vene 3
DESCRIPTION
MatematikaTRANSCRIPT
MATEMATIKAI FELADATOK GY�JTEMÉNYE 3
Mr VENE T. BOGOSLAVOV
I. FEJEZET
1. SOKSZÖGEK TERÜLETE (KVADRATÚRÁJA)
1◦ A háromszög területe:
a) T =aha2
=bhb2
=chc2
(a, b, c � a háromszög oldalai, ha, hb, hc � megfelel® magas-
ságai)
b) T =a2√3
4(a � a szabályos háromszög oldala)
c) T =a
4
√4b2 − a2 (a � az egyenl®szárú háromszög alapja, b � szára)
d) T =√s(s− a)(s− b)(s− c) (a, b, c � a háromszög oldalai, s � félkerülete)
e) T =ab sin γ
2=ac sinβ
2=bc sinα
2(a, b, c � a háromszög oldalai, α, β, γ � meg-
felel® bels® szögei)
f) T = rs (r � a háromszög beírható körének sugara, s � félkerülete)
g) T =abc
4R(a, b, c � a háromszög oldalai, R � köré írható körének sugara)
2◦ A paralelogramma területe:
a) T = aha = bhb (a, b � a paralelogramma oldalai, ha, hb � megfelel® magasságai)
b) Négyzet: T = a2 =d2
2(a � a négyzet oldala, d � átlója)
c) Téglalap: T = ab (a, b � a téglalap oldalai)
d) Rombusz: T = ah =d1d22
(a � a rombusz oldala, h � magassága, d1, d2 � átlói)
3◦ A trapéz területe: T =a+ b
2h = mh (a, b � a trapéz alapjai, h � magassága, m �
középvonala)
4◦ A szabályos sokszög (n-szög) területe: T =Kr
2= n
ar
2(K � a sokszög kerülete,
r � beírható körének sugara, a � oldala)
5◦ A négyszög területe: T =d1d2 sinϕ
2(d1, d2 � a négyszög átlói, ϕ � átlóinak haj-
lásszöge)
1. Számítsuk ki a téglalap területét, ha a kerülete 14 dm, átlója pedig 5 dm!
2. Számítsuk ki a téglalap területét, ha oldalainak aránya 3 : 4, köré írható köréneksugara pedig 1 dm!
3. A hegyesszög¶ háromszög egyik oldala 10 cm, a magassága, amely ehhez az oldalhoztartozik, 8 cm. A háromszögbe egy 15 cm2 terület¶ téglalapot írunk úgy, hogy annakkét csúcsa az említett oldalon legyen, a másik két csúcsa pedig a háromszög másikkét oldalán. Számítsuk ki a téglalap oldalait!
4. A téglalap oldalai 3 cm és 1 cm. Megszerkesszük a téglalap bels® szögeinek szög-felez®it. Számítsuk ki annak a négyszögnek a területét, amelyet a szögfelez®k met-széspontjai határoznak meg!
5. Az ABC egyenl®szárú derékszög¶ háromszögben megszerkesszük a B csúcsnál lév®hegyesszög szögfelez®jét, amely az AC befogót az M pontban metszi. Az AM ésMC szakaszok, mint oldalak fölé négyzeteket szerkesztünk. Bizonyítsuk be, hogyaz egyik négyzet területe kétszer akkora, mint a másik négyzet területe!
6. Számítsuk ki a paralelogramma területét, ha magasságai 3 cm és 2√3 cm, az általuk
bezárt szög pedig 60◦!
7. A paralelogramma magasságainak aránya 2 : 3, a kerülete 40 cm, hegyesszöge pedig30◦. Számítsuk ki a területét!
8. A paralelogramma területe 36 cm2, az átlói metszéspontjának az oldalaktól mérttávolsága pedig 3 cm és 2 cm. Számítsuk ki a paralelogramma kerületét!
9. Olyan egyenl®szárú trapézt írtunk egy kör köré, melynek alapjai 8 cm és 2 cm.Mekkora ennek a trapéznak a területe?
10. Olyan egyenl®szárú trapézt írtunk egy kör köré, melynek területe 50 cm2, hegyes-szöge pedig 30◦. Számítsuk ki a trapéz szárát!
11. Számítsuk ki annak a paralelogrammának a területét, amelynek átlói 26 cm és 30cm, az oldala pedig 14 cm!
12. A trapéz alapjai 142 cm és 89 cm, az átlói pedig 120 cm és 153 cm. Határozzukmeg a trapéz területét!
13. A trapéz alapjai 24 cm és 10 cm, a szárai pedig 13 cm és 15 cm. Számítsuk ki atrapéz területét!
14. A háromszög oldalai 13 cm, 14 cm és 15 cm. A háromszög leghosszabb oldalávalpárhuzamos egyenes egy 39 cm kerület¶ trapézt vág le a háromszögb®l. Számítsukki ennek a trapéznak a területét!
15. Számítsuk ki az egyenl®szárú háromszög területét, ha alapja 12 cm, az alaphoztartozó magasság pedig egyenl® a háromszög alapjának és szárának felez®pontjaitösszeköt® szaksszal!
16. A háromszög két oldala 10 cm és 14 cm, az els® oldallal szemközti szöge pedig 45◦.Számítsuk ki a területét!
17. A háromszög két oldalának összege 15 cm. A magasságok, amelyek ezeknek azoldalaknak felelnek meg 4 cm és 6 cm. Számítsuk ki a háromszög területét!
18. Számítsuk ki az egyenl®szárú háromszög területét, ha az alaphoz tartozó magasság20 cm, a szárhoz tartozó magasság pedig 24 cm!
19. Olyan egyenl®szárú trapézt írtunk egy kör köré, amelynek alapjai 40 cm és 10 cm.Számítsuk ki annak a háromszögnek a területét, amelynek csúcsai a trapéz szárainés a rövidebb alapján lév® érintési pontok!
20. Számítsuk ki a derékszög¶ háromszög területét és befogóit, ha a beírható körénekérintési pontja az átfogót 3 cm és 10 cm hosszúságú szakaszokra bontja!
21. A háromszög oldalai 26 cm, 28 cm és 30 cm. Számítsuk ki annak a háromszögnek aterületét, amelyet a középs® oldalhoz tartozó magasság és súlyvonal határoz meg!
22. Annak a háromszögnek a területe, amelynek alapja egy adott háromszög tetsz®le-ges oldala, harmadik csúcsa pedig annak súlypontja, egyenl® az adott háromszögterületének harmadával. Bizonyítsuk be!
23. Bizonyítsuk be, hogy a háromszög súlyvonalai a háromszöget hat egyenl® terület¶háromszögre osztják!
24. Számítsuk ki az egyenl®szárú háromszög területét, ha alapja 30 cm, beírható köré-nek sugara pedig r = 10 cm!
25. A háromszög beírható körének sugara r = 4 cm. A kör érintési pontja a három-szög egyik oldalát 6 cm és 8 cm hosszúságú szakaszokra bontja. Számítsuk ki aháromszög másik két oldalának hosszát és a háromszög területét!
26. A derékszög¶ háromszög befogói 3 cm és 4 cm. A háromszögben az O pont mindkétbefogótól 1 cm távolságra van. Határozzuk meg az O pont távolságát az átfogótól!A háromszög melyik nevezetes pontját képezi valójában az O pont?
27. A háromszög oldalai 25 cm, 24 cm és 7 cm. Számítsuk ki a háromszög köré írhatókörének és beírható körének sugarát!
28. Számítsuk ki a háromszög területét, ha két oldala 27 cm és 29 cm, a harmadikoldalnak megfelel® súlyvonal pedig 26 cm!
29. Határozzuk meg a derékszög¶ háromszög oldalait és szögeit, ha a kerülete 24 cm,a beírható körének sugara pedig 2 cm!
30. A rombusz tompaszögénél lév® csúcsából mer®legeseket engedünk az oldalaira.Mindkét mer®leges hossza a, míg a talppontjaik közti távolság b. Számítsuk kia rombusz területét!
31. Számítsuk ki a háromszög oldalait, ha azok egymást követ® természetes számok, aháromszög területe pedig 6
√6 cm2!
32. Az ABCD paralelogramma bels® tartományában felveszünk egy tetsz®leges Opontot. Bizonyítsuk be, hogy az AOB és COD háromszögek területeinek összegeegyenl® a BOC és az AOD háromszögek területeinek összegével!
33. Az egyenl®szárú trapéz átlója, d = 16 cm, és szára, c = 12 cm, mer®legesek egy-másra. Határozzuk meg a trapéz párhuzamos oldalait és a területét!
34. Legyen az ABC derékszög¶ háromszög átfogójához tartozó magassága CD. Szá-mítsuk ki a háromszög területét, ha az AD = 12 cm és az ACD] = 30◦!
35. A rombusz kerülete 2p cm, átlóinak összege pedig m cm. Számítsuk ki a területét!
36. Az r sugarú kör valamely húrjának ugyanazon oldalára két egyenl®szárú három-szöget szerkesztünk úgy, hogy egyiknek a csúcsa a kör középpontjában legyen, amásiknak a csúcsa pedig a körvonalon. Az így kapott háromszögek területeinekaránya T1 : T2 = (2
√3+3) : 3. Határozzuk meg a kisebb háromszög csúcsánál lév®
α szög nagyságát!
37. A 2r átmér®j¶ félkörbe trapézt írunk úgy, hogy annak két csúcspontja egybeesenaz átmér® végpontjaival. Fejezzük ki a trapéz területét az alapján lév® α szög és azr sugár függvényében!
38. Számítsuk ki az a oldalú rombusz szögeit, ha egyik átlója a√2−√3 !
39. Az egyenl®szárú háromszögbe, melynek alapja b = 18 cm, szára a = 15 cm, egytéglalapot írtunk úgy, hogy a téglalap alpja illeszkedik a háromszög alapjára. Ha abeírt téglalap területe 48 cm2, számítsuk ki a téglalap magasságát!
Bizonyítsuk be, hogy minden háromszögre érvényesek az alábbi képletek (40 - 43)!
40.1
ha+
1
hb+
1
hc=
1
r
41. T =1
23√abchahbhc
42. T =
√1
2hahbhcR
43. T =4
3
√m(m−ma)(m−mb)(m−mc),m =
ma +mb +mc
2
44. Számítsuk ki a háromszög területét, ha a súlyvonalai 9 cm, 12 cm és 15 cm!
45. Határozzuk meg a négyszög területét, ha átlói 15 cm és 20√3 cm, az általuk köz-
bezárt szög pedig 60◦!
46. A rombusz magassága 24 cm, egyik átlója pedig 30 cm. Határozzuk meg a rombuszterületét!
47. A rombusz területe 1 dm2, hegyesszöge 30◦. Számítsuk ki a rombusz átlóit!
48. AzABCD négyszögAB oldalának felez®pontjaE, melyet összekötünk aD csúccsal,továbbá CD oldalának felez®pontja F , melyet összekötünk a B ponttal. Bizonyít-suk be, hogy az ABCD négyszög területe kétszer nagyobb a BFDE négyszögterületénél!
