1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

В. Н. Кокорин, В. И. Филимонов, Е. М. Булыжев

ННААУУЧЧННЫЫЕЕ ООССННООВВЫЫ ТТЕЕХХННООЛЛООГГИИИИ

ППРРЕЕССССООВВААННИИЯЯ ИИЗЗ ППООЛЛИИДДИИССППЕЕРРССННЫЫХХ

ММЕЕТТААЛЛЛЛИИЧЧЕЕССККИИХХ ППООРРООШШККООВВ

СС ППЛЛООТТННООУУППААККООВВААННННООЙЙ ССТТРРУУККТТУУРРООЙЙ

Ульяновск

2010

2

УДК 620.186 (076) ББК 34.62 я 7 Т 34

Рецензенты: д-р техн. наук, профессор, президент УлГУ Полянсков Ю.В.; канд. техн. наук, ген. директор ОАО «Ульяновский НИАТ» Марковцев В.А. Научный редактор заведующий кафедрой «Материаловедение и ОМД», доцент, канд. техн. наук В. Н. Кокорин.

УДК 620.186 (076) Кокорин, В. Н.

Научные основы технологии прессования из полидисперсных металличе-ских порошков с плотноупакованной структурой / В. Н. Кокорин, В. И. Фили-монов, Е. М. Булыжев. – Ульяновск : УлГТУ, 2010. – 152 с.

В монографии с современных позиций показаны новейшие технологии прессования полидиперсных порошковых материалов. Описаны технологические системы, изложены ре-комендации по повышению эффективности процесса консолидации порошков при получе-нии плотноупакованных изделий.

Книга предназначена для студентов вузов, обучающихся по специальности «Машины и технология обработки металлов давлением», может быть использована при изучении кур-сов «Теория обработки металлов давлением», «Специальные способы обработки металлов давлением», «Основы физического металловедения», а также может быть использована для студентов, обучающихся по специальности «Порошковая металлургия и композиционные материалы».

Печатается в авторской редакции.

Кокорин В.Н., В.И. Филимонов, Е.М. Булыжев, 2010

ISBN 978-5-9795-0675-3 Оформление. УлГТУ, 2010

3

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ……………………………………………………………………

5

1. Основные сведения из механики деформируемых твердых тел …...... 6 1.1. Тензор напряжений и дифференциальные уравнения равновесия….. 6 1.2. Интегральные условия равновесия…………………………………..... 11 1.3. Главные напряжения……………………………………………………. 15 1.4. Преобразование компонент тензора напряжений…………………….. 18 1.5. Понятие интенсивности напряжений………………………………….. 22 1.6. Круговая диаграмма напряжений Мора .....…………………………… 22 1.7. Плоская задача теории пластичности………………………………….. 29 1.8. Движение сплошной среды. Деформации…………………………….. 34 1.9. Условие совместности деформаций…………………………………. 37 1.10. Модели пластического формоизменения и условия пластичности... 41 1.11. Физические уравнения. Теория пластичности…………………….....

45

2. Теоретические исследования процесса интенсивного уплотнения гетерогенных механических смесей…………………………….………..

48

2.1. Компактирование порошка в присутствии жидкости (флюида)…….. 48 2.1.1. Влияющие факторы и модельное представление…..…………. 48 2.1.2. Сопротивление компаунда «порошок-флюид» уплотнению…. 53 2.2. Преимущественное упругое уплотнение……………………………… 55 2.2.1. Модельное представление структуры упругой среды…………. 55 2.2.2. Модели укладки и геометрические параметры…………………. 59 2.2.3. Силовые факторы, действующие на индивидуальную частицу.. 61 2.2.4. Расчет сил, смещений и размеров контактной зоны……………. 62 2.2.5. Определение границ упругой области………………………… 67 2.3. Отвод флюида при уплотнении порошковой смеси………………….. 69 2.3.1. Разрешающие уравнения……………………………………..…. 69 2.3.2. Расчет объема отвода флюида…………………………………….. 73 2.3.3. Влияние капиллярных явлений………………………………….... 78 2.4. Преимущественно пластическое деформирование увлажненной

порошковой смеси…………………………………………………….……..

80 2.4.1. Прессование в закрытой матрице………………………………… 81 2.4.1.1. Напряжения в теле прессовки………………………….. 81 2.4.1.2. Удельная сила на пуансоне…………………………..… 84 2.4.1.3. Изменение плотности прессовки………………………. 87 2.4.2. Выдавливание с противодавлением…………………………….... 88 2.4.3. Влияние схемы нагружения на интенсификацию процесса….

95

4

3. Аналитико-экспериментальные исследования процесса интенсивного уплотнения и структурообразования……….…………..

98

3.1. Программа и средства аналитико-экспериментальных исследований 98 3.1.1. Цель и задачи исследований……………………………………... 98 3.1.2. Основные факторы процесса и применяемые методы…………. 98 3.1.3. Программа исследования и применяемые средства……………. 99 3.1.4. Применяемые материалы……………………………………….... 100 3.2. Исследование механизма структурообразования в процессе уплот-

нения с использованием эффекта межчастичного сращивания…………...

102 3.2.1. Моделирование структурообразования при интенсивном пла-

стическом деформировании порошков в гетерогенных увлажненных механических смесях……………………………………………………..…

103 3.2.2. Модель роста зерен при межчастичном сращивании…………. 106 3.3. Экспериментальные исследования процессов консолидации железо-

содержащих механических смесей с различным фазовым состоянием….

109 3.3.1. Технологические и предельные параметры гетерогенной

структуры механической смеси в процессе интенсивного уплотнения…

109 3.3.2. Установление общих закономерностей постадийного уплотне-

ния механических смесей с различным фазовым состоянием……………

114 3.3.3. Металлографические исследования явления межчастичного

сращивания……………………………………………………………………

128 3.4. Исследование физико-механических свойств консолидированной

структуры……………………………………………………………………..

138 3.4.1. Механические свойства…………………………………………. 138 3.4.2. Физические свойства………………………………………………

145

Выводы ..................................................................................................................

150

Библиографический список .............................................................................. 152

5

ВВЕДЕНИЕ

Характерной тенденцией современного промышленного производства яв-

ляется создание новых машин и механизмов с высокими рабочими параметра-ми на основе использования заготовок и деталей с высоким уровнем техноло-гических и потребительских свойств.

Основным потребителем высокоплотных заготовок и деталей являются отрасли автомобилестроения, машиностроения, прокатки и ряд других. Высокоплотные механические смеси могут применяться в качестве исходных заготовок при изготовлении металлопроката, при получении изделий типа «фольг», в процессах интенсивного пластического деформирования (формооб-разования) по схемам ДГП, гидроштамповки, ХОШ; в качестве брикетов (вто-ричное сырье) в процессах промышленного рециклинга твердых техногенных отходов металлургических комбинатов; в качестве деталей конструкционного назначения.

В условиях интенсивно ухудшающейся экологической обстановки, исто-щения сырьевой базы, постоянного роста производственных и транспортных затрат все более актуальными становятся проблемы утилизации отходов метал-лургических производств.

Настоящие проблемы являются общими для всех отечественных произ-водств черной металлургии.

Разработка и использование новых оптимальных технологий консолида-ции железосодержащих дисперсных мате6риалов при обеспечении интенсивно-го пластического структурообразования и создания условий установления меж-частичного сращивания, образования ювенильного контакта позволит сущест-венно повысить плотность структуры и уровень физико-механических свойств порошковых изделий, приближая по уровню компактным материалам, благода-ря чему существенно расширяется область их применения,; при этом сокраща-ется доля деталей, изготавливаемых традиционными технологиями с использо-ванием литья и обработки давлением при обеспечении существенного ресур-сосбережения, энерго- и станкоемкости, что определяет актуальность направ-ления исследований.

6

x 1

x 3

Рис. 1.1. К определению вектора напряжений

x 2

nF

σ nστ

σΝ

1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

В настоящем разделе приводятся основные сведения, относящиеся к мо-

делированию в механике деформируемых твердых тел (МДТТ), преимущест-венно в приложении к пластическому формоизменению порошковых уплот-няемых сред [1].

1.1. Тензор напряжений и дифференциальные уравнения равновесия

Внешние силы и компоненты вектора напряжений на наклонной

площадке

На деформируемое тело воздействуют внешние силовые факторы. Эти факторы могут быть поверхностными или объемными. Рассмотрим некое де-формируемое тело, рассеченное плоскостью (рис. 1.1).

Зададим направление

n для полученной площадки среза. Выделим эле-

ментарную площадку среза dA, на которую воздействует внешняя сила

Fd , и

определим вектор напряжений

n :

dA

dF

dAn

lim0

. (1.1)

Свяжем площадку с системой координат, у которой две оси будут лежать в плоскости площадки, а одна перпендикулярно к ней. Пусть вектор напряже-ний располагается под некоторым углом по отношению к оси x3. Очевидно,

можно определить проекцию данного вектора напряжений на нормаль

n к площадке, совпадающей с осью x3. Тогда модуль вектора напряжений может быть связан с нормальным N и касательным напряжением следующей зави-симостью:

7

22N

n . (1.2)

Вектор напряжений n

может быть разложен по проекциям, а проекции

могут быть соответствующим образом обозначены через их абсолютные вели-чины и орты осей (рис. 1.2):

niien

, (1.3)

где ie

– орты осей; ni – проекции вектора напряжений на соответствующие

оси.

В записи (1.3) использовано правило Эйнштейна: если в записи при ум-

ножении индексированных объектов имеет место совпадение двух индексов, то по ним производится суммирование. Ниже дана иллюстрация правила Эйн-штейна.

3322113

1iσe

iσe

iσe

jijσj

eijσj

e

. (1.4)

На основании формулы (1.4) вектор напряжений n

(см. формулу (1.3)) в

связи с коммутативностью множителей имеет вид:

ieeeeni

nnnn

332211 . (1.5)

Направляющий (единичный) вектор n

в разложении по триаде орт имеет

вид:

ii enn

, (1.6)

где i

n – направляющие косинусы.

Если вектор K

, определяющий положение площадки, не единичный, то он подлежит нормировке по формуле:

x 3

σ 2n

e 1 e 2x 2

Рис. 1.2. Разложение вектора напряжений на составляющие

x 1

σ n

σ 3n

e 3

8

n =Ki e i

|K |, (1.7)

где

iK – компоненты вектора. Покажем, что компоненты направляющего вектора в формуле (1.6) дейст-

вительно являются направляющими косинусами, для чего умножим скалярно это уравнение на какой-либо орт, например, ke

:

ik

ke

ie

innk

e

, (1.8)

где ik

– символ Кронеккера.

Ввиду единичности модуля орт, символ Кронеккера определяется таким образом:

ke

ie

ik

;

ki

kiik 0

1 . (1.9)

Свойство символа Кронеккера:

kn

ikin , (1.10)

т.е. он производит замену (поднятие) индекса. Покажем, что формула (1.10) справедлива, взяв, например, k = 1:

νδνδνδνδιν ι 13132121111 ,

поскольку 111 ; 01312 . Очевидно, аналогичные соотношения можно получить и для других зна-

чений «k». С другой стороны, формула (1.8) может быть представлена в ином виде:

)en(n)en()en(|e||n|en kkkkkk

coscos11cos ,

откуда видно, что компоненты направляющего вектора действительно пред-ставляют собой косинусы углов между нормалью к площадке и направлением соответствующей оси системы координат.

Напряжения на наклонной к осям координат площадке Рассмотрим напряжения, действующие на четырехгранник (рис. 1.3) с це-

лью определения компонент вектора напряжений, приложенного к наклонной площадке. Пусть dA – площадь наклонной грани; dA1, dA2 , dA3 – площади гра-ней, расположенных перпендикулярно соответствующим координатным осям. Очевидно, площади индексированных граней можно выразить через площадь наклонной грани:

iii n dA α dA dA cos , (1.11)

где i – угол между наклонной площадкой и осью системы координат, т.е. на-правляющий косинус.

Найдем проекцию всех сил, действующих на данную треугольную пира-миду, на какую-либо из осей, например, ось х1:

9

0 33122111111 dA σ dA σ dA σdA : σx n . (1.12) Подставляя (1.11) в формулу (1.12), получим:

kkiin nnnnn 113312211111 ,

откуда, с учетом правила суммирования Эйнштейна и обобщения на произ-вольную ось, имеем окончательно:

jijnj n , (1.13)

где j – свободный индекс.

Величины nj являются составляющими полного вектора напряжений

n

на ось xj, а компоненты тензора напряжений, являются функциями коорди-

нат: 321 , , xxxijij , т.е. они изменяются при переходе от одной точки к

другой.

Дифференциальные уравнения равновесия и закон парности касательных напряжений

Для вывода уравнений равновесия и закона парности касательных напря-жений рассмотрим элементарный кубик с компонентами напряжений на его гранях (рис. 1.4). Так как компоненты напряжений являются функциями коор-динат, то при переходе из начала координат в какую-либо точку должно возни-кать приращение этих компонентов.

Для выполнения условия равновесия кубика должны выполняться два ус-ловия:

1. Равенство равнодействующей силы нулю: 00 Ri

FRF

.

2. Равенство результирующего момента нулю: 0;0 Mi RM R .

σ 33

σ 32

σ 23

x 1

x 2

x 3

σ 12 σ 11

σ 13

σ 22

σ 21

σ 31

Рис. 1.3. Действие напряжений на наклонной площадке

10

12

12

x1

dx1 +

13

21

12

32

21

21

x2

dx2 +

22

22

x2

dx2 +

11

11

x1

dx1 +

23

23

x2

dx2 +

13

13

x1

dx1 +

31

33

11

23

22

32

32

x3

dx3 +

31

31

x3

dx3 +

33

33

x3

dx3 +

Найдем проекции всех сил, например, на ось 1

x , с учетом того, что кроме

действия поверхностных сил на выделенный объем действуют также массовые силы (сила тяжести, магнитные силы, силы инерции). Массовые силы будем

обозначать Mf

с соответствующими компонентами. Проецируя все силы на

одну из осей и удерживая члены третьего порядка малости по приращению ко-

ординат, например 1

x , получим:

03

31

2

21

1

11

1

xxxf M

. (1.14)

Свернем данное выражение, учитывая правило суммирования по первому индексу компонент напряжений:

:1x 01

1

x j

jf M .

С учетом аналогичных уравнений для осей 2x и 3x , получаем уравнения равновесия для всех осей:

0

x j

jif M

i или 0, jjif Mi . (1.15)

Формула (1.15) представляет собой уравнения равновесия элементарного объема в дифференциальной форме.

Обратимся ко второму условию, выражающему равенство результирую-щего момента нулю. Будем рассматривать вращение кубика относительно од-

Рис. 1.4. Компоненты напряжений на гранях кубика

11

ной из осей, например, оси 1

x . Компоненты тензора напряжений, параллельные

оси 1

x , вклада в проекцию момента давать не будут. Расположим наблюдателя

в начале системы координат лицом по направлению оси 1

x . Момент считаем

положительным, если вращение осуществляется по часовой стрелке и отрица-тельным – в противном случае.

frM .

222

: 23213

3321

1

1212

332121

dxdxdx

dxdxdxdx

x

dxdxdxx

222

3312

2

2222

33122

2321

1

1313

dxdxdxdx

x

dxdxdx

dxdxdxdx

x

22

2213

3

3333

22133321

2

2323

dxdxdxdx

x

dxdxdxdxdxdx

x

032133

3232

dxdxdxdxx

.

Пренебрегая в последней формуле членами, содержащими бесконечно-малые величины четвертого порядка, получим:

0)( 3213223 dxdxdx , или с учетом произвольности приращений координат:

3223 . (1.16) Получая аналогичные соотношения для других осей и производя обобще-

ние, можно записать закон парности касательных напряжений:

jiij . (1.17)

Из формулы (1.17) следует, что тензор напряжений симметричен относи-тельно главной диагонали.

1.2. Интегральные условия равновесия Теоремы, используемые при преобразовании интегральных условий

равновесия. Приведем теоремы, полезные для дальнейшего рассмотрения.

а) Теорема Гаусса:

VdVBdiv

AdAB , (1.18)

где B

– некий вектор; Ad

– элементарная площадка, которая определяется

ndAAd

. Дивергенция в формуле (1.18) определяется следующим образом:

12

mxm

ediv

,

где me

– единичный вектор, совпадающий с направлением оси m . С учетом последнего правая часть формулы (1.18) приобретает вид

dVV m

xm

BdV

V mx

meB

dVV m

xB

me

.

Тогда теорему Гаусса (1.18) в тензорном представлении можно сформу-лировать в следующем виде:

dVA V

BdAnB iiii , . (1.19)

б) Теорема Остроградского:

VdVBrot

AdAB , (1.20)

где rot – дифференциальный оператор, имеющий вид:

321

321

321

BBB

xxx

eee

Brot .

С учетом определения элементарной площадки формулу (1.20) можно пе-реписать в следующем виде:

V

dVBrotdAA

nB

. (1.21)

Производя переход к символьному представлению в векторном произве-дении интеграла левой части, получаем для i-ой компоненты:

kn

jB

ijki

nBi

: , (1.22)

где ijk (псевдо) тензор Леви-Чивиты, который определяется так:

0

1

1

ijk

совпдают. индексов и

ку;перестанов образуют ,,

ку;перестанов образуют ,,

болеедва

ескуюантицикличkji

юциклическуkji

Для доказательства возможности представления (1.22), рассмотрим век-торное произведение:

31

31211232

321111 CC

BBe

CC

BBeCB

21

213113 CC

BBe .

То же самое векторное произведение с использованием псевдотензора Леви-Чивиты можно представить в покомпонентном виде так:

13

kCj

Bijk

iCB

.

Пусть в последнем соотношении i = 1, тогда:

k

CBkk

CBkk

CBkk

Cj

BjkCB 3132121111

1

23322313232123CBCBCBCB ,

что совпадает с первой компонентой исходного векторного произведения. Ана-логичное доказательство можно провести и для других значений индекса. Псевдотензором Леви-Чивиты можно пользоваться для представления такого вида выражений.

С учетом формулы (1.22) теорема Остроградского (1.21) в тензорном представлении получает следующую форму:

A

jkjkijk dVBdAnBV

,ijk . (1.23)

Формулу (1.23) можно использовать для преобразования интегральных выражений.

Интегральные условия равновесия Интегральное уравнение равновесия для сил (рис. 1.5) имеет вид:

AdAndV

Vf M

0 , (1.24)

где

Mf массовая сила; dV объем кубика;

n вектор напряжений;

dA элемент поверхности. Уравнение (1.24) следует из более общего условия механики для сил:

х 1

fM

r

dA

n

n

dV

х 3

х 2

Рис. 1.5. Действие сил на элементарный объем

14

dAV A

ndVMfRF

, dAA

ni

dVV

Mi

fRi

F . (1.25)

0 0

Ri

FравновесияусловиеRF . Здесь

RF результирующая сила.

Рассмотрим связь интегрального и дифференциального условий равнове-

сия. Для этого, с учетом (1.13) и (1.25), R

iF представим в следующем виде:

dAj

nA

jidV

V

Mi

f

интеграл

мпреобразуе

dAA

ni

dVV

Mi

fRi

F второй

0,,

2

dV

Vjji

Mi

fdVV

jjidV

V

Mi

f

интегралу

мукоГаусса

теоремуприменим

. (1.26)

Ввиду произвольности объема, по которому производится интегрирова-ние, из (1.26) получаем условие равновесия для сил в дифференциальной фор-ме, совпадающее с формулой (1.15), полученной ранее другим путем:

0,

jji

Mi

f .

Интегральное условие равновесия для моментов (см. рис. 1.5) можно за-писать в привязке к началу системы координат в виде:

0

VdA

AnrdVMfrRM , (1.27)

где

r – радиус-вектор, указанный на рис. 1.5. Компоненту i момента (1.27) с учетом формул (1.22), (1.13) и (1.23) мож-

но преобразовать следующим образом:

dVV

Mk

fj

xijk

dAnkj

xA

ijkdVM

kf

jx

Vijk

Ri

M

dVV

Mk

fj

xijkкогоОстроградс

теоремаdA

ln

Alkj

xijk

0,

dV

Vjkllk

Mk

fj

xijk

dVV llkj

xijk .

Откуда, ввиду произвольности объема интегрирования и справедливости формулы (7.15), получаем закон парности касательных напряжений:

0jkijk

. (1.28)

Формула (1.28) эквивалентна соотношению (1.17); в ней индекс i обозна-чает направление координатной оси. Очевидно, взяв i = 1 и воспользовавшись определением тензора Леви-Чивиты, получим выведенную ранее зависимость (1.16).

15

1.3. Главные напряжения

В ряде случаев форма уравнений МДТТ существенно упрощается при пе-реходе к главным напряжениям.

Получение разрешающих уравнений Получим разрешающие уравнения для определения главных напряжений

путем поворота координатных осей, а следовательно, и направляющего вектора (рис. 1.6) так, чтобы касательные напряжения на площадке сделались равными

нулю. Вектор напряжений

n будет совпадать по направлению с направляю-щим вектором площадки и тогда можно написать:

nn , (1.29)

где – некоторый коэффициент. В покомпонентном представлении формула (1.29) дает:

0 ini n , 0 jijjij nn , 0)( jijij n . (1.30)

При преобразованиях в формулах (1.30) были использованы соотношения (1.13) и (1.10).

Теперь задача состоит в решении системы (1.30) с целью определения первоначально собственных значений (главных напряжений), а затем для каждого из собственных значений, решая систему (1.30) с дополнительным ус-ловием: 1|| 2n

, можно найти три новых направляющих вектора, определяю-

щих новое положение трех осей системы координат после поворота. Из рис. 1.6 видно, что проекция вектора напряжений на направляющий

вектор N , представляет собой скалярное произведение вектора напряжений и

направляющего вектора ввиду единичности модуля последнего: n n = N .

Отсюда легко получить соотношение:

in

jn

ijinn

iN . (1.31)

Результат (1.30) может быть получен более изящно методом неопреде-ленных множителей Лагранжа, заключающемся в переходе от задачи на ус-ловный экстремум к задаче на безусловный экстремум. Задача состоит в опре-

Nn

x2 x1

x3

n

Рис. 1.6. Поворот локальной системы координат

16

делении положения системы координат после ее поворота с целью достижения максимума проекции вектора напряжений N при дополнительном условии

1|| 2n

. Построим новую функцию F( )n i = N 1 n2 + , где – не-

определенный множитель Лагранжа. Используя (1.31), после небольших пре-образований получим:

)1( 2 ijiij nnni

nF .

Найдем производные: F( )n i

nk= 0 ,

F( )n i

= 0.

;2)(2)( ikijkijikijk

ii

k

jijij

k

iij nnn

n

nn

n

nnn

n

n

; 12 i

n . Отсюда снова имеем ту же систему уравне-

ний, что и (1.30): 0i

nikki

.

Главные напряжения Систему (1.30) можно представить в виде:

03

)33

(232131

03232

)22

(121

03132121

)11

(

0)(

nnn

nnn

nnnj

nijij

(1.32)

Нетривиальное решение системы (1.32) с дополнительным условием

12 i

n можно обеспечить, если выполняется условие:

0

333231

232221

131211

. (1.33)

Раскрывая определитель, из (1.33) получим уравнение Гамильтона-Кэлли: 032

21

3 lll , (1.34) где 03322111 l ,

I2 =11

21

12

22

11

31

13

33 +

22

32

23

33, +

I3 =11

21

31

12

22

32

13

23

33 .

iikikiiikikiikiiikjkj nnnnijnnn 222

0)(22 iikikiik nn

17

Уравнение (1.34) может быть сведено к приведенному кубическому урав-

нению с помощью подстановки:

31lX . (1.35)

0233 QXPX , (1.36)

где

2

12 3

1

3

1llP ; 321

31 2

1

6

1

27

1llllQ .

Решение приведенного уравнения (1.36) существует при 023 QP .

Для него решение Кардано представляется в тригонометрическом виде:

cos||21 PX ,

3

2cos||22 PX ,

3

2cos||22 PX , где

2

3

||arccos3

1P . (1.37)

Найденные решения (1.37) следует подставить в (1.35) для определения главных напряжений 1 ,2 ,3 . Проверку правильности определения глав-

ных напряжений можно установить по значениям коэффициентов I1, I2, I3 в уравнении Гамильтона-Кэлли, которые называются инвариантами (т.е. вели-чинами, не изменяющими своих значений при повороте системы координат). В терминах главных напряжений они имеют вид:

3211 l ; 1332312 l ; 3212 l . (1.38) Анализ инвариантов (1.38): 1) Если только одно из напряжений равно

нулю, то I3 = 0 двухосное напряженное состояние; 2) Если два напряжения равны нулю, то имеем одноосное напряженное состояние.

Для определения направляющих векторов следует решить систему (1.32) для каждого из найденных главных напряжений с дополнительным условием

n i2 = 1 . Неизвестные направляющие косинусы следует снабжать верхним ин-

дексом, одноименным с напряжением: 2 n i2во избежание путаницы.

Отметим, что при подстановке главного напряжения в систему (1.32) по-лучаем только два независимых уравнения, поэтому дополнительное условие для направляющих косинусов необходимо. В результате получим три направ-ляющих вектора:

n1 n 1

1 n 21, n 3

1, ; n 2 n 12 n 2

2, n 32, ; n 3 n 1

3 n 23, n 3

3, . (1.39)

Независимых компонент в (1.39) будет только шесть. При переходе к главным напряжениям тензор напряжений преобразуется:

T =11

21

31

12

22

32

13

23

33

T σ =σ 1

00

0σ 2

0

00σ 3

. (1.40)

18

Разложение тензора напряжений Тензор напряжений можно представить в виде двух тензоров: девиатора и

шарового тензора: T =D Ts + .

D σ =σ 1 σ cp

00

0σ 2 σ cp

0

00

σ 3 σ cp

; Ts =cp

00

0cp

0

00cp

. (1.41)

Здесь ср – среднее гидростатическое давление. Роль каждого из тензоров (1.41) неодинакова в пластической деформации: за изменение формы (точнее, наступление пластичности) ответственен лишь девиатор. 1.4. Преобразование компонент тензора напряжений и интерпретация вида

напряженного состояния

Преобразование компонент тензора напряжений при повороте системы координат При решении задач формообразования иногда с целью упрощения исход-

ной системы уравнений целесообразен переход от одной системы координат к другой, осуществляемый чаще всего поворотом системы координат относи-тельно ее центра. Пусть тензор напряжений известен в старой системе коорди-нат и привязан к ее центру. Оси новой системы координат обозначим надстроч-ным индексом «прим» (рис. 1.7).

Предположим, что поворот системы координат вполне определен, т.е. из-вестны направляющие косинусы единичного вектора, совпадающего с направ-лением новой оси:

'1

13

12

11

1 :,, xосьnnnn

; '2

23

22

21

2 :,, xосьnnnn

; '3

33

32

31

3 :,, xосьnnnn

. (1.42) На площадке, ориентированной перпендикулярно, например, оси

x 1`действует вектор напряжений с компонентами:

11

jijni n . (1.43)

x 1`x 2

`

x 3`

х 2

х 1

х 3

T n 11

σ n

Рис. 1.7. Поворот системы координат

19

Составляющие 1n

i в (1.43) являются проекциями соответствующего век-тора напряжений на старые оси координат. Аналогично такие же проекции можно получить, рассматривая площадки, нормальные и к другим новым осям. В общем случае:

kjij

ni n

k

. (1.44)

Чтобы определить компоненту тензора напряжений в новой системе ко-

ординат, например 'kl , необходимо просуммировать произведения проекций

вектора напряжений, найденных в старой системе координат, и соответствую-щих направляющих косинусов:

li

kjij

li

nikl nnn

k

' .

Напомним, что индекс k обозначает направление новой оси координат, а индекс l – направление действия силы в новой системе координат. Окончательно:

li

kjijkl nn '

. (1.45)

Формула (1.45) есть закон преобразования компонент при повороте системы координат в соответствии с (1.42).

Поверхность Коши, эллипсоид Ламэ Напряженное состояние можно представить графически, исходя из сле-

дующих рассуждений. Пусть имеется некое тело (рис. 1.8).

В нем выделена площадка с вектором n

и компонентами 321 , , nnn . Очевидно, систему координат по отношению к данному телу, можно всегда расположить таким образом, чтобы начало ее было на продолжении направ-ляющего вектора. Тогда имеет место следующее соотношение:

rk

rN

. (1.46)

х 2

х 1

х 3

T

σ n

Рис. 1.8. К установлению поверхности Коши

nr

20

где k – калибрующий коэффициент; r – модуль радиуса – вектора. Возведем в квадрат обе части уравнения (1.46) и после небольших преобразований и осво-бождения от модуля, получим:

22 rk N . Производя подстановку в соответствии с (1.44) и замену r через коорди-

наты, из последнего уравнения получаем:

ji x

j

x

iij rnrnk 2,

или с учетом замены: 2kxx jiij . (1.47)

Уравнение (1.47), в котором в качестве коэффициентов квадратичной формы стоят компоненты тензора напряжений, называется уравнением поверх-ности Коши. Данное уравнение поворотом системы координат может быть преобразовано так, чтобы коэффициенты при смешанных членах были равны нулю, что позволяет представить поверхность в терминах главных напряжений:

2'233

222

211 kxxx . (1.48)

где 321 ,, являются главными напряжениями. Возможна несколько иная интерпретация. Если в формуле (1.44) перейти

к главным напряжениям, то получим следующие зависимости:

333

222

111

n

n

n

n

n

n

, откуда

3

33

2

22

1

11

n

n

n

n

n

n

. (1.49)

Подставляя выражения направляющих косинусов из (1.49) в соотношение 1 ii nn , получим так называемый эллипсоид напряжений Ламэ:

1

2

3

3

2

2

2

2

1

1

nnn

. (1.50)

Представленные виды интерпретации напряженного состояния показы-вают, что поверхности, которые образуются вследствие внешних нагрузок, яв-ляются выпуклыми.

