vi. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ...

VI. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Федеральное агентство по образованию РФ ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ»

Институт образовательных информационных технологий


Учебное пособие

Научный редактор – проф., доктор физ. - мат. наук А.Б. Соболев

Печатается по решению редакционно-издательского совета УГТУ-УПИ

Екатеринбург 2005

УДК 517.1(075.8) ББК 22.161 я 73 М 34 Рецензенты: кафедра физики Уральского государственного лесотехнического университета; доктор физ-мат. наук, проф. А.П. Танкеев, зав. лабораторией ИФМ УрО РАН Авторы: О.А. Кеда, М.А. Вигура, , А.Ф. Рыбалко, Н.М. Рыбалко М 34 VI. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: учебное пособие / М.А. Вигура, О.А. Кеда, А.Ф. Рыбалко, Н.М. Рыбалко. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2005. 120 с. ISBN 5-321-00633-4

В учебном пособии изложены основы теории числовых последовательностей и операций над ними, начала математического анализа, теоретические основы дифференциального исчисления. Приведены подробные решения задач и задачи для самостоятельной работы. Представлены основные обозначения и формулы, необходимые для решения задач.

Рекомендовано Уральским отделением учебно-методического объединения Вузов РФ по образованию в области строительства в качестве учебного пособия

для студентов строительных специальностей всех форм обучения

Подготовлено кафедрой высшей математики

УДК 517.1(075.8) ББК 22.161 я 73

ISBN 5-321-00633-4 © ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ», 2005

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ…………………………………………………..5 1.1. Предел последовательности………………………………………………….5

1.1.1. Элементы теории множеств и математической логики………………...5 1.1.2. Числовые множества……………………………………………………...7 1.1.3. Числовые промежутки……………………………………………………7 1.1.4. Ограниченные множества………………………………………………...8 1.1.5. Числовые последовательности…………………………………………...9 1.1.6. Свойства ограниченных последовательностей………………………...10 1.1.7. Предел числовой последовательности………………………………….11 1.1.8. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности……...12 1.1.9. Свойства бесконечно малых последовательностей……………………13 1.1.10. Свойства сходящихся последовательностей………………………….15 1.1.11. Монотонные последовательности……………………………………..17 1.1.12. Число е как предел монотонной последовательности………………..18 1.1.13. Предельные точки. Верхний и нижний пределы……………………..20

1.2. Предел функции……………………………………………………………...22 1.2.1. Понятие функции. График функции. Способы задания функции……22 1.2.2. Основные характеристики функции……………………………………24 1.2.3. Обратная функция. Сложная функция…………………………………26 1.2.4. Основные элементарные функции……………………………………...28 1.2.5. Элементарные и неэлементарные функции……………………………31 1.2.6. Предел функции в точке…………………………………………………31 1.2.7. Предел функции в бесконечности………………………………………32 1.2.8. Односторонние пределы………………………………………………...34 1.2.9. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства…..35 1.2.10. Таблица определений предела…………………………………………38 1.2.11. Свойства функций, имеющих предел…………………………………39 1.2.12. Замечательные пределы………………………………………………..41

1.2.12.1. Первый замечательный предел…………………………………..41 1.2.12.2. Второй замечательный предел…………………………………...42

1.2.13. Сравнение бесконечно малых функций……………………………….45 1.3. Непрерывность функции…………………………………………………….46

1.3.1. Непрерывность функций в точке………………………………………..46 1.3.2. Непрерывность функций на множестве………………………………...48 1.3.3. Непрерывность основных элементарных функций……………………48 1.3.4. Свойства непрерывных функций……………………………………….49 1.3.5. Непрерывность обратной функции……………………………………..50 1.3.6. Непрерывность сложной функции……………………………………...51 1.3.7. Свойства функций, непрерывных на отрезке…………………………..52 1.3.8. Точки разрыва и их классификация…………………………………….54

1.4. Задачи на вычисление пределов с решениями…………………………….56 1.5. Задания для самостоятельной работы……………………………………...68 1.6. Ответы………………………………………………………………………...73

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО……………………………………………………………………74

2.1. Производная функции……………………………………………………….74 2.1.1. Основные определения…………………………………………………..74 2.1.2. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и

нормали к графику функции…………………………………………….75 2.1.3. Механический смысл производной……………………………………..76 2.1.4. Правила и формулы дифференцирования……………………………...76

2.1.4.1. Производная суммы, разности, произведения и частного функций……………………………………………………………..76

2.1.4.2. Производная обратной функции…………………………………..77 2.1.4.3. Таблица производных……………………………………………...78 2.1.4.4. Производная сложной функции…………………………………...79 2.1.4.5. Логарифмическая производная……………………………………80 2.1.4.6. Производная неявной функции……………………………………81 2.1.4.7. Производная функции, заданной параметрически……………….81

2.2. Производные высших порядков…………………………………………….82 2.2.1. Основные определения…………………………………………………..82 2.2.2. Правила вычисления производной n–го порядка……………………...82 2.2.3. Вторая производная от неявной функции……………………………...83 2.2.4. Вторая производная от параметрически заданной функции………….84 2.2.5. Механический смысл второй производной…………………………….84

2.3. Дифференциал функции…………………………………………………….84 2.3.1. Основные определения………………………………………………….84 2.3.2. Дифференциал независимой переменной………………………………85 2.3.3. Свойства дифференциалов………………………………………………85 2.3.4. Геометрический смысл дифференциала………………………………..85 2.3.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям………..86 2.3.6. Дифференциал сложной функции………………………………………87 2.3.7. Дифференциалы высших порядков……………………………………..87

2.4. Основные теоремы анализа…………………………………………………88 2.4.1. Теорема Ролля (о нуле производной)…………………………………...88 2.4.2. Теорема Лагранжа (теорема о конечных приращениях)………………89 2.4.3. Теорема Коши (обобщенная теорема о конечных разностях)………...90 2.4.4. Правило Лопиталя – Бернулли………………………………………….91

2.4.4.1. Применение правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей…………………………………………………92

2.4.5. Формула Тейлора………………………………………………………...93 2.4.5.1. Частные случаи формулы Тейлора………………………………..94 2.4.5.2. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных

функций……………………………………………………………..95 2.4.5.3. Оценка остаточного члена…………………………………………97 2.4.5.4. Приложения формул Тейлора и Маклорена……………………...98

2.5. Задачи с решениями…………………………………………………………99 2.6. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя…………………...104 2.7. Задачи для самостоятельной работы……………………………………...108 2.8. Ответы……………………………………………………………………….113

3. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК…………………………………………….118

1. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1.1. Предел последовательности

1.1.1. Элементы теории множеств и математической логики В дальнейшем для сокращения записей будут использоваться некоторые

понятия и операции теории множеств и математической логики.

Понятие множества относится к основным понятиям математики и в силу этого его нельзя определить через какое-то более общее понятие.

Объекты, имеющие какой-либо общий признак и рассматриваемые как единое целое, составляют множество; сами объекты по отношению к множеству являются элементами множества. Элементы множества, в свою очередь, также могут быть множествами.

Множества принято обозначать заглавными латинскими буквами, элементы множеств – малыми латинскими буквами.

Множества могут быть заданы:

простым перечислением элементов (элементы заключаются в фигурные скобки): { }1, 2, 3A = ;

указанием общего признака всех элементов: { }: 1 2X x x= < < .

В первом примере множество состоит из трех чисел 1, 2 и 3; во втором примере множество состоит из бесконечного количества действительных (если не оговорено иное) чисел, удовлетворяющих условию 1 2x< < .

Множество, не содержащее элементов, называется пустым.

Если все элементы множества B являются также элементами множества A, то B называется подмножеством множества A.

Пустое множество является подмножеством любого множества, Любое непустое множество является подмножеством самого себя (это так называемые несобственные подмножества).

Множества A и B равны, если одновременно A - подмножество B и B - подмножество A. Равные множества состоят из одних и тех же элементов.

Рассмотрим способы сокращенной записи некоторых утверждений относительно множеств и операций над множествами:

5

∅ пустое множество; a A∈ a принадлежит множеству A ( a содержится в множестве A ,

множество A содержит , множество a A включает элемент ); a

a A∉ элемент не принадлежит множеству a A ; A B⊃ B - подмножество множества A ( A содержит ,

содержится в B B

A , A включает , включается в B B A ); A B⊂ A - подмножество множества ; BA B= A равно B, A совпадает с ; BA B∪ объединение (сумма) множеств А и B; в объединение входят

элементы, принадлежащие хотя бы одному из этих множеств;A B∩ пересечение (произведение) множеств A и B; в пересечение

входят элементы, каждый из которых принадлежит и множеству А, и множеству B.

Рассмотрим способы сокращенной записи некоторых логических операций и стандартных словосочетаний (ниже малыми греческими буквами будут обозначаться некоторые высказывания (утверждения)):

α⇒ β импликация, логическое следствие; читается «из высказывания следует высказывание », «высказывание является следствием высказывания α »;

αβ β

α⇔ β

⇒ α

эквивалентность, равносильность; читается «высказывание равносильно высказыванию », «α эквивалентно », « и равносильны»; означает, что и β , т.е., высказывания и

либо оба верны, либо оба неверны;

αβ β α βα β ⇒ α

βα отрицание высказывания ; a∨ дизъюнкция, логическое «или»; α означает « или »; β∨ α β∧ конъюнкция, логическое «и»; α β∧ означает « и β »; α

∃ квантор существования, Aα∃ ∈ – читается «существует элемент

, принадлежавший множеству a A»; ∀ квантор всеобщности, Aα∀ ∈ – читается «для каждого элемента

α , принадлежащего множеству A». : читается «такой, что», «удовлетворяющий условию», «имеет

место».

Кроме того, далее будут использоваться сокращенные способы записи сумм и произведений большого количества элементов:

1 21

n

j nj

a a a a=

= + + +∑ … , 1 21

n

j nj

a a a a=

= ⋅ ⋅ ⋅∏ … .

Покажем на нескольких примерах применение символической записи:

6

1) ( ) ( ) ( )( )x A B x A x B∈ ⇔ ∈ ∨ ∈∪ - определение объединения; 2) ( ) ( ) ( )( )A B A B A B= ⇔ ⊃ ∧ ⊂ - определение равенства множеств;

3) ( ) ( ) ( )( )( ):A B x B x B x A⊃ ⇔ ∀ ∈ ∈ ⇒ ∈ - определение подмножества.

1.1.2. Числовые множества Числа 1, 2, 3,... называются натуральными и обозначаются

. { } {1,2,3,..., ,...}n n= =

Числа { }0, 1, 1, 2, 2, ... , , ... ,n n= − − ± ∈ образуют множество целых чисел.

Числа вида : ,mq m nn

⎧ ⎫= = ∈ ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

образуют множество рациональных

чисел.

Если m < n , то рациональная дробь называется правильной, если m ≥ n – неправильной. Рациональные дроби представляются в виде

конечных или бесконечных периодических десятичных дробей после деления числителя на знаменатель.

ПРИМЕР. 1 0,333... 0,(3)3= = , 2 0,4 0,3999... 0,3(9)

5= = = , 7 0,0707... 0,(07)

99= = .

Числа, выражающиеся бесконечной непериодической десятичной дробью, составляют множество иррациональных чисел I. Например, 2 1,41...= ,

, . π 3,14159265359...= 2,71828 18284 59045...e =

Рациональные и иррациональные числа составляют множество действительных чисел . = ∪ I

Между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой существует взаимно - однозначное соответствие.

1.1.3. Числовые промежутки Примеры числовых множеств:

Множество элементов x: { }x

Элемент множества: { }x x∈ Отрезок (сегмент): { } [ ],x a b= : ,a x b≤ ≤ где { } { },a x b x∈ ∈

Интервал: { } ( ), :x a b a x b= < <

7

c

Полуинтервал (полусегмент): ( ][ )

{ } , : ,{ } , : ,

x a b a x bx a b a x b

⎧ = < ≤⎨ = ≤ <⎩

Луч: [ ) ( )( ] ( )

{ } , :{ } , :

x a x ax b x b

⎧ = ∞ ≥⎨ = −∞ ≤⎩

Окрестность точки c - это произвольный интервал ( ),a b , содержащий точку с. Эпсилон –окрестность точки с: { : ε}x x c− < или . ε εc x c− < < +

b

1.1.4. Ограниченные множества

Множество { }x называется ограниченным сверху, еслчисло М, что { } :x x x M∀ ∈ ≤ , где М называется верхней гран(ВГ { }x ).

ПРИМЕР. { }1,2,3,4,5− , . 1 2 35, 6, 10,...M M M= = =

Ограниченное сверху множество имеет бесконечное чис

Наименьшая из всех верхних граней называется точно{ }x Sup x= (от латинского supremum - наивысшее) (ТВГ { }x

ПРИМЕР. { }1,2,3,4,5− , 5x = .

Множество { }x называется ограниченным снизу, еслчисло m, что { } :x x x m∀ ∈ ≥ , где m – нижняя грань { }x (НГ {

Ограниченное снизу множество имеет бесконечное числ

Наибольшая из всех нижних граней называется точно{ }x Inf x= , (от латинского infimum - наинизшее) (ТНГ { }x ).

Множество { }x называется ограниченным, если 0M > такое, что { } :x x∀ ∈ x M≤ . Ограниченное мн

одновременно ограниченным и снизу, и сверху.

Множество { }x называется неограниченным, если угодно большого числа 0M > найдется элемент { }x x∈ ,неравенству: x M≥ .

8

и существует такое ью множества { }x

ло верхних граней.

й верхней гранью ).

и существует такое }x ).

о нижних граней.

й нижней гранью

существует число ожество является

для любого сколь удовлетворяющий

ПРИМЕР. Неограниченные множества: (-∞,∞) – неограниченное множество, (-∞,2] – неограниченное снизу множество, [-5,∞) - неограниченное сверху множество.

Для того чтобы множество было неограниченным, достаточно, чтобы оно было неограниченным либо сверху, либо снизу.

Число М называется наибольшим элементом множества { }x , { }maxM x= , если 1) { }M x∈ ; 2) { } :x x x M∀ ∈ ≤ .

Число m называется наименьшим элементом множества { }x , , если 1) { }minm = x { }m x∈ ; 2) { } :x x x m∀ ∈ ≥ .

Ограниченное сверху (снизу) множество может иметь наибольший (наименьший) элемент, а может и не иметь его:

{ } [ ];x a b= , { }max x b= , { }min x a= ;

{ } ( );x a b= , { }max x , { }min x не существуют.

1.1.5. Числовые последовательности Если каждому натуральному числу по определенному закону поставлено

в соответствие некоторое число n

nx , то множество { } { }1 2 3, , ,.... ,...n nx x x x x= нумерованных чисел называется числовой последовательностью. Элементы этого множества называются членами или элементами последовательности.

1 2 3, , ,....x x x

Числовая последовательность может быть задана:

1) перечислением элементов;

2) заданием общего члена последовательности как функции номера ( )nx f n= ;

3) в виде рекуррентных (возвратных) соотношений; в этом случае задается несколько первых членов последовательности и закон, по которому вычисляются последующие члены: ( )1 1,n nx f x x const+ = = - одночленная рекуррентная формула, ( )2 1, ,n n nx f x x+ += 1 1 2, 2x c x c= = - двучленная рекуррентная формула, и т.д.

9

ПРИМЕРЫ. { } ( ){ }1,1, 1,1,... 1 n− − = −1 2 10, , ,...2 3

nn−; ⎧ ⎫ ⎧ ⎫=⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎩{

⎭; } { }1,2,3,... n= ;

1 1 1

1, 1 , 1,2,3,2 2

nn n n

xx x x n+ −= = ⇒ = = ...

...

;

2 1 1 2 3 4, 1, 1 2, 3,n n nx x x x x x x+ += + = = ⇒ = =

Если рассмотреть произвольную возрастающую последовательность натуральных чисел: и выбрать из последовательности 1 2 3, , ,.... ,...nk k k k { }nx ее члены с соответствующими номерами то полученная последовательность называется подпоследовательностью последовательности

1 2, ,..., ,...

nk k kx x x

{ }nx . Например, для произвольной последовательности подпоследовательностями являются последовательности четных или нечетных членов.

Числовые последовательности являются упорядоченными числовыми множествами, для них справедливы теоремы об ограниченных множествах.

ПРИМЕРЫ. Последовательность { } { } { }1, 2, 3,... ,...nx n n= − = − − − − ограничена сверху, поскольку все члены этой последовательности удовлетворяют неравенству

. 1nx ≤ −

Последовательность { } { }2nx n= ограничена снизу, т.к. 2 1nx n= ≥ .

Последовательность 1n

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

ограничена. Для любого n N∈ 110 ≤<n

, т.е.

1, 0M m= = .

Неограниченные последовательности:

{ } { }2nx n= . При любом 0M > достаточно взять n M> .

( )( ){ }1 1 n n− − . Среди нечетных всегда найдется член, удовлетворяющий

условию nx M≥ для любого 0M > .

1.1.6. Свойства ограниченных последовательностей 1. Сумма двух ограниченных последовательностей есть

последовательность ограниченная.

10

2. Разность двух ограниченных последовательностей есть последовательность ограниченная.

3. Произведение двух ограниченных последовательностей есть последовательность ограниченная.

Неограниченные последовательности таких свойств не имеют.

1.1.7. Предел числовой последовательности Конечное число называется пределом числовой последовательности a

{ }nx (обозначается lim nnx a

→∞= или ), если для любого положительного

числа найдется такое натуральное число (зависящее от ), что при всех выполняется неравенство

nn

x→∞→ a

ε N εn N> nx a ε− < .

Это может быть описано также в следующих терминах:

последовательность { }nx сходится к ; a последовательность { }nx имеет предел, равный ; a nx (общий член последовательности) стремится к . a

Сокращенная запись:

( ) ( ) ( )( )0n nnlim x a ε N N ε : n N x a εε→∞

= ⇔ ∀ > ∃ = ∀ > ⇒ − < .

Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся.

То же утверждение может быть сформулировано короче.

Число есть предел последовательности a { }nx , если ее члены отличаются от сколь угодно мало, начиная с некоторого места. a

Исходное определение уточняет, как следует понимать «сколь угодно мало» и «начиная с некоторого места». 0 nε x a ε∀ > − < - точная формулировка первого утверждения, а ( )n N ε∀ > - второго.

ПРИМЕРЫ. Дано: { } 1n

nxn−⎧ ⎫= ⎨ ⎬

⎩ ⎭, 1 1lim lim lim 1 1nn n n

nxn n→∞ →∞ →∞

− ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

= .

Докажем, что 1lim 1n

nn→∞

−⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

11

Доказательство: 1 1 1ε 0, 1 ε 1 1 ε; ε,ε

n nn n n−

∀ > − < ⇒ − − < < >1 .

Если взять ( )N ε – любое целое, большее, чем 1ε

, то неравенство 1 1 εnn−

− <

будет выполнено ( )εn N∀ > , ч.т.д.

Геометрическая интерпретация примера:

0 1

223

34

45

56

11x

2x 3x 4x 5x 6x

ε 1 ε , 1 ε ε 1 .n nx x− < − < − < < +

Для 1 1 1, 2; 2 12 2 2nN n x⎛ ⎞= = > ⇒ − <⎜ ⎟

⎝ ⎠ε , для 1 1ε , 5; 5 1

5 5 nN n x⎛ ⎞ 15

= = > ⇒ − <⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Последовательность ( ){ }1 n− не имеет предела, так как нельзя указать номер,

после которого все члены последовательности окажутся в сколь угодно малой окрестности какого-либо числа.

Последовательности, не имеющие предела, называются расходящимися.

1.1.8. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Последовательность { }nx называется бесконечно большой, если для любого положительного числа M можно указать такое натуральное число (зависящее от

NM ), что при всех выполняется неравенство n N> .nx M>

( ) ( )0 nM N N M : n N M x M∀ > ∃ = ∀ > ⇒ > .

Если числовая последовательность { }nx бесконечно большая, и ее члены (по крайней мере, начиная с какого-то номера) сохраняют определенный знак (+ или − ), говорят, что последовательность { }nx имеет предел (или ): +∞ −∞

lim nnx

→∞= +∞ , или lin

n x

→∞→ +∞ m nn

x→∞

= −∞ , . nn

x→∞→−∞

12

ПРИМЕР. Последовательность { }αn , , является бесконечно большой, т.к.

для любого

α 0>

0M > из неравенства следует, что если αn M> αn M> , то условие определения выполнено.

Последовательность { }nx называется бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется такое натуральное число (зависящее от ), что при всех

εN ε ( )εn N> выполняется неравенство

nx ε< .

( ( )ε 0 εN∀ > ∃ : ( )ε : εnn N x∀ > < ).

Из определения предела последовательности следует, что последовательность { }nx бесконечно мала, если lim 0nn

x→∞

= .

ПРИМЕР. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия nnx q= , 1q < ,

является бесконечно малой последовательностью, т.к. для любого из неравенства

ε 0>εnq < следует, что при log εqn > это неравенство выполнено, т.о.

( )ε log εqN ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ .

1.1.9. Свойства бесконечно малых последовательностей Бесконечно малая последовательность ограничена.

Доказательство:

Пусть { }nx – бесконечно малая последовательность. Тогда для данного , начиная с некоторого номера, имеет место неравенство

εεnx < . Выбирая в

качестве M максимальное из чисел 1 2 1ε, , ,..., nx x x − , получим nx M< для всех , что и требовалось доказать. n

Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

Разность двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть последовательность бесконечно малая.


13

Пусть { }nx – бесконечно малая, а { }ny – ограниченная последовательности, т.е. для любого существует ε 0> ( )N ε такой, что для ( )εn N> nx ε< , и существует такое число M , что для всех n ny M< . Тогда для последовательности { }n nx y⋅ при ( )εn N> имеем εn nx y M⋅ < ⋅ . Так как M – фиксированное число, а – сколь угодно малое, то ε εM также сколь угодно малое. Теорема доказана.

Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

Справедливость этого утверждения следует из того, что бесконечно малая последовательность всегда ограничена.

Если элементы бесконечно малой последовательности { }nx не равны нулю, то

последовательность 1

nx⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

будет бесконечно большой.

Если { }nx бесконечно большая последовательность и , то

последовательность

0nx ≠

1

nx⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

– бесконечно малая.

ПРИМЕРЫ.

1). Последовательность sin nn

⎧⎨⎩ ⎭

⎫⎬

}

– бесконечно малая, т.к. ее элементы являются

произведением элементов ограниченной последовательности и

бесконечно малой последовательности

{sin n1n

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

.

2). Последовательность 3

1nn+⎧

⎨⎩ ⎭

⎫⎬ – бесконечно малая, т.к. является суммой

бесконечно малых последовательностей 2

1n

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

и 3

1n

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

.

3). Последовательность ne

n

−⎧⎨⎩ ⎭

⎫⎬ – бесконечно малая, т.к. является произведением

бесконечно малой последовательности { }ne− на бесконечно малую

последовательность 1n

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

.

14

Последовательность { }nx называется фундаментальной, если для любого положительного найдется номер ε 0> ( )N ε такой, что для всех , удовлетворяющих условию

n( )εn N> , и для всех натуральных чисел

( ) справедливо неравенство m

1,2,3,...m = ε.n m nx x+ − <

ε 0 (ε) : (ε) : εn m nN n N m N x x+∀ > ∃ ∀ > ∀ ∈ − < .

Критерий Коши. Для того чтобы последовательность { }nx была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна.

1.1.10. Свойства сходящихся последовательностей 1. Элементы сходящейся последовательности имеют вид: , где

, {αn nx a= +

lim nna x

→∞= }αn – бесконечно малая последовательность, . limα 0nn→∞

=


По определению предела ( ) ( )ε 0 ε : εN n N∀ > ∃ > , εnx a− < .

Рассмотрим α αnn n nx a x a= − ⇒ = + , подставим в неравенство,

α ε ε 0 (ε) : (ε) αn na a N n N+ − < ⇒∀ > ∃ ∀ > ⇒ < ε

n

, т.е.

limα 0 αnn→∞

= ⇒ - бесконечно малая последовательность.

2. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.


Пусть и , lim nna x

→∞= lim nn

b x→∞

= a b≠ , a r b< < – два предела сходящейся

последовательности { }nx .

1 1 10 n nε N : n N x a r a n N x r∀ > ∃ ∀ > − < − ⇒ ∀ > < ;

2 2 20 n nε N : n N x b b r n N x r∀ > ∃ ∀ > − < − ⇒ ∀ > > .

Выберем ( ) { }1 2N N ε max N ,N= = и : тогда должно одновременно выполняться

n N≥

nx r< и nx r> , что невозможно, значит, . a b=

3. Сходящаяся последовательность ограничена.

15

Обратное утверждение неверно, например, последовательность π{ } sin2nnx ⎧ ⎫= ⎨ ⎬

⎩ ⎭

является ограниченной, но предела не имеет.

4 Сумма, разность, произведение и также частное (при условии, что и ), двух сходящихся последовательностей 0nn y∀ ∈ ≠ lim 0nn

y→∞

≠ { }nx и

есть сходящаяся последовательность, и ее предел равен соответственно сумме, разности, произведению и частному пределов исходных последовательностей.

{ }ny

Доказательство (сумма):

Пусть { }nx и { – сходящиеся последовательности, }ny lim nnx a

→∞= , lim nn

y b→∞

= .

Тогда , где αn nx a= + βn ny b= + { }αn и { }βn – бесконечно малые последовательности, и α βn n nx y a b n+ = + + + , т.е. последовательность { }n nx y a b+ − − – бесконечно малая, и поэтому { }n nx y+ сходится и имеет своим пределом a b . +

Арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же операциям над их пределами.

5. Если элементы сходящейся последовательности { }nx , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству nx b≤ ( nx b≥ ), то и предел этой последовательности lim nn

x a→∞

= удовлетворяет неравенству a b≤

( ). a b≥

Если элементы nx и сходящихся последовательностей ny { }nx и { }ny , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству n nx y≤ , то их пределы удовлетворяют такому же неравенству: lim limn nn n

x y→∞ →∞

≤

Если все элементы сходящейся последовательности { }nx находятся на отрезке [ , то и ее предел также находится на этом отрезке. ];a b

6. Пусть { }nx и { }nz – сходящиеся последовательности и lim limn nn nx z a

→∞ →∞= = .