49. Valamely négyszög szemközti oldalainak felez®pontjait összeköt® szakaszok 6 cm és8 cm, míg az egyik átló 10 cm. Számítsuk ki a négyszög területét!
50. Bizonyítsuk be, hogy a derékszög¶ háromszög területe egyenl® azon szakaszok szor-zatával, amelyekre a beírható kör érintési pontja felossza az átfogót!
51. A derékszög¶ háromszög a és b befogói fölé négyzeteket szerkesztünk, a négyzetekszabad csúcsait pedig összekötjük. Számítsuk ki az így kapott hatszög területét!
52. Bizonyítsuk be, hogy az egyenl®szárú trapézba írható kör átmér®je egyenl® a trapézalapjainak mértani középértékével!
53. Az a oldalú négyzet szomszédos oldalainak felez®pontjait összekötjük a négyzetszemközti csúcsával. Határozzuk meg az így kapott háromszög területét!
54. Az a oldalú négyzet két szemközti oldalára a bels® tartományában szerkesztünkegy-egy szabályos háromszöget, amelyek oldalai egy négyszöget határoznak meg.Vajon milyen négyszög ez? Határozzuk meg a szögeit és a területét!
55. A téglalap oldalai a és b (a > b). A bels® szögeinek szögfelez®i meghatároznak egyMNPQ négyszöget. Határozzuk meg ennek a négyszögnek a területét az a és bfüggvényében!
56. Határozzuk meg a téglalap oldalainak arányát, ha a területe egyenl® azon négyzet
területének3
4-ével, amelynek kerülete egyenl® a téglalap kerületével!
57. Adjunk meg minden olyan derékszög¶ háromszöget, amelynek oldalai természetesszámok, továbbá az oldalak mér®számainak összege egyenl® a területének mér®szá-mával!
58. A körbe és köré is szabályos hatszöget írunk. Bizonyítsuk be, hogy e hatszögekterületeinek aránya 3 : 4!
59. Az ABC háromszögben adott az a = 37 cm és b = 13 cm oldal, valamint a hc =12 cm magasság. Számítsuk ki a területét!
60. A szabályos háromszög beírható és köré írható körének sugarát megszorozva 6-otkapunk. Számítsuk ki a háromszög területét!
61. Az R =25
8sugarú körbe egyenl®szárú háromszöget írunk, amelynek szára b = 5.
Számítsuk ki a háromszög területét!
62. Számítsuk ki a rombusz területét, ha:
(a) oldala a = 25, egyik átlója d = 40;
(b) oldala a = 52, hegyesszöge 45◦;
(c) magassága h = 8,4, hegyesszöge 60◦!
63. Az r = 2 sugarú körbe háromszöget írunk, amelynek csúcsai a körvonalat 2 : 5 : 17arányban osztják fel. Számítsuk ki a háromszög területét!
64. A derékszög¶ háromszög egyik hegyesszöge α, a másik hegyesszög csúcsának távol-sága a beírható kör középpontjától a. Határozzuk meg a háromszög területét!
65. A derékszög¶ háromszög kerülete 36 cm. A háromszög beírható körének érintésipontja az átfogót 2 : 3 arányú szakaszokra osztja fel. Számítsuk ki a háromszögoldalait és területét!
66. Az ABC háromszög A csúcsánál lév® szöge derékszög, B csúcsánál lév® szöge 30◦,beírható körének sugara pedig
√3. Számítsuk ki a C és T pontok közti távolságot,
ha a T pont a beírható kör érintési pontja az AB befogón!
67. A trapéz szárai mer®legesek. Az egyik szár az alappal α szöget zár be, és a másikszár is az átlóval ugyanekkora szöget zár be. Számítsuk ki a trapéz területét, ha amagassága h!
68. Adott az egyenl®szárú trapéz, melynek alapjai 14 cm és 8 cm, területe pedig 44cm2. Számítsuk ki a trapéz szárait!
69. Számítsuk ki az egyenl®szárú háromszög szögeit, ha területe úgy aránylik az alapjafölé szerkesztett négyzet területéhez, mint
√3 : 12 !
70. Az R sugarú körbe olyan háromszöget írunk, amelynek két szöge 60◦ és 15◦. Szá-mítsuk ki a háromszög területét!
71. A húrnégyszög területe T =1
2(ab+ cd) sinα, ahol a, b, c és d a négyszög oldalai, α
pedig az a és b oldalak által közbezárt szög. Bizonyítsuk ezt be!
72. A paralelogramma területe T =1
2(a2 − b2) tgϕ, ahol a és b a paralelogramma ol-
dalai, ϕ pedig az átlók által közbezárt szög. Bizonyítsuk ezt be!
73. Az egyenl®szárú trapéz középvonala m, átlói pedig mer®legesek egymásra. Hatá-rozzuk meg a trapéz területét!
74. A trapéz átlói és alapjai által alkotott háromszögek területei T1 és T2. Határozzukmeg a trapéz területét!
75. Az ABC háromszög bels® O pontján keresztül az oldalakkal párhuzamos egyene-seket szerkesztünk. Ezek az egyenesek a háromszöget hat részre osztják, amelyekközül három háromszög területe T1, T2 és T3. Határozzuk meg az eredeti háromszögterületét!
76. Az a, b és c oldalú háromszögbe félkört írunk, amelynek átmér®je a c oldalra illesz-kedik. Határozzuk meg a félkör átmér®jét!
77. Határozzuk meg a háromszög területét, ha egyik oldalát a beírható körének érintésipontja m és n szakaszokra osztja fel, az ezzel az oldallal szemközti szöge pedig 60◦!
78. A T terület¶ háromszögb®l az alapjával párhuzamos egyenes egy T1 terület¶ há-romszöget vág le. Bizonyítsuk be, hogy a területe annak a négyszögnek, amelynekhárom csúcsa a kisebb háromszög három csúcsa, míg a negyedik csúcsa a nagyobbháromszög alapján helyezkedik el, egyenl® a nagyobb és a kisebb háromszög terü-letének mértani közepével!
79. A trapéz rövidebb alapja DC = b, hosszabb alapja AB = a. A trapéz rövidebbalapjának meghosszabításán határozzuk meg azt az M pontot, amelyre az AMszakasz két egyenl® részre osztja a trapézt!
80. Az ABC háromszög ma és mc súlyvonalai, és az AC oldal által közbezárt szögekösszege 60◦, a súlyvonalak szorzata pedig ma · mc =
√3. Számítsuk ki az ABC
háromszög területét!
81. A rombusz hegyes szöge 30◦, hosszabb átlója pedig a. A rombuszba téglalapot írunkúgy, hogy egyik átlója a rombusz rövidebb átlója legyen. Határozzuk meg a téglalapterületét!
82. A háromszög két oldala b és c, területe pedig T =2
5bc. Számítsuk ki a háromszög
harmadik a oldalát!
83. Adott az ABC háromszög és az O pont. Ha a T1, T2 és T3 az AOB, BOC és COA
háromszögek súlypontjai, akkor bizonyítsuk be, hogy TT1T2T3 =1
9TABC !
84. Ha a konvex négyszöget annak bármely átlója két egyenl® terület¶ részre osztja,akkor ez a négyszög paralelogramma. Bizonyítsuk ezt be!
85. Az ABCD konvex négyszög AB, BC, CD és AD oldalainak meghosszabításain,ugyanebben a sorrendben, tekintsük a következ® szakaszokat: BM = AB, CN =BC, DR = CD és AQ = DA. Bizonyítsuk be, hogy TMNRQ = 5 TABCD!
86. Adott az ABCD konvex négyszög. Az M és N pontok a BC oldalt három egyenl®részre osztják, az R és Q pontok az AD oldalt ugyancsak három egyenl® részreosztják. Bizonyítsuk be, hogy az ABCD négyszög területe háromszor nagyobb azMNRQ négyszög területénél!
II. FEJEZET
2. POLIÉDEREK
2.1. HASÁB ÉS GÚLA, A HASÁB ÉS A GÚLA SÍKMETSZETEI
87. Szerkesszük meg az egyenes ötoldalú hasáb ferde síkmetszetét, ha adott a síkmetszetés az oldalélek három metszéspontja!
88. Adott a kocka, melynek éle 1 m. Szerkesszük meg a kockának azzal a síkkal való met-szetét, amely illeszkedik egyik oldallapjának átlójára, valamint a szemközti oldallapvalamely élének felez®pontjára, majd ezután számítsuk ki a síkmetszet területét!
89. Bizonyítsuk be, hogy a paralelepipedon átlóinak négyzetösszege egyenl® az éleineknégyzetösszegével!
90. *Az egyenes paralelepipedon alapélei (a és b) által közbezárt szög 60◦. Határozzukmeg a paralelepipedon átlóit, ha az oldaléle egyenl® az alapélek mértani középér-tékével!
91. Adott a b él¶ kocka. Határozzuk meg a kocka egyik csúcsának a távolságát attól azátlójától, amely nem tartalmazza ezt a csúcsot!
92. A csúcsától számítva mekkora távolságra metszettük el a gúlát az alapjával pár-huzamos síkkal, ha a gúla magassága 15 cm, alapjának területe 18 dm2, a kapottsíkmetszet területe pedig 8 dm2?
93. A gúla alapterülete 1,5 dm2, az alappal párhuzamos síkmetszetének területe 54 cm2,az alap és a síkmetszet közti távolság pedig 14 cm. Számítsuk ki a gúla magasságát!
94. Számítsuk ki a gúla alapjával párhuzamos síkmetszetek területét, ha azok a gúlamagasságát négy egyenl® részre osztják, a gúla alapterülete pedig 144 cm2!
95. A szabályos négyoldalú gúla alapéle a, magassága H. Határozzuk meg az élét annaka kockának, amelyet a gúlába írunk úgy, hogy a kocka egyik oldala illeszkedjen agúla alpjára, a szemközti oldala pedig a gúla egy síkmetszetét képezze!
96. *A szabályos nyolcoldalú gúlát, melynek alapéle a, egy olyan síkkal metszük el,amely párhuzamos a gúla alapjával, a magasságát pedig a csúcstól számítva m : narányú szakaszokra osztja. Határozzuk meg a síkmetszet területét!
2.2. A HASÁB FELSZÍNE ÉS TÉRFOGATA
1. Hasáb
F = 2B +M (F � felszín, B � alap vagy bázis területe, M � palást területe)V = BH (V � térfogat, H � magasság)
2. Kocka
F = 6a2, V = a3, D = a√3 (a � a kocka éle, F � felszíne, V � térfogata, D �
testátlója)
3. Téglatest
F = 2(ab + bc + ac), V = abc, D =√a2 + b2 + c2 (a, b, c � a téglatest élei, F �
felszíne, V � térfogata, D � testátlója)
97. Adjuk meg a kocka felszínét és térfogatát az átlós metszet területének függvényében!
98. A derékszög¶ paralelepipedon alakú medence dimenziói 4 m, 4,5 m és 2,5 m. Mennyiid® alatt tölt®dik fel a medence, ha másodpercenként 5 liter víz folyik bele?
99. A szabályos négyoldalú hasáb palástterülete 8 m2, átlója pedig 3 m. Számítsuk kia hasáb térfogatát!
100. A rombusz alapú hasáb palástterülete 360 dm2. Az oldallapok átlója 20,5 dm, aszemközti oldallapok közötti távolság pedig egyenl® a hasáb magasságával. Számít-suk ki a hasáb térfogatát!
