UNIVERZITA KOMENSKÉHO FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY

Katedra teoretickej fyziky a a didaktiky fyziky

Ján Pišút

ÚVOD DO FEYNMANOVÝCH DIAGRAMOV (Metódy teoretickej fyziky)

Bratislava 2009

Autor: Prof. RNDr. JÁN PIŠÚT, DrSc.

Názov: Úvod do Feymnanových diagramov

RECENZENT: Doc. Ing. PETER LICHARD, CSC. RNDr. VLADIMÍR ČERNÝ, CSC.

Vydavateľ: Knižničné a edičné centrum FMFI UK Grafická úprava: Peter Kohaut

Rok vydania: 2009 Miesto vydania: Bratislava Vydanie v elektronickom tvare: prvé Počet strán: 104

Internetová adresa: http://www.fmph.uniba.sk/index.php?id=el_st_m

ISBN 978-80-89186-49-5

OBSAH

Predhovor ......................................................................................................................................... 5

I Rozptyl častice na potenciáli v kvantovej mechanike ............................................................ 7 1 Bornov rad pre amplitúdu rozptylu pri stacionárnej poruchovej metóde................................. 7 2 Greenova funkcia (propagátor) pre časovú SchR ................................................................... 8 3 Elementy S-matice – prvý rád ................................................................................................. 10 4 Vyššie rády S-maticových elementov ..................................................................................... 12

II Relativistické rovnice a ich propagátory ................................................................................. 14 1 Označenia, konvencie ............................................................................................................. 14 2 Kleinova-Gordonova rovnica .................................................................................................. 15 3 Propagátor KG-rovnice ........................................................................................................... 17 4 Diracova rovnica ..................................................................................................................... 19 5 Kovariantný tvar Diracovej rovnice ........................................................................................ 20 6 Riešenia Diracovej rovnice v tvare rovinných vín .................................................................. 22 7 Vlastnosti γ-matíc a vyčíslovanie stôp .................................................................................... 25 8 Propagátor Diracovej rovnice ................................................................................................. 27 9 Opis elektromagnetického poľa pomocou potenciálov ........................................................... 29 10 Propagátor EM poľa a kalibračná invariantnosť ..................................................................... 31 11 O vlnovej funkcii fotónu ......................................................................................................... 36 12 Interakcia častice s EM poľom ................................................................................................ 37

III Rozptyl elektrónu a pozitrónu na vonkajšom potenciáli ....................................................... 38 1 Úvod ........................................................................................................................................ 38 2 Rozptyl elektrónu na vonkajšom EM poli .............................................................................. 38 3 Rozptyl pozitrónu na vonkajšom EM poli .............................................................................. 42 4 Priblíženie druhého rádu pre rozptyl elektrónu na Coulombovom potenciáli ........................ 44 5 Priblíženie druhého rádu pre rozptyl pozitrónu na vonkajšom potenciáli ............................... 45 6 Feynmanove diagramy pre rozptyl elektrónu a pozitrónu na vonkajšom EM poli ................. 47

IV Interakcie elektrónov, miónov a fotónov ................................................................................. 49 1 Úvod ........................................................................................................................................ 49 2 Rozptyl elektrónu na mióne .................................................................................................... 50 3 Rozptyl pozitrónu na mióne .................................................................................................... 55 4 Feynmanove diagramy v x-priestore ....................................................................................... 57 5 Feynmanove diagramy v priestore hybností a výpočet účinných prierezov ........................... 61 6 Anihilácia e+e− → µ+µ− ........................................................................................................... 64 7 Comptonov rozptyl ................................................................................................................. 67 8 Brzdné žiarenie ....................................................................................................................... 71

V Druhá cesta k Feynmanovým diagramom – teória kvantovaných polí ................................ 75 1 Úvod ........................................................................................................................................ 75 2 Harmonický oscilátor v energetickej reprezentácii ................................................................. 76 3 Sekundárne kvantovanie sústavy bozónov .............................................................................. 77 4 Sekundárne kvantovanie sústavy fermiónov ........................................................................... 81 5 Kvantovanie KG poľa ............................................................................................................. 82 6 Kvantovanie Diracovho poľa .................................................................................................. 84

7 Kvantovanie elektromagnetického poľa ................................................................................. 86 8 Interakčný obraz. Dysonov rad v nestacionárnej poruchovej metóde ..................................... 89 9 Opis interakcie častíc S-operátorom ........................................................................................ 93 10 Wickova veta ........................................................................................................................... 96 11 Rozptyl elektrónu na mióne ešte raz ....................................................................................... 98

Záverečná poznámka ...................................................................................................................... 98

Dodatok A ........................................................................................................................................ 100

Dodatok B ......................................................................................................................................... 103

5

PREDHOVOR

Účelom prednášok, z ktorých vznikol tento text, bolo poskytnúť poslucháčom úvodnú informáciu o Feynmanovýoh diagramoch. V prednáškach začíname s Feynmanovým časopriestorovým opisom interakcií častíc a zdôrazňujeme súvislosti s kvantovou mechanikou, ktorú už poslucháči poznajú.

Najprv zopakujeme z kvantovej mechaniky opis rozptylu častice na potenciáli pomocou časovej Greenovej funkcie (propagátora), potom zavedieme propagátory príslušné k relativistickým vlnovým rovniciam a odtiaľ prejdeme k jednoduchým Feynmanovým diagramom.

Aby poslucháč videl i druhý ekvivalentný prístup k Feynmanovým diagramom, zopakujeme neskôr kvantovanie harmonického oscilátora v energetickej reprezentácii, t. j. pomocou kreačných a anihilač-ných operátorov, potom zopakujeme sekundárne kvantovanie a odtiaľ prejdeme ku kvantovaniu voľných polí a napokon zas k poruchovej metóde a Feynmanovým diagramom. Domnievame sa, že je veľmi užitočné, aby poslucháč videl Feynmanove diagramy odvodené obidvomi týmito spôsobmi, lebo každý z nich má svoje výhody. Na nešťastie už nebolo miesta na zavedenie Feynmanových diagramov pomo-cou kontinuálnych integrálov.

Pri výklade sa snažíme o kvalitatívnu motiváciu všetkých postupov, aby čitateľ videl prečo sa jed-notlivé kroky robia a snažíme sa tiež vždy uviesť podrobne spočítané jednoduché príklady, aby čitateľ mohol získať istú technickú zručnosť,

Literatúra odporúčaná ku štúdiu AITCHISON, I. J. R.: Relativistic Quantum Mechanics, London : Mac Millan Press,1972. BJORKEN, J., DRELL, S.: Relativistic Quantum Fields, New York : Mc Graw Hill, 1965. BJORKEN, J., DRELL, S.: Relativistic quantum mechanics, New York : Mc Graw Hill, 1965 LANDAU, L., LIFŠIC, E.: Kvantovaja mechanika, Moskva : Nauka, 1975 BERESTECKIJ, V., LIFŠIC, E., PITAEVSKIJ, L. P.: Kvantovaja elektrodinamika, Moskva :

Nauka, 1980. V kvantovej mechanike budeme v mnohom nadväzovať priamo na učebnicu PIŠÚT, J., ČERNÝ, V.,

GOMOLČÁK, L.: Úvod do kvantovej mechaniky Bratislava : ALFA, 1983, ďalej citujeme stručne ako ÚKM.

Rovnice v každom článku číslujeme (1), (2),… Ak sa odvolávame na rovnicu (3) znamená to tretiu rovnicu daného článku rovnica (2, 4) označuje štvrtú rovnicu druhého článku danej kapitoly a (III, 4, 2) znamená druhú rovnicu štvrtého článku tretej kapitoly.

Mnoho preklepov a menších i väčších chýb pôvodnej verzie rukopisu bolo možné odstrániť vďaka upozorneniam recenzentov doc. Ing. P. Licharda, CSc. a dr. V. Černého, CSc. Obom som veľmi zaviazaný za starostlivosť, s ktorou recenziu urobili. Zodpovednosť, za ďalšie chyby a nepresnosti leží na autorovi, ktorý bude vďačný za upozornenia na tieto nedostatky. Za viaceré užitočné diskusie ďakujem aj dr. J. Ftáčnikovi. Gitke Šafaříkovej som vďačný za prácu s rukopisom. Za upozornenie na viaceré chyby som vďačný aj dr. Antonovi Zajacovi.

Bratislava, november 1983 Ján Pišút

6

Označenia V texte používame metriku danú tenzorom gµν , pričom g00 = −g11 = −g22 = −g33 = 1, ostatné zložky,

sa rovnajú nule. Skalárny súčin trojrozmerných vektorov a, b označujeme takto a ·b = a ib i. Skalárny súčin dvoch 4-vektorov označujeme a·b = aµ bνgµν . Špeciálny symbol 4-vektora Aµ a diracových matíc γµ označujeme A/ = Aµγµ, podobne p/ = pµγµ,

k/ = kµγµ atď. Grécke indexy nadobúdajú hodnoty 0, 1, 2, 3, latinské 1, 2, 3 a sčitujeme cez opakovaný index. Operátory označujeme písmenami H, p, V atď. Matice označujeme podobne ako trojrozmerné vektory.

7

I Rozptyl častice na potenciáli v kvantovej mechanike

1 Bornov rad pre amplitúdu rozptylu pri stacionárnej poruchovej metóde

Tu len stručne pripomenieme známe výsledky, podrobnosti čitateľ nájde v Úvode do kvantovej mechaniky, autorov Pišúta, Černého a Gomolčáka (ďalej citované len ako ÚKM) alebo v iných úvodných učebniciach kvantovej mechaniky. Pri štúdiu rozptylu častice s hmotnosťou m na silovom poli opísa-nom potenciálnou energiou V(r) hľadáme riešenie Schrödingerovej rovnice (ďalej len SchR)

+∆− )(

2

2

rVm

hψ(r) = Eψ(r) (1)

spĺňajúce okrajovú podmienku

r

rrk

r

kr

fi

ii e

),(e)( ϕϑψ +→ ⋅

∞→

(2)

pričom ki je vlnový vektor dopadajúcej častice, energiu E píšeme ako ħ2k2/2m a k ≡ |k |. Amplitúda roz-ptylu f(ϑ, ϕ) je viazaná s diferenciálnym účinným prierezom vzťahom

2),(d

d|f| ϕϑ

σ=

Ω (3)

Rovnicu (1) možno prepísať na tvar

(∆ + k2)ψ(r) = U(r)ψ(r) (4)

kde U = (2m/ħ2)V. Rovnica (4) spolu s okrajovou podmienkou (2) je ekvivalentná integrálnej rovnici

ψ(r) = ψi(r) + ∫G(r , r')U(r')ψ(r')d3r (5)

kde ψi(r) odpovedá dopadajúcej vlne exp (iki ·r) a Greenova funkcia G(r , r') je riešením diferenciálnej rovnice (∆r + k2) G(r , r') = δ3(r − r') (6)

pričom obsahuje len „rozbiehavé“ vlny. Táto Greenova funkcia je explicitne daná vyjadrením

G(r , r')||

e

4

1 ||i

rr

rr

′−π−=

′−k

(7)

a často je užitočný aj zápis v tvare

G(r , r') ∫ −+π)=

′−⋅

3q

qk3

22

||i

di

e

2(

1

ε

rrq

(8)

Trik s obchádzaním pólu v komplexnej rovine, vyjadrený dodatkom +iε v menovateli sa používa tak často aj v iných kontextoch, že odporúčame čitateľovi, aby si ho zopakoval podľa citovanej literatúry. Fyzikálny význam Greenovej funkcie je jasný. Z rovnice (6) vidno, že G je riešením diferenciálnej rovnice, ktorá odpovedá bodovému „podnetu“ vyjadrenému δ-funkciou na pravej strane v (6).

Riešenie (5) pomocou poruchového rozvoja má veľmi jednoduchú štruktúru. Zapíšme schematicky (5) ako ψ = ψi + GUψ (9)

8

Príslušný poruchový rad bude

ψ = ψi + GUψi + GUG Uψi + ... (10)

Jeden člen poruchového rozvoja zapíšeme explicitne

∫G(r , r3)U(r3)G(r3, r2)U(r2)G(r2, r1)U(r1)ψi(r1)d3r3d3

r2d3r1 (11)

Obr. 1 Grafické znázornenie člena tretieho rádu v Bornovom rade

Z obr. 1 vidno, že pravú stranu v (11) si môžeme predstaviť takto: Voľná častica opísaná vlnou ψi(r) sa šíri voľne až do bodu r1, tam sa „rozptýli“ na potenciáli U(r1), potom sa šíri ako voľná až do bodu r2 (toto šírenie je opísané G(r2, r1)), tam sa rozptýli na potenciáli – to je zas člen U(r2), potom sa šíri do bodu r3, tam sa rozptýli a ďalej sa už šíri ako voľná. Tento „opis“ obrázku nie je celkom korektný, lebo v stacionárnej poruchovej teórii čas nie je v hre. Odpovedá ale intuitívne fyzike problému. V nestacio-nárnej teórii rozptylu sa ešte s takýmito vecami stretneme a tam ich interpretácia bude fyzikálnejšia. Nech je ako je, obr. 1 a výraz (11) sú veľmi zjednodušenou verziou toho, ako Feynmanove diagramy znázorňujú jednotlivé členy v amplitúde rozptylu. Všimnime si ešte, že v (11) integrujeme cez všetky možné hodnoty „bodov rozptylu“ r1, r2, r3. čo odpovedá tomu, že výsledná amplitúda v kvantovej me-chanike je vždy „súčtom príspevkov od všetkých možných trajektórií“.

Odporúčame čitateľovi, aby si zopakoval z kvantovej mechaniky nasledujúce veci: – rezíduovú vetu pre počítanie integrálov v komplexnej rovine, – iε trik pri odvodzovaní vyjadrenia Greenovej funkcie, – výpočet amplitúdy rozptylu v prvom a druhom ráde Bornovho radu pre Yukawov potenciál – prepis Bornovho radu z x- do p-reprezentácie.

2 Greenova funkcia (propagátor) pre časovú Schrödingerovu rovnicu (SchR)

SchR pre časticu pohybujúcu sa v silovom poli s potenciálnou energiou V(r) má tvar

iħ =∂

∂

t

tr ),(ψ(H0 + V)ψ(r , t), ∆−=

m2

20

hH (1)

Vlastné funkcie celkového hamiltoniánu H = H0 + V označené ako ϕn(r) tvoria úplný ortonormovaný systém. Podmienka úplnosti je

∑n

ϕ*n(r)ϕn(r') = δ3(r − r') (2)

Riešenie (1) v čase t môžeme vyjadriť pomocou riešenia v skoršom čase ť vzťahom

ψ(r, t) = ∫G(r t, r' t')ψ(r', t')d3r' (3a)

9

a riešenie nehomogénnej rovnice

−

∂

∂H

t

t),(i

rψh ψ(r, t) = j(r, t)

je dané superpozíciou homogénneho riešenia a nehomogénneho príspevku

ψ(r, t) = ∫G(r t, r' t')ψ(r' t')d3r'

hi

1+ ∫G(r t, r' t') j(r' t')d3

r' d t'

pritom v nehomogénnom príspevku integrujeme aj cez čas t' Greenova funkcia G(r t, r' t') v ďalšom nazývaná propagátorom je daná výrazom

G(r t, r' t') = Θ(t − t')∑e−iEn(t − t' ) / ħϕn(r)ϕn(r') (4)

a spĺňa, vďaka prítomnosti Θ(t − t') funkcie, nehomogénnu rovnicu

−

∂

∂H

thi G(r t, r' t') = iħ δ(t − t') δ3(r − r') (5)

Pre voľnú časticu, t. j. pre V = 0 sa dá propagátor explicitne zrátať. Výsledok je (pozri ÚKM)

G0(r t, r' t') )()(2

||iexp

)(i2

22/3

tttt

m

tt

m−′Θ

−′

−

−′π=

′

hh

rr (6)

pričom tento výsledok bol získaný dosadením rovinných vĺn do (4)

G0(r t, r' t') = Θ(t − t') )(i)(2

i3

e e2(

d22

rrk ′−− ⋅

′−

3∫ π)

ttm

kq

h

(7a)

a explicitnou integráciou. Niekedy je užitočný aj zápis G0 vo Fourierovej transformácii. Zapíšeme

G0(r t, r' t') ∫ ′−

4

−′−⋅

)π= h

h

/)]([i00

030)(e),(

2(

dd ttppGp rrp

pp

a δ-funkciu rozpíšeme explicitne

δ(r − r')δ(t − t')

∫ ′−−⋅ ′−

π= h

h

/)]([i4

030)(e

)2(

dd ttpp rrpp

Po dosadení oboch výrazov do

∆+

∂

∂

mt 2i

2hh G0(r t, r' t') = iħ δ(r − r')δ(t − t')

dostaneme

εi2

i),(

20

00

+−

=

mp

pGp

ph

kde sme už využili trik s iε v menovateli. Explicitné vyjadrenia propagátora preto bude

G0(r t, r' t') ∫ ′−

4

−′−⋅

+−)π

= hh

h

/)]([i2

0

030)(e

i2

i

2(

dd ttp

mp

p rrp

p

p

ε

(7b)

Pól tohto výrazu v p0-rovine leží pod reálnou osou a pre t < t' môžeme integračnú kontúru uzavrieť

10

v hornej p0 rovine. Preto sa bude G0(r t, r' t') rovnať nule pri t < t' ako má byť. Pritom (7a) vyplýva zo (7b) pomocou rezíduovej vety. Úplný propagátor G(r t, r' t') a propagátor voľnej častice sú viazané integrálnou rovnicou

G(r t, r' t') = G0(r t, r' t')hi

1+ ∫d3

r''d t''G0(r t, r'' t'')V(r'')G(r'' t'', r' t') (8)

Túto rovnicu odvodíme nasledovne. Nech ψ(r , t) je riešením rovnice (1). Zapíšme ale túto rovnicu ako nehomogénnu

−

∂

∂0i H

th ψ(r , t) = V(r)ψ(r , t)

Potom podľa predchádzajúceho ψ(r , t) v čase t vyjadríme pomocou ψ(r', t') pre t' < t vzťahom

ψ(r , t) = ∫G0(r t, r't')ψ(r', t')d3r'

hi

1+ ∫G0(r t, r'' t'')V(r'')ψ(r''t'')d3

r''d t''

Na ľavej strane využijeme

ψ(r , t) = ∫G0(r t, r't')ψ(r', t')d3r'

a na pravej strane v druhom člene

ψ(r'' t'') = ∫G(r'' t'', r' t')ψ(r' t')d3r'

Po dosadení a porovnaní máme ihneď (8). Zapíšme (8) schematicky v tvare

G = G0hi

1+ G0VG (9)

čo ukazuje, že G môžeme dostať ako poruchový rad

G = G0hi

1+ G0VG0

2

i

1

+

hG0VG0VG0 + … (10)

pričom integrujeme podobne ako v predchádzajúcom.

3 Elementy S-matice – prvý rád

Zaujíma nás tento fyzikálny problém t pre t → ∞ máme vlnu ϕi(r, t) dopadajúcu na rozptylové centrum. Fakticky je touto dopadajúcou vlnou istý vlnový balík. Pri výpočtoch budeme ale brať rovinnú vlnu normalizovanú bučí na konečný objem

ϕi(r, t) 3

1

L= exp [i(ki ·r − Et)] (1a)

alebo na δ-funkciu

ϕi(r, t) 3/2π)=

2(

1exp [i(ki ·r − Et)]

pričom už kladieme všade ħ = 1 pre zjednodušenie vzorcov. Táto vlna prejde oblasťou interakcie a pre t → ∞ z nej dostaneme rozptýlenú vlnu ψi

(+)(r, t), pričom

ψi(+)(r, t) ∫

−∞→′∞→

′′′ ′′=

tt

i tttG rrrr3d)(),( ,ϕ (2)

Zaujímame sa teraz o amplitúdu prechodu, teda o amplitúdu toho, že vo vlne ψi(+) nájdeme rovinnú vlnu

11

ϕf(r, t) odpovedajúcu voľnej častici s hybnosťou kf. Táto amplitúda sa nazýva elementom S-matice Sfi a máme

Sfi =∞→t

lim ∫ϕ*f (r, t)ψi(+)(r, t)d3

r' = −∞→′

∞→ttlim ∫ϕ*f (r, t)G(r t, r' t')ϕi(r', t') d3

r d3r' (3)

V najnižšom ráde rozvoja (2.10) pre propagátor platí

G(r t, r' t') = G0(r t, r't')hi

1+ ∫d3

r''d t''G0(r t, r'' t'')V(r'')G(r''t'', r' t') (4)

Teraz dosadíme (4) do (3) a vykonáme výpočet. Výrazy vyzerajú zložité, ale v skutočnosti fyzika za nimi je veľmi jednoduchá. Najprv si treba všimnúť, že G0 iba posúva vlnovú funkciu voľnej častice v čase. Vidno to ihneď ak do výrazu

∫G0(r t, r' t')ϕi(r', t')d3r'

dosadíme vyjadrenie (2.4) pre G0. Dostaneme tak

∫G0(r t, r' t')ϕi(r', t')d3r' = ϕi(r, t)

Podobne ľahko sa dá vidieť, že platí

∫ϕ*f (r, t)G0(r t, r' t')d3r = ϕ*f (r', t')

Ak dosadíme (4) do (3) a využijeme tieto úpravy dostaneme

Sfi = ∫ϕ*f (r, t)ϕi(r, t)d3r' − i ∫ ϕ*f (r'' t'')V(r'')ϕi(r'' t'')d3

r''d t'' (5)

Prvý člen na pravej strane je δ-funkcia, ktorá je nenulová len vtedy ak ϕf = ϕi a k žiadnemu rozptylu nedošlo. Druhý člen predstavuje už skutočne rozptyl. Uvažujme teda len tento druhý člen a dosaďme doň ϕi, ϕf v tvare (1a). Po dosadení máme

Sfi ∫∫−

3

−−− ⋅−=2/

2/

)t(i)(i3 ff ed)(edi

T

T

EE ii tVL

rrrkk (6)

v limite T → ∞ integrál cez čas konverguje k 2πδ(Ef − Ei). Pri vyjadrení pravdepodobnosti prechodu tento člen dostaneme v kvadráte. Zapisujeme ho ako

∫∫−−

−−−−

2/

2/

)t(i2/

2/

)t(i ff ededT

T

ET

T

E ii EE tt (7)

Ak prvý člen konverguje k δ-funkoii v druhom už kladieme Ef − Ei = 0 a celý integrál sa bude potom rovnať T. Preto výraz v (7) sa pre veľké T rovná 2πTδ(Ef − Ei) Prvý integrál na pravej strane (6) ozna-číme ako V(kf, ki) a máme

|Sfi |2

6

1

L= 2πTδ(Ef − Ei) |V(kf, ki) |2 (8)

Teraz sa ideme postupne dopracovať k vyjadreniu diferenciálneho účinného prierezu. Pretože interakcia trvala čas T, a po celý tento čas hustota prúdu dopadajúcich častíc bola

3

1

Lm

kj = (9)

dostaneme pravdepodobnosť prechodu na jednu dopadajúcu časticu ak |Sfi |2 predelíme jT. Diferenciálny

účinný prierez vyjadruje pravdepodobnosť rozptylu do priestorového uhla dΩ. Výraz (8) musíme preto násobiť počtom stavov, ktoré na tento element pripadajú. Počet stavov je

n(k)dΩ3π)

=2(

3Lk2dk dΩ (10)

12

Výraz (8) delíme faktorom jT, násobíme n(k) z výrazu (10) a máme

∫ −δπ

π=

ΩkkEEV

k

mii d)(

)2(

1|),(|

2

d

d 2f3

2f kk

σ

Teraz za Ef položíme k2f/2m, za Ei podobne k2

i /2m a máme

2

2f ),(

4

2

d

diV

mkk

2π−=

Ω h

σ (11)

kde sme už doplnili ħ tam kde má byť a zapísali výsledok tak, aby bolo zrejmé, že je to presne to, čo dostaneme v prvej Bornovej aproximácii v stacionárnej poruchovej teórii.

4 Vyššie rády S-maticových elementov

Ak postupujeme rovnako ako vyššie a zoberieme druhý člen na pravej strane (2.10) dostaneme pre príspevok druhého rádu k S-maticovému elementu vyjadrenie

∫

=

2(2)f i

1

hiS ϕ*f (r, t)G0(r t, r' t')V(r')G(r' t', r'' t'')V(r'')G(r''t'', ρτ)ϕi(ρ, τ) d3

r'd3r''d3

ρd t'd t''

pričom integrujeme cez r, r' t' , r'' t'' , ρ a výraz berieme v limite t → +∞, τ → −∞. Fyzikálne je význam tohto výrazu jednoduchý: ak postupujeme sprava prvá G0 funkcia opisuje voľné šírenie častice až do bodu r'' t'', potom člen V(r'') opisuje rozptyl častice na potenciáli, ďalej nasleduje zas voľné šírenie čas-tice do rt, zas rozptyl na potenciáli V(r'), zas voľné šírenie častice do r t a potom z tejto výslednej vlny berieme v čase t priemet do stavu ϕf, ktorý udáva amplitúdu pravdepodobnosti pre nájdenie stavu ϕf, v „dvakrát“ rozptýlenej dopadajúcej vlne. Pritom zas integrujeme cez všetky možné polohy a časy inter-akcie častice s potenciálom, čo odpovedá tomu, že v kvantovej mechanike je amplitúda daná súčtom amplitúd priradených všetkým možným cestám ako sa dostať zo začiatočného do koncového stavu. Takto chápaný príspevok Sf

(i2) už môžeme celkom oprávnene znázorniť Feynmanovým diagramom, ktorý je

ukázaný na obr. 2.

Obr. 2 „Feynmanov diagram“ pre korekciu druhého rádu k propagátoru pri rozptyle na potenciáli

Za každú interakciu s potenciálom sa okrem člena V(r) objaví ešte aj faktor (1/iħ), ktorý vidíme už v (2.10). Toto už sú skutočné Feynmanove diagramy, hoci štruktúra poruchového rozvoja je v (2.10) tak jednoduchá, že ich ani nepotrebujeme – aj bez nich vieme ihneď napísať príspevok n-tého rádu do Sfi.

Výpočet Sf(i2) prebieha celkom rovnako ako pri prvom ráde. Najprv si uvedomíme, že G0 posúva

riešenia pre voľnú časticu a dostaneme

Sf(i2) = (iħ)−2 ∫ϕ*f (r' t')V(r')G0(r' t', r''t'')V(r'')ϕi(r'' t'')dr'd t'dr''d t''

Ak ešte G0 zapíšeme v tvare (2.7b) a dosadíme ϕi, ϕf v tvare (3.1a) dostaneme

Sf(i2) = −2πiδ(Ef − Ei)W f

(i2)

3

1

L (1a)

13

kde v našom prípade

∫+−

π= ),(

i2

1),(

)2(

d2f3

3)2(

f i

i

i V

mE

V kpp

pkp

ε

W (1b)

kde V(k f, p) je dané prvým integrálom na pravej strane v (3.6)

V(k f, p) = ∫d3rei(p − kf) · rV(r)

Štruktúra výrazu (1) je úplne rovnaká ako v prípade prvého rádu, kde sme mali

Sf(i1) = −2πiδ(Ef − Ei) V(k f, k i) 3

1

L

takže už bez ďalších počtov vieme, že v druhom ráde budeme mať pre účinný prierez

2

f)2(

f )],(),([4

2

d

dii WV

mkkkk +

π−=

Ω 2h

σ (2)

Presne rovnako by sme postupovali aj pri výpočte korekcií vyšších rádov.

Obr. 3 „Feynmanov diagram“ pre korekciu druhého rádu k elementu S-matice v priestore hybností

Výrazy typu (1b) sú vlastne analógmi Feynmanových diagramov v nerelativistickej kvantovej me-chanike. Výrazu typu (1b) by sme priradili diagram na obr. 2 pričom vrcholu je priradené V(p', p) kde

p(p') je hybnosť vchádzajúca (vychádzajúca) z vrcholu a propagátoru priraďujeme

12

i2

−

+− ε

mEi

p.

Za hybnosť v propagátore píšeme d3p/(2π)3 a integrujeme. Prerušovaná čiara a krížik naznačujú, že

v danom vrchole častica integrovala s vonkajším potenciálom V(r). Odporúčame čitateľovi, aby sa explicitným výpočtom presvedčil o tom, že tretiemu rádu odpovedá

príspevok

∫ ∫+−+−

ππ= ),), (

i2

1(

i2

1),(

)2(

d

)2(

d22f3

3

3

3)3(

f i

ii

i V

mE

V

mE

V pkk

kqq

qpqk

εε

W

Podstatným pre ďalšie je to, že pojem propagátora sa dá prirodzene zaviesť aj v relativistickej teórii. Namiesto Schrödingerovej rovnice budeme mať Klein-Gordonovu alebo Diracovu rovnicu a riešenia, ktoré odpovedajú týmto rovniciam s δ3(t − t') δ3(r − r') na pravej strane budú príslušnými relativistic-kými propagátormi. Táto myšlienka, spolu s niekoľkými ďalšími je základom Feynmanovho prístupu k opisu interakcií častíc v relativistických teóriách. S tým sa ale stretneme v ďalších kapitolách.

14

II Relativistické rovnice a ich propagátory

1 Označenia, konvencie

V tomto odseku nebudeme opakovať základy špeciálnej teórie relativity, uvedieme iba označenia, ktoré budeme používať aj ďalej.

Kontravariantné súradnice bodu v časopriestore označujeme ako xµ, µ = 0, 1, 2, 3 pričom x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z. Pri Lorentzovej transformácii zo sústavy S do sústavy S' pohybujúcej sa rýchlos-ťou v v smere osi x platí

x'0 = γ(x0 − βx1), x'1 = γ(x1 − βx0), x'2 = x2, x'3 = x3, β = v/c, γ = 1/ 21 β−

čo niekedy zapisujeme v tvare

x'µ = Λµν xν

pričom cez opakovaný index sčitujeme (Einsteinova konvencia). Lorentzova transformácia nemení skalárny súčin dvoch štvorvektorov x'µy'µ = xµyµ. Tu už používame kovariantné zložky vektora defi-nované vzťahom

xµ = gµν xν

kde gµν je metrický tenzor. Platí g00 = 1, g11 = g22 = g33 = −1 a ostatné zložky sa rovnajú nule. Dôležité vektory sú

xµ = (x0 = ct, x1, x2, x3)

pµ = (E/c, p1, p2, p3)

Operátorom 4-hybnosti je

pµ

∂

∂=

∂

∂= ∇∇∇∇hhh i,ii

0xx µ

pµ

−

∂

∂=

∂

∂= ∇∇∇∇hhh i,ii

0xxµ

kde ∇∇∇∇ obsahuje derivácie podľa kontravariantných súradníc ∇i ≡ ∂/∂x i, i = 1, 2, 3. Pre časticu s pokojovou hmotnosťou m0 platí

pµpµ −=2

2

c

Ep

2 = m02c2

D’Alembertov operátor

≡ ∂µ∂µ = ∂02 − ∇∇∇∇2 2

2

2

2

1∇∇∇∇−

∂

∂=

tc

Tu už používame skrátené označenia pre derivácie

µ

µµµ xx ∂

∂≡∂

∂

∂≡∂ ,

15

Platí tiež

pµpµ = −ħ2

Úplne antisymetrický tenzor εµνλρ má rovnaký tvar vo všetkých súradných sústavách a platí

ε0123 = 1

Lorentzove transformácie môžeme chápať aktívne alebo pasívne. Začneme s pasívnou transformáciou: Nech Φ(x) je určité skalárne pole v sústave S. Predstavme si teraz, že pole je študované pozorova-

teľom v sústave S', ktorý bodu xµ v S priraďuje súradnice x'µ . Symbol Φ'(x') potom označuje veličinu poľa, ktoré nameria pozorovateľ v sústave S' v bode x'. Pri aktívnej transformácii si predstavíme, že pole Φ(x) chápané ako materiálne prostredie „uchopíme“ a dáme ho do pohybu tak, aby každé miesto x prišlo do x'µ = Λµ

ν xν. V časopriestore to odpovedá uvedeniu poľa do pohybu (v angl. literatúre sa hovorí o „booste“). V skutočnosti by sme samozrejme neuvádzali do pohybu pole, ale zdroje, ktoré toto pole budia.

Ak pri Lorentzove j transformácii x'µ = Λµν xν platí pre pole Φ(x)

Φ'(x') = Φ(x)

hovoríme o skalárnom poli. Vektorové pole má štyri komponenty Aµ(x) a pri uvažovanej transformácii platí

A'µ(x') = Λµν Aν(x)

štvorvektor hustoty prúdu má zložky jµ = (j0 = cρ, j k) a rovnica kontinuity nadobúda tvar

0div =+∂

∂=

∂

∂=∂ j

tj

xj

ρµµ

µµ

2 Kleinova-Gordonova rovnica

Schrödingerovu rovnicu dostaneme formálne tak, že v klasickom vzťahu E = p2/2m + V(r) pre

časticu pohybujúcu sa v poli s potenciálnou energiou V(r) urobíme zámenu E → iħ∂/∂t, p → −iħ∇∇∇∇ a výslednú operátorovú rovnosť aplikujeme na vlnovú funkciu ψ(r, t). Vzťah medzi energiou a hyb-nosťou častice v teórii relativity je

E2 = p2c2 + m2c4, m = m0

a ak tu postupujeme rovnako, dostaneme Kleinovu-Gordonovu rovnicu (ďalej len KG)

( + m2c2/ħ2)Φ(x) = 0 (1)

Rovnicu kontinuity pre KG dostaneme štandardným spôsobom, násobíme (1) Φ∗(x), potom urobíme komplexné združenie k (1), násobíme výsledok Φ(x) a obidve rovnice odčítame. Dostaneme tak

Φ∗∂µ∂µΦ − Φ∂µ∂µΦ∗ = 0

a odtiaľ už máme

∂µ(Φ∗∂↔

Φ) ≡ ∂µ((∂µ Φ∗)Φ − Φ∗∂µΦ) = 0

Výraz v zátvorke je úmerný štvorvektoru hustoty prúdu. Po vhodnom vybratí multiplikačnej konštanty máme

jµ = (ρc, j k),

Φ

∂

∂Φ−Φ

∂

∂Φ== **

2

i2

0

ttmcc

j hρ (2)

jmi2

h= ( Φ∗∇∇∇∇Φ − Φ∇∇∇∇Φ∗)

16

Najjednoduchšie riešenia (1) majú tvar rovinných vĺn,

Φ(r, t) = exp [i(k ·r − ωt)] (3)

kde ħk interpretujeme ako hybnosť a ħω ako energiu častice. Po dosadení (3) do (1) dostaneme pri danom k pre ħω dve riešenia

ħω = ±εk42222 cmkc +±= h (3a)

Takto pri danom p máme dve riešenia .

Φ+ = exp [i(k ·r − εk t)/ħ]

Φ− = exp [i(k ·r + εk t)/ħ]

Problém a interpretáciou riešení Φ− je nielen v tom, že im intuitívne odpovedá záporná energia, ale aj v tom, že po dosadení Φ− do vyjadrenia pre hustotu pravdepodobnosti dostaneme pre ρ zápornú hod-notu. Ťažkosti s interpretáciou KG rovnice boli koncom 20. rokov veľmi vážne a boli tiež jedným z dô-

vodov, prečo Dirac hľadal relativistickú rovnicu, ktorá by obsahovala len ∂/∂t a nie ∂2/∂t2. Vidno totiž ľahko, že záporné ρ sa objavujú preto, lebo vo vyjadrení ρ podľa (2) sa objavuje časová derivácia a tá pochádza z toho, že v KG rovnici vystupuje ∂2/∂t2.

V Diracovej rovnici, s ktorou sa zoznámime neskôr, našiel Dirac intuitívne fyzikálnu interpretáciu riešení so zápornými energiami a neskôr sa ukázalo, že aj KG rovnicu možno po zavedení pojmu anti-častice a sekundárneho kvantovania uspokojivo interpretovať.

Pre riešenia s kladnou energiou máme

2mc

pερ =

a to je rozumný výsledok, lebo hustota ρ je nultým komponentom štvorvektora a transformuje sa preto rovnako ako energia εp.

Ak f, g sú dve riešenia KG rovnice (kladieme už ħ = 1, c = 1)

( + m2)g = 0

( + m2) f = 0

potom po násobení prvej z nich funkciou g*, komplexnom združení druhej a jej násobení s f dostaneme

g*( + m2) f − f( + m2)g* = 0

Po jednoduchých úpravách odtiaľ máme

∫∫ =

∂

∂−

∂

∂

∂

∂V

t

gf

t

fgx

tddiv

**d3

A (4)

A ≡ g*∇∇∇∇f − f ∇∇∇∇g*

Ak uvažujeme riešenia, ktoré pre r → ∞ klesajú k nule, bude sa pravá strana v (4) rovnať nule. Odtiaľ vidno, že pre dve riešenia KG rovnice

(f |g) ∫

∂

∂−

∂

∂≡ x

t

gf

t

fg 3d

** (5)

nezávisí od času. Skalárny súčin dvoch riešení (5) preto definujeme vzťahom (5).

