z) = 0

maaritellyn R3:n silean pinnan (moniston) M tangentti-

avaruus pisteessa p0 = (x0, y0, z0) on 1× 3-matriisin

75

F ′(p0) nolla-avaruus eli niiden vektorien m =

hkl

,

joukko, joille

F ′(p0) •m =∂F(p0)

∂xh+

∂F(p0)

∂yk +

∂F(p0)

∂zl

= 0.

Toisena Lauseen 2.8 seurauksena todetaan, etta jos monis-

tolla on parametriesitys, voidaan sen tangenttiavaruuskin

samalla parametrisoida.

SEURAUS 2.10. Jos Rn:n k-ulotteinen monisto M on

parametrisoitu funktiolla γ : U → M ja p0 = γ(u0),

niin tangenttiavaruus Tp0(M) muodostuu tarkalleen kai-

kista vektoreista, jotka ovat muotoa

γ′(u0)v (v ∈ R

k),

ts. Tp0(M) on γ′(u0):n kuva-avaruus.

Todistus. Lokaalisti pisteen p0 ymparistossa monisto M

voidaan esittaa jonkin sopivan ehdon F(p) = 0 maaraa-

mana urana. Siispa yhtalo

F(γ(u)) = 0

76

patee identiteettina jossain parametripisteen u0 ymparis-

tossa. Puolittain ketjusaannolla derivoiden tasta saadaan

toinen identiteetti

F′(γ(u))γ′(u) = O,

missa O on sopivan kokoinen nollamatriisi. Sijoittamalla

tahan arvo u = u0 saadaan yhtalo

F′(p0)γ′(u0) = O,

mika osoittaa, etta γ′(u0):n sarakkeet kuuluvatF′(p0):n

nolla-avaruuteen.

Koska toisaalta ko. nolla-avaruuden dimensio on k ja

γ′(u0):n k saraketta ovat lineaarisesti riippumattomat,

generoivat γ′(u0):n sarakkeet tangenttiavaruuden

Tp0(M).

ESIMERKKI. Jos silean avaruusviivan (1-ulotteinenR3:n

monisto) C parametrisointi on

r = γ(u) (u ∈ U),

niin sen tangenttiavaruus Tr0(C) pisteessa r0 = γ(u0)

muodostuu kaikista vektoreista

hγ′(u0) (h ∈ R).

77

ESIMERKKI. Jos silean pinnan (2-ulotteinen R3:n mo-

nisto) parametrisointi on

r = γ(u) (u ∈ U),

niin sen tangenttiavaruus pisteessa r0 = γ(u0) muodos-

tuu kaikista vektoreista

γ′(u0)h =

∂γ1(u0)

∂u1

∂γ1(u0)

∂u2∂γ2(u0)

∂u1

∂γ2(u0)

∂u2∂γ3(u0)

∂u1

∂γ3(u0)

∂u2

(

h1h2

)

=

(

∂γ(u0)

∂u1

∂γ(u0)

∂u2

)

h (h ∈ R2).

78

7. Normaaliavaruus

Geometrisesti Rn:n k-ulotteisen moniston M normaali-

avaruus sen pisteessa p0 muodostuu tarkalleen kaikista

(tangentti)vektoreista, jotka ovat kohtisuorassa kaikkia tan-

genttiavaruuden vektoreita vastaan, merkitaan Np0(M).

Ts. normaaliavaruus on tangenttiavaruuden ortogonaalinen

komplementti. Jalleen tapaukset k = n ja k = 0 ovat eri-

koisia ja jatetaan jatkossa huomiotta. Edellisessa normaali-

avaruus muodostuu pelkasta nollavektorista, jalkimmaises-

sa taas kaikista vektoreista. Normaaliavaruuden vektoreita

kutsutaan normaalivektoreiksi.

Normaaliavaruuden Np0(M) perusominaisuudet seuraa-

vat melko suoraan tangenttiavaruuden vastaavista. Luette-

loidaan ne vain tassa. Peruskursseilta muistettaneen, etta

matriisin nolla-avaruus on sen transpoosin kuva-avaruuden

ortogonaalinen komplementti, ja etta kuva-avaruus on trans-

poosin nolla-avaruuden ortogonaalinen komplementti.

• Jos Rn:n k-ulotteinen monisto M on pisteen p0 la-

hella lokaalisti funktion kuvaaja s = f(r), niin sen

normaaliavaruusNp0(M) muodostuu tarkalleen kai-

kista vektoreista(

−f ′(r0)T

In−k

)

k (k ∈ Rn−k).

79

• Jos Rn:n k-ulotteinen monistoM maaraytyy lokaalis-

ti ehdonF(p) = 0maaraamana urana pisteen p0 la-

hella (Seurauksen 2.3 oletuksin), niin sen normaaliava-

ruus Np0(M) on matriisin F′(p0)T kuva-avaruus,

ts. se muodostuu tarkalleen kaikista vektoreista

F′(p0)Tk (k ∈ R

n−k).

• Jos Rn:n k-ulotteinen monisto M on parametrisoitu

funktiolla γ : U → M ja p0 = γ(u0), niin nor-

maaliavaruusNp0(M) on γ′(u0)T:n nolla-avaruus,

ts. se muodostuu tarkalleen kaikista vektoreista n, jot-

ka toteuttavat ehdon

γ′(u0)

Tn = 0.

• Normaaliavaruus on koordinaatistoriippumaton.

• Rn:n k-ulotteisen moniston normaaliavaruuden dimen-

sio on aina n− k.

ESIMERKKI. Silea avaruusviiva eliR3:n 1-ulotteinen mo-

nisto M on lokaalisti kuvaaja

(y, z) = f(x) = (f1(x), f2(x))

80

(tai toinen niista kahdesta muusta vaihtoehdosta). M:n

normaaliavaruus sen pisteessa p0 = (x0, y0, z0), missa

(y0, z0) = f(x0), muodostuu silloin tarkalleen kaikista

vektoreista

−f ′1(x0) −f ′2(x0)

1 00 1

(

k1k2

)

(k1, k2 ∈ R).

Geometrisesti vektorit ovat siis tasolla

(x−x0)+ f ′1(x0)(y− y0)+ f ′2(x0)(z− z0) = 0.

x

y

p0 = (x0 , f1(x0) , f2(x0))

avaruusviiva + normaalitaso

z

Osa naista normaalivektoreista on muita kiinnostavampia.

Ne liittyvat viivan kaarevuuteen ja siihen tasoon, jossa viiva

pisteessa p0 tarkimmin on.

81

ESIMERKKI. Silea pinta R3:ssa on 2-ulotteinen monis-

to M. Lokaalisti M on kuvaaja z = f(x, y) (tai sit-

ten toinen kahdesta muusta vaihtoehdosta). M:n normaa-

liavaruus pisteessa p0 = (x0, y0, z0), missa siis z0 =

f(x0, y0), muodostuu silloin tarkalleen kaikista vektoreis-

ta

−∂f(x0, y0)

∂xk

−∂f(x0, y0)

∂yk

k

(k ∈ R).

Geometrisesti vektorit ovat siis suoralla r = p0 + tv

(t ∈ R), missa

v =

(

−∂f(x0, y0)

∂x,−

∂f(x0, y0)

∂y,1

)

.

ESIMERKKI. Jos silean pinnan (2-ulotteinen R3:n mo-

nisto) parametrisointi on

r = γ(u) (u ∈ U),

niin sen normaaliavaruus pisteessa r0 = γ(u0) muodos-

tuu kaikista vektoreista

n =

hkl

,

82

jotka toteuttavat ehdon

γ′(u0)

Tn =

∂γ1(u0)

∂u1

∂γ2(u0)

∂u1

∂γ3(u0)

∂u1∂γ1(u0)

∂u2

∂γ2(u0)

∂u2

∂γ3(u0)

∂u2

hkl

=

(

00

)

.

Nolla-avaruuden kantavektori saadaan nyt tuttuun tapaan

ristitulolla ja kyseessa ovat siis vektorit

t

(

∂γ(u0)

∂u1×

∂γ(u0)

∂u2

)

(t ∈ R).

(Ristitulo ei ole nollavektori, silla γ′(u0):n sarakkeet ovat

lineaarisesti riippumattomat.)

Esimerkiksi pallokoordinaateilla

(x, y, z) = γ(θ, φ)

= (R sin θ cosφ,R sin θ sinφ,R cos θ)

(0 < θ < π,0 < φ < 2π)

parametrisoidun pallonpinnan normaaliavaruus pisteessa

γ(θ0, φ0) koostuu vektoreista

83

t

R cos θ0 cosφ0R cos θ0 sinφ0

−R sin θ0

×

−R sin θ0 sinφ0R sin θ0 cosφ0

0

= t

R2 sin2 θ0 cosφ0R2 sin2 θ0 sinφ0R2 sin θ0 cos θ0

(t ∈ R)

eli siis vektoreista

tγ(θ0, φ0)T (t ∈ R).

84

8. Monistot ja vektorikentat

Valitaan Rn:n k-ulotteisen moniston M tangenttiavaruu-

delle Tp0(M) ja normaaliavaruudelle Np0(M) jotkut

kannat

t1, . . . , tk ja n1, . . . ,nn−k,

vastaavasti. (Naiden ei tarvitse olla normeerattuja eika or-

togonaalisia.) Huomaa, etta aina jommallekummalle ava-

ruudelle saatiin edella helposti kanta.

Koska avaruudet ovat toistensa ortogonaalisia komplement-

teja, yhdistamalla nama kannat saadaan Rn:n kanta. Edel-

leen vektorikentta F voidaan jakaa naille avaruuksille pis-

teessa p0

F(p0) = Ftan(p0) + Fnorm(p0).

Naista Ftan(p0) on kentan vuo monistolla M ja

Fnorm(p0) vuo monistonM lapi pisteessa p0. (Vrt. nes-

tevuo pinnan lapi.) Riittaa luonnollisesti saada yksi naista,

toinen saadaan vahentamalla se kentasta.

Kannoista saadaan matriisit

T = (t1, . . . , tk) ja N = (n1, . . . ,nn−k)

85

ja naista edelleen ei-singulaariset matriisit (ns. Gramin mat-

riisit)

G = TTT = (Gij) , missa Gij = ti • tj , ja

H = NTN = (Hij) , missa Hij = ni • nj.

Merkitaan viela

a = TTF(p0) =

a1...ak

,

missa

ai = F(p0) • ti = Ftan(p0) • ti,

ja

b = NTF(p0) =

b1...

bn−k

,

missa

bi = F(p0) • ni = Fnorm(p0) • ni.

Pistetulon koordinaatistoriippumattomuudesta johtuen nai-

den matriisien ja vektorien alkiot eivat riipu koordinaatis-

tosta.

Kentan komponentit saadaan silloin muodossa

Ftan(p0) = TG−1a ja Fnorm(p0) = NH−1b.

86

ESIMERKKI. Vektorikentan vuo silealla pinnalla (R3:n

2-ulotteisella monistolla) ja sen lapi saadaan projisoimalla

kentta jollekin pinnan normaalivektorille n.

x

y

p0

z

tangenttitaso

Fnorm

F

Ftan

normaalivektori

Silloin

N = n , H = n•n = ‖n‖2 , b = F(p0)•n

ja

Fnorm(p0) =

(

F(p0) •n

‖n‖

)

n

‖n‖

= n1

‖n‖2(F(p0) • n).

87

LUKU 3 Moniston volyymi

1. Joukon volyymi

Geometrisesti sellaiset kasitteet kuin nelion ala tai kuution

tilavuus ovat maariteltavissa sivujen pituuden avulla. Jos

nama ovat avoimia, ala ja tilavuus ovat jo esimerkkeja mo-

niston volyymista, samoin on avoimen aarellisen valin pi-

tuus. Nelio voi tassa sijaita avaruudessa, samansivuiset ne-

liot ovat yhtenevia ja niilla on sama ala.

n-ulotteisessa avaruudessa voidaan samoin maaritella

n-ulotteisen kuution (ns. n-kuution) n-ulotteinen volyymi:

Jos sarman pituus on h, volyymi on hn. Tallainen kuutio

voi olla korkeampiulotteisessa avaruudessa ja sen tilavuus

on sama. Nama tallaiset volyymit ovat tulkittavissa geo-

metrisiksi primitiiveiksi.

Tapa, jolla paastaan kasiksi rajoitetun joukon A ⊂ Rn

volyymiin, on ns. Jordanin mitta. Sita varten tarvitaan pari

kasitetta.

A:n ulkopeite P muodostuu aarellisesta maarasta vierek-

kain asetettuja samanlaisia n-kuutioita, joiden yhdisteeseen

88

A sisaltyy. Vierekkaisilla n-kuutioilla on yhteisena vain nii-

den reuna (tahko). Kaikkien ulkopeitteiden luokkaa mer-

kitaan Pout:lla. Sisapeite P taas muodostuu vastaavas-

ti aarellisesta maarasta vierekkain asetettuja samanlaisia

n-kuutioita, joiden yhdiste sisaltyy A:han, vastaavaa luok-

kaa merkitaan Pin:lla. (Tama Pin voi hyvinkin olla tyhja.)

Huomaa, etta mitenkaan ei puututa n-kuutioiden sarman

pituuteen tai asentoon. Mitaan koordinaatistoakaan ei tas-

sa kiinniteta.

Peitteen P volyymi |P | on siina olevien n-kuutioiden vo-

lyymien summa. (Ja tama on geometrinen primitiivi.) Tyh-

jan peitteen volyymi on = 0. Lienee selvaa, etta jokaisen

sisapeitteen volyymi on pienempi tai yhtasuuri kuin jokai-

sen ulkopeitteen volyymi, kukin ulkopeitehan aina peittaa

kaikki sisapeitteet.

ulkopeite sis peite

Joukon A Jordanin ulko- ja sisamitat ovat

|A|out = infP∈Pout

|P | ja |A|in = supP∈Pin

|P |.

89

Joukko A on Jordan-mitallinen, jos |A|out = |A|in, ja

mittojen yhteinen arvo |A| on sen Jordanin mitta. Tama

mitta katsotaan nyt joukon A volyymiksi. Ilmeisesti tallai-

nen volyymi ei ole mitenkaan koordinaatistoriippuva.

Samaa konstruktiota voidaan kayttaa k-ulotteisessa ava-

ruudessa, joka on upotettu n-ulotteiseen avaruuteen (mis-

sa n > k). Tallainen k-ulotteinen avaruus on silloin Rn:n

affiini aliavaruus, ts. monisto R, jonka parametrisointi on

muotoa

γ(u) = b+k∑

i=1

uivi (u ∈ Rk),

missa v1, . . . ,vk ovat lineaarisesti riippumattomat. Valit-

semalla b origoksi ja ortogonalisoimalla v1, . . . ,vk tar-

vittaessa voidaan Rk ilmeisella tavalla upottaa R

n:aan ja

maaritella R:n rajoitetuille osajoukoille k-ulotteinen volyy-

mi. (Naiden osajoukkojen n-ulotteinen volyymi Rn:ssa on

toisaalta = 0, kuten on helppo todeta.) Tallaisia affiine-

ja aliavaruuksia ovat esimerkiksi avaruuden R3 suorat ja

tasot.

HUOMAUTUS. Kaikilla Rn:n osajoukoilla ei ole volyy-

mia! Osa niista on ns. Jordan-mitattomia joukkoja.

90

Jordanin mitan sisa- ja ulkopeitteet tuovat mieleen perus-

kursseilta tutun n-ulotteisen Riemannin integraalin maari-

telman ala- ja ylasummineen. Onkin melko helppo todeta,

etta silloin kun volyymi on olemassa, se saadaan integroi-

malla vakiofunktio 1, tarvittaessa kayttamalla epaoleellisia

integraaleja:

|A| =∫

A

1dr.

Tarkea erikoistapaus on Rn:n suuntaissarmion volyymi.

a1

a2

a3

LAUSE 3.1. AvaruudessaRn vektorit a1, a2, . . . , an (ja-

noiksi tulkittuina) sarminaan muodostetun suuntaissarmion

P volyymi on

|P| = |det(A)|,

missa A = (a1, a2, . . . , an) on matriisi, jonka sarakkeet

ovat mainitut vektorit.

91

Todistus. Asia on selva, jos a1, a2, . . . , an ovat lineaari-

sesti riippuvat, volyymi on silloin = 0. Siirrytaan tapauk-

seen, jossa a1, a2, . . . , an ovat lineaarisesti riippumatto-

mat. Volyymi saadaan yo. integraalilla, jossa tehdaan muut-

tujan vaihto r = uAT+b. Tunnetun kaavan mukaan sil-

loin

|P| =∫

P

1dr =∫

C

|det(A)|du = |det(A)||C|,

missa C on Rn:n yksikkokuutio, ts. sen maarittelevat ehdot

0 ≤ ui ≤ 1 (i = 1, . . . , n). Ko. kuution volyymi on

toisaalta = 1.

Volyymi tiedetaan jo koordinaatistoriippumattomaksi. Suun-

taissarmiolle sen nakee siitakin, etta volyymi voidaan kirjoit-

taa muotoon

|P| =√

det(G),

missa G on Gramin matriisi (vrt. Pykala 2.8)

G = ATA = (Gij) ja Gij = ai • aj.

Koska Gramin matriisin alkiot ovat pistetuloja, ne ovat

koordinaatistoriippumattomia.

Sama kaava patee edelleen, kun kyseessa on Rn:aan affiini-

na aliavaruutena upotetun Rk:n suuntaissarmion P

k-ulotteinen volyymi, ja P on maaritelty Rn:n k:lla vekto-

92

rilla a1, a2, . . . , ak. Gramin matriisi on tassa k× k-mat-

riisi. Mitaan kannan vaihtoa, ortogonalisointia tms. ei siis

tarvitse tehda, volyymi saadaan Rn:n vektoreita kayttaen.

Rn:n rajoitettua osajoukkoaA, jonka volyymi (eli Jordanin

mitta) on = 0, kutsutaan Rn:n nollajoukoksi. Nollajoukol-

le A on siis

|A|out = infP∈Pout

|P | = 0

(tyhja sisapeitehan on aina kaytettavissa). Rajoittamaton

osajoukkoA taas on nollajoukko, jos sen kaikki (rajoitetut)

osajoukot r | r ∈ A ja ‖r‖ ≤ N (N = 1,2, . . . )

ovat nollajoukkoja.

Tata maaritelmaa kayttaen on yleensa aika vaikea nayttaa,

etta joukko on nollajoukko. Eraanlainen yleistulos on

LAUSE 3.2. Jos M on Rn:n k-ulotteinen monisto ja

k < n, niin M:n rajoitetut osajoukot ovat Rn:n nolla-

joukkoja.

Todistus. Todistus on hankala ja pitka arviointi, ks. esimer-

kiksi HUBBARD & HUBBARD. Ainoa asia, mika on helppo to-

deta, on se, etta jos M:n rajoitetun osajoukon A volyymi

on olemassa, niin se on= 0. Muussa tapauksessa nimittain

|A|in > 0 ja A:n jossakin sisapeitteessa on ainakin yksi

93

n-ulotteinen kuutio, jonka keskipiste on p0 ja joka sisaltyy

kokonaanM:aan. Toisaalta p0:n lahistollaM on lokaalisti

jonkin funktion kuvaaja, mika ei ole silloin mahdollista.

ESIMERKKI. R3:n sileiden viivojen ja pintojen (1- ja

2-ulotteisten monistojen) rajoitetut osajoukot ovat nolla-

joukkoja.

Nollajoukot—samoinkuin alla esiteltavat k-nollajoukot—

ovat tarkeita integroinnin kannalta, silla niita tai niiden osia

voidaan vapaasti ottaa mukaan tai jattaa pois integroinnis-

sa tulosten muuttumatta.

On mahdollista maaritella Rn osajoukon alempiulotteinen-

kin volyymi kuin taysi n-ulotteinen, mutta tama on ylei-

sessa tapauksessa aika mutkikasta.∗ Toisaalta on helppo

maaritella n-kuution k-ulotteinen volyymi: Se on hk, jos

kuution sarman pituus on h. Edelleen tasta saadaan Rn:n

osajoukon A ulkopeitteen P k-ulotteinen volyymi |P |k ja

sen infimumina k-ulotteinen Jordanin ulkomitta. Vastaava

sisamitta on tietysti aina = 0, jos A:ssa ei ole avointa

osajoukkoa eli sen sisaosa A on tyhja.

Nain ollen on sentaan helppo maaritella Rn:n osajoukol-

le A k-ulotteinen volyymi 0 eli Rn:n k-nollajoukko: Se

on joukko, jonka k-ulotteinen Jordanin ulkomitta on = 0.

∗Asia liittyy mm. fraktaaleihin.

94

Jalleen tastamaaritelmasta lahtien on yleensa vaikeaa nayt-

taa joukko k-nollajoukoksi, mutta Lauseella 3.2 on yleistyk-

sensa—todistus vain on vielakin hankalampi, ks. HUBBARD

& HUBBARD:

LAUSE 3.3. Jos M on Rn:n k-ulotteinen monisto ja

k < m ≤ n, niin M:n rajoitetut osajoukot ovat Rn:n

m-nollajoukkoja.

Esimerkiksi R3:n sileiden viivojen (1-ulotteisten monisto-

jen) rajoitetut osat ovat R3:n 2-nollajoukkoja.

95

2. Parametrisoitujen monistojen volyymi

Yleisesti ottaen Rn:n k-ulotteisen moniston M k-ulottei-

nen volyymi on vaikea maariteltava.

Parametrisoidun moniston tapauksessa se on huomattavasti

helpompaa. Jos M:n parametrisointi on

r = γ(u) (u ∈ U),

niin

|M|k =∫

U

√

det(γ′(u)Tγ′(u)) du,

lyhyesti merkittyna

|M|k =

∫

M

dr.

Tallainen volyymi voi olla aaretonkin. Huomaa, etta nelio-

juuren sisalla oleva determinantti otetaan matriisista, joka

on Gramin matriisi ja nain ollen riippumaton koordinaatis-

tosta. Koko integraali on siis koordinaatistoriippumaton.

Vertaamalla edellisen pykalan suuntaissarmion k-ulotteiseen

volyymiin

|P|k =

√

det(ATA)

96

havaitaan, etta havainnollisesti ajatellen |M|k muodostuu

”summaamalla” moniston pisteissa r = γ(u) saatujen

sellaisten suuntaissarmioiden k-ulotteisia volyymeja, joiden

sarmat saadaan vektoreista

dui∂γ(u)

∂ui(i = 1, . . . , k).

Lisaksi vektori

dui∂γ(u)

∂ui

kuvaa (suunnattuna janana) approksimatiivisesti pisteen lii-

ketta monistolla, kun parametri ui liikkuu lyhyen matkan

dui muiden parametrien pysyessa muuttumattomina.

HUOMAUTUS. Tietyssa mielessa parametrisoidun vo-

lyymin |M|k maarittely siis on luonteva, mutta on muis-

tettava, etta se on nimenomaan maaritelma. Vaikka k-ulot-

teisen volyymin pulma ratkeaakin pitkalle parametrisoiduil-

le monistoille—ajatellen maarittelya ja laskemista—se ei

ratkea taydellisesti. On olemassa parametrisointeja, joita

kayttaen monistolle saadaan volyymi, vaikka sellaista ei ole

muulla tavoin maariteltyna (esimerkiksi Jordanin mittana).

Toisaalta monisto, jolla on volyymi, voidaan joskus para-

metrisoida siten, ettei yo. integraali ole olemassa. Lisaksi

asia on parametrisointikohtainen.

Jatkossa hiljaisesti oletetaan, etta kyseessa eivat ole tallai-

set ”patologiset”tapaukset.

97

Tarkeaa on toisaalta huomata, etta yo. maarittely antaa

avoimelle k-ulotteiselle suuntaissarmiolle P saman volyy-

min kuin edella saatu. Tallainen sarmio nimittain on mo-

nisto ja parametrisoitavissa muodossa

r = γ(u) = b+k∑

i=1

uiaTi (0 < u1, . . . , uk < 1),

missa

γ′(u) = A.

Toinen tarkea asia on volyymin riippumattomuus paramet-

risoinnista:

LAUSE 3.4. Parametrisoidun moniston volyymi ei muutu

uudelleenparametrisoinnissa.

Todistus. Vaihdettaessa monistonM parametrisointi funk-

tiolla γ : U → M toiseksi uudelleenparametrisoinnilla

otetaan uusi parametrialue V ⊆ Rk ja sellainen jatkuvas-

ti derivoituva bijektiivinen funktio η : V → U , etta sen

derivaatta η′ on ei-singulaarinen. Uusi parametrisointi ta-

pahtuu yhdistetylla funktiolla δ = γ η muodossa

r = γ(η(v)) = δ(v) (v ∈ V).

98

Ketjusaannon nojalla

δ′(v) = γ′(η(v))η′(v).

Tama vastaa |M|k:n antavassa integraalissa muuttujanvaihtoa u = η(v) ja integrointialueen vaihtoa V :ksi. Pi-taa vain tarkistaa integrandin muoto:

|M|k =

∫

U

√

det(γ ′(u)Tγ ′(u)) du

=

∫

V

√

det(γ ′(η(v))Tγ ′(η(v))) |det(η′(v))|dv

=

∫

V

√

det(γ ′(η(v))Tγ ′(η(v)))(det(η′(v)))2 dv

=

∫

V

√

det(η′(v)T) det(γ′(η(v))Tγ ′(η(v))) det(η′(v)) dv

=

∫

V

√

det(δ′(v)Tδ′(v)) dv.

ESIMERKKI. Silean parametrisoidun avaruusviivan

C : r = γ(u) (u ∈ U)

1-ulotteinen volyymi on sen pituus, silla

|C|1 =∫

U

√

det(γ′(u)Tγ′(u)) du

=

∫

U

√

γ′(u) • γ′(u) du =

∫

U

‖γ′(u)‖du.

99

ESIMERKKI. Vastaavasti silean parametrisoidun pinnan

S : r = γ(u) (u ∈ U)

2-ulotteinen volyymi on

|S|2 =∫

U

√

det(γ′(u)Tγ′(u)) du.

Tama on sama kuin tuttu pinnan ala

∫

U

∥

∥

∥

∥

∥

∂γ(u)

∂u1×∂γ(u)

∂u2

∥

∥

∥

∥

∥

du,

silla integrandissa esiintyva suunnikkaan (2-ulotteisen suun-

taissarmion) ala (2-ulotteinen volyymi) on lausuttavissa

myos ristitulon pituutena.

HUOMAUTUS. Rn:n k-ulotteisen ratamoniston k-ulot-

teinen volyymi maaritellaan aivan samalla tavoin ja sekin on

parametrisoinnista riippumaton. Luonnollisesti eo. huomau-

tuksessa mainitut vaikeudet koskevat myos ratamonistoja.

100

3. Laajennettu parametrisointi

Koska Rn:n k-nollajoukkojen k-ulotteinen volyymi on

= 0, sellaisten lisaaminen k-ulotteiseen monistoon (yh-

disteena) ei muuta moniston k-ulotteista volyymia.

Maariteltaessa monisto parametrisoituna Pykalassa 2.5 esi-

tetylla tavalla jouduttiin usein jattamaan monistosta pois

osia. Esimerkiksi pallonpinnan parametrisointi pallokoordi-

naatein ei sellaisenaan onnistu, vaan pinnasta on jatettava

osa pois (esimerkiksi puoliympyran kaari). Sopivasti para-

metrisoinnin kasitetta yleistaen voidaan nama poisjatetyt

osat ottaa mukaan, ainakin volyymilaskuissa ja muissa in-

tegroinneissa.

Rn:n k-ulotteisen moniston M laajennettu parametrisoin-

ti ∗ saadaan antamalla sellainen laajennettu parametrialue

U ⊆ Rk, poikkeusjoukko X ⊂ U ja jatkuva funktio

γ : U → Rn, etta

1. M ⊆ γ(U) ja γ(U − X) ⊆ M (usein valitaan

M = γ(U)).

∗Tama kasite ei ole mitenkaan standardi, erilaisia laajennettuja pa-rametrisointeja loytyy kirjallisuudessa useita. Tassa se on niin ylei-nen, etta jokaisella monistolla on laajennettu parametrisointi, ks.HUBBARD & HUBBARD.

101

2. U :n reuna ∂U on Rk:n nollajoukko.∗ Usein ∂U tai

sen osia sisaltyy poikkeusjoukkoon X .

3. X on Rk:n nollajoukko.

4. γ(X) on Rn:n k-nollajoukko.

5. joukko M′ = γ(U −X) on Rn:n k-ulotteinen mo-

nisto, jonka parametrisointi on

r = γ(u) (u ∈ U − X )

(Pykalan 2.5 mielessa).

Huomaa, etta kohdasta 5. seuraa, etta γ on U − X :ssa

jatkuvasti derivoituva ja bijektiivinen. Toisaalta U :ssa se on

vain jatkuva eika valttamatta bijektiivinen. Edelleen U−X

on avoin joukko, mutta U ei sita valttamatta ole. Nain

ollen, jos U :ssa on mukana sen reunan ∂U pisteita, niiden

on oltava mukana myos X :ssa.

∗Tama outo ehto tarvitaan sulkemaan pois joitain ”patologisia” ta-pauksia. Rk:n avoimillakin joukoilla voi nimittain olla reuna, jokaei ole nollajoukko.

102

ESIMERKKI. Pallonpinnan parametrisointi pallokoordi-

naateilla muodossa, jossa koko pallo on parametrisoitu, on

laajennettu parametrisointi:

r = γ(θ, φ) = (R sin θ cosφ,R sin θ sinφ,R cos θ)

(U : 0 ≤ θ ≤ π,0 ≤ φ ≤ 2π).

Poikkeusjoukko X on tassa U :n reuna ∂U .

