Véletlen séta gráfokon,

expanderek

BSc Szakdolgozat

Írta: Szabó Dániel

Matematika BSc

Alkalmazott matematikus szakirány

Témavezet®:

Dr. Grolmusz Vince

egyetemi tanár

Számítógéptudományi Tanszék

Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar

2013

Köszönetnyilvánítás

Ezúton is szeretnék köszönetet mondani témavezet®mnek, Grolmusz Vincének, hogy el®-segítette e dolgozat megszületését a téma felvetésével, illetve hogy a munkámban végigsegítséget nyújtott és hasznos észrevételeivel építette a dolgozatomat. Köszönettel tarto-zom családomnak, barátaimnak is az állandó támogatásukért.

Budapest, 2013. május 19.

Szabó Dániel

2

Tartalomjegyzék

1. Bevezetés 4

2. Véletlen séták gráfokon 62.1. Paraméterek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1. Példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2. Traverse Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3. Expanderek 133.1. Létezés és spektrál kapcsolatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2. Konstrukciók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2.1. Véletlen expanderek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2.2. Explicit konstrukciók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.3. Cikkcakkszorzat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3. Expanderek alkalmazásai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3.1. Irányítatlan S − T összefügg®ség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3.2. AKS-rendezés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3

1. fejezet

Bevezetés

A dolgozatban a matematika napjainkban egyik legdinamikusabban fejl®d® területével, agráfelmélettel foglalkozok. El®ször kicsit körbejárom a véletlen séták elméletét. A véletlenséta egy gráfon egy nagyon egyszer¶, könnyen megfogható dolog: a séta következ® elemeaz aktuális csúcs valamelyik véletlenszer¶en választott szomszédja legyen. A hétköznapiéletben sok helyen el®fordulnak véletlen séták, még ha nem is tudunk róluk: például hakártyát keverünk, vagy ha egy porszemcse mozgását gyeljük egy Petri-csészében (az eztleíró jelenség a Brown-mozgás). Meg fogom határozni, hogy ha egy számítógépes hálóza-ton az egyik számítógépr®l elindítunk egy adatcsomagot, és mindig csak egy gépnek külditovább véletlenszer¶en az aktuális gép az információt, akkor mennyi id® kell várhatóanahhoz, hogy az minden számítógéphez eljusson, vagy például hány üzenettovábbítás kellahhoz, hogy a kezdeti számítógép egy oda-vissza üzenetet tudjon váltani egy kiválasztottgéppel, vagyis, hogy a véletlen séta elérjen egy adott csúcsot, majd onnan vissza is térjen.Végül megtudhatjuk, hogy érdemes-e egy olyan épületbejáró algoritmuson, sorozaton gon-dolkodni, amellyel képesek vagyunk végigjárni az összes, számunkra ismeretlen felépítés¶múzeumot a világon.

A dolgozat második felében az expanderek világába nyújtok egy kis betekintetést. Az ex-pandereket másképpen nagyító gráfoknak is nevezik, a név arra a tulajdonságukra utal,hogy egy részgráfjuknak rendszerint a szomszédsága nagyobb elemszámú, mint önmaga.Tehát az expandereknek nagyon jó az összefügg®sége. Pont ezért, ha egy expanderen (aminem páros gráf) indítunk egy véletlen sétát, akkor annak az eloszlása nagyon gyorsan fogkonvergálni a stacionárius eloszláshoz. Ezenfelül az olyan expandereket fogjuk preferálni,amelyeknek nagy a "spektrál gap"-je, vagyis a legnagyobb és a második legnagyobb saját-érték közötti különbség. A dolgozat végén szerepl® példákban látni fogjuk eme tulajdonságfontosságát. Egy gond van az expanderekkel: nagyon nehéz megtalálni ®ket. A gyakorlatialkalmazásokhoz rendszerint nagyon nagy expanderekre van szükség, de ilyeneket keresnikimerít® kereséssel, vagyis amikor egyesével végignézzük a gráfokat, reménytelen feladat.Matematikusok alkottak különböz® konstrukciókat expanderek gyártására, de egyik semvolt igazán használható, mert a konstruált gráfnak viszonylag kicsi volt spektrál gap-je.Az ezredforduló után viszont Reingold kitalált egy új gráfm¶veletet, a cikkcakkszorzást,amellyel (megfelel® kiinduló gráfokkal) tetsz®legesen nagy expandereket tudunk gyártanihatékonyan. Ezt az érdekes m¶veletet kicsit részletesebben tárgyalom a dolgozat során.

4

A rengeteg alkalmazása mellett talán az egyik leghíresebb az, hogy a cikkcakkszorzássalsikerült belátni azt, hogy az a feladat, hogy egy irányítatlan gráfban eldöntsük, hogy kétcsúcs összefügg-e, LOGSPACE-ben van, vagyis a csúcsok számában logaritmikus tárhelyelegend® az algoritmus számára. A problémát az 1970-es években kezdték vizsgálni, köz-tük Savitch is, aki belátta, hogy SPACE(log2 n)-ben van a probléma. Az id®k során akitev®t sikerült egyre lejjebb vinni, 3/2-re, majd 4/3-re. Így született meg a sejtés, hogySPACE(log n) is elég, viszont ezt senki tudta belátni egészen addig, amíg Reingold el®nem állt az újfajta gráfszorzással. Ezt részletesen bemutatom a dolgozatban. Illetve látnifogjuk még, hogy egy magyar köt®dés¶ eredmény, az AKS-rendezés mimódon hasznosítjaaz expandereket.

5

2. fejezet

Véletlen séták gráfokon

2.1. Deníció. Adott egy G = (V,E) összefügg® gráf n csúccsal és m éllel, csúcsai av1, v2, . . . , vn halmaz elemei. Ekkor a következ®t tekintjük egy véletlen sétának: a véletlenséta csúcsai legyenek u0, u1, u2, . . . , indulunk egy u0 csúcsból, és ha a t. lépésben ut = vi-ben vagyunk, akkor vi egyik szomszédjába lépünk 1/d(vi) valószín¶séggel.

Ezután minden gráf összefügg®, ha mást nem mondunk.A véletlen séta megfeleltethet® egy Markov-láncnak oly módon, hogy az állapotok a gráfcsúcsai, két állapot között akkor van átmenet, ha a gráfban a hozzátartozó csúcsok közöttvan él, az átmenet-valószín¶ség az v1-hoz tartozó állapotból a v2-hez tartozó állapotba(v1, v2 ∈ V, (v1, v2) ∈ E) 1/d(v1). u0 lehet rögzített, vagy származhat egy kezdeti P0

eloszlásból. Pt-vel jelöljük a ut eloszlását, vagyis Pt(i) = P (ut = vi).M = (pij)i,j∈V legyen a gráf átmenet mátrixa, vagyis

pij =

1/d(vi), ha (vi, vj) ∈ E0, különben.

A véletlen sétát leírhatjuk a következ® egyenletrendszerrel, ha a t. csúcs eloszlására úgytekintünk, mint egy Rn-beli vektorra:

Pt+1 = MTPt, így Pt = (MT )tP0.

Tehát ptij érték azt mutatja meg, hogy mekkora a valószín¶sége annak, hogy az i csúcsbólindulva t lépés után a j csúcsban leszünk.A P0, P1, . . . eloszlások általában különböz®ek. Azt mondjuk, hogy a P0 eloszlás stacio-nárius, ha P0 = P1, így természetesen Pt = P0 ∀t ≥ 0-ra.

2.2. Állítás. Minden G gráfra a π(vi) = d(vi)/(2m) eloszlás stacionárius.

Bizonyítás. Azt kell belátnunk, hogy π = MTπ.D legyen az a diagonális mátrix, amelybendii = 1/d(i), A pedig legyen a gráf adjacencia-mátrixa. Ekkor M = DA, vagyis

MTπ = (DA)Tπ = ATDπ = AT

1

d(v1)0 . . . 0

0 1d(v2)

......

. . . 0

0 . . . 0 1d(vn)

d(v1)2md(v2)2m...

d(vn)2m

= AT

12m12m...12m

=

6

=

d(v1)2md(v2)2m...

d(vn)2m

= π.

Az utolsó el®tti egyenl®ség azért teljesül, mert AT egy sorában pont annyi 1-es van, mintamennyi az adott csúcs fokszáma.

Általában, ha a gráf reguláris, akkor az egyenletes eloszlás V -n stacionárius lesz. Nemnehéz megmutatni, hogy a stacionárius eloszlás egyértelm¶ (itt fel kell használni, hogy agráf összefügg®).

2.3. Tétel. Ha G összefügg®, nem páros gráf, akkor vt eloszlása tart a stacionárius el-oszláshoz, ha t→∞.

Ha a gráf páros, akkor nyilván nem igaz, hiszen t paritásától függ®en Pt csak az egyikpontosztályon függ felvenni 0-tól különböz® értékeket.Ha stacionárius az eloszlás, akkor pij deníciójának felhasználásával kapjuk, hogy π(i)pij =

1/(2m), ha (i, j) ∈ E, vagyis minden élen minden irányba ugyanolyan gyakorisággal já-runk. Ha egy élen ülünk, és a véletlen séta pont most hagyta el ezt az élet, akkor várhatóan2m lépés múlva fog megint áthaladni az élen ugyanabba az irányba. Hasonló igaz a csú-csokra: ha egy i csúcson ülünk, és a véletlen séta most hagyta el a csúcsot, akkor várhatóan1/π(i) = 2m/d(i) lépés múlva fog visszatérni a csúcsba. Ha a gráf reguláris, akkor ez azérték egyszer¶en n.