Анализ (1.50) дает следующие результаты.

21

1. Все напряжения равны между собой. Тогда имеем всестороннее сжатие или растяжение (уравнение (1.50) есть уравнение шара): тензор напряжений принимает вид второй формулы (1.41), т.е. переходит в шаровой тензор, инва-риантый к выбору системы координат.

2. Одно из главных напряжений равно нулю. Это означает, что осуществ-ляется переход к плоскому напряженному состоянию (эллипс).

3. Два главных напряжения равны нулю. Здесь происходит переход к ли-нейному напряженному состоянию (растяжение-сжатие).

Октаэдрические напряжения Определим напряжения в площадках, одинаково наклоненных к главным

осям ( 1 2 in n1 = n2 = n3 = n 3

1 n ). Эти площадки образуют октаэдр,

поэтому соответствующие напряжения называются октаэдрическими. На осно-вании (1.44) нормальное октаэдрическое напряжение имеет вид:

ср 3

1)( 3210 . (1.51)

Касательные октаэдрические напряжения определяются из (1.2) с учетом (1.32) для главных напряжений:

223

232

2210 )()()(

3

1 . (1.52)

Октаэдрическое касательное напряжение близко по величине к наибольшему касательному напряжению мах для той же точки и находится в

пределах: 0,816 941,0 0 мах

, так что до известной степени оно может

характеризовать уровень напряжений в точке. Напряжение (1.52) иногда называют «интенсивностью касательных напряжений», которую не следует путать с «интенсивностью напряжений», которая является обобщенным напряжением в точке.

0

0 Х2

Х3

Х1

Рис. 1.9. Октаэдрические напряжения

22

1.5. Понятие интенсивности напряжений В качестве обобщенной характеристики напряженного состояния в точке

Генке (Хенке) ввел величину i, пропорциональную квадратному корню из второго инварианта девиатора тензора напряжений:

DIki 2 , (1.53)

где k – коэффициент, подлежащий определению. В формуле (1.53) второй инвариант девиатора тензора напряжений опре-

деляется на основе (1.34) и (1.41) следующим образом:

223

213

212

23322

23311

222116

1

3332

2322

3331

1311

2221

12112

cp

cp

cp

cp

cp

cpDI

(1.54)

Комбинируя (1.53) и (1.54), а также переходя к линейному напряженному состоянию, например, 1 i , получим значение коэффициента 3 k .

Тогда формула (1.53) примет следующий вид:

) (6 ) - ( ) - ( ) - (2

1 2

23213

212

23322

23311

22211 i . (1.55)

Формула (1.55) представляет собой выражение интенсивности напряжений, характеризующей обобщенное (эквивалентное) напряжение в точке деформируемого тела. Интенсивность напряжений используется при характеристике материала с помощью «единой кривой», при формулировке условия пластичности, а также при решении задач формообразования и предельного формоизменения.

1.6. Круговая диаграмма напряжений Мора Круговая диаграмма напряжений Мора позволяет наглядно представить

вид напряженного состояния и геометрически решать некоторые вспомогатель-ные задачи.

Постановка задачи: Исходя из заданного вектора напряжений (тензора напряжений и направляющего вектора) определить вид напряженного состоя-ния и соответствующие ему направляющие косинусы, для случая перехода к главным напряжениям. Формулы (7.2), (7.13) и (8.12) имеют вид:

22

2

Nn ; jij

ni n ; jiijN nn .

23

Квадрат модуля вектора напряжений определяется как скалярное произ-ведение:

2 2

ni

ni

ni

n

. (1.56)

При переходе к главным напряжениям N и (1.56) принимают вид: 2

33222

211332211 nnnnnnnnn jjjjjjN , (1.57)

2332

222

11

2

3

2

2

2

1

2

nnnnnnn

, (1.58)

Представим два из вышеприведенных уравнений с добавлением к ним ус-ловия единичности направляющего вектора, умножим их чисто формально на a, b и c соответственно, и сложим, производя группировку:

233

222

211 nnnN | a

23

23

22

22

21

21

22 nnnN | b 23

22

211 nnn | с

cabncabncabncabb NN 323

232

22

221

21

21

22 . Последнее уравнение можно сделать более компактным за счет введения

функции: czazbzf 2 . )()()f(n 3

232

221

21

22 fnfncabb NN . (1.59) Определим из этого уравнения (1.59) 2

1n . Для этого в скобках при 22n и 2

3n , нужно выбрать коэффициенты cba ,, таким образом, чтобы эти скобки обрати-лись в нуль, т.е. 2 и 3 должны быть корнями уравнения 0zf . Квадратный трехчлен допускает разложение:

322 zzczabz . (1.60)

Раскроем правую часть последнего уравнения: 3232

22 zzczabz , откуда следует: 1b ; )( 32 a ; 32c .

Перепишем уравнение (1.59) с учетом (1.60):

))((

))((

)(

)(

3121

322

1

221

NNN

f

fn , (1.61)

Остальные выражения для n2 и n3 получаются путем циклической пере-становки индексов:

))((

))((

1232

132

22

NNn , (1.62)

N

n

Рис. 1.10. Разложение вектора напряжений

24

))((

))((

2313

212

23

NNn . (1.63)

Введем легко проверяемое тождество:

22

22

jiji

NjNiN ,

с учетом которого первое уравнение (1.61) – (1.62) имеют вид:

1

10

312121

2

32

2

322

22

n

R

N ,

12

102

1 RR ; 01 . (1.64)

221232

22

2

13

2

132

22RnN

,

2220

22 RR ; 02 . (1.65)

232313

23

2

21

2

212

22RnN

,

3

230

23 RR ; 03 . (1.66)

Уравнения (1.64) – (1.66) представляют собой уравнения окружностей, а

знаки 1, 2, 3 соответствуют выполнению условия: 321 . (1.67)

Построим соответствующие (полу) окружности (1.64) – (1.66) с учетом знаков приращений i (рис. 1.57).

N123

212

213

232

Рис. 1.11. Круги (диаграмма) Мора

Область решений

25

Из анализа диаграммы следует ряд вопросов:

1. Можно ли на диаграмме указать точки, которым соответствует, на-пример, случай, когда 01 n ? Из (1.64) следует:

2

32

2

322

22

N , следовательно, точки, соответствующие

01 n , лежат на окружности между 2 и 3 . 2. Можно ли определить, например, 2n и 3n в вершинной точке окруж-

ности, если 01 n ? Координаты вершинной точки (рис. 1.57):

2

232

32N

. Из (1.62) с подстановкой этих напряжений получаем:

2

122

4

12

2

2

2

2

12

12

3212

332132

2

32

22

n , откуда

2

12 n . Значение 3n можно определить из уравнения (1.63) путем проведе-

ния аналогичной процедуры, или же из соотношения:

12 in ; 123

22

21 nnn

2

123 n ;

2

13 n .

Если выполнить аналогичные вычисления для других окружностей, мож-но заполнить таблицу, приведенную ниже.

Сочетание направляющих косинусов для трех площадок соответствуют случаям максимальных касательных напряжений.

;2

321

231

2

;

221

3

Если n1 = cos 1 = 0, то; 21

.

Площадки, в которых расположены максимальные касательные напряжения, должны включать в себя соответствующую ось и проходить под углом 45 по отношению к двум другим осям.

Соответствующие площадки называются октаэдрическими. 3. Как изменятся уравнения, описывающие окружности, если все главные

напряжения изменить на одну и ту же величину, например, увеличить на 0 ?

033

022

011

'

'

'

,

033

022

011

'

'

'

.

Покажем, что будет происходить с уравнениями на примере уравнения (1.61):

1n 2n 3n

1.

0 2

1

2

1

2. 2

1 0 2

1

3. 2

1

2

1 0

26

))(())((

))(('3

'1

'2

'1

0'30

'2

2

'3

'1

'2

'1

0'30

'2

221

NNNNn

))((

22'3

'1

'2

'1

2

0'30

'2

2

0'30

'22

N

))((

22'3

'1

'2

'1

2'3

'2

2

0

'3

'22

N

.

Из последнего выражения видно, что радиус первого круга Мора остался неизменным, но произошел сдвиг по оси N на величину 0 вправо. Для дру-гих кругов преобразования будут аналогичны, так что форма диаграммы Мора не претерпевает изменений, однако как целое она будет сдвинута по оси абс-цисс на величину 0.

4. Можно ли по диаграмме Мора определить величину среднего напряже-

ния 3

321 ср ? Выполним дополнительные построения на диаграмме

Мора в виде окаймляющего прямоугольника, соединив прямыми линиями верхние углы прямоугольника с центрами меньших окружностей, как показано на рис. 1.12. Проекция точки пересечения этих линий на ось главных напряже-ний представляет собой среднее напряжение. Докажем, что величина x равня-ется ср . Рассмотрим подобие треугольников: 1. CDO1 и KEO1 ; 2. 2 ABO и

2EKO .

DO

EO

CD

KE

1

1 ; 2

2

AO

EO

AB

KE , т.к. левые части их одинаковы, то

2

2

1

1

AO

EO

DO

EO .

N123

212

213

232

ср2O1O

A

CB

K

DE

x

Рис. 1.12. К определению среднего напряжения

27

Перейдем к напряжениям: 3

21

21

321

32

2

2

2

2

xx

3213232121321321 22222 x .

Отсюда получаем: срx

3

321 .

5. Если заданы два угла между направляющим вектором и двумя осями координат, то можно ли установить соответствующее им положение точки на диаграмме Мора? Задача 1. Пусть заданы 1 и 3 , т.е. заданы n1 и n3: 11 cosn , 33 cosn .

321 ,, также заданы. Найти: ,N ?

Решение: Берут два вектора О1Е и О2Е (рис. 1.13). Затем данные векторы раз-ворачивают на углы 2 1 и 2 3 соответственно. Потом из точки О1 радиусом О1В описывают дугу в верхней полуплоскости, а из точки О2 описывают дугу радиусом О2А. Точка пересечения дуг или окружностей является искомой. Проекции точки P на оси абсцисс и ординат дают искомые значения и

соответственно. Задача 2. Задано: 1 и 2. Другие условия – как в задаче 1.

Решение. Используя условие: 12 in 1coscoscos 32

22

12 ,

определим угол 22

12

3 coscos1arccos и сведем таким образом данную задачу к задаче 1.

Задача 3. Заданы: 321 ,, , а также координаты точки P (рис. 1.13). Найти: i ? Решение: Задача решается в обратном порядке по отношению к зад. 1.

N123

2O1O

A

B

P

E

Рис. 1.13. К определению углов в кругах Мора

28

6. Можно ли указать на диаграмме Мора вектор напряжений? На рис. 1.14 отрезок ОР представляет собой вектор напряжений, удовлетворяющий условию. Здесь ОА = , ОВ = N.

2. Понятие о схемах напряженного состояния в ОМД введено С.И. Губкиным. Хотя компоненты тензора напряже-ний зависят от координат, в ряде случаев можно принять, что схема главных напряжений одинакова для большинства точек тела и характеризует напряжен-ное состояние деформируемого тела. Схема изображается кубиком с указанием стрелками наличия и направления главных напряжений (рис. 1.15).

Подобно тензору напряжений, схемы главных напряжений можно разло-жить на две – схему шарового тензора и схему девиатора. Имеется две схемы шарового тензора. У девиатора – две объемных схемы и одна плоская. Если на схеме присутствуют напряжения одного знака, то они называются одноимен-ными. В противном случае – разноименными.

N123

O

C

A

B

P

EРис. 1.14. К определению вектора напряжений

и показателя напряженного состояния

1 2 3 4 5

6 7 8 9

Рис. 1.15. Схемы главных напряжений: 1, 2 – линейная схема; 3, 4, 5 – плоская схема; 6, 7, 8, 9 – объемная схема

29

1.7. Плоская задача теории пластичности

В ТОМД имеется ряд задач, где все напряжения могут не зависеть от од-ной из координат. Такими задачами являются, например, задача об осадке длинной полосы, задача о раздаче цилиндрической заготовки или вытяжке де-талей (фланец заготовки). Исходные посылки для плоской задачи (рис. 1.16):

1. Напряжения не зависят от одной из координат, например, от x2: 2x

ijf

ij . (1.68)

2. Касательные напряжения, содержащие индекс 2, равны нулю. 022 jj , j 2. (1.69)

3. а) плоское напряженное состояние 022 , 022 . (1.70)

б) плоское деформированное состояние

23311

22

, 022 . (1.71)

Вектор напряжений на произвольной площадке имеет компоненты: N и

, подлежащие определению, если задан тензор напряжений и направляющий вектор в системе координат 1x и 3x (рис. 1.17). Т.к. рассматриваем плоский слу-

11

13

31

33

22

х1

х3

х2

Рис. 1.16. Напряжения в плоской задаче

n

1

13

31 33

22

х1

х3

Рис. 1.17. Расположение компо-нент напряжений в плоской зада-

N

n

30

чай, то 02 n . Из соотношения: 11 23

22

21

2 nnnni . Ввиду рассмотрения плос-кого случая:

123

21

nn . (1.72)

Из рис. 1.17 видно, что cos1 n , а с учетом (1.72) sin3 n . Очевидно, справедливы следующие соотношения, полученные ранее:

23

22

21

2 )()()()( nnnn

; 222 )( Nn

. (1.73)

Для нахождения τσ найдем предварительно jnij

ni

и, подставляя их

значения в формулы (11.6), получим:

.2cos22

233

211

.

2

133

311322

1113311

23

23

21

21

.

2)

333131(2)

313111(

2

;33113133

;3131111

3131

nn

напряж

главным

кпереход

nnnnnj

nnjj

nnjN

nn

напряж

главным

кпереход

nnnnn

nnj

nj

nnnj

nij

n

.

2

2sin2

312

2312)cossin2(

2

2312

32

14

2)31

(23

21

23

2131

2 )21

1(23

23

)21

1(21

21

23

2131

243

23

41

21

23

23

21

21

2

nn

nnnnnnnn

nnnnnn

2sin2

31 . (1.74)

Касательные напряжения (11.7) принимают предельные значения при 12sin 450.

Главные напряжения. Тензор напряжений для плоского напряженного состояния трансформируется следующим образом:

3331

1311

333231

232221

131211. (1.75)

Для определения главных напряжений, аналогично (8.13), с учетом (1.75)

нужно составить уравнение: 03331

1311

, откуда следует алгебраиче-

ское уравнение: 0)( 2

13331133112 . (1.76)

31

Решение (1.76) дает следующие значения главных напряжений:

. 2

4)(

2 ) ,(

; 3311

213

2

23311

23311)

3,

1(

213

233113311

31

(1.77)

2. Пусть заданы главные напряжения 1 и 3 в осях 1 и 2 (рис. 1.18). Найдем компоненты напряжений в осях, повернутых на некий угол по от-ношению к направлению 1. Подход к вычислению напряжений следующий:

1. На оси 1X выбираем точку и направляющий вектор, совпадающий с данной осью. 2. Определяем компоненту N на данном направлении. 3. Иден-тифицируем N с напряжением 11 . 4. Поворотом оси 1X на 900 осуществляем переход от 11 к 33 . 5. Касательные напряжения 13 отождествляем с .

Заданы: 31, и их направления. Требуется определить 133311 , , в осях,

повернутых на угол по отношению к заданным. 1. Располагаем новые оси, как показано на рис. 1.18.

. 2sin2

.5

. 2cos222

.4

. 2cos22

. 2

2cos1

2

2cos1sincos

. sin3

; cos1

:косинусы иеНаправляющ

. .3

.0 ;

33 .2

3113

31311133

313111

312

32

111

2

33

2

1111

i2

2

33

2

11

331331311311113311

nn

nn

nn

nnnnnnnnnnnnnn

N

jjjjjiijN

Следовательно, при переходе 13331131 ,,, получаем:

1

1

3

11

3

31 13

33

х3 х1

Рис. 1.18. Переход к произвольной системе координат х1–х3

32

N

max

ср

N 1 3

n

О

Р

Рис. 1.19. Диаграмма Моря для плоского напряженного состояния

. 2sin2

; 2cos22

; 2cos22

3113

313133

313111

(1.78)

3. Вид плоского напряженного состояния допускает интерпретацию в терминах кругов Мора.

Для этого введем обозначения: 22

331131

ср ;

231max

.

Тогда формулы (1.78) примут вид: 2cosmax

11 ср ;

2cosmax33 ср ; (1.79)

2sinmax13 .

а. Угловые характеристики Из анализа круга Мора (см. формулу (1.65)) при n2 = 0 получаем:

2

31

2

3122 22

:0

Nn . (1.80)

С учетом введенных выше обозначений уравнение окружности (1.80) имеет вид:

2 max2 2 cpN . (1.81)

Возьмем некую точку Р на окружности (рис. 1.71), для которой:

Объявляя, как в предыдущем случае, 11 N и сравнивая последнее зна-чение N и 11 из (1.78), получим: 2 .

. cos

;

max

max

cpN

cpNсos

33

б. Вектор напряжений На рис. 11.4 вектор напряжений представляется отрезком, соединяющим дан-ную точку Р с началом координат О, что вполне согласуется с формулой (7.2).

1.8. Движение сплошной среды. Деформации

Формоизменение с точки зрения деформаций можно рассматривать как два состояния: начальное и конечное, не интересуясь промежуточным состоя-нием. Это – теория конечных деформаций. Если же интересоваться в матема-тическом и физическом описании формоизменения непрерывным изменением среды в зависимости от времени (или какого-либо другого параметра нагруже-ния), это – теория пластического течения. Существуют два подхода к изуче-нию движения сплошной среды: подход Лагранжа и Эйлера.

На рис.1.20 дано тело с фиксированной точкой 0P в начальный момент

времени t =0. С течением времени тело деформируется, при этом в момент t = t1 точка 0P переходит в положение P, а начальная система координат с бази-

сом

ie переходит в систему с базисом

'i

e , начало которой определяется

вектором

b по отношению к начальной системе координат. При этом новая система координат, будучи связанной с телом, испытывает поворот на некото-

рый угол. Вектор

u называется вектором перемещений и определяется так:

rrbu ' . (1.82) Если считать, что обе системы можно совместить (например, деформи-

руемая заготовка в матрице), то 0

b и тогда уравнение (1.82) представимо в виде:

e`1

r`r

X`

X3

X1

X2

X`

X`

P0

P t =

t = t

u

b

e 1

Рис. 1.20. Деформация тела

34

rru ' , (1.83)

где

'r – радиус-вектор точки P в системе с базисом

'i

e ;

r – радиус-вектор

точки P0, связанный с системой, имеющей базис

ie .

Движение частиц деформируемого тела можно описывать так:

,tr'r'r , или

tri

xi

x ,'' , (1.84)

Уравнения (1.84) устанавливают соответствие между точками в началь-ной конфигурации в момент t = 0 и их положением в текущем состоянии t = t. Предполагается, что это соответствие взаимно однозначно и непрерывно с не-прерывными частными производными требуемого порядка. Это подход Ла-

гранжа, а переменные 'i

x называются переменными Лагранжа.

Движение частиц можно задать и в виде:

trrr ,'' или

trxx ii ,' , (1.85)

Уравнения (1.85) выражают подход Эйлера, в котором можно идентифи-цировать начальные положения частиц, если известны их положения в момент времени t = t. Переменные ix называются переменными Эйлера.

2. Из уравнения (1.83) следует, что ii xi

xu ' , а из (1.84) ixi

xi

x '' , если

рассмотрение отнести к фиксированному моменту времени (т.е. использовать теорию конечных деформаций). Тогда можно записать

;' ; kk

iiiikii dx

x

ududx

idxduxuu

, (1.86)

Найдем расстояние между двумя точками, расположенными в теле до де-

формирования на расстоянии dl , а после деформирования на расстоянии 'dl . Используя определение расстояния в декартовой системе координат, за-

пишем соответствующие выражения:

.'' ;2/1

'2/1

idx

idxdldxdxdl ii (1.87)

Раскроем второе выражение в (1.87) с учетом (1.86), возведя его предва-рительно в квадрат:

.2

122

2'''

22

2

iki

i

k

l

i

k

k

illik

k

i

iiiiiiiiii

dxdxx

u

x

u

x

u

x

udldududxdx

x

udl

dududxdudxdxdudxdudxi

dxi

dxdl

(1.88)

Введем обозначение: .2

1

i

l

k

l

i

k

k

iik x

u

x

u

x

u

x

u (1.89)

35

Здесь ik компоненты тензора деформаций Т , определяемого так:

333231

232221

131211

ik . (1.90)

С учетом обозначения (1.89) выражение (1.88) можно записать в виде: .222'

kiik dxdxdldl (1.91)

Из определения (1.89) следует, что kiik , следовательно, тензор де-формаций (1.90) симметричен относительно главной диагонали.

Если деформации считать малыми и пренебречь последним членом в оп-ределении (1.89) , то получим компоненты тензора малых деформаций Коши:

.2

1 , , ikkiik uu . (1.92)

Тензор деформаций может быть приведен аналогично тензору напряже-ний к диагональному виду путем определения главных деформаций и соответ-ствующих им площадок:

0 kikik n , откуда находятся 321 , , , т.е. главные деформации.

Как и в случае напряжений, первый инвариант определяется так: ,)( 3211 I (1.93)

а второй инвариант так:

3332

2322

3331

1311

2221

12112 )(

I . (1.94)

Тензор деформаций, аналогично тензору напряжений, можно разложить на шаровую и девиаторную составляющие:

,0εсрср Τ

εDΕεΕε

εΤ

εΤ (1.95)

где D девиатор тензора деформаций; 0εT шаровой тензор.

Здесь

.33

1321

Iср (1.96)

Дадим теперь интерпретацию главных деформаций, используя (1.91). .22222'

kiikikkiikikkiikik dxdxdxdxdxdxdxdxdldl Если сделать переход к главным деформациям, то последнее соотноше-

ние перепишется следующим образом:

233

222

211

2' 212121 dxdxdxdl . (1.97) Положим, что деформация имеет место только вдоль одной из осей, на-

пример, x1. Тогда, так как dx2 = dx3 =0, из (1.97) следует:

.21'111 dxdx (1.98)

Преобразуем (1.98) к виду:

36

121'

11

11

dx

dxdx. (1.99)

Но левая часть соотношения (1.99) представляет собой 1 в силу опреде-

ления деформации. При малой деформации 11 22

1121 , т.е. правая и

левая части в формуле (1.99) совпадают. Это означает, что введенные компо-ненты тензора, определяемого соотношением (1.99), представляют собой де-формации. Если же осуществить переход к логарифмическим деформациям, то из (1.98) получим:

11

1 21ln2

1'ln

dx

dx. (1.100)

Левая часть в (1.100) есть логарифмическая деформация e1 по определе-нию, а если учесть малость 1 , то

, 22

1'ln 11

1

11

dx

dxe

то есть в этом случае обычная и логарифмическая деформации совпадают. 3. Как известно из опытов Бриджмена, при пластической деформации из-

менение объема деформируемого тела не происходит. Пусть объем тела до де-

формации 321 dxdxdxdV , а после деформации – ''''321 dxdxdxdV . Подставляя в

последнее выражение значения приращений координат по аналогии с (1.97), получим:

.111212121'321321321 dVdxdxdxdV

Преобразуем последнее соотношение к виду:

1111'

321

dV

dVdV .

После раскрытия скобок в правой части и удержания членов только пер-вого порядка, будем иметь:

.'

321

dV

dVdV

Если принять во внимание формулу (1.93), то можно записать с учетом несжимаемости и последнего соотношения:

.0'

3211

dV

dVdVI (1.101)

Формула (1.101) показывает, что первый инвариант деформаций можно интерпретировать как относительное изменение объема или как условие не-сжимаемости (постоянства объема). Кроме того, из (1.96) и условия несжи-маемости следует, что средняя деформация равна нулю, а поэтому шаровой тензор 00 εΤ в соотношении (1.95).

4. Введем понятие интенсивности деформаций: ,2 DIki (1.102)

37

где коэффициент k подлежит определению. На основании формулы (1.94) имеем:

.66

1 231

223

212

21133

23322

222112 DI .

Переходя в последнем выражении к главным деформациям и подставляя его в (1.102), получим

213

232

221

6

ki . (1.103)

Найдем значение коэффициента k из того условия, что интенсивность де-формаций в случае одноосного растяжения должна совпадать с главной де-

формацией. Пусть 1 главная деформация. Тогда 21

32

, если учесть

условие не сжимаемости. Из (1.103) следует

112

3

6

ki , откуда

32k .

Подставив значение k в формулу (1.102) и учтя определение второго ин-варианта от тензора деформаций, получим:

)(63

2 223

213

212

21133

23322

22211 i . (1.104)

Величина i в формуле (1.104) представляет собой эквивалентную или осредненную деформацию в бесконечно малом объеме.

1.9. Условие совместности деформаций

Определение деформаций (1.89) включает и смешанные члены, которые вносят вклад в суммарную деформацию, если деформации большие. Малые де-формации, согласно (1.92), выражаются через три компоненты перемещений, а поэтому они не могут быть независимыми.

Продифференцируем дважды выражение (1.92) по k и l и запишем его че-тырежды, циклически изменяя индексы и производя суммирование:

; 2

1 ,,, ikljjkliklij uu

. 0

; 2

1

; 2

1

; 2

1

,,,,

,,,

,,,

,,,

lijkijkljkliklij

kljiklijiljk

lijklijkijkl

ijklijkljkli

uu

uu

uu

(1.105)

38

Последнее уравнение в (1.105) представляет собой результат алгебраиче-ского суммирования предшествующих четырех уравнений, причем, правая часть оказалась равной нулю. Это уравнение впервые получено в 1860 г. Сен-Венаном и содержит 81 уравнение. С использованием псевдо-тензора Леви-Чивиты можно произвести его свертку:

0 ) - ( jk,il, klijmlj . (1.106)

Повторное применение свертки приводит к следующему уравнению, по-лученному в разных формах Бусинеском в 1971 г., Бельтрами в 1889 г., Чезаро в 1906 г. Фактически, в векторном виде оно представляет собой следующее ус-ловие в терминах теории поля:

0 u

, или 0urotrot

. Повторное применение операции свертки к (1.106) дает:

0, klijnikmlj . (1.107)

Уравнение (1.107) является уравнением или условием сплошности (не-

разрывности) в тензорном представлении. Индексы m и n могут принимать значения 1, 2, 3, следовательно, из (1.107) можно получить девять уравнений, однако только шесть из них будут независимыми.

Примем m = 1, n = 1 и перейдем к обычному суммированию, используя правило Эйнштейна:

.02 33 ,2222 ,3332 ,23

3,32133,22122,33132,23123,212,31

3,132,121,111,11

kkkkkkkkkiikkiik

kijikjkijikjkijikjklijiklj

В координатной форме данное уравнение (последняя строка) имеет вид:

2

2 23

dx 2 dx 3

2 33

x 22

2 22

x 32

= 0 . (1.108)

Еще два аналогичных уравнения могут быть получены с помощью изло-женной выше процедуры при m = n = 2 и m = n = 3 из (1.107), однако тот же самый результат получается из (1.108) циклической перестановкой индексов:

2

2 31

dx 3 dx 1

2 11

x 32

2 33

x 12

= 0 . (1.109)

2

2 12

dx 1 dx 2

2 22

x 12

2 11

x 22

= 0 . (1.110)

Если взять разноименные индексы для m и n, например, m = 1, n = 2, то (1.107) можно развернуть следующим образом:

0 ,21 klijiklj ; .0 3,213j 2,212 kijikkijikj

0 - 3,22ik2,32 kikiik ;

39

0 - - 3,3223k3,1221k2,3323k2,1321 kkkkk

0. 32,1312,3333,1232,13 (1.111)

Запишем уравнение (1.111) в координатной форме:

2 33

dx 1 dx 2

x 3

12

x 3

13

x 2

32

x 1

+ = 0 . (1.112)

Уравнения неразрывности для других разноименных индексов можно по-лучить из (1.112) циклической перестановкой индексов.

2 11

dx 2 dx 3

x 1

23

x 1

21

x 3

13

x 2

+ = 0 . (1.113)

2 22

dx 3 dx 1

x 2

31

x 2

32

x 1

21

x 3

+ = 0 . (1.114)

Таким образом, уравнение (1.107) дает условие совместности деформа-ций в тензорной форме, в то время как уравнения (1.108) – (1.110) и (1.112) – (1.114) дают координатную форму этого условия. Выполнение данного усло-вия гарантирует отсутствие разрушений в заготовке при деформировании, по-скольку нарушение его ведет к тому, что к такому телу существующая модель сплошной среды вообще неприложима. Отметим, что наличие только шести уравнений связи вместо девяти обусловлено симметричностью тензора дефор-маций относительно главной диагонали матрицы.

2. Пусть деформированию подвергается некоторый кубик с размером ребра х30. Введем понятие смещенного объема в одном из направлений, на-пример, в направлении х3 согласно рис. 1.21.

f

X

XdxxA

cV

3

303

)3

(3

. (1.115)

х1

х3

х2

х30 х3f

А3(х3)

Рис. 1.21. К определению смещенного объема

40

При пластическом деформировании объем постоянен, а площадь поперечного

сечения определяется соотношением: 3

3 )(x

VxA . Тогда формула (1.115) прини-

мает вид:

Vc3 =V x

30

x3f dx 3

x 3

= V lnx 3f

x 30

= V e 3 . (1.116)

Таким образом, смещенный объем в заданном направлении равен произ-ведению объема на логарифмическую деформацию в данном направлении. Очевидно, полный смещенный объем равен нулю вследствие условия несжи-маемости. Понятие смещенного объема полезно для оценки потребной работы деформирования. Произведение предела текучести на смещенный объем дает порядок этой работы для предварительного выбора оборудования.

