SimulacinEspecializacin Ingeniera de Operaciones en Manufactura y ServiciosPontificia Universidad JaverianaBogot ColombiaIng. Alvaro Gil Berrocal

En esta presentacinIntroduccin a la simulacinGeneracin de nmeros aleatoriosSimulacin con hojas de clculoIdentificacin de variablesTeora de colasColas en serie y teora de RedesRevisin de programas de simulacinIntroduccin a PromodelModelos avanzados de simulacin

Simulacin1. Introduccin a la simulacinConceptos bsicos

Qu es la simulacin?Representacin analtica de sistemas apoyada en herramientas matemticas y computacionales que permiten evaluar el impacto de cambios en diferentes variables as como la eleccin de los recursos y ptimos para el proceso analizado.

DefinicionesSistemaConjunto de elementos relacionados total o parcialmente entre si y cuyos elementos pueden depender de s mismos y de otros, tanto en el presente como en el pasado. Puede estar abierto o cerradoSistemas deterministas o estocsticos.Esttico o dinmicoVariableRepresentacin de un conjunto de datosVariables independientes o dependientes Variables endgenas y exgenasEventosDiscretos o Continuos

Para qu modelarEntendimientoAprendizajeMejoramientoOptimizacinToma de decisiones

Aplicaciones de la simulacinMediante tcnicas de simulacin es posible desarrollar de manera terica casos relacionados con:ProduccinLogsticaDistribucinServicio al clienteConstruccinMilitarSaludEconoma y FinanzasY muchos otros campos

Qu se necesita para simular?

Elementos de la simulacinProceso (Flujograma)Estados:Definir estados: nmero de clientes/sucesos en el sistemaIdentificar las transiciones de los estados.Identificar los eventos de llegadas y salidas del sistemaCaracterizar las variables del sistema (entradas, tiempos de funcionamiento, salidas, etc.)Generacin de eventos aleatoriosReloj de Simulacin: paso del tiempo (delimitado).Definir condiciones especiales en el modelo: paros, mantenimientos, alertas, turnos, etc.

Pasos para una campaa de simulacinAnlisis de la situacinRecoleccin de datosExperimentacinAnlisis de resultadosDocumentacinImplementacinEs vlido?Construccin del modeloRepresentacin real?SNSNSNSN

Cundo modelar y cundo no?Cundo NOCuando el problema se puede resolver fcilmente de manera analticaCuando es demasiado costosa la simulacinCuando no se tienen datos reales de las observaciones o estas estn incompletasCuando la situacin actual cambia con el tiempo y no podemos proyectarlaCundo SITodos los dems casos

Mtodos para la simulacinMtodos analticos: Segn el tamao y complejidad del proceso, es posible utilizar sencillos desarrollos matemticos para resolver un problema de simulacin. Entre ellas encontramos:Teora de ColasTeora de RedesSistemas DinmicosAlgoritmos de mayor elaboracinMtodos computacionales: Cuando un sistema es relativamente grande o contiene una serie de excepciones en las variables, se vuelve compleja su resolucin analtica y por tanto se hace indispensable la utilizacin de un programa especializado. En general todo lenguaje y programa que permita generar nmeros aleatoriosLenguajes: C, Fortran, Pascal, Basic, Siman, Visual Slam, SimScript, etc.Hojas de clculo en generalProgramas especializados (aplicaciones de los lenguajes ya mencionados)

Simulacin2. Generacin de nmeros aleatorios

IntroduccinLos nmeros aleatorios son un ingrediente bsico para simular casi cualquier sistema discreto. La gran mayora de programas contienen una subrutina de generacin que facilita su utilizacin. Si se trata de un lenguaje de programacin, es necesario generar un nmero aleatorio y de estos partir para la generacin de variables aleatorias. A continuacin se explican las tcnicas bsicas para la generacin de nmeros aleatorios y posteriormente tcnicas para la generacin de variables aleatorias a partir de estos nmeros

Propiedades de los nmeros aleatoriosToda serie de nmeros aleatorios R1, R2, Rn, debe cumplir con dos propiedades fundamentales, Uniformidad e Independencia. Esto a su vez significa que:Si se grafican los nmeros aleatorios en el intervalo [0,1] y este es dividido a su vez en n clases subintervalos de igual magnitud, el nmero esperado de observaciones en cada intervalo es de N/n donde N es el nmero total de observaciones.La probabilidad de observar un valor en un intervalo particular es independiente del valor inmediatamente anterior.

Generacin de nmeros pseudo-aleatoriosSi hablamos de Pseudo generar, queremos decir que esta generacin es falsa por naturaleza. Siempre que utilizamos una tcnica para generar nmeros aleatorios, significa a su vez que hay una ecuacin o frmula que permite dicha generacin por tanto es pronosticable de alguna manera (ejemplo, revisar los nmeros decimales de PI).Para evitar estos inconvenientes, se acuden a generaciones computacionales que eviten estos problemas, no obstante, analizaremos solo un mtodo matemtico que a su vez tiene dos composiciones.

Tcnica de congruencia linealEste mtodo propuesto inicialmente por Lehmer (1951) produce una secuencia de enteros X1, X2, entre 0 y m-1 de acuerdo a la siguiente relacin:

El valor inicial X0, es llamado semilla, a es el multiplicador, c es el incremento y m el mdulo (mdulo hace referencia al remanente decimal producto de la divisin, as pues si decimos que 143mod100, debemos dividir 143 entre 100 obteniendo 1.43, lo que quiere decir que su mdulo es 43).Si c es diferente de cero, se llama mtodo de congruencia lineal mixto, de lo contrario se conoce como mtodo de congruencia lineal multiplicativo. La seleccin de las constantes a, c y m, as como de la semilla, afectan drsticamente el resultado de los nmeros y por ende sus propiedades y longitud de ciclo.

Ejemplo numrico 1Use el mtodo de congruencia lineal mixto para generar una secuencia de nmeros aleatorios con X0=27, a=17, c=43 y m=100. Ntese que siempre los resultados estarn comprendidos entre 0 y 100 que es el mdulo elegido. As mismo, debe tener en cuenta que el resultado debe ser dividido por el mdulo (100) para obtener un intervalo ms adecuado.Solucin: El desarrollo comienza por incluir la semilla en el nmero siguiente. El resultado de este nmero se vuelve a incluir en el la siguiente generacin y as sucesivamente hasta obtener la serie total de nmeros.

Test para nmeros aleatoriosUna vez obtenida la serie de nmeros aleatorios, es necesario revisarla para garantizar que cumpla con las propiedades (uniformidad e independencia).Existen dos mtodos bsicos segn la propiedad que se desee comprobar.Test de frecuencia: Utiliza el test de Kolmogorov-Smirnov o el test de Chi cuadrado para comparar la serie con una distribucin uniforme (este concepto ya es conocido por el estudiante).Test de autocorrelacin: Mide la correlacin entre nmeros y compara la muestra con una correlacin cero, es necesario generar correlogramas y una prueba de hiptesis basada en la distribucin normal (solo se enunciar).

Test para nmeros aleatoriosFrecuencia (Kolmogorov-Smirnov)Pasos mediante la prueba de Kolmogorov-Smirnov:Ordene los datos en forma ascendenteHalle los valores de D+ y D-

Establezca el mayor de todos

Compare este valor mximo con el valor crtico de la tabla Kolmogorov-Smirnov (diapositiva siguiente).Si D

Test de frecuencia por Kolmogorov-SmirnovTabla de valores crticos de D

Test para nmeros aleatoriosFrecuencia (Chi cuadrado)Esta prueba utiliza el estadstico Chi comparando los datos observados contra los esperados haciendo antes una ordenacin por clases, donde los datos esperados en cada clase, por tratarse de una distribucin uniforme, son iguales en todos los casos (Ei)

Se espera entonces que la muestra analizada se distribuya Chi cuadrado con n-1 grados de libertad. Si Xo calculado < Xo tablas entonces se acepta la hiptesis nula de que se trata de una distribucin uniforme.

Test de frecuencia por Chi-Cuadrado Tabla de distribucin Chi de Pearson con n grados de libertad

Test para nmeros aleatoriosAutocorrelacin:Test de Durbin-Watson para autocorrelacin positiva y negativaFuncin de Autocorrelacin Parcial (PACF)Prueba de colas en una distribucin Normal. No hay AutocorrelacinS hay Autocorrelacin

Ejemplo numrico 2Suponga que han sido generados los siguientes nmeros aleatorios y se desea saber si cumplen con la propiedad de uniformidad mediante el test de Kolmogorov-Sminrnov con un nivel de significancia del 5%. (0.44, 0.81, 0.14, 0.05, 0.93)Solucin:Primero debemos ordenar los nmeros en forma ascendente y aplicamos las frmulas respectivas.Hallamos entonces el mximo D, esto es

Tenemos entonces que D=0.26Comparamos este valor con la tabla de valores crticos de D para un nivel del 5% (0.563) y como D

Generacin de variables aleatoriasLa sola generacin de nmeros aleatorios es indispensable ms no suficiente para una simulacin ya que en la mayora de los casos es necesario utilizar una distribucin de probabilidades asociada al sistema a modelar. A continuacin, examinaremos la tcnica ms utilizada para la generacin de variables aleatorias a partir de nmeros aleatorios.

Tcnica de la transformada inversaLa TTI puede utilizarse en cualquier distribucin de probabilidad donde conozcamos su funcin de distribucin acumulada. Para hacer una explicacin detallada, tomaremos como ejemplo la distribucin exponencial. Esta distribucin tiene entonces:

Funcin de densidad:

Funcin de probabilidad:

Tcnica de la transformada inversaLa idea es sustituir la serie de nmeros aleatorios en la funcin de distribucin acumulada FDA, en resumen los pasos son los siguientes:Hallar la funcin de distribucin acumulada F(x)Igualar la FDA a RResolver la ecuacin F(x)=R en trminos de xFuncin generadora de variables aleatorias para la distribucin exponencial

Tcnica de la transformada inversaEsta funcin tambin puede notarse como X=F-1(R) en cualquier distribucin de probabilidad.Con este resultado, sustituimos cada uno de los nmeros de la serie aleatoria y podemos construir una funcin de probabilidad con una distribucin especfica, muy til para utilizarla en simulaciones posteriores.A continuacin examinaremos esta tcnica en otra distribucin (Weibull).

Tcnica de la transformada inversaFuncin generadora de variables aleatorias para la distribucin Weibull

Ejemplo numrico 3Suponga la serie de nmeros aleatorios hallada en el ejemplo numrico 1.Sobre esta serie aplique la funcin generadora de variable aleatoria exponencial, asumiendo un parmetro lambda de 6.

La serie x resultante es una distribucin exponencial con media 1/lambda (1/6).Distribucin UniformeDistribucin ExponencialTTI

R (Aleatorio inicial)0.270000.020000.770000.520000.270000.020000.770000.52000Etc..