Пусть, начиная с некоторого номера, элементы последовательности { }ny удовлетворяют неравенствам n n nx y z≤ ≤ .Тогда последовательность { }ny сходится и li . m nn

y a→∞

=

16

7. Любая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу.

1.1.11. Монотонные последовательности Последовательность { }nx называется неубывающей (невозрастающей), если каждый последующий член этой последовательности не меньше (не больше) предыдущего, т.е. если для всех номеров справедливо неравенство n 1n nx x +≤ ( 1n nx x +≥ ).

Неубывающие и невозрастающие последовательности называются монотонными последовательностями.

Если вместо нестрогих неравенств 1n nx x +≥ и 1n nx x +≤ имеют место строгие неравенства 1n nx x +< или 1n nx x +> , то последовательности называются возрастающей и убывающей соответственно.

ПРИМЕР.

1). Последовательность { }1,1,2,2,3,3,4,4,..., , ,...n n - неубывающая.

2). Последовательность 2

2 1n

n⎧⎨ +⎩ ⎭

⎫⎬ – возрастающая, так как 1n nx x+ > .

Действительно, ( )( )

( ) ( ) ( )( )( )( )( )

2 22 22 2

2 2 2 2

1 1 1 1111 1 1 1 1

n n n nn nnn n n

+ + − + ++− =

++ + + + +=

( )( )( )2 2

2 1 01 1 1

nn n

+= >

+ + +.

3). Последовательность 1n

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

– убывающая, так как

( )11 1 1 0

1 1n nx xn n n n+ − = − = − <+ +

.

Признак сходимости монотонной последовательности. Если неубывающая (невозрастающая) последовательность { }nx ограничена сверху (снизу), то она сходится.

17

Докажем, что если неубывающая последовательность ограничена сверху, то она сходится (имеет предел).


{ }nx - ограничена сверху ⇒{ }nx имеет { }Supx x= ⇒ покажем, что ∃ lim nn

x x→∞

= . x

1) , nn x x∀ ≤ ;

2) найдется элемент ε∀ > 0 εNx x> −

n

, (по условию , Nn N x x∀ > ≤ { }nx - неубывающая), т.е. запишем

последовательно:

ε N nx x x x− < ≤ ≤ ⇒ ε nx x x− < ≤ ⇒

εnx x x− ≤ − < − + ⇒ 0 εnx x≤ − < ⇒ εnx x− < ,

то есть по определению предела lim nnx x

→∞= .

Любая неубывающая последовательность всегда ограничена снизу первым элементом. Любая невозрастающая последовательность всегда ограничена сверху первым элементом.

Не всякая сходящаяся последовательность является монотонной.

ПРИМЕР. { }nx , ( )2

11

k

nxn−

= + , lim 1nnx

→∞= , однако { }nx - немонотонная.

Неограниченная монотонная последовательность является бесконечно большой.

1.1.12. Число е как предел монотонной последовательности

Рассмотрим последовательность { }nx , 11n

nxn

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Исходя из признака сходимости монотонной последовательности, достаточно доказать, что:

1) { }nx - является возрастающей;

2) { }nx - ограничена сверху.

18

Из 1) и 2) делаем вывод о существовании предела 11

n

n⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞+⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

.


Воспользуемся формулой бинома Ньютона:

( ) ( )0 1 1 212!

n n n nn na b a b na b a b− −−+ = + + 2 +

( )( ) ( )( ) ( )( )3 3 01 2 ... 11 2......

3! !n nn n n n nn n n

a b a bn

− − − − −− −+ + + ,

где . 1 2 3n! ... n= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Тогда

( ) ( )( )2

1 ... 11 1 ( 1) 11 1 ...2! !

n

n n

n n n nn nx nn n n n

− − −−⎛ ⎞= + = + + + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

1n

1 1 1 1 2 1 1 2 12 1 1 1 ... 1 1 ... 1 .2! 3! !

nn n n n n n

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛= + − + − − + + − − ⋅ ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ n

⎞⎟⎠

Аналогично для 1nx +

11 1 1 1 22 1 1 1 ...2! 1 3! 1 1nx

n n n+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= + − + − − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( )1 1 21 1 ... 1

1 ! 1 1 1n

n n n n⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠+

.

1) 11 11n n

⎛ ⎞ ⎛− < −⎜ ⎟ ⎜ +⎝ ⎠ ⎝1 ⎞

⎟⎠. Заметим, что 1nx + содержит на одно

положительное слагаемое больше, чем nx , следовательно n∀ 1n nx x +< .

Таким образом, { }nx – последовательность возрастающая.

2) При 2n ≥10 1n

⎛ ⎞< − <⎜ ⎟⎝ ⎠

1=> . 2nx >

19

3) 1 1 12 ...2! 3! !nx

n< + + + + ; если заменить каждое слагаемое еще

большим: 2

1 1 1 1 1 1, ,...2! 2 3! 2 3 2 2 2= = < =

⋅ ⋅, 1

1 1! 2nn −< ,

получаем: 2 3 1

1 1 1 12 ...2 2 2 2n nx −

⎧ ⎫< + + + + +⎨ ⎬⎩ ⎭

.

{ }... - сумма убывающей геометрической прогрессии, для которой

1 1

1 1 1, ,2 2 2n nb q b −= = = , 1 (1 )

1

nb qSq

−=

−⇒

112nS = − .

n∀ 1S n< ⇒∀ 3nx < .

Вывод: возрастающая последовательность { }nx ограничена сверху, следовательно, последовательность сходится.

1. Обозначение 1lim 1n

ne

n→∞

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

, 2 e 3< < (Эйлер);

2,7 18281828 459045...e ≈

2. Число имеет большое значение в математическом анализе, например,.

exy e= - показательная функция с основанием ;e lny x= -

натуральный логарифм (логарифм по основанию ). e

3. Справедливо утверждение: если { }αn – произвольная бесконечно малая последовательность и α 0n ≠ , то

( ) n

1α

nlim 1 αn

e→∞

+ = .

1.1.13. Предельные точки. Верхний и нижний пределы Точка x бесконечной прямой называется предельной точкой числовой последовательности { }nx , если в любой ε -окрестности этой точки имеется бесконечно много элементов последовательности { }nx .

Иногда предельная точка именуется точкой сгущения (что связано с геометрической интерпретацией действительных чисел как точек на числовой оси). Точки, представляющие собой члены последовательности, как бы «сгущаются» вблизи предельной точки. 20

Подобный «геометрический» подход позволяет высказать ва утверждения, строгое доказательство кот

дорых опустим:

1) в ьн од

ПРИМЕР.

1). Последовательность

сякая сходящаяся последовател ость имеет только ну предельную точку;

2) последовательность, имеющая несколько предельных точек, расходится.

{ }1 ( 1)n− − имеет две предельные точки 0x = и 2x = , предела. но не имеет

{ }ne− 2). Последовательность име о пределом этой последовательности.

–Вей ограка.

я п ти

ет одну предельную точку которая является одновременн

0x = ,

Принцип Больцано ерштрасса. У всякой ниченной последовательности существует хотя бы одна предельная точ

{Наибольша редельная точка последовательнос }nx наз ется верхним

пределом последовательности и обозначается

ыва

lima x= . nn→∞

ности { }nНаименьшая предельная точка последователь x называется нижним пределом последовательности и обозначается lim n

na x

→∞= .

вательность

ПРИМЕР.

1). Последо 1 11, , 1, , ..., 1,2 3 n

1 .

имеет верхний предел 0a =1= и нижний пределa .

2). Последовательность

имеет нижний предел

1, 2, 3, 1, 2, 4, 1, 2, 5, ..., 1, 2, , ....n

1a = , тогда как обычного предела у нее нет, поскольку

докеделов в ней могут быть и несобственными числами, т.е.

или ).

она неограниченная.

Сформулируем без азательства теорему, показывающую важность этих понятий (значения пр+∞ −∞

21

Для любой числовой последовательности верхний и нижний пределы всегда существуют. Их равенство есть условие, необходимое и достаточное для существования предела (в обычном смысле).

Предел в обычном смысле также может оказаться несобственным числом.

22

1.2. Предел функции 1.2.1. Понятие функции. График функции. Способы задания функции

Понятие функции – одно из основных математических понятий, оно относится к установлению соответствия между элементами двух множеств.

Если задано правило f , по которому каждому элементу x из множества

X поставлен в соответствие единственный элемент из множества , то

говорят, что на множестве

y Y

X задана функция ( )y f x= , x X∈ , y Y∈ .

Множество X называется областью определения функции (ООФ) и

обозначается . Множество изменения функции называется

областью значений функции (ОЗФ) и обозначается

( )D f Y

( )E f .

В дальнейшем будем рассматривать (в основном) числовые функции, т.е. функции, у которых ООФ и ОЗФ являются числовыми множествами, Y X ⊂ ,

. В этом случае переменная величина Y ⊂ x называется независимой переменной или аргументом, величина - зависимой переменной или функцией (от

yx ). Число , соответствующее данному значению y x , называется

частным значением функции в точке x .

Множество точек ( )( ),x f x плоскости называется графиком функции Oxy( )y f x= .

Функция может быть задана: 1) аналитически; 2) графически; 3) с помощью таблицы.

При аналитическом задании функция может быть определена:

1) явно - уравнением вида ( )y f x= или ( ) (( ) ( )

1 1

2 2

,

,)f x x D D f

yf x x D D f

∈ ⊂⎧⎪= ⎨∈ ⊂⎪⎩

;

2) неявно - уравнением вида ( ), 0F x y = ;

3) параметрически – с помощью вспомогательной переменной –

параметра – ( )( )

,,

x x tt T

y y t=⎧

∈ ⊂⎨ =⎩.

ПРИМЕРЫ. Явное задание:

22

1). { } { } { } { }21 , : 1 , : 0 1y x x x x y y y= − = ≤ = ≤ ≤ ;

2). { } { } { } { }

, 0,, 0,

: , : 0

x xy x

x x

x x x y y y

≥⎧= = ⎨− <⎩= −∞ ≤ ≤ ∞ = ≤ ≤ ∞

;

3). sgny x= - знак x , sgn 1, 0,0, 0,

1, 0,

xx x

x

>⎧⎪= =⎨⎪− <⎩

{ } { } { } { }: ,x x x y= −∞ ≤ ≤ ∞ = −1,0,1

4). Функция Дирихле 0, иррац.,1, рац.,

xy

x−⎧

= ⎨ −⎩ { } { }{ } { }

: ,

0,1 .

x x x

y

= −∞ ≤ ≤ ∞

=

5). [ ]y x= - целая часть x (наибольшее целое, не превосходящее x )

( ) { } { }:D f x x x= = −∞ ≤ ≤ ∞ ,

( ) { } { }:целые числаE f y y= = ;

эта функция может быть задана в виде

. [ ][ )[ )[ )

...1, 1;2 ,0, 0;1 ,

1 1;...

xx x

x

⎧⎪ ∈⎪⎪= ∈⎨⎪− ∈ −⎪⎪⎩

0 ,

0

Неявное задание:

уравнение ( ),F x y = может определять не одну, а несколько функций вида . Так, уравнение определяет две функции: ( )y f x= 2 2 1 0x y+ − = ( ) 2

1 1y f x x= = + − и ( ) 2

2 1y f x x= = − − .

Аналитический способ задания функции является наиболее точным и

предпочтителен для дальнейшего исследования функции методами

математического анализа. Графическое и табличное описание возникает,

например, при исследовании экспериментально наблюдаемых функциональных

зависимостей, но и в этом случае обычно подбирают подходящую

23

аналитическую формулу, с достаточной степенью точности воспроизводящую

экспериментальные данные (так называемая аппроксимация).

1.2.2. Основные характеристики функции

Функция ( )f x с симметричной относительно нуля областью определения X называется четной, если для любого x X∈ выполняется равенство ( ) ( )f x f x= − .

Из определения четной функции следует, что ее график симметричен относительно оси ординат. Например, функции 2y x= , y x= являются четными, их графики имеют вид:

y y 2xy = xy =

y0

–x0 0 x0 x 0 x

Функция ( )f x с областью определения X называется нечетной, если для любого x X∈ выполняется равенство ( ) ( )f x f x− = − .

График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Например, функции и 3y x= 2y x= являются нечетными, их графики имеют вид:

y y

3xy = y0 xy 2=

–x0 0 x 0 x0 x

–y0

Функция не является ни четной, ни нечетной, так как 2y x x= +

( ) ( )2 2x x x x− + − = − ≠ ± y .

24

Функция ( )y f x= называется периодической, если существует такое число , что для любого 0T ≠ x X∈ выполнены условия: 1) x T X+ ∈ ;

2) ( ) ( )f x T f x+ = . Число T называется периодом функции ( )y f x= .

Множество значений числовой функции может быть ограниченным, ограниченным сверху (снизу) и неограниченным. В соответствии с этим подразделяются и сами функции.

Функция f называется ограниченной на множестве ( )E D f⊂ , если

( ):A x E f x A∃ ∀ ∈ ≤ .

Например, функция ( )siny = x ограничена на всей числовой оси; 3y x= ограничена на любом промежутке конечной длины, но не ограничена на всей области определения x∈ .

Функция f называется ограниченной сверху (снизу) на множестве ( )E D f⊂ , если ( ):A x E f x A∃ ∀ ∈ ≤ ; ( ( ):A x E f x A∃ ∀ ∈ ≥ ).

Например, ограничена снизу на всей области определения 2y x= x∈ .

Точная верхняя (нижняя) грань множества M значений функции f на называется точной верхней (нижней) гранью функции

Ef на и

обозначается E

( )supx E

f x∈

( ( )infx E

f x∈

).

Например, ( );0

1sup 0x x∈ −∞

= , . 2inf 0x

x∈

=

Если число ( )supx E

f x∈

( ( )infx E

f x∈

) принадлежит множеству M значений функции

f на , то оно называется наибольшим (наименьшим) значением E f на и обозначается

E( )max

x Ef x

∈ ( ( )min

x Ef x

∈).

Например, , 2min 0xx∈=

( );0

1maxx x∈ −∞

не существует.

25

Пусть ( )y f x= определена на множестве ( )D f и множество ( )E D f⊂ .

Если 1 2,x x E∀ ∈ :

1 2x x< ⇒ ( ) ( )1 2f x f x< - ( )f x возрастающая на ; E

1 2x x< ⇒ ( ) ( )1 2f x f x≤ - ( )f x неубывающая на ; E

1 2x x< ⇒ ( ) ( )1 2f x f x> - ( )f x убывающая на ; E

1 2x x< ⇒ ( ) ( )1 2f x f x≥ - ( )f x невозрастающая на . E

Все четыре типа в совокупности называются монотонными на , а возрастающие и убывающие - строго монотонными на .

EE

1.2.3. Обратная функция. Сложная функция Функция ( )y f x= , x X∈ , обратима, если каждое свое значение она

принимает один раз, то есть для каждого y Y∈

y Y∈ существует только одно значение x X∈ такое, что ( )y f x= .

( )y f xТогда функции = , осуществляющей отображение множества X в множество , может быть сопоставлена функция

Y

( )x g= y , осуществляющая отображение в Y X , такое, что ( )( )x xg f = . Эта функция называется обратной к ( )f x и обозначается

( )1f y− .

y ( )xfy=

y ( )yfx 1−= x x

С другой стороны, для функции ( )yfx 1−= обратной является функция , поэтому функции ( )xfy = ( )y f x= и ( )1x f y−= называются взаимно

обратными. Графики функций ( )y f x= и ( )1x f y−= совпадают,

но если мы хотим описать функцию ( )1f y− обычным образом, то есть ее аргумент обозначить через x , а зависимую переменную через , то графическая иллюстрация изменится.

x

( )yfx 1−=

y y

Вначале изменим направления осей; затем изменим названия осей; в результате получаем, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, то есть линии y x= .

y ( )xfy 1−=

x

26

y ( )xfy= ( )xfy 1−= x

Множество значений обратной функции ( )1y f −= x совпадает с областью определения функции ( )y f x= , а область определения обратной функции ( )1 x−y f= совпадает с множеством значений функции ( )y f x= .

ПРИМЕРЫ.

1) ( )xfx

y ==1 , , ( ) ( ) ; ∞∞−∈ ,00, ∪x ( ) ( )∞∞−∈ ,00, ∪y

( ) ( )1 1g x f xx

−= =

)

(обратная функция совпадает с исходной).

2) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

<−>==

,0,,0,

xexexfy x

x ( ) (( ) ( );,10,1

,,00,∞−∈∞∞−∈

∪∪

yx

( ) ( ) ( )⎩⎨⎧

−∈−>

== −,0,1,ln

,1,ln1xxxx

xfy ( ) ( )( ) ( .,00,

,,10,1∞∞−∈ )∞−∈

∪∪

yx

Если f и g - функции одного переменного, то функция , определенная соотношением

h( ) ( )h x g f x= ⎡⎣ ⎤⎦ на области ( ) ( ) ( ) ( ){ }:D h x D f f x D g= ∈ ∈ ,

называется сложной функцией или суперпозицией (композицией) функций f и g и обозначается . g f

Операции производятся справа налево – вначале вычисляется частное значение функции f и в точке x , а затем для данного числа, рассматриваемого как аргумент, вычисляется значение функции g .

Операция суперпозиции может применяться повторно, например, ( ) ( )( )2lg sin tgF x = x представляет собой суперпозицию пяти операций:

возведение в квадрат, вычисление тангенса, синуса, модуля и логарифма.

27

1.2.4. Основные элементарные функции 1. Степенные функции

1.1. ,ny x n N= ∈ .

1.2. 1ny

x= , 0x ≠ .

1.3. ny x= .

1.4. ,y xα α= ∈ .

28

Трансцендентные функции

2. Показательная , 0,xy a a a= > 1≠ .

3. Логарифмическая

log , 0, 1, (0, )ay x a a x= > ≠ ∈ ∞ .

4. Тригонометрические функции

4.1. siny x= . 4.2. xy cos= .

4.3. 2,y tg x x nπ π= ≠ + .

4.4. ,y ctgx x kπ= ≠ .

5. Обратные тригонометрические функции 5.1. . arcsin , | | 1y x x= ≤arcsin( ) arcsinx x− = − .

5.2. arccos , | | 1y x x= ≤ . arccos( ) arccosx xπ− = − .

29

5.3. , arctgy x=

arctg( ) arctgx x− = − . 5.4. arcctgy x= .

arcctg( ) arcctgx xπ− = − .

arcsin arccos2

x x π+ = , arctg arcctg

2x x π+ = , 1arctg arctg

2x

xπ

= − .

6. Гиперболические функции 6.1. Гиперболический синус

sh2

x xe ey x−−

= = .

6.2. Гиперболический косинус

ch2

x xe ey x−+

= = .

6.3. Гиперболический тангенс

shthch

x x

x x

e e xy xe e

−

−

−= = =

+ x.

6.4. Гиперболический котангенс chcthsh

x x

x x

e ey xe e

−

−

+= = =

−xx

.

30

2 2ch sh 1x x− = , th cth 1x x⋅ = , sh chsh( ) sh chx y x y y+ = + ch( ) ch ch sh shx , x y x y x y+ = + .

1.2.5. Элементарные и неэлемен рные функции рных функций и констант с

помо

(Список основных элементарных функций, изучаемых в рамках школьного

Рассмотренные выше функции

таФункции, получающиеся из основных элементащью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания,

умножения, деления) и операций суперпозиции, называются элементарными функциями.

курса математики, пополнен гиперболическими функциями – они широко встречаются в различных приложениях и тесно связаны с обычными тригонометрическими функциями.)

sgny x= , y x= , [ ]y x= , функция Дирихле отно

1.2.6. Предел функции в точке

сятся к неэлементарным.

1. Число A называется пределом функции ( )y f x= в точке если для

люб

a ,

ой последовательности { }nx такой, что ( ) , , limn n nnx D

→∞f x a x a∈ ≠ = ,

выполняется равенство ( )lim nnf x

→∞A= , что обозначают: ( )lim

x af x A→

= .

Определение 1 сформулировано «на языке последовательностей» (иначе

Пример: 1) im .a

2)

определение предела по Гейне).

( ); ln n n x any x x a y x x a x

→→∞= ∀ → = → ⇒ =

( )y y x= −функция Дирихле, , ?x a y→ →

{ } ( ){ }{ } ( ){ }

рациональные 1,

иррациональные 0.n n

n n

x a y x

x a y x

− → ⇒ →

− → ⇒ →

Функция Дирихле не имеет предела при x a→ , где - любое.

2. Число

a

A называется пределом функции ( )y f x= в точке , если a

( ) ( ) ( )0 0 : : 0x x a f x Aε δ ε δ ε∃ ∀ < − < ⇒ − ε∀ > > < .

31

Таким образом, для любой ε - окрестности точки A можно найти δ - окрестность точки , такую, что все значения функции для a x из δ - окрестности точки попадут в a ε - окрестность точки A .

Смысл этого утверждения заключается в том, что чем ближе точка x расположена к точке , тем ближе значение a ( )f x к числу A .

Определение 2 сформулировано «на языке эпсилон – дельта» (иначе определение предела по Коши).

1.2.7. Предел функции в бесконечности Если ООФ не ограничена сверху (снизу), то можно поставить вопрос о

поведении функции при x →+∞ ( x → −∞ ).

3. Число A называется пределом ( )f x при x →+∞ ( x → −∞ ), если

{ } { }:n n nn n

x x f x A→→∞ →∞

∀ →+∞ ⇒ { } { }:n n nn n

x x f x A→∞ →∞

⎛ ⎞∀ →−∞ ⇒ →⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Определение 3 сформулировано «на языке последовательностей».

1.2.7.2. Число A называется пределом ( )f x при x →+∞ ( x → −∞ ), если

( ) ( )0 : :M x x M f x Aε ε ε∀ > ∃ ∀ ≥ ⇒ − <

( ) ( )( )0 : :M x x M f x Aε ε ε∀ > ∃ ∀ ≤ ⇒ − < .

Определение 4 сформулировано «на языке эпсилон – дельта».

Определение 1. определение 2, определение 3 ⇔ ⇔ определение 4., т.е. определения Гейне и Коши эквивалентны.

Покажем, как пользоваться обеими разновидностями определений для доказательства существования и отсутствия предела. Для доказательства

32

существования предела обычно удобнее определение Коши, для доказательства отсутствия предела – определение Гейне.

Пример: 1) . Доказать, что 2,y x x= →1 2

1lim 1x

x→

= .


0ε∀ > ( )( )2 1 , 1 1 11

x x x xxεε ε− < − + < ⇒ − <+

.

Так как в предельном переходе рассматривается область значений x ,

находящаяся вблизи точки , можно считать, что 1a = 0 2x< < , 1 1x x+ = + ,

, 1 1 3x< + <1 1 13 1x< <

+, тогда 1x ε− < , т.е., можно взять ( )δ ε ε= . Чтобы доказать

существование предела ( )f x при x a→ , следует для любого ε найти формулу

для построения ( )δ ε .

2) 1,xy xx+

= →∞ . Доказать, что 1lim 1x

xx→∞

+= .


0ε∀ > 1 11x xx x

ε ε 1ε

+− < ⇒ < ⇒ > , т.е. ( ) 1M ε

ε= .

3) 1sin , 0y xx

= → . Доказать, что 0

1lim sinx x→



Рассмотрим две последовательности

1nx

nπ= , , lim 0nn

x→∞

= ( ) ( )sin 0nf x nπ= = , ( )lim 0nnf x

→∞= ;

24nx

nπ π′ =

+, , lim 0nn

x→∞

′ = ( ) sin 2 12nf x nπ π⎛ ⎞′ = + =⎜ ⎟

⎝ ⎠, . ( )lim 1nn

f x→∞

′ =

33

Поскольку для различных последовательностей значений аргумента, сходящихся к нулю, соответствующие последовательности значений функции сходятся к различным пределам,

0

1lim sinx x→


1.2.8. Односторонние пределы

5. Число A называется правым пределом функции ( )y f x= в точке a , если { }nx a∀ → , ( ) ( ){ }n nx a f x> ⇒ → A . Эквивалентное определение: число A называется правым пределом функции ( )y f x= в точке , если a 0ε∀ >

( ) ( )0 : 0 x aδ ε δ ε∃ > < − < ⇒ ( )f x A ε− < .

Обозначение правого предела: ( )0

limx a

f x A→ +

= .

6. Число A называется левым пределом функции ( )y f x= в точке , если

a

{ } ( ) ( ){ }:n n nx a x a f x A< ⇒ →∀ → , или если 0ε∀ > , то

( ) ( ) ( )0 : 0 a x f x Aδ ε δ ε∃ > < − < ⇒ − < ε .

Обозначение левого предела: ( )0

limx a

f x A→ −

= .

ПРИМЕР. , . y Sgn x=0 0

lim 1, lim 1x x

Sgn x Sgn x→+ →−

= = −

Функция ( )y f x= имеет предел в точке a , если правый и левый пределы в точке существуют и равны: a

( ) ( ) ( )0 0

lim lim limx a x a x a

f x f x f x→ + → − →

= = A= .


Из определения 5 0ε⇒ ∀ > ( ) ( ) ( )1 1: 0 x a f x Aδ ε δ ε ε∃ < − < ⇒ − < .

Из определения 6 для того же ⇒ ε ( ) ( ) ( )2 2: 0 a x f x Aδ ε δ ε∃ < − < ⇒ − ε< .

Возьмем ( ) { }1 2min ,δ ε δ= δ , тогда можно сказать, что ( ) ( )0 : x aε δ ε δ ε∀ > ∃ − < , то есть ( )lim

x af x A

→= .

34

1.2.9. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства

Функция ( )α x называется бесконечно малой в точке , если α ( )limα 0x a

x→

= .

Аналогично определяется функция, бесконечно малая при x → +∞ ( x → −∞ ).

Свойства бесконечно малых функций:

Если ( ) ( )limα limβ 0x a x a

x x→ →

= = , то ( ) ( )( )lim α β 0x a

x x→

+ = .


Из условия следует, что для любой последовательности nx a→ соответствующие последовательности ( )α 0nx → и ( )β 0nx → .

Покажем, что ( ) ( )α β 0n nx x+ → . Для этого фиксируем произвольное : ε

( ) ( )1 1εε : α2nN n N x∃ > ⇒ < и ( ) ( )2 2

εε : β2nN n N x∃ > ⇒ < .

Возьмем { }1 2max ,N N= N , тогда для ( ) ( ) ( ) ( )α β α βn n n nn N x x x x> ⇒ + ≤ + < ε .