2.1. Paraméterek

2.4. Deníció. Hij elérési id® a várható lépések száma, miel®tt az i-b®l induló véletlenséta eléri a j-t.

2.5. Deníció. κ(i, j) = H(i, j) + H(j, i) értéket nevezzük ingázási id®nek, azaz vár-hatóan hány lépés kell ahhoz, hogy az i-b®l induló véletlen séta j érintésével visszaérjeni-be.

2.6. Deníció. A fedési id® (egy adott kezdeti eloszlásból indulva) a várható lépésekszáma, hogy a séta érintse a gráf összes csúcsát.

Az elérési id®t az ingázási id®kb®l is ki lehet számítani a következ® módon az [1] alapján:

2.7. Tétel (Tetali).

H(i, j) =1

2

(κ(i, j) +

∑u∈V

π(u) [κ(u, j)− κ(u, i)]

)

7

A paraméterek becslése

2.8. Tétel. 1. Az elérési id® két csúcs között egy gráfban legfeljebb

(4/27)n3 − (1/9)n2 + (2/3)n− 1, ha n ≡ 0 (mod 3)

(4/27)n3 − (1/9)n2 + (2/3)n− 29/27, ha n ≡ 1 (mod 3)

(4/27)n3 − (1/9)n2 + (4/9)n− 13/27, ha n ≡ 2 (mod 3)

2. A fedési id® tetsz®leges csúcsból indulva egy n csúcsú gráfban legalább (1−o(1))n log n,és legfeljebb (4/27 + o(1))n3.

3. A fedési id® n csúcsú reguláris gráfban legfeljebb 2n2.

Egyszer¶ következménye a tételnek, hogy az ingázási id®t tetsz®leges két csúcs közöttlegfeljebb n3, illetve reguláris gráfokra az elérési id® is legfeljebb 2n2, a ingázási id® pediglegfeljebb 4n2.Nem triviális alsó korlátok viszont nincsenek ezen mennyiségek becslésére. Például mégreguláris gráfok esetén sem tudjuk az elérési id®t a csúcsok számának függvényében be-csülni. Tekintsük ugyanis a következ® gráfot: G = G1∪G2, V (G1)∩V (G2) = u, tehát uvágócsúcs, v ∈ V (G1)\u. Ekkor az elérési id® v-b®l u-ba független G2 méretét®l, amelytetsz®legesen nagy lehet.Az elérési id® i-b®l j-be különböz® lehet, mint j-b®l i-be reguláris gráfok esetén is. S®t, azegyikkel nem is lehet becsülni a másikat. Az el®z® példában az u-ból v-be tartó séta soránlegalább 1/d valószín¶séggel G2-be lépünk. Aztán vissza kell érnünk u-ba, ennek a várhatólépésszáma legalább |G2|, így H(u, v) > |G2|, ami H(v, u)-tól függetlenül tetsz®leges nagylehet.Viszont némi szimmetria fellelhet® a véletlen séta tulajdonságai között is.

2.9. Állítás. Ha u-nak és v-nek ugyanakkora a fokszáma, akkor annak a valószín¶sége,hogy egy u-ból induló véletlen séta érinti v-t miel®tt visszatér u-ba, ugyanakkora, minthogy egy v-b®l induló véletlen séta érinti u-t miel®tt visszatér v-be.

2.10. Állítás. Annak a valószín¶sége, hogy egy u-b®l induló véletlen séta érinti v-t miel®ttvisszatér u-ba, megegyezik az 1/(κ(u, v)π(u)) hányadossal.

Bizonyítás. Jelöljük q-val a kérdéses valószín¶séget. Legyen τ az els® id®pont, amikor avéletlen séta visszatér u-ba, és legyen σ az els® id®pont, amikor v érintésével tér visszaa véletlen séta u-ba. Tudjuk, hogy E(τ) = 2m/d(u), és deníció szerint E(σ) = κ(u, v),Nyilván τ < σ, és P (σ = τ) = q.Ha τ < σ, akkor az els® τ lépés után "kezd®dik el®lr®l az egész", vagyis E(σ−τ)(1−q)E(σ).Felhasználva a várható érték linearitását, kapjuk, hogy:

q =E(τ)

E(σ)=

2m

d(u)κ(u, v).

8

Ebb®l az állításból következik az el®z® állítás, mert nyilván κ(u, v) = κ(v, u), illetveπ(u) = π(v), hiszen a két csúcs fokszáma megegyezik.

2.11. Tétel (Coppersmith, Tetali, Winkler [1]). Tetsz®leges három csúcsra

H(u, v) +H(v, w) +H(w, u) = H(u,w) +H(w, v) +H(v, u)

2.12. Következmény. Bármely gráf csúcsai sorba rendezhet®ek oly módon, hogy u meg-el®zi v-t, ha H(u, v) ≤ H(v, u). Egy ilyen rendezés el®állítható úgy, hogy lerögzítünk egytetsz®leges t csúcsot, és H(u, t)−H(t, u) értéke szerint rendezzük a csúcsokat.

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy u megel®zi v-t a fent megadott rendezésben. Ekkor H(u, t)−H(t, u) ≤ H(v, t) − H(t, v), vagyis H(u, t) + H(t, v) ≤ H(v, t) + H(t, u). Az el®z® tételalapján ez ekvivalens azzal, hogy H(u, v) ≤ H(v, u).

Ez a rendezés nem egyértelm¶ az egyenl®ségek miatt, de ha egy osztályba rakjuk, azokata csúcsokat, melyekre H(u, v) = H(v, u) (ez ekvivalencia-reláció), akkor így a rendezésmár jól deniált lesz. Az alacsonyabb érték¶ osztályokra az a jellemz®, hogy "nehéz elérni®ket, de könny¶ kijutni bel®lük", a magasabb érték¶ osztályokra pedig az, hogy "könny¶elérni ®ket, de nehéz kijutni bel®lük".

2.1.1. Példák

2.13. Példa. Határozzuk meg az elérési id®t a 0, 1, . . . , n−1 csúcsú úton két csúcs között.

El®ször is, vegyük észre, hogy a H(k − 1, k) elérési id® 1-gyel kevesebb, mint a várhatóvisszatérési ideje egy véletlen sétának egy k + 1 csúcsú úton az utolsó csúcsból indulva,hiszen a véletlen séta els® lépése biztosan az lesz, hogy a k csúcsból elmegyünk a (k − 1)

csúcsba. Ez a várható visszatérési id® 2k, így H(k − 1, k) = 2k − 1.Határozzuk meg a H(i,k) elérési id®t, ahol 0 ≤ i < k ≤ n. Ahhoz, hogy elérjük a k csúcsot,el kell érnünk a (k − 1)-et, amihez H(i, k − 1) lépésre van szükségünk. Innen pedig azel®z®ek alapján várhatóan még 2k − 1 lépésre van szükségünk. Így a következ® rekurziótkapjuk:

H(i, k) = H(i, k − 1) + 2k − 1,

így H(i, k) = (2k − 1) + (2k − 3) + · · · + (2i + 1) = k2 − i2. Speciálisan H(0, k) = k2.Feltételezve, hogy a 0-ból indulunk, a fedési id® n csúcsú úton (n−1)2, mivel elég elérnünkaz út másik végpontját.

2.14. Példa. Határozzuk meg az elérési id®t egy n hosszú körön.

9

Sejtés: két k > 0 távolságra lév® csúcs között ez az érték k(n− k).A kör egy reguláris gráf, és korábbi állításból tudjuk, hogy reguláris gráfban a visszatérésiid® n. A 0-ból induló véletlen séta egy szomszédos mez®be lép, az el®z® mondat alapjáninnen várhatóan n− 1 lépésre van szükség, hogy visszatérjünk a 0-ba, tehát k = 1-re igazaz állítás. Ha 1 messzire szeretnénk jutni, akkor az els® lépésünk után, 1/2 eséllyel célbaértünk, 1/2 eséllyel 2 távolra jutottunk, vagyis:

H(0, 1) = 1 + 1/2 · (0 +H(0, 2))

2n− 2 = 2 +H(0, 2)

2(n− 2) = H(0, 2)

Tegyük fel, hogy k-ra igaz az állítás, határozzuk meg H(0, k + 1) értékét. Az el®z®hözhasonló módon:

H(0, k) = 1 + 1/2 · (H(0, k − 1) +H(0, k + 1))

2k(n− k) = 2 + (k − 1)(n− k + 1) +H(0, k + 1)

2kn− 2k2 − 2− kn−+n+ k2 − k + 1− k = H(0, k + 1)

(k + 1)(n− k − 1) = H(0, k + 1)

2.15. Példa. Határozzuk meg a fedési id®t egy n hosszú körön.

Legyen a kiszámolandó érték f(n). Ez a feladat ekvivalens azzal, hogy egy elég hosszúúton középr®l indulva, elérjünk n csúcsot. El®ször el kell érnünk n − 1 csúcsot, ehhezvárhatóan f(n− 1) lépés kell, és ekkor egy n− 1 hosszú részút egyik végpontján leszünk.Ez azt jelenti, hogy az n hosszú kör n − 1 csúcsát már érintettük, és éppen az egyikszomszédos csúcsot kell még elérnünk. Az el®z® példából tudjuk, hogy ez még várhatóann− 1 lépés. Tehát

f(n) = f(n− 1) + (n− 1),

vagyis f(n) = n(n− 1)/2.