Xi (expo resultante)0.0524517910.0033671180.2449459950.1223281960.0524517910.0033671180.2449459950.122328192Etc..

Distribucin uniforme (nmeros aleatorios generados con el mtodo de congruencia lineal mixto)Distribucin exponencial resultante al aplicar la TTI

Algunas funciones de TTI**Tomado de: Garca, Eduardo. Simulacin y anlisis de sistemas con Promodel, cap 3.Uniforme:Triangular:Normal:Exponencial:Poisson:

DistribucinGeneradorParmetrosUniformea = lmite inferiorb = lmite superiorTriangular

a = lmite inferiorc = moda de la distribucinb = lmite superiorNormal

m = media de la distribucins = Desviacin estndard. Exponencial1/l= media de la distribucinWeibullPoissonInicializacin: Hacer N=0, T=1 y generar un aleatorio ri. Paso 1: Calcular T=Tri. Paso 2: Si T>=e-l, entonces hacer N=N+1, T=T y calcular otro ri, y regresar al paso 1.Si no, la variable generada est dada por Pi=N.

Intervalos de confianzaSimulaciones terminales: Intervalo definido o eventos que dan por terminada la simulacin

Simulaciones no terminales o de estado estable: Independientemente del tiempo transcurrido, los elementos se estabilizan en un comportamiento determinado. Este caso requiere del clculo de longitud de rplicas.Longitud de rplicas: Se debe garantizar que la variacin entre rplicas no sea significativa. Distribuciones normalesOtras distribucionesDonde:

r =nmero de rplicasa = nivel de rechazoDistribuciones normalesOtras distribuciones

Simulacin3. Simulacin con hojas de clculo

Concepto generalToda serie que incluya en el tiempo un comportamiento aleatorio es modelable mediante hojas de clculo, as como las distribuciones personalizadas y los procesos de llegada y atencin.El concepto bsico est dado por la generacin de nmeros aleatorios y su aplicacin a la serie mediante ecuaciones dinmicas la conversin a la distribucin de probabilidad asociadaUna vez generada la iteracin por eventos o por tiempos (segn el mtodo de avance del tiempo), se debe repetir la simulacin segn si es terminal o de estado estable.Al finalizar la simulacin, se debe analizar el resultado en estado estable y las diferentes rplicas, y sern estos resultados los que permitan realizar las conclusiones de la simulacin.A continuacin realizaremos algunos ejemplos bsicos desarrollados en Excel.

Paseo AleatorioEs el resultado de hacer sucesivas iteraciones aleatorias en el tiempo, lo que conforma una senda variante en el tiempo. En ingls se conoce como Random Walk.Sus resultados han tenido mltiples aplicaciones tanto en la Economa, las Finanzas, los Juegos de Azar, la Sociologa, la Fsica y la Biologa. Definicin: Sea Xt una serie temporal que comienza en la posicin en X(0)=X0, su trayectoria est dada por:

Donde define la variable aleatoria que describe la probabilidad de la direccin del siguiente paso.

Algunas aplicaciones de los paseos aleatoriosSuponga una accin que comienza costando $100 y no tiene tendencia alguna, haciendo que su comportamiento en el tiempo sea aleatorio.Mediante cuatro series aleatorias es posible entonces describir este paseo aleatorio como se muestra a continuacin:

Esto dar como resultado una serie de incrementos y decrementos que no puede ser pronosticada, esto es en s un paseo aleatorio.

Algunas aplicaciones de los paseos aleatorios (tendencia)Si la serie tiene alguna clase de pronstico (tcnicas de Forecasting), es posible determinar una tendencia fija, no obstante la naturaleza aleatoria de la serie puede afectar los resultados. Este es el concepto bsico de la especulacin financiera (bonos, acciones, divisas, etc.).Por citar un ejemplo, suponga una serie cuyo comportamiento ha sido modelado bajo la siguiente ecuacin:

Donde =1.001Se espera que el parmetro alfa garantice un incremento constante del 0.1% sobre la accin. Un inversionista que conozca este modelo, comprar entonces esta accin y har un anlisis financiero simple estableciendo que el retorno neto ser de 2.94% mensual, es decir que si invierte $100, obtendr $102.94 a final de mes (Vf=Vp*(1+Crecimiento)^29), claramente mayor a la DTF actual, haciendo atractiva la inversin.

Algunas aplicaciones de los paseos aleatorios (tendencia)Al incluir la naturaleza estocstica dentro de la serie, los resultados pueden variar positiva negativamente. A continuacin se presenta la formulacin en Excel.

Lo que arroja un resultado negativo en este caso, haciendo que el retorno sea de -6.14%.

Algunas aplicaciones de los paseos aleatorios (Martingalas)Otras aplicaciones se presentan con frecuencia mediante la Martingala (determinado proceso estocstico).La Martingala tiene mltiples aplicaciones, una de ella es en los juegos de azar, donde se asume que tanto la banca como el jugador tienen un capital infinito, de esta manera si el jugador pierde, duplica su apuesta en forma sucesiva hasta que el juego lo premia y recupera todo lo invertido. En forma prctica el supuesto de recursos infinitos no se cumple, haciendo que eventualmente la banca gane el juego.Adicionalmente existe un desbalance en las probabilidades pues la banca no paga por los resultados 0 00, inclinando las probabilidades hacia la prdida. Un ejemplo sencillo se puede observar en Excel.

Otras aplicaciones de las hojas de clculo: Modelo de colas MM1Se puede tambin modelar un proceso de llegadas y atencin mediante la conversin de la serie aleatoria a la funcin de probabilidad asociada (tcnica de la transformada inversa).Suponga un sistema de colas donde los clientes arriban de acuerdo a una distribucin exponencial entre llegadas con parmetro de 5 min y una atencin con parmetro exponencial de 4 min. Determine los indicadores de esta cola MM1.A continuacin se presenta la formulacin en Excel para su desarrollo:

Otras aplicaciones de las hojas de clculo: Modelo de colas MM1Una vez corrida la simulacin para 200 registros con 20 rplicas, se encuentra que el tiempo promedio en cola est alrededor de los 14 minutos (rango entre 12 y 17). La variabilidad ocurre por la naturaleza estocstica involucrada en la formulacin y por la poca cantidad de registros analizados.

Si resolvemos este sistemas con la formulacin bsica de teora de colas encontraremos que el Wq es de 16 minutos, valor que coincide con el rango hallado, pero que por sus generalidades de convergencia infinita, ignora los conceptos estocsticos involucrados.

Ventas variables por horaSuponga una venta de arepas ubicada en un sector universitario cuya clientela es estudiantil. La clientela siempre est de afn y desea rpida atencin. Los tiempos entre llegadas se distribuyen exponencialmente sin embargo segn la hora del da las llegadas son diferentes (ver histograma). El tiempo de atencin es exponencial con media de 1 minuto. Cul es la cola y el tiempo de atencin promedio?

Procesamiento de piezasEl tiempo que transcurre entre la llegada de ciertas piezas a una estacin de inspeccin sigue una distribucin exponencial con media de 5 minutos/pieza. El proceso est a cargo de un operario y la duracin de la inspeccin sigue una distribucin normal con media de 4 y desviacin estndar de 0.5 min/pieza. Calcular el tiempo promedio de permanencia de las piezas en el proceso de inspeccin.

Modelos de InventariosExisten mltiples modelos de inventarios en la literatura que buscan optimizar el valor de compras, pedidos y por ende el costo total de la mercanca.Los modelos bsicos van desde el EOQ (comienzos de siglo XX) hasta modelos heursticos y meta-heursticos que implementan algoritmos inteligentes que construyen las sendas ptimas.Para simular estos modelos comenzaremos con sistemas bsicos sin reorden y sin lead time, con demanda esttica. Luego se relajaran algunos supuestos hasta conformar modelos ms complejos.

Simulacin4. Identificacin de variables

Medicin de variablesToda variable involucrada en el sistema debe ser medidaPara ello partimos de datos histricos del proceso y de estimaciones realizadas a partir de un muestreoUna serie suficientemente grande de datos nos permite identificar primero grfica y luego estadsticamente el comportamiento de cada variableLos datos ms comnmente estimados en un modelo son:Tiempos de atencin y procesamientoTiempos entre llegadasCantidad de entradas al sistema: frecuenciaProbabilidades de ruteo y error

MuestreoHerramienta fundamental para la medicin de tiempos y tipificacin de los mismos. Principio fundamental: La informacin se recoge cuando algo ocurreSe captura todo ingreso y salida del proceso o conjunto de ellosEjemplo sencillo en un sistema de una cola con un servidor:

De esta tabla podemos elaborar:

Ejemplo de un programa sencillo en Excel para capturar tiempos en una operacinSub captura()Dim cap As WorksheetSet cap = Sheets("Captura")j = 4Do While cap.Cells(j, 1) "" If cap.Cells(j + 1, 2) = "" Then cap.Cells(j + 1, 2) = Time() cap.Cells(j + 1, 1) = j - 3 Exit Sub Else If cap.Cells(j + 1, 3) "" Then j = j + 1 GoTo siguiente Else cap.Cells(j + 1, 3) = Time() cap.Cells(j + 1, 4) = (cap.Cells(j + 1, 3) - cap.Cells(j + 1, 2)) * 3600 * 24 Exit Sub End If End If j = j + 1siguiente:LoopEnd SubNombre una hoja de clculo como CapturaCree los ttulos como se muestra a continuacin e inserte un botn llamado capturarLuego ascielo a una subrutina llamada captura como se muestra en el cdigo de la derecha.Los datos resultantes de la columna D, sern los tiempos de la operacin, estos datos determinarn la distribucin de probabilidad asociada al proceso.

Anlisis de los datosUna vez realizado el muestreo (mnimo 30 registros por cada actividad), es necesario realizar agrupaciones que permitan elaborar una distribucin de frecuencias desde la cul se puedan identificar las posibles distribuciones de probabilidad que describan la serie.Sobre las distribuciones que se desee verificar, es necesario luego realizar una prueba de bondad de ajuste (test estadstico que indica cun cerca o lejos est una serie de una distribucin especfica)Test Chi cuadrado: Compara contra poblaciones normalmente distribuidasTest de Kolmogorov-Smirnov: Compara contra cualquier otra distribucin. Test de Anderson Darling: Compara contra cualquier otra distribucin. Es decir que primero graficamos mediante un histograma de frecuencias y luego realizamos los test estadsticos segn el caso

Anlisis de los datosEste proceso debe aplicarse a todas las actividades involucradas en la modelacin, obteniendo finalmente algo como lo plasmado en la grfica (ejemplo atencin en una cafetera)

Existen adems paquetes computacionales especializados que ya elaboran todos estos procesos, entre ellos encontramos: STATA, SPSS, EVIEWS, Cristal Ball, Expert Fit, etc. Adicionalmente, Promodel cuenta con una herramienta incorporada llamada Stat-Fit, a continuacin haremos una introduccin a su uso.

