visoka zdravstvena školaoliverap/vjezbeizstatistike/8_hi...zdravstveno veleučilište u zagrebu...

Zdravstveno veleučilište u Zagrebu Vježbe iz statistike

1

2 test

2 test (hi-kvadrat) je statistički postupak koji je veoma praktičan i često se koristi, a služi da

bi utvrdili odstupaju li dobivene - opažene frekvencije (fo) od frekvencija koje bismo očekivali uz

određene hipoteze (teoretske ili očekivane frekvencije - ft ). Drugim riječima, je li odstupanje

između opaženih i teoretskih frekvencija dobiveno slučajno uslijed greške pri uzorkovanju, ili je to

prava razlika?

Opažene frekvencije su one koje dobijemo nekim istraživanjem, npr. broj ljudi s određenom

dijagnozom, broj pušača u nekom uzorku, broj prijevremeno rođene djece kod majki s dijabetesom i

kod majki bez dijabetesa itd. Označava se grčkim slovom hi. I on, kao i t-test, spada u

inferencijalnu statistiku.

( )

t

2

to2

f

f-fΣ=χ pri čemu fo znači opažene frekvencije,

a ft teoretske ili očekivane frekvencije.

No, za razliku od t-testa i nekih drugih računa koji se mogu primijeniti samo na

kvantitativne podatke, hi2 je primjenjiv i kada su podaci izraženi na nominalnoj ljestvici, dakle kada

se radi o kvalitativnim podacima (kategorije kao što su spol, rasa, mjesto rođenja). Također, t-test se

smije računati samo ako su podaci raspoređeni prema normalnoj ili barem simetričnoj raspodjeli,

dok hi2 možemo primijeniti i ako je distribucija rezultata značajno različita od normalne. Dakle,

kada ne možemo upotrijebiti tzv. parametrijsku statistiku, koja zahtijeva normalnu distribuciju i

kvantitativne podatke, koristi se hi2 koji spada u tzv. neparametrijsku statistiku.

Bitno je naglasiti da se 2 test računa samo na frekvencijama (brojene vrijednosti, npr. broj

bolesnika na odjelu, broj novina koje se svaki dan prodaju na kiosku, broj pobačaja kod

maloljetnica u Hrvatskoj, broj studenata koji su prošli na ispitu itd.) i u račun nije dopušteno uvrstiti

nikakve mjerene vrijednosti, mjerne jedinice ni postotke. Osnovni podaci u istraživanju dakako,

mogu biti i mjerene vrijednosti, ali se u 2 test unose samo njihove frekvencije. Npr. ako imamo

podatke o plaćama radnih terapeuta u Hrvatskoj, te o njihovom zadovoljstvu poslom, potrebno je

plaće kategorizirati u dvije ili tri kategorije (npr. 2000-3500 kn – niska; 3501-5000 – srednja; 5001-

6500 visoka), te pobrojiti frekvencije u svakoj kategoriji. Zadovoljstvo poslom možemo

kategorizirati kao ZADOVOLJAN ili NEZADOVOLJAN, odnosno također se može iskazati u tri

kategorije (nisko, srednje, visoko).


2

Hi-kvadrat dopušta provjeru različitih hipoteza; pri čemu se računski izvodi uvijek na isti

način, samo je različit način određivanja teoretskih frekvencija.

2 test možemo upotrijebiti u ovim slučajevima:

1. Kad imamo frekvencije JEDNOG UZORKA i provjeravamo razlikuju li se dobivene frekvencije

od frekvencija koje očekujemo uz neku hipotezu - npr.:

hipoteza o slučajnoj raspodjeli, na primjer kod bacanja novčića: bacimo novčić 100 puta,

i dobijemo 40 puta pismo i 60 puta glavu, a po slučaju je 50:50, pa uspoređujemo te dvije

distribucije da vidimo postoji li statistički značajna razlika među njima.

hipoteza postavljena na osnovi nekog poznatog odnosa u populaciji, npr. od ukupnog

broja oboljelih od raka 25% se odnosi na rak dojke, a mi želimo usporediti da li se naših

63 slučajeva raka dojke od ukupno 250 na klinici za tumore razlikuje od poznatog udjela.

hipoteza o normalnoj raspodjeli, npr. česta kada promatramo sposobnosti: da li je neka

sposobnost normalno raspodijeljena među ispitanicima u našem uzorku.

2. 2 možemo testirati i DVA ILI VIŠE NEZAVISNIH UZORKA i želimo ustanoviti razlikuju li se

uzorci u opaženim svojstvima. Npr. postoji li statistički značajna razlika u udjelu studenata i

studentica na studiju fizioterapije i sanitarnih inženjera.