2.16. Példa. Határozzuk meg az elérési és fedési idejét egy n csúcsú teljes gráfnak.

Feltehetjük, hogy az 1-es csúcsból indulunk. A elérési id®höz elég meghatározni a H(1, 2)

értékét. Annak a valószín¶sége, hogy a t. lépésben érintjük el®ször a 2-es csúcsot (n−2n−1)t−1 1

n−1 .Ez geometriai eloszlás, így a várható id® 1

n−1 reciproka, tehát H(1, 2) = n− 1.A fedési id® meghatározásához jelölje τi azt az els® id®pontot, amikor i csúcsot már lát-tunk a véletlen séta során. Nyilván τ0 = 0 < τ1 = 1 < τ3 < · · · < τn. A τi+1− τi különbségazt mutatja meg, hogy hányat kellet lépni ahhoz, hogy egy új csúccsal találkozzunk. An-nak, hogy meglátjuk az (i + 1). csúcsot a következ® lépésben n−i

n−1 a valószín¶sége, és alépések függetlenek egymástól, így

E(τi+1 − τi) =n− 1

n− i.

Felhasználva a várható érték linearitását kapjuk, hogy

E(τn) =n−1∑i=1

E(τi+1 − τi) =n−1∑i=1

n− 1

n− i≈ n log n.

10

2.2. Traverse Sequence

Tegyük fel, hogy egy idegen városban vagyunk, és betérünk egy múzeumba. Most vagyunkott el®ször, és végig szeretnénk járni a múzeum összes termét, viszont a múzeum térképeelfogyott, így nem ismerjük az alaprajzát. Tehát szükségünk van egy olyan módszerre,algoritmusra, amely nem alapoz semmit a múzeum felépítésére, mégis garantálni tudjanekünk, hogy egy termet sem hagyunk ki. Felmerül a kérdés, hogy ilyen "útvonalterv"létezik-e egyáltalán. A válasz igen, létezik ilyen algoritmus, meg lehet konstruálni egy út-vonalat, ami végigvezet minket egy ismeretlen múzeumon. S®t, ennek az útvonalnak nemis kell olyan hosszúnak lennie, a termek számában polinomiálisan hosszú útvonal elegend®.Éljünk azzal a feltételezéssel, hogy minden teremb®l ugyanannyi terembe lehet tovább-haladni (tehát a gráf, amivel a kés®bbiekben reprezentáljuk a múzeumot, reguláris). Akonstrukciót nem ismertetjük, az egyáltalán nem triviális, még speciális esetekben sem,most csak az útvonal létezését fogjuk belátni.

2.17. Deníció. Legyen G = (V,E) egy összefügg®, d-reguláris gráf, v0 ∈ V (G), és te-gyük fel, hogy minden csúcsnál az élek végei tetsz®legesen meg vannak számozva 1, . . . , d-ig.A traverse sequence (erre a G gráfra) egy (h1, h2, . . . , ht) ∈ 1, . . . , dt sorozat, melyre tel-jesül, hogy ha v0-ból indulunk és az i. lépésben a hi címkéj¶ élen megyünk tovább, akkorbejárjuk az összes csúcsot.

2.18. Deníció. Egy sorozat univerzális traverse sequence (n és d paraméterekkel), haminden n csúcsú, d-reguláris gráfra traverse sequence.

2.19. Tétel (Aleliunas, Karp, Lipton, Lovász, Racko [1]). Minden d ≥ 2 és n ≥3-ra létezik O(dn3 log n) hosszú univerzális traverse sequence.

Bizonyítás. A konstrukció a következ®: tekintsünk egy véletlen sequence-t, pontosab-ban legyen t = 8dn3 log n és legyen H = (h1, . . . , ht) véletlenszer¶en választott elemea 1, . . . , dt-nek. Rögzített G-re, kezd®csúcsra és címkézésre a H által meghatározottséta egy véletlen séta, tehát annak a valószín¶sége, hogy H nem egy traverse sequencemegegyezik azzal a valószín¶séggel, hogy egy t hosszú véletlen séta nem érintette az összescsúcsot.2.8 Tétel alapján a várható értéke annak, hogy az összes csúcsba elérjen a séta legfel-jebb 2n2. A Markov-egyenl®tlenség miatt annak a valószín¶sége, hogy 4n2 lépés után nemvoltunk az összes csúcsban kisebb, mint 1/2. A következ® 4n2 hosszú véletlen séta után1/4-nél is kisebb lesz a valószín¶sége, és így tovább. Tehát a valószín¶sége, hogy t lépésután nem láttuk az összes csúcsot kisebb, mint 2−t/(4n

2) = n−2nd.Az n csúcsú, d-reguláris, címkézéssel ellátott gráfok száma kevesebb, mint nnd, mert ke-vesebb, mint nd választásunk van minden csúcsnál.Tekintsük a következ® páros gráfot: a fels® pontosztály (U) minden csúcsának feleljenmeg egy séta, az alsó csúcsoknak (az alsó csúcsok halmaza legyen V ) pedig egy n csúcsú,d-reguláris gráf rögzített kezd®csúccsal, és két csúcs között legyen él, ha a séta nem járjabe a gráf összes csúcsát. Ekkor egy rögzített alsó csúcsból az összes lehetséges él n−2nd-edrésze van behúzva, így V -b®l az összes lehetséges él n−2nd-ed része van behúzva U -ba.De az éls¶r¶ség nyilván megegyezik "lentr®l felfelé" és "fentr®l lefelé". Így az U -ban lév®

11

csúcsok fokszámainak átlaga legfeljebb nnndn−2nd, ami kisebb, mint 1. Tehát van olyanU -beli csúcs, aminek a fokszáma 0. Ezzel igazoltuk az állítást.

12

3. fejezet

Expanderek

Tekintsünk egy irányítatlan G = (V,E) gráfot N csúccsal. A szokásos jelölésekkel élve,legyen Γ(v) a v csúcs szomszédjainak halmaza, vagyis

Γ(v) = u ∈ V |(u, v) ∈ E.

Egy S ⊆ V szomszédjait az S-ben lév® pontok szomszédjainak uniójaként deniáljuk:Γ(S) = ∪v∈SΓ(v).

3.1. Deníció. Azt mondjuk, hogy egy G gráf (K,A)-expander (csúcsexpander), ha

|Γ(S)| ≥ A · |S| , ∀S ∈ V,melyre |S| ≤ K.

Az expandereket az utóbbi id®ben sokan vizsgálták többféle irányból megközelítve, és igye-keztek a számukra legkényelmesebben deniálni az expandereket. Ezért többféle deníci-ója is született az expandereknek, de ezek mind ugyanazt fejezik ki, a mögöttes tartalmukmegegyezik, még ha a jelölések és a megfogalmazások el is térnek. Emiatt mi is többféledeníciót fogunk használni, hogy könnyebben meg lehessen érteni az adott eredményeket.Nyilván a teljes gráfok a legjobb expanderek, hiszen már egy csúcsnak is maximális aszomszédjainak a száma. De a teljes gráfnak a fokszáma lineáris a csúcsszámra nézve.Minket azok az expanderek fognak érdekelni, melyeknek konstans a fokszáma. Tehát -nem precízen - egy expander olyan gráf, melyben V minden részhalmazának (valamilyenméretre tett megszorítás mellett) elég nagy a szomszédsága. Az expandereket nagyítógráfoknak is hívják, mert egy tetsz®leges részgráfnak a szomszédsága egy nála nagyobbcsúcsszámú részgráf (általában a denícióban szerepl® A nagyobb, mint 1). Következ®neknéhány tulajdonságot, eredményt és alkalmazást mutatunk be ezekhez kapcsolódóan. Nemnyilvánvaló, de ilyen gráfok léteznek. Ha tekintünk egy nagy gráfot, az jó eséllyel expanderlesz (látni fogjuk ennek a bizonyítását), de így mindig marad egy pozitív valószín¶ségeannak, hogy mégsem expander. Annak az ellen®rzése, hogy a gráf valóban expander, ex-ponenciális id®t igényel. Ezért van szükség olyan determinisztikus módszerekre, amelyekgarantáltan expander gráfokat állítanak el®, méghozzá tetsz®legesen nagy expandereket.Kicsi expandereket még számítógéppel is lehet gyártani, hiszen nincs olyan sok kicsi gráf,az összest le lehet ellen®rizni. Nagyobbakat a számításigény miatt nem lehet, hozzájukmár mélyebb matematikai eszközökre van szükség: meg lehet konstruálni ®ket, illetve avéletlent felhasználva is nagy valószín¶séggel jó gráfot tudunk alkotni.

13

3.1. Létezés és spektrál kapcsolatok

El®ször is nézzük meg, miket tudunk mondani az expanderek létezésér®l. A legjobb való-szín¶ségeken alapuló eredmény a következ® (b®vebben [3]):

3.2. Tétel. Rögzített d ≥ 3-ra egy véletlen d-reguláris gráf nagy valószín¶séggel (Ω(N), d−1, 01)-expander (ahogy N →∞, a valószín¶ség tart 1-hez).

E tétel bizonyítása helyett, azt fogjuk belátni, hogy léteznek páros expanderek. JelöljükGd,N -nel azoknak a G = (L ∪ R,E) gráfoknak a családját, melyekre |L| = |R| = N , és azL-beli csúcsok fokszáma d.

3.3. Deníció. Egy G = (L ∪R,E) páros gráf páros (K,A)-expander, ha

|Γ(S)| ≥ A · |S| , ∀S ∈ L,melyre |S| ≤ K,

és|Γ(T )| ≥ A · |T | , ∀T ∈ R,melyre |T | ≤ K,

3.4. Tétel. Minden d > 0-ra létezik (egy d-t®l függ®) α > 0, hogy minden N-re

P (G egy (αN, d− 2)-expander) ≥ 1/2,

ahol G véletlenszer¶en választott gráf a Gd,N -ból.