Solicitud de PedidoE(1,2)EntradaLlegada de clientesP(90)CajaEntrega del Pedido al usuarioN(0.5,1)BarraSalidaAlistamiento del pedidoG(2,5)Cocina

Utilizacin de StatFitEs un programa anexo a Promodel que permite identificar distribuciones estadsticas de cualquier serie de datosLa versin estudiantil solo permite analizar 50 datos por serie.

Por ejemplo, supongamos que tenemos una serie de 30 datos en STAT FIT tal como nos muestran las grficas de la derecha. Una vez introducidos los datos, es posible realizar varias acciones con ellos, como graficas y estadsticas descriptivasAdicionalmente, es posible ejecutar un comando llamado AUTOFIT que mediante diferentes tcnicas puede establecer las diferentes distribuciones de probabilidad asociadas a la serieUtilizacin de StatFit

Ahora aplicamos el AUTOFIT para determinar cul es la distribucin que mejor describe estos datos.

Le decimos al programa que sin lmite o no acotado (es mejor no acotar el lmite, es decir Unbounded)

Utilizacin de StatFit

Lo que nos da como resultado un ajuste en tres diferentes distribuciones, todas en este caso vlidas. Seleccionando una o varias de ellas, nos muestra el histograma que describe la serie y sobre el mismo ubica la funcin de densidad de la distribucin sugerida (muy ajustada en algunos casos como muestra la grfica)

Utilizacin de StatFit

Adicionalmente, es posible verificar las pruebas de bondad de ajuste de cada una de las distribuciones analizadas (Chi Cuadrada, Anderson Darling y Kolmogorov Smirnov por lo general).

Utilizacin de StatFit

Finalmente, es necesario exportar la distribucin seleccionada en el mismo formato que el programa destino, en este caso Promodel.Para hacer esto simplemente vamos a Export > Export Fit y luego le indicamos la distribucin que vamos a exportar y en el combo desplegable izquierdo (Aplicacin) seleccionamos PROMODEL.

Lo que nos arroja finalmente una distribucin resultante en formato PROMODEL de:Normal: N(9.87, 4.52)Lognormal: -1920+L(1939, 4.538) Uniforme: U(8.81, 10.2)Utilizacin de StatFit

Simulacin5. Introduccin a la teora de Colas

Definicin e historiaUna cola es una lnea de espera de cualquier clase de recurso (personas, materiales, documentos, etc.)La teora de colas es el conjunto de modelos matemticos y computacionales que intentan explicar el comportamiento de las lneas de esperaSu precursor fue Erlang (Ingeniero Dans 1978 1929), quien en 1909 public su primer trabajo sobre la modelacin de las esperas y su dimensionamiento en la empresa de telfonos de CopenhagueCon el tiempo sus teoras fueron ampliamente aceptadas y aplicadas a muchos otros campos, incluso hoy en da.Hay muchos otros padres y aportes posteriores (Chebyshov , Markov, Kendall, Little, entre otros)Las colas son una aplicacin particular de los procesos estocsticos

Proceso de nacimiento y muerteEsquema bsico para modelacin de colas (cambios en tamao de poblacin)Nacimiento: llegada de un nuevo cliente al sistemaMuerte: salida de un cliente servidoN(t): nmero de clientes que hay en el sistema en un momento tEl proceso de nacimiento y muerte describe en trminos probabilsticos como cambia N(t) al aumentar tSuposiciones:Dado N(t)=n, la distribucin de probabilidad actual del tiempo que falta para el prximo nacimiento es exponencial con parmetro Dado N(t)=n, la distribucin de probabilidad actual del tiempo que falta para la prxima muerte (terminacin) es exponencial con parmetro n solo puede saltar 1 estado a la vezDiagrama de tasas:

Proceso de nacimiento y muertePrincipio clave (ecuacin de balance): Tasa media de entrada = Tasa media de salida

Estado 0:

Estado 1:

Generalizando:

01012

Componentes de una Cola

DefinicionesN(t): Nmero de clientes en el estado t r : Tasa de utilizacin (debe ser menor a 1 para que el sistema sea estable)Pn(t): Probabilidad de hallar n clientes en el sistema en el instante tS: Nmero de servidores Nmero de clientes por unidad de tiempo (tasa de llegada)L: Nmero esperado de clientes en el sistemaLq: Nmero esperado de clientes en la colaW: Tiempo de espera en el sistema (cola y servicio) para cada cliente Tasa media de servicio (nmero esperado de clientes que completan su servicio por unidad de tiempo)Wq: Tiempo esperado en la cola para cada clienteAbandono e Impaciencia

Fuente de entradaSalida

Notacin y DisciplinaNotacin:A/B/C/D/EA: Distribucin de tiempos de llegadaB: Distribucin de tiempos de salidaC: Nmero de servidoresD: Capacidad del sistemaE: Disciplina de la colaDisciplinasFIFO: Primero en llegar, primero en servirseLIFO: ltimo en llegar, primero en servirseSIFO: Se atiende primero las tareas que demandan menor servicioRR (Round Robin): Se reparte el tie po del recurso equivalente entre todas las tareas pendientes

Cola M | M | 1Hay una sola cola, cuya capacidad es infinita, y un solo servidor, La disciplina ser FIFOLas llegadas se producen segn un proceso de Poisson de razn , donde es el nmero medio de llegadas por unidad de tiempo y 1/ es el tiempo medio entre llegadas, Los tiempos entre llegadas se distribuirn exponencialmente, Exp()Los tiempos entre servicios tambin se distribuirn exponencialmente, Exp(), de tal manera que es el nmero medio de clientes que el servidor es capaz de atender por unidad de tiempo y 1/ es el tiempo medio de servicio

Condicin de no saturacinSe demuestra que si , el sistema se satura, es decir, el nmero de clientes en la cola crece indefinidamente con el tiempo, Por consiguiente, la condicin de no saturacin ser:Cuando una cola no se satura, tambin se dice que alcanza el estado estacionario,

ProbabilidadesEl parmetro se llama carga, flujo o intensidad de trfico del sistema, puesto que mide la relacin entre la cantidad de trabajos que llegan y la capacidad de procesarlosSuponiendo que el sistema no se satura, se deduce la siguiente frmula para las probabilidades pn de que haya n clientes en el sistema, donde nN:

Medidas de rendimientoEl nmero medio de clientes en el sistema, L, se calcula as:Sumamos la serie aritmtico-geomtrica:

Medidas de rendimientoLa utilizacin del servidor, notada U, es la fraccin de tiempo (en tanto por uno) que el servidor permanece ocupado, Para hallarla, nos valemos de que cuando no hay saturacin, el nmero medio de clientes que entran en el sistema debe ser igual al nmero medio de clientes que salen de l:Como para deducir la anterior frmula no hemos usado ninguna caracterstica especial del modelo de entrada ni del de salida, dicha frmula es vlida para colas G | G | 1

Medidas de rendimientoEl tiempo medio de respuesta W es el tiempo medio que un trabajo permanece en el sistema, Si suponemos que un trabajo, al llegar al sistema, se encuentra con que hay por delante de l otros j trabajos, el tiempo medio que tardar en salir del sistema ser j+1 veces el tiempo medio de servicio, Por lo tanto:Tiempo que se pasaen el sistema sihay j por delanteal llegarProbabilidad de quehaya j por delanteal llegar

Medidas de rendimientoPodemos simplificar algo ms:El tiempo medio de espera en la cola Wq se hallar restando a W el tiempo que tarda en ser servido el trabajo (esto es vlido para cualquier tipo de cola):En el caso particular de una cola M | M | 1, obtenemos:

EjemploUnos mecnicos llegan a una media de 10 por hora a recoger piezas de repuesto, Estas piezas se las da un dependiente pagado con $5/hora y que tarda como media 5 min en servir, Cada hora que tiene que esperar un mecnico (en el sistema) le cuesta al taller $10, Queremos saber si merece la pena contratar a un ayudante del dependiente, pagado con $4/hora, de forma que el tiempo medio de servicio se reduzca a 4 minNota: Al resolver un problema de colas, tener siempre muy presente la coherencia de unidades

EjemploTenemos dos opciones:Sin ayudante: 1/1 = 5 min = 1/12 hCon ayudante: 1/2 = 4 min = 1/15 hEn ambos casos, = 10 clientes/hOpcin 1 (sin ayudante):

Por tanto, perdemos 5($10/h) = $50/h

EjemploOpcin 2 (con ayudante):

Por tanto, perdemos 2($10/h) = $20/h debido a la espera de los mecnicos, Pero tambin perdemos $4/h debido al sueldo del ayudante, Por tanto, las prdidas totales son $24/hEn la opcin 1 perdemos $50/h y en la opcin 2 perdemos $24/h, con lo cual la ms ventajosa es la opcin 2.

Ms medidas de rendimientoEl nmero medio de trabajos en la cola Lq, se calcula restndole a L el nmero medio de trabajos que estn siendo servidos:Probabilidad de que un cliente que llega pase ms de t unidades de tiempo en el sistema:Probabilidad de que un cliente que llega pase ms de t unidades de tiempo en la cola:

EjemplosEjemplo: Un canal de comunicacin se usa para enviar datos desde varios computadores fuente a uno central, Cada fuente enva paquetes de datos segn un proceso de Poisson de razn 2 paquetes/seg, Adems cada fuente enva independientemente de las otras, Todos los paquetes son idnticos, esperan en una cola comn y despus se transmiten de uno en uno, Los tiempos de transmisin se distribuyen exponencialmente, con media 25 mseg, Determinar el nmero mximo de fuentes que se pueden conectar al canal de tal manera que:

Ejemplos1 El canal no se satureSi tenemos k fuentes, llegarn a la cola 2k paquetes/seg, Por otro lado, 1/ = 0,025 seg = 40 paquetes/segEl canal no se satura cuando

Ejemplos2 En media los paquetes no pasen en el sistema ms de 100 msegTal como ocurra en el apartado anterior, llegarn a la cola 2k paquetes/seg, y tendremos = 40 paquetes/segNos exigen W0,1 seg:

Ejemplos3 En el estado estacionario se garantice que al menos el 95% de los paquetes tenga un tiempo de respuesta que no exceda de 100 msegTal como ocurra en el apartado anterior, llegarn a la cola 2k paquetes/seg, y tendremos = 40 paquetes/segNos exigen que la probabilidad de que un paquete pase ms de 100 mseg en el sistema sea inferior al 5%, es decir, W(100 mseg)0,05:

EjemplosEjemplo: Supongamos que una cola M|M|1 con parmetros y se sustituye por n colas M|M|1 independientes de parmetros /n y /n, Es decir, dividimos la carga de trabajo y la capacidad de proceso en n partes iguales, Evaluar el efecto del cambio usando como medidas de rendimiento el tiempo medio de respuesta y el nmero medio de trabajos en el sistema

EjemplosAlternativa 1 (una sola cola), 1=, 1= :Alternativa 2 (n colas independientes), 2=/n, 2=/n :