101. Az egyenes hasáb alapja egyenl®szárú háromszög, melynek alapja 10 dm, magasságapedig egyenl® a hasáb magasságával! Ha a hasáb térfogata 720 dm3, akkor számítsukki a felszínét!
102. A szabályos hatoldalú hasáb alapéle 3 m, az oldallapjának átlója pedig 6 m. Szá-mítsuk ki a hasáb térfogatát!
103. A derékszög¶ paralelepipedon oldallapjainak átlói d1, d2 és d3. Számítsuk ki aparalelepipedon térfogatát!
104. Az egyenes háromoldalú hasáb felszíne 1440 cm2, magassága pedig 16 cm. Számít-suk ki a hasáb alapéleit, ha azok aránya 17 : 10 : 9 !
105. Az egyenes paralelepipedon alapélei 10 cm és 17 cm, alapjának hosszabb átlója 21cm, a paralelepipedon hosszab átlója pedig 29 cm. Számítsuk ki a paralelepipedonfelszínét!
106. A szabályos, egyenl® él¶ hasáb felszíne F . Határozzuk meg a hasáb élét, ha a hasábalapja szabályos hatszög!
107. A derékszög¶ paralelepipedon egy csúcsából kiinduló élei a, b és c, melyek úgyaránylanak egymáshoz, mint m : n : p, az alap átlója pedig d. Számítsuk ki aparalelepipedon felszínét és térfogatát!
108. *Az egyenes paralelepipedon alapja rombusz, átlós metszeteinek területe pedig Pés Q. Határozzuk meg a paralelepipedon palástterületét!
109. Az egyenes paralelepipedon alapja rombusz, amelynek területe 1 m2, átlós metsze-teinek területe pedig 3 m2 és 6 m2. Számítsuk ki a paralelepipedon térfogatát!
110. A ferde hasáb alapja a oldalú, szabályos háromszög, az egyik oldallapja pedigmer®leges az alap síkjára és rombusz alakú, melynek rövidebb átlója c. Számítsukki a hasáb térfogatát!
111. Az egyenes hasáb alapja az ABCD egyenl®szárú trapéz, melynek oldalai BC =AD = 13 cm, CD = 11 cm és AB = 21 cm, míg az átlós metszetének területe 180cm2. Számítsuk ki a hasáb felszínét és az ABC1D1 síkmetszet területét!
112. A ferde háromoldalú hasáb alapélei 5 m, 6 m és 9 m, egyik oldaléle pedig 10 m és45◦-os szöget zár be az alap síkjával. Számítsuk ki a hasáb térfogatát!
113. Az egyenes paralelepipedon alapja romboid, melynek oldalai a = 3 cm és b = 8 cm,míg az általuk közbezárt szög γ = 30◦. Számítsuk ki a paralelepipedon felszínét éstérfogatát, ha a palástterülete M = 220 cm2!
114. *A ferde paralelepipedon alapja az ABCD rombusz, melynek oldala a, hegyesszögepedig 60◦. Az AA1 oldalél szintén a-val egyenl®, az AB és BD élekkel pedig 45◦-osszöget zár be. Határozzuk meg a paralelepipedon térfogatát!
115. Az egyenes hasáb alapja rombusz, melynek átlói d1 = 18 cm és d2 = 24 cm, mígoldallapjának átlója d = 39 cm. Számítsuk ki a hasáb felszínét!
116. A paralelepipedon élei a, b és c. Az a és b élek mer®legesek egymásra, a c él pedigmindegyikkel 60◦-os szöget zár be. Határozzuk meg a paralelepipedon térfogatát!
117. *Az egyenes paralelepipedon alapja Q terület¶ rombusz. Az átlós metszeteinekterülete pedig S1 és S2. Határozzuk meg a paralelepipedon térfogatát!
118. *Az egyenes hasáb alapja trapéz. Fejezzük ki a hasáb térfogatát a párhuzamosoldallapok T1 és T2 területeinek, valamint ezek d távolságának függvényében!
119. Az egyenes háromoldalú hasáb alapjának területe 4 cm2, oldallapjainak területepedig 9 cm2, 10 cm2 és 17 cm2. Számítsuk ki a hasáb térfogatát!
120. Az egyenes, szabályos nyolcoldalú hasáb térfogata 8 cm3, magassága pedig (√2+1)
cm. Számítsuk ki a palástterületét!
121. Az egyenes háromoldalú hasáb alapja az ABC háromszög, melynek két oldala a =34,84 cm és b = 38,03 cm, egyik szöge pedig γ = 58◦ 22′. A hasáb alapéle egyenl®az ABC háromszög hc magasságával. Számítsuk ki a hasáb térfogatát!
122. *Az egyenes paralelepipedon átlói 9 cm és√33 cm. Alapjának kerülete 18 cm.
Oldaléle 4 cm. Számítsuk ki a paralelepipedon felszínét és térfogatát!
123. *Az egyenes paralelepipedon alapja olyan paralelogramma, melynek oldalai a ésb, hegyesszöge pedig α. Határozzuk meg a paralelepipedon térfogatát, ha rövidebbátlója egyenl® alapjának hosszabb átlójával!
124. *A szabályos négyoldalú hasáb átlója, melynek hossza m, a hasáb oldallapjával αszöget zár be. Határozzuk meg a hasáb palástterületét!
125. A tutaj 16 darab téglalap keresztmetszet¶ gerendából keszült, melyek mindegyiké-nek hossza 3,6 m, szélessége 0,20 m, vastagsága pedig 0,25 m. Mekkora a legnagyobbsúlyú rakomány, amit ez a tutaj elbír, anélkül, hogy elsüllyedne? (A fa speci�kussúlya 0,84.)
126. A hasáb alapja egyenl®szárú háromszög, melynek alapja 30 cm, beírható köréneksugara pedig 10 cm. Számítsuk ki a hasáb térfogatát, ha a magassága egyenl® azegyenl®szárú háromszög magasságával!
127. A hasáb alapja háromszög. A háromszög beírható körének sugara r = 4 cm. A körérintési pontja a háromszög egyik oldalát 6 cm és 8 cm hosszúságú szakaszokrabontja. Számítsuk ki a hasáb térfogatát, ha a magassága egyenl® a háromszögközéps® oldalával (hosszúságukat tekintve)!
128. Az egyenes háromoldalú hasábot, melynek alapja a oldalú szabályos háromszög,elmetszük egy, az alapokkal nem párhuzamos síkkal. Az így kapott lemetszett hasáboldaléleinek mér®számai m, n és p. Határozzuk meg a palástterületét!
129. A szabályos hatoldalú hasáb nagyobb átlós metszetének területe 24 cm2, kerületepedig 22 cm. Számítsuk ki az adott hatoldalú hasáb felszínét és térfogatát!
130. A hasáb alapja derékszög¶ háromszög, melynek területe 9√3 cm2, egyik szöge pedig
30◦. A legnagyobb oldallap területe 8√2 cm2. Számítsuk ki a hasáb térfogatát!
131. A hasáb alapja paralelogramma, melynek oldalai a = 13 cm, b = 14 cm, átlójapedig d = 15 cm. Számítsuk ki e hasábnak a térfogatát, ha a felszíne 876 cm2!
132. A hasáb alapja trapéz, melynek alpajai 24 cm és 10 cm, szárai pedig 13 cm és 15cm. Számítsuk ki a hasáb felszínét és térfogatát, ha a magassága egyenl® a trapézmagasságával!
133. A paralelepipedon oldalai egybevágó, a oldalú és 60◦-os hegyesszög¶ rombuszok.Fejezzük ki a paralelepipedon térfogatát az a oldal függvényében!
134. Az egyenes négyoldalú hasáb alapja egyenl®szárú trapéz. A trapéz rövidebb alapjaa, és egyenl® a szárával, míg a hegyesszöge α. Számítsuk ki a hasáb térfogatát, haa magassága egyenl® a trapéz átlójával!
135. Az egyenes hasáb alapja egyenl®szárú háromszög, melynek alapja a, rajta lév® szögepedig α. Határozzuk meg a hasáb térfogatát, ha a palástterülete egyenl® az alapokterületeinek összegével!
136. Az egyenes paralelepipedon alapja téglalap, amelyet R sugarú körbe írtunk úgy,hogy az egyik oldala által lemetszett körív 2α. Határozzuk meg a paralelepipedontérfogatát, ha a palástterülete S!
137. A derékszög¶ paralelepipedon alapja téglalap, melynek átlói α szöget zárnak beegymással. A paralelepipedon D átlója az alap síkjával β szöget zár be. Határozzukmeg a paralelepipedon térfogatát!
138. Adott a szabályos négyoldalú hasáb alapterülete B és térfogata V . Határozzuk mega hasáb felszínét!
139. A derékszög¶ paralelepipedon alapéleinek aránya m : n, az átlós metszete pedigegy Q terület¶ négyzet. Számítsuk ki a paralelepipedon térfogatát!
140. Határozzuk meg a H magasságú, szabályos háromoldalú hasáb palástterületét, haa szakasz, amely az egyik alap középpontját köti össze a másik alap élének felez®-pontjával, 60◦-os szöget zár be az alap síkjával!
2.3. A GÚLA ÉS A CSONKA GÚLA FELSZÍNE ÉS TÉRFOGATA
1. Gúla
F = B +M (F � felszín, B � alap vagy bázis területe, M � palást területe)
V =1
3BH (V � térfogat, H � magasság)
2. Csonka gúla
F = B1 + B2 +M (F � felszín, B1 és B2 � alapok vagy bázisok területei, M �palást területe)
V =H
3(B1 +
√B1B2 +B2) (V � térfogat, H � magasság)
141. Adott a szabályos négyoldalú gúla alapéle a = 10 cm és magassága H = 12 cm.Számítsuk ki a felszínét és térfogatát!
142. Számítsuk ki a szabályos négyoldalú gúla térfogatát, ha magassága H = 15 cm,átlós metszetének területe pedig T = 120 cm2!
143. Az egyenes gúla alapja téglalap, melynek oldalai 12 cm és 9 cm. Számítsuk ki agúla térfogatát, ha oldaléle 12,5 cm!
144. Határozzuk meg a háromoldalú gúla alapjának területét és magasságát, ha oldaléleia-val egyenl®k és mer®legesek egymásra!
145. Határozzuk meg az egyenes négyoldalú gúla térfogatát, ha alapja téglalap, melynekátlója d, átlóinak hajlásszöge α, az oldalélek pedig a gúla alapjával β szöget zárnakbe!
146. Az a oldalú kockából lemetszük a nyolc szögletet úgy, hogy a kocka minden lapjábólegy szabályos nyolcszög keletkezzen. Számítsuk ki a kocka megmaradt részénektérfogatát!
147. A gúla alapja egy háromszög, melynek oldalai 13 cm, 14 cm és 15 cm. A � hosszú-ságukat tekintve � középs® alapéllel szemközti oldalél 16 cm hosszú és mer®leges azalap síkjára. Számítsuk ki a gúla felszínét és térfogatát!