Cvičenie. Ukážte, že pre riešenia f p(+), f p

(−) definované vzťahmi

xp⋅+−+

π=

ii

3

)( e2)2(

1 t

p

ppf

ω

ω (6a)

17

(3)

xp⋅−−

π=

ii

3

)( e2)2(

1 t

p

ppf

ω

ω (6b)

platí

( f p(+) | f p

(+)) = δ(3)(p − k)

( f p(+) | f p

(−)) = 0 (6c)

( f p(−) | f p

(−)) = − δ(3)(p − k)

3 Propagátor KG rovnice

Propagátor ∆F(x − x') je definovaný ako riešenie KG rovnice, pričom na jej pravej strane stojí δ-funkcia v čase aj v súradnici .

(x + m2)∆F(x − x') = −δ(4)(x − x') (1)

Riešenie sa najjednoduchšie hľadá tak, že najprv urobíme Fourierov rozklad propagátora i δ-funkcie

∆F(x − x') )(e)2(

dF

i4

4)(

pp xxp ∆

π= ′−− ⋅∫ (2a)

δ(4)(x − x') )(i4

4

e)2(

d xxp ′−− ⋅∫ π= p (2b)

Teraz dosadíme (2) do (1), vykonáme derivácie a dostaneme

(p2 − m2)∆F(p) = 1

Riešenie ∆F(p) bude špecifikované okrajovými podmienkami kladenými na ∆F(x − x'). Tu naložíme Feynmanove okrajové podmienky:

Riešenia s kladnými energiami sa šíria v čase dopredu, riešenia so zápornými energiami sa šíria v čase dozadu.

Tieto podmienky majú jednoduchú fyzikálnu motiváciu. Ak vystrelíme zo Zeme na Mesiac, povedzme, laserový lúč, je celkom prirodzené, že energia ∆E > 0 ubudla zo Zeme v čase t1 v mieste A a objavila sa na Mesiaci v čase t2 > t1 v mieste B. Tomu hovoríme prenos kladnej energie v čase dopredu. Sche-maticky

t1 ubudlo v mieste A ∆E > 0 t2 > t1 pribudlo v mieste B ∆E > 0

ale mohli by sme povedať presne to isté aj nasledovne

t2 > t1 ubudlo v mieste B ∆E' = − ∆E < 0 t1 pribudlo v mieste A ∆E' = − ∆E < 0

Tomuto hovoríme prenos zápornej energie v čase dozadu. Feynmanove okrajové podmienky sú splnené ak obchádzanie pólov pri integrovaní v komplexnej

p0 rovine vyberieme tak, že

∆F(p)εi

122 +−

=mp

(4)

Potom máme

∆F(x − x') εi

1e

)2(

d22

i4

4)(

+−π= ′−− ⋅∫ mp

p xxp (5)

18

(7)

(8)

Presvedčíme sa teraz o splnení okrajových podmienok. Zapíšeme p2 = p02 − p2, p ·(x − x') = p0(x0 − x'0) −

− p ·(x − x') a dostaneme

∆F(x − x') ∫∫ −+−ππ=

′−−− ′⋅

)i

e

)2(

de

)2(

d222

0

i0i

3

3

(

))

((

0

εmp

p tp t

p

p xxp (6)

V ostatnom integráli sú póly v bodoch (obr. 4)

p0 = εi22 mm+± p

Pre t > t' integračnú kontúru môžme uzavrieť v dolnej polrovine, kde dostaneme len príspevok od pólu

p0 εi22 ++−= mp

Obr. 4 Singularity v komplexnej p0 − rovine (pri vyčíslovaní propagátora KG-poľa)

Podobne pre t < t' uzatvárame integračnú kontúru v hornej polrovine a podľa rezíduovej vety je celý

integrál daný 2πi násobkom rezídua v p0 εi22 ++−= mp .

Dokopy takto máme

∆F(x − x') = −iΘ(t − t') )) (( ii

3

3

ee2)2(

d xxpp ′−′−− ⋅∫ π

t

p

tpω

ω −

)) (( ii

3

3

ee2)2(

d)(i xxpp ′−′− ⋅∫ π

−′Θ−t

p

tpttω

ω

pričom ωp22 m++≡ p

Pomocou funkcií f p(+), f p

(−) zavedených na konci predchádzajúceho článku môžeme napísať

∆F(x − x') = −iΘ(t − t') ∫d3pf p

(+)(x)[f p(+)(x')]* −

− iΘ(t' − t) ∫d3pf p

(−)(x)[f p(−)(x')]*

pričom prvý riadok na pravej strane veľmi pripomína to, ako sme písali propagátor pre SchR a druhý riadok je to isté pre riešenia so zápornými energiami. Poznamenajme, že pre analógiu sú podstatné vzťahy (2.6).

19

4 Diracova rovnica

Vzhľadom na to, že KG rovnica viedla k ťažkostiam s interpretáciou záporných hustôt pravdepodob-ností a toto priamo súviselo s prítomnosťou ∂2/∂t2 v KG rovnici, hľadal Dirac rovnicu, ktorá by už bola lineárna v čase a mala tvar

iħ =∂

∂

t

ψHψ (1)

Táto rovnica mala byť relativistický kovariantná a preto v nej mali vystupovať lineárne aj derivácie podľa priestorových súradníc. Preto H malo byť

H = cα ipi + βmc2 (2)

kde α i, β už boli bezrozmerné a pi boli operátory zložiek hybnosti pi = −iħ∂/∂x i. Dirac skoro prišiel k záveru, že α i, β nemôžu byť obyčajné čísla, ale musia byť maticami. Riešenie rovnice (1) totiž muselo spĺňať aj KG rovnicu

−ħ =∂

∂ψ

2

2

t[−ħ2c2∇∇∇∇2 + m2c4]ψ (3)

lebo táto rovnica zaručuje platnosť vzťahu E2 = p2c2 + m2c4 pre riešenia v tvare rovinných vĺn. Poďme sa teraz pozrieť na to, aké podmienky musia spĺňať α i, β , aby riešenie (1) bolo aj riešením (3). Ak (1) derivujeme ešte raz podľa času a využijeme nezávislosť H od času dostaneme

−ħ2 =∂

∂ψ

2

2

tHHψ

a pre konzistentnosť s (3) musíme žiadať

HH = −ħ2c2∂i∂i + m2c4 (4)

Po dosadení za H podľa (3) dostaneme odtiaľto

HH = −ħ2c2 4223 )(i)(2

1cmmc

ii

ii

ji iii

iiji

ijji ββαβααααααα +∂+−

∂∂+∂∂+ ∑∑ ∑≠

h (5)

Ak (4) a (5) majú byť identické, dostávame podmienky

α iα j + α jα i = 2δij

α iβ + βα i = 0 (6)

β 2 = 1

ktoré nemožno splniť obyčajnými číslami, ale – ako Dirac ukázal – možno ich splniť ak za α i, β vybe-rieme napríklad matice

α i

=

0

0i

i

σ

σ, β

−=

10

01 (7)

kde σ i sú Pauliho matice

σ1

=

01

10, σ2

−=

0i

i0, σ3

−=

10

01, 1

=

10

01

Riešenia Diraoovej rovnice ψ budú mať teda štyri komponenty; nazývame ich bispinormi, alebo skrá-tene Diracovými spinormi, alebo ešte skrátenejšie a nepresnejšie len spinormi. Diracov spinor ψ zapi-sujeme ako stĺpec so štyrmi prvkami a hermitovsky združený spinor ψ+ definujeme ako „riadok“ so štyrmi prvkami, pričom

20

=

4

3

2

1

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ ψ+ = (ψ*1, ψ*2, ψ*3, ψ*4)

Štandardným postupom, t. j. násobením Diracovej rovnice

+

∂

∂−=

∂

∂ 2ii mcx

ct i

i βαψ

hh (8)

združeným spinorom ψ+, násobením rovnice hermitovsky združenej k (8) spinorom ψ a odčítaním oboch vzťahov dostaneme rovnicu kontinuity v tvare

+∂

∂

t

ρ div j = 0 (9)

kde

∑=

+ ==4

1

*

aaaψψψψρ j k = cψ+αkψ

Hustota ρ je zrejme pozitívne definitná, na rozdiel od KG rovnice. Ako však ešte uvidíme, ani Diracova rovnica sa úplne nevyhla ťažkostiam s riešeniami odpovedajúcimi záporným energiám.

5 Kovariantný tvar Diracovej rovnice

Operátor relativistickej štvorhybnosti je

pµ = iħµx∂

∂

Násobme teraz Diracovu rovnicu (4.8) maticou β a zaveďme označenia

γγγγ 0 ≡ β

−=

10

01, γγγγ i ≡ βα i

−=

0

0i

i

σ

σ

Diracova rovnica (ďalej len DR) takto nadobudne tvar

0i =

−

∂

∂ψ

µµ

h

mc

xγγγγ (1)

V ďalšom kladieme pre zjednodušenie vzorcov ħ = c = 1 a v označení pµ = i∂/∂xµ ≡ i∂µ máme

(γγγγ µpµ − m)ψ(x) = 0 (2)

Ľahko sa presvedčíme o tom, že matice γγγγ spĺňajú antikomutačné vzťahy

γγγγ µ , γγγγ ν ≡ γγγγ µγγγγ ν + γγγγ ν γγγγ µ = 2gµν1

a pri hermitovskom združení platí

(γγγγ 0)+ = γγγγ 0, (γγγγ i)+ = −γγγγ i = γγγγ 0γγγγ iγγγγ 0, i = 1, 2, 3 (4)

Všeobecne teda máme

(γγγγ µ)+ = γγγγ 0γγγγ µγγγγ 0 (5)

Ďalej zavádzame symbol

ψ = ψ+γγγγ 0

21

ak stĺpec ψ má prvky ψ1,… ψ4 bude ψ riadkom s prvkami

ψ = ψ*

Cvičenie. Ukážte, že rovnicu kontinuity môžeme zapísať v kovariantnom tvare

0)( =∂

∂ψγψ µ

µx (6)

Poznámka. Explicitný tvar γ-matíc uvedený vyššie nie je iediný možný. Vždy totiž môžeme súčasne urobiť unitárnu transformáciu γγγγ µ → Uγγγγ µU+, ψ → Uψ. Nové ψ ' = Uψ bude riešením DR s „novými“ γ-maticami.

Pri Lorentzových transformáciách

xµ → x'µ = (δµν + αµ

ν )xν

sa Diracov spinor transformuje podľa vzťahu

ψ(x) → ψ '(x')

pričom

ψ '(x') = S(α)ψ(x) (7a)

S(α) je matica

S(α) = exp

],[8

1 νµµνα γγγγγγγγ (7b)

Toto tvrdenie nebudeme dokazovať, možno ho nájsť napr. v učebnici Bjorkena a Drella (citovanej v predhovore), kde možno nájsť aj transformačné vlastnosti Diracovho spinoru pri priestorovej a časo-vej inverzii.

Z výsledkov, ku ktorým takto dospejeme je podstatné to, že veličiny

skalár S(x) ≡ ψ (x)ψ(x)

vektor Vµ(x) ≡ ψ (x)γγγγ µψ(x)

axiálny vektor Aµ(x) = ψ (x)γγγγ µγγγγ 5ψ(x) (8)

antisymetrický tenzor Tµ ν(x) = ψ (x)σ µ νψ(x)

pseudoskalár P(x) = ψ (x)γγγγ 5ψ(x)

sa pri Lorentzových transformáciách a pri inverziách transformujú tak, ako to odpovedá ich názvom. Vo vzťahoch (8) sme použili označenia

γ 5 ≡ iγγγγ 0γγγγ 1γγγγ 2γγγγ 3 =

0

0

1

1

σ µ ν

2

i≡ [γγγγ µ , γγγγ ν]

pričom tieto transformačná vlastnosti treba chápať takto: Ak pri danej Lorentzovej transformácii platí

xµ → x'µ = Λµν xν

potom

Vµ(x) → V'µ(x'), pričom V'µ(x') = Λµν Vν(x), atď.

22

6 Riešenia Diracovej rovnice v tvare rovinných vĺn

Najjednoduchšie sú riešenia s nulovou hybnosťou, pri nich ψ(r, t) nezávisí od priestorových súrad-níc, lebo len vtedy piψ = 0. DR má tvar (ħ = c = 1)

=∂

∂

t

t)(i

ψmβψ(t) = m

−10

01ψ(t) (1)

a riešenia sú

0

0

0

1

e−imt,

0

0

1

0

e−imt,

0

1

0

0

eimt,

1

0

0

0

eimt (2)

Ak časovú závislosť porovnáme so štandardnou exp (−iEt) vidíme, že prvé dve riešenia odpovedajú kladnej energii (E = m), druhé dve zápornej energii (E = −m).

Teraz si všimneme riešenia s nenulovou hybnosťou. Diracovu rovnicu píšeme v tvare

ψβαψ

+

∂

∂−=

∂

∂m

xi

t

txi

i),(i (3)

a riešenie hľadáme v tvare rovinnej vlny

ψ = u(p)ei(p · x − Et) (4)

po explicitnom zapísaní matíc α i a vykonaní derivácie podľa x dostaneme

Eu(p)

⋅

⋅=

0

0

pσ

pσu(p) +

−1

1

0

0mu(p) (5)

Ak spinor u(p) zapíšeme pomocou dvoch 2-komponentných spinorov

u(p) =

ξ

ϕ

prídeme rýchlo k tomu, že (5) je ekvivalentné rovniciam

(E − m)ϕ = (σ ·p)ξ

(E + m)ξ = (σ ·p)ϕ

Ak z druhej vyjadríme ξ a dosadíme do prvej máme

(E2 − m2)ϕ = (σ ·p)(σ ·p)ϕ = p2ϕ

Preto musí platiť relativistický vzťah E2 = m2 + p2. Ak tento vzťah platí, rovnice sú ekvivalentné. Aby sme to ukázali, stačí násobiť prvú z nich výra-

zom (σ ·p) a máme

(E − m)(σ ·p)ϕ = (σ ·p)(σ ·p)ξ = p2ξ = (E2 − m2)ξ

Po delení rovnice výrazom (E − m) prídeme hneď k druhej zo spomínaných rovníc. Priamym výpočtom sa presvedčíme o tom, že riešenie má tvar

u(p)

+

+= ⋅

ϕ

ϕ

mEm

mEσp

2 (6)

23

(11)

pričom ϕ je ľubovoľný normovaný dvojkomponentný spinor a energia E je daná vzťahom

E = + εp = 22 m+p (7)

normalizácia riešení v (6) je vybraná tak, aby

ψ+(x)ψ(x) = u+(p)u(p)mm

pεε==

)(p (8)

čo odpovedá tomu, že hustota pravdepodobnosti je nultý komponent štvorvektora. Rovnica (3) má ale aj riešenia odpovedajúce zápornej energii. Skutočne, hľadajme riešenia (3) v tvare

ψ(x) = v(p)e−ip · x + iεpt (9)

Toto riešenie odpovedá hybnosti (−p) a energii E = −εp. Podobným postupom ako predtým prídeme k tomu, že platí

v(p)

+

+=

⋅

χ

χε

εm

m

mp

pσ

2

kde χ je opäť 2-komponentný spinor normovaný podmienkou χ+χ = 1. Riešenia (9) sme úmyselne vyberali tak, aby odpovedali hybnosti −p a energii −εp. Ďalej totiž uká-

žeme, že tieto riešenia budú odpovedať pozitrónom (antičasticiam elektrónu) s energiou +εp a hybnos-ťou +p. Spinor u(p) v (6) predstavuje fakticky dve nezávislé riešenia, lebo úlohu ϕ môžu hrať dva nezávislé 2-komponentné spinory ϕ r, r = 1, 2. Tieto spinory zvolíme tak, aby platilo

ϕ r+ϕ s = δrs

a podobne máme dve nezávislé riešenia v(p), podľa toho, ako vyberieme spinor χ. Priamym výpočtom sa môžeme presvedčiť o tom, že platia nasledujúce vzťahy ortogonálnosti

ur+(p)vs(−p) = vr+(−p)us(p) = 0

ur+(p)us(p) = vr+(p)vs(p) rsp

mδ=

ε

To, že do vzťahov (11) vstupuje v r(−p) a nie v r(p) je len prirodzené, lebo podľa použitých označení v

r(−p) a ur(p) sú riešeniami DR, s rovnakou hybnosťou p. Ak sa pozrieme na riešenia u(p), v(p) vidíme, že platí

γ 0u(p) = u(−p)

γ 0v(p) = −v(−p)

Z explicitných vyjadrení u(p), v(p) potom nájdeme

rssrsr

rssrsr

δ=−=

δ==

)()()()(

)()()()(

pppp

pppp

vvuu

uvvu (12)

kde sme zas používali označenie ψ = ψ+γ 0. Z explicitného tvaru riešení sa dá tiež ukázať, že platí (odporúčame ako cvičenie)

αββαβα

εδ=−−+∑

=

++

muu p

r

rrrr

2,1

)()()()( pppp vv (13)

Matematický význam tohto zdanlivo zložitého vzťahu je jednoduchý. ur(p), v r(−p) predstavujú štyri ortogonálne riešenia DR príslušné k danému p. Sú to teda štyri vlastné štvorkomponentné vektory ma-tice (p ·α + βm). Tieto štyri vektory sú preto nielen ortogonálne, ale tvoria aj úplný systém vektorov.

24

Zabudnime na chvíľu na náš problém a predstavme si štvoricu jednotkových a navzájom kolmých vek-torov e(1), e(2), e(3), e(4). Každý vektor w potom môžeme zapísať ako

w = ∑α

wαe(α ) (14)

kde wα = e(α ) ·w = Σi e i

(α)wi. Dosaďme toto do (14) a zoberme z výsledku j-tu zložku. Dostaneme

wj = Σi [wi Σ

α e j

(α )e i

(α )]

Z platnosti tejto rovnice pre každý vektor w vyplýva, že

Σα e j

(α )e i

(α ) = δij

Z odôvodnenia vidno, že tento vzťah je podmienkou úplnosti systému vektorov e(α ), α = 1, 2, 3, 4. Vzťah (13) je takisto podmienkou úplnosti Diracových spinorov ur(p), v r(−p), r = 1, 2.

V praktických aplikáciách sa často stretávame so vzťahmi

αβµµ

βααβ )(2

1)()()(

2,1

)( mpm

uur

rr +=≡Λ ∑=

+ γγγγppp (15)

αβµµ

βααβ )(2

1)()()(

2,1

)( mpmr

rr −=≡Λ ∑=

− γγγγppp vv (16)

Výraz (15) je projektorom na riešenia DR s daným p a s kladnou energiou. Vidno to z nasledujúceho: ak máme riešenie uβ(p) a urobíme výraz Λ(

α+ β

)(p)uββ(p) dostaneme

)()(2

1)()()(

ppp βαβµµ

βαβ umpm

u +=Λ + γγγγ (17)

Diracova rovnica ale je

(γγγγ µpµ − m)u(p) = 0

a preto γγγγ µpµu(p) = mu(p) a odtiaľ vidíme, že pravá strana v (17) je uα(p). Ak utvoríme výraz Λ(α+ β

)(p)vβ(p) dostaneme nulu, lebo vβ(p) spĺňa rovnicu

(γγγγ µpµ + m)v(p) = 0

Spin riešení Diracovej rovnice Celkový moment hybnosti pre voľnú časticu sa musí zachovávať. Orbitálny moment hybnosti

L = r × p, ale nekomutuje s hamiltoniánom Diracovej rovnice. Skutočne

[H, Lk] = [α ·p + m, Lk] = α i[pi, Lk]

Ak zapíšeme

Lk = ε klmx lpm

a využijeme komutačný vzťah [x i , p j] = iδij, nájdeme

[H, Lk] = −iε klmα lpm

Operátory priemetu spinu elektrónu na smery k = 1, 2, 3 sú dané maticami

Sk

=Σ=

k

kk

σ

σ

0

0

2

1

2

1

Priamy výpočet dáva

[Σi, αk] = 2iε ikjα j

25

a odtiaľ máme

[H, Sk]2

1= pi[α i, Σk] = −iε kijpiα j = iε klmα lpm

Odtiaľ vidno, že skutočne platí

[H, Lk + Sk] = 0 (1)

a operátor Sk interpretujeme ako operátor spinu pre riešenia DR. Rovnica (1) je takto dôvodom pre to, aby sme Sk nazývali operátorom spinu (čo sme už, trocha predčasne, urobili vyššie).

7 Vlastnosti γγγγ-matíc a vyčíslovanie „spurov“

Najprv pripomenieme niektoré dobre známe vlastnosti Paulino matíc

σ1

=

01

10, σ2

−=

0i

i0, σ3

−=

10

01

[σ i, σ j] = σ iσ j − σ jσ i = 2ieijkσ k

σ i, σ j = σ iσ j + σ jσ i = 2δij1

Sčítaním dvoch posledných rovníc nájdeme

σ iσ j = δ ij + ieijkσ k

Pre dva vektory a, b, ktorých zložky sú čísla a preto komutujú s Pauliho maticami, ostatná rovnica priamo vedie k často používanému vzťahu

(σ ·a)(σ ·b) = a ·b + iσ ·(a×b)

Dôkazy týchto vzťahov neuvádzame, lebo čitateľ si ich ľahko urobí sám, vychádzajúc z explicitného tvaru Pauliho matíc.

Diracove matice sú charakterizované antikomutačným vzťahom (vynechávame už 1)

γγγγ µ, γγγγ ν ≡ γγγγ µγγγγ ν + γγγγ ν γγγγ µ = 2gµν

V tzv. štandardnej reprezentácii máme,

γγγγ k

−=

0

0k

k

σ

σ, γγγγ 0

−=

1

1

0

0

Pre hermitovské združenie γ-matíc platí

(γγγγ µ)+ = γγγγ 0γγγγ µγγγγ 0

Matice αααα k , ββββ vystupujúce v hamiltoniáne DR sú

αααα k γγγγ 0γγγγ k

=

0

0k

k

σ

σ, ββββ ≡ γγγγ 0

−=

1

1

0

0

Platí pre ne

αααα i , αααα k = 2 δ ik, αααα i , ββββ = 0, ββββ 2 = 1

Matica γγγγ 5 je definovaná vzťahom

γγγγ 5 = iγγγγ 0γγγγ 1γγγγ 2γγγγ 3

=

0

0

1

1 (2)

26

a antikomutuje so všetkými γγγγ µ

γγγγ 5 , γγγγ µ = 0

čo vidno hneď z definície (2). Napríklad γ 2 bude vo výraze iγ 0γ 1γ 2γ 3 komutovať sama so sebou a antikomutovať s γ 0γ 1γ 3 , takže so súčinom o γ 0γ 1γ 2γ 3 bude antikomutovať.

Výraz γ µAµ , kde Aµ sú zložky 4-vektora sa vyskytuje tak často, že je preň užitočné zaviesť špeciálny symbol

A/ ≡ γγγγ µAµ

Zo vzťahu (1) dostávame

γ µ, A/ = 2Aµ

A/ , B/ = 2AµBµ = 2A ·B

γ µA/ γµ = − 2A/

γ µA/ B/ γµ = 4AµBµ = 4A ·B

γ µA/ B/ C/ γµ = −2C/ B/ A/

Pri praktických výpočtoch často treba vyčísliť stopu, alebo tzv. spur súčinov γ-matíc. Spur je súčtom diagonálnych elementov matice. Ak napr. A je n × n matica s prvkami Aik, potom

Sp(A) ∑=

=n

iiiA

1

Z definície spuru máme hneď

Sp(AB) = Sp(BA)

Sp(ABC) = Sp(CAB) = Sp(BCA)

Ostatný vzťah sa dá zovšeobecniť aj na súčiny väčšieho počtu matíc. Ukazuje sa potom, že spur súčinu matíc sa nemení ich cyklickou zámenou. Spur každej z γ µ matíc sa rovná nule

Sp(γγγγ µ) = 0

Najjednoduchšie to vidno 2 toho, že γγγγ 5γγγγ 5 = 1 a že γγγγ 5 antikomutuje s γγγγ µ

Sp(γγγγ µ) = Sp(γγγγ 5γγγγ 5γγγγ µ) = −Sp(γγγγ 5γγγγ µγγγγ 5) = − Sp(γγγγ µ)

Ďalej platí (priamo z rovnice (1))

Sp(γγγγ µγγγγ ν) = 4gµν

Sp(γγγγ µγγγγ ν γγγγ 5) = 0

Sp(γγγγ µγγγγ ν γγγγ αγγγγ β) = 4gµνgαβ − 4gµαgνβ + 4gµβgνα

Pri dôkaze prehadzujeme γ -matice s pomocou (1) a využívame

Sp(γγγγ αγγγγ β) = 4gαβ

Ďalej máme

Sp(γγγγ 5) = 0

Sp(γγγγ 5γγγγ 0γγγγ 1γγγγ 2γγγγ 3) = −4i

Sp(γγγγ 5γγγγ µγγγγ ν γγγγ λγγγγ σ) = −4ieµνλσ

27

8 Propagátor Diracovej rovnice

Tento propagátor je riešením nehomogénnej DR so „zdrojom“ typu δ-funkcie

−

′∂

∂m

x µµγγγγi SF(x' − x) = δ4(x' − x) (1)

pričom SF je matica 4×4. Pri riešení (1) urobíme najprv Fourierove transformácie.

SF(x' − x) )(i4

e2(

d xxpp −′−

4

⋅∫ π)= SF(p) (2)

δ4(x' − x) )(i4

e2(

d xxpp −′−

4

⋅∫ π)= (3)

a dosadíme (2), (3) do (1). Porovnaním oboch strán dostaneme ihneď

(p/ − m) SF(p) = 1

Riešením tejto rovnice je

SF(p) /p

/p

122 mp

m

m −

+=

−=

Obchádzanie pólu opäť vyberáme tak, aby sa v čase dopredu šírili len riešenia s kladnou a dozadu len so zápornou energiou. Podobne ako v prípade KG rovnice tomu odpovedá zámena (p2 − m2) → (p2 − m2 + iε) v menovateli. Takto dostávame

SF(x' − x)εi

p/e2(

d22

i4

)(

+−

+

π)= −′−

4

⋅∫ mp

mxxppSF(p) (4)

Pre t' > t uzatvárame kontúru v p0-rovine dolu a pre t' < t hore. Využitím rezíduovej vety pri integrácii cez p0 takto nájdeme

SF(x' − x) = −iΘ(t' − t)p

m

m

m

ε

+

π)∫ −′−

3

⋅

2

pe

2(

d )(i3

xxpp −iΘ(t − t')

p

m

m

m

ε

+−

π)∫ −′−

3

⋅

2

pe

2(

d )(i3

xxpp (5a)

V exponentoch, v (5) stojí p ·(x' − x) = εp(x'0 − x0) − p ·(x' − x), pričom εp = +(p2 + m2)1/2. Pravá strana (5a) pri t' > t obsahuje projektor na riešenia s kladnou energiou.

∑=

+ =

+=Λ

2,1

)()( )()(2

p)]([

r

rr uum

mp pp βα

αβαβ (5b)

a pri t' < t sa objavuje projektor na riešenia ao zápornou energiou

∑=

− −=

+−=Λ

2,1

)()( )()(2

p)]([

r

rr

m

mp pp βα

αβαβ vv (5c)

Záporné znamienko tu súvisí s tým, že platí

v(r)(p)v(s)(p) = −δrs

Pre propagátor nerelativistickej SchR platí*)

G(x't', x t) = −iΘ(t' − t)∑n

ψn(x', t')ψ*n (x, t)

kde ψn(x, t) au vlnové funkcie stacionárnych stavov. Teraz ideme prepísať propagátor DR do analogic-kého tvaru. Podstatný rozdiel bude iba v tom, že v prípade DR máme aj riešenia bo zápornou energiou a tie sa budú v čase šíriť dozadu.

*) Na rozdiel od ods. 1 kap. I tu máme navyše faktor (−i) na pravej strane.

/ /

/

/

28

Zavedieme najprv systém riešení s kladnou energiou

xp⋅−+

π= i

2/3)(

, e)()2(

1)( pp

r

pr u

mx

εψ (6a)

kde p ·x = εpt − p·x. Spinory ur(p) sú normované podmienkou

ur(p)ur(p) = 1 t. j. u+(p)u(p)m

pε= (6b)

a funkcie ψ (p

+, r) potom spĺňajú normalizačnú podmienku v tvare

∫[ψ (p

+, r)(x)]+ψ

(q

+, s)(x)d3x = d3(p − q)δrs (6c)

ďalej zavedieme riešenia so zápornými energiami

xpr

pr

mx .i

2/3)(

, e)()2(

1)( pp v

π=−

εψ (7a)

pričom v r(p) sú normalizované nasledovne

vr(p)v r(p) = −1 t. j. v r+(p)v r(p)

mpε

= (7b)

a funkcie (7a) spĺňajú normovaciu podmienku (6c). Ak teraz do (5a) dosadíme (5b) a (5c) dostaneme po jednoduchých úpravách

SF(x' − x) = −iΘ(t' − t) ∑∫=

++ ′2,1

)(,

)(,

3 )()(dr

rr xx ppp ψψ +iΘ(t − t') ∑∫=

−− ′2,1

)(,

)(,

3 )()(dr

rr xx ppp ψψ (8)

Prvý člen na pravej strane tu opisuje šírenie riešení s kladnou energiou v čase dopredu a druhý šírenie riešení so zápornou energiou v čase dozadu.

Propagátor nerelativistickej SchR „posúva“ vlnové funkcie stacionárnych stavov v čase v nasledu-júcom zmysle. ∫ iG(x't', x t)ψn(x t)d3x = ψn (x't')

O tomto sa ľahko presvedčíme ak sem dosadíme explicitný tvar G(x't', x t) uvedený o kúsok vyššie. Celkom analogické vlastnosti má aj propagátor DR. Uvažujme riešenie DR a kladnou energiou

Φq(x) = ua(q)e−iq·x

a vyšetríme, najprv pre t' > t výraz

% = ∫d3xSF(x' − x)γ 0Φq(x)

Prítomnosť γγγγ 0 na pravej strane je podstatná a vrátime sa k nej ešte neskôr. Pre t' > t prispieva len prvý člen na pravej strane (8) a máme

% = −i∑∫ ∫ +++ ′r

rr )]([d)(d )(,

3)(,

3xxx ppp ψψ ua(q)e−iq·x (9)

Po explicitnom dosadení za ψ (p

+, r) podľa (6a) integrál v (9) dá

2/3)2(

1

πq

m

εua(q)(2π)3δ(p − q)

a integrál cez d3p v (9) potom vedie k

% = −iψ (q

+, a)(x')

p

m

ε(2π)3/2

29

Ak ešte raa využijeme (6a) pre vyjadrenie ψ (q

+, a) máme konečný výsledok, ktorý môžeme (stále pri t' > t)

písať v tvare

ψ (+)(x') = i ∫SF(x' − x)γγγγ 0ψ (+)(x)d3x (10)

pričom ψ (+) je podľa toho, čo sme doteraz zrátali, jedno špecifické riešenie DR. Vzhľadom na to, že vzťah (10) je lineárny, bude (10) platiť aj pre ľubovoľnú superpozíciu riešení s kladnou energiou.

Podobne sa môžeme presvedčiť o tom, že – propagátor neposúva riešenia s kladnou energiou v čase dozadu (dostali by sme nulu) – riešenia so zápornou energiou posúva propagátor v čase dozadu, pričom pre t' < t máme

ψ (−)(x') = −i ∫SF(x' − x)γγγγ 0ψ (−)(x)d3x (11)

Faktor γ 0, ktorý nemáme pri „posúvaní“ riešení nerelativistickej SchR, ale je prítomný pri Diracovej rovnici pochádza z toho, že pri prechode na kovariantný tvar Diracovej rovnice sme pôvodnú rovnicu i∂ψ /∂t = Hψ násobili maticou γ 0, ktorá potom násobí ∂/∂t aj v definícii propagátora. Rovnica i∂ψ /∂t = = Hψ a rovnica (iγ µ∂µ − m)SF = δ sa potom líšia maticou γ 0 pri časovej derivácii a prítomnosť γ 0 fakto-rov v (10) a (11) je dôsledkom tohto rozdielu.

9 Opis elektromagnetického poľa pomocou potenciálov

Ďalej sa budeme zaoberať iba s elektromagnetickým (ďalej len EM) poľom vo vákuu. EM pole a jeho interakcia s vonkajšími nábojmi je opísané Maxwellovými rovnicami

rot E =∂

∂+

0x

B0 div B =0 (1a)

rot B =∂

∂−

0x

Ej div E = ρ (1b)

pričom kladieme c = ε0 = µ0 = 1 a používame racionalizovanú sústavu jednotiek. Rovnice (1a) sú iden-ticky splnené ak zavedieme 4-potenciál Aµ(Φ, A) pričom

E = −∇∇∇∇Φ0x∂

∂−

A, B = rot A (2)

Ak (2) zapíšeme kovariantne a zavedieme tenzor poľa

Fµν =

−−

−−

−−

0

0

0

0

123

132

231

321

BBE

BBE

BBE

EEE

(4)

vidíme, že (2) možno prepísať ako

Fµνµν

ν

µ

x

A

x

A

∂

∂−

∂

∂= (4)

Ak vyjadrenia (2) dosadíme do (1b) dostaneme rovnice

A =

+

∂

Φ∂+

tAdiv∇∇∇∇ j, −∆Φ =

∂

∂−

t

Adiv ρ (5a)

pričom druhú z týchto rovníc môžeme prepísať do tvaru

Φ =

∂

Φ∂

∂

∂− +

ttAdiv ρ (5b)

30

Výraz v zátvorke v (5a), (5b) je Lorentzovým skalárom

≡∂

Φ∂+

tAdiv ∂µAµ

a preto obe rovnice (5a) (5b) môžeme zapísať jednotne

Aµ

ux∂

∂− (∂ν Aν) = jµ (6)

Pri kvantovaní EM poľa sú isté formálne ťažkosti, ktoré spočívajú v tom, že Φ, A obsahujú nadby-točné premenné. Vidno to už z toho, že zadanie intenzít E, B nezadáva jednoznačne potenciály. Sku-točne ak platí

Fµν = ∂ν Aµ − ∂µAν (7)

dostaneme rovnaké Fµν (a teda intenzity) aj pre potenciály

A'µ = Aµ + ∂µχ (8)

kde χ je skalárna funkcia. Presvedčíme sa o tom okamžite dosadením (8) do (7). Zmenu potenciálov

Aµ → A'µ = Aµ + ∂µχ (9)

nazývame kalibračnou transformáciou. Jednou z možností ako odstrániť nejednoznačnosť potenciálov je naložiť na Aµ dodatočnú

podmienku. Najčastejšie sa používa tzv. Lorentzova podmienka

∂µAµ = 0

Ak ju použijeme, potom sa rovnice (6) zjednodušia na tvar

Aµ = jµ , µ = 0, 1, 2, 3 (11)

Propagátor EM poľa v kalibrácii špecifikovanej podmienkou (10) definujeme rovnicou

xDµ ν(x − x') = gµ νδ4(x − x') (12)

a okrajovou podmienkou: kladné energie sa šíria v čase dopredu, záporné v čase dozadu. Postupujeme štandardne s urobíme Fourierove rozklady

Dµ ν(x − x') ∫ ′−⋅−

π= )(i

4

4

e)2(

d xxkkDµ ν(k)

δ4(x − x') ∫ ′−⋅−

π= )(i

4

4

e)2(

d xxkk

Po dosadení do (12) a využití +iε triku dostaneme

Dµ ν(k)ε

µν

i2 +−=

k

g (13)

pre Dµ ν(x − x') máme

Dµ ν(x − x') = −gµν ∫ ≡+π

′−⋅− )(i24

4

ei

1

)2(

d xxk

k

k

ε−gµνD(x − x') (14)

Zdôraznime ale ešte raz, že toto je propagátor v špeciálnej kalibrácii (10). Ešte sa musíme presvedčiť o tom, či riešenie rovnice (11) nájdené pomocou propagátora (14) spĺňa kalibračnú podmienku (10).

Toto riešenie je dané vzťahom

Aµ(x) = ∫Dµ ν(x − x') jν(x')d4x' (15)

31

Počítajme

∫

∫∫

′′

′−

′∂

∂+=

=′′′−∂

∂−≡′′′−

∂

∂=

∂

∂

xxxx

xxxxxxxxx

4

44

d)()(

d)()(d)()()(

νµµν

νµν

µνµν

µ

µ

µ

jDx

g

jDgx

jDx

Ax

Teraz integrujeme per partes a využijeme gµν jν = jµ. Máme tak

0d)()()( 4 =′′′∂

∂′−−=

∂

∂∫ xxxxx µ

µµµj

xDA

x

lebo platí zákon zachovania prúdu ∂µ jµ = 0.

10 Propagátor EM poľa a kalibračná invariantnosť

Tento článok je technicky pomerne náročný a pri prvom čítaní ho možno preskočiť. Pri praktických výpočtoch budeme používať propagátor elektromagnetického poľa daný rovnicou (13) predchádzajú-ceho článku. Niekedy sa tiež nazýva propagátorom vo Feynmanovej kalibrácii.

