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Teoría y Diseño Avanzado de Estructuras de Acero – Método LRFD
MODULO 8: VIGAS
8.1 TIPOS DE VIGAS
Las vigas son miembros que soportan cargas transversales. Se usan generalmente
en posición horizontal y quedan sujetas a careas por gravedad o verticales; sin
embargo, existen excepciones, por ejemplo, el caso de los cabios.
Los diversos muchos tipos de vigas se presentan de la siguiente manera:
viguetas vigas estrechamente dispuestas para soportar los pisos y techos de edificios
dinteles aberturas en muros de mampostería como puertas y ventanas
vigas de fachada paredes exteriores de edificios. La capacidad de las vigas de acero para soportar muros de mampostería (junto con la invención de los elevadores) como parte de un marco estructural, permitió la construcción de los rascacielos actuales
largueros de puente Se usan para transferir las cargas del piso, de los largueros de puente a las trabes o armaduras sustentantes
vigas de piso. vigas en los pisos de puentes que corren paralelas a la superficie de rodamiento.
El término trabe se usa en forma algo ambigua, pero usualmente denota una viga
grande a la que se conectan otras de menor tamaño.
8.2 PERFILES USADOS COMO VIGAS
Los perfiles W generalmente resultan las secciones más económicas al usarse como
vigas y han reemplazado en esta aplicación casi por completo a los canales C y a
las secciones S. Las canales se usan a veces como largueros cuando las cargas
son pequeñas y en lugares en donde se requieren patines estrechos. Éstas tienen
muy poca resistencia a fuerzas laterales y requieren soporte lateral.. Los perfiles W
tienen un mayor porcentaje de acero concentrado en sus patines que las vigas S,
por lo que poseen mayores momentos de inercia y momentos resistentes para un
mismo peso. Éstos son relativamente anchos y tienen una rigidez lateral apreciable.
El poco espacio dedicado a las vigas S en el Manual LRFD evidencia claramente
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cómo ha disminuido su uso respecto a años anteriores. Hoy en día se usan
principalmente para situaciones especiales como cuando se requieren anchos
pequeños de patines, cuando las fuerzas cortantes son muy grandes o cuando son
convenientes mayores espesores de patín en la cercanía del alma por motivos de
flexión lateral como ocurre quizá con los rieles de guía.
Otro tipo común de viga es la vigueta de alma abierta. Este tipo de viga que se usa
comúnmente para soportar losas de piso y techo es en realidad una armadura ligera
de cuerdas paralelas. Resulta muy económica para grandes claros y cargas ligeras.
8.3 ESFUERZOS DE FLEXIÓN
Consideraremos una viga de sección rectangular y los diagramas de esfuerzos de la
Figura 8.1 para estudiar los esfuerzos de flexión. (Para este análisis inicial
supondremos que el patín a compresión de la viga está completamente soportado
contra el pandeo lateral. El pandeo lateral se analizará posteriormente.) Si la viga
está sujeta a momento flexionante el esfuerzo en cualquier punto puede calcularse
con la fórmula de la flexión: Fb = M/S = M c / I. ( esta expresión es aplicable
solamente cuando el máximo esfuerzo calculado en la viga es menor que el límite
elástico). La fórmula se basa en las hipótesis elásticas usuales: el esfuerzo es
proporcional a la deformación unitaria, una sección plana antes de la flexión
permanece plana después de la aplicación de las cargas. El valor es una constante
para una sección específica y se denomina Módulo de Sección (S). La fórmula de
la flexión puede escribirse entonces de la manera siguiente:
Inicialmente, cuando el momento se aplica a la viga, el esfuerzo varía linealmente
desde el eje neutro hasta las fibras extremas. Esta situación se muestra en la Figura
8.1 b). Si se incrementa el momento se mantendrá la variación lineal de los
esfuerzos hasta que se alcanza el esfuerzo de fluencia en las fibras extremas como
se muestra en la parte c) de la figura. El Momento de Fluencia de una sección
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transversal se define como el momento para el cual empiezan a fluir las fibras
extremas de la sección.