3. Postoji i hi2 za zavisne uzorke. Kad imamo frekvenciju DVAJU ZAVISNIH UZORAKA (1

grupa) koji imaju dihotomna svojstva. Uspoređuju se rezultati jedne te iste grupe “prije” i

“poslije” tj. ispituje se je li došlo do promjene. Naziva se još McNemarov test.

2 test ima i određena ograničenja pri uporabi:

- test nije dobro koristiti ako su očekivane frekvencije premale. Svaka očekivana frekvencija

trebala bi iznositi barem 5.0

- najmanji broj rezultata na kojem se može primijeniti 2 mora iznositi barem 20.

2 na jednom uzorku:

- usporedba sa slučajnom distribucijom

1) U 100 bacanja novčića dobili smo 44 puta glavu i 56 puta pismo. Utvrdite postoji li statistički

značajna razlika između dobivene distribucije i distribucije po slučaju.


3

Tablica za hi-kvadrat test trebala bi izgledati poput ove niže. U prvi stupac upisujemo

opažene frekvencije, dakle, one podatke koje smo dobili u istraživanju, podatke „s terena“. U ovom

zadatku teoretska distribucija je slučajna, što znači da su sve ft međusobno jednake, a njihovu

vrijednost dobit ćemo tako da sumu frekvencija podijelimo s brojem kategorija (100 : 2). Potom

utvrdimo razliku opaženih i teoretskih frekvencija. Po nekim autorima, tu razliku prije kvadriranja

treba umanjiti za 0.5 kad god radimo s jednim stupnjem slobode, i to njezinu apsolutnu vrijednost,

dakle, zanemarujući predznak. To je tzv. Yatesova korekcija za kontinuitet. No, kako većina autora

tvrdi, Yatesova korekcija ne doprinosi bitno preciznosti hi kvadrat testa, pa ni mi nećemo

primjenjivati. Kada smo kvadrirali razlike, potrebno je svaku pojedinu podijeliti s pripadajućom

teoretskom frekvencijom, te zadnji stupac na koncu zbrojiti. Dobiveni zbroj je hi-kvadrat test.

Naime, formula nam služi kako bi nas vodila kroz postupak, pa još jednom naglašavam da dobiveni

zbroj zadnjeg stupca ne treba uvrštavati u formulu.

fo

ft

fo - ft

(fo - ft)2

t

2to

f

ff

44

56

50

50

-6

6

36

36

0.72

0.72

100 100 1.44

Hi2 =2= 1.44

Sada je potrebno, kao i kod t-testa, utvrditi je li dobiveni hi-kvadrat značajan ili nije. Za to nam

trebaju stupnjevi slobode (df). Za hi kvadrat test na jednom uzorku, stupnjevi slobode određuju se

tako da broj kategorija umanjimo za 1. Ovdje imamo dvije kategorije, glavu i pismo, pa stoga

imamo 1 stupanj slobode.

df = N kategorija - 1

Očitamo granične vrijednosti uz odgovarajući stupanj slobode iz tablice za hi-kvadrat, te naš hi-

kvadrat usporedimo s graničnim vrijednostima po istom principu koji smo svladali za t-test.

Kako je dobiveni hi-kvadrat manji od granične vrijednosti uz

5% rizika, zaključujemo da ne postoji statistički značajna

razlika između naše distribucije i distribucije po slučaju.

Dobiveni 2= 1.44

df = broj kategorija-1 = 2-1 = 1

Granični 2 (5%) = 3.84

Granični 2 (1%) = 6.63

P>0.05


4

2) U 120 bacanja kocke jedinicu smo dobili 25 puta, dvojku 17 puta, trojku 15, četvorku 23, peticu

24 puta i šesticu 16 puta. Razlikuju li se dobiveni rezultati statistički značajno od očekivanog po

slučaju?

fo

ft

fo - ft

(fo - ft)2

t

2to

f

ff

1

2

3

4

5

6

25

17

15

23

24

16

20

20

20

20

20

20

5

-3

-5

3

4

-4

25

9

25

9

16

16

1.25

0.45

1.25

0.45

0.80

0.80

120 120 Σ 5.00

Ne postoji statistički značajna razlika između naše distribucije

i distribucije po slučaju.

3) Pitali smo 91-og pacijenta koja im je terapija bila najučinkovitija od tri vrste terapije koju su

prošli. 26 pacijenata navelo je elektroterapiju, 23 masažu, a preostali su se odlučili za plivanje.