148. Fejezzük ki a szabályos tetraéder térfogatát az a élének függvényében!
149. Fejezzük ki a szabályos oktaéder térfogatát az a élének függvényében!
150. A háromoldalú gúla magassága 6 cm, és a magasság talppontja az alap köré írhatókör középpontjában van. Ha a gúla alpjának kerülete 120 cm, továbbá az alapélekaránya 5 : 12 : 13, számítsuk ki a gúla térfogatát és felszínét!
151. A szabályos négyoldalú gúla átlós metszete 12 dm2, alapjának kerülete pedig 8 dm.Számítsuk ki a gúla felszínét!
152. A gúla alapja egy 20 cm oldalú rombusz, az oldallapjai az alapjával 45◦-os szögetzárnak be, a palástterülete pedig 4 dm2. Számítsuk ki a gúla térfogatát!
153. Határozzuk meg a szabályos hatoldalú gúla felszínét, ha a gúla oldalmagassága h,az alapjába írható kör sugara pedig r!
154. A szabályos oktaéder oldalainak középpontjai valójában egy kocka csúcsai. Hatá-rozzuk meg a két test térfogatának arányát!
155. Fejezzük ki a szabályos tetraéder magasságát a V térfogatának függvényében!
156. A háromoldalú gúla oldallapjai páronként mer®legesek egymásra, a területeik pedig3 cm2, 4 cm2 és 6 cm2. Számítsuk ki a gúla térfogatát!
157. A gúlát két részre osztja az a sík, amely tartalmazza a gúla magasságának fe-lez®pontját és párhuzamos az alapjával. Határozzuk meg a két rész térfogatánakarányát!
158. Számítsuk ki a szabályos négyoldalú csonka gúla térfogatát, ha alapélei 7 m és 5m, átlója pedig 9 m!
159. Számítsuk ki a szabályos négyoldalú csonka gúla térfogatát, ha az alapok területei50 cm2 és 8 cm2, átlós metszetének területe pedig 28 cm2!
160. Számítsuk ki a szabályos hatoldalú csonka gúla térfogatát, ha alapélei 2 m és 1 m,oldaléle pedig 2 m!
161. A szabályos háromoldalú csonka gúla alapélei 2 m és 6 m, az oldallapja pedig 60◦-osszöget zár be a nagyobb alap síkjával. Számítsuk ki a csonka gúla térfogatát!
162. A derékszög¶ szöglet (olyan szöglet, amelynek az oldalai páronként mer®legesekegymásra) oldalait úgy metszük két párhuzamos síkkal, hogy a metszetek a és b(a > b) oldalú szabályos háromszögek legyenek. Határozzuk meg az így kapottcsonka gúla palástterületét!
163. A szabályos háromoldalú csonka gúla oldallapja az alap síkjával 60◦-os szöget zárbe. Ennek az alapnak az éle a, a gúla felszíne pedig F . Határozzuk meg a másikalap élét!
164. *Határozzuk meg a szabályos tizenkétoldalú csonka gúla térfogatát, ha adottak azalapok köré írt körök sugarai R és r, valamint az oldalélek az alap síkjával 60◦-osszöget zárnak be!
165. A gúla alapja egyenl®szárú trapéz, melynek alapjai 3 cm és 5 cm, szára pedig 7cm. A gúla magasságának talppontja a trapéz átlóinak metszéspontjában van. Ahosszabb oldaléle 10 cm. Számítsuk ki a gúla térfogatát!
166. A szabályos négyoldalú csonka gúla magassága 3 cm, térfogata 38 cm3, az alapokterületeinek aránya pedig 4 : 9. Számítsuk ki a csonka gúla palástterületét!
167. *Határozzuk meg a szabályos tetraéder és oktaéder térfogatának arányát, ha felszí-nük megegyezik!
168. *Határozzuk meg a szabályos négyoldalú csonka gúla térfogatát, ha a hosszabbalapéle a, a rövidebb alapéle b, az oldallapjának hegyesszöge pedig 60◦-os!
169. *A gúla alapja téglalap, melynek területe S, átlóinak hajlásszöge pedig 60◦-os.Határozzuk meg a gúla térfogatát, ha az oldalélek az alap síkjával 45◦-os szögetzárnak be!
170. A gúla alapja paralelogramma, melynek oldalai 10 cm és 18 cm, területe pedig90 cm2. A gúla magassága 6 cm, és tartalmazza az alap átlóinak metszéspontját.Számítsuk ki a palástterületét!
171. *A háromoldalú gúla két oldallapja mer®leges egymásra. E két oldallap területe Pés Q, a közös oldalélük pedig mer®leges az alap síkjára és a-val egyenl®. Határozzukmeg a gúla térfogatát!
172. A gúla oldaléleinek hossza b. Alapja derékszög¶ háromszög, melynek befogói úgyaránylanak egymáshoz, mint m : n. Határozzuk meg a gúla térfogatát, ha az átfogóhossza c!
173. *A tetraéder lapjainak középpontjai egy újabb tetraéder csúcsai. Adjuk meg e tet-raéderek felszínének és térfogatának arányát!
174. A szabályos négyoldalú gúla alapjának átlója a, és egyenl® az oldaléllel. Határozzukmeg a gúla felszínét és térfogatát!
175. A szabályos négyoldalú csonka gúla alapélei a és b (a>b). Az oldalélek az alapsíkjával α = 45◦ szöget zárnak be. Határozzuk meg a csonka gúla térfogatát!
176. A szabályos háromoldalú csonka gúla alapélei a és b (a>b). Az oldalélek az alapsíkjával α = 60◦ szöget zárnak be. Határozzuk meg a csonka gúla térfogatát!
177. A háromoldalú csonka gúla magassága 10 m. Egyik alapjának élei 27 m, 29 m és52 m, másik alapjának kerülete pedig 72 m. Számítsuk ki a csonka gúla térfogatát!
178. A szabályos nyolcoldalú csonka gúla alapélei 0,4 m és 0,3 m, magassága pedig 0,5m. A csonka gúlát teljes gúlává egészítjük ki. Számítsuk ki a teljes gúla térfogatát!
179. A szabályos hatoldalú gúla alpéle a. Határozzuk meg a gúla térfogatát, ha ismert,hogy a palástterülete tízszer nagyobb az alapterületénél!
180. A háromoldalú gúla alapja derékszög¶ háromszög, melynek egyik szöge α = 42◦5′.Minden oldaléle l = 7 cm, és az alap síkjával β = 46◦9′ szöget zár be. Számítsuk kia térfogatát!
181. A szabályos négyoldalú gúla magassága H = 12 cm, az általa és az oldalmagasságáltal bezárt szög pedig β = 25◦24′40′′. Számítsuk ki a gúla térfogatát!
182. A szabályos háromoldalú gúla alapjának területe B = 12 cm2, oldaléle a magas-sággal β = 6◦55′24′′ szöget zár be. Számítsuk ki a gúla térfogatát!
183. A szabályos ötoldalú gúla alapéle a, oldallapja pedig α szöget zár be az alap síkjával.Határozzuk meg a gúla térfogatát!
184. A szabályos háromoldalú gúla alapéle a, oldallapja pedig ϕ szöget zár be az alapsíkjával. Határozzuk meg a gúla térfogatát és felszínét!
185. *A gúla alapja n oldalú sokszög, melynek beírt köre r sugarú. A sokszög kerülete2p, a gúla oldallapjai pedig ϕ szöget zárnak be az alap síkjával. Határozzuk meg agúla térfogatát!
186. *A szabályos háromoldalú csonka gúla alapélei a és b (a>b). Az oldalélek az alapsíkjával α szöget zárnak be. Határozzuk meg a csonka gúla térfogatát!
187. *A gúla alapja téglalap. Két oldallapja mer®leges az alap síkjára, a másik kett®pedig α és β szöget zár be vele. A gúla magassága H. Határozzuk meg a gúlatérfogatát!
188. *A gúlát � melynek alapja a és b oldalú téglalap, l oldalélei pedig egyenl®k �az alapjával párhuzamos síkkal úgy metszük, hogy a keletkez® két rész egyenl®térfogatú legyen. Határozzuk meg a gúla csúcsának távolságát a síkmetszett®l!
189. *A csúcsától mekkora távolságra kell a gúlát elmetszeni az alapjával párhuzamossíkkal, hogy a kapott részek térfogatainak aránya m : n legyen?
190. *Fejezzük ki az egyenl®él¶, ötoldalú gúla térfogatát a élének függvényében!
191. *Határozzuk meg a szabályos tízoldalú gúla palástterületét, ha az alap köré írhatókör sugara R, a gúla magassága pedig az alapél felével hosszabb R-t®l!
192. *A szabályos háromoldalú gúlába szabályos háromoldalú hasábot írunk, melynekalsó alapja a gúla alapjában van, fels® alapja pedig a gúla, alapjával párhuzamossíkmetszete. A gúla alapéle 12 cm, magassága pedig 15 cm. A hasáb palástterülete120 cm2. Határozzuk meg a hasáb és a gúla térfogatának arányát!
193. *A szabályos gúlába szabályos hasábot írunk úgy, hogy a hasáb alsó alapja a gúlaalapjában helyezkedjen el, míg a hasáb fels® alapjának csúcsai a gúla oldallapjainaksúlypontjai legyenek. Határozzuk meg a hasáb és a gúla térfogatának arányát, haa gúla a) háromoldalú, b) négyoldalú!
194. *A szabályos hasábnak és a szabályos négyoldalú csonka gúlának egyenl® a magas-sága. A hasáb alapja megegyezik a csonka gúla középs® párhuzamos síkmetszetével.Számítsuk ki a két test térfogatának különbségét, ha a csonka gúla alapélei 20 cmés 18 cm, magassága pedig 6 cm!
195. A gúla alapja téglalap, melynek kerülete 14 dm, átlója pedig 5 dm. A gúla magas-sága egyenl® a téglalap átlójával. Számítsuk ki a térfogatát!
196. A gúla alapja háromszög, melynek oldalai√5 cm,
√10 cm és
√13 cm. Számítsuk
ki a gúla térfogatát, ha a magassága 12 cm!
197. A szabályos háromoldalú gúla oldaléle 10 cm, ami az alapjával 30◦-os szöget zárbe. Számítsuk ki a gúla alapélét, majd a felszínét és a térfogatát!
198. Adott az egyenes, szabályos négyoldalú gúla alapéle a = 5√2 cm és oldaléle s = 13
cm. Számítsuk ki annak a kockának az élét, amelyet úgy írtunk a gúlába, hogy afels® négy csúcsa illeszkedjen a gúla oldaléleire!
199. *A négyoldalú gúla alapja rombusz, melynek hegyesszöge α, rövidebb átlója pedigd. Határozzuk meg a gúla felszínét, ha minden oldallapja ugyanakkora β szöget zárbe az alap síkjával!
200. *A háromoldalú gúla alapja olyan háromszög, melynek oldalai 25 cm, 29 cm és36 cm. Számítsuk ki a gúla térfogatát, ha a magassága egyenl® az alapját képez®háromszög legrövidebb magasságával!