Figura 8.1
Si el momento en una viga de acero dúctil se incrementa más allá del momento de
fluencia, las fibras extremas que se encontraban previamente sometidas al esfuerzo
de fluencia se mantendrán bajo este mismo esfuerzo, pero en estado de fluencia y el
momento resistente adicional necesario lo proporcionarán las fibras más cercanas al
eje neutro. Este proceso continuará con más y más partes de la sección transversal
de la viga, alcanzando el esfuerzo de fluencia como se muestra en los diagramas de
esfuerzos d) y e) de la figura, hasta que finalmente se alcanza la distribución plástica
total mostrada en f). Cuando la distribución de esfuerzos ha alcanzado esta etapa se
dice que se ha formado una articulación plástica porque esta sección no puede
resistir ningún momento adicional. Cualquier momento adicional aplicado en la
sección causara una rotación en la viga con poco incremento del esfuerzo.
El momento plástico es el momento que producirá una plastificación completa en
una sección transversal del miembro creándose ahí mismo una articulación plástica.
La relación del momento plástico Mp al momento de fluencia My se denomina factor
de forma. Los factores de forma son iguales a 1.50 en las secciones rectangulares y
varían entre 1.10 y 1.20 en las secciones laminadas estándar.
8.4 ARTICULACIONES PLÁSTICAS
El proceso de formación de una articulación plástica para una viga simple es el
siguiente (ver Figura 8.2). La carga mostrada que se aplica a la viga crece en
magnitud hasta que se alcanza el momento de fluencia con las fibras extremas
sometidas al esfuerzo Fy; la magnitud de la carga continúa incrementándose y las
fibras extremas empiezan a fluir; la plastificación se extiende hacia otras fibras fuera
de la sección de momento máximo como se indica en la figura. La longitud en donde
se presenta esta plastificación hacia ambos lados de la sección considerada,
depende de las condiciones de carga y de la sección transversal del miembro. Para
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una carga concentrada aplicada en el centro del claro de una viga simplemente
apoyada con sección rectangular, la plastificación en las fibras extremas en el
momento que se forma la articulación plástica se extenderá sobre un tercio del claro.
En un perfil W en circunstancias similares, la fluencia se extenderá
aproximadamente sobre un octavo del claro. Durante este mismo periodo las fibras
interiores en la sección de momento máximo fluirán gradualmente hasta que todas
alcancen el esfuerzo Fy y se forma una articulación plástica como se ve en la Figura
8.2.
Figura 8.2
Aunque el efecto de una articulación plástica se extiende sobre un cierto tramo a lo
largo de la viga, se supone que la articulación está concentrada en una sola sección
para propósitos de análisis. Para el cálculo de deflexiones y para el diseño del
soporte lateral, la longitud sobre la cual se extiende la fluencia es de gran
importancia. Cuando los marcos de acero se cargan hasta la falla, los puntos en
donde se concentra la rotación (articulaciones plásticas) resultan visibles al
observador antes de que ésta ocurra.
8.5 DISEÑO ELÁSTICO
Hasta hace pocos años, casi todas las vigas de acero se diseñaban con base en la
teoría elástica. La carga máxima que una estructura podía soportar se suponía igual
a la carga que primero generaba un esfuerzo igual al de fluencia del material. Los
miembros se diseñaban de manera que los esfuerzos de flexión calculados para
cargas de servicio no excediesen el esfuerzo de fluencia dividido entre un factor de
seguridad (1.5 a 2). Las estructuras se diseñaron durante muchas décadas mediante
este método con resultados satisfactorios. Sin embargo, los proyectistas saben
desde hace muchos años que los miembros dúctiles no fallan sino hasta que ocurre
una gran plastificación después de que se alcanza el esfuerzo de fluencia. Esto
significa que tales miembros tienen mayores márgenes de seguridad contra la falla
que lo que parece indicar la teoría elástica.
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8.6 EL MÓDULO PLÁSTICO
El momento de fluencia My es igual al esfuerzo de fluencia por el módulo elástico. El
módulo elástico es igual a I/c o bd2/6 para una sección rectangular; el momento de
fluencia es entonces igual a Este mismo valor puede obtenerse considerando
el par interno resistente mostrado en la Figura 8.3.
Figura 8.3
Figura 8.4
El momento resistente es igual a T o C multiplicado por el brazo de palanca entre ellos:
Se observa que el módulo elástico de la sección es igual nuevamente a bd2 /6 para una viga de sección rectangular.