3. Как видно из (1.115), компоненты малой деформации являются линей-ными функциями от производных перемещений по координатам. При рассмот-рении бесконечно малой окрестности точки сами перемещения следует считать линейными функциями координат, а следовательно, их производные, выра-жающие деформации, постоянными. Однородная деформация – деформация, при которой перемещения являются линейными функциями координат, а сама деформация постоянной. При однородной деформации выделенные объекты в теле преобразуются в подобные (плоскость – в плоскость, шар – в сферу и т.п.).

При неоднородной деформации деформационная картина усложняется, на некоторых участках деформация может быть немонотонной (меняется знак деформаций). Теория конечных деформаций и теория пластического течения дают практически одни и те же результаты при условии монотонной деформа-ции, когда деформации малы. При немонотонной деформации в теории пла-стических течений рассматривают некий параметр нагруженная, который свя-зывается с накопленной деформацией (параметр Удквиста ).

4. При деформировании расстояния между точками изменяются со вре-менем, т.е. u i = f ( )x 1 x 2, x 3, t, . Наличие зависимости перемещений от вре-

мени позволяет ввести понятие скорости деформаций (для одномерного случая такое понятие введено в лекц.1):

ėee ij =1

2( )ėeu i , j ėeu j,i + . (1.117)

Для скоростей деформаций выполняется условие несжимаемости (посто-янство объема с течением времени); можно определить главные скорости де-формации, дать их интерпретацию в терминах кругов Мора и т.д. аналогично деформациям. Скорости деформаций играют существенную роль в теории пла-стического течения.

41

1.10. Модели пластического формоизменения и условия пластичности

1. Модели сплошных сред весьма разнообразны: упругая, упруго пласти-

ческая, жестко пластическая, вязко пластическая и т.д. В зависимости от допущений в теории пластичности различают следую-

щие наиболее часто используемые модели (рис. 1.22): 1. Идеально пластичного тела («1»); 2. Идеально пластичного тела с линейным законом упрочнения («2»); 3. Идеально пластичного тела со степенным законом упрочнения («3»); 4. Жестко пластичного тела («4»); 5. Жестко пластичного тела с линейным законом упрочнения («5»); 6. Жестко пластичного тела со степенным законом упрочнения («6».).

2. Условия пластичности формируются для начального этапа развития пластических деформаций, причем в чисто пластической задаче упругие со-ставляющие не учитываются. Экспериментально установлено, что пластиче-ское формоизменение имеет место, когда второй инвариант от девиатора на-пряжений достигает определенного значения, определяемого пределом текуче-сти материала. Формулы (9.12) и (9.13) определяют понятие интенсивности на-пряжений и зависимость второго инварианта от напряжений. Выражение ин-тенсивности напряжений (эквивалентного напряжения i ) через компоненты тензора напряжений дается формулой (9.14).

Независимо друг от друга Мизес, Губер и Генке для случая идеально пла-стического тела выдвинули гипотезу, согласно которой для достижения пла-стического состояния в точке, необходимо чтобы выполнялось условие:

si , (1.118)

где s – предел текучести материала. Учет упрочнения осуществляется обычно в виде линейной или степенной

зависимости, однако это существенно затрудняет решение задач.

1

2

3

4

5

6

Рис. 1.22. Модели сплошных деформируемых сред

42

Экспериментально Бриджменом и Надаи была подтверждена справедли-вость условия (15.1), так что из (9.14) и (15.1) получаем условие пластичности Мизеса-Губера(-Генке) в следующем виде:

222226222231312332233112211 S

. (1.119)

Условие (1.119) не единственно. Например, условие пластичности Сен-Венана гласит: пластичность наступает, когда разность между наибольшим и наименьшим напряжением достигает предела текучести. Экспериментально по-казано, что условие (1.119) является более точным.

3. Существует также энергетическое условие пластичности. Запишем полную работу пластического формоизменения:

™AAAn 0 , (1.120)

где 0A – работа, затраченная на всестороннее сжатие;

™A – работа, затраченная на изменение формы.

Работа, приходящаяся на единичный объем, как известно из сопротивле-ния материалов, определяется произведением тензоров напряжений и деформа-ций в терминах их собственных значений:

2

10

; 2

1 TTATT

nA (1.121)

Запишем тензоры в виде матриц, а также закон Гука, учитывая, что во всех соотношениях следует сделать переход к главным значениям напряжений и деформаций:

;

00

00

00

;

00

00

00

33

22

11

cp

cp

cp

T

T

;

00

00

00

;

00

00

00

33

22

11

cp

cp

cp

T

T

. 1

; 1

; 1

2133

3122

3211

E

E

E

Подставляя (1.121) в (1.120) и проводя преобразования с учетом послед-них соотношений и условия пластичности (1.119), получим:

. 23

1226

12226

1

02

1

323121

3322110

sEsEE

AAA™

A n

(1.122)

Формула (1.122) представляет собой формулировку энергетического ус-ловия пластичности: удельная работа формоизменения не зависит от пласти-ческого состояния, а зависит от констант материала.

4. Рассмотрим частные случаи условия пластичности (1.119): 1. Плоское напряженное состояние:

0322122 . (1.123) Перепишем условие Мизеса-Губера с учетом (1.125):

22322 ; 22622213331133111333331111 ss

. (1.124)

43

В главных напряжениях формулы (1.126) имеют вид: 222

3131 s . (1.125)

2. Плоское деформированное состояние: Пусть одна из деформаций, например, 02 . Вследствие закона Гука все

деформации (а, следовательно, и напряжения), имеющие индекс «2», равны ну-лю, а также справедливо соотношение:

01

3122 E

. (1.126)

Так как для пластического состояния 2

1 , из (1.126) имеем:

231

2

, или

2

3311

22

. (1.127)

Подставляя значения оставшихся напряжений в условие (1.119), получим:

23

4242133311 s

. (1.128)

Введем обозначение 2s )( 2

3

4 s

, или ss

3

2 – модифицированный

предел текучести. В этих обозначениях условие пластичности для плоского деформированного состояния принимает вид:

2*42 2133311 s

. (1.129)

Перейдем к главным напряжениям в (1.119):

*31 s

. (1.130)

На рис. 1.23 представлены круги Мора для случая плоской деформации, откуда видно, что максимальное касательное напряжение равно полуразности главных напряжений:

2max31

, или 2

*

maxs

.

Но именно в таком виде (только с обычным пределом текучести) было сформулировано условие пластичности Сен-Венана –Треска, которое, правда, не вполне обоснованно обобщалось и на другие виды НДС.

max

3 2 1Рис. 1.23. К условию пластичности

Сен-Венана – Треска

44

5. Для получения упрощенного условия пластичности перепишем (1.119) в главных напряжениях:

222223323121 s

. (1.131)

Рассмотрим частные случаи:

1. ss

31313112 ; 2222 ; .

2. ss

312

313132 ; 222 ; .

3.

. 3

2 ; 222

2

3

; 22

22

2

2 ;

2

3131

23

3131

311

312

ss

s

Если рассмотреть диаграмму Мора рис. 1.19, то можно увидеть, что сред-нее напряжение в первых двух рассмотренных выше случаях принимает пре-дельные значения, а третьем – среднее, причем в правой части частных условий пластичности можно произвести обобщение на случай произвольного значения промежуточного напряжения:

3

21 ; 31 s , (1.132)

где – коэффициент подлежащий определению. Для определения введем предварительно показатель напряженного со-

стояния (фактор Лоде) в соответствии с рис. 1.12 и 1.13:

31

312

31

312 2

2

2

2

AD

EC . (1.133)

Для рассмотренных выше случаев:

1. 12

; 31

31112

.

2. 12

; 31

13

31

31332

.

3. 0 ; 2 31

3131312

.

Следовательно 1 1 .

Из (1.133) выразим

2231

31

2

и подставим его в условие

пластичности (1.131). После преобразований получаем:

s

231

3

2

. (1.134)

Сравнивая (1.132) и (1.134), можно установить, что

23

2

. (1.135)

45

Коэффициент используется в упрощенном условии пластичности, кото-рое в отличие от условия Губера – Мизеса является линейным, что существенно облегчает решение задач пластического формооизменения.

1.11. Физические уравнения теории пластичности При пластическом формооизменении внешние силы могут различным об-

разом изменяться по отношению ко времени или какому-либо другому пара-метру (параметр Удквиста). В зависимости от характера изменения внешних сил различают простое и сложное нагружение. Согласно А.А. Ильюшину, про-цесс нагружения является простым, если внешние силы от начала их приложе-ния возрастают пропорционально общему параметру. Такое разделение процес-сов имеет существенное значение: в теории конечных деформаций физические уравнения могут быть представлены в достаточно простой форме; в теории пластического течения накопленная деформация определяется интегрировани-ем интенсивности деформаций по параметру Удквиста.

Прямые соотношения. Для установления физических уравнений для случая простого нагружения примем ряд допущений:

1. Будем считать нагружение простым (деформации и напряжения моно-тонно увеличиваются или монотонно уменьшаются), при этом направления главных деформаций совпадают с направлениями главных напряжений.

2. Показатели напряженного и деформированного состояния сов-падают (подобие кругов Мора).

3. Материал считается несжимаемым. 4. Деформации считаются малыми. 5. Справедлива гипотеза «единой кривой».

Первое допущение позволяет рассматривать возможность пропорционального изменения напряжений и деформаций. Из допущения о подобии кругов Мора (рис. 1.24) следует:

13 2

N

1 3

2 N

Рис. 1.24. Подобие диаграмм Мора для напряжений и деформаций

46

G

232

32

31

31

21

21

, (1.136)

где 2G` – некий параметр пропорциональности. Из условия несжимаемости (третье допущение: 0321 ) выразим 3

и подставим его в одно из соотношений (1.136): 213232 222 GG . (1.137)

Возьмем из (1.136) еще одно соотношение: 2121 2 G . (1.138)

Умножим (1.138) на 2 и сложим с (1.137):

1321 322 G ;

132

1 32

G , откуда:

3213211 2

11

2

1

3

1 EG

. (1.139)

В последнем уравнении величина 3G` = E` называется модулем пла-стичности первого рода, а величина G` – модулем пластичности второго ро-да. Связь 2 и 3 с напряжениями можно получить путем комбинирования фор-мулы (1.136) с условием пластичности, или же путем циклической перестанов-ки индексов в формуле (1.139). Добавляя по аналогии с законом Гука соотно-шения для деформаций сдвига, имеем:

3211 2

11 E

;

3122 2

11 E

;

2133 2

11 E

.

jiG

ijij

, . (1.140)

Соотношения (1.140) являются физическими уравнениями теории пла-стичности. Они аналогичны закону Гука для упругой области:

3211

1 E

; ... ; jiG

ijij

,

, где

12

EG . (1.141)

Анализ соотношений (1.140): 1. 2121 .

2. 02 2

312

. (Плоское деформированное состояние).

3. срE

2

10 13

22 .

При переходе из упругой в пластическую область физические уравнения должны подвергаться изменениям в части значений коэффициентов, а именно,

EE и 2

1 . Из последнего соотношения в (1.141) следует:

32

112

12

EEG

EG

; GE 3 . (1.142)

Обратные соотношения. Для вывода обратных соотношений (выражение напряжений через деформации) используем пятое допущение. Гипотеза «еди-ной кривой»: при произвольном напряженном деформированном состоянии за-

47

висимость между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций можно моделировать диаграммой одноосного растяжения (рис. 1.25).

Сделаем тождественные преобразования первого из уравнений (1.140):

срEE

11

32111 2

31

22

11 .

Аналогично, из других уравнений получим соотношения:

1р1 3

2 Ec ; 2р2 3

2 Ec ; 3р3 3

2 Ec . (1.143)

На основании гипотезы «единой кривой» рис. 1.25 имеем:

i

i

i

itgtgE

. (1.144)

Из (1.143) и (1.144) получаем:

ср

i

i

11 3

2; ср

i

i

22 3

2; ср

i

i

33 3

2. (1.145)

Физические уравнения (1.140) и (1.145) установлены для малых деформа-ций в теории конечных деформаций.

3. В теории пластического течения (для больших деформаций), как уста-новлено экспериментами, в качестве физических уравнений необходимо брать связь между напряжениями и скоростями деформации. Все соотношения (1.136) – (1.145) при условии замены деформаций их скоростями будут спра-ведливы.

ε

σ σ i

ε i

Рис. 1.25. К иллюстрации гипотезы «единой кривой»

48

2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОЦЕССА ИНТЕНСИВНОГО

УПЛОТНЕНИЯ ГЕТЕРОГЕННЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СМЕСЕЙ

2.1. Компактирование порошка в присутствие жидкости (флюида) Формовка изделий из порошковых смесей в присутствии жидкой и газо-

образной фазы при сравнительно высоких давлениях, происходит постадийно: компактирование, преимущественно упругое уплотнение, преимущественно пластическое уплотнение, локальное кавитационное разрушение, залечивание дефектов и консолидация заготовки. На последней стадии в зависимости от ус-ловий деформирования может иметь место разрыхление заготовки в зонах ис-течения материала без значительного внешнего сопротивления.

2.1.1. Влияющие факторы и модельное представление На данной стадии формовки различие размеров и формы частиц порошка,

условия заполнения пространства между ними жидкостью и воздухом, распо-ложение частиц порошка относительно друг друга делают свойства деформи-руемой среды неопределенными. Задача состоит в приведении столь сложной ситуации к более простому представлению без существенной потери данных о свойствах указанной трехкомпонентной смеси, важных для процесса формовки. Речь идет о выделении некоторого представительного элемента минимальных размеров, который бы отражал свойства полного объема деформируемой сре-ды. При этом объем представительного элемента V должен существенно пре-вышать средний объем зерна порошкового материала dср:

V (dср)3. (2.1)

В формуле (2.1) не принят в рассмотрение известный коэффициент, вхо-дящий в формулу расчета объема шаровых тел.

Если условие (2.1) не обеспечивается, то изучение поведения материала можно проводить с использованием моделей дискретных тел, в которых кон-тактирующие частицы рассматриваются как набор твердых или упругих тел различной формы и размера. Однако такое рассмотрение возможно лишь на на-чальном этапе деформирования. При этом наличие жидкости не позволяет рас-сматривать исходный материал как сыпучее вещество. Возникает необходи-мость учесть связность, т.е. представить исходную смесь в виде структурно-связанного тела с гибкими связями, которые придают этой смеси следующее свойство: наличие предельного напряжения сдвига, при превышении которого происходит разрушение структурной упорядоченности, причем, превышение предельного напряжения сдвига в материале не может иметь места. Начало сдвига определяется внешней сдвигающей нагрузкой, которой отвечает соот-ветствующее внутреннее предельное напряжение сдвига. Факторы, влияющие на предельное сопротивление сдвигу, представлены на рис. 2.1.

49

Представленные на рис. 2.1 влияющие факторы объединены по группо-вым признакам, причем, входящие в одну группу факторы более или менее тес-но связаны между собой. Например, влажность и капиллярность, находящиеся в одной группе взаимосвязаны таким образом: эффект капиллярности проявля-ется лишь при низкой влажности, исчезая при степени влажности, соизмеримой с максимальной капиллярной влагоемкостью. В то же время на поведение жид-кой фазы существенно влияет ее природа и свойства (характер связанной жид-кости), а также условия перетекания жидкости. Последние в некоторой степени зависят от гранулометрического состава порошка и свойств частиц (трения, сцепления). С другой стороны, трение, механическое сцепление и возможность «проворота» частиц существенно зависят от присутствующей жидкости. Слои жидкости и жидкостная пленка резко снижают молекулярное сцепление частиц.

Что касается составляющей воздушной среды, то влияние ее на этапе компактирования не имеет существенного значения, в то время как на послед-них стадиях деформирования это может оказаться весьма важным фактором. Поэтому наличие воздушной составляющей должно быть учтено в явном или неявном виде в уравнениях, описывающих поведение влажного порошка при механическом воздействии на него.

Вообще, при разработке модели дискретной среды в первую очередь необходима схематизация элементов, образующих структуру среды. При этом необходимо сформулировать состоятельные гипотезы относительно:

1. Формы и размеров элементов; 2. Их топологии; 3. Вида взаимодействия элементов; 4. Свойств элементов, проявляющихся при их взаимодействии;

Рис. 2.1. Факторы предельного напряжения сдвига при компактировании

50

5. Характера учета свойств элементов и их взаимодействий.

Если абстрагироваться от наличия влаги, то исходная плотность уклад-ки сыпучих материалов зависит преимущественно от гранулометрического состава порошка и состояния поверхности частиц. В то же время физические свойства частиц практически не влияют на исходную плотность. При этом форма частиц может быть весьма разнообразной. На рис. 2.2 приведены раз-личные конфигурации укладки частиц в отсутствие влаги при построении аб-страктных моделей дискретного вещества. В разд. 1 работы обсуждались и другие модели, основанные на регуляризации структур в виде эллипсоидов, параллелепипедов, связанных дисков и т.д. Однако построение теории в рам-ках детерминированного подхода обычно приводит к феноменологическим представлениям о процессах уплотнения даже для начальных стадий дефор-мирования. В случае увлажненных порошков с воздушными пазухами карти-на еще более усложняется, особенно с учетом различия размеров и форм частиц.

Рис. 2.2. Исходная укладка сухих частиц порошка: а – квазишарообразных

частиц по В.Н. Цеменко [4]; б, в – частиц-дисков по Б.И. Дидуху [5]

Предлагается моделировать среду, включающую твердую фазу и двухкомпонентный флюид, на основе представительного элемента некоего единичного объема. Твердая фаза представляется частицами шаровой формы одного и того же размера, что существенно упрощает вычислительные процедуры при анализе процесса компактировании. Пусть представительный элемент содержит N частиц порошка различных размеров и формы. Форма частиц может иметь значение при их индивидуальном рассмотрении in situ, однако при коллективном поведении эти различия можно нивелировать приписанием им свойств, учитываемых при взаимодействии, например, шероховатости поверхности. Следовательно, если известен гранулометрический состав порошка, то средний размер частицы можно вычислить по формуле:

0 ( )r r f r dr

, (2.2)

где ro – средний радиус частицы порошка; f(r) – плотность вероятности распределения размеров частиц, образующих структуру; r – текущий радиус.

51

В формуле (2.2) пределы интегрирования могут быть естественным образом заужены до границ размеров наименьшей и наибольшей частиц. Что касается определения плотности вероятности, то она определяется по формуле классического распределения Гаусса:

2

2

( )1( ) exp

22mr r

f r

, (2.3)

где rm – среднее арифметическое значение радиуса частицы, полученное суммированием радиусов частиц по диапазонам таблицы гранулометрического состава с факторизацией с соответствующими весовыми коэффициентами; – стандартное отклонение.

Получение функции плотности вероятности на основе таблиц гранулометрического состава может осуществляться по нескольким алгоритмам:

1) осреднением размеров частиц по каждому из диапазонов и последующим вычислением среднего значения с учетом осреднения вероятностей попадания частиц в данный диапазон размеров частиц;

2) проведением расчетов по верхним и нижним границам диапазонов размеров частиц и вероятностей с последующим осреднением результатов;

3) установлением параметров функции плотности вероятности на основе обработки таблиц гранулометрического состава порошка с последующим вычислением среднего значения размера частицы. Первые два алгоритма практически идентичны. Отличие результатов в (1…2)% объясняется способом определения границ нижнего и верхнего диапазонов значений размеров частиц. Укрупненные алгоритмы для первого и третьего случаев представлены на рис. 2.3. Упрощенный алгоритм (см. рис. 2.3 – слева) достаточно просто реализуется в терминах матричной алгебры в среде MathCAD-2000Pro. Что касается алгоритма, предусматривающего построение функции плотности вероятности (2.3), то здесь следует отметить некоторые особенности расчетов. В частности, «обрезание» крайних диапазонов распределения в гранулометрической таблице вызывает необходимость перенормировки функции плотности вероятности. Эта вынужденная мера часто связана с известной неопределенностью границ крайних диапазонов. В некоторых случаях процентное соотношение частиц в рассматриваемом диапазоне размеров частиц задается также некоторым диапазоном значений процентного содержания частиц заданного размера. При выполнении расчетов с различными сочетаниями границ диапазонов размеров частиц и процентных соотношений эти значения приходится усреднять. Впрочем, ввиду линейности зависимостей расхождения результатов можно считать ничтожными.

По разработанной процедуре выполнено вычисление среднего радиуса частиц для ряда порошковых материалов, гранулометрический состав которых приведен в работе.

52

Рис. 2.3.Укрупненные алгоритмы вычисления средних размеров частиц: слева – по таблицам гранулометрического состава порошка; справа – с построением функции плотности вероятности

Получены следующие значения осредненных размеров (диаметров) час-

тиц для указанных материалов: ПЖ4М2 – 111,2 мкм; ПЖ-губка – 232,7 мкм; Fe3O4-1 – 119,5 мкм; Fe3O4-2 – 76,3 мкм; ПМС1 – 53,4 мкм; САС1 – 116,0 мкм; АКД12 – 177,0 мкм.

Рис. 2.4. Функции плотности вероятности для порошкового материала АНС100.29, построенные по экспериментальным данным процентного соотношения (Эксп) и по

алгоритму рис. 2 – справа (Аппрокс)

53

На рис. 2.4 приведены графики, иллюстрирующие применение методик

определения среднего значения размера частиц порошка для последующего использования при моделировании.

Есть основания полагать, что результат, полученный с помощью постро-енной функции плотности распределения, дает лучшее приближение к реаль-ному положению вещей. В результате специального исследования выявлено, что на диапазон размеров частиц от 45 до 70 мкм приходится до 40% их общего количества. Получение наилучшего приближения среднего размера частиц имеет особое значение для дальнейшего рассмотрения процессов уплотнения в связи со смачиваемостью частиц и образованием дренажных каналов. Если принять в рассмотрение некоторый представительный объем, то укладка ув-лажненных частиц может быть представлена множеством моделей с локально дефектным размещением частиц (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Локальные дефекты размещения частиц при первоначальной укладке

При действии внешней нагрузки локальные пустоты заполняются за счет механического перемещения частиц, причем, заполнение зависит от характеристик смеси (компаунда) «порошок – флюид».

2.1.2. Сопротивление компаунда «порошок – флюид» уплотнению

Внешние воздействия на компаунд вызывают реактивное сопротивление уплотнению. В первом приближении это сопротивление q могло бы быть представлено в аддитивной форме:

vs qqq , (2.4) где qs – структурное сопротивление, зависящее от гранулометрического состава, текущей плотности и структуры флюида; qv – сопротивление, связанное со скоростью деформирования или с интенсивностью деформации (сопротивлением сдвигу).

Представление сопротивления уплотнению в виде (2.4) не учитывает инерционную составляющую, имеющую значение, например, при уплотнении грунтов. Процессам ОМД, связанным с уплотнением увлажненных смесей, присущ квазистатический характер деформирования, в котором ускорениями частиц можно пренебречь.

54

Рис. 2.6. Зависимость сопротивления уплотнения от интенсивности дефора-ций: 1 – компоненты упруготого сжа-тия каркаса и выдавливания флюида;

2 - сопротивление сдвигу

Структурное сопротивление можно условно разложить на две

составляющие, относящиеся к упругому сжатию каркаса из частиц порошка и выдавливанию флюида через поровые полости соответственно. При этом упругое сопротивление сжатию каркаса пропорционально интенсивности деформаций, а сопротивление выдавливанию флюида зависит нелинейно от интенсивности деформаций. Сопротивление сдвигу также зависит нелинейно от интенсивности деформаций и уплотняющей нагрузки. Схематично указанные зависимости можно представить в виде диаграммы рис. 2.6.

Как видно на рис. 2.6, увеличение интенсивности деформаций (плотности) приводит к росту структурного сопротивления. Однако повышение влажности ведет к уменьшению структурного сопротивления, хотя составляющая сопротивления выдавливания флюида несколько увеличивается. Аналогичная зависимость от содержания флюида характерна и для сопротивления сдвигам. С практической точки зрения изменение сопротивления уплотнению возможно за счет свойств или объемного содержания флюида. На рис. 2.7 представлены зависимости, полученные в результате постановочных экспериментов по компактированию железного порошка с различным объемным содержанием флюида (воды).

Рис. 2.7. Влияние влажности на уплотнение порошковой смеси

55

Для справки и дальнейших аналитических расчетов также приводятся уравнения сглаженных кривых, полученных в среде EXCEL-2003 для первого этапа деформирования порошковой смеси в присутствие флюида (воды):

У = 0,0143Х2+0,2343Х+2,36, (2.5) У = 0,0143Х2+0,2743Х+2,37, (2.6) У = 0,0214Х2+0,2614Х+2,44, (2.7) У = 0,0214Х2+0,0134Х+2,45, (2.8)

где У – плотность прессовки; Х – сопротивление уплотнению (давление уплотнения) в относительных единицах. Связь значений Х со значениями q дается следующей формулой:

Х = 0,05(q + 10). Уравнения (2.5) – (2.8), относящиеся к различным значениям влажности в

порядке убывания согласно рис. 2.7, отражают суммарный эффект влияния увлажнения порошка на первоначальном этапе деформирования.

2.2. Преимущественно упругое уплотнение

Величину структурного уплотнения в формуле (2.4) можно выразить через полные обобщенные деформации материала i следующим образом:

is Aq , (2.9)

где А, – показатели процесса уплотнения для этапов упругого и пластического уплотнения.

Ясно, что при = 1 зависимость (2.9) становится линейной, что отвечает случаю упругого деформирования. При > 1 происходит процесс уплотнения с упрочнением, в то время как при < 1 возникает разрыхление порошковой массы, как, например, в случае применения ротор-пуансона с профилированной поверхностью. Показатель чувствителен к изменению напряженно-деформированного состояния, в частности, к граничным условиям (возможности бокового расширения).

2.2.1. Модельное представление структуры упругой среды Компактирование порошка на первой стадии приводит к устранению

дефектов размещения частиц, представленных на рис. 2.5. При этом частицы располагаются достаточно плотно друг к другу (рис. 2.8). Для оценки плотности порошковой смеси перед началом упругого деформирования на второй стадии используем следующее модельное представление. Пусть осуществляется деформирование увлажненного порошка в цилиндрической матрице по схеме одностороннего прессования. Будем считать, что к концу первой стадии движение пуансона приводит смесь к уровню плотной укладки частиц порошка. Пусть к этому моменту высота цилиндрической полости будет равна Н, изначальный же диаметр полости матрицы составляет величину D. Укладка частиц в створе угла 60° в плоскости среза, параллельной основанию цилиндра полости матрицы, показана на том же рис. 2.8, где указан отсчет

56

окружных слоев частиц. Пусть число окружных слоев равно N, а число слоев вдоль оси симметрии матрицы составляет величину m.

Рис. 2.8. Радиальная укладка частиц в плоскости среза, параллельной основанию цилиндра матрицы

Число частиц в каждом из шести секторов при движении по радиусу от

одного окружного слоя к другому увеличивается на единицу. Следовательно, в плоскости среза, перпендикулярной оси симметрии матрицы, число частиц Np можно подсчитать по формуле:

)(61 1NiPN , (2.10)

где i – число частиц окружного слоя в пределах одного сектора. Число каверн (пор) Nc после каждого окружного слоя подсчитывается в

соответствии с формулой: ))12((6 1 iN N

iC . (2.11)

Рис. 2.9. Контакт сферических частиц и связывающий тетраэдр Укладка частиц по плоскостям вдоль оси симметрии матрицы происходит

с трехточечным контактом каждой частицы последующего слоя с частицами предыдущего. Центры указанных контактирующих частиц являются вершина-ми тетраэдра со стороной 2r (рис. 2.9), причем вершина центра частицы после-дующего слоя проецируется в точку пересечения медиан основания, образован-ного центрами трех частиц предыдущего слоя. Высота h такого тетраэдра опре-деляется по формуле:

i i+1

57

3

22

3

24

2

2 rr

rh

. (2.12)

Тогда высота Н цилиндрической полости матрицы будет вычисляться с учетом формулы (2.12) следующим образом:

rrmH 23

22 , (2.13)

где m – число слоев частиц вдоль оси симметрии цилиндра матрицы. Площадь основания S цилиндра матрицы определяется формулой:

224 NrS . (2.14) С учетом соотношений (2.13) и (2.14) объем цилиндра можно представить

в следующем виде:

1

3

224 22 mrNrHSV . (2.15)

Объем частиц, заполняющих полость матрицы, с учетом формулы (2.10) и подсчета суммы числа частиц в плоскости среза легко определяется следующей зависимостью:

mNN

rVp

2

)1(61

3

4 3 . (2.16)

Объем каверн в полости цилиндра матрицы с учетом формулы (2.11) и подсчета суммы их числа в полости среза по плоскости среза, перпендикулярной оси симметрии цилиндра, дается формулой:

cc VmNNV )2(6 , (2.17)

где Vc – средний объем каверны, который можно определить на основе соотношений (2.15) – (2.17):

cp VVV . (2.18)

Как указано в работе, модельное представление каверн (пор) может быть весьма разнообразным, однако при статистических расчетах форма каверны незначительно влияет на конечный результат. Кроме того, если каверну представить в виде цилиндра, как в работе, то пришлось бы задавать два параметра (радиус основания и высоту). В этом случае, кроме уравнения (2.18), потребовалось бы еще одно уравнение для определения параметров из системы двух уравнений. Поэтому более целесообразным представляется моделировать каверну шаром, радиус которого может быть вычислен на основании уравнения (2.18). Объем каверны определяется известной формулой:

3

3

4cc rV , (2.19)

где rc – радиус каверны. Тогда из уравнений (2.18), (2.19) с учетом соотношений (2.15) – (2.17)

получаем зависимость:

58

26

13113

26 2

33

NmN

NNmmN

rrc . (2.20)

Принимая во внимание факт, что число частиц порошка в прессовке значительно, можно найти предельное значение правой части уравнения (2.20), устремляя к бесконечности m и N:

mNN

NNmmN

rrmN

c 26

13113

26 2

3limlim . (2.21)

Из соотношения (2.21) получаем: rrc 6815,0 . (2.22)

Используя формулы (2.16) и (2.18), получим следующее соотношение между объемом частиц порошка и объемом полости матрицы:

6124,0V

Vp. (2.22’)

Фактически это означает, что объем, занимаемый частицами, несколько превышает величину 60%. С другой стороны, весьма важно провести сопоставление результатов, получаемых по модельному представлению, и результатов постановочных экспериментов для первой стадии прессования. Для этого определим плотность прессовки в соответствии с модельным представлением состояния формуемого материала в конце первой стадии прессования:

cp

fcppI

VV

VV

, (2.22’’)

где p, f – плотности частиц порошка и флюида соответственно. Если в качестве флюида взять воду, полностью заполняющую поры, то

расчет плотности прессовки по формулам (2.21), (2.22) дает значение I = 5,148 г/см3. Сравнение этого значения со значением плотности порошковой смеси с увлажнением 16 % в конце первого этапа прессования (I

эксп = 4,5 г/см3, см. рис. 2.7) показывает, что расхождение приведенных значений лежит в пределах 14,4 %. Если же взять не полное заполнение пор (каверн) водой, а только на 16%, то расхождение значений плотности не превышает 7,2%. Если же прессуется сухой порошок, то отличие в тех же значениях плотности несколько выше и достигает 25%. Это означает, что модельное представление процесса прессования дает весьма хорошее приближение к экспериментальным данным при значительном увлажнении порошка.

