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Regra de três simples

Ricardo Ferreira Paraizo

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Tempo

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Meta

Apresentar os conceitos sobre grandezas direta e

inversamente proporcionais e regra de três.

Objetivos

Após o estudo desta aula, você deverá ser capaz de:

1. reconhecer grandezas diretamente proporcionais;

2. reconhecer grandezas inversamente

proporcionais;

3. aplicar o conceito de regra de três na solução

de problemas que envolvem grandezas direta e

inversamente proporcionais.

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161Uma simples regra

É muito comum calcular as despesas que fazemos no dia-a-dia. Por exemplo:

Quanto vou pagar por 450 g de pão francês? Quanto vou pagar por 5,6 m de pano?

Quantos litros de gasolina gasto da minha cidade até ao Rio de Janeiro. Tudo

isso é resolvido utilizando-se um instrumento muito importante na Matemática,

que é a Regra de Três. Esse é o assunto da nossa aula de hoje e, para que você

possa acompanhá-lo com facilidade, vamos começar compreendendo as grandezas.

Compreendendo as grandezas

Primeiramente, vamos revisar dois conceitos importantes que são os pré-requi-

sitos para o entendimento da resolução dos problemas: o que são grandezas direta-

mente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais. Sem reconhecer

essas grandezas, não temos os requisitos necessários para resolver os problemas.

Vamos recordar, então: grandeza é tudo o que se pode aumentar ou diminuir.

O preço do quilo de feijão, a altura de uma árvore e o consumo de gás são alguns

exemplos de grandeza.

Razão é o quociente de dois números (ou duas quantidades ou duas medidas).

Exemplo: a razão entre o volume de uma lata de refrigerante (350 ml) e o

volume de uma garrafa de vinho (900 ml) é .

Proporção é a igualdade de duas razões. Exemplo: . (Lê-se: 350 está

para 900 assim como 7 está para 18.) Podemos escrever:

350 : 900 = 7 : 18Meios124 34

Extremos

Numa proporção vale dizer que o produto dos meios é igual ao produto dos

extremos. No caso anterior, temos, então, que 900 x 7 = 350 x 18.

Atenção!

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163Grandezas diretamente proporcionais

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a

outra também dobra; triplicando uma delas, a outra também triplica, e assim

por diante.

Crai

g Je

wel

l

Fonte: www.sxc.hu

Figura 7.1: Uma torneira gotejando desperdiça 40 litros de

água por dia. Em dez dias o desperdício é de 400 litros.

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163Observe o exemplo a seguir:

Um carro percorre 60 km em 1 hora e 120 km em 2 horas.

Você pode perceber que o número de quilômetros aumentou, assim como o número

de horas. Portanto, essas grandezas são diretamente proporcionais. Ou seja,

Número de quilômetros ↑

Número de horas ↑

Logo, as grandezas são diretamente proporcionais.

Nas grandezas diretamente proporcionais, a razão entre as grandezas precisa ser

constante. Veja o exemplo anterior com os dados colocados numa tabela.

Tempo (h) Espaço percorrido (km)

1 60

2 120

A razão entre as grandezas tempo (coluna da esquerda) e espaço (coluna da

direita) é igual (ou seja, é constante).

Veja:

160

=2

120

Billy

Ale

xand

er

Fonte: www.sxc.hu

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165Essa é uma característica importante das grandezas diretamente proporcionais,

isto é, a razão entre tais grandezas é uma constante.

Grandezas inversamente proporcionais

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a

outra se reduz pela metade; triplicando uma delas, a outra se reduz para a terça

parte, e assim por diante.

Fonte: www.sxc.hu

Figura 7.2: A previsão para este prédio ficar pronto é de 12 meses. Se a construtora responsável

pelo empreendimento dobrar o número de operários, a obra será concluída em aproximadamente

6 meses.

Mar

celo

Ter

raza

Veja outro exemplo:

Para realizar certo serviço, 8 homens gastam 12 dias e 16 homens gastam

6 dias.

Agora o número de operários aumentou e o número de dias diminuiu. Portanto,

essas grandezas são inversamente proporcionais. Ou seja,

Número de operários ↑

Número de dias ↓

Logo, as grandezas são inversamente proporcionais.

Nas grandezas inversamente proporcionais, o produto entre as grandezas precisa

ser constante. Veja o exemplo anterior com os dados colocados numa tabela.

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165Nº de operários Tempo para desenvolver o

serviço (dias)

8 12

16 6

O produto entre as grandezas, número de operários (coluna da esquerda) e tempo

para desenvolver o serviço (coluna da direita) é igual (ou seja, é constante).