201. A gúla magassága 16 cm, alapjának területe 512 cm2. Az alapjától 11 cm-re ésazzal párhuzamosan elmetszük a gúlát egy síkkal. Számítsuk ki a gúla térfogatát,a gúla síkmetszet feletti részének térfogatát és a csonka gúla térfogatát!
202. A szabályos négyoldalú gúla magassága H, ami az alap síkjával α szöget zár be.Egy sík tartalmazza a gúla alapjának átlóját és az alap síkjával β szöget zár be.Határozzuk meg a gúla és a sík metszetének területét!
203. A legnagyobb szög, amit a szabályos hatoldalú gúla két oldaléle egymással bezárα. Számítsuk ki a gúla térfogatát, ha az alapéle a!
204. A négyoldalú derékszög¶ gúlát akkor kapjuk, ha a téglatest egyik alapjának va-lamely csúcsát összekötjük a másik alapjának négy csúcsával. Ekkor két oldallapmer®leges az alap síkjára, a másik két oldallap pedig α = 60◦ és β = 30◦ szöget zárbe az alap síkjával. Ha a téglatest magassága H = 5 cm, számítsuk ki a téglatesttérfogatát!
205. A gúla alapja szabályos háromszög. Két oldallapja mer®leges az alap síkjára, aharmadik pedig α szöget zár be az alap síkjával. A legnagyobb oldallap magasságah. Határozzuk meg a gúla palástterületét!
206. Határozzuk meg a szabályos négyoldalú gúla térfogatát, ha átlós metszetének te-rülete S, oldaléle pedig α szöget zár be az alap síkjával!
207. A gúla alapja derékszög¶ háromszög, melynek egyik hegyesszöge α. Mindegyikoldaléle s hosszúságú és az alap síkjával β szöget zár be. Számítsuk ki a gúlatérfogatát!
208. A gúla alapja rombusz, melynek rövidebb átlója d, hegyesszöge pedig α. Mindegyikoldallapja az alap síkjával β szöget zár be. Határozzuk meg a gúla térfogatát!
209. A háromoldalú gúla√70 cm,
√99 cm és
√126 cm hosszúságú oldalélei páronként
mer®legesek egymásra. Számítsuk ki a gúla térfogatát és alapjának területét!
210. A gúla alapja négyzet. Két oldallapja mer®leges az alap síkjára, a másik kett® pedigα = 45◦ szöget zár be az alap síkjával. A � hosszúságukat tekintve � középs® oldaléls-el egyenl®. Határozzuk meg a gúla térfogatát és felszínét!
211. A háromoldalú gúla a2, b2 és c2 terület¶ oldallapjai páronként mer®legesek egy-másra. Határozzuk meg a gúla térfogatát!
IV. FEJEZET
4. FORGÁSTESTEK
4.1. A HENGER
1. Az egyenes henger palástjának területe
M = 2rπH (M � a henger palástjának területe, r � alapjának sugara , H � ma-gassága)
2. Az egyenes henger felszíne
F = 2r2π + 2rπH (F � a henger felszíne, r � alapjának sugara, H � magassága)
3. Az egyenes henger térfogata
V = r2πH (V � a henger térfogata, r � alapjának sugara , H � magassága)
256. A 3 dm magasságú körhengerbe derékszög¶ paralelepipedont írunk, amelynek azátlója 34 cm. Számítsuk ki a henger alapjának sugarát!
257. Hány négyzetméter fémlemez szükséges egy 18 m magas és 65 cm átmér®j¶ hengeralakú kémény elkészítéséhez?
258. Az egyenes körhengert a tengelyével párhuzamos síkkal metszük úgy, hogy a hengeralapját képez® körb®l a sík olyan körszeletet vágjon le, amelynek 120◦-os középpontiszög felel meg. A henger magassága 10 cm, a síkmetszet távolsága a tengelyt®l a =2 cm. Számítsuk ki a síkmetszet területét!
259. Az a oldalú négyzetet egyenes körhenger palástjává alakítjuk. Határozzuk meg ahenger térfogatát a függvényében!
260. Határozzuk meg az egyenes körhenger magassága és alapsugara közötti arányt,ha azok összege egy olyan kör átmér®je, amelynek a területe egyenl® a hengerfelszínével!
261. Mennyivel kell az egyenes körhenger magasságát megnövelni, hogy az így kapotthenger palástjának területe egyenl® legyen az eredeti henger felszínével?
262. Az egyenl® él¶ (minden éle b) háromoldalú hasáb köré körhengert írunk. Határozzukmeg a henger térfogatát!
263. A körhengerbe szabályos háromoldalú hasábot írunk, a hasábba pedig ismét hen-gert. Határozzuk meg a hengerek térfogatainak arányát!
264. Az egyenl®oldalú körhengerbe is és köré is szabályos hatoldalú hasábot írunk. Haa henger alapjának sugara r, határozzuk meg a hasábok palástterületeinek különb-ségét!
265. Az egyenes körhenger alapjának sugara r, magassága pedig H. Ha a henger r su-gárát csökkentjük x hosszúsággal, majd pedig a magasságát növeljük ugyanazzalaz x hosszúsággal, és mindkét esetben ugyanakkora térfogatú hengert kapunk, ha-tározzuk meg x értékét!
266. Az egyenes körhengert a tengelyével párhuzamos síkkal metszük. (a) Határozzukmeg a síkmetszet területét a henger r sugarának, H magasságának és a síkmetszettengelyt®l mért d távolságának függvényében! (b) Határozzuk meg a síkmetszet
területét, ha d =r√3
2, továbbá mindkét rész térfogatát is!
267. Határozzuk meg a ferde henger térfogatát, ha tengelymetszete a oldalú és α = 60◦
hegyesszög¶ rombusz!
268. Határozzuk meg az egyenes körhenger felszínét, ha magasságának és alapátmér®jé-nek aránya m : n, térfogata pedig V !
269. Számítsuk ki annak az üreges hengernek a felszínét, amelynek magassága H = 25cm, küls® palástjának alapsugara R = 15 cm, bels® palástjának alapsugara pedigr = 6 cm!
270. A 25 m hosszú rézhuzal súlya 0,1 N. Számítsuk ki a huzal átmér®jét, ha a rézspeci�kus s¶r¶sége (fajsúlya) 8,9 g/cm3!
271. Adott az egyenes körhenger felszíne F = 150, 976 m2 és palástjának területe M =94, 2478 m2. Számítsuk ki a henger magasságát!
272. Az a oldalú négyzetet olyan tengely körül forgatjuk, amely p (p >a
2) távolságra
helyezkedik el a négyzet középpontjától. A tengely a négyzet síkjában van és pár-huzamos az oldalával. Határozzuk meg a keletkez® forgástest felszínét és térfogatát!
273. *Adott két körhenger. Az egyik henger x alapsugara egyenl® a másik henger magas-ságával, míg a másik henger y alapsugara egyenl® az el®bbi henger magasságával.Mekkora a hengerek felszínének különbsége, ha a felszíneik összege 200π, a térfo-gataik összege pedig 240π?
274. *Az egyenes körhenger alapjának átmér®je 2r = 12 cm. Ha a henger tengelymet-szetének átlója d = 13 cm, számítsuk ki a hengerbe írható szabályos háromoldalúhasáb felszínét és térfogatát!
275. A körhenger felszíne 180π cm2, magasságának és alapsugarának különbsége 3 cm.Számítsuk ki a henger térfogatát!
276. Ha az egyenes körhenger palástját kiterítjük, akkor egy olyan téglalapot kapunk,amelynek átlója d hosszúságú és a téglalap alapjával α szöget zár be. Határozzukmeg a henger térfogatát!
277. Az egyenes háromoldalú hasáb alapélei a = 9 cm, b = 10 cm és c = 17 cm, magas-sága H = 30 cm. Számítsuk ki a hasábba írható körhenger térfogatát!
278. **A körhengert egy olyan síkkal metszük, amely tartalmazza egyik alapjának kö-zéppontját és ennak az alapnak a síkjával α szöget zár be. Az említett síknak ahenger másik alapjával való metszete egy b hosszúságú húr, amelynek β középpontiszög felel meg. Határozzuk meg a henger térfogatát!
279. ** A hengert egy olyan síkkal metszük, amely tartalmazza az alap körvonalánakegy pontját, az alap síkjával 60◦-os szöget zár be és a henger palástját két egyenl®részre osztja. Számítsuk ki a henger térfogatát, ha a henger felszíne 2π(1 + 2
√3)!
280. A háromszög oldalai 25 cm, 24 cm és 7 cm. Számítsuk ki azon hengerek térfogatánakkülönbségét, amelyeknek alapjait az említett háromszög beírható, illetve köré írhatókörei képezik! A hengerek magassága megegyezik a háromszög � hosszúságukattekintve � középs® magasságával.
281. *A szabályos hatszög területe 54√3 cm2. Határozzuk meg azon hengerek térfogata-
inak arányát, amelyeknek alapjait az említett hatszög beírható, illetve köré írhatókörei képezik! A hengerek magasságai megegyeznek a hatszög hosszabb átlójával.
282. *A henger alapja köré egy 50 cm2 terület¶ és 30◦ hegyesszög¶ egyenl®szárú trapéztírunk. Számítsuk ki a henger felszínét és térfogatát, ha a magassága megegyezik azemlített trapéz szárával!
283. Az egyenes hasáb alapja egyenl®szárú trapéz, melynek alapjai 8 cm és 2 cm. Ahasábba hengert írunk. Határozzuk meg a henger és a hasáb térfogatának arányát,ha magasságuk megegyezik az említett trapéz szárával!
284. *Az egyenes hasáb alapja rombusz, melynek magassága 24 cm, átlója 30 cm. Ahasábba hengert írunk. Határozzuk meg a henger és a hasáb felszínének és térfoga-tának arányát, ha a magasságuk megegyezik az említett rombusz rövidebb átlójával!
285. Az egyenes hengerbe szabályos négyoldalú hasábot írunk. A hasáb átlója az oldal-lapjával α szöget zár be, a magassága pedig H. Határozzuk meg a henger palást-jának területét!
286. A henger magasságára mer®leges síkmetszetének területe T , tengelymetszeténekterülete pedig Q. Határozzuk meg a henger felszínét és térfogatát!
287. A háromszög oldalai 10 cm, 17 cm és 21 cm. Számítsuk ki azon hengerek térfoga-tát, amelyeknek alapjait az említett háromszög beírható, illetve köré írható köreiképezik, magasságuk pedig egyenl® a háromszög legrövidebb magasságával!
288. Az egyenl®szárú trapéz alapjai 16 cm és 12 cm, magassága pedig 14 cm. Számítsukki annak a hengernek a térfogatát, melynek alapját az említett trapéz köré írhatóköre képezi, magassága pedig egyenl® a trapéz középvonalával!
289. A derékszög¶ háromszög kerülete 2p, átfogója c. Határozzuk meg annak a henger-nek a térfogatát, amelynek alapját az említett derékszög¶ háromszög beírható köreképezi, magassága pedig egyenl® a háromszög átfogójával!
290. A henger alapját a 24 cm kerület¶ és 24 cm2 terület¶ derékszög¶ háromszög köréírható köre képezi. Számítsuk ki a henger felszínét és térfogatát, ha a magasságaegyenl® alapjának átmér®jével!