Bizonyítás. Ahhoz, hogy G véletlenszer¶en legyen választva, az L-beli csúcsokhoz vá-lasszunk véletlenszer¶en d darab szomszédot R-b®l. Minden k ≤ αN -ra legyen

pk = P (∃S ⊆ L melyre |S| = k, |Γ(S)| < (d− 2) |S|).

Tehát pk annak a valószín¶sége, hogy G nem (αN, d − 2)-expander, mert egy k elem¶részhalmaz szomszédsága nem elég nagy. Az állítás igazolásához elég belátni azt, hogy∑

k pk < 1/2.Legyen S ⊆ L, melyre |S| = k, ekkor S szomszédjainak száma multiplicitással számolvadk. Tehát, ha |Γ(S)| < (d− 2) |S|, akkor kell lennie 2k ismétl®désnek S csúcsainak szom-szédjai között.

P (legalább 2k ismétl®dés van a kd szomszéd között) ≤(kd

2k

)(kd

N

)2k

A binomiális együttható azt mutatja meg, hogy hányféleképpen választhatjuk ki az is-métl®d® 2k csúcsot, a tört pedig egy fels® korlát annak a valószín¶ségére, hogy egy csúcsismétl®dik. S-re

(Nk

)lehet®ség van, és felhasználva azt, hogy

(Nk

)<(Nek

)k, kapjuk a

következ®t:

pk ≤(N

k

)(kd

2k

)(kd

N

)2k

≤(Ne

k

)k (kde

2k

)2k (kd

N

)2k

≤(cd4

N

)k,

14

ahol c = e3/4. Legyen α = 1/(4cd4), és mivel k < αN , ezért pk < 4−k. Így

P (G egy (αN, d− 2)-expander) ≤αN∑k=1

pk ≤αN∑k=1

4−k < 1/2.

A továbbiakban többféle expanderségr®l is szó lesz. Ha nem írjuk ki, hogy éppen melyikr®lbeszélünk, hanem csak annyit mondunk, hogy expander, akkor a fent deniált csúcsex-panderségre fogunk gondolni.Érdekes módon a gráfok sajátértékeinek segítségével is lehet deniálni expandereket, s®t akétféle expanderség következik egymásból a megfelel® paraméterekkel. Ezt fogjuk a meg-vizsgálni. Legyen G egy d-reguláris (nem feltétlenül egyszer¶) gráf, melynek sornormáltadjacencia-mátrixa legyen A. A legnagyobb sajátértéke A-nak λ1 = 1, a hozzátartozó sa-játvektor u = (1/N, . . . , 1/N), ahol N a csúcsok. Ekkor a második legnagyobb sajátértékéta következ®képpen határozhatjuk meg

λ2 = max||x||=1,x⊥u

||Ax|| .

Ha π egy valószín¶ségi eloszlás a G csúcsain, akkor teljesül az alábbi egyenl®ség: π =

u + π⊥, ahol π⊥ ⊥ u. (A π = cu + π⊥-t az azonosan 1 vektorral skalárisan beszorozvakapjuk, hogy c = 1.) Tekintsük A-t egy Markov-lánc átmenet-valószín¶ségi mátrixának,π-t pedig a kezdeti eloszlásnak. Ekkor

Aπ − u = A(u+ π⊥)− u = Au− u+ Aπ⊥ = Aπ⊥.

Így||Aπ − u||2 =

∣∣∣∣Aπ⊥∣∣∣∣2 ≤ λ22∣∣∣∣π⊥∣∣∣∣2 = λ22 ||π − u||

2 .

3.5. Deníció. G λ-spektrálexpander, ha λ2(G) ≤ λ (λi(G)-vel jelöljük a G-hez tartozóadjacencia mátrix i. legnagyobb sajátértékét).

Tehát, ha G λ-spektrálexpander, akkor a Markov-lánc minden lépésénél az eloszlás eltéréseaz egyenletes eloszlástól legalább λ részére csökken.

3.6. Jelölés. π egy valószín¶ségi eloszlás. Ekkor Coll(π) = ||π||2 =∑

x π2x.

3.7. Lemma. Coll(π) = ||π − u||2 + 1/N .

Bizonyítás. π = u+ π⊥. Ekkor

||π||2 = ||u||2 + ||π||2 = 1/N + ||π − u||2 .

Aπ szintén egy valószín¶ségi eloszlás, így a lemmát felhasználva

Coll(Aπ)− 1/N = ||Aπ − u||2 ≤ λ2 ||π − u||2 = λ2(Coll(π)− 1/N).

15

3.8. Deníció. A π tartóján a következ® halmazt értjük: supp(π) = x : πx 6= 0.

3.9. Lemma. Coll(π) ≥ 1/ |supp(π)|.

Bizonyítás. Legyen m = 1/ |supp(π)|. A számtani és mértani közepek közötti összefüggésmiatt, ha x1 + · · · + xm = 1, akkor x21 + · · · + x2m értéke x1 = · · · = xm = 1/m esetén alegkisebb. Tehát Coll(π) ≥ 1/m.

3.10. Tétel ([3]). Ha G λ-spektrálexpander, akkor ∀α ∈ (0, 1)-ra G(αN, 1

(1−α)λ2+α

)-

csúcsexpander.

Bizonyítás. Legyen |S| ≤ αN . A π valószín¶ségi eloszlás legyen egyenletes S-en, egyébként0. Ekkor az el®z® lemma egyenl®séggel teljesül (a bizonyításban leírtakból következ®en),tehát Coll(π) = 1/ |S|, illetve Coll(Aπ) ≥ 1/ |supp(Aπ)| = 1/ |Γ(S)|. Így

1/ |Γ(S)| − 1/N ≤ λ2(1/ |Γ(S)| − 1/N).

Felhasználva, hogy N ≥ |S| /α

|S|N ≤ λ2 |Γ(S)|N + (1− λ2) |S| |Γ(S)|N(|S| − λ2 |Γ(S)|) ≤ (1− λ2) |S| |Γ(S)||S| − λ2 |Γ(S)|

α≤ (1− λ2) |Γ(S)|

|S|α≤ (1− λ2 +

λ2

α) |Γ(S)|

|S|α + (1− α)λ2

≤ |Γ(S)| .

Tehát G(αN, 1

(1−α)λ2+α

)-csúcsexpander.

Bizonyítás nélkül közöljük az el®z® tétel megfordítását.

3.11. Tétel (Alon [3]). Legyen G egy d-reguláris (N/2, 1 + α)-expander, G normalizáltadjacencia-mátrixa legyen A abszolút. Ha A-nak csak nemnegatív sajátértékei vannak,akkor G λ-expander, ahol λ = 1− α2/(d(8 + 4α2)).

Ennek a tételnek a következménye a Cheeger által bizonyított tétel, melyben már nemkell megszorítást tennünk az adjacencia-mátrix sajátértékeire.

3.12. Tétel (Cheeger [3]). Ha G egy d-reguláris (N/2, 1 + α)-expander, akkor G λ-expander, ahol λ =

√1− α2/(d(8 + 4α2)).

16

3.2. Konstrukciók

3.2.1. Véletlen expanderek

Mint ahogy már korábban a véletlen segítségével bizonyítottuk be, hogy egyáltalán létezikolyan objektum, hogy expander, így most is a véletlent hívjuk segítségül, hogy konstruálnitudjunk ilyen gráfokat. Meglep® eredmény, hogy véletlenszer¶en épített gráfokkal is elégjó eredményt tudunk elérni. Lásd b®vebben [2].

3.13. Deníció. Legyen d rögzített egész. Ekkor d-reguális gráfok F családját akkor mond-juk expander gráfok családjának, ha ∃ε konstans, hogy ∀G = (V,E) ∈ F kielégíteni akövetkez® feltételt:

∀S ∈ V, amelyre |S| ≤ n/2 teljesül, hogy |N(S)| ≥ (1 + ε) |S| ,

ahol N(S) = x : ∃y ∈ S, (x, y) ∈ E.

3.14. Állítás. Egy véletlen d-reguláris páros gráf jó expander.

Bizonyítás. A konstrukció során d darab véletlen (teljes) párosítás fogunk csinálni a kétn csúcsszámú halmaz között. Ezek uniója fogja szolgáltatni a véletlen d-reguláris párosgráfot. Lehet, hogy néhány csúcsnak a fokszáma kisebb lesz, mint d, ekkor behúzunk kell®sok élet még, ez nyilván nem fogja elrontani az expanderséget.Azt fogjuk bizonyítani, hogy egy αn elemszámú bal oldali részgráfnak több szomszédjavan, mint βn, valamely α, β < 1 konstansokra. A baloldali pontosztály legyen U , a jobb-oldali V . Tekintsük a A ⊂ U és B ⊂ V halmazokat, melyekre |A| = αn, illetve |B| = βn.Annak a valószín¶sége, hogy egy A-t fed® teljes párosításban A szomszédjai B-be esnek,(βnαn)( nαn)

. Mivel a d darab párosítás független,

P (N(A) ⊂ B) =

((βnαn

)(nαn

))d

≤

((βneαn

)αn(nαn

)αn)d

≤ ((eβ)αn)d.

Így egy véletlen A ⊂ U , melyre |A| = αn azt kapjuk, hogy

P (N(A) ≤ βn) ≤∑|B|=βn

P (N(A) ⊂ B) ≤(n

βn

)(eβ)αnd

P (∃A ⊂ U,melyre |A| = αn, |N(A)| ≤ βn) ≤∑|A|=αn

P (N(A) ≤ βn) ≤(n

αn

)(n

βn

)(eβ)αnd.