Veja:

8 x 12 = 16 x 12

Essa é uma característica importante das grandezas inversamente proporcionais,

isto é, o produto entre tais grandezas é uma constante.

Agora é a sua vez de praticar! Você precisa reconhecer com precisão se as

grandezas envolvidas nos problemas são direta ou inversamente proporcionais.

Faça as atividades a seguir com atenção, para que você compreenda a próxima

seção da aula.

Atende ao Objetivo 1Atividade 1

Uma máquina produz 40 peças em 1 dia e 80 peças em dois dias.

Agora, marque a opção correta em cada item:

a. O número de peças:

aumentou ( ) diminuiu ( )

b. O número de dias:


c. Essas grandezas são direta ou inversamente proporcionais?

direta ( ) inversa ( )

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Uma regra para todas as horas

Você lembra o que é uma regra de três simples?

Essa regra é um processo prático para resolver problemas que envolvem grandezas

direta ou inversamente proporcionais. Nesse processo, três dados do problema são

conhecidos; falta determinar o quarto, ou seja, a resposta.


Numa indústria, 30 máquinas realizam um trabalho em 10 dias; 20 máquinas

realizam o mesmo trabalho em 15 dias.

Agora, marque a opção correta para cada item:

a. o número de máquinas:


b. o número de dias:


c. as grandezas são direta ou inversamente proporcionais?

direta ( ) inversa ( )

Fonte: www.sxc.hu

Figura 7.3: O relógio também é

um bom exemplo de aplicação

da regra de três: sabemos que

uma hora tem sessenta minutos

e, com isso, podemos descobrir

quantos minutos têm 5 horas, 7

horas, 12 horas etc.

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167Para resolvermos uma regra de três, o mais importante é reconhecermos o tipo de

grandeza envolvida no problema. Vimos que, quando usamos as mesmas palavras

para comparar as grandezas, temos grandezas diretamente proporcionais e, quando

usamos palavras inversas, temos grandezas inversamente proporcionais.

Agora que você já sabe reconhecer as grandezas direta e inversamente propor-

cionais, preste atenção nos exemplos a seguir e veja como é fácil trabalhar com

a regra de três simples:

Exemplo 1

Se 5 toneladas de cana produzem 350 litros de álcool, quantos litros de álcool

produzirão 18 toneladas de cana?

Figura 7.4: Quanto maior a quantidade de cana, maior será a produção de álcool.

Resolução:

Primeiramente, anotamos os dados do problema em forma de tabela. Veja:

Toneladas Litros

5 350

18 X

Man

oel S

ilva

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169Agora, verificamos se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais.

Fazendo a análise, temos:

Número de toneladas ↑

Número de litros ↑

Ficou em dúvida? Preste atenção! Observe que 5 toneladas de cana produzem 350

litros de álcool. Ora, se aumentarmos de 5 para 18 toneladas de cana, a produção

de álcool também vai aumentar.

Logo, as grandezas são diretamente proporcionais.

Como as grandezas são diretamente proporcionais, então a razão entre essas gran-

dezas é uma constante. Montamos a proporção:

5350

=18x

Então, vale a propriedade: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos,

ou seja, multiplica-se “cruzado”.

5350

=18x

Assim, temos:

5 . x = 350 . 18

E por fim:

x = 350.18

5= 70.18 = 1260 litros

Então, com 18 toneladas de cana podem-se produzir 1.260 litros de álcool.

Saiba mais...

Regra de três passo a passo

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colu-

nas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em

correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Seguindo esse roteiro, você não terá dificuldade em solucionar problemas

desse tipo.

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169Exemplo 2

Se 12 operários constroem uma obra em 90 dias, em quanto tempo essa obra seria

construída por 15 operários?

Resolução:

Organizando as informações do problema, temos:

Operários Dias

12 90

15 x

Verificando se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais, temos:

Número de operários ↑

Número de dias ↓

Veja, agora, que aumentar a quantidade de operários na obra implica concluí-la

em menos dias.

Logo, as grandezas são inversamente proporcionais.

Como as grandezas são inversamente proporcionais, o produto entre elas é uma

constante.

Veja:

12 . 90 = 15 . x

15x = 12 . 90

E, finalmente:

x =12.90

15= 12.6 = 72 dias

Então, podemos afirmar que a obra ficará pronta em 72 dias.

Exemplo 3

Doze marinheiros pintam o casco de um barco em 4 dias e 4 horas. Quantos

marinheiros, com a mesma capacidade de trabalho, pintariam o mesmo casco em

3 dias e 3 horas?

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Resolução:

Marinheiros Horas

12 100

x 75

Analisando as grandezas, concluímos que são inversamente proporcionais.