4.2. A KÚP ÉS A CSONKA KÚP
1. Az egyenes kúp palástjának területe
M = rπs (M � a kúp palástjának területe, r � alapjának sugara , s � alkotója)
2. Az egyenes kúp felszíne
F = r2π + rπs (F � a kúp felszíne, r � alapjának sugara, s � alkotója)
3. Az egyenes kúp térfogata
V =1
3r2πH (V � a kúp térfogata, r � alapjának sugara , H � magassága)
4. Az egyenes csonka kúp palástjának területe
M = (r1+r2)πs (M � a csonka kúp palástjának területe, r1, r2 � alapjainak sugarai,s � alkotója)
5. Az egyenes csonka kúp felszíne
F = r21π+ r22π+(r1+ r2)πs (F � a csonka kúp felszíne, r1, r2 � alapjainak sugarai,
s � alkotója)
6. Az egyenes csonka kúp térfogata
V =Hπ
3(r21 + r1r2 + r22) (V � a csonka kúp térfogata, r1, r2 � alapjainak sugarai ,
H � magassága)
291. A kúp magassága 12 cm, tengelymetszetének területe 42 cm2. Számítsuk ki alap-jának sugarát és alkotóját!
292. Az egyenes szabályos négyoldalú gúla köré egyenes kúpot írunk . A gúla magassága7 cm, térfogata 70 cm3. Számítsuk ki a kúp alkotóját!
293. Számítsuk ki a kúp felszínét és térfogatát, ha alkotója 1 cm-rel hosszabb a magas-ságától, alapjának átmér®je pedig 1 dm!
294. A henger � alapjával párhuzamos � síkmetszete annak a kúpnak az alapját képezi,amelynek a csúcsa egybeesik a henger alapjának középpontjával. Határozzuk meg,hogy az említett síkmetszet milyen arányba osztja a henger magasságát, ha a kúppalástja a henger térfogatát két egyenl® részre bontja!
295. Az egyenes kúp alapjának kerülete p, tengelymetszete pedig derékszög¶ háromszög.Határozzuk meg a kúp felszínét és térfogatát!
296. Az egyenes kúp köré is és bele is szabályos négyoldalú gúlát írunk. A kúp alapjánaksugara r, magassága H. Határozzuk meg mindkét gúla felszínét!
297. Határozzuk meg az egyenes kúp térfogatát, ha annak a síkba kiterített palástjaolyan körcikket képez, amelynek középponti szöge 120◦-os, sugara pedig s!
298. Bizonyítsuk be, hogy ha az egyenes kúp két alkotója által közbezárt lehet® leg-nagyobb szög 120◦, akkor palástjának területe egyenl® azon henger palástjánakterületével, amelynek alapja is és magassága is megegyezik a kúp alapjával, illetvemagasságával!
299. A háromszög oldalai a = 10 cm, b = 17 cm és c = 21 cm. Számítsuk ki azon testektérfogatát, amelyek úgy keletkeznek, hogy az adott háromszöget megforgatjukminden oldala körül!
300. *Ha a háromszöget, melynek oldalai a, b és c, megforgatjuk mindegyik oldalakörül, akkor az így kapott forgástestek térfogatai fordított arányban állnak a há-romszög oldalaival. Bizonyítsuk be!
301. A kúp alkotója s és a kúp alapjának síkjával 30◦-os szöget zár be. Határozzuk mega kúp térfogatát!
302. A ferde kúp tengelymetszete derékszög¶ háromszög, melynek alapján lév® szöge:(a) α = 60◦, (b) α = 30◦, (c) α = 72◦. Határozzuk meg a kúp térfogatát, haalapjának sugara r!
303. Az egyenes kúpból olyan egyenes henger alakú üreget vájunk ki, amelynek magas-sága egyenl® a kúp magasságának felével, tengelye pedig egybeesik a kúp tenge-lyével. A kúp alapjának sugara R = 3 cm, alkotója s = 5 cm, a henger alapjánaksugara r = 1 cm. Számítsuk ki az üreges kúp térfogatát és felszínét!
304. Az egyenes kúpba kockát írunk. Számítsuk ki a kocka térfogatát, ha a kúp alapjánaksugara r = 10 cm, magassága pedig H = 12 cm!
305. Az egyenes kúp felszíne F = 96π cm2, alkotója s = 10 cm. Mekkora a kúp térfogata?
306. *A derékszög¶ háromszög befogóinak mer®leges vetületei az átfogójára 32 cm és 28cm hosszúságúak. Számítsuk ki annak a testnek a felszínét és térfogatát, amely úgykeletkezik, hogy az adott háromszöget megforgatjuk azon tengely körül, amelyilleszkedik a derékszög csúcsára és párhuzamos az átfogóval!
307. *Jelölje Va, Vb és Vc azon forgástestek térfogatát, amelyek a derékszög¶ háromszög aés b befogói, illetve c átfogója körülimegforgatásával keletkeznek. Bizonyítsuk be,
hogy e forgástestek Va, Vb és Vc térfogatára érvényes az1
V 2c
=1
V 2a
+1
V 2b
összefüggés!
308. A derékszög¶ trapézt, melynek alapjai a = 10 cm és b = 2 cm, területe pedig 90cm2, hosszabb alapja körülmegforgatjuk. Számítsuk ki az így keletkez® forgástestfelszínét és térfogatát!
309. A derékszög¶ trapézt, melynek alapjai 9 dm és 2 dm, hosszabb szára 25 dm, meg-forgatjuk rövidebb alapja körül. Számítsuk ki az így keletkez® forgástest felszínétés térfogatát!
310. *Határozzuk meg az egyenes kúp térfogatát, ha a síkba kiterített palástja olyankörcikket képez, amelynek területe M , középponti szöge pedig 270◦!
311. *A kúp palástjának területe kétszer nagyobb alapjának területét®l. Határozzuk megannak a körcikknek a középponti szögét, amelyet a kúp síkba kiterített palástjaképez!
312. *A derékszög¶ háromszög befogói 5 cm és20
3cm. A háromszöget megforgat-
juk azon tengely körül, amely tartalmazza a derékszög csúcsát és párhuzamos azátfogóval. Számítsuk ki az így keletkez® forgástest felszínét és térfogatát!
313. Határozzuk meg a kúp térfogatát, ha alapjának a hosszúságú húrjához α hosszúságúkörív tartozik, magassága pedig β szöget zár be az alkotójával!
314. Az ABC háromszög területe T , egyik oldala AC = b, egyik szöge CAB] = α.Határozzuk meg azon forgástest térfogatát, amelyet az ABC háromszög AB oldalakörüli forgatásával kapunk!
315. A kúp két alkotója, melyeknek hajlásszöge α, olyan síkot határoz meg, amely a kúpalapjának síkjával β szöget zár be. A síkmetszet területe Q. Határozzuk meg a kúpmagasságát!
316. *Tekintsük az a oldalú szabályos háromszögben azt az l egyenest, amely tartal-mazza a súlypontját és párhuzamos az egyik oldalával. Határozzuk meg azon két sík-idom területének arányát, amelyekre az említett l egyenes a háromszöget felosztja.
Mindkét síkidomot megforgatjuk külön-külön az l egyenes körül. Bizonyítsuk be,hogy az így keletkez® forgástesteknek egyenl® a felszínük és a térfogatuk!
317. *Az egyenes kúp magassága h. A kúp két egymásra mer®leges alkotója alapjánakkörvonalát két körívre osztja, amelyek közül az egyik kétszer hosszabb a másiknál.Határozzuk meg a kúp térfogatát!
318. *Határozzuk meg az egyenes csonka kúp palástjának területét, ha alkotója az alapsíkjával 30◦-os szöget zár be, tengelymetszetének területe pedig Q!
319. A kosár térfogata 10,5 liter. A kosár aljának és nyílásának sugarai 16 cm és 28 cm.Számítsuk ki a kosár mélységét!
320. Az egyenes csonka kúp alapsugarainak és alkotójának aránya 1 : 2 : 5. Milyenarányban áll a csonka kúp palástjának területe és a felszíne?
321. Az egyenes csonka kúp alapsugarainak és alkotójának aránya 1 : 4 : 5, magasságapedig 8 cm. Számítsuk ki a kúp palástjának területét!
322. Az egyenes csonka kúp alkotója s = 5 cm, alapjainak sugarai R = 5 cm és r = 1cm. Számítsuk ki annak az egyenes hengernek az alapsugarát, amelynek a csonkakúpéval megegyez® palástterülete és magassága van!
323. *A körgy¶r¶ azon cikke, amelyhez 288◦-os középponti szög tartozik, az egyenescsonka kúp síkba kiterített palástját alkotja. Határozzuk meg a csonka kúp térfo-gatát, ha a körgy¶r¶t alkotó koncentrikus körök sugarai R és r!
324. *Az r alapsugarú, egyenl®oldalú kúpot az alapjával párhuzamos síkkal elmetszükúgy, hogy a keletkez® kis kúp és csonka kúp palástterületei közütti arány 1 : 3legyen. Határozzuk meg a csonka kúp palástjának területe és alapjai területénekösszege közötti arányt!
325. Az egyenes csonka kúpba, melynek magassága H, alapsugarai R és r, szabályosnégyoldalú csonka gúlát írunk. Határozzuk meg a csonka gúla térfogatát!
326. Az egyenes csonka kúpba is és köré is szabályos hatoldalú gúlát írunk. Határozzukmeg mindkét csonka gúla térfogatát, ha a csonka kúp magassága H, alapjainaksugari pedig R és r!
327. A derékszög¶ trapézt, melynek alapjai a = 10 cm és b = 2 cm, magassága 15cm, megforgatjuk a trapéz rövidebb szára körül. Számítsuk ki az így keletkez®forgástest felszínét és térfogatát!
328. A derékszög¶ trapézt, melynek alapjai a = 9 cm és b = 4 cm, hosszabb szárapedig 13 cm, megforgatjuk azon tengely körül, amely párhuzamos a trapéz ma-gasságával, annak síkjában található és 1 cm távolságra helyezkedik el a derékszögcsúcsától. A forgástengely nem metszi a trapézt. Számítsuk ki az így keletkez®forgástest felszínét és térfogatát!
329. Az egyenes csonka kúp felszíne F = 216π dm2, alapsugarainak különbsége 5 dm,alkotója pedig 13 dm. Számítsuk ki a csonka kúp térfogatát!
330. *Az R = 5 cm sugarú kör egy egyenes henger és egy egyenes kúp közös alapjátképezi. A két forgástestnek azonos a felszíne és a térfogata. Számítsuk ki a kúpazon részének térfogatát, amely a hengerhez tartozik!
331. Ha a csonka kúp tengelymetszetébe lehet kört írni, akkor
(a) H = 2√R · r, (b) M = πs2, (c) V =
1
3F ·H,
ahol R és r a csonka kúp alapsugarai, H a magassága, s az alkotója, M a palást-területe, F a felszíne és V a térfogata. Bizonyítsuk be!