El momento resistente plástico Mp puede determinarse de manera similar; tam bién
es el momento nominal de la sección My , Este momento plástico o nominal es igual
a T o C veces el brazo de palanca entre ellos. Para la viga rectangular de la figura
8.4 se tiene:
Se dice que el momento plástico es igual al esfuerzo de fluencia multiplicado por el
módulo plástico. De la expresión anterior para una sección rectangular, se ve que el
módulo plástico Z es igual a bd2/4. El factor de forma, que es igual a Mn/My,
FyZ/FyS, o Z/S es ((bd2 /4)/(bd216) = 1.50 para una sección rectangular. El módulo
plástico es igual al momento estático de las áreas a tensión y a compresión
respecto al eje neutro. A menos que la sección sea simétrica, el eje neutro para la
condición plástica no coincidirá con el de la condición elástica. La compresión
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interna total debe ser igual a la tensión interna total. Como todas las fibras tienen el
mismo esfuerzo (Fy ) en la condición plástica, las áreas arriba y abajo del eje neutro
deben ser iguales. Esta situación no se presenta en secciones asimétricas en la
condición elástica. El Ejemplo 8.1 ilustra los cálculos necesarios para determinar el
factor de forma de una viga T y la carga uniforme nominal wn que la viga
teóricamente puede soportar.
EJEMPLO 8.1Determine My, Mn y Z para la viga T de acero mostrada en la figura 8.5. Calcule también el factor de forma y la carga uniforme nominal (wn) que puede aplicarse a la viga en un claro simple de 12 pie. Fy = 36 ksi.
Figura 8.5
Los valores de los módulos plásticos para secciones estándar de acero están
tabulados en la parte 4 del Manual LRFD bajo el encabezado Load Factor Design
Selectíon Table for Shapes Used as Beams (Tabla para la selección de perfiles
usados como vigas según el método de diseño por factor de carga), así como en la
sección Dimensions and Properties (Dimensiones y propiedades) en la parte 1 del
Manual. Esos valores Z se usarán frecuentemente a lo largo del texto.
8.7 TEORÍA DEL ANÁLISIS PLÁSTICO
La teoría plástica básica tiene que ver con la distribución de esfuerzos en una
estructura, después de que en ciertos puntos de ésta se ha alcanzado el esfuerzo de
fluencia. Según la teoría plástica, aquellas partes de una estructura que han
alcanzado el esfuerzo de fluencia no pueden resistir esfuerzos adicionales; más
bien, esas partes fluirán la cantidad necesaria para permitir que la carga o esfuerzos
adicionales sean transferidos a otras partes de la estructura donde los esfuerzos se
encuentran por debajo del esfuerzo de fluencia y son capaces de absorber
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esfuerzos adicionales. Se puede decir que la plasticidad sirve para igualar los
esfuerzos en casos de sobrecarga.
Hacia 1914, el Dr. Gabor Kazinczy, de Hungría, percibió que la ductilidad del acero
permitía una redistribución de esfuerzos cuando se sobrecargaban las estructuras
estáticamente indeterminadas. En Estados Unidos, el prof. J.A. Van den Broek, pre-
sentó su teoría de la plasticidad a la que llamó diseño al límite. Esta teoría fue
publicada en un artículo titulado Theory of Limit Design (Teoría del diseño al
límite), en febrero de 1939, en los Proceedings of the ASCE.
Para esta exposición, se considera que el diagrama esfuerzo-deformación, tiene la
forma ideal mostrada en la figura 8.6. Se supone que para este acero coinciden en
el mismo punto tanto el punto de fluencia como el límite de proporcionalidad, y, que
el diagrama esfuerzo - deformación es una línea recta en la zona plástica. Más allá
de la zona plástica está la zona de endurecimiento por deformación. En esta última
zona, teóricamente podría permitirse que los miembros de acero soportasen
esfuerzo adicional pero, desde el punto de vista práctico, las deformaciones
ocasionadas serían tan grandes que no puede considerarse. Además, el pandeo
inelástico limitará la habilidad de una sección para desarrollar un momento mayor
que Mn aun si el endurecimiento por deformación es apreciable.
Figura 8.6
8.8 MECANISMO DE FALLA
Una viga estáticamente determinada falla si se desarrolla en ella una articulación
plástica. Para ilustrar este hecho, se considera la viga mostrada en la figura 8.7a) de
sección transversal constante, solicitada poruña carga concentrada a la mitad del
claro. Si se incrementa la carga hasta producir una articulación plástica en el punto
de momento máximo (en este caso abajo de la carga), se daría lugar a una
estructura inestable, como se muestra en la parte b) de la figura. Cualquier
incremento adicional de la carga causaría la falla. Representa la carga máxima
nominal o teórica que la viga puede soportar.
