VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS

DEFINICIN:

Se denomina de esta manera a una barra sujeta a carga lateral; perpendicular a su eje longitudinal, en la que el nmero de reacciones en los soportes superan al nmero de ecuaciones disponibles del equilibrio esttico, esto es: el nmero de incgnitas es mayor que:Se denomina de esta manera a una barra sujeta a carga lateral; perpendicular a su eje longitudinal, en la que el nmero de reacciones en los soportes superan al nmero de ecuaciones disponibles del equilibrio esttico, esto es: el nmero de incgnitas es mayor que:

La figura 1, muestra una viga de este tipo con un extremo simple A y el otro empotrado B bajo una carga puntual P.

A continuacin se muestra la viga indicando las reacciones en los soportes. En el soporte A existe slo reaccin vertical puesto que el rodillo no impide el desplazamiento horizontal. En el empotramiento en B hay dos reacciones dado que este soporte nopermite ni desplazamientos ni rotaciones.

Puesto que existen tres reacciones desconocidas; las fuerzas cortantes VAyVBy el momento flexionante MBy slo se dispone de dos ecuaciones de equilibrio;MyFy, la viga es estticamente indeterminada o hiperesttica pues no es posible conocer las tres reacciones con solo dos ecuaciones. (Hay ms incgnitas que ecuaciones).

Otro tipo de viga hiperesttica es aquella que tiene ms de dos soportes, y que se denomina Viga Continua, como la que se muestra en la figura 2.

Este caso corresponde a una barra mucho ms compleja de analizar puesto que ahora existen cinco reacciones externas de soporte; las fuerzas cortantes verticales y el momento flexionante en el empotramiento ubicado en A.

Para la solucin de estas vigas se requieren ecuaciones adicionales a las del equilibrio esttico, un camino a seguir consiste en hacer el anlisis de las deformaciones angulares o rotaciones de los nodos cuando las barras se flexionan (pandean), bajo el efecto de las cargas aplicadas. Este anlisis se plantea ms adelante.

INDETERMINACIN ESTATICA:

Se define como el nmero de acciones redundantes o exceso de reacciones internas y externas, que no es posible determinar por medio del equilibrio esttico. Se puede decir que es la diferencia entre el nmero de incgnitas y ecuaciones disponibles de equilibrio esttico. Por ejemplo la viga de la figura 1 tiene tres reacciones desconocidas y solose dispone de dos ecuaciones de equilibrio, la viga es indeterminada engrado 1:

Nmero de incgnitas = NI = 3Ecuaciones de equilibrio = EE = 2Grado de indeterminacin = GI = NI EE=3 2=1

Viga de la figura 2:

NI=Reacciones verticales y momento en el empotramiento = 5EE =Equil. vertical y suma de momentos = 2GI =5 2=3

En ambos casos los GI representan el nmero de ecuaciones adicionales para su solucin.

SOLUCION DE VIGAS HIPERESTATICAS:

Se analizan vigas estticamente indetermindas con objeto de conocer las reacciones externas e internas en los soportes, as como las deformaciones angulares y lineales que ocuren a travs de su longitud cuando se les somete a carga axterna. Las deformaciones angulares son las rotaciones o pendientes que se miden mediante una tangente trazada a la curva elstica (Diagrama de deformacin) y las lineales son los desplazamientos verticales que se miden entre el eje original de la viga y el eje cuando la barra se flexiona. La figura 3 muestra esta condicin.

P =Carga aplicada.=Rotacin o pendiente.=Deformacin lineal o flecha.Bibliografia:

Libro: Resistencia de Materiales.Autor: William F. Smith.Editorial: Mc Graw Hill.

TIPOS:Los tipos de vigas estticamente indeterminadas son:

A. Empotrada y articulada

B. Doblemente empotrada

Los tipos de carga segn su modo de aplicacin son: Puntual Uniformemente distribuidas No- uniformemente distribuidas Momento flectorMtodos de solucin de las reacciones sobrantes llamadas ligaduras: Doble integracin rea-momento Viga conjugada Superposicin

Utilizaremos el mtodo de la Doble Integracin Ec. de la curva elstica.:Aplicando el mtodo de la doble integracin a la ecuacin diferencial de la curva elstica se obtendr las ecuaciones de la pendiente y la deformacin, conteniendo las reacciones incgnitas sobrantes.Integrando la primera vez se obtiene la ecuacin de la pendiente en cualquier punto de la viga, donde las incgnitas sern las reacciones sobrantes y la constante de integracin C1:

Integrando una segunda vez se obtiene la ecuacin de la deformacin en cualquier punto de la viga, donde las incgnitas sern las reacciones sobrantes y las constantes de integracin C1 y C2 ;

A partir de las condiciones de los apoyos en la viga se podrn obtener estas incgnitas.

CASO 1: Para la viga mostrada en la figura, determinar: a) Las ecuaciones de: la elstica, la pendiente y la deformacinb) Las constantes de integracin c) Reacciones incgnitas.d) La pendiente y la deformacin a x =3m del apoyo izquierdo, E =200 GPa, I = 106mm4.e) La deformacin Mxima y su localizacin

Caso 1 Para la viga mostrada en la figura, determinar:a) Las ecuaciones de: la elstica, la pendiente y la deformacinb) Las constantes de integracin c) Reacciones incgnitasd) La pendiente y la deformacin a x =1m del apoyo izquierdo, E =200 GPa, I = 106mm4. e) La deformacin Mxima y su localizacin

PROCEDIMIENTO DE ANALISISA. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE Clculo de las ecuaciones de: la elstica, la pendiente y la deformacin.1. Obtencin de la Curva Elstica

2. Integrando dos veces la ecuacin 1 se obtiene la ecuacin de la pendiente y de la deformacin.