θ

φ2π

π

UX = U

Koko pallo (R3:n 3-ulotteinen monisto) puolestaan saa-

daan laajennetulla parametrisoinnilla

r = γ(ρ, θ, φ) = (ρ sin θ cosφ, ρ sin θ sinφ, ρ cos θ)

(U : 0 ≤ ρ ≤ R,0 ≤ θ ≤ π,0 ≤ φ ≤ 2π).

U on suorakulmainen sarmio, jonka reuna muodostaa poik-

keusjoukon.

103

ESIMERKKI. Nelionpiiri, josta on poistettu karjet, on

R2:n neliosainen 1-ulotteinen monisto M, jolla on laa-

jennettu parametrisointi:

γ(u) =

(u+3,−1), kun −4 ≤ u ≤ −2

(1, u+1), kun −2 ≤ u ≤ 0

(1− u,1), kun 0 ≤ u ≤ 2

(−1,3− u), kun 2 ≤ u ≤ 4

(U : −4 ≤ u ≤ 4).

Poikkeusjoukko on tassa X = −4,−2,0,2,4.

M

x

y

11

1

1

Samaan tyyliin voidaan antaa laajennettu parametrisointi

esimerkiksi kuutionpinnalle tai yleisemmin monitahokkaiden

pinnoille.

104

Volyymia laskettaessa poikkeusjoukolla X ei ole kontribuu-

tiota, silla sen kuva γ(X) on Rn:n k-nollajoukko:

|M|k = |M′|k =

∫

U−X

√

det(γ′(u)Tγ′(u)) du.

Mikali integrandi√

det(γ′(u)Tγ′(u)) on jatkuvana jat-

kettavissa koko U :hun—kuten usein on—voidaan viela kir-

joittaa

|M|k =

∫

U

√

det(γ′(u)Tγ′(u)) du,

silla X on Rk:n nollajoukko.

Laajennettuja parametrisointeja voidaan siis volyymeja las-

kettaessa ja integroitaessa muutenkin kayttaa paljolti sa-

maan tapaan kuin tavallisiakin Pykalan 2.5 mukaisia para-

metrisointeja.

Uudelleenparametrisointikin laajennetussa mielessa ∗ on

mahdollista ja se sailyttaa volyymin. Silloin etsitaan uusi

laajennettu parametrialue V ⊆ Rk, sille poikkeusjoukko

Y ⊂ V ja sellainen jatkuva funktio η : V → U , etta

∗Jalleen kirjallisuudessa tamakin on maaritelty monin eri tavoin.

105

1. joukkoon Y rajoitettuna η on bijektiivinen funktio

Y → X .

2. joukkoon V −Y rajoitettuna η on jatkuvasti derivoi-

tuva bijektiivinen funktio V − Y → U − X ja sen

derivaatta η′ on ei–singulaarinen (eli η antaa silloin

”tavallisen”uudelleenparametrisoinnin).

Tallaisessa laajennetussa uudelleenparametrisoinnissa siis

poikkeusjoukko kuvautuu poikkeusjoukoksi, mika takaa et-

ta volyymi sailyy uudelleenparametrisoinnissa (Lauseen 3.4

seurauksena). Poikkeusjoukkoja joudutaan usein sovitta-

maan, jotta uudelleenparametrisointi olisi mahdollista.

ESIMERKKI. Ympyrankeha x2 + y2 = 1 on R2:n

1-ulotteinen monisto, jolle voidaan antaa esimerkiksi laa-

jennetut parametrisoinnit

r = γ1(φ) = (cosφ, sinφ) (0 ≤ φ < 2π)

(tavallinen napakoordinaatistoparametrisointi, poikkeusjouk-

ko on 0) ja

r = γ2(u) =

(−u− 2,√

1− (u+2)2 ),

kun −3 ≤ u ≤ −1

(u,−√

1− u2 ), kun −1 ≤ u < 1

(U : −3 ≤ u < 1)

106

(poikkeusjoukkona −3,−1). Naita laajennettuja para-

metrisointeja ei voi uudelleenparametrisoida suoraan toi-

nen toisikseen. Jos ensimmaiseen parametrisointiin lisataan

poikkeusjoukkoon ”turha” luku π, uudelleenparametrisointi

voidaan tehda funktiolla

u = η(φ) =

−2− cosφ, kun 0 ≤ φ ≤ π

cosφ, kun π ≤ φ < 2π.

HUOMAUTUS. Laajennetun parametrisoinnin kasite voi-

daan ottaa kayttoon myos ratamonistoille. Silloinkin volyy-

mi sailyy uudelleenparametrisoinnissa.

107

LUKU 4 Muodot

1. k-muodot

Tilanteissa, joissa vektorikenttia integroidaan ja tulos on

reaaliluku, kentat pitaa ensin ”muokata”tavalla tai toisella,

jotta niista saadaan reaaliarvoinen integrandi. Koska vekto-

rikentan oleellinen ominaisuus on sen suunta, nama muok-

kaustavat ottavat huomioon suunnan.

Integrointialueet ovat tassa monistoja, jotka on esitetty pa-

rametrisoituina, mahdollisesti kayttaen sopivaa laajennet-

tua parametrisointia. Ko. monistoon liittyvat suunnat taas

saadaan mukaan tangentti- ja normaaliavaruuksien edus-

tajien kautta. Lisaksi pitaa sopia monistoillekin suunnistus.

Esimerkkeja tallaisesta ovat tutut vektoraaliset viiva- ja pin-

taintegraalit∫

C

F(r) • ds ja∫

S

F(r) • dS.

Yleinen koneisto, jolla mainittu muokkaus voidaan tehda,

on kayttaa ns. muotoja (engl. form). Integroinnin yhteydes-

sa ne esiintyvat muodollisesti eraanlaisina differentiaaleina,

josta syysta niita kutsutaan usein differentiaalimuodoiksi.

Samasta syysta merkinnoissa esiintyy differentiaaleja. Var-

sinaista muuta yhteytta differentiaaleihin muodoilla ei ole.

108

n-ulotteinen k-muoto on kuvaus φ, joka kuvaa k kpl

n-ulotteisia vektoreita∗ r1, . . . , rk (jarjestys on tarkea!)

reaaliluvuksi φ(r1, . . . , rk) ja joka toteuttaa ehdot

1. φ on antisymmetrinen, ts. jos minka tahansa kahden

vektorin ri ja rj paikkoja vaihdetaan, niin muodon ar-

vo φ(r1, . . . , rk) vaihtaa merkkiaan. Jos esimerkiksi

k = 4, niin

φ(r3, r2, r1, r4) = −φ(r1, r2, r3, r4).

2. φ on multilineaarinen, ts. se on lineaarinen minka ta-

hansa muuttujapaikan (vektorin ri) suhteen:

φ(r1, . . . , ri−1, c1ri1 + c2ri2, ri+1, . . . , rk)

= c1φ(r1, . . . , ri−1, ri1, ri+1, . . . , rk)

+ c2φ(r1, . . . , ri−1, ri2, ri+1, . . . , rk)

(vastaavasti tapaukset i = 1 ja i = n).

Erikoistapauksena otetaan mukaan 0-muotokin: se on va-

kiofunktio, jolla ei ole muuttujavektoreita lainkaan.

∗Usein tangenttivektoreita, joista kaytetaan vain vektoriosa. Huo-maa, etta 1-, 2- ja 3-ulotteisissa avaruuksissa voitaisiin maaritte-lyssa kayttaa geometrisia vektoreita.

109

Ajatellen k-muotojen kayttotarkoitusta—vektorikenttien ja

k-ulotteisten volyymien yhdistamista integrointia varten—

maarittely on joteensakin minimaalinen. Antisymmetria an-

taa mahdollisuuden vaihtaa suuntaa ”peilaamalla”eli vaih-

tamalla kahden vektorin paikkaa. Multilineaarisuus taas ta-

kaa, etta kahden erillisen joukon yhteinen volyymi saadaan

laskemalla eri osien volyymit yhteen (additiivisuus) ja etta

tulos skaalautuu oikein, ts. jos vektorit skaalataan kertoi-

mella λ, niin tulos skaalautuu kertoimella λk.

ESIMERKKI. Tuttu esimerkki n-ulotteisesta n-muodos-

ta on determinantti det. Muodostetaan n-ulotteisista vek-

toreista r1, . . . , rn sarakkeina matriisi (r1 | · · · | rn)

ja lasketaan sen determinantti det(r1, . . . , rn). Determi-

nantin perusominaisuuksista seuraa suoraan, etta kyseessa

on n-muoto.

ESIMERKKI. Yhta tuttu esimerkki n-ulotteisesta 1-muo-

dosta on pistetulo vakiovektorin kanssa. Jos a on vakiovek-

tori, niin kuvaus φ(r) = a • r on 1-muoto. Antisymmet-

ria ei tassa tule kayttoon, koska muuttujavektoreita on vain

yksi.

ESIMERKKI. Edelleen tuttu esimerkki 3-ulotteisesta

2-muodosta on ristitulon r1 × r2 ensimmainen kompo-

nentti (tai muu komponentti). Ristitulon ominaisuuksien

perusteella nimittain

(r2 × r1)1 = (−r1 × r2)1 = −(r1 × r2)1

110

(antisymmetria) ja

(r1 × (c1r21 + c2r22))1

= (c1r1 × r21 + c2r1 × r22)1

= c1(r1 × r21)1 + c2(r1 × r22)1

(multilineaarisuus).

Listataan muutama muotojen perusominaisuus:

LAUSE 4.1. (i) Jos φ(r1, . . . , rk) on n-ulotteinen

k-muoto ja c on vakio, niin cφ(r1, . . . , rk) on myos

k-muoto.

(ii) Jos φ1(r1, . . . , rk) ja φ2(r1, . . . , rk) ovat n-ulot-

teisia k-muotoja, niin samoin on niiden summa

φ1(r1, . . . , rk) + φ2(r1, . . . , rk).

(iii) Jos φ(r1, . . . , rk) on n-ulotteinen k-muoto ja c on

vakiovektori, niin

φ1(r1, . . . , rk−1) = φ(r1, . . . , rk−1, c)

on n-ulotteinen k − 1-muoto. (Samoin tietysti, jos c

sijoitetaan johonkin muuhun muuttujapaikkaan.)

111

(iv) Jos vektorit a1, . . . , ak ovat lineaarisesti riippuvia,

niin k-muodon φ(a1, . . . , ak) arvo on = 0. Erityi-

sesti, jos jokin vektoreista a1, . . . , ak on nollavektori,

φ(a1, . . . , ak) = 0.

Todistus. Kohdat (i), (ii) ja (iii) ovat selvia, todistetaan

kohta (iv). Ensinnakin, jos kaksi vektoreista r1, . . . , rkovat samoja, niin arvo on = 0. Vaihtamalla mainitut vek-

torit keskenaan arvo nimittain vaihtaa merkkiaan, mutta

toisaalta se ei muutu. Jos sitten a1, . . . , ak ovat lineaa-

risesti riippuvia, niin yksi niista voidaan kirjoittaa muiden

lineaariyhdelmana, sanotaan vaikka, etta

ak =k−1∑

i=1

ciai.

Mutta silloin multilineaarisuuden nojalla

φ(a1, . . . , ak) =k−1∑

i=1

ciφ(a1, . . . , ak−1, ai)

ja se on = 0. Erikoisesti, jos esimerkiksi a1 = 0,

φ(0, a2, . . . , ak) = φ(0 · 0, a2, . . . , ak)

= 0φ(0, a2, . . . , ak) = 0.

Kohdan (iv) seurauksena jokainen n-ulotteinen k-muoto,

missa k > n, on kovin mielenkiinnoton: se saa aina arvon

0.

112

Muodot ovat itse asiassa eraanlaisia determinantin yleis-

tyksia. Taman nakemiseksi katsotaan miten n-ulotteinen

k-muoto φ(r1, . . . , rk) voidaan esittaa, kun vektorit

r1, . . . , rk esitetaan ortonormaalissa kannassa e1, . . . , en:

ri =n∑

j=1

xj,iej (i = 1, . . . , k).

Soveltamalla multilineaarisuutta viimeiseen muuttujavekto-

riin rk saadaan

φ(r1, . . . , rk) =n∑

j=1

xj,kφ(r1, . . . , rk−1, ej).

Jatkamalla samalla tavoin ottaen kayttoon muuttujavekto-

rin rk−1 kantaesitys saadaan

φ(r1, . . . , rk)

=n∑

j=1

n∑

l=1

xl,k−1xj,kφ(r1, . . . , rk−2, el, ej).

Huomaa, etta summasta itse asiassa jaavat pois kaikki ne

termit, joissa l = j. Jne. Lopulta saadaan φ(r1, . . . , rk)

muotoa

xj1,1xj2,2 · · ·xjk,kφ(ej1, ej2, . . . , ejk)

olevien termien summana, missa j1, j2, . . . , jk ovat eri

indekseja.

113

Kerataan yhteen ne termit, joissa indeksit j1, j2, . . . , jkmuodostuvat samoista luvuista, vain eri jarjestyksissa. Ote-

taan esimerkkitapauksena esille se, missa indeksit ovat lu-

vut 1,2, . . . , k eri jarjestyksissa. Muut tapaukset menevat

samaan tapaan. Kyseessa ovat siis termit (k! kpl)

xj1,1xj2,2 · · ·xjk,kφ(ej1, ej2, . . . , ejk),

missa j1, j2, . . . , jk ovat luvut 1,2, . . . , k jossain jarjes-

tyksessa. Vaihtamalla vektorit ”oikeaan jarjestykseen”

φ(ej1, ej2, . . . , ejk):ssa antisymmetriaa kayttaen saadaan

mainittu termi muotoon

±axj1,1xj2,2 · · ·xjk,k,

missa a = φ(e1, e2, . . . , ek) ja merkki ± maaraytyy

siita montako kertaa antisymmetriaa kaytettiin. Mutta tas-

malleen samoinhan menetellaan, kun determinantti∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x1,1 x1,2 · · · x1,kx2,1 x2,2 · · · x2,k... ... . . . ...

xk,1 xk,2 · · · xk,k

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

avataan, silloin vain a on = 1.

Maaritellaankin nyt erikoiset k-muodot, ns. alkeiset k-muo-

dot, seuraavasti. Valitaan indekseista 1,2, . . . , n jarjestyk-

114

sessa k kpl: j1 < j2 < · · · < jk. Silloin alkeinen

k-muoto∗

dxj1 ∧ dxj2 ∧ · · · ∧ dxjk

maaritellaan yhtalolla

(dxj1 ∧ dxj2 ∧ · · · ∧ dxjk)(r1, . . . , rk)

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

xj1,1 xj1,2 · · · xj1,kxj2,1 xj2,2 · · · xj2,k... ... . . . ...xjk,1 xjk,2 · · · xjk,k

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

Ts. sen arvo saadaan, kun poimitaan vektoreista r1, . . . , rkkustakin alkiot numero j1, j2, . . . , jk, muodostetaan niis-

ta k-rivinen determinantti ja lasketaan sen arvo. Erikois-

tapauksena otetaan viela mukaan alkeinen 0-muoto, va-

kiomuoto, jonka arvo on aina = 1. Ilmeisesti n-ulotteisia

alkeisia k-muotoja on(n

k

)

kpl.

Erityisesti alkeisia 0-muotoja ja n-muotoja on kumpiakin

yksi ja alkeisia 1-muotoja ja n − 1-muotoja kumpiakin n

kpl. Vm. lukumaarat mahdollistavat vektorien ”upottami-

sen”muotoihin kerrointen kautta.∗Tama erikoinen merkintatapa on perinteinen. Silla ei varsinaises-ti ole mitaan tekemista differentiaalien kanssa. Merkki ”∧” luetaan”kiila”(engl. wedge). Vastaava operaatio, ns. kiilatulo, on maaritel-tavissa yleisestikin muodoille, kuten nahdaan.

115

HUOMAUTUS. Yo. k-muodon

dxj1 ∧ dxj2 ∧ · · · ∧ dxjk

maarittely determinantin avulla toimii silloinkin, kun in-

deksit j1, j2, . . . , jk eivat ole suuruusjarjestyksessa. Ta-

makin vaihtoehto on mukava olla kaytossa. Talloin esi-

merkiksi dxjl:n ja dxjh:n vaihtaminen keskenaan vaihtaa

determinantissa l:nnen ja h:nnen rivin keskenaan ja sen

merkki vaihtuu. Edelleen se toimii, jos kaksi (tai useam-

pia) indekseista j1, j2, . . . , jk on samoja, kunhan k-muo-

don dxj1∧dxj2∧ · · ·∧dxjk silloin sovitaan aina saavan

arvon 0.

ESIMERKKI. n-ulotteiset alkeiset 1-muodot ovat yksin-

kertaisesti komponenttikuvaukset. Jos

r =

x1x2...

xn

,

niin (dxj)(r) = xj (j = 1, . . . , n). Determinantti-

muodossa kyseessa ovat 1-riviset determinantit.

ESIMERKKI. Ristitulon r1 × r2 ensimmainen kompo-

nentti on 3-ulotteinen alkeinen 2-muoto. Jos

r1 =

x1y1z1

ja r2 =

x2y2z2

,

niin mainittu ensimmainen komponentti on

116

(r1 × r2)1 = y1z2 − z1y2 =

∣

∣

∣

∣

∣

y1 y2z1 z2

∣

∣

∣

∣

∣

= (dy ∧ dz)(r1, r2).

Muutkin komponentit ovat alkeisia 2-muotoja, kaikkineen

r1 × r2 =

(dy ∧ dz)(r1, r2)(dz ∧ dx)(r1, r2)(dx ∧ dy)(r1, r2)

.

Tassa 2-muodossa dz ∧ dx muuttujat eivat ole oikeassa

jarjestyksessa, vrt. yo. huomautus.

ESIMERKKI. n-ulotteiset alkeiset n-muodot ovat yksin-

kertaisesti n-rivisia determinantteja:

(dx1 ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dxn)(r1, r2, . . . , rn)

= det(r1, r2, . . . , rn).

Jos muuttujat eivat ole jarjestyksessa tai/ja ne toistuvat,

niin

(dxj1 ∧ dxj2 ∧ · · · ∧ dxjn)(r1, r2, . . . , rn)

= det(rj1, rj2, . . . , rjn),

silla lopputuloksen kannalta on aivan sama tehdaanko de-

terminanttiin rivien vaiko sarakkeiden vaihtoja.

117

Edella oleva konstruktio antaa muotojen esityksen alkeisten

muotojen avulla:

LAUSE 4.2. Jos φ on n-ulotteinen k-muoto, niin

φ(r1, . . . , rk) =∑

1≤j1<j2<···<jk≤n

aj1,j2,...,jk(dxj1∧dxj2∧· · ·∧dxjk)(r1, . . . , rk),

missa

aj1,j2,...,jk = φ(ej1, ej2, . . . , ejk).

Esitys on yksikasitteinen, ts. kertoimia aj1,j2,...,jk ei voi

valita kuin yhdella tavalla (miksi?).

ESIMERKKI.n-ulotteiset 1-muodot ovat tarkalleen kaik-

ki muodot

φ(r) =n∑

j=1

ajxj = a • r

eli tarkalleen kaikki muodot, mitka saadaan ottamalla pis-

tetulo vakiovektorin a = (a1, . . . , an)T kanssa. Ehka

hiukan hamaavasti, tama muoto voidaan kirjoittaa myos

alkeisia 1-muotoja kayttaen:

a1dx1 + a2dx2 + · · ·+ andxn.

118

ESIMERKKI. 3-ulotteiset 2-muodot ovat tarkalleen kaik-

ki muodot

φ(r1, r2) = a • r1 × r2,

missa a on vakiovektori. Tama selittanee osaltaan skalaari-

kolmitulon (ja ristitulon) tarkean roolin vektorianalyysissa.

Tulos voidaan myos kirjoittaa determinanttimuodossa

φ(r1, r2) = det(a, r1, r2).

Yleisesti, ajatellen determinantin kehittamista ensimmaisen

sarakkeensa suhteen, n-ulotteiset n− 1-muodot ovat tar-

kalleen kaikki muodot

φ(r1, . . . , rn−1) = det(a, r1, . . . , rn−1),

missa a on vakiovektori.

ESIMERKKI.n-ulotteiset n-muodot ovat tarkalleen kaik-

ki muodot

φ(r1, . . . , rn) = adet(r1, . . . , rn),

missa a on skalaarivakio, eli alkeisen n-muodon avulla esi-

tettyna

adx1 ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dxn.

119

Edelleen Lauseen 4.2 avulla saadaan maaritellyksi kiilatulo

yleisesti. Jos muotojen esitykset alkeismuotojen avulla ovat

φ(r1, . . . , rk) =∑

1≤j1<j2<···<jk≤n

aj1,j2,...,jk(dxj1∧dxj2∧· · ·∧dxjk)(r1, . . . , rk)

(k-muoto) ja

ψ(s1, . . . , sl) =∑

1≤h1<h2<···<hl≤n

bh1,h2,...,hl(dxh1∧dxh2∧· · ·∧dxhl)(s1, . . . , sl)

(l-muoto), niin niiden kiilatulo on k+ l-muoto

(φ ∧ ψ)(r1, . . . , rk, s1, . . . , sl),

jonka esitys alkeismuotojen avulla on

φ ∧ ψ =∑

1≤j1<j2<···<jk≤n1≤h1<h2<···<hl≤n

aj1,j2,...,jkbh1,h2,...,hldxj1∧dxj2∧· · ·∧dxjk

∧ dxh1 ∧ dxh2 ∧ · · · ∧ dxhl

eo. huomautuksen mukaisin sopimuksin koskien jarjestysta

ja toistoja. Jos k = 0 eli φ on 0-muoto (vakio), kyseessa

on yksinkertaisesti vakiolla kertominen. Huomaa, etta tal-

lainen kiilatulo on liitannainen ja osittuva, ts.

φ ∧ (ψ ∧ ξ) = (φ ∧ ψ) ∧ ξ ,

φ ∧ (ψ+ ξ) = φ ∧ ψ+ φ ∧ ξ ja

(φ+ ψ) ∧ ξ = φ ∧ ξ+ φ ∧ ξ.

120

HUOMAUTUS. Kiilatulo voidaan maaritella myos kayt-

tamatta esityksia alkeisten muotojen avulla ja siis koko-

naan ilman koordinaattiesitysta. Ks. esimerkiksi HUBBARD

& HUBBARD.

121

2. Muotokentat

Rn:n k-muotokentta ∗ (engl. k-form field) on kuvaus, joka

liittaa kuhunkin pisteeseen p oman k-muotonsa:

Φ(p; r1, . . . , rk).

Tassa r1, . . . , rk ovat muotokentan pisteessa p antaman

k-muodon vektorimuuttujat—jotka usein ajatellaan tan-

genttivektoreiksi pisteessa p. Lauseen 4.2 nojalla muoto-

kentan Φ maarittamiseksi riittaa antaa pisteesta p riippu-

vat kertoimet esityksessa alkeisten k-muotojen avulla:

Φ(p; r1, . . . , rk) =∑

1≤j1<j2<···<jk≤n

aj1,j2,...,jk(p)(dxj1∧dxj2∧· · ·∧dxjk)(r1, . . . , rk),

missa tarvittavat(n

k

)

kerrointa ovat

aj1,j2,...,jk(p) = Φ(p; ej1, ej2, . . . , ejk).

Muotokentta ei yleensa ole maaritelty koko avaruudessaRn

vaan vain jossain sen osajoukossa, esimerkiksi monistossa.

∗Jostain syysta myoskin muotokenttia kutsutaan joissain teksteissadifferentiaalimuodoiksi, vaikka niillakaan ei oikeastaan ole mitaantekemista differentiaalien kanssa.

122

ESIMERKKI. n-ulotteiset 1-muotokentat ovat kentat

Φ(p; r) = F(p) • r,

missa F on sopivassa Rn:n osajoukossa (monistossa) maa-

ritelty vektoriarvoinen funktio (vektorikentta).

ESIMERKKI. R3:n 2-muotokentta on yleisesti

Φ(p; r1, r2) = F(p) • r1 × r2,

missa F on sopivassa R3:n osajoukossa (monistossa) maa-

ritelty vektorikentta.

ESIMERKKI. Rn:n n-muotokentta on yleisesti

Φ(p; r1, . . . , rn) = a(p) det(r1, . . . , rn),

missa a on sopivassa Rn:n osajoukossa (monistossa) maa-

ritelty reaaliarvoinen funktio (skalaarikentta).

Naista esimerkeista jo alkaa nakya, miten monistot, vektori-

ja skalaarikentat seka muodot liittyvat toisiinsa: Muoto-

jen avulla vektori- ja skalaarikentista muodostetaan muo-

tokenttia, jotka sitten integroidaan jonkin osajoukon yli,

usein moniston tai sopivan laajennetun parametrisoinnin an-

taman osajoukon. Tallainen integrointi on yleisessa tapauk-

sessa hankala esittaa, mutta parametrisoinnin kautta se on

yksinkertaista, ainakin periaatteessa.

123

Jos Rn:n k-ulotteisella monistolla M on (laajennettu) pa-rametrisointi

r = γ(u) (u ∈ U)

ja Φ(p; r1, . . . , rk) on M:ssa maaritelty n-ulotteinenk-muotokentta, niin sen integraali yli M:n on

∫

M

Φ =∫

U

Φ(γ(u);γ′(u)) du.

Tassa γ′(u):n k saraketta tulkitaan muotokentan muut-tujavektoreiksi. Monet peruskursseilta tutut integraalit ovatjuuri tallaisia integraaleja, ja niille on nyt saatu yhtenainenmuoto.

ESIMERKKI. Vektorikentan F viivaintegraali yli silean

viivan

C : r = γ(u) (u ∈ U)

eli∫

C

F(r) • ds =

∫

U

F(γ(u)) • γ′(u) du

on 1-muotokentan

Φ(p; r) = F(p) • r

integraali yli C:n. Viiva C voisi olla paloittainkin silea laa-

jennetun parametrisoinnin kautta. Ilmeisista syista tama in-

tegraali kirjoitetaan usein (R3:ssa) muotoon∫

C

F1(r) dx+ F2(r) dy+ F3(r) dz.

124

ESIMERKKI. Vastaavasti vektorikentan F pintaintegraa-

li yli silean pinnan

S : r = γ(u) (u ∈ U)

eli∫

S

F(r) • dS =

∫

U

F(γ(u)) •∂γ(u)

∂u1×∂γ(u)

∂u2du

on 2-muotokentan

Φ(p; r1, r2) = F(p) • r1 × r2

integraali yli S:n. Tassakin pinta S voisi olla laajennetun

parametrisoinnin kautta paloittain silea. Ajatellen ristitulon

ja alkeisten 2-muotojen yhteytta ei liene ihmeellista, etta

ko. pintaintegraali kirjoitetaan usein muotoon∫

S

F1(r) dy ∧dz+F2(r) dz ∧dx+F3(r) dx∧dy.

ESIMERKKI. Skalaarikentan f integraali yli Rn:n (laa-

jennetusti) parametrisoidun n-ulotteisen moniston

M : r = γ(u) (u ∈ U)

eli∫

M

f(r) dr =∫

U

f(γ(u))|det(γ′(u))|du

125

(ajattele integraalin muuttujan vaihtoa) ei ole muotoken-

tan integraali yli M:n johtuen itseisarvosta. Sen sijaan in-

tegraali∫

U

f(γ(u)) det(γ′(u)) du

on n-muotokentan

Φ(p; r1, . . . , rn) = f(p) det(r1, . . . , rn)

integraali yli M:n.

126

3. Muodot ja monistojen suunnistus

Geometrisesti R3:n pinta voidaan suunnistaa antamalla jo-

tenkin (usein parametrisoinnin kautta) kussakin pinnan pis-

teessa normaalivektori, joka muuntuu jatkuvasti siirryttaes-

sa pitkin pintaa eika ole missaan pinnalla nollavektori, eika

voi nain ollen siirtya pinnan toiselle puolelle.

Vastaavasti viiva voidaan suunnistaa antamalla kussakin

sen pisteessa jatkuvasti muuntuva tangenttivektori, joka ei

missaan viivalla ole nollavektori eika siis voi kaantya vas-

takkaissuuntaiseksi.

Yleisesti Rn:n k-ulotteinen monistoM voidaan suunnistaa

(engl. orientate) samalla idealla, se vain on usein vaikea

toteuttaa. Suunnistus saadaan valitsemalla, mikali mah-

dollista, sellainen monistossa M maaritelty n-ulotteinen

k-muotokentta

Φ(p; r1, . . . , rk),

etta

1. jokaisessa moniston pisteessa p0 saatava k-muoto

Φ(p0; r1, . . . , rk)

on maaritelty ko. pisteessa muodostetussa tangentti-

avaruudessa Tp0(M).

127

Ts. Φ(p0; r1, . . . , rk) on maaritelty, kun r1, . . . ,

rk ovat tangenttiavaruudessa Tp0(M), ks. Pykala

2.6. Toki k-muoto voi olla maaritelty muillekin vekto-

reille, mutta niita ei tassa tarvita.

2. Φ on jatkuva pistemuuttujan p suhteen M:ssa eika

vaihda merkkiaan.

Tarkemmin sanoen, jokaista M:n pistetta p kohti on

valittavissa sellaiset tangenttiavaruuden Tp(M) vek-

torit

t1(p) , . . . , tk(p),

etta

Φ(p; t1(p), . . . , tk(p))

on jatkuva p:n suhteenM:ssa ja on joko kokoM:ssa

positiivinen tai koko M:ssa negatiivinen. Etumerk-

kia voidaan nain kayttaa suunnistukseen. Huomaa, et-

ta silloin vektorit t1(p), . . . , tk(p) aina muodosta-

vat tangenttiavaruuden Tp(M) kannan, muutoinhan

muodon arvo on = 0. Kysymys on siis siita, etta tan-

genttiavaruudelle valitaan aina samalla tavalla suun-

nistettu (”samankatinen”) kanta.