Használjunk fel egy gráfentrópia-elméletbeli állítást, miszerint(nγn

)∼ 2nH(γ), ahol H(γ) =

−γ log2 γ−(1−γ) log2(1−γ) a bináris entrópiafüggvény. Így az egyenl®tlenség jobb oldalaaszimptotikusan megegyezik 2(H(α)+H(β)+dα log2 β)n-vel.Válasszuk meg α-t és β-t úgy, hogy H(α) +H(β) + dα log2 β = −r negatív legyen (ilyenválasztás létezik). Ekkor a valószín¶ség felülr®l becsülhet® aszimptotikusan 2−rn-nel, ami0-hoz tart, ha n→∞. Tehát elég nagy n-re egy véletlen d-reguláris 2n csúcsú páros gráf-ban nagyon valószín¶tlen, hogy van olyan baloldali αn csúcsú részgráf, aminek kevesebbszomszédja van, mint βn.

Most nagyon röviden mutatunk két determinisztikus konstrukciót.

17

3.2.2. Explicit konstrukciók

Explicit konstrukció alatt - [3] alapján - olyan konstrukciókat értünk, amelyek rendelkez-nek a következ® három tulajdonssággal:

1. az egész N csúcsú gráfot fel tudjuk építeni N -ben polinomiális id® alatt,

2. egy u csúcsból.

Margulis-féle konstrukció

Rögzítsünk le egyM pozitív egészet, és legyen [M ] = 1, 2, . . . ,M. Deniáljuk a G =

(V,E) páros gráfot a következ®képpen. Legyen V = [M ]2 ∪ [M ]2. Az els® halmazban lév®csúcsokat jelöljük (x, y)1-gyel, a második halmazban lév® csúcsokat (x, y)2-vel. Minden(x, y)1-b®l húzzunk éleket (x, y)2, (x, x+ y)2, (x, x+ y+ 1)2, (x+ y, y)2 csúcsokba, ahol azösszeadást modulo M felett kell érteni. Ekkor a G gráf expander lesz.

Lubotsky-Phillips-Sarnak-féle konstrukció

Vegyünk két rögzített p és q prímet, melyekre q ≡ 1 mod 4 és p ≡ 1 mod q. Legyeni olyan egész, hogy i2 ≡ −1 mod q. A G = (V,E) gráf legyen a következ®. LegyenV = Fq ∪ ∞, ahol Fq a q elem¶ véges test. Legyen él (z, z′) között, ha

z′ =(a0 + ia1)z + (a2 + ia3)

(−a2 + ia3)z + (a0 − ia1),

valamely a0, a1, a2, a3 ∈ N, melyek négyzetösszege p. Meg lehet mutatni, hogy p+ 1 darabilyen számnégyes van, így G foka p+1. Továbbá az is bizonyítható, hogy λ(G) legfeljebb2√d− 1/d.

3.2.3. Cikkcakkszorzat

A következ®kben egy nagyon er®s eszközt mutatunk be. Az ezredforduló után alkotta megReingold, Vadhan, Wigderson a cikkcakkszorzatot ( [3]). Ezzel a technikával sok, eddigmegoldatlan feladatot sikerült megoldani. Ilyen például annak az eldöntése logaritmikustárhelyet használva, hogy létezik-e út egy gráf két tetsz®leges csúcsa között.

3.15. Jelölés. G egy (N, d, λ)-gráf, ha N csúcsa van, d-reguláris, és λ-expander.

A cikkcakkszorzat két gráfot szoroz össze, méghozzá úgy, hogy mindkett®nek megtartja ajó tulajdonságait. Az egyik kiinduló gráfnak az lesz a jó tulajdonsága, hogy bármely kétcsúcs között létezik rövid út, a másik gráfnak pedig konstans lesz a fokszáma. A szorzat-gráf pedig konstans fokszámú lesz, és mégis rövid úton el lehet egyik tetsz®leges csúcsbóla másikba.Tehát tekintsünk egy G (N1, d1, λ1)-expander gráfot és egy H (d1, d2, λ2)-expandert. Te-gyük fel, hogy V (H) = 1, 2, . . . , d1. G-ben minden csúcsnak d1 szomszédja van, szá-mozzuk meg az élek végeit a csúcsoknál valahogyan. Deniáljunk egy rotációs leképezést:

18

RotG : V (G)×V (H)→ V (G)×V (H) és RotG(u, i) = (v, j), ha az u csúcs i élén elindulvav-be jutunk, és az él másik végén j szerepel.A G és H cikkcakkszorzatát G©z H-val jelöljük. Csúcsainak halmaza a V (G) × V (H)

halmaz, tehát G©z H csúcsai (u, i) párok, ahol u ∈ V (G) és i ∈ V (H). (u, i) és (v, j)

között pontosan akkor van él, ha létezik olyan i′, j′ ∈ V (H), hogy (i, i′), (j, j′) ∈ E(H) ésRotG(u, i′) = (v, j′).

3.16. Deníció. Tekintsünk két rotációs leképzéssel megadott gráfot: G, egy (N,D1, λ1)-gráf, és H egy (D1, D2, λ2)-gráf. Ekkor a cikkcakkszorzatuk szintén egy rotációs leképzésselábrázolt gráf, melyre rendelkezik a következ® tulajdonságokkal:

• G©z H-nak ND1 csúcsa van,

• G©z H-nak D22 éle van,

• RotG©zH((u, i)(a1, a2)) = ((v, j)(b1, b2)), ha létezik i′, j′ ∈ 1, 2, . . . , D2, hogy

RotH(i, a1) = (i′, b2)

RotG(u, i′) = (v, j′)

RotH(j′, a2) = (j, b1)

Nézzük meg, mi is történik a cikkcakkszorzás során. El®ször létrehozunk egy "közbüls®"Kgráfot, amelyben G minden v csúcsát lecserélünk H egy másolatára, Hv-re (ezt nevezzük av-hez tartozó felh®nek). Ezután v minden w szomszédjához tartozó Hw-ben kiválasztunkegy-egy csúcsot, és konstruálunk egy teljes párosítást az így kiválasztott d1 csúcs és a Hv

csúcsai között.Most, ha van él (u, i′) és (v, i) között K-ban (u 6= v), akkor G©z H-ban (u, i′) minden Hu-beli szomszédjából van út (v, i) minden Hv-beli szomszédjába. Tehát G©z H az él-uniójasok teljes páros Kd2,d2 gráfnak.

Tekintsünk egy konkrét példát! A G gráf legyen egy 6 csúcsú, 3-reguláris gráf, a H pedigegy 3 csúcsú 2-reguláris gráf, például így:

19

A cikkcakkszorzat gráf ábráján színessel jelöltem (különböz® színekkel) az 5-ös csúcshoztartozó felh®b®l induló éleket. Jól látszódik, hogy kett® hosszú úton egy felh®beli csúcsbólelérhet® egy tetsz®leges másik csúcs.Mivel sajnos a szorzatgráf ábráján helyhiány miatt nem látható minden tökéletesen, azélekkel jellemezve megadom a gráfot:Jelölés: ((csúcs1 címke1)− (csúcs2 címke2)) = van él csúcs1 és csúcs2 között, és a címkékaz élen rendre címke1, és címke2.1.él: ((1,1) (1,1)) - ((2,3) (2,2)) 2.él: ((1,1) (1,2)) - ((2,2) (2,2))

3.él: ((1,1) (2,1)) - ((4,3) (2,2)) 4.él: ((1,1) (2,2)) - ((4,2) (2,2))

5.él: ((1,2) (1,1)) - ((2,3) (2,1)) 6.él: ((1,2) (1,2)) - ((2,2) (2,1))

7.él: ((1,2) (2,1)) - ((5,3) (1,2)) 8.él: ((1,2) (2,2)) - ((5,1) (2,2))

9.él: ((1,3) (1,1)) - ((4,3) (2,1)) 10.él: ((1,3) (1,2)) - ((4,2) (2,1))

11.él: ((1,3) (2,1)) - ((5,3) (1,1)) 12.él: ((1,3) (2,2)) - ((5,1) (2,1))

13.él: ((2,1) (1,1)) - ((4,3) (1,2)) 14.él: ((2,1) (1,2)) - ((4,1) (2,2))

15.él: ((2,1) (2,1)) - ((6,3) (1,2)) 16.él: ((2,1) (2,2)) - ((6,1) (2,2))

17.él: ((2,2) (1,1)) - ((4,3) (1,1)) 18.él: ((2,2) (1,2)) - ((4,1) (2,1))

19.él: ((2,3) (1,1)) - ((6,3) (1,1)) 20.él: ((2,3) (1,2)) - ((6,1) (2,1))

21.él: ((3,1) (1,1)) - ((6,3) (2,2)) 22.él: ((3,1) (1,2)) - ((6,2) (2,2))

23.él: ((3,1) (2,1)) - ((5,2) (1,2)) 24.él: ((3,1) (2,2)) - ((5,1) (1,2))

25.él: ((3,2) (1,1)) - ((6,3) (2,1)) 26.él: ((3,2) (1,2)) - ((6,2) (2,1))

27.él: ((3,2) (2,1)) - ((4,2) (1,2)) 28.él: ((3,2) (2,2)) - ((4,1) (1,2))

29.él: ((3,3) (1,1)) - ((5,2) (1,1)) 30.él: ((3,3) (1,2)) - ((5,1) (1,1))

31.él: ((3,3) (2,1)) - ((4,2) (1,1)) 32.él: ((3,3) (2,2)) - ((4,1) (1,1))

33.él: ((5,2) (2,1)) - ((6,2) (1,2)) 34.él: ((5,2) (2,2)) - ((6,1) (1,2))

35.él: ((5,3) (2,1)) - ((6,2) (1,1)) 36.él: ((5,3) (2,2)) - ((6,1) (1,1))

20

Ekkor a cikkcakkszorzatuk, vagyis G©z H, a következ®képp néz ki:

G©z H szorzatgráf

3.17. Deníció. Egy G gráf négyzetén azt a gráfot értjük, melynek csúcsai megegyeznekG csúcsaival, és két csúcs akkor van összekötve, ha az eredeti gráfban létezett 2 hosszúút a két csúcs között. Ha több 2 hosszú út is létezik két csúcs között, akkor multiéleket ishúzunk be, tehát a négyzetgráf nem feltétlenül egyszer¶ gráf. Jelölés: G2.