Очевидно, результаты модельного представления расположения частиц в конце первого этапа деформирования не зависят от конфигурации матрицы, поскольку укладка частиц не меняется, а переход к предельным значениям приводит к тому же самому результату, что был получен выше. С другой

59

стороны, рассмотренное состояние укладки частиц порошка составляет основу для рассмотрения упругого деформирования структурированной смеси на втором этапе деформирования.

2.2.2. Модели укладки и геометрические параметры

Рассмотрим два варианта укладки частиц для осуществления анализа влияния силовых факторов на стадии упругого компактирования (рис. 2.10а, б).

Схема «а» рис. 2.10. Пусть в первом горизонтальном ряду площадки размером ll укладывается ровно n частиц, а в следующем ряду – на единицу меньше. Число частиц в вертикальных рядах – m. Тогда общее число частиц будет составлять:

Nmnn

2

)1(, (2.23)

где N – общее число частиц, лежащих в слое, примыкающем к инструменту. Учитывая, что расстояние между соседними слоями по вертикали

составляет 3r , вертикальное ребро будет иметь длину: 23 mrl . (2.24)

Горизонтальное ребро имеет длину: nrl 2 . (2.25)

Произведя деление (2.24) на (2.25), получим:

12

23

n

m, (2.26)

а комбинируя соотношения (2.23) и (2.26), приходим к зависимости:

3

)12)(1(

nnN . (2.27)

Принимая во внимание зависимость (2.25), можно переписать формулу (2.27) в следующем виде:

232

))(2(

r

rlrlNa

, (2.28)

где индекс «а» указывает на связь формулы с рис. 2.10,а (с усреднением частиц по горизонтальным рядам).

Рис. 2.10. схемы расположения частиц после первой стадии: а – квазикомпактная укладка; б – рядная укладка (вид со стороны инструмента)

В случае плотной укладки, когда учитывается полное число частиц в ряду, аналог соотношений (2.23) – (2.25) можно дать системой:

60

rnl

rrml

nmN

2

23)1( , (2.29)

откуда можно получить число частиц, лежащих в слое, примыкающем к инструменту:

32

)32(2

r

rrllNk . (2.30)

При этом число частиц, укладывающееся на площадке, зависит от их среднестатистического размера и принятой схемы упругого компактирования.

Схема «б» рис. 2.10. В этом случае число частиц в первом слое определяется формулой:

2

2

b )2( r

lN

. (2.31)

На рис. 2.11 представлены зависимости числа частиц, приходящегося на единичную площадку, для различного вида укладки в соответствии с формулами (2.28), (2.30) и (2.31). На том же рисунке в верхней части представлены графики относительных отклонений в процентах для схем «а» и «б» рис. 2.10 по отношению к схеме наиболее плотной укладки. Расчет отклонений в определении числа частиц выполняли по формуле:

k

k

N

NN ,

где индексы «а» и «б» условно опущены. Для реального диапазона средних радиусов частиц различие в

определении числа частиц в слое лежит в пределах от 4 до 12%. Данную оценку можно будет использовать для вычисления суммарной погрешности определения параметров процесса после установления последующих этапов вычислительной процедуры.

61

Рис. 2.11. Зависимость числа частиц, приходящегося на единичную площадку, от их радиуса при различных видах укладки: Na(r) – по схеме «а», Nb(r) – по схеме «б» рис. 2.10; верхняя диаграмма отображает ошибку в % для указанных схем укладки по отношению к наиболее

компактной укладке

2.2.3. Силовые факторы, действующие на индивидуальную частицу

Приступим к рассмотрению силовых факторов, действующих на индивидуальную частицу. Здесь также возможны две предельные схемы а) – схема латерального давления; б) – схема прямого давления. В первом случае нагрузка от инструмента передается по вертикали, а во втором случае она распределяется на три частицы последующего слоя условно равномерно под известными углами к вертикали. Указанные схемы соответствуют схемам укладки, приведенным на рис. 2.10.

Вычисленные в разд. 2.2.2 значения числа частиц, приходящихся на единичную площадку, можно использовать для определения сил, действующих на индивидуальные частицы при деформировании. Пусть сила на площадке А = l2 инструмента составляет величину р. Тогда сила, действующая на индивидуальную частицу, будет определяться выражением:

Рис. 2.12. Силовые факторы в схеме латерального давления

62

N

lpF

2 . (2.32)

Формула (2.32) будет использована для расчета величины сжатия частиц-шаров при чисто упругом деформировании для двух указанных выше схем приложения давления.

Схема латерального давления. Здесь силовые факторы распределяются согласно рис. 2.12 (силы реакции условно не показаны). Из условия проецирования на вертикальную ось действующих на частицу сил получим следующее соотношение:

cos3sin3 fFFF , (2.33) где F´ – сила контактного взаимодействия между частицами; – угол действия силы контактного взаимодействия; f – коэффициент трения.

Учитывая значение угла , полученное из геометрического рассмотрения, из формулы (2.33) получаем величину силы контактного взаимодействия:

)2(3

f

FF . (2.34)

Величину упругого сжатия двух контактирующих частиц в проекции на вертикаль можно определить из следующего соотношения:

sinев hh , (2.35)

где he – величина упругого сжатия контактирующих частиц по радиальному направлению.

Полную величину упругого деформирования прессовки на данной стадии деформирования можно вычислить с учетом зависимости, аналогичной формуле (2.24), и соотношения (2.35):

)(3

)2(2Fh

r

rhh е

, (2.36)

где h – высота прессовки. Схема прямого давления. Для схемы прямого давления соотношение

(2.36) несколько упрощается, поскольку h = [h/(2r)–1]·he(F΄). (2.37)

2.2.4. Расчет сил, смещений и размеров контактной зоны

Для расчета величины упругого деформирования в схеме с латеральным давлением по формуле (2.36) и в схеме с прямым давлением по формуле (2.37) необходимо первоначально решить задачу определения величины смещения при контактном упругом взаимодействии двух частиц (рис. 2.13).

Связь геометрических параметров для верхней частицы дается формулой: 2/33 ehux , (2.38)

где х3 – координата; u3 – перемещение в направлении оси х3; Δhe – величина упругого сжатия частиц.

63

Рис. 2.13. Схема контактного взаимодействия частиц и гео-

метрические параметры

х3u3 Δhе

/2

Координату х3 в формуле (2.38) можно представить через координаты х1 и х2, поскольку их связь устанавливается уравнением поверхности второго порядка:

2

1

2

13

i jjiij xxх , (2.39)

где ij – кривизна поверхности, которая для частиц сферической формы

составляет величину 1/r (r – радиус шара-частицы).

Соотношения, аналогичные уравнениям (2.38) и (2.39), будут иметь место и для нижнего шара. Тогда можно получить следующее уравнение:

ei j

jiij huuxx

'2 33

2

1

2

1

, (2.40)

где u'3 – перемещения точек контура нижнего шара. Ввиду симметрии задачи относительно оси х3, поворотом системы

координат относительно той же оси можно привести уравнения (2.40) к следующему виду:

ehuuxBxA '33

22

21 , (2.41)

где А, В – коэффициенты преобразования. Учитывая также обратимость шаров, смещения под действием силы F

можно представить в следующем виде [9]:

'')','(1'21

212

33 dxdxxxF

Euu

, (2.42)

где μ – коэффициент Пуассона; Е – модуль Юнга материала порошка; ρ – текущее значение радиуса; F – величина действующей силы, зависящей от двух координат.

В уравнении (2.42) сила зависит от координат, так что можно выявить распределение давления в контактной зоне. В принципе, распределение

64

давления в контактной зоне определяется интегральным уравнением, полученным из соотношений (2.41) и (2.42):

22

2121

212

'')','(12xBxAhdxdx

xxF

E e

. (2.43)

Проводя аналогию с теорией потенциала [10], получим распределение силы по области соприкосновения в виде:

2

2

2

121

''1

'3)','(

b

x

a

x

ba

FxxF

, (2.44)

где а, b – полуоси контактной зоны, конфигурация которой в общем случае определяется уравнением эллипса:

12

22

2

21

b

x

a

x. (2.45)

Подстановка формулы (2.44) в (2.43) дает в левой части интеграл, который тождественно преобразуется следующим образом:

))((1

2

''1

''

220

2

22

2

21

2

2

2

121

ba

d

b

x

a

xba

b

x

a

xdxdx

, (2.46)

где ξ – переменная интегрирования. Подстановка (2.46) в (2.44) дает следующее выражение:

0

22

2122

2

22

2

21

2

))((

11

2

'3xBxAhd

ba

b

x

a

x

E

Fe

. (2.47)

Интегрирование левой части уравнения (2.47) с учетом того, что а = b, и сопоставление его результатов с правой частью того же уравнения приводит к следующим соотношениям:

02

2

)(

1

2

'3

a

d

E

Fhe , (2.48)

022

2

)(

1

2

'3

a

d

E

FBA . (2.49)

Учитывая, что A = B = 1/r, из формулы (2.48) получаем:

3

2

4

)1(3' rE

Fa

, (2.50)

а из формулы (2.48) получаем величину сближения частиц:

65

3

221

2

9

'F

E

μ

rΔhe

. (2.51)

Зависимость (2.50) определяет радиус кругового контактного пятна. При этом уравнение эллипса (2.45) вырождается в уравнение окружности. Хотя сама по себе эта величина не имеет большого значения, однако известно, что максимальные касательные напряжения развиваются при сжатии частиц на расстоянии, сопоставимом с величиной «а», при отсчете от площадки

контактного взаимодействия. Как только будут превышен предел 3/S , начнется чисто пластическое деформирование и «затягивание» межчастичных пазух. При низкой степени увлажнения жидкость может полностью не заполнять пазухи, так что соседствующие частицы будут образовывать полость с каналами, в которой будет находиться флюид (смесь или раздельные фракции жидкости и газа).

Формула (2.51) позволяет выполнять вычисление изменения высоты (плотности) прессовки при заданных значениях давления на пуансоне, среднего размера частиц и их механических свойств, а также текущей высоты прессовки. Так, для схемы с наиболее компактной укладкой и латеральным давлением расчетную формулу можно получить на основе уравнений (2.36) и (2.51):

3

221

2

9

3

22

'F

E

μ

rr

r)(hΔh , (2.52)

где, в свою очередь, величина действующей на индивидуальную частицу силы определяется формулой:

)rr)(l(f

plr'F322

2 2

, (2.53)

В формуле (2.53) следует принять l = 1000 мкм = 1 мм, тогда величина «р» будет представлять собой удельную силу (давление) на пуансоне.

На основе зависимостей (2.52) и (2.53) на рис. 2.14 и 2.15 даны графики, отражающие взаимное влияние входящих в вышеуказанные выражения технологических параметров и механических свойств порошковой смеси. Расчеты выполнены в среде MathCAD2001Pro. При расчете были приняты следующие значения характеристик: Е = 2,1·105 МПа, μ = 0,3, f = 0,2, l = 1000 мкм. Другие параметры при расчетах отождествлялись с аргументами функции изменения высоты прессовки.

На рис. 2.14 видно, что на изменение высоты прессовки средний радиус частицы влияет достаточно слабо, хотя r входит в формулы (2.52) и (2.54) достаточно сложным образом. Так что для стадии упругого сжатия размеры частиц можно практически не принимать в расчет. В то же время зависимость h от удельной силы на инструменте представляется достаточно сильной.

66

Рис. 2.14. Зависимость изменения высоты прессовки от давления на

инструменте и среднего радиуса частиц

Влияние текущей высоты прессовки показано на рис. 2.15. Однако данный параметр входит линейно в расчетные уравнения и на изменение плотности заготовки не оказывает существенного влияния.

В случае прямого давления расчетные формулы имеют вид:

3

221

2

91

2

'F

E

μ

rr

h Δh , (2.54)

где величина действующей на индивидуальную частицу силы определяется формулой:

24 pr'F . (2.55) Зависимости (2.54) и (2.55) приведены на рис. 2.16, где, как и следовало

ожидать, влияние давления инструмента более существенно. Схемы латерального и прямого давления здесь рассматриваются из тех

соображений, что в реальном процессе в различных зонах прессовки может существовать в данный момент времени та или иная силовая схема. С течением времени схемы могут меняться, однако мы склоняемся к мнению, что схема компактной укладки в объеме и, следовательно, схема латерального давления является доминирующей. Дело в том, что к концу первой стадии развиваемое давление достигает величины порядка 100 МПа, а действующие тангенциальные силы в зоне контакта в несколько раз меньше, чем нормальные. В этих условиях система линейного расположения частиц становится неустойчивой и имеет тенденцию перехода к плотной укладке частиц. Этому также способствует снижение коэффициента трения за счет введения жидкости в состав порошковой смеси.

67

Рис. 2.15. Зависимость изменения высоты прессовки от давления на инструменте и высоты прессовки при латеральном давлении

Рис. 2.16. Зависимость изменения высоты прессовки от давления

на инструменте и высоты прессовки при прямом давлении

Следует отметить, что на рис. 2.15 и 2.16 значение среднего радиуса частицы принято равным 20 мкм. Однако, учитывая зависимость изменения высоты прессовки от r согласно рис. 2.14, можно ожидать, что для других значений среднего радиуса частицы диаграммы 2.15 и 2.16 не будут претерпевать существенных изменений.

2.2.5. Определение границ упругой области

Рассмотрим интегральную оценку упругого деформирования порошковой смеси. Такая оценка не лишена смысла, поскольку решение задачи упругого деформирования шаровидных частиц должно иметь определенные ограничения по нагрузке сверху. Грубая оценка верхнего предела преимущественно упругого деформирования может быть получена из схемы прямого давления, для которого справедливо соотношение (2.55). Если для этого случая считать предельным напряжением величину предела текучести материала порошка, то

68

нагрузка по давлению инструмента р должна удовлетворять следующему неравенству:

4sp

, (2.56)

где σs – предел текучести материала порошка. Это значение лежит несколько ниже верхней границы второй стадии

деформирования (примерно на 20…30%). Расчет деформаций для верхнего предела давления второй стадии деформирования показывает, что расчетные деформации находятся в пределах (1,2…1,4)%. С другой стороны, если рассматривать оценку предельной деформации с формальной точки зрения, то, приняв за предел пороговой упругой деформации величину 0,2%, обнаружим, что это значение деформации достигается при давлении порядка 23 МПа. Для материала порошка, используемого в данной работе, предел упругого деформирования составляет величину 0,6%, чему соответствует давление в 123 МПа. Это означает, что превышение данного значения проводит к упруго-пластическому деформированию вплоть до предельного значения, определяемого нестрогим неравенством (2.56). Вышеприведенные оценки представлены в графическом виде на рис. 2.17.

Чисто

упругая

зона деформирования

Упруго-пластическая

зона

деформирования

Рис. 2.17. Зоны деформирования частиц порошковой смеси

на границе между первой и второй стадиями

График рис. 2.17 показывает, что на первой стадии взаимосвязь «деформация-давление» следует квази-линейному закону. На второй стадии эта тенденция сохраняется, однако угол наклона графика по отношению к оси абсцисс изменяется. Как указывалось ранее, по представленным моделям (2.52) – (2.55) к концу второй стадии достигается деформация, не превышающая 2%, причем, к концу первой стадии деформация не превышает 0,6%. В то же время эти результаты, казалось бы, находятся в противоречии к экспериментальной кривой уплотнения (рис. 2.17), где показано, что различие плотности прессовки в начале и конце второй стадии составляет от 30 до 50%. Столь значительное

69

повышение плотности нельзя объяснить выходом жидкости, поскольку он составляет величину порядка (2…3)%.

Рассмотрим изменение высоты прессовки на второй стадии. Пусть плот-ность 1 = m1/V1 (здесь масса прессовки m1 и ее объем V1 относятся к концу первой стадии). Текущие значения плотности, массы и объема в некоторый мо-мент времени, относящийся ко второй стадии, связаны аналогичным соотноше-нием: = m/V. Комбинируя оба эти выражения с учетом определения объема и выхода влаги в виде m1, получим:

ξ

ξ

ρ

ρ

ξh

Δh

11

1

1

1

, (2.57)

где – доля потери массы за счет выхода (дренажа) жидкости. Подстановка в формулу (2.57) значений, снятых с кривой уплотнения,

дает результаты, превосходящие почти на порядок результаты представленных выше моделей. Такое отличие объясняется рядом факторов. Во-первых, в формуле 2.57) не учтены деформации, лежащие в горизонтальных плоскостях и связанные с заполнением полостей между шаровидными частицами. Во-вторых, нерегулярность формы реальных частиц порошка и их различие в размерах может приводить к полному поглощению пазух в ряде локальных областей. В-третьих, наступление пластического состояния на микро-неоднородностях может наступать существенно раньше, чем для модельных частиц шарообразной формы. В-четвертых, принятое при расчете по формуле (2.57) значение давления конца второго этапа деформирования не удовлетворяет требованию оценки (2.56). Указанные явления, кроме изменения плотности, существенно влияют и на отвод жидкости: часть каналов отвода внутри прессовки и на границе (стенки матрицы) сужаются или обрываются (см. рис. 2.17). При этом некоторое значение могут иметь и капиллярные явления.

2.3. Отвод флюида при уплотнении порошковой смеси Присутствие флюида при уплотнении создает определенные условия

интенсификации процесса за счет снижения характеристик трения и обновления контактирующих поверхностей взаимодействующих частиц. Вопросы прохождения флюида через пористые стабильные среды при умеренных давлениях рассмотрены в ряде релевантных источников. Однако закономерности отвода флюида из компактируемых увлажненных сред при интенсивном деформировании до настоящего времени не были рассмотрены.

2.3.1. Разрешающие уравнения отвода флюида

Рассмотрим дренажирование флюида через извилистые каналы с локаль-ными микро-бустерами (рис. 2.18). Первоначальное сжатие на первой стадии вызывает интенсивное дренажирование воздушной среды в условиях значи-тельного числа свободных каналов.

70

Рис. 2.18. Схема дренажирования флюида

Этот процесс не может приводить к существенному изменению давления во внутренних областях прессовки на первой или даже второй стадиях дефор-мирования. Лишь после выхода воздушной массы со стабилизацией структуры плотной укладки и деформацией каналов и полостей, последние действуют как микро-бустеры, выступая как источники дополнительного давления. Масса жидкости в некоторой локальной полости составляет величину:

,)( 0

dVMV (2.58)

где – плотность жидкости, V , 0V – переменная интегрирования и объем по-лости соответственно.

Через элемент жидкости dA в единицу времени протекает Ad жидко-сти, а полное количество жидкости, вытекающей в единицу времени из объема

0V , представляется в виде:

, Addt

dM (2.59)

где – скорость движения жидкости. Из (2.58) и (2.59) получаем следующее уравнение:

,A dυρ ρdVt

0

(2.60)

Применив к формуле (2.60) формулу Гаусса-Остроградского, имеем:

, dV)υ(ρt

ρ

)(V

00

(2.61)

где k

kx

(здесь k единичный вектор в направлении k –й оси координат) –

оператор дифференцирования. Учитывая некоторую произвольность выбора объема 0V , из (2.61) получа-

ем уравнение неразрывности в виде:

,0)()(

jtt (2.62)

где «j» соответствует частной производной по координате jX .

Уравнение движения жидкости представлено в виде:

71

, AdpFt

M

(2.63)

где F – полная сила, действующая на массу жидкости; p – давление, дейст-

вующее по поверхности Ad . Преобразование поверхностного интеграла в правой части формулы

(2.63) приводит к выражению

,)()( 00

pdVdVt VV

откуда, ввиду произвольности выбора объема 0V , получаем:

,pt

(2.64)

Однако ),,( tr а ее полная производная имеет следующий вид:

,)(

tt (2.65)

Подстановка левой части формулы (2.65) в уравнение (2.64) и представ-ление последнего в координатной форме после деления на дает:

jkiki p

t,

1)(

(2.66)

Отметим, что нами не учитываются силы тяготения ввиду малости их влияния при движении жидкости под действием значительных разностей давлений внутри прессовки и на выходе отводного канала, выходящего в зазор пуансона и матрицы. При необходимости учета сил тяжести, в правую часть формулы (2.64) добавляется величина g ( g – ускорение свободного падения), что приводит к уравнению Бернулли, если считать скорость постоянной в каждой точке.

С другой стороны, скорость изменения импульса единичного объема жидкости вдоль координаты iX определяется соотношением:

,)()( ii

ii tttt

(2.67)

Тогда, из соотношения (2.67) с учетом (2.62) получим:

,),(,)( jiiki Pt

(2.68)

В формуле (2.68) индексы k и j – немые, поэтому можно выполнить за-мену kj и произвести группировку слагаемых так, что уравнение (2.68) при-мет следующий вид:

kkikikkiki ),(ρρυ,υ(ρρP,δ)(ρt

, (2.69)

где ik – символ Кронеккера, обладающий свойством «поднятия» индекса в си-лу его определения:

72

k,, i

k, iδik 0

1 (2.70)

Легко видеть, что правую часть соотношения (2.69) можно представить в виде производной некоторой функции, точнее, тензора ikP :

,kiikik υρυpδP (2.71) Тензор )( ikP называется тензором плотности потока импульса, а его

компонента ikP представляет собой i -ю компоненту количества импульса, протекающего за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси kX . Очевидно, тензор ikP обладает свойством

симметрии относительно главной диагонали, т.е., kiik PP . С учетом (2.71), уравнение (2.69) принимает вид:

,,P)(ρt kiki (2.72)

Отметим, что интерпретация тензора плотности потока импульса легко получается интегрированием зависимости (2.72) по объему и преобразованием интеграла по объему в правой части к интегралу по поверхности. В частности, если зависимость (2.71) умножить на направляющий косинус kn , то по аналогии с вектором напряжений получаем:

,nυρυPnnP kkiikik или же в векторном виде:

),nυ(υnpPn

(2.73)

где n

– направляющий вектор поверхности, вдоль которого согласно формуле (2.73), переносится поток с плотностью 2ρυp , если направление скорости и направляющего вектора совпадают.

Ясно, что если n

, то в направлении, перпендикулярном скорости, переносится лишь поперечная компонента импульса, равная p .

В случае движения вязкой жидкости тензор плотности потока импульса

дополняется вязким тензором напряжений 'ikσ , определяющим вязкий перенос

импульса в жидкости:

,kυ

iρυf

ikσ

kυ

iρυ'

ikσ

ikpδ

ikP (2.74)

где f

ik – тензор напряжений в флюиде. Наиболее общий вид вязкого тензора напряжений установлен в работе [9]

из следующих соображений: во-первых, вязкое трение может возникать только

при движении различных участков с различной скоростью, так что 'ik

должен

содержать производные скорости по координатам, причем, при малых

градиентах скорости в состав 'ik

будут входить только первые производные

73

линейно; во-вторых, если скорость во всех точках движущейся жидкости

постоянна, то 0' ik

, что устраняет возможность присутствия в структуре

рассматриваемого тензора членов, независящих от ki,

; в-третьих, при

вращении жидкости как целого с постоянной угловой скоростью ω = ]r[ω и

линейные комбинации типа ik

i

x

υk

x

υ

, которые должны входить в состав

тензора, обращаются в нуль. Наиболее общий вид этого тензора:

,x

υξδ

x

υ

x

υ

x

υησ

m

mik

m

mik

i

k

k

i'ik

3

2 (2.75)

где , – коэффициент вязкости. Для учета вязкости в уравнении движения жидкости (2.66) необходимо

добавить к его правой части выражение типа:

,32

2'

,

k

k

ik

ikik xxx

(2.76)

Тогда получаем аналог уравнения Навье-Стокса в координатном представлении:

,3

,),(2

2

k

k

ik

iikik

i

xxxP

t

(2.77)

Если жидкость считать несжимаемой, то 0 (см. уравнение (2.62)) и уравнение (2.77) упрощается:

,1

2

2

k

iikik

i

x

υ

ρ

ηP,

ρ),(υυ

t

υ

(2.78)

Тензор напряжений в флюиде (см. формулу (2.74)) также упрощается: ),( ,, ikkiik

fik p

Уравнение (2.78) является расчетным для дренажирования флюида.

2.3.2. Расчет объема отвода флюида

Каналы в компактируемой смеси, пролегающие от центра прессовки до ее периферии, являются извилистыми, а их число и степень извилистости существенно зависят от стадии прессования. Наличие пазух между частицами создает своего рода ресивер-бустер, как бы компенсирующий извилистость каналов. В этой связи можно рассматривать ряд прямолинейных независимых каналов, число которых на момент плотной укладки частиц будет составлять, скажем, число 0N . На последующих стадиях число таких прямолинейных каналов будет уменьшаться в соответствии с формулой:

,0 mm NN (2.79)

74

где m – статистическая нормированная функция обструкции каналов, которая может быть непрерывной или же дискретной величиной, представляющей собой осредненное значение для m -ой стадии прессования.

Очевидно, к конечной стадии прессования функция i в формуле (2.79) имеет тенденцию стремления к нулю (полное замыкание отводных каналов).

Введем также понятие парциального давления на пуансоне, которое связано только со сжатием флюида, но не с давлением, приходящимся на формоизменение частиц порошка:

,mmf

m PP (2.80)

где m – коэффициент, учитывающий передачу давления на флюид.

Следует отметить, что m в формуле (2.80) существенно зависит от условий затвора жидкости, в частности, от зазора в инструменте и гранулометрического состава порошка.

Будем считать отводящие каналы трубчатыми с радиусом R и расположенными радиально по цилиндрической прессовке. Для иных форм прессовок их расположение может быть сообразовано с контуром прессовки. Радиальному направлению канала будем приписывать индекс 1i в уравнении (2.78).

Ясно, что скорость флюида 1 является теперь функцией координат

2x и 3x . При этом уравнение неразрывности (2.62) удовлетворяется тождественно, а уравнение (2.78) с учетом стационарного течения флюида вдоль канала имеет вид:

.1

23

2

22

2

1 xxdx

dP fm

(2.81)

Переходя к полярным координатам, преобразуем оператор Лапласа в правой части уравнения (2.81) и само уравнение к следующему виду:

,

2

1

k

fm

dP

dr

dr

dr

d

r

(2.82)

где kd – диаметр матрицы-контейнера. Заметим, что представление правой части уравнения (2.82) в виде

конечных разностей стало возможным благодаря следующему обстоятельству. Нетрудно заметить, что в уравнении (2.81) левая часть зависит только от 1x , а

правая – от 2x и 3x . Но равенство двух функций от разных аргументов возможно лишь в случае, если каждая из них равняется константе, а следовательно, правая часть уравнения (2.82) есть константа. Знак «–» в правой части учитывает различие знака приращения координаты 1x и давления.

Решение уравнения (2.82) легко получается в квадратурах:

,2 21

2)( cnrcr

d

P

k

fm

r

(2.83)

75

где 1c , 2c – константы интегрирования. При 0r скорость )(r должна иметь конечное значение, однако это воз-

можно лишь при 01 c . Вторую константу 2c найдем из условия:

,02

)( 22

cR

d

PR

k

fm

откуда 2

2 2R

d

Pc

k

f

m

. Подстановка 1c и 2c в решение (2.83) дает:

).(2

22)( rR

d

P

k

fm

r

(2.84)

Выполним первоначально расчет выхода флюида через единичный канал (рис. 2.19). За единицу времени через кольцевой элемент проходит количество жидкости:

),(2 rrdrdq f (2.85)

где f – плотность флюида.

Рис. 2.19. К определению выхода флюида Тогда через полное сечение канала отвод жидкости в единицу времени

будет найден интегрированием уравнения (2.28):

R

f drrrq0

)(2 , (2.86)

Производя подстановку )(r из формулы (2.84) в соотношение (2.86), по-лучим:

fk

fm

m Rd

Pq

4

4 (2.87)

Для определения количества жидкости, отводимого из прессовки на m стадии прессования, следует значение q из формулы (2.87) умножить на среднее время продолжительности стадии mt и число каналов mN . Если

атмосферное давление мало по сравнению с f

mP , то f

m

f

m PP . Тогда количество отводимой жидкости с учетом (2.87), (2.79), (2.80) будет определяться зависимостью:

mmk

mfmm RN

d

tpQ

4

04. (2.88)

76

Последние четыре сомножителя в формуле (2.88) целесообразно обозначить следующим образом:

40 RNA mmm , (2.89)

Такое обозначение целесообразно ввиду того, что подсчет числа каналов, степень их обструкции по мере развития процесса, установление парциальных давлений и размеров микро-каналов отвода жидкости представляется задачей практически неразрешимой, в то время как возможность экспериментального определения лишь одного коэффициента mA делает модель (2.88) пригодной для практических расчетов. В окончательном виде расчетная формула (2.88) будет представлена так:

,4 m

k

mfmm A

d

tpQ

(2.90)

где mA – размерный коэффициент, определяемый расчетным путем из формулы (2.90) при экспериментальном определении других входящих параметров процесса для m-ой стадии деформирования.