EjemplosComo la alternativa 1 tiene menores valores para ambas medidas de rendimiento, concluimos que la dicha alternativa es mejorEsto nos indica que lo mejor es no dividir la capacidad de procesamiento, es decir, tener un nico servidor que atienda a todos los clientes

Teorema de LittleSea un sistema de colas con cualquier distribucin de llegadas y servicios y cualquier estructura, Sean L el nmero de trabajos presentes en el sistema en el estado estacionario, W es tiempo medio de respuesta en el estado estacionario y la razn de llegadas al sistema, Entonces:

Teorema de LittleExplicacin intuitiva: Supongamos que cobramos 1 a cada trabajo por cada unidad de tiempo que pasa en el sistema, Habra dos maneras equivalentes de medir las ganancias:Colocando un recaudador a la entrada del sistema, le cobrar como media W a cada uno de los trabajos que vea pasar por unidad de tiempoCada vez que transcurre una unidad de tiempo, cobro 1 a cada uno de los L trabajos que como media hay en ese instante en el sistema

Teorema de LittleSi aplico el teorema a la cola, dejando fuera del sistema al servidor, obtengo el siguiente resultado, tambin muy til:Las dos frmulas obtenidas nos sirven para ayudarnos a obtener los valores de las medidas de rendimiento, aunque necesitaremos otras ecuaciones para poder conseguir resultados explcitos

Cola M | M | sHay una sola cola, cuya capacidad es infinita, y s servidores, La disciplina ser FIFOLas llegadas se producen segn un proceso de Poisson de razn , donde es el nmero medio de llegadas por unidad de tiempo y 1/ es el tiempo medio entre llegadas, Los tiempos entre llegadas se distribuirn exponencialmente, Exp()Los tiempos de servicio tambin se distribuirn exponencialmente, Exp(), de tal manera que es el nmero medio de clientes que cada servidor es capaz de atender por unidad de tiempo y 1/ es el tiempo medio de servicio

Condicin de no saturacinSe demuestra que si s, el sistema se satura, es decir, el nmero de clientes en la cola crece indefinidamente con el tiempo, Por consiguiente, la condicin de no saturacin ser:Nosotros slo estudiaremos las colas que no se saturan, Cuando una cola no se satura, tambin se dice que alcanza el estado estacionario,

ProbabilidadesSuponiendo que el sistema no se satura, se deducen las siguientes frmulas para las probabilidades pn de que haya n clientes en el sistema, donde nN:

Medidas de rendimientoNmero medio de clientes en cola:Usamos razonamientos ya vistos para obtener:

Otras medidas de rendimientoNmero medio de servidores ocupados, C, En el estado estacionario, la razn de las salidas ser igual a la razn de las llegadas:Probabilidad de que un trabajo tenga que esperar para recibir su servicio (frmula de retraso de Erlang):

EjemplosEjemplo: Usando L como medida de rendimiento, comparar estas dos alternativas:Alternativa 1:Alternativa 2:

EjemplosAlternativa 1:Alternativa 2:

Ejemplos

EjemplosPara que la alternativa 1 sea mejor, ha de cumplirse que L1

EjemplosEjemplo: Usando el nmero medio de clientes en el sistema como medida de rendimiento, comparar estas dos alternativas:Alternativa 2:Alternativa 1:

EjemplosAlternativa 1 (ntese que hay 2 colas):Alternativa 2 (es la alternativa 2 del ejemplo anterior):

EjemplosPara que la alternativa 2 sea mejor, ha de cumplirse que L1>L2:Como >0 siempre se cumple, tendremos que la alternativa 2 siempre es mejor, Es decir, no conviene poner dos colas, sino tener una nica cola global

EjemplosEjemplo: En una copiadora se dispone de 3 mquinas fotocopiadoras a disposicin del pblico, Cada mquina es capaz de servir, por trmino medio, 8 trabajos cada hora, A la copiadora llegan como promedio 5 clientes a la hora,Parmetros del sistema: = 5 clientes/h, = 8 clientes/h, s = 3 servidores, El sistema no se satura porque

EjemplosCul es la probabilidad de que las tres mquinas estn libres a la vez?Cul es el nmero medio de clientes en la cola?

EjemplosCul es el tiempo medio de espera en la cola?Cul es el tiempo medio de espera en el sistema?Cul es el nmero medio de clientes en el sistema?

Cola M | M | 1 | kHay una sola cola, cuya disciplina ser FIFO, La capacidad del sistema es limitada, de tal modo que slo puede haber k clientes como mximo en el sistema, Por lo tanto, el nmero mximo de clientes en la cola es k1, Si un cliente llega y el sistema est lleno, es rechazado y nunca ms regresaLas llegadas se producen segn un proceso de Poisson de razn , Los tiempos entre llegadas se distribuirn exponencialmente, Exp()Los tiempos entre servicios tambin se distribuirn exponencialmente, Exp(), de tal manera que es el nmero medio de clientes que el servidor es capaz de atender por unidad de tiempo

ProbabilidadesEl sistema nunca se satura, ya que la capacidad es limitadaSe deduce la siguiente frmula para las probabilidades pn de que haya n clientes en el sistema, donde n{0, 1, 2, , k}:

ProbabilidadesEl valor de determina cmo varan los pn:Si 1, los estados ms probables son los de mayor nmero de clientes, porque la demanda de servicio supera a la ofertaSi =1, todos los estados son equiprobables, Podemos llegar a la frmula del caso =1 aplicando la regla de LHpital al lmite para 1 de la frmula del caso 1 Si hacemos k, llegamos al modelo M | M | 1

Medidas de rendimientoTasa efectiva de llegadas, ef, Es el nmero medio de clientes admitidos al sistema por unidad de tiempo de entre los que intentan entrar (ef

Medidas de rendimientoPodemos obtener las dems medidas de rendimiento mediante razonamientos ya vistos, teniendo en cuenta que la tasa efectiva de llegadas al sistema es ef:

EjemploA un taller mecnico llegan vehculos para el cambio de pastillas de freno, Los coches llegan a un promedio de 18 a la hora segn un proceso de Poisson, El espacio fsico del taller slo permite que haya 4 vehculos, y las ordenanzas municipales prohben esperar fuera, El taller puede servir a un promedio de 6 coches por hora de acuerdo a una distribucin exponencial,Parmetros del sistema: = 18 vehculos/h, = 6 vehculos/h, k = 4 vehculos

EjemploCul es la probabilidad de que no haya ningn vehculo en el taller?Cul es el promedio de vehculos que hay en el taller?

EjemploCunto tiempo pasa por trmino medio un coche en el taller?

EjemploCunto tiempo esperan por trmino medio en la cola los coches?Cul es la longitud media de la cola?

Resumen de ecuaciones de LittleM/M/1M/M/SM/M/1/n

Simulacin6. Colas en serie y teora de Redes

Redes de colasUna red de colas es un sistema donde existen varias colas y los trabajos van fluyendo de una cola a otraEjemplos:Fabricacin (trabajos=artculos)Oficinas (trabajos=documentos)Redes de comunicaciones (trabajos=paquetes)Sistemas operativos multitarea (trabajos=tareas)

Enrutado de trabajosCriterios para decidir a qu cola se dirige un trabajo que acaba de salir de otra:Probabilstico: se elige una ruta u otra en funcin de una probabilidad (puede haber distintos tipos de trabajos, cada uno con sus probabilidades)Determinista: cada clase de trabajo se dirige a una cola fija

Tipos de redes de colasSe distinguen dos tipos de redes de colas:Abiertas: Cada trabajo entra al sistema en un momento dado, y tras pasar por una o ms colas, sale del sistema, Dos subtipos:Acclicas: Un trabajo nunca puede volver a la misma cola (no existen ciclos)Cclicas: Hay bucles en la redCerradas: Los trabajos ni entran ni salen del sistema, Por lo tanto permanecen circulando por el interior del sistema indefinidamente, Usualmente existe un nmero fijo de trabajos,

Red abierta acclica

Red abierta cclica

Red cerrada

Redes de Jackson abiertasUna red de colas abierta se dice que es de Jackson si:Slo hay una clase de trabajosLos enrutados son probabilsticos, donde rij 0 es la probabilidad de ir al nodo j despus de haber salido del nodo i, Por otro lado, ri0 es la probabilidad de abandonar del sistema despus de haber salido del nodo i, donde ri0 = 1 jrij Cada nodo i es una cola .|M|ciLa tasa de llegadas externas al nodo i se notar iEl nmero total de nodos de la red se notar K

Ecuaciones de equilibrioDado que el flujo total de entrada a un nodo debe ser igual al flujo total de salida del nodo, tendremos que:Las K ecuaciones anteriores forman un sistema lineal con solucin nica, que resolveremos para hallar las tasas de llegada a cada nodo i

Condicin de no saturacinPara que ninguna de las colas del sistema se sature, es preciso que se cumpla la siguiente condicin:

Nota: Se trata de la condicin de no saturacin del modelo M|M|c, aplicada a cada uno de los nodos por separado

Teorema de Jackson para redes abiertasTeorema: Sea una red de Jackson abierta que cumple la condicin de no saturacin, Entonces en el estado estacionario, la distribucin del nmero de clientes en cada nodo es la que sigue:donde pi(ni) es la probabilidad de que haya ni clientes en el nodo i, calculada segn las ecuaciones del modelo M|M|c

Consecuencias del teoremaCorolario: Las medidas de rendimiento para cada nodo se calculan segn las ecuaciones del modelo M|M|s, Adems se tendrn las siguientes medidas:Tasa global de salidas del sistema (throughput), que es el nmero medio de trabajos que salen del sistema por unidad de tiempo, Coincide con el nmero de trabajos que entran en el sistema:

Consecuencias del teoremaNmero medio de trabajos en el sistema, Lred, que es la suma de los nmero medios de trabajos en cada uno de los nodos:Tiempo medio en el sistema, Wred, que es el tiempo medio que pasa una tarea desde que entra en la red hasta que sale de ella:

Consecuencias del teoremaRazn de visitas al nodo i, Vi, que es el nmero medio de veces que un trabajo visita el nodo i desde que entra en la red hasta que sale:

Nota: en una red acclica habr de cumplirse que Vi1 i{1,2,,,,,K}, ya que cada tarea visitar cada nodo a lo sumo una vez

Ejemplo (red acclica)1,50,80,20,50,60,41

Ejemplo (red acclica)En el ejemplo, 1=1,5; r12=0,2; r13=0,8; r34=0,6; r35=0,4; 6=0,5; r65=1; con lo cual la solucin es:Ecuaciones de equilibrio:

Ejemplo (red acclica)Medidas de rendimiento (ecuaciones del modelo M|M|1):Condicin de no saturacin (se cumple porque i

Ejemplo (red acclica)

Red abierta cclica0,20,70,30,10,90,80,6

Ejemplo (red cclica)En el ejemplo, 1=0,2; r12=0,3; r13=0,7; 3=0,8; r53=0,6; r34=0,1; r35=0,9; con lo cual la solucin es:Ecuaciones de equilibrio:

Ejemplo (red cclica)Medidas de rendimiento (ecuaciones del modelo M|M|1):Condicin de no saturacin (se cumple porque i

Ejemplo (red cclica)

Redes de Jackson cerradasUna red de colas cerrada se dice que es de Jackson sii:Slo hay una clase de trabajosLos enrutados son probabilsticos, donde rij 0 es la probabilidad de ir al nodo j despus de haber salido del nodo i, Cada nodo i es una cola .|M|ciHay una cantidad constante M de trabajos en el sistemaEl nmero total de nodos de la red se notar K

Ecuaciones de equilibrioDado que el flujo total de entrada a un nodo debe ser igual al flujo total de salida del nodo, tendremos que:Las K ecuaciones anteriores forman un sistema lineal indeterminado con un grado de libertad, que resolveremos para hallar las tasas de llegada relativas a cada nodo i*, Para ello fijaremos un valor positivo arbitrario para una incgnita, por ejemplo 1*=1

Anlisis del valor medioHallaremos las siguientes medidas de rendimiento para M tareas en el sistema:Li(M)=Nmero medio de tareas en el nodo iWi(M)=Tiempo medio que cada tarea pasa en el nodo i cada vez que lo visitai(M)=Tasa real de salidas del nodo iSe trata de un algoritmo iterativo que va calculando Li(m), Wi(m) para valores crecientes de m a partir de m=0

Anlisis del valor medioLas ecuaciones son:

Red cerrada0,30,7111

Ejemplo (red cerrada)En el ejemplo, r12=0,3; r14=0,7; r23=1; r31=1; r41=1; con lo cual la solucin es, tomando 1*=1:Ecuaciones de equilibrio:

Ejemplo (red cerrada)

Ejemplo (red cerrada)Primera iteracin:

Ejemplo (red cerrada)

mW1(m)W1(m)W1(m)W1(m)L1(m)L2(m)L3(m)L4(m)0--------000010,20,20,20,20,43480,13040,13040,304320,28700,22610,22610,26090,94830,22410,22410,603430,38970,24480,24480,32071,53600,28950,28950,884940,50720,25790,25790,37702,19130,33430,33431,140150,63830,26690,26690,42802,90650,36460,36461,364460,78130,27290,27290,47293,67370,38500,38501,556470,93470,27700,27700,51134,48520,39870,39871,7173

Ejemplo (red cerrada)mLCola 1Colas 2 y 3Cola 4

Ejemplo (red cerrada)mWCola 1Colas 2 y 3Cola 4

Ejemplo (red cerrada)Utilizacin delservidor (%)U=/=L/(W)mCola 1Cola 4Colas 2 y 3

Cuellos de botellaUn cuello de botella en un sistema de colas es un nodo cuya capacidad de procesamiento determina el rendimiento de todo el sistemaDefinicin: Sea una red de Jackson cerrada. Diremos que el nodo j es un cuello de botella sii Lj(m) cuando mEn el ejemplo anterior el nodo 1 es un cuello de botella. Trabaja al lmite de su capacidad mientras que los otros no (se quedan al 30% o al 70%). Para mejorar el rendimiento global del sistema habra que aumentar la capacidad de procesamiento del nodo 1

Simulacin7. Revisin de diferentes programas especializados para simulacin

IntroduccinLos precursores de la simulacin fueron Von Newmann y Morgenstern quienes idearon el mtodo de Montecarlo en la dcada de los 40s (padres tambin de la teora de juegos)Poco tiempo despus se desarroll el primer modelo de simulacin durante el programa Manhattan en la segunda guerra mundial. Este desarrollo apoyado en los nacientes procesadores, fue el primer programa de simulacin que existi.Algunos aportes se hicieron en forma posterior, sin embargo, en la dcada de los 70s se dio nuevamente el boom de estos programas gracias a los desarrollos en bases de datos que permitieron integrar los ordenadores a procesos productivos.En los aos posteriores fueron surgiendo programas ms especializados hasta llegar a los muy avanzados que tenemos hoy en da.

Qu hay de nuevo en la tecnologa de simulacin?Hoy en da los programas de simulacin son ms que emuladores de variables aleatorias en procesos Ms all de esto, existen una serie de caractersticas que buscan ofrecer soluciones especializadas en entornos ms amigables al usuario, fciles de usar y flexibles para trabajar.Entre las principales caractersticas encontramos:Animacin en 2 y 3 dimensionesImgenes ultra realsticas (adicin de diseos CAD)Integracin con lenguajes y sistemas populares como: C#, C++, VB, Access, VBA, Excel, VisioHerramientas de Optimizacin (OptQuest)Reportes de resultados automticos y/o personalizadosIntegracin con sistemas de anlisis de datos (Stat::Fit, ExpertFit)Paquetes de modelos especializados

Software de Simulacin ms conocidosA continuacin haremos un recorrido por los sistemas ms populares para simulacin a nivel mundial, indicando algo de historia y sus caractersticas ms importantes. Evaluaremos:AnalyticaAnyLogic (simulacin de sistemas dinmicos)Arena AutoModFlexsimGoldSimMicroSaintPromodelSimul8Vensim (simulacin de sistemas dinmicos) Witness

AnalyticaPropiedad de Lumina Decision Systems Inc., compaa de origen Norteamericano, fundada en 1991Modelacin en 2DIntegracin con Excel y AccessAplicaciones principales:AeroespacialConstruccinModelacin FinancieraRiesgo FinancieroProcesos y ManufacturaPreciosEdicin Profesional: US $1.295Optimizador: US $2.995Reproductor: US $500http://www.lumina.com/ana/whatisanalytica.htm

AnyLogicPropiedad de XJ Technologies, compaa de origen Ruso, fundada en 1992Modelacin en 2DAplicaciones principales:EducacinSistemas ComplejosMilitarRedes y ComunicacionesCadena de suministros y TransportePreciosV6 Edicin Avanzada: 4.800 EUR + 1.200 EUR con OPT QuestV6 Edicin Profesional: 12.000 EURhttp://www.xjtek.com/anylogic/

ArenaPropiedad de Rockwell Automation, compaa de origen Norteamericano, fundada en 1983.Modelacin en 2D (post-animacin en 3D)Fcil utilizacinIntegracin con VBAplicaciones principales:Sistemas ComplejosServiciosMilitarCadena de suministrosComparacin de escenariosPreciosBsico: US $795OptQuest: US $ 995http://www.arenasimulation.com/

AutoModPropiedad de Applied Materials Inc., compaa de origen Norteamericano, fundada en 1967.Modelacin en 3D, ultra realistaRequiere nivel avanzado de programacinLenguaje propio, orientado a objetosMdulos de manufactura especializados:Aplicaciones principales:Sistemas ComplejosSaludManufacturaCadena de suministros y TransporteAeroespacialPreciosVersiones desde US $20.000 hasta US $40.000http://www.automod.com/

FlexSimPropiedad de Flexsim Software Products Inc., compaa de origen Norteamericano, fundada en 1993.Fcil UtilizacinEs tal vez el software ms popular en simulacin 3DPermite incluir objetos CADIntegracin con C++, Access y ExcelMdulos de manufactura especializadosAplicaciones principales:ManufacturaCadena de suministrosPreciosUS $19.500http://www.flexsim.com/

GoldSimPropiedad de Golder Associates, compaa de origen Norteamericano, fundada en 1990Modelacin en 2DAplicaciones principales:Medio AmbienteModelacin financiera y de negociosProcesos industrialesSistemas dinmicosPreciosGoldSim Pro: US $3.950http://www.xjtek.com/anylogic/

MicroSaintPropiedad de Alion MA&D Operation, compaa de origen Norteamericano, fundada en 1984Modelacin en 2D (tiene una leve integracin con 3D)Integracin con VisioReportes configurables por el usuarioAplicaciones principales:Medio AmbienteModelacin financiera y de negociosProcesos industrialesPreciosModelador Bsico US $4.995Avanzado (Incluye animacin en 2D y OptQuest): US $8.995http://www.maad.com/index.pl/micro_saint

ProModelPropiedad de Promodel Corporation, compaa de origen Norteamericano, fundada en 1988Software de propsito generalModelacin en 2D (post-animacin en 3D)Programas especializadosProcessModel (integracin con VISIO)MedModelServiceModelAplicaciones principales:ServiciosProcesos industrialesPreciosUS $3.500Stat::Fit US $245http://www.promodel.com

Simul8Propiedad de Simul8 Corporation, compaa de origen Norteamericano, fundada en 1994.Fcil UtilizacinModelacin en 2D (post-animacin en 3D)Integracin con C++, VB, Access y ExcelAplicaciones principales:ManufacturaCadena de suministrosSimulacin de escenariosPreciosStandard: US $1.495 Profesional: US $4.995Stat::Fit US $245OptQuest: US $495http://www.simul8.com/

VensimPropiedad de Ventana Systems Inc., compaa de origen Norteamericano, fundada en 1985Modelacin en 2DAplicaciones principales:Modelacin de sistemas dinmicos (cadenas de abastecimiento, modelacin financiera, modelos de crecimiento, econmicos, sociales, etc.)PreciosDSS: US $1.995Profesional: US $1.195PLE: gratis http://www.vensim.com/

WitnessPropiedad de Laner, compaa de origen Britnico, fundada en 1978Modelacin en 3DDiseos OptimizadosIntegracin con VisioReportes configurables por el usuarioAplicaciones principales:Medio AmbienteModelacin financiera y de negociosProcesos industrialesPrecios

http://www.lanner.com/corporate/technology/witness.htm

Aplicaciones ms frecuentes

ConclusionesEn la literatura revisada se encontraron 57 diferentes programas de simulacin, se destacaron los 11 aqu revisados.Todos cuentan con mltiples caractersticas como simulacin discreta y continua, sistemas dinmicos, modelacin en 2 y 3 dimensiones, integracin con otros sistemas, etc.As mismo se identifican diferentes campos de aplicacin, la eleccin del programa depende bsicamente de este parmetro y el costo.Arena es el software de simulacin ms difundido a nivel mundial, por su bajo costo y su amplio soporte en muchos pases.En segundo lugar se encuentra Promodel, tiene una mayor difusin en mbitos acadmicos ya que est enfocado a propsito general (abarca casi todos los campos), no obstante no permite una gran especializacin y modelacin de sistemas complejos. Existen otros programas ms especializados como Flexsim, Witness y Automod, pero por su alto costo solo se utiliza en empresas con departamentos dedicados al campo de la simulacin