Свойство может быть расширено: сумма конечного количества бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть функция бесконечно малая.

Например, 2

0

1lim sin 0x

xx→

⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2. x - бесконечно малая функция в точке 0x = ;

1sinx

- ограниченная функция.

Произведение бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

Если ( ) ( )lim 0, limα 0x a x a

f x A x→ →

= ≠ = , то ( )( )

αlim 0.x a

xf x→

=

Функция ( )f x называется бесконечно большой в точке , если a

( ) ( ) δ 0 : : 0 δM M x x a f x∀ ∃ > ∀ < − < ⇒ > M . Записывается это как

35

( )limx a

f x→

= ∞ . Если же функция при x a→ не только возрастает по абсолютной

величине, но и сохраняет определенный знак, это обозначают:

( )limx a

f x→

= +∞ ⇔ ( ) ( )δ 0 : : 0 δM M x x a f x∀ ∃ > ∀ < − < ⇒ > M ;

( )limx a

f x→

= −∞ ⇔ ( ) ( )δ 0 : : 0 δM M x x a f x∀ ∃ > ∀ < − < ⇒ < M .

Аналогично определяются функции, бесконечно большие при x → +∞ ( )x → −∞ .

Функция, бесконечно большая при x a→ , является неограниченной в окрестности точки , но обратное утверждение неверно: не всякая

неограниченная функция является бесконечно большой. Так,

a

( )11f xx

= -

бесконечно большая при , а 0x → ( )2

1sinxf x

x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= - является неограниченной

при 0x → , но бесконечно большой не является.

В первом случае для любого числа M можно указать окрестность точки

0x = , в каждой точке которой ( )f x M> ; во втором случае для любого

числа M в каждой окрестности точки 0x = , можно указать точку, в

которой ( )f x M> , но в этой же окрестности найдутся точки, не

удовлетворяющие этому условию, для которых, например, ( ) 0f x = .

Связь между функциями бесконечно большими и бесконечно малыми при

x a→ подтверждается следующей теоремой.

Если ( )α x - бесконечно малая функция при x a→ и ( )α 0x ≠ при x a≠ , то

( )1

α x - бесконечно большая функция при x a→ . Если ( )α x - бесконечно

большая, то ( )1

α x - бесконечно малая.

36

Свойства бесконечно больших функций:

1. Произведение бесконечно большой функции на ограниченную функцию

( ) есть функция бесконечно большая. 0≠

2. Произведение бесконечно больших функций есть функция бесконечно

большая.

3. Сумма бесконечно больших функций может не быть бесконечно большой

функцией:

( )f x x= , ( ) 1g x x= − , ( ) ( ) 1f x g x+ = . ( )f x и ( )g x - бесконечно большие

при x → ∞ функции, но ( ) ( )f x g x+ таковой не является;

( )f x x= , ( ) 21g x x= − , ( ) ( ) 21f x g x x x+ = + − .

Все функции, ( )f x , ( )g x и ( ) ( )f x g x+ - бесконечно большие при x → ∞ .

37

1.2.10. Таблица определений предела В таблице приведены все встречавшиеся в лекции определения пределов.

Для краткости приведены только определения Коши.

Понятие Обозначение Определение

Предел функции f в точке x a=

( )limx a

f x A→

= ( ) ( )0 0 : : 0x x a f x Aε δ ε δ ε∀ > ∃ > ∀ < − < ⇒ − <

( )limx a

f x→

= +∞ ( ) ( )0 : : 0M M x x a f xδ δ M∀ ∃ > ∀ < − < ⇒ >

( )limx a

f x→

= −∞ ( ) ( )0 : : 0M M x x a f xδ δ M∀ ∃ > ∀ < − < ⇒ <

«Обращение функции f в бесконечность» в точке x a=

( )limx a

f x→

= ∞ ( ) ( )0 : : 0M M x x a f xδ δ M∀ ∃ > ∀ < − < ⇒ >

( )limx

f x A→+∞

=

( ) ( )0 : :M x x M f x Aε ε ε∀ > ∃ ∀ ≥ ⇒ − < Предел функции f при x → +∞ , соответственно x → −∞ ( )lim

xf x A

→−∞= ( ) ( )0 : :M x x M f x Aε ε ε∀ > ∃ ∀ ≤ ⇒ − <

( )limx

f x→+∞

= +∞ ( ) (0 0: : )M x M x x x f x M∀ ∃ ∀ ≥ ⇒ >

( )limx

f x→+∞

= −∞ ( ) (0 0: : )M x M x x x f x M∀ ∃ ∀ ≥ ⇒ <

( )limx

f x→−∞

= +∞ ( ) (0 0: : )M x M x x x f x M∀ ∃ ∀ ≤ ⇒ >

( )limx

f x→−∞

= −∞ ( ) (0 0: : )M x M x x x f x M∀ ∃ ∀ ≤ ⇒ <

( )limx

f x→+∞

= ∞ ( ) ( )0 0: :M x M x x x f x M∀ ∃ ∀ ≥ ⇒ >

«Обращение функции f в бесконечность» при x → +∞ , соответственно x → −∞

( )limx

f x→−∞

= ∞ ( ) ( )0 0: :M x M x x x f x M∀ ∃ ∀ ≤ ⇒ >

( )0

limx a

f x A→ +

= ( ) ( )0 0 : : 0x x a f x Aε δ ε δ ε∀ > ∃ > ∀ < − < ⇒ − <Пределы справа и слева

( )0

limx a

f x A→ −

= ( ) ( )0 0 : : 0x a x f x Aε δ ε δ ε∀ > ∃ > ∀ < − < ⇒ − <

( )0

limx a

f x→ +

= +∞ ( ) (0 : : 0 )M M x x a f xδ δ M∀ ∃ > ∀ < − < ⇒ >

( )0

limx a

f x→ −

= +∞ ( ) (0 : : 0 )M M x a x f xδ δ M∀ ∃ > ∀ < − < ⇒ >

( )0

limx a

f x→ +

= −∞ ( ) (0 : : 0 )M M x x a f xδ δ M∀ ∃ > ∀ < − < ⇒ <

( )0

limx a

f x→ −

= −∞ ( ) (0 : : 0 )M M x a x f xδ δ M∀ ∃ > ∀ < − < ⇒ <

( )0

limx a

f x→ +

= ∞ ( ) ( )0 : : 0M M x x a f xδ δ M∀ ∃ > ∀ < − < ⇒ >

«Обращение функции f в бесконечность» справа и слева в точке x a=

( )0

limx a

f x→ −

= ∞ ( ) ( )0 : : 0M M x a x f xδ δ M∀ ∃ > ∀ < − < ⇒ >

38

1.2.11. Свойства функций, имеющих предел Для рассмотрения свойств функций, имеющих предел, будет полезна

следующая теорема о связи бесконечно малой функции и функции, имеющей предел. Теоремы этого параграфа сформулированы для пределов в точке 0x , но все они справедливы и для пределов при x → ±∞ . Если ,

0

lim ( )x x

f x A→

= A < ∞ , то ( ) ( )αf x A x= + , где ( )0

limα 0x x

x→

= .

Доказательство: Если

0

lim ( ) ,x x

f x A→

= то, по определению Коши, при произвольном

выполняется неравенство

ε 0>

( ) εf x A− < . Обозначим ( ) ( )αf x A x− = . Тогда для любого выполняется ε 0> ( )α x ε< . Но это и означает, что ( )α x – бесконечно малая при 0x x→ .

Справедливо и обратное утверждение: если функция ( )f x представима в виде ( ) ( )αf x A x= + , где ( )

0

limα 0x x

x→

= , то существует 0

lim ( )x x

f x A→

= .

Пусть функции и ( )y f x= ( )φy = x имеют одну область определения . DЕсли ( )

0

limx x

f x A→

= и 0

limφ( )x x

x B→

= , то

1) ( ) ( )( ) ( ) ( )0 0

lim φ x lim limφ xx x x x x x

f x f x→ →

+ = +0→

,

2) ( ) ( )( ) ( ) ( )0 0

lim φ x lim limφ xx x x x x x

f x f x→ →

⋅ = ⋅0→

,

3) ( )( ) ( )0 0

lim limx x x x

k f x k f x→ →

⋅ = ⋅ ,

4) ( )( )

( )( )

0

0

0

limlim

φ x limφx x

x xx x

f xf xx

→

→→

= , где ( ) ( )φ αx x≠ .

Из теоремы о связи функции, предела и бесконечно малой:

где 0

limα( ) 0;x x

x→

= ( ) ( ) ( )0

lim α ,x x

f x A f x A x→

= ⇔ = +

( ) ( ) ( )0

limφ φ β ,x x

x B x B→

= ⇔ = + x где 0

limβ( ) 0x x

x→

=

Докажем свойство 1:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) (

φ α β

α β γ ,

f x x A x B x

)A B x x A B

+ = + + + =

= + + + = + + x

где ( ) ( ) ( )γ α βx x x= + .

39

Применяя теорему о связи вновь и учитывая, что

( )0 0

lim γ( ) lim α( ) β( ) 0,x x x x

x x x→ →

= + =

получаем ( )

0 0

lim ( ) φ( ) lim ( ) limφ( )x x x x x x0

f x x A B f x→ →

+ = + = + x→

Свойства 1, 2, 4, в которых фигурируют три различных предела, можно читать в двух направлениях: если два любых предела существуют, то существует и третий и соотношение выполняется.

ПРИМЕР. Вычислить предел 2

22

5lim .3x

xx→

+−

Значение функции 2

2

5( )3

xf xx

+=

− определено в точке 0 2x = ,

2

2

2 5 9(2) 92 3 1

f += =

−= , поэтому

2

22

5lim 9.3x

xx→

+=

− Если функция ( )f x определена в

точке 0x , то ( )0 0

0lim ( ) lim ( )x x x x

.f x f x f x→ →

= =


3 2lim .3 1x

x xx x→∞

+− +

Как и для последовательностей, применим метод деления числителя и знаменателя на наивысшую степень x , т.е. на 3x :

3 2

3 2 3

1 1 1 0lim lim 1.3 1 1 3 1 1 0 0x x

x x xx x x x→∞ →∞

+ ∞ + +⎡ ⎤= = =⎢ ⎥− + ∞ − + − +⎣ ⎦=


0

9 5 4 3lim .x

x xx→

+ + −

Непосредственно подставляя число 0 0x = в функцию, получаем

неопределенность 00

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

. Учтем формулу ( )( ) 2a b a b a b2− + = − и умножим

числитель и знаменатель на выражение ( )29 5 4 3 :x x+ + +

40

( ) ( )

( )

( )

2 222

0 0 2

2

20 02

9 5 4 39 5 4 3 0lim lim0 9 5 4 3

9 5 4 9 5 4 5 0 5 5lim lim .3 3 69 0 0 39 5 4 39 5 4 3

x x

x x

x xx xx x x x

x x xx xx x x

→ →

→ →

+ + −+ + − ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⋅ + + +

+ + − + += = =

++ + ++ + +⋅ + + += =

ПРИМЕР. Вычислить предел: ( )2lim 1 .x

x x→+∞

+ −

В данном примере имеет место неопределенность типа ( )∞ − ∞ ; наличие иррациональности не допускает прямого сокращения, поэтому применяется следующий прием:

( )( ) 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

f x g x f x g x f x g xf x g xf x g x f x g x

− + −− = =

+ +:

( ) ( )( )2

2 2

2

2

2 2

2 2

1lim 1 lim

11 1lim lim 01 1

x x

x x

x xx x

x xx x .x x x x

→∞ →∞

→∞ →∞

+ −+ − = ∞ − ∞ = =

+ ++ −

= = =+ + + +

Если функции и имеют одну область определения и ( )y f x= φ( )y = x D( ) ( )φx D f x x∀ ∈ ≤ , то

0 0

lim ( ) limφ( ).x x x x

f x→ →

x≤ Иначе говоря, знак неравенства

сохраняется при предельном переходе. Заметим, что из строгого неравенства ( ) ( )φf x < x по-прежнему следует

0 0

lim ( ) limφ( )x x x x

f x→ →

x≤ : пусть ( ) 4f x x= ,

( ) 2φ x x= , при 1x < ( ) ( )φf x < x , но 0 0

lim ( ) limφ( ) 0x x

f x x→ →

= = .

Теорема о пределе промежуточной функции. Если 1) ( ) ( ) ( )φx D f x x g x∀ ∈ ≤ ≤ , 2)

0 0

lim ( ) lim ( )x x x x

f x g x→ →

A= = ,

то 0

limφ( )x x

x A→

∃ = .

1.2.12. Замечательные пределы В теории пределов большую роль играют два предела, которые, в силу их

важности, получили названия замечательных пределов. 1.2.12.1. Первый замечательный предел

Функция sin xyx

= при 0x → имеет предел, равный 1: 0

sinlim 1x

xx→

= .

41

Доказательство: Рассмотрим единичную окружность.

Пусть , COB x∠ =π02

x< < , 1OC OB r= = = ,

sinAC x= , , cosOA x= tgBD x= . Сравнивая площади треугольника , сектора и треугольника , получаем

OAC OBCOBD

OAC OBCS S< < OBDS ,

1 1 1sin cos2 2 2

sincos

xx x xx

⋅ < < ⋅ .

Разделим двойное неравенство на ( )sin 02

x> : 1cos

sin cosxx

x x< < .

Неравенство справедливо и для 0x < , так как sin( ) sin( )cos( ) cos , x xx x

x x−

− = =−

. Перейдем к пределу при 0x → : cos( )x -

функция непрерывная, cos cos(0) 1x → = . Применяя теорему о пределе промежуточной функции, получаем:

0

sin1 lim 1x

xx→

≤ ≤ , то есть 0

sinlim 1x

xx→

= .

В первом замечательном пределе имеет место неопределенность 00

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

.

ПРИМЕР. Вычислить предел: 0

sin 2lim .x

xx→

Если x → 0, то и 2x → 0 и тогда

0 0 0

sin 2 0 2 sin 2 sin 2lim lim 2 lim 2 1 2.0 2 2x x x

x x xx x x→ → →

⋅⎡ ⎤= = = ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥ ⋅⎣ ⎦

ПРИМЕР. Вычислить предел: 0

tglim .x

xx→

0 0 0 0

tg 0 sin 1 sin 1 1lim lim lim lim 1 1.0 cos cos cos0x x x x

x x xx x x x x→ → → →

⎡ ⎤ ⎛ ⎞= = ⋅ = ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠

1.2.12.2. Второй замечательный предел

Функция ( ) 11x

y xx

⎛= +⎜⎝ ⎠

⎞⎟ при x → ∞ имеет предел, равный числу e :

42

1lim 1x

xe

x→∞

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Доказательство: При рассмотрении предела монотонной последовательности было

получено соотношение: 1lim 1n

ne

n→∞

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Пусть x → +∞ . Любое x удовлетворяет двойному неравенству

, где - целая часть 1n x n≤ < + [ ]n x= x . Тогда 1 11n x

< ≤+

1n

,

1 11 1 11n x

+ < + ≤ ++

1n

и 11 11 1 1

1

n x

n x

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ < + ≤ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 n

n. При x → +∞

. n → +∞Рассмотрим раздельно пределы левой и правой части двойного неравенства:

11lim 11 1lim 1

11 1lim 11

n

nn

n

n

en en

n

+

→∞

→∞

→∞

⎛ ⎞+⎜ ⎟+⎛ ⎞ ⎝ ⎠+ = =⎜ ⎟+ ⎛ ⎞⎝ ⎠ +⎜ ⎟+⎝ ⎠

= ,

11 1 1lim 1 lim 1 lim 1 1n n

n n ne e

n n n

+

→∞ →∞ →∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + ⋅ + = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= .

Применяя теорему о пределе промежуточной функции, получаем, что

1lim 1x

xe e

x→+∞

⎛ ⎞≤ +⎜ ⎟⎝ ⎠

≤ , откуда 1lim 1x

xe

x→+∞

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Пусть x → −∞ . Сделаем замену переменной: ( )1t x= − + , ; ( )1x t= − +из x → −∞ следует . t → +∞

1 11 1lim 1 lim 1 lim lim1 1

x t t

x t t t

t tx t t t

− − − − +

→−∞ →+∞ →+∞ →+∞

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

11 t

=

11 1 1 1 1lim 1 lim 1 1 lim 1 lim 1 1t t t

t t t te e

t t t t t

+

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + ⋅ + = + ⋅ + = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

( )1

0lim 1 tt

t e→

+ =

(заменим переменную: 1tx

= ; ( )1

0

1lim 1 lim 1x

tt x

t ex→ →∞

⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

= ).

43

ПРИМЕР. Вычислить предел: 71lim 1 .

x

x x→∞

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

7 7771 1 1lim 1 1 lim 1 lim 1 .

x x

x x xe

x x x∞

→∞ →∞ →∞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤+ = = + = + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x

Функция ( )( ) ( )φ xy f x= ( ( ) 0f x > ) называется степенно-показательной

функцией или сложно-показательной функцией. Предел степенно-показательной функции ( )( ) ( )φ x

y f x= при 0x x→ вычисляется по формуле:

( )( ) ( ) ( )( )

0

0 0

lim φφ

lim lim x xx

x

x x x xf x f x →

→ →

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦.

Применим основное логарифмическое тождество, считая

( ) ( )0 0

lim , limφx x x x

f x A x→ →

B= = .

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

φ0 0 0

0 0 0

0

0

lim φ ln lim φ ln limφ ln( ) φ ln

lim φln ln

lim lim lim

lim ( )

xx x x x x x

B x x

x f x x f xx f x x f x

x x x x x x

xB A A B

x x

f x e e e e

e e A f x

→ → →

→

→ → →

→

= = = =

⎡ ⎤= = = ⎢ ⎥⎣ ⎦

=.

Во втором замечательном пределе имеет место неопределенность . 1∞⎡ ⎤⎣ ⎦

ПРИМЕР. Вычислить предел 2 11lim .

2

x

x

xx

−

→∞

+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

Вычислим предел

111 1lim lim 122 11x x

x xx

00

x→∞ →∞

++ += =

− −−= и предел ( )lim 2 1 .

xx

→∞− = ∞ Таким

образом, функция 2 11

2

xxyx

−+⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ порождает неопределенность . 1∞⎡ ⎤⎣ ⎦

1 1 1 2 3 11 1 1 1 122 2 2 2

3

x x x xxx x x x

+ + + − +⎛ ⎞= + − = + = + = +⎜ ⎟ −− − − − ⎛ ⎞⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

.

( )

( )

( )

32 12 22 13

2 1 3 2 1lim 621 1 1lim 1 lim 1 lim 1 ,2 22

3 3

x

xx xx

x xx

x x x

x e ex xx→∞

− ⋅− −−

− −∞ −

→∞ →∞ →∞

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎛ ⎞ ⎢ ⎥= = + == + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥− −−⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

44

поскольку 6 3lim 6.2x

xx→∞

−=

−

1.2.13. Сравнение бесконечно малых функций Пусть функции ( )1α x и ( )2α x являются бесконечно малыми при 0x x→ .

Если 0

1

2

α ( )lim ,α ( )x x

x Ax→

= то возможно несколько ситуаций:

1) если A < ∞ , то ( )1α x и ( )2α x называются бесконечно малыми одного порядка;

2) если 1A = , то ( )1α x и ( )2α x называются эквивалентными. Обозначение:

( ) ( )1 2α αx x∼ ⇔ 0

1

2

α ( )lim 1.α ( )x x

xx→

= ;

3) если 0A = , то функция ( )1α x называется бесконечно малой высшего порядка по сравнению с ( )2α x .

Введем символ ( ) ( )( )1 2α αx o x= ⇔ 0

1

2

α ( )lim 0.α ( )x x

xx→

=

Если ( )1α x , ( )2α x , ( )3α x , ( )4α x являются бесконечно малыми при 0x x→ и

при этом ( ) ( )1 3α αx x∼ , ( ) ( )2 4α αx x∼ , то 0 0

1 3

2 4

α ( ) α ( )lim lim .α ( ) α ( )x x x x

x xx x→ →

=

В самом деле, если 0

1

3

α ( )lim 1α ( )x x

xx→

= и 0

4

2

α ( )lim 1α ( )x x

xx→

= , то

0 0

1 1 3 4

2 2 3 4

α ( ) α ( ) α ( ) α ( )lim limα ( ) α ( ) α ( ) α ( )x x x x

x x x xx x x x→ →

⋅ ⋅= =

⋅ ⋅

0 0 0 0

1 4 3

3 2 4

α ( ) α ( ) α ( ) α ( )lim lim lim limα ( ) α ( ) α ( ) α ( )x x x x x x x x

3

4

x x x xx x x→ → → →

= ⋅ ⋅ =x

.

Аналогично: если ( ) ( )1 2α αx x∼ при 0x x→ , то ( ) ( )

( ) ( )

0 0

0 0

0 0

1 2

1 2

1 2

1). lim ( ) α ( ) lim ( ) α ( ) ;

α ( ) α ( )2). lim lim ;( ) ( )

3). lim α ( ) lim α ( ) .

x x x x

x x x x

x x x x

f x x f x x

x xf x f xf x f x

→ →

→ →

→ →

⋅ = ⋅

=

=

Если 0x → , то выполняются следующие эквивалентности:

1) sin x x∼ 5) arcsin x x∼ 9) 2

1 cos2xx− ∼

2) tgx x∼ 6) arctgx x∼ 10) sh x x∼

3) 1xe x− ∼ 7) ( )ln 1 x x+ ∼ 11) 1 12xx± − ±∼

45

4) 1 lnxa x− ⋅∼ a 8) ( )log 1lna

xxa

+ ∼ 12)( )α1 1 αx x+ − ∼

Указанные эквивалентности являются следствиями соответствующих предельных соотношений:

0

sin 1x

xx →⎯⎯⎯→ ,

0

1 lnx

x

a ax →

−= ⎯⎯⎯→ ,

0

tg 1x

xx →⎯⎯⎯→ , ( )

0

1 1a

x

xa

x →

+ −= ⎯⎯⎯→ ,

0

log (1 ) 1ln

ax

xx a→

+= ⎯⎯⎯→ ,

0

1 12x

xx →

+ − 1= ⎯⎯⎯→ .

ПРИМЕР. Вычислить предел ( )1

0lim 1 sin .xx

x→

+

При 0x → применим sin x x∼ . ( ) ( )1 1

0 0lim 1 sin lim 1 .x xx x

x x e→ →

+ = + =

ПРИМЕР. Вычислить 0

ln(1 sin )lim .sin 4x

xx→

+

При 0x → применим эквивалентность sin x x∼ , sin 4 4x x∼ .

0 0 0

ln(1 sin ) ln(1 ) 1 ln(1 ) 1 1lim lim lim 1 .sin 4 4 4 4 4x x x

x x xx x x→ → →

+ + += = = ⋅ =

ПРИМЕР. Вычислить 21

1 cosπlim .tg πx

xx→

+

Заменим . Получаем и 1t x= − 0t → 1x t= + , тогда ( ) ( )

( ) ( )2 2 2 2

cosπ cosπ 1 cos π π cosπ ,

tg π tg π 1 tg π π tg π .

x t t

x t t t

= + = + = −

= + = + =

t

( )

2

2

22 2 21 0 0

2 2

2 20 0

ππ2sin1 cosπ 0 1 cosπ 22lim lim lim 2 limtg π 0 tg π tg π π

π 4 1 12 lim 2 lim .π 4 2

x t t t

t t

ttx t

x t t t

tt

→ → → →

→ →

⎛ ⎞⎜ ⎟+ −⎛ ⎞ ⎝ ⎠= = = = ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

= ⋅ = ⋅ =

0=

1.3. Непрерывность функции 1.3.1. Непрерывность функции в точке

Пусть функция определена на множестве и пусть точка ( )y f x= D 0x D∈ . Функция называется непрерывной в точке ( )y f x= 0x , если функция

46

определена в точке 0x , существует предел 0

lim ( )x x

f x→

и при этом 0

0lim ( ) ( ).x x

f x f x→

=

(Иначе: 1) 0( )f x∃ , 2) 0

lim ( )x x

f x→

∃ , 3) 0

0lim ( ) ( )x x

f x f x→

= ).

1. При нарушении любого из трех условий функция называется разрывной в точке 0x . 2. Поскольку

00lim ,

x xx x

→= первое определение непрерывности может быть

записано в виде ( )0 0

lim ( ) lim( ) ,x x x x

f x f x→ →

= то есть операция вычисления

непрерывной в точке 0x функции ( )y f x= и операция вычисления предела перестановочны.

ПРИМЕР. 1) ( )f x x= , 0x∀ 0 0

0 0lim ( ) lim ( )x x x x

f x x x f→ →

x= = = .

( )f x = x - непрерывна в любой точке 0x по определению.

2) 2 , 0

( )x x

f x⎧ <

= ⎨,

1, 0.x ≥⎩

( )f x непрерывна в любой точке 0 0x ≠ , ( )f x разрывна в точке 0 (нарушено второе условие определения).

Рассмотрим точку 0x D∈ функции ( )y f x= и точку 0x x≠ . Величина 0x x x∆ = − называется приращением аргумента, 0x x x= + ∆ . Величина ( ) ( )0y f x x f x∆ = + ∆ − 0 называется приращением функции, соответствующим данному приращению аргумента x∆ .

Функция называется непрерывной в точке ( )y f x= 0x , если функция определена в точке 0x и при этом

0lim 0.x

y∆ →

∆ =

Вариант формулировки: функция непрерывна в точке, если бесконечно малым приращениям аргумента соответствуют бесконечно малые приращения функции.

ПРИМЕР. Показать, что первое и второе определения непрерывности равносильны. Используя арифметические свойства предела, получаем

[ ]0 00 0

0 0 00 0 0

lim 0, lim ( ) ( ) 0,

lim ( ) lim ( ) 0, lim ( ) ( ) 0.x x

x x x

y f x x f x

f x x f x f x x f x∆ → ∆ →

∆ → ∆ → ∆ →

∆ = + ∆ − =

+ ∆ − = + ∆ − =0

По определению приращения 0x x x∆ = − , поэтому

000

lim ( ) lim ( ),x x х

f x x f x∆ → →

+ ∆ =

47

и тем самым 0 0

0 0lim ( ) ( ) 0 или lim ( ) ( ).x x x x

f x f x f x f x→ →

− = =

Функция ( )y f x= называется непрерывной в точке 0x , если функция определена в точке 0x , существуют односторонние пределы

0 00 0lim ( ), lim ( )

x x x xf x f

→ − → +x и при этом

0 000 0

lim ( ) lim ( ) ( )x x x x

f x f x f→ − → +

x= = .