128

Jos monistolla M on parametrisointi

p = γ(u) (u ∈ U),

saadaan sille suunnistus sita kayttaen. Kohta 1. on sama,

kohta 2. korvautuu kohdalla

2.’ Φ(γ(u);γ′(u)) on jatkuva parametrin u suhteen

eika vaihda merkkiaan.

Tama ei ole mitenkaan erityyppinen suunnistus kuin ylei-

nen, parametrisointia vain kaytetaan tangenttiavaruuden

kannan valinnan apuna. Kuten Lauseen 2.6 todistuksessa

todettiin, lokaalisti parametri u on esitettavissa joidenkin

p:n komponenttien r jatkuvana—jopa jatkuvasti derivoitu-

vana—funktiona u = g(r). Nain ollen γ−1 on M:ssa

jatkuva ja kohdan 2. mukainen suunnistus saadaan arvosta

Φ(p;γ′(γ−1(p))).

Kaikkia monistoja ei voi suunnistaa. Tunnettu esimerkki on

Mobiuksen nauha. Eraan sellaisen laajennettu parametri-

sointi on

γ1(u) =

(

1+ u1 cosu2

2

)

cosu2

γ2(u) =

(

1+ u1 cosu2

2

)

sinu2

γ3(u) = u1 sinu2

2(U : −1 < u1 < 1,0 ≤ u2 < 2π).

129

Jos jatetaan parametriarvo u2 = 0 pois, nauha ”katkeaa”ja se on parametrisoitu R

3:n 2-ulotteinen monisto. (Ta-man osoittaminen vaatii jonkin verran laskua.) Katkais-tuna nauha voidaan myos suunnistaa. Jos toisaalta laa-jennetussa parametrisoinnissa valittaisiin u2:lle toinen valiπ ≤ u2 < 3π, siirtyisi katkaisukohta toisaalle. Koska ”mo-nistoisuus”on lokaali ominaisuus, tama tietaa sita, etta ”kat-keamaton”Mobiuksen nauhakin on monisto—ei kyllakaanparametrisoitu. Kuvasta (Maple) katsoen lienee kuitenkingeometrisesti selvaa, ettei sita voida suunnistaa (asian tark-ka todistus on hankala):

Monistoja, jotka voidaan suunnistaa, kutsutaan suunnistu-

viksi (engl. orientable). Mikali suunnistuvan moniston Msuunnistus on kiinnitetty (sopivalla muotokentalla), tuo-daan tama esille merkinnalla

−→M. Vastakkaiseen suuntaan

suunnistettua monistoa merkitaan usein −−→M:lla.

130

Myoskin ym. pinnan ja avaruusviivan suunnistukset ovat

esimerkkeja esitetysta suunnistusmenetelmasta:

ESIMERKKI. Silea parametrisoitu pinta

S : r = γ(u) (u ∈ U)

voidaan suunnistaa muistamalla, etta sen tangenttiavaruus

pisteessa γ(u) on γ′(u):n kuva-avaruus (Seuraus 2.10),

ts. γ′(u):n kaksi saraketta muodostavat ko. avaruuden

kannan. Jos sovitaan, etta ensimmainen sarake on ensim-

mainen kantavektori t1 ja toinen sarake toinen kantavek-

tori t2, niin pinta on suunnistettu. Koska pinta on silea (eli

R3:n 2-ulotteinen parametrisoitu monisto), mainitut vek-

torit ovat aina lineaarisesti riippumattomat eivatka nain voi

”vaihtaa paikkaa”. Geometrisesti ajatellen, normaalivektori

∂γ(u)

∂u1×∂γ(u)

∂u2

on aina samalla puolen pintaa (ks. kuva alla).

Mutta mika on tahan suunnistukseen tarvittava 2-muoto-

kentta? Ko. kentan tiedetaan olevan muotoa

Φ(p; r1, r2) = F(p) • r1 × r2,

missa F on pinnalla maaritelty vektorikentta. Valitaan yk-

sinkertaisesti

F(p) = F(γ(u)) =∂γ(u)

∂u1×∂γ(u)

∂u2.

131

x

y

z t1tangenttitaso

t2

Silloin 2-muodon arvo on∥

∥

∥

∥

∥

∂γ(u)

∂u1×∂γ(u)

∂u2

∥

∥

∥

∥

∥

2

ja se on aina positiivinen. Muutkin valinnat ovat mahdolli-

sia, eivat ehka yhta luontevia.

Kokeillaan suunnistusta rinkilapintaan eli toorukseen. Eraan

rinkilapinnan laajennettu parametriesitys on

γ1(u) = (2+ cosu2) cosu1

γ2(u) = (2+ cosu2) sinu1

γ3(u) = sinu2 (U : 0 ≤ u1, u2 < 2π).

Samaan tapaan kuin Mobiuksen nauhalle voidaan todeta,

etta rinkilapinta on monisto—vaihtamalla vaikkapa para-

metrialueeksi −π ≤ u1, u2 < π, ei tosin parametrisoitu.

Kuva (Maple):

132

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

–4–3

–2–1

12

34

–4–3

–2–1

12

34

Tangenttiavaruuden kantavektorit ovat (jarjestyksessa)

∂γ(u)

∂u1=

−(2 + cosu2) sinu1(2 + cosu2) cosu1

0

ja

∂γ(u)

∂u2=

− sinu2 cosu1− sinu2 sinu1

cosu2

.

Kumpi puoli rinkilapinnasta sitten on se, jolla kantavekto-

rit ovat positiivisessa jarjestyksessa (eli samalla tavoin kuin

xy-koordinaatistossa)? Lasketaan kantavektorit paramet-

riarvoilla u1 = u2 = 0 eli x-akselin pisteessa (3,0,0):

∂γ(0)

∂u1=

030

ja

∂γ(0)

∂u2=

001

.

Kantavektorit ovat samassa jarjestyksessa kuin y- ja z-ak-

selit ja kyseessa on ”ulkopuoli”. (”Sisapuolelta”katsottaessa

akselit vaihtavat paikkaa).

133

ESIMERKKI. Parametrisoitu silea avaruusviiva

C : p = γ(u) (u ∈ U)

suunnistetaan vastaavasti. Pisteessa γ(u) tangenttiava-

ruuden kantavektoriksi valitaan γ′(u) ja viiva on suunnis-

tettu. Tarvittava 1-muotokentta on muotoa

Φ(p; r) = F(p) • r

ja valitaan

F(γ(u)) = γ′(u),

Saadun 1-muodon arvo on ‖γ′(u)‖2 > 0. Yhta hyvin

olisi voitu valita vaikkapa

F(γ(u)) = 2γ′(u)

(mika ei muuta suunnistusta) tai

F(γ(u)) = −γ′(u)

(mika vaihtaa suunnistuksen painvastaiseksi).

Jos monisto muodostuu useasta erillisesta osasta, suunnis-

tus eri osissa voidaan valita mielivaltaisesti, jatkuvuuseh-

to ei yhdista eri osia toisiinsa mitenkaan. Jos esimerkiksi

R3:n kaksiosaisessa 3-ulotteisessa monistossa yhden osan

koordinaattisysteemi valitaan oikeakatiseksi, mikaan ei esta

valitsemasta toisen osan koordinaattisysteemia vasenkati-

seksi.

134

Yhtenaiselle monistolle suunnistus eri puolilla monistoa sen

sijaan on yhteneva. Rn:n moniston M sanotaan olevan

yhtenainen (engl. connected), jos jokaista moniston kahta

eri pistetta p0 ja p1 kohti on sellainen jatkuva funktio

f : [0,1] → M, etta

f(0) = p0 ja f(1) = p1.

Ts. moniston kaksi eri pistetta voidaan aina yhdistaa mo-

nistossa olevalla jatkuvalla viivalla.

LAUSE 4.3. Jos monistoM on yhtenainen, niin sen suun-

nistus yhdessa pisteessa maarittaa suunnistuksen koko mo-

nistossa.

Todistus. Suunnistetaan M edella esitetylla tavalla. Koh-

dassa 2. saatava moniston pisteen p funktio

Φ(p; t1(p), . . . , tk(p))

on silloin valitussa pisteessa p0 joko positiivinen tai nega-

tiivinen. Moniston toinen piste p1 voidaan yhdistaa p0:aan

jotain funktiota f : [0,1] → M kayttaen, jolloin p0 =

f(0) ja p1 = f(1). Mutta silloin funktio

Φ(f(s); t1(f(s)), . . . , tk(f(s)))

on valilla [0,1] jatkuva s:n funktio, joka ei saa arvoa 0.

Nain ollen

Φ(p0; t1(p0), . . . , tk(p0))

135

ja

Φ(p1; t1(p1), . . . , tk(p1))

ovat samanmerkkiset.

Uudelleenparametrisoinnissa parametrisoidun moniston

suunnistus voi vaihtua painvastaiseksi. Tama voidaan kui-

tenkin estaa lisaehdolla:

LAUSE 4.4. Jos Rn:n parametrisoidun k-ulotteisen mo-

niston

M : r = γ(u) (u ∈ U)

parametrisointi vaihdetaan toiseksi sellaisella uudelleenpa-

rametrisoinnilla

u = η(v) (v ∈ V) , etta det(η′(v)) > 0,

niin suunnistus ei vaihdu. Jos taas det(η′(v)) < 0,

suunnistus vaihtuu painvastaiseksi. (Tassa tietysti oletetaan

suunnistus tehdyksi yhdella ja samalla k-muotokentalla.)

Todistus. Edella esitetylla tavalla moniston M suunnistuk-

sessa kaytetaan jotain k-muotokenttaaΦ(p; r1, . . . , rk).

Otetaan tarkasteltavaksi suunnistus jossain M:n pistees-

sa p0 = γ(u0). Se maaraytyy arvosta Φ(p0;γ′(u0)).

136

Lauseen 4.2 mukaisesti k-muoto Φ(p0; r1, . . . , rk) voi-

daan esittaa alkeisten k-muotojen lineaariyhdelmana. Nay-

tetaan, etta nama alkeiset muodot vain tulevat kerrotuksi

samalla positiivisella luvulla uudelleenparametrisoinnissa.

Mainitut alkeiset k-muodot ovat muotoa

(dxj1 ∧ dxj2 ∧ · · · ∧ dxjk)(r1, . . . , rk)

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

xj1,1 xj1,2 · · · xj1,kxj2,1 xj2,2 · · · xj2,k... ... . . . ...xjk,1 xjk,2 · · · xjk,k

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

Toisaalta uudessa parametrisoinnissa tangenttiavaruuden

kanta saadaan ketjusaannon nojalla matriisin

γ′(u0)η′(v0)

sarakkeista, missa u0 = η(v0), ja vastaava uuden alkei-

sen k-muodon arvo on

(dxj1 ∧ dxj2 ∧ · · · ∧ dxjk)(γ′(u0)η

′(v0))

= (dxj1∧dxj2∧· · ·∧dxjk)(γ′(u0)) det(η

′(v0)).

(Ajattele matriisien kertolaskua ja muista, etta neliomatrii-

seille det(AB) = det(A) det(B).)

Kaikki esiintyvat alkeiset k-muodot tulevat siis kerrotuksi

positiivisella luvulla det(η′(v0)). Siispa

137

Φ(p0;γ′(η(v0))η

′(v0))

= Φ(p0;γ′(u0)) det(η

′(v0))

ja suunnistus sailyy.

Suunnistuksen vaihtuminen tapauksessa det(η′(v)) < 0

todetaan samaan tapaan.

Suunnistus on tarkea, paitsi geometrisen tilanteen hahmot-

tamiseksi, myoskin integraalin kannalta uudelleenparamet-

risoinnissa.

LAUSE 4.5. Parametrisoidun suunnistetun moniston suun-

nistuksen sailyttava uudelleenparametrisointi ei muuta sen

yli laskettujen muotokenttien integraaleja. Jos uudelleen-

parametrisointi vaihtaa suunnistuksen, integraalin merkki

vaihtuu.

Todistus. Jos suunnistetun parametrisoidun moniston

−→M : r = γ(u) (u ∈ U)

yli lasketussa integraalissa tehdaan suunnistuksen sailytta-

van uudelleenparametrisoinnin

u = η(v) (v ∈ V)

antama muuttujan vaihto, saadaan integraali

138

∫

−→M

Φ =

∫

U

Φ(γ(u);γ′(u)) du

=

∫

V

Φ(γ(η(v));γ′(η(v)))|det(η′(v))|dv.

Koska uudelleenparametrisointi oli suunnistuksen sailytta-

va, edellisen lauseen nojalla det(η′(v) on positiivinen.

Siispa integraali voidaan edelleen kirjoittaa muotoon∫

−→M

Φ =

∫

V

Φ(γ(η(v));γ′(η(v))) det(η′(v)) dv

=∫

V

Φ(γ(η(v));γ′(η(v))η′(v)) dv

(vrt. edellisen lauseen todistus), joka on muotokentan Φ

integraali M:n yli laskettuna uudessa parametrisoinnissa.

Toisaalta, jos uudelleenparametrisointi vaihtaa suunnistuk-

sen, det(η′(v) on negatiivinen ja integraalin merkki vaih-

tuu.

Suunnistuksen vaihtumisen aiheuttama integraalin merkin

vaihtuminen esitetaan usein muodossa∫

−−→M

Φ = −∫

−→M

Φ.

139

4. Fysikaalisten vektori- ja skalaarikenttien perus-

muotokentat

Rn:n vektorikentan F(p) perusmuotokentat ovat tyomuo-

tokentta

ΦF–work(p; r) = F(p) • r (1-muotokentta),

ja vuomuotokentta

ΦF–flux(p; r1, . . . , rn−1) = det(F(p), r1, . . . , rn−1)

(n− 1-muotokentta).

Skalaarikentan f(p) perusmuotokentat ovat se itse

(0-muotokenttana) seka tiheysmuotokentta

Φf–density(p; r1, . . . , rn) = f(p) det(r1, . . . , rn)

(n-muotokentta).

Fysikaalisesti tyomuotokentassa F on yleensa voimakentta

—esimerkiksi painovoimakentta—ja vuomuotokentassa vir-

taustiheyskentta—esimerkiksi nestevuon tiheys. Tiheysmuo-

tokentan skalaarikentta taas on tiheyssuure—esimerkiksi

massatiheys. Integroimalla naitamonistojen yli saadaan vas-

taavat nettosuureet—tehty tyo kuljettaessa painovoimaken-

tassa, nesteen nettovirta pinnan lapi, kappaleen massa.

140

Kiilatuloa kayttaen kenttien tutut operaatiot R3:ssa saa-daan koskemaan muotokenttia:

1. Skalaarikentille f ja g ja vektorikentalle F tietystif ∧ g = fg seka

f ∧ΦF–work = ΦfF–work ,

f ∧ΦF–flux = ΦfF–flux ja

f ∧Φg–density = Φfg–density.

2. Vektorikentille F ja G

ΦF–work ∧ΦG–work = ΦF×G–flux ja

ΦF–work ∧ΦG–flux = ΦF•G–density.

Todetaan malliksi kaava

ΦF–work ∧ΦG–flux = ΦF•G–density

ja jatetaan muut harjoitustehtaviksi:

(F1dx+ F2dy+ F3dz)

∧ (G1dy ∧ dz+G2dz ∧ dx+G3dx ∧ dy)

= F1G1dx ∧ dy ∧ dz+ F2G2dy ∧ dz ∧ dx

+ F3G3dz ∧ dx ∧ dy

= (F •G)dx ∧ dy ∧ dz.

141

On fysikaalisia kenttia, jotka eivat ole sen kummemminskalaari- kuin vektorikenttiakaan. Esimerkiksi sahkokentanvoimakkuus E ei ole vektorikentta (eika tietenkaan ska-laarikentta). Ns. Lorentzin voimalaki nimittain sanoo, ettapisteessa r olevaan varaukseen q kohdistuva voima on

q(E(r) + v ×B(r)),

missa v on varauksen liikenopeus ja B on magneettivuontiheys. Jos sahkokenttaa ei ole, varaus ei liiku ja koordi-naatisto pysyy paikallaan, voima on nollavektori. Vakiono-peudella liikkuvasta koordinaatistosta seurattuna voima onedelleenkin nollavektori (varauksen liike ei ole kiihtyvaa),mutta nyt v ei ole nollavektori ja liikkuva varaus aiheuttaamagneettikentan ja sen kompensoivan sahkokentan. Liik-kuvasta koordinaatistosta katsottuna siis E ei ole nolla-kentta. Tata ominaisuutta ei ole millaan vektorikentalla, jasahko- ja magneettikentat onkin kasiteltava yhdessa, aika-avaruudessa (R4:ssa, xyzt-avaruudessa).

Vaikkakaan sahkomagneettisia kenttia ei saada hallituksivektorikenttina, ne saadaan mallinnetuksi R4:n 2-muoto-kenttina, ns. Faradayn muotokenttana ja Maxwellin muo-

tokenttana ∗

E1dx ∧ dt+ E2dy ∧ dt+ E3dz ∧ dt

+B1dy ∧ dz+B2dz ∧ dx+B3dx ∧ dy

∗Michael Faraday ja James Clerk Maxwell eivat tallaisia muotokent-tia kasitelleet. Nimitykset lienenevat lahtoisin kuuluisasta kirjastaMISNER & THORNE & WHEELER.

142

ja

−c2B1dx ∧ dt− c2B2dy ∧ dt− c2B3dz ∧ dt

+ E1dy ∧ dz+ E2dz ∧ dx+ E3dx ∧ dy,

jotka usein kirjoitetaan lyhyesti muotoon

ΦFaraday = ΦE–work ∧ dt+ΦB–flux

ja

ΦMaxwell = ΦE–flux − c2ΦB–work ∧ dt.

143

LUKU 5 Yleistetty Stokesin lause

Monet peruskurssien integrointitulokset ovat hyvin saman-

muotoisia:

b∫a

df(x)

dxdx = f(b)− f(a)

(Integraalilaskennan paalause)r2∫r1

∇f • ds = f(r2)− f(r1) (Gradienttilause)

∫A

(∂F2(r)

∂x−∂F1(r)

∂y

)dr =

∮−→∂A

F(r) • ds (Greenin lause)

∫A

∇ • F(r) dr =∮−→∂A

F(r) • dS (Gaußin lause)

∫−→S

∇× F(r) • dS =∮−→∂S

F(r) • ds (Stokesin lause)

Naille on yhteista seuraavat asiat:

• Vasemmalla puolella integrointialue on monisto, mah-

dollisesti laajennetussa parametrisoinnissa ja suunnis-

tettuna.

144

• Vasemmalla puolella integrandi on jonkinlainen deri-

vaatta, kytkettyna monistoon tangenttiavaruuden ja

sopivan muodon kautta (muotokenttana).

• Oikealla puolella integrointialue (summausalue) on va-

semman puolen moniston suunnistettu ”reuna”, mah-

dollisesti laajennetussa parametrisoinnissa. Huomaa, et-

ta myos kahdessa ensimmaisessa kyseessa on suunnis-

tettu reuna, toinen pisteista on plusmerkkinen ja toi-

nen miinusmerkkinen.

• Oikealla puolella integrandi (summandi) on kentta, jo-

ka vasemmalla puolella on jollakin lailla derivoituna.

Jotta saataisiin yhteneva muoto kaikille naille tuloksille, ja

muillekin, pitaa maaritella derivaatta yleisena ja muotoken-

tille seka suunnistetun reunan kasite sellaisena, etta sen yli

voidaan integroida muotokenttia. Lopullinen tulos on ns.

Yleistetty Stokesin lause.

145

1. Reunalliset alueet ja niiden suunnistus

Yleensa ottaen Rn:n k-ulotteisen moniston M reuna∗ on

helppo maaritella. Se koostuu niista pisteista p, jotka to-

teuttavat seuraavat kaksi ehtoa:

(i) p ei oleM:ssa.

(ii) Missa tahansa avoimessa osajoukossa, jossa on p, on

myos M:n piste(ita). Erityisesti tama patee p-keski-

sille avoimille palloille.

Moniston reuna voi olla tyhja. Esimerkiksi R3:n pallonpin-

nan reuna on tyhja. Toisaalta moniston reunan ei tarvit-

se olla (alempiulotteinen) monisto. Esimerkiksi R2:n nelion

0 < x, y < 1 reuna on mainitun nelion piiri ja se ei

ole monisto. Itse asiassa rajoitetunkin moniston reuna voi

olla hyvin mutkikas joukko, se voi esimerkiksi olla Jordan-

mitaton. Pahempi pulma on tangenttiavaruus, joka reunan

pisteissa pitaisi olla suunnistusta varten.

∗Huomaa, etta tama ei (yleensa) ole moniston reuna Rn:n joukonreunana!

146

Paremmin paastaan liikkeelle, kun maaritellaankin monis-

ton sisalla alueen reuna. Koska se on moniston sisalla, voi-

daan moniston sileytta kayttaa apuna suunnistuksessa.

Moniston osajoukonA ⊂M reuna monistossa, merkitaan

∂MA, muodostuu kaikista sellaisista M:n pisteista, etta

jokaisessa avoimessa joukossa, jossa on ko. piste, on seka

A:n piste(ita) ettaM−A:n piste(ita). (Vrt. ehto (ii) ylla.)

Huomaa, etta reunan ∂MA piste voi talloin olla itseA:ssa.

M

A

ei-sile reunan piste

sile reunan piste

reuna MA

Valitaan nyt tarkasteltavaksi jokin reunan ∂MA piste p0.

Koska piste p0 on monistossaM, jossain sen sisaltavassa

avoimessa joukossa B leikkaus M ∩ B on maariteltavis-

sa lokaalina urana, ks. Lause 2.4. Ts. on sellainen jatku-

vasti derivoituva funktio Fp0 : B → Rn−k, etta F′p0on

147

taysiranginen ja p on M ∩ B:ssa tarkalleen silloin, kun

Fp0(p) = 0. Tallaisia funktioita Fp0 voi olla valitta-

vissa useitakin. Pisteen p0 sanotaan olevan reunan ∂MAsilea piste, mikali ym. funktion Fp0 lisaksi on valittavissa

sellainen jatkuvasti derivoituva funktio gp0 : B → R, etta

1. g′p0ei riipu lineaarisesti F′p0

:n riveista.

2. piste p on leikkauksessa A∩B tarkalleen silloin, kun

Fp0(p) = 0 ja gp0(p) ≥ 0.

Reunan ∂MA kaikkien sileiden pisteiden muodostamaa

joukkoa kutsutaan A:n sileaksi reunaksi monistossa M ja

merkitaan ∂ sMA:lla.

Maarittelyt ovat helposti tulkittavissa myos jos k = n.

Silloin kohtaa 1. ei tarvita ja kohdassa 2. on vain ehto

gp0(p) ≥ 0.

ESIMERKKI. Uraehto

F (x, y, z) = z − xy = 0

maarittaa R3:ssa silean pinnan (2-ulotteisen moniston) S,

148

eraan ns. satulapinnan. Leikataan tasta osajoukko A eh-

dolla ‖p‖ ≤ 1. Reuna ∂SA on silloin ehdonz − xy = 0

1− x2 − y2 − z2 = 0

antama urajoukko—itse asiassa 1-ulotteinen monisto. Ku-

va (Maple):

–1–0.500.51y

–1

0

1

x

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

Kaikki reunan ∂SA pisteet ovat sileita, silla g:ksi voidaan

valita

g(x, y, z) = 1− x2 − y2 − z2,

jolloin

F ′(x, y, z) = (−y,−x,1) ja

g′(x, y, z) = (−2x,−2y,−2z)

ovat lokaalisti lineaarisesti riippumattomat (totea!). Nain

ollen ∂ sSA = ∂SA.

149

ESIMERKKI. R3:ssa oleva nelio

N : 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1, z = 1

on tason z = 1 (2-ulotteinen monisto) osajoukko. Sen

reuna on piiri eli neljan janan

0 ≤ x ≤ 1 , y = 0 , z = 1 ,

0 ≤ x ≤ 1 , y = 1 , z = 1 ,

x = 0 , 0 ≤ y ≤ 1 , z = 1 ja

x = 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , z = 1

yhdiste. Muut pisteet kuin karkipisteet

(0,0,1) , (0,1,1) , (1,0,1) ja (1,1,1)

ovat sileita, funktioiksi g voidaan yo. janoja vastaten valita

y , 1− y , x ja 1− x,

ja

F (x, y, z) = z − 1.

Edellisista esimerkeista voi jo aavistaakin, etta

LAUSE 5.1. Rn:n k-ulotteisen monistonM osajoukonAsilea reuna ∂ s

MA on k − 1-ulotteinen monisto (tai tyhja

joukko).

150

Todistus. Kaytetaan edella olevia (lokaaleja) merkintoja ja

otetaan tarkasteltavaksi silean reunan piste p0. EhtoFp0(p) = 0

gp0(p) = 0

maarittaa silloin jossain p0:n sisaltavassa avoimessa jou-

kossa B1 ⊆ B moniston K, jonka ulotteisuus on k − 1,

Seurauksen 2.3 perusteella.

Nyt pitaa nayttaa, etta leikkaus K ∩ B1 on sama kuin

leikkaus ∂ sMA ∩ B1. Koska p0:ksi voidaan ottaa mika

tahansa silean reunan piste, tama osoittaa, etta ∂ sMA on

lokaali ura ja siis monisto.

Otetaan ensin piste p1 leikkauksesta ∂ sMA∩B1 ja nayte-

taan, etta se on leikkauksessaK∩B1. Tehdaan vastaoletus:

p1 ei ole K ∩ B1:ssa. Silloin

gp0(p1) 6= 0.

(Koska p1 onM:ssa, on Fp0(p1) = 0.) Jatkuvuussyis-

ta gp0(p) 6= 0 myos jossain (pienessa) avoimessa joukos-

sa B2, jossa p1 on. Nain ollen gp0 on joukossa B2 joko

arvoiltaan positiivinen tai arvoiltaan negatiivinen. Mutta sil-

loin B2:ssa ei voi olla seka M:n pisteita etta M−A:n

pisteita eika p1 voi olla A:n reunan piste M:ssa. Tama

ristiriita osoittaa, etta p1 ∈ K ∩ B1.

151

Toiseen suuntaan todistettaessa otetaan piste p2 leikkauk-

sesta K ∩ B1 ja naytetaan, etta se on myos leikkauksessa

∂ sMA∩B1. Tehdaan taas vastaoletus: p2 /∈ ∂ s

MA∩B1.

Nyt gp0(p2) = 0 ja jossain (pienessa) avoimessa joukos-

sa B3, jossa p2 on, funktio gp0 saa vain yhdenmerkki-

sia arvoja, joko ei-negatiivisia tai ei-positiivisia. Muutenhan

p2 olisi silean reunan piste (kun valitaan Fp2 = Fp0 ja

gp2 = gp0). Nain ollen p2 on sidotun aariarvoprobleemangp0(p) = extremum!

Fp0(p) = 0

lokaali ratkaisu (maksimi- tai minimipiste, ja aariarvo on

= 0). Sovellettaessa Lagrangen kerrointen menetelmaa

otetaan kayttoon vastaava Lagrangen funktio

L(p,λ) = gp0(p) + λFp0(p)T,

missa λ on Lagrangen kerroinvektori (vaakavektori). Aa-

riarvopisteessa (p2,λ2) sen derivaatta on nolla:∂L(p2,λ2)

∂p= g′p0

(p2) + λ2F′p0

(p2) = 0

∂L(p2,λ2)

∂λ= Fp0(p2) = 0.

Tama ei voi pitaa paikkansa, koska ensimmainen yhtalo

sanoo, etta g′p0(p2) on lineaarisesti riippuva F′p0

(p2):n

riveista. Ristiriita osoittaa, etta p2 ∈ ∂ sMA ∩ B1.

152

Lopulta paastaan maarittelemaan integrointialueeksi sopiva

kasite. Rn:n k-ulotteisen monistonM osajoukkoA on sen

reunallinen alue, jos

(1) A on Rn:n suljettu osajoukko.

Kaikki reunan ∂MA pisteet ovat mukana A:ssa.

(2) Joukko ∂MA − ∂ sMA (reunan ei-sileat pisteet) on

Rn:n k − 1-nollajoukko, ks. Pykala 3.1.

Ei-sileilla pisteilla ei ole vaikutusta A:n reunan yli in-

tegroitaessa. Tama ehto tarvitaan, silla on jopa mah-

dollista, etta kaikki reunan ∂MA pisteet ovat ei-sileita.

Esimerkiksi alla olevassa kuvassa hahmotellun ns.

Kochin lumihiutaleen reuna ei ole missaan silea ja sen

pituus on aareton.

153

(3) Jokaista positiivilukua ε kohti on olemassa sellainenavoin joukko Bε, etta Bε sisaltaa kaikki reunan ∂MAei-sileat pisteet ja etta ∂ s

MA∩Bε:n k−1-ulotteinenvolyymi on < ε.

Huomaa, etta ∂ sMA ∩ Bε on Lauseen 2.2 nojalla

k−1-ulotteinen monisto. Tama merkillinen ehto tar-vitaan, silla on mahdollista, etta silean reunan k− 1-ulotteinen volyymi jonkin ei-silean pisteen miten ta-hansa pienessa ymparistossa on =∞. Ehto siis estaatietyssa mielessa integraalien epaoleellisuuden.