Simulacin8. Introduccin a la Simulacin con Promodel

Definiciones para un modelo de simulacinLocaciones (Locations): Lugares donde ocurrirn los eventos del procesoEntidades (Entities): Objetos o personas que se mueven en el modelo (elementos, mquinas, materiales y clientes)Recursos (Resources): Elementos limitados que utilizamos en el sistema. Por lo general implican costos.Redes (Path Networks): Posibles recorridos de una entidad recursoProcesos (Processing): Iteraciones de los recursos y las entidades en las locacionesLlegadas (Arrivals): Entradas al sistemaTurnos y horarios (Shifts)Atributos (Atributes): Variables asociadas a una entidad o locacin

Ejemplos de las definiciones

Pantalla de promodel

Conceptos bsicosIdentificar distribuciones de entrada a travs de StatFitDTSCreacin de variables globalesRecursos y rutasTurnos

Ejemplo centro de copiado (DTS)Un Juzgado tiene a su disposicin un centro de copiado el cul posee 5 mquinas fotocopiadoras las cuales procesan tanto documentos carta como oficio. La mquina 1 no tiene perodos muertos, pero debe ajustarse durante 1 minuto cada que cambia de tamaos carta a Oficio. La mquina 2 debe parar por 20 minutos cada que ha procesado 300 copias o corre el riesgo de fundirse. La mquina 3 debe parar durante 10 minutos cada 2 horas de trabajo para enfriar sus mecanismos internos. La mquina 4 debe cambiar los rodillos cada 200 copias, operacin que le toma 7 minutos. La quinta mquina no requiere preparacin alguna ni mantenimientos durante la operacin. Cada paquete de copias llega en grupos de 5 hojas y sus tiempos de llegada en el da estn dados por la siguiente tabla:

El proceso de copiado toma en promedio 2 minutos por cada paquete pues requiere quitar y poner ganchos de cosedora en cada paquete. Al salir de la copiadora se ponen en una banda final que los lleva hasta un almacn transitorio donde cada paquete dura en promedio 10 minutos.Cul mquina de las cuatro primeras es ms eficiente?

Hora del daPaquetes recibidos de tamao CartaPaquetes recibidos de tamao Oficio15102101232845652461097515884

Ejercicio DTS y RecursosCentro de diagnostico automotriz: Un taller especializado recibe automviles y camiones para revisiones y mantenimiento general. Este taller cuenta solamente con tres estaciones de trabajo, una de lavado, a continuaicn una alineacin y balanceo, una de cambio de aceite y una de

Ejemplo carpintera El RobleLa carpintera El Roble, procesa madera de la siguiente manera:Recibe troncos de madera a razn de 30 T/hora y los ingresa a un control de calidad inicial. En este se determina si el tronco es vlido o no para su procesamiento. La probabilidad de encontrar un tronco en buen estado es de un 80% y el tiempo de la inspeccin es de 1 min por tronco. En caso de no ser apto, pasa a un proceso de aserrado (conformacin de aserrn) en una mquina especial cuyo tiempo de operacin es uniforme con parmetro de 5 minutos. Los troncos aptos pasan a un proceso de corte donde se cuenta con dos mquinas cortadoras con tiempos de operacin que se distribuyen exponencialmente con parmetro de 8 minutos por mquina. Al salir de este proceso deben pasar por un proceso de lijado y pulido en una mquina lijadora que tiene un tiempo de procesamiento distribuido normalmente con media 6 y desviacin estndar 3. Finalmente estas piezas pasan a un proceso de pintura con barniz, realizado por dos operarios de forma artesanal. Estos operarios tienen un tiempo de procesamiento distribuido Triangularmente con media 4.2, mnimo 1.4 y mximo 12.6. Al finalizar el proceso las piezas pasan a una bodega de almacenamiento de producto terminado.El dueo de la carpintera est preocupado por que encuentra que cerca del 50% de la mercanca ingresada al da no alcanza a ser procesada en un turno normal de 8 horas y desea saber qu estrategias debera seguir para corregir este problema, minimizando costos.

Ejemplo red abierta de Jackson y aplicacin en Promodel (Empresa de juguetes Muequita)La empresa de juguetes muequita tiene 4 secciones (A, B, C, D). Los juguetes que fabrican se pueden clasificar en 5 categoras, con demandas anuales variables:Tipo 1: demanda anual de 500 unidades y por sus especificaciones los deben circular por la seccin A, luego la seccin B y por ltimo la seccin CTipo 2: demanda anual de 3000 unidades y deben circular por ABDTipo 3: demanda anual de 2000 unidades y deben circular por BDTipo 4: demanda anual de 2000 unidades y deben circular por ACTipo 5: demanda anual de 1000 unidades y deben circular por BCSabiendo que el ritmo de produccin por hora en una mquina de tipo A es de 2 unidades, el de B de 2 unidades, el de C de 4 unidades y el de D de 2 unidades por hora, con un ao de 220 das y 8 horas diarias de trabajo, y asumiendo tiempos exponenciales:Modele el problema definiendo los parmetros bsicos para cada seccinDefina el nmero de mquinas indispensables en cada seccinAsumiendo que los niveles de inventario se mantendrn en los mnimos indispensables, Cul es el tiempo medio esperado de produccin de un producto en el sistema?Si el tiempo medio de entrega de un producto es de 10 das, cul es el nivel medio de inventarios en el sistema?

Solucin analticaPrimero definimos los recorridos del modeloABC ABD AC BD BCAhora establecemos la red del modelo basado en los recorridos (derecha)Calculamos la probabilidad de trnsitos en la redrAB= 3500/5500 = 0.6363rAC= 2000/5500 = 0.3636rBC= 1500/6500 = 0.2307rBD= 5000/6500 = 0.76920.630.230.760.36

Solucin analticaDado que este modelo plantea aos de 220 das con jornadas de 8 horas, se estima entonces un rango de tiempo total de 1.760 horasTasas de llegadaT1=500/1760 = 0.2840 unidades/horaT2=3000/1760 = 1.7045 unidades/horaT3=2000/1760 = 1.1363 unidades/horaT4=2000/1760 = 1.1363 unidades/horaT5=1000/1760 = 0.5681 unidades/hora

Ecuaciones de equilibrio

Solucin analticaCondicin de NO saturacin

Medidas de rendimientoUna vez halladas las tasas, aplicamos las ecuaciones de un modelo M/M/S para determinar L, Lq, W y Wq

Solucin analticaResultados de las medidas de rendimiento

Inventario promedio: Dado que las estaciones que se encuentran en la rama final de la cadena son C y D, es necesario conocer el resultado de produccin de estas (tasa de produccin) y basado en esto proyectar 80 horas de procesamiento para establecer el inventario mximo. El valor medio de esta cifra, ser el inventario promedio.

Solucin con PromodelDefinimos cuatro estaciones de trabajo, cuatro colas y un almacn.

Solucin con PromodelDefinimos tambin cinco entidades equivalentes a cada lnea de juguetes

Estas entidades tendrn una tasa de llegada similar a la obgenida en la solucin analtica

Solucin con PromodelPara medir el proceso, creamos adems una serie de variables

Solucin con PromodelProcesamientodel modelo

Solucin con PromodelLayout del modelo

Solucin con PromodelCorremos el modelo por 1760 horas equivalentes a 220 das (1 ao)

Solucin con PromodelResultadosDe esta columna obtenemos L y el inventario promedioDe esta columna obtenemos W

Solucin con PromodelInventario promedio: Oscila entre los 150 y 160 unidades, en la tabla anterior se resalta un valor de 155.04 (aprox 155). El dato obtenido en forma analtica era de 154 unidades.

Solucin con PromodelUtilizacin (Promodel Vs. Analtico)Soluciones obtenidas en forma analtica

Solucin con PromodelSe observa la gran precisin y similitud entre los resultados obtenidos con Promodel y los obtenidos en forma analticaEste ejercicio es una clara muestra de la utilidad de la simulacin por ordenadores para plasmar casos reales contrastados adems por soluciones matemticas.

RecursosUn recurso es aquello que se utiliza para realizar una operacin o transporte dentro del modelo. Pueden ser personas, equipos, mquinas, etc., siempre que estos sean limitados. Esto quiere decir adems que los recursos pueden tener un costo asociadoA diferencia de las locaciones, un recurso se mueve, toma otros objetos, descansa, tiene turnos de trabajo, etc.Para mover un recurso es necesario asignar una red en el layout del modelo.

RecursosPara crear un recurso, entramos al men de construcciones.Una vez definido el nombre, cantidad y grficos, podemos asignar tambin una red de movimientos, lgicas de operacin, turnos y tiempos muertos (Downtimes)

RedesLas redes son los recorridos que los recursos pueden realizar dentro del lay out del modelo. Siempre se debe asociar los nodos con las locaciones.

Ejemplo Bodega TelevisoresSuponga una bodega en la zona franca donde se almacenan televisores para ser distribuidos a almacenes de grandes superficies. Diariamente se reciben camiones con cargas de 20 televisores, el tiempo de llegada entre cada camin es de 60 minutos distribuidos exponencialmente. Una vez ingresan pasan por un control de calidad que tarda 1 minuto con distribucin exponencial. El flujo de salida es constante por lo que no existe una demanda como tal, por ende el nico proceso que determina la salida es el de preparacin, donde unos operarios (10) reciben los televisores, verifican el estado y les agregan en la caja unas instrucciones en espaol y un folleto de garanta, lo empacan nuevamente en una caja propia de la compaa. Este proceso est distribuido normalmente con media de 6 minutos y desviacin estndar de 1 minuto. Luego estos televisores pasan a un muelle de salida donde varios camiones esperan hasta que se complete un lote de 10 aparatos y salen con destino a los clientes. El almacn cuenta con 2 montacargas para realizar estos movimientos, es suficiente para cubrir la, operacin? Suponga que los movimientos del montacargas tienen una duracin de 2 min cada uno.

Turnos de trabajoSon los horarios de trabajo y descanso que se asignan nicamente a los recursos del modelo.Para crearlos se ingresa en la ruta que se muestra a la derecha y su resultado es algo similar a los cuadros inferiores.Cada turno se debe crear por separado.Turno 1Turno 2

Ciclos de llegadasEsta til herramienta permite establecer llegadas al modelo en distribuciones de tiempo horarias.Pueden establecerse en cantidades fijas o variables (porcentuales)

Distribuciones personalizadasEn ocasiones no es posible hallar una distribucin de probabilidad predeterminada acorde con el proceso modelado. En estos casos es recomendable utilizar una distribucin personalizada que permite asignar resultados enteros o reales a un porcentaje de ocurrencia. Ejemplo, suponga un dado cargado donde la probabilidad de obtener un nmero especfico es el doble que la de los otros, en este caso el nmero en cuestin tendr una probabilidad de 1/3 mientras que los dems nmeros tendrn una probabilidad de 2/15

Caso Call-CenterLa empresa Call Inc. Tiene una infraestructura que le permite servir como operador de servicio al cliente para diferentes empresas mediante lneas 1-800.Actualmente cuenta con 2 clientesBanco El PorvenirEditorial El BuhoCon ambos tiene contratado el servicio de atencin al cliente 24 horas al da, 365 das al aoPor el tipo de servicio y empresa requiere que los asesores tengan una capacitacin especial (el recurso es exclusivo)

Descripcin General del CasoCuenta con 3 turnos de trabajo (6-14, 14-22, 22-6)En cuanto a su estructura cuenta con un coordinador para cada cliente y 21 asesores.La distribucin actual de los asesores est dada de acuerdo a la tabla siguiente:

Descripcin General del CasoEn cuanto a la distribucin de las llamadas en el da, se reciben cerca de 1000 para el banco y 200 para la editorial, con diferentes frecuencias segn la hora del da. La tabla siguiente contiene una distribucin promedio por cada hora y cliente.Las llamadas tienen una duracin promedio de:Banco: 5 minEditorial: 10 min

Descripcin General del CasoUsted ha sido contratado para establecer cul debe ser la distribucin adecuada de los turnos de trabajo, optimizando recurso y garantizando un tiempo de espera no mayor a 10 minutos (en cola) por llamada (adicional al tiempo de atencin).Su respuesta debe presentarse simulada y con un soporte de investigacin de operaciones donde se compruebe que la cantidad de recursos elegidos, es la solucin ptima del problema.