Рис. 2. 20. Схема установки для определения m :

1 – матрица;2 – пуансон; 3 – зонд с калиброванными отверстиями; 4 – металлическая трубка; 5 – фторопластовая уплотнительная втулка

Из числа входящих в формулу (2.89) параметров, пожалуй, только

коэффициент m может быть определен независимо. На рис. 2.20 приведена

схема экспериментального определения коэффициента m . Измеренные

значения mp и f

mp позволяют произвести расчет m по формуле (2.80).

77

На рис. 2.21 представлены экспериментальные значения коэффициентов аm = lg(1/Am) для каждой из пяти стадий деформирования порошковой смеси. В расчетах значения давлений осредняли на каждой стадии деформирования.

Рассмотренная модель (2.87) коррелирует по форме с моделью Бекингема:

42

3

1

3

41

8 r

R

r

Rprq

,

где q – объемный расход жидкости в капилляре; р – перепад давления на концах капилляра; R – радиус ядра потока, равный 0/(2d/p) (0 – предельное напряжение сдвига).

В указанной работе влияние бустеров смоделировано функциями внезапного расширения Борда и внезапного сужения капилляра Идельчика, дана асимптотическая оценка решений. К сожалению, результаты этой работы весьма отдалены от их практического приложения ввиду большого количества неизвестных входных параметров.

Обзор различных подходов к критериальным оценкам дренажирования жидкости через стабильные пористые среды дан в работе, где также установлена связь между коэффициентом проницаемости К, средним диаметром порового канала и пористости П:

ПdК cp 2

32

1,

выработаны подходы к определению критических значений числа Рейнольдса, которые оказались лежащими в пределах 1,5 для диапазона диаметров пор от 5 до 100 мкм. Однако и в данном случае остаются неопределенными процедуры

0 1 2 3 4 510,5

11,5

12,5

13,0

Номер стадии m

Коэффициент

аm =

lg(1

/Am)

a1

a2

a3

a4a5

Рис. 2.21. Экспериментальные значения коэффициентов аm для расчета выхода флюида на каждой из стадий процесса уплотнения

увлажненной порошковой смеси

78

получения ряда параметров, например, числа поровых каналов, учета их извилистости, перекрытия и т.д.

Что касается дренажирования газов (воздуха и паров) при развитых деформациях, то в этом случае можно применять модель работы:

2фfфdL

dp , (2.91)

где , – вязкостный и инерционный коэффициенты соответственно;

ф – скорость фильтрации.

При этом:

,)1(

15022

2

dП

П ,

175,1

3dП

П (2.92)

где П – пористость; d – средний диаметр частиц порошка. В указанной работе также определены коэффициенты сопротивления

течению газа через плоскую и цилиндрическую стенки, определено число Рейнольдса, ограничивающее область действия закона (2.91). Для произвольных пористых систем критическое значение числа Рейнольдса составляет 0,04. При 0 уравнение (2.91) переходит в хорошо известный закон Дарси, который имеет схожесть с моделью (2.78) для случая одномерного стационарного течения флюида.

2.3.3. Влияние капиллярных явлений

При введении в состав порошковой смеси жидкости возникает вопрос о

ее роли в консолидации прессовки, в частности, об оценке дополнительной силы стягивания частиц порошка за счет капиллярных сил. Пусть пространство между шарообразными частицами не полностью заполнено жидкостью, что имеет место при увлажнении до (18 – 20)%. На второй стадии деформирования имеет место плотная укладка частиц со сжатием. Будем считать, что упругое взаимодействие частиц происходит по контактной круговой зоне радиуса а, причем, пространство между ними заполнено жидкостью и воздухом (рис. 2.22,а).

1

Рис. 2.22. К расчету капиллярных явлений: а – геометрия взаимодействующих частиц; б – размеры порового канала и угол смачивания

79

Поверхностное натяжение жидкости создает дополнительную силу притяжения частиц за счет жидкостной манжеты, опоясывающей контактную зоне. Будем считать, что имеет место полная смачивемость частиц порошка жидкостью (угол на рис. 2.22,б равно нулю). Сила, притягивающая частицы за счет капиллярных сил, определяется зависимостью:

ApFk , (2.93)

где р – избыточное давление, возникающее из-за капиллярных сил; А – площадь поверхности под жидкостной манжетой.

Площадь поверхности под жидкостной манжетой определяется формулой:

2)( аA , (2.94) где а – радиус контактного пятна; – размер, указанный на рис. 2.22,а.

Избыточное давление определяется зависимостью:

21

11

RRp , (2.95)

где σ – поверхностное натяжение; R1, R2 – радиусы кривизны жидкостной манжеты с учетом знака (положительные значения).

В соответствии с рис. 2.22,а можно составить следующую систему уравнений:

1

sin

cos

Rr

r

ar

, (2.96)

из которой, после исключения тригонометрических функций, получим: 2

1

1

Rr

rra . (2.97)

Значение R2 в формуле (2.95) определяется достаточно просто из геометрии рис. 2.18,а:

fR2 . (2.98) Из формул (2.93) – (2.95) с учетом соотношений (2.96) – (2.98) будем

иметь:

2

11

2

1

1)2(Rr

rrrR

Rr

rFl . (2.99)

Для определения R1 будем считать манжету с ее развитым концевым участком (канал) цилиндрической капиллярной трубкой, стенки которой проходят через центры контактных пятен соприкасающихся шаровых частиц (рис. 2.22,б). Диаметр такой капиллярной трубки, как нетрудно подсчитать, будет составлять 32r/ , откуда следует, что:

80

31

rR . (2.100)

Подстановка значения R1 в формулу (2.99) и последующие преобразования приводят к следующей зависимости:

231

33223

rFk . (2.101)

Сравнение значения силы, вычисленной по формуле (2.101), со значением силы F´ в соотношении (2.53) показывает, что капиллярная сила на несколько порядков меньше, чем сила сжатия, обусловленная перемещением инструмента. Введение в состав жидкости ацетона снижает значение капиллярной силы почти в два раза. Даже при p = 1 МПа Fk/F´≈ 10-9.

Конечно, влиянием капиллярных явлений при формообразовании на начальных стадиях следует пренебрегать. Однако это вовсе не означает, что капиллярные явления не оказывают никакого влияния на процесс компактирования. Дело в том, что при дренажировании жидкости и воздуха наблюдается присутствие остаточной влаги, удерживаемой в межчастичном пространстве за счет поверхностного натяжения жидкости. В большинстве случаев жидкостные манжеты соседствующих шаровых частиц замыкают внутреннюю воздушную полость. При дальнейшем нагружении прессовки воздушная полость может взрываться и дробиться на более мелкие пузырьки, отводимые по свободным каналам. В работе рассмотрен данный процесс в одномерной постановке для газожидкостной смеси, перемещающейся по гладким каналам. В других случаях полость между частицами может схлопываться и приводить к обструкции существовавшего ранее канала отвода флюида.

2.4. Преимущественно пластическое деформирование увлажненной

порошковой смеси

После плотной укладки частиц (завершение стадии структурного преобразования и преимущественно упругого деформирования (см. раздел 2.2)) начинается стадия преимущественно пластического деформирования, которое происходит первоначально на отдельных частицах в силу их различия форм и размеров, что позволяет на локальных участках достигать условия наступления текучести. Такие локальные участки в дальнейшем могут сливаться, а плоскости скольжения могут пересекать плотные («схваченные») границы соседних частиц. В этом смысле процесс деформирования увлажненной порошковой смеси практически не отличается от деформирования сплошных материалов, за исключением выполнения условия несжимаемости.

Система уравнения для определения параметров напряженно-деформированного состояния без учета массовых и инерционных сил представляется в следующем виде:

0ij,jσ , (2.102)

81

Siσ , (2.103)

jmimijjiij uuuue ,,,,(2

1 , (2.104)

0, klijnikmlj eee , (2.105)

)('2

30 kk

Ee , (2.106)

где σij – компоненты тензора напряжений; σi – интенсивность напряжений; ψ – функция модификации условия пластичности за счет сжимаемости порошковой

массы; σs – предел текучести; ije – скорости деформации; iu – скорости

перемещений; emlj – псевдо-тензор Леви-Чивиты; σk – главное значение напряжения; σ0 – среднее напряжение; Е´– модуль пластичности.

Уравнения (2.102) представляют собой уравнения равновесия; уравнения (2.103) – условие пластичности; уравнения (2.104) – связь скоростей деформаций и перемещений; уравнения (2.105) – условия сплошности; уравнения (2.106) – физические уравнения. К этим уравнениям необходимо присоединит условие сжимаемости и граничные условия, которые существенно зависят от типа решаемой задачи. Система уравнений (2.102) – (2.106), представленная в тензорном виде в декартовой системе координат, определяет капиллярную прочность структуры и механизм отвода флюида.

Дальнейшие стадии деформирования рассматриваются в приложении к двум важным технологическим задачам деформирования: прессованию в закрытой матрице и выдавливанию с противодавлением.

2.4.1. Прессование в закрытой матрице

2.4.1.1. Напряжения в теле прессовки Для установления закономерностей прессования в закрытой матрице рас-

смотрим матрицу цилиндрической формы (рис. 2.23). Используем метод прямо-го интегрирования. Примем следующие допущения: 1. Представительный эле-мент объема, образованный вертикальными плоскостями, расположенными эк-видистантно от оси симметрии, деформируется в условиях плоской деформа-ции. 2. Упрочнение материала не учитывается. 3. Механические характеристи-ки рассматриваемого массива не отличаются от тех же характеристик материа-ла порошка. 4. Касательные напряжения являются функцией только координа-ты х3. 5. На границах законт трения учитывается по закону трения Зибеля.

82

Рис. 2.23. схема формовки порошковой смеси в матрице Для выделенного элемента «а» первое допущение позволяет записать:

ij f( )x2 12 = 23 = 0. (2.107) С учетом соотношений (2.107) уравнения равновесия (2.102) можно

представить в виде: 11,1 13,3 + = 0, 31,3 33,3 + = 0. (2.108)

Применяя операторы дифференцирования «,3» и «,1» к первому и второму уравнению (2.108) соответственно с последующим вычитанием второго уравнения из первого, получим:

( ) 11 33 ,13 13,33 + 31,11 + = 0. (2.109)

Преобразуем условие пластичности (2.103) с учетом второго допущения и условия (2.107) к виду:

1

2( ) 11 33

2( ) 11 22

2( ) 22 33

26 ( ) 13

2 + + + = s .

(2.110) С учетом первого допущения преобразование условия (2.110) приводит к

следующей форме условия пластичности:

11 33 = 2 2

( ) 32

3( ) 13

2.

(2.111) При преобразованиях для получения уравнения (2.111) учтено, что знак

σ33 – отрицательный, причем, модуль этого напряжения превышает значения других напряжений.

Подстановка условия пластичности (2.111) в уравнение (2.109) с учетом четвертого допущения дает:

83

13,33 = 0 . (2.112) Интегрирование уравнения (2.112) приводит к решению:

13 = C 1 C 2 x3 , + (2.113) где С1, С2 – константы интегрирования, которые определяются из условий:

13 ( )x3 = 0 = 0, 13 x3 =h2

= k , (2.114)

где k – контактное касательное напряжение. Из соотношений (2.113) и (2.114) следует:

13 =2 k

hx3 .

(2.115) Подстановка (2.115) в (2.108) и интегрирование входящих в последнюю

формулу уравнений дает решения:

11 =2 k

hx1 1( )x3 , 33 ( )x1 + = 2 ( )x1 ,

(2.116) где φ1 (х3), φ2 (х1) – некоторые функции, подлежащие определению.

Подставляя решения (2.116) в условие пластичности (2.111) и разделяя функциональные зависимости по х1 и х3, получим:

2 k

hx1 2 ( )x1 = 2

2( ) 3

2

3( ) 13

2 1 ( )x3 . (2.117)

Левая и правая часть уравнения (2.117) зависит от разных аргументов, а в таком случае равенство обеих частей возможно лишь в случае, когда каждая из них равняется некоторой константе, например, С. Выразив из этого условия φ2(х1) и φ1(х3), через константу С и подставив их в решения (2.116), получим:

11 =2 k

hx1 2

2( ) s

2

3

2 k

hx3

2

+ C , +

13 =2 k

hx3 ,

33 =2 k

hx1 C . +

(2.118) Ввиду осевой симметрии задачи, выбор направления оси х1 системы

координат можно считать произвольным в плоскости, перпендикулярной оси симметрии, а потому напряжение σ33 из формулы (2.118) можно представить в виде:

33 =2 k

h C , +

(2.119) а, учитывая пятое допущение и полагая k = – σs/2, формулу (2.119) можно представить в виде:

84

33 = s

h C . +

(2.120) Константу С в решении (2.120) можно найти из граничного условия:

=d k

2=

2

3 s ,

(2.121) где λ – податливость пояска под зазором, зависящая от высоты прессовки, зазора между пуансоном и матрицей, условий увлажнения смеси, качества рабочих поверхностей технологического оснащения и толщины стенок матрицы.

В этом случае можно считать напряжения σ33 и σ главными. Тогда условие пластичности (2.110) трансформируется к виду:

3 =2

3 s .

(2.122) Подставляя (2.120) в (2.122) и удовлетворяя граничному условию (2.121),

определяем значение константы:

C =2

3 s ( ) +

s d k

2 h + .

(2.123) Тогда, с учетом значения константы (2.123), получим расчетную формулу

для σ3:

3 = s

2

3( ) +

d k

2h

. (2.124)

Таким образом, для каждой стадии деформирования (отслеживается по значению h) можно определить распределение напряжений по телу прессовки на основе формул (2.124) и (2.122).

2.4.1.2. Удельная сила на пуансоне

Полная сила на пуансоне Р складывается из силы деформирования Рd и

силы преодоления трения Рf: P = Pd + Pf . (2.125)

Сила деформирования может быть найдена интегрированием напряжения σ3 по поверхности пуансона:

P d = 0

2

d 0

dk

2

| 3 | d = s ( )d k

2

42

3( ) +

d k

6 h + .

(2.126) Откуда делением обеих частей соотношения (2.126) на площадь получим

удельную силу деформирования:

p d = s

2

3( ) +

d k

6 h + .

(2.127)

85

Удельную силу от преодоления трения рf можно найти путем использования метода баланса работ:

d k hu 3

2f s = p f u 3

( )d k2

4,

(2.128) где u3 – перемещение в направлении оси х3; f – коэффициент трения.

Из формулы (2.128) следует:

p f = 2 f s

hd k

. (2.129)

Удельная сила на пуансоне получается суммированием давлений, определяемых формулами (2.122) и (2.129):

p = s

2

3( ) +

d k

6 h + 2 f

hd k

+ . (2.130)

Эта удельная сила достигает оптимума при значении f12 h

dk , в силу

чего получаем из (2.130):

p =2

3 s ( ) + f + .

(2.131) Это давление можно считать предельным для рассматриваемой стадии

пластического формоизменения в условиях сравнительно мягких граничных условий, причем для границ этого предела:

( ) + opt h 4

41 , +

(2.132) где h4 – высота прессовки к последней стадии преимущественно пластического деформирования или же высота прессовки компактного материала.

Из условия (2.132) видно, что λ < 1. На рис. 2.24 приведено распределение относительного напряжения, действующего вдоль оси х3, согласно формуле (2.124) с точностью до знака, а также значение относительной удельной силы на пуансоне. Расчеты, проведенные в среде MathCAD2001Pro, относятся ко второй и четвертой стадиям деформирования при величине зазора в инструменте 0,2 мм. Отсюда видно, что наибольшая величина давления имеет место в центральной части прессовки. Что важно для последующего рассмотрения условий коллапса полостей с флюидом.

86

Рис. 2.24. Распределение относительного напряжения

(σ3/σs) в теле прессовки и относительная удельная сила на второй и четверной стадиях деформирования

Величину бокового давления ξ можно определить на основании формул (2.121) и (2.124):

( )h = ( )h

f + = 7,147

1h

0,225 , (2.133)

где выражение в правой части уравнения (2.133) представляет собой аппроксимированное выражение бокового давления в среде MathCAD на основе экспериментальных данных рис. 2.25.

Тогда коэффициент λ(h) может быть представлен в виде:

( )h = ( ) f + ( )h . (2.133’)

Рис. 2.25. Зависимость коэффициента λ от высоты прессовки

87

Зависимость λ от высоты прессовки показана на рис. 2.25. Отметим, что определение λ, в принципе, возможно на основе многофакторного эксперимента, однако для рассматриваемого процесса вполне достаточно частной зависимости, использующей экспериментальные значения бокового давления.

2.4.1.3. Изменение плотности прессовки

Уравнение неразрывности для прессовки можно записать в виде:

0)( 3,3, ut , (2.134)

где 3u – скорость деформации вдоль оси х3.

Если (х3), то дифференциальное уравнение (2.134) принимает вид уравнения с разделяющимися переменными:

d

=dhh

. (2.135)

При получении формулы (2.135) принято кинематически возможное поле скоростей:

ėeu 3 = vx3

h=

dhdt

x3

h,

(2.136) где v – скорость движения инструмента.

Решение уравнения (2.136) представляется в виде:

=Ch

, (2.137)

где С – константа, определяемая из условия:

1 =Ch 1

, (2.138)

где 1, h1 – значения плотности и высоты прессовки соответственно в конце первой стадии деформирования.

88

Из формул (2.137) и (2.138) получаем:

= 1

h 1

h.

(2.139)

Зависимость (2.139) достаточно хорошо коррелирует с аналогичной экспериментальной зависимостью рис. 2.26 на стадиях преимущественно пластического деформирования. Экспериментальные данные для построения зависимости на рис. 2.26 обработаны в среде MathCAD-2001Pro с использованием интерполяции кубическим сплайном с линейными функциями первых производных на концевых участках:

эксп = interp ( )vs vh, v, h, , vs = lspline( )vh,v , (2.140) где vh, v – массивы соответствующих экспериментальных данных.

2.4.2. Выдавливание с противодавлением

Пусть увлажненная порошковая смесь выдавливается в осесимметричной

конической матрице согласно рис. 2.27. Процесс реализуется следующим образом. В исходном положении пуансон противодавления «d» находится у меньшего основания конической части матрицы «а» под давлением q, величина которого может задаваться. Увлажненная порошковая смесь «с» засыпается в контейнер матрицы, а затем сжимается выдавливающим пуансоном «b». По достижении определенной степени сжатия, заданного значением q, начинается процесс выдавливания. Задача заключается в определении удельной силы деформирования и анализе условий интенсификации.

Рис. 2.26. Зависимость плотности от высоты прессовки

8 10 12 14 16 184

5

6

7

8

9

10

Высота прессовки h, мм

Плотность

, г/(см

. куб

)

теор h( )

эксп h( )

Преимущественно пластическое деформирование

89

Рассмотрим установившийся процесс выдавливания, обозначая полную силу прописными буквами Р с нижним индексом, относящимся к соответствующему участку матрицы, обозначенному цифрой с окружностью на рис. 2.27. Строчной буквой р с нижним индексом будем обозначать удельную силу на каждом участке матрицы.

Примем следующие допущения для решения этой задачи: 1. На боковых

участках матрицы касательное контактное напряжение, вызываемое трением, равно максимальному касательному напряжению основного материала порошка (квази-аналог закона Зибеля). 2. Смещение материала прессовки происходит вдоль радиусов конического участка матрицы (рис. 2.28). 3. Радиальное перемещение слабо зависит от угла φ (рис. 2.28) на верхней границе конического участка матрицы.

Выходной участок 3 матрицы. В выходном участке матрицы радиальное напряжение с учетом наложения противодавления может быть значительным, однако напряжение трения или среза не может превышать величины максимального касательного напряжения 3/Sk . Сопротивление движению порошковой смеси, в соответствии с первым допущением, будет создаваться контактным трением формуемого материала по стенке участка 3 матрицы и противодавлением q:

P 1 = k d l 1 q d

2

4, +

(2.141) где d, l1 – диаметр и длина выходного участка матрицы; q – величина противодавления.

Очевидно, удельная сила сопротивления на выходном участке матрицы будет задаваться соотношением:

Рис. 2.27. Схема выдавли-вания с противодавлением

90

p 1 =4 k l 1

dq . +

(2.142) Конический участок 2 матрицы. Участок 2 будем рассматривать в

сферической системе координат (см. рис. 2.28). В качестве сферических координат будем использовать координаты (изменяется от а до b), φ (изменяется от 0 до с учетом симметрии), (изменяется от 0 до 2). От угла зависимость параметров процесса отсутствует ввиду осевой симметрии. Верхняя и нижняя границы представляются поверхностями шаровых сегментов. Давление на нижней границе задается значением удельной силы р1, а давление р2 на втором участке является искомым и относится к поверхности с радиусом кривизны b.

Для вычисления удельной силы будем использовать метод баланса работ,

для реализации вычислительных процедур которого требуется предварительное определение деформации и перемещений. Так как в любой точке шарового сегмента кривизна поверхности в направлениях и φ одинакова, перемещения в окружном направлении и в направлении, перпендикулярном радиусу-вектору, будут отсутствовать:

U = Uφ = 0, (2.142’) где U, Uφ – перемещения в направлении соответствующих координат.

Считая U главным перемещением, две компоненты деформаций можно определить следующим образом:

=U

, =

U

,

(2.143) где ε, ε – радиальная и окружная деформация соответственно; – текущая координата.

Введем величину относительного изменения объема:

Рис. 2.28. Геометрические парамет-ры конического участка матрицы

91

=dV dV 0

dV 0

= 1 ,

где dV0, dV – абсолютные значения приращения объема в начальном и текущем положении.

Тогда сжимаемость материала можно представить в следующем виде: + + = . (2.144)

Учитывая, что ε = εφ в силу одинаковой кривизны поверхности шарового сегмента в направлении координат и φ, из формулы (2.144) получаем:

=12

( ) e .

С другой стороны, используя соотношения (2.143) и условие (2.144), получим:

U

2

U

+ =

U 2

= ,

При развитых пластических деформациях в условиях значительного сжатия (q > 700 МПа) ς ≈ 0. Тогда интегрирование последнего уравнения дает:

U 2= C( ) , (2.145)

где С(φ) – некоторая функция интегрирования. С учетом третьего допущения из решения (2.145) имеем:

U 2= C( ) = ( )U

bb

2, (2.146)

где (U)b – радиальное перемещение на верхней границе второго участка.

Из соотношения (2.146) получаем:

U =( )U

bb

2

2 . (2.147)

С использованием соотношения (2.143) и определения (2.147) получаем:

=U

= 2

( )Ub

b2

3 . (2.148)

Найдем интенсивность деформаций, используя ее определение [18]:

i =2

3( )

2( )

2 + ( )

2 + ,

Откуда, с учетом (2.145) имеем:

i = . (2.149) С учетом знака деформации из (2.149) и (2.148) получаем следующую

зависимость:

i = 2( )U

bb

2

3 . (2.150)

Уравнение баланса работ для второго участка имеет следующий вид:

92

A2 = P 2 ( )Ub

= Ad Af + A1 , + (2.151) где А2 и Р2 – работа и сила соответственно на втором участке; Аd – работа деформирования; Аf – работа сил трения; А1 – работа сил сопротивления со стороны первого участка.

Работа деформирования дается следующей формулой:

Ad = ( )V

s i dV , (2.152)

где dV – элемент объема шарового сегмента, который определяется соотношением:

dV = 2 h d , (2.153) где h – высота шарового сегмента, которая определяется из геометрических соотношений рис. 2.28:

h = ( )1 cos , (2.154) где – угол образующей конической поверхности второго участка.

Интегрирование правой части формулы (2.152) с учетом соотношений (2.150), (2.153) и (2.154) приводит к следующему результату:

Ad = L M lnba

, (2.155)

где для L и M приняты следующие обозначения:

L = 2 s ( )1 cos ; M = 2 ( )Ub

b2

. (2.156) Работа сил трения вычисляется по нижеприведенной формуле:

Af = ( )A

k U dA, (2.157)

где dA = 2d. Подстановка перемещения из формулы (2.147) в правую часть формулы

(2.157) и последующее интегрирование дают:

Af = Z ( )Ub

b2, (2.158)

где для величины Z принято обозначение: Z = 2 k sin , (2.159)

Работа сил сопротивления со стороны первого участка дается следующим соотношением:

A1 = p 1

d2

4

( )Ub

b2

a2 .

(2.160) Подстановка значений частных работ из формул (2.155)б (2.158) и (2.160)

в соотношение (2.151) приводит к следующему результату:

P 2 ( )Ub

= ( )Z 2 L + b2

lnba

p 1

d2

4b

2

a2 + ( )U

b.

(2.161)

93

Выполняя сокращение обеих частей на величину радиального смещения на верхней границе второго участка, получим:

P 2 = ( )Z 2 L + b2

lnba

p 1 d

2

4b

2

a2 + .

(2.162) Из геометрических соотношений рис. 2.28 следует:

b d = a D; b2

=D

2

4 sin2

=D

2

4 ( )1 cos2

. (2.163)

Подставляя соотношения (2.163) в формулу (2.162) и производя преобразования, после деления (2.162) на площадь поперечного сечения контейнера, получим удельную силу деформирования на втором участке в следующем виде:

P 2 = s 4 lnDd

1

3 sin

11 cos +

+ 4 l 1

3 d

q s

+ + . (2.164)

При значительном давлении q силу трения на третьем участке (контейнер) можно подсчитать по формуле:

p f = k D l 3 , откуда удельная сила от действия сил трения в контейнере может быть представлена в виде:

p f =4

3 s

l 3

D,

(2.165) где l3 – глубина контейнера.

Сложение (2.165) и (2.164) позволяет получить суммарную удельную силу на основном пуансоне:

P = s 4 lnDd

1

3 sin

11 cos +

+ 4 l 1

3 d

4 l 3

3 D

q s

+ + + . (2.166)

В формулу (2.166) не входит коэффициент трения в связи с тем, что при наличии силы противодавления контактное касательное напряжение принималось равным максимальному касательному напряжению. В предельных случаях конструкции матрицы, когда d = D, = 0 формула (2.166) дает неопределенность типа 0; если же d D, при = 0 получаем ступенчатую матрицу, а значение p3 имеет тенденцию стремления к бесконечности. Этому случаю соответствует замыкание основного пуансона на тело матрицы или на спрессованную смесь в застойной кольцевой зоне.

Значение составляющей удельной силы на выдавливающем пуансоне для компенсации заданного противодавления составляет:

p q = qdD

2

. (2.167)

Слагаемые в формуле (2.166), относящиеся к преодолению сил трения, обозначим таким образом:

94

( )p q0

=4

3

l 3

D

l 1

d + s .

(2.168) Входящие в данную формулу величины l1 l3, вообще говоря, связаны

между собой. Представляет интерес исследование изменения рf по мере движения выдавливающего пуансона или же пуансона противодавления. С этой целью рассмотрим изменение сил трения при движении выдавливающего пуансона на величину dz, а пуансона противодавления – на величину dh. При этом полную силу преодоления трения можно представить в следующем виде:

P f = k ( )D z d h + , (2.169) где z – высота части прессовки в контейнере; h – высота части прессовки на выходном участке матрицы.

Возьмем дифференциал от Рf: dP f = k ( )D dz d dh + . (2.170)

С учетом очевидного соотношения dz = –(d2/D2)dh представим соотношение (2.170) в виде:

dP f = k d 1dD

dh . (2.171)

Интегрирование уравнения (2.171) дает:

P f = k d 1dD

dh C , + (2.172)

где С – константа интегрирования. Пусть в некоторый момент, когда выполняется условие (2.167), высота

части прессовки в контейнере равна z0, а на третьем участке – h = 0. В этом случае при начале движения пуансонов сила трения будет иметь место только в контейнере, что позволяет сформулировать граничное условие для уравнения (2.171):

P f( )0 = k D z 0 . (2.173) Из формул (2.172) и (2.173) получим C = kDz0 и подставим его в

решение (2.172):

P f ( )h = k D z 0 d 1dD

h + . (2.174)

Удельная сила на выдавливающем пуансоне от действия сил трения представляется таким образом:

p f ( )h =2

3 s

z 0

Dd

D2 1

dD

h + . (2.175)

Из формулы (2.175) видно, что сила трения является линейной функцией высоты прессовки в выходном участке матрицы. К моменту завершения цикла выдавливания

hk = (D2/d2)z0 . (2.176)

95

Подставляя это значение в (2.175), получаем:

( )p fmax

=2

3 s

z 0

d.

(2.177) Производя замену (pq)

0, определенного зависимостью (2.168), значением pf из (2.175), преобразуем формулу удельной силы на выдавливающем пуансоне (2.166) в функцию величины h:

p( )h = s 4 lnDd

1

3 sin

11 cos +

+ 2

3

z 0

Dd

D2 1

dD

h + + q s

+ . (2.178)

Очевидно, максимум функции (2.178) будет достигаться на границе области изменения параметра h, определенного условием (2.176).