Esimerkiksi kuvan (Maple)

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

–0.2 0.2 0.4

alueen (R2:n osana) ilmeiset ei-sileat reunapisteet ovat

154

kaksi karkea ja origo, johon reunaspiraalit∗

r =1

φja r =

1

1 + φ(1 ≤ φ <∞)

(napakoordinaattiesitys) suppenevat. Nyt ehdot 1. ja

2. toteutuvat, mutta yo. ehto ei, silla spiraalien pituus

on aareton missa tahansa origon sisaltavassa avoimes-

sa joukossa.

Tarkeaa osaa integroinnissa nayttelee reunan ∂ sMA suun-

nistus ja miten se liittyy monistonM suunnistukseen. Luon-

nollisesti reunan suunnistus voidaan tehda vain sen sileissa

pisteissa. Sileassa pisteessa p0 monistonM tangenttiava-

ruuden Tp0(M) vektoria t sanotaan A:n ulkovektoriksi,

jos

g′p0(p0) • t < 0

ja A:n sisavektoriksi, jos

g′p0(p0) • t > 0.

Nama nimitykset ovat sattuvat. Funktio g nimittain kasvaa

siirryttaessa lokaalisti pisteen p0 lahella reunan yli alueen

A ulkopuolelta sen sisalle, ulkopuolella gp0 on negatiivi-

nen, sisapuolella positiivinen ja reunalla = 0. Nain ollen,

∗Nama ovat ns. hyperbolisia spiraaleja.

155

jos

g′p0(p0) • t < 0,

vektori t osoittaa gp0:n kasvusuunnalle vastakkaiseen suun-

taan eli poispain alueesta A. Vastaavasti, jos

g′p0(p0) • t > 0,

vektori t osoittaa gp0:n kasvusuuntaan.

Ulkovektoreita kayttaen saadaan nyt silean reunan ∂ sMA

suunnistus jaM:n suunnistus kytketyksi yhteen. Ks. Pykala

4.3.

Oletetaan nyt, etta monisto M on suunnistettu k-muo-

tokentalla Φ, ts. sen pisteissa p on valittavissa sellaiset

tangenttiavaruuden Tp(M) vektorit

t1(p) , . . . , tk(p),

etta

Φ(p; t1(p), . . . , tk(p))

on jatkuva p:n suhteen ja 6= 0M:ssa.

Suunnistettaessa reunaa ∂ sMA sen sileissa pisteissa p pitaa

valita jokin sopiva k − 1-muotokentta Φreuna, silea reu-

nahan on k−1-ulotteinen monisto, ja tangenttiavaruuden

Tp(∂ sMA) sellaiset (p:sta riippuvat) vektorit

s1(p) , . . . , sk−1(p),

156

etta

Φreuna(p; s1(p), . . . , sk−1(p))

on silealla reunalla p:n suhteen jatkuva eika saa arvoa 0.

Valitaankin nyt

Φreuna(p; s1, . . . , sk−1)

= Φ(p; tulko(p), s1, . . . , sk−1),

missa tulko(p) on sopiva p:sta riippuva ulkovektori. Tama

maarittely kytkee suunnistukset reunalla ∂ sMA ja monis-

tossaM yhteen.

Suunnistetun moniston−→M reunallisen alueen vastaavasti

suunnistettua sileaa reunaa merkitaan−→∂ s−→MA:lla. Huomaa,

etta vektorit

s1(p), . . . , sk−1(p)

ovat myos monistonM tangenttiavaruudessa pisteessa p,

joten muotokenttaa Φ voi kayttaa. Silean reunan ∂ sMA

tangenttiavaruus pisteessa p nimittain on matriisin F′p0(p)

g′p0(p)

nolla-avaruus, ks. Lause 2.8 ja Lauseen 5.1 todistus. Nain

ollen se sisaltyy matriisin F′p0(p):n nolla-avaruuteen, joka

157

taas on moniston M tangenttiavaruus. On siis valittava

M:n tangenttiavaruuden kanta

tulko(p), s1(p), . . . , sk−1(p)

silean reunan pisteessa p siten, etta se on ”samankatinen”

kuin kanta t1(p), . . . , tk(p).

ESIMERKKI. Parametrisoitu silea avaruusviiva

C : p = γ(u) (u ∈ U)

suunnistetaan 1-muotokenttaa

Φ(p; r) = F(p) • r

kayttaen valiten

F(γ(u)) = γ′(u).

Saadun 1-muodon arvo on ‖γ′(u)‖2 > 0. C:n reunalli-

sen alueen (osaviivan) A silea reuna muodostuu erillisista

pisteista. ”Positiivinen”suunnistus reunan sileassa pisteessa

p = γ(u) tapahtuu muotokenttaehdon

Φreuna(p) = γ′(u) • tulko(p) > 0

kautta. Erityisesti, jos A:n silea reuna muodostuu kahdes-

ta pisteesta, alkupisteesta ja loppupisteesta, alkupiste on

”negatiivinen” ja loppupiste ”positiivinen”. Ks. kuva alla.

158

x

yp

z

tulko(p)A

ESIMERKKI. Silea parametrisoitu pinta

S : r = γ(u) (u ∈ U)

suunnistetaan kayttaen 2-muotokenttaa

Φ(p; r1, r2) = n(p) • r1 × r2,

missa

n(p) = n(γ(u)) =∂γ(u)

∂u1×∂γ(u)

∂u2

on normaalivektori pisteessa p. Silloin 2-muodon arvo on∥∥∥∥∥∂γ(u)

∂u1×∂γ(u)

∂u2

∥∥∥∥∥2

ja se on aina positiivinen. S:n reunallisen alueen A silea

reuna muodostuu sileista avaruusviivoista ja suunnistetaan

se sileassa pisteessa p = γ(u) muotokenttaehdon

159

Φreuna(p; s(p)) = n(p) • tulko(p)× s(p) > 0

kautta, missa s(p) on reunan (viivan) tangenttivektori pis-

teessa p. Silloin vektorit

n(p) , tulko(p) ja s(p)

muodostavat oikeakatisen systeemin ja suunnistus on tuttu

”oikean kaden saannon” antama suunnistus, ks. kuva alla.

x

y

zn(p)

s(p)

tulko(p)

Ap

ESIMERKKI. R3:n 3-ulotteiselle monistolleM (eli avoi-

melle osajoukolle) tangenttiavaruus on aina koko vektori-

avaruus R3. M:n reunallisen alueen (kappaleen) A suun-

nistus tapahtuu vaikkapa 3-muotokenttaehdon

Φ(p; r1, r2, r3) = det(r1, r2, r3) > 0

kautta. Reuna ∂ sMA muodostuu sileista pinnoista. Ulko-

vektoriksi pisteessa p voidaan valita vaikkapa ko. pinnan

160

ulkonormaali n(p) ja tangenttivektoreiksi s1(p) ja s2(p)

sen tangenttitason kantavektorit. Jos suunnistus tapahtuu

ehdolla

det(n(p), s1(p), s2(p))

= n(p) • s1(p)× s2(p) > 0,

niin kysymys on reunan (pinnan) suunnistuksesta siten, et-

ta siina esiintyva normaalivektori n(p) on ulkonormaali ja

etta

n(p) , s1(p) ja s2(p)

muodostavat oikeakatisen systeemin.

Vastaavasti Rn:n n-ulotteisen moniston M reunallisen

alueen A silean reunan suunnistus tapahtuu ehdolla

det(n(p), s1(p), . . . , sn−1(p)) > 0,

missa n(p) on silean reunan ∂ sMA pisteessa p valittu

∂ sMA:n normaaliavaruuden vektori ulospain (ulkonormaa-

li).

161

2. Ulkoderivaatta

Viela tarvitaan sopiva yleinen derivaatan kasite, ns. ulkode-

rivaatta (engl. exterior derivative). Tavallinen yhden muut-

tujan funktion derivaatta maaritellaan erotusosamaaran raja-

arvona:

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h.

Peruskursseilla on esilla myos asiaan liittyva 1-muotokent-

ta, ns. differentiaali,

(df)(x; r) = f ′(x)r,

joka sekin voidaan maaritella erotusosamaaran avulla:

f ′(x)r = limh→0

f(x+ hr)− f(x)

h.

Ulkoderivaatta on taman yleistys k-muotokentille. Huomaa,

etta funktio f on 0-muotokentta ja differentiaali df on

1-muotokentta. Ulkoderivointi lisaa muodon astetta yhdel-

la.

Erotusosamaarassa esiintyvan valin

[x, x+ h] (tai [x+ h, x])

tilalle tulee k + 1-ulotteinen (suljettu) suuntaissarmio

162

P(p; r1, . . . , rk+1)

=

p +

k+1∑i=1

uirTi

∣∣∣∣∣ 0 ≤ u1, . . . , uk+1 ≤ 1

.

Reaaliakselilla tama on suljettu aarellinen vali, tasolla R2

se voisi olla suunnikas ja R3:ssa suuntaissarmio.

Tassa k + 1 ≤ n eli kyseessa voi olla korkeampiulottei-

seen avaruuteen upotettu alempiulotteinen suuntaissarmio.

Upotettuna Rn:n affiiniin aliavaruuteen

A(p; r1, . . . , rk+1)

=

p +

k+1∑i=1

uirTi

∣∣∣∣∣ u1, . . . , uk+1 ∈ R

(Rn:n k + 1-ulotteinen monisto) suuntaissarmio

P(p; r1, . . . , rk+1)

on reunallinen alue, jonka reuna muodostuu tahkoista. Tah-

koja on 2(k + 1) kpl ja ne esiintyvat pareittain. i:nnet

tahkot ovat

T −i =

p+

k+1∑i=1

uirTi

∣∣∣∣∣ 0 ≤ u1, . . . , uk+1 ≤ 1 ja ui = 0

ja

T +i =

p+

k+1∑i=1

uirTi

∣∣∣∣∣ 0 ≤ u1, . . . , uk+1 ≤ 1 ja ui = 1

.

163

Edellisessa tahkossa ri on sisavektori ja jalkimmaisessa ul-

kovektori. Nailla tahkoilla suunnistukset ovat siis vastakkai-

set, ja sovitaan etta

A(p; r1, . . . , rk+1)

suunnistetaan vastaten tahkojen T +i suunnistusta ulkovek-

torien ri avulla.

Silea reuna muodostuu tahkoista, joista on poistettu niiden

reunat eli sarmat. Lauseen 3.3 mukaan sarmat ovat k-nol-

lajoukkoja. Silea reuna on Lauseen 5.1 mukaan k-ulotteinen

monisto.

Erotusosamaarassa esiintyvaa suunnattua summaa, jossa

f(x + hr) on plusmerkkisena ja f(x) miinusmerkkise-

na, vastaa nyt integraali suuntaissarmion suunnatun reu-

nan yli. Merkkivaihtelu tulee mukaan, koska tahkot T −i ja

T +i ovat vastakkaisesti suunnistetut.

Nain saadaan k-muotokentan Φ ulkoderivaatta muodossa

(dΦ)(p; r1, . . . , rk+1) = limh→0

1

hk+1

∫−→∂ −→APh

Φ,

missa lyhyyden vuoksi on merkitty

A = A(p; r1, . . . , rk+1) ja

Ph = P(p;hr1, . . . , hrk+1).

164

Huomaa, etta integrointialue on annettavissa laajennetun

parametrisoinnin avulla, ts. integraali on Pykalassa 4.2 ka-

siteltya muotoa. (Tapauksessa k = 0 siis suunnattuna

summana.) Lisaksi sovitaan, etta jos k + 1 > n, ulkode-

rivaatta saa aina arvon 0.

Suoraan maaritelmastaan ulkoderivaatta on varsin hanka-

la laskea, kuten tavallinen yhden muuttujan derivaattakin

usein on. Asian helpottamiseksi kaytetaan derivointisaanto-

ja. Yhdessa ne muodostavat tarvittavan kokoelman laskula-

keja, joilla derivaatan lasku on helppoa. Derivointisaantojen

todistaminen on taas sitten osin tyolasta.

Kootaan yhteen perusderivointisaannot. Jatetaan muuttu-

jat r1, . . . , rk pitkalti merkitsematta lyhyyden vuoksi.

(I) Jos Φ seka Ψ ovat k-muotokenttia ja c1 seka c2ovat vakioita, niin

d(c1Φ + c2Ψ) = c1(dΦ) + c2(dΨ).

Ulkoderivointi on siis lineaarinen operaatio. Tama seu-

raa suoraan integraalimaaritelmasta.

(II) Jos k-muotokentta Φ on vakio (siis saa vain yhden

arvon), niin dΦ on k+1-muotokentta, joka saa vain

arvon 0.

165

Kuten yleensa, vakion derivaatta on nolla. Tamakinseuraa suoraan integraalimaaritelmasta, silla johtuentahkoparien vastakkaisesta suuntauksesta esiintyva in-tegraali on aina = 0. (Integrandi on tahkojen vastin-pisteissa sama.)

(III) Funktion f eli 0-muotokentan ulkoderivaatta on

(df)(p; r) = f ′(p)r =n∑i=1

∂f(p)

∂xidxi(r).

Maaritelman mukaan ko. ulkoderivaatta saadaan raja-arvona

limh→0f(p + hrT)− f(p)

h

=

(d

dtf(p + trT)

)t=0

= f ′(p)r

(ketjusaanto). Jos ‖r‖ = 1, kyseessa on siis tavalli-nen suunnattu derivaatta suuntaan r.

(IV) Jos f on funktio, niin

d(f(p)dxj1 ∧ · · · ∧ dxjk)

= (df)(p; ·) ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjk

=n∑i=1

∂f(p)

∂xidxi ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjk.

166

Tama on avainsaanto, silla yhdessa edellisten saanto-jen kanssa se mahdollistaa ulkoderivaatan laskemisenkentan hajotelmasta ja itse asiassa nayttaa, etta ulko-derivaatta on k + 1-muoto. Todistus vain on varsintyolas lasku, ks. esimerkiksi HUBBARD & HUBBARD.

(V) k-muotokentalle Φ kahdesti ulkoderivoimalla saatuk+2-muotokentta d2Φ = d(dΦ) on vakiokentta,joka saa arvon 0.

Muotokentat ovat siis aina ”ensimmaista astetta”. Kah-desti derivointi tuottaa nollan. Tama seuraa edellisistasaannoista. Jos nimittain f on funktio, niin

(d2f)(p; ·, ·) =n∑i=1

d

(∂f(p)

∂xidxi

)

=n∑

j=1

n∑i=1

∂2f(p)

∂xj∂xidxj ∧ dxi = 0.

Muista, etta

dxi ∧ dxj = −dxj ∧ dxi ja

dxi ∧ dxi = 0.

Saantojen avulla k-muotokentan

Φ(p; r1, . . . , rk)

=∑

1≤j1<j2<···<jk≤naj1,j2,...,jk(p)(dxj1∧dxj2∧· · ·∧dxjk)(r1, . . . , rk)

167

ulkoderivaatan lasku on periaatteessa suoraviivaista ja pa-

lautuu osittaisderivaattoihin.

HUOMAUTUS. Itse asiassa koko ulkoderivaatta voitai-

siin maaritella naiden saantojen avulla. Lienee kuitenkin

mukava todeta, etta se on tavallisen yhden muuttujan funk-

tion derivaatan yleistys. Lisaksi maarittely integraalin avul-

la antaa ”geometrisen” tavan ajatella ulkoderivaattaa, eika

pelkkaa symbolista koneistoa.

ESIMERKKI. Lasketaan R4:n 2-muodon

Φ = x1x2dx2 ∧ dx4 − x22dx3 ∧ dx4

ulkoderivaatta. (Lyhyyden vuoksi jatetaan merkitsematta

p = (x1, x2, x3, x4) ja r1 seka r2.) Laskusaantoja

kayttaen

dΦ =(I) d(x1x2dx2 ∧ dx4)− d(x22dx3 ∧ dx4)

=(IV)

(∂(x1x2)

∂x1dx1 +

∂(x1x2)

∂x2dx2

+∂(x1x2)

∂x3dx3 +

∂(x1x2)

∂x4dx4

)∧ dx2 ∧ dx4

−(∂(x2

2)

∂x1dx1 +

∂(x22)

∂x2dx2 +

∂(x22)

∂x3dx3

+∂(x2

2)

∂x4dx4

)∧ dx3 ∧ dx4

168

= (x2dx1 + x1dx2) ∧ dx2 ∧ dx4

− (2x2dx2 ∧ dx3 ∧ dx4)

= x2dx1 ∧ dx2 ∧ dx4 + x1dx2 ∧ dx2 ∧ dx4

− 2x2dx2 ∧ dx3 ∧ dx4

= x2dx1 ∧ dx2 ∧ dx4 − 2x2dx2 ∧ dx3 ∧ dx4.

Koskien muotokenttien kiilatuloja saadaan

CARTANIN TAIKAKAAVA.∗ k-muotokentalle Φ seka

l-muotokentalle Ψ saadaan kiilatulon derivointikaava

d(Φ ∧Ψ) = (dΦ) ∧Ψ + (−1)kΦ ∧ (dΨ).

Todistus. Kiilatulon maaritelman nojalla riittaa todistaa asia

alkeisille muotokentille

Φ = a(p)dxj1 ∧ · · · ∧ dxjk ja

Ψ = b(p)dxh1∧ · · · ∧ dxhl

ja naiden kiilatulolle

Φ∧Ψ = a(p)b(p)dxj1∧· · ·∧dxjk∧dxh1∧· · ·∧dxhl.

Derivointisaannon (IV) nojalla

∗La ”formule magique de Cartan”. Elie Cartan oli muototeorian isa.

169

d(Φ ∧Ψ) =n∑i=1

∂(a(p)b(p))

∂xidxi ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjk

∧ dxh1∧ · · · ∧ dxhl

=n∑i=1

(∂a(p)

∂xib(p) +

∂b(p)

∂xia(p)

)dxi

∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjk ∧ dxh1∧ · · · ∧ dxhl

=

n∑i=1

∂a(p)

∂xidxi ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjk

∧(b(p)dxh1

∧ · · · ∧ dxhl

)+ (a(p)dxj1 ∧ · · · ∧ dxjk)

∧ (−1)k

n∑i=1

∂b(p)

∂xidxi ∧ dxh1

∧ · · · ∧ dxhl

= (dΦ) ∧Ψ + (−1)kΦ ∧ (dΨ).

170

3. Fysikaalisten muotokenttien ulkoderivaatat

Kuten Pykalassa 4.4 todettiin, R3:n vektorikentan F(p)perusmuotokentat ovat tyomuotokentta

ΦF–work(p; r) = F(p) • r (1-muotokentta)

ja vuomuotokentta

ΦF–flux(p; r1, r2) = det(F(p), r1, r2)

= F(p) • r1 × r2

(2-muotokentta), ja skalaarikentan f(p) perusmuotokent-

ta on sen itsensa lisaksi tiheysmuotokentta

Φf–density(p; r1, r3, r3) = f(p) det(r1, r2, r3)

(3-muotokentta). Naiden perusmuotokenttien ja ulkoderi-

vaattojen yhteydet ovat seuraavat:

(A) df = Φ∇f–work

(df on gradientin ∇f tyomuotokentta.)

(B) dΦF–work = Φ∇×F–flux

(dΦF–work on roottorin ∇× F vuomuotokentta.)

(C) dΦF–flux = Φ∇•F–density

(dΦF–flux on divergenssin∇•F tiheysmuotokentta.)

171

Nama kaikki ovat todistettavissa suoralla laskulla. (A) seu-

raa suoraan derivointisaannosta (III). (B) saadaan seuraa-

vasti:

dΦF–work = d(F1dx+ F2dy + F3dz)

= (dF1) ∧ dx+ (dF2) ∧ dy + (dF3) ∧ dz

=

(∂F1

∂xdx+

∂F1

∂ydy +

∂F1

∂zdz

)∧ dx

+

(∂F2

∂xdx+

∂F2

∂ydy +

∂F2

∂zdz

)∧ dy

+

(∂F3

∂xdx+

∂F3

∂ydy +

∂F3

∂zdz

)∧ dz

=

(∂F3

∂y−∂F2

∂z

)dy ∧ dz

+

(∂F1

∂z−∂F3

∂x

)dz ∧ dx

+

(∂F2

∂x−∂F1

∂y

)dx ∧ dy

= Φ∇×F–flux.

Hyvin samaan tapaan nahdaan kohta (C) (jatetaan lukijal-

le harjoitukseksi). Koko juttu voidaan esittaa seuraavana

kaaviona havainnollisessa muodossa:

172

skalaarikentta 0-muotoygradientti

yd

vektorikenttatyomuoto−−−−−→ 1-muotoyroottori

yd

vektorikenttavuomuoto−−−−−−→ 2-muotoydivergenssi

yd

skalaarikenttatiheysmuoto−−−−−−−→ 3-muoto

Kaavion mukaan gradientin roottori vastaa kahta ulkode-

rivointia, samoin roottorin divergenssi. Laskusaannon (V)

mukaan nama ovat nollia ja muistettaneen, etta todella

∇×∇f = 0 ja ∇ • (∇× F) = 0.

Sen sijaan muut toisen kertaluvun derivaatat∇•(∇f) =

∇2f = ∆f (Laplacen operaattori), ∇(∇ • F) seka

∇ × (∇ × F) (kaksoisroottori) eivat vastaa kahta ulko-

derivointia eivatka yleensa ole nollia (nollavektoreita).

Edelleen Cartanin taikakaavasta saadaan suoraan Pykalan

1.5 nablauskaavat (i), (iii), (iv) ja (v), silla kuten Pykalassa

4.4 todettiin, skalaarikentille f ja g ja vektorikentille F ja

G

173

f ∧ g = fg ,

f ∧ΦF–work = ΦfF–work ,

f ∧ΦF–flux = ΦfF–flux ,

ΦF–work ∧ΦG–work = ΦF×G–flux ja

ΦF–work ∧ΦG–flux = ΦF•G–density.

Esimerkiksi kaava

(v) ∇ • F×G = ∇× F •G− F • ∇ ×G

saadaan seuraavasti:

Φ∇•F×G–density = dΦF×G–flux

= dΦF–work ∧ΦG–work

+ (−1)1ΦF–work ∧ dΦG–work

= Φ∇×F–flux ∧ΦG–work

−ΦF–work ∧Φ∇×G–flux

= Φ∇×F•G–density −ΦF•∇×G–density

= Φ(∇×F•G−F•∇×G)–density.

Ajatellen ulkoderivaatan maarittelya integraalin raja-arvona,

todetaan, etta hyvin pienessa R3:ssa olevassa suunnikkaas-

sa Ph(p; r1, r2) (h on pieni) roottorin skaalattu projektio

suunnikkaan normaalille (ks. kuva alla vasemmalla) on

174

(∇× F(p)) • (hr1)× (hr1) ∼=∫

−→∂ −→APh

ΦF–work

=∫U

F(γ(u)) • γ′(u) du =∮

−→∂ −→APh

F(r) • ds,

missa−→∂ −→APh:n (laajennettu) parametrisointi on

r = γ(u) (u ∈ U).

Mainittu projektio on siis approksimatiivisesti vektorikentankierto oikean kaden saannon antamaan suuntaan pienensuunnikkaan piirin ympari. Tasta syysta roottoria kutsutaanmyos pyorteisyydeksi tai pyorteen tiheydeksi.

hr1 x hr2

hr1

hr2

pPh

hr1

hr2

hr3

Ph

p

ulkonormaali

Vastaavasti hyvin pienessa (h pieni) R3:n suuntaissarmios-sa Ph(p; r1, r2, r3) skaalattu divergenssi on

175

(∇ • F(p)) det(hr1, hr2, hr3)

∼=∫

−→∂ −→APh

ΦF–flux =∮

−→∂ −→APh

F(r) • dS.

Lokaalisti divergenssi on siis vuo hyvin pienen suuntaissar-

mion reunan lapi ulospain, ks. kuva ylla oikealla. Se ku-

vaa nesteen tms. maaran muutosta ko. suuntaissarmios-

sa. Tasta syysta divergenssia kutsutaan myos lahteisyydek-

si tai lahteen tiheydeksi. Kyseessa on tiheyssuure, koska

det(hr1, hr2, hr3) on ko. suuntaissarmion tilavuus.

Sahkomagneettisia kenttia hallitsevat ns. Maxwellin yhta-

lot:

(M1) ∇•D = ρ (Gaußin sahkostaattinen laki eli Cou-

lombin laki)

(M2) ∇ •B = 0 (Gaußin magnetostaattinen laki)

(M3) ∇× E = −∂B

∂t(Faradayn laki)

(M4) ∇×H = J +∂D

∂t(Amperen laki)

176

Suureita yhdistavat ns. materiaalilait∗

D = εE ja B = µH

seka

J = σE (Ohmin laki)

ja

∇ • J = −∂ρ

∂t(jatkuvuuslaki).

Pykalassa 4.4 todettiin, etta kyseessa eivat oikeastaan ole

vektorikentat ja paremmin tilanteeseen sopivatkin tietyt

2-muodot. Lasketaan naiden ulkoderivaatat. Aloitetaan Fa-

radayn 2-muodosta:

dΦFaraday = d(ΦE–work ∧ dt) + dΦB–flux

= d(E1dx ∧ dt) + d(E2dy ∧ dt)

+ d(E3dz ∧ dt)

+ d(B1dy ∧ dz) + d(B2dz ∧ dx)

+ d(B3dx ∧ dy)

∗Kyseessa on isotrooppinen tapaus. Tassa E on sahkokentan voi-makkuus [V/m], D on sahkovuon tiheys [As/m2], H on magneet-tikentan voimakkuus [A/m], B on magneettivuon tiheys [Vs/m2](tesla), ε on permittiviteetti [As/V/m], µ on permeabiliteetti[Vs/A/m], ρ on varaustiheys [As/m3], J on virran tiheys [A/m2]ja σ on johtavuus [A/V/m].

177

= Φ∇×E–flux ∧ dt+ Φ∇•B–density

+∂B1

∂tdt ∧ dy ∧ dz

+∂B2

∂tdt ∧ dz ∧ dx

+∂B3

∂tdt ∧ dx ∧ dy

=(M2) Φ∇×E–flux ∧ dt+ Φ∂B∂t –flux

∧ dt

=(M3) 0.

Maxwellin 2-muodon derivaatta saadaan samaan tapaan:

dΦMaxwell = d(−c2ΦB–work ∧ dt) + dΦE–flux

= −c2Φ∇×B–flux ∧ dt+ Φ∇•E–density

+ Φ∂E∂t –flux

∧ dt.

Olettaen ε ja µ vakioiksi (homogeeninen tapaus) ja muis-

taen, etta silloin

c =1√εµ

,

saadaan materiaalilakeja ja yhtaloa (M4) soveltaen ulkode-

rivaatta kauniimpaan muotoon (totea!)

dΦMaxwell =1

ε(Φρ–density −ΦJ–flux ∧ dt).

178

Tata ulkoderivaattaa, ns. virrantiheysmuotoa, merkitaan

usein ∗J:lla. Koska toiset ulkoderivaatat ovat nollia, on

d∗J = 0 (ns. varauksen sailymislaki).

Kaikkiaan todetaan siis, etta (homogeenisessa tapauksessa)

Maxwellin yhtalot voidaan kirjoittaa Faradayn ja Maxwellin

muodoille hyvin yksinkertaisina:dΦFaraday = 0

dΦMaxwell = ∗J.

179

4. Yleistetty Stokesin lause

Kaikki palaset ovat nyt valmiina ja voidaan esittaa

YLEISTETTY STOKESIN LAUSE. Jos−→M on Rn:n

k+ 1-ulotteinen suunnattu monisto, A sen rajoitettu reu-nallinen alue, jonka silea reuna

−→∂ s−→MA on suunnattu vas-

taavasti, ja Φ (jossain A:n sisaltavassa avoimessa joukos-

sa) jatkuvasti derivoituva k-muotokentta, niin∫A

dΦ =∫

−→∂ s−→MA

Φ.

Mikali silea reuna−→∂ s−→MA on tyhja, oikean puolen integraali

on = 0.

Todistus. Tasmallinen todistus on pitka ja hankala arvioin-

ti, ks. esimerkiksi HUBBARD & HUBBARD. Karkeasti esitetty-

na perusidea on seuraava. Approksimoidaan A:ta joukolla

hyvin pienia k + 1-ulotteisia suuntaissarmioita:

Pj = Pj(pj; rj,1, . . . , rj,k+1) (j = 1, . . . , N).

Parametrisoituna

Pj : γj(u) = pj+k+1∑i=1

uirTj,i (0 ≤ u1, . . . , uk+1 ≤ 1),

jolloin

γ′j(u) =(rj,1 · · · rj,k+1

).

180

Approksimaatio on sita tarkempi mita enemman suuntais-

sarmioita on:

Nain ollen, vrt. parametrisoidun integraalin maaritelma,∫A

dΦ ∼=N∑j=1

(dΦ)(pj; rj,1, . . . , rj,k+1).

Toisaalta ulkoderivaatan maaritelman nojalla (kun valitaan

h = 1)

(dΦ)(pj; rj,1, . . . , rj,k+1) ∼=∫

−→∂ s−→MPj

Φ.

Vierekkaisten suuntaissarmioiden yhteisten tahkojen ulko-

normaalit osoittavat vastakkaisiin suuntiin, ts. ne ovat vie-

rekkaisissa suuntaissarmioissa vastakkaisesti suunnatut.

181

Nain ollen integraalit tallaisten tahkojen yli kumoavat toi-

sensa ja jaljelle jaa vain A:n sileaa reunaa approksimoiva

tahkojoukko. Siispa

N∑j=1

∫−→∂ s−→MPj

Φ ∼=∫

−→∂ s−→MA

Φ.

Tassa esitettyjen approksimaatioiden tarkkenevuuden todis-

tukset ovatkin sitten jo varsin tyolaita.

Katsotaan esimerkkeina vektorianalyysin integraalilauseet.