Ha G egy (N, d, λ)-gráf, akkor G2 egy (N, d2, λ2)-gráf, hiszen A(G2) = (A(G)2), aholA(X) az X gráf adjacencia-mátrixa. Tehát a sajátértékek is négyzetre emel®dnek, így

21

speciálisan a második legnagyobb is, vagyis a λ.A kés®bbiekben meg fogjuk mutatni, hogy λ(G©z H) ≤ λ(G) + λ(H) + λ(H2). Ezt fel-használva be tudjuk látni, hogy a cikkcakkszorzással tényleg konstruálhatóak bármekkoraexpanderek.

3.18. Tétel. Legyen H egy (d4, d, λ0)-expander valamely λ0 ≤ 1/5. Legyen G1 = H2 ésGt+1 = G2

t©z H, ha t > 1. Ekkor minden t-re Gt egy (d4t, d2, λ)-expander, ahol λ ≤ 2/5.

Bizonyítás. Teljes indukcióval fogjuk belátni. t = 1-re a négyzetre emelés tulajdonságamiatt igaz lesz, hiszen λ(G1) ≤ 1/25.Tegyük most fel, hogy t−1-re már igaz az állítás, vagyis Gt−1 egy (d4(t−1), d2, λ)-expander,ahol λ ≤ 2/5. Gt-nek d4t csúcsa van, mert a cikkcakkszorzás során a két gráf csúcsainakszámának szorzata adja a szorzatgráf csúcsainak számát. Ugyanígy denícióból következik,hogy Gt-nek is d2 lesz a fokszáma. Végül

λ(Gt) ≤ λ(G2t−1) + λ(H) + λ(H2)

≤ (2/5)2 + 1/5 + 1/25

≤ 2/5.

Most lássuk be, az el®bb felhasznált összefüggést.

3.19. Tétel. Tegyük fel, hogy G egy (N1, d1, λ1)-expander, és H egy (d1, d2, λ2)-expander.Ekkor G©z H egy (N1d1, d

22, f(λ1, λ2))-expander, ahol f(λ1, λ2) ≤ λ1 + λ2 + λ22.

Bizonyítás. Legyen M a normált adjacencia-mátrixa a G©z H gráfnak. Ekkor

λ(G©z H) = maxα⊥1N1d1

|〈Mα,α〉||〈α, α〉|

.

Meg kell mutatni, hogy ∀α ∈ RN1d1 , ha α ⊥ 1N1d1 , akkor |〈Mα,α〉| ≤ f(λ1, λ1)|〈α, α〉|.Legyen α ∈ RN1d1 olyan, hogy α ⊥ 1N1d1 . Legyen av ∈ Rd1 úgy deniálva, hogy (αv)k =

αvk. Legyen C : RN1d1 → RN1 egy lineáris leképezés, melyre (Cα)v =∑d1

k=1 αvk. Ekkorα =

∑v (ev ⊗ av), illetve αv felbontható a‖v + a⊥v alakban, ahol α⊥v ⊥ 1d1 . Így

α =∑v

(ev ⊗ α‖v) +∑v

(ev ⊗ α⊥v ) =: α‖ + α⊥.

Vegyük észre, hogy α‖-ra, ha úgy nézünk mint egy eloszlásra G©z H-n, akkor egyenleteseloszlású minden felh®n belül. Valójában

α‖ =Cα⊗ 1d1

d1=

s1, . . . , s1︸ ︷︷ ︸d1 db

, . . . , sN1 , . . . , sN1︸ ︷︷ ︸d1 db

, ahol si =

∑d1k=1 avkd1

.

Mivel α‖ koordinátáinak összege megegyezik α koordinátáinak összegével, ami 0 (mertmer®leges a csupa 1 vektorra), ezért α‖ ⊥ 1N1d1 és Cα

‖ ⊥ 1N1 .

22

Legyen B = IN1 ⊗ B, ahol B a H gráf normált adjacencia-mátrixa, illetve legyen A aRotG-hez tartozó permutáció mátrix. Ekkor M = BAB. Mivel B szimmetrikus és valós,ezért önadjungált, így

〈Mα,α〉 = 〈BABα, α〉 = 〈ABα, Bα〉.

Bα‖ = α‖, mert az egyenletes eloszlás H-n B-re invariáns.

Tekintsük a következ® példát, hogy jobban megértsük a bizonyítás eddigi részét!Legyen N1 = 3, d1 = 2, d2 = 2, illetve α = (2, 4, 0,−6,−2, 2). Ekkor α ⊥ 1.Így Cα = (6,−6, 0), α1 = (2, 4), α2 = (0,−6), α3 = (−2, 2).∀αv-t felbontunk a fentebbi alakra: α1 = (3, 3) + (−1, 1), α2 = (−3,−3) + (−3, 3), α1 =

(0, 0) + (−2, 2).Elvégezve a tenzorszorzásokat: α‖ = (3, 3,−3,−3, 0, 0) és α⊥ = (−1, 1, 3,−3,−2, 2).

Cα⊗ 1d1d1

= 1/2 ·

6

−6

0

⊗ ( 1

1

)= 1/2 · (6, 6,−6,−6, 0, 0) = (3, 3,−3,−3, 0, 0) = α‖

Valóban∑

i α‖i =

∑i αi, ezért α

‖ ⊥ 1N1d1 , és Cα‖ ⊥ 1N1 .

B =

(0 1

1 0

)és B =

B 0 00 B 00 0 B

, ahol 0 =

(0 0

0 0

).

Ekkor jól látható, hogy Bα‖ = α‖, mert a B-vel való szorzás csak az azonos koordinátákatcseréli fel.

TehátBα‖ = B(α⊥ + α‖) = α‖ + Bα⊥.

〈Mα,α〉 = 〈Aα‖ + Bα⊥, α‖ + Bα⊥〉= 〈Aα‖, α‖〉+ 〈Aα‖, Bα⊥〉+ 〈ABα⊥, α‖〉+ 〈ABα⊥, Aα⊥〉

|〈Mα,α〉| ≤∣∣∣〈Aα‖, α‖〉∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣Aα‖∣∣∣∣∣∣ · ∣∣∣∣∣∣Bα⊥∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣ABα⊥∣∣∣∣∣∣ · ∣∣∣∣α‖∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣ABα⊥∣∣∣∣∣∣ · ∣∣∣∣∣∣Bα⊥∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣〈Aα‖, α‖〉∣∣∣+ 2∣∣∣∣α‖∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣Bα⊥∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣Bα⊥∣∣∣∣∣∣2

23

Felhasználtuk azt, hogy∣∣∣∣∣∣Ax∣∣∣∣∣∣ = ||x|| ∀x ∈ RN1d1-re, mivel A egy permutáció.

Nézzük, tagonként mit tudunk mondani a kifejezésr®l.∣∣∣∣∣∣Bα⊥∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣B∑

v

(ev ⊗ α⊥v )

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∑v

ev ⊗Bα⊥v

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2

=∑v

∣∣∣∣Bα⊥v ∣∣∣∣2≤

∑v

λ22∣∣∣∣α⊥v ∣∣∣∣2

≤ λ22∣∣∣∣α⊥∣∣∣∣2

Meg kell becsülnünk∣∣∣〈Aα‖, α‖〉∣∣∣ értékét is. Legyen A a G gráf normált adjacencia-mátrixa.

Határozzuk meg, A és A kapcsolatát! Rögzítsünk egy ev ∈ RN1 vektort. Ekkor Aev azegyenletes eloszlást adja meg v szomszédjain G-ben. Vagyis

Aev = CA · ev ⊗ 1d1d1

,

mivel a tenzorszorzat az egyenletes eloszlást adja a v-hez tartozó felh®n, ezt megszorozvaA-val az eloszlás v szomszédjain fog nem 0 értékeket felvenni, majd a C-vel való szorzáshatására összegz®dik az eloszlás felh®nként.A linearitás miatt ∀β ∈ RN1-ra

Aβ = CA · β ⊗ 1d1d1

.

Legyen β = Cα. Ekkor α‖ = (β ⊗ 1d1)/d1, tehát CAα‖ = ACα. Így

〈Aα‖, α‖〉 = 〈Aα‖, Cα⊗ 1d1〉/d1= 〈CAα‖, Cα〉/d1= 〈ACα,Cα〉/d1∣∣∣〈Aα‖, α‖〉∣∣∣ ≤ λ1〈Cα,Cα〉/d1= λ1〈Cα⊗ 1d1 , Cα⊗ 1d1〉/d21= λ1〈α‖, α‖〉.

Ezeket felhasználva kapjuk, hogy

|〈Mα,α〉| ≤ λ1∣∣∣∣α‖∣∣∣∣2 + 2λ2

∣∣∣∣α‖∣∣∣∣ · ∣∣∣∣α⊥∣∣∣∣+ λ22∣∣∣∣α⊥∣∣∣∣2 .