2.4.3. Влияние схемы нагружения на интенсификацию процесса Рассмотренные в разд. 2.4.1 и 2.4.2 процессы прессования и

выдавливания с противодавлением в некоторых областях прессовок существенно отличаются по схемам нагружения. В частности, на переходных участках между цилиндрической и конической частью матрицы вблизи ее

стенок, кроме нормального давления, возникают также и касательные напряжения, резко меняющие картину напряжений. На рис. 2.29 представлена замкнутая полость с флюидом, подверженная дополнительному действию касательного напряжения, возникающего из-за изменения траектории движения материала. Радиус полости можно считать соизмеримым с радиусом первичного капилляра, а минимальную толщину стенки замыкающего металла – равной примерно четверти диаметра полости. Ввиду малости частиц можно считать φ ≈ .

Толщина стенки практически не влияет на распределение напряжений, но влияет на «схлопывание» полости при дельнейшем увеличении внешнего давления рf или дальнейшей трансформации формы полости. Как показано в работе [20], при наличии касательного напряжения распределение напряжений в прилегающей области (сферической оболочке, наружный контур которой показан пунктиром на рис. 2.29) имеет вид:

Рис. 2.29. Действие касательных на-пряжений на переходных участках

96

k

= ma

2

2 ;

2 k=

p2 k

lna

+ 12

ln1 1 m

2

1 1 m2 a

4

4

+

12

1 m2 a

4

4 1 m2

, (2.179) где m = tg(); а – радиус замкнутой области с флюидом.

На рис. 2.30 представлено распределение τφ вокруг полости. Теоретическое предельное значение угла матрицы представляет собой величину = 45 (τφ = k), в то время как экспериментальное значение = 55.

Рис. 2.30. Распределение относительных касательных напряжений вблизи полости: 1…6 – кривые, соответствующие значениям = 10; 20; 30; 40; 45; 55; значения

= 45 и 55 – предельные теоретическое и экспериментальное значение угла матрицы При превышении этого угла возникают застойные зоны, в которых

пористость будет существенно выше, чем даже в срединной части прессовки, где механизм сдвиговых деформаций макрообъема (типа указанного на рис. 2.29) отсутствует.

На рис. 2.31 приведены графики распределения радиальных напряжений при различных давлениях при = 40 (рис. 2.31,а) и = 0 (m = 0) (рис. 2.31,б). Из сравнения графиков хорошо видно, что во втором случае напряжения в областях, примыкающих к полости, принимают практически везде отрицательные значения в отличие от графиков (рис. 2.31,б). Это отличие можно также констатировать из анализа второй формулы (2.179). В отсутствие касательных напряжений распределение будет содержать только первые два слагаемых. Знакопеременный характер распределения радиальных напряжений и наличие касательных напряжений способствуют более легкому разрушению областей замыкания полости и отводу флюида. Вблизи стенок матрицы на это

97

напряженное состояние накладывается также влияние контактных касательных напряжений, повышающих плотность прессовок (если только не образуются застойные зоны при завышенных углах конусности матрицы).

С другой стороны, известно, что плотность прессовки в ее центральной

части выше, чем на периферийных участках. Поэтому суммарное распределение плотности в центральном продольном сечении прессовки будет иметь характер двугорбой кривой и будет более равномерным, чем в случае формовки в закрытой матрице. Кроме того, контрпуассон обеспечивает схему двустороннего прессования, повышающего равномерность распределения плотности по высоте.

Рис. 2.31. Распределение относительных радиальных напряжений вблизи полости при различных схемах нагружения: а – при наличии касательного напряжения; б – в отсутствие касательных напряжений; 1…5 соответству-ют значениям нормального давления р = 100; 300; 500; 700; 900 МПа

98

3. АНАЛИТИКО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОЦЕССА ИНТЕНСИВНОГО УПЛОТНЕНИЯ

И СТРУКТУРООБРАЗОВАНИЯ

На процесс формирования требуемого уровня механических, технологи-ческих и эксплуатационных свойств, как было выявлено в вышеприведенных исследованиях (главы 1-3), влияет большое разнообразие факторов, между ко-торыми существуют сложные взаимосвязи с различной степенью индетерми-низма, и дать комплексную и единую оценку на основе описанных результатов сложно. Поэтому аналитико-теоретические исследования были дополнены и расширены путем проведения аналитико-экспериментальных работ.

При этом теоретические зависимости предыдущего раздела, полученные при использовании ряда допущений, подлежат экспериментальной проверке и развитию для обеспечения надежности исследований.

Следует отметить, что ряд проблем для исследований возникает из по-требностей рынка и производителей продукции.

3.1. Программа и средства аналитико-экспериментальных исследований

3.1.1. Цель и задачи исследований

Целью исследований является верификация теоретических моделей и ус-

тановление закономерностей структурообразования при прессовании механи-ческих смесей теоретической плотности (или близких к ней); условий и пара-метров образования явления межчастичного схватывания, обеспечивающего высокий уровень физико-механических свойств и качества изделия.

Основные задачи исследования: - верификация теоретических моделей, представленных в разделе 3; - изучение процессов интенсивного уплотнения механических смесей с различ-ным фазовым состоянием; - установление механизма межчастичного схватывания при интенсивном уп-лотнении; - исследование специальных вопросов, актуальных для практики.

3.1.2. Основные факторы процесса и применяемые методы

Как установлено в разделах 1-3 основными факторами, влияющими на процесс уплотнения механической смеси в присутствии жидкой фазы при од-ностороннем статическом нагружении являются:

99

- характеристика элементов (кластеров) механической смеси (гранулометриче-ский состав металлического порошка, плотность и вязкость заполняющей жид-кой фазы, общая влажность механической смеси); - технологические характеристики (величина межинструментального зазора, состав механической смеси); - геометрические характеристики инструмента.

В качестве основных методов исследований применялись: - метод тензометрирования; - геометрические методы измерения линейных величин; - метод измерения твердости по Бринеллю; - методы (гидростатический, массовый) измерения плотности тела; - методы статистического анализа; - телекоммуникационный метод анализа поровой поверхности; - металлографические методы исследования структуры и поровой топологии; - методы рентгеноструктурного анализа и электронной микроскопии; - методы определения прочности на растяжение.

3.1.3. Программа исследования и применяемые средства

Программа исследований предусматривала основные этапы: 1. Исследование макро- микро- и субструктуры, изучения механизма меж-

частичного сращивания; 2. Экспериментальные исследования процесса уплотнения и формирования

сложной гетерофазной структуры; 3. Исследование энергосиловых, технологических параметров процесса

структурообразования при уплотнении механических смесей; 4. Изучение бокового давления в условиях прессования механической смеси

с наличием жидкой фазы; 5. Изучение специальных вопросов уплотнения гетерофазной смеси (влия-

ние зазора на массопотери, выявление температурного градиента при по-стадийном уплотнении). При реализации программы теоретико-экспериментальных исследований

применялось оборудование, инструменты и приборы, указанные в табл. 3.1.

100

Таблица 3.1 Оборудование, инструменты и приборы

для теоретико-экспериментальных исследований

п/п

Наименование Назначение Примечание

1 2 3 4

1 Экспериментальная оснастка Исследование процессов уп-лотнения, структурообразо-вания и бокового давления

Нестандартная

2 Испытательная машина УМ-50 Прессование заготовок 3 Гидравлический пресс ПГ-60 Прессование брикетов 4 Прибор ПМТ-3 Измерение твердости 1 2 3 4 5 Микроскоп МИМ-8 Изучение микроструктуры

6 Рефрактометр рентгеновский

ДРОН-3 Исследование тонкой струк-

туры

7 Электронный микроскоп Исследование субмикрост-

руктуры

8 Тензодатчики сопротивления Исследование бокового дав-

ления

9 Усилитель тензометрический УТЧ-

1 Преобразование сигналов с

первичных датчиков

10 Установка «ИМАШ» Механические испытания образцов на растяжение

11 Весы электронные аналитические Взвешивание массы навески

и прессовки

12 Микрометр Измерение линейных разме-ров заготовок и оснастки

13 Цифровой фотоаппарат Фотография образцов и

структуры

14 Компьютер Pentium-4 Статистическая обработка результатов, выполнение

расчетов

15 Цифровой мультиметр Измерение температуры

жидкости

Другие средства измерений и вспомогательные средства указаны в соот-

ветствующих разделах работы.

3.1.4. Применяемые материалы

Выбор материалов для экспериментального исследования процессов уп-лотнения был предопределен наиболее распространенным видом металлокера-мической продукции конструкционного назначения, используемой в машино,- и автомобилестроении (детали на железной основе), а также доминирующим видом материала дисперсно-дискретных техногенных отходов процессов чер-ной металлургии: железосодержащие шламы конверторного, мартеновского, доменного производств, обкатных шламов (см. главу 1).

101

Поэтому применялись в экспериментальных исследованиях материалы (поро-шок и шламы) на железной основе.

В настоящих экспериментальных исследованиях использован: а) железный распыльный порошок марки АНС100.29 фирмы «Höganas»

Швеция с химическим, гранулометрическим составом и технологическими свойствами, приведенными ниже (табл. 3.2).

Таблица 3.2

Железный порошок АНС100.29 (металлический порошок фирмы «Höganas», S-263 83 Höganas, Швеция)

Химический состав, % не более

Fe C O2 при нагреве в Н2 основа 0,024 0,17

Гранулометрический состав порошка Размер, мкм 250…200 200…160 100…71 71…45 Менее 45 Содержание,

% 0…2 0…12 Ост. Ост. 10…30

Технологические свойства Насыпная плотность, г/см3 Текучесть, сек/50 г

2,95 25

б) железосодержащий шлам конверторного производства ОАО «Северсталь»

Таблица 3.3 Гранулометрический состав шлама

Размер, мкм более 3 мм

1…3 мм 900…600 500…300 250…100 Менее

100 Содержание,

% 2…5 1…3 2…5 15…20 55…70 Ост.

Были проведены испытания по определению технологических свойств

шлама (насыпной плотности, удельного объем шлама при свободной засыпке, объема утряски, плотности утряски).

Использование распыленного железного порошка АНС.100.29 «Höganas» обусловлено наибольшим относительным удельным объема применения его в технологических процессах прессования (до 85…90%), что определяется его высокой чистотой и прессуемостью. Использование железосодержащего конверторного шлама обусловлено:

а) наибольшим объемом данного вида железосодержащих техногенных отходов производств черной металлургии стран ЕС и РФ;

б) наибольшей потребительской ценностью.

102

Таблица 3.4 Состав конверторного шлама ОАО «Северсталь»

Основные фракции, %

Оксиды железа ( FeO , 32OFe , 43OFe ) Железо ( Fe ) 35…40 Ост.

Как показали рентгеноструктурные исследования, окисная пленка рас-

пространена с высокой степенью равномерности, достигая до 5…10% толщины отдельного фрагментарного элемента (частицы) шлама. 3.2. Исследование механизма структурообразования в процессе уплотнения

с использованием эффекта межчастичного сращивания Несмотря на огромное количество работ, связанных с моделированием и

прогнозированием остаточной пористости материала при одноосном нагруже-нии; оценкой уровня физико-механических свойств и качества образуемой структуры, моделирование поведения объекта, находящегося в условиях воз-действия как внешних, так и внутренних факторов, продолжает оставаться ак-туальным. Существует множество подходов к решению данной проблемы: прямые (опытные) методы определения уровня остаточной пористости и каче-ства структуры; косвенные, основанные на теоретических моделях взаимосвязи дефектов структуры, давлении прессования и рядом механических и теоретиче-ских свойств материала основы тела; статические, основанные на предположе-нии об постоянстве распределения функций пакета объекта и т.д., но ни один из них не может рассматриваться как универсальный, т.к. все эти методы содер-жат гипотезы лишь с очень большой степенью приближения, описывающие ре-альные процессы с тем или иным уровнем искажения.

Существенным недостатком опытных (прямых и косвенных) методов яв-ляется проведение большого числа экспериментов при фиксированных значе-ниях пакета объекта (гранулометрический состав порошка, состояние его по-верхности, вязкость и плотность заполняющей фазы и др.).

В статистических методах предполагается, что заведомо известны функ-ции распределения параметров объекта (остаточная пористость, вид и качество межчастичных контактов и др.), определяющие его поведение в поле внешних и внутренних воздействующих факторов.

Однако следует согласиться, что в некоторых случаях выбранное распре-деление не в полной мере корректно согласуется с реальной природой иссле-дуемого объекта, например, в нагруженном исходном образце предполагается известной функция распределения единичных элементов (формы пор и контак-тов между частицами, текущей плотности и вязкости заполняющей жидкой фа-зы, поверхностной смачиваемостью и адсорбционной способностью частиц и т.д.), но очевидно, что истинные значения и их распределение может сущест-венно отличаться от принятого (рис. 3.1).

103

Так, текущее распределение пористости при нагружении в различных зо-нах образца может определяться различными механизмами уплотнения, отли-чием в природе образования межчастичных контактов и т.д., поэтому прихо-дится обращаться к аппарату теории вероятности и использовать одно из клас-сических распределений дефектов структуры. вид дефекта

Рис. 3.1. Схематичное представление истинного и принятого распределения априорных дефектов структуры

Таким образом, прямое моделирование уплотнения и структурообразова-

ния при нагружении механической смеси с различными единичными по приро-де кластерными образованиями (металл, жидкость, газ) и сложными межфаз-ными деструктивными явлениями (разрушение одних контактов и одновремен-ное создание устойчивых связей с другими) приводит к синтезу неадекватных моделей. Поэтому теоретико-эмпирическая модель, связывающая все факторы структурообразования в процессе уплотнения и интегрально-описывающая взаимосвязь единичных кластеров тела, определение его мгновенной равновес-ной структуры имеет корректную основу.

3.2.1. Моделирование структурообразования при интенсивном пластическом деформировании порошков в гетерогенных увлажненных механических смесях

Введем некоторые определяющие показатели структуры. Под N – мерной

уплотняемостью материала механической смеси понимается способность ее кластерных единичных элементов образовывать новые межчастичные контакты при воздействии N – факторов деструкционного (повреждающего) потока: вза-имное перемещение частиц; сжатие жидкости в кавернах в условиях закрытой пористости; фильтрация жидкости и газа в условиях открытой пористости; мгновенное разрушение и эрозия межчастичных контактов; локальные образо-вания мозаичных блоков и др.

Можно предположить, что в процессе нагружения происходит исчерпа-ние мгновенной равновесности структуры тела с изменением мгновенных то-пологий как дискретных частиц твердой матрицы, оболочковой (в состоянии засыпки) формы жидкой фазы; так и порового пространства, что приводит к

число дефектов

104

появлению иной (мгновенной) равновесной структуры с новыми межчастич-ными контактами и обладающей более высоким уровнем относительной плот-ности и качеством межчастичных соединений.

Полная энергия, необходимая для существования объекта, как единого целого, в каждый мгновенный этап, – интегральная энергия, – условно исчезает при мгновенном разрушении межчастичных контактов, – и далее аккумулиру-ется на следующем этапе образования новых контактов (эффект схватывания «правило бритвы» Оккама) (рис. 3.2) , что дает право на интерпретацию явле-ния схватывания металлов как процесса, во многом противоположному разру-шению, как антитезу разрушения

Рис. 3.2. К выводу критерия схватывания по правилу «бритвы» Оккама

В работе Подвойского А.О. и Боровских В.Е. устанавливается, что вектор

F – есть вектор интегральной энергии SE , которую необходимо затратить для сохранения целостности системы, т.е.

)( SEgradF . (3.1)

Таким образом, системный линейный переход: k

S

PP

iS

P

Si

P

S EEEE 000 ... определяет перманентную изменчивость энергетического баланса системы в условиях: равновесное – неравновесное – равновесное состояние механических поверхностных контактов, где p – внешний элемент повреждающего потока, в частности, прикладываемое давление.

Рассматриваемая система энергетического баланса носит необратимый характер последовательности единичных повреждений и создания межзерен-ных границ при достижении энергетического барьера схлопывания.

Установлена величина удельной поверхностной энергии совершенной (новой) межзеренной границы, образованной при совместной пластической де-формации двух одинаковых металлов:

Sγ,

SΔγ

Siγ

Sγ' 50 , (3.2)

где γ′s – удельная поверхностная энергия новой межзеренной границы; S – удельная свободная поверхность [Дж/м²];

105

Энергетический (потенциальный) барьер образования границ (барьер схватывания металлов) при образовании новой межзеренной границы

(гр

S

a

) – это напряжение, соответствующее образованию новой границы в объ-

еме металла, которое образуется, когда сумма напряжений от действия внеш-них сил и внутренних напряжений превысит критическое значение, - возникает при пластической деформации и соответствует условию :

гр

S

гр

Sp aa

5,0

, (3.3)

где σр – значение истинных напряжений в месте разрыва структуры, а гр – толщина слоя металла, участвующая в образовании новой границы.

(гр

S

a

; fаr ) (система соединяемых металлов); для системы (Fe-Fe) имеем:

МПаaгр

S 1480

; Нмaгр 316,0

При некотором значении деформации ε в объеме V возникает новая гра-ница. Для преодоления энергетического барьера при межчастичном схлопыва-нии интегральное изменение энергии системы контактирующих поверхностей:

)( 0 iWWW должно иметь определенную величину:

гр

S

aVW

. (3.4)

При выполнении данного условия энергетический барьер образования границ превысит критическое значение, т.е. произойдет изменение поверхно-сти, и соответственно, площади контакта.

Умножим левое и правое части уравнений (3.4) на 0,5. Получим:

гр

S

aVW

5,05,0 . (3.5)

С учетом уравнения энергетического барьера (3.3) и уравнения (3.1) пре-образуем выражение (3.5). Получим:

][5,0 SEVW . (3.6)

или: ][5,0

SEV

W

. (3.7)

Учитывая, что в исходном состоянии каждый из объемов имеет свобод-ную поверхность, по которой происходит взаимодействие ( 3/2VS ), запишем окончательное выражение критерия, определяющего условие образования но-вой контактной поверхности ( iS ) при преодолении энергетического барьера:

][5,02/3 S

i

ES

W

. (3.8)

Таким образом, для образования новой межчастичной границы необхо-димо иметь энергию не менее, чем та, что определяет критерий (3.8)

106

При изучении структурообразования [5] отмечено существенное растя-жение контактной поверхности при увеличении пограничной энергии.

Введем коррелирующий коэффициент , учитывающий растяжение кон-тактной поверхности при увеличении пограничной энергии и выражающий со-отношение текущей и начальной поверхности межчастичного контакта:

5,10

2/3

0

0

S

S

S

Si . (3.9)

где s0 – начальная поверхность контакта; si – площадь поверхности, по которой происходит взаимодействие (из v2/3= si ).

Выражение (3.9) является аналогом критерия, определяющего условие образования новой контактной поверхности при преодолении энергетического барьера и определяет минимально допустимую величину увеличения площади межчастичного контакта в момент образования поверхностного схватывания.

Таким образом, энергетический барьер будет преодолен, т.е. будут обра-зованы в объеме новые межчастичные (межзеренные) контакты при изменении энергии системы, превышающей величину, необходимую для увеличения пло-щади межчастичного контакта более, чем в 1,5 раза.

Уравнение (3.9) позволит оценить качество межчастичных контактов при изучении структуры в процессе интенсивного уплотнения, являясь условием образования связной межчастичной блочной структуры.

3.2.2 Модель роста зерен при межчастичном сращивании

В качестве первой отправной точки при построении модели аномального

роста зерен учтем наличие в структуре зерен двух резко отличающихся разме-ров d и D. В такой структуре определяемый экспериментально средний размер зерна d* связан с размерами мелких d и крупных D зерен соотношением:

Dfdfd )1(* , (3.10) где f – объемная доля мелких зерен в структуре. Из выражения (3.10) следует, что характер изменения во времени среднего размера зерен определяется не только кинетикой изменения размеров зерен d(t) и D(t), но и характером изме-нения объемной доли мелких зерен f(t). Сравнивая первое и второе слагаемые в выражении (3.10), нетрудно определить критическую объемную долю мелких зерен f*, при которой второе слагаемое начинает играть доминирующую роль:

)/1(*

Dd

Df

(3.11)

При f>>f* выполнятся приближенное равенство dfd * , а при f* <<f вы-ражение для d имеет вид Dfd )1(* .

Предположим далее, что размер крупных зерен в разы превышает размер мелких (раздел 5.2.1), т.е. dD 5 . Тогда в соответствии с (3.11), уже при f < 0,6 определяющую роль в поведении величины d(t) будет играть второе слагаемое, и выражение для среднего размера зерна микрокристаллического материала (3.10) примет вид:

107

Dfd )1(* . (3.12) Для определения зависимости среднего размера зерна d от времени t оп-

ределим зависимости f(t) и Dt). При описании обычной собирательной рекри-сталлизации предполагается, что миграция каждой из границ, образующих ан-самбль зерен, начинается сразу же, как только образец оказывается помещен-ным в соответствующие температурные условия.

Предполагается также, что все границы зерен в этих условиях ведут себя подобно.

В случае микрокристаллических материалов имеет место иная ситуация: динамика границ не может начаться немедленно, т. к. распределенные в грани-цах дефекты, накопленные в процессе изготовления материала, препятствуют движению границ. Миграция становится возможной только после существен-ного снижения мощности дефектов в границах (температура или высокие меха-нические напряжения). Для этого необходимо некоторое время. Основным ти-пом дефектов, препятствующих движению границ зерен, являются, как прави-ло, стыковые дисклинации. Кинетика снижения мощности этих дефектов при изотермическом отжиге определяется следующим выражением:

)exp(3

0 t

t ,

kT

G

dA

Dt b

*1

*1

3

, (3.13)

где 20101 A – численная константа; *bD – коэффициент зернограничной диф-

фузии; G – модуль сдвига; Ω – атомный объем; δ – толщина (ширина) границы зерна; k – постоянная Больцмана; Т – температура.

При уменьшении мощности стыковой дисклинации от начального значе-ния ω0 до величины ω* = b/d она перестает влиять на подвижность границ, и граница приобретает способность мигрировать.

В ансамбле границ микрокристаллического металла описанный процесс освобождения границ от дефектов на разных границах протекает, очевидно, по-разному (с разной скоростью, за разное время). Разброс значений t3 на разных границах обусловлен разбросом значений *

bD и d0. Вводя предположения о ха-рактере распределения указанных параметров в ансамбле границ зерен, нетруд-но найти и функцию распределения значений t3, и, далее, определить зависи-мость числа способных мигрировать границ (т. е. границ, для которых выпол-няется соотношение ω < ω*) от времени.

Предположим, что характер изменения ω(t) для всех границ одинаков, т. е. t3=const, и значения ω* в ансамбле границ распределены равномерно (от 0 до ωтах). Тогда, в силу экспоненциального характера зависимости (3.15) число границ, способных мигрировать, будет также экспоненциально меняться во времени. Причем характерное время изменения числа таких границ N(t), про-

порциональное f(t) будет, очевидно, равно t3. В этом случае

3

0 exp)(t

tftf ,

где f0 – находится из условий нормировки

0

1)( dttf .

108

Таким образом, объемная доля мелких зерен в ансамбле зерен микро-кристаллического металла экспоненциально убывает со временем.

Таким образом, крупные зерна образуются в результате быстрого роста тех мелких зерен, в границах которых прошли процессы возврата. Освобож-денная от дефектов граница зерна под действием сил поверхностного натяже-ния начинает интенсивно мигрировать, и зерно быстро вырастает, достигая размеров D >> d.

Движущаяся (мигрирующая) граница зерна поглощает распределенные в объеме дислокации. Заметим, что плотность этих дислокаций в матрице даже после частичного возврата (за время t3) довольно высока вплоть до

2109 1010 см . Результатом такого поглощения является, с одной стороны, изменение

свободного объема границ зерен и повышение их диффузионной проницаемо-сти и, с другой стороны, новое накопление в границах зерен дислокаций ориен-тационного несоответствия (ДОН) и продуктов их делокализации. Конечно, при температурах Т > Т1 эти дефекты могут диффузионно «уходить» с границ. В то же время необходимо учесть, что скорость (время) диффузионного «ухода» та-ких дефектов существенно зависит от размера зерна.

В начале развития процесса роста зерна (при малых его размерах) вслед-ствие быстрой диффузионной аккомодации плотность дефектов в границах не-велика, и они не препятствуют миграции. Однако по мере увеличения d ско-рость ухода дефектов из границ быстро уменьшается. Это приводит к повыше-нию плотности дефектов в границе и падению ее подвижности. Кроме того, по

мере увеличения d падает и движущая сила роста ~d

b ( b свободная энергия

границ зерен). Таким образом, достигнув определенного размера D, зерно теря-ет способность быстро расти и (на фоне стремительно растущих соседних мел-ких зерен) оказывается практически остановленным: D(t) = const. Его дальней-ший рост становиться возможным только после нового освобождения границы от дефектов путем их диффузионного ухода, либо за счет генерации дефектов структуры (и упругой энергии, накопленной в металле) в поверхностную энер-гию новой границы.

Оценим величину D. Как уже неоднократно отмечалось, основными де-фектами, влияющими на подвижность границ зерен, являются стыковые дис-клинации. Кинетика накопления мощности стыковых дисклинаций при мигра-ции границы со скоростью Vт через матрицу, содержащую плотность решеточ-ных дислокаций v , определяется выражением:

tbVmv

* , (3.14)

где b – модуль вектора Бюргерса решеточной дислокации, *v – плотность ре-

шеточных дислокаций одного знака, попадание которых в границу приводит к изменению ее разориентировки. Величина *

v составляет, как правило, неболь-шую долю от полной плотности v решеточных дислокаций: vv * ( 01,0 ).

109

Можно определить величину размера зерна D, при достижении которой из-за снижения подвижности границы рост зерен существенно замедлится:

3

1

2*1 )(

b

bGA

b

Dv

b

. (3.15)

В процессе миграции и «переваривания» границами зерен решеточных дислокаций происходит интенсивное уменьшение их плотности. Величина ρv после рекристаллизации (при увеличении d от 0,2 до 1 мкм), либо в результате релаксации напряжений при образовании новой границы, имеющей деформа-ционное происхождение, снижается более чем на 2 порядка: от 1010 до 108 см-2 [208,210]. Этот процесс, в соответствии с (3.13, 3.14), приводит к увеличению предельного размера зерна в ~5 раз: от d = 0,2 мкм до D=1 мкм.

Проведенный выше анализ кинетики роста зерен в микрокристаллических металлах позволяет выделить, по крайней мере, 3 стадии роста, каждая из кото-рых будет характеризоваться своими специфическими особенностями.

Первая стадия, очевидно, будет наблюдаться при большой объемной доле мелких зерен f > 0,6. Вторая стадия начинается при уменьшении объемной доли мелких зерен до f*. На этой стадии кинетика роста среднего размера зерна бу-дет определяться главным образом изменением объемной доли мелких зерен (3.12).

Третья стадия роста зерен наступает после «освобождения» границ круп-ных зерен от накопившихся в них в процессе миграции дефектов. Рост на этой стадии (после завершения процессов возврата) имеет классический характер.

3.3. Экспериментальные исследования процессов консолидации железосодержащих механических смесей с различным фазовым

состоянием

3.3.1. Технологические и предельные параметры гетерогенной структуры механической смеси в процессе интенсивного уплотнения

Как уже было отмечено в главах 1…3 , в порах отпрессованных заготовок

находится воздух (газ), давление которого определяется газовыми законами. Количественное сравнение с давлением прессования, необходимым для уплот-нения металлической матрицы, показывает, что при значительной пористости прикладываемая нагрузка расходуется в основном на деформацию частиц ме-талла, а давление, необходимое для удаления газовых включений, заметно меньше (не превышает 5…10%). При очень малой остаточной пористости (от 3%) и приближающейся асимптотически к нулю это соотношение меняется в обратную сторону и уровень уплотнения определяется сжатием газовых вклю-чений. В начальной стадии прессования поры открыты и сжатый воздух сво-бодно проходит через поровые каналы, образованные межарочным строением матрицы. С увеличением прикладываемого давления прессования повышается доля полностью закрытых пор. Так, в работе И.М. Сторожевского приводится

110

статистический анализ открытой и закрытой пористостей при прессовании же-лезного порошка (рис. 3.3.)

Рис. 3.3. Изменение открытой и закрытой пористости в зависимости от ее общей величины

Так, при общей пористости Q = 1…3 % – открытая пористость отсутст-

вует; при Q = 4…5% – открытая пористость составляет 2…5%; при Q около 9% открытая пористость численно равна закрытой; при Q около 15% закрытая по-ристость составляет 2%. В дальнейшем величина закрытой пористости моно-тонно уменьшается и при общей пористости Q= 20…25% практически близка нулю. В.Е. Перельманом отмечается, что на последней стадии прессования при значительном уплотнении давление замкнутых газов может привести к образо-ванию рыхлой структуры.

При анализе процесса уплотнения порошковых смесей И.Г.Шаталовой и др. показана количественная оценка влияния различных факторов (в том числе жидкой фазы) на плотность упаковки и прочность связей между частицами по-сле уплотнения.

Таблица 3.5

Влияние факторов на плотность укладки и прочность связи между частицами

Фактор Плотность Прочность Давление + + (-)

Механическое зацепление - + Заклинивание - (+) +

Трение скольжения - + Трение качения - -

Клеящие вещества + (-) + Смазочные вещества + -

Жидкости смачивающие (капилляр-ное действие менисков)

+ +

Знаками «+» и «» обозначено увеличение и уменьшение соответствую-

щего свойства с увеличением влияния данного фактора, в скобках – возможное, но не характерное влияние.

111

Однако, совокупность позитивного и деструктивного при структурообра-зовании данных факторов до сих пор не установлена.