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Para que una estructura estáticamente indeterminada falle, es necesario que se
forme más de una articulación plástica. Se demostrará que el número de
articulaciones plásticas necesarias para que fallen las estructuras estáticamente
indeterminadas, varía de estructura a estructura, pero nunca pueden ser menos de
dos. La viga empotrada en sus dos extremos, que se muestra en la figura 8.8, no
puede fallar si no se han formado las tres articulaciones plásticas indicadas.
Figura 8.7
Figura 8.8
Aun cuando en una estructura estáticamente indeterminada se haya formado una
articulación plástica, la carga puede aún incrementarse sin que ocurra la falla,
siempre que la geometría de la estructura lo permita. La articulación plástica actuará
como una articulación real, por lo que respecta al incremento de carga. A medida
que la carga se incrementa, hay una redistribución de momentos, pues la
articulación plástica no puede soportar mayor momento. Al ir apareciendo en la
estructura otras articulaciones plásticas, llegará el momento en que habrá el número
suficiente de ellas, para causar la falla de la estructura. En realidad, puede
proporcionarse cierta carga adicional después del momento indicado, y antes de que
la falla ocurra, ya que los esfuerzos serian los correspondientes a la zona de
endurecimiento del material; sin embargo, esta condición no debe tomarse en
cuenta porque las deformaciones son muy grandes para ser aceptables.
Figura 8.9
La viga empotrada en un extremo y apoyada en el otro, de la figura 8.9 es un ejem-
plo de una estructura que fallará después de la aparición de dos articulaciones
plásticas. Para que se produzca la falla se necesitan tres articulaciones; se tiene
una real en el extremo derecho. En esta viga, el mayor momento elástico causado
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por la carga concentrada de diseño está en el empotramiento. A medida que la
magnitud de la carga se incrementa se va formando una articulación plástica en
dicho punto.
La carga puede incrementarse nuevamente hasta que el momento en algún otro
punto alcance el valor del momento plástico (en este caso es en el punto donde está
la carga concentrada.) Una carga adicional causará la falla de la viga. Se llama
mecanismo de falla a la disposición de articulaciones plásticas y quizá de
articulaciones reales que permiten la falla de la estructura. Las partes b) en las
figuras 8.7, 8.8 y 8.9 muestran mecanismos de falla para varias vigas.
Después de observar el gran número de vigas doblemente empotradas y empotra-
das en un extremo y apoyadas en el otro, utilizadas como ilustración en este libro, el
lector podría formarse la idea errónea de que encontrará frecuentemente esas vigas
en la práctica de la ingeniería. Estos tipos de vigas son difíciles de encontrar en las
estructuras reales, pero es muy conveniente utilizarlas en ejemplos ilustrativos,
sobre todo al hacer la introducción al análisis plástico, antes de considerar vigas
continuas y marcos.
8.9 MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL
Un método muy satisfactorio usado para el análisis plástico de estructuras es el
método del trabajo virtual. Se supone que la estructura considerada está cargada a
su capacidad nominal M„ y que luego se flexiona con un desplazamiento pequeño
adicional después de que se alcanza la carga última. El trabajo realizado por las
cargas externas durante este desplazamiento se iguala al trabajo interno absorbido
por las articulaciones.
Figura 8.10
En esta exposición se usa la teoría del ángulo pequeño. Según esta teoría, el seno
de un ángulo pequeño es igual a la tangente del mismo ángulo y también a éste
expresado en radianes. En las páginas que siguen, el autor usa esos valores de
modo intercambiable porque los desplazamientos pequeños considerados aquí,
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producen rotaciones o ángulos extremadamente pequeños.
Como primera ilustración, se considera la viga doblemente empotrada con carga
uniformemente repartida de la figura 8.10. Dicha viga y su mecanismo de falla, se re-
producen en la figura. Por simetría, las rotaciones en las articulaciones plásticas de
los extremos son iguales y se representan por en la figura; así, la rotación en la
articulación plástica del centro será 2.