Solucin AnalticaEs claro que por el comportamiento de las llamadas en el da no es posible asociarlas a una distribucin de probabilidad que describa las llegadas. Esto hace que el anlisis se centre en una mixta, mediante el uso de la programacin lineal y algunos principios de la teora de colas.

Solucin AnalticaEl planteamiento debe ser entonces hallar una distribucin de turnos tal que la capacidad de atencin por hora sea equivalente a la demanda de llamadas para una cola con tiempo de espera no superior a 10 minutos, dividiendo el da en varios escenarios, y que la suma de los recursos no supere la cantidad de recursos totales.Bajo el esquema de teora de colas (asumiendo un proceso Poisson), esto querra decir que nuestro proceso estuviese balanceado bajo la condicin de no saturacin:

Solucin AnalticaHallando entonces el valor mximo de llamadas en cada turno se puede evaluar esta ecuacin para establecer que la cantidad de recursos necesarios est dada por:

Esta solucin no es factible pues implicara la contratacin de 8 funcionarios ms.La solucin (si la hay) estar dada entonces por un anlisis de mximos en cada hora del da, hallando patrones en rangos de 8 horas que permitan conformar el turno, en las diapositivas siguientes se encuentra esta solucin.

Solucin AnalticaComo se puede observar, en forma analtica se puede hallar una distribucin de turnos tal que permita resolver el problema aparentemente en forma ptima. Esta solucin ser llevada a Promodel para contrastar en una forma ms real si es o no viable. En las diapositivas siguientes est este desarrollo.

Solucin con PromodelPar simular este modelo establecemos 3 locaciones:ConmutadorOperador de BancoOperador de EditorialLos operadores se tomarn como locaciones y no como recursos ya que para efectos prcticos es ms fcil su modelacin y asignacin de turnosEl counter se tomar como una fila de capacidad finita de 100 llamadas, con ruteo por tipo de entidad (banco o editorial)Las llamadas sern tomadas como dos tipos de entidad Banco o Editorial, cada una con su ciclo de llegadas segn lo descrito en el enunciado del ejercicio.Se asignan en primera instancia los tres turnos bsicos con los que cuenta el call centerFinalmente se crean los procesos de atencin con demoras de 5 y 10 minutos segn el caso.

El siguiente es el layout del modeloSolucin con Promodel

Solucin con PromodelLuego de correr el modelo se vuelve a modelar esta vez con los 10 turnos de trabajo hallados en la solucin analtica

El rendimiento del modelo en ambos escenarios ser analizado teniendo en cuenta el tiempo medio de espera y las llegadas fallidas. Si el nmero es muy grande, significa que an no est balanceado el modeloTambin se incluyeron en el modelo una serie de variables y archivos externos para poder analizar esta informacin en Excel.

Solucin con PromodelAl correr el modelo con los turnos originales se observan los siguientes resultados:

Por otra parte, al correrlo con los 10 turnos hallados en forma analtica se observan estos resultados:

No hubo arribos fallidos

Conclusiones sobre las dos metodologasEvidentemente el resultado de la atencin mejora considerablemente dada la distribucin de turnos hallada como se muestra en la tabla siguiente:

As mismo el tiempo de espera en el conmutador mejora sustancialmente al pasar de 31.16 a 0.93 minutos, todo con los mismos recursos.Esto se debe a la optimizacin de los recursos gracias a la distribucin hallada mediante tcnicas heursticas.

Conclusiones sobre las dos metodologasNo obstante se observan ciertas horas del da en las que el tiempo de espera es superior a los 5 minutos.

Es entonces necesario evaluar la necesidad de inclusin de otros funcionarios para lograr cumplir el requerimiento de tiempo de 10 minutos.

TareaHalle la cantidad de recursos adicionales y su distribucin de turnos, necesarios para lograr mantener este parmetro de atencin en 5 minutos y extienda su anlisis para la editorial. Debe lograr este resultado con la menor cantidad de operadores posibles.

Simulacin9. Modelos Avanzados con PromodelCasos de Produccin

Casos de produccinLa simulacin es una herramienta bsica para la modelacin de procesos de todo tipo. En el caso de la produccin como ya lo hemos visto, es una herramienta muy til para aplicar con poco esfuerzos mejoras en operaciones para establecer las mejores soluciones.Promodel permite no solo el diseo de la operacin sino tambin la creacin de indicadores a travs de variables y subrutinas, de forma que se evidencie el rendimiento del procesos y se facilite hallar los puntos crticos a mejorar.

Casos de produccinDefinicionesThroughput (TH): Tasa de produccin de piezas por unidad de tiempo, conocido tambin como tasa de facturacin.Work in Process (WIP): Inventario en proceso en el sistemaCycle Time (CT): Tiempo que gasta un producto desde que entra hasta que sale del sistemaCuello de Botella (CB): Proceso o serie de ellos que marcan la pauta de produccin pues limitan el Througput del procesoTasa del cuello de botella (rb): Es la tasa (partes por unidad de tiempo) de la estacin con mayor utilizacin a largo plazo. Su abreviatura se debe a sus siglas en ingls Bottleneck Rate

Caso Industrias ECI*La empresa ECI Ltda. Cuenta con un proceso productivo de 9 estaciones (4 almacenes, 4 procesos y 1 pallet de agrupacin), con un flujo de procesos como se muestra en la diapositiva siguiente.La fbrica procesa dos tipos de entidades: Piones y PiezasLos tiempos de operacin se distribuyen normalmente con los siguientes parmetros:

Los almacenes tienen capacidad infinita y las estaciones con capacidad unitaria* Modelo tomado de Blanco y Fajardo, Ver Bibliografa

Caso Industrias ECILas llegadas ocurren de otros procesos anteriores, con un total de 100 veces en un da con una frecuencia de 5 minutos y 7 minutos para piones y piezas respectivamenteLa empresa cuenta adems con 4 operarios para realizar todos los movimientos de materiales entre estaciones.

La empresa desea modelar este proceso para identificar los cuellos de botellaPara ello, usted debe hacer uso de sus conocimientos de simulacin y produccin para establecer los indicadores ideales para este proceso

Flujograma de procesos en empresas ECIRecepcin 1LimpiezaRecepcin 2TornoRecepcin 3Recepcin 4FresaInspeccinPaletizadoFresaRecepcin 3TornoPiezaPin

Solucin con PromodelCreamos 9 locaciones, de las cuales 4 son estaciones de trabajo, 4 recepciones y 1 pallet donde se realizar el paletizado. Estas ltimas 5 locaciones tienen capacidad infinita, las restantes tienen capacidad unitaria.Se crean dos entidades: Piezas y PionesSe establecen arribos con frecuencia de 5 y 7 minutos con 100 ocurrencias.Se parametriza la simulacin para correr durante 8 horasSe crea 1 recurso con 4 unidades y una red de movimientosSe crean 17 variables, 3 atributos y 1 subrutina

Solucin con PromodelUna vez corrido el modelo, se encuentran los siguientes resultados:Cuello de botella: TornoThroughput de cada entidad y generalTiempo de produccin de cada entidad

Solucin con PromodelCuello de botella

Solucin con PromodelEvolucin del Througput general y de cada entidad en el tiempo.

Caso IntegradorSe tiene una lnea de empaque a la que llegan piezas cada 2 minutos con distribucin exponencial. Esta lnea cuanta con cinco procesos que se describen a continuacin:Recepcin de materiales: Cuenta con un espacio ilimitado de almacenamiento. En este lugar se reciben las piezas que llegan al sistema y luego estas pasan a un proceso de lavado. El traslado de las piezas de una estacin a otra tarda 3 minutos con distribucin exponencial.Lavado de la pieza: La lavadora tiene capacidad para limpiar 5 piezas a la vez. El tiempo de proceso de cada pieza se distribuye normalmente con media de 10 minutos y desviacin estndar de 2 minutos. De aqu pasan a un proceso de pintura, antes del cul llegan a un almacn con capacidad para un mximo de 10 piezas. El tiempo de traslado entre estas estaciones es de 2 minutos con distribucin exponencial.Pintura: En el rea de pintura se tiene capacidad para pintar 2 piezas a la vez. El tiempo de pintado tiene una distribucin triangular de (4, 8, 10) minutos. Posteriormente las piezas pasan a un horno, el cual cuenta con un almacn que tiene capacidad para 10 piezas. El tiempo de transporte entre estos proceso est uniformemente distribuido con lmite inferior de 2 minutos y superior de 5 minutos.

Caso IntegradorHorno: En el horno se seca la pintura. El horno slo puede procesar una pieza a la vez. La duracin de este proceso es de 31 minuto. De aqu son transportadas a dos mesas de inspeccin visual. No existe un almacn entre el horno y las mesas de inspeccin. El tiempo de transporte entre estas estaciones es de 21 minuto.Inspeccin: En cada mesa hay un operario que realiza la inspeccin de 3 elementos en cada pieza. La revisin de cada elemento tarda 2 minutos con distribucin exponencial. Al finalizar este proceso, las piezas salen del sistema.

Realice lo siguienteSimule el sistema por 30 das de 8 horas cada uno (consejo, ejecute primero un calentamiento antes de cada rplica)Ejecute 3 rplicas de la simulacinDetermine en una tabla las utilizaciones de todas las locaciones del modelo

Caso IntegradorAnlisis del modeloCada una de las siguientes preguntas es independiente y tienen como base el modelo original. Respndalas con base en el anlisis de sus resultados.Dnde se encuentra el cuello de botella?Si pudiera lograr una mejora de 10% en el tiempo de proceso de alguna de las estaciones, en cul de ellas sera y por qu?Es necesario que alguno de los almacenes sea ms grande? Cul y por qu?Considera necesario colocar un almacn entre el horno y las mesas de inspeccin?, de qu capacidad?Cada pieza deja una utilidad de $5 y ninguna de las inversiones debe recuperarse en ms de 3 meses. cul sera su recomendacin si se est analizando la posibilidad de comprar otro horno con la misma capacidad y que cuesta $100.000?Cul sera su recomendacin si lo que se desea comprar es otra lavadora de la misma capacidad con un costo de $100.000?Valdra la pena contratar otro operario para la inspeccin? El costo de esta operacin es de $50.000Con base en su conocimiento del sistema, haga combinaciones de los incisos anteriores y trate de obtener la mayor cantidad de piezas con el mnimo costo de inversin.