Zanima nas postoji li statistički značajna razlika između naše distribucije i slučajne kako bi utvrdili

preferiraju li pacijenti statistički značajno jednu vrstu terapije u odnosu na drugu.

fo

ft

fo - ft

(fo - ft)2

t

2to

f

ff

26

23

42

30.33

30.33

30.33

-4.33

-7.33

11.67

18.748

53.73

136.189

0.618

1.77

4.49

91 91 6.88

Razlika je statistički značajna. Pacijenti značajno više biraju

plivanje kao najučinkovitiju terapiju, nego elektroterapiju ili

masažu.

Dobiveni 2= 5


Granični 2 (5%) = 11.070

Granični 2 (1%) = 15.086

P>0.05

Dobiveni 2= 6.88


Granični 2 (5%) = 5.991

Granični 2 (1%) = 9.210

P<0.05


5

2 na jednom uzorku:

- usporedba s poznatim udjelom

Poznati udio ili zadani udio u populaciji odnosi se na već utvrđenu vrijednost (frekvenciju ili

postotak) u populaciji s kojom želimo usporediti naš uzorak. Slijede primjeri:

4) Od ukupnog broja oboljelih od raka, 18% odnosi se na rak dojke. Zanima nas razlikuje li se ta

distribucija u populaciji od one koju smo dobili na našem uzorku: od 250 slučajeva tumora

registriranih u klinici za tumore u posljednjih 6 mjeseci, 63 je pacijentica s rakom dojke.

Pri postavljanju ovog zadatka, moramo voditi računa da je ovih 250 slučajeva ukupan broj

opaženih frekvencija, od čega 63 otpada na tumor dojke, a preostali na druge tumore. Dakle, imamo

dvije kategorije. S obzirom da u tablicu za hi-kvadrat ne smijemo stavljati postotke, ovih 18%

moramo pretvoriti u teoretsku frekvenciju pomoću postotnog računa. Trebamo dobiti koliko je 18%

od 250, te onda dobiveni broj oduzeti od 250 kako bi dobili drugu teoretsku frekvenciju. Dalje

postupak slijedi kao i u prethodnoj vrsti hi-kvadrat testa.

45=100

250×18=

100

SVE×%=f t

fo

ft

fo - ft

(fo - ft)2

t

2to

f

ff

63

187

45

205

18

-18

324

324

7.2

1.58

250 250 8.78

Hi2 =2= 8.78

U našem istraživanju je statistički značajno veći udio tumora

dojke u odnosu na situaciju u cijeloj Hrvatskoj.

5) Udio osoba starijih od 60 godina u općoj populaciji Hrvatske iznosi 21.6%. U našem uzorku, od

2530 osoba, bilo je 598 osoba starijih od 60 godina. Utvrdite razlikuje li se značajno udio starijih

osoba u našem uzorku, od onog u općoj populaciji.

Dobiveni 2= 8.78


Granični 2 (5%) = 3.84

Granični 2 (1%) = 6.63

P<0.01


6

48.546=100

2530×6.21=

100

SVE×%=f t

fo

ft

fo - ft

(fo - ft)2

t

2to

f

ff

598

1932

546,48

1983,52

-51,52

51,52

2654.31

2654.31

4.86

1,34

2530 2530.00 6.20

Hi2 =2= 6.20

U našem istraživanju je statistički značajno veći udio osoba

starijih od 60 godina u odnosu na opću populaciju u Hrvatskoj.

6) U gradu Zagrebu je u ožujku 2010. bilo 11,7% nezaposlenih, što ukupno iznosi 37.327 ljudi. U

našem istraživanju sudjelovalo je 1053 subjekata s područja grada Zagreba, od čega je 98

nezaposlenih. Utvrdite razlikuje li se broj nezaposlenih u našem istraživanju od onog u populaciji

grada Zagreba.

fo

ft

fo - ft

(fo - ft)2

t

2to

f

ff

98

955

123,2

929,8

-25,2

25,2

635.04

635.04

5.15

0.68

1053 1053.00 5.83

Razlika je statistički značajna uz rizik manji od 5%: u našem

uzorku udio nezaposlenih je značajno manji nego u gradu

Zagrebu.

Dobiveni 2= 6.20


Granični 2 (5%) = 3.84

Granični 2 (1%) = 6.63

P<0.05

Dobiveni 2= 5.83


Granični 2 (5%) = 3.84

Granični 2 (1%) = 6.63

P<0.05


7

2 na 2 i više nezavisnih uzoraka

7) Od ukupno 73 studenta na I godini studija sanitarnih inženjera, 21 ih je ženskog spola, dok je na

studiju fizioterapije I godine upisano 50 studentica od ukupno 96 studenata. Utvrdite postoji li

statistički značajna razlika u udjelu studenata i studentica na studiju fizioterapije i sanitarnih

inženjera.