332. *A csonka kúp egyik alapjának sugara kétszer nagyobb a másik alapjának sugará-tól, palástjának területe pedig egyenl® alapjai területének összegével. Számítsuk kia csonka kúp térfogatát, ha a tengelymetszete 36 m2!
333. *A rombuszt, melynek átlói 3 dm és 4 dm, megforgatjuk azon magassága körül,amely tartalmazza a rombusz középpontját. Számítsuk ki a keletkez® forgástesttérfogatát!
334. *A téglalapot, melynek oldalai 20 cm és 15 cm, megforgatjuk valamelyik átlójakörül. Számítsuk ki az így létrejöv® forgástest felszínét!
335. Az egyenl®szárú trapézt, melynek alapjai a = 20 cm és b = 8 cm, szára pedig10 cm, megforgatjuk azon tengely körül, amely a trapéz síkjában helyezkedik el,párhuzamosan a trapéz hosszabb alapjával, attól 2,5 cm távolságra. A forgástengelynem metszi a trapézt. Számítsuk ki az így keletkez® forgástest felszínét és térfogatát!
336. *A trapézt egyszer megforgatjuk a hosszabb alapja körül, majd mégegyszer arövidebb alapja körül. A trapéz e két forgatása során keletkez® forgástestek térfo-gatának aránya 3 : 4. Határozzuk meg a trapéz alapjainak arányát!
337. *A csonka kúp alapjainak sugarai R és r, alkotója az alap síkjával α szöget zár be.Határozzuk meg a csonka kúp palástjának területét és a térfogatát!
338. *A csonka kúp egyik alapjának területe négyszer nagyobb a másik alapjának te-rületénél. Alkotója, melynek hossza s, a nagyobb alap síkjával α szöget zár be.Határozzuk meg a csonka kúp térfogatát!
339. *Az egyenl®szárú trapéz alapjai a = 25 cm és b = 7 cm, átlói pedig mer®legesek aszárakra. Számítsuk ki annak a forgástestnek a felszínét és térfogatát, amelyet azadott trapéz egyik szára körüli forgatásával kapunk!
340. *A V térfogatú kúp magasságát három egyenl® részre osztjuk. Az alapjával párhu-zamos és az osztópontokra illeszked® síkokkal metszük a kúpot. Határozzuk megaz így kapott kúprészek közül a középs®nek a térfogatát!
341. *Az egyenl®szárú trapéz középvonala m, átlói mer®legesek egymásra, egyik hegyes-szöge pedig 60◦. A trapéztmegforgatjuk azon tengely körül, amely annak síkjábanvan, áthalad a hosszab alapján lév® egyik csúcsán és mer®leges arra az átlójára,amely tartalmazza ugyanezt a csúcsot. Határozzuk meg az így keletkez® forgástesttérfogatát!
342. Számítsuk ki a csonka kúp felszínét és térfogatát, ha alapjainak területe 25π cm2
és 4π cm2, palástjának területe pedig 35π cm2!
343. Az a oldalú szabályos háromszögetmegforgatjuk azon tengely körül, amely illesz-kedik a háromszög valamely csúcsára és párhuzamos e csúccsal szemközti oldalával.Határozzuk meg az így keletkez® forgástest felszínét és térfogatát!
344. Az a oldalú ABC szabályos háromszögetmegforgatjuk azon tengely körül, amelyáthalad a háromszög A csúcsán és párhuzamos a B csúcsához tartozó magasságával.Határozzuk meg az így keletkez® forgástest felszínét és térfogatát!
345. *Az a oldalú ABCD rombusztmegforgatjuk el®ször az AB oldala körül, majd azAC átlója körül. Legyen e két forgatás során keletkez® testek térfogata V1 és V2. HaV1 : V2 = 9 :
√3, határozzuk meg a rombusz hegyesszögét! Ezután határozzuk meg
annak a testnek a térfogatát, amelyet a rombusz azon tengely körüli forgatásávalkapunk, amely áthalad a rombusz hegyesszögénél lév® A csúcsán és mer®leges azAB oldalára!
346. Határozzuk meg a kúp felszínét, ha alkotója α szöget zár be az alap síkjával, ten-gelymetszetének területe pedig S!
347. A csonka kúp alapsugarai és alkotója úgy aránylik egymáshoz, mint 3 : 11 : 17.Számítsuk ki a csonka kúp felszínét, ha a térfogata 815π cm3!
348. Az egyenes kúp átlós metszetének csúcsánál lév® szöge ϕ. A magasságának és al-kotójának összege a. Határozzuk meg a kúp térfogatát!
349. A ferde kúp leghosszabb és legrövidebb alkotója S = 22 és s = 6√3. Az általuk
bezárt szög γ = 30◦. Számítsuk ki a kúp térfogatát!
350. Adott az ABC tompaszög¶ háromszög α tompaszöge, B csúcsánál lév® β szöge ésAB = c oldala. Határozzuk meg annak a forgástestnek a térfogatát, amelyet azadott háromszög AB oldala körüli forgatásával kapunk!
351. A szabályos hatoldalú gúla köré is és bele is egyenes kúpot írunk. Ha a gúla ma-gassága H, a köré írt kúp alapjának sugara pedig R, határozzuk meg a kúpoktérfogtának különbségét!
352. A kúp alapjának sugara R, alkotója az alap síkjával α szöget zár be. A kúpot olyansíkkal metszük, amely tartalmazza annak csúcsát és a magasságával ϕ szöget zárbe. Határozzuk meg a kúp síkmetszetének területét!
353. A háromszög köré írható körének sugara R =7√3
3, a és b oldalának különbsége 5,
harmadik oldala pedig c = 7. A háromszöget megforgatjuk a leghosszabb oldalakörül. Számítsuk ki az így keletkez® forgástest felszínét és térfogatát!
354. A háromszög köré írható körének sugara R =7√3
3, a és b oldalának különbsége
3, egyik szöge γ = 60◦. A háromszöget megforgatjuk a leghosszabb oldala körül.Számítsuk ki az így keletkez® forgástest felszínét és térfogatát!
355. A kúp alkotója az alap síkjával 30◦-os szöget zár be. A kúp palástjának területe3π√3 m2. Számítsuk ki a kúpba írható szabályos hatoldalú gúla térfogatát!
356. A kúpot a T terület¶ derékszög¶ háromszög egyik befogója körüli megforgatá-sával kapjuk. Határozzuk meg a kúp térfogatát, ha a forgatás során a háromszögsúlypontja L kerület¶ kört ír le!
357. A kúp felszíne πS. A síkba kiterített palástja olyan körcikket képez, amelynekközépponti szöge 60◦. Határozzuk meg a kúp térfogatát!
358. A kúp alapjának sugara R. A síkba kiterített palástja olyan körcikket képez, amely-nek középponti szöge 90◦. Határozzuk meg a kúp térfogatát!
359. A kúp magassága H. A síkba kiterített palástja olyan körcikket képez, amelynekközépponti szöge 120◦. Határozzuk meg a kúp felszínét és térfogatát!
360. A 2p kerület¶ paralelogrammát megforgatjuk azon tengely körül, amely mer®le-ges a paralelogramma d hosszúságú átlójára és áthalad annak egyik végpontján.Határozzuk meg a keletkez® forgástest felszínét!
361. Az egyenes kúp alapjának sugara R, palástjának területe pedig egyenl® az átlósmetszet területének és az alap területének összegével. Határozzuk meg a kúp térfo-gatát!
362. Az egyenl®szárú trapéz középvonala 3√2, egyik szöge 60◦, átlói pedig mer®lege-
sek egymásra. A trapézt megforgatjuk azon tengely körül, amely annak síkjábanvan, áthalad a hosszab alapján lév® egyik csúcsán és mer®leges arra az átlójára,amely tartalmazza ugyanezt a csúcsot. Határozzuk meg az így keletkez® forgástesttérfogatát!
363. Az egyenl®szárú trapézt, amelynek alapjai 2 cm és 3 cm, hegyesszöge pedig 60◦,megforgatjuk rövidebb alapja körül. Számítsuk ki a keletkez® forgástest felszínétés térfogatát!
364. A rombusz rövidebb átlója egyenl® annak a oldalával. A rombuszt megforgatjukazon tengely körül, amely illeszkedik egyik hegyesszögének csúcsára és mer®leges ahosszabb átlójára. Határozzuk meg az így keletkez® forgástest felszínét és térfoga-tát!
4.3. A GÖMB, A GÖMBSÜVEG ÉS A GÖMBÖV FELSZÍNE. AGÖMB, A GÖMBCIKK ÉS A GÖMBSZELET TÉRFOGATA
1. A gömbsüveg felszíne
F = 2Rπh (F � a gömbsüveg felszíne, R � a gömb sugara, h � a süveg magassága)
2. A gömböv felszíne
F = 2rπh (F � a gömböv felszíne, R � a gömb sugara, h � az öv magassága)
3. A gömb felszíne
F = 4R2π (F � a gömb felszíne, R � a gömb sugara)
4. A gömb térfogata
V =4
3R3π (V � a gömb térfogata, R � a gömb sugara)
5. A gömbcikk térfogata
V =2
3R2πh (V � a gömbcikk térfogata, R � a gömb sugara, h � a gömbsüveg
magassága)
6. A gömbszelet térfogata
V =h2π
3(3R−h) (V � a gömbszelet térfogata, R � a gömb sugara, h � a gömbszelet
magassága)
6. A gömbréteg térfogata
V =hπ
6(3r21+3r22+h
2) (V � a gömbréteg térfogata, r1, r2 � a gömbréteget határoló
körök sugarai, h � a gömbréteg magassága)
365. A gömb felszíne egyenl® a gömb köré írt henger palástjának a területével. Bizonyít-suk be!
366. A gömböv magassága 7 cm, alapjainak sugarai pedig 16 cm és 33 cm. Számítsuk ki agömböv felszínét, ha alapjai a gömb középpontjának ugyanazon oldalán találhatók!
367. Az R sugarú gömb középpontjától mekkora távolságra kell elhelyezni egy világítópontot, hogy az a gömb felszínének harmadrészét világítsa meg?
368. A körszeletet, amelynek területe Q, és amelyhez2π
3hosszúságú körív tartozik, meg-
forgatjuk a magassága körül. Határozzuk meg az így keletkez® forgástest felszínét!
369. A szabályos háromoldalú hasábba, melynek alapéle a, gömböt írunk. Határozzukmeg mindkét test felszínét és térfogatát, valamint a felszíneik arányát!
370. A szabályos négyoldalú hasáb magassága 2 cm, alapéle pedig 4 cm. Számítsuk ki ahasáb köré írható gömb sugarát!
371. A π m2 felszín¶ gömbbe olyan hengert írunk, amelynek tengelymetszete 48 dm2
terület¶. Számítsuk ki a henger felszínét és térfogatát!
372. Az a él¶ szabályos tetraéderbe és köré is gömböt írunk. Határozzuk meg mindkétgömb sugarát!
373. A félgömbbe olyan egyenes körkúpot írunk, amelynek az alapsugara egyenl® a ma-gasságával. A kúp térfogata hányad részét képezi a félgömb térfogatának?