Solucin con PromodelA continuacin el layout del modelo

Solucin con Promodel

TareaDesarrolle nuevamente el modelo del caso integrador incluyendo adems el concepto del Throughput y cuellos de botella, basado en estos parmetros establezca nuevamente la o las locaciones que podran mejorarse en el modelo.

Modelos de Control de InventariosA lo largo del siglo XX se hicieron mltiples desarrollos matemticos que facilitaran la planeacin de inventarios en las empresas. Varios autores han realizado valiosos aportes que aos despus conformaron todo el compendio de modelos de inventario (Harris, Taft, Wagner & Whitin, etc.).Entre ellos estos mtodos encontramos:EOQ (con todas sus variaciones y adiciones posteriores)Lotes DinmicosWagner-WhitinNews VendorStock BasePunto de Re-Orden

Modelos de Planeacin de la produccinSi bien los modelos de control de inventarios demostraron ser bastante tiles en la administracin de productos con demandas independientes, no fueron lo suficientemente efectivos en procesos cuyo resultado final fuese la fabricacin o ensamble de artculos. En estos modelos, la demanda independiente estaba asociada al producto terminado, generando as una demanda dependiente a las partes intermedias, demanda que no puede ser modelada por los mtodos tradicionales.Es entonces cuando surge la necesidad de desarrollar nuevos mtodos capaces de responder a estos requerimientos Hacia el ltimo tercio del siglo XX, nacen los mtodos de planeacin de la produccin, desarrollos liderados bsicamente por dos diferentes ideologas, la norteamericana y la japonesa.A continuacin haremos una breve resea de los modelos ms importantes de planeacin de la produccin.

Modelos de Planeacin de la produccinMRP (Material Requirements Planning): Desarrollado en la dcada de los 60s por Joseph Orlick, un ingeniero de sistemas que trabajando para la IBM y basndose en el desarrollo de bases de datos, pudo retroceder el proceso y los requerimientos de insumos, basado en la demanda independiente de los productos terminados y la explosin de materiales (composicin del PT). De esta manera logr un sistema de empuje (tipo PUSH) en el cul los insumos eran procesados en la medida que llegaban y posteriormente almacenados temporalmente hasta lograr el ensamble del producto.

Modelos de Planeacin de la produccinJIT (Just In Time): Desarrollado en la dcada de los 70s en el Japn por Taiichi Ohno para Toyota. Este modelo basado en el consumo de productos en un supermercado, requiere que exista en cada estacin nicamente el material necesario para la exhibicin o en otras palabras, para la produccin. Implica entonces la entrega constante de materiales (arribos) y la utilizacin de controles para el movimiento de productos (kanban), de manera que los insumos se mueven en el proceso en forma de halado (tipo PULL), reduciendo el nivel de inventarios y su respectivo costo.

Modelos de Planeacin de la produccinDRB (Drum-Buffer-Rope): Basado en la teora de restricciones (TOC) desarrollada por Eliyahu Goldratt en la dcada de los 80s. DRB es el aplicacin de esta teora en un proceso productivo.El Drum (tambor) se refiere a los cuellos de botella que marcan el paso del proceso.El Buffer es un amortiguador de impactos que protege al throughput de las interrupciones y asegura que el Drum nunca se quede sin material. En lugar de los tradicionales Inventarios de Seguridad "basados en cantidades de material" los Buffer del TOC estn "basados en tiempo de proceso, ubicados solo en ciertas locaciones que se relacionan con restricciones especificas. El tiempo de ejecucin necesario para todas las operaciones anteriores al Drum, ms el tiempo del Buffer, es llamado "Rope-lenght" (longitud de la soga).La liberacin de materias primas y materiales, est entonces "atada" a la programacin del Drum, logrndose un flujo de materiales uniforme.Cuello de botella (Drum Tambor)

Modelos de Planeacin de la produccinConwip (Constant Work in Process): Desarrollado en la dcada de los 90s por Hopp y Spearman. Este modelo que combina las mejores caractersticas de los modelos PULL y PUSH (sus autores lo denominan Long Pull), se basa en el mantenimiento de una cantidad fija de inventario en proceso, apoyado en tarjetas CONWIP, las cuales se asocian a la orden de trabajo a lo largo de la lnea de produccin en vez de asociarse a una sola estacin de trabajo como ocurre con el KANBAN.

Modelos de Planeacin de la produccinEl CONWIP puede ser aplicado en entornos donde el KANBAN no puede serlo, tal como ocurre cuando se modifica con frecuencia el programa de produccin. Adems es posible extender la aplicacin del m ismo a lneas de montaje mostrndose como con el CONWIP se alcanza una mayor produccin en la lnea con menores inventarios en proceso.El sistema CONWIP puede ser transformado con buenos resultados en un sistema DBR en entornos donde se ha identificado un cuello de botella bien diferenciado. Se ha visto que CONWIP y DBR comparten caractersticas comunes. El papel de la Rope en el DBR es sustituido por las tarjetas CONWIP. El Drum quedara sustituido por el mecanismo de control de las tarjetas en la cabecera y el Buffer queda autorregulado con el CONWIP.

Modelos de Planeacin de la produccinComparacin de sistemas:

Industrias IOIndustrias IO fabrica autopartes para ser utilizadas en posterior ensamblajeLa empresa cuenta con 3 procesos bsicos de transformacin de materiales, as como con unos almacenes temporales y finalmente la entrega al cliente (ver diagrama parte derecha)Los tiempos de operacin en estos tres procesos estn distribuidos como se muestra en la siguiente tabla:RecepcinPulidoraRectificadoraTroqueladoraProducto TerminadoConsumidor

Industrias IOLa empresa cuenta con un almacn de materias primas que tiene al comienzo de las operaciones 300 piezas para ser procesadas. Estas piezas provienen de otras lneas de produccinAs mismo la empresa cuenta con dos tipos de recursos:4 Operarios2 OperadoresEl tiempo de corrida de la simulacin ser de 72 horas continuas sin turnos de trabajo.Los almacenes temporales cuentan con una capacidad limitada llamada BUFFER de manera que se controla la cantidad de material en proceso a mantener

Sistemas Push Vs. PullUtilizaremos este sencillo ejemplo para modelar diferentes sistemas de produccin tanto de empuje (Push) como de halado (Pull). En las diapositivas siguientes se mostrar el desarrollo con Promodel para cada uno de los siguientes mtodos:MRPKanban (JIT)ConwipDBRAl finalizar, el estudiante estar en capacidad de comprender, comparar y elegir el mejor modelo segn el proceso que se modele

Solucin con Promodel (MRP) En este sistema MRP (push), el inventario en proceso crece bastante (WIP=19) as como el tiempo de ciclo (CT=392 min), mientras que el throughput converge con una leve tendencia a la disminucin situndose en 0.053 piezas por minuto.

Solucin con Promodel (MRP) Tanto el tiempo de ciclo, como el WIP como el TH son bastante estables en este modelo.

Solucin con Promodel (MRP) Las mejoras en este sistema deben estar enfocadas a los balanceos de lnea de manera que se pueda elevar el TH

Solucin con Promodel (JIT) En este sistema JIT (push), el inventario en proceso crece mucho menos (WIP=7) y el tiempo de ciclo es ms bajo (CT=152 min). A pesar de esto, el throughput es muy similar al obtenido en el modelo anterior, convergiendo a 0.052 piezas por minuto.

Solucin con Promodel (JIT) A pesar de contar con indicadores tan bajos, es preocupante la gran oscilacin del WIP. Esto genera muchos tiempos muertos de operacin y exige una muy buena programacin de recursos para optimizar costos

Solucin con Promodel (JIT) Comportamiento similar tiene el TH.

Solucin con Promodel (DRP) En este sistema DBR (push), el inventario en proceso crece es menor que en el caso del MRP pero mayor que el obtenido en el JIT (WIP=10) , as como el tiempo de ciclo (CT=177 min). Medida similar ocurre con el throughput el cul converge a 0.068 piezas por minuto.

Solucin con Promodel (DRP) Las oscilaciones en este modelo son menos errticas facilitando la programacin de recursos.Esto ocurre por que el cuello de botella est ms cerca al inicio de operaciones, haciendo que la variabilidad de mquinas afecte menos el paso de material y su inventario en proceso.

Solucin con Promodel (DRP) Igual comportamiento en el TH.

Solucin con Promodel (CONWIP) En este sistema CONWIP (push), el inventario en proceso es mayor que en el DRB (WIP=11) , as como el tiempo de ciclo (CT=239 min). Para este caso, el throughput es el menor de todos, convergiendo a 0.049 piezas por minuto.

Al igual que el MRP, el comportamiento del WIP y del TH es relativamente estable.Esto se debe a que la cuerda de procesos es ms corta que en los sistemas JIT, sin embargo no controla el cuello de botella directamente y s sus operaciones circundantes. Solucin con Promodel (CONWIP)

El resultado se evidencia en el TH.Solucin con Promodel (CONWIP)

Estadsticas comparativas de los 4 modelosUna vez realizada la corrida para estos cuatro modelos, se analizan estos indicadores como los ms importantes para la eleccin del mejor modelo en este ejemplo:

Se puede observar que el modelo que mejor resultado tuvo para este caso fue el DRB (Drum-Buffer-Rope).En este modelo solo existe un cuello de botella, esto en parte favorece la eleccin del modelo DBR pues esta metodologa se basa en la determinacin de movimientos basados en la restriccin de operaciones

BibliografaBANKS, J., CARSON, J.S., NELSON,B.L., NICOL, D.M. Discrete-event System Simulation. Prentice Hall International, 2001.BLANCO Rivero, Luis. FAJARDO Piedrahita, Ivn. Simulacin con promodel: casos de produccin y logstica. Escuela Colombiana de Ingeniera, Bogot, 2003.GARCA, Eduardo. GARCA, Heriberto. CRDENAS, Leopoldo. Simulacin y anlisis de Sistemas con Promodel. Prentice Hall, 2006.Gross, Donald. Harris, Carl. Fundamentals of Queueing Theory. John Wiley & Sons Inc. 1998.HILLIER, F. LIEBERMAN, G. Investigacin de Operaciones. Ed. McGraw Hill, 7 edicin, Mexico, 2003HOPP, Wallace., SPEARMAN, Mark., Factory Physics. Mc Graw Hill 2000.N.U. Prabhu, Foundations of Queueing Theory. Kluwer Academic Publishers, Ithaca, 2002

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