Legyen p =∣∣∣∣α‖∣∣∣∣ / ||α|| és q =

∣∣∣∣α⊥∣∣∣∣ / ||α||, így p2 + q2 = 1. Ekkor

|〈Mα,α〉||〈α, α〉|

≤ λ1p2 + 2λ2pq + λ22q

2

≤ λ1 + λ2 + λ22.

24

3.3. Expanderek alkalmazásai

3.3.1. Irányítatlan S − T összefügg®ség

Az irányítatlan s − t összefügg®ségi problémában a feladat az, hogy eldöntsük van-e útkét kiválasztott pont között egy irányítatlan gráfban. (Vö.: [3])

USTCONN = 〈G, s, t〉|G : irányítatlan gráf, s, t ∈ V (G), s és t között létezik út G-ben

Nyilvánvalóan bármelyik standard keres®algoritmus (szélességi, mélységi keresés) meg-oldja az USTCONN-t lineáris id®ben. Viszont tárigényük nagy, hiszen az implementálá-sukhoz sorra vagy veremre van szükség, ami legrosszabb esetben akkora is lehet, mint amaga a gráf.A kérdés, amire majd a kés®bbiekben pozitív választ fogunk adni: az USTCONN bennevan-e Logspace-ben? Vagyis létezik-e determinisztikus logspace algoritmus, amely eldöntikét pont összefügg®ségét egy irányítatlan gráfban. Ezt a problémát Reingold oldatta mega cikkcakkszorzás segítségével.

USTCONN tárigényének "története"

Nézzük meg az USTCONN tárigényének vizsgálatának f®bb állomásait!Az USTCONN NL (nem-determinisztikus logspace)-ben van, valójában, ha irányítottgráfokra nézzük ugyanezt a problémát az is NL-ben van. Az 1970-es években megmutatta,hogy egy S tárigény¶ nem determinisztikus algoritmus szimulálható egy S2 tárigény¶determinisztikus algoritmussal. Így USTCONN ∈ SPACE(log2 n). Aleliunas megmutatottegy véletlenített logspace algoritmust az USTCONN-ra, így USTCONN ∈ RL(véletlenítettlogspace). Ezután 1995-ben Saks és Zhou megmutatta, hogy tetsz®leges véletlenített Stárigény¶ algoritmus szimulálható egy S3/2 tárigény¶ algoritmussal. Tehát USTCONN ∈SPACE(log3/2 n). Kés®bb, ezt az eredményt Armoni, Ta-Shma, Wigderson és Thou továbbjavították SPACE(log4/3 n)-re. Ezután következett Reingold megoldása. Jegyezzük meg,hogy már a csúcsok indexeléséhez is szükség van legalábblogn helyre.

Savitch determinisztikus algoritmusa

A f® ötlet az algoritmusban az, hogy a gráf négyzetre emelése növeli az összefügg®séget.Deniáljuk minden G gráfra azt a Gsq gráfot, melyet úgy nyerünk, hogy a csúcshalmazamegegyezik G-jével, és két csúcs között akkor húzunk be egy élet, ha létezik G a két csúcsközött legfeljebb 2 hosszú út. Egyszer¶ meggyelésb®l adódik, hogy két csúcs között vanút G-ben, akkor Gsqlogn-ben lesz él a két csúcs között. Savitch adott egy O(log2 n) algo-ritmust, ami G-b®l kiszámolja Gsqlogn-t, így USTCONN ∈ SPACE(log2 n).Bemutatjuk Savitch algoritmusát kis módosítással: Gsq helyett G2-tel számolva. Ez is megfogja oldani az USTCONN-t, viszont a tárigénye hatalmas lesz.Tegyük fel, hogy a vizsgálandó gráfok regulárisak, és a gráfokat reprezentáljuk a rotációsleképzésével. El®ször határozzuk meg azt a tárigényt, ami H2 rotációs leképzésének ki-számításához kell, ha ismerjük H rotációs leképzését. H legyen d-reguláris gráf, így H2

25

d2-reguláris gráf lesz. H2 éleit címkézhetjük a 1, . . . , d × 1, . . . , d halmaz elemeivel.Tegyük fel, hogy kezdetben a szalagon (u, (i1, i2)) van, ahol u ∈ V (H), i1, i2 ∈ 1, . . . , d,és azt szeretnék, hogy a számítás végén a szalagon ehelyett RotH2(u, (i1, i2)) szerepel-jen. Egy tetsz®eges G gráfra SPACE(G) jelölje azt a plusz helyet, ami ahhoz szüksé-ges, hogy a bemenetként kapott (u, i)-t felülírjuk RotG(u, i)-vel. El®ször határozzuk megRotH(u, i1) = (w, j2)-t, majd a szalag (u, (i1, i2)) tartalmát cseréljük le (w, (j2, i2))-re.Ehhez szükségünk valamennyi plusz helyre, ezt jelöljük SPACE(H)-val. Ezután használ-juk újra ezt a plusz helyet ahhoz, hogy kiszámoljuk RotH(w, i2) = (v, j1)-et, és a szalagtartalmát cseréljük le (v, (j2, j1))-re. Végül cseréljük meg a j1, j2 indexeket, így pont azjelenik meg a szalagon, amint szerettünk volna.Ebb®l az elemzés adódik a következ® egyenl®ség:

SPACE(H2) = SPACE(H) +O(log deg(H)).

A fenti eljárást végre hajtva log n-szer meg tudjuk határozni Gn = G2logn rotációs lekép-zését, ezzel megoldottuk az USTCONN-t. Nézzük az eljárás tárigényét:

SPACE(Gn) = SPACE(G2logn)

= SPACE(Gn−1) +O(log deg(G2logn−1

))...

= SPACE(G) +O(log deg(G)) +O(log deg(G2)) + · · ·+O(log deg(G2logn−1

))

= SPACE(G) +

logn−1∑i=1

O(log deg(Gi))

Ez az algoritmus azért rossz, mert G2i fokszáma nagyon gyorsan növekszik, valójábandeg(G2i) = (deg(G))2

i. Ha valahogyan a fokszámot változatlanul tudnánk hagyni az eljá-

rás során, akkor egy O(log n)-es algoritmust kapnánk az USTCONN-ra. De ez nem lehetsé-ges, hiszen a négyzetre emelés mindig négyzetre fogja emelni a fokszámot is. Kérdés, hogylétezik-e a négyzetre emeléshez hasonló m¶velet, ami növeli a gráf összefügg®ségét, viszonta fokszámon nem változtat. Reingold f® gondolata az volt, hogy a cikkcakkszorzatot alkal-mazva csökkenthet® a fokszám, anélkül, hogy nagyon megváltozna a gráf összefügg®sége.Két tételt ki kell mondanunk, hogy lássuk Reingold algoritmusának helyességét:

3.20. Tétel. Ha G egy összefügg®, d-reguláris, nem páros gráf, és a csúcsainak száma n,akkor

1− λ ≥ 1

dn2.

3.21. Tétel. Ha λ(H) ≤ 1/2, akkor

1− λ(G©z H) ≥ 1

3(1− λ(G)).

26

Reingold algoritmusa

Az el®z® tétel azt mondja ki, hogy amíg H egy jó expander (vagyis λ(H) ≤ 1/2), addigG cikkcakkszorzása H-val csak legfeljebb 1/3-adára csökkenti a "spektrál gap"-et, vagyis1 − λ értékét. Ez nekünk jó, hiszen amíg a négyzetre emelés a spektrál gap-et 1 − λ-ról1− λ2-re növeli, addig a cikkcakkszorzás visszarontja 1− λ-ról (1− λ)/3-ra.Legyen H egy (d16, d, 1/2)-expander valamilyen d-reguláris G gráfra. Ilyen H-t lehet ta-lálni kimerít® kereséssel vagy valamelyik korábban bemutatott konstrukcióval. Tegyük felmost, hogy a G gráf, amelyikben el szeretnénk dönteni az összefügg®ségi kérdést, d16-reguláris nem páros gráf. Kés®bb ezekt®l a megkötésekt®l eltekintünk.Reingold algoritmusa G mindegyik komponensén függetlenül m¶ködik, vagyis, hogy t

benne van-e abban az összefügg® komponensben, amelyben s szerepel. Mivel mindegyikkomponense G-nek reguláris, összefügg®, nem páros, így nyerjük azt, hogy 1 − λ(C) ≥1/d16n2 minden C ⊂ G komponensre.Vizsgáljuk meg, hogy miért lehet logspace-ben eldönti az összefügg®séget egy olyan gráf-ban, amelynek minden komponense expander (vagyis λ ≤ 1/2). Expander gráfban atávolság bármely két csúcs között O(log n) nagyságú, így elég felsorolni az összes O(log n)

hosszúságú utat a gráfban, amelyik a kezd® s pontból indulnak, és ellen®rizni, hogy vala-melyik t-be vezet-e. Ezt meg lehet csinálni logspace-ben. Így elég G-t egy G′-vé alakítanilogspace-ben, amelyre már igaz, hogy minden komponense expander, továbbá ez az átala-kítás tartsa meg az összefügg®séget, vagyis két csúcs között G-ben pontosan akkor legyenút, ha G′-ben is van út a két csúcs között.Az algoritmus:Input: G d16-reguláris gráf, és két csúcs, s, t ∈ V (G).

1. Legyen l a legkisebb egész, melyre(1− 1

d16n2

)2l ≤ 12.

2. G0 := G

3. For i = 1, . . . , l do Gi := (Gi−1©z H)8.

4. Gl-ben soroljuk fel az összes O(log n) hosszú s-b®l induló utat, és ellen®rizzük le,hogy valamelyiknek a vége a t csúcs-e.

