Villamosságtan 01

A Coulomb-törvény :

1 212

2

0

1

4

Q Q rF

r r

ahol,

Q = coulomb = 1C

0 = a vákuum permittivitása (dielektromos álladója)

9

0

19 10

4k

elektromos térerősség : F

EQ

ponttöltés tere : r 2

0

1

4

Q rE

r r

Az elektrosztatika I. alaptörvénye :

E

A

E d A

cosE d A E d A Ed A

Gauss tétele :

0

QE d A

zárt

felületre

A ponttöltés tere (levezetés)

Térerősség

rE

rE

rE

Q

Gömb

sugara: r d A

r rcos( )r

dA E E dA E dA

cos0 1

r

2

0 0

4

r r

r

E dA E dA E dA

Q Qr E

2

0

1

4r

QE

r

r Zárt felületre

Az elektrosztatika II alaptörvénye :

l l l

W F dr Q E dr Q E dr

0E dr Zárt görbe vonal menti

integráltja

Konzervatív erőtér (örvénymentes) : A

munkavégzés csak a kezdő és a végponttól

függ.

r rE gradU

0

r

r

r

WU E dr

Q

Elektromos potenciál

rAz egységnyi munka : -ból -be

viszünk egy ponttöltést. 0r

1J

1V1

UC

Ponttöltés potenciálja:

0

2r0

1U dr

4

r

r

Q r

r r

0r

2r0 0 0r

1 1

4 4 r r

Q dr QU

r

r0

1

4 r

QU

Eklvipotenciális felület : a felület minden pontja közt, a

potenciálkülönbség nulla.

Feszültség = Potenciálkülönbség

0r

Elektromos dipólus :

l

-Q +Q

P

P Q l

2

0

cos

4p

QlU

r

Dipólusmomentum

vektor

Töltéssűrűség :

2

C

m Q Q

A A

Kapacitás : Kondenzátor

Q C U

+

+

+

_

_

_

Gömbkondenzátor kapacitása :

0

1 2

4

1 1C

R R

11

1

CF

V

farad

Síkkondenzátor kapacitása : 0 AC

d

Kondenzátorok párhuzamos kapcsolása :

1 2eC C C

1C

3CKondenzátorok soros kapcsolása :

1 2 3

1 1 1 1

eC C C C

1C2C

2C

d A

rE b

+

+

+ l

+

+ r

+

+ d A

+

+ b

+

rE

rE

Töltéseloszlás kondenzátorokon :

+Q -Q +Q -Q +Q -Q

r r

r

0

E d A E dA E dA

QE l b

r r

Térerősség

Végtelen síklap és ezen a lapon a töltéseloszlás homogén

r cos90E d A

0

0

Tehát, az alsó, felső és

oldalsó lapokra a

fluxus nulla.

r2 E l b

l b

0

r

0

2

E

lapr

0

2 l b

E l b Q

Síkkondenzátor kapacitása :

+ _ -

+ d _

+ _

+ _

+ _

+ _

+ _

+ _

A térerő, itt + _ mindenhol nulla

A térerő, itt

mindenhol:

02

02

02

02

02

0 0

22

A

+Q -Q

d

0

QE

A

Q

A

Q C U

QC

U

0

Q dU E d

A

0A QC

d U

A kondenzátor energiája :

221 1 1

2 2 2

QW QU CU

C

QC

U

2

0

1

2

WE

V

Energiasűrűség : egységnyi

térfogatra jutó energia

Elektrosztatika anyagi közegben :

r r 0C C r

Dielektromos állandó

(relatív pemittivitás)

Dielektromos polarizáció :

- +

+ - + -

+ - + -

+ - + -

E

0D E P

d PP

dV

Polarizációs vektor Eltolási vektor

A Coulomb törvény módosulása :

112 2

0 r

1

4 r

Q QF

Sík kondenzátor módosult kapacitása :

0 rsík

AC

d

Az elektrosztatika alaptörvényei dielektrikumokban :

A

D d A Q 0 rD E

0 rr=0 /l

d 2

0 r

1 1

2 2E E D

Magnetosztatika : a nyugvó elektromos töltés nem lép

kölcsönhatásba a nyugvó mágneses töltéssel.

mágneses póluserősség : É , D

mágneses Coulomb törvény :

1 212 2

0

1

4m m r

Fr r

mágneses térerőség :

FH

m

0

7

0 4 10

1 weber m Wb

a vákuum mágneses permeabilitása

ahol,

A magnetosztatika alaptörvényei:

(csak mágneses dipólusok

vannak monopólus nincs)

0A

H d A

0l

H dr

I.