ESIMERKKI. (Gaußin lause eli Divergenssilause)

Valitaan monistoksi R3:n avoin (suunnattu, oikeakatinen

koordinaatisto) joukkoM ja alueeksi sen samoin suunnattu

osajoukko, kappale−→K , jonka silea reuna

−→∂ s−→MK on suun-

nistettu ulkonormaalilla. Nyt

dΦF–flux = Φ∇•F–density,

joten Yleistetyn Stokesin lauseen mukaan∫−→K

Φ∇•F–density =∫−→K

∇ • F(r) dr =∮

−→∂ s−→MK

F(r) • dS.

Tassa on tarkeaa, etta ulkonormaali vastaa lokaalin koordi-

naatiston oikeakatisyytta.

182

Divergenssilause on voimassa missa tahansa dimensiossa.

1-ulotteisena se on tavallinen Integraalilaskennan paalause.

Koska kahdessa ulottuvuudessa

d(−F2(p)dx+ F1(p)dy) = ∇ • F(p) dx ∧ dy

(−F2(p)dx + F1(p)dy on kentan F vuomuoto), on

Yleistetyn Stokesin lauseen mukaan∫−→A

Φ∇•F–density =∫−→A

∇•F(r) dr =∮

−→∂ s−→MA

(−F2(r)F1(r)

)•ds.

Tassa monisto on R2:n avoin joukko ja alueA sen osajouk-

ko, jonka silea reuna on suunnattu ulkonormaalin mukaan.

Oikea puoli muuten kirjoitetaan toisinaan muotoon∮−→∂ s−→MA

−F2(r) dx+ F1(r) dy =∮

−→∂ s−→MA

∣∣∣∣∣F1(r) dxF2(r) dy

∣∣∣∣∣ .Tasta seuraa myos Greenin lause (miten?).

ESIMERKKI. (Stokesin lause) Valitaan monistoksi

R3:n suunnattu pinta−→S ja alueeksi sen samoin suunnistet-

tu osa−→A , jonka silea reuna

−→∂ s−→SA on suunnistettu oikean

kaden saannolla. Koska

dΦF–work = Φ∇×F–flux ,

183

Yleistetyn Stokesin lauseen mukaan∫−→A

Φ∇×F–flux =∫−→A

∇× F(r) • dS =∮

−→∂ s−→SA

F(r) • ds.

JosA = S on sulkeutuva pinta ja silla ei ole sileaa reunaa,oikea puoli on = 0.

Nama klassisten integraalilauseiden versiot ovat aika yleisia,lahinna tarvitaan laajennetut parametrisoinnit ja integran-deilta tarpeeksi jatkuvuutta. Monistot ja niiden reunallisetalueet voivat koostua monista erillisista osista, samoin nii-den sileat reunat. Huomaa kuitenkin, etta Stokesin lausees-sa pinnan S on oltava suunnistuva, esimerkiksi Mobiuksennauha ei siis kay. On myos olemassa sulkeutuvia pintoja,joita ei voi suunnistaa. Tallainen on esimerkiksi ns. Klei-nin pullo, jonka eras realisaatio on alla olevassa kuvassa(Maple).

Tama pinta leikkaa itseaan, mutta R4:ssa Kleinin pullosta

184

on versio, joka ei leikkaa itseaan. Kleinin pulloon ei voi so-veltaa Gaußin lausetta.

Soveltamalla Yleistettya Stokesin lausetta erityyppisiin muo-tokenttiin saadaan muitakin edellisten klassisten integraali-lauseiden tapaisia tuloksia.

ESIMERKKI. (Vektoraalinen Gaußin lause) Mikali3-muotokentassa

f(p)r1 • r2 × r3

kiinnitetaan vektorimuuttuja r1 vakiovektoriksi a, saadaan2-muoto

Φ(p; r2, r3) = (f(p)a) • r2 × r3 (vuomuoto).

Soveltamalla tahan Yleistettya Stokesin lausetta saadaanGaußin lauseen tapaan∫

−→K

Φ∇•(fa)–density =∫−→K

∇•(f(r)a) dr =∮

−→∂ s−→MK

(f(r)a)•dS.

Koska

∇ • (f(r)a) = ∇f(r) • a

ja a on mielivaltainen vakiovektori (valitsemalla a = i, j,ksaadaan koordinaatit), tulos kirjoitetaan usein vektoraali-seen muotoon∫

−→K

∇f(r) dr =∮

−→∂ s−→MK

f(r)dS.

185

Klassiset integraalilauseet (ja muutkin) tulevat kayttoon fy-

sikaalisten lausekkeiden kasittelyssa.

ESIMERKKI. Maxwellin yhtalon (M4) nojalla stationaa-

risessa tapauksessa

∇×H = J.

Mikali viiva−→C on riittavan saannollinen suunnistettu ja sul-

keutuva, sen kautta voidaan asettaa Stokesin lauseen vaa-

timukset tayttava suunnistettu pinta−→S sovitulla oikeaka-

tisella suunnistuksella ja∮−→C

H(r) • ds =∫−→S

∇×H(r) • dS =∫−→S

J(r) • dS.

Ensimmainen integraali maarittelee magneettikentan voi-

makkuuden viivaintegraalin sulkeutuvan viivan ympari, vii-

meinen ilmoittaa sen suuruudeksi silmukan lapi kulkevan

sahkovirran maaran. Tama on ns. lavistyslaki.

ESIMERKKI. Edelleen Maxwellin yhtalon (M3) nojalla

∇× E = −∂B

∂t.

Kuten edella, vaaditut ehdot tayttavan sulkeutuvan silmu-

kan ympari

186

∮−→C

E(r, t) • ds =∫−→S

∇× E(r, t) • dS

= −∫−→S

∂B(r, t)

∂t• dS

= −d

dt

∫−→S

B(r, t) • dS.

Sahkomotorinen voima sulkeutuvan silmukan ympari on sil-mukan lavitse kulkevan magneettivuon aikaderivaatta.

ESIMERKKI. Ensimmaisena approksimaationa—ja useinmyos viimeisena—monissa virtausprobleemoissa oletetaanvirtaavan aineen olevan ideaalinestetta, kitkatonta ja ko-koon puristumatonta.

Tarkastellaan stationaarista virtausta. Ns. Thomsonin kier-tolause ilmoittaa, etta tietyin varsin yleisin ehdoin virtaus,jolla nopeuden roottori on nolla virtausalueen alkupaassa,sailyttaa taman ominaisuuden koko alueessa. Talloin siiskoko ajan

∇× v = 0.

Mikali C on sulkeutuva Stokesin lauseen mukainen pinnanreunaviiva ja v on sopivasti maaritelty seka jatkuvasti de-rivoituva, viivan ympari laskettu integraali on nolla:∮

−→C

v(r) • ds = 0.

187

Mielenkiintoista kylla, erityisesti virtaustehtavissa ei joskus

ole mahdollista asettaa vaaditunlaista (kuvitteellista) pintaa

tarkasteltavan silmukan yli. Nain on useimmiten siita syys-

ta, etta virtauskentassa on este: Nesteessa on vieras esine,

esimerkiksi siipi, jonka alueella ei ole nestetta eika sen kum-

memmin virtaustakaan. (Vastaavaa tavataan sahkovirtaus-

kentassa, kun johteessa on reika tai eristeenkappale.) Vir-

tauksessa olevat siivet yms. voidaan usein kaytannossa aja-

tella aarettoman pitkiksi—vaikkapa z-akselin suunnassa—

jolloin siiven ympari kulkevan sulkeutuvan viivan kautta ei

voida asettaa pintaa, jolla virtaus olisi maaritelty.

z

x

y

C

x

y

C

z

Jos kuitenkin tiedetaan, etta virtaukselle ∇×v = 0, voi-

daan osoittaa, etta mielivaltaisella, reian kiertavan viivan

188

ympari lasketulla viivaintegraalilla on aina viivasta riippu-

matta sama arvo

Γ =∮

v(r) • ds,

joka nain voidaan laskea mukavinta mahdollista integrointi-

tieta pitkin. Talla on merkitysta vaikkapa Zukovskijn∗ nos-

tovoimalauseen soveltamisessa. Lause ilmoittaa siiven nos-

tovoimaksi pituusyksikkoa kohden aarettomyydesta nopeu-

della v∞ lahestyvalle nesteelle (ilmalle, tiheydeltaan ρ) voi-

man F = ρΓv∞. Voima on kohtisuorassa nopeutta vas-

taan lentokoneesta tutulla tavalla.

Mainittu riippumattomuus integrointitiesta nahdaan havain-

nollisesti seuraavasti. Jos−→C1 ja

−→C2 ovat kaksi siiven sa-

maan suuntaan kiertavaa viivaa, ne voidaan leikata kuvit-

teellisesti poikki ja yhdistaa kaksinkertaisella yhdystiella Lyhdeksi isoksi sulkeutuvaksi suunnatuksi viivaksi

−→C alla

olevan kuvan mukaisesti. (Yhdysviiva on piirretty havain-

nollisuuden vuoksi kaksinkertaisena.) Sulkeutuvan viivan Ckautta voidaan sitten asettaa pinta, jolla v on maaritelty,

jolloin roottorin oletetusta haviamisesta johtuen∮−→C

v(r) • ds = 0.

∗Usein Joukowsky tai Joukowski tai Schukowski!

189

Toisaalta integraalia laskettaessa yhdysviivan L yli inte-graali lasketaan kahteen kertaan, painvastaisiin suuntiin.

x

y

C1

z

C2

x

y

C

z

L

Viivan−→C yli laskettavassa kokonaisintegraalissa nama osat

kumoavat toisensa vastakkaismerkkisina. Siten (ajattelekiertosuuntia)∮−→C

v(r) • ds =∮−→C2

v(r) • ds−∮−→C1

v(r) • ds = 0,

mista seuraakin vaitetty kiertojen yhtasuuruus.

Paallimmainen pulma edella on se, etta periaatteessa in-tegrointialueiden on oltava upotettuja laajempaan monis-toon ja kenttien on oltava (jatkuvina/derivoituvina) ole-massa integrointialueita laajemmissa avoimissa joukossa.Kaikissa kayttotilanteissa tallaisia ei ainakaan konkreetti-sesti ole, eika niita aina saada mitenkaan keinotekoisestijatkamallakaan.

190

LUKU 6 Potentiaalit

1. Eksaktit muotokentat ja potentiaalit

Maarattyjen integraalien osalta Yleistetty Stokesin lause an-

taa samanlaisen karakterisaation kuin tuttu Integraalilas-

kennan peruslause. Entas sitten maaraamattomat integraa-

lit? Peruskurssien tulos

d

dx

∫

f(x) dx =∫

df(x)

dxdx = f(x)

toteaa maaraamattoman integroinnin olevan derivoinnin

kaanteisoperaatio, antiderivointi. Muotokentille kyseessa oli-

si siis ulkoderivoinnin kaanteisoperaatio. Tallainen operaa-

tio on usein kateva, koska ulkoderivointi lisaa muotokentan

astetta yhdella ja nain ollen sen mutkikkuutta.

Muotokentan Φ sanotaan olevan eksakti, jos se on toisen

muotokentan Ψ ulkoderivaatta, ts. Φ = dΨ. Muoto-

kenttaa Ψ kutsutaan talloin Φ:n potentiaaliksi. Koska ai-

na dΓ = 0, kun Γ on vakiomuotokentta (derivointisaanto

(II) Pykalassa 5.2), talloin Ψ + Γ on myos Φ:n potenti-

aali. Potentiaali ei siis ole yksikasitteinen, niin kuin ei ole

maaraamaton integraalikaan. Joissain tapauksissa Φ:n po-

tentiaaleja voi viela olla muitakin.

191

Selvasti, jos Φ on eksakti, niin dΦ = 0, silla

dΦ = d2Ψ = 0.

Kaikki muotokentat eivat siis ole eksakteja. Toisaalta, kuten

kohta nahdaan, jos dΦ = 0, niin ainakin lokaalisti Φ on

eksakti.∗

Tassa luvussa ei selkeyssyista eroteta pisteita ja vektoreita

merkinnallisesti toisistaan. Huomaa kuitenkin, etta ”piste

miinus piste”on yleisesti aina vektori ja ”piste plus vektori”

vastaavasti piste.

ESIMERKKI. Ns. Newtonin muotokentta (1-muotokent-

ta)

Φ(p; r) = −C(p− p1) • r

‖p− p1‖3,

missa C on vakio ja p1 on kiintea piste, on eksakti muoto-

kentta alueessa, missa ei ole pistetta p1. (Erotus p− p1

tulkitaan tassa vektoriksi.) Se on nimittain skalaarikentan

(0-muotokentan)

f(p) =C

‖p− p1‖(ns. Newtonin potentiaali)

∗Muotokenttaa, jonka ulkoderivaatta on = 0, taas kutsutaan useinsuljetuksi (engl. closed).

192

ulkoderivaatta eli tyomuotokentta ∇f(p) • r. Toisaalta

myos dΦ = 0, silla se on roottorin

∇×−C(p− p1)

‖p− p1‖3= 0 (totea!)

vuomuotokentta.

Muistettaneen, etta Newtonin painovoimalain mukaan pis-

teessa p olevaan pistemaiseen massaanm vaikuttava Maan

vetovoima on

−GmMp− p1

‖p− p1‖3,

missa p1 on maapallon keskipiste,M on maapallon massa

ja G on gravitaatiovakio.

ESIMERKKI. Newtonin vektorikentta voidaan muotoilla

myos 2-muotokentaksi

Φ(p; r1, r2) = −C(p− p1) • r1 × r2

‖p− p1‖3.

Myos tama muotokentta on eksakti, silla se on vuomuoto-

kentta ja sen derivaatta on divergenssin

∇ •−C(p− p1)

‖p− p1‖3= 0 (totea!)

tiheysmuotokentta. Tilanne on kuitenkin jo riippuvainen

alueestakin, kuten tullaan nakemaan.

193

Yleisen tilanteen hallitsemiseksi otetaan kayttoon viela yksi

muotokenttien derivointisaanto, joka muuten Cartanin tai-

kakaavan ohella hoitelee varsin monen nablaussaannon.

LAUSE 6.1. k-muotokentan Φ ulkoderivaatta voidaan

kirjoittaa muotoon

(dΦ)(p; r1, . . . , rk+1)

=k+1∑

i=1

(−1)i−1Φ′(p; r1, . . . , ri−1, ri, ri+1, . . . , rk+1)ri,

missa Φ′ on Φ:n derivaatta paikkamuuttujan p suhteen ja

hattu vektorimuuttujan paalla merkitsee sita, etta se jate-

taan listasta pois.

Todistus. Lauseen 4.2 mukaan Φ:lla on hajotelma

Φ(p; r1, . . . , rk) =∑

1≤j1<j2<···<jk≤n

aj1,j2,...,jk(p)(dxj1∧dxj2∧· · ·∧dxjk)(r1, . . . , rk)

ja riittaa todeta asia yleiselle yhteenlaskettavalle

aj1,j2,...,jk(p)dxj1 ∧ dxj2 ∧ · · · ∧ dxjk.

Pykalan 5.2 derivointisaannon (IV) mukaan

d(aj1,j2,...,jk(p)dxj1 ∧ · · · ∧ dxjk)

=n∑

l=1

∂aj1,j2,...,jk(p)

∂xldxl ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjk.

194

Toisaalta, alkeisen muodon maaritelman mukaan,

(dxl ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjk)(r1, . . . , rk+1)

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

xl,1 xl,2 · · · xl,k+1

xj1,1 xj1,2 · · · xj1,k+1... ... . . . ...

xjk,1 xjk,2 · · · xjk,k+1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

Kun kehitetaan tama determinantti ensimmaisen rivinsamu-

kaan, saadaan summa

k+1∑

i=1

(−1)i−1xl,i(dxj1 ∧ · · · ∧ dxjk)(r1, . . . ,

ri−1, ri, ri+1, . . . , rk+1).

Vaihtamalla nyt summaukset∑nl=1 ja

∑k+1i=1 keskenaan

saadaan vaitetty tulos.

Yleinen tulos voidaan saada paljon vahvempanakin kuin

vain lokaalisti: se saadaan ns. tahtimaisille joukoille. Rn:n

osajoukon A sanotaan olevan tahtimainen (engl. star-sha-

ped) pisteen p0 suhteen, jos aina kun piste p on A:ssa,

myos koko sen ja p0:n valinen jana eli joukko

p0 + t(p− p0) | 0 ≤ t ≤ 1

sisaltyy A:han. Eraita tuttuja tahtimaisia tasoalueita (min-

ka pisteen suhteen?) ovat

195

ja eraita ei-tahtimaisia alueita

k + 1-muotokentan Φ maaraamatonta integrointia vas-

taava operaatio tahtimaisessa alueessa pisteen p0 suhteen

on

(IΦ)(p; r1, . . . , rk)

=

1∫

0

tkΦ(p0 + t(p− p0);p− p0, r1, . . . , rk) dt.

POINCAREN LEMMA. Jos pisteen p0 suhteen tahti-

maisessa alueessa A on dΦ = 0, niin Φ on siina eksakti

ja Φ = d(IΦ).

Todistus. Todistus on hiukan konstikas. Todetaan tulos vain

tapauksessa p0 = 0, yleinen tapaus menee vastaavasti.

Kirjoitetaan p koordinaattiesitykseensa

p =n∑

l=1

plel,

196

jolloin multilineaarisuuden johdosta

Φ(tp;p, r1, . . . , rk) =n∑

l=1

plΦ(tp; el, r1, . . . , rk)

ja tulon derivointisaannolla

(Φ(tp;p, r1, . . . , rk))′ = q+

n∑

l=1

tplΦ′(tp; el, r1, . . . , rk)

= q+ tΦ′(tp;p, r1, . . . , rk),

missa

q = (Φ(tp; e1, r1, . . . , rk), . . . ,Φ(tp; en, r1, . . . , rk)).

Lasketaan ensin d(IΦ) Lauseen 6.1 mukaisessa muodos-sa kayttaen ylla saatua derivaattaa ja vieden ulkoderivointiintegraalin sisaan∗:

(d(IΦ))(p; r1, . . . , rk+1)

=

k+1∑

i=1

(−1)i−1(IΦ)′(p; r1, . . . , ri−1, ri, ri+1, . . . , rk+1)ri

=

k+1∑

i=1

(−1)i−1

1∫

0

tkΦ(tp; ri, r1, . . . , ri−1, ri, ri+1, . . . , rk+1) dt

+

k+1∑

i=1

(−1)i−1

1∫

0

tk+1Φ′(tp;p, r1, . . . , ri−1, ri, ri+1, . . . , rk+1)ri dt.

∗Tama on melko yleisin oletuksin sallittua!

197

Huomaa, etta

qri = Φ(tp; ri, r1, . . . , ri−1, ri, ri+1, . . . , rk+1).

Antisymmetrian nojalla ensimmainen summalauseke sieve-nee kovasti, kun siirretaan ri:t oikeille paikoilleen:

k+1∑

i=1

(−1)i−1

1∫

0

tkΦ(tp; ri, r1, . . . , ri−1, ri, ri+1, . . . , rk+1) dt

= (k+ 1)

1∫

0

tkΦ(tp; r1, . . . , rk+1) dt.

Samalla tavoin Lausetta 6.1 soveltaen voidaan laskea I(dΦ):

(I(dΦ))(p; r1, . . . , rk+1)

=

1∫

0

tk+1(dΦ)(tp;p, r1, . . . , rk+1) dt

=

1∫

0

tk+1Φ′(tp; r1, . . . , rk+1)pdt

+

k+1∑

i=1

(−1)i1∫

0

tk+1Φ′(tp;p, r1, . . . , ri−1, ri, ri+1, . . . , rk+1)ri dt.

(Huomaa potenssit tk+1 seka (−1)i. Miksi nama?)

Yhdistamalla saadut tulokset nahdaan, etta

198

(d(IΦ))(p; r1, . . . , rk+1) + (I(dΦ))(p; r1, . . . , rk+1)

=

1∫

0

(k+1)tkΦ(tp; r1, . . . , rk+1) dt

+

1∫

0

tk+1Φ′(tp; r1, . . . , rk+1)pdt

=

1∫

0

d

dt(tk+1Φ(tp; r1, . . . , rk+1)) dt

= Φ(p; r1, . . . , rk+1).

Toisaalta oletettiin, etta dΦ = 0, mista haluttu tulos

seuraa.

ESIMERKKI. Jos n-muotokentta Φ on skalaarikentan f

tiheysmuotokentta, ts. muotoa

Φ(p; r1, . . . , rn) = Φf–density(p; r1, . . . , rn)

= f(p) det(r1, . . . , rn),

niin dΦ = 0 eli Φ on eksakti. Poincaren lemman mukaan

jonkin pisteen p0 suhteen tahtimaisessa alueessa Φ:lla on

silloin potentiaali

(IΦ)(p; r1, . . . , rn−1)

=

1∫

0

tn−1f(p0+t(p−p0)) dtdet(p−p0, r1, . . . , rn−1),

199

joka on vektorikentan

F(p) =

1∫

0

tn−1f(p0 + t(p− p0)) dt (p− p0)

vuomuotokentta eli ΦF–flux(p; r1, . . . , rn−1).

Tietyssa mielessa tama vektorikentta vastaa yhden muuttu-

jan funktioiden integraalifunktiota. Esimerkiksi R3:ssa

Gaußin lauseen mukaan∫

−→K

f(r) dr =

∫

−→K

∇ • F(r) dr =

∮

−→∂ K

F(r) • dS

mille tahansa (kyllin saannolliselle) alueelle K.

Lasketaan malliksi potentiaali R3:ssa, kun

f(x, y, z) = x+ y+ z

ja p0 = 0. Silloin

F(x, y, z) =

1∫

0

t2(tx+ ty+ tz) dt

xyz

=x+ y+ z

4

xyz

.

200

2. Vektorikentan skalaaripotentiaali

Poincaren lemman nojalla 1-muotokentalla

Φ(p; r) = F(p) • r

(vektorikentan F tyomuotokentta) on potentiaali pisteen

p0 suhteen tahtimaisissa joukoissa, mikali

dΦ = Φ∇×F–flux = 0,

ts. mikali ∇ × F = 0 eli kentta on pyorteeton, ja eras

tallainen potentiaali on lausuttavissa muodossa

f(p) =

1∫

0

F(p0 + t(p− p0)) • (p− p0) dt.

Potentiaalia (0-muotokenttaa eli skalaarikenttaa) f kutsu-

taan talloin vektorikentan F skalaaripotentiaaliksi..

Teknisissa sovelluksissa vektorikentta F on yleensa tunte-

maton. Tehtava on etsia se annettujen tietojen perusteella.

Tama tietaa kolmen skalaarifunktion etsimista (kentan kol-

me komponenttia). Pyorteettomissa kentissa tuntematon

kentta voidaan yleensa esittaa toistaiseksi tuntemattoman

skalaaripotentiaalin gradienttina: F = ∇f . Nain riittaa

kentan saamiseksi etsia vain yksi skalaarikentta, potentiaa-

li f . Pyorteettomyys seuraa yleensa tehtavan asettelusta

(Thomsonin kiertolause, Maxwellin yhtalot ym.).

201

Kuten todettiin, jos f on skalaaripotentiaali ja c on vakio,

niin f + c on myos saman kentan skalaaripotentiaali, silla

∇(f + c) = ∇f.

Toisaalta, jos f ja g ovat molemmat kentan skalaaripoten-

tiaaleja, niin ∇(f − g) = 0 ja f − g on vakio. Skalaa-

ripotentiaali on siis yksikasitteinen vakioyhteenlaskettavaa

vaille.

Skalaaripotentiaalin olemassaolo liittyy viivaintegraaleihin

seuraavalla tavalla.

LAUSE 6.2. Seuraavat kolme ehtoa ovat ekvivalentitR3:n

avoimessa joukossa K (monistossa) maaritellylle jatkuvalle

vektorikentalle F.

(i) F:lla on K:ssa skalaaripotentiaali f .

(ii) Mille tahansa K:ssa olevalle sulkeutuvalle viivalle C

(1-ulotteinen monisto laajennetussa parametrisoinnis-

sa) on∮

C

F(r) • ds = 0.

202

(iii) Jos r0 ja r1 ovat K:n pisteita ja−→C niita K:ssa yh-

distava viiva (1-ulotteinen suunnistettu monisto laa-

jennetussa parametrisoinnissa), ts. suunnistuksessa r0on kiintea alkupiste ja r1 vaihtuva loppupiste, niin in-

tegraali∫

−→C

F(r) • ds = h(r1)

ei riipu viivan−→C valinnasta muuten kuin loppupisteen

r1 kautta ja maarittaa nain r1:n funktion h(r1).

Kohdan (iii) funktio h on F:n potentiaali K:ssa.

Todistus. Naytetaan ensin implikaatio (i)⇒ (iii). Oletetaan

siis oikeaksi kohta (i). Otetaan kayttoon−→C :n laajennettu

parametrisointi r = γ(u) (a ≤ u ≤ b). Kayttaen hyvaksi

oletettua potentiaalia f saadaan

∫

−→C

F(r) • ds =

∫

−→C

∇f(r) • ds =

b∫

a

f ′(γ(u))γ′(u) du

=

b∫

a

d

duf(γ(u)) du

=

b/

a

f(γ(u)) = f(r1)− f(r0),

203

mista tulos seuraa valitsemalla

h(r1) = f(r1)− f(r0).

(Huomaa, etta h on nyt potentiaali.)

Seuraavaksi todetaan implikaatio (iii) ⇒ (i). Pitaa vain

nayttaa, etta (iii):n antama funktio h todella on potentiaali.

Naytetaan malliksi, etta

∂h(r1)

∂x1= F1(r1),

muut osittaisderivaatat kasitellaan samaan tapaan. Sita var-

ten otetaan piste r1 monistosta K ja valitaan viivaksi−→C

sellainen, jossa viimeinen ”pala”on x-akselin suuntainen ly-

hyt jana

−→C2 : r = r2 ± u(1,0,0) (0 < u ≤ ±(x1 − x2)),

etumerkki tulosuunnasta riippuen (eli plus, jos x1 > x2,

muuten miinus), ks. kuvio alla. Ilmeisesti−→C2:n tangentti-

vektori on±i. Integraali ei riipu reitin valinnasta, joten nain

voidaan valita. Toisaalta K on avoin joukko, joten tilaakin

on.−→C :n alkupaata merkitaan

−→C1:lla, ts.

−→C =

−→C1+

−→C2.

Jos tulosuunta on vasemmalta (eli merkki on plus, miinus

vastaavasti), niin

204

y

x

r0

r1r2

C1

C2

z

h(r1) =

∫

−→C

F(r) • ds =∫

−→C1

F(r) • ds+∫

−→C2

F(r) • ds

=∫

−→C1

F(r) • ds+

x1−x2∫

0

F(r2 + u(1,0,0)) • idu

=∫

−→C1

F(r) • ds+

x1−x2∫

0

F1(r2 + u(1,0,0)) du.

Nain ollen (derivoidaan integraalin ylarajan suhteen)

∂h(r1)

∂x1= F1(r1).

205

Implikaatio (ii) ⇒ (iii) on aika selva. Oletetaan (ii) ja ote-taan (iii):ssa kaksi kuvatunlaista viivaa,

−→C ja

−→C ′. Kaan-

netaan−→C ′:n suunta painvastaiseksi, jolloin saadaan viiva

−−→C ′, ja yhdistetaan se

−→C :hen. Tuloksena on viiva

−→C −

−→C ′

ja (ii):n mukaan

0 =

∮

−→C −

−→C ′

F(r) • ds =

∫

−→C

F(r) • ds−∫

−→C ′

F(r) • ds.

r0

r1

C

C

r0

r1

C

C

Myos implikaatio (iii) ⇒ (ii) on melko ilmeinen. Jos ole-tetaan (iii) ja otetaan sulkeutuva viiva

−→C , voidaan vali-

ta C:lta kaksi pistetta r0 ja r1. C jakaantuu nyt kahteenosaan, r0:n ja r1:n yhdistavaan suunnattuun viivaan

−→C ′ se-

ka r1:n ja r0:n yhdistavaan suunnattuun viivaan−→C ′′. Jal-

kimmaisen suunta vaihdetaan, jolloin saadaan kaksi (iii):ssaesiintyvaa viivaa,

−→C ′ ja −

−→C ′′. (iii):n mukaisesti

∮

−→C

F(r) • ds =

∫

−→C ′

F(r) • ds−∫

−−→C ′′

F(r) • ds = 0.

206

r0

r1

CC

r0

r1

C

Vektorikenttaa, joka toteuttaa lauseen kohdan (iii), kutsu-

taan konservatiiviseksi. Konservatiiviselle kentalle F kirjoi-

tetaan usein

∫

−→C

F(r) • ds =

r1∫

r0

F(r) • ds,

integraalin tuloshan riippuu vain paatepisteista.

Skalaaripotentiaalin olemassaolo ei riipu pelkastaan kentas-

ta F, vaan myos tarkastelumonistosta K. Poincaren lem-

man mukaisesti se on olemassa tahtimaisissa monistoissa.

Se jo riittaakin aika pitkalle.

Entas sitten yleisemmat monistot? Juttu riippuu kappaleen

topologiasta, ts. siita mita siina jatkuvilla muunnoksilla voi-

daan viivoille (ja pinnoille) tehda. MonistoK on yhdesti yh-

tenainen, jos sen jokainen sulkeutuva viiva C (1-ulotteinen

207

monisto laajennetussa parametrisoinnissa) voidaan jatku-

villa muunnoksilla vieda pisteeksi jattamatta monistoa K.