Začneme s tým, že ukážeme ťažkosti pri hľadaní propagátora v situácii pokiaľ nešpecifikujeme kalib-ráciu. Maxwellove rovnice (9.6) s prúdom jµ na pravej strane vtedy sú

Aλ − ∂λ∂νAν = jλ (1)

Propagátor Dλ α(x − x') chceme zaviesť tak, aby riešenie rovnice (1) malo tvar

Aλ(x) = ∫Dλα(x − x') jα(x')d4x' (2)

Po dosadení (2) do (1), a po využití Fourierových transformácií

Dν α(x − x') ∫ ′−⋅−′−− ⋅

π= )(ii

4

4

e)e(D)2(

d )( xxkk xxkkνα

δ4(x − x') ∫ ′−− ⋅

π= )(i

4

4

e)2(

d xxkk

dostaneme po trochu zdĺhavých úpravách

[−k2gµ ν + kµkν]Dν α(k) = δµ

α (3)

Táto rovnica nemá ale riešenie. Ukážeme si to dvomi spôsobmi. Výraz

Pµ ν = [−k2gµ ν + kµkν]

spĺňa podmienky

kµPµ ν = 0, Pµ νkν = 0

Inak povedané Pµ ν je projektor na vektory kolmé na k. Prítomnosť výrazu Pµ ν na ľavej strane (3) vylu-čuje existenciu riešenia. Skutočne, ak (3) násobíme zľava kµ , a sčítame cez µ dostaneme na ľavej strane nulu, zatiaľ čo na pravej strane máme kα ≠ 0.

Podrobnejšie argument vyzerá nasledovne. Začnime sa namiesto (3) zaujímať o riešenie trocha všeobecnejšej úlohy a hľadajme Dν α(k) spĺňajúce vzťahy

[akµkν + bgµν ]Dν α(k) = δµα (3')

32

Ľahko sa presvedčíme o tom, že riešením je

Dν α(k)b

g

bab

kak νααν ++

−=)( 2

k (4)

V našom prípade v (3) platí a = 1, b = −k2 a hneď vidíme, že práve v tomto prípade riešenie neexistuje,

lebo menovateľ v prvom zlomku v (4) sa rovná nule. Toto ani tak veľmi neprekvapuje, lebo pri jedno-značnom Dµν(x − x') by sme pri zadanom jµ(x') jednoznačne určili 4-potenciál Aµ(x). A vieme, že po-tenciály Aµ(x) nie sú intenzitami E, B a teda ani zadaním j, ρ určené jednoznačne.

Ak chceme určiť propagátor, potom musíme špecifikovať kalibráciu a na tento problém sa teraz pozrieme zo všeobecného hľadiska.

V lagrangeovskom formalizme dostaneme Maxwellove rovnice z podmienky extrému účinku pri hustote lagranžiánu

L 4

1−= FµνFµν − jµAµ (5)

Extrém účinku žiada splnenie Eulerových-Lagrangeových rovníc

0=∂

∂−

∂

∂

∂

∂

∂ν

µ

νµ A

x

Ax

LL (6)

Ak výraz v (5) rozpíšeme explicitne ako

L 2

1−= [(∂µAν)(∂µAν) − (∂µAν)(∂νAµ)] − jµAµ

potom (6) vedie priamo k

Aν + ∂ν(∂µAµ) + jν = 0 (7)

čo je identické Maxwellovým rovniciam bez špecifikácie kalibrácie. Kalibráciu môžeme špecifikovať dvomi spôsobmi. Prvý, ktorý sme použili v predchádzajúcom od-

seku, spočíva v tom, že na Aµ naložíme určitú podmienku a pomocou nej potom upravíme (7). Potom sa musíme presvedčiť o tom, či nájdené riešenie spĺňa túto kalibračnú podmienku a to sme tiež v pred-chádzajúcom odseku urobili.

Druhou možnosťou je pridať kalibračne neivariantné členy priamo do Lagranžiánu. Tým zrušíme kalibračnú invariantnosť úlohy a − ako uvidíme − rovnica pre propagátor bude mať riešenie (je to prirodzené, lebo problém už nemá kalibračnú invariantnosť a preto nemá ani nadbytočné premenné). Napokon sa však musíme presvedčiť o tom, že sme zmenou lagranžiánu nezmenili fyziku.

Zmenený lagranžián vyberieme v tvare

L 4

1−= FµνFµν

ξ2

1− (∂µAµ)2 − jµAµ (8)

Eulerove-Lagrangeove rovnice nás rýchlo privedú k pohybovej rovnici

Aν −

−

ξ

11 ∂ν(∂µAµ) = jν (9)

čo pre ξ = 1 dáva práve rovnicu (9.11), ktorú sme v predchádzajúcom odseku dostali z Lorentzovej pod-mienky. Riešenie, ktoré sme tam získali spĺňa podmienku ∂µAµ = 0 a hneď vidíme, že číselná hodnota dodatočného člena v L sa rovná nule.*)

*) K riešeniu (9) pri ξ = 1 by sme ešte mohli pridať riešenie príslušnej homogénnej rovnice, pre ktorú by podmienka ∂µ Aµ = 0

nebola záväzná. Toto riešenie ale odpovedá poľu budenému zdrojmi, ktoré v (9) neuvažujeme. Bez podrobnejšej analýzy problému budeme predpokladať, že všetky fyzikálne riešenia (9) spĺňajú podmienku ∂µ Aµ = 0.

33

Všimnime si teraz podrobnejšie prípad ξ ≠ 0. Postupom, ktorý nás vyššie priviedol k rovnici (3) teraz dostaneme

−

− µννµ

ξgkk 21

1 k Dν α(k) = δµα (10)

čo je špeciálny prípad (3') s hodnotami a = (1 − 1/ξ), b = −k2. Podľa (4) potom riešenie (10) bude

Dν α(k)

−

−−=22

)1(1

kk

νανα

ξ kkg (11)

Pre ξ = 1 dostaneme vyjadrenie

Dν α(k) ναg2

1

k−= (12)

ktoré nazývame propagátorom vo Feynmanovej kalibrácii. Pre ξ = 0 máme

Dν α(k)

−−=

22

1

kk

νανα

kkg (13)

čo nazývame propagátorom v Landauovej kalibrácii. Vzniká ešte otázka, či fyzika je vo všetkých prípadoch (pri všetkých hodnotách ξ) rovnaká. Odpo-

veď je kladná. Logika argumentu je takáto: 1. Pri ξ = 1 máme správnu fyziku, pretože vtedy sú potenciály Aµ budené prúdmi presne rovnaké

ako potenciály spočítané z Maxwellových rovníc pre Aµ pri Lorentzovej kalibračnej podmienke (toto sme už ukázali vyššie).

2. Potenciály budené vonkajšími prúdmi nezávisia od ξ, a teda sú pri každom ξ rovnaké ako pri ξ = 1 (a o tých už vieme, že sú správne). Argument o správnosti tohto tvrdenia teraz načrtneme.

Pri danom ξ máme podľa (11)

Dν α(x − x') ∫

−

−π

−= ′−− ⋅22

i4

4 )1(1e

)2(

d )(

kk

k xxk νανα

ξ kkg (14)

Ak teraz rozložíme do Fourierovho integrálu aj prúd jα(x)

jα(x') ∫ ′−− ⋅

π= )(e

)2(

d )(i4

4

qq xxq

αj

potom po niekoľkých úpravách dostaneme

∫d4x'Dν α(x − x') jα(x') )(

)1(1e

)2(

d22

i4

4

kkk

k xk ανανα

ξj

kkg∫

−

−π

−= ⋅−

Vzhľadom na zachovanie prúdu ∂jα/∂xα = 0 platí kαjα(k) = 0 a člen obsahujúci (1 − ξ) dáva nulový prírastok. Skutočne

kα jα(k) = kα ∫ jα(x)eik · xd4x = −i∫ jα(x)

αx∂

∂eik · xd4

x = + i∫ α

α

x

xj

∂

∂ )(eik · xd4

x = 0

Propagátor EM poľa v radiačnej kalibrácii Radiačná (alebo tiež Coulombova) kalibrácia EM poľa je daná podmienkou

div A = 0 (15)

34

Maxwellove rovnice (5a) potom budú

A = j − ∇∇∇∇ ≡∂

Φ∂

tj tr (16a)

∆Φ = −ρ (16b)

Výraz na pravej strane (16a) musí kvôli konzistentnosti spĺňať podmienku div j tr = 0. Skutočne

div j tr = div j − t∂

∂∆Φ = div j + =

∂

∂

t

ρ0

kde sme využili (16b). Propagátor príslušný k rovnici (16a) by sme bez veľkého rozmýšľania najradšej definovali vzťahom

D i j(x − y) = δ4(x − y)δ i j (17)

a tým, že potenciál Ai(x) budený zdrojom j l(x) by bol

Ai(x) = ∫D i l(x − y) j l(y)d4y

toto by ale nebol korektný postup, lebo v rovnici (17) nemáme zaručené, že pole A(x) je budené len priečnym komponentom prúdu, tak ako Je to naznačené v (16a). Preto zavádzame tzv. priečnu δ-funkciu. Obyčajná δ-funkcia je definovaná vzťahom

∫ ⋅

π=δ xpp

xi

3

33 e

)2(

d)(

Jej priečnu časť definujeme vzťahom

∫ ⋅

−δ

π=δ xp

p

px

i23

3

rt e)2(

d)(

jiijji pp

Takto definovaná funkcia spĺňa podmienku

)eii()2(

de

ii

)2(

d)( i

3

3i

23

3

rt =−π

=

−δ

π=δ

∂

∂∫∫ ⋅⋅ xpxp p

p

px

jjjii

ijijii

ppppp

px

0

Namiesto rovnice (17) teda žiadame

D i j(x) = δitjr(x)δ(x0) (18)

Teraz už postupujeme štandardne, rozložíme obe strany do Fourierových integrálov*)

D i j(x) ∫ ′−− ⋅

π= )(i

4

4

e)2(

d xxkkD i j(k) (19)

pre δitjr použijeme výraz uvedený vyššie, dosadíme (19) do (18) a odtiaľ dostaneme

D i j(k)

−δ

+−=

22 i

1

kk

jiij kk

ε (20)

a to je konečný výsledok pre priečne EM pole budené priečnym prúdom. Okrem toho ešte máme v hre pole A0 ≡ Φ, ktoré spĺňa rovnicu (16b). „Propagátor“ tohto poľa definujeme rovnicou

∆D00(x) = − δ4(x) (21)

*) Funkciu a jej Fourierov obraz označujeme rovnako, hoci by bolo správnejšie písať napr. D(x), D(k). Predpokladáme, že to

nepovedie k nedorozumeniu.

35

Príslušné D00(x) nájdeme zas štandardným spôsobom. Pre

D00(x) ∫ ⋅−

π= xk

kk i00

4

4

e)(D)2(

d

máme

D00(k)2

1

k+= (22)

V radiačnej (Coulombovej) kalibrácii takto máme propagátor zadaný vzťahmi (20) a (22). Ukážme si ešte v akom zmysle je takto zavedený propagátor ekvivalentný predchádzajúcim.

Najprv definujme Fourierovu komponentu hustoty prúdu

jµ(k) ∫ ⋅+

π= xkx i

4

4

e)2(

djµ(x)

Rovnica kontinuity ∂µjµ(x) vedie odtiaľto hneď k podmienke kµjµ(k) = 0. Pri opise interakcie poľa budeného jednou časticou s druhou časticou sa podľa (9.15) stretávame

s výrazom

∫d4x jµ(x)Aµ(x) = ∫∫d4

x d4y jµ(x)Dµν(x − y)jν(y)

Ak zapíšeme jµ(x), jν(y), Dµν(x − y) pomocou Fourierových komponentov dostaneme výraz úmerný

∫d4k jµ(k)Dµν(k) jν(k) (23)

Vzhľadom na podmienku kν jν(k) = 0 ale vidno, že zámena

Dµν(k) → Dµν(k) + kµBν + Bµk

ν (24)

nemení (23). Tu je vidno súvis kalibračných transformácií propagátora (24) a zachovania prúdu. Ukážeme teraz, že transformáciou (24) sa môžeme od propagátora v radiačnej kalibrácii

D00(k)2

1

k+= , D i j(k)

−δ−=

22

1

k

jiij kk

k (25)

dostať k Feynmanovmu propagátoru

DF00(k)

2

1

k−= , DF

i j(k)2

1

k+= (26)

Skutočne stačí vybrať

B0 22

0

2 kk

k−= , B i

222 kk

ik−= (27)

a vzťahom (24) prejdeme od Dµν k DFµν.

Vzhľadom na ekvivalentnosť oboch propagátorov v kalibračné invariantných výrazoch typu (23) môžeme potom pri výpočtoch rovno používať DF

µν alebo iný z tvarov propagátora. Prenecháme čitateľovi ešte ukázať, že EM pole budené vonkajším prúdom jµ(x) je rovnaké pri po-

užití propagátorov (25) a (26). Poznamenajme ešte, že člen D00(k) v rovnici (25) odpovedá priamej Coulombovej (elektrostatickej)

interakcii dvoch nábojov.

36

11 O vlnovej funkcii fotónu

Ako je dobre známe, vlnová funkcia fotónu v x-reprezentácii s naivne očakávanou pravdepodobnost-nou interpretáciou neexistuje. Presnejšie: neexistuje také ψµ(x), pre ktoré by |ψµ(x)|2 udávalo hustotu pravdepodobnosti pre nájdenie fotónu s polarizáciou µ v okolí bodu x. Dôvody pre toto čitateľ nájde v prvej kapitole učebnice Beresteckého a spol.*) Naivne by sme očakávali, že hustota pravdepodobnosti pre výskyt fotónu je úmerná |E |2, lebo tomuto by mohlo byť úmerné sčernenie fotografickej platne, na ktorú fotóny dopadajú. Ale toto nemôže byť pravda, lebo E2 = (1/2)(E2 + B2) + (1/2)(E2 − B2) pričom prvý člen je zložkou tenzora a druhý člen je skalár. Ale hustota by musela byť časovou komponentou štvorvektora.

Vlnovú funkciu fotónu možno ale zaviesť v k-reprezentácii. Preto má zmysel hovoriť o fotóne s da-nou hybnosťou a danou polarizáciou. Podrobnosti sú uvedené v citovanej učebnici.

Tu uvedieme len veľmi jednoduchý argument o tom, ako vyberáme vlnovú funkciu fotónu. Budeme pracovať v x-reprezentácii, ale to, čo máme na mysli je stále fotón s určitou hybnosťou k, energiou ω = kc a polarizáciou danou vektorom εµ.

Ukážme teraz, že pre 4-potenciál

Aµ(x; k)kV2

µε= (e−ik · x + eik · x) (1)

(vo výraze pod odmocninou k ≡ |k |) je energia elektromagnetického poľa v objeme V práve rovná ħω a preto môžeme takéto Aµ považovať za „vlnovú funkciu“ fotónu. Vo výraze (1) k ·x označuje súčin štvor-vektorov k ·x = k0x0 − k·x. Polarizačný vektor εµ spĺňa v kalibrácii ∂µAµ(x) = 0 podmienku kµεµ = 0. Najčastejšie vyberáme (nekovariantne) pre voľné EM pole ešte ε0 = 0, takže potom máme

ε0 =0, ε ·k = 0 (2)

Pre magnetické pole príslušné k (1) máme

B = rot AV

k

2i= 1k×ε (e−ik · x + eik · x)

V

k2i= 1k×ε sin (k ·x)

kde 1k je jednotkový vektor v smere k. Pre energiu spojenú s magnetickým poľom máme

WB2

1= ∫B2dV

V

k= ∫dVsin2 (kx)

22

ω==

k

pričom sme využili to, že stredná hodnota sin2 je rovná 1/2. Pre intenzitu elektrického poľa máme

EkV

it 2

εAω+=

∂

∂−= (e−ik · x + eik · x)

E sin2

kVεω= (k ·x)

a pre príslušnú energiu dostávame

WE ω2

1d

2

1 2 == ∫ VE

V predchádzajúcom sme používali ħ = c = 1. Po dosadení týchto veličín na správne miesto máme

W ωh=+= ∫ VBE d)(2

1 22

a to je práve energia jediného fotónu.

*) BERESTECKIJ, V. B., LIFŠIC, E. M., PITAJEVSKIJ, P.: Kvantovaja elektrodinamika, Moskva 1980

37

12 Interakcia častice s EM poľom

Túto interakciu zavádzame štandardným spôsobom (pozri ÚKM) pomocou princípu minimálnej interakcie: v pohybovej rovnici častice zameníme

pµ → pµ − eAµ (1)

alebo pri operátoroch

iħµx∂

∂→ iħ

µx∂

∂− eAµ

čo prepísané do zložiek bude

iħ0x∂

∂→ iħ

0x∂

∂− eA0,

kx∂

∂

i

h→

kx∂

∂

i

h− eAk (2)

Diracova rovnica pre pohyb elektrónu s nábojom e vo vonkajšom poli preto je (ħ = c = 1)

[γγγγ µ(i∂µ − eAµ)]ψ = 0 (3)

Pre elektromagnetické pole máme zas pohybovú rovnicu (bez špecifikácie kalibrácie)

Aµ − ∂µ(∂νAν) = jµ (4a)

jµ(x) = eψ (x)γγγγ µψ(x) (4b)

pričom jµ(x) je prúd daný pohybom elektrónu opísaného Diracovou rovnicou.

38

III Rozptyl elektrónu a pozitrónu na vonkajšom potenciáli

1 Úvod

V prvej kapitole sme sa zaoberali s rozptylom nerelativistickej častice na silovom centre opísanom potenciálnou energiou V(r). Problém sme študovali v stacionárnej poruchovej teórii (Bornov rad) i po-mocou propagátorového formalizmu, kde sme našli poruchový rozvoj pre propagátor. V stacionárnej poruchovej teórii hrá čas podstatne inú úlohu ako priestorové súradnice (čas je fixovaný) a takýto forma-lizmus nemožno jednoducho zovšeobecniť do relativistickej situácie. Na druhej strane je takéto zovše-obecnenie celkom prirodzené pre propagátorový formalizmus.

V tejto kapitole budeme študovať rozptyl relativistického elektrónu na vonkajšom elektromagnetickom poli opísanom potenciálom Aµ(x). Problém nie je celkom akademický lebo opisuje napr. rozptyl elek-trónov na protónoch pri energiách, ktoré sú podstatne väčšie ako mec

2 (takže elektrón treba považovať za relativistický) a podstatne menšie ako mpc

2 (takže protón možno brať ako zdroj poľa a nezaujímať sa o relativistické efekty pri opise protónu).

Úloha je tiež fyzikálne prirodzeným prechodom k zložitejším situáciám ako je napr. rozptyl elektrónu na elektróne a pod. Je to tým, že v prípade e−e− rozptylu uvažujeme rozptyl „prvého“ e− na poli bude-nom „druhým“ e− pričom už zarátavame aj to, že pri emisii kvánt poľa „druhým“ elektrónom sa mení aj jeho pohybový stav. Tento problém sa neobjavuje v prípade rozptylu elektrónu na vonkajšom poli a to je tiež jediným zjednodušením. Navyše je štúdium rozptylu relativistických častíc na vonkajšom poli užitočné pre to, aby sme videli jasne analógiu s nerelativistickou kvantovou mechanikou.

V tejto kapitole začneme so štúdiom rozptylu elektrónu na vonkajšom potenciáli Aµ(x), potom urobíme výpočet pre rozptyl na Coulombovom poli A0 = e /[(4πε0)|x |], A = 0 a potom sa budeme zaobe-rať s rozptylom pozitrónov na vonkajšom poli, pričom sa zoznámime aj s tým ako opisujeme šírenie pozitrónov v priestoročase.

V nasledujúcej kapitole potom urobíme ďalší krok a budeme sa zaoberať rozptylom dvoch relativis-tických častíc a ďalšími procesmi.

2 Rozptyl elektrónu na vonkajšom EM poli

Diracova rovnica pre elektrón vo vonkajšom poli opísanom potenciálmi Aµ(x) je

0)(i =

−

−

∂

∂xmeA

xψγ µµ

µ (1)

a príslušný propagátor je riešením rovnice

[γ µ(i∂µ − Aµ) − m]S'F(x, x') = δ4(x − x') (2)

kde čiarka pri SF zdôrazňuje, že ide o propagátor vo vonkajšom poli. Okrem (2) spĺňa S'F aj okrajovú podmienku: riešenia s kladnou energiou sa šíria v čase dopredu, riešenia so zápornou dozadu.

Na pravej strane (2) by mala stáť ešte jednotková matica, ale tú si už domyslíme. Rovnicu (2) môžeme jednoducho prepísať do tvaru

−

∂

∂m

xµµγi S'F(x, x') = δ4(x − x') + eγ µAµ(x)S'F(x, x') (3)

Ak tu x' považujeme za fixovaný parameter, má (3) tvar nehomogénnej rovnice. Jej riešením bude

S'F(x, x') = SF(x, x') + ∫d4ySF(x, y)eA/ (y)S'F(y, x') (4)

39

Ak SF(x, x') spĺňa Feynmanovu okrajovú podmienku, bude ju spĺňať aj S'F(x, x'). Vychádzajúc z integrál-nej rovnice (4) môžeme vybudovať poruchový rad, ktorý v zjednodušenom zápise vyzerá nasledovne:

S'F = SF + eSFA/ SF + e2SFA/ SFA/ SF + … (5)

Vzťah (4) vedie aj k integrálnej rovnici pre vlnovú funkciu elektrónu vo vonkajšom poli. Z výsledkov kapitoly II vieme, že časový vývoj riešenia Diracovej rovnice je opísaný vzťahom

ψ(z) = i∫SF(z, x)γ 0ψ(x)d3x (6)

pričom na pravej strane (6) integrujeme cez priestorové súradnice d3x pri fixovanom čase x0 < z0. Pro-pagátor hrá teda dve úlohy, na jednej strane je riešením nehomogénnej Diracovej rovnice s „bodovým zdrojom“ v čase i v priestore a na druhej strane posúva v zmysle (6) riešenie v čase. Fakticky sú tieto dve úlohy len matematickým vyjadrením Huygensovho princípu. V rovnici (6) je ψ(x, x0) „vlnoplo-chou“ v čase x0 a (6) hovorí, že „vlnoplocha“ ψ(z, z0) je súčtom príspevkov od jednotlivých, bodov „vlnoplochy“ ψ(x, x0) chápaných ako nezávislé zdroje.

Po tejto odbočke sa vrátime ku (4). Predstavme si, že v čase x'0 → ∞ máme dopadajúcu vlnu ψ in(x') pohybujúcu sa v oblasti, kde je EM pole nulové. Násobme (4) sprava γ 0ψ in(x') a integrujme cez d3x. Vzhľadom na (6) takto dostaneme

ψ(x) = ψ in(x) + ∫d4ySF(x, y)eA/ (y)ψ(y) (7)

kde ψ in(x) je dopadajúca vlna, ktorá sa celý čas vyvíjala ako riešenie DR bez vonkajšieho poľa a ψ(x) je vlna vyvinutá za prítomnosti vonkajšieho poľa. ψ in(x) je takto daná priamo rovnicou (6), zatiaľ čo ψ(x) je dané rovnicou (6) s propagátorom SF nahradeným propagátorom S'F opisujúcim šírenie častice vo vonkajšom poli.

Propagátor SF (bez vonkajšieho poľa) môžeme podľa kapitoly II ods. 8 rozložiť takto

SF(x, x') = −iΘ(x0 − x'0) ∑∫=

++ ′2,1

)(,

)(,

3 )()(dr

rr xx ppp ψψ +iΘ(x'0 − x0) ∑∫=

−− ′2,1

)(,

)(,

3 )()(dr

rr xx ppp ψψ (8)

kde ψ (+), ψ (−) sú riešeniami voľnej DR s kladnými resp. zápornými energiami. Ak toto dosadíme do (7), prídeme k výsledku

ψ(x) → ψ in(x) − ie ∑ ∫∫=

++

2,1

)(,

4)(,

3 )(d)(dr

rr yyx ppp ψψ A/ (y)ψ(y) (9a)

pre x0 → +∞. Pre x0 → −∞ prispeje v (8) len druhý člen na pravej strane a máme

ψ(x) → ψ in(x) + ie ∑ ∫∫=

−−

2,1

)(,

4)(,

3 )(d)(dr

rr yyx ppp ψψ A/ (y)ψ(y) (9b)

a tento vzťah budeme potrebovať až neskôr pri opise rozptylu pozitrónu. Ak sa zaujímame o amplitúdu pravdepodobnosti prechodu elektrónu zo začiatočného do koncového stavu ψ (

p

+, r) potrebujeme urobiť

„priemet“ (9a) do tohto koncového stavu. Vzhľadom na ortogonálnosť ψ(p

+, r)(x) nám stačí násobiť

(9a) výrazom [ )()(, ff

xr+

pψ ]+ a integrovať cez x.

Výraz

Sf i = ∫ ++ xxxr3)(

, d)()]([ff

ψψp

pre x0 → ∞ (10)

označuje prekryv medzi riešením ψ(x) , ktoré sa vyvíjalo v čase za prítomnosti vonkajšieho poľa a vlno-vou funkciou odpovedajúcou riešeniu voľnej DR s hybnosťou pf a spinovým stavom rf. Z rovnice (9a) a definície (10) dostaneme

Sf i = δf i − ie ∫ + )(d )(,

4

ffyy rp

ψ A/ (y)ψ(y) (11a)

pričom vlnová funkcia ψ(y) je daná riešením rovnice

ψ(y) → ψ in(y) + ∫d4y'SF(y, y')eA/ (y')ψ(y') (11b)

40

Pri úprave vedúcej k (11a) sme využili ortonormovanosť riešení s kladnými energiami

∫ ++ xxx sr3

,)(

, d)()]([ qp ψψ = δ3(p − q)δrs (12)

ktorá pochádza z explicitného vyjadrenia

2/3

)(,

)2(

1)(

π=+

pr

mx

εψ p u(r)(p)e−ip · x (13a)

pri normalizácii

u(r)+(p)u(s)(p)m

pε= δrs (13b)

Odtiaľ je tiež vidno, že symbol δfi treba rozumieť ako δ3(pf − qi)δrf , si.

V prípade normalizácie na konečný objem, v ktorej budeme v ďalšom pracovať máme namiesto (2π)−3/2 v (13) faktor V−1/2 kde V je normalizačný objem a na pravej strane (12) namiesto δ3(pf − qi) budeme mať Kroneckerov symbol δpf, pi

pričom pf, qi nadobúda len diskrétne hodnoty povolené perio-dickými okrajovými podmienkami na hranici objemu V.

Explicitný tvar takto normalizovanej vlnovej funkcie je

p

s

m

Vx

εψ

1)(, =p u(s)(p)e−ip · x (14)

pričom spinory sú normalizované podľa (13b). Budeme sa teraz zaujímať o rozptyl elektrónu na static-kom Coulombovom potenciáli. V tomto prípade A = 0 a pre A0 máme

||4

)(0

0 x

ZexA

επ−= (15)

V ďalšom už ε0 nebudeme explicitne vypisovať. V konvencii, ktorú používame, e je náboj elektrónu, e < 0; náboj protónu bude ep = −e.

S-maticový element Sfi pri normalizácii (14) na konečný objem bude podľa (11a) v prvom ráde poru-chového rozvoja

Sf i ∫⋅−

π+=

xpp )if(i4

ii0

ffif

22

e||

d),(),(

1

4

i

xpp

xsusu

EE

m

V

eZγ (16)

pričom „f“ označuje charakteristiky častice v konečnom a „i“ v začiatočnom stave. Integrál v (16) spo-čítame hneď

2

−−

|−|

π4−δπ=∫∫ ⋅

ifif

)(i3

)(i0 )(2e||

ded if

0if

ppx

xpp EEx

x xEE (17)

pričom druhý integrál na ľavej strane je známa Fourierova transformácia Coulombovho potenciálu (pozri napr. ÚKM). V ďalšom budeme používať označenia

qpp ≡−≡π4

=

π4 0

if

2

skrát

2

,αε c

ee

h

pričom index „skrát“ znamená skrátené označovanie (ε0 = ħ = c = 1) používané vyššie, q je prenesená hybnosť. Po dosadení (17) do (16) môžeme rátať pravdepodobnosť prechodu za jednotku času. Táto je úmerná |Sf i |

2. Pritom použijeme už dobre známy „trik“

|2πδ(Ef − Ei)|2 = 2πδ(Ef − Ei) ∫

−

⋅2/

2/

0i deT

T

t t = 2πΤ δ(Ef − Ei)

41

a pre pravdepodobnosť prechodu za jednotku času dostaneme

Wf i ==T

S 2fi ||

2πδ(Ef − Ei)(Zα)2

2

2if

2

2

41

π

qEE

m

V|u(pf, sf)γ

0u(pi, si)|

2 (18)

Pri počítaní účinného prierezu delíme Wf i hustotou prúdu j = |vi |/V, kde |vi | = |pi |/Ei je rýchlosť dopa-dajúcej častice a 1/V je priestorová hustota. Takto nájdeme

=j

W if 2πδ(Ef − Ei)2

i0

f

2

2

22

||4

||

)(uu

E

m

V

Zγ

α

π

qp (19)

kde symbo |u fγ0ui |

2 označuje posledný výraz na pravej strane (18). Diferenciálny účinný prierez dosta-neme ak Wf i/j násobíme hustotou koncových stavov (násobenou dE)

33

2

3

3

)2(

dd

)2(

dd

)2(

dd

π

Ω=

π

Ω=

π=

VEpEVppVn ppp

(20)

kde sme využili EdE = pdp, čo je priamym dôsledkom relativistického vzťahu E2 = m2 + p2. Výrazom (20) násobíme (19), integrujeme cez dE a výsledok bude dσ. Po delení dΩ p máme

2i

0f4

22

||||

)(4

d

duu

mZγ

ασ

q=

Ω (21)

Napokon treba vyčísliť výraz

|u fγ0ui |

2 ≡ |u(pf, sf)γ0u(pi, si)|

2 (22)

udávajúci závislosť dσ/dΩ od spinu elektrónu v začiatočnom a koncovom stave. Budeme najprv predpokladať, že dopadajúci zväzok je nepolarizovaný a že detektor, ktorý registruje

rozptýlený elektrón nie je citlivý na spin elektrónu. V takejto situácii ustredníme cez spin dopadajúceho elektrónu a sumujeme cez spin rozptýleného

∑∑=i f

2

1|| 2

i0

fs s

uu γ [u(pf, sf)γ0u(pi, si)][u(pf, sf)γ

0u(pi, si)]*

Pretože platí [u 'γ 0u]* = [u'+γ 0γ 0u]* = [u'+γ 0γ 0u]+ = u+γ 0γ 0u' = uγ 0u' (pretože u 'γ 0u je číslo, má * a + naň rovnaký účinok). Takto máme

∑∑=i f

2

1|| 2

i0

fs s

uu γ [uα(pf, sf)γ α0βuβ(pi, si)][u γ(pi, si)γ γ

0δuδ(pf, sf)]

pričom sme explicitne vypísali indexy spinorov a matíc. Teraz využijeme

δα

αδ

+=∑ m

msusu

s 2

p),(),( f

ffff

f

pp , βγ

γβ

+=∑ m

msusu

s 2

p),(),( i

iiii

i

pp

dostaneme

2

0i0f2i

0f 2

1

2

1

2

p

2

p

2

1||

=

+

+=

mm

m

m

muu γδ

βγαβ

δα

γγγ Sp(p/ f + m)γ 0(p/ i + m)γ 0

Pri výpočte Sp využijeme

Sp (γ 0γ 0) = Sp 1 = 4

Sp (γ µγ νγ λ) = 0

p/γ 0 + γ 0p/ = pµγ µ, γ 0 = 2p0

/ /

/ /

42

Posledný vzťah dáva

p/ fγ0p/ iγ

0 = p/ fγ0(2p0

i − γ 0p/ i) = 2p0

i p/ fγ0 − p/ f p/ i

Odtiaľto s využitím Sp (γ µγ ν) = 4gµν dostaneme

2

2i

0f

8

1||

muu =γ [8EfEi − 4pi·pf + 4m2]

a pre diferenciálny účinný prierez nájdeme

4

2

||2

)(

d

d

q

ασ Z=

Ω[8EfEi − 4pi·pf + 4m2] (22)

Ešte v ňom urobíme štandardné úpravy

Ei = Ef = E

pi ·pf = E2 − p i ·p f = E2 − |p |2cos ϑ = m2 + |p |2(1 − cos ϑ) = m2 + β 2E22sin2 (ϑ/2)

kde ϑ je uhol rozptylu, β = p/E = v/c. Ďalej máme

|q |2 = |p f − p i |2 = 4|p |2sin2 (ϑ/2)

a po dosadení do (22) prídeme ku konečnému výsledku

)2/(sin||4

)(

d

d422

2

ϑβ

ασ

p

Z=

Ω[1 − β 2sin2 (ϑ/2)] (23)

a to je Mottova formulka, ktorá pri β << 1, prechádza na Rutherfordovu (vtedy vypadne druhý člen v hranatej zátvorke).

3 Rozptyl pozitrónu na vonkajšom EM poli

Podľa (2.7) píšeme všeobecné riešenie DR pre elektrón v tvare

ψ(x) = ψi(x) + ∫d4ySF(x, y)eA/(y)ψ(y) (1)

V predchádzajúcom odseku ψi(x) bola pri x0 → −∞ dopadajúca elektrónová vlna, ktorej odpovedalo riešenie DR s kladnou energiou a vyšetrovali sme vývoj tohto riešenia v čase „dopredu“. Pre pozitrón budeme vyšetrovať riešenie tejto rovnice so zápornou energiou a šírenie tohto riešenia v čase „dozadu“.

Motiváciu tohto Feynmanovho postupu (niekedy sa hovorí aj o Feynmanovom a Stückelbergovom, u ktorého sa idea objavila už skôr, ale nebola podrobne rozpracovaná) vidno z nasledujúcej úvahy. Predstavme si, že na Zemi máme zdroj pozitrónov a na Mesiaci ich detektor a medzi tým na družici jedno rozptylové centrum. Experimentálne urobíme toto: – v čase −T vystrelíme zo Zeme pozitrón, ten sa okolo času t ≈ 0 rozptýli na centre na družici a v čase

T je zachytený detektorom na Mesiaci takto

v čase −T: na Zemi ubudne (−e, pi, Ei, si) v čase T: na Mesiaci pribudne (−e, pf, Ef, sf)

kde e < 0 je náboj elektrónu, −e > 0 je náboj pozitrónu, p, E, s označuje hybnosť, energiu a spin pozit-rónu.

Vo Feynmanovom jazyku opíšeme to isté nasledovne:

v čase T: na Mesiaci ubudne (e, −pf, −Ef, −sf) v čase −T: na Zemi pribudne (e, −pi, −Ei, −si)

Takto je pohyb pozitrónu v čase dopredu opísaný pohybom riešenia DR so zápornou energiou v čase dozadu. Medzitým sa riešenie v čase t ~ 0 rozptýli na centre na družici.

(2a)

(2b)

43

Podľa Feynmanovho pohľadu na problém, do rovnice (1) pri x0 → +∞ dosadzujeme za ψi(x) riešenie DR so zápornou energiou −Ef,s hybnosťou −pf, spinom −sf a propagátorom SF(x, y) necháme toto rie-šenie šíriť sa v čase dozadu, t. j. od väčších hodnôt y0 k menším. Takto nájdeme ψ(x) pri x0 → −∞. Potom urobíme priemet tohto riešenia, stále pri x0 → −∞, do stavu ψf(x), ktorý bude zas riešením DR s energiou −Ei, hybnosťou −pi a spinom −si.

Vlnové funkcie týchto elektrónov píšeme v tvare

xpsVE

mx ⋅=− fi

fff

)(i e),()( pvψ , x0 → +∞

xpsVE

mx ⋅=− ii

iii

)(f e),()( pvψ , x0 → −∞

Maticový element Sfi pre tento prechod bude

Sfi = ∫−∞→

−+−

0

)()]([d )(in

)(f

3

x

xxx ψψ (4)

pričom indexom (−) pri vlnových funkciách sme zdôraznili to, že uvažujeme riešenia so zápornou ener-giou. Teraz by sme postupovali celkom rovnako ako v odseku 2, pričom pre šírenie riešení v čase do-zadu by sme používali rovnicu (2.9b). V prvom ráde poruchového rozvoja by sme takto dostali pre rozptyl na náboji (−Ze) v začiatku

Sfi = ie xppx

EEV

mZ ⋅−∫

π

− )i(4

fi2

2ife

||

d

4 xv(pi, si)γ

0v(pf, sf)

Všetko je tu celkom rovnaké ako pri rozptyle elektrónu, zmenil sa iba výraz u(pf, sf)γ0u(pi, si) na

v(pi, si)γ0v(pf, sf). Pri počítaní účinného prierezu musíme teda zrátať

∑∑=i f

2

1|| 2

f0

is s

vv γ |v(pi, si)γ0v(pf, sf)|

2

ak uvažujeme nepolarizovaný dopadajúci zväzok a detektor necitlivý na polarizáciu pozitrónu. Výpo-čet je tiež celkom rovnaký ako v prípade rozptylu elektrónu na potenciáli, iba všade namiesto

αβ

βα

+=∑ m

msusu

2

p),(),(

polariz

pp

budeme mať

αβ

βα

−=∑ m

mss

2

p),(),(

polariz

pp vv

Takto dostaneme

2

2f

0i

8

1|

m=vv| γ Sp (p/ i − m)γ 0(p/ f − m)γ 0 (5)

Od prípadu rozptylu elektrónu na vonkajšom poli sa toto odlišuje len znamienkom pri m. Vzhľadom na to, že Sp nepárneho počtu γ-matíc sa rovná nule, sa táto zmena na výsledku neprejaví a pre diferenciálny účinný prierez pozitrónu na Coulombovom potenciáli dostávame presne rovnaký výsledok ako pri roz-ptyle elektrónu.