II.

A sztatikus mágneses tér, forrásmentes, konzervatív erőtér.

Magnetosztatika anyagi közegben :

1 2

2

0

1

4 r

m m rF

r r

r relatív mágneses permeabilitás

ahol,

mágneses indukció vektor :

0 rB H 1tesla 1TB

Mágneses polarizáció típusai :

Diamágneses anyagok: r 1 (pl.: réz, ólom, víz)

Paramágneses anyagok: r 1 (pl.:alumínium, platina, oxigén)

Ferromágneses anyagok: r 1 (pl.: vas, kobalt)

Curie pont: az a hőmérséklet, ahol a ferromágneses anyagok

elvesztik a mágneses képességüket.

Stacionárius ( egyen )-áramok :

dQI

dt 1amper 1A

CI

s

A A

I J n dA j d A

2

Aj

m áramsűrűsség :

Ohm törvénye :

U R I lR

A

fajlagos ellenállás (anyagra jellemző) 1ohm 1R

Elektromos vezető képesség :

1G

R 1siemens 1G S

A hőmérséklet hatása az ellenállásra :

0 1R R t

hőmérséklet koefficiens

Joule törvény :

a munka : W Q U

a teljesítmény : W

P U It

22U

P R IR

1watt 1P W

Elektromos hálózatok :

Kirhoff törvényei : I. (csomóponti törv.) : 0iI

II. (hurok törv.) :

A gerjesztési törvény (Ampere-féle) :

1 1

0n n

bi i i

i i

U I R

l

H dr I A zárt görbén átfolyó

áramok összege

vonal menti integráltja

egyenes, végtelen hosszú vezető mágneses tere:

(Biot-Savart-féle törvény Stacioner áram mágneses tere)

2

IH

R

szolenoid mágneses tere:

( hosszú egyenes tekercs ) nI

Hl

n = tekercs menetszáma

= a tekercs hossza l

r

0I

rH

rH

rH

H dr I

0H dA

cos( , )H dr H dr

0 rB H H 0H dr I02H r I

0

2

IH

r

00

2r

IB

r

Végtelen hosszú egyenes vezető

mágneses tere ( levezetés ) :

A

l

I

Szolenoid mágneses tere :

Mágneses tér hatása az áramra (Lorentz-erő) :

F I l B

drótra

F Q E Q v B

töltésre

Faraday-féle indukciótörvény :

A

B dA

Lenz-törvény (Indukált áram iránya)

i

dU

dt

Váltakozó áram :

U

t

A

i 0 maxsin sind

U A B t U tdt

t

0 0cos cosB B t

0 cosA B t

0B

Az effektív érték:

0tsinU U t

0 sinU tUI

R R

0 sinI I t

2

T

T t

0U

U

22U

P U I R IR

U

effU

t t+dt T t

tU

2

tU

dQ dtR

2

0

0

TeffUU

dt TR R

2

t

0

1U

T

effU dtT

2 2 2

0

0

1sin

T

effU U t dtT

A sinus feszültség effektív értéke (levezetés) :

2 2 2 2 2cos2 cos sin 1 sin sin 1 2sin

2 2 2

0 0

0 0

2 2

0 0

0 00 0

2

1 cos 2sin

2

1 cos 2 1 sin 2

2 2 2 4

T T

T TT T

T

tU t dt U dt

t tU dt dt U t

2 2 2

0 0

1 1

2 2eff

TU U U

T 0

2eff

UU

Teljesítmény illesztés :

Rb

R

0

b

UI

R R

0

b

k

UU I R R

R R

I

R

R

kU

R

kP

bR

2

0

b

k K

UP U I R

R R

2 2

0 0b

b b2

U UR R

R R R

2 2

0 0b2 2

bb4

U UR

RR R

2

b b4RR R R

2 2 2

b b b b b

2 2

b b

0 4 2 4

2

R R RR R RR R RR

R RR R

2

b0 R R tehát, ha R = Rb-vel akkor a P maximális

értékét éri el.