Все три определения непрерывности равносильны. Используется также понятие односторонней непрерывности.

Функция называется непрерывной в точке ( )y f x= 0x слева, если функция определена в точке 0x и существует односторонний предел и при

этом 0 0

lim ( )x x

f x→ −

000

lim ( ) ( )x x

f x f x→ −

= .

Функция ( )y f x= называется непрерывной в точке 0x справа, если функция определена в точке 0x и существует односторонний предел

0 0lim ( )

x xf x

→ +

и при этом 0

00lim ( ) ( )

x xf x f x

→ += .

Используя понятие односторонней непрерывности, можно сказать, что функция непрерывна в точке 0x , если она непрерывна в ней справа и слева. 1.3.2. Непрерывность функций на множестве Функция, непрерывная в любой точке множества , называется непрерывной на множестве .

DD

Для некоторых точек множества двусторонние пределы могут не существовать, например, если в качестве множества рассматривается отрезок , то в этом случае в крайних точках отрезка двусторонние пределы заменяются на односторонние.

D[ ,a b]

Функция непрерывна на отрезке [ ],a b , если она непрерывна на интервале ( ),a b , непрерывна справа в точке и непрерывна слева в точке b . a

1.3.3. Непрерывность основных элементарных функций Основными элементарными функциями обычно называют следующие

функции: αy x= , xa , loga x , sin x , cos x , tg x , ctg x , arcsin x , arccos x , arctg x , arcctg x .

Основные элементарные функции непрерывны в каждой точке 0x их области определения.

48

ПРИМЕР. Показать, что функция 2y x= непрерывна в произвольной точке 0x вещественной оси.

( )2 2 2 2 20 0 0 0 0 02 2y x x x x x x x x x x x∆ = + ∆ − = + ∆ + ∆ − = ∆ + ∆ 2.

( )20 0 00 0 0 0 0

lim lim 2 2 lim lim lim 2 0 0 0 0.x x x x x

y x x x x x x x x∆ → ∆ → ∆ → ∆ → ∆ →

∆ = ⋅ ∆ + ∆ = ⋅ ∆ + ∆ ⋅ ∆ = ⋅ + ⋅ =

Непрерывность функции в произвольной точке ny x= 0x вещественной оси доказывается с использованием формулы бинома Ньютона.

ПРИМЕР. Показать, что функция ( ) sinf x x= непрерывна в произвольной точке 0x вещественной оси.

Докажем, что: 1) .

0lim sin 0x

x→+

= { } 0nx∀ → + ( 0)x > .

Для углов в первой четверти 0 sin n nx x< < при , по теореме о переходе к пределу в неравенствах

n → ∞lim sin 0nn

x→∞

= . 0

lim sin 0 sin(0)x

x→ +

= = - непрерывность в

точке 0x = справа. Пусть { } 0nx → − . Заменим x на ( )x− , ( ) 0x− > . Тогда выполняется условие: 0 sin( ) ( )x x< − < − , 0 sin ( )x x< − < − . Умножим неравенство на (-1). Тогда 0 sin x x> > . Рассмотрим ( 0)nx < ,

- непрерывность в точке sin 0n nx x< < ⇒

0lim sin 0 sin(0)x

x→ −

= = 0x = слева.

2) 0

0lim sin sinx x

x x→

= для любой точки 0 0x x= ≠ , то есть . 0

0lim(sin sin ) 0x x

x x→

− =

0 00sin sin 2cos sin

2 2x x x xx x + −

− = .

0 0

0 00lim(sin sin ) 2 lim(cos sin ) 0

2 2x x x x

x x x xx x→ →

+ −− = = (так как 0cos

2x x+ - величина

ограниченная, 0sin2

x x− - бесконечно малая, следовательно все произведение

стремится к нулю).

ПРИМЕР. Вычислить предел: π

limsin .x

4

x→

Функция непрерывна в любой точке, поэтому siny = x

π π4 4

π 2limsin sin lim sin4 2x x

x x→ →

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠= .

1.3.4. Свойства непрерывных функций Если функции ( )y f x= и ( )φy = x определены на множестве и непрерывны в точке

D

0x D∈ , то функции

49

( ) ( )φf x x+ , ( )k f x⋅ ( )k const= , ( ) ( )φf x x⋅ , ( )( )φ

f xx

непрерывны в точке 0x , причем частное требует условия ( )0φ 0x ≠ . Поскольку функции непрерывны в точке 0x , выполняется:

( ) ( )0

0limx x

f x f x→

= , ( ) ( )0

0limφ φx x

x x→

= .

Используя арифметические свойства предела, получаем: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0 00 0lim φ lim limφ φ

x x x x x xf x x f x x f x x

→ → →+ = + = + ,

но это и означает, что функция ( ) ( )φf x x+ непрерывна в точке 0x .

В частности

1). Многочлен ( ) 11 1...n n

n n nP x a x a x a x a−−= + + + + 0 непрерывен в любой точке 0x

вещественной оси.

2).Дробно-рациональная функция 1 0

1 0

( ) ...( )( ) ...

nn n

mm m

P x a x a x aR xQ x b x b x b

+ + += =

+ + +

непрерывна в любой точке 0x вещественной оси, где ( )0 0mQ x ≠ . Если функция ( )y f x= непрерывна в точке 0x , то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.

Об устойчивости знака непрерывных функций. Если ( )f x - непрерывна в точке 0x и 0( ) 0f x ≠ , то ∃ такая δ -окрестность точки

0x , что для всех значений x из этой окрестности ( ) 0f x ≠ и имеет знак, совпадающий со знаком 0( )f x . Доказательство:

По условию 0

0lim ( ) ( )x x

f x f x→

= .

Таким образом, ε 0∀ > 0δ : δx x∃ − < ⇒ 0( ) ( ) εf x f x− < , то есть . 0 0( ) ε ( ) ( ) εf x f x f x− < < +Если взять 0ε ( )f x< , то числа 0( ) εf x − , 0( ) εf x + и 0( )f x должны иметь одинаковый знак. Таким образом, для 0ε ( )f x< знак функции ( )f x из ε - окрестности совпадает со знаком 0( )f x .

1.3.5. Непрерывность обратной функции Если: 1) - строго монотонная, непрерывная на ( )y f x= [ ],a b функция,

2) α ( ), β ( )f a f= = b , то существует функция 1( )x f y−= - строго монотонная, непрерывная на [ ]α,β .

50

ПРИМЕР. , siny x=π π,2 2

x ⎡∈ −⎢⎣ ⎦⎤⎥ - строго монотонна и

непрерывна, имеет строго монотонную и непрерывную обратную функцию

⇒arcsinx y= , [ ]1,1y ∈ − .

После переобозначения имеем arcsiny x= .

1.3.6. Непрерывность сложной функции Функции, полученные в результате суперпозиции двух или большего числа функций, называются сложными: Пусть: 1) φ( )x t= задана на множестве { }t и имеет множество значений { }x ;

2) задана на множестве ( )y f x= { }x . Тогда на множестве { }t задана сложная функция ( )y f x= , где φ( )x t= или

,[ ]( ) φ( )y F t f t= = x - промежуточный аргумент, - независимая переменная. tПРИМЕР. , siny x= 2x t= , - сложная функция. 2siny = tНепрерывность сложной функции. Если: 1) φ( )x t= непрерывна в точке t a= ,

2) непрерывна в точке ( )y f x= φ( )x b a= = , то [ ]φ( )y f t= непрерывна в точке t a= .

Доказательство: Используя определение предела по Гейне, докажем, что

[ ] [ ]lim φ( ) φ( ) ( )t a

f t f a f→

b= = .

{ }nt a∀ → , { }φ( ) φ( )nt a→ = b

n

(доказано условие 1 определения непрерывности функции в точке), φ( )nx t= , то есть { }nx b→ , { }( ) ( )nf x f→ b (доказано условие 2),

но [ ]( ) φ( )n nf x f t= , то есть { }nt a∀ → , [ ]{ } [ ]φ( ) φ( )nf t f a→ ,

⇒ [ ]φ( )f t непрерывна в точке t a= , что и требовалось доказать.

1). Если исходные функции непрерывны, то в результате их сложения, вычитания, умножения, деления (если знаменатель 0≠ ), взятия обратной и сложной функций получаются непрерывные функции. 2). Для непрерывной в точке 0x функции ( )f x справедливо:

. 0 0

0lim ( ) ( ) (limx x x x

f x f x f x→ →

= = )

Для непрерывных функций переходить к пределу можно под знаком функций:

ПРИМЕР. . 2

25

lim 25

5lim x

xx

xe e e→

→= =

ПРИМЕР. . 0 0

limln(1 sin ) ln(lim(1 sin )) ln(1 0) 0x x

x x→ →

+ = + = + =

51

1.3.7. Свойства функций, непрерывных на отрезке Если ( )f x непрерывна на [ ],a b , то она ограничена на этом отрезке ( M∃ и : m ( )m f x M≤ ≤ [ ],x a b∀ ∈ ).

0

1

2π

ПРИМЕР. π( ) sin , 0,2

f x x ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦,

{ } { }

1, 5, 0,2, 3, 1,

inf ( ) 0, sup ( ) 1.

m m mM M Mm f x M f x

= − = − == = =

= = = =

Требование непрерывности на отрезке является обязательным, так как функция, непрерывная на интервале, может и не быть ограниченной.

ПРИМЕР. 1( )f xx

= непрерывна на интервале(0, 1), но на этом

интервале функция ( )f x не ограничена. Теорема. Если ( )f x непрерывна на [ ],a b , то она достигает наточной верхней и точной нижней граней

( [ ] [ ]1 1 2 2, : ( ) , , : ( )x a b f x M x a b f x m∃ ∈ = ∃ ∈ = ). Доказательство: От противного: если нет точки 1x ( ) f x M x⇒ < ∀ ⇒ ( )f x −

( ) 0M f x− > .

Рассмотрим 1( )( )

F xM f x

=−

, ( )F x - непрерывна на [ ],a b (по

непрерывности сложной функции). Из непрерывности ( )F x следует ее ограниченность на [ ],a b ,

1 1( ) ( )( )

F x B f x MM f x B

= ≤ ⇒ ≤−

− , получили, что

1MB

− - верхняя грань, тогда M - не является точной верхн

Полученное противоречие доказывает теорему.

ПРИМЕР. ( ) sinf x x= , π0,2

x ⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦, π(0) 0, ( ) 1

2m f M f= = = = .

ПРИМЕР. ( )f x x= , , [ ]1,1x∈ − 0, 1m M= = . 1). Для интервалов ( ),a b и полуинтервалов [ ),a b или справедлива.

( ],a b

52

0 1

нем своих

0M < или

теореме о

ей гранью.

теорема не

ПРИМЕР. . , (0,1)y x x= ∈Значения 0m = и 1M = - не достигаются для (0,1)x∈ . 2). Для ( )f x , непрерывной на [ ],a b , m и M можно назвать наименьшим и наибольшим значениями функции: max ( ) , min ( ) .f x M f x m= =

Теорема. Если функция ( )y f x= непрерывна на [ ],a b и имеет на концах отрезка значения ( )f a и ( )f b разных знаков, то найдется точка такая, что

ξ ( , )a b∈(ξ) 0f = .

Доказательство: Пусть ( ) 0, ( ) 0f a f b< > . Рассмотрим { } : ( ) 0x f x < , множество { }x ограничено сверху, например, числом b ⇒ { }sup ξx∃ = . Покажем, что

(ξ) 0f = . Если бы (ξ) 0f C= > , тогда по теореме о сохранении знака непрерывной функции существовала бы -окрестность точки δξ : (ξ δ,ξ+δ) ( ) 0x f x∀ ∈ − ⇒ > , но тогда не являлась бы точной верхней гранью

ξ{ }sup x , где ( ) 0f x < . Аналогично для (ξ) 0f C= < , остается

(ξ) 0f = , что и требовалось доказать.

Теорема. (О прохождении непрерывной функции через любое

промежуточное значение). Если функция y= ( )f x - непрерывна на [ ],a b , имеет на концах отрезка значения ( ) , ( )f a A f b B= = и число С расположено между числами А и В : A C B< < , то найдется точка ξ ( , )a b∈ , такая, что (ξ)f C= .

Доказательство: Пусть A C B< < . Рассмотрим функцию ( ) ( ) ( ) ( ) 0, ( ) 0F x f x C F a f a C A C F b= − ⇒ = − = − < > .

( )F x - непрерывна на [ ],a b . По предыдущей теореме ξ ( , )a b∃ ∈ : (ξ) 0 (ξ) 0F f C= ⇒ − = ⇒ (ξ)f C= , что и требовалось доказать.

Теорема применяется для отыскания корней уравнения вида ( ) 0F x = методом половинного деления отрезка.

ПРИМЕР. Имеет ли уравнение sin 1 0x x− + = корень? Рассмотрим функцию ( ) sin 1f x x x= − + , которая непрерывна на всей числовой оси, поскольку является суммой непрерывных функций.

53

(0) 1 0f = > , (2π)=-2π+1<0f . Следовательно, внутри отрезка [ ]0,2π имеется, по крайней мере, один корень исходного уравнения.

ПРИМЕР. Принимает ли функция 3

( ) sin π 34xf x x= − + значение 12

3 внутри

отрезка [ ]2,2− ? Функция является непрерывной на [ ]2,2− . На концах отрезка функция принимает числовые значения ( 2) 1f − = , (2) 5f = .

Так как 11 2 то ∃ ∈ такая, что 5,3

< < )(ξ -2,2 1(ξ) 23

f = .

1.3.8. Точки разрыва и их классификация Точка x0, в которой функция ( )y f x= обладает свойством непрерывности,

называется точкой непрерывности функции, в противоположном случае точка x0 называется точкой разрыва функции.

Для классификации точек разрыва удобно использовать третье определение непрерывности.

Если односторонние пределы существуют, причем

0 00 0lim ( ) lim ( ),

x x x xf x f

→ − → += x а

функция не определена в точке x( )y f x= 0, или 0

0lim ( ) ( ),x x

f x f x→

≠ то точка x0

называется точкой устранимого разрыва.

Устранимый разрыв можно устранить, вводя функцию

0

0

10

( ), , ( ) lim ( ), .

x x

f x x xf x f x x x

→

≠⎧⎪= ⎨ =⎪⎩

ПРИМЕР.

2 4 , 2,( ) 25, 2.

x xf x xx

⎧ −≠⎪= −⎨

⎪ =⎩

0

2

2

4

5

Точка 2x = - точка устранимого разрыва, поскольку ,

2 0 2 0lim ( ) lim ( ) 4

x xf x f x

→ + → −= = (2) 5 4f = ≠ .

Устраним разрыв:

2

1

4 , 2,( ) 24 2.

x xf x xx

⎧ −≠⎪= −⎨

⎪ =⎩

Функция 1( )f x непрерывна всюду.

54

Если: 1) 0x – точка разрыва ( )f x ,

2) существуют конечные пределы справа и слева:

0 00 0lim ( ), lim ( )

x x x xf x f

→ + → −∃ ∃ x ,

3) 0 00 0

lim ( ) lim ( ),x x x x

f x f→ + → −

≠ x

то точка x0 называется точкой разрыва первого рода (неустранимый конечный скачок).

ПРИМЕР. 11( )

1 2 x

y f x= =+

, 0x = - точка разрыва ( )f x .

10 0

1

01 1lim 0

1 22

xx

x

x

x→ +

→ +

= → +∞ =+

→ +∞

, 10 0

1

01 1lim 1

1 22 0

xx

x

x

x→ −

→ −

= → −∞ =+

→

.

0x = - точка разрыва первого рода.

Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен, то точка 0x называется точкой разрыва 2-го рода.

ПРИМЕР. 1( )f xx

= , 0x = - точка разрыва второго рода; так

как 0

limx→ +

f x = +∞ , ( )0

lim ( )x

f x→ −

= −∞ .

55

0

1.4. Задачи на вычисление пределов с решениями

Задача. Доказать, что (указать ), lim nna

→∞= a εN

3

3

2 ,2n

nan

=−

2.a =

Решение 3

3 3 3

2 4 42 ,2 2 2n

na an n n

− = − = =− − −

потребуем, чтобы ε,na a− < то есть чтобы выполнялось неравенство

3

4 ε.2n<

−

Разрешим это неравенство относительно :n3 3

4 42 2ε ε

n n− > ⇒ > + .

Положим 3ε

4 2 1ε

N⎡ ⎤

= + +⎢ ⎥⎣ ⎦

, где [ ]x - целая часть числа x , то есть выберем в

качестве первое по величине натуральное число, которое превосходит εNвещественное число x , или равно ему, если это вещественное число x является целым. Докажем теперь, что для последовательности по определению предела naпоследовательности число будет являться пределом, то есть докажем aутверждение:

( ) ε εlim ε 0 : εn nna a N n N a a

→∞= ⇔∀ > ∃ ∀ > ⇒ − < .

Действительно, 1). возьмем произвольное 0,ε >

2). тогда существует номер (выберем εN 3ε

4 2 1ε

N⎡ ⎤

= + +⎢ ⎥⎣ ⎦

),

3). возьмем произвольный номер , εn N>

4). тогда 3

3 3

2 42 ε,2 2n

na an n

− = − = <− −

что и требовалось доказать.

Задача. Вычислить предел числовой последовательности

( ) ( )2 2

2

2 1 1lim .

1n

n nn n→∞

+ − ++ +

Решение Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и произведем деление числителя и знаменателя получившейся дроби на - наибольшую степень . 2n n

56

( ) ( )2 2 2

2 2

2

232 1 1 3 2lim lim lim 3.1 11 1 1n n n

n n n n nn n n n

n n→∞ →∞ →∞

++ − + += = =

+ + + + + +

Ответ: 3. Задача. Вычислить предел числовой последовательности

( )1056

334

32 1lim .1n

n n nn n n→∞

+ +

+ −

Решение Произведем деление числителя и знаменателя получившейся дроби на 2n - наибольшую степень . n

( ) ( )

5 / 6 51056 10

3343/ 4 3

3

13232 1lim lim 2.11 1 1

n n

nn n n nn n n n

n

−

→∞ →∞−

+ ++ += =

+ − + −


( )( )2 4 6 35 2 3 5lim .n

n n n n

n→∞

+ + − − +

Решение

( )( )2 4 6 35 2 3 5limn

n n n n

n→∞

+ + − − +=

домножим на сопряженное= =

( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )

2 4 6 3 2 4 6 3

2 4 6 3

5 2 3 5 5 2 3 5lim

5 2 3 5n

n n n n n n n n

n n n n n→∞

+ + − − + ⋅ + + + − += =

+ + + − +

воспользуемся формулой разности квадратов= = ( )( ) ( )( )( )( )

2 4 6 3

2 4 6 3

5 2 3 5lim

5 2 3 5n

n n n n

n n n n n→∞

+ + − − += =

+ + + − +

приведем подобные= =

( ) ( )( )

6 4 2 6 3

6 4 2 6 3

5 2 10 3 5lim

5 2 10 3 5n

n n n n n

n n n n n n→∞

+ + + − − += =

+ + + + − +

( )4 3 2

6 4 2 6 3

5 3 2 5lim5 2 10 3 5n

n n n

n n n n n n→∞

+ + += =

+ + + + − +

4делим на старшую степень n= =

57

2 4

62 4 6 3

3 2 55 5lim .25 2 10 31 1 5

n

n n n

nn n n n

→∞

+ + += =

⎛ ⎞+ + + + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Ответ: 52

.

Задача. Вычислить предел числовой последовательности ( )( ) ( )

! 2 !lim .

1 ! 2 !n

n nn n→∞

+ +− + +

Решение ( )

( ) ( )( )( )( )

( ) ( )( )( )! 1 1 2! 2 !

lim lim1 ! 2 ! 1 ! 1 1 2n n

n n nn nn n n n n n→∞ →∞

⋅ + + ++ += =

− + + − ⋅ + + +

( )2 3 2

3 2 3 2

1 3 2 3 3lim lim 1.1 3 2 3 2 1n n

n n n n n nn n n n n n→∞ →∞

+ + + + += = =

+ + + + + +


2 4 ... 2lim .3n

n nn→∞

+ + +⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠

Решение Числитель дроби представляет собой сумму первых членов nарифметической прогрессии, которая равна

( )1 2 2 1 ,2 2

nn

a a nS n n n n+ += ⋅ = ⋅ = + поэтому

2 4 ... 2 (1 ) 2lim lim lim 2.3 3 3n n n

n n n nn nn n n→∞ →∞ →∞

+ + + + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ответ: -2. Задача. Вычислить предел числовой последовательности

1 22

2

4 4 1lim .4 2 3

n

n

n nn n

−

→∞

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

Решение 1 22

2

4 4 1lim 14 2 3

n

n

n nn n

−

∞

→∞

⎛ ⎞+ − ⎡ ⎤= =⎜ ⎟ ⎣ ⎦+ +⎝ ⎠

выделим единицу в основании степени

=

1 2 1 22

2 2

4 4 1 2 4lim 1 1 lim 14 2 3 4 2 3

n n

n n

n n nn n n n

− −

→∞ →∞

⎛ ⎞⎛ ⎞+ − −⎛ ⎞= + − = + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

( )2

24 2 3 2 4 1 2

2 4 4 2 3

2

2 4lim 14 2 3

n n n nn n n

n

nn n

+ + −⋅ −

− + +

→∞

−⎛ ⎞= + =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

58

( )2 22 4 1 2

4 2 3 4 2 32 4

2

2 4lim 14 2 3

n nn n n n

n

n

nn n

−⋅ −

+ + + +−

→∞

⎛ ⎞−⎛ ⎞⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

по второму замечательному пределу основание степени равно числу e

= =( )2

2 4 1 24 2 3lim

n nn n

ne

−⋅ −

+ +

→∞= =

ниже будет доказано, что в силу свойств функции (непрерывность функции) это выражение можнозаписать в виде

xe= =

( )22 4lim 1 2 14 2 3 .n

n nn ne e→∞

−⋅ −

−+ += =

Ответ: 1 .e

Задача. Доказать (найти ), что εδ2

1/ 3

15 2 1lim 8.1/3x

x xx→

− −=

−

Решение Определение предела функции имеет вид:

( )limx a

b f→

= ⇔x 0ε∀ > εδ 0∃ > x X∀ ∈ ( ) ( )( )ε0 δ εx a f x b< − < ⇒ − < .

( )215 2 1 8 15 3 8 15 5 5 1/3

1/3x xf x b x x xx− −

− = − = + − = − = −−

.

1). Возьмем произвольное ε 0.>

2). Положим εεδ = .5

3). Возьмем x X∀ ∈ . Тогда если ( )ε0 δx a< − < то

( ) ( )( )ε0 δ εx a f x b< − < ⇒ − < , что и требовалось доказать.

Задача. Доказать, что функция ( )f x непрерывна в точке 0x (найти ), если εδ( ) 2

05 5, 8.f x x x= + = Решение По определению непрерывности требуется доказать, что

( ) 2

8lim 5 8 5 325.x

f x→

= ⋅ + =

По определению предела требуется доказать, что ( )lim

x ab f

→= x ⇔ ε 0∀ > εδ 0∃ > x X∀ ∈ ( ) ( )( )ε0 δ εx a f x b< − < ⇒ − < .

1). Возьмем произвольное ε 0.>2). Так как ( ) 2 2 25 5 325 5 320 5 64 5 8 8 .f x b x x x x x− = + − = − = − = − ⋅ + Положим

εεδ min 1, .

45⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭

( )ε0 δx a< − <3). Возьмем x X∀ ∈ . Тогда если то

59

( ) 5 8 8 5 9 ε,f x b x x εδ− = − ⋅ + < ⋅ < что и требовалось доказать. Задача. Вычислить предел функции

3 2

3 23

4 3 18lim .5 3 9x

x x xx x x→

− − +− + +

Решение 3 2

3 23

4 3 18lim5 3 9x

x x xx x x→

− − +=

− + + 3

27 8 9 9 18 0lim27 5 9 9 9 0x→

⎛ ⎞− ⋅ − + ⎡ ⎤⎜ ⎟= =⎢ ⎥⎜ ⎟− ⋅ + + ⎣ ⎦⎝ ⎠

2

23

3 8 3 27 24 3 0lim3 10 3 27 30 3 0x

x xx x→

− − ⎛ − − ⎞⎡ ⎤= = ⎜ ⎟= =⎢ ⎥− + − + ⎣ ⎦⎝ ⎠ 3

6 8lim6 10x

xx→

−=

−. 18 8 10 5

18 10 8 4−

= = =−

Ответ: 54

.

Задача. Вычислить предел функции 233

13 2 1m .9x

x xx→

+ − +

−li

Решение

233

13 2 1 0lim09x

x xx→

+ − + ⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦− ( ) 2 / 33 2

1 22 13 2 1lim 1 9 2

3x

x x

x x−→

−+ + =− ⋅

( )2

3

1 1 92 16 4lim 2 3

3x

x

→

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠= =

⋅0.

Ответ: 0. Задача. Вычислить предел функции

( )0

sin 2lim .1 cos 3πx

x xx→

⋅+ −

Решение

( )0

sin 2 0lim1 cos 3π 0x

x xx→

⋅ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥+ − ⎣ ⎦ ( )0

1sin 2 cos2 02limsin 3π 0x

x x x

x→

+ ⋅ ⋅ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥− − ⎣ ⎦

( )0

cos2 2 2 4lim 4cos 3π 1x

xx→

⋅ += =

− −= .

Ответ: 4.

Задача. Вычислить предел функции 2π

cos3 coslim .tg 2x

x xx→

−

60

Решение

2π

cos3 cos 0limtg 2 0x

x xx→

− ⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦ π

2

sin3 3 sin 0lim 1 02tg2 2cos 2

x

x x

xx

→

− ⋅ + ⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦⋅ ⋅

π

2

cos3 9 cos 8lim 11 84 2cos 2

x

x x

x→

⋅ −= − = =

⋅ ⋅.

Ответ: 1.

Задача. Вычислить предел функции

2

sin 1π

sinπm .

2 2xx

x

+→li

−

Решение 2

sin 1π

sin 0πlim02 2xx

x

+→

⎡ ⎤= =⎢ ⎥− ⎣ ⎦

2

π sin 1

1cos 2 2π πlim 1 ln 22 ln 2 cos2 sin 1

x x

x x

xx

→ +

⋅ ⋅=

⋅ ⋅+

.