Tarkemmin sanoen K:ssa on sellainen laajennetusti para-

metrisoitu pinta

S : r = γ(t, u) (U : a(u) ≤ t ≤ b(u),0 < u < 1),

etta

• a(u) ja b(u) ovat jatkuvia valilla [0,1],

• viiva Cu : r = γ(t, u) (a(u) ≤ t ≤ b(u)) on

sulkeutuva jokaiselle arvolle 0 < u < 1,

• C on jokin viivoista Cu (0 < u < 1) ja

• ”viiva” C0 : r = γ(t,0) (a(0) ≤ t ≤ b(0)) on

piste (degeneroitunut viiva).

Tallaisen pinnan ”prototyyppi”on R-sateisen pallon kalotti

parametrisoituna pallokoordinaatistossa:

S : r = γ(t, u) = (R sinu cos t, R sinu sin t, R cosu)

(0 ≤ t ≤ 2π, 0 < u < 1).

Sen reunaympyra kutistuu jatkuvasti muuntuen kalotin paal-

la olevaksi pisteeksi (kuva: Maple):

208

LAUSE 6.3. Jos F on pyorteeton jatkuvasti derivoituva

vektorikentta yhdesti yhtenaisessa monistossa, niin silla on

siina skalaaripotentiaali.

Todistus. Todistus on pitkahko ja tekninen, ks. esimerkiksi

NIKOLSKY & VOLOSOV. Perusidea on tietysti se, etta sovelle-

taan ym. viivaan C ja sen reunana rajoittamaan pinnan S

osapintaan (Yleistettya) Stokesin lausetta. Koska roottori

on nollavektori, kierto reunan ympari on = 0 ja paastaan

kayttamaan Lausetta 6.2.

Pulma on lahinna suunnistus. Esimerkiksi Mobiuksen nau-

haa ei voi suunnistaa, mutta sen reuna muodostuu yhdesta

sulkeutuvasta viivasta (kuva: Maple):

209

Todettakoon viela, etta pinta S voi olla globaalisti hyvin-

kin mutkikas, ajattele vain esimerkiksi tapausta, jossa C on

solmussa (kuva: Maple):

210

ESIMERKKI. Esimerkkina monistosta, joka ei ole yhdesti

yhtenainen, on tooruksen eli rinkilan sisaosa (kuva: Maple).

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

–4–3

–2–1

12

34

–4–3

–2–1

12

34

Rinkilan reunapinnan laajennettu parametrisointi on

x= (R1 +R2 cosu2) cosu1y = (R1 +R2 cosu2) sinu1z = R2 sinu2

(0 ≤ u1, u2 ≤ 2π).

Rinkilassa esimerkiksi kentalla

F(r) =1

x2 + y2

−yx0

ei ole potentiaalia, vaikka helposti on todettavissa, etta se

on pyorteeton (totea!). Potentiaalia ei Lauseen 6.2 nojalla

ole, silla rinkilan keskusympyralle

211

−→C : γ(u1) = (R1 cosu1, R1 sinu1,0)

(0 ≤ u1 ≤ 2π)

on

∮

−→C

F(r) • ds =

2π∫

0

1

R21

−R1 sinu1R1 cosu1

0

•

−R1 sinu1R1 cosu1

0

du1

=

2π∫

0

du1 = 2π 6= 0.

Jos sen sijaan leikataan rinkilasta pala pois positiivisen

x-akselin kohdalta, potentiaalikin on olemassa, nimittain

atan (ks. Pykalan 2.5 esimerkki).

Mikali monisto ei ole yhdesti yhtenainen, pyorteettomal-

la vektorikentalla on edelleenkin lokaali skalaaripotentiaali,

mutta sen ei tarvitse olla globaalisti yksikasitteinen vakioyh-

teenlaskettavaa vaille. Koska numeerisesti voidaan ratkais-

ta vain yksikasitteisia tehtavia, monisto on tehtava keinote-

koisesti yhdesti yhtenaiseksi ”leikkaamalla se auki” sopivaa

pintaa pitkin yo. esimerkissa todettuun tapaan.

HUOMAUTUS. Eraissa tapauksissa tiedetaan pyorteet-

tomalla kentalla olevan yksikasitteinen skalaaripotentiaali,

vaikka monisto ei olisikaan yhdesti yhtenainen. Nain on

laita esimerkiksi sahkokentan voimakkuuteen E liittyvissa

212

tehtavissa, jos lahistolla ei ole muuttuvia magneettikenttia

tai ylimaaraisia sahkomotorisia voimia. Energeettisista syis-

ta mielivaltaisen sulkeutuvan viivan C ympari integroiden

naissa tapauksissa on∮

C

E(r) • ds = 0.

Talloin esiintyva integraali

r∫

r0

E(r) • ds

on integrointitiesta riippumaton ja kelpaa yksikasitteiseksi

potentiaaliksi.

Skalaaripotentiaali voidaan myos saada aikaan approksima-

tiivisesti, ks. Pykala 6.

213

3. Vektorikentan vektoripotentiaali

Poincaren lemman mukaisesti 2-muotokentalla

Φ(p; r1, r2) = F(p) • r1 × r2

(F:n vuomuotokentta) on pisteen p0 suhteen tahtimaisissa

joukoissa potentiaali, jos

dΦ = Φ∇•F–density = 0,

ts. ∇ • F = 0 eli kentta on lahteeton, ja eras tallainen

potentiaali on

U(p)•r =

1∫

0

tF(p0+ t(p−p0))×(p−p0)•rdt.

(vektorikentan U tyomuoto). Esiintyvia vektorikenttia U

kutsutaan kentan F vektoripotentiaaleiksi.

ESIMERKKI. Etsitaan vektorikentan

F(x, y, z) =

xy

−2z

vektoripotentiaali koko R3:ssa. Ilmeisesti kyseessa on lah-

teeton kentta. Valitaan p0 = 0 ja integroidaan (jattaen

muodon vektorimuuttuja r pois):

214

U(x, y, z) =

1∫

0

t

txty

−2tz

×

xyz

dt

=

1∫

0

t2

3yz−3xz

0

dt =

yz−xz

0

.

ESIMERKKI. Otetaan toisena esimerkkina vahan hanka-

lampi, mutta sangen kayttokelpoinen tulos. (Ks. Liite 3.)

Etsitaan Newtonin vektorikentan

F(p) = −Cp− p1

‖p− p1‖3,

vektoripotentiaali tahtimaisessa alueessa, joka saadaan pois-

tamalla avaruudesta R3 puolisuora

p1 + u(p1 − p0) (u ≥ 0).

Tama alue on tahtimainen pisteen p0 suhteen olettaen

—kuten tehdaan—etta p0 6= p1. Huomaa, etta avaruu-

desta poistetaan silloin p1, mutta ei pistetta p0. Merkitaan

jatkoa ajatellen lyhyesti

a = ‖p0 − p1‖2 = (p0 − p1) • (p0 − p1) ,

b = 2(p0 − p1) • (p− p0)

= 2(p0 − p1) • (p− p1)− 2a ,

215

c= ‖p− p0‖2 = ‖p− p1‖

2

− 2(p0 − p1) • (p− p1) + a ja

d = 4ac− b2 = 4‖p0 − p1‖2‖p− p0‖

2

− 4((p0 − p1) • (p− p0))2.

Silloin (totea!)

4a+2b = 4(p0 − p1) • (p− p1) ,

a+ b+ c = ‖p− p1‖2 ja

d = 4‖p0 − p1‖2‖p− p1‖

2

− 4((p0 − p1) • (p− p1))2.

Lasketaan vektoripotentiaali (jattaen pois vektorimuuttujar seka vakio −C):

U(p) =

1∫

0

tp0 + t(p− p0)− p1

‖p0 + t(p− p0)− p1‖3× (p− p0) dt

= (p0 − p1)× (p− p1)

1∫

0

tdt

(a+ bt+ ct2)3/2

= (p0 − p1)× (p− p1)

1/

0

−2(2a+ bt)

d√

a+ bt+ ct2

= (p0 − p1)× (p− p1)4√a√a+ b+ c− (4a+2b)

d√a+ b+ c

216

= (p0 − p1)× (p− p1)·

·‖p0 − p1‖‖p− p1‖ − (p0 − p1) • (p− p1)

‖p− p1‖(‖p0 − p1‖2‖p− p1‖2 − ((p0 − p1) • (p− p1))2)

=(p0 − p1)× (p− p1)

‖p0 − p1‖‖p− p1‖2 + ((p0 − p1) • (p− p1))‖p− p1‖.

Tama tulos on jossain mielessa paras mahdollinen, eihan

juuri vahempaa voi avaruudesta poistaa potentiaalin ai-

kaansaamiseksi.

Lahteettomille kentille tuntematon kentta voidaan siis esit-

taa (myos toistaiseksi tuntemattoman) vektorikentan, vek-

toripotentiaalin, roottorina: F = ∇ × U. Lahteettomyys

seuraa yleensa tehtavan asettelusta. Myoskin muotokent-

tamielessa vektorikentan tyomuoto on tietysti ”yksinkertai-

sempi”kuin sellaisen vuomuoto.

Jos U on kentan F vektoripotentiaali ja ∇f on gradient-

tikentta, niin U + ∇f on myos F:n vektoripotentiaali,

silla

∇× (U+∇f) = ∇×U+∇×∇f = ∇×U.

Toisaalta, josU jaV ovat molemmat saman kentan vekto-

ripotentiaaleja, niin∇×(U−V) = 0 jaU−V on pyor-

teeton. Vektoripotentiaali on siis yksikasitteinen pyortee-

tonta yhteenlaskettavaa vaille. Mikali tarkasteltava monisto

217

on sellainen, etta siina on skalaaripotentiaali—esimerkiksi

yhdesti yhtenainen—on vektoripotentiaali yksikasitteinen

yhteenlaskettavaa gradienttikenttaa vaille. Jos skalaaripo-

tentiaalia ei aina ole, nain ei ole. Esimerkiksi edellisen py-

kalan esimerkin rinkilassa nollakentan 0 vektoripotentiaali

on kylla olemassa (eras sellainen on tietysti 0), mutta myos

F(r) =1

x2 + y2

−yx0

on 0:n vektoripotentiaali ja sehan ei ollut gradienttikentta.

Vektoripotentiaalin olemassolo liittyy pintaintegraaleihin

seuraavalla tavalla, joka seuraa Yleistetysta Stokesin lausees-

ta, kun muistetaan, etta pintaintegraali on vektoripotenti-

aalin roottorin vuomuodon integraali ja etta mainittu vuo-

muoto on vektoripotentiaalin tyomuodon ulkoderivaatta:

LAUSE 6.4. Jos jatkuvasti derivoituvalla vektorikentalla

F on R3:n avoimessa joukossa K (monistossa) vektoripo-

tentiaaliU ja S on−→K :ssa oleva suunnattu sulkeutuva pinta

(2-ulotteinen suunnistettu monisto laajennetussa paramet-

risoinnissa, jonka silea reuna on tyhja), niin∮

−→S

F(r) • dS =

∮

−→S

∇×U(r) • dS = 0.

218

Kuten skalaaripotentiaalillekin, vektoripotentiaalin olemas-saolo ei riipu pelkastaan kentasta, vaan myos tarkastelumo-nistostaK. Tahtimaisissamonistoissa lahteettomilla vekto-rikentilla on vektoripotentiaalit Poincaren lemman nojalla.Muiden osalta tilanne on vain mutkikkaampi. Joka tapauk-sessa eo. lauseen antaman valttamattoman ehdon on to-teuduttava.

ESIMERKKI.Tavallinen esimerkki tapauksesta, missa lah-

teettomalla kentalla ei ole vektoripotentiaalia, on Newtonin

vektorikentta

F(r) =r− r0

‖r− r0‖3

”puhkaistussa” monistossa K, mista piste r0 on suljettu

pois, mutta joka ”ymparoi”pisteen r0. Kuten aikaisemmin

todettiin, kentta on lahteeton. Mainitun pisteen alueesta

pois rajaavan pienen δ-sateisen r0-keskisen pallonpinnan

S : r = γ(θ, φ) = r0+δ(sin θ cosφ, sin θ sinφ, cos θ)

(0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ < 2π)

yli integroiden nimittain saadaan (suunnistus ulkonormaalia

vastaten)

∮

−→S

F(r) • dS =

2π∫

0

π∫

0

1

δ2

sin θ cosφsin θ sinφ

cos θ

•

•

sin θ cosφsin θ sinφ

cos θ

δ2 sin θ dθdφ

219

=

2π∫

0

π∫

0

sin θ dθdφ = 4π 6= 0.

Lauseen 6.4 johtopaatos ei siis pade, joten mitaan vektori-

potentiaaliakaan ei ole.

Gaußin lauseella on myos seurauksensa vektoripotentiaalin

osalta. Jos Lauseessa 6.4 mainitun suunnatun sulkeutuvan

pinnan−→S sisalleen rajaama avaruuden osa L on kokonaan

monistossa K, niin myos Gaußin lauseen mukaan∮

−→S

F(r) • dS =

∫

L

∇ • F(r) dr = 0,

silla vektorikentan F on oltava lahteeton, mikali silla on

vektoripotentiaali.

Entas jos koko L ei ole monistossaK, vaanK:ssa on ”onte-

loita”, jotka ovat L:n sisalla? Ottamalla kyllin pieni sopiva

pinta−→S voidaan olettaa, etta L sisaltaa vain yhden tallai-

sen ontelon. Merkitaan L:n sisaan jaavaa moniston K osaa

N :lla ja mainitun ontelon reunaa−→T :lla.

−→T on suunnattu

sulkeutuva pinta, joka on suunnistettu ontelon sisaan suun-

tautuvaa normaalivektoria vastaten. Sovellettaessa Gaußin

lausetta N :aan ja sen reunaan−→S +

−→T (joista

−→S on

suunnistettu ulkonormaalia vastaten) saadaan Lausetta 6.4

kayttaen

220

0 =∫

N

∇ • F(r) dr =∮

−→S +

−→T

F(r) • dS

=∮

−→S

F(r) • dS+∮

−→T

F(r) • dS =∮

−→T

F(r) • dS.

Siis jokaisen K:n sisaan jaavan ontelon reunapinnan lapikinkentan vuon on oltava = 0, jos kentalla on vektoripoten-tiaali K:ssa.

Ideaalisesti ym. valttamaton ehto olisi lahteettomille vek-torikentille myos riittava. Kirjallisuudesta loytyvia klassis-tyyppisia riittavia ehtoja—tahtimaisen moniston tapauksenlisaksi—ovat mm. seuraavat:

• Kentta F jatkuvasti derivoituva ja lahteeton. JokaisenK ∪ ∂K:hon (monisto + reuna) sisaltyvan suljetunpinnan sisalle jaava monisto L sisaltyy kokonaisuudes-saan K:hon (ei onteloita) (APOSTOL).

• Magneettikentta B vakuumissa, joka sisaltaa liikkuviavarauksia (FEYNMAN, R.P. et al.: The Feynman Lectu-

res on Physics. Vol. II. Addison–Wesley (1998)).

• Kentta F on derivoituva ja sen vuo mielivaltaisen mo-niston K sisalla olevan sulkeutuvan paloittain silean

221

pinnan lapi on nolla.K on jatkuvin muunnoksin muun-

nettavissa tahtimaiseksi monistoksi, josta on poistet-

tu korkeintaan aarellinen maara pallomaisia onteloita

(TON, T.-C.: On the Potential of a Solenoidal Vector

Field. Journal of Mathematical Analysis and Applica-

tions 151 (1990), 557–580).

Fysikaaliselta puolelta mainittakoon klassinen artikkeli MIS-

NER, C.W. & WHEELER, J.A.: Classical Physics as Geometry:

Gravitation, Electromagnetism, Unquantified Charge, and

Mass as Properties of Curved Empty Space. Annals of Phy-

sics 2 (1957), 525–603, jossa annetaan suhteellisuusteo-

reettinen abstrakti karakterisaatio vektoripotentiaalin ole-

massololle eraissa melko yleisissa tapauksissa.

Myoskin monistoteoreettisin tarkasteluin on paasty pitkal-

le. Alan klassinen viite on WEYL, H.: The Method of Ort-

hogonal Projection in Potential Theory. Duke Mathema-

tical Journal 7 (1940), 411–444. Modernit ideat perustu-

vat Georges de Rhamin perustaviin tuloksiin. Ks. DE RHAM,

G.H.: Differentiable Manifolds. Springer–Verlag (1984). Tal-

la tavoin onkin paasty hyvin lahelle ym. ideaalista karakte-

risaatiota vektoripotentiaalin olemassaololle.

222

4. Helmholtzin hajotelma

Kuten edella todettiin, F(r):n vektoripotentiaali, jos yleen-

sakaan olemassa, on yksikasitteinen vain pyorteetonta yh-

teenlaskettavaa vaille. Tama antaa mahdollisuuden lisata

ehtoja vektoripotentiaalille.

Otetaan tilanne, missa tarkastelumonistossa K jatkuvasti

derivoituvilla pyorteettomilla kentilla on skalaaripotentiaa-

li. Entas, jos esimerkiksi halutaan F:lle vektoripotentiaali

U1, joka on lahteeton, ja on jo saatu jokin vektoripotenti-

aali U. Jos U:n lahteisyys ∇ • U = g on nolla, asia on

selva. Muutoin halutunlainen vektoripotentiaali on muotoa

U1 = U+∇φ ja

0 = ∇ •U1(r) = ∇ •U(r) +∆φ(r)

= g(r) +∆φ(r).

Esiintyvalle skalaarikentalle φ saadaan siis yhtalo

∆φ(r) = −g(r).

Tama on osittaisdifferentiaaliyhtalo, ns. Poissonin yhtalo.

Yhtalon ratkaisu ei ole yksikasitteinen, mika tahansa funk-

tio φ+ h, missa ∆h = 0, on myos ratkaisu. Osittaisdif-

ferentiaaliyhtalo

∆h(r) = 0

223

taas on ns. Laplacen yhtalo ja sen ratkaisut ovat ns. har-

moniset funktiot ∗, ks. myos Luku 7 ja Liite 1. Saatu φ (jos

olemassa) on siis yksikasitteinen harmonista yhteenlasket-

tavaa vaille. Jos viela haluttaisiin yksikasitteinen φ:kin, pi-

taa asettaa Poissonin yhtalolle lisaehtoja, ns. reunaehtoja—

joista ei tassa sen enempaa.

Kaiken kaikkiaan, koska toisaalta Poissonin yhtaloilla var-

sin yleisesti on ratkaisu, voidaan todeta, etta jos yleensa

ottaen saadaan vektoripotentiaali, niin saadaan myos lah-

teeton vektoripotentiaali.

Samalla idealla saadaan myos pyorteeton kenttaU2, jonka

lahteisyys f on annettu. Silloin U2 = ∇ψ ja

∇ •U2(r) = ∆ψ(r) = f(r).

Kyseessa on jalleen Poissonin yhtalo ja ratkaisu ψ on yksi-

kasitteinen harmonista yhteenlaskettavaa vaille.

Jos nyt halutaan kentta U, jolla on annettu roottori (pyor-

teisyys) ∇ × U = F ja annettu divergenssi (lahteisyys)

∇ •U = f , niin se on yksinkertaisesti U = U1 +U2.

JottaU olisi yksikasitteinen tarvitaan siis lisa(reuna)ehtoja.

∗Harmonisilla funktioilla on keskeinen osa skalaarikenttien yhteydes-sa. Asiasta enemman kurssilla Osittaisdifferentiaaliyhtalot.

224

VAISALA mainitsee koko R3:ssa yksikasitteisyyden seuraa-

van, jos vaaditaan lisaksi, etta kentta U haviaa aaretto-myydessa, ts.

lim‖r‖→∞

U(r) = 0.

Yhdistelemalla naista saadaan kuuluisa ns. Helmholtzin ha-jotelma. Suhteellisen yleinen kentta U voidaan kirjoittaalahteettoman ja pyorteettoman kentan summaksi seuraa-valla tavalla:

1. Valitaan F = ∇×U ja etsitaan eo. lahteeton kenttaU1.

2. Valitaan f = ∇•U ja etsitaan eo. pyorteeton kenttaU2.

3. Kirjoitetaan kentta U muotoon

U = U1 +U2 + (U−U1 −U2).

Erotus U−U1−U2 on silloin harmonisen funktiongradientti (totea!) ja se voidaan lisata jokoU1:een taiU2:een. Siis

U = (U−U2) +U2 = U1 + (U−U1)

(lahteeton osa + pyorteeton osa). Kentta siis voidaankirjoittaa gradientin ja roottorin summaksi.

225

Korostettakoon viela, etta kaikki tama toimii tietysti silla

edellytyksella, etta monistossa K skalaari- ja vektoripoten-

tiaalit ovat olemassa ja etta esiintyvilla Poissonin yhtaloilla

on ratkaisut.

HUOMAUTUS. Luvussa 1 ollut kaksoisroottorin kehitys-

kaavakin (vahan eri muodossa)

∆F = ∇(∇ • F) +∇× (∇× (−F))

antaa eraan hajotelman.

Muotokentille yleisemminkin on vastaava hajotelma, ns. Hod-

gen hajotelma, ks. esimerkiksi ABRAHAM&MARSDEN & RATIU.

226

5. Nelipotentiaali

Nelipotentiaali on 4-ulotteisen 2-muotokentan Φ poten-

tiaali. Tama on Poincaren lemman nojalla olemassa tahti-

maisessa joukossa, mikali dΦ = 0.

Edella Pykalassa 5.3 todettiin, etta dΦFaraday = 0.

Nain ollen tahtimaisessa joukossa Faradayn muotokental-

la on potentiaali A, ns. sahkomagneettinen nelipotentiaali.

Tama on 1-muotokentta, joka (perinteisesti) kirjoitetaan

muotoon

A = A1dx+A2dy+A3dz − φdt.

Lasketaan ulkoderivaatta ja etsitaan kertoimetA1, A2, A3

seka φ. Pykalan 5.2 derivointisaannon (IV) nojalla

dA =

(

∂A1

∂xdx+

∂A1

∂ydy+

∂A1

∂zdz+

∂A1

∂tdt

)

∧ dx

+

(

∂A2

∂xdx+

∂A2

∂ydy+

∂A2

∂zdz+

∂A2

∂tdt

)

∧ dy

+

(

∂A3

∂xdx+

∂A3

∂ydy+

∂A3

∂zdz+

∂A3

∂tdt

)

∧ dz

−

(

∂φ

∂xdx+

∂φ

∂ydy+

∂φ

∂zdz+

∂φ

∂tdt

)

∧ dt

ja taman pitaa olla

227

E1dx ∧ dt+ E2dy ∧ dt+ E3dz ∧ dt

+B1dy ∧ dz+B2dz ∧ dx+B3dx ∧ dy.

Laskemalla auki ja vertailemalla todetaan, etta

E = −∂A

∂t−∇φ ja B = ∇×A , missa A =

A1A2A3

.

A siis saadaan, kun ensin etsitaan magneettivuon tiheydelle

B vektoripotentiaali A (muista, etta B on lahteeton) ja

sitten vektorikentalle

−∂A

∂t− E

skalaaripotentiaali φ. Huomaa, etta Maxwellin yhtaloiden

mukaisesti (sopivin heikoin oletuksin)

∇×

(

−∂A

∂t− E

)

= −∂

∂t(∇×A)−∇× E

= −∂B

∂t+∂B

∂t= 0.

NelipotentiaaliA ei ole yksikasitteinen,A:han voidaan lisa-

ta gradienttikentta ∇ψ korvaten φ samalla φ−∂ψ/∂t:lla

ulkoderivaatan muuttumatta. Usein valitaan A ja φ siten,

etta ns. Lorenzin mittaehto (engl. ga(u)ge condition)

∇ •A+1

c2∂φ

∂t= 0

228

toteutuu. Tama nimittain erottaa tietyssa mielessa A:n ja

φ:n toisistaan. Jos alunperin

∇ •A+1

c2∂φ

∂t= g 6= 0,

saadaan Lorenzin mittaehto toteutumaan (totea!) valitse-

malla ψ, joka toteuttaa osittaisdifferentiaaliyhtalon

∆ψ(r, t)−1

c2∂2ψ(r, t)

∂t2= −g(r, t).

Tama on ns. aaltoyhtalo ja silla on varsin yleisin ehdoin rat-

kaisu. Lorenzin mittaehdon voidaan siis olettaa toteutuvan

varsin yleisesti.

229

6. Dipoliapproksimaatio ja -potentiaali

Dipolikentalla tarkoitetaan kahden vastakkaismerkkisen po-

tentiaalin aiheuttamaa kenttaa. Tyypillinen tilanne on lahel-

la toisiaan olevat samansuuruiset mutta vastakkaismerkki-

set varaukset ja niiden aiheuttama sahkokentta.

Katsotaan ensin sahkokentan tapausta. Sahkovaraukset+q

ja −q sijaitsevat alla olevan kuvan mukaisesti lahella toisi-

aan pisteissa r′+h ja r′. Tarkastellaan niiden aiheuttamaa

sahkostaattista kenttaa pisteessa r. Dipoliapproksimaation

luonteeseen kuuluu, etta ‖r− r′‖ ≫ ‖h‖.

r

r

r + hq

+q

Sahkofysiikan mukaisesti varausten synnyttaman kentan

(aarettomyydessa haviava Coulombin) potentiaali pisteessa

r on

230

φ(r) =q

4πε

(

1

‖r− r′ − h‖−

1

‖r− r′‖

)

.

Toisaalta, kuten Pykalassa 5.3 todettiin, funktion (0-muo-

tokentan)

f(r′) =q

4πε

1

‖r− r′‖

ulkoderivaatta on f :n gradientin tyomuoto

(df)(r′;h) = ∇′f(r′) • h ∼= f(r′ + h)− f(r′)

= φ(r),

kun derivointimuuttujana on r′ (pilkutettu nabla). Approk-

simaatio seuraa ulkoderivaatan maaritelmasta. Siten tar-

kastelupisteessa r

φ(r) ∼=q

4πε

(

∇′ 1

‖r− r′‖

)

•h =q

4πε

r− r′

‖r− r′‖3•h.

Lauseketta

qh = p′

kutsutaan sahkoiseksi dipolimomentiksi. Jos approksimaa-

tio katsotaan riittavaksi (siis rajalla h → 0 siten, etta

qh = p′), saadaan tavanomainen potentiaalin dipoliapp-

roksimaatio

φ(r) ∼=1

4πε

p′ • (r− r′)

‖r− r′‖3,

missa pisteeseen r′ liittyva suure p′ on pilkutettu.

231

Entas sitten sahkokentan voimakkuus tarkastelupisteessa

r? Sahkofysiikassa potentiaalin etumerkki sovitaan siten,

etta E(r) = −∇φ(r). Siis

E(r) ∼= −1

4πε∇p′ • (r− r′)

‖r− r′‖3.

Koska gradientti muodostetaan tarkastelupisteessa r (ku-

ten aina laskettaessa kenttaa paikallisesta potentiaalista),

nabla kohdistuu muuttujaan r. Lausekkeessa vektori p′ ei

riipu muuttujasta r, johon nabla kohdistuu. Pykalan 1.5

kaavaa (i) soveltaen saadaan

∇p′ • (r− r′)

‖r− r′‖3= (p′ • (r− r′))∇

1

‖r− r′‖3

+1

‖r− r′‖3∇(p′ • (r− r′))

= −3p′ • (r− r′)

‖r− r′‖5(r− r′) +

p′

‖r− r′‖3

ja sitten kentan dipoliapproksimaatio

E(r) ∼=1

4πε‖r− r′‖5(−‖r− r′‖2p′

+3(p′ • (r− r′))(r− r′))

(kentan voimakkuus on negatiivinen gradientti). Tallainen

approksimaatio on kayttokelpoinen, paitsi varsinaisille sah-

koisille dipoleille, myos kentille, jotka ovat likimain dipoli-

kenttia. Dipolimomentti saadaan silloin fysikaalisin perus-

tein.

232

Magneettinen dipoli on samankaltainen kuin edella ollut

sahkoinen dipoli. Kasitellaan sita virtasilmukan avulla ja

muistellaan roottorin maarittelya ulkoderivaattana Pykalas-

sa 5.3.

Tarkastellaan pienta tasossa olevaa suunnikkaanmuotoista

virtasilmukkaa−→∂P , jossa kiertaa virta I . Silmukan tason

normaali on r1 × r2 = An, missa A on suunnikkaan ala

ja n vastaava yksikkonormaali, ja se on virran kiertosuun-

taan nahden oikein suunnistettu. Tarkastelupiste r sijaitsee

silmukan mittoihin nahden kaukana silmukasta. (Ks. alla

oleva kuva.) Silmukan sijaintia karakterisoimaan valitaan

sen karkipiste r0. Silmukan pisteita taas karakterisoidaan

muuttujavektorilla r′. Tarkastelupisteen r ”kaukaisuus”tar-

koittaa, etta ‖r− r′‖ ≫ ‖r′ − r0‖.

r1 x r2

r1

r2

r0 P

I

233

Sahkomagnetiikan Biot–Savart-lain mukaan magneettiken-tan voimakkuus pisteessa r on

H(r) =I

4π

∮

−→∂P

r′ − r

‖r− r′‖3× ds′,

jolloin vakiovektorille a

a •H(r) =I

4π

∮

−→∂P

a× (r′ − r)

‖r− r′‖3• ds′.