(3)

/

/

44

4 Priblíženie druhého rádu pre rozptyl elektrónu na Coulombovom potenciáli

V druhom ráde pre rozptyl elektrónu na vonkajšom potenciáli máme podľa (2.5) a (2.7)

ψ(z) = ψin(z) + ∫d4xSF(z, x)eA/(x)ψin(x) + ∫∫d4yd4xSF(z, x)eA/(x)SF(x, y)eA/(y)ψin(y)

Prvé dva členy obsahujú nultý a prvý rád, korekciu druhého rádu máme v treťom člene. Teraz si všim-neme podrobnejšie len korekciu druhého rádu. Propagátor SF(z, x) rozložíme podľa (2.8) a pretože uvažujeme len riešenie a kladnou energiou budeme mať

ψ(2)(z) = −ie2

r =∑ 1, 2∫d3

pψ(p

+, r)(z)∫d4xψ

(p

+, r)(x)A/(x)SF(x, y)A/(y)ψin(y)

Pri výpočte S-maticového elementu násobíme ψ(2)(z) v limite z0 → ∞ vlnovou funkciou ψ f(2)(z),

využijeme ortogonálnosť a pri normovaní na konečný objem položíme

ypsuVE

my ⋅−= ii

iii

in e),()( pψ (3a)

xpsuVE

mx ⋅= fi

fff

f e),()( pψ (3b)

dostaneme

S (f2i) = −ie2∫∫d4xd4y )(

f+ψ (x)A/(x)SF(x, y)ψ

(i+n

)(y)

Ešte sem dosadíme A0(x) = −Ze/(4π |x |) a po jednoduchej úprave prídeme k

),(e||

1),(

||

1dd),(

1

)4(

iii

)(i0F

044ff2

24)2(

ifif suyxSyxsu

V

ZeS ypxp

pyx

p

π−= ∫∫ ⋅⋅ −γγ

Najprv vyčíslime výraz v hranatej zátvorke; dosadíme tam

SF(x, y) ∫ −− ⋅

+−

+

π= )(i

224

4

ei

q

)2(

d yxq

q

q

εm

m

potom vypočítame integrály cez dx0dy0, ktoré dajú 2πδ(Ei − q0)2πδ(Ef − q0) a potom integrujeme cez d3

xd3y, pričom využijeme

2

f

)(3

)(

4

||

df

pqx

x xpq

−

π=∫ ⋅−ie

a analogický vzťah pri integrovaní cez d3y.

Výsledok zapíšeme v tvare

∫−= ),(i fff

)2(if su

VE

mS p V(pf, q) 4

4

22 )2(

d

i

q

π+−

+ q

mq

m

εV(q, pi) ),( ii

i

suVE

mp (5)

1442443 123 1442443 123 14243

pričom

V(pf, q) ≡ ∫eipf·xeA/ (x)e−iq·xd4x (6)

/

/

45

Výraz (5) je presne znázornený Feynmanovým diagramom na obr. 5. Priradenie je takéto

faktor ),( fff

suVE

mp za vstupujúci elektrón

faktor V(pf, q) za interakciu s vonkajším poľom

faktor 4

4

22 )2(

d

i

q

π+−

+ q

mq

m

ε za propagátor elektrónu medzi dvomi interakciami

faktor V(q, pi) za druhú interakciu s vonkajším polom

faktor ),( iii

suVE

mp za elektrón v konečnom stave.

Obr. 5 Feynmanov diagram v priestore hybností pre korekciu druhého rádu pri rozptyle elektrónu na vonkajšom EM poli

Navyše máme pravú strana násobenú faktorom (−i), ktorý vystupuje v definícii Sfi. Táto schéma je celkom univerzálna a pracuje aj vo vyšších rádoch poruchovej teórie.

Vzťah (5) je fakticky iba prepisom vzťahu (4) do reprezentácie hybnosti a diagram na obr. 5 znázor-ňuje aj vzťah (4) aj vzťah (5). Podstatná na výrazoch (4) a (5) je ich relativistická kovariantnosť. Preja-vuje sa ňou, okrem iného to, že v (4) integrujeme aj cez situácie, kde y0 > x0. Vtedy sa elektrón šíri až do bodu y0 voľne, potom sa šíri z y0 v čase „dozadu“ do bodu x0, a odtiaľ sa zas šíri ako elektrón voľne ďalej.

Keby sme túto situáciu chceli opísať len pomocou šírenia sa v čase „dopredu“ povedali by sme toto: počas šírenia sa elektrónu do bodu (x0, x) vznikol v bode y0, y pod vplyvom vonkajšieho poľa virtuálny pár elektrón-pozitrón, pozitrón prišiel do bodu x0, x kde anihiloval s dopadajúcim elektrónom a rozptylové centrum absorbovalo uvoľnenú energiu a hybnosť. Elektrón, ktorý vznikol v (y0, y) sa potom prejavuje ako elektrón pozorovaný v koncovom stave.

5 Priblíženie druhého rádu pre rozptyl pozitrónu na vonkajšom potenciáli

Tu si ukážeme, že rozptyl pozitrónu v druhom ráde opisujeme zas tou istou schémou ako vyššie, jediný rozdiel je v tom, že šíreniu pozitrónu v čase dopredu odpovedá šírenie riešenia DR so zápornou energiou v čase dozadu. To vedie aj k „prehodeniu“ začiatočného a koncového stavu vo výrazoch pre Sfi.

Podľa celkom všeobecného vzťahu máme zas pre korekciu druhého rádu k vlnovej funkcii

ψ(2)(z) = ∫d4xd4ySF(z, x)eA/(x)SF(x, y)eA/(y)ψin(y) (1)

Stavom ψ in(y) je teraz

yp ⋅= fiff

fin e),()( s

VE

my pvψ

/

46

čo odpovedá riešeniu DR s (−Ef, −pf, −sf). Propagátor SF(z, x) zas rozložíme podľa (2.8) pričom sa uplatnia len riešenia so zápornými energiami a výsledok sprojektujeme na stav ψout, ktorý bude rieše-ním DR s (−Ei, −pi, −si). Pre S-maticový element takto máme

S (f2i) = +i∫d4xd4y ψ out(x)eA/(x)SF(x, y)eA/(y)ψin(y) (3)

pričom ψ in(y) je dané v (1) a

VE

msx

i

iiiout e),()( xpip

⋅= vψ (4)

Po dosadení (4) do (3) máme hneď

∫= ),(i iii

)2(if s

VE

mS pv ∫d4xe−i(q−(−pi))·xeA/(x) 4

4

22 )2(

d

i

q

π+−

+ q

mq

m

ε∫d4ye−iy·(q−(−pf))eA/(y) ),( ff

f

sVE

mpv (5)

1442443 1442443 1442443 1442443 14243

Tento výraz má rovnakú štruktúru ako pri rozptyle elektrónu na potenciáli, ale rozdiel je v prehodení časového priebehu. Situácia je ukázaná na obr. 6. Ak čas beží smerom hore tak do interakcie „vstupuje“ v smere naznačenom šípkami „najprv“ riešenie s (−Ef, −pf, −sf), ktoré sa rozptyľuje na vonkajšom po-tenciáli v bode (y0, y). Fourierova transformácia odpovedá prenesenej hybnosti q − (−pf). Úsek označený

opisuje elektrón-pozitrónový propagátor, vrchol

je zas interakciou s vonkajším poľom a napokon

odpovedá „koncovému“ stavu.

Rozdiel v znamienku medzi (5) a (4.5) pochádza z relatívneho znamienka dvoch členov v (2.8).

Obr. 6 Feynmanov diagram pre rozptyl pozitrónu na vonkajšom EM poli (druhý rád)

6 Feynmanove diagramy pre rozptyl elektrónu a pozitrónu na vonkajšom EM poli

Hoci sme doteraz podrobnejšie študovali len prvý a druhý rád týchto procesov je všeobecná štruktúra príspevkov rôznych rádov do Sfi zrejmá a v tomto odseku ju stručne zhrnieme. Ak sa na vonkajšom EM poli opísanom 4-potenciálom Aµ(x) rozptyľuje elektrón, postupujeme pri výpočte príspevku do S

(fni) takto:

/

47

– nakreslíme lomenú čiaru postupujúcu zdola nahor, napríklad tak, ako je to pri príspevku 3. rádu na obr. 7. Táto lomená čiara má práve toľko vrcholov ako je rád korekcie. Hybnosť vstupujúceho elek-trónu a jeho spinový stav označíme pi, si a postupne označíme ako qn aj hybnosti na rovných častiach čiary. Hybnosť a spin elektrónu v konečnom stave označíme pf, sf. Ako postupujeme na čiare odspodu nahor píšeme príspevok do Sfi sprava doľava.

Obr. 7 Feynmanov diagram pre rozptyl elektrónu na vonkajšom EM poli (tretí rád)

– za vstupujúci elektrón napíšeme VE

m

i

u(p1, s1), pričom uu = 1

– za každý vrchol (vertex) napíšeme ∫d4xeA/(x)exp [−ix ·(pa − pb)], kde pa je 4-hybnosť častice vstupu-

júcej a pb vystupujúcej z tohto vrchola

– za každý elektrónový propagátor píšeme 4

4

22 )2(

d

i

q

π+−

+ q

mq

m

ε a napokon budeme cez dq integrovať

– za vychádzajúci elektrón píšeme VE

m

f

u (p2, s2)

– celý výraz násobíme faktorom (−i) a máme príspevok do Sfi. Pri výpočte diferenciálneho účinného prierezu postupujeme ďalej takto: Príspevky rôznych rádov

pre dané pi pf sčítame a zapíšeme v tvare

Sfi = 2πδ(Ef − Ei)Ffi 2if

2

VEE

m (1)

kde Ffi = F (

f1i) + F (

f2i) + … + F (

fni)

Postupom, ktorým sme už v prvom ráde počítali dσ/dΩ potom prídeme k výsledku

2if2

2

||4d

dF

m

π=

Ω

σ (2)

Pri rozptyle pozitrónu na vonkajšom EM poli postupujeme podobne, obmeny sú dané len tým, že pozitrónu odpovedá riešenie DR šíriace sa v čase „dozadu“.

Najprv nakreslíme zas lomenú čiaru, ktorá ide odhora dolu (pozri obr. 8), pričom hornej čiare prira-díme −pf, −sf, ďalším postupne q1, q2,… a vychádzajúcej čiare −pi, −si. Pre príspevok tohto diagramu k Sfi postupujeme zhora dolu a jednotlivé faktory píšeme sprava doľava takto:

/

48

Obr. 8 Feynmanov diagram pre rozptyl pozitrónu na vonkajšom EM poli (tretí rád)

– za čiaru vchádzajúcu do diagramu v(pf, sf)VE

m

f

– za vrcholy rovnaký faktor ako vyššie, pričom dodržujeme konvenciu o vchádzajúcich a vychádza-júcich hybnostiach

– za propagátory píšeme rovnaký faktor ako vyššie

– za vychádzajúcu pozitrónovú čiaru v(pi, si)VE

m

i

– celý výraz násobíme faktorom +i. – diferenciálny účinný prierez počítame zas podľa (1) a (2).

Úlohy a cvičenia

– Presvedčte sa o správnosti týchto pravidiel na príklade diagramu tretieho rádu; – nájdite Ffi pre rozptyl elektrónu a pozitrónu na Coulombovom potenciáli so zahrnutím príspevkov

prvého a druhého rádu: Ffi = F (f1i) + F (

f2i). Všimnite si, že relatívne znamienko F (1) a F (2) je v oboch

prípadoch rôzne; – všimnite si podrobne amplitúdu rozptylu v druhom ráde, špeciálne menovateľ (q2 − m2 + iε) v spo-

jení s δ-funkciou δ(q0 − Ei). Rozložte

0

220

220

2220

22 2

111

)(

11

qmqmqmqmq

++−

+−=

+−=

− qqq

a skúste jednotlivé členy porovnať s tým, čo by ste dostali pre nerelativistickú amplitúdu rozptylu v druhom ráde nestacionárnej poruchovej metódy. Presvedčte sa o tom, že Feynmanov propagátor je „tak múdry“, že zahrnuje dva procesy opísané v závere ods. 4;

– prečítajte si v odporúčanej literatúre (Bjorken-Drell alebo Beresteckij a a spol.) metódy výpočtu di-ferenciálneho účinného prierezu pre rozptyl polarizovaného elektrónu na Coulombovom potenciáli v situácii, keď detektor meria aj polarizáciu rozptýleného elektrónu. Všimnite si menovite polarizačný

operátor xξ 2

1= [1 + γ5ξ], ktorý je projektorom na spin v smere n v pokojovej sústave elektrónu,

v ktorej ξ má zložky (0, n).

49

IV Interakcie elektrónov, pozitrónov a fotónov

1 Úvod

Doteraz sme sa zaujímali o rozptyl elektrónu na vonkajšom EM poli opísanom potenciálmi Aµ(x). Podrobne sme síce študovali iba prípad, keď vonkajšie pole bolo čisto coulombovské, ale formalizmus, ktorý sme používali, platí pre ľubovoľné vonkajšie pole opísané potenciálom Aµ(x).

V prvom ráde poruchovej teórie sme pre maticový element rozptylu elektrónu dostali (III.3.11a)

Sfi = δfi − ie∫d4xψ f(y)γ µAµ(y)ψi(y) (1)

kde ψi(y) je vlnová funkcie elektrónu v začiatočnom a ψf(y) v konečnom stave. Výraz pod integrálom v (1) môžeme písať aj nasledovne

eψ f(y)γ µψi(y)Aµ(y) ≡ jµ

fi(y)Aµ(y) (2)

Toto má štandardný tvar elektromagnetickej interakcie jµAµ(y), len prúd je tu daný ako výraz, v ktorom vystupuje ukázaným spôsobom vlnová funkcia elektrónu v začiatočnom i v koncovom stave.

V ďalšom sa budeme podrobnejšie zaujímať o rozptyl elektrónu na mióne. Mión je častica veľmi podobná elektrónu len je asi 207-krát ťažšia. Mión má spin 1/2 ako elektrón a má rovnaký náboj ako elektrón (záporný). K tomuto µ− existuje antičastica µ+, ktorá má k µ− rovnaký vzťah ako pozitrón e+ k elektrónu e−. Rozptyl miónu na elektróne je trocha jednoduchší problém ako rozptyl elektrónu na elek-tróne, kde už treba brať do úvahy efekty pochádzajúce od identickosti častíc. Preto začíname s rozptylom elektrónu na mióne.

Obr. 9 Porovnanie Feynmanovho diagramu pre rozptyl elektrónu na vonkašom EM poli (a), a pre rozptyl elektrónu na poli budenom miónom (b).

Na obr. 9a a 9b máme porovnaný rozptyl elektrónu na vonkajšom poli a rozptyl elektrónu na mióne. Na prvom z nich sa elektrón rozptyľuje tak, že interaguje s poľom budeným statickým zdrojom, pričom statický zdroj vôbec nie je ovplyvnený tým, že sa na ňom elektrón rozptyľuje. Na druhom obrázku máme situáciu trocha inú. Elektrón sa rozptyľuje na poli budenom miónom, ale stav miónu bude týmto rozptylom elektrónu ovplyvnený. Fakticky je situácia symetrická: môžeme povedať, že elektrón sa roz-ptyľuje na poli budenom miónom alebo, že sa mión rozptyľuje na poli budenom elektrónom.

Na to, aby sme vedeli napísať amplitúdu prechodu, znázornenú na obr. 9b potrebujeme vedieť ako vyzerá potenciál Aµ(y) poľa budeného miónom. Tento potenciál potom dosadíme do (1) a ak budeme postupovať správne, musí získaný výraz rešpektovať to, že elektrón a mión hrajú pri rozptyle veľmi analogické úlohy. Najprv si pripomenieme vzťah pre EM pole budené vonkajším prúdom. Príslušná rovnica podľa kap. III. je

Aν(y) = Jν(y) (3)

50

pričom sme použili Lorentzovu kalibráciu. Riešenie tejto rovnice ľahko nájdeme, ak si pripomenieme, že Feynmanov propagátor EM poľa DF(y − x) spĺňa rovnicu

yDF(y − x) = δ4(y − x) (4)

kde

yDF(y − x) ∫ −⋅−

π= )(e

)2(

d 2F

)(i4

4

qq xyq D ,

εi

1)(

22

F+

−=q

qD (5)

Riešením (3) potom je

Aν(y) = ∫DF(y − x)Jν(x)d4x (6)

Pole Aν(x) pritom spĺňa Feynmanovu okrajovú podmienku: kladné energie sa šíria v čase dopredu, záporné energie v čase dozadu. Dôležitosť tejto podmienky uvidíme o chvíľu.

V rovnici (6) Jν(y) je vonkajší prúd určený pohybujúcimi sa nábojmi, ktoré sú tak ťažké, že vyžia-renie poľa ich pohyb neovplyvní. To, čo potrebujeme, je ale niečo iné. Chceme vedieť (pozri obr. 9b) aké pole bude budiť mión, ktorý je pred interakciou v stave opísanom Diracovým spinorom Φi(y) a po rozptyle Diracovým spinorom Φf(y).

Tvar prúdu môžeme ľahko uhádnuť. Ak sa pohybový stav miónu nemení, jeho prúd je eΦ (y)γν Φ(y), ako to vyplýva z Diracovej rovnice. Ak sa pohybový stav miónu mení, musíme za prúd napísať eΦ f(y)γν Φi(y) lebo len takto budú hrať elektrón a mión pri rozptyle symetrické úlohy. Skutočne, do-saďme takýto tvar prúdu do (6) a príslušné Aν(y) dosaďme do (1). Dostaneme tak (člen δfi vynecháme, lebo sa zaujímame len o interakcie, v ktorých sa stavy častíc menia)

Sfi = −ie2∫d4xd4y ψ f(y)γ νψ i(y)DF(y − x) Φ f(y)γνΦi(x) (7)

Takto získaný maticový element môžeme pre väčšiu prehľadnosť zapísať aj ako

Sfi = −ie2∫d4xd4y jνf i

(e)(y)DF(y − x) j(νµ,)fi(x) (8)

kde jνf i

(e)(y) je prúd spojený s prechodom elektrónu z začiatočného do konečného stavu a j (νµ,)fi(x) je to

isté Pre mión. Elektrón aj mión tu zrejme vystupujú úplne symetricky. Táto symetria je zahrnutá aj vo vlastnostiach Feynmanovho propagátora DF(y − x). Rovnica (8)

zahrnuje príspevky aj od y0 > x0 aj od y0 < x0. Prvý z nich interpretujeme jednoducho. Pri y0 > x0 opisuje DF(y − x) šírenie kladnej energie z (x, x0) do (y, y0). Pri y0 < x0 opisuje DF(y − x) prenos zápornej ener-gie z (x, x0) do (y, y0) teda v čase „dozadu“. Takýto prenos je ale plne ekvivalentný prenosu kladnej energie z (y0 , y) do (x0 , x) teda v čase „dopredu“. Na formulku (8) sa takto môžeme pozerať tromi spô-sobmi

a) hovoríme, že elektrón sa rozptyľuje na poli budenom miónom, pričom mión budí pole tak, že kladné energie idú dopredu v čase a záporné dozadu (pole budené elektrónom nevstúpi do hry);

b) rovnica (5) ukazuje, že DF(x − y) = DF(y − x) a ak toto využijeme, môžeme (8) opísať ako rozptyl miónu na poli budenom elektrónom, pričom zas pole s kladnou energiou ide v čase dopredu a pole so zápornou ide v čase dozadu;

c) môžeme urobiť aj to, že integrál v (8) rozdelíme na dve časti: v prvej bude x0 > y0, v druhej y0 > x0. Integrál v prvej časti budeme interpretovať ako rozptyl miónu na poli budenom elektrónom, pričom pole sa šírilo len v čase dopredu a malo len kladné energie. V druhej časti budeme mať rozptyl elek-trónu na poli budenom miónom, pričom pole má zas len kladné energie a ide len v čase dopredu.

Interpretácia c) je úplne symetrická voči elektrónu a miónu a navyše je fyzikálne úplne prijateľná.

2 Rozptyl elektrónu na mióne

Zaveďme teraz označenie hybnosti elektrónu a miónu tak ako je naznačené na obr. 10 a v argumen-toch spinorov vypíšeme 4-vektory

51

k – 4-hybnosť vstupujúceho elektrónu k' – 4-hybnosť vychádzajúceho elektrónu p – 4-hybnosť miónu pred rozptylom p' – 4-hybnosť miónu po rozptyle

Obr. 10 Rozptyl elektrónu na mióne v druhom ráde poruchového rozvoja

a dosaďme do vzťahu (1.7) rovinné vlny

ψf(y)VE

m

′= u(k', λ')e−ik' · y

ψi(y)EV

m= u(k, λ)e−ik · y

Φf(x)V

M

ε ′= u(p', s')e−ip' · x

Φi(x)V

M

ε= u(p, s)e−ip · x

kde sme zaviedli ešte ďalšie označenie m − hmotnosť elektrónu M − hmotnosť miónu λ', λ − spin elektrónu na konci a na začiatku s', s − spin miónu na konci a na začiatku E', E − energia elektrónu na konci a na začiatku ε ', ε − energia miónu na konci a na začiatku

Po dosadení do (1.7) dostaneme

Sfiεε ′′

−=

EE

Mm

V

ie 22

2

2

u(k', λ')γ µu(k, λ)u(p', s')γµu(p, s)∫d4y∫d4x eik' · ye−ik· yDF(y − x) eip' · xe−ip · x (1)

Výrazy s integrálmi spočítame tak, že za DF(y − x) dosadíme priamo z (1.5). Vo výraze, ktorý tak získame upravíme exponenty

ei(k' − k) · yei(p' − p) · x = ei(k' − k) · (y − x)ei(p' − p + k' − k) · x

a zavedieme nové integračné premenné u = y − x, x. Z integrovania cez x dostaneme (2π)4δ4(p' + k' − p − k) a integrovanie cez u = y − x vedie k DF(k' − k) .

Takto dostaneme

Sfiεε ′′

+=EE

Mm

V

ie 22

2

2

u(k', λ')γ µu(k, λ)u(p', s')γµu(p, s)εi+−′ 2)(

1

kk(2π)4δ4(p' + k' − p − k) (2)

52

Označme ako Mfi výraz obsahujúci spinory, γ-matice, interakčnú konštantu a propagátor fotónu

Mfi = u(k', λ')γ µu(k, λ)2

2

q

eu(p', s')γµu(p, s) (3)

Hybnosť prenesenú medzi elektrónom a miónom sme označili ako q, pričom q ≡ k' − k. Pri vyčísľovaní účinného prierezu budeme potrebovať kvadrát δ4-funkcie. Tento píšeme, podľa už známeho triku, ako

[(2π)4δ4(p' + k' − p − k)]2 = (2π)4δ4(p' + k' − p − k)VT

kde V, T je normalizačný objem a časový úsek, v ktorom prebieha interakcia. Pre pravdepodobnosť prechodu za jednotku času a v jednotke objemu preto máme

wfi ==VT

S 2if ||

(2π)4δ4(p' + k' − p − k)εε ′

2

4

1 m

V|Mfi |

2 (4)

Účinný prierez σ je daný pravdepodobnosťou interakcie pri jedinej zrážke a preto je viazaný s wfi, vzťahom

wfi = ρeρµ|ve − vµ|σ

kde ρe, ρµ je priestorová hustota elektrónov a miónov, |ve − vµ| je relatívna rýchlosť. Naše spinory u sú normované podmienkou uu = 1, čo je to isté ako u+u = E/m a z tvaru vlnových funkcií na začiatku tohto článku vidíme, že ρe = ρµ = 1/V.

Účinný prierez preto bude

=−

=Σ

|| µeµe

iff

vvρρσ

wΣf(2π)4δ4(p' + k' − p − k)

||

1

µe

2

2

2

vv −′′ EE

M

V

m

εε|Mfi |

2

kde na pravej strane sčitujeme cez všetky konečné stavy. Tento súčet nahrádzame ale integrálom cez hybnosti častíc v koncovom stave, pričom hustota stavov bude ρ∼∼∼∼

e = ρ∼∼∼∼µ = V/(2π)3.

Pre účinný prierez takto máme

||

)2(

)2(

d

)2(

d

µe

4

3

3

3

3

vv −

π

π

′

π

′= ∫∫ E

kp

εσ δ4(p' + k' − p − k)

εE

Mm 22

|Mfi |2 (5)

Teraz upravíme faktor εE |ve − vµ|. Využijeme najprv to, že ve = k/E, vµ = p/ε . Odtiaľ

εE |ve − vµ| = εEε

pk−

E

V sústave hmotného stredu k = −p ≡ k*. Označme k* ≡ |k*| a máme

εE |ve − vµ| = k*W

kde W = E*+ ε* je celková energia zrážky v sústave hmotného stredu. Toto dosadíme do (5) a máme

∫ ′

′

′

′

π=

E

kp

Wk

Mm 33

2

22 dd

*4 εσ δ4(p + k − p' − k')|Mfi |

2 (6)

Celý výraz budeme skúmať v sústave hmotného stredu (ďalej len stručne s.h.s). Výraz (6) je totiž invariantný voči Lorentzovým transformáciám pozdĺž osi zrážky (tzv. „boostom“) a keď ho vyčíslime v tejto sústave, ľahko ho prepíšeme do iných sústav. Tvrdenie nebudeme dokazovať, pripomenieme len to, že d3

p/2E je invariant, lebo d3p je fakticky nultý komponent 4-vektora úmerný ε0αβγdpα

(1)dpβ(2)dpγ

(3) takže*) podiel d3

p/E je podielom nultých komponentov a ako uvidíme v ďalšom |Mfi |2 sa dá vyjadriť

cez Lorentzove skaláry. Výraz εE |ve − vµ| je tiež invariantný voči pozdĺžnym boostom.

*) kde dp(1) ≡ (0; dp1

(1), 0, 0), dp(2) ≡ (0; 0, dp2(2), 0), …

53

Vzhľadom na to, že p + k = 0 (v s.h.s.) a ε + E = W môžeme δ-funkciu prepísať ako

δ4(p + k − p' − k') = δ3(p' + k ')δ(ε ' + E' − W)

Cez δ3p' preintegrujeme potom v (6) ľahko, stačí všade položiť p' = − k ' . Vzťah (6) potom nadobudne

tvar

∫ ′′

′

π=

E

k

Wk

Mm

εσ

3

2

22 d

*4δ(ε ' + E' − W)|Mfi |

2 (7)

Sem teraz treba dosadiť ε ' = 22k ′+M , E' = 22

k ′+m a zapísať d3k' = k'2dk'Ω k' . Pri integrovaní

využijeme vlastnosť δ-funkcie

δ( f(x))|)(|

1

xf ′= δ(x − x0)

kde x0 je koreňom f(x), teda f(x0) = 0. Podľa tohto vzťahu

δ(ε ' + E' − W)

kk ′

′+

′

′=

d

d

d

d1

εEδ(k' − k*)

ε ′

′+

′

′=

kk

E

1δ(k' − k*)

W

E

*k

ε ′′= δ(k' − k*)

Po dosadení do (7) nájdeme

22

22

)(4 W

Mm

π=σ ∫ |Mfi |

2d Ω k (8)

Veličina (W)2, ktorá je kvadrátom energie v s.h.s. sa spravidla označuje ako s a dá sa zapísať explicitne relativistický invariantným spôsobom ako kvadrát celkovej štvorhybnosti

s = (p + k)2 − (W)2

Diferenciálny účinný prierez dσ/dΩk dostaneme z porovnania identity

k

k

ΩΩ

= ∫ dd

dσσ

so vzťahom (8)

sk

2

22

4d

d

π=

Ω

Mmσ|Mfi |

2 (9)

Týmto sme vybavili všetky kinematická faktory. Celá dynamika zrážky je vo výraze Mfi a ten teraz spočítame.

Najprv si všimnime ako vyzerá komplexné združenie výrazu u2Au1, kde u1, u2 sú Diracove spinory a A je matica 4×4. Pretože u2 = u2

+γ 0 máme (porovnaj s podobnou úpravou v čl. 2. kap. III.)

(u2Au1)* = (u2+γ 0

Au1)* = u1+A

+γ 0u2 = u1+γ 0γ 0

A+γ 0u2 ≡ u1γ

0A

+γ 0u2

Výsledný výraz môžeme zapísať ako u1A∼∼∼∼u2 pričom matica A

∼∼∼∼ je definovaná vzťahom A

∼∼∼∼ = γ 0

Aγ 0.

V prípade, že A je jednou z matíc γ µ platí (γ µ)+ = γ 0γ µγ 0 a preto γ∼∼∼∼ µ = γ µ.

Pre Mfi platí podľa (3)

|Mfi |2 = MfiM*fi = 4

4

q

e u (k' , λ')γ µu(k, λ)u (p' , s')γ µu(p, s) ·u (k, λ)γ νu(k' , λ')u (p, s)γν u(p' , s') (10)

kde sme v M*fi označili sumačný index ako ν namiesto µ ktoré stálo v Mfi, aby nedošlo k nedorozume-niam. Pravú stranu teraz zgrupujeme do dvoch veľmi podobných faktorov. Prvý bude

54

uα(k' , λ')(γ µ)αβ uβ(k, λ)u δ(k, λ)(γ ν)δρ uρ(k' , λ') (11)

kde sme už explicitne rozpísali spinorové a maticové indexy. Druhý výraz je celkom analogický, a ne-budeme ho vypisovať*).

V najjednoduchšej situácii máme nepolarizované zväzky dopadajúcich častíc a detektor, ktorý ne-rozlišuje polarizácie. Potom vo výraze pre diferenciálny účinný prierez ustredňujeme cez spiny častíc v začiatočnom stave a sumujeme cez spiny častíc v konečnom stave. Do dσ/dΩ potom namiesto |Mfi |

2 vstupuje výraz

∑′′ ssλλ

2if2

1

2

1||M

Výraz v (11) sa po sumovaní cez spinové stavy častíc veľmi zjednoduší. Ak totiž sumujeme cez λ, λ' a využijeme

∑λ

uβ(k, λ)u δ(k, λ)βδ

+=

m

mk

2, ∑

λ'uρ(k' , λ')u α(k' , λ')

ρα

+′=

m

mk

2

dostaneme z výrazu (11)

∑λ, λ'

u (k' , λ')γ µu(k, λ)u (k, λ)γ νu(k' , λ')= Sp ≡

+

+′ νµ γγm

mk

m

mk

22Lµν(k' , k, m)

Pre kvadrát |Mfi |2 odpovedajúci nepolarizovanej situácii takto máme

22

22

if2

if)(4

1

q

e||M||M =≡ ∑

′′ ssλλ

Lµν(k' , k, m)Lµν(p' , p, M) (12)

kde

Lµν(k' , k, m) = Sp

+

+′ νµ γγm

mk

m

mk

22 (13)

Na vyčíslenie tohto výrazu stačí odvodiť z pravidiel pre spury γ-matíc

4

1Sp (γγγγ µγγγγ ν) = gµ ν ,

4

1Sp (k/ 'γγγγ µ

k/γγγγ ν) = k'µkν + k'νk

µ − gµ ν(k' ·k)

Po jednoduchých úpravách dostaneme

Lµν(k' , k, m)2

1

m= [k'µk

ν + k'νkµ − gµ ν (k' ·k − m2)]

a pre ustrednený Mfi máme

2222

42

if)(2 qMm

e||M = [(k' ·p')(k ·p) + (p' ·k)(p ·k') − M2(k' ·k) − m2(p' ·p) + 2M2m2] (14)

Výraz je užitočné upraviť pomocou invariantných veličín (štvorcov 4−vektorov)

s = (k + p)2 = 2k ·p + m2 + M2 = (k' + p')2 = 2k' ·p' + m2 + M2

t = (p − p')2 = 2M2 − 2p ·p' = (k − k')2 = 2M2 − 2k ·k' (15)

u = (p − k')2 = m2 + M2 − 2p ·k' = (p' − k)2 = m2 + M2 − 2p' ·k

Tieto tri invariantné veličiny nie sú nezávislé, ale ako sa môžeme ľahko explicitne presvedčiť, spĺňajú vzťah

s + t + u = 2m2 + 2M2 (16)

*) Poznamenajme, že výrazy (u γ µ u) sú čísla a poradie takýchto výrazov možno meniť.

/ /

/ /

/ /

55

Veličiny s, t, u sa niekedy nazývajú aj Mandelstamovými premennými. V sústave hmotného stredu platí

t = −2|q |2 (1 − cos ϑ)

u = −2|q |2 (1 + cos ϑ) (17)

|q |2 =s4

1[(s − m2 − M2)2 − 4m2M2]

Po úpravách dostaneme

2

2

2

22

if)4(4

1

mMq

e||M

= 8[2(s − m2 − M2)2 + 2ts + t2] (18)

a pre diferenciálny účinný prierez máme'

2

22)8(

1

d

d

4π

π=

Ω q

ασ

s2[2(s − m2 − M2)2 + 2ts + t2] (19)

kde sme už položili e2 = 4πα, W2 = s. Pomocou vzťahov (17) už ľahko vyjadríme všetky veličiny po-mocou s, cos ϑ a dostaneme explicitný tvar uhlového rozloženia častíc.

3 Rozptyl pozitrónu na mióne

Doteraz sme sa zaoberali rozptylom

e−(k, λ) + µ−(p, s) → e−(k', λ') + µ−(p', s') (1)

kde sme v zátvorke uviedli za symbolom častice aj jej hybnosť a spin. V Diracovej teórii aj e− aj µ− odpovedajú časticiam. Príslušné antičastice*) sú e+, µ+. Teraz sa budeme zaujímať o proces

e+(k, λ) + µ−(p, s) → e+(k', λ') + µ−(p', s') (2)

Postupovať budeme v podstate rovnako ako v predošlom prípade. Tam sme vyšli z opisu rozptylu elektrónu na vonkajšom potenciáli a potom sme namiesto tohto vonkajšieho potenciálu vsunuli poten-ciály Aµ budené miónom. Základnou rovnicou bol vzťah (1.1), ktorý po vynechaní δf i bol

Sf i = −ie∫d4yψ f(y)Aµ(y)ψ i(y) (3)

kde ψ i(y), ψ f(y) boli vlnové funkcie elektrónu v začiatočnom a konečnom stave. Teraz pri opise rozptylu (2) budeme vychádzať z rozptylu pozitrónu na vonkajšom potenciáli, s kto-

rým sme sa zaoberali už v 2 a 3 čl. kap. III. Podľa tam odvodených výsledkov pre rozptyl pozitrónu na vonkajšom poli používame zas rovnicu (3), len

a) zmeníme znamienko, čo pochádza z rôznych znamienok dvoch členov na pravej strane rovnice (III.2.8);

b) namiesto ψ i(y) píšeme vlnovú funkciu elektrónu so zápornou energiou (−k'0), hybnosťou (−k') a spinovým stavom (−λ'). Vzhľadom na to, že pozitrón vo Feynmanovom pohľade na problém odpovedá elektrónu so zápornou energiou šíriacemu sa v čase dozadu, bude ψ i(y), ktoré formálne v (3) odpovedá začiatočnému stavu, určené charakteristikami pozitrónu v skutočnom (fyzikálnom) konečnom stave;

c) namiesto ψ f(y) dosadíme do (3) vlnovú funkciu, ktorá odpovedá riešeniu Diraoovej rovnice so zápornou energiou (−k0), hybnosťou (−k) a priemetom spinu (−λ). Koncový stav ψ f(y) je takto zas určený charakteristikami pozitrónu v reálnom (fyzikálnom) začiatočnom stave.

*) To, či µ− nazývame časticou a µ+ antičasticou, alebo naopak, je dané len konvenciou.

56

Do vzťahu (3) takto treba dosadiť (porovnaj so vzťahmi na začiatku predchádzajúceho článku)

ψi(y)VE

m

′= v(k', λ')eik' · y'

ψf(y)EV

m= v(k, λ)eik · y

Ďalej vyjadríme potenciál Aµ(y) budený miónom presne tak ako v predchádzajúcom odseku a prí-deme k vyjadreniu S-maticového elementu (porovnaj s (2.1)) v tvare

Sf i εε ′′

+=EE

Mm

V

e 22

2

2iv (k, λ)γ µ

v(k', λ')u (p', s')γµ u(p, s)∫d4y∫d4xe−ik ·yeik' ·yDF(y − x)eip' ·x e−ip ·x (5)

Vidíme, že obidva výrazy za integrálmi sú úplne rovnaké a v prvej časti výrazu nastala zmena

u(k, λ) → v(k', λ') ≡ u(−k', −λ'), u (k', λ') → v (k, λ) ≡ u (−k, −λ) (6)

kde sme pridali ešte vyjadrenia typu v(k', λ') ≡ u(−k', −λ'), ktoré zdôrazňujú, že v(k', λ') odpovedá riešeniu Diracovej rovnice so štvorhybnosťou (−k') a spinovým stavom (−λ').