374. A szabályos egyenl®él¶ négyoldalú gúlába, melynek éle a, gömböt írunk. Határozzukmeg a gömb sugarát és térfogatát!
375. *A szabályos négyoldalú gúla alapéle a, oldaléle pedig3a√2. Határozzuk meg a gúla
térfogatát, valamint a köré írható gömb sugarát!
376. *A szabályos háromoldalú csonka gúla magassága 17 cm, az alapjai köré írhatókörök sugarai pedig 5 cm és 12 cm. Számítsuk ki a csonka gúla köré írható gömbsugarát!
377. Az r sugarú gömbbe olyan kúpot írunk, amelynek magassága egyenl® alapjánaksugarával. Határozzuk meg a kúp felszínét és térfogatát!
378. A négyzetbe kört és olyan egyenl®szárú háromszöget írunk, amelynek alapja egybe-esik a négyzet egyik oldalával. Ha mindhárom síkidomot megforgatjuk azon tengelykörül, amely illeszkedik a kör középpontjára és mer®leges a négyzet és a háromszögközös oldalára, akkor egy henger, egy gömb és egy kúp keletkezik.
(a) Hogyan aránylik egymáshoz a kúp palástterülete, a henger palástterülete és agömb felszíne?
(b) Hogyan aránylik egymáshoz a három test felszíne?
(c) Hogyan aránylik egymáshoz a három test térfogata?
379. *A gömb köré olyan egyenes csonka kúpot írunk, amelynek alapsugarai R és r.Bizonyítsuk be, hogy a gömb sugara egyenl® a csonka kúp alapsugarainak mértaniközépértékével!
380. *Az r sugarú gömb valamely gömbszeletének térfogata háromszor nagyobb az abbaírható legnagyobb gömb térfogatától. Határozzuk meg a gömbszelet térfogatát!
381. A gömbbe r sugarú és h magasságú kúpot írunk. Határozzuk meg annak a gömb-szeletnek a felszínét és a térfogatát, amelynek alapja és magassága megegyezik akúp alapjával és magasságával!
382. Az R sugarú gömbbe olyan hengert írunk, amelynek tengelye illeszkedik a gömb
középpontjára, alapsugara pedigR
2. Határozzuk meg annak az összetett testnek a
térfogatát, amelyet a henger és a megfelel® gömbszeletek alkotnak!
383. Az R sugarú gömbbe szabályos tetraédert írunk. Határozzuk meg a tetraéder tér-fogatát!
384. A kúpba két gömböt írunk, amelyek kívülr®l érintik egymást. Az egyik gömb sugaraR, térfogata pedig nyolcszor kisebb a másik térfogatánal. Határozzuk meg a kúppalástjának területét és a térfogatát!
385. *A gömbbe kúpot írunk. A gömb középpontja a kúp magasságát úgy bontja kétszakaszra, hogy a hosszabb szakasz egyenl® a rövidebb szakasz és a teljes magasságmértani középértékével. Határozzuk meg a gömb és a kúp térfogatának arányát!
386. *A csonka kúp palástjának területe egyenl® annak a körnek a területével, amelyneksugara a csonka kúp alkotója. Bizonyítsuk be, hogy a csonka kúpba lehet gömbötírni!
387. *Az R sugarú gömb köré csonka kúpot írunk. Az egyik alap területe kétszer kisebba másik alap területénél. Határozzuk meg a csonka kúp térfogatát!
388. A félgömb alapjára, melynek sugara r = 10 cm, 30 cm magasságú kúpot állítunk.Számítsuk ki a gömböv kúpon kívül es® felszínét!
389. Az R = 8 dm sugarú gömbbe kúpot írunk, amelynek a magassága egyenl® alapjánakátmér®jével. Számítsuk ki a kúp felszínét és térfogatát!
390. Határozzuk meg két egybevágó gömb közös részének térfogatát, ha az egyik közép-pontja a másik felületén található!
391. A gömböt, középpontjának ugyanazon oldalán, két párhuzamos síkkal metszük. Asíkok távolsága 9 cm, a síkmetszetekként kapott körök területei 400π cm2 és 49πcm2. Számítsuk ki a gömb felszínét és térfogatát, valamint a gömböv felszínét és agömbréteg térfogatát!
392. *Határozzuk meg annak az egyenes körkúpnak a felszínét, amelyet a 2r átmér®j¶gömb köré írunk, és amelynek a magassága kétszer nagyobb a gömb átmér®jét®l!
393. Számítsuk ki a gömb azon részének felszínét, amely az A pontból látszik, ha a gömbsugara R = 4 cm, az A pont távolsága a gömb középpontjától pedig d = 8 cm!
394. Számítsuk ki a gömböv felszínét, ha a gömb sugara R = 65 cm, az övet határolókövonalak sugarai pedig r1 = 33 cm és r2 = 25 cm!
395. *A kúpba gömböt írunk. Határozzuk meg a gömb térfogatát, ha a kúp s alkotójaα szöget zár be az alap síkjával!
396. *A gömbbe olyan kúpot írunk, amelynek térfogata egyenl® a gömb térfogatánaknegyedével. Határozzuk meg a gömb térfogatát, ha a kúp magassága H!
397. *A kúpH magassága egybeesik a gömb átmér®jével. Határozzuk meg a gömb kúponkívüli részének térfogatát, ha a kúp magassága és alkotója által bezárt szög α!
398. *Határozzuk meg a kúp magassága és alkotója által bezárt szöget, ha a kúp pa-lástját két egyenl® terület¶ részre osztja az a gömbfelület, amelynek középpontja akúp csúcsában található, sugara pedig egyenl® a kúp magasságával!
399. *Az R sugarú körbe négyzetet és olyan szabályos háromszöget írunk, amelynekegyik oldala párhuzamos a négyzet egyik oldalával. Ha a síkidomokat megforgatjukközös szimmetriatengelyük körül, akkor egy henger, egy kúp és egy gömb keletkezik.Bizonyítsuk be, hogy:
(a) a henger felszíne egyenl® a gömb és a kúp felszínének mértani középértékével;
(b) a henger térfogata egyenl® a gömb és a kúp térfogatának mértani középértékével!
400. *Adott az R sugarú gömb. Határozzuk meg annak a kisebb gömbnek a sugarát,amely koncentrikus az adott gömbbel, a térfogata pedig egyenl® az adott gömbtérfogatának és az adott gömb kisebb gömbön kívül es® része térfogatának mértaniközépértékével!
401. *Az R sugarú gömböt egy síkkal két részre osztjuk úgy, hogy az így kapott gömb-süvegek felszínének aránya 1 : 3 legyen. Milyen arányban áll ekkor a kapott gömb-szeletek térfogata? Határozzuk meg annak a gömb köré írt kúpnak a felszínét ésa térfogatát, amely a gömböt az említett sík és a gömbfelület metszetekén kapottkörvonalon érinti!
402. *A gömb köré egyenes csonka kúpot írunk. Bizonyítsuk be, hogy a gömb felszínekisebb a csonka kúp felszínénél!
403. Az egyenes körkúp alapjának síkja érinti a gömbfelületet, a kúp csúcsa pedig egy-beesik a gömbfelület középpontjával. Határozzuk meg a kúp magassága és alkotójaáltal bezárt szöget, ha a gömbfelület felszíne egyenl® a kúp felszínével!
404. Egy asztalon négy gömböt úgy helyeztünk el, hogy mindegyik érinti az asztalt ésa másik három gömböt. Három gömb sugara R. Határozzuk meg a negyedik gömbsugarát!
405. *Az ABC háromszög oldalai a, b és c. Határozzuk meg azon gömbfelületek sugarait,amelyek érintik egymást, az ABC háromszög síkját pedig az A, B és C pontokbanérintik!
406. Határozzuk meg a szabályos négyoldalú gúlába írható gömb sugarát, ha a gúlaalapéle a, oldallapjai pedig α szöget zárnak be az alap síkjával!
407. A gömbfelületet két párhuzamos síkkal metszük, amelyek a gömbfelület középpont-jának ugyanazon oldalán helyezkednek el, a köztük lév® távolság pedig 3 cm. Asíkmetszetekként kapott körvonalak sugarai 9 cm és 12 cm. Számítsuk ki a gömb-felület felszínét!
408. Három gömb sugara úgy aránylik egymáshoz, mint 1 : 4 : 8, térfogataik összege
pedig2308π
3. Határozzuk meg annak a gömbnek a térfogatát, amelynek a felszíne
egyenl® az említett három gömb felszínének össszegével!
409. A paralelepipedon éleinek aránya 2 : 3 : 6, felszínének és térfogatának mér®számapedig megegyezik. Számítsuk ki annak a gömbfelületnek a sugarát (és a megfelel®gömbnek a térfogatát), amelyet az említett paralelepipedon köré írhatunk!
410. Az R sugarú gömbfelület átmér®jét két párhuzamos síkkal három egyenl® részreosztjuk. Határozzuk meg a gömbfelület e síkokkal való metszése során keletkez®gömbsüvegek és gömböv felszínét!
411. *Az R = 1,5 cm sugarú gömbfelület köré olyan egyenes kúpot írunk, amelynekalapterülete egyenl® a kúp felszínével. Határozzuk meg a megfelel® gömb és a kúptérfogatának arányát!
412. Adott az r sugarú gömb. A gömb köré hengert és egyenl® oldalú kúpot írunk.Határozzuk meg milyen arányban áll a három test térfogata!
413. A kúpba gömböt írunk. A gömb felszíne és a kúp alapterülete közötti arány 4 : 3.Határozzuk meg a kúp nyílásszögét!
414. A V térfogatú gömbbe kúpot írunk. A kúp nyílásszöge α. Határozzuk meg a kúptérfogatát!
415. Az egyenes kúpba, melynek alkotója s = 50 cm, alapsugara pedig R = 30 cm,gömböt írunk. Határozzuk meg milyen arányban áll a felszínük és a térfogatuk!
416. Az R sugarú gömbbe kúpot írunk. A kúp alkotója az alap síkjával α szöget zár be.Határozzuk meg a kúp térfogatát!
417. A kúpba olyan gömböt írunk, amelynek felszíne egyenl® a kúp alapjának területével.Határozzuk meg a kúp nyílásszögének koszinuszát!
418. Az R sugarú félgömbbe kockát írunk úgy, hogy annak négy csúcsa a félgömb alap-jához tartozzon, a másik négy csúcsa pedig a félgömb-felülethez. Határozzuk mega kocka térfogatát!
419. Az R sugarú gömb köré szabályos hatoldalú hasábot írunk. Határozzuk meg afelszínét!
420. Az R sugarú gömbbe szabályos hatoldalú csonka gúlát írunk. A csonka gúla alapjaabban a síkban van, amely tartalmazza a gömb középpontját. Határozzuk meg acsonka gúla térfogatát!
421. A gömb köré egyenes paralelepipedont írunk. A paralelepipedon alapjának átlói aés b. Határozzuk meg a paralelepipedon felszínét!
422. Az R sugarú gömbbe szabályos négyoldalú gúlát írunk. Határozzuk meg a gúlatérfogatát, ha az alapja köré írható körvonal sugara r!
423. A gömb köré szabályos háromoldalú hasábot írunk, majd a hasáb köré újabb göm-böt írunk. Határozzuk meg a gömbök felszínének arányát!