Kako bi riješili ovaj zadatak, potrebno je prvo napraviti tablicu koja će nam biti osnova za

izračunavanje teoretskih frekvencija. U tablicu treba unijeti obje varijable, i spol i studij. Koja će

varijabla biti po redovima, a koja po stupcima, sasvim je svejedno, no, treba unijeti ne samo

subjekte s promatranim obilježjem, već i one koji nemaju promatrano obilježje, a to su u ovom

slučaju muškarci. U tablici treba naznačiti sume po stupcima i po redovima čiji ukupan zbroj mora

biti jednak.

STUDENTICE STUDENTI Ukupno

FT

SAN

50

21

46

52

96

73

Σ 71 98 169

Četiri frekvencije koje se nalaze u središnjem dijelu tablice predstavljaju opažene

frekvencije. Teoretske frekvencije ft dobijemo tako da za svaku kućicu POMNOŽIMO SUMU

REDA SA SUMOM STUPCA I PODIJELIMO S TOTALNOM SUMOM FREKVENCIJA:

Ukupno

FT 71 x 96 /169=

40,33

98 x 96 /169=

55,67

96

SAN 71 x 73 /169=

30,67

98 x 73 /169 =

42,33

73

Ukupno 71 98 169

Suma očekivanih/teoretskih frekvencija mora biti jednaka sumi opaženih frekvencija i to

nam služi za kontrolu da li smo dobro izračunali ft. Toleriraju se samo mala odstupanja vezana uz

zaokruživanje decimalnih brojeva.


8

fo

ft

fo - ft

(fo - ft)2

t

2to

f

ff

50

21

46

52

40.33

30.67

55.67

42.33

9.67

9.67

9.67

9.67

93.51

93.51

93.51

93.51

2.32

3.05

1.68

2.21

169 169.00 9.26

df = (broj redova -1) x (broj stupaca -1) – računa se samo broj kategorija

Postoji statistički značajna razlika u omjeru studenata i studentica na I

godini studija fizioterapije i sanitarnih inženjera: na studiju

fizioterapije je značajno veći udio studentica nego na studiju sanitarnih

inženjera.

8) Za dvije skupine bolesnika, od kojih je jedna koristila serum (grupa A), a druga nije (grupa B)

želimo utvrditi razlikuju li se značajno po broju osoba koje su se oporavile. Učestalost oporavka u

skupini koja je dobila serum jest 75 oporavljenih osoba, od ukupno 100 koliko ih je primilo serum.

U skupini bez seruma bilo je također 100 osoba, od kojih se oporavilo 65 osoba.

Sami napravite 2 x 2 tablicu za hi-kvadrat, izračunajte hi-kvadrat i odredite je li razlika u

broju oboljelih statistički značajna ili nije.

oporavili se nisu se oporavili

A

B

75

65

25

35

100

100

140 60 200

Dobiveni 2= 9.26

df = 1 x 1 = 1

Granični 2 (5%) = 3.84

Granični 2 (1%) = 6.63

P<0.01


9

fo

ft

fo - ft

(fo - ft)2

t

2to

f

ff

75

25

65

35

70

30

70

30

5

5

5

5

25

25

25

25

0.36

0.83

0.36

0.83

200 200 2.38

Ne postoji statistički značajna razlika u broju osoba koje su se

oporavile između skupine koja je primila serum (A) i skupine koja nije

primila serum (B).

9) Ispitajte postoji li statistički značajna razlika u učestalosti raka pluća između pušača i nepušača.

U promatranoj skupini pušača od 488 osoba, njih 13 oboljelo je od raka pluća, dok je u skupini od

660 nepušača oboljelo 5 osoba.

Pušači Nepušači

S rakom pluća

Bez raka pluća

13

475

5

655

18

1130

488 660 1148

fo

ft

fo - ft

(fo - ft)2

( )

t

2

to

f

f-f

13

5

475

655

7.65

10.35

480.35

649.65

5.35

-5.35

-5.35

5.35

28.62

28.62

28.62

28.62

3.74

2.77

0.06

0.04

1148 1148.00 6.61

Dobiveni 2= 2.38

df = 1 x 1 = 1

Granični 2 (5%) = 3.84

Granični 2 (1%) = 6.63

P>0.05


10

Postoji statistički značajna razlika u udjelu oboljelih od raka pluća

između pušača i nepušača: u skupini pušača ima značajno više

oboljelih od raka pluća.