Nakreslíme si ešte Feynmanov diagram pre rozptyl (2). Fyzikálny (reálny) diagram by vyzeral tak, ako je to na obr. 11a, zatiaľ čo diagram odpovedajúci štruktúre maticového elementu je na obr. 11b. Obrázok 11b „čítame“ (t. j. prekladáme do matematického vyjadrenia príslušného elementu Sf i) takto:

Obr. 1.11 Rozptyl pozitrónu na mióne, znázornený tak, ako to odpovedá samotnému procesu (a) a tak, ako počítame príslušný Feynmanov diagram (b)

Vpravo dolu máme µ− vchádzajúci do reakcie s 4-hybnosťou p a za to budeme písať u(p, s)exp (−ip ·x), vpravo hore máme vychádzajúci µ− s hybnosťou p' a za to zapíšeme u (p', s')exp (ip' ·x). Naľavo máme vchádzajúci elektrón s hybnosťou −k' a za to píšeme v(k', λ')exp (−i(−k' ·y)) = v(k', λ')exp (ik' ·y') a ďalej máme vychádzajúci elektrón s 4-hybnosťou (−k) a za to píšeme faktor v (k, λ)exp (+i(−k ·y)) = = v (k, λ)exp (−ik ·y). Presne tieto faktory máme v (5). Celý výpočet už teraz nemusíme robiť, celkom stačí, keď si všimneme rozdiely. V skutočnosti rozdiel je v jedinej veci, a to v tvare výrazu Mfi , ktorý predtým bol

Mfi = 2

2

q

ev (k', λ')γ µu(k, λ)u(p', s')γµu(p, s) (7)

a teraz bude

Mfi = − 2

2

q

e[v (k, λ)γ µ

v(k', λ')][u(p', s')γµu(p, s)] (8)

ďalší výpočet už nepredstavuje žiadne ťažkosti. V kvadráte |Mfi |2 sa objaví výraz

L'µν(k, k' , m)Lµν(p, p', M)

kde Lµν(p, p', M) je dané výrazom (2.13) so zámenami k → p, k' → p', m → M a L'µν(k, k' , m) je dané

(4)

57

namiesto (13) výrazom

L'µν(k, k' , m) = Sp

−

−′ νµ γγm

mk

m

mk

22 (9)

pričom zmenené znamienko pri m pochádza z toho, že pre riešenia s kladnou energiou platí

∑λ

uα(p, λ)uβ(p, λ)αβ

+=

m

mp

2

zatiaľ čo pre riešenia so zápornou energiou máme

∑λvα(p, λ)vβ(p, λ)

αβ

−=

m

mp

2

Výraz (9) sa ale nezmení pri zámene m → −m, čo vidno ihneď z toho, že členy obsahujúce m lineárne, sú násobené stopou troch γ-matíc a Sp (γ αγ βγ δ) = 0. Explicitne to vidno aj z výsledkov za rovnicou (2.13). Diferenciálny účinný prierez rozptylu (2) je teda v prvom ráde poruchového rozvoja presne identický s diferenciálnym účinným prierezom rozptylu (1). Fyzikálne je to tiež zrejmé, lebo dσ/dΩ pre rozptyl e− a e+ na vonkajšom potenciáli je v prvom ráde tiež rovnaký.

4 Feynmanove diagramy v x-priestore

Teraz sa môžeme pokúsiť zhrnúť pravidlá pre výpočet maticových elementov Sf i a celú procedúru v istom zmysle „zautomatizovať“. Veľmi názornou a fyzikálne dobre motivovanou metódou sú Feyn-manove diagramy. Intuitívny obraz interakcií častíc, z ktorého táto metóda vychádza je zhruba takýto: častice vstupujú do interakcie v stavoch opísaných istými začiatočnými vlnovými funkciami. Potom emitujú žiarenie a jeho šírenie v priestore je opísané Greenovou funkciou (propagátorom) EM poľa. Samotná častica sa po emisii stáva virtuálnou a jej šírenie v priestore je opísané propagátorom Diracovej rovnice. Žiarenie emitované jednou časticou je potom pohltené ďalšou (alebo aj tou istou časticou) a toto mení zas jej pohybový stav.

Táto predstava, či „obraz interakcií častíc“ odpovedá veľmi dobre duchu i skutočnosti poruchovej metódy a pri interakciách nabitých častíc s EM poľom je jej oprávnenosť umožnená tým, že interakčná konštanta

137

1

4

2

≈π

≡0 c

e

hεα

je malá v porovnaní s jednotkou. Pre teórie, v ktorých je interakčná konštanta veľká (napríklad v kvan-tovej chromodynamike pri malých prenesených hybnostiach) už nemožno použiť poruchovú metódu ani „obraz interakcií“ vyjadrený Feynmanovými diagramami.

Feynmanova predstava o interakciách má výhodu aj v tom, že každý príspevok k Sfi sa dá zložiť z elementárnych prvkov (ako skladačka). Týmito prvkami sú: – vlnové funkcie častíc vstupujúcich a vychádzajúcich z reakcie; – „vrcholy“ opisujúce interakciu; – propagátory opisujúce šírenie častíc medzi dvomi vrcholmi, kde dochádza k interakcii, propagátor

opisujúci šírenie elektromagnetického poľa medzi dvomi vrcholmi. Teraz prejdeme predchádzajúcimi výpočtami a uvedieme presnejšie výrazy pre veličiny priradené

jednotlivým časticiam diagramu. – Elektrónu vstupujúcemu do vrcholu v bode x priraďujeme vlnovú funkciu

ψi(x)EV

m= u(k, λ)e−ik · x

/ /

/

/

58

– Elektrónu vychádzajúcemu z vrcholu v bode x priraďujeme

ψ f(x)VE

m

′= u (k', λ')eik' ·x

– Vrcholu za interakciu s EM polom priraďujeme faktor

−ieγ µ

Tieto tri priradenia sme mohli odvodiť už pri štúdiu rozptylu elektrónu na vonkajšom EM poli v článku III.2. Tieto tri „prvky“ diagramov spolu so zadanými potenciálmi vonkajšieho EM poľa kom-binujeme do maticového elementu tak, že priamo zapíšeme

Sf i = ∫d4xψ f(−ieγ µ)Aµ(x)ψ i(x)

a dostaneme ihneď vzťah (III.2.11a).

Tento symbol označuje pozitrón e+(k', λ') vychádzajúci z interakcie. Zapisujeme ho ale naznačeným spôsobom, aby sme vedeli, že mu ideme priradiť vlnovú funkciu elektrónu vchádzajúceho do interakcie so zápornou energiou. Príslušná vlnová funk-cia bude

ψi(x)EV

m= v(k', λ')eik' ·x

kde kladné znamienko v exponente je fakticky exp [−i(−k') ·x], pričom (−k') je 4-hyb-nosť vchádzajúceho elektrónu.

Toto je pozitrón e+(k, λ) vstupujúci do interakcie. Pretože vo Feynmanovom prístupe pozitrón opisujeme ako elektrón so zápornou energiou šíriaci sa v čase „dozadu“ bude vstupujúci pozitrón chápaný ako vystupujúci elektrón so zápornou energiou a bude mu priradená vlnová funkcia

ψ f(x)EV

m= v (k, λ)e−ik ·x

za každú pozitrónovú čiaru prechádzajúcu diagramom píšeme ešte faktor (−1), ktorý pochádza z toho, že na pravých stranách v (III.2.9a) a (III.2.9b) máme rôzne znamienka a to súvisí priamo s rôznymi znamienkami dvoch členov na pravej strane (III.2.8).

Tieto pravidlá nám umožňujú priamo napísať S-maticový element pre rozptyl pozitrónu na vonkaj-šom EM poli. Príslušný S-maticový element je

Sf i = +ie∫d4xEV

mv (k, λ)e−ik ·xγ µAµ(x)

VE

m

′v(k', λ')eik' ·x

čo je presne výraz, ktorý sme používali v 3. čl. kap. III. pri výpočte rozptylu pozitrónu na vonkajšom EM poli.

Zdôraznime tu ale jeden bod, s ktorým sa ešte stretneme o chvíľu. Keď sme v odst. 2 kap. III. počítali Sf i pre rozptyl elektrónu na vonkaj-

šom potenciáli objavil sa vo výsledku faktor (−i) z toho, že na pravej strane (III.2.8) máme v prvom člene znamienko (−i), ktoré sa vynorilo pri priemete druhého člena v (III.2.7) ma vlnovú funkciu elektrónu v konečnom stave s vonkajším EM poľom Pri formulovaní pravidiel pre výpočet Sf i sa už ne-chceme k tejto časti výpočtu vracať a preto sme vrcholu na obr. 12 rovno pripísali nie eγ µ, ale −eγ µ, čím sa nám v prvom ráde poruchovej metódy toto (−i) objaví tam, kde má byť. Pre pozitrón sme si správnu zmenu zna-mienka zaistili špeciálnym pravidlom.

Obr. 12 Vrchol interakcie elektrónu s vonkajším EM poľom

59

Keď ale chceme, aby nám toto priradenie (−i) do vrcholu nekazilo druhý rád poruchového rozvoja, budeme ho musieť skompenzovať v iných diagramoch.

V čl. 4. kap. III sme sa zaoberali s druhým rádom pre rozptyl elektrónu na vonkajšom potenciáli. Tam sme pre korekciu druhého rádu k vlnovej funkcii našli

ψ (2)(x) = ∫d4yd4zSF(x − y)eA/(y)SF(y − z)eA/(z)ψ in(z)

Keď tu robíme priemet na ψ f(x) (vlnovú funkciu elektrónu v konečnom stave) dostaneme

∫+∞→0

3dx

x ψ f(x)ψ (2)(x) = −i∫d4yd4zψ f(y)eA/(y)SF(y − z)eA/(z)ψ in(z)

a tam sa objavil faktor (−i). Tento faktor ale spájame s vrcholom v bode y a zapíšeme predchádzajúci výraz ako

∫d4yd4zψ f(y)(−ieA/(y))SF(y − z)eA/(z)ψ in(z)

V prvom ráde to stačilo, ale teraz to už nestačí, lebo pre vrcholy v bodoch y, z máme rôzne pravidlá. Postupujeme preto tak, že faktor (−i) pripíšeme aj vrcholu v bode z, ale hneď ho kompenzujeme tým, že faktor (i) pripisujeme aj propagátoru. Predchádzajúci výraz preto bude

∫d4yd4zψ f(y)(−ieA/(y))iSF(y − z)(−ieA/(z))ψ in(z)

Ľahko sa presvedčíme o tom, že tento „trik“ dáva správne výsledky aj pri všetkých vyšších rádoch pre rozptyl elektrónu na vonkajšom potenciáli. Odtiaľ pochádza pravidlo

− označuje propagátor a priraďujeme mu výraz

iSF(y − x)

Napokon ešte máme fotónový propagátor, faktor, ktorý má stáť pred ním nie je úplne triviálny, a preto túto otázku prediskutujeme podrobnejšie. Budeme uvažovať rozptyl elektrónu na mióne v druhom ráde, pričom raz budeme mión uvažovať ako zdroj vonkajšieho poľa a raz ako časticu, ktorá musí do diagramov vstupovať celkom rovnoprávne s elektrónom. Z porovnania príslušných vyjadrení dostaneme faktor, ktorý musí stáť pri propagátore EM poľa. Pre rozptyl elektrónu na vonkajšom potenciáli (pozri obr. 13a) máme

Sf i = −ie∫d4xd4zψ f(e)(x)Aµ(x)γ µSF

(e)(x − y)γ νAν(y)ψ f(e)(y) (1)

Obr. 13 Rozptyl elektrónu na vonkajšom poli (a), porovnaný s rozptylom elektrónu na poli budenom miónom (b)

kde index (e) označuje veličiny týkajúce sa elektrónu. Ak je vonkajšie pole budené prúdom jα(x), potom preň máme

Aµ(x) = ∫DF(x − x') jµ(x')d4x', Aν(y) = ∫DF(y − y') jν(y')d4y' (2)

60

Ak je prúd na pravej strane budený miónom, potom pri nekonečne ťažkom mióne by sme mali

jµ(x') )(µ= ψe (x')γµψ ( µ )(x'), jν(y') )(µ= ψe (y')γνψ ( µ )(y') (3)

kde vlnová funkcia miónu ψ ( µ ) sa pri emisii EM poľa vôbec nemení. Ak má ale mión konečnú hmot-nosť, potom pred emisiou žiarenia v bode y' bude v stave ψ i

( µ ) a po nej bude v stave ψ n( µ ). Pre prúd

potom musíme napísať (pozri diskusiu v čl. 1 tejto kapitoly)

jν(y') = eψ n( µ )(y')γνψ i

( µ )(y') (4a)

a podobne pre prúd jµ(x') máme

jµ(x') = eψ f( µ )(x')γµψ n

( µ )(x') (4b)

Správny výraz pre Sf i v (1) by sme potom dostali tak, že (4a), (4b) dosadíme do (2) a toto dosadíme do (1). Výraz nebudeme explicitne vypisovať, stačí si nám všimnúť, že sa v ňom objaví súčin

jµ(x') jν(y') = e2ψ f( µ )(x') γµ[ψ n

( µ )(x') ψ n( µ )(y')]γνψ i

( µ )(y') (5)

Pri symetrickom uvažovaní elektrónu a miónu by sme museli postupovať tak, že Sf i počítame podľa diagramu (13b). V ňom by sa objavil za miónovú čiaru výraz

ψ f( µ )(x')(−ieγµ)[iSF

(µ )(x' − y')](−ieγν)ψ i( µ )(y') (6)

Ako sme už videli v kap. II. a neskôr napréklad v (III.2.8) propagátor miónu sa dá zapísať ako

SF(µ )(x' − y') = −iΘ(x'0 − y'0)

n,∑E > 0

ψ n( µ )(x') ψ n

( µ )(y') + iΘ(y'0 − x'0)n,∑E < 0

ψ n( µ )(x') ψ n

( µ )(y')

kde v prvom člene sčitujeme len cez riešenia s kladnými a v druhom len so zápornými energiami. Ak x'0 > y'0, čo sme v diskusii vedúcej ku (5) predpokladali, vidíme, že vo výrazoch (5) a (6) sú členy v hra-natých zátvorkách rovnaké (zátvorky nemajú iný význam). Rozdiel je ale v tom, že vo výraze (6) je v každom vrchole navyše faktor (−i), ktorý musíme priraďovať aj miónovému vrcholu, ak sme ho už raz zaviedli do elektrónového. Tieto faktory kompenzujeme tým, že faktor (i) pripíšeme ku každému fotónovému propagátoru. Jeden fotónový propagátor vychádza z vrcholu x' a jeho (+i) práve skompen-zuje (−i) vo výraze (−ieγµ) za vrchol v x'. To isté sa stane vo vrchole y', takto prichádzame k pravidlu

− označuje fotónový propagátor a priraďujeme mu

iDF(x − y)gµν

Faktor gµν sme doteraz explicitne nevypisovali. Indexy sú identické s indexmi vo vrcholoch (vo výra-zoch −ieγ µ, −ieγ ν), ktoré propagátor spája. Výsledky, ku ktorým takto prídeme sú identické s tými, ktoré sme dostávali vyššie, keď sme funkciou DF, spájali priamo γ-matice s rovnakými indexmi.

Pri interakciách elektrónov a pozitrónov so žiarením sa často stretávame s procesmi, pri ktorých je voľný fotón v začiatočnom alebo v koncovom stave. Potrebujeme preto ešte poznať 4-potenciál Aµ , ktorý takémuto fotónu priraďujeme. S vlnovou funkciou fotónu sme sa už zaoberali v čl. 11, kap. II. Fotónu s hybnosťou k a s reálnym polarizačným vektorom sme tam priradili potenciály

Aµ(x)kV2

µε= (e−ik · x + eik · x)

Polarizačný vektor však môže byť aj komplexný (napríklad pri kruhovej polarizácii fotónu) a vtedy pre Aµ(x), ktoré musí byť reálne, máme

Aµ(x)kV2

1= (εµe−ik ·x + εµ∗eik ·x) (7)

Vchádzajúcim časticiam doteraz vždy odpovedala závislosť exp (−ik ·x) a vychádzajúcim exp (ik ·x) vo vlnovej funkcii; v ďalšom ešte uvidíme podrobnejšie, že toto súvisí so zákonmi zachovania energie

61

a hybnosti. Pre fotón v začiatočnom stave preto berieme len prvý člen na pravej strane (7) a pre fotón v koncovom stave len druhý člen. Takto prichádzame k pravidlám

− fotónu v koncovom stave priraďujeme

Aµ(x)kV2

1= ε*µeik ·x

− fotónu v začiatočnom stave priraďujeme

Aµ(x)kV2

1= εµe−ik · x

Doteraz uvedené pravidlá pre Feynmanove diagramy sú zhrnuté v Dodatku A. – cez polohy všetkých vrcholov integrujeme – dva diagramy líšiace sa v koncovom alebo začiatočnom stave zámenou dvoch identických fermiónov

majú opačné znamienka. Pri výpočte účinného prierezu príspevky takýchto diagramov do S-matico-vého elementu sčitujeme.

5 Feynmanove diagramy v priestore hybnosti a výpočet účinných prierezov

Časť výpočtu príspevku určitého diagramu do Sf i je tiež automatická. Za každú časticu vstupujúcu do vrcholu x máme faktor exp (−ik ·x), za každú vychádzajúcu máme exp (iq ·x') a ak zapíšeme propa-gátory v tvare

SF(x' − x) )(e)2(

dF

i4

4)(

pp xxp S−′− ⋅∫ π

= (1)

DF, µν(x' − x) )(i4

4

e)2(

d xxkk −′− ⋅∫ π= DF, µν(k) (2)

vidíme, že pravidlo s exponentmi je aj tu zachované, faktor exp (ip ·x) v (1) naznačuje, že hybnosť p vyteká z vrcholu x a faktor exp (−ip ·x') ukazuje, že táto hybnosť vteká do vrcholu x'. Tá istá konvencia je zachovaná aj v (2).

Integrácia cez priestorové súradnice vrcholov je teda triviálna, v každom vrchole dostaneme

(2π)4δ4( o∑ut

pi − ∑in

ki)

kde „out“ označuje častice (alebo propagátory) vychádzajúce a „in“ vchádzajúce do daného vrcholu. Feynmanove pravidlá pre výpočet príspevkov k Sf i pre daný diagram potom sú

– vrchol za interakciu častice s nábojom e s EM poľom

−ieγµ

– elektrón vstupujúci do daného vrcholu

u(p, s)EV

m

– elektrón vychádzajúci z daného vrcholu

u (p, s)EV

m

62

– pozitrón vychádzajúci z daného vrcholu, interpretovaný ako elektrón so 4-hybnosťou (−p) vstupujúci do vrcholu

v(p, s)EV

m

– pozitrón vstupujúci do vrcholu, interpretovaný ako elektrón so štvorhybnosťou (−p) vy- stupujúci z vrcholu

v (p, s)EV

m

– za propagátor elektrónu píšeme

iSF(p)εi

i22 +−

+=

mp

mp

– za propagátor fotónu vo Feynmanovej kalibrácii

iDF, µν(p)ε

µν

ii

2 +−=

k

g

– vystupujúci fotón:

*

02

1µε

Vk

– vstupujúci fotón µεVk02

1, k0 = k ≡ |k |

(2π)4δ4( o∑ut

pi − ∑in

ki) − za každý vrchol

∫ π 4

4

)2(

d q – integrál za každú vnútornú čiaru, pochádzajúci z príslušného faktoru v (1) a (2)

(−1) – faktor za pozitrónovú čiaru prechádzajúcu celým diagramom (−1) – relatívny faktor dvoch diagramov líšiacich sa zámenou identických fermiónov v koncovom

stave Výpočet príspevku daného diagramu so Sf i je takto „plne automatizovaný“.

Obr. 14 Rozptyl elektrónu na mióne

Teraz zhrnieme postup pri výpočte diferenciálneho účinného prierezu z daného Sf i (pričom toto Sf i je súčtom príspevkov od diagramov, ktoré majú rovnaký začiatočný a koncový stav). Z každého Sf i najprv odfaktorizujeme (2π)4δ4(Pf − Pi), kde Pf je súčet hybností v koncovom a Pi v začiatočnom stave. Uká-žeme si to na príklade diagramu pre rozptyl elektrónu na mióne na obr. 14. Za oba vrcholy dostaneme

(2π)4δ4(p2 + q − p1)(2π)4δ4(p'2 − q − p'1) (3)

/

63

Vzhľadom na to, že platí δ(x − y)δ(y − z) = δ(x − z)δ(x − y) môžeme (3) prepísať ako

(2π)4δ4(Pf − Pi)(2π)4δ4(p2 + q − p1)

kde Pf = p2 + p'2 je celková 4-hybnosť v konečnom a Pi = p1 + p'1 v začiatočnom stave. S-maticový element preto môžeme písať v tvare

Sf i = δf i + i(2π)4δ4(Pf − Pi)Tf i (4) kde Tf i píšeme v tvare

Tf i ∏∏=VkEV

M

02

1Mf i (5)

pričom prvý súčin naznačuje, že za každú „vonkajšiu fermiónovú nohu“ diagramu (či už v začiatočnom alebo koncovom stave) máme faktor (m/EV)1/2 a za každú vonkajšiu fotónovú nohu faktor [1/(2k0V)]1/2. Celá dynamika procesu je vo výraze Mf i. Výpočet účinného prierezu ďalej pokračuje tak, ako v čl. 2 tejto kapitoly.

Vo výraze |Sf i|2 sa objaví

|(2π)4δ4(Pf − Pi)|2 → (2π)4δ4(Pf − Pi)VT (6)

kde V je normalizačný objem a T čas interakcie. |Sf i|2 ďalej násobíme počtom stavov po interakcii

∏π

= 3

3

)2(

dd

pN (7)

kde sa objavia všetky častice v konečnom stave. Napokon účinný prierez dostaneme ako

NTV

Sd

||

||

12

if

2121∫−

=vvρρ

σ (8)

Po výpočtoch, ktoré prebiehajú celkom rovnako ako vyššie v článku 2, dostávame – pre dva zrážajúce sa fermióny

Wp

m

*

2

=σ ∫(2π)4δ4(Pf − Pi)|Mf i|2 ∏∏

ππ γ3

0

3

f3

3

)2(2

d

)2(

d

k

k

E

pm

kde f v koncovom stave označuje fermióny a γ-fotóny; – pre zrážku fotónu a elektrónu sa zmení faktor m2/(p*W) pred integrálom na m/(2p*W).

Pri procesoch, kde máme v koncovom stave len dve častice, dostaneme postupom ako v čl. 2 dife-renciálne účinné prierezy:

Pre fermión + fermión → fermión + fermión v s.h.s.

s

mm2

22

21

4d

d

π=

Ω

σ|Mf i|

2 (9a)

Vzťah (9a) platí vtedy ak na začiatku máme fermióny s hmotnosťami m1, m2 a na konci fermióny s rovnakými hmotnosťami. Pre prípad anihilácie, ako napríklad e+e− → µ+µ− sa výrez zmení len v tom, že na pravej strane pribudne faktor |p f | / |p i |, kde p f je hybnosť častíc v s.h.s. po interakcii a p i je hyb-nosť častíc, tiež v s.h.s., pred ňou. Vzťah potom bude

s

mm2

22

21

4d

d

π=

Ω

σ|Mf i|

2||

||

i

f

p

p

(9b)

O prítomnosti tohto faktoru sa presvedčíme, ak v tejto kinematickej situácii prevedieme postupne tie kroky, ktoré viedli k dσ/dΩ v článku 2 tejto kapitoly.

Pre fotón + fermión → fotón + fermión máme

s

m2

2

1d

d

6π=

Ω

σ|Mf i|

2 (10)

64

Pomocou Feynmanových diagramov počítame nielen účinné prierezy pre rozptyl častíc, ale aj pravde-podobnosť rozpadu častice. Pravidlá pre zostavenie diagramov sú celkom rovnaké ako v predchádza-júcom − rozdiel je len v tom, že diagram má len jednu vstupujúcu časticu. Výpočet pravdepodobnosti rozpadu je o čosi jednoduchší v tom, že vieme, že v začiatočnom stave máme jednu časticu a neuvažu-jeme potom žiadne faktory typu ρ1ρ2|v1 − v2|, ktoré sú typické pre rozptylový proces.

Pravdepodobnosť rozpadu za jednotku času je

∫=≡Γ≡ NT

Sw d

||12

if

τ

kde T je doba interakcie zavedená analogicky ako už predtým, dN je dané výrazom (7). Výraz Γ sa nazýva šírkou rozpadu alebo tiež „rýchlosťou rozpadu“, τ je dobou života. Jej význam

vidno zo vzťahu N = N0exp (−t/τ), kde N0 je počet častíc v čase t = 0, N je počet nerozpadnutých častíc v čase t.

Pre Γ postupom ako predtým dostaneme pre rozpad fermiónu

E

m=Γ ∫(2π)4δ4(Pf − Pi)|Mf i|

2 ∏∏ππ γ

30

3

f3

3

)2(2

d

)2(

d

k

k

E

pm (11)

Pre rozpadávajúci sa bozón máme pred integrálom namiesto (m/E) faktor 1/(2k0).

6 Anihilácia e+e− → µµµµ+µµµµ−

Diagram pre tento proces v najnižšom ráde je na obr. 15. Čiaru vchádzajúceho pozitrónu sme označili ako e−(−k',−s') a podobne sme označili aj čiaru za vychádzajúci µ+(p', λ').

Obr. 15 Feynmanov diagram pre anihiláciu e+e− → µ+µ−

Diferenciálny účinný prierez tejto reakcie je podľa (4.9b) daný vzťahom

s

mm2

2µ

2e

4d

d

π=

Ω

σ|Mf i|

2||

||

i

f

p

p (1)

Príspevok k iMf i počítame podľa pravidiel z predchádzajúceho článku. Za vonkajšie nohy píšeme už len príslušné spinory u, v normované podľa uu = −vv = 1, faktor (2π)4δ4(Pf − Pi) je už z Mf i odsepa-rovaný a integrál ∫d4

q /(2π)4 za fotónový propagátor ľahko spočítame vďaka faktoru (2π)4δ4(q − k − k')

za dolný vrchol v diagrame. Ako výsledok bude q = k + k'.

65

Príspevok k iMf i, od diagramu na obr. 15 preto bude

iMf i = v (k', s')(−ieγ µ)u(k, s)

−

2i

q

gµν u (p, λ)(−ieγ ν)v(p', λ') =

= i

π2

4

q

αv (k', s')γ µu(k, s)u (p, λ)v(p', λ') (2)

Budeme predpokladať, že zväzky zrážajúcich sa častíc sú nepolarizované a detektory tiež neregistrujú polarizáciu častíc.

Ustrednený výraz 2if || M potom bude

∑′′

=λλss

MM 2if

2if ||

4

1||

a postupne preň dostávame

∑ ′′

π=

spiny

2

22

if ),(4

4

1|| sk

qM v

αγ µu(k, s)u (p, λ)γµv(p', λ')v (p', λ')γνu(p, λ)u (k, s)γ ν

v(k', s')

pričom v prvej časti sú spinorové faktory z Mf i, v druhej z M*f i. Teraz faktory preskupíme

∑ ′′

π=

spiny

2

22

if ),(4

4

1|| sk

qM v

αγ µu(k, s)u (k, s)γ ν

v(k', s') ·u (p, λ)γµv(p', λ')v (p', λ')γνu(p, λ)

zapíšeme explicitne spinorové a γ-maticové indexy a využijeme

∑s

uα(p, s)u β(p, s)αβ

+=

m

mp

2, ∑

svα(p, s)vβ(p, s)

αβ

−=

m

mp

2

Dostaneme tak

),,(),,(4

4

1

22Sp

22Sp

4

4

1||

2

2

2

22

fi

µµνµν

νµ

µµ

µ

µνµ

α

γγγγα

mLmLq

m

m

m

m

m

m

m

m

qM

e

e

e

e

e

ppkk

ppkk

′′′′′′

π≡

≡

−′+

+−′

π=

Výraz Lµ''ν je veľmi analogický k Lµν , s ktorým sme sa stretli už v čl. 2 tejto kapitoly. Ľahko zistíme, že

Lµ''ν(k', k, me) 2e

1

m= k

µk'ν + k'µk

ν − gµν(m2e + k·k') (3)

a celkom analogický výraz máme pre L''µν(p, p', mµ). Po jednoduchých úpravách prídeme k

L''µν(k', k, me)Lµ'ν' (p', p, mµ)22

e

2

µ

=mm

(k ·p)(k' ·p') + (k' ·p)(k ·p') + m2e(p ·p') + m2

µ(k ·k') + 2m2em2

µ

Tento výraz prepíšeme cez Mandelstamove premenné

s = (k + k')2 = (p + p')2 = 2m2e + 2k ·k' = 2m2

µ + 2p ·p'

t = (k − p)2 = m2e + m2

µ − 2k ·p

u = (k − p')2 = m2e + m2

µ − 2k ·p'

/ /

/ / / /

66

a po dosadeniach a úpravách nájdeme

L''µν(k', k, me)L''µν(p, p', mµ)22

e16

1

µ

=mm

[16(t − m2e − m2

µ)2 + 16st + 8s2]

Toto dosadíme do 2if || M a po využití (1) máme v s.h.s.*)

2

22

4

||

||

64

1

d

d

π

π=

Ω qs

ασ

k

p[2s2 + 4st + 4(t − m2

e − m2µ)2] (4)

Uhlové rozloženie v s.h.s. nájdeme po dosadení

t = (k − p)2 = k2 + p2 − 2k ·p = m2e + m2

µ − 2EeEµ + 2 |k | |p |cos ϑ

Po dosadení a úprave máme

||

||

4d

d3

2

k

p

s

ασ=

Ω[s2 + 16|p |2|k |2cos ϑ + 4s(m2

e + m2µ)] (5)

Celkový účinný prierez nájdeme integráciou cez dΩ = sin ϑ dϑdϕ . Po elementárnych úpravách nájdeme

⋅+

++

π=

µµ

s

m

s

m

s

mm

s

22e

22e

2

4)(2

1||

||

3

4

k

pασ

Vzhľadom na to, že

s = 222e ]||2[ k+m = 4(m2

e + |k |2)

platí

|k | 2e2

1ms −=

analogicky

|p | 2

2

1µ−= ms

Po využití týchto vzťahov máme konečný výsledok

+

+

−

−π=

µµ

s

m

s

m

ms

ms

s

22e

2e

22 21

21

4

4

3

4 ασ (6)

Proces e+e− → µ+µ− sa dnes podrobne študuje na urýchľovačoch s protibežnými zväzkami častíc, kde energia každého zo zväzkov je až 100 GeV. Vzhľadom na to, že v takejto situácii je m2

e , m2µ << s, mô-

žeme predchádzajúce vzťahy (5) a (6) zjednodušiť na tvar (presvedčte sa o tom podrobnejšie)

s4d

d 2ασ=

Ω(1 + cos ϑ) (7)

s

2

3

4 ασ

π= (8)

Teraz ešte numericky odhadneme totálny účinný prierez. Vzťah (3) sme odvodili v zjednodušenom

*) Ak porovnáme nasledujúci vzťah s (2.19) vidíme, že členy obsahujúce s, t sa líšia len zámenou s ↔ t. Toto je prejavom

tzv. krížovej symetrie, o ktorej nebudeme podrobnejšie hovoriť.

67

zápise ħ = c = 1. Z rozmerových dôvodov hneď vidno, že (8) má byť

22222

/GeV

1

GeV3

4

3

4

π=

π=

s

c

s

c hh αασ

Po dosadení ħc = 0,197 GeV fermi, α = 1/137 nájdeme

2/GeV)(

6,86

s

nb=σ , nb = 10−33 cm2 (9)

Vzťah (9) sa až na číselný faktor dá získať aj kvalitatívnou úvahou: v situácii keď s >> m2e , m2

µ je jedinou rozmernou veličinou v hre s = (k + k')2. Ako vidno z diagramu na obr. 15 proces je druhého rádu v e, preto Mf i je úmerné e2 a |Mf i|

2 bude úmerné e4. Z rozmerových dôvodov možno takto napísať

ss

e 24

~~α

σ

Cvičenie. Každý urýchľovač s protibežnými zväzkami je charakterizovaný tzv. luminozitou L, ktorá sa rovná ρ1ρ2|v1 − v2| ustrednenému cez čas a násobenému rozmerom oblasti, v ktorej sa zväzky pretí-najú. Počet reakcií s účinným prierezom σ za jednotku času potom je

σLt

n=

∆

∆

Presvedčte sa o tom, že rozmer luminozity L je cm−2s−1, odhadnite σ pre e+e− → µ+µ− pri protibežných zväzkoch a energiami Ee− = Ee+ = 10 GeV, 20 GeV, 50 GeV.

Poznámka. Podľa partónového modelu (i podľa kvantovej chromodynamiky) proces e+e− → hadróny prebieha tak, že v prvom štádiu dochádza k reakcii e+e− → qiq i (qi označuje kvark, q i zas antikvark). Odhadnite

a) pomer hadróny

−+−+

−+

µµ→

→=

ee

eeR

hadróny

za predpokladu, že existujú kvarky štyroch vôní (flavours) s nábojmi Qu = 2/3, Qd = −1/3, Qs = −1/3, Qc = 2/3 a každý z nich sa vyskytuje v troch stavoch odlišujúcich sa ďalším kvantovým číslom − farbou.

b) odhadnite totálny účinný prierez pre reakciu

e+e− → hadróny (10)

pri Ee− = Ee+ = 4 GeV. c) odhadnite počet interakcií (9), ktoré možno za 1 deň získať pri tejto energii na zariadení s

luminozitou L = 1029 cm−2s−1.

7 Comptonov rozptyl

Comptonovým rozptylom nazývame pružný rozptyl fotónu na elektróne. Podľa vzťahu (5.10) pre diferenciálny účinný prierez máme

s

m2

2

16d

d

π=

Ω

σ|Mf i|

2 (1)

a príspevky k iMf i počítame podľa pravidiel pre Feynmanove diagramy. V tomto prípade musíme sčí-tať príspevky od dvoch diagramov nakreslených na obr. 16a, b. Na obrázkoch sme nevyznačili spinové stavy elektrónu, pretože cez ne budeme napokon ustredňovať už známym spôsobom.

68

/ / / /

/ / / /

Obr. 16 Feynmanove diagramy pre Comptonov rozptyl

Príspevok od diagramu na obr. 16a označíme indexom (1) a máme preň

)()(

)(i)(4i)()i(

)(

)(i)i)((i

22*

22*)1( pu

m

mpupue

m

mepuM fi

µνµνµ

µνν γγεεαεγγε

−′−

++′′π−=−

−+

++−′′=

kp

kp

kp

kp

Pre diagram na obr. 16b máme

*)()i()(

)(i)i)((i

22)2(

if ννµ

µ εγγε ′−−−

++−′= p

kp

kpp ue

m

meuM

Obidva príspevky zložíme do jediného Mf i = Mf(i1) + Mf

(i2) (takéto príspevky samozrejme skladáme ako

amplitúdy).