Ответ: 2ln 2

.

Задача. Вычислить предел функции 3 5

0

2 3lim .sin 7 2

x x

x x x→

−−

Решение

3 5

0

2 3 0msin 7 2 0

x x

x x x→

− ⎡ ⎤= =⎢ ⎥− ⎣ ⎦li

3 5

0

2 ln 2 3 3 ln 3 5lim7 cos 7 2

x x

x x→

⋅ − ⋅=

−3ln 2 5ln 3.

5−

Ответ: 3ln 2 5ln 3.5−

Задача. Вычислить предел функции ( )21lim .

sin 1

x

x

e ex→

−−

Решение

( )21

0lim0sin 1

x

x

e ex→

− ⎡ ⎤= =⎢ ⎥− ⎣ ⎦ ( )21lim .

2cos 1 2

x

x

e ex x→

=− ⋅

Ответ: .2e


12 sin

20

1 2lim .1 5

x x

xx

xx→

⎛ ⎞+⎜ ⎟+⎝ ⎠

Решение 61

31

2 sin

20

1 2lim 11 5

x x

xx

xx

∞

→

⎛ ⎞+ ⎡ ⎤= =⎜ ⎟ ⎣ ⎦+⎝ ⎠

31

2 sin

20

1 2lim 1 11 5

x x

xx

xx→

⎛ ⎞⎛ ⎞++ −⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠

=

31

2 2 sin

20

1 2 1 5lim 11 5

x x x

xx

x xx→

⎛ ⎞+ − −= + =

( )⎜ ⎟+⎝ ⎠

31

2 sin

20

2 5lim 1

1 5

x x x

xx

xx→

⎛ ⎞−⎜ ⎟+ =⎜ ⎟+⎝ ⎠

( )2

2 30

2 5 1lim1 5 sin 0

0

x x

xx

x

x xe →

−

+ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦

( )ln 2 ln 5 2 .5

e −= =

Ответ: 2 .5


13 2

30

4lim .9

x

x

xx

+

→

⎛ ⎞+⎜ ⎟+⎝ ⎠

Решение 1

3 2

30

4 4 2lim .9 9 3

x

x

xx

+

→

⎛ ⎞+= =⎜ ⎟+⎝ ⎠

Ответ: 2 .3


( )( )

ln 3 2ln 2

1

2 1lim .

xx

x

xx

+−

→

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Решение ( )( )

ln 3 2ln 2

1

2 1lim 1

xx

x

xx

+− ∞

→

−⎛ ⎞ ⎡ ⎤= =⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

( ) ( )ln 3 2 / ln 2

1

2 1lim lnx x

x

xxe

+ −

→

⎡ − ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ =

( )( )1

ln 3 2 2 1lim lnln 2 0

0x

x xx xe →

+ −⎛ ⎞⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦

( )1

2 1lnln 5 lim

ln 2 00

x

xx

xe →

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦⋅

− ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥⎣ ⎦

( )

( )

2

1

2 2 12 1ln 5 lim 1 1

2x

x xxx x

xe→

⋅ − −⋅

−⋅−

−= =21

1 1ln 5 lim lnln 5 5 1 .5

x xe e e→

−⎡ ⎤⋅ ⎢ ⎥ −⎣ ⎦= = = =

Ответ: 1 .5


1lim .

1

xx

x

e ex

+

→

⎛ ⎞−⎜ ⎟−⎝ ⎠

62

Решение 12 2

1

0lim1 0

xx

x

e ex

+

→

⎛ ⎞− ⎡ ⎤= =⎜ ⎟ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎝ ⎠

2 2 2 2

1 1lim lim

1 1

x x

x x

e e e ex x→ →

− −⋅ =

− −

( )22 42 4 .e e= ⋅ =2 2

1 1lim 2 lim 2x x

x xe e

→ →= ⋅ ⋅ ⋅

Ответ: . 44e

Задача. Вычислить предел последовательности 2 233 1 2 1lim .

2sinn

n n nn n→∞

+ − + ++

Решение

2 233 1 2 1lim2sinn

n n nn n→∞

+ − + +=

+

2 233 1 2 1

lim 2sin1n

n n nn n

nn

→∞

+ − ++=

+

32 3

3 1 2 11lim 1

1n

n n n n→∞

+ − + += = .

Ответ: 1.

Задача. Вычислить предел

3 2

3 23

4 3 18lim .5 3 9x

x x xx x x→

− − +− + +

Решение 3 2

3 23

4 3 18lim5 3 9x

x x xx x x→

⎡ ⎤− − + ⎢ ⎥=⎢ ⎥− + + ⎣ ⎦00

=

Так как число 3 является корнем числителя и знаменателя, поделим числитель и знаменатель на 3.x−

3 2

3 2 2

2

2

4 3 18 3

3 63

36 18

6 180

x x x x

x x x xx x

x xx

x

− − + −

− − −− −

− +− +

− +

3 2

3 2 2

2

2

5 3 9 3

3 2 32 3

2 6

3 9

3 90

x x x x

x x x xx x

x x

x

x

− + + −

− − −− +

− +

− +

− +

( )( )( )( )

( )( )

23 2

3 2 23 3

2

23

3 64 3 18 0lim lim5 3 9 0 3 2 3

6 0lim ;02 3

x x

x

x x xx x xx x x x x x

x x

x x

→ →

→

− − −⎡ ⎤− − + ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥− + + − − −⎣ ⎦

− − ⎡ ⎤⎢ ⎥= =⎢ ⎥− − ⎣ ⎦

=

63

{= найдем корни квадратных трехчленов }= ( )( )( )( )

( )( )3 3

3 2 2 5lim lim .3 1 1x x

x x xx x x→ →

− + += =

− + + 4=

Ответ: 5 .4

Задача. Вычислить предел 233

13 2 1lim .9x

x xx→

+ − +−

Решение

233

13 2 1 0lim09x

x xx→

⎡ ⎤+ − + ⎢ ⎥= = {⎢ ⎥− ⎣ ⎦

домножим на сопряженное

числителю }=( )

( )( )

( )( )233 3 3

13 4 1 3 31lim lim 0.8 3 313 2 1 9x x

x x xx xx x x→ →

+ − + − −= =

− ++ + + −

Ответ: 0.

Задача. Вычислить предел ( )0

sin 2lim .1 cos 3πx

x xx→ + −

Решение

( )0 0 0 2

sin 2 sin 2 sin 2lim lim lim1 cos 3π 1 cos 2sin

2x x x

x x x x x xxx x→ → →

= =+ − −

= 20

2lim 4.2

2

x

x xx→

⋅ =⎛ ⎞⎟⎜⋅ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Ответ: 4.

Задача. Вычислить предел 2π

cos3 coslim .tg 2x

x xx→

−

Решение ( ) ( )

( )2 2π π

π cos 3 3π cos πcos3 coslim limt 0tg 2 tg 2 2πx x

x t t tx xx t→ →

= + + − +− = =→ +

=

( ) ( )2 20 0

1 cos3 cos 1cos3 coslim limtg 2 tg 2t t

t tt tt t→ →

− + −− += = =

2 22 2

2 20 0

3 92sin 2sin 2 22 2 4 4lim lim 1.tg 2 4t t

t t t t

t t→ →

− −= = =

Ответ: 1.

64


2

π sin 1

sinπlim .

2 2x x

x

→ + −

Решение ( )

( )

22

π 0sin +1 -sin 1 1

πsin sinππ πlim lim

t 02 2 2 2 1x tx t

txx t

−→ → +

+= +

= =→− −

=

( ) ( )

2 2 2

0 0sin +1 1

π 2πsin sin π+2π π

lim limsin +1 1 2ln 22 2 1t tt

t t tt

t−→ →−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ⎟ ⎟⎜ ⎜ +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =− −−

=

2 2

0 0

sin 2 2π 2πlim lim .sin ln 2 ln 2-2 ln 22

t t

t tt t

t t→ →

⎛ ⎞⎟⎜− + ⎟⎜ +⎟⎜ ⎟⎝ ⎠= = =⋅⋅

Ответ: 2 .ln 2


3 5

0

2 3lim .sin 7 2

x x

x x x→

−−

Решение ( ) ( )3 53 5

0 0 0

2 1 3 12 3 3 ln 2 5 ln3lim lim limsin 7 2 sin 7 2 7 2

x xx x

x x x

x xx x x x x x→ → →

− − −− −= = =−− −

3ln 2 5ln3.5−

Ответ: 3ln 2 5ln3.5−

Задача. Вычислить предел ( )21lim .

sin 1

x

x

e ex→

−−

Решение

( ) ( )( )1

2 21 1

1lim lim

0sin 1 sin 1 1

x t

x x

x te e e etx t

+

→ →

= +− −= =→− + −

(

=

)( ) ( )20 0

1lim lim .

2 2sin 2

t

t t

e e et et tt t→ →

−= = =

++

Ответ: .2e

65

Задача. Вычислить предел 22

20

1sin1 2lim .

1 5

x

xx

xxx→

⎛ ⎞+ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ +⎝ ⎠

Решение 222 2

2 20 0

11sinsin1 2 1 2lim lim 1 1

1 5 1 5

x x

x xx x

xxx xx x→ →

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ⎟⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟= + − =⎟ ⎟⎜⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( ) ( ) ( )( )22

2 222 2

2 20 0

2 51 1 5sin 1 5 sin2 52 5 2 5

lim 1 lim 11 5 1 5

x x

xx xx x x x

x xx x

xxx xxx x

x x

⋅ ⋅

→ →

−++−⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜= + = +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜+ +⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

21

x=

( ) ( ) ( )2 2

2 2 2 2 20 0

0

2 5 2 5 2 51 1lim lim1 5 sin 1 5 sin 1 5lim

x x x x x x

x x x

−+ =

( )x x

x

x x

x x x x xe e e→ →⋅ ⋅

→

− −+ += = = 20 0

ln 2 ln5lim

1 5 1.xx

xxe e→

−+ = =

Ответ: 1.


3

30

124lim .

9x

xxx→

+⎛ ⎞+ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ +⎝ ⎠

Решение 1/ 23

30 0

124 4lim lim .

9 9x x

xxx→ →

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⎟⎜ ⎟⎜= =⎟⎜ ⎟⎜⎟ ⎟⎜⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠+⎝ ⎠23

Ответ: 2 .3


( )( )

1

ln 3 2ln 22 1lim .

x

xxx

x→

+−⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Решение ( )( ) ( )

( )( )( )( )

1 0

ln 3 2 1ln 3 2ln 2 1ln 2 1 2 1 12 1lim 1 lim

0 1x t

txtx x t tx

tx t∞

→ →

+ ++− +− ⎛ ⎞= +⎛ ⎞ + −− ⎟⎜⎟ ⎡ ⎤⎜ ⎟= = = ⎜⎟⎜ ⎢ ⎥ ⎟⎣ ⎦⎟⎜ ⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ → +⎝ ⎠

=

( )( )

( )( )

0 0

ln 2 5 ln 2 5ln 1 ln 11 2lim lim 1

1 1t t

t tt tt t

t t→ →

+ +− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⎟ ⎟⎜ ⎜= = +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ +

=

( )( )

( )( )

0 0

ln 2 5 ln 2 51ln 1 ln 11 1

lim 1 lim1t t

t ttt t t

t tt tt e

t

⋅ ⋅

→ →

⋅+ ++− −+ +⎛ ⎞⎟⎜= + =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+

=

66

( )( )

( )0 0

2ln 5 ln 1ln 2 5 5lim limln 1 ln51 1 1 .5

t t

tt

tt tt tte e e

→ →

⎛ ⎞⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠⋅ ⋅

+ ++− −+ −+= = = =

Ответ: 1.5


12

1lim .

1

xx

x

e ex

+

→

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ −⎝ ⎠

Решение

( ) 21 2 2 22 2 2 2

1 0 0

11lim lim lim

01

tx t tx t

x t t

e ex te e e etx t

++ ++

→ → →

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −= + ⎟− − ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜= = =⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜→− ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜⎝ ⎠t=

24

0

22lim 4 .

t

te t e

t→

+⎛ ⎞⋅ ⎟⎜= =⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Ответ: . 44 .e


2 233 1 2 1lim .2sinn

n n nn n→∞

+ − + ++

Решение

32 23 2 33 1 2 113 1 2 1lim lim 1.2sin2sin 1

n n

n n n n n n nnn n

n→∞ →∞

+ − + ++ − + + = =+ +

Ответ: 1.

67

1.5. Задания для самостоятельной работы Вариант 1

1.1. Доказать, что (указать ), lim nna

→∞= a εN 3 2 3, .

2 1 2nna an−

= =−

Вычислить пределы числовых последовательностей:

2.1. ( ) ( )( ) ( )

2 2

2

3 3lim ,

3 3n

n nn n→∞

− + +

− − + 2 3.1.( )

2 83 4

2

5 9 1lim ,7n

n n nn n n n→∞

+ +

+ − +

4.1. ( )2 2lim 1 1 ,n

n n n→∞

+ + − 5.1. 2 2 2 2

1 2 3 1lim ... ,n

nn n n n→∞

−⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

6.1. 1lim .1

n

n

nn→∞

+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

7.1. Доказать (найти ), что εδ2

3

2 5 3lim 7.3x

x xx→−

+ −= −

+

8.1. Доказать, что функция ( )f x непрерывна в точке 0x (найти ),

εδ( ) 2

05 1,f x x x= − = 6.

Вычислить пределы функций:

9.1.( )( )3

4 21

2 1 1lim ,

4 5x

x x xx x→−

− − +

+ − 10.1.

4

1 2 3lim ,2x

xx→

+ −−

11.1. ( )( )( )0

ln 1 sinlim ,

sin 4 πx

xx→

+−

12.1. 2

1

1lim ,lnx

xx→

−

13.1. 2cos

π / 2

2lim ,lnsin

x

x

1x→

− 14.1. 2 3

0

7 5lim ,2 arctg3

x x

x x x→

−−

15.1. 20

2lim ,sin

x x

x

e ex

−

→

+ − 16.1. ( )( ) ( )23 /3

0lim 1 ln 1 ,

x arctgx

xx

→− +

17.1. 1

0

sin 2lim ,x

x

xx

+

→

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

18.1. ( )31/ 1

1

3 1lim ,1

x

x

xx

−

→

−⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

19.1. πsin2ln 1lim .

xe

x e

xx e→

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

20.1. ( )0

lim 4cos3 arctg 1/ .x

x x x→

+

68

Вариант 2 1.2. Доказать, что (указать ), lim nn

a→∞

= a εN

4 1, 22 1n

na an

.−= =

+


2.2. ( ) ( )( ) ( )

4 4

4

3 2lim ,

1 1n

n nn n→∞

− + −

− − + 4 3.2.2

3 53 4

1 1lim ,3 3 1n

n nn n→∞

− − +

+ + +

4.2. ( )( )2lim 2 3 ,n

n n n n→∞

− + − 5.2. ( ) ( )( )

2 1 ! 2 2 !lim ,

2 3 !n

n nn→∞

+ + ++

6.2. 12 3lim .

2 1

n

n

nn

+

→∞

+⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠


1

5 4 1lim 6.1x

x xx→

− −=

−


εδ( ) 2

04 2,f x x x= − = 5.


9.2.3

21

3 2lim ,x

x xx x→−

− −+

10.2. 38

1 3lim ,2x

xx→−

− −+

11.2. ( )( )

20

1 cos 10lim ,

1xx

x

e

π→

− +

− 12.2.

2

1

1 1lim ,lnx

x xx→

− + −

13.2. ( )2

sin π 3π1/ 2

2 1lim ,x xx

xe e−→

−−

14.2. 3 2

0lim ,

2arcsin sin

x x

x

e ex x

−

→

−−

15.2. 20

1 sin cos2lim ,sinx

x xx→

+ − x 16.2. ( )1/

0lim cos ,

x

xx

→

17.2. 0

2lim ,3

x

x

xx→

+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

18.2. ( )1/sinlim ,

sin

x a

x a

xa

−

→

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

19.2. ( )ctg

π / 4lim tg .x

xx

→ 20.2. ( )

π / 2lim 3sin 2 π sin .

2 πx

xx xx→

+ −−

69

Вариант 3


→∞= a εN 7 4 7, .

2 1 2nna an+

= =+


2.3. ( ) ( )( ) ( )

4 4

3

3 2lim ,

1 1n

n nn n→∞

− − −

− − + 3 3.3.3

33

1 1lim ,1 1n

n nn n→∞

+ − −

+ − −

4.3. ( )33lim 5 ,n

n n n n→∞

− − 6.3. 4

2

2

1lim ,n

n

nn→∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

5.3. ( )1 3 5 7 ... 2 1 2 1lim .1 2n

n nn→∞

+ + + + + −⎛ ⎞+−⎜ ⎟+⎝ ⎠


2

3 5 2lim 7.2x

x xx→−

+ −= −

+


εδ( ) 2

03 3,f x x x= − = 4.


9.3.( )22

3 21

3 2lim ,

2 2x

x xx x x→−

+ +

+ − − 10.3.

231

1lim ,1x

xx→

−

−

11.3. 2

0

3 5lim ,sin3x

x xx→

− 12.3. 2π

1 cos3lim ,sin 7x

xx→

+

13.3. ( )

( ) ( )( )3

2

ln 2 3lim ,

sin π / 2 sin 1 πx

x x

x x→

− −

− − 14.3.

2 2

0

6 7lim ,sin3 2

x x

x x x

−

→

−−

15.3. ( )3

1

1lim ,sin 1x

xx→−

++

16.3. 21/

0

1 2lim ,1 3

xx

xx

xx→

⎛ ⎞+⎜ ⎟+⎝ ⎠

17.3. ( )2 / 2

0

sin 4lim ,x

x

xx

+

→

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

18.3. ( )31/ 1

1

2 1lim ,x

x

xx

−

→

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

19.3. ( )1/ π / 4

π / 4

ln tglim .1 ctg

x

x

xx

+

→

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

20.3. 33

2 sinlim .7x

x xx x→∞

−

− −

70

Вариант 4 1.4. Доказать, что (указать ), lim nn

a→∞

= a εN

2 5 2, .3 1 3nna an−

= =+


2.4. ( ) ( )( ) ( )

4 4

3

1 1lim ,

1 1n

n nn n→∞

− − +

+ − − 3 3.4.2 33

124

1 7lim ,1n

n nn n n→∞

− +

+ + −

4.4. ( )( )2 2 4lim 1 4 9 ,n

n n n→∞

⎡ ⎤+ − − −⎢ ⎥⎣ ⎦ 5.4.

1 12 3lim ,2 3

n n

n nn

+ +

→∞

++

6.4. 21lim .

3

n

n

nn

+

→∞

−⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠


3

4 14 6lim 10.3x

x xx→

− +=

−


εδ( ) 2

02 4,f x x x= − = 3.


9.4. ( )22

3 21

2 1lim ,

2 2x

x xx x x→

− −

+ − − 10.4. 23

13 2 1lim ,9x

x xx→

+ − +−

11.4. 0

1 cos2lim ,cos7 cos3x

xx x→

−−

12.4. ( )2π / 4

1 sin 2lim ,π 4x

xx→

−−

13.4. ( )2

tg tg2lim ,sin ln 1x

xx→

−−

14.4. 5 3

0lim ,

sin 2 sin

x x

x

e ex x→

−−

15.4. tg tglim ,ln lnx a

x ax a→

−−

16.4. ( )2 2 / sinarctg

0lim 2 3 ,

xx

x→−

17.4. ( )2cos π / 43

0

1lim ,xx

x

ex

+

→

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

18.4. ( )1/ 2

2

coslim ,cos2

x

x

x −

→

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

19.4. ( ) ( )3/ 1

2lim sin ,x

xx +

→ 20.4. ( ) (

( ))

0

tg cos 1/ lg 2lim .

lg 4x

x x xx→

⋅ + ++

71

Вариант 5


→∞= a εN 7 1, 7

1nna a

n.−

= =+

Вычислить предел числовых последовательностей:

2.5. ( ) ( )( ) ( )

2 2

2

6 6lim ,

6 1n

n nn n→∞

− − +

+ − − 2 3.5.33

3

3 1 125lim ,n

n nn n→∞

n− − +−

4.5. ( )5 28 5

lim ,n

n n n n

n→∞

− − + 5.5.

4

1 2 3 ...lim ,9 1n

nn→∞

+ + + +

+

6.5. 2

2

2

2 2lim .2 1

n

n

nn→∞

⎛ ⎞+⎜ ⎟+⎝ ⎠


1/ 2

6 1lim 5.1/ 2x

x xx→−

+ −= −

+


εδ( ) 2

02 5,f x x x= − − = 2.


9.5.( )22

3 23

2 3lim ,

4 3x

x xx x x→−

+ −

+ + 10.5.

3

32

6 2lim ,8x

xx→−

− +

+

11.5. ( )( )0

4lim ,tg π 2x

xx→ +

12.5. ( )( )21

1 cos πlim ,

tg πx

xx→

+

13.5. tg2 sin 2

π / 2lim ,

sin 1

x x

x

e ex

−

→

−−

14.5. 2 3

30

3 5lim ,arctg

x x

x x x→

−+

15.5. 30

1 tg 1 sinlim ,x

x xx→

+ − + 16.5.

3ctg

0

1 sin cosαlim ,1 sin cosβ

x

x

x xx x→

⎛ ⎞+⎜ ⎟+⎝ ⎠

17.5. ( )3

0lim cos ,x

xx +

→ 18.5.

( )31/ 2

8

2 7lim ,1

x

x

xx

−

→

−⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

19.5. ( )2sin 2

2

sin3πlim .sin π

x

x

xx

−

→

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

20.5. ( )

1/2sin cos

1lim .1 cos 1/

x

x

xe xx

x→∞

+ ⋅+

+

72

1.6. Ответы Варианты Номер

задачи 1 2 3 4 5 1 1 1 1

4ε 2⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎣ ⎦

3 1 12ε 2

⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 1 1

4ε 2⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦

17 1 19ε 3⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦

8 1 1ε⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦

2 ∞− 1/2 2 -4 -12/7 3 3 0 ∞ 7 5 4 ∞ ∞− 0 -3/2 -5/2 5 1/2 0 -3/2 3 1/6 6 2e e 0 4−e e 7 ε 2 ε 5 ε 3 ε 4 ε 6 8 См. дальше 9 0 0 0 0 0 10 4/3 -2 0 -1/16 1/144 11 1/4 50 -5/3 -1/10 4 π 12 2 1/2 9/98 1/8 1/2 13 -2 ln2

2

1πe

23π

2cos1

2 0

14 3 ln5-2 ln7 5 2 ln6+2 ln7 2 2 ln 3-3 ln5 15 1 3 3 2a cos a 1/4 16 3−e 2/1−e 2/3 1/9 2 2β α

2e−

17 2 1 4 3 1 18 3e ctgae 3e ctg2e 3/4e 19 1/e 1 1 sin2 1 20 2 3 -2 1/2 1/2

Ответы к задаче 8 8.1 ε εmin 6 36 ; 36 6

5 5⎛ ⎞

− − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

8.2 ε εmin 5 25 ; 25 54 4

⎛ ⎞− − + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

8.3 ε εmin 4 16 ; 16 43 3

⎛ ⎞− − + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

8.4 ε εmin 3 9 ; 9 32 2

⎛ ⎞− − + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

8.5 ε εmin 2 4 ; 4 22 2

⎛ ⎞− − + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

73

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

2.1. Производная функции 2.1.1. Основные определения

( ),x a b∈Пусть определена на ( , и )a b( )y f x= - некоторая фиксированная точка, x ( ) (y f x x f x)Δ = + Δ −xΔ - приращение аргумента в точке , -

соответствующее приращение функции, yx

ΔΔ

- отношение приращений (зависит

от xxΔ , - фиксировано).

0limx

yxΔ →

ΔΔ

x( )f xПроизводной функции в точке называется при условии,

что он существует. Обозначение: 0 0

( ) (lim limx x

dy y f x x f xydx x xΔ → Δ →

)Δ + Δ −′ = = =Δ Δ

.

x( )f x называется дифференцируемой в точке Функция , если производная ( )y x′ существует; операция нахождения производной называется дифференцированием.

( ),a b( )f x называется дифференцируемой на интервале Функция , если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.

Найдем, исходя из определения, производные некоторых элементарных функций.

ПРИМЕР. sin , ?y x y′= =

0 0

2cos sinsin( ) sin 0 2 2lim lim

0x x

x xxx x xy

x xΔ → Δ →

Δ Δ⎛ ⎞+ ⋅⎜ ⎟+ Δ − ⎡ ⎤ ⎝ ⎠′ = = =⎢ ⎥Δ Δ⎣ ⎦=

0

cos sin2 2lim cos

x

x xxx

xΔ →

Δ Δ⎛ ⎞+ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠ =

Δ 0

sin2lim 1

x

x

xΔ →

2

Δ

=Δ, т.к. .

( )sin cosx x′ = .

ПРИМЕР. ( ) log , 0 1ay x x a= < ≠ ( ) ?y x′ = ,

74

( )log log log log 1a a a ax x xy x x x

x x+ Δ Δ⎛ ⎞Δ = + Δ − = = +⎜ ⎟

⎝ ⎠.

1

0 0

log 1lim lim log 1

a x

ax x

xxxy

x xΔ

Δ → Δ →

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟ Δ⎛ ⎞⎝ ⎠′ = = +⎜ ⎟Δ ⎝ ⎠=

11 1

1

0 0

1log lim 1 log lim 1 log logxx

x xx

a a ax x

x x e ex x

⋅Δ Δ

Δ → Δ →

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + = + = =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

ax.

1(log ) loga ax ex

′ =1(ln )xx

′ =, .

ПРИМЕР. ; бy x=

( ) ( )б бб

0limx

x x xy x

xΔ →

′ + Δ −′ = =

Δ.