Tama integraali on vektorikentan

I

4π

a× (r′ − r)

‖r− r′‖3

kierto silmukan ympari ja—kuten Pykalassa 5.3 todettiin—se on likimain ko. kentan roottorin vuomuoto pisteessa r0,ts.

a •H(r) ∼=

(

∇′ ×

(

I

4π

a× (r′ − r)

‖r− r′‖3

))

r′=r0

• r1 × r2

=AI

4πn •

(

∇′ ×a× (r′ − r)

‖r− r′‖3

)

r′=r0

,

missa ∇′ operoi muuttujaan r′. Pykalan 1.5 kaavan (vi)avulla laskien∗ ja muistaen, etta Newtonin vektorikentandivergenssi on = 0, esiintyvaksi roottoriksi saadaan

−a

‖r− r′‖3+3

a • (r− r′)

‖r− r′‖5(r− r′)

∗Tai Lausetta 6.1 kayttaen.234

(totea!). Nain ollen

a •H(r) ∼=IA

4π

(

−a • n

‖r− r0‖3

+3(r− r0) • n

‖r− r0‖5(a • (r− r0))

)

.

Vakiovektori a oli toisaalta mielivaltainen, joten myos

H(r) ∼=IA

4π

(

−n

‖r− r0‖3+3

(r− r0) • n

‖r− r0‖5(r− r0)

)

.

Ottamalla kayttoon silmukkaan liittyva magneettinen dipo-limomentti

m′ = IAn

saadaan sen aiheuttaman magneettikentan dipoliapproksi-maatio kaukaisessa pisteessa r:

H(r) ∼=1

4π‖r− r0‖5(−‖r− r0‖

2m′

+3((r− r0) •m′)(r− r0)).

Lauseke on tasmalleen samaa muotoa kuin sahkostaattisel-la dipolilla! Niinpa edella olevan mukaisesti takaperin argu-mentoiden nahdaan, etta magneettikentan voimakkuudellaon tassa tapauksessa approksimatiivinen (skalaari)potentiaaliφ, ts.

H(r) ∼= −∇φ(r),

235

missa

φ(r) =1

4π

m′ • (r− r0)

‖r− r0‖3.

Pykalan 1.5 kaavaa (iii) kayttaen voidaan tarkistaa, etta

dipoliapproksimaatiokentan divergenssi on = 0. Nain ol-

len silla on (sopivassa alueessa) myoskin vektoripotentiaali.

Tama voitaisiin etsia samaan tapaan kuin Newtonin vekto-

rikentan vektoripotentiaali Pykalan 6.3 esimerkissa, mutta

katsomalla yo. roottorilauseketta lienee melko ilmeista, etta

ko. vektoripotentiaali on

A(r) =1

4π

m′ × (r− r0)

‖r− r0‖3.

HUOMAUTUS. Dipoliapproksimaatio on vain osa vek-

torikentan ns. multipolikehitelmaa. Sen ensimmainen ter-

mi, ns. monopoliapproksimaatio, on Newtonin vektorikent-

ta, toinen termi on yo. kahden vastakkaismerkkisen Newto-

nin vektorikentan yhdelman dipoliapproksimaatio, kolmas

termi on neljan pareittain vastakkaismerkkisen Newtonin

vektorikentan yhdelman approksimaatio, ns. kvadrupoliap-

proksimaatio, sitten tulee ns. oktupoliapproksimaatio jne.

236

LUKU 7 Osittaisdifferentiaaliyhtalot

1. Standardimuodot

Numeeriset osittaisdifferentiaaliyhtaloratkaisijat sopivat eri-

tyisesti muotoa

∇ • (k(r)∇u(r)) = F(r) (ns. elliptinen yhtalo)

oleville tehtaville tai ajasta riippuvassa tapauksessa tehta-

ville

∇•(k(r)∇u(r, t)) = f(r)∂u

∂t+g(r)

∂2u

∂t2+F(r, t),

missa k(r) > 0, asianomaisin reuna- ja alkuehdoin, joihin

ei tassa yhteydessa puututa. Kerroinfunktiot k, f ja g voi-

vat lisaksi viela riippua u:sta, funktio g mahdollisesti myos

gradientista∇u. Funktio F on ns. pakkofunktio, joka edus-

taa ulkopuolisten voimien tms. vaikutusta. Aikariippuvassa

tapauksessa eri tyypit ovat

• f > 0 ja g = 0: parabolinen yhtalo eli lampoyhtalo

eli diffuusioyhtalo,

• f < 0 ja g = 0: kaanteinen lampoyhtalo (Black–

Scholes-yhtalo),

237

• f = 0 ja g > 0: hyperbolinen yhtalo eli aaltoyhtalo,

• f > 0 ja g > 0: lennatinyhtalo eli vaimennettu aal-

toyhtalo eli hyperbolinen lampoyhtalo.

Osittaisdifferentiaaliyhtaloita kasitellaan paljon enemman

kursseilla Partial Differential Equations, Osittaisdifferenti-

aaliyhtalot matemaattisessa mallinnuksessa, Osittaisdiffe-

rentiaaliyhtaloiden jatkokurssi ja Jakautuneet jarjestelmat.

238

2. Esimerkkeja

Esitellaan esimerkein eraita yo. yhtaloihin johtavia kent-

tatehtavia. Sahko- ja magneettikenttien osalta viittaukset

ovat Maxwellin yhtaloihin (M1)–(M4), ks. Pykala 5.3.

ESIMERKKI. (Sahkostaattinen kentta) Koska staat-

tisessa kentassa kentan voimakkuus E on pyorteeton (M3),

on ∇×E = 0 ja kentalla on potentiaali, ts. E = −∇V .

(Sahkotekniikassa kaytettyjen merkintojen mukaisesti po-

tentiaali on Φ = −V .)

Toisaalta (M1)

∇ •D = ∇ • (εE) = ρ (varaustiheys).

Tassa ε on permittiviteetti. Jos varaustiheys—ja tietenkin

permittiviteetti—tunnetaan,

∇ • (ε(r)∇V (r)) = −ρ(r).

Tama on ym. standardimuotoa.

ESIMERKKI. (Stationaarinen sahkovirtauskentta)

Virran tiheys on J = σE, missa σ on johtavuus (Ohmin

laki). Kirchhoffin lain perusteella sahkoa ei kerry minne-

kaan, ts. suunnatun suljetun pinnan lapi sahkon nettovirta

239

on nolla. Siten suunnatulle suljetulle pinnalle−→S , joka rajaa

sisalleen kappaleen K,∮

−→S

J(r) • dS = 0 =

∫

K

∇ • J(r) dr

(Gaußin lause). Tehtavissa yleensa oletetaan kentta jatku-

vasti derivoituvaksi, joten kappaleen K mielivaltaisuudesta

johtuen ∇ • J = 0.

Kentalla E on pyorteettomyydesta (M3) johtuen skalaari-

potentiaali eli E = −∇V , joten

∇ • J(r) = ∇ • (σ(r)∇V (r)) = 0,

ja taas paastaan standardimuotoon.

ESIMERKKI. (Magneettikentta ja skalaaripotenti-

aali) Jos alueessa ei ole sahkojohtimia, virran tiheys on

nolla ja (M4) ∇×H = J = 0. Talloin kentalla on ska-

laaripotentiaali, ts. H = ∇Φ.

Toisaalta (M2)

∇ •B = ∇ • (µH) = 0,

missa µ on permeabiliteetti. Taas tultiin samaan yhtalo-

tyyppiin, silla nyt

∇ • (µ(r)∇Φ(r)) = 0.

240

ESIMERKKI. (Kokoon puristumaton pyorteeton

virtaus) Virtauskentta tiedetaan luonteestaan johtuen teh-

tavassa pyorteettomaksi, ts. ∇ × v = 0. Nopeudella on

siten skalaaripotentiaali eli v = ∇φ. Jos virtaus on kokoon

puristumatonta, nestetta ei kerry mihinkaan suunnatun sul-

jetun pinnan−→S rajoittamaan kappaleeseen K, kaikki mika

sisaan tulee menee myos ulos. Kappaleesta poistuu aikayk-

sikossa nettonestemaara∮

−→S

v(r) • dS =∫

K

∇ • v(r) dr = 0.

Koska kappale on mielivaltainen, niin kuten edella

∇ • v = 0. Siten paadytaan Laplacen yhtaloon

∇ •∇φ(r) = ∆φ(r) = 0.

ESIMERKKI. (Stationaarinen lammonjohtuminen)

Lampovirta on v = −k∇T , missa T on lampotila ja k on

lammonjohtumiskerroin. Kyseessa on empiirinen malli, jo-

ka patee isotrooppiselle aineelle, ts. sellaiselle, jossa lokaali

lammonjohtuminen ei eri suuntiin ole erilainen.

Mikali lampotila on stationaarinen, lampoenergiaa ei kasau-

du mihinkaan ja, kuten nestevirtauksen tai Kirchhoffin lain

yhteydessa, ∇ • v = 0. Siten

∇ • (k(r)∇T(r)) = 0.

241

ESIMERKKI. (Dynaaminen lammonjohtuminen)

Kuten edella, lampovirta on v = −k∇T . Aikayksikos-

sa kappaleesta K, jonka reunapinta on−→S , poistuu netto-

lampomaara∮

−→S

v(r, t) • dS

eli sinne kertyy nettolampomaaraa nopeudella

dE

dt= −

∮

−→S

v(r, t)•dS =

∫

K

∇• (k(r)∇T(r, t)) dr

(Gaußin lause). Taman lampomaaran taytyy energian ha-

viamattomyyden perusteella olla sama kuin massaan lam-

potilan nousun johdosta sitoutuva lampomaara.

Massa-alkioon sitoutuu lampoenergiaa nopeudella

C(r)ρ(r)∂T(r, t)

∂t,

missa C(r) on lampokapasiteetti ja ρ(r) tiheys pisteessa

r, ja koko kappaleeseen nopeudella

dE

dt=∫

K

C(r)ρ(r)∂T(r, t)

∂tdr.

Kun naita energialausekkeita verrataan toisiinsa, paatellaan,

etta integrandien tulee olla yhta suuret eli

∇ • (k(r)∇T(r, t)) = C(r)ρ(r)∂T(r, t)

∂t.

242

Standardityyppisista osittaisdifferentiaaliyhtaloista tama on

jalkimmaista muotoa, ns. lampoyhtalo. Numeerisesti siita

voidaan laskea lampotilajakautuma ja lampovirtakentta ha-

lutuin aika-askelin.

On mielenkiintoista, miten eri alojen problematiikka johtaa

matemaattisessa mielessa samoihin yhtaloihin.

Eraat osittaisdifferentiaaliyhtalot pitavat sisallaan Newto-

nin laista tulevan toisen kertaluvun aikaderivaatan. Tallai-

nen tulisi mukaan myos dynaamiseen virtausyhtaloon. Esi-

merkkeina kasitellaan ns. aaltoyhtaloa.

ESIMERKKI. (Pieniamplitudinen akustinen taso-

aalto) Tasoaallolla tarkoitetaan tasomaista aaltorintamaa.

Koordinaatisto asetetaan niin, etta rintama ”etenee”x-ak-

selin suuntaan, ts. se on yz-tason suuntainen. Tyydytaan

kayttamaan vain x-koordinaattia (seka aikaa t), rintaman

suunnassahan tilanne on vakio.

Merkitaan alussa (t = 0) pisteessa x olevan ilmamolekyy-

lin paikkaa x + u(x, t):lla hetkella t. Tassa u(x, t) siis

ilmoittaa poikkeaman alkupaikasta. dx:n paksuinen rinta-

man kerros on alussa pisteessa x (vasen reuna) ja hetkella t

243

se on pisteessa x+u(x, t) (vasen reuna). Vm. tilanteessa

kerroksen paksuus on

dx+∂u(x, t)

∂xdx.

Ks. kuva alla. Kerroksen massa yksikkoalaa kohti pysyy va-

kiona, ts.

ρ0 dx = ρ(x, t)

(

1 +∂u(x, t)

∂x

)

dx,

missa ρ0 on ilman tiheys hetkella t = 0 ja ρ(x, t) vas-

taavasti tiheys hetkella t. Tasta nahdaan, etta

ρ(x, t)

ρ0=

(

1 +∂u(x, t)

∂x

)−1

.

x

y

zu(x,t)

dx dx + ux

x

dx

ρ0 ρ

244

Adiabaattisessa prosessissa—lampoa ei synny eika havia—

on fysiikan lakien mukaan

p(x, t)

p0=

(

ρ(x, t)

ρ0

)γ

,

missa p0 on ilmanpaine alussa ja p(x, t) hetkella t. γ on

ns. adiabaattivakio, ilmalle γ = 1.40. Derivoimalla saa-

daan

∂p(x, t)

∂x= p0

∂

∂x

(

1 +∂u(x, t)

∂x

)−γ

= −γp0

(

1+∂u(x, t)

∂x

)−γ−1∂2u(x, t)

∂x2

= −γp0

ρ0ρ(x, t)

(

1+∂u(x, t)

∂x

)−γ∂2u(x, t)

∂x2.

Pienilla amplitudeilla

γp0

ρ0= c2

on vakio, aanen nopeuden nelio. Tama seuraa ideaalikaa-

sulaista, pienilla amplitudeilla lampotila ei muutu ja tiheys

on kaantaen verrannollinen tilavuuteen. Ilmalle, yhden ilma-

kehan paineessa merenpinnan tasossa, tasta saadaan c =

340.3 ms−1.

Kerrosta liikuttaa sen eri puolien valisen paine-eron aiheut-

tama voima (yksikkoalaa kohti), jonka on oltava sama

245

kuin Newtonin lain antama:

∂p(x, t)

∂xdx = −c2ρ(x, t)

(

1+∂u(x, t)

∂x

)−γ∂2u(x, t)

∂x2dx

= −ρ(x, t)

(

1 +∂u(x, t)

∂x

)

∂2u(x, t)

∂t2dx.

Huomaa etumerkki, molekyylithan liikkuvat paine-erolle vas-

takkaiseen suuntaan. Nain lopulta saadaan osittaisdifferen-

tiaaliyhtalo

∂2u(x, t)

∂x2=

1

c2

(

1+∂u(x, t)

∂x

)γ+1∂2u(x, t)

∂t2,

joka on edella esitettya muotoa. Kerroinfunktio g riippuu

tassa myos ∂u/∂x:sta.

Pienilla amplitudeilla ja akustisilla taajuuksilla on myos

∂u(x, t)/∂x pieni, joten (ainakin approksimatiivisesti)

∂2u(x, t)

∂x2=

1

c2∂2u(x, t)

∂t2.

Vm. osittaisdifferentiaaliyhtalo on aaltoyhtalo. Laplacen

operaattorin koordinaatistoriippumattomuudesta johtuen

aaltoyhtalo mielivaltaiselle tasoaallon rintaman suunnalle

on

∆u(r, t) =1

c2∂2u(r, t)

∂t2.

246

Usein valitaan yksikot siten, etta c = 1, ja merkitaan

u = ∆u−∂2u

∂t2(ns. d’Alembert’n operaattori)

(esiintyy joskus vastakkaismerkkisena). Aaltoyhtalo on sil-

loin yksinkertaisesti u = 0 (tai u = F(r, t), jos mu-

kana on pakkofunktio F ). Yleisella aaltoyhtalolla on mui-

takin ratkaisuja kuin tasoaallot, mm. ns. palloaallot.

On mielenkiintoista, etta samaan yhtaloon paastaan tutki-

malla pieniamplitudisia varahtelyja yleensakin: kielille, ohuil-

le sauvoille ja kalvoille, sahkomagneettisille aalloille (Max-

wellin yhtaloiden seurauksena), virtapiireille jms. Katsotaan

viela esimerkkina yleisen akustisen paineaaltoyhtalon johto.

ESIMERKKI. (Pieniamplitudinen akustinen paine-

aalto) Tutkitaan tilannetta kuvitteellisessa suunnatun sul-

keutuvan pinnan−→S (t) rajaamassa kappaleessaK(t). Niin

kappale kuin sen reunakin ovat liikkuvia, ajasta riippuvia,

kappale pitaa sisallaan samat hiukkaset seuraten niiden liik-

keita.∗ Kaytetaan edellisen esimerkin merkintoja ja merki-

taan lisaksi hiukkasen nopeutta v(r, t):lla.

∗Tama on ns. Lagrangen tapa. Toinen tapa, ns. Eulerin tapa, on pi-taa hypoteettinen kappale paikallaan ja seurata partikkelien liikettasen kautta.

247

Kappaleessa olevan massan muutos on

0 =

∫

K(t)

∂ρ(r, t)

∂tdr+

∮

−→S (t)

ρ(r, t)v(r, t) • dS

=

∫

K(t)

∂ρ(r, t)

∂tdr+

∫

K(t)

∇ • (ρ(r, t)v(r, t)) dr

(kayttaen Gaußin lausetta). Esiintyva pintaintegraali ilmoit-

taa kappaleen siirtymasta johtuvan massan muutoksen. Pin-

ta-alkio dS siirtyy nopeudella v • n, missa n on ulkonor-

maalivektori, ottaen mukaan tai jattaen ulos lokaalia tiheyt-

ta ρ(r, t). Koska kappale on mielivaltainen, paatellaan, et-

ta

∂ρ(r, t)

∂t= −∇•(ρ(r, t)v(r, t)) (ns. jatkuvuusyhtalo).

Newtonin lain nojalla kokonaisliikemaaran aikaderivaatta on

kokonaisvoima. Tarkasteltuun kappaleeseen sovellettuna

d

dt

∫

K(t)

ρ(r, t)v(r, t) dr = −∮

−→S (t)

p(r, t)dS,

missa jalkimmainen integraali edustaa paineen aiheuttamaa

kokonaisvoimaa reunalla. Toisaalta, paatellen aivan samalla

tavalla kuin jatkuvuusyhtaloa johdettaessa, mutta nyt liike-

maaralle, todetaan, etta

248

d

dt

∫

K(t)

ρ(r, t)v(r, t) dr =

∫

K(t)

∂

∂t(ρ(r, t)v(r, t)) dr

+

∮

−→S (t)

(ρ(r, t)v(r, t))v(r, t) • dS,

missa edellinen integraali edustaa liikemaaranmuutosta kap-

paleessa ja jalkimmainen taas kappaleen liikkeen kautta mu-

kaan tulevaa/poistuvaa lokaalista liikemaaraa.∗ Tassa voi-

daan olettaa, etta ko. jalkimmainen integraali on likimain

nolla pienille amplitudeille ja akustisille taajuuksille. Integ-

randi nimittain on tyyppia nopeuden nelio, joka on silloin

hyvin pieni, vrt. edellinen esimerkki.

Toisaalta Vektoraalisen Gaußin lauseen mukaisesti, ks. Py-

kala 5.4,∮

−→S (t)

p(r, t)dS =∫

K(t)

∇p(r, t) dr,

joten kaiken kaikkiaan saadaan∫

K(t)

∂

∂t(ρ(r, t)v(r, t)) dr = −

∫

K(t)

∇p(r, t) dr,

∗Huomaa, miten tama muistuttaa tavallista integraalin derivoimistaparametrin suhteen:

d

dt

b(t)∫

a(t)

f(x, t) dx =

b(t)∫

a(t)

∂f(x, t)

∂tdx+f(b(t), t)b′(t)−f(a(t), t)a′(t).

249

josta paatellaan kuten edella, etta

∂

∂t(ρ(r, t)v(r, t)) = −∇p(r, t).

Jatketaan derivoimalla puolittain yhtalo

p(r, t)

p0=

(

ρ(r, t)

ρ0

)γ

(adiabaattisuus, ks. edellinen esimerkki) t:n suhteen. Ensin

saadaan

1

p0

∂p(r, t)

∂t=

γ

ρ0

(

ρ(r, t)

ρ0

)γ−1∂ρ(r, t)

∂t

eli

ρ(r, t)

p0ρ0

∂p(r, t)

∂t=

γ

ρ0

p(r, t)

p0

∂ρ(r, t)

∂t

ja sitten

∂p(r, t)

∂t= γ

p(r, t)

ρ(r, t)

∂ρ(r, t)

∂t.

Ideaalikaasulain mukaisesti pienille amplitudeille, joille lam-

potila ei juurikaan muutu,

γp(r, t)

ρ(r, t)= c2 (vakio).

250

Siispa

∂2p(r, t)

∂t2= c2

∂2ρ(r, t)

∂t2.

Nyt osat ovat valmiina. Ensiksi todetaan, etta

∇ •∂

∂t(ρ(r, t)v(r, t)) =

∂

∂t(∇ • (ρ(r, t)v(r, t)))

=∂

∂t

(

−∂ρ(r, t)

∂t

)

ja sitten

∂2ρ(r, t)

∂t2= ∆p(r, t),

ja lopulta saadaan haluttu aaltoyhtalo

∆p(r, t) =1

c2∂2p(r, t)

∂t2.

251

LIITE 1 Osittaisintegrointi ja Greeninkaavat

1. Osittaisintegrointi

Yhden muuttujan integraalien tuttu osittaisintegrointikaava

b∫

a

u′(x)v(x) dx =

b/

a

u(x)v(x)−

b∫

a

u(x)v′(x) dx

voidaan yleistaa Yleistettya Stokesin lausetta ja Cartanin

taikakaavaa kayttaen muotoon∫

A

dΦ ∧Ψ =

∫

−→∂ s

−→M

A

Φ ∧Ψ+ (−1)k+1∫

A

Φ ∧ dΨ.

Kuten Pykalassa 5.3 todettiin, fysikaalisille skalaarikentille

f ja g ja vektorikentille F ja G saadaan kiilatulot

∧ g Φg–density ΦF–work

f fg Φfg–density ΦfF–workΦF–work — — —

∧ ΦF–flux ΦG–work ΦG–flux

f ΦfF–flux — —

ΦF–work — ΦF×G–flux ΦF•G–density

252

seka ulkoderivointikaavat

df = Φ∇f–work ,

dΦF–work = Φ∇×F–flux ja

dΦF–flux = Φ∇•F–density.

Naista saadaan nelja osittaisintegrointikaavaa (ne kaksi muu-

ta ovat tylsaa tyyppia 0 = 0± 0):

1.∫

A

Φg∇f–work =

∫

−→∂ s

−→M

A

fg −∫

A

Φf∇g–work

eli viivalle C, jonka paatepisteet ovat r1 ja r2,∫

C

g(r)∇f(r) • ds = f(r2)g(r2)− f(r1)g(r1)

−∫

C

f(r)∇g(r) • ds.

2.∫

A

Φ∇f×F–flux =∫

−→∂ s

−→M

A

ΦfF–work −∫

A

Φf∇×F–flux

eli suunnatulle pinnalle−→S

253

∫

−→S

∇f(r)× F(r) • dS =

∮

−→∂ s

−→M

S

f(r)F(r) • ds

−∫

−→S

f(r)∇× F(r) • dS.

3.∫

A

ΦF•∇f–density =

∫

−→∂ s

−→M

A

ΦfF–flux−∫

A

Φf∇•F–density

eli suunnatulle kappaleelle−→K

∫

−→K

F(r) • ∇f(r) dr =∮

−→∂ s

−→M

K

f(r)F(r) • dS

−∫

−→K

f(r)∇ • F(r) dr.

4.∫

A

ΦG•∇×F–density =

∫

−→∂ s

−→MA

ΦF×G–flux +

∫

A

ΦF•∇×G–density

eli suunnatulle kappaleelle−→K

∫

−→K

G(r) • ∇ × F(r) dr =

∮

−→∂ s

−→M

K

F(r)×G(r) • dS

+

∫

−→K

F(r) • ∇ ×G(r) dr.

254

Naista kaava 3. on tavallisin.

Ratkaistaessa vektorikenttia esimerkiksi elementtimenetel-

man avulla tavataan usein tyyppia∫

K

v(r)∇ • (k(r)∇u(r)) dr

oleva integraali. Tavalliset oletukset silloin ovat, etta funk-

tiot k ja v ovat jatkuvasti derivoituvia ja u kahdesti jat-

kuvasti derivoituva. Tahan voidaan soveltaa yo. osittaisin-

tegrointikaavaa 3., kun valitaan f = v jaF = k∇u (mer-

kitaan K:n ulkonormaalin mukaisesti suunnistettua reuna-

pintaa−→S :lla):

∫

K

v(r)∇ • (k(r)∇u(r)) dr

= −∫

K

k(r)∇u(r) • ∇v(r) dr

+

∮

−→S

v(r)k(r)∇u(r) • dS

= −∫

K

k(r)∇u(r) • ∇v(r) dr

+

∫

S

v(r)k(r)∂u(r)

∂ndS,

255

missa

∂u(r)

∂n= ∇u(r) • n

on funktion u ns. normaaliderivaatta, ts. sen suunnattu de-

rivaatta reunapinnan yksikkoulkonormaalin n suuntaan.

Osittaisintegrointi on kahdella tapaa merkittava ratkaistaes-

sa osittaisdifferentiaaliyhtaloita elementtimenetelmalla. En-

sinnakin tunnetut reunaehdot tekevat oikean puolen pin-

taintegraalista tunnetun. Talla tavoin reunaehdot saadaan

suoraan mukaan ratkaisuun. Toiseksi integraali∫

K

k(r)∇u(r) • ∇v(r) dr

vaatii funktiolta k seka funktioiden u ja v osittaisderivaa-

toilta ainoastaan paloittaisen jatkuvuuden, jos sitakaan.∗

Osittaisintegrointia kayttamalla voidaan tyytya jatkuvuus-

vaatimuksiin nahden yksinkertaisempiin funktioihin.

∗Elementtimenetelmassa funktiot u ja v ovat ns. elementtifunktioi-

ta. Ratkaisua approksimoidaan elementtifunktioiden ui lineaariyh-delmalla.

256

2. Greenin kaavat

Oletetaan, etta ylla funktiot u ja v ovat kahdesti jatkuvas-

ti derivoituvia. Valitsemalla k(r) = 1 saadaan Greenin

ensimmainen kaava∫

K

v(r)∆u(r) dr = −∫

K

∇u(r) • ∇v(r) dr

+

∫

S

v(r)∂u(r)

∂ndS.

Vaihtamalla funktiot u ja v keskenaan saadaan vastaavasti∫

K

u(r)∆v(r) dr = −∫

K

∇v(r) • ∇u(r) dr

+

∫

S

u(r)∂v(r)

∂ndS

ja vahentamalla saadut yhtalot puolittain saadaan Greenin

toinen kaava∫

K

(v(r)∆u(r)− u(r)∆v(r)) dr

=

∫

S

(

v(r)∂u(r)

∂n− u(r)

∂v(r)

∂n

)

dS.

Tarkastellaan sitten skalaarikenttaa u, joka on K:ssa kah-

desti jatkuvasti derivoituva ja harmoninen, ts. ∆u = 0

257

(ks. Pykala 6.4). Valitaan piste r0 kappaleenK:n sisaosasta

ja valitaan v:ksi Newtonin potentiaali

v(r) =1

‖r− r0‖.

Koska v on singulaarinen kappaleessa K (piste r0), muo-

dostetaan uusi kappaleK1 rajaamalla siita pois r0-keskinen

δ-sateinen pieni pallo K2. Vastaava pallonpinta on S2, jo-

ka suunnistetaan ulkonormaalinsa avulla, siis kappaleenK1

sisaan osoittavaa normaalia vastaten.

Kappaleella K1 on kaksi reunapintaa, sisempi ja ulompi.

Kappaleessa K1 kumpikin funktioista u ja v on harmoni-

nen (Newtonin vektorikenttahan on lahteeton). Sovelletaan

kappaleeseen K1 Greenin toista kaavaa:

0 =

∫

S

(

v(r)∂u(r)

∂n− u(r)

∂v(r)

∂n

)

dS

−∫

S2

(

v(r)∂u(r)

∂n− u(r)

∂v(r)

∂n

)

dS.

Jalkimmaisen termin etumerkki johtuuK2:n normaalin suun-

tauksesta.

Jatketaan valiten kappaleeksiK avoinR-sateinen r0-keski-

nen pallo ‖r−r0‖ < R. Talloin tarkasteltava ulkopinta S

258

on R-sateinen r0-keskinen pallonkuori. Ulkopinnalla funk-

tiolla v on vakioarvo 1/R. Normaaliderivaatta ulkopinnalla

on puolestaan

∂v(r)

∂n= ∇

1

‖r− r0‖• n =

r0 − r

‖r− r0‖3•

r− r0

‖r− r0‖

= −1

‖r− r0‖2= −

1

R2.

Koska jokaiselle harmoniselle funktiolle u on Gaußin lauseen

mukaan∫

S

∂u(r)

∂ndS =

∮

−→S

∇u(r) • dS =∫

K

∆u(r) dr = 0,

niin∫

S

(

v(r)∂u(r)

∂n− u(r)

∂v(r)

∂n

)

dS =

∫

S

1

R2u(r) dS

= 4π× (u:n keskiarvo pallonpinnalla).

Sisapinta on δ-sateinen pallo, joten askeinen tarkastelu pa-

tee siihenkin—muista sen normaalin suunta. Niinpa∫

S2

(

v(r)∂u(r)

∂n− u(r)

∂v(r)

∂n

)

dS =∫

S2

1

δ2u(r) dS

= 4π× (u:n k.a. sisapallonpinnalla).

Funktion u jatkuvuudesta johtuen kyseinen keskiarvo lahe-

nee raja-arvoa u(r0), kun δ → 0+.

259

Palaten alkuperaiseen yhtaloon

0 =

∮

S

(

v(r)∂u(r)

∂n− u(r)

∂v(r)

∂n

)

dS

−∮

S2

(

v(r)∂u(r)

∂n− u(r)

∂v(r)

∂n

)

dS

saadaan seuraava merkittava tulos:

HARMONISTEN FUNKTIOIDEN KESKIARVO-

LAUSE. Harmonisen funktion arvo pallon keskipisteessa

on keskiarvo funktion pallon pinnalla saamista arvoista.

Toisaalta alkuperaiselle kappaleelle K ja sen reunalle S

∫

S

(

v(r)∂u(r)

∂n− u(r)

∂v(r)

∂n

)

dS

=

∫

S2

(

v(r)∂u(r)

∂n− u(r)

∂v(r)

∂n

)

dS = 4πu(r0).