Mf i = −4παε 'ν*εµu (p')Qµνu(p) (2a)

kde

Qµν ≡ µννµ γγγγ 22 m

m

m

m

−

+′−+

−

++

u

kp

s

kp (2b)

pričom sme už zaviedli Mandelstamove premenné

s = (p + k)2 = m2 + 2p ·k = (p' + k')2 = m2 + 2p' ·k'

t = (k' − k)2 = −2k ·k' = (p − p')2 = 2m2 − 2p ·p' (3)

u = (p − k')2 = m2 − 2p ·k' = (p' − k)2 = m2 − 2p' ·k

Tieto veličiny nie sú nezávislé, platí pre ne

s + u + t = 2m2

Teraz postupujeme ako pri výpočte predchádzajúcich procesov. Spočítame |Mf i|2 a − ak predpokla-

dáme nepolarizované dopadajúce zväzky a detektor, ktorý neregistruje polarizácie − sčítame cez spin a polarizáciu v koncovom stave a ustredníme cez tieto parametre v začiatočnom stave. Po sumovaní cez spiny elektrónu dostaneme

∑|Mf i|2 = 16π2

2)2(

1

mα2ε 'µ*εσε*τ εν Sp (p/ ' + m)Qµν( p/ + m)Q στ (4)

kde Q στ = γ 0(Qστ)+γ 0. Sumovanie cez polarizácie fotónu urobíme tak, že položíme

polar. ∑fotónu

ε*µ εσ = −gµσ (5)

/ /

69

Toto pravidlo ešte zdôvodníme neskôr. Spin elektrónu v začiatočnom stave môže mať dva priemety na určitú os a polarizácia fotónu môže nadobudnúť dve hodnoty. Pri ustredňovaní cez polarizáciu a spin delíme preto (4) faktorom 2·2 = 4 a máme

2

222

if)2(

4||

mM

απ= gµσ gτν Sp (p/ ' + m)Qµν(p/ + m)Q στ (6)

Ďalej sa ľahko presvedčíme o tom, že

Q µν = γ 0(Qµν)+γ 0 = Qνµ (7)

Teraz dosadíme (7) do (6) a toto celé do (1) a pre diferenciálny účinný prierez nájdeme

s16d

d 2ασ=

Ω Sp (p/ ' + m)Qµν(p/ + m)Qνµ

Často namiesto dσ/dΩ používame dσ/d t. Prevod je jednoduchý, lebo dσ/dΩ nezávisí od ϕ a dt = = d(m2 − 2p0p'0 + 2p*2 cos ϑ) = + 2p*2d(cos ϑ). Preto

22

2

)d

d

mt −4(

π=

s

ασSp (p/ ' + m)Qµν(p/ + m)Qνµ (8)

kde sme už využili to, že pre zrážka fotónu s elektrónom platí pre hybnosť v s.h.s.

p*2

s4

1= (s − m2)2

Do rovnice (8) teraz priamo dosadíme Qµν z rovnice (2b) a na pravej strane (8) dostaneme štyri členy, ktoré obsahujú nasledujúce výrazy

f1(s, u) 22 )

1

m−4(=

sSp (p/' + m)γ µ(p/ + k/+ m)γ ν(p/ + m)γν(p/ + k/ + m)γµ

f2(s, u) 22 )

1

m−4(=

sSp (p/' + m)γ µ(p/ − k/+ m)γ ν(p/ + m)γν(p/ − k/'+ m)γµ

g1(s, u) = g(s, u) ))

122 mm −(−4(

=us

Sp (p/' + m)γ µ(p/ + k/+ m)γ ν(p/ + m)γµ(p/ − k/'+ m)γν

g2(s, u) = g(u, s)

Spočítanie príslušných stôp je síce otročina, ale je to aj veľmi dobrý nácvik „remesla“. Odporúčame tieto počty do pozornosti čitateľa a uvedieme priamo výsledky

f1(s, u) 22 )(

2

m−=

s4m4 + 2m2(s − m2) − (s − m2)(u − m2)

f2(s, u) = f1(u, s)

g1(s, u)))((

222 mm −−

=us

4m4 + m2(s − m2) + m2(u − m2)

g2(s, u) = g1(u, s)

Zahrnutím všetkých členov dostaneme konečný výraz pre dσ/dt

′

′+

′

′−

′+

′+

′+

′′

8π=

s

u

u

s

ususs 4

1

d

d 22222

2

2 mmmm

t

ασ (9)

kde sme použili označenie

s' ≡ s − m2, u' ≡ u − m2

Celkový účinný prierez dostaneme tak, že pri fixovanom s integrujeme cez celú povolenú oblasť t (táto oblasť odpovedá uhlu ϑ prebiehajúcemu od 0 po 2π).

70

Vzhľadom na to, že s + t + u = 2m2 platí du = −d t a integrovanie cez t ľahko prevedieme na integ-rovanie cez u.

Takto

σ (γe → γe) ∫=max

min

dd

du

u

ut

σ

Ak zavedieme nové premenné

2

2

22,

m

um

m

uy

m

sx

−=

′−≡

′≡

a prepíšeme integrál do premennej y budeme mať

σ (γ e → γ e) ∫=max

min

dd

d2y

y

yt

mσ

Teraz určíme hodnoty ymin, ymax. Platí

−

′=

⋅−−=

−−=

−=

′′′ϑ

ωcos

||2)2()(2

222

2

22

2

2

mm

E

mm

mm

m

m

m

umy

pkpkp

kde ω ≡ k0, E' ≡ p'0 a ϑ je uhol medzi vektormi p', k. Vzhľadom na to, že cos ϑ sa mení od −1 po +1, máme

m

E

my

m

E

my

||2,

||2 maxmin

pp ′′ +′=

−′=

ωω

Po spočítaní integrálu dostávame konečný výsledok

σ (γe → γe)

+

−+++

+

+

′

2π= )1(ln

841

8

)1(2

)2(22

2

xxxxx

xx

s

α (10)

Odporúčame čitateľovi, aby numericky odhadol tento účinný prierez a pozrel sa naň aj z hľadiska rozmerovej analýzy tak, ako sme to urobili pre anihiláciu e+e− → µ+µ− v predchádzajúcom článku.

Na záver odseku ešte splatíme dlh, súvisiaci so vzťahom (5).

Sumovanie cez polarizácie fotónu Fotón, ktorý vstupuje do reakcie, alebo z nej vystupuje je vo Feynmanovom diagrame zastúpený

svojim polarizačným vektorom εµ. Jeho index sa kontrahuje s príslušným indexom vo vrchole, takže maticový element Mf i má štruktúru

Mf i = εµBµ(…) (11a)

kde Bµ(…) závisí ešte od ďalších premenných. Vo výraze pre |Mf i|2 sa potom objaví

|Mf i|2 = ε*µενBµ*Bν (11b)

Predstavme si teraz pre jednoduchosť, že náš fotón je reprezentovaný rovinnou vlnou, šíriacou sa v smere osi z. Jeho vlnová funkcia bude (ak vstupuje do interakcie)

Aµ(x)Vk02

1= εµe−ik·x (12)

Ak sa vlna šíri v smere osi z, potom dva nezávislé polarizačné vektory fotónu môžeme vybrať takto

ε (1) = (0, 1, 0, 0), ε (2) = (0, 0, 1, 0)

pričom v zátvorke píšeme najprv časovú a potom tri priestorové komponenty. Sumovanie cez polarizácie v (11) potom dá

∑= 2,1

)(*i

iµε εν

(i)Bµ*Bν = B1*B1 + B2*B2 = −B1*B1 − B2*B2 (12')

71

Výraz (11) (takisto ako každá fyzikálna veličina) musí byť invariantný voči kalibračným transfor-máciám

Aµ(x) → Aµ(x) )(xx

Λ∂

∂+

µ (13)

Vyberme ako špeciálny prípad

Λ(x)Vk02

1i−= eik · x

Potom transformácia (13) vzhľadom na (12) odpovedá zámene polarizačného vektora

εµ → εµ + kµ (14)

Kalibračná invariantnosť výrazu (11a) teda žiada, aby platilo

kµBµ = 0 (15)

Pre vektor k v smere osi z má k zložky kµ = (1, 0, 0, 1) a podmienka (15) hovorí

B0 = B3

Odtiaľ máme

B0B*0 + B3B3* = 0 (16)

a pravú stranu v (12) môžeme podľa (12) a (16) prepísať na tvar

∑= 2,1

)(*i

iµε εν

(i)Bµ*Bν = −B*µBµ

Toto je ale presne to, čo by sme dostali na ľavej strane v (12), keby sme použili priamo

∑= 2,1

)(*i

iµε εν

(i) = −gµν

a to je rovnica (5) používaná už predtým.

8 Brzdné žiarenie

Podľa klasickej elektrodynamiky je každá zmena rýchlosti nabitého telesa sprevádzaná emisiou EM žiarenia*). Vo fyzikálnej terminológii sa toto žiarenie nazýva brzdným žiarením a často sa (podľa nem-činy) hovorí o Bremsstrahlungu. Toto žiarenie niekedy býva „tvrdé“ (jeho fotóny majú vysoké energie), napríklad pri rýchlom zastavení energetických elektrónov v kúsku kovu (tak vzniká Röntgenovo žiare-nie), ale účinné prierezy sú najväčšie pre emisiu „mäk-kých“ brzdných fotónov.

Túto skutočnosť vidno z jednoduchého poloklasic-kého argumentu. Klasická teória brzdného žiarenia uka-zuje, že intenzita tohto žiarenia má zhruba tvar ukázaný na obr. 17, pričom ω0 je dané typickým časom procesu τ podľa vzťahu ω0 ~ 1/τ. Pritom τ je čas, za ktorý bola nabitá častica zabrzdená, alebo čas, počas ktorého trvala interakcia nabitej častice s rozptyľujúcim centrom.

V kvantovej teórii namiesto intenzity klasického žiarenia budeme dostávať výsledky pre počet fotónov

*) Klasická teória brzdného žiarenia je veľmi pekne spracovaná v II. dieli (Teorija polja) kurzu teoretickej fyziky Landaua

a Lifšica (pozri tiež I. diel ich skráteného kurzu, ktorý vyšiel r. 1982 v slovenskom preklade vo vydavateľstve ALFA v Bratislave). Pekná a úplná diskusia brzdného žiarenia je aj v knihe J. D. JACKSONA: Classical Electrodynamics. New York : J. Willey, 1973.

Obr. 17 Typické rozdelenie intenzity brzdného žiarenia v klasickej elektrodynamike

72

emitovaných pri zrážke. Ak n(ω)dω je počet fotónov s kruhovou frekvenciou v intervale (ω,ω + dω) potom energia emitovaná v tomto intervale bude n(ω)ħωdω, kde ħω je energia jediného fotónu. V kla-sickej teórii je táto energia úmerná I(ω)dω a odtiaľ máme

n(ω)ħωdω ~ I(ω)

Vzhľadom na to, že (pozri obr. 17) pre malé ω sa I(ω) blíži ku konštante I(0) ≠ 0 očakávame, že pri malom ω bude

n(ω) ~ω

1

a preto emisia mäkkých fotónov bude veľmi častá. Pri emisii mäkkých fotónov sa málo mení pohybový stav častice, ktorá fotóny emitovala a ďalej sa budeme zaoberať práve touto situáciou.

Pre určitosť si predstavíme rozptyl nabitej častice na vonkajšom silovom centre, hoci výsledky, ktoré získame, sú platné všeobecne.

Diagram pre rozptyl elektrónu na vonkajšom potenciáli je znázornený na obr. 18a, diagramy opisu-júce emisiu fotónu pri takomto rozptyle sú na obr. 18 b, c.

Obr. 18 Diagramy pre brzdné žiarenie pri rozptyle nabitej častice na vonkajšom poli: (a) diagram bez brzdného žiarenia, (b), (c) diagramy s brzdným fotónom

Maticový element pre pôvodný proces bez emisie fotónu nech je

M f(i0) = u (p')Au(p) (1)

kde A je 4×4 matica závislá od p, p'. Presný tvar tejto matice čitateľ nájde v čl.III.2. Tu ho nebudeme podrobnejšie uvádzať, pretože ho v ďalšom nebudeme potrebovať. Mf i pre diagram 18b označíme M f

(i1)

a dostaneme ho zrejme tak, že namiesto u (p') v M f(i0) zapíšeme

u (p') → u (p')ε*µ(−ieγ µ)iSF(q)Au(p) (2)

čo je hneď vidno z toho, že tam, kde v 18a stál len u (p') bude teraz propagátor elektrónu, za ním inter-akčný vertex násobený ε*µ za polarizáciu fotónu a až za tým bude u (p').

Žiadny faktor (2π)4 sa neobjaví. Z integrácie vo vrchole sa totiž objavuje (2π)4δ4( p' + k − q) a cez

hybnosť q v propagátore sa integruje podľa d4q/(2π)4. Takto (2π)4 vypadne a q = p' + k. Preto máme

M f(i1) = eu (p')ε/*

εi)(

)(22 +−+′

++′

mkp

mkpAu(p) (3)

Celkom analogicky pre diagram na obr. 18c dostaneme

M f(i1) = eu (p')A

εi)(

)(22 +−−

++

mkp

mkp ε/*u(p) (4)

Ak predpokladáme, že fotón je skutočne mäkký, v našom prípade to znamená |kµ | << m pre každú zložku

/ /

/ /

73

kµ môžeme výrazy (3) a (4) zjednodušiť. Vo výraze M f(i1) sa vyskytuje elektrónový propagátor

εi)(

)(22 +−+′

++′

mkp

mkp (5)

V čitateli tu zanedbáme „malé“ k/ voči veľkým m a p/ ' a upravíme

(p' + k)2 − m2 = p'2 + 2p' ·k + k2 − m2 = 2p' ·k

kde sme využili p'2 = m2, k = 0. Takto dostaneme

M f(i1) = eu (p')

kp

p

⋅′

+′

2

)(* mεAu(p) (6)

V čitateli využijeme identitu ε/*p/ + p/ 'ε/* = 2ε*·p' a pomocou nej nájdeme

ε/*(p/ ' + m) = 2ε*·p' − (p/ ' + m) ε/*

Ak toto dosadíme do (6) a všimneme si, že

u (p')(p/ ' − m) = 0

prídeme ku konečnému výsledku

M f(i1) = e

pk

p

′⋅

′⋅*εu (p')Au(p) = e

pk

p

′⋅

′⋅*εM f

(i0) (7)

Celkom analogicky postupujeme pri výpočtoch M f(i2), ktoré odpovedá diagramu na obr. 18c. Pri pre-

chode od M f(i0) k M f

(i2) treba urobiť zámenu

u(p) → eεi)(

)(22 +−−

+−

mkp

mkp ε/*u(p)

V čitateli zas zanedbávame malé k/ proti veľkému (p/ + m), menovateľ upravíme a máme

u(p) → ekp

mp

⋅−

+

2ε/*u(p)

Využijeme ešte to, že p/ε/* = 2ε*·p' − ε/*p/ a vzťah (p/ − m)u(p) = 0 a máme

u(p) → −epk

p

⋅

⋅*εu(p)

preto

M f(i2) = −e

pk

p

⋅

⋅*εM f

(i0)

a pre súčet príspevkov od diagramov na obr. 18b, c dostaneme

Mf i = M f(i1) + M f

(i2) = e

⋅

⋅−

′⋅

′⋅

pk

p

pk

p ** εεM f

(i0) (8)

Faktor, ktorý násobí na pravej strane M f(i0) vyzerá síce komplikovane, ale v podstate je diktovaný priamo

kalibračnou invariantnosťou teórie. V závere predchádzajúceho článku sme už hovorili o tom, že zámena

ε*µ → kµ

musí anulovať maticový element Mf i. Faktor

pk

p

pk

p

⋅

⋅−

′⋅

′⋅ ** εε (10)

/ /

/ /

/ /

/

74

túto vlastnosť evidentne má. Dokonca je ťažko vymyslieť iný faktor s touto vlastnosťou, lebo v dia-grame M f

(i1) vie mäkký fotón len o hybnosti p' a v M f

(i2) vie len o hybnosti p. Faktor (10) je najjednoduch-

ším výrazom, ktorý anuluje Mf i a je súčtom dvoch členov, z ktorých prvý závisí od p' ale nie od p a druhý závisí od p ale nie od p'.

Výraz Mf i = M f(i1) + M f

(i2) je teda kalibračné invariantný, hoci ani M f

(i1) ani M f

(i2) túto vlastnosť samé

o sebe nemajú. Toto je celkom typická situácia: Kalibračné invariantný je len súčet všetkých diagramov daného rádu, ale nie príspevky jednotlivých diagramov.

+ + +

Priblíženie mäkkých fotónov, ktoré sme doteraz využívali, odpovedá fyzikálne tomu, že energia fotónu neovplyvní rozptyl nabitej častice na silovom centre. To vidno už zo samotnej faktorizovateľnosti Mf i vo vzťahu (8). Diferenciálny účinný prierez pre emisiu fotónu podľa (8) bude

dσ = dσ 0·(4πα)3

0

32

)2(2

d**

π⋅

⋅−

′⋅

′⋅

k

k

pk

p

pk

p εε (11)

kde posledný faktor na pravej strane odpovedá počtu stavov fotónu v intervale d3k (normovací objem vypadol, lebo vo vlnovej funkcii fotónu máme V −1/2, v štvorci maticového elementu potom budeme mať V −1 a to sa práve skráti s faktorom V vo výraze pre hustotu koncových stavov).

S emisiou fotónu súvisí dobre známy problém infračervenej katastrofy. Všimnime si pravú stranu (11) pri malých k. Pre k → 0 platí

2

2

||

1~

**

kpk

p

pk

p

⋅

⋅−

′⋅

′⋅ εε

ďalej máme

d3k ~ |k |2dk

a celá pravá strana v (11) bude úmerná (1/k0)dk = (1/k)dk, kde k = |k |

dσ = konšt.k

kd, pre k → = 0 (12)

Integrál cez dk ale diverguje. Závislosť (12) sa už ale dala vytušiť z poloklasickej úvahy, ktorou sme na začiatku tohto vzťahu

prišli k výsledku n(ω) ~ 1/ω, ktorý je identický s (12), lebo ω = |k | (stále pri c = 1). Ukazuje sa ale, že táto infračervená katastrofa nespôsobuje principiálne ťažkosti ani matematicky

ani fyzikálne. Fyzikálne je dôvod v tom, že divergencia pochádza od fotónov s energiou ħω → 0. Každý detektor má ale konečnú rozlišovaciu schopnosť, a nebude preto registrovať efekty spôsobené fotónmi s energiou menšou ako isté (hoci malé E0 = ħω0). Matematicky je korektné vysvetlenie problémov s brzdným žiarením komplikovanejšie. S Blochovým a Nordsieckovým riešením problému sa čitateľ môže zoznámiť v kap. 7 v prvom diele, a v kap. 17 v II. diele učebnice Bjorkena a Drella. Odporúčame čitateľovi, aby sa zoznámil s materiálom o brzdnom žiarení v kap. X knihy V. B. Beresteckij, E. M. Lifšic, L. P. Pitajevskij, Kvantovaja elektrodinamika (IV. diel kurzu teoretickej fyziky Landaua a Lifšica).

75

V Druhá cesta k Feynmanovým diagramom – teória kvantovaných polí

1 Úvod

Relativistický kovariantná poruchová metóda pre interakcie častíc bola objavená nezávisle v prácach Tomonagu, Schwingera a Feynmana koncom štyridsiatych rokov. Vzápätí potom Dyson ukázal, že všetky tieto prístupy sú ekvivalentné. Ku konečným výsledkom, najnázornejšie zhrnutým vo Feynmanových diagramoch, sa preto dá dospieť niekoľkými cestami. Cesta, ktorú sme prešli doteraz išla okolo týchto míľnikov:

– jednočasticová Schrödingerova rovnica; – propagátory (Greenove funkcie) v stacionárnej teórii rozptylu; – propagátory v nestacionárnej teórii rozptylu; – prechod od nerelativistických k relativistickým rovniciam; – propagátory relativistických rovníc; – relativistická nestacionárna poruchová metóda a jej zovšeobecnenie z rozptylu častice na potenciáli

na rozptyl častice na poli budenom ďalšími časticami; – znázornenie jednotlivých členov tejto poruchovej metódy Feynmanovými diagramami. Výhodou tejto cesty je jej intuitívna názornosť a jasný fyzikálny zmysel Feynmanových diagramov.

Hoci fyzikálne je táto cesta priehľadná, nemá priehľadnú deduktívnu štruktúru, ktorá je jasnejšia v prí-stupe cez kvantovú teóriu interagujúcich polí. Pri prístupe cez kvantovú teóriu interagujúcich polí je základná myšlienka nasledovná:

Kvantované relativistické polia najprv uvažujeme ako voľné a ukážeme, že hamiltoniány týchto polí môžeme chápať ako systémy nezávislých harmonických oscilátorov. Excitované stavy kvantovaných polí takto odpovedajú excitovaným stavom oscilátorov. Excitácie s danou energiou a hybnosťou odpo-vedajú kvantám týchto polí (elementárnym časticiam).

V druhom veľkom kroku sa zavedie interakcia častíc ako „porucha“, ktorá spôsobuje prechody medzi jednotlivými stavmi oscilátorov. Tento opis napokon tiež prirodzene vedie k Feynmanovým diagramom.

Míľniky, okolo ktorých na tejto ceste budeme prechádzať sú tieto: – jednočasticová Schrödingerova rovnica; – harmonický oscilátor v energetickej reprezentácii; – sústavy neinteragujúcich mnohých častíc, sekundárne kvantovanie. Ukazuje sa, že sem sa môžeme dostať nielen cez opis mnohých častíc, ale aj priamo formálnym

kvantovaním Schrödingerovej rovnice (pri ktorom sa ψ(x , t) stáva operátorom). Tento bod je podstatný lebo ukazuje, že pri opise sústav relativistických častíc nemusíme prechádzať prácne od opisu jednej častice k viacčasticovej sústave, ale možno rovno dostať teóriu takýchto sústav kvantovaním Diracovho, Maxwellovho, či KG poľa. Navyše by sa rýchlo ukázalo, že postupné zovšeobecňovanie jednočasti-covej DR na dvojčasticovú, potom na troj- časticovú, atď. až na n-časticovú je málo schodnou cestou, lebo pri interakciách relativistických častíc sa môžu rodiť páry e+e− a pod. a jediný možný opis relati-vistických častíc a ich interakcií je opis, pri ktorom sa počty jednotlivých častíc môžu meniť. A práve tento opis dostaneme sekundárnym kvantovaním relativistických rovníc. Fyzikálny zmysel tohto sekun-dárneho kvantovania však najjasnejšie uvidíme na príklade opisu sústavy viacerých identických nerela-tivistických častíc. Ďalšími míľnikmi sú:

– sekundárne kvantovanie relativistických vlnových rovníc ako opis sústav interagujúcieh relativis-tických častíc;

– relativisticky kovariantná nestacionárna poruchová metóda; – znázornenie jednotlivých členov tejto metódy Feynmanovými diagramami. Vzhľadom na to, že s viacerými aspektmi tejto druhej cesty sa čitateľ môže zoznámiť v kurzoch

kvantovej mechaniky (napr. ÚKM už citované) pripomenieme tu niektoré body len veľmi stručne.

76

2 Harmonický oscilátor v energetickej reprezentácii

Hamiltonián lineárneho harmonického oscilátora v štandardnom označení je

H 22

2

22

1xp

ωm

m+= (1)

pričom operátory súradnice a hybnosti spĺňajú komutačný vzťah

[p, x] = −iħ (2)

Ak zavedieme kreačný a anihilačný operátor a+, a vzťahmi

aω

ω

m

m

hh 2i

2

px += (3a)

a+

ω

ω

m

m

hh 2i

2

px −= (3b)

dostaneme po úpravách hamiltonián v tvare

H

+= +

2

1aaωh (4)

a komutačný vzťah

[a, a+] = 1 (5)

Základný stav sústavy |0⟩ je daný podmienkou a |0⟩ = 0. Excitované stavy oscilátora s energiami ħω(n + 1/2), n = 1, 2, 3,… sú

!

1

nn = (a+)n |0⟩ (6)

Ak základný stav je normovaný ⟨0|0⟩ = 1, potom excitované stavy |n⟩ tvoria ortonormovaný systém

⟨n |m⟩ = δnm (7)

pričom tento systém je úplný. V súradnicovej reprezentácii

ψn(x) ≡ ⟨x |m⟩, n = 0, 1, 2,… (8)

je úplný ortonormovaný systém vlastných funkcií lineárneho harmonického oscilátora. Cvičenie. V rámci opakovania známych vecí z kvantovej mechaniky ukážte, že a) podmienka a |0⟩ = 0 skutočne určuje vlnovú funkciu základného stavu lineárneho harmonického

oscilátora. V x-reprezentácii má táto podmienka (3a) tvar

+

xm

m

d

d

22 ω

ω h

hx ψ0(x) = 0

b) stavy (6) spĺňajú podmienku (7); c) platí:

a+ |n⟩ 1+= n |n + 1⟩, a |n⟩ n= |n − 1⟩ (9)

Poznámka. Pri diskusii harmonického oscilátora hovoríme, že operátor a+ „prehadzuje“ oscilátor zo stavu |n⟩ do stavu |n + 1⟩. Neskôr, keď ukážeme, že pole môžeme opísať ako systém oscilátorov spojených s jednotlivými vlastnými kmitmi poľa, bude interpretácia iná. Ak frekvencia vlastného kmitu je ω, potom energia s ním spojená (po odrátaní ħω/2) je nħω. Takýto stav budeme interpretovať ako prítomnosť n kvánt, pričom každé z nich má energiu ħω . Operátor a i

+ v tejto interpretácii zvyšuje počet kvánt typu „i“ o jednotku a budeme ho nazývať kreačným operátorom kvanta typu „i“.

77

3 Sekundárne kvantovanie sústavy bozónov

V tomto článku chceme ukázať len jednu, a to základnú myšlienku. Podľa nej môžeme sústavu ne-interagujúcich identických bozónov opísať dvomi úplne ekvivalentnými postupmi:

a) symetrizovanými vlnovými funkciami n-časticovej sústavy; b) pomocou aparátu sekundárneho kvantovania, pri ktorom vlnovú funkciu ψ(r) jednočasticovej

SchR nahradíme operátorom ψ(r) a z jednočasticovóho hamiltoniáhu urobíme (spôsobom opísaným ďale) hamiltonián n-časticovej sústavy.

Dôkazy jednotlivých tvrdení nebudeme robiť, čitateľ ich nájde napr. v ÚKM. Pre určitosť uvažujme jedinú časticu nachádzajúcu sa v poli s potenciálnou energiou V(r1). Hamiltonián jednej častice bude takto H(1) = p2

1/2m + V(r1). Jeho vlastné funkcie a vlastné hodnoty označíme ako obvykle

H(1)ϕn(r1) = Enϕn(r1), n = 1, 2, 3,… (1)

N navzájom neinteragujúcich bozónov v tomto silovom poli je opísaných hamiltoniánom

H = H(1) + H(2) + … + H(N) (2)

kde

H(N) +≡mn

2

2pV(rn), pn

nr∂

∂=

i

h

Vlnová funkcia N navzájom neinteragujúcich bozónov nachádzajúcich sa v tomto silovom poli je opí-saných symetrizovanou vlnovou funkciou

ΦN1, N2,…

2/121

!

!!

=

N

NN L∑P

ϕk 1(r1)ϕk 2

(r2) … (3)

kde N1 označuje počet častíc v jednočasticovom stave n1, N2 počet častíc v stave n2, atď. Z indexov k1, k2,… na pravej strane (3) sa potom N1 rovná n1, atď. Na pravej strane (3) sčitujeme cez všetky permu-tácie súradníc, ktoré vedú k odlišnej funkcii.

Pri vlnovej funkcii (3) postupujeme okľukou v tom, že najprv častice číslujeme, ako keby boli roz-líšiteľné a potom vlnovú funkciu symetrizujeme, aby sme túto rozlíšiteľnosť zrušili.

Iným postupom, bez tejto okľuky, je pracovať priamo so stavmi v tzv. Fokovom priestore. Stavu (3) potom priradíme vektor Hilbertovho priestoru, ktorý žiadnu rozlíšiteľnosť častíc nepozná. Vektor je zapísaný takto

|0, … 0, N1, 0, … N2,…⟩ (4)

pričom číslo N1 stojí práve na mieste odpovedajúcom stavu n1, číslo N2 na mieste odpovedajúcom stavu n2, atď. Čísla 0, … 0, N1, 0, … N2,… nazývame obsadzovacími alebo okupačnými číslami. Vlnovú funkciu (3) by sme mohli ľahko skonštruovať vychádzajúc len z informácie obsiahnutej v (4), ale tomuto kroku sa chceme vyhnúť a túto možnosť spomíname len preto, aby bolo vidno, že informácia obsiahnutá v (4) je ekvivalentná informácii v (3).

Teraz si všimneme niektoré fyzikálne veličiny N-časticovej sústavy. Predstavme si, že sústavu vlo-žíme do dodatočného vonkajšieho poľa. Operátor interakcie s vonkajším poľom zapísaný vo formalizme odpovedajúcom (3) bude F(1) = ∑

if(r i) (5)

Ak spočítame maticový element F(1) medzi dvomi stavmi (3) nájdeme diagonálne elementy (všetky Ni rovnaké) ⟨ΦN1, N2, …|F(1) |ΦN1, N2, …⟩ = ∑

if (

i1i)Ni (6)

kde

f (i1i) = ∫ϕ*n i

(r) f(r)ϕn i(r)d3

r

78

Pre nediagonálne elementy bude od nuly rôzny len prípad maticových elementov typu

⟨ΦN1, N2, … Ni − 1, … Nk + 1, …|F(1) |ΦN1, N2, …⟩ = ∑i

f (i1i) )1( +ki NN

pričom f (

i1k

) = ∫ϕ*n i(r) f(r)ϕnk

(r)d3r (8)

Ľavé strany v (6) a (7) označujú maticové elementy spočítané štandardným spôsobom z vlnových funkcií (3) a operátora (5). Tieto výsledky ale môžeme získať ľahšie, ak pracujeme len so stavmi (4) a zavedieme kreačné a anihilačné operátory

a+i |…, Ni ,…⟩ 1+= iN |…, Ni + 1,…⟩, ai |…, Ni ,…⟩ iN= |…, Ni − 1,…⟩ (9)

pričom bodky označujú obsadzovacie čísla, ktoré sa nemenia. Operátor a+i teda pridáva jednu časticu

do stavu ni a operátor ai jednu takúto časticu uberá. Maticové elementy v (7) dáva evidentne operátor

F(1) = ∑ik

f (i1k

)a+

i ak (10)

Celkom analogicky môžeme postupovať aj pri výpočte maticového elementu dvojčasticového operá-tora, ale tu to nebudeme robiť – čitateľ nájde príslušné vzťahy v ÚKM.

Cesta, ktorú sme tu naznačili, je však trocha zdĺhavá. Spočíva totiž v nasledujúcom. Najprv zavedieme formalizmus symetrizovaných vlnových funkcií (3) a potom ukážeme, že všetky stavy a operátory v tomto formalizme, môžeme „preložiť“ do jazyku Fokovho priestoru stavov (4) a operátorov typu (10), ktoré v ňom pôsobia. Každý stav a každý oparátor by sme pri takomto postupe museli najprv vyšetriť v ťažkopádnom formalizme symetrizovaných vlnových funkcií a potom ho prácne preložiť do jazyka Fokovho priestoru. Našťastie sa tento „preklad“ dá robiť priamo z jednočasticovej SchR. Postupujeme pritom nasledujúcim spôsobom.

Vyjdeme z jednočasticovej SchR

Hϕn(r) = Enϕn(r) (11)

a nájdeme jednočasticové stavy. Teraz rovno definujeme stavy N-časticovej sústavy vo Fokovom priestore. Tieto stavy sú zapísané

v tvare

|N1, N2,…⟩ (12)

pričom N1 je počet častíc v stave s energiou E1, N2 počet častíc v stave s energiou E2 atď. Definujeme kreačné a anihilačné operátory počtu častíc v jednotlivých stavoch. Operátory ai, a

+k spĺňajú vzťahy (9)

a komutačné vzťahy

[ai, a+k] = δik, [ai, ak] = 0, [a+

i, a+k] = 0 (13)

Ďalej definujeme operátor vlnovej funkcie

ψ(r) ∑∞

=

=1

)(i

ii rϕa (14a)

a operátor k nemu hermitovsky združený

ψ+(r) ∑∞

=

+=1

)(*i

ni irϕa (14b)

Jednočasticový operátor typu (10) teraz konštruujeme priamo. Nech f (r) opisuje interakciu častice s vonkajším poľom. Zostavme

F ≡ ∫ψ+(r) f(r)ψ(r)d3r (15)

79

Ak sem dosadíme z rovníc (14) dostaneme okamžite výraz (10), ktorý odpovedá operátoru (5) v mnoho-časticovej sústave.

Celkom analogicky by sme dostali správnu odpoveď aj pri tzv. dvojčasticovom operátore, t. j. operá-tore, ktorý opisuje vzájomné dvojčasticové interakcie v sústave. Ak operátor interakcie dvoch častíc vo formalizme (3) je

∑∑i k

kiV ),(2

1rr

bude jeho úlohu vo Fokovom priestore hrať operátor

2

1∫ψ+(x)ψ+(y)V(x , y)ψ(y)ψ(x)d3

x d3y (16)

Zhrňme teraz to, čo sme povedali doteraz. Jednu časticu v poli vonkajšieho potenciálu U(r) opisuje SchR

+∆− )(

2

2rU

m

hϕ (r) = Eϕ (r) (17)

Sústavu N-častíc, ktoré navzájom neinteragujú a nachádzajú sa v rovnakom poli U(r) je opísaná hamil-toniánom

H = ∫ψ+(r)

+∆− )(

2

2rU

m

hψ(r)d3

r (18a)

kde

ψ(r) = ∑aiϕi(r) (18b)

ϕi(r) sú riešenia (17) a ai sú operátory spĺňajúce (13). Ak častice navzájom interagujú, pridávame k (18a) ešte výraz (16).

Fyzikálny význam operátorov ψ(r) , ψ+(r) je jednoduchý. Zostrojme výraz ψ+(r0) |0⟩, kde |0⟩ je stav bez častíc a zapíšme ho explicitne v súradnicovej reprezentácii

⟨r |ψ+(r0) |0⟩ = ⟨r |a+1ϕ*1(r0) + a+

2ϕ*2(r0) + … |0⟩ = ⟨r |1, 0, 0,…⟩ϕ*1(r0) + ⟨r |0, 1, 0,…⟩ϕ*2(r0) + …

Stav |1, 0, 0,…⟩ odpovedá jedinej častici v stave s vlnovou funkciou ϕ1(r) , a preto ⟨r |1, 0, 0,…⟩ = ϕ1(r), atď. Takto máme

⟨r |ψ+(r0) |0⟩ = ϕ*1(r0)ϕ1(r) + ϕ*2(r0)ϕ2(r) + … = ∑iϕ*i(r0)ϕi(r) = δ3(r − r0)

Pôsobením operátora ψ+(r0) na |0⟩ sme takto dostali stav s jedinou časticou v bode r0. Operátor ψ+(r) preto vytvára (kreuje) jednu časticu v bode r . Analogicky operátor ψ(r) anihiluje časticu v bode r . Matematická štruktúra ψ+(r), ψ(r) Je daná vzťahom

[ψ(r), ψ+(r)] = δ3(r − r ') (19)

ktorý ľahko odvodíme z definície (18b), komutačných vzťahov (13) a úplnosti funkcií ϕ i. Teraz je už vidno najkratšiu cestu ako sa možno dostať od SchR pre jedinú časticu k opisu systému

častíc vo Fokovom priestore. To, čo potrebujeme, je dostať sa od SchR k hamiltoniátiu viac časticovej sústavy (18a) a ku komutačnému vzťahu (19). Potom od (19) prejdeme k vyjadreniu (18b) pre ψ(r) a sme hotoví.

Ukážeme si teraz, že tento prechod možno urobiť pomocou sekundárneho kvantovania. Názov pochádza z toho, že pod „prvým“, či „primárnym“ kvantovaním rozumieme prechod od klasickej mechaniky ku Schrödingerovej rovnici a sekundárnym kvantovaním nazývame prechod, pri ktorom z vlnovej funkcie v SchR urobíme operátor. V istom zmysle to odpovedá tomu, že riešenie SchR chá-peme ako klasickú veličinu, ktorú kanonickým spôsobom prekvantujeme.

80

Tento program teraz vykonáme. Pre kanonické kvantovanie potrebujeme najprv lagranžián, ktorý vedie ku SchR. Vyberme

L = iħψ*(x) ψ(x)m2

2h− (∇∇∇∇ψ*)·(∇∇∇∇ψ) − U(x)ψ*(x)ψ(x) (20)

Eulerove-Lagrangeove rovnice sú

0=∂

∂−

∂

∂∂

∂

∂

∂

ψψµ

µ

LL

xx

(21)

a rovnaká rovnica pre ψ*, lebo ψ, ψ* sú dve nezávisle premenné. Nezávislé sú preto, že ψ = ψ1 + iψ2, ψ* = ψ1 − iψ2 s reálnymi ψ1, ψ2. Za nezávislé môžeme preto považovať ψ1, ψ2 alebo ψ, ψ*. Z (20) dostaneme

ψψψ

ψψψ

µ

Uim

x

−=∂

∂∇−=

∂

∂∂

∂=

∂

∂&h

h

& *,

2*,0

*

LLL

Po dosadení do (20) dostaneme

ψψψ

Umt

i +∆−=∂

∂

2

2hh (22)

čo je Schrödingerova rovnica. Keby sme za nezávislú premennú vybrali ψ a nie ψ* dostali by sme z (21) rovnicu komplexne združenú k (22).

Pre hybnosť kanonicky združenú k ψ máme

π (x) =∂

∂=

ψ&

Liħψ*(x) (23)

analogicky

π*(x) =∂

∂=

*ψ&

L0

Hustota hamiltoniánu bude

H = π ψ + π*ψ* − L =m2

2h− ∇∇∇∇ψ*·∇∇∇∇ψ + Uψ*ψ (24)

Pri kanonickej schéme kvantovania teraz vychádzame z hamiltoniánu

H = ∫d3xH(x) = ∫ψ*(x)

+∆− )(

2

2rU

m

hψ(x)d3

x (25)

(kde sme urobili jednoduchú úpravu integrovaním per partes) a z kanonického komutačného vzťahu

[π*(x), ψ(y)] = −iħδ3(x − y) (26)

Hamiltonián (25) je ale identický tomu, čo sme dostali v (18a) a komutačný vzťah (26) je vďaka (23) identický s (19).

Tým sme ukázali, že sekundárne kvantovanie je ekvivalentné opisu viacčasticovej sústavy identic-kých častíc.

