Vježba analize

Spoznajna radnja

Opišite kako pronalazite odgovor na pitanje iz zadataka!

Poredak

O kakvom je poretku riječ?

Opišite spoznajnu radnju

Je li ovaj zadatak težak?

Skupovi

Kako je uveden pojam o skupu?

Opišite odnos

Opišite čije se (ne)postojanje treba utvrditi odnos na formalan način!

Korespondencija i skupovi

Usporedite ovaj niz zadataka s prethodnim nizom zadataka!

Nula

Opravdajte ili kritizirajte didaktičku odluku po kojoj učenje prirodnih brojeva započinje s učenjem o nuli!

Brojevi

Struktura

Piaget, Jean (1896-1980)

“[Totalitet] struktura je sustav transformacija, koji obuhvaća zakone sustava (za razliku od svojstava elemenata), [Konzervacija] i koji se održava i obogaćuje zahvaljujući samoj igri svojih transformacija, [Autoregulacija] pri čemu one ne prelaze svoje granice niti se oslanja na vanjske elemente.”

10

Prva otkrivena struktura: grupa

Grupa.◦ Asocijativnost: (x°y)° z = x°(y°z)

◦ Identitetni element: x°e = x = e°x

◦ Inverzi: za svaki x postoji y t.d. x°y = e = y°x.

Boole-ova algebra ◦ 1. i su komutativne operacije. Za svaki x, y

iz B, vrijedi da x y = y x, te x y = y x.

◦ 2. Svaka među operacijama i distribuira se nad drugom. Za svaki x, y, z iz B, vrijedi da x (y z) = (x y) (x z), te x (y z) = (x y) (x z).

◦ 3. U skupu B postoji različiti identitetni element za svaku operaciju i . Ti se elementi obično označavaju sa simbolima 0 i 1 kod kojih vrijedi 0 ≠ 1, te oni imaju svojstvo da 0 x = x, i 1 x = x za svaki x iz B.

◦ 4. Za svaki x iz B postoji različiti odgovarajući element kojeg nazivamo komplementom od x, obično označen s x'. S obzirom na operacije i , element x' je takav da x x' = 1 i x x' = 0.

11

Strukturalna analiza

Struktura omogućuje spoznaju

“[...] prve se operacije, kojima se djeca služe u svom razvoju i koje se izravno izvode iz općenitih koordinacija njihovog djelovanja na predmete, mogu podijeliti u tri velike kategorije, polazeći od toga ostvaruje li se njihova reverzibilnost inverzijom kao u algebarskim strukturama (...strukture klasifikacije i brojevi), reciprocitetom kao kod struktura uređenja (...serijacije...) ili kao u topološkim strukturama”

12

Epistemološki problem: dječji pojam o broju

Piaget: pojam o broju je pojam za čije stjecanje nisu dovoljne “logičke” operacije apstrakcije i serijacije.

Potrebna je nova struktura:◦ Ekstremna apstrakcija,◦ Ekstremna serijacija,◦ Njihov sinteza.

Piaget preuzima logicistički pojam o prirodnom broju.◦ Prirodni broj n jest svih skupova koji imaju točno n članova.

13

Analizirajmo pitanje!

Kako djeca stječu pojam o prirodnim brojevima?

Pitanje pripada teoriji učenja (psihologiji, kognitivnoj znanosti,…), ali to pitanje pretpostavlja da već posjedujemo odgovor na druga dva pitanja.◦ Što je pojam?

◦ Što je prirodni broj?

14

Didaktičke odluke

Ovise i o “prirodi gradiva”, bolje rečeno –o RAZUMIJEVANJU prirode gradiva.

Razumijevanje “prirode i građe gradiva” jest “filozofija tog gradiva”.◦ Filozofija odgoja nije važna samo zbog cjelovitog pristupa odgoju, već i zbog rasvjetljavanja filozofske dimenzije u pitanjima “kratkog dosega”.

15

Nužna digresija

Što su prirodni brojevi?

Logicizam

Postoje brojevi!

Jednakobrojnost

Hume (18.st.): jednakobrojne su dvije cjeline ako svaki član prve možemo povezati s jednim članom druge bez ponavljanja, i obratno.