O produto entre as grandezas é igual.

Ou seja: 12.100 = x . 75

75x = 12.100

x simplificando por 25=12.100

75x =

12.43

= 16 →

Fonte: www.sxc.hu

Figura 7.5: Este barco precisa ficar pronto o mais rápido possível;

precisamos de mais alguns marinheiros.

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171Então, podemos afirmar que 16 marinheiros pintam o casco do navio em 75 horas

(3 dias e 3 horas).

Fixando as regras de três direta e inversa

(i) Regra de três simples com grandezas diretamente proporcionais.

Atenção!

(ii) Regra de três simples com grandezas inversamente proporcionais.

O cálculo é feito mantendo a ordem das grandezas

O cálculo é feito mantendo a ordem das grandezas

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173Possivelmente, você já ouviu alguém falar que, para aprender Matemática, são

necessários 90% de transpiração e 10% de inspiração. Dessa forma, pratique um

pouco nas atividades a seguir.


Com certa quantidade de ração é possível alimentar 50 coelhos durante 60 dias. Com

essa mesma quantidade de ração, se o número de coelhos for outro, por quanto

tempo poderão ser alimentados? Complete a tabela a seguir:

Nº de coelhos Nº de dias

50 60

100 A

150 B

C 40

D 30

E 120

F 300

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Em 30 litros de água, à temperatura ambiente, é possível dissolver até 9.000 g

de sal. Qual a quantidade máxima de sal que pode ser dissolvida em 1.800 litros

de água?


Para encher 50 sacos iguais são necessários 1500 kg de adubo.

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175a. Quantos quilos cabem em cada saco?

b. Qual a quantidade de adubo necessária para encher 200 sacos iguais a este?

c. Quantos sacos poderão ser enchidos com 600 kg de adubo?


Em 5 hectares de um sítio plantou-se 8.000 pés de café. Quantos hectares seriam

necessários para se plantar 36.000 pés de café?

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Nesta aula, desenvolvemos os conceitos de grandezas direta e inversamente

proporcionais e regra de três, por meio de situações cotidianas e eventualmente

relacionadas com outras áreas de conhecimento. Dessa forma, você teve a chan-

ce de compreender e fixar todo o conteúdo apresentado, que será de grande

importância para o entendimento da próxima aula.

DESAFIO

Um agricultor trabalhando sozinho faz uma horta em 6 horas e meia. Outro,

mais experiente, leva 5 horas. Trabalhando juntos, em quanto tempo os dois

agricultores fariam uma horta da mesma proporção que a primeira?

Atende ao Objetivo 3Atividade 7 D E S A F I O

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Resumindo...

• Grandeza é tudo o que se pode aumentar ou diminuir. Por exemplo: a

velocidade de um carro, o consumo de energia elétrica etc.

• Quando usamos as mesmas palavras para comparar as grandezas, temos

grandezas diretamente proporcionais. Por exemplo: um forno tem a

produção de ferro fundido de acordo com a tabela a seguir:

Tempo (minutos) Produção (kg)

5 100

10 200

Ou seja, aumenta o tempo, aumenta também a produção. Assim, o

tempo e a produção são grandezas diretamente proporcionais.

• As grandezas são inversamente proporcionais quando usamos palavras

inversas. Por exemplo: um motociclista percorre determinada distância

com a velocidade de 80km/h em 1 hora. Se ele percorrer a mesma

distância diminuindo a velocidade para 40 km/h, gastará 2 horas para

fazer esse percurso. Note que, diminuindo a velocidade, o tempo de

percurso fica aumentado. Assim, a velocidade e o tempo para percorrer

determinado espaço são grandezas inversamente proporcionais.

• A regra de três simples é um processo prático para resolver problemas

que envolvem grandezas direta ou inversamente proporcionais, em que

são conhecidos três dados do problema.

• Para resolver uma regra de três simples, basta seguir o passo-a-passo:

1º) Construir uma tabela, organizando as informações; 2º) verificar se

as grandezas são direta ou inversamente proporcionais; 3º) montar a

proporção e resolver a equação.

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177Informação sobre a próxima aula

Na próxima aula, vamos trabalhar com porcentagem.

Atividade 1

a. aumentou b. aumentou c. diretamente proporcionais

Atividade 2

a. diminuiu b. aumentou c. inversamente proporcionais

Atividade 3

Analisando as linhas 1 e 2, vemos que estamos dobrando a quantidade de coelhos,

significando que o tempo durante o qual vai durar a ração para esses coelhos ficará

reduzido à metade (pois dobrou a quantidade de coelhos, mas não aumentou a

quantidade de ração).