El trabajo realizado por la carga externa total (wnL) es igual al producto de wnL
multiplicado por la deformación angular promedio del mecanismo. La deformación
angular promedio es igual a la mitad de la deformación de la articulación plástica del
centro. El trabajo externo se iguala al trabajo interno absorbido por las
articulaciones, o a la suma de los productos de Mn en cada articulación plástica por
el ángulo que ha girado. De la expresión resultante pueden despejarse los valores
Mn y wn como sigue:
El análisis plástico de la figura 8.11 puede utilizarse de modo semejante para la viga
apoyada en un extremo y empotrada en el otro. Otra vez las rotaciones en los
extremos son iguales, y se supone que valen.
Figura 8.11
El trabajo realizado por la carga externa Pn al moverse la distancia x L/2 se iguala
al trabajo interno realizado por los momentos plásticos en las articulaciones. Nótese
que no hay momento en la articulación real en él extremo derecho de la viga.
La viga empotrada en ambos extremos (Figura 8.12) muestra su mecanismo de falla
y las rotaciones angulares supuestas. De la figura de determinan los valores Mn y Pn
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mediante el método de trabajo virtual:
Figura 8.12
El estudio del análisis plástico requiere analizar todas las posibilidades de falla que
tiene una estructura particular; tal hábito resulta de máxima importancia cuando se
empiezan a analizar estructuras más complicadas. En el siguiente ejemplo de
análisis plástico, se usará el método del trabajo virtual para la viga propuesta en la
figura 8.13; esta viga que soporta dos cargas concentradas se muestra acompañada
de cuatro posibles mecanismos de falla, incluyendo los cálculos necesarios. Es
cierto que los mecanismos de las figuras b), d) y e) no son críticos, pero este hecho
no es obvio para el lector normal, a menos que haga los cálculos del trabajo virtual
para cada caso. El mecanismo e) de la figura se basa en la hipótesis de que el
momento plástico se alcanza simultáneamente bajo las cargas concentradas (una
situación que bien podría ocurrir).
El valor para el cual la carga de falla es mínima en función de Mn es el valor correcto
(o el valor donde Mn es máximo en función de Pn). Para esta viga, la segunda ar-
ticulación plástica se forma en la carga concentrada Pn siendo Pn igual a 0.154 Mn.
8.10 LOCALIZACIÓN ARTICULACION PLÁSTICAS CARGAS
UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDAS
No existe dificultad para localizar las articulaciones plásticas en la viga con carga
uniformemente repartida y doblemente empotrada; pero para otras vigas, también
con carga uniformemente repartida, empotradas en un extremo y apoyadas en el
otro, o aun en vigas continuas, el problema es un tanto más difícil. En esta sección
se considera la viga empotrada en un extremo y apoyada en el otro con carga
uniformemente distribuida, mostrada en la figura 8.14a).
El diagrama de momentos flexionantes para esta viga trabajando elásticamente se
muestra en la parte b) de la figura. A medida que la carga uniforme se incrementa,
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se formara una articulación plástica en el extremo empotrado. Ahora, la viga será en
efecto una viga "simplemente apoyada", con una articulación plástica en un extremo
y una articulación real en el otro. Los incrementos subsecuentes de la carga
causarán la modificación del diagrama de momentos, como se ha representado con
línea interrumpida en la parte b) de la figura. Este proceso continuará hasta que en
algún otro lugar (en la figura, a una distancia x del apoyo de la derecha), el
momento valga Mn y produzca otra articulación plástica.
La expresión del trabajo virtual para el mecanismo de falla de esta viga, mostrado
en la parte c) de la figura 8.14 se escribe como sigue:
Despejando Mn de esta ecuación y, haciendo dMx/dx=0, se encuentra que x
=0.4141.. Este valor es aplicable también a claros extremos de vigas continuas con
cargas uniformemente repartidas, con extremos simplemente apoyados, y se
ilustrara en la siguiente sección.
La viga anterior y su mecanismo de falla se reproducen en la figura 8.15. Utilizando
el procedimiento del trabajo virtual, la expresión del momento plástico es:
Figura 8.15
8.11 VIGAS CONTINUAS
Las vigas continuas son estructuras muy comunes. Su continuidad hace que su aná-
lisis sea algo complicado al usar la teoría elástica y la distribución resultante de es-
fuerzos no es tan exacta como pudiera suponerse aun al emplear alguno de los
métodos "exactos" de análisis.