Uveďme ešte niekoľko poznámok. a) Pri kvantovaní kontinua je hodnota poľa ψ(x) v bode x dynamickou premennou a x je jej indexom

(a nie dynamickou premennou). b) Vo vzťahu (26) sa na pravej strane objavuje δ-funkcia. V pôvodnej práci Heisenberga a Pauliho

z konca 30. rokov sa postupovalo tak, že celý priestor sa rozdelil na maličké kocky, stred kocky bol indexom a ψ(x), π (x) boli potom diskrétne premenné. Postup Pauliho a Heisenberga je opísaný naprí-klad v známej Schiffovej učebnici kvantovej mechaniky. Mnemotechnicky si možno (26) zapamätať aj

81

takto: pri diskrétnych indexoch platí [pi, qi] = −iħδi j a odtiaľ máme

∑i[pi, qi] = −iħ

Analógom tohto vzťahu je ∫d3

x [π*(x), ψ(y)] = −iħ

ktoré je pri (26) zrejme splnené vďaka δ-funkcii na pravej strane. c) Vzniká ešte otázka, čo sme to vlastne kvantovali? V prípade EM poľa vieme, že klasickým veli-

činám Aµ(x), E(x), B(x) odpovedá klasické EM pole a jeho kvantovaním dostaneme fotóny – kvantá EM poľa. Pýtame sa ale na to, či existuje v prírode niečo odpovedajúce riešeniu SchR, chápanému ako kla-sická veličina. Ukazuje sa, že existuje. V supravodivom materiáli vzniká kondenzát tzv. Cooperových párov. Tieto páry sú bozónmi a ich kondenzát je opísaný vlnovou funkciou ψ(r , t). Kvantám tohto „klasického poľa“ sú jednočasticové excitácie. Pod klasickým“ ψ(r , t), ktoré sme kvantovali vyššie, si možno predstaviť práve takýto kondenzát.

4 Sekundárne kvantovanie sústavy fermiónov

Sústava N fermiónov je opísaná podľa Pauliho princípu antisymetrickými funkciami. Pri prechode do Fokovho priestoru nemôžeme preto použiť bezo zmeny predchádzajúci formalizmus, ktorý obsa-huje aj stavy s viacerými časticami v tom istom jednočasticovom stave. Bez toho, aby sme vchádzali do podrobností, uvedieme tu len výsledky. Pri budovaní Fokovho priestoru zavádzame stav |0,…, 0…⟩, v ktorom niet žiadnych častíc. Stavy s fermiónmi v jednočasticových stavoch budujeme s použitím kreačných a anihilačných operátorov b+

i, bi, ktoré spĺňajú antikomutačné vzťahy

bi, b+j = δi j, bi, bj = 0, b+

i, b+j = 0 (1)

kde antikomutátor operátorov A, B je definovaný ako A, B = AB + BA. Vzťahy (1) automaticky zaručujú to, že v žiadnom mnohočasticovom stave nemôžu byť dve častice

v tom istom jednočasticovom stave. Skutočne, zo vzťahov (1) máme

b+i b

+i + b+

i b+i = 0

a preto b+

i b+i |0,…, 0…⟩ = 0

takže stav s dvomi časticami v stave e energiou Ei sa automaticky rovná nule. Antikomutačné vzťahy súvisia aj s antisymetriou vlnovej funkcie. Podľa (1) máme b+

i b+j + b+

j b+i = 0 a preto

b+i b

+j |0,…, 0…⟩ = −b+

j b+i |0,…, 0…⟩

Tento vzťah je analógom antisymetrie vlnovej funkcie pri zámene dvoch častíc. Kánonický formalizmus pre kvantovanie fermiónového poľa postupuje spočiatku celkom tak, ako

pri bozónovom poli. Vyjdeme s lagranžiánu, ktorý je zostavený tak, aby Euler-Lagrangeove rovnice, ktoré z neho vyplývajú, viedli priamo k Diracovej rovnici. Namiesto komutačného vzťahu [Φ(y), π(x)] = = iħδ3(x − y) ale žiadame splnenie antikomutačnej podmienky

ψ(y), π*(x) = iħδ3(x − y) (2)

V prípade nerelativistických viacelektrónových sústav vychádzame z lagranžiánu príslušného ku Schrö-dingerovej rovnici. Je to presne ten lagranžián, s ktorým sme sa stretli v rovnici (3.20). Podstatná zmena bude v tom, že namiesto (3.19) bude pre fermióny platiť

ψ(x), ψ+(y) = δ3(x − y) (3)

Rozklad polí do kreačných a anihilačných operátorov je formálne rovnaký ako pri bozónoch

ψ(x) = ∑n

bnϕn(x), ψ+(x) = ∑n

b+nϕ*n(x) (4)

82

5 Kvantovanie KG poľa

Kleinovu-Gordonovu rovnicu

( + m2)ϕ(x) = 0

dostaneme z hustoty lagranžiánu

L =

−

∂

∂

∂

∂= 22

2

1ϕ

ϕϕ

µµ

mxx

Skutočne

ϕϕ

ϕ

ϕ µ

µ

2, mx

x

−=∂

∂

∂

∂=

∂

∂∂

∂ LL

a po dosadení týchto vzťahov do Eulerových-Lagrangeových rovníc

( ) 0=∂

∂−

∂∂

∂

∂

∂

ϕϕµµ

LL

x

dostaneme hneď KG rovnicu (1). Hybnosť kanonicky združená k poľu ϕ je

π (x) ϕϕ

0∂=∂

∂=

&

L

a pre hustotu hamiltoniánu máme

H = π ϕ − L =2

1− ( ϕ2 + ∇∇∇∇ϕ ·∇∇∇∇ϕ + m2ϕ2) (2)

S úplným systémom riešení KG rovnice sme sa už stretli v čl. 2, kap. II. Tieto riešenia sú definované vzťahmi

f p(+)(x)

pω2)2(

13π

= e−ip · x (3a)

f p(−)(x)

pω2)2(

13π

= eip · x (3b)

ktorá sú navzájom ortonormované (pozri II.2.6) v zmysle (II.2.5). Skalárne pole φ(x) rozkladáme potom do kreačných a anihilačných operátorov

φ(x) ∫π

=

p

p

ω2)2(

d3

3

[a(p, p0)e−ip · x + a(−p, −p0)e

ip · x] (4)

pričom a(p, p0) je anihilačným operátorom častice s hybnosťou p a energiou p0, zatiaľ čo a(−p, −p0) je anihilačným operátorom pre časticu s hybnosťou (−p) a energiou (−p0). Anihilácia častice s daným (−p, −p0) je ale ekvivalentná kreácii častice s (p, p0) a preto možno (4) prepísať do tvaru

φ(x) ∫π

=

pω2)2(

d3

3p

[a(p)e−ip · x+ a+(p)eip · x] (5)

Prítomnosť a+(p) na danom mieste je nutná už aj preto, že pole je skalárne a v klasickom prípade reálne. V kvantovom prípade pole musí byť opísané hermitovským operátorom, Hermitovské pole odpovedá situácii, keď častica nemá vnútorné kvantové čísla. Keby pole bolo napríklad nabité, potom by anihi-lácia častice s nábojom, povedzme, Q a s hybnosťou a energiou (−p, −p0) bola ekvivalentná kreácii

83

častice s (p, p0) a s nábojom −Q. Pre nabité pole by sme preto museli písať

φ(x) ∫π

=

pω2)2(

d3

3p

[a(p)e−ip · x + b+(p)eip · x] (6)

kde b+(p) je operátorom kreácie antičastice. Ostaňme ale pri reálnom skalárnom poli opísanom rozkladom (6). Komutačné vzťahy kreačných a

anihilačných operátorov sú určené kanonickým komutačným vzťahom

[π(x), φ(y)] ≡ [φ(x), φ(y)] = −iδ3(x − y) (7)

a sú dané vzťahmi

[a(k), a+(p)] = δ3(k − p), [a(k), a(k')] = 0, [a+(k), a+(k')] = 0 (8)

Odporúčame čitateľovi, aby sa presvedčil o tom, že kvantované pole φ(x) dané rovnicou (6), spĺňa pri komutačných vzťahoch (8) kanonické komutačné vzťahy (7).

Pri normalizácii na konečný objem V píšeme

f p(+)(x)

pVω2

1= e−ip · x, f p

(−)(x)pVω2

1= eip · x (9)

Namiesto (6) potom máme

φ(x) = ∑p

[a(p)f p(+)(x) + a+(p) f p

(−)(x)] (10)

kde sčitujeme cez hodnoty p povolené periodickou okrajovou podmienkou. Komutačné vzťahy potom majú na pravej strane (8) namiesto δ-funkcie Kroneckerov symbol.

Operátor energie sústavy je daný integrálom z hustoty hamiltoniánu (2)

H = ∫d3xH2

1= ∫d3kωk[a+(k)a(k) + a(k)a+(k)] = ∫d3kωk[a+(k)a(k)

2

1+ ] (11)

Táto energia je formálne nekonečná, lebo za každé k dostávame energiu nulových kmitov oscilátora rovnajúcu sa ħωk /2, reprezentovanú posledným členom v (11). Najjednoduchší recept na odstránenie tejto divergencie spočíva v argumente, podľa ktorého sú relevantné len rozdiely energií jednotlivých stavov a potom príspevok (1/2) ∫d3kωk môžeme od energie všetkých stavov jednoducho odrátať. Tento „recept“ nie je esteticky uspokojivý, ale nič podstatne hlbšieho zatiaľ nie je známe. Je síce pravdou, že to isté možno urobiť formálne oveľa elegantnejšími spôsobmi, ale fyzikálne dôvody pre odtrhnutie tohto členu sa nemenia.*)

Možno ešte ukázať, že operátor hybnosti sústavy je daný výrazom

P2

1= ∫d3k k[a+(k)a(k) + a(k)a+(k)] = ∫d3k ka+(k)a(k) (12)

Odvodenie tohto vzťahu čitateľ nájde napríklad v kap. 12 učebnice Bjorkena a Drella (II. diel). Vo Feynmanovom prístupe k interakciám častíc hral podstatnú úlohu propagátor KG poľa. Podľa

(II.3.7) je tento propagátor daný vzťahom

i∆F(x − x') = Θ(t − t') ∫ ′−− ⋅

π

)(i3

3

e2)2(

d xxp

p

p

ω+ Θ(t' − t) ∫ ′−⋅

π

)(i3

3

e2)2(

d xxp

p

p

ω (13)

Ukážeme teraz ako tento propagátor možno vyjadriť pomocou kvantovaného poľa φ(x). Vyjadrenie bude snáď vyzerať trocha umelo, ale presne týmto spôsobom sa propagátor objaví pri nestacionárnej poruchovej metóde pre interagujúce relativistické polia. Definujme pre dva bozónové operátory

*) Dôvod, pre ktorý je tento člen aj fyzikálne podozrivý, je v tom, že vo všeobecnej teórii relativity je tenzor hustoty energie-

-hybností zdrojom gravitačného poľa. A preto s nekonečnom v zložkách tohto tenzora nebude všetko v poriadku alebo existujú hlbšie dôvody, pre ktoré tento člen sa fakticky rovná nule.

Poznámka z roku 2009. Existujú špekulácie, že energia nulových kmitov nie je nekonečná, ale veľmi veľká a prispôsobuje sa k pozorovanému rozpínaniu vesmíru.

84

T A(x)B(x) ≡ Θ(t − t')A(x)B(x') + Θ(t' − t)B(x')A(x) (14a)

a pre dva fermiónové operátory

T A(x)B(x) ≡ Θ(t − t')A(x)B(x') – Θ(t' − t)B(x')A(x) (14b)

Feynmanov propagátor teraz dostaneme zo vzťahu

i∆F(x − x') = ⟨0| Tφ(x)φ(x') |0⟩ (15)

Presvedčíme sa o tom tak, že do (15) dosadíme priamo (5), využijeme komutačné vzťahy (8) a vzťahy a(p) |0⟩ = 0 pre všetky p. Stav |0⟩ tu označuje „vákuový stav“, t. j. stav, v ktorom niet žiadnych častíc. Pre t > t' na pravej strane (15) dá nenulový príspevok len člen

∫ π p

p

ω2)2(

d3

3

∫ π q

q

ω2)2(

d3

3

⟨0| a(p) e−ip · xa+(q)eiq · x' |0⟩ = ∫ π p

p

ω2)2(

d3

3

∫ π q

q

ω2)2(

d3

3

e−ip · xeiq · x' δ3(p − q)

a to po jednoduchej úprave dáva prvý člen na pravej strane (13). Pre t < t' postupujeme celkom analo-gicky a dostaneme druhý člen v (13).

Poznamenajme ešte, že v poruchovej metóde pri teórii kvantovaných polí sa objaví práve člen ⟨0| Tφ(x)φ(y) |0⟩ a potom propagátor bozónového poľa bude vždy vystupovať v kombinácii i∆F(x − x') s čím sme sa už stretli aj pri propagátore fotónu v kap, IV čl. 3 a 4.

6 Kvantovanie Diracovho poľa

Diracova rovnica má tvar

0)(i =

−

∂

∂xm

xψγ

µµ (1)

a môžeme ju dostať z hustoty lagranžiánu

L )(i)( xmx

x ψγψµ

µ

−

∂

∂= (2)

Za dve nezávislé premenné zas berieme ψ , ψ+ (alebo ψ , ψ )). Eulerove-Lagrangeove rovnice pre ψ sú triviálne, lebo v (2) nevystupujú derivácie ψ . Pre ψ preto máme

( ) 0i =

−

∂

∂=

∂

∂−

∂∂

∂

∂

∂ψγ

ψψ µµ

µµ

mxx

LL

čo je Diracova rovnica (1). Pre hybnosť kanonicky združenú k ψ máme

π (x) =∂

∂=

ψ&

Liψ (x)γ 0 = iψ+(x)

a hustota haniltoniánu bude

H = π ψ + π ψ − L

tu je ale π = 0, a preto

H = iψ+(x)ψ(x) − iψ (x)µ

µγx∂

∂ψ + mψ (x)ψ(x)

Po jednoduchých úpravách máme

H = −iψ+(x)γ 0γ kkx∂

∂ψ + mψ ψ = ψ+(x)[−iα ·∇∇∇∇ + βm]ψ (3)

kde sme využili γ 0γ k = α k (k = 1, 2, 3), β = γ 0.

85

Pri kanonickom kvantovaní budeme teraz žiadať (pozri 4.2), (4.3)) splnenie antikomutačného vzťahu

ψα(x , t), ψ+β(y , t) = δ3(x − y)δαβ (4)

Na rozdiel od (4.2), (4.3) tu žiadame splnenie antikomutačného vzťahu pre jednotlivé komponenty ope-rátora poľa, ale to je len prirodzené, lebo tieto komponenty sú nezávislými dynamickými premennými.

Operátor Diracovho poľa rozkladáme do kreačných a anihilačných operátorov nasledovne

ψ(x , t)ps E

m∑∫ 3/2π)

=2(

d3p

[b(p, s)u(p, s)e−ip · x + d+(p, s)v(p, s)eip · x]

ψ+(x , t)ps E

m∑∫ 3/2π)

=2(

d3p

[b+(p, s)u+(p, s)eip · x + d(p, s)v+(p, s)e−ip · x]

pričom spinory sú normované podmienkou

u(p, s)u(p, s) = 1, v(p, s)v(p, s) = −1

a kreačné a anihilačné operátory spĺňajú antikomutačné vzťahy

b(p, s), b+(p', s') = δss' δ3(p − p')

d(p, s), d+(p', s') = δss' δ3(p − p'), ostatné sa rovnajú nule

Namiesto výrazu d+(p, s)v(p, s) vo vzťahu (5) by sme mohli písať aj b(−p, −s)v(p, s) alebo b(−p, −s)u(−p, −s). Operátor b(−p, −s) je operátorom anihilácie elektrónu s (−p0, −p) a s priemetom spinu rovným (−s). Anihilácia takéhoto elektrónu je ale ekvivalentná kreácii pozitrónu so 4-hybnosťou (p0, p) a priemetom spinu (+s) a preto namiesto b(−p, −s) píšeme rovno d+(p, s), teda kreačný operátor pozitrónu s (p0, p, s). Po dosadení (5) do hustoty hamiltoniánu a integrovaní cez celý priestor dostaneme

H = ∫d3xH = ∑s ∫d

3pEp[b

+(p, s)b(p, s) − d(p, s)d+(p, s)] (6)

Ak ešte využijeme antikomutačný vzťah (5') dostaneme

H = ∑s ∫d

3pEp[b

+(p, s)b(p, s) + d+(p, s)d(p, s) − 1] (7)

Posledný člen je zas spojený s „energiou nulových kmitov“ a vzhľadom na to, že pre všetky energetické hladiny dáva rovnaký (hoci formálne nekonečný) príspevok, vynecháme ho z ďalších úvah. Je užitočné si všimnúť aj to, že znamienko pri príspevku „nulových kmitov“ je pre fermióny práve opačné ako pre bozóny a v niektorých teóriách sa uvažuje aj o tom, že počty bozónov a fermiónov v prírode sú také, aby sa tieto členy navzájom zrušili. Po odtrhnutí nulových kmitov máme

H = ∑s ∫d

3pEp[b

+(p, s)b(p, s) + d+(p, s)d(p, s)] (8)

Doterajšie vzťahy sme písali pre normovanie riešení v nekonečnom priestore. Pri normovaní na konečný objem namiesto (5), (5') a (8) máme

ψ(x , t) ∑∑=s pVE

m

p

[b(p, s)u(p, s)e−ip · x + d+(p, s)v(p, s)eip · x] (9)

b+(p, s), b(p', s') = δss', δpp', atď. (10)

H = ∑s∑p

Ep[b+(p, s)b(p, s) + d+(p, s)d(p, s)] (11)

Interpretácia b+(p, s) ako kreačného operátora elektrónu atď., je potvrdená tým, že vo vyjadreniach pre celkovú hybnosť a celkový náboj nájdeme (po odtrhnutí členov rovnakého pôvodu ako nulové kmity)

P = ∑s ∫d

3p p [b+(p, s)b(p, s) + d+(p, s)d(p, s)] (12)

(5)

(5')

86

Q = e ∑s ∫d

3p [b+(p, s)b(p, s) − d+(p, s)d(p, s)] (13)

Tieto vyjadrenia nebudeme odvodzovať podrobnejšie, čitateľ ich nájde napríklad v 2 dieli učebnice Bjorkena a Drella.

V predchádzajúcom článku sme ukázali, že Feynmanov propagátor Kleinovho-Gordonovho poľa dostaneme ako vákuovú strednú hodnotu T-súčinu operátorov KG poľa. To isté platí aj pre fermióny, kde máme

iSF, β α(x − y) = ⟨0| Tψβ(x)ψα(y) |0⟩ (14)

pričom

Tψβ(x)ψα(y) = Θ(x0 − y0)ψβ(x)ψα(y) − Θ(x0 − y0)ψα(y)ψβ(x)

Presvedčíme sa teraz o správnosti (14) pri x0 > y0. Vzhľadom na to, že b(p, s) |0⟩ = d(p, s) |0⟩ = 0 a podobne ⟨0| b+(p, s) = ⟨0| d+(p, s) = 0 máme

⟨0|ψβ(x)ψα(y) |0⟩ ∑∑∫∫′

3/23/2 π)π)=

s s 2(

d

2(

d 33qp

uα(p, s)uβ(q, s')e−ip · x+ iq · y⟨0| b(p, s)b+(q, s') |0⟩

Maticový element na pravej strane je δss'δ3(p − q). Ďalej využijeme

∑s

uα(p, s)uβ(p, s')αβ

+=

m

mp

2

a máme

⟨0|ψβ(x)ψα(y) |0⟩ ∫ π=

pE

m3

3

)2(

d pe−ip · (x − y)

αβ

+

m

mp

2

čo v porovnaní s (II.8.5a) ukazuje platnosť rovnice (14) pri x0 > y0. Prípad x0 < y0 prenecháme čitateľovi.

7 Kvantovanie voľného elektromagnetického poľa

Voľné elektromagnetické pole môžeme opísať 4-potenciálom (A0, A) a kalibráciu môžeme vybrať tak, že platí

A0 = 0, div A =0 (1)

V tejto kalibrácii

Et∂

∂−=

A, B = rot A (2)

a Maxwellove rovnice sa redukujú na

∆A2

2

t∂

∂− A = 0 (3)

Riešenia spĺňajúce periodické okrajové podmienky v konečnom normovačom objeme V píšeme v tvare

Aλ(x)ωV2

1[aε λ e−ik · x + a*ε λ eik · x]

Podobne ako pri KG poli po sekundárnom kvantovaní, koeficient pri exp (−ik ·x) bude anihilačným, koeficient pri exp (ik ·x) kreačným operátorom. Takto dostaneme

Aλ(x) ∑∑=

=2,1 2

1

r Vk ω[a(k, r)ε λ

(r)e−ik · x + a+(k, r)ε λ(r)eik · x] (4)

kde ε (r) je (zatiaľ reálny) polarizačný vektor, pre ktorý vďaka podmienkam (1) platí ε0(r) = 0, k ·ε (r) = 0.

/

/

87

Operátor a(k, r) anihiluje fotón s hybnosťou k a polarizáciou r, a+(k, r) je kreačný operátor takého fotónu. Komutačné vzťahy sú

[a(k, r), a+(q, s)] = δrs δk, q , [a(k, r), a(q, s)] = [a+(k, r), a+(q, s)] = 0 (5)

Operátory intenzity elektrostatického a indukcie magnetického poľa nájdeme pomocou (2)

E(x) ∑ −=k, 2

)i(r V

ω[a(k, r)ε (r)e−ik · x − a+(k, r)ε (r)eik · x]

B(x) ∑ −=k, 2

)i(r V

ω[(k×ε (r))a(k, r)e−ik · x − (k×ε (r))a+(k, r)eik · x]

Hamiltonián sústavy je daný výrazom

H = ∫d3xH (x)2

1= ∫d3x [E2(x) + B2(x)]

Teraz dosadíme (4) do (6) a spočítame integrál. Je ale užitočnejšie postupovať pomalšie a spočítať tento integrál najprv tak, že v súčte (6) ponecháme iba jediný člen. Vyberme napríklad jediné k v smere osi z a polarizačný vektor v smere osi x. Potom budeme mať nenulové zložky

Ex = −iV2

ω(aeikz − a+e−ikz)

By = iV2

ω(aeikz − a+e−ikz)

Teraz sa priamou integráciou jednoducho presvedčíme o tom, že platí

2

1∫(Ex

2 + By2)d4V

2

ω= (aa+ + a+a)

Pri priamom dosadení (4) do (6) dostaneme takýto príspevok od každého (k, r) stavu fotónu. Vďaka integrácii cez d3x sa môžu objaviť aj členy typu a(−k, r)a(k, r), a+(k, r) a+(−k, r), ale tieto vypadnú vďaka tomu, že v E2 a v B2 vystupujú s rôznym znamienkom, čo pochádza z toho, že vo výraze pre B máme faktor (k×ε), ktorý mení znamienko pri zmene znamienka k . Hamiltonián preto bude (píšeme explicitne aj ħ)

H ∑=r, 2

1

k

ħωk[a(k, r)a+(k, r) + a+(k, r)a(k, r)]

Po využití komutačných vzťahov a vynechaní príspevku „nulových kmitov“ máme napokon

H ∑=r

k,k

ωh a+(k, r)a(k, r)

Pre operátor celkovej hybnosti by sme dostali (zas nebudeme toto tvrdenie zdôvodňovať)

P ∑=r,k

hka+(k, r)a(k, r) (7)

Odtiaľ vidno, že interpretácia a(k, r), a+(k, r) ako anihilačného a kreačného operátora s danou hybnos-ťou je správna.

Napokon ešte vyšetríme súvislosť medzi propagátorom fotónu a vákuovou strednou hodnotou T-sú-činu operátorov poľa. Propagátor, ktorý tu budeme uvažovať, sa týka len voľného elektromagnetického poľa v kalibrácii, v ktorej je polarizácia vždy kolmá na smer šírenia vlny. Hovoríme preto o propagátore priečnych fotónov.

Uvažujme ⟨0| T Aµ(x)Aν(x) |0⟩. Ak sem dosadíme zo (4) a využijeme a(k, r) |0⟩ = 0, ⟨0| a+(k, r) = 0

(6)

88

máme pre x0 > y0

% ≡ ⟨0| T Aµ(x)Aν(x) |0⟩ ∑=qk ,,,

)()(

2sr

r

V

βνµ εε

e−ik · x + iq · y ⟨0| a(k, r)a+(k, r) |0⟩

Maticový element je rovný δrsδk, q a preto

% ∑=k,

)()(

2r

r

V

βνµ εε

e−ik · (x − y)

Teraz je užitočné prejsť od súčtu k integrálu. Hustota stavov povolených periodickou okrajovou pod-mienkou v k-priestore je V/(2π)3, takže máme pri x0 > y0

% ∫ π=

ω2)2(

d3

3k

εµ(r)(k)ε ν

(r)(k)e−ik · (x − y)

kde sme už za ε explicitne vpísali vektor k, lebo ku každému k patrí určitá dvojica polarizačných vek-torov. Sumu cez polarizačný vektor ľahko spočítame v špeciálnom prípade, keď k = (0, 0, k3). Vtedy ε (1) = (1, 0, 0), ε (3) = (0, 1, 0) a

∑= 2,1

)()(

r

rj

ri εε = δi1δj1 + δi2δj2

Odtiaľ vidno, že vo všeobecnom prípade máme

∑= 2,1

)()(

r

rj

ri εε = δi j =−

2k

jikk δ

tirj (8)

kde „tr“ značí transversalitu vzhľadom na k, teda δtirjkj = ki δ

tirj = 0. Vzhľadom na to, že používame

kalibráciu s A0 = 0 budú sa všetky zložky s µ = 0 alebo s ν = 0 rovnať nule. Doteraz sme vyšetrovali len prípad s x0 > y0. Prípad s x0 < y0 prebieha úplne rovnako a tak pre mati-

cový element T-súcinu máme

⟨0| T A i(x)A j(x) |0⟩ ∫ π=

ω2)2(

d3

3ke−ik · (x − y) Θ(x0 − y0) + eik · (x − y) Θ(y0 − x0)δt

irj

Pomocou iε triku sa presvedčíme o tom, že platí

⟨0| T A i(x)A j(x) |0⟩ ∫ π=

4

4

)2(

di

ke−ik · (x − y) δ

tirj

εi

12 +k

kde k2 = k02 − k2. Odtiaľ máme

⟨0| T A i(x)A j(x) |0⟩ ∫ π=

4

4

)2(

di

ke−ik · (x − y) D t

irj(k) (9)

pričom

D tirj(k)

−δ

+= 22 i

1

k

jiji kk

k ε (10)

je propagátorom priečnych (transverzálnych) fotónov. Ak porovnáme (9) a (10) s výsledkami zo záveru čl. 10 kap. II. vidíme, že platí

⟨0| T A i(x)A j(y) |0⟩ = D tirj(x − y) (11)

kde D tirj(x − y) je priečny propagátor EM poľa. V radiačnej kalibrácii je skalárny potenciál A0 = 0 kla-

sickou (nekvantovanou) veličinou, opisujúcou okamžitú Coulombovu interakciu. Príslušný propagátor

89

D00 je potom daný touto Coulombovou interakciou (pozri čl. 10 kap. II.). Vzhľadom na to, že (pozri čl. 10, kap. II) fyzikálne výsledky sa nemenia pri kalibračných transformáciách (11.10.24) môžeme propa-gátor písať aj v tvare

≡ ⟨0| T Aµ(x)Aν(x) |0⟩ = i DFµν(x − y) (12)

kde DF je Feynmanov propagátor podrobnejšie diskutovaný v čl. 10, kap. II.

8 Interakčný obraz. Dysonov rad v nestacionárnej poruchovej metóde

V kvantovej mechanike (pozri podrobnejšie ÚKM) sa používajú najčastejšie tri obrazy: Schrödin-gerov, Heisenbergov a interakčný (Diracov). V Schrödingerovom operátory fyzikálnych veličín ako hybnosti, súradnice, atď. nezávisia od času a celá časová závislosť stredných hodnôt je daná časovou závislosťou vektora stavu

t∂

∂hi |ψ(t)⟩ = H |ψ(t)⟩ (1)

H = H0 + H' (2)

kde sme už hamiltonián rozdelili na neporuchovú časť H0 a „malú“ poruchu H'. Operátory a stavy v Schrödingerovom obraze nebudeme označovať žiadnymi indexmi.

V Heisenbergovom obraze je celá časová závislosť prenesená na operátory; stavové vektory od času nezávisia. Príslušná transformácia od Schrödingerovho k Heisenbergovmu obrazu je daná vzťahmi (ħ = 1)

|ψH⟩ = eiHt |ψ(t)⟩ (3)

AH(t) = eiHt Ae−iHt (4)

V interakčnom obraze je časová závislosť stavu daná operátorom H' a časová závislosť operátorov neporušeným hamiltoniánom H0. Vzťahy medzi operátormi a stavmi v interakčnom a Schrödingerovom obraze sú tieto

|ψI⟩ = eiH0t |ψ(t)⟩ (5)

A I(t) = eiH0t Ae−iH0t (6)

Zo (6) hneď vidno, že platí (H0)I = H0, takže pri H0 v ďalšom nebudeme písať index I. Operátor poruchy H' v interakčnom obraze bude

H'I(t) = eiH0t H'e−iH0t (7)

Pre časovú deriváciu stavu v interakčnom obraze podľa (5) a SchR pre |ψI(t)⟩ platí

iħt∂

∂|ψI(t)⟩ = H'I |ψI(t)⟩ (8)

odkiaľ vidno explicitne, že časová závislosť |ψI(t)⟩ je daná len poruchou H'I(t). Toto je tiež dôvod pre to, že interakčný obraz sa nazýva niekedy aj Diracovým. V nestacionárnej poruchovej metóde v nerelativis-tickej kvantovej mechanike sa totiž časová závislosť vlnovej funkcie najčastejšie píše v tvare (metóda pochádza od Diraca)

ψ(r, t) = ∑an(t)e−iEn tΦn(r) (9)

kde En, Φn(r) sú vlastné hodnoty a vlastné funkcie neporušeného hamiltoniánu H0. Časová závislosť koeficientov an(t) je potom daná len poruchou H'. V tomto zmysle sú (8) a (9) ekvivalentné.

90

Pre časovú závislosť operátorov v interakčnom obraze podľa (6) máme

td

dAI(t) = i[H0, A I(t)] (10)

Dysonov rad v nestacionárnej poruchovej metóde vychádza zo Schrödingerovej rovnice zapísanej v tvare (8). Zaveďme operátor časového posunu stavu v interakčnom obraze vzťahom

|ψI(t)⟩ = U(t, t0) |ψI(t0)⟩ (11)

Z rovnice (8) vyplýva, že U(t, t0) spĺňa rovnicu

it∂

∂U(t, t0) = H'I U(t, t0) (12)

a z definície (11) vidno, že platí okrajová podmienka

U(t0, t0) = 1 (13)

kde na pravej strane máme jednotkový operátor, ale nebudeme ho špeciálne označovať. Ostatné dve rovnice (12) a (13) sú ekvivalentné jedinej integrálnej rovnici

U(t, t0) ∫ ′′′′−=t

t

tttt

0

d),()(1

1 0I UHh

(14)

kde sme explicitne vypísali aj ħ, ale ďalej ho zas budeme vynechávať. Iteráciou (14) dostaneme Dysonov rad

U(t, t0) L+′′′′′′′′

+′′′+= ∫∫∫

′t

t

t

t

t

t

tttttt

000

)(d)(di

1d)(

i

11 II

2

I HHH (15)

Všimnime si, že v druhom člene na pravej strane máme v rovine t', t'' štvorec t0 < t' < t, t0 < t'' < t, ale integrujeme iba cez tú časť štvorca, kde t'' < t'. Ak si nakreslíme obrázok vidíme ihneď, že integračnou oblasťou je trojuholník, ktorého plocha sa rovná práve polovici štvorca. Podstatné je tiež to, že v dvoj-násobnom integráli na pravej strane (15) je vždy v súčine H'I (t')H'I (t'') čas t' väčší ako čas t''. Namiesto polovice štvorca môžeme ale integrovať cez celý štvorec a urobiť príslušné úpravy podintegrálnej funkcie. Zaveďme najprv Dysonov operátor časového usporiadania. Platí preň

P(A(t')B(t'')) = (16)

Posledný člen v (15) potom môžeme písať ako

∫∫ ′′′

t

t

t

t

tt

00

ddi

1

!2

12

P[H I(t')H I(t'')] (17)

kde už integrujeme cez celý štvorec v rovine t', t'' a člen 1/(2!) zabezpečuje rovnosť (17) a posledného člena v (15). Takisto môžeme postupovať pri vyšších členoch rozvoja (15) a po úprave pomocou P-sú-činu dostávame

U(t, t0) ∫ ∫∑∞

=

+=

t

t

t

t

nn

n

ttn

0 0

dd!

1

i

11 1

1

Kh

P[H I(t1) … H I(tn)] (18a)

čo niekedy zapisujeme symbolicky aj v tvare

U(t, t0) = P

′′′∫t

t

tt

0

d)(i

1exp IH

h (18b)

A(t')B(t'') pre t' > t''

B(t'')A(t') pre t'' > t'

91

V kvantovej teórii poľa je interakčný hamiltonián H'I (t) daný integrálom z hustoty hamiltoniánu

HI(t) = ∫d3xH I(x, t) (19a)

Po dosadení (19a) do (18a) či (18b) dostaneme výraz, ktorý symbolicky zapisujeme v tvare

U(t, t0) = P

′′∫t

t

xx

0

4I d)(

i

1exp H

h (19b)

pričom H I(x, t) je vyjadrený pomocou operátorov poľa. V kvantovej elektrodynamike je H I(x, t) zadané princípom korešpondencie a požiadavkou relativistickej invariantnosti. Rozloženiu náboja s hustotou ρ(x) prislúcha v elektrostatickom poli a potenciálom A0(x) hustota energie H I(x) = ρ(x)A0(x). Pre elektrón opísaný riešením Diracovej rovnice ψ(x, 0) máme ρ(x) = −eψ+(x, 0)ψ(x, 0) = −eψ (x, 0)γ 0

ψ(x, 0) a interakcia má tvar −eψ (x, 0)γ 0ψ(x, 0)A0(x). Tento výraz je súčinom časových zložiek

štvorvektorov. Relativisticky invariantným zovšeobecnením bude skalárny súčin dvoch 4-vektorov

H (x, 0) = −eψ (x, 0)γ µψ(x, 0)A0(x) (20)

ktorý opisuje už interakčnú energiu Diracovho elektrónu s vonkajším EM poľom. Pri zápise výrazu (20) sme si úmyselne vybrali fixovaný čas t = 0. V Schrödingerovom obraze sa totiž v kvantovej elektro-dynamike (ďalej len QED) všetky veličiny na pravej strane (20) sa zmenia na operátory nezávislé od času. Zápis H'I (t) v interakčnom obraze dostaneme potom tak, že všetky operátory polí na pravej strane vyjadríme v interakčnom obraze.

Takýto prechod urobíme explicitne len pre skalárne KG pole, pre ostatné polia už výsledok ľahko uhádneme.