Figyeljük meg, hogy az 1. pontban l O(log n) nagyságrend¶ lesz, illetve, hogy minden Gi

d16-reguláris gráf lesz.

3.22. Állítás. Minden i = 1, . . . , l-re λ(G) ≤ maxλ2(Gi−1, 1/2.

Bizonyítás. Az el®z® tételb®l kapjuk, hogy

λ8(Gi) = λ8(Gi−1©z H) ≤(

1− 1− λ(Gi−1)

3

)8

Ha λ(Gi−1 ≤ 1/2, akkor

λ8(Gi) = λ8(Gi−1©z H) ≤(

1− 1

3· 1

2

)8

=

(5

6

)≤ 1

2.

27

Ha λ(Gi−1 > 1/2, akkor könnyen belátható, hogy ∀ 1/2 ≤ x ≤ 1-re(1− 1

3(1− x)

)4

≤ x

Így

λ8(Gi) = λ8(Gi−1©z H) ≤(

1− 1

3(1− λ(Gi−1))

)8

≤ λ2(Gi−1).

Ezen állítás következménye az alábbi tétel, ami bizonyítja Reingold algoritmusának he-lyességét:

3.23. Tétel. Gl minden komponense 1/2-expander.

Reingold algoritmusának tárigénye

Korábban láttuk, hogy minden négyzetre emeléshez szükség van O(log degG) plusz tár-helyre. Hasonlóan megmutatható, hogy a cikkcakkszorzás elvégzéséhez is elég ugyanekkoranagyságrend¶ plusz tár. Legfeljebb O(log n) négyzetre emelést és cikkcakkszorzást vég-zünk (mivel l = O(log n), és minden gráf foka d16, tehát konstans, így az egész algoritmustárigénye is legfeljebb O(log n).

Az algoritmus alkalmazása általános gráfokra

A gráfot konvertáljuk 3-reguláris gráá úgy, hogy minden 3-nál nagyobb fokszámú (fok-száma legyen d) csúcsot helyettesítsünk egy d hosszú körrel, és a kör minden csúcsának a3. éle menjen az eredeti csúcs különböz® szomszédjaiba. Ebb®l úgy csináljunk d16-regulárisgráfot, hogy minden csúcshoz adjunk hozzá d16 − 3 hurkot. Így a gráfunk már biztosannem lesz páros gráf. Ezen m¶veletek mindegyike elvégezhet® logspace-ben.

3.3.2. AKS-rendezés

Az expandereket rendezésre is lehet használni, ezt mutatja be [4]. A feladat egyszer¶:adott n szám, rendezzük ®ket növekv® sorrendbe minél kevesebb lépésben. Rendezni lehetösszehasonlító rendezési algoritmusokkal és rendez® hálózatokkal. A f® különbség köz-tük az, hogy a rendez® hálózatokban párhuzamosan is lehet összehasonlítani számokat.A rendez® hálózatokat n szállal (dróttal), illetve ezeken pontosan kett® szálat összeköt®összehasonlító egységekkel szokták szemléltetni. A szálak elején inputként megadjuk azn számot, azok elindulnak a szálakon, az összehasonlító egységeken összehasonlítjuk ®ketaz egység másik inputjával, és a kisebb szám fog a fels® szálon tovább utazni, a nagyobbpedig az alsón. Egy rendez® hálózat jó, ha a szálak végén a számok növekv® sorrendbenszerepelnek.Batcher 1968-ban sikerült egy O(log n) lépésb®l álló hálózatot alkotni. Nagy kérdés volt

28

egészen 1983-ig, hogy létezik-e O(logN) lépésb®l álló rendez® hálózat. Erre a kérdésre Aj-tai Miklós, Komlósi János és Szemerédi Endre adott pozitív választ. Az ® konstrukciójukatröviden AKS-rendezésnek fogjuk hívni. Ezt egyszer¶sítette kés®bb Paterson. Igaz, sikerültO(logN)-ben rendezni, viszont a konstans olyan nagy, hogy ez a módszer a gyakorlatbanhasználhatatlan. A következ®kben az AKS-rendezés és az expanderek kapcsolatát mutat-juk meg.

Tegyük fel, hogy N darab számot szeretnénk rendezni, és hogy N egy kett®hatvány. Kép-zeljünk el egy T bináris fát, N levéllel, ekkor a mélysége logN . A rendezés azt jelenti,hogy a levelekben a számok balról jobbra növekv® sorrendben követik egymást. Képzeljükel a következ® rendezést: kezdetben mindegyik szám T gyökérében van, és osszuk mindigkét részre a csúcsokban lév® számokat úgy, hogy a kisebbek menjenek a bal gyerekébe, anagyobbat a jobba. Ekkor az algoritmus logN párhuzamos lépésben véget ér. Ha mindencsúcsban a vágás pontos, akkor kaptunk egy jó rendezést. De ha minden vágás pontos,akkor az egész algoritmus futásideje nagyobb lesz mint, O(logN).Az AKS-rendezés minden lépésnél tesz egy kis kompromisszumot: nem követeli meg, hogya vágás pontos legyen. Közelít® vágást már lehet alkalmazni in bounded depth egy kicsi,de nem nulla hibavalószín¶séggel. A számokat ugyanúgy felosztjuk mindegyik lépésbenminden csúcsban, de nem mind lefelé megy. Néhányat visszaküldünk azért, hogy azoknaka kulcsoknak, amik rossz helyen vannak, legyen lehet®ségük a jó helyre "keveredni". Haezt elég sokáig folytatjuk, akkor minden hibát lesz lehet®ség kijavítani, és a számok végüla megfelel® levelekben lesznek.Most nézzük kicsit precízebben.

3.24. Deníció. (k, ε)-expandernek nevezzük az olyan irányított páros gráfot, melyneka két csúcsosztályában (A és B) ugyanannyi csúcs van, az élek halmaza legyen E, ésteljesüljön a következ® két feltétel:

|Γ(X)| ≥ 1− εε

min(ε |B| , |X|), ∀X ⊆ A,

és|Γ(Y )| ≥ 1− ε

εmin(ε |A| , |Y |), ∀Y ⊆ A,

valamint E felbontható k darab diszjunkt párosításra.

A bináris fa csúcsaiben végzett vágásoknál fog nagy szerep jutni az expandereknek. Tegyükfel, hogy A és B két n elem¶ tömb, melyben rendezend® számok vannak. Azt szeretnénk,hogy a kisebb számok A-ban legyenek, a nagyobbak B-ben. Ezt nem kell pontosan végre-hajtani, egy bizonyos hibát megengedünk. Tekintsünk egy expandert az A∪B-n, és tegyükfel, hogy az élek felbonthatókM1, . . . ,Mk) diszjunkt párosításokra. A VÁGÁSε(A,B) m¶-velet legyen a következ®:

3.25. Deníció. Az A∪B-ben lév® számoknak egy részhalmazát S kezd®szeletnek hívjuk,ha ∀y ∈ S,∀x ∈ A ∪B-re teljesül, hogy ha x ≤ y, akkor x ∈ S.

29

Hasonló módon deniálható a hátsó szelet is.

3.26. Lemma. Tegyük fel, hogy S egy kezd®szelete A∪B-ben lév® számoknak, és |S| < n

(|A| = |B| = n). Ekkor a VÁGÁSε eljárás után azon S-beli számok száma, amelyek nemA-ban vannak, legfeljebb ε |S|. Hasonló állítás igaz a hátsó szeletekre is.

Bizonyítás.Legyen Y azoknak a csúcsoknak a halmaza B-ben, amiknek a hozzátartozó kulcsa S-belia VÁGÁSε elvégzése után, és jelölje ΓY az Y szomszédjainak halmazát A-ban. Tudjuk,hogy minden ΓY -beli kulcs nem nagyobb legalább egy S-beli értéknél, így S-nek vannakelemei Y -ban és ΓY -ban is egyaránt. Mivel Y és ΓY diszjunkt, ezért |S| ≥ |Y | + |ΓY |.Ha |Y | ≤ ε |A|, akkor levezethez® az, hogy |Y | + |ΓY | ≥ |Y | /ε, így |Y | ≤ ε |S|, ahogyállítottuk. A másik esetben, ha |Y | > ε |A|, akkor kapjuk azt,hogy |Y | + |ΓY | > |A|, de|A| = n, így |S| > n, ami ellentmondás.

Ennél egy még speciálisabb vágásra van szükségünk. Tegyük fel, hogy n szám van a Btömbben. Szeretnénk egy CENTRIFUGAε,λ(B)eljárást deniálni, ami rendelkezik a kö-vetkez® tulajdonsággal: tetsz®leges legfeljebb λn/2 elemszámú S kezd®szeletre (hátsó sze-letre) legfeljebb ε |S| szám marad ki az alsó (fels®) λn/2 helyr®l az eljárás után. Speciálisanλ = 1-re a VÁGÁSε-t kapjuk vissza. A CENTRIFUGAε,λ implementálása megvalósíthatót darab VÁGÁSε/t sorozataként, ahol t = dlog2(2/λ)e.

Az AKS-rendezés további vizsgálatától eltekintünk, de jól látható, hogy igen komoly sze-repe van benne az expandereknek.

30

Irodalomjegyzék

[1] Lovász László, Random walks on graphs: Survey, 1993.

[2] Dan Speilman, Applied extremal combinatories, Lecture notes, 1998.

[3] Cynthia Dwork, Pradladh Harsha, Expanders, Lecture notes., 2005.

[4] Richard Cole, Colm Ó'Dúnlaing, Note on the AKS sorting.

31