бБез ограничения общности можем считать натуральным показателем и раскрыть скобку, как бином Ньютона:

( )

{ }

б б б б 1 б 2 2 б

0 0

б 1 б 2 2б 1 б 1

0 0

б б (б 1) ...lim lim

б б (б 1)lim ... lim б ( ) б .

x x

x x

x x x x x x x x xx x

x x x x x o x xx x

− −

Δ → Δ →

− −− −

Δ → Δ →

+ Δ − + ⋅ Δ + ⋅ − Δ + −= =

Δ Δ⎧ ⎫⋅ Δ ⋅ − Δ

= + + = ⋅ + Δ =⎨ ⎬Δ Δ⎩ ⎭

⋅

2.1.2. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику функции Рассмотрим две точки графика функции

( , ( ))M x f x( )f x : и . ( , ( ))P x x f x x+ Δ + Δ MP - секущая.

xΔПри стремлении к нулю (т.е. при стремлении точки P к точке M ) эта секущая будет поворачиваться относительно точки

. M( )y f x= ( , ( ))M x f xКасательной к графику функции в точке называется

предельное положение секущей при 0xΔ → ( ). P M→

( , ( ))M x f x( )y f x=Нормалью к графику функции в точке называется перпендикуляр к касательной, проведенный через точку касания.

75

( )f x′xЕсли функция имеет в точке ( )y f x= производную , то график функции в точке ( , ( ))M x f x имеет касательную с угловым коэффициентом

( )f x′ . Доказательство:

tgц( ) yxx

ΔΔ =

Δ0xΔ →Пусть и . Так как существует

0 0lim ( ) lim tgц(x x

y )f xxΔ → Δ →

Δ ′= = ΔΔ

x , то существует предельное положение секущей, то

есть касательная; и угловой коэффициент касательной равен ( )f x′ .

( )0y x′1). Значение позволяет записать уравнение касательной к кривой в точке ( )y y x= 0x :

( ) ( )000 xxxyyy −⋅′=− .

1 2 1k k⋅ = −2). Поскольку условие перпендикулярности прямых: , то уравнение нормали имеет вид:

0 00

1( ) ( )( )

y f x xf x

x−= + −

′ .

( ) 0y x′ > ( ) 0y x′ <x функция является возрастающей, а при 3). При в точке – убывающей.

2.1.3. Механический смысл производной ( )S f t=Рассмотрим движение точки по прямой. - перемещение точки в

момент времени , 0

( ) (( ) limt

)f t t f tV f ttΔ →

+ Δ −′= =Δ

t - мгновенная скорость в

момент времени t .

( )2

2gtS t = ( )( ) 'V t S t gt= =, . ПРИМЕР.

2.1.4. Правила и формулы дифференцирования

2.1.4.1. Производная суммы, разности, произведения и частного функций 1) ( ) , ; 0c ′ = c const=

2) ( ( ) ( )) ( ) ( )f x g x f x g x′ ′ ′± = ± ;

3) ( ( ; )) (c f x c f x′ ′⋅ = ⋅ )

( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x g x f x′ ′ ′⋅ = ⋅ + ⋅4) ;

76

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

f x f x g x g x f5) xg x g x

′ ′ ′⎛ ⎞ −=

⎝ ⎠( )( )0g x⎜ ⎟ , ≠ .

Доказательство правила 2:

( ) ( ) ( )f0

limx

f g g f gxΔ →

+ Δ + + Δ − +0 0

lim limx x

f f f g g gx xΔ → Δ →

+ Δ − + Δ −+ =

Δ Δ =

Δ

0 0lim limx x

f g f gx xΔ → Δ →

Δ Δ= + =

Δ Δ+

.

ПРИМЕР. , 23sin 5log 10y x x= + − 213cos 5 logy xx

′ = + e .

2.1.4.2. Производная обратной функции Пусть ( )f x :

0x , 1) строго монотонна и непрерывна в окрестности точки 0( ) 0f x′ ≠0x и , 2) дифференцируема в точке

тогда: ( )0 0y f x=1) существует производная обратной функции в точке :

( )1( )f y− ′ ;

2) ( ) 01

0

1( )( )

y yf yf x

−=

′ =′

.

Доказательство: Из условия 1 следует существование непрерывной строго монотонной

обратной функции 1( )x f y−= 1( )x f y−=. Рассмотрим в окрестности точки 0 ( )0y f x= . Зададим приращение аргументу yΔ ; ему соответствует приращение

функции 1xyyx

Δ=ΔΔΔ

xΔ и .

0yΔ ≠ 0xΔ ≠1( )f y−Из строгой монотонности при следует, что . Устремим , из непрерывности 1( ) 0x f y x−= ⇒ Δ →0yΔ → 0xΔ →. Но при ,

0( )y f xx

Δ ′→Δ 0

1( )

xy f x

Δ→

′Δ, следовательно, .

Таким образом, ( ) 01

0

1( )( )

y yf yf x

−=

′ =′

.

Пользуясь этой формулой, найдем производные некоторых элементарных функций.

1) xy a= , ( ) . ?xa ′ = 0 1a , a> ≠ logax y= ,

77

( )( )

1 1 ln1 log loglog log

xx x

a aa a

y aa ae ey e

y

′ = = = = =′

a

′ =

.

( ) lnx xa a a , ( )x xe e′ = .

2) , ( ) arcsiny x= arcsin ?x ′ = sinx y= ,

( )( ) 2 2

1 1 1 1arcsincos 1 sin 1sin

xy y xy

′ = = = =′ − −

.

( )2

1arcsin1

xx

′ =−

.

( )2

1arccos1

xx

′ = −−

3) .

4) ( )arctg , arctg ?y x x ′= = ( ) 2

1tgcos

yy

′ =tgx y= , .

( )( )

22 2

1 1arctg cos1 tg 1tg

x yy xy

′ = = = =′

1+ +

.

( ) 2

1arctg1

xx

′ =+

.

( ) 2

1arcctg1

xx

′ = −+

5) .

2.1.4.3. Таблица производных Таблица получена, исходя из определения производной и правил

дифференцирования.

( )б б 1бx x −′= ⋅1. .

( ) ( ) ( )ln 0, 1x x xa a a a a e′ ′= > ≠ ⇒2. xe= .

( ) ( ) ( )1 1log log 0, 1 lna ax e a a xx x

′ ′= ⋅ > ≠ ⇒ = . 3.

( )sin cosx x′ =4. .

( )cos sinx x′ = −5. .

( ) 2

1tgcos

xx

′ = . 6.

( ) 2

1ctgsin

xx

′ = − . 7.

( )2

1arcsin1

xx

′ =−

. 8.

78

( )2

1arccos1

xx

′ = −−

. 9.

( ) 2

1arctg1

xx

′ =+

. 10.

( ) 2

1arcctg1

xx

′ = −+

. 11.

sh2

x xe ex−−

=( )sh chx x′ =12. . Гиперболический синус .

ch2

x xe ex−+

=( )ch shx x′ =13. . Гиперболический косинус .

shthch

xxx

=( ) 2

1thch

xx

′ = . Гиперболический тангенс 14.

chcthsh

xxx

=( ) 2

1cthsh

xx

′ = Гиперболический котангенс . 15.

2.1.4.4. Производная сложной функции Если:

[ ]ц( )y f t= ( )цx t=1) - сложная функция, - независимая переменная, t - промежуточный аргумент;

( )0 0( )y x f x′ ′= ( ) ( )0 0цx t 0 0ц( )x t=t′ ′=2) существуют и , где ,

[ ]{ } 0 0ц( ) ( ) ц ( )f t f x t′ ′ ′= ⋅то . Доказательство:

xtΔПусть аргумент получает приращение ; тогда приращения t и , соответственно, равны

y

( ) ( )0 0ц цx t t tΔ = + Δ − ( ) (0 0y f x x f x )Δ = + Δ − . ,

( )00lim

t

x x ttΔ →

Δ ′=Δ

При 0tΔ → 0xΔ → и , более того, существуют 0yΔ → и

( )00limx

y y xxΔ →

Δ ′=Δ

.

Вычислим:

00 0 0 0lim lim lim lim ( ) ц ( )

t t x t

y y x y x0f x t

t x t x tΔ → Δ → Δ → Δ →

Δ Δ Δ Δ Δ ′ ′= ⋅ = ⋅ = ⋅Δ Δ Δ Δ Δ

, что и требовалось доказать.

xНезависимой переменной была , промежуточным аргументом - t . На практике чаще имеем дело с функциями вида: ( ), ц( )y f u u x= = , тогда

x u xy y u′ ′= ′ , arctg , ?uxy e u x y ′= = =arctg xy e=. Например, ;

Решение arctg

2 2

1 1, u , 1 1

u xu x xy e y e

x x′ ′ ′= = = ⋅

+ +.

79

2.1.4.5. Логарифмическая производная При вычислении производной некоторого выражения полезно

предварительное логарифмирование этого выражения. ( ), ?y f x y′= =Рассмотрим функцию

[ ] 1ln ln ( ), lnx

y f x y y=y

′ ′= ; yy′ - называется логарифмической производной.

[ ]lny y y ′′ = ⋅Отсюда . ПРИМЕР.

б , б 0, ?y x y′= ≠ = 1ln б ln , бyy x

y x′

= = .

б1б , б xy y yx x

′ ′= ⋅ ⋅ = ⋅ , ( )б б 1бx x −′ = ⋅ .

ПРИМЕР.

( )2

sin , ?xy x y′= = , 2ln ln(sin )y x x=

2 12 ln(sin ) cossin

y x x xy x′= + ⋅ x .

{ }( )2

22 ln(sin ) ctg sin xy x x x x x′ = + . ПРИМЕР. В общем случае для степенно-показательных выражений.

( )ц ( ) ln ц( )ln ( )xy f x y x f x= ⇒ = .

( ) ( ) ( )ц ( ) ц ln ( ) ц( )( )

x f xy f x x f x x

f x′⎛ ⎞

′ ′= ⋅ ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Логарифмическая производная применяется для вычисления производной произведения большого числа сомножителей. ПРИМЕР.

sin cos , ?y x x x y′= ⋅ ⋅ = ln lnsin lncos lny x x= + + x .

cos sin 1 1sin cos ctg tgsin cos

y x x y x x x x xy x x x′ −

x⎡ ⎤′= + + ⇒ = ⋅ ⋅ − +⎢ ⎥⎣ ⎦

ПРИМЕР. ( )

573

61

+−

=xxxy , ?y′ =

80

( ) ( )

( )

( )735

1ln 3ln 7ln 1 ln 6 ;5

1 3 7 1ln ;5 1 6

11 3 7 1 .5 6 1 6 6

y x x x

yx x x

x xy

x x x

= + − − +⎡ ⎤⎣ ⎦

′ ⎡ ⎤= + −⎢ ⎥− +⎣ ⎦

−⎡ ⎤′ = + − ⋅⎢ ⎥− + +⎣ ⎦

2.1.4.6. Производная неявной функции ( )( ),F x y xПусть уравнение 0= задает неявно функцию . ( )y y x=

( )y x′ ( ), 0F x y = нужно продифференцировать тождество Для вычисления по переменной ( )( ),F x y xx , рассматривая функцию как сложную функцию аргумента ( ) ( )( )1 , ,F x y x y x′ =x , а затем полученное уравнение 0 разрешить относительно ( )y x′ .

ПРИМЕР.

( )2 2

2 2 1 0x y ,y ? ya b

′+ = = > .

Решение Первый способ. Выразим явно из уравнения: y

2by aa

= ± − 2x . Так как 0y ,> 2 2by aa

x= − ,

( ) ( )1

2 2 22 2

1 22

b b x=y a x x

a a a x

−′ = − − = −

−

2

2

b xa y

− .

2 2

2 2 1x ya b

+ = по переменной Второй способ. Продифференцируем выражение : x

2 2

2 2 0x y ya b

′+ =2

2

b xya y

′ = −, откуда .

( )y x′Выражение для производной может зависеть как от x , так и от . y

2.1.4.7. Производная функции, заданной параметрически ( )( )

x x ty y t=⎧

⎨ =⎩Пусть функция задана параметрически: ( )y y x= .

Если: ( ), ( )x t y t - дифференцируемы, 1)

81

( ), ( )t t x t x′= ∃( )x x t= имеет обратную функцию , 2) 3) , ( ) 0x t′ ≠

tx

t

yyx

′′ =

′. то

Доказательство: ( ), ( )y y t t t x= =Рассмотрим функции: . Рассматривая как

промежуточный аргумент, можно считать, что - сложная функция t

xy .

Тогда x t xy y t′ ′ ′= ⋅ , 1 tx x

t t

yt y′

x x′ ′= ⇒ =

′ ′.

ПРИМЕР. 2 3, , ?xx t y t y ′= = =

Решение 2

2 3 32 , 3 , 2 2t t xtx t y t y tt

′ ′ ′= = = = .

2.2. Производные высших порядков 2.2.1. Основные определения

( )y f x=Производной второго порядка от функции называется производная

от ее первой производной. Обозначение: ( )( ) ( )f x f x ′′′ ′= . Производной -го порядка (или n–й производной) называется производная первого порядка от производной

n( )1n − -го порядка.:

( ) ( ) .n

nn

d yy xdx

=(( ) ( 1)( ) ( )n n )f x f x− ′= .Также используют обозначение

ПРИМЕР.

sin , cos , sin , cosy x y x y x y x′ ′′ ′′′= = = − = − .

ПРИМЕР.

1 2 ( ), , ( 1) , , !, 0n n n n ny x y nx y n n x y n y− −′ ′′= = = − = =K ( 1)+ .

2.2.2. Правила вычисления производной n–го порядка

[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n nf x g x f x g x+ = +1. .

2. Формула Лейбница (производная произведения):

82

!!( )!

kn

nCk n k

=−

[ ]( ) ( ) ( )

0( ) ( ) ( ) ( )

nn k n k k

nk

f x g x C f x g x−

=

⋅ = ⋅∑ , где - число сочетаний из

по , (читается -факториал) определен для целых неотрицательных , причем (

k kn !k k) ( )1 ! 1 !k k k+ = + ⋅ 0! 1! 1= =, .

ПРИМЕР.

Найти n–ю производную от функции 2axy e x= ⋅ . Решение

( ) ( )y f x g x ,= ⋅ ( ) ( ) 2axx e ,g x x= = f 2

2

220

ax

ax

ax

( n ) n ax

f ( x ) e g( x ) x f ( x ) a e g ( x ) xf ( x ) a e g ( x )

g ( x )f ( x ) a e

= =

′ ′= ⋅ = ⋅

′′ ′′= ⋅ =′′′⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅

0( n )

g ( x )

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

Таким образом, в формуле Лейбница всего 3 ненулевых члена. Вычисляем коэффициенты:

0

1

2

0 1

11 1

122 2 2

n

n

n

n!k C ,n!

n!k C n,! ( n )!

n! n( n )k C! ( n )!

= → = =

= → = =⋅ −

−= → = =

⋅ −

,

( ) ( ) ( )2 1 212 2

2n n ax n ax n axn n

y x a e x na e x a e− −−= ⋅ + ⋅ + ⋅ .

2.2.3. Вторая производная от неявной функции

( )y y x=Рассмотрим неявную функцию , определяемую уравнением ( , ) 0F x y = ( , ) 0F x y =. Для отыскания второй производной соотношение

дифференцируем два раза по переменной x , считая функцией y x , и выражаем y′′ x как функцию и y .

ПРИМЕР.

2 2 1, ?x y y′′+ = =

83

22 2 0, , 2 2 2 02

x xx y y y y y y yy y

′ ′ ′ ′ ′′+ ⋅ = = − = − + ⋅ + ⋅ = ,

( )2 2 2

3

1 y y xyy y′+ +′′ = − = − .

2.2.4. Вторая производная от параметрически заданной функции

( ) ( ).x t

xx x xt

yy y

x

′′′′′ ′= =′

( )( )

x x ty y t=⎧

⎨ =⎩ Рассмотрим . Вторая производная

( )2

1 1t tt t tt tyxxx x

t t tt

y y x xy t

xИначе

x xx

′ ′′ ′ ′′ ′′⎛ ⎞ −′′′ = = = =⎜ ⎟′⋅

′ ′′⎝ ⎠ ( )3tt t tt t

t

y x x y

x

′′ ′ ′′ ′−=

′.

2.2.5. Механический смысл второй производной Пусть - закон движения тела, движущегося поступательно.

Скорость тела в данный момент времени: ( )S f t=( )V t ( ) ( )V t f t′= . Если движение

неравномерно, то для приращения времени tΔ приращение скорости составляет . VΔ

Vt

ΔΔ

Тогда - среднее ускорение тела за промежуток времени . При tΔ 0tΔ →

получим ускорение в данный момент времени t :

0lim ( )

t

Va VtΔ →

tΔ ′= =Δ .

( ) ( )a t f t′′=Таким образом, - ускорение прямолинейного движения равно второй производной от перемещения по времени. 2.3. Дифференциал функции 2.3.1. Основные определения

( ),a b ( ),x a b∀ ∈Если функция - дифференцируема на ( )y f x= , то

0lim ( )x

y f xxΔ →

Δ ′∃ =Δ

yx

ΔΔ

( )f x′0xΔ →. Отношение при стремится к числу ,

следовательно, yx

ΔΔ

( )б x( )f x′ отличается от на бесконечно малую :

( )( ) бy f xx

Δ ′= +Δ

( )0

lim б 0x

xΔ →

= ( )( ) бy f x x x x′Δ = ⋅ Δ + ⋅x , причем , или Δ .

( )f x x′ Δ ( ) 0f x′ ≠ ( )f x x′ Δ. В общем случае , Рассмотрим - бесконечно малая величина первого порядка относительно xΔ 0xΔ → при .

84

( ) ( )0 0

бlim lim б 0x x

x xx

xΔ → Δ →

⋅ Δ= =

Δ( )б x x⋅ Δ, то Поскольку - бесконечно малая

величина более высокого порядка, чем xΔ .

xΔГлавная, линейная по часть приращения функции называется дифференциалом функции в точке ( )dy f x x′= ⋅ Δx и обозначается .

( )б x x⋅ ΔГлавная часть, потому что - бесконечно малая более высокого порядка малости, чем . Линейная, потому что дифференциал зависит от xΔ xΔ в первой степени. 2.3.2. Дифференциал независимой переменной

Пусть . Тогда . ( ), 1, y x y x dy dx x′′Δ = Δ = = = = Δy x=dx x= ΔВывод: дифференциал независимой переменной равен ее приращению, .

В общем случае: ( ) ( )dy f x x f x dx′ ′= Δ = . ( )dy f x dx′= .

Производная может быть записана, как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного (обозначения Лейбница):

( ) dyf xdx

′ =

2.3.3. Свойства дифференциалов Поскольку дифференциалы функций вычисляются по основной формуле

( )dy y x dx′= ⋅ , то справедливы обычные правила дифференцирования. ( ) 0d c =1. ; ( ) ( );d u v du dv d u c du± = ± ± =2. ; ( ) ( );d uv udv vdu d uc cdu= + =3. ;

2

u vdu udvdv v

−⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

4. .

2.3.4. Геометрический смысл дифференциала ( )y f xРассмотрим функцию = .

Обозначения, приведенные на рисунке, соответствуют:

y NM ′( , ), ( , )M x y M x x y y′ + Δ + Δ Δ = ,, MT - касательная в точке . M

:MNTΔ Рассмотрим ( )NT x f x′= Δ ⋅, tgцMN x NT x= Δ = Δ ⋅ dy NT=, , .

xДифференциал функции в точке ( )y f x= есть приращение ординаты касательной к графику функции в точке x .

85

2.3.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям

( ) ( )y f x x f xΔ = + Δ −Метод основан на замене приращения функции приближенно дифференциалом этой функции: ( )y dy f x dx′Δ ≅ = .

yΔЭто возможно, так как и отличаются на бесконечно малую

величину .

dy

( )o xΔ0 0 0

б бlim 1 lim 1 lim 1( ) ( )x x x

y xdy f x x f xΔ → Δ → Δ →

Δ Δ= + = + =

′ ′Δ.

Основные рабочие формулы: 0x x x= + Δ ,

0 0( ) ( ) ( )f x f x x f x d= + Δ ≈ + y

0

,

0 0( ) ( ) ( )f x x f x f x x′+ Δ ≈ + Δ .

Геометрический смысл: истинная функция на отрезке [ ]0 0,x x x+ Δ заменяется линейной функцией, график которой – касательная в точке ( )( )0 0,x f x .

ПРИМЕР.

. Вычислить приближенно 15 84 ,Решение Пусть 4y x= , . 0 16x =

( ) 416 16 2y = =Тогда ; ( ) ( )15 8 16y , y Δ= = + ( )y dy y x xΔ Δ′≈ =y ; заменим ; 16 15 8 0 2x , ,Δ = − = − ;

( ) ( ) 31 1 14 41 14 4

y x x x x−−

′′ = = = 4 ;

( )3

41 116 164 4 8

y−

′ = ⋅ = =⋅

132

.

( ) ( )115 8 2 0 2 2 0 0062 1 993832

y , , , ,= + ⋅ − = − =Тогда .

ПРИМЕР.

Вычислить приближенно значение объема V шара радиуса м. 02,1=rРешение

( ) 343

V r р r= ⋅ ( ) 24рV r r′ =0 1r = 0,02rΔ =Так как , то, полагая , , и используя

формулу для , получаем: VΔ

( ) ( ) ( ) ( ) 341,02 1 1 1 0,02 р 4р 0,02 4,44 м .3

V V V V V ′= + Δ ≈ + ⋅ = + ⋅ ≅

86

2.3.6. Дифференциал сложной функции

[ ]ц( ) . y f x=Рассмотрим сложную функцию Пусть – промежуточный

аргумент: .

u

( ), ц( )y f u u x= = x u xy f u′ ′ ′= ⋅ , умножим это равенство на : dx

xy dx′ = u xf u dx′ ′⋅ ⋅ ,

udy f du′= .

xdy f dx′=Сравнение с показывает, что дифференциал функции сохраняет свою форму независимо от того, является ли ее аргумент x независимой переменной или функцией независимой переменной (промежуточным аргументом).

Это свойство называется свойством инвариантности (неизменности) формы первого дифференциала. 2.3.7. Дифференциалы высших порядков

( )y f x= xПусть - дифференцируемая функция, а ее аргумент - независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал также является функцией

( ) ( )dy f x x f x dx′ ′= Δ =x , от которой в свою очередь можно найти

дифференциал.

Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции ( )f x называется дифференциал ее дифференциала при фиксированном . dx

( )22 ( ) ( ( )) ( ( ) ) ( ( )) ( ) ( )d f x d df x d f x dx dx d f x dx f x dx f x dx′ ′ ′′ ′′= = = ⋅ = ⋅ = ⋅ = 2( )f x dx′′= ; 2 2( ) ( ) .d f x f x dx′′=

( )1( ) ( ) .n nd f x d d f x−=Аналогично определяется дифференциал порядка n:

Можно показать, что Здесь ( )( ) ( ) .n nd f x f x dx= n .( )n ndx dx=

1. Для независимой переменной 2 30, 0,d x d x= = Kx2. В приведенных формулах предполагалось, что - независимая переменная.

Если x - промежуточный аргумент, то форма для второго дифференциала будет другой, отличной от выражения 2 2( ) .d f f x dx′′=

( )y f x= , Покажем это на примере второго дифференциала. Пусть ( )x g t= , - независимая переменная. t

Тогда ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2d f d df d f x dx d f x dx f x d dx′ ′ ′= = ⋅ = ⋅ + ⋅ =

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )22 2 2 2f x dx f x d x f x g t dt f x g t dt′′ ′ ′′ ′ ′ ′′= ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ .

Таким образом, в случае сложной функции в выражении для второго дифференциала появляется дополнительное слагаемое; форма второго дифференциала неинвариантна.

87

2.4. Основные теоремы анализа 2.4.1. Теорема Ролля (о нуле производной)

Если 1) функция ( )f x непрерывна на отрезке [ ],a b , 2) на интервале ( ),a b ( )f x′ существует производная ,

( ) ( )f a f b=3) значения функции на концах отрезка совпадают, , то существует точка , такая, что (о ,a b∈ ) (о) 0f ′ = .

Доказательство: [ ],a b( )f xТак как функция непрерывна на , то на отрезке существуют

наибольшее и наименьшее значения функции. mMM m= M m>Возможны два случая: 1) и 2) .

Рассмотрим: ( ) 0f x′ =( )f xM m=1) , -постоянная, следовательно,

( ),x a b∈ ; ∀M m> , следовательно хотя бы одно из этих значений достигается внутри 2)

[ ],a b ( ) ( )f a f b=, так как . ( )о ,a b∈(о)f M= , . Пусть

(о)fТак как - наибольшее значение функции, то при любом знаке ( ) ( )о о 0f x f+ − ≤ xΔ .

( ) ( )о о0

f≤

f xx

+ Δ −Δ

0x, Δ >

(

,

) ( )о о0

f≥

f xx

+ Δ −Δ

0x, < , Δ

0xΔ →переходя к пределу и рассматривая отдельно правый и левый пределы, получаем

( ) ( ) ( )0

о оlim о 0x

f x ff

xΔ →+

+ Δ −′= ≤

Δ0xΔ >, ,

( ) ( ) ( )0

о оlim о 0x

f x ff

xΔ →−

+ Δ −′= ≥

Δ0xΔ <, .

(о) 0f ′ =Эти соотношения совместимы, если . Доказательство для случая, когда во внутренней точке отрезка достигается минимум, проводится аналогично. Геометрический смысл теоремы Ролля

Если функция удовлетворяет условию теоремы Ролля, то в некоторой точке отрезка касательная к графику параллельна оси 0x .

Теорема Ролля позволяет узнать об обращении производной в ноль без ее вычислений.

88

( )f xЕсли такова, что производная существует не во всех точках внутри отрезка [ ],a b

), то может не

оказаться такой точки , в которойо (оf ′ обращается в ноль. ПРИМЕР.

y x= , ( , . )прав0 1y ′ = ( )лев

0 1y ′ = −

(0)y′ не существует (по определению).

2.4.2. Теорема Лагранжа (теорема о конечных приращениях) Если 1) ( )f x - непрерывна на отрезке [ ],a b , 2) на интервале ( ),a b ( )f x′ существует производная ,

(о ,a b)∈ , такая, что то существует, по крайней мере, одна точка ( ) ( ) ( )(о)f b f a f b a′− = − .

Доказательство: ( ) ( )f b f a

Qb a−

=−

( ) ( ) ( ) ( )F x f x f a Q x a= − − ⋅ −Обозначим . Построим .