El análisis plástico es aplicable tanto a estructuras continuas como a vigas de un
solo claro. Los valores resultantes reflejan en forma más realista la resistencia límite
de una estructura, que la que se obtiene con el análisis elástico. Las vigas continuas
pueden tratarse con el método del trabajo virtual tal como se hizo en el caso de las
vigas indeterminadas de un solo claro. Los ejemplos 8.2 y 8.3 se presentan para
ilustrar dos casos elementales de vigas continuas.
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Se supone aquí que la falla ocurre si una parte o el total de la estructura falla. En las
vigas continuas que analizaremos se escriben las expresiones del trabajo virtual
para cada claro por separado; de las expresiones resultantes se pueden despejar
las cargas máximas que las vigas pueden soportar.
• EJEMPLO 8.2
Se ha seleccionado una W18 x 55 (Zx= 112 pulg3) para la viga mostrada en la
figura8.16. Considerando acero A36 y soporte lateral total, determine el valor de w».
Figura 8.16
Claros adicionales incrementan poco la cantidad de trabajo implícito en el análisis
plástico. No puede decirse lo mismo del análisis elástico. El ejemplo 8.3 ilustra el
análisis de una viga con tres claros, que soporta una carga concentrada en cada
claro. El estudiante, con base en su conocimiento del análisis elástico, percibirá que
las articulaciones plásticas se formarán primero en los apoyos interiores y luego en
los centros de los claros extremos; en ese momento cada claro extremo poseerá un
mecanismo de falla.
8.12 MARCOS DE EDIFICIOS
En esta sección el análisis plástico se aplica a un pequeño marco de edificio. No es
la intención del autor estudiar los marcos detalladamente en este capítulo. Más bien,
desea mostrar al lector que el método del trabajo virtual es aplicable a marcos así
como a vigas y que hay otros tipos de mecanismos además de los tipos viga.
Para el marco considerado, se supone que se usa la misma sección W tanto para la
viga como para las columnas. Si esos miembros difieren en tamaño, será necesario
tomar eso en cuenta en el análisis.
El marco articulado en sus apoyos mostrado en la figura 8.18 es estáticamente in-
determinado de primer grado. El desarrollo de una articulación plástica lo convertirá
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en estáticamente determinado y la formación de una segunda articulación puede
crear un mecanismo. Hay, sin embargo, varios tipos de mecanismos que podrían
ocurrir en este marco. Un posible mecanismo de viga se muestra en la parte b), un
mecanismo de ladeo se muestra en la parte c) y un mecanismo combinado de viga y
ladeo se muestra en la parte d). La condición crítica es la que dé el menor valor de
Pn.
Figura 8.18 Mecanismos posibles para un marco.
El ejemplo 8.4 presenta el análisis plástico del marco en la figura 8.18. Las distan-
cias a través de las cuales las cargas tienden a moverse en los diversos
mecanismos deben ser estudiadas cuidadosamente. La solución de este problema
evidencia un punto de mayor importancia: La superposición no es aplicable en el
análisis plástico. Esto puede verse fácilmente estudiando las expresiones del trabajo
virtual para las partes b), c) y d) de la figura. Los valores de P^ obtenidos por
separado para los mecanismos de viga y ladeo no se suman para obtener el
mecanismo combinado de viga y ladeo.
Para cada mecanismo tenemos que considerar la situación en la que se tenga el
menor número posible de articulaciones plásticas que causen el colapso. Si se fija
usted en una de las expresiones del trabajo virtual, notará que ?„ resulta más
pequeño conforme el número de articulaciones plásticas decrece. Vea al respecto, la
parte d) de la figura 8.18. El marco puede ladearse hacia la derecha sin la formación
de una articulación plástica en la parte superior de la columna izquierda. Las dos
articulaciones plásticas marcadas A y B son suficientes para que el colapso ocurra.
• EJEMPLO 8.4
Una W12 x72 (Zx = 108 pulg) se usa para la viga y las columnas del marco mostrado
en la figura 8.18. Si Fy = 50 ksi, determine el valor de Pn
Solución. Las expresiones del trabajo virtual están escritas para las partes b), c) y d)
de la figura 8.18 y se muestran con las partes respectivas de la figura. Se encuentra
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que la viga combinada y el caso de ladeo es el caso crítico y de ahí se determina el
valor de ?„ como sigue:
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