Tasta saadaan Greenin kolmas kaava

1

4π

∫

S

(

1

‖r− r0‖

∂u(r)

∂n− u(r)

∂

∂n

1

‖r− r0‖

)

dS = u(r0).

260

LIITE 2 Kayraviivaiset koordinaatistot

1. Lokaali koordinaatisto

Rn:n n-ulotteisen parametrisoidun moniston (siis avoimen

joukon)

M : r = γ(u) = (γ1(u), . . . , γn(u)) (u ∈ U)

parametrisointi muodostaa ns. kayraviivaisen koordinaatis-

ton (engl. curvilinear coordinates).

M:n tangenttiavaruus Tr(M) pisteessa r on koko Rn.

Toisaalta se on derivaattamatriisin γ′(u) kuva-avaruus, ks.

Pykala 2.6. Nain ollen eras Rn:n kanta saadaan γ′(u):n

sarakkeista. Tama kanta riippuu pisteesta r ja vaihtuu (yleen-

sa) pisteesta toiseen siirryttaessa. Kanta antaa ns. lokaalin

koordinaatiston.

Jatkossa rajoitutaan vain tapaukseen, missa γ′(u):n sarak-

keet ovat keskenaan ortogonaaliset, ts. niiden valiset piste-

tulot ovat = 0, ja muodostavat positiivisesti suunnatun

koordinaatiston. Merkitaan Q(u):lla matriisia, joka saa-

daan γ′(u):sta normeeraamalla sen sarakkeet, ts. jakamal-

la kukin sarake pituudellaan. Silloin Q(u) on ortogonaa-

limatriisi, ts. Q(u)−1 = Q(u)T, ja lisaksi (positiivinen

suunnistus) det(Q(u)) = 1.

261

ESIMERKKI.R3:n 3-ulotteisen moniston parametrisoin-

ti sylinterikoordinaatteja kayttaen on muotoa

r = γ(r, φ, z) = (r cosφ, r sinφ, z)

((r, φ, z) ∈ U),

missa U on sopiva parametrialue. Silloin

γ′(r, φ, z) =

cosφ −r sinφ 0sinφ r cosφ 00 0 1

ja

Q(r, φ, z) =

cosφ − sinφ 0sinφ cosφ 00 0 1

.

Ilmeisesti Q(r, φ, z) on ortogonaalinen ja

det(Q(r, φ, z)) = 1.

Lokaalit koordinaattivektorit ovat silloin

er =

cosφsinφ

0

, eφ =

− sinφ

cosφ0

ja

ez =

001

.

262

ESIMERKKI.R3:n 3-ulotteisen moniston parametrisoin-

ti pallokoordinaatteja kayttaen on muotoa

r = γ(ρ, θ, φ) = (ρ sin θ cosφ, ρ sin θ sinφ, ρ cos θ)

((ρ, θ, φ) ∈ U),

missa U on sopiva parametrialue. Silloin

γ′(ρ, θ, φ) =

sin θ cosφ ρ cos θ cosφ −ρ sin θ sinφ

sin θ sinφ ρ cos θ sinφ ρ sin θ cosφcos θ −ρ sin θ 0

ja

Q(ρ, θ, φ) =

sin θ cosφ cos θ cosφ − sinφ

sin θ sinφ cos θ sinφ cosφcos θ − sin θ 0

.

Lisaksi Q(ρ, θ, φ) on ortogonaalinen ja

det(Q(ρ, θ, φ)) = 1

(totea!).

Lokaalit koordinaattivektorit ovat

eρ =

sin θ cosφsin θ sinφ

cos θ

, eθ =

cos θ cosφcos θ sinφ

− sin θ

ja

eφ =

− sinφ

cosφ0

.

263

eρ

eθ

eφ

Paitsi etta vektorikentta F halutaan usein esittaa kayravii-vaisten koordinaattien avulla, ts. muodossa F(γ(u)), ha-lutaan myos esittaa kentta pisteessa γ(u) maaraytyneessalokaalissa kordinaatistossa eli siis ko. pisteen tangenttiava-ruudessa. Matriisin Q(u) sarakkeet antavat uudet koor-dinaattivektorit esitettyina vanhojen koordinaattien avulla.Haluttu esitys on siis (vrt. Pykala 1.3)

G(u) = Q(u)TF(γ(u)).

Jatkossa tarvitaan Q(u)T:n sarakkeita, joita merkitaanvektoreilla q1(u), . . . ,qn(u).

Skalaarikentalle f esitys on yksinkertaisesti

g(u) = f(γ(u)).

264

2. Derivaatan muunnos

Katsotaan ensin vektorikentan

F =

F1...Fn

tapaus. Edella olevin merkinnoin

G(u) = Q(u)TF(γ(u)) =n∑

i=1

qi(u)Fi(γ(u)).

DerivoidaanG(u) tulon derivointisaannolla seka ketjusaan-

nolla. Tavoitteena on saada lauseke, josta voidaan ratkaista

alkuperainen derivaatta F′. Nain saadaan

G′(u) =n∑

i=1

q′i(u)Fi(γ(u)) +n∑

i=1

qi(u)(Fi(γ(u)))′

=n∑

i=1

q′i(u)Fi(γ(u)) +n∑

i=1

qi(u)F′i(γ(u))γ

′(u)

=n∑

i=1

q′i(u)Fi(γ(u)) +Q(u)TF′(γ(u))γ ′(u).

Jalkimmaiseen summaan sovellettiin ns. toista matriisiker-

tolaskusaantoa.∗ Nyt voidaan ratkaista ko. derivaatta F′:

∗Jos matriisin A sarakkeet ovat a1, . . . , an ja matriisin B rivitbT1, . . . ,b

Tn, niin

AB =

n∑

i=1

aibTi .

Kyseessa on vain lohkomatriisien kertolasku.

265

F′(γ(u)) = Q(u)

(

G′(u)−

n∑

i=1

q′i(u)Fi(γ(u))

)

γ′(u)−1

= Q(u)

(

G′(u)−

n∑

i=1

q′i(u)(Q(u)G(u))i

)

γ′(u)−1.

Muista, etta γ′ on taysiranginen eli tassa ei-singulaarinen.

Skalaarikentan f(r) tapaus on analoginen. Ketjusaannon

mukaisesti

g′(u) = f ′(γ(u))γ ′(u).

Myos tarvitaan g:n toinen derivaatta eli Hessen matriisi eli

n× n-matriisi

g′′(u) =

(

∂2g(u)

∂ui∂uj

)

,

josta sitten saadaan f :n Hessen matriisi. Tulon derivointi-saannolla ja ketjusaannolla saadaan

g′′(u) = (f ′(γ(u))γ ′(u))′ =

( n∑

i=1

γ′i(u)

T(f ′(γ(u)))i

)′

=

n∑

i=1

γ′′i (u)(f

′(γ(u)))i +

n∑

i=1

γ′i(u)

T((f ′(γ(u)))i)′

=

n∑

i=1

γ′′i (u)(f

′(γ(u)))i + γ′(u)Tf ′′(γ(u))γ′(u).

Tasta ratkaistaan haluttu f ′′:

266

f ′′(γ(u)) = γ′(u)−T

(

g′′(u)−

n∑

i=1

γ′′i (u)(f

′(γ(u)))i

)

γ′(u)−1

= γ′(u)−T

(

g′′(u)−

n∑

i=1

γ′′i (u)(g

′(u)γ ′(u)−1)i

)

γ′(u)−1.

Nain saaduista derivaatoista johdetaan vektori- ja skalaa-

rikenttien derivaattojen muunnoskaavat. Huomaa, etta ky-

seiset derivaatat ovat nuo tutut derivaatat, vain esitettyina

kayraviivaisissa koordinaateissa ja lokaalissa koordinaatti-

systeemissa. Mitaan uudenlaisia derivaattoja tassa ei joh-

deta. Laskut voivat tosin muodostua tavattoman tyolaiksi

ja symbolisen laskennan ohjelmistot ovat tarpeen. Mielen-

kiintoista on kuitenkin todeta, etta kyseessa ovat symboli-

set identiteetit.

267

3. Kenttien derivaattojen muunnokset

Divergenssi∇•F saadaan F′(γ(u)):n jalkena. Roottorin

laskemiseksi todetaan ensin, etta kaksi yhtaloa

∇× F =

a

b

c

ja F′ − F′T =

0 −c b

c 0 −a

−b a 0

ovat ekvivalentit. Nain roottorin komponentit saadaan poi-

mituksi F′−F′T:sta. Lisaksi roottori pitaa muuntaa uusiin

lokaalisiin koordinaatteihin kertomalla Q(u)T:lla:

Q(u)T

(F′(γ(u))− F′(γ(u))T)3,2(F′(γ(u))− F′(γ(u))T)1,3(F′(γ(u))− F′(γ(u))T)2,1

.

Seuraava Maple-ohjelma laskee esitetylla tavalla divergens-

sin ja roottorin. Syotteena ohjelmalle annetaan muunnos

(parametrisointi) γ vektorina h ja koordinaattimuuttujat

—oikeammin vain niiden nimet listana m.

> Dtrans1:=proc(h,m)

local K,J,N,Q,H,DV,DG;

K:=<K1(op(m)),K2(op(m)),K3(op(m))>;

J:=Jacobian(h,m);N:=Map(sqrt,Transpose(J).J);

Q:=simplify(J.MatrixInverse(N),symbolic);

H:=Q.K;

268

DV:=MatrixAdd(MatrixAdd(MatrixAdd(Jacobian(K,m),ScalarMultiply(Jacobian(Row(Q,1),m),-H[1])),ScalarMultiply(Jacobian(Row(Q,2),m),-H[2])),ScalarMultiply(Jacobian(Row(Q,3),m),-H[3]));

DG:=simplify(Q.DV.MatrixInverse(J),symbolic);

[Trace(DG),convert(Transpose(Q).<DG[3,2]-DG[2,3],DG[1,3]-DG[3,1],DG[2,1]-DG[1,2]>,vector)];

combine(subs(K1=G[m[1]],K2=G[m[2]],K3=G[m[3]],simplify(%,symbolic)));

end proc:

Edelleen esitetyista derivaattalausekkeista saadaan suoraan

gradientti:

Q(u)Tf ′(γ(u))T = Q(u)Tγ′(u)−Tg′(u)T.

Ilmeisesti Laplacen operaattori on Hessen matriisin jalki,

joten sekin saadaan nyt suoraan. Seuraava Maple-ohjelma

laskee talla tavalla gradientin ja Laplacen operaattorin.

Syotteena ohjelmalle annetaan jalleen muunnos (paramet-

risointi) γ ja koordinaattimuuttujat.

> Dtrans2:=proc(h,m)

local k,J,N,Q,H,HV,HF;

k:=g(op(m));J:=Jacobian(h,m);N:=simplify(Map(sqrt,Transpose(J).J),symbolic);Q:=J.MatrixInverse(N);H:=simplify(Jacobian([k],m).MatrixInverse(J),symbolic);

HV:=MatrixAdd(MatrixAdd(MatrixAdd(Hessian(k,m),ScalarMultiply(Hessian(h[1],m),-H[1,1])),ScalarMultiply(Hessian(h[2],m),-H[1,2])),ScalarMultiply(Hessian(h[3],m),-H[1,3]));

269

HF:=simplify(MatrixInverse(Transpose(J)).HV.

MatrixInverse(J),symbolic);

[convert(H.Q,vector),Trace(HF)];

combine(simplify(%,symbolic));

end proc:

Huomaa allistyttava yhdennakoisyys edellisen ohjelman kans-

sa.

270

4. Derivaatat sylinteri- ja pallokoordinaatistoissa

Kokeillaan eo. Maple-ohjelmia sylinteri- ja pallokoordinaa-tistoon. Aloitetaan vektorikentalla ja sylinterikoordinaatis-tolla:

> with(LinearAlgebra):with(VectorCalculus):

Warning, the names &x, CrossProduct and DotProduct have been reboundWarning, the assigned names ‘<,>‘ and ‘<|>‘ now have a global bindingWarning, these protected names have been redefined and unprotected: *, +, ., D,Vector, diff, int, limit, series

> h:=<r*cos(phi),r*sin(phi),z>:Dtrans1(h,[r,phi,z]);

[

∂∂φGφ (r, φ, z) +Gr (r, φ, z) + r ∂

∂rGr (r, φ, z) +

(

∂∂zGz (r, φ, z)

)

r

r,

[−

(

∂∂zGφ (r, φ, z)

)

r − ∂∂φGz (r, φ, z)

r,∂

∂zGr (r, φ, z)−

∂

∂rGz (r, φ, z) ,

− ∂∂φGr (r, φ, z) +Gφ (r, φ, z) +

(

∂∂rGφ (r, φ, z)

)

r

r]]

Siirrytaan sitten pallokoordinaatistoon:

> h:=<rho*sin(theta)*cos(phi),rho*sin(theta)*sin(phi),rho*cos(theta)>:Dtrans1(h,[rho,theta,phi]);

[sin (θ) ρ ∂

∂ρGρ (ρ, θ, φ) + cos (θ)Gθ (ρ, θ, φ) + 2 sin (θ)Gρ (ρ, θ, φ)

ρ sin (θ)

+sin (θ) ∂

∂θGθ (ρ, θ, φ) +

∂∂φGφ (ρ, θ, φ)

ρ sin (θ),

271

[− ∂

∂φGθ (ρ, θ, φ) + sin (θ) ∂

∂θGφ (ρ, θ, φ) + cos (θ)Gφ (ρ, θ, φ)

ρ sin (θ),

−− ∂

∂φGρ (ρ, θ, φ) + sin (θ)Gφ (ρ, θ, φ) + sin (θ)

(

∂∂ρGφ (ρ, θ, φ)

)

ρ

ρ sin (θ),

− ∂∂θGρ (ρ, θ, φ) +Gθ (ρ, θ, φ) +

(

∂∂ρGθ (ρ, θ, φ)

)

ρ

ρ]]

Tulokset ovat vahemman sievassa muodossa ja ne sieven-

tyvat jonkin verran.

Jatketaan skalaarikentalla. Ensin sylinterikoordinaatisto:

> with(LinearAlgebra):with(VectorCalculus):

Warning, the names &x, CrossProduct and DotProduct have been reboundWarning, the assigned names ‘<,>‘ and ‘<|>‘ now have a global bindingWarning, these protected names have been redefined and unprotected: *, +, ., D,Vector, diff, int, limit, series

> h:=<r*cos(phi),r*sin(phi),z>:Dtrans2(h,[r,phi,z]);

[[∂

∂rg (r, φ, z) ,

∂∂φg (r, φ, z)

r,∂

∂zg (r, φ, z)],

∂2

∂φ2g (r, φ, z) +(

∂∂rg (r, φ, z)

)

r +(

∂2

∂r2g (r, φ, z))

r2 +(

∂2

∂z2g (r, φ, z))

r2

r2]

Ja sitten pallokoordinaatisto:> h:=<rho*sin(theta)*cos(phi),rho*sin(theta)*sin(phi),rho*cos(theta)>:

Dtrans2(h,[rho,theta,phi]);

272

[[∂

∂ρg (ρ, θ, φ) ,

∂∂θg (ρ, θ, φ)

ρ,

∂∂φg (ρ, θ, φ)

ρ sin (θ)],

1

−ρ2 + ρ2 cos (2 θ)

(

2

(

∂

∂ρg (ρ, θ, φ)

)

ρ cos (2 θ)

+

(

∂2

∂ρ2g (ρ, θ, φ)

)

ρ2 cos (2 θ)−

(

∂2

∂ρ2g (ρ, θ, φ)

)

ρ2

−∂2

∂θ2g (ρ, θ, φ)− 2

(

∂

∂ρg (ρ, θ, φ)

)

ρ− 2∂2

∂φ2g (ρ, θ, φ)

+

(

∂2

∂θ2g (ρ, θ, φ)

)

cos (2 θ)−

(

∂

∂θg (ρ, θ, φ)

)

sin (2 θ)

)

]

Tulokset ovat jalleen vahemman sievassa muodossa.

Kootaan saadut tulokset sievennettyina yhteen. Ensin sylin-terikoordinaatisto, jossa lokaalit kantavektorit ovat er, eφja ez ja G = Grer +Gφeφ +Gzez:

∇f =∂g

∂rer +

1

r

∂g

∂φeφ +

∂g

∂zez

∇ • F =1

rGr +

∂Gr

∂r+

1

r

∂Gφ

∂φ+

∂Gz

∂z

∇× F =

(

1

r

∂Gz

∂φ−

∂Gφ

∂z

)

er +

(

∂Gr

∂z−

∂Gz

∂r

)

eφ

+1

r

(

Gφ + r∂Gφ

∂r−

∂Gr

∂φ

)

ez

∆f =1

r

∂g

∂r+

∂2g

∂r2+

1

r2∂2g

∂φ2+

∂2g

∂z2

273

Nama operaattorien esitysmuodot ovat hyvin katevia, kun

kyseessa ovat aksiaalisymmetriset kentat.

Ja sitten pallokoordinaatisto, jonka lokaalit kantavektorit

ovat eρ, eθ ja eφ ja G = Gρeρ +Gθeθ +Gφeφ:

∇f =∂g

∂ρeρ +

1

ρ

∂g

∂θeθ +

1

ρ sin θ

∂g

∂φeφ

∇ • F =2

ρGρ +

∂Gρ

∂ρ+

1

ρ tan θGθ +

1

ρ

∂Gθ

∂θ

+1

ρ sin θ

∂Gφ

∂φ

∇× F =1

ρ sin θ

(

cos θ Gφ + sin θ∂Gφ

∂θ−

∂Gθ

∂φ

)

eρ

+1

ρ

(

1

sin θ

∂Gρ

∂φ−Gφ − ρ

∂Gφ

∂ρ

)

eθ

+1

ρ

(

Gθ + ρ∂Gθ

∂ρ−

∂Gρ

∂θ

)

eφ

∆f =2

ρ

∂g

∂ρ+

∂2g

∂ρ2+

1

ρ2 tan θ

∂g

∂θ+

1

ρ2∂2g

∂θ2

+1

ρ2 sin2 θ

∂2g

∂φ2

274

Nama operaattorien muodot ovat puolestaan erityisen ka-

tevia, kun kyseessa ovat radiaalisymmetriset kentat.

HUOMAUTUS. Todettakoon, etta nama muunnoskaa-

vat ja vastaavat kaavat monelle muullekin kayraviivaiselle

koordinaatistolle ovat suoraan saatavissa Maple-ohjelmiston

VectorCalculus-paketissa. Itse asiassa tassa paketissa

voidaan maaritella mielivaltainen kayraviivainen koordinaa-

tisto ja laskea talle derivaattaoperaattorien muunnoskaavat.

275

LIITE 3 Kulmat

1. Kulmamuotokentta ja kulmapotentiaali

Rn:n vektorikentanF(p) = ‖p‖−npT vuomuotokenttaa

(n− 1-muotokenttaa)

ΦF–flux(p; r1, . . . , rn−1)

= ‖p‖−n det(pT, r1, . . . , rn−1)

kutsutaan kulmamuotokentaksi, merkitaan Φn−angle, ja

sen integraaliaRn:n n−1-ulotteisen monistonM (tai reu-

nallisen alueen) yli laajennetussa parametrisoinnissa sano-

taan M:n maarittamaksi kulmaksi origosta katsoen. (Jol-

loin oletetaan, etta origo itse ei ole M:ssa.)

Koska yleisesti Φn−angle on vektorikentan

F(p) = ‖p‖−npT

vuomuotokentta, jonka ulkoderivaatta on divergenssin

∇ • F tiheysmuotokentta, ja mainittu divergenssi on nol-

la (totea!), Poincaren lemman nojalla kulmamuotokentalla

Φn−angle on potentiaali Ψn−angle (n− 2-muotokent-

ta) tahtimaisissa alueissa, ns. kulmapotentiaali.

276

(Yleistetyn) Stokesin lauseen nojalla silloin n−1-ulotteisen

suunnistetun moniston−→M maarittama kulma on

∫

M

Φn−angle =

∫

M

dΨn−angle =

∫

−→∂ M

Ψn−angle.

Kulma siis voidaan laskea moniston reunan yli.

277

2. Tasokulma

Nimitykset kaynevat selvaksi, kun katsotaan tuttua taso-

kulman tapausta n = 2. Silloin

Φ2−angle(p; r1) = ‖p‖−2 det(pT, r1)

=xy1 − x1y

x2 + y2,

kun merkitaan p = (x, y) ja r1 =

(

x1y1

)

, ts.

Φ2−angle =−y

x2 + y2dx+

x

x2 + y2dy.

Kyseessa on siis funktion (0-muotokentan) atan ulkode-

rivaatta tahtimaisessa alueessa, joka saadaan poistamalla

R2:sta positiivinen x-akseli ja origo, ks. Pykalan 2.5 esi-

merkki. Vaikka atan itse ei olekaan jatkuva positiivisel-

la x-akselilla—eika maariteltykaan origossa—sen derivaat-

ta atan′ on jatkuva kaikkialla paitsi ei origossa.

Integroidaan Φ2−angle yli suunnatun viivan

−→C : r = γ(u) (u ∈ U)

(laajennetussa parametrisoinnissa). Lisaoletuksena on, etta

origo ei ole viivalla. Silloin

278

∫

−→C

Φ2−angle =

∫

U

atan′(γ(u))γ′(u) du

=

∫

U

d

duatan(γ(u)) du.

Kyseessa on siis nettokulma, jonka viivaa liikkuva piste ori-

gosta katsoen pyyhkii, positiivisena positiiviseen kiertosuun-

taan ja negatiivisena negatiiviseen kiertosuuntaan.

x

yC

Huomaa, etta atan:n epajatkuvuus ei haittaa, silla x-ak-

selin yli siirryttaessa atan:n arvo vahenee 2π:lla, mutta

derivaatta on jatkuva. Mainittu tahtimainen alue voitaisiin

myos korvata milla tahansa alueella, jossa R2:sta on pois-

tettu origosta lahteva puolisuora maarittelemalla atan so-

pivasti.

279

R2:n kulmapotentiaali on siis skalaaripotentiaali, oleellises-

ti atan tai siita vakioita lisaamalla saatava muu funktio.

Reuna muodostuu pisteista ja nettokulma saadaan aina pe-

riaatteessa yhteen/vahennyslaskuilla.

ESIMERKKI. Lasketaan viivan

−→C : r = γ(u) = (u cos(cosu), u sin(cosu))

(1 ≤ u ≤ 5)

maarittama kulma. Ks. kuva (Maple):

–2

–1

0

1

y

1 2 3 4x

280

Silloin

atan′(γ(u))γ′(u)

= −u sin(cosu)

u2(cos(cosu) + u sin(cosu) sinu)

+u cos(cosu)

u2(sin(cosu)− u cos(sinu) sinu)

= − sinu

ja nettokulma on

5∫

1

(− sinu) du = cos5− cos 1 ∼= −0.26 rad,

kuten pitaakin.

HUOMAUTUS. Kompleksimuuttujan funktioita tuntevil-

le tama tuonee mieleen kompleksisen logaritmin ja sen de-

rivaatan.

281

3. Avaruuskulma

R3:n kulmapotentiaali on Newtonin muotokentan

F(p) =pT

‖p‖3

vektoripotentiaalin tyomuotokentta ja Φ3−angle on F:nvuomuoto. Kyseessa oleva kulman kasite on ns. avaruus-kulma (engl. solid angle).

Havainnollisesti pinnan−→S maarittama avaruuskulma ori-

gosta katsottuna on sen origokeskisen yksikkopallon pinnanosan ala, joka peittaa tarkasti

−→S :n.

S

y

x

z

P

Mukaan on kuitenkin otettava mahdollisuus, etta jokin pin-nan osa nakyy kahdesti tai useampaan kertaan. Lisaksi mu-

282

kaan otetaan positiivisina ne pinnan osat, joiden normaa-

li sovitussa suunnistuksessa osoittaa ”poispain origosta”, ja

negatiivisina ne osat, joiden normaali osoittaa ”origoon pain”.

Koko avaruuden antama avaruuskulma on ilmeisesti 4π.

Avaruuskulman yksikko on steradiaani (sterad).

Matemaattisesti R3:n 2-ulotteisen moniston

−→S : r = γ(u) (u ∈ U)

(suunnistettu pinta laajennetussa parametrisoinnissa) maa-

rittama avaruuskulma origosta katsoen on

Ω(−→S ) =

∫

U

δ(u) •∂δ(u)

∂u1×

∂δ(u)

∂u2du,

missa

δ(u) =γ(u)

‖γ(u)‖.

Tassa oletetaan jalleen, etta origo ei ole S:ssa. Huomaa,etta δ(u):n arvot ovat yksikkopallon x2+ y2+ z2 = 1

pinnalla.

Toisaalta−→P : r = δ(u) (u ∈ U)

ei (valttamatta) ole parametrisoitu monisto laajennetussa

mielessakaan. Siina yksikkopallon pinnan osa voi olla mu-

283

kana montakin kertaa, ehka vastakkaisiin suuntiin suunnis-tettuna, riippuen siitamiten monta kertaa vastaava origostalahteva puolisuora pintaa

−→S leikkaa ja missa suunnassa.

Yleisesti kuitenkin−→P voidaan ajatella suunnatuksi ratamo-

nistoksi laajennetussa parametrisoinnissa. Origokeskisen yk-sikkopallon pinnan yksikkonormaali pisteessa δ(u) on jokoδ(u)T (ulkonormaali) tai −δ(u)T (sisanormaali). Nainollen

∂δ(u)

∂u1×

∂δ(u)

∂u2= ±

∥

∥

∥

∥

∥

∂δ(u)

∂u1×

∂δ(u)

∂u2

∥

∥

∥

∥

∥

δ(u),

missa merkki maaraytyy kulloisestakin suunnistuksesta, jaedelleen

δ(u) •∂δ(u)

∂u1×

∂δ(u)

∂u2= ±

∥

∥

∥

∥

∥

∂δ(u)

∂u1×

∂δ(u)

∂u2

∥

∥

∥

∥

∥

.

MaariteltyΩ(−→S ) on siis juuri havainnollisen ajatuksen an-

tama avaruuskulma. (Muista pinnan ala volyymina.)

Etsitaan sitten yhteys kulmamuotokenttaanΦ3−angle. Las-kien todetaan (totea!), etta

∂δ(u)

∂u1=

1

‖γ(u)‖

∂γ(u)

∂u1−

γ(u) •∂γ(u)

∂u1‖γ(u)‖3

γ(u) ja

∂δ(u)

∂u2=

1

‖γ(u)‖

∂γ(u)

∂u2−

γ(u) •∂γ(u)

∂u2‖γ(u)‖3

γ(u).

284

Muistaen skalaarikolmitulon laskusaantoja todetaan edel-

leen, etta

δ(u)•∂δ(u)

∂u1×∂δ(u)

∂u2=

γ(u)

‖γ(u)‖3•∂γ(u)

∂u1×∂γ(u)

∂u2.

Nain ollen

Ω(−→S ) =

∫

−→S

Φ3−angle.

ESIMERKKI. Pykalan 6.3 esimerkin tulosta kayttaen saa-

daan kentan

F(p) =p

‖p‖3

vektoripotentiaali U tahtimaisessa joukossa, joka saadaan

poistamalla avaruudesta jokin puolisuora −up0 (u ≥ 0)

missa p0 6= 0, muodossa

U(p) =p0 × p

‖p0‖‖p‖2 + (p0 • p)‖p‖,

kun asetetaan p1 = 0.∗ Vastaava kulmapotentiaali on

1-muotokentta

Ψ3−angle(p; r) = U(p)•r =p0 × p • r

‖p0‖‖p‖2 + (p0 • p)‖p‖.

∗Tassa kaytetaan merkintojen yksinkertaistamiseksi samaa merkin-taa pisteille ja vektoreille.

285

Suunnistetun pinnan−→S maarittama avaruuskulma saadaan

Stokesin lauseen nojalla integroimalla−→S :n vastaavasti suun-

nistetun reunan−→C yli:

Ω(−→S ) =

∮

−→C

U(p)•ds =

∮

−→C

p0 × p

‖p0‖‖p‖2 + (p0 • p)‖p‖•ds.

Poistettu puolisuora voidaan valita ”katsomissuunnalle”vas-

takkaiseen suuntaan osoittavaksi, ts. p0 on katsomissuun-

nassa.

Lasketaan malliksi, missa avaruuskulmassa ellipsi−→C : p = γ(u) = (cosu,2 sinu,2) (0 ≤ u ≤ 2π)

—tai vastaavasti mika tahansa suunnattu pinta, jonka reu-

na se on—origosta nakyy. Valitaan p0 = (0,0,1). (Ku-va: Maple.)

1

2

3

z

–2–1.5

–1–0.5

0.511.5

2

x

–1–0.50.51 y

286

Silloin

p0×γ(u) =

−2 sinu

cosu0

ja γ

′(u) =

− sinu

2cosu0

ja kysytty avaruuskulma on∗

Ω =

2π∫

0

2du

cos2 u+ 4sin2 u+4+ 2√

cos2 u+ 4sin2 u+4

=

2π∫

0

2du

3 sin2 u+5+ 2√

3 sin2 u+5

∼= 1.1 sterad.

Mainitun ellipsin ulkopuolinen osa avaruutta nakyy talloin

origosta katsoen avaruuskulmassa

4π −Ω ∼= 11.5 sterad.

Huomaa miten poissuljettu puolisuora—tassa negatiivinen

z-akseli—napparasti valitsee kumman naista kahdesta ava-

ruuskulmasta integraali laskee!

∗Kyseessa oleva integraali on ns. elliptinen integraali eika sita voiesittaa alkeisfunktioiden avulla. Numeerisesti se on toki helppo las-kettava.

287