Рассмотрим систему: замкнутая пора – жидкость – воздух, находящуюся под внешним давлением. Она согласуется с моделью ядра Гарвея, в которой на-блюдается локальное замыкание флюида (жидкость и воздух) пластически де-формируемым металлом в ограниченной области. Замкнутая пора (каверна) за-полнена жидкостью и газом, при этом жидкость носит функцию поглощения и транспортирования газа. При некотором критическом давлении возникают ус-ловия внутреннего «прострела», разрушения межчастичных контактов с выхо-дом флюида в один из каналов фильтрации и смыканием полости. Такие «про-стрелы» реально обнаружены автором в отпрессованных цилиндрических об-разцах, полученных из порошкового железного материала АНС.100.29 (рис. 3.4), с использованием жидкой фазы.

Рис. 3.4. Эффект «прострела» (разрушения) структуры в области замкнутой поры (система: металл – жидкость – газ)

Согласно данным ряда работ при изучении механики жидкости и газа ре-

альная система элемента ядра Гарвея содержит систему: жидкость – газ, при чем, в реальных жидкостях газ находится в растворенном состоянии. Раствори-мость газов в жидкостях зависит, главным образом, от прикладываемого давле-ния. Вода и другие жидкости могут считаться условно несжимаемыми, умень-шение общего объема газожидкостной системы будет происходить прежде все-го за счет изменения объема (сжатия) либо свободного газа (в виде пузырьков воздуха), либо растворенного в жидкости. Наличие растворенного (либо нерас-творенного) воздуха в жидкости вызывает изменение скорости распростране-ния возмущений, передаваемых в среде в виде импульсов давления (рис. 3.5).

Это вызвано тем, что инерционные свойства смеси зависят, главным образом, от жидкости, а упругость от воздуха. Приближенной моделью такой среды может служить, очевидно, цепочка сосредоточенных масс вещества (жидкости), соединенных последовательно друг с другом упругими связями (воздухом).

112

Рис. 3.5. Изменение скорости распространения возмущений

Очевидно, при увеличении давления прессования, давление, передаваемое

на замкнутую систему: жидкость – газ, может достигнуть определенной вели-чины, при которой нарушается сплошность системы, определенной моделью Гарвея. В условиях нарушения сплошности замкнутой системы в результате нарушения межчастичных контактов, объем жидкости, находящейся под давле-нием р, несет в себе газовое ядро. Из области невозмущенного потока, где ядро находится в равновесии, этот объем жидкости попадает в зону действия пони-женного давления р1 (р1<<р). При этом, ядро становится неустойчивым и на-блюдаются условия образования расширяющихся пузырьков. Захлопывание пу-зырьков и их сжатие наблюдается при внедрении транспортирующей жидкости в следующую закрытую пору, представляющую собой очередное кавитацион-ное ядро Гарвея (рис. 3.6).

а) б)

Рис. 3.6. Схема эффекта гидравлической кавитации при силовом: раскрытии – схлопывании – раскрытии (и т.д.) структурной последовательности закрытых пор структуры

Окончательно удаление свободной жидкости и транспортируемого газа

производится либо в межинструментальный зазор, либо в дренажные каналы пуансона (рис. 3.7).

113

Рис. 3.7. Прессформа для прессования порошковых механических увлажненных смесей при

изготовлении высокоплотных изделий: 1 – матрица, 2 – пуансон, 3 – порошок Явление кавитационной эрозии, наблюдаемое в результате усталостного

разрушения от действия ударов, возникающих при захлопывании пузырьков воздуха, углубленно исследовалось в ряде работ. Кнэпп Р. постулирует, что расширение газожидкостных пузырьков представляет собой квазистационар-ный разрыв жидкости (имеются различные данные о величине растягивающих напряжений, необходимой для разрыва сплошности вода: а) согласно кинетиче-ской теории жидкостей [159] σр = 120 МПа; б) теоретический максимум проч-ности жидкости на разрыв составляет 325 МПа. Согласно данным исследова-ний, объем пространства, в котором возникают изменения давления, вызываю-щие усталостное повреждение металла, составляет 0,01…1 мм3, а диаметр пло-щадки - от 0,1мм, что соотносится с размерным рядом закрытых пор. Следует отметить, что кавитационные эффекты, т.е. разрывы жидкостей и разрушение структуры металла отмечены в процессах холодной объемной штамповки, в ча-стности, при получении детали типа «стакан» по схеме обратного выдавлива-ния (рис. 3.8).

Рис. 3.8. Кавитационное разрушение при разрыве смазочного слоя

114

Таким образом, как уже отмечалось в разделе 3.2, структурообразование при интенсивном уплотнении металлических пластичных порошков представ-ляет собой последовательный ряд.

3.3.2. Установление общих закономерностей постадийного уплотнения механических смесей с различным фазовым состоянием

Исследования М.Ю. Бальшина, И.Д. Радомысельского, А.К. Григорьева,

А.И. Рудского, В.Н. Цеменко, В.Е. Перельмана и др. – при изучении процессов консолидации порошковых материалов; Т.В. Мальцевой, А.А. Бугрова, Р.М. Нарбут, В.П. Сипидина, В.Г. Булычева – в механике грунтов вне зависи-мости от некоторых частных различий, убедительно показывают, что механизм уплотнения металлических дисперсных материалов самых различных видов но-сит общий характер. Все исследователи отмечают, что процесс уплотнения та-ких материалов состоит из нескольких стадий. Диаграммы их уплотнения пред-ставляются в виде экспоненциальных кривых разных типов, однако, вследствие особого характера дисперсных материалов действительно протекающие про-цессы структурообразования носят более сложный характер, чем предложен-ные модельные (графические) отображения. В работах В.С. Раковского, Ю.М. Шулякова и Ю.В. Трухана приведены диаграммы уплотнения металлических порошков: твердого сплава ТiB2, и по-рошков трех групп: пластичных электролитического никеля ПНЭ–1 и меди ПМ–1; средней жесткости – железа ПЖ1М3 и нержавеющей стали Х18Н9Т; хрупких – вольфрамового порошка, на основании которых было высказано предположение о непрерывно – дискретном (скачкообразном) характере уплот-нения (рис. 3.9), характеризующем стадийность уплотнения.

а)

115

б)

в)

Рис. 3.9. Кинетика уплотнения дисперсных материалов а) 1 – медь, 2 – никель; б) 1 – сталь, 2 – железо; в) 1 – вольфрам

М.Ю.Бальшиным также отмечается возможность скачкообразного про-

цесса, но как исключение при определенных условиях уплотнения. Ю.М. Шу-ляковым и Ю.В. Труханом высказано предположение, что данная закономер-ность носит универсальный характер и определяет все стадии прессования (вы-равнивание скачкообразных кривых уплотнения в традиционном монотонном характере происходило при аппроксимации опытных результатов). В настоящих экспериментальных исследованиях использовались механи-ческие смеси:

железный порошок; железный порошок и жидкая фаза (вода) в пропорции по массовой доле

(85:15), исходная влажность W0 = 15%; железный порошок и жидкая фаза (ацетон) в пропорции по массовой доле

(85:15), исходная влажность W0 = 15%; Выбор жидкой фазы определялся характерными свойствами применяе-мых жидкостей (табл. 3.6). Следует отметить, что выбор материала дисперсной среды не влияет на закон распределения его дефектов структуры.

Таблица 3.6 Свойства применяемых жидкостей

Жидкость Плотность (20 °С), г/см3 Вязкость (20°С), сП Вода (Н2О) 0,998 1,005

Ацетон (С3Н6О) 0,792 0,325

116

Порядок отбора проб порошка и деления проб на части, необходимые для

проведения опытов, соответствовал международному стандарту ИСО 3954, оп-ределение насыпной плотности проводилось по международному стандарту ИСО 3923: а) железный порошок – использован ИСО 3923-1 (метод воронки); б) железный порошок + жидкость – использован ИСО 3923-2 (метод волюмо-метра Скотта).

Массовая доля свободной жидкости, вводимой в шихту, составила 15% от массы навески и была определена в соответствии с данными, приведенными в работе И.М. Сторожевского, где приводится соотносительный уровень откры-той и закрытой пористости. А.М. Дмитриевым приводится экспериментально определенный порог окончания третьей стадии прессования (относительная плотность 83...88%), превышение порога давления данной стадии приводит к появлению перепрессовочных расслойных трещин, которые не «залечиваются» при дальнейшем (завершающем) уплотнении. Таким образом, пороговая открытая пористость, которой соответствует минимальное значение закрытой пористости (менее 2%), и которое определяет максимальное значение (на момент появления распрессовочных трещин) поро-вого воздуха соответствует 15%.

В настоящей работе используется следующая композиция механической смеси - металл (основа): поровое пространство = 85:15, что соответствует пред-ставленной физической модели поглощения (растворения) жидкостью порового воздуха (15% общей доли) при дальнейшем нагружении. При этом, согласно данным работы по классификации консистенции композиций: железный поро-шок – жидкость, масс.доля жидкости, соответствующая 15…20%, определяет достаточно удовлетворительную текучесть смеси (консистенция классифици-рована как твердая, близкая к пастообразной (влажность которой превышает 30%).

Приготовление механической смеси композиции: железный порошок – жидкость проводилось согласно рекомендациям, где приводятся основные тре-бования к жидкости: не растворять порошок и не взаимодействовать с ним; смачивать порошок и препятствовать его агломерации (требования междуна-родного стандарта ИСО.10076).

Приготовление механической смеси производилось в лопастном смесите-ле в течении 10 минут. Масса навески составила 10 гр, погрешность взвешива-ния Δ m < 0,05 гр.

Для проведения процесса прессования применялась прессформа с рабо-чей полостью простейшей формы (цилиндр), размеры которой подбирались та-ким образом, чтобы обеспечить при уплотнении исследуемого образца сле-дующее условие: р хуz / р ср ≈ 1, где р хуz – прикладываемое давление в любой точке исследуемого образца; р ср. – среднее давление уплотнения.

Это дает возможность считать объем дисперсного порошкового материа-ла и исключает накладывание друг на друга различных схем деформирования.

117

Откликом (зависимой переменной) использовалась плотность (относи-тельная) образца. В качестве варьируемых факторов, влияющих на поверхность отклика, основываясь на исследованиях авторов, принимались: насыпная плотность исходного материала и прикладываемое давление уплотнения. Все другие факторы (продолжительность прессования, формы и размеры частиц, температура смеси и др.), воздействующие на процесс уплотнения считались как влияющие на уплотнение смеси косвенно, через посредство первичных факторов.

Известно, что порядок фиксируемой величины плотности, полученной в результате структурной деформации - целые числа, а пластической (на стадии истечения материала частиц в поры) – первая цифра после запятой Учитывая данные особенности, соответственно подбиралось прессовое обору-дование и измерительный инструмент. Был определен закон распределения случайных ошибок эксперимента.

При выборе интервалов между экспериментальными точками исходили из следующих принципов: Плавные (монотонные) кривые строятся при помощи не менее 4…5 точек; Точка перегиба должна быть проведена при помощи не менее трех харак-терных точек; Повторяемость (воспроизводимость) единичного опыта должна быть не менее трех.

По экспериментальным данным, сведенным в табл. 3.7, были построены графики (рис. 3.10) изменения плотности структуры в процессе нагружения (кривые уплотнения) и определены углы наклона касательных к кривой уплот-нения в характерных точках (зонах).

Таблица 3.7 Результаты экспериментальных данных

точки п/п

Удельное усилие

прессования,

МПа

(т

/см

2)

Железо Железо+Вода Железо+Ацетон

стадии

плотность

угол

на-

клона

плотность

угол

на-

клона

плотность

угол

на-

клона

ρi, г/см3

ρотн αi ρi,

г/см3 ρотн αi

ρi, г/см3

ρотн αi

1 94 (0,94) 4,49 0,57 58,601 4,5 0,57 72,924 4,55 0,58 71,626 I 2 223 (2,23) 5,59 0,71 40,455 5,52 0,7 38,333 5,47 0,7 35,496

II 3 350 (3,5) 6,19 0,79 25,288 6,12 0,78 25,288 6,03 0,77 23,795 4 494 (4,94) 6,46 0,82 10,62 6,54 0,83 16,26 6,43 0,82 15,524 5 573 (5,73) 6,66 0,85 14,207 6,82 0,87 19,516 6,78 0,86 23,895

III 6 637 (6,37) 7,12 0,91 35,707 7,37 0,93 40,675 7,52 0,96 49,145 7 955 (9,55) 7,3 0,93 -1,261 7,22 0,92 -5,389 IV

8 1274

(12,74) 7,34 0,94 0,718 7,3 0,93 1,437

V 9 1600 (16) 7,69 0,98 5,258 7,65 0,97 5,606

118

Угол наклона касательной к кривой уплотнения в характерных точках (зонах) определялся из соотношения:

)(''

)(

qftg

qf

(3.16)

tg – первая производная от соотношения: i

i

q

, т.е.

ii

iii qq

tg

1

1 (3.17)

откуда: )(

)(

1

1

ii

iii qq

arctg

(3.18)

Рис. 3.10. Экспериментальные кривые уплотнения

Анализ кривых уплотнения, позволяет отметить их как характерное подо-

бие, так и существенные отличия прежде всего в количестве стадий уплотне-ния. Уплотнение металлических порошков (сухих) на железной основе исклю-чительно трехстадийно, что и соответствует классической точке зрения на про-цесс уплотнения. Отмечено, что дальнейшее увеличение прикладываемого дав-ления (р ≥ 650МПа) не приводит к увеличению плотности пористой структуры; в экспериментах зафиксировано системное трещинообразование на поверхно-сти образующих прессовок (появление перепрессовочных трещин), что согла-

119

суется с данными А.М. Дмитриева. Дальнейшее нагружение данной смеси не проводилось.

Вместе с тем, необходимо отметить, что характер кривых (рис. 3.10.): І – ІІ – ІІІ на участке, соответствующем прикладываемому давлению от 0 до 650 МПа – однотипен: монотонно возрастающие; имеющие некоторый перегиб, соответствующий изменению угла наклона касательным (в диапазоне прикла-дываемых давлений от 0 до 100 МПа – угол α > 50 ° (от 58 до 73°); при р € [100….500 МПа] – угол α уменьшается (от 73 до 15°); при р € [500…650 МПа] – угол α возрастает (от 15 до 23°). Изменения угла наклона носят общий харак-тер для представленных трех кривых, находящихся в одном диапазоне величин и, очевидно, узловые точки перегибов определяют границы стадий уплотнения в данном диапазоне давлений. Ниспадающий характер изменения наклона кри-вых ІІ, ІІІ (механическая смесь с жидкой фазой на участке давлений, находя-щихся в диапазоне р € [650….950МПа] , – угол α имеет отрицательную вели-чину, - позволяет сделать вывод о некотором снижении общей плотности мате-риала структуры (на 2–3%). При достижении давления прессования более 1000 МПа отмечено изменение наклона кривых, характер их – монотонен, воз-растающий (угол α имеет положительную величину).

Очевидно, предложенный (рис. 3.11) метод фиксирования характерных этапов структурообразования при различных удельных усилиях достаточно корректен и информационен.

Рис. 3.11. К определению стадийности уплотнения (угол наклона касательной к кривой уплотнения)

120

При давлении прессования, соответствующем 1600 МПа установлена ве-личина относительной плотности, соответствующей порядка 0,98 (от теорети-ческой). При этом, следует отметить, что механизм уплотнения на последней стадии – установившийся, заключающийся в разрушении замкнутых пор, транспортировании заполняющей фазы в межинструментальный зазор и их за-хлопывании, что позволяет сделать вывод о возможности получения беспоро-вой структуры (Q→0) при дальнейшем увеличении давления без образования распрессовочных трещин.

В настоящих исследованиях проведены экспериментальные работы по выявлению зависимости между составом исходной смеси, структурой и свойст-вами полученного отпрессованного материала. По результатам экспериментов по анализу уплотнения трех видов механических смесей, обоснована концепция и предложена физическая модель (рис. 3.12) стадийности процесса прессования (уплотнения) металлических порошков в присутствии жидкой фазы: Первая стадия уплотнения – структурная деформация, переукладка час-тиц, изменение порового пространства, вытеснение заполняющей фазы в меж-инструментальный зазор. Данная стадия уплотнения характеризуется значи-тельным преобладанием автономной деформации, нарушающей контакты за-сыпки. «Арки» основы – матрицы структуры – заполняются как твердыми час-тицами, так и жидкой фазой, причем, преимущественное перемещение наблю-дается, прежде всего, у жидкой фазы. После снятия нагрузки прессовка пре-вращается в несвязное сыпучее тело, соединенное лишь молекулярным жидко-стным натяжением (при необходимости ограничения уплотнения лишь струк-турной стадией следует вводить в механическую смесь жидкую связующую среду – получение брикетов на переплав); Вторая стадия уплотнения – структурная деформация, переукладка час-тиц, изменение порового пространства, вытеснение в поры заполняющей фазы, образование металлических межчастичных контактов, начало пластической де-формации приконтактных областей твердой среды. Препятствием для образо-вания контактов являются жидкостные пленки, при этом жидкая фаза частично (или полностью) выдавливается в поры. Рост плотности носит монотонный, сглаженный характер, изменение объема пор замедляется; Третья стадия уплотнения – пластическая деформация частиц, затекание металла-основы в поры, качественное изменение топологии поровой структуры (объем замкнутых пор соотносится с открытой пористостью), отмечается скач-кообразный рост относительной плотности; Четвертая стадия уплотнения – начало процесса формообразования ха-рактеризуется падением относительной плотности структуры. Очевидно, это вызвано резким сопротивлением сжатию со стороны заполняющей фазы в замкнутых порах и, как следствие, - высокий уровень распорных усилий (и уп-ругого последействия); Пятая стадия уплотнения – характеризуется интенсивным разрушением межчастичных контактов, образующих замкнутую пору, транспортированием жидкости и растворенной в ней воздушной среды; интенсивным «скелетным»

121

схлопыванием вновь образовавшихся открытых дефектов структуры с образо-ванием явления межчастичного схватывания и появления контактов ювениль-ного характера, образование беспористой структуры. Остаточная пористость составляет 1…3%, при этом остаточные закрытые поры имеют низкий вакуум, что способствует повышению качества контактов (на пятой стадии уплотнения были отмечены явления, характерные для кавитационных процессов: измене-ние шумового фона, интенсивный выплеск транспортирующейся газонапол-ненной жидкости).

а) б) в)

1 2

г) д)

Рис. 3.12. Физическая модель постадийного уплотнения: а) первая стадия; б) вторая стадия; в) третья стадия;

г) четвертая стадия; д) пятая стадия (1 – 2: разрушение и консолидация контактов) Следует отметить, что исчерпывающую информацию о зависимости дос-

тигаемой плотности от температуры заполняющей жидкости нам найти не уда-лось. Тем не менее, зная закономерности изменения теплофизических свойств жидкости от температуры можно построить основные зависимости постадий-ного интенсивного уплотнения от температуры для конкретных условий нагру-жения и состава исходного материала.

В экспериментальных исследованиях было оценено влияние температуры заполняющей среды (H2O) на характеристики структурообразования. Произво-дилось смешивание железного порошка АНС100.29 с заполняющей фазой. На-грев воды производился до температуры 100 °С. Была получена эксперимен-тальная кривая уплотнения (рис. 3.13), которая характеризуется интенсивным восхождением на первой стадии, при этом плотность первой конца первой ста-дии соответствует 6,47 г/см3 (относительная плотность 0,824).

122

Рис. 3.13. Экспериментальные кривые уплотнения при различном

температурном воздействии Давление, развиваемое на первой стадии уплотнения, соответствует си-ловым режимам роторных валковых брикетировочных прессов, что позволяет получать высококачественный высокоплотный брикет на переплав.

В исследованиях отмечено некоторое количественное превалирование плотности на 1,3 стадиях уплотнения при использовании ацетона (С3Н5О), - жидкости, имеющей меньшую плотность и вязкость (рис. 3.14)

Рис. 3.14. Соотносительный анализ эффективности заполняющей жидкости

В общем случае, интенсивное уплотнение сыпучей механической смеси в

присутствии жидкой фазы регламентируется двумя основными механизмами: межчастичным смещением (структурной деформацией) – 1–2 стадии уплотне-ния; и пластической деформацией самих частиц с образованием (и соединение, и разрушение) и увеличением межчастичных зон контактов.

При исследовании процесса уплотнения увлажненных смесей рассмотре-ны вопросы количественного определения постадийного влагосодержания ме-

123

ханической смеси путем фиксирования (взвешивания) текущей массы вытес-няемой жидкой фазы. На рис. 3.15 представлен постадийный массовый гради-ент удаленной жидкости, характеризующей остаточное влагосодержание поро-вой структуры на соответствующих стадиях уплотнения.

Рис. 3.15. Постадийная влагопотеря свободной жидкости

На основании экспериментов по изучению градиентного пороструктуриро-

вания предложена топологическая модель уплотняемой структурнонеоднород-ной механической смеси с наличием жидкой фазы (рис. 3.16).

Рис. 3.16. Топология порового пространства уплотняемой механической трехфазной смеси: а – первая стадия, б – вторая стадия, в – третья стадия,

г – четвертая стадия, д – пятая стадия Закрытые поры образуются на 2…3 стадиях уплотнения при разных теку-

щих значениях общей пористости структуры, при этом, они разнятся по давле-нию захлопнутой в них воздушной, водной и паровоздушной смеси. На четвер-той стадии уплотнения наблюдается структура, представленная изолированны-

124

ми закрытыми порами, где интенсивно развивается распорное давление «p», что приводит к возникновению локализованных контактных растягивающих напряжений σ. Действие внутренних растягивающих напряжений эквизистант-но приложенной к зоне закрытой поры внешней растягивающей нагрузки F, создающей в контактных областях напряженное состояние, аналогично дейст-вию напряжений σ (рис. 3.17)

а) б)

Рис. 3.17. Схема действия нагрузок в закрытой поре: а – раскрытие закрытой

поры действием сжатой заполняющей фазы, б – транспортирование заполняющей (жидкость+воздух) фазы

В работе установлено, что если контактные напряжения превышают проч-

ность контактных поверхностей, то происходит их частичное разрушение с об-разованием поровых каналов, соединяющих закрытые поры с тупиковой и внешней газовой средой (рис. 3.17,б), что наглядно устанавливается на V ста-дии уплотнения.

Экспериментальные кривые уплотнения (рис. 3.10) позволяют зафиксиро-вать пять отчетливо выраженных зон, определяющих стадийность порозапол-нения (критерием стадийности является интенсивность изменения поровой структуры). Первая стадия уплотнения: от плотности насыпной – =20…40% – характеристика исходного материала) до плотности порового уровня (70…75% масс. доли); вторая стадия- снижение интенсивности порозаполнения, переук-ладка частиц завершена, образование контактов: металл-металл, наблюдается интенсивное транспортирование жидкой фазы на периферийные краевые уча-стки, начало образования крупных каверн; третья стадия – уплотнение характе-ризуется явно выраженным порозаполнением за счет локальных пластических деформаций металлической основы деформируемой механической смеси, уве-личением площади контакта, при этом, возрастает уровень гидростатического давления «запертой» в кавернах несжимаемой жидкой фазы (пороговая плот-ность стадии 85…92%); на четвертой стадии с увеличением внешнего прикла-дываемого давления наблюдается рост давления схлопнутой внутрипоровой за-полняющей смеси (жидкость+воздух), причем, при монотонном нагружении может отмечаться как участок уменьшения плотности укладки частиц (за счет существенного роста упругих деформаций со стороны заполняющей фазы) – при снятии нагрузки, так и площадка стагнации. В начале пятой стадии уплот-нения наблюдается интенсивное разрушение локальных участков запертых пор,

125

интенсивное движение транспортирующейся жидкости через материал с исте-чением (выплеском) в межинструментальный зазор. При давлениях порядка 1100…1200 МПа наблюдается постепенное увеличение общей плотности мате-риала прессовки за счет структурного («скелетного») схлопывания открытых элементов каверн. Фиксируемое явление моделирует сдвиговые деформации, образуя значительные контактные площади. На пятой , последней стадии уп-лотнения, плотность прессовки достигает 97…98% от теоретической, что соот-ветствует требованиям, предъявляемым к сильно нагруженным деталям.

Интегральное материальное пространство прессуемого тела образовано совокупностью искривленных каналов нерегулярной формы с переменной площадью поперечного сечения с наличием множества самопересечений, изо-лированных областей и глухих ответвлений, что определяет уровень постадий-ных структурных характеристик и фазового состояния единичных кластеров, совокупность которых образует мгновенную равновесную структуру.

Анализ выводов приведенных в главе 3, а также представленных выше физических моделей структурообразования, позволяет установить характер структуры. Была предложена интегральная (кластерная) модель (рис. 3.18) структурного состояния материала (постадийная). На начальной и завершаю-щих стадиях прессования наблюдаются характерные различия выделанных структур: их непрерывность, связность, регулярность, анизотропия, фазовое со-стояние и устойчивость (рис. 3.18). На 1, 2, 3, 4 стадиях уплотнения структура тела (характеристика сплошности, как непрерывность) представлена как мат-ричным, так и поровым кластером, причем, последний меняет свою как инте-гральную количественную величину, так и качество. На последней (пятой) ста-дии прессования кривая уплотнения ассимтотически стремится к насыщению, при этом, пористость 0θ ( дисперсный кластер – закрытие поры – 1…3%). На первой стадии дисперсный кластер (закрытые поры), характеризующийся полной локализацией структурных единиц в границах одного кластера (метал-лическая матрица), практически отсутствует %)2( закрθ .Поровый кластер пер-

вой, второй, третьей и четвертой стадии меняется от 60 до (7…5)%. При рассмотрении связности структуры характеристика контактов трех

представленных фаз, согласно предложенной выше физической модели, клас-сифицируется как односвязная на первой стадии уплотнения - единичные кон-такты дисперсных металлических частиц и адсорбированной жидкости; жид-кой фазы и воздуха; и на четвертой стадии, где выделенный кластер – замкну-тая пора с жидкостью и растворенным воздухом имеет контакт лишь с одним окружающим кластером – металлической матрицей.

Вторая и третья стадия уплотнения характеризуются наличием многосвяз-ного кластера, когда каждый из трех единичных кластеров (металлическая мат-рица, жидкость и воздух) представлены и контактируют между собой, при этом количество связей каждого кластера выделенной структуры составляет две и более.

Пятая стадия уплотнения (при 0θ ) представлена нульсвязным класте-ром, характеризуется отсутствием связей (общих точек) выделенного единич-

126

ного кластера – металлической матрицы – с окружающими кластерами (жидко-стью и воздухом).

При рассмотрении фазового состояния структуры общим для первой, вто-

рой, третьей и четвертой стадий уплотнения является наличие как образующей (металлическая пористая матрица), так и заполняющей фазы. Пятая стадия прессования представлена лишь образующей металлической сплошной матри-цей ( 0θ ).

Рис

. 3.1

8. Интегральная

(кластерная)

модель структурного

состояния

материала

(постадийная)

127

Регулярность структуры уплотняемого тела на второй стадии уплотнения характеризуется наличием интегральной совокупности признаков хаотичности, стохастичности, что определяется наличием как непрерывного диапазона изме-нения параметров, формирующих моделируемую пористую структуру (средне-квадратичное отклонение любого из параметров – размер пор, их структура, ве-личина, характер межчастичных контактов, состояние заполняющей фазы и др.- существенно больше величины его математического ожидания (хаотичность), так и наличием ограниченного числа диапазонов изменения параметров струк-туры в частности, преимущественное наличие открытой пористости (стохас-тичность). Третья и четвертая стадии уплотнения имеют стохастическую и ре-гулярную уплотняемую структуру, характеризуемую наличием малого числа параметров, формирующих структуру (прежде всего, сопротивление со сторо-ны заполняющей среды пластическому затеканию металлических частиц в по-ры). Пятая и первая стадии характеризуются регулярностью структуры, опре-деляемую как межчастичными «схлопывающими» явлениями, сдвиговыми пластическими деформациями, характерными для процесса выдавливания ком-пактных тел регулярной структуры пористого материала на стадии установив-шегося течения (пятая стадия) и односвязными контактами представленных единичных кластеров на первой стадии. Данное явление - процесс экструзии на установившейся стадии был установлен в работе Б.А, Друянова, где представ-лена модель пластического течения пористого тела на завершающих стадиях деформирования, когда уплотнение при проявлении эффекта дилатации (изме-нение объема) прекращается и наблюдается экструзия.

Упорядоченность структуры первой и пятой стадии уплотнения характе-ризуется также и уровнем ее анизотропности. На первой и пятой стадиях уп-лотнения, где вариации физических характеристик (прежде всего остаточная пористость) для всех направлений сопоставимы с величиной погрешности, структура определена как изотропная. Вторая стадия определена анизотропной структурой, характеризуемой наличием небольшого числа выделенных направ-лений с явно выраженным различием физических характеристик (контакты: ме-талл-металл; металл-воздух; металл-жидкость, жидкость-воздух).

Анизотропность структур третьей и четвертой стадии уплотнения пред-ставлена как стохастическая, где среднеквадратическое отклонение физиче-ских характеристик при малых вариациях в окрестности выбранного направле-ния сопоставимо с предельным отклонением самой характеристики (следует отметить, данная стадия уплотнения с образованием стохастической структуры характерна, согласно классификации И.Д. Радомысельского, для широкого класса деталей конструкционного назначения малонагруженных).

Экспериментальные исследования позволили установить уровень устой-чивости структур, причем первая, вторая, третья и пятая стадии уплотнения в динамике характеризуются неустойчивостью: последовательностью образова-ния – разрушения межчастичных контактов, то на четвертой стадии структура – монотонно неизменяемая и характеризуется устойчивостью.

128

Использование физических и расчетных моделей уплотнения и формиро-вания структуры, в том числе, и межчастичных контактов, предполагает учет особенностей структур на выделанных этапах уплотнения.