10) Studenti su podijeljeni u 3 grupe i zadano im je gradivo koje moraju naučiti pomoću 3 različite

metode (A, B i C). Na provjeri znanja, od 55 ljudi koji su učili metodom A, 50 studenata je

zadovoljilo za prolaz, od 61 osobe koja je učila metodom B, prošlo je 47 osoba, dok je u skupini

studenata koji su učili metodom C palo 8 od ukupno 64 studenta. Utvrdite postoji li statistički

značajna razlika u prolaznosti studenata s obzirom na različitu metodu kojom su učili.

A B C

Zadovoljio

Nije zadovoljio

50

5

47

14

56

8

153

27

55 61 64 180

fo

ft

fo - ft

(fo - ft)2

t

2to

f

ff

50

47

56

46.75

51.85

54.40

3.25

-4.85

1.60

10.56

23.52

2.56

0.226

0.454

0.047

5

14

8

8.25

9.15

9.60

-3.25

4.85

-1.60

10.56

23.52

2.56

1.280

2.572

0.267

180 180.00 4.846

Ne postoji statistički značajna razlika u uspješnosti studenata između

skupina koje su učile pomoću tri različite metode.

Dobiveni 2= 6.61

df = 1 x 1 = 1

Granični 2 (5%) = 3.84

Granični 2 (1%) = 6.63

P<0.05

Dobiveni 2= 4.846

df = 1 x 2 = 2

Granični 2 (5%) = 5.99

Granični 2 (1%) = 9.21

P>0.05


11

11) Istraživača je zanimalo koja srednja škola najbolje priprema učenike za prijamni ispit.

Promatrani su maturanti iz tri srednje škole (I, II i III gimnazija), te je utvrđeno da od 89 učenika I

gimnazije koji su se prijavili na prijamni ispit, njih 69 ga je i položilo; od 123 učenika II gimnazije,

94 je položilo prijamni ispit, te iz III gimnazije je 47 učenika položilo prijamni od ukupno njih 62

koji su se prijavili na fakultete.

POLOŽILI NISU POLOŽILI Σ

I

II

III

69

94

47

20

29

15

89

123

62

Σ 210 64 274

fo

ft

fo - ft

(fo - ft)2

( )

t

2

to

f

f-f

69

94

47

68.21

94.27

47.52

0.79

-0.27

-0.52

0.6241

0.0729

0.2704

0.0091

0.0007

0.0057

20

29

15

20.79

28.73

14.48

-0.79

0.27

0.52

0.6241

0.0729

0.2704

0.0300

0.0025

0.0187

274 274.00 0.0667

ako se računa na dvije decimale 0.04

Ne postoji statistički značajna razlika između maturanata triju srednjih

škola u uspješnosti upisa na fakultete.

PONOVIMO:

2 test spada u neparametrijsku statistiku – za njegovo korištenje nije važno da rezultati

budu normalno distribuirani.

Može se koristiti i na nominalnoj mjernoj skali.

Dobiveni 2= 0.067

df = 1 x 2 = 2

Granični 2 (5%) = 5.99

Granični 2 (1%) = 9.21

P>0.05


12

Razlikujemo opažene i teoretske frekvencije. Opažene f dobijemo u istraživanju, a

teoretske moramo izračunati sami.

Vrste hi-kvadrat testa koje smo koristili su 2 na jednom uzorku, te 2 na 2 i više nezavisnih

uzoraka. Od 2 na jednom uzorku radili smo usporedbu sa slučajnom distribucijom, te sa

zadanim udjelom u populaciji.

Nacrtajte mentalnu mapu na temu 2 testa kako biste si lakše uobličili i organizirali gradivo.

LITERATURA:

1. Dyer, C. (1995) Beginning research in psychology. Oxford: Blackwell Publishers Inc.

2. Howell, D.C. (1989) Fundamental Statistics for the Behavioral Sciences. Boston: PWS – Kent

Publishing Company.

3. Petz, B. (1997) Osnovne statističke metode za nematematičare. Jastrebarsko: Naklada Slap.

4. http://www.enviroliteracy.org/pdf/materials/1210.pdf Preuzeto 19.05.2010.

NAPOMENE:

Svi podaci u ovim zadacima izmišljeni su za potrebe vježbi studenata i ne predstavljaju stvarno stanje u navedenim

populacijama.

U zadacima točni rezultati mogu biti i oni koji donekle odstupaju od navedenih rezultata, uslijed rada s drukčijim

brojem decimalnih vrijednosti.

Zadnja promjena 25.10.2017.

http://www.enviroliteracy.org/pdf/materials/1210.pdf

visoka zdravstvena školaoliverap/vjezbeizstatistike/8_hi...zdravstveno veleučilište u zagrebu...

Documents