Napuštanje Euklidovog aksioma: “Cjelina je veća od dijela”.

Razlike u relacijskom pojmu “biti veći od”: ◦ A je veće od* B akko je A uključeno u B.◦ A je veće od** B akko svaki primjerak iz B možemo

povezati s uvijek drugim primjerkom iz A, ali ne i obratno.

Skup prirodnih brojeva je veći od* skupa parnih, ali nije veći**.

18

Relacije: kvalificirane i nekvalificirane

A i B su jednakobrojni akko postoji relacija R takva da:◦ x[xA y(yB R(x,y))],

◦ x[xB y(yA R(y,x))],

◦ xyz[(R(x,y)R(x,z))y=z].

Što znači postoji relacija?◦ Jesu povezani.

◦ Mogu biti povezani.

19

Frege: broj kao ekstenzija pojma

Ekstenzija pojma “jednakobrojan s pojmom Zemljin prirodni satelit” je *skup svih pojmova koji se primjenjuju na točno jedan predmet*

„1‟ je ime za *....*

U definiciji se ne smije javljati empirijski pojam ako hoćemo reducirat aritmetiku na logiku.

Standardni pojmovni uzorak koji koristi jedino logičke pojmove.

20

Frege, Gottlob (1848-1925)

Reducibilnost

Fregeov pristup je preuzet u logicizmu: kardinalni broj nekog skupa S je skup *S* koji obuhvaća sve skupove koji su ekvivalentni skupu S.

Prirodne brojeve možemo definirati unutar logike (koristeći logičke pojmove: identitet, jednakobrojnost, ekstenzija...).

21

Quine: ‘1’ je ime za ...

{ xy(yx=y)}

Skup skupova

Skupovi

Predmeti

22

Aritmetički zakoni ovise o svojstvima brojeva

Zbrajanje brojeva i može se definirati pomoću sljedeće okolnosti: skup ima +članova ako i samo ako se može podijeliti u dva dijela i takva da ima članova a ima članova. Reći da ima članova, gdje je broj, znači reći da . Zato možemo definirati + kao skup skupova takvih da se može podijeliti u dva dijela i takva da i .

„+‟ stoji za „{:[..x(x.x).x(x.:xx)]}

23

Biti broj?

Biti broj znači pripadati svakom skupu kojemu pripada 0 i kojem pripada 1+svaki broj.

„‟ stoji za

„[0.(..1+)..]

Možemo iskazati odnose količina.

ima koliko i .

(N..)

24

Strukturalizam

Postoje samo brojevne strukture

Paul Benaceraff: brojevi i strukture

“Tumačenje aritmetičkih rečenica kao rečenica koje govore o određenim "predmetima" dovodi do brojnih poteškoća koje se lako uklanjanju čim se prepozna da aritmetičke rečenice opisuju strukturu odnosa dok svojstva "predmeta" koji mogu instancirati takvu strukturu nisu dohvatljiva unutar aritmetičkog jezika.”

Benaceraff daje matematičku priču o Ernieu i Johnnyju, djeci dvojice zagriženih logičara čiji je naobrazba započela s teorijom skupova, a tek potom su uvedene brojke, koje su time bile samo nova imena za poznate skupove. Poučili su ih da postoji skup koji obični ljudi nazivaju prirodnim brojevima, a koji je zapravo njima već poznati beskonačni skup N.

26

Relacija je važna

Rekli su im da je na tom skupu definirana relacija R (manji-od) koja je ◦ irefleksivna

x¬R(x,x),

◦ tranzitivna x y z [R(x,y)R(y,z))→R(x,z)],

◦ asimetrična x y[(R(x,y)→¬R(y,x)],

◦ povezana xy[x≠y→(R(x,y)R(y,x))],

◦ Takva da bilo koji podskup od N ima najmanji element xy[x≠y→R(x,y)],

◦ itd.

Ukratko elementi iz N tvorili su niz. ◦ Ernie i Johnny su naučili da ono što obični ljudi nazivaju s 1 zapravo jest najmanji

element od N pod R, našli su odgovarajuće prijevode i za ostale aritmetičke termine.