( )F x обладает следующими свойствами: 1) непрерывна на [ ], ,a b

( )F x′ ( ),a b2) на , ∃

( ) ( ) 0F a F b= = . 3) ( )о ,a b∈Из теоремы Ролля следует, что существует точка , такая, что

, ( ) ( ) ( ) ( )( )F x f x f a Q x a ′′ = − − − ( ) ( ) 0F x f x Q′ ′= − =(о) 0F′ = , , уравнение

имеет решение ( ) ( ) ( )оf b f a

fb a−

′ =−

( ) 0f x Q′ − = ( )оf Q′ =оx = . , т.е. , или

Геометрический смысл теоремы Лагранжа

( ) ( )f b f aCBAC b a

−=

− - угловой коэффициент

секущей . AB( )оf ′ - угловой коэффициент касательной к

кривой ( )y f x= x = о в точке . На кривой найдется, по крайней мере, одна точка AB

, в которой касательная параллельна хорде M. AB

89

1). Доказанная формула называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Так как оa b< < о a b a− < − ( )о иa b a− = −, то , , где , откуда , о и( )a b a= + − ( ) ( ) ( ) ( )иf b f a f a b a b a′− = + − −⎡ ⎤⎣ ⎦ . 0 и 1< <

2). Точек может быть несколько. о( ) ( )f a f b= ( )о 0f ′ =, то , получаем утверждение теоремы Ролля. 3). Если

4).Теорему Лагранжа можно использовать для приближенных вычислений: 1и2

=( ) ( ) ( ) ( )иf b f a f a b a b a′− = + − −⎡ ⎤⎣ ⎦ , где . Положим , тогда 0 и 1< <

( ) ( ) (2

a b )f b f a f b a+⎡ ⎤′− ≈ −⎢ ⎥⎣ ⎦. Погрешность тем меньше чем ближе b к . a

ПРИМЕР. arctg1,1 ?=

( )arctg1,1 arctg1 0,1 arctg x ′≈ + ⋅1,1b = ; 1,0a = ; ; 0,1b a− = ,

2,122

1 1 0,51 2,1xx =

= = ≈+

1,1 1,0 2,12 2

x += = ( ) 2

1arctg 1

xx

′ =+

рarctg1,1 0,054

≈ +. ; , .

2.4.3. Теорема Коши (обобщенная теорема о конечных разностях) Если

1) ( ) ( ),цf x x непрерывны на [ ],a b , ( ),a b ( ) ( ),цf x x′ ′1) на существуют производные ,

( )ц 0x′ ≠ ( ),x a b∀ ∈ , 3) ( ),a bξ ∈ , такая, что то существует, по крайней мере, одна точка

( ) ( )( ) ( )

( )( )о

ц ц ц оf b f a f

b a′−

=′−

.

Доказательство: ( ) ( )ц цb ≠ ( )ц x′a , так как иначе, по теореме Ролля, обратилась бы в ноль,

по крайней мере, в одной точке ( )о ,a b∈ . Рассмотрим вспомогательную функцию:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )ц ц

ц цf b f a

F x f x f a x ab a−

= − − −⎡ ⎤⎣ ⎦−.

Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, следовательно, существует точка (о ,a b)∈ ( )о 0F ′ =, такая, что ,

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )о о ц о 0

ц цf b f a

F fb a−

′ ′ ′= − =−

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )о ц

ц цf b f a

fb a−

о′ ′=−

, .

( )ц о 0′ ≠( )ц о′разделим на , :

90

( ) ( )( ) ( )

( )( )о

ц ц ц оf b f a f

b a′−

=′−

.

Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши. 2.4.4. Правило Лопиталя – Бернулли

00⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

∞⎡ ⎤⎢ ⎥∞⎣ ⎦

Это правило описывает раскрытие неопределенностей типа и

методами дифференциального исчисления.

( ) ( )( )ц

f xF x

x= ( )f x ( )ц xРассмотрим , где и дифференцируемы в некоторой

окрестности точки , исключая, быть может, саму точку . Если при a a x a→ 00⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

( )f x ( )ц x ( )0→ ∞ ( )F x и , функция имеет в точке неопределенность a

или ∞⎡ ⎤⎢ ⎥∞⎣ ⎦

.

( )limx a

F x→

поможет следующая теорема (правило Лопиталя). Вычислить

Правило Лопиталя. Если - непрерывны на [ ],a b( )ц x( )f x , , 1.

( ),a b ( )f x′ ( )ц x′ ( )ц 0x′ ≠ существуют , , причем , 2. на 3. , ( ) ( )ц 0f a a= =

( )( )

limx a

f xxϕ→

′

′, 4. существует предел

( )( )

limцx a

f xx→

( )( )

( )( )

lim limц цx a x a

f x f xx x→ →

′=

′то существует и предел , причем .

Доказательство: Возьмем на отрезке [ точку ],a b . x a≠

( ) ( )( ) ( )

( )( )о

ц ц цf x f a f

x a′−

=′−

[ ],a xо

< < оНа отрезке по теореме Коши , -

промежуточная точка отрезка [

оa x

],a x . ( )( )

( )( )о

ц цf x f

x о′

=′

Но , значит, ( ) ( )ц 0f a a= = x a→. Если , то и ,

следовательно,

о a→

( )( )

( )( )

( )( )о

оlim lim lim

ц ц о цx a a x a

f x f f xx x→ → →

′ ′= =

′ ′.

Более коротко это утверждение формулируют так: предел отношения двух бесконечно малых функций равен пределу отношения их производных, если последний существует.

91

( )ц 0x → ( ) 0f x →x→∞1). Если рассматривается предел при , , , то утверждение остается справедливым:

( )( ) 0

1 1lim lim

1ц ц 0x z

ff x xz zx z

z→∞ →

⎛ ⎞⎜ ⎟ =⎝ ⎠= = =

2

0

2

1 1

lim1 1ц

z

fz z

z z→

⎛ ⎞⎛ ⎞′ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ =⎛ ⎞⎛ ⎞′ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ →⎜ ⎟⎝ ⎠

( )( )0

1

lim lim1 цц

z x

f f xzx

z→ →∞

⎛ ⎞′⎜ ⎟ ′⎝ ⎠= =′⎛ ⎞′⎜ ⎟

⎝ ⎠

.

( ) ( )ц 0f a a′ ′= = ( )f x′ ( )ц x′2). Если и , удовлетворяют условиям теоремы, то

можно применять правило Лопиталя к ( )( )ц

f xx

′⇒

′( )( )

( )( )

lim limц цx a x a

f x f xx x→ →

′ ′=

′ ′′′

.

Правило Лопиталя можно применять несколько раз. 3). Без доказательства приведем следующее утверждение:

( )( )

( )( )

lim limц цx a x a

f x f xx x→ →

′∞⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ′∞⎣ ⎦.

Предел отношения двух бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует.

2.4.4.1. Применение правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей 00⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

ПРИМЕР. .

0 0

sin 2 cos 2 2) lim lim 21x x

x xax→ →

⋅= = .

2

0 0 0

0 2 0 2) lim lim limsin 0 1 cos 0 sinx x x

x xбx x x x→ → →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦∞ .

∞⎡ ⎤⎢ ⎥∞⎣ ⎦

ПРИМЕР. .

ln) lim lim1

x x

x x

a a aax→∞ →∞

⋅= = ∞ .

( )12

1 11 12) lim lim lim 01 2 1x x x

xxбx x

−

→∞ →∞ →∞

++= =

+= .

92

[ ]

00

0

⎡⎡ ⎤⎢⎢ ⎥⎣ ⎦⎢⋅∞ =⎢ ∞⎡ ⎤⎢⎢ ⎥∞⎣ ⎦⎣

( ) 0x a

f x→

→ ( )цx a

x→

→∞. , . ПРИМЕР.

[ ]2

0 0

2

lnlim ln 0 lim 1x x

xx x

x→ →

∞⎡ ⎤⋅ = ⋅∞ = = ⎢ ⎥∞⎣ ⎦ 0

3

1

lim 12x

x

x→

= =− ⋅

3

0

1lim 02x

xx→

⎛ ⎞− ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

ПРИМЕР. . Применяется предварительное логарифмирование,

откуда следует неопределенность

000 , , ∞⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤∞⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ 1

[ ]0 ⋅∞ .

, 0xy x x= → . 0

0lim 0 ?x

xx

→⎡ ⎤= =⎣ ⎦

Логарифмируем: . ln lny x x= ⋅Вычислим:

[ ]0 0 0 0

2

1lnlimln lim ln 0 lim lim 01 1x x x x

x xy x xx x

→ → → →

∞⎡ ⎤= ⋅ = ⋅∞ = = = =⎢ ⎥∞⎣ ⎦ −.

0lim 1x

xx

→=

0limln 0x

y→

= , , , 0

ln lim 0x

y→

=0

lim 1x

y→

= .

2.4.5. Формула Тейлора ( )f x ( 1n )+Если дифференцируема раз в окрестности точки ,0x то для

любого x из указанной окрестности справедлива формула Тейлора порядка n: 20 0

0 0( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1! 2!

f x f xf x f x x x x x0′ ′′

= + − + − + ( )

30 00 0

( ) ( )( ) ... ( ) (3! !

nn

nf x f x

1 ),x x x xn +

′′′+ − + + − + R x

( 1)10 0

1 0( и( ))( ) ( ) ; 0 и 1

( 1)!

nn

nf x x xR x x x

n

++

++ −

= ⋅ −+

где < < .

1( )nR x+ называется остаточным членом в форме Лагранжа. Доказательство: Обозначим

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0 0

0 0 0ц , ...1! !

nnf x f x

0x x f x x x x xn

′= + − + + − ,

( )0ц ,x x - многочлен -го порядка (так называемый многочлен Тейлора), n( ) ( ) ( )1 0ц ,nR x f x x x+ = − .

93

xПокажем, что данная формула справедлива. Зафиксируем из указанной окрестности, пусть [ ]0 ,x x0x x> . На отрезке рассмотрим вспомогательную функцию

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )1

110

ц ,n

nn

x tФ t f x x t R x

x x

+

++

−= − − ⋅

−[ ]0 ,t x x∈, где .

Поскольку , то ( ) ( )0 0Ф x Ф x= = ( )Ф t удовлетворяет условиям теоремы Ролля и существует точка ( )0о ,x x∈ ( )о 0Ф′ =, в которой .

( )ц ,x tДля вычисления , запишем ( )Ф t′ :

( ) ( )( )

2( ) ( ) ( )ц( , ) ( ) ( )1! 2! !

nnf t f t f tx t f t x t x t x t

n′ ′′

= + − + − + + −K .

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )110

ц , 1n

t nn

x tФ t x t n R

x x ++

−′ ′= − + + ⋅

−x

( ) ( )ц ,t x t f t′ ′= ( ) ( )f t x t′′+ ⋅ − ( )f t′−( ) ( )2

2!f t

x t′′′

+ − −

( ) ( )22!

f tx t

′′− ⋅ −

( ) ( ) ( ) ( )( 1) ( )

1...! !

n nn nf t f t

x t n x tn n

+−+ + − − ⋅ −

( ) ( ) ( )1

.!

nnf t

x tn

+

= −

Следовательно,

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

1

110

1!

nnn

nn

f t x tФ t x t n R

n x x

+

++

−′− = − − + ⋅

−x

при оt =

( )( ) ( )( ) ( )

11

1 0

о1 !

nn

n

fR x x x

n

++

+ = −+

.

1). Формула Тейлора порядка n позволяет представить функцию в виде суммы многочлена n–й степени и остаточного члена.

( )y f x=

( )1nR x+2). Полученная формула для дает остаточный член в форме Лагранжа, но есть и другие формы остаточного члена, например, в форме Пеано: - бесконечно малая более высокого порядка

малости по сравнению с

( ) ( )(1n

nR x o x x+ = − )0

( )0nx x− .

2.4.5.1. Частные случаи формулы Тейлора 1). При формула Тейлора называется формулой Маклорена: 0 0x =

94

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21

0 0 0 0 ...

1! 2! !

nn

n

f f ff x f x x x R x

n +

′ ′′= + + + + + ,

( )( ) ( )( )

11

1

и1 !

nn

n

f xR x

n

+

x ++ =

+0 и 1.; < <

( ) 1 20 1 2 ... n

nf x c c x c x c x= + + + + - многочлен порядка . n2). Рассмотрим ( ) ( )1 0nx f x+∀ ( )1 0nR x+ =Поскольку = x∀, то и

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )00 0 ...

1! !

nnf x f

0f x f x x x x xn

′= + − + + − .

Вывод: по формуле Тейлора любой многочлен порядка можно представить в виде многочлена по степеням

n( )0x x− .

ПРИМЕР.

Многочлен 3 22 3 5 1x x x− + + разложить по степеням ( )1x + . Решение

3 22 3 5 1( x ) x x x= − + + 0 1x = − 1 9f ( )− = −; ; . fИщем коэффициенты формулы Тейлора:

26 6 5 1 1712 6 1 1812 1 120

0

IV

( n )

f ( x ) x x f ( ) ;f ( x ) x f ( ) ;f ( x ) f ( ) ;f ( x )

f ( x ) ;

′ ′= − + → − =′′ ′′= − → − = −′′′ ′′′= → − =

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

2 317 18 129 1 11 2 3

1f ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) .! ! !

= − + + − + + +

Учитывая, что 1 1; ; 3 1! = 2 1! = ⋅2 2 3! = ⋅ ⋅ , получим ответ: 3 2 22 3 5 1 9 17 1 9 1 2 1 3x x x ( x ) ( x ) ( x )− + + = − + + − + + + .

2.4.5.2. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций

( )0 1f =( ) xf x e= , , 1. ( )0 1f ′ =( ) xf x e′ = , , ( )0 1f ′′ =( ) xf x e′′ = , ,

( ) ( )0 1nf =( ) ( )n xf x e= , .

( )2

11 ...1! 2! !

nx

nx x xe R x

n += + + + + + ( ) ( ) , и

11 1 !

xn

neR x x

n+

+ =+

.

95

( ) sinf x x= ( )0 0f =; , 2.

( ) ( ) ( )рcos sin ; 0 1,2f x x x f′ ′= = + =

( ) ( ) ( )рsin sin 2 ; 0 0,2f x x x f′′ ′′= − = + =

( ) ( ) ( )рcos sin 3 ; 0 1,2f x x x f′′′ ′′′= − = + = −

…………………………………………….., ( ) ( ) ( )рsin 2nf x x n= + ,

( ) ( ) ( )( )

12

0, р0 sin 2 1 ,

nnf n −

⎧⎪= = ⎨−⎪⎩

n – нечетное,

n - четное

( ) ( )3 5 2 1

2 2sin ... 13! 5! (2 1)!nn

nx x xx x Rn

+

+= − + + + − ++

x .

xxНечетная функция sin разложена по нечетным степеням .

( ) cosf x x= ( )0 1f =, , 3. ( ) ( ) рcos

2nf x x n⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠,

( ) ( ) ( )( )2

0, р0 cos 2 1 ,

nnf n

⎧⎪= = ⎨−⎪⎩

n – нечетное,

n - четное

( ) ( )2 4 2

2 1cos 1 ... 12! 4! (2 )!nn

nx x xx R xn += − + − + − + .

s x xЧетная функция co разложена по четным степеням .

( ) ( )ln 1f x x= + ( )0 0f = , 4.

( ) 11

f xx

′ =+

( )0 1f ,′ = ,

( )( )2

11

f xx

′′ = −+

( )0 1f ′′ = −, ,

( )( )3

21

f xx

′′′ =+

( )0 1 2f ′′′ = ⋅, ,

( ) ( ) ( ) ( )( )

11 1 !,

1

nn

n

nf x

x

−− −=

+ ( ) ( ) (( ) )10 1 1 !nnf n−

= − − .

( ) ( ) ( )2 3 1

1ln 1 ... 12 3nn

nx x xx x Rn

−++ = − + − + − + x .

96

( ) ( )б1f x = + x , где б - любое вещественное число. 5.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )б 21

б б 1 б б 1 ... б 11 1 б ... .

2! !n

n

nx x x x R

n +

− − − ++ = + ⋅ + + + + x

б n= : Частный случай

( ) ( ) 21 !1 1 ...2! !

nn n n n xx nx x

n−

+ = + + + + - формула бинома Ньютона.

Формулы Маклорена для элементарных функций:

2 3 1и1. 1 ... ; 0 и 1.

2! 3! ! ( 1)!

n nx xx x x xe x e

n n

+

= + + + + + + < <+

( )3 5 2 1 2 2 2 22. sin ... ( 1) sin(и р); 0 и 1.

3! 5! 2 1 ! (2 2)! 2

n nnx x x x nx x x

n n

+ + += − + − + − ⋅ + ⋅ + < <

+ +

( )2 4 2 2 1 2 13. cos 1 ... ( 1) cos(и р); 0 и 1.

2! 4! 2 ! (2 1)! 2

n nnx x x x nx x

n n

+ += − + − + − ⋅ + ⋅ + < <

+

2 3 4 11 ( 1)4. ln(1 ) ... ( 1) ; 0 и 1.

2 3 4 ( 1) (1 и )

n n nn

n

x x x x xx xn n x

+− − ⋅

+ = − + − + + − + < <+ ⋅ +

2.4.5.3. Оценка остаточного члена

( ) ( )nf x M≤( )f x 0xПусть такова, что иn∀ x∀ из окрестности точки .

( )( )

( ) ( )1

11 0

(о)1 !

nn

nfR x x xn

++

+ = −+

Рассмотрим остаток: .

11( 1) 0

1 01( ) (о)

( 1)! ( 1)!

nnn

n

x xR x f x x M

n n

+++

+

−= ⋅ ⋅ − ≤

+ + 0x x∀ −, при n→∞

( )

10 01 !

nx xn

+−→

+ и остаточный член может быть сделан сколь угодно малым путем

увеличения . n

( )f xИтак, если обладает указанным выше свойством, то формулу Тейлора можно использовать для приближенных вычислений с любой наперед заданной точностью.

97

2.4.5.4. Приложения формул Тейлора и Маклорена

1). Для вычисления приближенных значений функций:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0 0

0 0 ...1! !

nnf x f x

0f x f x x x x xn

′≈ + − + + − .

Погрешность (ошибка) вычисления находится по оценке остаточного члена. ( )1 еnR x+ ≤ , где - погрешность. е

ПРИМЕР.

Вычислить число с точностью e . 3е 10−=

Рассмотрим . 0, 1, 0xe x x= =

11 1 11 ... (1)1! 2! ! ne Rn += + + + + + ( ) ( )

и

1 1 , 0 и 11 !n

eRn+ = < <+

, .

( ) ( )1 11 !n

eRn+ <+

( ) ( )131 е

1 !nRn+ < ≤+

, ⇒ 3e < .

( )3 0,001

1 !n≤

+Найдем наименьшее n , удовлетворяющее условию : . 6n =

19571 1 11 ... 21! 2! 6! 720e = + + + + = = ,714.

2). Для вычисления пределов функций.

ПРИМЕР.

{ }3 5 3

3 3 30 0 0

... ...sin 13! 5! 3!lim lim lim3!x x x

x x xx xx xx x x→ → →

− + + − − +−= = = − .

98

99

2.5. Задачи с решениями

1. Задача. Вычислить производную функции 423 23

y x x= − + .

Решение. ( ) ( ) 4 3'2 8' '' 3 2 2

3 3y x x x

⎛ ⎞⎟⎜= − + =− +⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠.

Ответ: 3823

x− + .

2. Задача. Вычислить производную функции arctg2xy = .

Решение. ' '1' arcctg arcctg

2 22 arcctg

2

x xyx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜⎟= = =⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟ ⎝ ⎠⎜⎝ ⎠

( )2

2

1 1 1 12

2 arcctg 4 arcctg12 22x xx x

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= ⋅ − ⋅ =−⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎟⎜ ⎟⎜ ++ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

.

Ответ: ( )2

1

4 arcctg2xx

−+

.

3. Задача. Вычислить производную функции 2

2

xeyx

−

= .

Решение. ( ) ( ) ( )

( )

2 2

2

' '2 2'

2

x xe x x ey

x

− −⋅ − ⋅= =

( )( )

( )22 2 2

2 2

2 12 2 222

xx x e xe x x exx

−− − − +⋅ − ⋅ − ⋅= = .

Ответ: ( )2 2

2

2 12

xe xx

−− +.

4. Задача. Вычислить производную функции 23x

y = .

Решение. ( ) ( )2 2 2' '' 3 3 ln3 2 3 2 ln3 ln 2.x x xx xy = = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

Ответ: 23 2 ln3 ln 2.x x⋅ ⋅ ⋅

100

5. Задача. Вычислить производную функции ( )( )

23 2 5ln2 2 3

x xyx x x

⎛ ⎞+ +⎟⎜= −⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ + +.

Решение. ( )( )

2 ''3 2 5' ln2 2 3

x xyx x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟⎜ ⎟ ⎟⎜= − =⎜⎟ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎜⎟⎜ ⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎜⎟+ + +⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( )( )

2

2 2

'1 3 1

23 2 32

xxx x x

x

⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥⎟⎜= − ⋅⎟⎜⎢ ⎥⎟⎜⎝ ⎠+⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎟⎜ ⎣ ⎦⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+

( ) ( )( ) ( ) ( )( ){ }2 5 ' 2 3 2 5 2 3 'x x x x x x⎡ ⎤⋅ + + + − + + + =⎣ ⎦

( ) ( )( ) ( )( )

2 2 2

1 2 1 31 3 1223 2 2 3

2

x xxxx x x x

x

⎛ ⎞ ⋅ + − ⋅ ++ ⎟⎜= − ⋅⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ + + +⎟⎜ ⎣ ⎦⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+

( )( ) ( ) ( ) ( ){ }( )( )

212 2 3 2 5 3 2 .

2 3x x x x x

x x⎡ ⎤⋅ + + − + + + + =⎣ ⎦ ⎡ ⎤+ +⎣ ⎦

Ответ: ( )( )

21 .

2 3x x⎡ ⎤+ +⎣ ⎦

6. Задача. Вычислить производную функции 2 3 5log log logy x= .

Решение. ( ) ( )22 3 5 3 5

3 5

log' log log log ' log log 'log log

ey x xx

= = ⋅ =

( )2 3 2 3 55

3 5 5 3 5 5

log log log log loglog ' .log log log log log log

e e e e exx x x x x

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Ответ: 2 3 5

3 5 5

log log log .log log log

e e ex x x⋅ ⋅

7. Задача. Вычислить производную функции

22

1 11 ln 1y xx x

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠.

Решение. ( )22

'' 1 1' 1 ln 1y xx x

⎡ ⎤⎛ ⎞⎟⎜⎢ ⎥⎟= + − + + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

22

2

'1 1 1 12 1

1 12 1 1x

x xxx x

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= ⋅ − + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ + +

2

2 32

2 2

1 1 1 2 1 .1 1 11 1 2 1

x xx x xx

x x x

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎛ ⎞ +⎟⎜ ⎟⎟⎜= − − + ⋅ − =⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟⎟⎜⎝ ⎠⎜ ⎟+ ⎟⎜+ + + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠

101

Ответ: 2 1 .xx+

8. Задача. Вычислить производную функции

2

2arctg 1

1x

x

xy ee

= − −−

.


2

' '' arctg 1

1x

x

xy ee

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= − − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠−

( )( ) ( )

( )2 2

22 2

2 2

'' 1 1 '1 1

1 1 1

x x

x

x x

x e x ee

e e

− − −= − ⋅ − =

− + −

( ) ( )

2 22

22 2

3/ 22 2 2

2 212 1 2 1 .1 1 1 1

x xx

xx x

x x x

e ee xxee e

e e e

⋅ ⋅− −

− −= − =−− + − −

Ответ: ( )

2

3/ 22.

1

x

x

xee

−−

9. Задача. Вычислить производную функции 1 3 2ln2 6 3 2

xyx

−=

+.

Решение. '

1 3 2' ln2 6 3 2

xyx

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ +⎝ ⎠

( ) ( )( )

2 2

3 3 2 3 3 21 1 1 .3 22 6 3 2 3 2

3 2

x x

xx xx

+ − −= ⋅ ⋅ =

−− ++

Ответ: 2

1 .3 2x −

10. Задача. Вычислить производную функции sinбarcsin1 cosбcos

yx

=−

.

Решение. 'sinб' arcsin

1 cosбcosy

x⎛ ⎞⎟⎜= =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠− ( )22

1 11 cosб cossinб sin1

1 cosб cosxx

x

= ⋅ ⋅− ⋅⎛ ⎞⋅ ⎟⎜− ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠− ⋅

( ) ( )( ){ }sinбcos 1 cosбcos sinбsin cosб sinx x x x⋅ − − − − .

102

Ответ: ( )22

1 11 cosб cossinб sin1

1 cosб cosxx

x

⋅ ⋅− ⋅⎛ ⎞⋅ ⎟⎜− ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠− ⋅

( ) ( )( ){ }sinбcos 1 cosбcos sinбsin cosб sinx x x x⋅ − − − − . 11. Задача. Вычислить производную функции

2 2

4 2ln arctgx a a xy

b bx b+

= ++

.

Решение. 2 2

4 2

' '' ln x a a xy arctg

b bx b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⎟⎜ ⎟⎜⎟ ⎟⎜= + =⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠+

( ) ( )3

4 2 2

4 2

2 4 2

4 2

421 2

xx x b x ax b

x a x bx b

+ − ++= ⋅ +

+ +

+

( )( )( )

2 2

2 2 4 22

21 2 .

1

x a ba xb b x a x bx

b

++ ⋅ ⋅ =

⎛ ⎞ + +⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Ответ: ( )( )( )

2 2

2 4 2

2.

x a b

x a x b

+

+ +

12. Задача. Вычислить производную функции 4 2

1sin 3sin 3 2ln4cos 8cos 8 1

2

xtgx xy xx x tg

−= + +

+.

Решение. 4 2

'1' 'sin 3sin 3 2' ln

4cos 8cos 8 12

xtgx xy xx x tg

⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟⎜ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜= + + =⎟⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎟

( )4 3

8

cos cos sin 4 cos sin4cos

x x x x xx

⋅ − ⋅ ⋅ −= +

( )2

4

cos cos sin 2 cos sin38 cos

x x x x xx

⋅ − ⋅ ⋅ −+ ⋅ +

23 1 18 1 12 2

12

x xtg tgxtg

+ ⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞− ⎟⎜ + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

+

2

1 1 1 11 12 2 2 2cos cos

2 2

x xtg tgx x

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟− ⎜⎪ ⎪⎪ ⎪⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎜⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ −⎟⎟ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎟⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

.