Podľa (5.10) máme pre operátor bozónového poľa

φ(x, 0) = ∑p

[a(p) f p(+)(x, 0) + a+(p)f p

(−)(x, 0)] (21)

a hamiltonián poľa je po odtrhnutí „nulových kmitov“

H = ∑pħωpa+(p)a(p) (22)

pričom platia komutačné vzťahy

[a+(p), a(q)] = −δpq , [a(p), a(q)] = [a+(p), a+(q)] = 0 (23)

Jedinými operátormi na pravej strane (21) sú kreačné a anihilačné operátory, ktoré sú tu zadané v Schrö-dingerovom obraze. Podľa (6) pre anihilačné a kreačné operátory v interakčnom obraze máme

aI(k, t) = eiH0t a(k)e−iH0t, a+I(k, t) = eiH0t a+(k)e−iH0t (24)

Za H0 teraz dosadíme podľa (22). V H0 v (22) máme rôzne kreačné a anihilačné operátory, ale všetky z nich s výnimkou jediného a to p = k komutujú s a(k), a+(k), takže z (24) dostaneme

aI(k, t) = eiωka+(k)a(k)ta(k)e−iωka+(k)a(k)t, a+I(k, t) = eiωka+(k)a(k)ta+(k)e−iωka+(k)a(k)t (25)

Teraz sa môžeme už presvedčit o tom, že platí

aI(k, t) =a(k)e−iωkt (26a)

a+I(k, t) = a+(k)eiωkt (27b)

Presvedčiť sa môžeme viacerými spôsobmi, najjednoduchšie asi je derivovaním (25) získať

td

daI(k, t) = iωk[a+(k)a(k) , aI(k, t)] = −iωkaI(k, t)

a presvedčiť sa o tom, že aj (26a) spĺňa túto rovnicu. Vzhľadom na to, že rovnica je prvého rádu v t a riešenie (26) spĺňa správnu začiatočnú podmienku v čase t = 0, je (26) jednoznačným riešením. Ak

92

do (21) dosadíme za a(p) , a+(p) vyjadrenia (26) dostaneme pre operátor poľa v interakčnom obraze

φ(x, t) = ∑p

[a(p)e−iωp t f p(+)(x, 0) + a+(p)eiωpt f p

(−)(x, 0)]

čo ale možno prepísať ihneď ako

φ(x, t) = ∑p

[a(p)f p(+)(x, t) + a+(p) f p

(−)(x, t)] (28)

pričom a(p) , a+(p) nezávisia od času. Tú istú úvahu možno urobiť aj pre ostatné kvantované polia a vo všetkých prípadoch bude operátor

poľa zapísaný analogicky k (28). Na prvý pohľad by sa zdalo, že už je všetko v poriadku a stačí nám do (20) dosadiť operátory polí

v interakčnej reprezentácii. Ale nie je to celkom tak a výraz (20) treba ešte trocha upraviť. Problém je totiž v tom, že výraz (20) má divergentnú vákuovú strednú hodnotu. Ak totiž spočítame strednú hod-notu operátora hustoty častíc

⟨0| ρ(x) |0⟩ = ⟨0|ψ+(x)ψ(x) |0⟩ (29)

dostaneme nenulovú a dokonca divergentnú hodnotu. Dôvod je jednoduchý. Operátor ψ(x) obsahuje kreačné operátory pozitrónov d+(p, s) a ψ+(x) obsahuje anihilačné operátory. Takto bude (29) obsahovať člen úmerný

∑sp

p

m

E

,

⟨0| d(p, s)d+(p, s) |0⟩ = ∑sp

p

m

E

,

Tento člen je zrejme divergentný. Jeho pôvod najlepšie vidno z pôvodnej Diracovej interpretácie riešení Diracovej rovnice. V nej namiesto d+(p, p0, s) stál operátor b(−p, −p0, −s) teda operátor anihilácie elektrónu so zápornou energiou. Výraz ⟨0| b+(−p, −p0, −s)b(−p, −p0, −s) |0⟩ udával počet elektrónov v stave s parametrami (−p, −p0, −s) . Podľa Diraca základný stav sveta odpovedal situácii, keď všetky elektrónové hladiny so zápornými energiami sú plne obsadené. Takýto stav má prirodzene nekonečnú priestorovú hustotu náboja.

Správny výraz pre e ∫ψ+(x)ψ(x) d3x sa dá ľahko uhádnuť. Výraz musí byť upravený tak, aby v stave, kde je nulový počet elektrónov a nulový počet pozitrónov mal nový výraz nulovú strednú hodnotu. Ta-kýto výraz má obsahovať kombinácie operátorov v nasledujúcom tvare

e(b+(p, s)b(p, s) − d+(p, s)d(p, s)) (30)

pričom sa budú už uvažovať len kladné energie elektrónov a pozitrónov. Relatívne záporné znamienko v (30) pochádza z toho, že elektróny majú náboj (+e), pozitróny (−e) a operátory ne(p, s) = b+(p, s)b(p, s) , np(p, s) = d+(p, s)d(p, s) sú operátormi počtu elektrónov a pozitrónov v danom stave.

Normálny súčin operátorov definujeme v najjednoduchšej situácii nasledovne. Nech je operátor A súčtom dvoch častí

A = A(+) + A(−)

kde A(+) obsahuje len kreačné a A(−)len anihilačné operátory. Podobne nech B = B(+) + B(−). Normálny súčin :AB: potom definujeme vzťahom

:AB: = :(A(+) + A(−))(B(+) + B(−)): = A(+)B(+) + A(+)B(−) + A(−)B(−) ± B(+)A(−) (31)

Jediný rozdiel oproti zvyčajnému súčinu je v poslednom člene, ktorý sme upravili tak, aby anihilačné operátory stáli vždy napravo od kreačných. V poslednom člene sme preto prehodili poradie z pôvodného A(−)B(+) na ± B(+)A(−) pričom horné znamienko platí pre bozónové a dolné pre fermiónové operátory. Inak povedané: pre prehadzovaní fermiónových operátorov považujeme tieto za antikomutujúce a pri bozónových za komutujúce. Vákuová stredná hodnota normálneho súčinu operátorov sa vždy rovná nule, lebo A(−) |0⟩ = B(−) |0⟩ = 0 a podobne ⟨0| A(+) = ⟨0| B(+) = 0, čo vyplýva priamo z definície vákua (základného stavu) ako stavu anulovaného hocijakým anihilačným operátorom.

93

Teraz sa už môžeme vrátiť naspäť k hamiltoniánu interakcie a prepísať ho ako

H 'I(x) = e :ψ (x)γ µψ(x)A0(x) : (32)

kde všetky operátory poľa na pravej strane chápeme ako zapísané v interakčnom obraze. Odteraz budeme index I pre tento obraz vynechávať.

Operátor časového posunu sústavy interagujúcich polí teraz dostaneme tak, že výraz (32) dosadíme do (19b).

9 Opis interakcie častíc S-operátorom

Typický prípad interakcie častíc v kvantovej elektrodynamike opisujeme takto: Pri t → −∞ máme sústavu voľných častíc, ktoré sa blížia k oblasti interakcie, potom prebehne interakcia a pre t → +∞ to máme zas sústavu voľných častíc (elektrónov, pozitrónov a fotónov) vychádzajúcich z oblasti interakcie. Na to, aby sme tento prechod opísali, potrebujeme

− opis stavov častíc vstupujúcich do interakcie; − opis stavov častíc z reakcie vystupujúcich; − opis interakcie, t.j. opis zmeny vchádzajúcich na vychádzajúce častice. Začneme z posledného člena na zozname. V predchádzajúcom článku sme zaviedli operátor U(t, t0),

ktorý opisuje prechod sústavy zo stavu v čase t0 do stavu v čase t. Pre náš prípad zrejme potrebujeme limitu tohto operátora pre t0 → −∞, t → +∞. Definujeme preto

S = −∞→

+∞→

0

limtt

U(t, t0) = U(+∞,−∞) (1)

Podľa predchádzajúceho článku máme

S = Pexp

− ∫

∞

∞−:)()()(:d4 xAxxxie µ

µψγψ (2)

kde sme kládli ħ = 1 (explicitne by ħ vystúpilo ako e → e/ħ).

P-súčin a T-súčin

Už sme definovali Dysonov P-súčin vzťahom

P(A(t')B(t'')) = (3)

Pre ďalšie je ale užitočné zaviesť aj T-súčin:

T(A(t)B(t')) = (4)

znamienko − tu platí pre prípad keď A, B sú operátory fermiónových polí, znamienko + v ostatných prípadoch. Vo výraze (2) vystupuje ale vždy v H '(x) kombinácia operátorov ψ (x)γµ

ψ(x)A0(x), ktorá – chápaná ako celok – je bozónovým operátorom. Časovo teda usporadúvame len bozónové operátory a potom, ako vidno z porovnania (3) a (4), sú P- a T- usporiadania úplne ekvivalentné.

Preto môžeme (2) rovno prepísať do tvaru

S = Texp

− ∫

∞

∞−:)()()(:d4 xAxxxie µ

µψγψ (5)

Výraz (5) odpovedá interakcii medzi časticami zapnutej s rovnakou intenzitou od t = −∞ po t = +∞. Pri korektnejšej formulácii by sme mali interakciu „zapnutú“ len v istom, hoci veľkom, časovom úseku. Niekedy sa takéto, zapínanie explicitne zabuduje do výrazu (5). Pre t → ±∞ je potom interakcia H' vypnutá a celý systém je opísaný len hamiltoniánom H0. Interakčný obraz je potom identický s Heisen-bergovým obrazom a stavy |ψ ⟩ sa s časom nemenia. Pre t → ±∞ môžeme potom stavy sústavy opísať

A(t)B(t') pre t > t'

B(t')A(t) pre t < t'

A(t)B(t') pre t > t'

±B(t')A(t) pre t < t'

94

vlastnými stavmi hamiltoniánu H0. Tieto stavy odpovedajú neintegrujúcim voľným časticiam: elektró-nom, pozitrónom a fotónom a opisujeme ich výrazmi typu

b+(p1, s1) … d+(q1, r1) … a+(k, λ) |0⟩ (6)

kde b+(p1, s1) je kreačný operátor elektrónu, d+(q1, r1) kreačný operátor pozitrónu a a+(k, λ) kreačný operátor fotónu. Hybnosti a energie častíc sú označené symbolmi p1, q1, k, spinové stavy s1, r1 a polari-zácia ako λ. Stav |0⟩ nazývaný tiež vákuom alebo základným stavom je definovaný podmienkami

b(p1, s1) |0⟩ = 0, d(p1, s1) |0⟩ = 0, a(k, λ) |0⟩ = 0

Na výpočet pravdepodobnosti prechodu z určitého stavu typu (6) pri t = −∞ do analogického stavu pri t = +∞ potrebujeme preto vyčísliť výrazy ako

⟨0| a(k', λ') … d(q', r') … b(p', s') S b+(p, s) … d+(q, r) … a+(k, λ) |0⟩ (7)

Takéto výrazy sa vyčísľujú veľmi jednoducho ak najprv prepíšeme S ako súčet členov typu

S(n) = ∫d4x1d4x2… f (x1, x2,…)ψ(+)(x1)…ψ(+)(xn)…ψ

(−)(x1)… (8)

kde f (x1, x2,…) je c-číselná funkcia svojich argumentov (nie operátorom) a za ňou nasledujú najprv operátory ψ(+)( ), ψ (+)( ), Aµ

(+) obsahujúce len kreačné operátory a až potom prídu operátory ψ(−)( ), ψ

(−)( ), Aµ(−) obsahujúce len anihilačné operátory. Rozklad polí do tohto tvaru je

ψ(x) = ψ(+)(x) + ψ(−)(x)

ψ(+)(x) =∑

ps pVE

m

,

d+(p, s)v(p, s)eip · x (9)

ψ(−)(x) =∑

ps pVE

m

,

b(p, s)u(p, s)e−ip · x

ψ (x) = ψ (+)(x) + ψ (−)(x)

ψ(+)(x) =∑

ps pVE

m

,

b+(p, s)u (p, s)eip · x (10)

ψ(−)(x) =∑

ps pVE

m

,

d(p, s)v (p, s)e−ip · x

Aµ(x) = Aµ(+)(x) + Aµ

(−)(x)

Aµ(+)(x) ∑=

kr Vk, 02

1a+(k, r)εµ

(r)*eik · x (11)

Aµ(+)(x) ∑=

kr Vk, 02

1a(k, r)εµ

(r)e−ik · x

Tu sme napísali explicitne rozklady len pre prípad normalizácie na konečný objem, čitateľ si ľahko nájde príslušné formulky pre normalizáciu na nekonečný objem, ľahko sa presvedčíme o tom, že maticový element typu (7) je nenulový len vtedy keď ku každému kreačnému operátoru, napríklad b+(p, s) vo výraze (7) sa v rozklade S do členov typu (8) nachádza práve jeden operátor ψ(−)(x). V najjednoduch-šom prípade máme … ψ(−)(x)b+(k, r) |0⟩ (12)

čo môžeme prepísať ako … ψ(−)(x), b+(k, r)|0⟩ — … b+(k, r)ψ(−)(x) |0⟩

95

V tomto výraze je ale druhý člen nulový, lebo ψ(−)(x) obsahuje len anihilačné operátory a tie anulujú vákuum. Prvý člen ľahko spočítame a dostaneme

VE

m

k

u(k, r)e−ik · x |0⟩

pričom výraz násobiaci |0⟩ je už len c-číslom (nie operátorom) a odpovedá presne vlnovej funkcii elektrónu v začiatočnom stave.

Celkom analogicky z

ψ (−)(x)d+(k, r) |0⟩

dostaneme vlnovú funkciu pozitrónu v začiatočnom stave

VE

m

k

v (k, r)e−ik · x |0⟩

Obidva tieto výrazy presne odpovedajú tomu, čo sme za vlnové funkcie vchádzajúcich elektrónov a pozitrónov písali vo Feynmanových diagramoch. Prenecháme čitateľovi, aby sa presvedčil o tom, že k rovnakému výsledku prídeme aj pre vychádzajúce elektróny a pozitróny a pre fotóny v konečnom a v začiatočnom stave.

Na to, aby sme mohli dokončiť výpočet S-maticových elementov ako (7) potrebujeme sa ešte naučiť rozkladať S-operátor na súčet výrazov typu (8). Toto je obsahom Wickovej vety, s ktorou sa budeme zaoberať v nasledujúcom článku.

Poznámka: Na to, aby sme mohli zaviesť opis interakcií častíc tak, ako sme to urobili vyššie, bolo podstatné vypínanie interakcie pri t → ±∞. Po vypnutí interakcie nám ostanú len voľné polia a ich stavy ľahko nájdeme z H0. Problém je ale v tom, že sme v skutočnosti vypli viac, ako by sme si mali želať. Každá nabitá častica vytvára okolo seba EM pole a energia tohto EM poľa (delená c2) prispieva k hmot-nosti častice. Tým, že sme pre t → ±∞ „vypli“ interakciu nabitých častíc s EM poľom, sme vlastne vypli dve rôzne veci: jednak vzájomnú interakciu častíc a jednak interakciu častíc samých so sebou, alebo inak povedané, interakciu častíc s nulovými kmitmi EM poľa. Prvú interakciu sme chceli vypnúť a bolo to aj oprávnené, lebo častice, ktoré sú pred interakciou ďaleko od seba ani neintegrujú. Druhú interakciu by sme radšej nevypínali, lebo tzv. „holé“ častice (pri vypnutej interakcii) sú niečo iného ako „oblečené“ individuálne častice, interagujúce s nulovými kmitmi EM poľa a s virtuálnymi e+e− pármi elektrón-pozitrónovóho vákua. „Holým“ časticiam preto priraďujeme parametre e0, m0, ale mô-žeme očakávať, že skutočné fyzikálne častice budú mať parametre e, m odlišné od e0, m0. Schéma je konzistentná logicky len vtedy ak rozdiely medzi (e0, m0) a (e, m) nie sú „veľké“. Ukazuje sa, že s tým sú isté ťažkosti a problémom sa zaoberá QED pri „renormalizáciách“ parametrov častíc a ich interakcií. V tomto učebnom texte sa s problémom renormalizácií ale nebudeme zaoberať. Na úvodné čítanie odporúčame kap. VIII z I. dielu učebnice Bjorkena a Drella.

10 Wickova veta

Wickova veta je zautomatizovanie postupu, ktorým súčin operátorov prevádzame na súčet členov, z ktorých každý obsahuje iba c-číselné funkcie násobené operátormi, ktoré už sú usporiadané v tvare normálneho súčinu. Aby sme sa vyhli komplikovaným všeobecným tvrdeniam, radšej uvedieme jedno-duché prípady. Nech Φ(x) je operátor reálneho skalárneho poľa, ktoré možno rozložiť tak, ako v pred-chádzajúcom článku, na dve časti

Φ(x) = Φ(+)(x) + Φ(−)(x) (1)

kde Φ(+)(x) obsahuje len kreačné operátory a Φ(−)(x) len anihilačné operátory. Uvažujme teraz súčin Φ(−)(x)Φ(+)(y), ktorý nie je v normálnom tvare, lebo kreačné operátory nie sú

naľavo od anihilačných. Zapíšme

96

Φ(−)(x)Φ(+)(y) = [Φ(−)(x), Φ(+)(y)] + Φ(+)(x)Φ(−)(x) (2)

Ľahko sa presvedčíme o tom, že prvý člen na pravej strane je obyčajné c-číslo (stačí spočítať explicitne komutátor). Druhý člen na pravej strane už je zapísaný v normálnom tvare.

Komutátor [Φ(−)(x), Φ(+)(y)] môžeme prepísať aj tak, že zoberieme vákuovú strednú hodnotu celej operátorovej rovnice (2)

⟨0|Φ(−)(x)Φ(+)(y) |0⟩ = [Φ(−)(x), Φ(+)(y)]

pričom sme využili to, že vákuová stredná hodnota operátora, ktorý je v tvare normálneho súčinu sa rovná nule. Výraz [Φ(−)(x), Φ(+)(y)] nazývame aj kontrakciou operátorov Φ(−)(x), Φ(+)(y) a označujeme ho „svorkou“. Rovnicu (2) potom prepisujeme takto

Φ(−)(x)Φ(+)(y) = Φ(−)(x)Φ(+)(y) + Φ(+)(x)Φ(−)(y) (3)

kde kontrakcia je definovaná vzťahom

Φ(−)(x)Φ(+)(y) = ⟨0|Φ(−)(x)Φ(+)(y) |0⟩ (4)

teda ako vákuová stredná hodnota operátorov zapísaných v pôvodnom poradí. Teraz urobíme trocha komplikovanejší príklad.

Budeme uvažovať súčin Φ(−)(x)Φ(−)(u)Φ(+)(v)Φ(+)(z) a budeme ho postupne upravovať na želaný tvar.

Φ(−)(x)Φ(−)(u)Φ(+)(v)Φ(+)(z) =

= Φ(−)(x)Φ(−)(u)Φ(+)(v) + Φ(+)(v)Φ(−)(u)Φ(+)(z) = (5)

= Φ(−)(u)Φ(+)(v)Φ(−)(x)Φ(+)(z) + Φ(−)(x)Φ(+)(v)Φ(−)(u)Φ(+)(z)

Teraz upravíme prvý člen na pravej strane (5) na

Φ(−)(u)Φ(+)(v)Φ(−)(x)Φ(+)(z) + Φ(+)(z)Φ(−)(x) =

= Φ(−)(u)Φ(+)(v) Φ(−)(x)Φ(+)(z) + Φ(−)(u)Φ(+)(v) Φ(+)(z)Φ(−)(x) (6)

Prvý člen na pravej strane je c-číslo, druhý už je zapísaný v normálnom tvare. Teraz ešte upravíme analogicky druhý člen v (5), pričom budeme Φ(+)(v), Φ(+)(z) stále prehadzovať doľava a Φ(−)(x), Φ(−)(u) doprava. Podrobnosti prenecháme čitateľovi. Konečný výsledok bude

Φ(−)(x)Φ(−)(u)Φ(+)(v)Φ(+)(z) = Φ(+)(v)Φ(+)(z)Φ(−)(x)Φ(−)(u) +

+ Φ(−)(x)Φ(+)(v)Φ(−)(u)Φ(+)(z) + Φ(−)(x)Φ(+)(z)Φ(+)(v)Φ(−)(u) +

+ Φ(−)(u)Φ(+)(v)Φ(+)(z)Φ(−)(x) + Φ(−)(u)Φ(+)(z)Φ(+)(v)Φ(−)(u) +

+ Φ(−)(x)Φ(+)(v)Φ(−)(u)Φ(+)(z) + Φ(−)(x)Φ(+)(z)Φ(−)(u)Φ(+)(v)

kde na pravej strane máme všetky možné typy kontrakcií. Wickova veta hovorí, že pre súčin operátorov vo všeobecnom prípade bozónových operátorov máme

ABCDEF…Z = AB N(CDEF…Z) + AC N(BDE…Z) + …

+ ABCD N(EF…Z) + … (7)

+ AB CD EF N(…Z) + …

kde na pravej strane N znamená normálny súčin operátorov, ktoré stoja za ním a kontrakcia je definovaná ako

AB = AB − N(AB) = ⟨0| AB |0⟩ (8)

Výraz N(ABC…) je rovný súčinu operátorov zapísaných tak, že anihilačné sú vždy napravo od kreačných. Vzťah (7) platí len pre operátory bozónových polí, ktoré majú komutačné vzťahy medzi kreačnými a anihilačnými operátormi. Pre fermiónové operátory každé prehodenie poradia operátorov

97

je spojené so zmenou znamienka. Vidno to už z analógie vzťahu (2), ktorý pre fermiónové operátory treba zmeniť na ψ α

(−)(x)ψβ(+)(y) = ψ α

(−)(x), ψβ(+)(y) − ψβ

(+)(y)ψ α(−)(x) (9)

Vzťah (7) platí pre fermiónové operátory s tou zmenou, že každý člen na pravej strane je násobený faktorom rovným (−1)n, kde n je počet prehodení susedných operátorov (transpozícií), ktorý vedie od pôvodného usporiadania k usporiadaniu v danom člene. Pre fermiónové operátory je užitočné zahrnúť zmeny znamienok rovno do definície normálneho súčinu. Pri takejto konvencii je každý člen na pravej strane (7) treba násobiť (−1)m, kde m je počet transpozícií potrebných na vybranie operátorov, ktoré sa kontrahujú pred symbol normálneho súčinu. Ešte jednoduchšie je ale písať členy na pravej strane (7) v tvare ukázanom na jednoduchom príklade

N(ABCDEF…) = (−1) ABCE N(DF…)

kde faktor (−1) odpovedá jedinej transpozícii potrebnej na to, aby sme operátor E prisunuli tesne za C. Pri úprave S-matice prepisujeme T-súčin operátorov do súčtu operátorov v normálnom tvare. Pre

každé usporiadanie časov platia predchádzajúce vzťahy. T-súčin je ale definovaný tak, že pre fermió-nové operátory každé prehodenie susedov dodáva faktor (−1). To isté pravidlo platí pre N-produkt. Ak zapíšeme analóg (7) pri rôznych časoch a vhodne skombinujeme takéto členy dostaneme

T (A(x)B(y)C(z)…) = N(A(x)B(y)C(z)…) + A(x)B(y) N(C(z)…) +

+ všetky kombinácie kontrakcií a normálnych súčinov

Kontrakcia tu ale nie je definovaná vzťahom (8) ale vzťahom

A(x)B(y) = T (A(x)B(y)) − N(A(x)B(y)) (10)

Táto kontrakcia je zas c-číslom a vzhľadom na to, že vákuová stredná hodnota normálneho súčinu operátorov sa vždy rovná nule, budeme mať

A(x)B(y) = ⟨0| T (A(x)B(y)) |0⟩ (11)

Vo výraze pre S-maticový element vyšetrujeme

T [H '(x1)H '(x2)H '(x3) …]

pričom každý člen H '(x) je už písaný v tvare normálneho súčinu operátorov

H '(x1) = e N (ψ (x)γµ ψ (x)Aµ(x)) (12)

Wickova veta tu platí s jedinou zmenou, spočívajúcou v tom, že netreba písať kontrakcie za tie členy, ktoré sú už zapísané v tvare normálneho súčinu.

Teraz už vidno, že ako výsledok vyčíslovania S-maticových elementov dostaneme zas výrazy odpo-vedajúce Feynmanovým diagramom. Každá kontrakcia fermiónových operátorov ⟨0|ψ α

(−)(x)ψβ(+)(y) |0⟩

dá fermiónový propagátor iSFαβ(x − y) a každá kontrakcia elektromagnetických potenciálov ⟨0| T Aµ(x) Aµ(y) |0⟩ dá propagátor elektromagnetického poľa iDF

µν(x − y). V nasledujúcom prípade si toto ukážeme na najjednoduchšom možnom prípade.

11 Rozptyl elektrónu na mióne ešte raz

Pre interakcie elektrónov a miónov s fotónmi má interakčný hamiltonián tvar

H '(x) = +e ψ (e)(x)γν ψ (e)(x)Aν(x) + e ψ (µ)(x)γ λ ψ (µ)(x)Aλ(x) (1)

kde na pravej strane máme už všetky výrazy v tvare normálneho súčinu. V druhom ráde Dysonovho rozvoja máme

S = (−i)2!2

1T ∫d4xd4yH '(x)H '(y) (2)

98

To o čo sa teraz zaujímame je maticový element tohto operátora S medzi začiatočným stavom

b+(e, k, λ)b+(µ, p, s) |0⟩

(kde e, µ odpovedá elektrónu resp. miónu) a konečným stavom

b+(e, k', λ')b+(µ, p', s') |0⟩

Vyčíslujme teda

⟨0| b(µ, p', s')b(e, k', λ')S b+(e, k, λ)b+(µ, p, s) |0⟩ (3)

Vo výraze (2) teraz urobíme rozklad T-súčinu podľa Wickovej vety a zistíme, že nenulové elementy dajú dva členy líšiace sa len zámenou x ↔ y. Jeden z nich bude

(−ie)2∫d4xd4y ⟨0| b(µ, p', s' )b(e, k', λ')⟨0| T Aν(x)Aσ(y) |0⟩

N[ψ (e)(x)γνψ (e)(x) ψ (µ)(y)γ λ ψ (µ)(y)]b+(e, k, λ)b+(µ, p, s) |0⟩ (4)

Nenulový príspevok dostaneme len vtedy keď b(µ, p', s') spolu s ψ (µ)(y) obsahujúcim kreačné operá-tory miónu dá vlnovú funkciu miónu v konečnom stave, b(e, k', λ') dá vlnovú funkciu elektrónu v ko-nečnom stave a podobne b+(e, k, λ), b+(µ, p, s) dajú spolu s operátormi čo ostali pod normálnym súči-nom vlnové funkcie elektrónu resp. miónu v začiatočnom stave. Spolu s každým vrcholom vstúpi do elementu (−ieγ µ) aj výraz ) ⟨0| T Aµ(x)Aν(y) |0⟩, ktorý dá propagátor fotónu. Prenecháme čitateľovi, aby sa presvedčil o tom, že takto dostaneme presne to isté vyjadrenie pre maticový element prechodu ako v propagátorom formalizme. To isté platí aj pre ostatné diagramy. Poznamenajme ešte, že faktor 1/(2!) vypadol vďaka tomu, že v (2) máme dva maticové elementy líšiace sa iba zámenou x ↔ y. Vzhľadom na to, že integrujeme cez d4xd4y tieto výrazy dajú rovnaké príspevky.

+ + +

Nebudeme sa snažiť ukázať podrobne, že formalizmus sekundárneho kvantovania polí spolu s rela-tivistický kovariantným Dysonovým rozvojom skutočne vedie k tým istým Feynmanovým diagramom ako Feynmanov propagátorový formalizmus. Chceli sme tu ukázať stručne len základnú myšlienku, ktorá vedie k rovnakým konečným výsledkom v oboch formalizmooh a ak sa nám to podarilo, tak bol účel tohto úvodného textu splnený.

99

Záverečná poznámka

Tento stručný úvod do metódy Feynmanových diagramov mal zoznámiť čitateľa alebo poslucháča prednáškového kurzu s touto často používanou metódou. Snažili sme sa tiež zdôrazniť súvislosti Feyn-manovho propagátorového formalizmu s nerelativistickou kvantovou mechanikou.

Veľa úvodných partií kvantovej teórie poľa v kurze chýba. Sú to prinajmenšom symetrie a zákony zachovania v kvantovej teórii poľa, C, P, T-transformácie, zavedenie Feynmanovýoh diagramov cez kontinuálne integrály a napokon aj téma, ktorá je stále v centre pozornosti: renormalizácie a renorma-lizačná grupa.

Domnievame sa ale, že kvantovú teóriu poľa, práve tak, ako iné netriviálne veci, sa človek musí učiť niekoľkokrát. Prvým štádiom je istá familiarizácia s predmetom, pri ktorej si poslucháč spočíta vlast-nými rukami niekoľko diagramov, ponachádza zabudnuté znamienka, odmocniny z dvoch, 4π-faktory, (2π)4-faktory a pod., až po spočítanie niekoľkých účinných prierezov a porovnanie s experimentom. Potom sa treba k celej veci vrátiť znova a pochopiť ju hlbšie a potom ešte niekoľkokrát.*)

Tento kurz zhruba odpovedá minimálnemu prvému zoznámeniu sa s Feynmanovými diagramami. Prajeme čitateľovi, ktorý dočítal až sem, veľa šťastia pri ďalšom štúdiu kvantovej teórie poľa.

*) Existujú aj názory, že najprv sa treba naučiť všeobecnú formuláciu teórie a potom urobiť niekoľko „aplikácií“. Zdá sa mi,

že toto neodpovedá histórii fyziky ani efektívnemu porozumeniu teórie. Ale je možné, že optimálnosť prístupu je veľmi individuálna.

100

Dodatok A Pravidlá pre výpočet príspevku k Sfi od daného Feynmanovho diagramu

Pravidlá v x-priestore

– elektrón v začiatočnom stave

ψ i(x)EV

m= u(k, λ)e−ik · x

– elektrón v koncovom stave

ψ f(x)VE

m

′= u (k', λ')eik' · x

– vrchol (interakcia s elektromagnetickým polom)

−ieγ µ

– pozitrón v koncovom stave. Priraďujeme mu vlnovú funkciu elektrónu so zápornou energiou v počiatočnom stave

ψ i(x)EV

m= v(k, λ)eik · x

– pozitrón v začiatočnom stave. Priraďujeme mu vlnovú funkciu elektrónu so zápornou energiou v koncovom stave

ψ f(x)EV

m= v (k, λ)e−ik · x

– za každú pozitrónovú čiaru prechádzajúcu celým diagramom násobíme Sf i faktorom (−1). – propagátor elektrónu. Priraďujeme mu

iSF(y − x)

– propagátor fotónu. Priraďujeme mu

iDF(x − y)gµν

– fotón v koncovom stave

Aµ(x)kV2

1= ε*µeik · x

– fotón v začiatočnom stave

Aµ(x)kV2

1= εµe−ik · x

101

Pre propagátory elektrónu platí:

(iγ µ

µx′∂

∂−m)SF(x' − x) = δ4(x' − x)

SF(x' − x) ∫ −′⋅−

π= )(i

4

4

e)2(

d xxppSF(p)

SF(p)εimp

mp

+−

+=

22

Pre propagátor fotónu máme xDµν(x' − x) = gµν δ4(x' − x)

Dµν(x' − x) ∫ −′⋅−

π= )(i

4

4

e)2(

d xxkkDµν(k)

Dµν(k)ε

µν

i2 +−=

k

g (Feynmanova kalibrácia)

−−

+−=

22

)1(

i

1

k

kkg

k

νµµν

ξ

ε (všeobecne)

−

+−=

22 i

1

k

kkg

k

νµµν

ε (Landauova kalibrácia)

Výpočet príspevku od daného diagramu k iMf i v priestore hybností Diferenciálne účinné prierezy počítame priamo z elementov iMf i, ktoré dostaneme z predchádzajúcich pravidiel prechodom do priestoru hybností a odstránením určitých kinematických faktorov (podrobne-jšie pozri čl. 5 kap. IV.). Pre výpočet príspevku k iMf i platia nasledujúce pravidlá

– za elektrón, vstupujúci do daného vrcholu,

u(p, s)

– za elektrón vychádzajúci z vrcholu

u(p, s)

– za pozitrón vychádzajúci z vrcholu

v(p, s)

– za pozitrón vchádzajúci do vrcholu

v(p, s)

– za propagátor elektrónu

iSF(p) εi

)(i

+−

+=

mp

mp

– za propagátor fotónu (Feynmanova kalibrácia)

iDF, µν(p)ε

µν

ii

2 +−=

p

g

– za vystupujúci fotón

εµ*

– za vstupujúci fotón εµ

– za interakčný vrchol (−ieγµ)

/

/

102

∫ 4π)2(

d4q – za každú vnútornú čiaru

(−1) – za pozitrónovú čiaru prechádzajúcu celým diagramom (−1) – relatívny faktor dvoch diagramov, líšiacich sa zámenou identických fermiónov v konco-

vom stave – z celého výrazu pre diagram odseparujeme faktor (2π)4δ4(Pf − Pf), kde Pf je súčet hyb-

ností častíc v koncovom, Pi v začiatočnom stave. – Pre rozptyl dvoch fermiónov f1 + f2 → f1 + f2 v sústave hmotného stredu máme

s

mm2

22

21

4d

d

π=

Ω

σ|Mf i|

2

pre fotón + fermión → fotón + fermión

s

m2

2

1d

d

6π=

Ω

σ|Mf i|

2

– ak v s.h.s. je hybnosť |p f | častíc na konci iná ako hybnosť |p i | na začiatku, násobíme predchádzajúce vzťahy faktorom |p f | / |p i |

Pre šírku rozpadu častice s hmotnosťou m máme

ΓE

m= ∫(2π)4δ4(Pf − Pf)|Mf i|

2 ∏∏ππ γ

30

3

f3

3

)2(2

d

)2(

d

k

k

E

pm pre fermión

Γ02

1

k= ∫(2π)4δ4(Pf − Pf)|Mf i|

2 ∏∏ππ γ

30

3

f3

3

)2(2

d

)2(

d

k

k

E

pm pre bozón

Pre rozptyl fermiónu na vonkajšom statickom potenciáli konštruujeme výraz Ff i viazaný a Sf i vzťahom

Sf i = (2π)δ(Ef − Ei) 2if

2

VEE

mFf i

Pri výpočte Ff i, platia pre vonkajšie fermiónové čiary a pre fermiónový propagátor rovnaké pravidlá ako vyššie pre iMf i. Za vrchol interakcie píšeme

2πδ(q0 − p0)(−ieγµ)∫d3xAµ(x)e−i(q − p) · x

Z výsledku odseparujeme faktor (2π)δ(Ef − Ei) a diferenciálny účinný prierez počítame podľa

2

2

4d

d

π=

Ω

mσ|Ff i |

2

103

Dodatok B

Diracova rovnica a vlastnosti Diracových matíc

Diracova rovnica (ħ = c = 1)

(pµγ µ − m)ψ(x) = 0, pµ µx∂

∂= i

Riešenie v tvare rovinných vĺn ψ(x) = u(p) exp (−ip ·x) kladné energie

ψ(x) = v(p) exp (ip ·x) záporné energie

(p/ − m)u(p) = 0

(p/ + m)v(p) = 0

normalizácia u (p)u(p) = 1, u+(p)u(p)m

E=

v (p)v(p) = −1, v+(p)v(p)m

E=

projektory m

pupur

rr

2

1)()(

2,1

)()( =∑=

βα (p/ + m)αβ

m

ppr

rr

2

1)()(

2,1

)()( =∑=

βα vv (p/ − m)αβ

Algebra Diracových matíc (jednotkovú maticu na pravej strane explicitne nevypisujeme)

γγγγ µγγγγ ν + γγγγ ν γγγγ µ = 2gµ ν

γγγγµ = gµ ν γγγγ ν

(γγγγ µ)+ = γγγγ 0γγγγ µγγγγ 0

γγγγ µγγγγ µ = 4

γγγγ µγγγγ ν γγγγ µ = −2γγγγ ν

γγγγ µγγγγ λγγγγ ν γγγγ µ = 4gλ ν

γγγγ µγγγγ λγγγγ ν γγγγ ργγγγ µ = −2γγγγ ργγγγ ν γγγγ λ

γγγγ µγγγγ λγγγγ ν γγγγ ργγγγ σγγγγ µ = 2(γγγγ σγγγγ λγγγγ ν γγγγ ρ + γγγγ ργγγγ ν γγγγ λγγγγ σ)

a/ ≡ γγγγ µaµ

a/b/ + b/a/ = 2a ·b

γγγγµ a/γγγγ µ = −2a/

γγγγµ a/b/γγγγ µ = 4a ·b

γγγγµ a/b/c/γγγγ µ = −2c/b/a/

γγγγµ a/b/c/d/γγγγ µ = 2(d/a/b/c/ + c/b/a/d/ )

104

γγγγ 5 ≡ γγγγ 5 = iγγγγ 0γγγγ 1γγγγ 2γγγγ 3, (γγγγ 5)2 = 1

γγγγ µγγγγ 5 + γγγγ 5γγγγ µ = 0, (γγγγ 5)+ = γγγγ 5

iγγγγ 5 a/b/c/ = −Nλ γγγγ λ , Nλ = ε λµνρaµbνcρ

σ α ρ

2

i= (γγγγ αγγγγ ρ − γγγγ ργγγγ α)

Štandardná reprezentácia γγγγ-matíc

γγγγ 0 ≡ β =

−1

1

0

0, γγγγ i = ββββαααα i =

− 0

0i

i

σ

σ

Helicitná reprezentácia

γγγγ 0 =

−

0

0

1

1, γγγγ k =

− 0

0k

k

σ

σ, γγγγ 5 =

−1

1

0

0

Stopy γγγγ-matíc a ich súčinov

Sp γγγγ µ = 0

4

1Sp (γγγγ µγγγγ ν) = gµ ν

4

1Sp (γγγγ λγγγγ µγγγγ ν γγγγ ρ) = gλ µgν ρ − gλ νgµ ρ + gλ ρgµ ν

4

1Sp (a/b/) = a ·b

4

1Sp (a/b/c/d/) = (a ·b)(c ·d) − (a ·c)(b ·d) + (a ·d)(b ·c)

4

1Sp (γγγγ 5γγγγ λγγγγ µγγγγ ν γγγγ ρ) = iε λµνρ, ε 0123 = 1

4

1Sp (γγγγ µp/ γγγγ νq/) = pµqν + pνqµ − gµ ν(p ·q)

4

1Sp (γγγγ µ σσσσ α ργγγγ ν) = i[gµ αgρν − gµ ρgαν]

4

1Sp (σσσσ µ ν σσσσ λ α) = gµ νgαλ − gµ αgλ ν

4

1Sp (b/γγγγ µ σσσσ α ρ) = i[gµ αpρ − gµ ρpα]

4

1Sp (p/ + m)γγγγ µ(k/ + m)γγγγ ν] = pµkν + pνkµ + gµ ν(m2 − k ·p)