3.3.3. Металлографические исследования явления межчастичного сращивания

Как уже было отмечено ранее, уплотнение сыпучей среды сопровождает-

ся двумя процессами межчастичным смещением (структурной деформацией) и деформацией самих частиц с образованием и расширением зон контактов. В работе В.Ю. Дорофеева установлено, что если контактные напряжения пре-вышают прочность контактных поверхностей, то происходит их частичное раз-рушение с образованием новых каналов, соединяющих закрытые поры с тупи-ковой и внешней газовой средой, что наглядно устанавливается в конце четвер-той стадии уплотнения – в начале пятой (рис. 3.17,а – «прострел») и находится в полном соответствии с представленной интегральной моделью структурооб-разования (рис. 3.18).

В экспериментальных исследованиях по изучению явления межчастично-го сращивания в процессах, сопровождающихся интенсивным структурным уп-лотнением, - на третьей, четвертой и пятой стадиях уплотнения, а также струк-турной деформацией на первой и второй стадиях был проведен анализ структу-рообразования с использованием методов металлографии. В работе были ис-пользованы цилиндрические образцы, полученные прессованием и спеканием в среде эндогаза. Образцы, соответствующие характерным стадиям уплотнения, заливались в пластмассу методом формованного прессования с использованием прибора «Prestopress», затем подвергались последовательному шлифованию на крупнозернистой, среднезернистой и мелкозернистой наждачной бумаге. Окон-чательная доводка образцов (рис. 3.19) производилась полированием до обра-зования зернистой поверхности (Rа 0,2…0,4 мкм).

Рис. 3.19. Поверхность исследуемого образца Схема исследуемых зон приведена на рис. 3.20.

129

Исследовались образцы, полученные прессованием на второй, третьей, четвертой и пятой стадиях уплотнения; первая стадия не рассматривалась в свя-зи с чрезвычайно низкой механической прочностью отпрессованной структуры данной плотности (при подготовке образцов наблюдалось разрушение арок ме-таллической матрицы).

С целью получения четкой сетки межзеренных контактов исследуемая поверхность образцов подвергалась травлению четырех процентным спирто-вым раствором азотной кислоты. Был использован световой микроскоп «OLIM-PUS» (программное обеспечение «SIAMS 700»), применяемое увеличение x100; x200; x400. На рис. 3.15, 3.16 представлена динамика структурообразования на второй, третьей, четвертой и пятой стадиях уплотнения.

а) б)

в) г)

Рис. 3.20. Микроструктура травленых образцов при постадийном деформировании, увеличение х200:

а) вторая стадия; б) третья стадия; в) четвертая стадия; г) пятая стадия

130

а) б)

в) г)

Рис. 3.21. Микроструктура травленых образцов при постадийном деформировании, увеличение х400:

а) вторая стадия; б) третья стадия; в) четвертая стадия; г) пятая стадия Анализ структурообразования позволяет установить, что на четвертой и

пятой стадиях уплотнения наблюдается интенсивный рост зерен (объединение в единый конгломерат смежных зерен за счет межкристаллитного сращивания). Данный эффект был отмечен А.П. Гуляевым при изучении структуры деформи-рованных тел. Им была предложена модель рассыпания (растворения) границ зерен в результате исчезновения их границ при перестройке дефектов кристал-лической структуры. Полное растворение границ зерен приводит к объедине-нию в единые зеренные конгломераты, образованию блоков мозаики (рис. 3.22).

131

Рис. 3.22. Объединение соседних зерен в блок мозаики [110]

Данный вывод был подтвержден при изучении структурообразования при

динамическом горячем прессовании В.Ю. Дорофеевым. Было установлено, что развитие межчастичного сращивания происходит в результате синхронной, с деформацией, миграции зерен одних контактирующих зерен за счет других и образованием крупных мозаичных блоков.

Межчастичные поверхности сращивания определяют зоны сращивания, как область деформационного формирования межзеренной поверхности с рас-положенной на ней зернограничными дефектами. Реализация этого механизма сращивания зерен требует резкого повышения в области контакта плотности вакансий дислоцированных атомов и дислокаций. Как следует из теории В.Л. Гапонцева и В.М. Колоскова, при изучении роли диффузии в процессах струк-турообразования при холодной интенсивной пластической деформации (ИПД) металлических смесей, ИПД приводит к образованию межузельных атомов. Значение взаимодействия контактных поверхностей на атомарном уровне уста-новлено в работе Ю.Г. Дорофеева.

Интенсивное межкристаллическое сращивание при прессовании механи-ческих смесей с использованием жидкой фазы установлено в настоящих иссле-дованиях на четвертой и пятой стадиях уплотнения (рис. 3.20 в, г – 3.21 в, г), причем, завершение образования блоков зеренных конгломератов наблюдается на пятой стадии, где моделируется регламент экструзии. Микроструктура трав-ленных шлифов была исследована с помощью программы «SIAMS 700», ис-пользован анализатор изображений , при помощи которого были получены гис-тограммы зерен феррита (рис. 3.22), использовано увеличение x400. Была при-менена зональная схема испытаний, где выделены нормальная плоскость (цен-тральная и периферийная зоны) и меридиальная плоскость (сердцевина). В про-веденных исследованиях был произведен анализ величин средней площади зерна феррита [мкм2], площади наибольшего зерна [мкм2], среднего балла зер-на, балла наибольшего зерна, минимального балла, балла по наибольшей доли величин зерен, находящихся на площади анализа. Относительная погрешность измерений находилась в пределах 1…5%.

В таблицах (3.1, 3.2) представлены результаты исследования структурооб-разования на второй, третьей, четвертой и пятой стадиях уплотнения прикон-тактной поверхности (зона А – периферийная, зона В – центральная); в табли-цах приведены результаты структурообразования на конечных стадиях уплот-

132

нения (четвертой и пятой), где наблюдается интенсификация образования меж-зеренных контактов в результате ИПД (зона С – сердцевина).

На рис. 3.23– 3.25 представлены гистограммы распределения долей бал-лов зерен и распределения размеров зерен, выделенных в площади анализа в соответствующих зонах исследуемого образца.

Распределение долей баллов Распределение размеров зерен

а) 2 стадия

Распределение долей баллов Распределение размеров зерен

б) 3 стадия

133

Распределение долей баллов Распределение размеров зерен

в) 4 стадия

Распределение долей баллов Распределение размеров зерен

г) 5 стадия

Рис. 3.23. Распределение долей баллов зерен и распределение размера зерна (зона А: приконтактная периферийная)

134

Распределение долей баллов

Распределение размеров зерен

а) 2 стадия

Распределение долей баллов Распределение размеров зерен

б) 3 стадия

Распределение долей баллов

Распределение размеров зерен

в) 4 стадия

135

Распределение долей баллов

Распределение размеров зерен

г) 5 стадия

Рис. 3.24. Распределение долей баллов зерен и распределение размера зерна (зона В: приконтактная центральная)

Распределение долей баллов

Распределение размеров зерен

а) 4 стадия

Распределение долей баллов

Распределение размеров зерен

б) 5 стадия

Рис. 3.25. Распределение долей баллов зерен и распределение размера зерна (зона С: сердцевина)

136

В таблице 3.8 приведены интегральные величины постадийного структу-рообразования в характерных зонах образца (А, В, С)

Таблица 3.8 Интегральные величины постадийного структурообразования

в характерных зонах образца (А, В, С)

На рис 3.26 – 3.28 представлен анализ интенсивности образования мозаичной блочной структуры в характерных зонах образца (А, В, С). Рис. 3.26

137

Анализ приведенных данных (рис. 3.23 – 3.28 и табл. 3.1 – 3.4) подтвер-ждают предположения, высказанные М.Ю. Бальшиным о механизме сращива-ния (растворения) границ зерен и образования крупных блоков мозаики струк-туры за счет выделения тепла атомами вещества в момент вхождения в интен-сивный контакт.

Выделение тепла – обязательный спутник не только залечивания, но и промежуточных процессов перехода дефектов с более высокой энергией обра-зования в дефекты с более низкой энергией. Таким промежуточным процессом, по М.Ю. Бальшину является образование контактной поверхности, спекания

Рис. 3.27

Рис. 3.28

138

при низких (комнатных температурах), так называемое по А.П. Семенову явле-ние «схватывания». Независимо от механизма (холодная пластическая дефор-мация, различные виды высокотемпературного течения при спекании) процесс сводится к переходу дефектов с более высокой поверхностной энергией Г в де-фекты с более низкой пограничной энергией, равной Ггр=Qпл. При этом, погра-ничная энергия равна 15…25% от величины поверхностной энергии. Выделе-ние тепла атомами вещества в момент вхождения в контакт (а в контакт вслед-ствие поверхностной шероховатости входит больше, чем один атомный слой на каждой частице) достаточно для расплавления слоев вещества, непосредствен-но участвующих в этой реакции. Поэтому образование контактной поверхности при холодном формовании можно рассматривать как локализованный в очень малых участках процесс го-рячего спекания в момент вхождения в контакт. Схватывание при холодном ин-тенсивном прессовании, сопровождаемое разрывом несхватившихся контактов при последующей разгрузке, содействует групповому, зональному, мозаично-му, блочному) обособлению частиц. Проведенные исследования микроструктуры в полной мере подтвержда-ют расчетную модель, представленную в разделе (согласно данным в зоне С отношение площадей наибольшего зерна пятой стадии к площади наибольшего

зерна четвертой стадии составило: 5,1][38,23,10302

5,246032

2

4

max

5

max nмкм

мкм

S

S, норма-

тивные значения которого соответствует преодолению энергетического барьера сращивания межзеренных контактов).

Таким образом, установлено явление межчастичного сращивания на за-вершающих стадиях интенсивного прессования (уплотнения), что обуславлива-ет существенное повышение уровня физико-механических свойств отпрессо-ванных заготовок.

3.4. Исследование физико-механических свойств консолидированной структуры

3.4.1. Механические свойства

Для определения механических свойств полученных структур была ис-

пользована установка ИМАШ – 20-78. Нагрузка, действующая на образец, и пе-ремещение держателей образца регистрировалась на двухкоординатном потен-циометре (графопостроителе).

Внешний вид образца и схемы испытаний представлены на рис. 3.29. Измерение нагрузки осуществляется при помощи силоизмерительных

датчиков в пределах от 0,1 до 1 кН; от 0,5 до 5 кН; от 5 до 10 кН. Силоизмери-тельный датчик представляет собой крестовину, на четырех плоскостях кото-рой наклеены восемь тензорезисторов (принцип действия тензорезистора осно-ван на изменении электрического сопротивления при его деформации).

139

а) б) Рис. 3.29. Внешний вид образца для испытаний (а), схема испытаний (б)

Подготовка образцов для испытаний заключалась в следующем: отпрес-

сованные и спеченные заготовки разрезались по схеме (рис. 3.30), позволяющей получить интегральную оценку уровня механических свойств приконтактных и срединных поверхностей с последующем шлифованием и полированием.

Рис. 3.30. Схема подготовки образцов

Нагружения (линейное растяжение) осуществлялось до разрушения (рис. 3.31), при этом фиксировались текущие значения ширины (H), толщины рабо-чей части (S) образца и общей его длины (L). Испытывались образцы, получен-ные при давлениях нагружения, соответствующим четвертой и пятой стадиям уплотнения, когда отмечается, во-первых, резкое снижение остаточной порис-тости и, во-вторых, интенсивно проявляется явление межчастичного сращива-ния и образование мозаичной блочной структуры.

140

Рис. 3.31. Диаграмма изменения механических свойств

Анализ полученных результатов (рис 3.31) свидетельствует о значитель-

ном увеличении механических характеристик полученных изделий в зависимо-сти от стадийности прессования. При этом значение предела прочности на рас-тяжение

в увеличивается в 1,8 раза (от 448 до 810 МПа), относительное уд-

линение увеличивается в 2,2 раза (от 1,6 до 3,5%), относительное сужение в 2,5 раза (от 1,5 до 3,7), что свидетельствует о достижении регламентирован-ных механических характеристик деталей сильно нагруженных.

Таблица 3.9

Результаты испытаний механических свойств

п.п.

Стадия прессования

Исходные данные

Текущие данные на момент разрушения

Механические характеристики

L0, мм

H0, мм

S0, мм

L1, мм

H1, мм

Sм, мм

Fi, мм2

σв,

МПа φ, %

δ, %

1 5 20,4 4 0,35 20,6 3,85 0,27 1,05 796 3,25 3,52 5 20,05 4,3 0,35 20,4 4,15 0,28 0,9 809,2 3,5 2,63 4 20,1 4 0,35 20,45 3,9 0,3 1,2 453,5 1,8 1,74 4 20 3,4 0,35 20,5 4 0,28 0,94 548,1 1,5 2

141

Рис. 3.32. Гистограмма (постадийная) механических свойств структуры

Эти данные вполне согласуются с результатами испытаний при использо-

вании прессования и спекания железного порошка при температуре 20 °С, осу-ществленных впервые Э.Л. Тер-Григоряном и подтвержденных в работе М.Ю.Бальшина. Из этих данных следует что прочность уплотненных структур достигает значений, соответствующих прочности материала теоретической плотности в наклепанном состоянии.

В экспериментальных исследованиях структурообразования проводились измерения твердости (HRB) на приборе ПМТ-3 при нагрузке на алмазную пира-мидку 0,5Н. Исследованию подвергались образцы, полученные на пятой стадии уплотнения (образцы имели следующие геометрические соотношения: 1<H/d<3. Схема подготовки образцов и измерений приведена на рис. 3.33.

Характеристика распределения твердости по сечениям, представлена в таблице 3.6.

Рис. 3.33. Схема подготовки образцов и измерения твердости: 1, 2, 3, 4- номера характерных сечений

142

Таблица 3.10 Распределение твердости по сечениям образца

На рис. 3.10 представлена гистограмма распределения твердости по ха-рактерным сечениям образца в ортогональных направлениях.

Рис. 3.33. Распределение твердости по сечению образцов

Сечение

Расстояние от центра образца,

мм Твердость, HRB

1

0 55 4,3 59 8 63 0 55

4,5 58 8 65

2

0 54 4,5 55 7,5 52 0 54 4 54 8 51

Сечение

Расстояние от центра образца,

мм Твердость, HRB

3

0 53 4,5 55 7 58 0 53

4,5 57 8 60

4

0 55 4 57

7,5 60 0 55 4 57 8 58

143

Анализ данных, приведенных выше, свидетельствует о: а) гомогенности структуры; б) уровень твердости структуры соответствует твердости беспорового ма-

териала (феррита) – HB60…100. Твердость полученной структуры (НВ) варьи-ровалась в диапазоне: min – max HB 94…114 (рис. 3.34).

Явление увеличения объема спрессованного брикета под воздействием внутренних напряжений, а также при выпрессовке брикета из матрицы пресс-формы вызывается упругим последействием.

%100*%100* 1

d

dd

d

dd

, (5.1)

где d – величина упругого последействия, d – абсолютное расширение бри-кета по диаметру, d – диаметр брикета, находящегося в пресс-форме под давле-нием, d1 – диаметр брикета, извлеченного из пресс-формы.

Автономная межчастичная разрушающая деформация обусловлена на-пряжениями и работой упругой разгрузки, которая может вызвать необратимое разрушение контактов и необратимую разрушающую деформацию тела в виде появления перепрессовочных расслойных трещин.

В настоящей работе были проведены исследования по изучению упругого последействия многофазных механических смесей в процессе одностороннего прессования (рис. 5.30). Использован железный порошок АНС100.29 «Höganas». Механическая смесь – увлажненная (W=15%).

Рис. 3.34. Схема измерений

Результаты испытаний приведены в табл. 3.11

144

Таблица 3.11

Результаты испытаний упругого последействия при постадийном прессовании

стадии

Плотность Dср, мм

Dм, мм

Δd, мм Δ, % ρ, г/см3

ρотн

1 4,8 0,61 20,146

0,296 1,49

2 5,8 0,74 20,23

0,38 1,91

3 7,3 0,92 20,26519,85

0,415 2,09

4 7,1 0,90 20,28

0,43 2,16 5 7,69 0,98 20,12

0,27 1,36

На рис. 3.36. представлена графическая интерпретация данных испыта-ний.

Установлено, что в конце пятой стадии деформирования упругое после-действие имеет величину меньшую, чем на стадии структурной переукладки (первая стадия), что свидетельствует о малых значениях упругой составляющей общей деформации брикета, и как следствие, его упругого последействия (1,36%). Незначительная величина упругого последействия (за счет межчастич-ного сращивания и установления блоков мозаики структуры) обуславливает от-сутствие появления расслойных трещин при высоких давлениях прессования, и как следствие, повышение качества отпрессованного изделия.

Рис. 3.36. Упругое последействие при постадийном уплотнении

145

Данные результаты в полной мере: а) согласуются с данными, получен-ными при установлении величины коэффициента бокового давления в процес-сах интенсивного уплотнения с использованием жидкой фазы – уменьшение ξ (рис.4.31) на пятой стадии прессования; б) соотносятся с выводом (раздел 4.2) о релаксации напряжений на пятой стадии уплотнения, как следствие межчас-тичного сращивания и уменьшения интегральной энергии структуры.

3.4.2. Физические свойства структуры Существенное влияние на получение качественной высокоплотной струк-

туры, обладающей повышенным уровнем технологических и эксплуатацион-ных свойств, может оказать тонкая структура (микронапряжения, плотность дислокаций, размер блоков). С изменением формы, размеров и характера кон-тактов частиц порошка в процессе интенсивного уплотнения образуются иска-жения решетки и структурные дефекты, плотность которых при повышении давления увеличивается. Из-за возникающих «активных» структурных межзе-ренных контактов и структурных состояний дополнительно повышается сво-бодная энергия, что способствует повышению интенсивности межчастичного схватывания при достижении энергии барьера схватывания.

В данной работе рентгеноструктурные исследования железных образцов с различной остаточной пористостью проводились на дифрактометре ДРОН–3 в медном K – излучении при напряжении 30 кВ, токи 20 мА с использованием никелевого фильтра с фокусировкой по Бреггу и применения монохроматизи-рованного Cu – K излучения. Тонкую структуру исследовали с помощью ме-тода аппроксимации [190]. По соотношению физических уширений дифракци-онных отражений и установили, что основной вклад в несовершенство структу-ры вносят микронапряжения. Это позволило определить / по формуле:

/

tg4

, (5.2)

где – средний параметр кристаллической решетки; – максимальное от-

клонение от его среднего значения; – угол Брегга. Величина микронапряжений определялась по формуле:

E , (5.3)

где E – модуль упругости материала Схема измерений искажения тонкой структуры приведена на рис. 3.37.

146

Рис. 3.37. Схемы измерений

На рис. 3.38. представлена дифрактограмма исследования тонкой струк-туры при постадийном интенсивном уплотнении.

Рис. 3.38. Дифрактограмма исследования тонкой структуры

Результаты измерений искажения тонкой структуры (интенсивность, I)

представлены в таблицах 3.11, 3.12.

147

Таблица 3.11

Результаты измерений интенсивности искажений тонкой структуры (схема а)

п.п.

Стадия Угол Интенсивность

I, % Кристал. плоскость

III-й пик 1 3 82°30' 148 211 2 4 82°30' 166 211 3 5 82°30' 125 211

II-й пик 1 3 65° 94 200 2 4 64°90' 106 200 3 5 65° 72 200

I-й пик 1 3 44°70' 645 110 2 4 44°60' 871 110 3 5 44°70' 554 110

Таблица 3.13

Результаты измерений интенсивности искажений тонкой структуры (схема б)

п.п.

Стадия Угол Интенсивность

I, % Кристал. Плоскость

1 5 44°70' 235 110

На рис. 3.39 представлена графическая интерпретация характера измене-ния интенсивности искажения тонкой структуры.

Рис. 3.39. Диаграмма состояний структуры

148

1 – схема «а» (пик I); 2 – схема «б» (пик I)

Рис. 3.40. Сравнительный анализ интенсивности (I), полуширины (β), интерференционных линий

Рис .3.41. Гистограмма сравнительного анализа искажения тонкой структуры

Таблица 3.14

Результаты сравнительного анализа искажения тонкой структуры на пятой стадии уплотнения

п.п.

Стадия Схема из-мерений

Угол Кристал. плоскость

Интенсивность, I, %

Полуширина, β, мм

1 5 а 44°70' 110 554 0,19 2 5 б 44°70' 110 235 0,39

Анализ испытаний по определению физических свойств (интенсивность искажений кристаллографической решетки) отпрессованных деталей в зависи-мости от стадий прессования, номера кристаллографической плоскости свиде-тельствует о системном характере (hkl: 110,200,211) монотонного увеличения интенсивности I на четвертой стадии прессования и образования нисходящей ветви на переходе на пятую стадию (табл. 3.13, рис. 3.38). При этом степень ис-кажения кристаллической решетки определяемой интенсивностью на пятой стадии прессования уменьшается в 1,16 раза (кристаллографическая плоскость 110); в 1,31 раза (кристаллографическая плоскость 200); в 1,18 раза (кристалло-графическая плоскость 211), что свидетельствует о существенном снижении ос-

149

таточных напряжений на завершающей стадии деформирования и соответст-венно уменьшение упругой составляющей деформации. Анализ испытаний по определению физических свойств (интенсивность искажений кристаллографической решетки, полуширина дифракционного пика (рис. 3.40, 3.41 и табл. 3.14)) отпрессованных деталей в зависимости от схе-мы испытаний (схема а – торцовая поверхность и схема б – меридиальная плос-кость) свидетельствует о уменьшении интенсивности искажения кристаллогра-фической решетки в меридиальной плоскости в 2,36 раза (от 554 до 235), что характеризует получаемую однородную структуру основного массива отпрес-сованной заготовки. При этом величина увеличивается в 2,05 раза (от 0,19 до 0,39). Данный эффект обуславливает получение равновесной плотноупакован-ной структуры с минимальным количеством дефектов структуры.

Исследования коррозионной стойкости структуры проводилось на от-прессованных образцах пятой стадии уплотнения (меридиальное сечение) с ис-пользованием сканирующего зондового микроскопа Nanoeducator NT MDT с высоким уровнем пространственного разрешения (минимальный шаг сканиро-вания – 0,2 нм). Функционирование данной системы основано на принципах атомносиловой микроскопии и заключается в измерении сил взаимодействия между зондом микроскопа и изучаемой поверхностью образца. При соприкос-новении зонда с металлической поверхностью на протяжении коротких интер-валов времени наблюдалась полуконтактная мода, при которой зонд совершал дополнительные колебания. Помимо топологии поверхности производился анализ тонкой структуры методом тупиковой макроскопии. На рис. 3.42 приве-ден анализ регистрации фазового контраста в возможных системах: Fe-α– Fe-α; Fe-α– FeО (Fe2О3, Fe3О4).

а – фазовый контраст б – топология поверхности

Рис. 3.42. Топология поверхности и фазовый контраст в возможных системах: Fe-α– Fe-α; Fe-α– FeО (Fe2О3, Fe3О4)

Проведенные исследования позволяют сделать вывод о преимуществен-

ной интегральной сплошности и гомогенном фазовом контрасте, что характе-ризует структуру как практически беспористую и неподверженную коррозион-ным процессам.

150

ВЫВОДЫ

Изучение поровой структуры с использованием методов микроскопии и физического материаловедения позволило установить объем, структуру, типо-размеры и топологию пор. Подтверждено, что на пятой стадии уплотнения на-блюдается структура теоретической плотности, при этом, установлен характер образования и последовательности развития межзеренных и межчастичных контактов: равновесное состояние – неравновесное – равновесное.

Анализ структурообразования позволил установить, что на четвертой и пятой стадиях уплотнения наблюдается интенсивный рост зерен за счет объединения в единый конгломерат смежных зерен (межкристаллитное сращи-вание).

Установлено, что завершение образования блоков мозаики наблюдается на пятой стадии, где моделируется регламент экструзии за счет интенсивного структурного деформирования («скелетного» схлопывания). Установлено уве-личение размеров зерен (блока мозаики): максимальных – более, чем в три раза, причем, соотношение между размерами представительного элемента (зерна) max/min > 150, что подтверждает выводы о создании на пятой стадии уплотне-ния системы структурного энергетического баланса с необратимым характером единичных повреждений, характеризующейся образованием новых межзерен-ных границ при достижении энергетического барьера схлопывания дефектов структуры.

Анализ полученных результатов свидетельствует о значительном увели-чении механических характеристик полученных изделий в зависимости от ста-дийности прессования. При этом значение предела прочности на растяжение

в увеличивается в 1,8 раза (от 448 до 810 МПа), относительное удлинение

увеличивается в 2,2 раза (от 1,6 до 3,5%), относительное сужение в 2,5 раза (от 1,5 до 3,7), что свидетельствует о достижении регламентированных механических характеристик деталей сильно нагруженных.

Экспериментальные исследования по изучению упругого последействия позволили установить существенную неоднородность упругих деформаций при постадийном деформировании.

Установлено, что в конце пятой стадии деформирования упругое после-действие имеет величину меньшую, чем на стадии структурной переукладки (первая стадия), что свидетельствует о малых значениях упругой составляющей общей деформации брикета, и как следствие, его упругого последействия (1,36%). Незначительная величина упругого последействия (за счет межчастич-ного сращивания и установления блоков мозаики структуры) обуславливает от-сутствие появления расслойных трещин при высоких давлениях прессования, и как следствие, повышение качества отпрессованного изделия.

Экспериментально подтверждено предположение, что из-за возникающих «активных» структурных межзеренных контактов и структурных состояний до-полнительно повышается свободная энергия, что способствует повышению ин-

151

тенсивности межчастичного сращивания при достижении энергии барьера схватывания.

Анализ испытаний по определению физических свойств (интенсивность искажений кристаллографической решетки) отпрессованных деталей в зависи-мости от стадий прессования, номера кристаллографической плоскости свиде-тельствует о системном характере (hkl: 110,200,211) монотонного увеличения интенсивности I на четвертой стадии прессования и образования нисходящей ветви на переходе на пятую стадию. При этом, степень искажения кристалличе-ской решетки, определяемой интенсивностью на пятой стадии прессования уменьшается в 1,16 раза (кристаллографическая плоскость 110); в 1,31 раза (кристаллографическая плоскость 200); в 1,18 раза (кристаллографическая плоскость 211), что свидетельствует о существенном снижении остаточных на-пряжений на завершающей стадии деформирования и соответственно умень-шение упругой составляющей деформации.

Анализ испытаний по определению физических свойств: интенсивность искажений кристаллографической решетки I, полуширина дифракционного пи-ка отпрессованных деталей в зависимости от схемы испытаний (торцовая поверхность, меридиальная плоскость) свидетельствует об уменьшении интен-сивности искажения кристаллографической решетки в меридиальной плоскости в 2,36 раза (от 554 до 235), что характеризует получаемую однородную струк-туру основного массива отпрессованной заготовки. При этом величина уве-личивается в 2,05 раза (от 0,19 до 0,39). Данный эффект обуславливает получе-ние равновесной плотноупакованной структуры с минимальным количеством дефектов структуры.

152

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кондаков, А. И. Выбор заготовок в машиностроении /А. И. Кондаков. – М. : Машиностроение, 2007. – 560 с.

2. Процессы порошковой металлургии. В 2 т. Т. 2. Формование и спекание : учебник для вузов / Г. А. Либенсон, В. Ю. Лопатин, Г. В. Комарницкий. − М. : МИ-СИС, 2002. − 320 с.

3. Шульц, Э. Состояние и потенциал развития металлургического производства / Э. Шульц, Б. Берсенберг и др. // Металлургическое производство и технология ме-таллургических процессов. − 2002. – 4. − С.12.

4. Финдайзер, Б. Порошковая металлургия. Спеченные и композиционные ма-териалы / Б. Финдайзер, Э. Фридрих, В. Шатт; под ред. В. Шатта. – М. : Металлургия, 1983. – 520 с.

5. Бальшин, М. Ю. Основы порошковой металлургии / М. Ю. Бальшин, С. С. Кипарисов. − М. : Металлургия, 1978. – 184 с.

6. Рыбин, Ю. И. Теория уплотнения порошковых материалов : учебное пособие / Ю. И. Рыбин. – СПб. : СбГПУ, 2002. – 109 с.

7. Цеменко, В. Н. Феноменологический подход в механике сплошных сред. 8. Григорьев, А. К. Деформация и уплотнение порошковых материалов /

А. К. Григорьев, А. И. Рудской. – М. : Металлургия, 1992. – 168 с. 9. Кокорин, В. Н. Межчастичное сращивание в процессе консолидации дис-

кретных железосодержащих порошковых материалов // Вестник СГТУ. – 1 (37). – 2009. С.71-74.

10. Кокорин, В. Н. Научные основы и технологическое сопровождение процесса прессования порошков на основе железа в присутствии жидкой фазы / В. Н. Кокорин, В. И. Филимонов, А. С. Марков, К. К. Мертенс – Изв. Самарского НЦ РАН. – 2008. – С.65-73.

Научное издание

КОКОРИН Валерий Николаевич, ФИЛИМОНОВ Вячеслав Иванович, БУЛЫЖЕВ Евгений Михайлович

ННААУУЧЧННЫЫЕЕ ООССННООВВЫЫ ТТЕЕХХННООЛЛООГГИИИИ ППРРЕЕССССООВВААННИИЯЯ

ИИЗЗ ППООЛЛИИДДИИССППЕЕРРССННЫЫХХ ММЕЕТТААЛЛЛЛИИЧЧЕЕССККИИХХ ППООРРООШШККООВВ СС ППЛЛООТТННООУУППААККООВВААННННООЙЙ ССТТРРУУККТТУУРРООЙЙ

Подписано в печать 20.10.2010. Формат 60×84 1/16.

Усл. печ. л. 8,84. Тираж 100 экз. Заказ 1212. Ульяновский государственный технический университет,

432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32.

Типография УлГТУ, 432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32.