Temos, nesse caso, grandezas inversamente proporcionais.


50 60 →Linha 1

100 30 →Linha 2

Observe que o produto entre as grandezas é constante: 50.60 = 100.30.

Analisando as linhas 1 e 3. A quantidade de coelhos é multiplicada por três e a

quantidade de ração não aumentou. Isso significa que as grandezas são inver-

samente proporcionais. Então, o tempo que essa ração vai durar para esses

coelhos ficará reduzido à terça parte.

Respostas das Atividades

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179Veja:


50 60 →Linha 1

100 30 →Linha 2

150 20

Agora, vamos analisar as linhas 1 e 7. O tempo foi multiplicado por 5; isso

significa que o número de coelhos ficará reduzido à quinta parte.

Veja:


50 60 →Linha 1

10 300 →Linha 7

Outro jeito de completar a tabela seria assim:


50 60 →Linha 1

x 300 →Linha 7

Como as grandezas são inversamente proporcionais, o produto entre as grandezas

é uma constante.

Veja:

50.60 = x.300

Ou seja:

300x = 60.50 simplificando → x =60.50300

=6.53

= 2.5 = 10

Veja a tabela completa:

Nº de coelho Nº de dias

50 60 →Linha 1

100 30 →Linha 2

150 20 →Linha 3

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17975 40 →Linha 4

100 30 →Linha 5

25 120 →Linha 6

10 300 →Linha 7

Atividade 4

Organizando as informações, temos:

Litros Gramas de sal

30 9000

1800 x

Como as grandezas são diretamente proporcionais, então a razão entre as

grandezas é igual, ou seja:

309000

=1800

x

Multiplicando cruzado, temos:

30x = 9000.1800

Com isso,

x =9000 . 1800

30= 9000.60 = 540000 gramas

Logo, podemos dissolver no máximo 540.000 gramas de sal em 1.800 litros de

água.

Atividade 5

a. 1.500 ÷ 50 = 30kg. Logo, cada saco tem 30 kg de adubo.

b.

Sacos Kg de adubo

50 1500

200 X

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181Temos grandezas diretamente proporcionais; então a razão entre as grandezas

é igual.,

Assim:

501500

=200x

Resolvendo, temos:

50x = 200.1500 ⇒ x =200.1500

50 simplificando x → =

200.1505

⇒

x = 40.150=6.000kg

c.

Sacos Kg de adubo

50 1500

x 600

Temos grandezas diretamente proporcionais; então a razão entre as grandezas é

igual.

Assim:

501500

=x

600Resolvendo, temos:

1500x = 50600 ⇒ x = 50 6001500

.⇒ x = 50 6

15.

⇒ x=10.2 ⇒ x = 20 sacos.

Atividade 6

Montando a tabela com os dados do problema, temos:

Área (ha) Nº de pés

5 8000

x 36000

Como as grandezas são diretamente proporcionais, então a razão entre as gran-

dezas é igual, ou seja:

58000 36000

= x

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181Multiplicando cruzado, temos:

8000x = 536000

Com isso,

x = =5 360008000

452

.=22,5 ha

Portanto, 36.000 pés de café podem ser plantados num terreno com área de 22,5

hectares.

Atividade 7 – DESAFIO

Vamos chamar de t o tempo total para terminar a horta.

Em 1 h o agricultor A1 fará a horta em 1

6 5,⋅ t

Em 1 h o agricultor A2 fará a horta em 15

⋅ t

Os dois agricultores, juntos, em 1 h, farão a horta em 1

6 5,⋅ t +

15

⋅ t

Vamos transformar 1

6 5,⋅ t em fração com denominador inteiro:

16 5

1065

213

10

10

5

5

X

X

→ →

= → →

=,

:

:

16 5

15

213

15

10 1365

2365,

⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = + = ⋅t t t tt t

t

Os dois agricultores, juntos, em 1h, farão a horta em 2365

⋅ t

Em 1 h os dois agricultores, juntos, farão a horta em 2365

⋅ t

Em x h eles farão a horta em 6565

⋅ t

1 h - 2365

⋅ t

x h - 6565

⋅ t

2365

⋅ t .x = 6565

⋅ t

2365.x

= 11

⇒ 23.x = 65 ⇒ x = 6523

h = 2 h e 19 minutos

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182 Referências bibliográficas

GIOVANNI, José Ruy et al. A conquista da matemática. 8ª série. São Paulo: FTD.

2002.

IEZZI, Gelson et al. Matemática e realidade. 5. ed. São Paulo: Atual, 2005.

Bibliografia complementar

MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemática: idéias e desafios. 14. ed. 6ª

série. São Paulo: Saraiva. 2007.

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