A transzformátor :

max 0sin sint

U U t U t

2

T

A

l

n2

n1 tI

1n IB

l

1

0 r

tn I

B A Al

12

12 2 0 r

L

d n A dIU n

dt l dt

2 12

tdI

U Ldt

Kölcsönös induktivitási együttható

2

11 1 0 r

L

d n A dIU n

dt l dt

Öngerjesztési feszültség

1

dIU L

dt

L – önindukciós együttható

L = 1 henry = 1H

12 0 r

2 2

2

11 10 r

n A dIn

U nl dt

n A dIU n

l dt

2 2

1 1

n U

n U

Maxwell egyenletek :

I.

II.

III.

IV.

D d A Q

dE dr

dt

B d A

dB dr I

dt

QE d A

E

H d A

dH dr I

dt

0 r

0 r

a,

b,

B H H

D E E D E

Izotróp rendszerre

Izotróp: az anyag minden irányban egyformán viselkedik

7

0

12

0

9

0

4 10

8,854 10

1 9 10

4

Vs

Am

As

Vm

kk

B

0 r

H dr I

B dr I I

Az eltolási áram ( levezetése ) :

Gauss tételéből

dQI

dt

dQ

A dt dQ A dE

' dI

dt dt

AdE

rd

B d Idt

vv

Eltolási

áram

Az elektromágneses hullámok terjedési sebessége :

ds

K

l

v

B

E

0 0

dA

d B ds lE l

dt dt

d

E ds lB l

dt

v M.2.E B

0 0 v= M.4.E B

2

0 0

0 0

8 ms7 12

v= v

1v

1v 3 10

4 10 8,854 10

E B E

M.2.

M.4.

az elektromágneses hullámok

terjedési sebessége vákuumban

A törésmutató levezetése :

r r 0 r

vák

r r

1 1

1

CE

C C

r 1

vák

r

1C C

rn

2

0

0

1 1

2 2 2 2

ED H B dEE B

dV

1

S E H E B

Poynting-vektor

S

E

B

Poynting-vektor

Kvázistacionárius hálózatok :

U C R L

i

QU U I R

C

dI QU L I R

dt C

dI QL R I U

dt C

dQI

dt

2

2

d Q dQ QL R U

dt dt C

2

2

d x dxm C Dx F

dt dt

R QQ Q U

L LC

2

02Q Q Q 1

LC

2

R

L

sint

tQ Ae t

0 ha,

2 2

0

Csillapított rezgőmozgás :

R

1

LC

2 1

T LC

Rezgőkör saját

frekvenciája

Thomson képlet

2T LC

Váltakozó áramú hálózatok :

R L C

U

t0

1t

dIL RI I dt U

dt C

0

0

sin

cos

U t

U t

t 0 0

jωt^

cos sinU U t j t U e

0

^ ^ ^ ^1t

L I R I I dt UC

( Komplex generátor feszültség )

( j = i ,immaginárius egység)

megoldás :

0

j t^ ^I I e 0

j t^ ^I j I e 0

0

jωt

^^ ^1

tI

I dt I ej j

,

0 00

jωt jωt jωt^ ^ ^ ^1

Lj I e R I e I e Uj

^ ^1I j t R U

j t

^ ^

^

^1

U UI

j t R Zj t

komplex impedancia

2

2^ 1Z Z R L

C

Impedancia

( váltakozó áramú ellenállás)

Az RLC kör legkisebb ellenállása :

1

L

C

X L

XC

Induktív reaktancia

és

Kapacitív reaktncia

1

L C

LX X Ctg

R R

j^Z Z e

0 0

jωtj ωt

j

^^

^t

U e UUI e

ZZ eZ

0 sint

U U t ha ,

0m

^sin

t t

UI j I t

Z

22

min L CZ R X X R

Rezonancia : RLC kör ellenállása minimális

maxI

1 1 L

C LC

Thomson képlet

R L C

U

^

RX R

^

LX L j

^ 1 1CX j

C j C

^ ^ ^ ^ 1R L CZ X X X R L j j

C

RLC kör :

Párhuzamos RLC körök eredő impedanciája :

R1 L1 C1

R2 L2 C2

U

1

^Z

2

^Z

1 1 2 2

1 2

1 2

^

^ ^ ^

1 1 1

e

1 1 1

e

j jR jL R jLZ

C C

Z Z Z