Ответ: ( )4 3

8

cos cos sin 4 cos sin4cos

x x x x xx

⋅ − ⋅ ⋅ −+

( )2

4

cos cos sin 2 cos sin38 cos

x x x x xx

⋅ − ⋅ ⋅ −+ ⋅ +

23 1 18 1 12 2

12

x xtg tgxtg

+ ⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞− ⎟⎜ + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

+

2

1 1 1 11 12 2 2 2cos cos

2 2

x xtg tgx x

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟− ⎜⎪ ⎪⎪ ⎪⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎜⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ −⎟⎟ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎟⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

13. Задача. Вычислить производную функции 2xy x= .

103

Решение. Прологарифмируем предварительно функцию y : 2ln lny x x= .

Вычислим производные обеих частей этого равенства, учитывая, что ( )y y x= . 2' 12 lny x x x

y x= + ,

( )' 2 ln 1y x xy= + ,

разрешаем это уравнение относительно 'y , подставляем выражение для y ( )

2 1' 2 ln 1xy x x+= + .

Ответ: ( )2 1 2ln 1xx x+ + .

14. Задача. Вычислить производную функции 'xy , заданной параметрически 2 2 рsin , cos , 0

2x t y t t= = < < .

Решение. Воспользуемся формулой для производной функции, заданной параметрически:

'' .'t

xt

yyx

=

Вычислим производные по переменной t : ( )' 2cos sin ,

' 2sin cos ,t

t

y t tx t t

= ⋅ −

= ⋅

отсюда ( )2cos sin'' 1.

' 2sin cost

xt

t tyyx t t

⋅ −= = =−

⋅

Ответ: -1. 15. Задача. Вычислить четвертую производную функции ( )4y

3 3xy x x e= + + . Решение.

2 3' 3 1 3 ,xy x e= + + 3'' 6 9 ,xy x e= + 3''' 6 27 ,xy e= +

( )4 381 .xy e= Ответ: ( )4 381 .xy e=

16. Задача. Найти дифференциал функции ( )321y x x= + − . Решение. Воспользуемся формулой

( )'xdy y x dx= .

( )( )2' 3 1 1 2 ,y x x x= + − −

поэтому ( )( )23 1 1 2 .dy x x x dx= + − −

104

Ответ: ( )( )23 1 1 2 .dy x x x dx= + − −

17. Задача. Найти дифференциал функции ln tg5 xy = . ln tg 2ln5' 5 ,

sin 2xy

x= поэтому ln tg 2ln55 .

sin 2xdy dx

x=

Ответ: ln tg 2ln55 .sin 2

xdy dxx

=

18. Задача. Вычислить приближенно, заменяя приращение функции

дифференциалом, 0sin31 .

Решение. Рассмотрим функцию siny x= вблизи точки 00 30 .x =

00 30

3' cos ,2x xy x

== = ( )0 0 0

0

р31 30 1 ,180

dx x=Δ = − = ⋅

00 30

3 р' 0.0151.2 180x x

dy y dx=

= = ⋅ ≈

( ) ( ) ( )00 sin 30 0.0151 0.515.y x y x dy≈ + ≈ + =

Ответ: 0.515.

19. Задача. Написать уравнение касательной и нормали к графику функции 21 xy e −= в точке 0 1.x =−


2

11' 2 2,x

xy e x =−−= ⋅ − = ( )0 0 1,y f x= = подставим это в уравнение

касательной ( )( )0 0 0'y y f x x x= + − , получим ( )1 2 1 ,y x= + + или

2 3 0.x y− + =

Уравнение нормали ( ) ( )( )0 0 0' 0,x x f x y y− + − = или ( )1 2 1 0,x y+ + − = или

2 1 0.x y+ − =

Ответ: 2 3 0,x y− + = 2 1 0.x y+ − =

2.6. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя


3 23

4 3 18lim .5 3 9x

x x xx x x→

− − +− + +

Решение 3 2

3 23

4 3 18lim5 3 9x

x x xx x x→

− − +=

− + + 3

27 8 9 9 18 0lim27 5 9 9 9 0x→

⎛ ⎞− ⋅ − + ⎡ ⎤⎜ ⎟= =⎢ ⎥⎜ ⎟− ⋅ + + ⎣ ⎦⎝ ⎠

105

2

23

3 8 3 27 24 3 0lim3 10 3 27 30 3 0x

x xx x→

− − ⎛ − − ⎞⎡ ⎤= = = =⎜ ⎟⎢ ⎥− + − + ⎣ ⎦⎝ ⎠ 3

6 8lim6 10x

xx→

−=

−. 18 8 10 5

18 10 8 4−

= = =−

Ответ: 54

.


13 2 1lim .9x

x xx→

+ − +

−

Решение

233

13 2 1 0lim09x

x xx→

+ − + ⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦− ( ) 2 / 33 2

1 22 13 2 1lim 1 9 2

3x

x x

x x−→

−+ + =− ⋅

( )2

3

1 1 92 16 4lim 0.2 3

3x

x

→

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠= =

⋅

Ответ: 0.

Задача. Вычислить предел функции ( )0

sin 2lim .1 cos 3рx

x xx→

⋅+ −

Решение

( )0

sin 2 0lim1 cos 3р 0x

x xx→

⋅ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥+ − ⎣ ⎦ ( )0

1sin 2 cos2 02limsin 3р 0x

x x x

x→

+ ⋅ ⋅ ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥− − ⎣ ⎦

( )0

cos2 2 2 4lim 4cos 3р 1x

xx→

⋅ += = =

− −.

Ответ: 4.


cos3 coslim .tg 2x

x xxπ→

−

Решение

2

cos3 cos 0limtg 2 0x

x xxπ→

− ⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦2

sin3 3 sin 0lim 1 02tg2 2cos 2

x

x x

xx

π→

− ⋅ + ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥⎣ ⎦⋅ ⋅

р

2

cos3 9 cos 8lim 11 84 2cos 2

x

x x

x→

⋅ −= − = =

⋅ ⋅.

Ответ: 1.


2

sin 1р

sinрlim .

2 2xx

x

+→ −

106

Решение 2

sin 1р

sin 0рlim02 2xx

x

+→

⎡ ⎤= ⎢ ⎥− ⎣ ⎦

2

р sin 1

1cos 2 2р рlim 1 ln 22 ln 2 cos2 sin 1

x x

x x

xx

→ +

⋅ ⋅= =

⋅ ⋅+

.

Ответ: 2ln 2

.


0

2 3lim .sin 7 2

x x

x x x→

−−

Решение

3 5

0

2 3 0limsin 7 2 0

x x

x x x→

− ⎡ ⎤= =⎢ ⎥− ⎣ ⎦

3 5

0

2 ln 2 3 3 ln3 5lim7cos7 2

x x

x x→

⋅ − ⋅=

−3ln 2 5ln3.

5−

Ответ: 3ln 2 5ln3.5−

Задача. Вычислить предел функции ( )21lim .

sin 1

x

x

e ex→

−−

Решение

( )21

0lim0sin 1

x

x

e ex→

− ⎡ ⎤= =⎢ ⎥− ⎣ ⎦ ( )21lim .

2cos 1 2

x

x

e ex x→

= =− ⋅

Ответ: .2e


12 sin

20

1 2lim .1 5

x x

xx

xx→

⎛ ⎞+⎜ ⎟+⎝ ⎠

Решение 3

12 sin

20

1 2lim 11 5

x x

xx

xx

∞

→

⎛ ⎞+ ⎡ ⎤= =⎜ ⎟ ⎣ ⎦+⎝ ⎠

31

2 sin

20

1 2lim 1 11 5

x x

xx

xx→

⎛ ⎞⎛ ⎞++ − =⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠

31

2 2 sin

20

1 2 1 5lim 11 5

x x x

xx

x xx→

⎛ ⎞+ − −= + =⎜ ⎟+⎝ ⎠

( ) 31

2 sin

20

2 5lim 1

1 5

x x x

xx

xx→

⎛ ⎞−⎜ ⎟+ =⎜ ⎟+⎝ ⎠

( )2

2 30

2 5 1lim1 5 sin 0

0

x x

xx

x

x xe →

−

+ ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥⎣ ⎦( )ln 2 ln 5 2 .

5e − =

Ответ: 2 .5

107


13 2

30

4lim .9

x

x

xx

+

→

⎛ ⎞+⎜ ⎟+⎝ ⎠

Решение 1

3 2

30

4 4 2lim .9 9 3

x

x

xx

+

→

⎛ ⎞+= =⎜ ⎟+⎝ ⎠

Ответ: 2 .3

Задача. Вычислить предел функции ( )( )

ln 3 2ln 2

1

2 1lim .x

x

x

xx

+−

→

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Решение ( )( )

ln 3 2ln 2

1

2 1lim 1x

x

x

xx

+− ∞

→

−⎛ ⎞ ⎡ ⎤=⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

( ) ( )ln 3 2 / ln 2

1

2 1lim lnx x

x

xxe

+ −

→

⎡ − ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦= =

( )( )1

ln 3 2 2 1lim lnln 2 0

0x

x xx xe →

+ −⎛ ⎞⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦

( )1

2 1lnln 5 lim

ln 2 00

x

xx

xe →

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦⋅

− ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥⎣ ⎦

( )

( )

2

1

2 2 12 1ln 5 lim 1 1

2x

x xxx x

xe→

⋅ − −⋅

−⋅−

− =21

1 1ln 5 lim lnln 5 5 1 .5

x xe e e→

−⎡ ⎤⋅ ⎢ ⎥ −⎣ ⎦ = = =

Ответ: 1 .5


1lim .

1

xx

x

e ex

+

→

⎛ ⎞−⎜ ⎟−⎝ ⎠

Решение 12 2

1

0lim1 0

xx

x

e ex

+

→

⎛ ⎞− ⎡ ⎤= =⎜ ⎟ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎝ ⎠

2 2 2 2

1 1lim lim

1 1

x x

x x

e e e ex x→ →

− −⋅ =

− −

( )22 2 2 4

1 1lim 2 lim 2 2 4 .x x

x xe e e e

→ →= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =

Ответ: 44e .

Задача. Вычислить предел последовательности 2 233 1 2 1lim .

2sinn

n n nn n→∞

+ − + ++

Решение

2 233 1 2 1lim2sinn

n n nn n→∞

+ − + +=

+

2 233 1 2 1

lim 2sin1n

n n nn n

nn

→∞

+ − ++=

+

32 3

3 1 2 11lim 1

1n

n n n n→∞

+ − + += = .

Ответ: 1.

108

2.7. Задачи для самостоятельной работы

Вариант 1

Вычислить производные функций

1. ( ) 11 1y xx

⎛ ⎞⎟⎜= − + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ 2. sin cos

sin cosx xyx x−

=+

3. ( )2 2lny x a x= + + 4. 2sin2 xy =

5. 3 3 31 1y x= + + 6. 2ln 1y arctg x= +

7. ( )

( )2

222 2 2

xxxx

x xy+⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠= 8. 2 3chy sh tg x=

9. 22

11y tg xx

⎛ ⎞⎟⎜= + + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ 10. 2 2 2 2sin sin coscosy x x= +

11. x xx e eey e e e= + + 12. 2

2

cos 1 cosln2sin sin

x xyx x

+=− +

13. xy x=

14. ( ) ( )21 2x t t= − − , ( ) ( )21 3y t t= − − , 9t > , ' ?xy =

15. ( )2ch sin , ?y ax bx y= ⋅ =

Вычислить дифференциалы функций

16. 1

cos2 xy−

= 17. 2 2 2 arcsin 5xy x a x aa

= − + −

18. Вычислить приближенно, заменяя приращение функции дифференциалом, arctg0.97.

19. Написать уравнение касательной и нормали к графику функции lny x= в точке 0 1.x =

20. Применяя правило Лопиталя и другие методы, решить задачи 1-20 из задания “Пределы”.

109

Вариант 2


1. 5

2

5xya

=− 2. 311y tg xx

⎛ ⎞⎟⎜= + + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

3. cosarccoscos

b a xya b x+

=+

4. 2ln ax bx c

y e⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+ +=

5. ( )5 2 5

1

1 1y

x x x=

+ + + 6. 2cos 1 siny x x= +

7. ln cos ln2xy tg x tgx

⎛ ⎞⎟⎜= −⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ 8.

2

2 2

chxysh x

=

9. 4

4 4

1 sinlnsin 1 sin 1

xyx x

= ++ +

10. 1ln arccosyx

⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

11. 2 2 2 arcsin xy x a x aa

= − + 12. 5ln

xxe arctgxyx

=

13. 7/ln xy x=

14. 3, , , ' ?txx e y t t y−= = −∞< <+∞ =

15. ( ) ( )4ln , ?y ax b y= + =


16. рln2 4

xy tg⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

17. sin cos 4y x x x= − +

18. Вычислить приближенно, заменяя приращение функции дифференциалом, 046 .tg

19. Написать уравнение касательной и нормали к графику функции 2y tg x= в точке 0 0.x =


110

Вариант 3


1. 2 3

1 1 1yx x x

= − − 2. 2cos sin3xy

⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

3. /2xy xe= 4. 4ln lg ln logy x x a x= −

5. 2

1 2 3ln2 6 2 3

xyx

⎛ ⎞+ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ −⎝ ⎠ 6.

11

xxy e

−+=

7. ( )7 72 ln 17

y x x= + + 8. р sinln4 2

xy tg⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

9. sin 2 cos 2x xy x ⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

10. 2

2 2 arcsin , 02 2x a xy a x a

a= − + >

11. 2

1lnx x

x

ee a e e xy arctg

b e be b

⎡ ⎤+ + +⎢ ⎥= + ⎢ ⎥++ ⎣ ⎦

12. ( )( )

2

3

3 11 cos

arccos

xx e xy

x

−−= 13. 2

xxy =

14. cos , sin 0 р, ' ?xx a t y b t t y= = < < =

15. ( )31 , ?1

xy yx

+= =

−


16. 2

cos1

xyx

=−

17. 2ln 1y xarctgx x= − +

18. Вычислить приближенно, заменяя приращение функции дифференциалом, 0cos58 .

19. Написать уравнение касательной и нормали к графику функции y x= в точке 0 4.x =


111

Вариант 4


1. 3 2

5 3

a xybx

= + 2. siny x=

3. / ln2x xy = 4. ( )sin sin siny x⎡ ⎤= ⎣ ⎦

5. ( )22 11 sin cos2 2

xxy x x+−

= −

6. ln 3sin cos 23x

x xy += 7. 2xy e−=

8. 2

1 2 4ln arctg2 2 3 3

x xyx

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ +⎝ ⎠

9. 99

1arcctg 11

x xxy e e

e

⎡ ⎤⎢ ⎥= + + +⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦

10. 2 2 43 3 3sin sin siny x x x tgx= + + ⋅

11. /2arctg ln1

x

xx ey e

e= −

+ 12. ( )th 2 3x x xy e= +

13. x xxy x x x= + +

14. ach , sh , 0, ' ?xy t x b t t y= = −∞< < =

15. ( ) ( )33cos 2 , ?y x x y= =


16. ( )2arcsin arctgy x x= + 17. ln 1y x x x= − +

18. Вычислить приближенно, заменяя приращение функции дифференциалом, ln1.05. 19. Написать уравнение касательной и нормали к графику функции

3 22 4 3y x x x= + − − в точке 0 2.x =−


112

Вариант 5


1. cos1 sin

xyx

=+

2. ( )3 2 2 ln 3xy x x x= −

3. 2

2

11

xyx

−=

+ 4. y x x x= + +

5. ( ) ( )2 2sin cos cos siny x x= 6. 2 2

sin cosax a bx b bxy ea b−

=+

7. 3 2 2 3

5 4 4 54 4 4 4

x xa x a aya ax a x x

+ − −=

+ − − 8. ( )( )2 3ln ln lny x=

9. ( )34 4arccos sin cosy x x= − 10. 1 1 1ln ln lnyx x x⎡ ⎤⎛ ⎞⎟⎜⎢ ⎥= + + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

11. sin cosarcctgsin cos

x xyx x

⎛ ⎞+ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠− 12. ( )2 3

ln sec 2 xy =

13. ( )42sin

1x

y x= +

14. 3

2 546 5, , 0 , ' ?xtx t t y t y

t−

= + + = < <+∞ =

15. ( )4sin sin , ?y ax bx y= =


16. 321

3 3 4xy x x−

= + − 17. 2arcsin 1 3y x x x= + − −

18. Вычислить приближенно, заменяя приращение функции дифференциалом, arctg1.02.

19. Написать уравнение касательной и нормали к графику функции 2 5 4y x x= − + в точке 0 1.x =−


113

2.8. Ответы к задачам для самостоятельной работы

Ответы к варианту 1

1. 3/ 2

12xx+ 2. ( )

( )

2

2

cos sin1

cos sinx xx x−

++

3. 2 2

1a x+

4. 2

2sin sin cos2 ln 2sin

x x xx

⋅⋅

5. ( )( ) ( )

2/31/3 2/31/3 1/3 2/3

1

27 1 1 1x x x+ + +

6. ( )22 2

1 12arctg 1 1

xxx x

⋅ ⋅++ +

7. ( )( )223 2 22 ln 2 3 2 ln 2 2 ln 2 1 2 ln 2x xx x x xx x+ ++ + ⋅ ⋅ + + +

8. 2 3 3 3 22

16chch tg chtg shtg tgcos

x x x xx

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

9. 3

2 2222

11

11 cos1 tg

xx

xx xx

−⋅

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎜⎟ +⎜ ⎟+ + ⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟ ⎝ ⎠⎜⎝ ⎠

10. ( )2 2 2 2 2 24 sin cos cossin sin cosx x x x x⋅ ⋅ +

11. xx x xxe eee e e e ee+ ⋅ +

12. 2 2

3

sin sin cos cos 1sin 2sin

x x x x xx x

⋅ ⋅ + ⋅−

13. ( )1 2

1 lnx

x x

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠⎜ ⎟−

⋅ − 14. 3 73 5tt−−

15. ( )2 2 ch sin 2 sh cosa b ax bx ab ax bx− ⋅ + ⋅ ⋅

16. 2

1cos ln 2 sin2

cosx xdy dx

x− ⋅

=− 17. 2 22dy a x dx= −

18. 0.770. 19. 1 0, 1 0.x y x y− − = + − =

114


1. 42

25 xa

− 2. 2/3 2

2

111 11 tg3 1cos

xxx x

x

−⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎟⎜ ⎟⎜+ + ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎟⎜ ⎟⎜+ ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠

3. ( )

2 2

22

sincoscos1

cos

a b xa b xb a x

a b x

−⋅

+⎛ ⎞+ ⎟⎜− ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+

4. ( )

( )22

2ln 1 1 22 ln

ax bx ce ax b

ax bx cax bx c

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠+ +

⋅ ⋅ ⋅ ++ ++ +

( )( )

( )

25 2 5

4 42 5 5

5 5

15.1 1

5 51 1 22 1 2 1

x x x

x xx x x xx x

− ⋅+ + +

⎡ ⎤⎛ ⎞⎟⎜⎢ ⎥⎟⎜⋅ + + + + + ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠+ +⎢ ⎥⎣ ⎦

6. 3

2

2sin1 sin

xx

−+

7. sin ln tgx x⋅

8. 2 2 2 23 2

2 sh 2chsh

x x xx

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦ 9. ( )

34

24

4sin cos sin 2sin 1

x x xx

⋅ ⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦+

10. 1 11 12 arccos xxx

⋅−

11. 2 22 a x−

12. ( ) 2

6

11 arctg ln 5 arctg1

ln

x x xx e x xe x e xx

x

⎡ ⎤⎢ + + ⎥ −⎢ ⎥+⎣ ⎦

13. 0 14. 23 tt e− 15. ( )

4

46a

ax b−

+

16. 1

sin2

dy dxx= 17. sindy x xdx=

18. 1.035. 19. 2 0, 2 0.x y x y− = + =

115


1. 2 3 4

1 2 3x x x

− + + 2. 1 sin 2sin cos3 3 3

x x⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜− ⋅⎟⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

3. ( )/ 2

12

xe xx

+ 4. 2 ln ln 1ln10 ln 4

x ax x

⋅ − ⋅

5. 2

22 3x−

6. ( )2

11 1

1 1

xx xe

x x

−+ +

− ⋅− +

7. 5/ 2

71x

x+ 8.

( )cos

cos sinx

x.

9. ( )sin 2 cos 2 2 ln 2 sin 2 cos 2x x x x xx ⎡ ⎤− + +⎢ ⎥⎣ ⎦ 10. 2 2a x−

( )( )

12 2

22

1 1 111. arctg11

ex x x x

x x x

e b e a e e x eb e b e be a e b e x

e b

−⎡ ⎤− + + +⎢ ⎥+ ⋅ ⋅⎢ ⎥+ +⎛ ⎞+ + + + ⎣ ⎦⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ +⎝ ⎠

( ) ( ){ ( ) }3 1

2 2 2412. 3 2 3 cos 1 sin arccos 3 1 cos

arccos

xe x x x x x x x xx

−⎡ ⎤⋅ − − + + − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

13. ( )2 ln 1 ln 2xxx x x+ 14. ctgb ta

−

15. ( )

( )( )3 4

6 161 1

xx x

++

− − 16. ( )

( )

2

22

1 sin 2 cos

1

x x x xdy dx

x

− +=

−

17. arctgdy xdx= 18. 0.530

19. 4 4 0, 4 18 0.x y x y− + = + − =

116


1. 8/5 1/33 25 3

ax xb

− −− + 2. cos

4 sin

x

x x

3. 2/ ln ln 12 ln 2

lnx x x

x−

⋅ ⋅ 4. cossin sin cossin cosx x x⋅ ⋅

5. ( ) ( )221 11 sin 1 cos2 2

x x x x+ − +

6. ( )3 ln 3 cos 2 sin 2 ln 3 ln 3 sin cos 2x x x x x− ⎡ ⎤⋅ − ⋅ − ⋅ +⎣ ⎦

7. 22 xxe−−

8. 2 2

4 42 3x x−

− +

9. ( )

9899 1 1arcctg2 1 2 1 2 1

xx x

x x x x

ee ee e e e

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⋅ + +⎢ ⎥+ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

( 32 2

3 32 43 3 32 2 4

1 1 410. sin 2 sin 2 sin cos tg3

3 sin sin3 sin sin sin

x x x x xx xx x x

⎞⎟⎟⎟⎛ ⎞⎟⎟⎟⎜⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ +⎟⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜ + ⎟⎟ ⎟+ +⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎜⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎠⎟⎜⎝ ⎠

3 3 32 2 42

1sin sin sincos

x x xx

+ + + ⋅

11. ( )

/ 2 12 1

x

x

ee−

+ 12.

( ) ( )2

2 ln 2 3 ln 3 th 2 3ch 2 3

x xx x x x

x xe e+

+ ++

13. ( ) 2 11 ln 1 ln lnxx x xx x x x x x

x⎛ ⎞⎟⎜+ + + ⋅ ⋅ + + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

14. tha tb

15. ( ) ( )2/33 32 sin 2 3 2 cos 2x x x⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

16. 22

1 1 2arctg12 arcsin 1

xdy dxxx x

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ +⎝ ⎠−

17. lndy xdx= 18. 0.05 19. 5 0, 2 0.y x− = + =

117


1. 11 sin x

−+

2. ( )2/3 5/35 22ln 3 3 ln 33

x xx x xx

⎛ ⎞⎟⎜⋅ − + − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

3. 4

21

xx

−−

4. 1

8 x x x x x x+ + ⋅ + ⋅

5. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2sin 2 cos cos cos sin sin cos sin sinx x x x x⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦

2 26. sinaxe bx a b+

( )( )

( )

25 4 4 54 4 4 4

5 4 4 54 4 4 4

3 2 2 3 3/ 4 1/ 44

17.

32 2

1 54 4

a ax a x x

ax a a ax a x xx

x xa x a a a ax x−

⋅+ − −

⎧⎛ ⎞⎪⎪ ⎟⎜⋅ + − + − − −⎟⎨⎜ ⎟⎟⎜⎪⎝ ⎠⎪⎩⎫⎛ ⎞⎪⎪⎟⎜− + − − − − ⎟⎬⎜ ⎟⎟⎜ ⎪⎝ ⎠⎪⎭

8. ( )( )

3 2

32 3

2 ln ln 3ln 1lnln ln

x xx xx

⋅ ⋅

9. ( ) ( )( )

23 4 4 4 4

64 4

12 sin cos cos sin

1 sin cos

x x x x x

x x

− +−

− −

10. 2

11 1 1ln

1 1ln ln

x

x x

x xx x

++

+−

⎛ ⎞⎟⎜+ + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

11. 1

12. ( )( ) 2/33 3 32 ln sec 2 tg2 2 ln 23

x x x x−⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

13. ( ) ( )2 3 2sin4 4

4

4 sin1 sin 2 ln 11

x x xx x xx

⎡ ⎤⎢ ⎥+ ⋅ + +⎢ ⎥+⎣ ⎦

14. ( )

3

2

273

tt t

++

15. ( ) ( )4 4 2 2 2 26 sin sin 4 cos cosa b a b ax bx ab a b ax bx+ + ⋅ − + ⋅

16. 23

21 2 ln 3 23 9xdy x dx

x x

−⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= + − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ 17. arcsindy xdx=

18. 0.795. 19. 7 3 0, 7 71 0.x y x y+ − = − + =

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Вся высшая математика / М.Л. Краснов [и др.]. М.: Едиториал УРСС. 2003, Т.1.

2. Ильин В.А. Курс математического анализа / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. М: Наука, 1998. Т.1. 3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа / Л.Д. Кудрявцев. М.: Высшая школа, 1988. Т. 1. 4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления / Н.С. Пискунов. М.: Интеграл - Пресс, 2001. Т 1. 5. Сборник задач по математике для втузов / под ред. Ефимова А.Ф.,

Демидовича Б.П. М.: Наука, 1993. Т. 1-4. Ч. 1. 6. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике / Л.А. Кузнецов.

М.: Высшая школа, 1994.

118

Учебное пособие

Вигура Марина Александровна Кеда Ольга Анатольевна Рыбалко Александр Федорович Рыбалко Наталья Михайловна


Редактор Н.П.Кубыщенко Подписано в печать 18.05.2005 Формат 60x84 1/16 Бумага писчая Плоская печать Усл.печ.л. 6,39 Уч.-изд.л. 6,0 Тираж Заказ Цена “C”

Редакционно-издательский отдел ГОУ ВПО УГТУ–УПИ

620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19

ООО «Издательство УМЦ УПИ» 620002, Екатеринбург, ул. Мира, 17

vi. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ...

Documents