Npr. sljedbenik-od(x)=y akko R(x,y)¬z(R(x,z)R(z,y)). Uz riječima neopisivo zadovoljstvo njihovih roditelja, ta su djeca mogla

dokazati Peanove aksiome, koji su njihovi vršnjaci morali prihvaćati bez dokaza.

27

Usporedimo s Peanovomaksiomatizacijom

Ernie i Johnny

Poput svakog dobro odgojenog djeteta iz logičke obitelji i Ernie i Johnny počeše "misliti svojom glavom".

Njihove samostalno dokazane leme, teoremi i korolariji pojačaše prijateljstvo među njima na zadovoljstvo njihovih ponosnih logičkih roditelja.

29

Ali... pojavi se jabuka razdora

U pogledu istinitosti aritmetičkih rečenica između Ernie-a i Johnny-a nije bilo spora.

No jednog dana nastao je spor oko pitanja je li broj 3 element broja 17.

Njihovi vršnjaci nisu mogli razriješiti spor jer, jednostavno, nisu mogli pronaći smisao u tom pitanju.

Ernie je tvrdio da 3 jest element broja 17 jer je po njegovoj teoriji skupova rečenica x<y↔(xyxy) jest teorem, a budući 3<17, slijedi 317.

Johnny je osporavao Erniev teorem govoreći da je pravi teorem o pripadanju brojeva ovaj: xy↔y=sljedbenik-od(x).

Nije bilo druge nego pozvati mame i tate u pomoć!

30

S onu stranu teorije

Rasprava među brižnim roditeljima razotkrila je izvor neslaganja.

Erniejevi roditelji poučili su sina da: ◦ sljedbenik-od(x)=x{x},

A Johnny-jevi roditelji su njega poučili da: ◦ sljedbenik-od(x)={x}.

Ernie je naučio da su brojevi:◦ {∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}},...

Johnny je naučio da su brojevi:◦ {∅},{{∅}},{{{∅}}},...

31

Tko je u pravu? 32

Rješenje

Rješenje koje daje strukturalista: ◦ Sporne rečenice nisu aritmetičke. One govore o nestrukturalnim svojstvima "predmeta" a ne o strukturi samoj.

33

Piaget

Kada je postaje mogućim stjecanje pojma o broju?

“Pretvorba logičkih operacija u brojevne obuhvaća zanemarivanje svojstava te promatranje bilo koja dva člana kao ekvivalentna u svakom smislu, ali ipak različita, jer njihovo nabrajanje, ma koji redoslijed bio izabran, uvijek pretpostavlja da jedan član treba označiti kao onaj koji dolazi ispred ili iza drugoga. Pojam cijelog broja je, psihološki promatrano, sinteza skupa i tranzitivne asimetrične relacije. Drugim riječima, on je sinteza logičkih operacija usklađenih na novi način što je rezultat odbacivanja njihovih razlika.”

35

Postanak pojma o broju

Za tvorbu pojma o prirodnom broju ljudski duh mora raspolagati s dvije razvijene intelektualne operacije te ih međusobno povezati mijenjajući im karakter. Tako su za tvorbu pojma o broju potrebne: ekstremna generalizacija koja lišava predmete svih svojstava i ekstremna serijacija koja ne postavlja predmete u niz po razlici u vrijednosti nekog svojstva (npr. veličine), već koja im pridodaje svojstva proizvoljnog položaja u nizu. Na ovom primjeru možemo razumjeti tezu o razvoju spoznajnih oblika: novi načini mišljenja (numerički) grade se iz prethodnih (generalizacija i serijacija), ali svojstva višeg oblika ne mogu se svesti na niže (poimanje broja nije generalizacija plus serijacija, već viša sinteza koja im mijenja karakter jer su dovedene u ekstremni oblik).

36

Didaktičke posljedice

Udžbenik pisan na tragu logicističkog pojma o prirodnom broju i Piagetovske epistemologije imat će sasvim jasno određen sadržaj.◦ Prije uvođenja prirodnih brojeva uvest će se:

Inkluzija.

Serijacija.

Bijekcija.

Udžbenik pisan na tragu strukturalističkog pojma o brojevima ima (imao bi) sasvim drukčiji oblik.

37