volumes de sÓlidos de revoluÇÃo_mÉtodo dos discos e arruelas
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FACIG
Cálculo II
Prof. Márcio J Ottoni
Volumes de sólidos de revolução
1. Método dos discos e das arruelas
1) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região gerada pela função ( ) √ ( )
e o eixo x no intervalo 0 em torno do eixo x.
2) Encontre o volume gerado ao rotacionar a região compreendida entre os gráficos de ( )
e ( ) ao redor da reta y = 1.
3) Encontre o volume do sólido formado ao rotacionar a região limitada pelos gráficos de
, , e , em torno do eixo y.
4) Encontre o volume do sólido formado ao girar a superfície entre os gráficos das funções
√ e em torno do eixo x, conforme ilustra a figura abaixo.
5) Uma furadeira faz um furo no centro de uma esfera de metal de 5 cm de raio, conforme a
figura abaixo. O furo tem um raio de 3 cm. Qual o volume do anel resultante?
6) Nos exercícios abaixo, calcule o volume do sólido formado ao rotacionar a região
sombreada ao redor do eixo x.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
7) Nos exercícios abaixo, calcule o volume do sólido formado ao girar a região sombreada ao
redor do eixo y.
a)
b)
c)
d)
8) No exercício abaixo, encontre o volume do sólido formado ao girar a região dada em torno
do eixo especificado.
a) R1 em torno de x = 0
b) R1 em torno de x = 1
c) R2 em torno de y = 0
d) R2 em torno de y = 1
e) R3 em torno de x = 0
f) R3 em torno de x= 1
g) R2 em torno de x = 0
h) R2 em torno de x = 1
9) A região mostrada na figura é girada ao redor dos eixos indicados. Calcule os volumes dos
sólidos formados.
a) Em torno do eixo x
b) Em torno do eixo y
c) Em torno da reta x = 3
10) Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo x a região limitada
pelos gráficos das funções e
Resp.: V=
11) Calculeo volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo y a região limitada
pelo gráfico de ( ) , com 0 b. Este sólido se denomina toro, conforme
mostra a figura abaixo.
Resp.:
12) Calcule o volume do sólido obtido girando em torno do eixo dos x a região limitada pelo
gráfico da função , no intervalo -1 < x < 1 e o eixo dos x.
Resp.: ( )
13) Calculo o volume do sólido de revolução obtido girando em torno da reta y = 4 a
região limitada pela curva , com 1 2 e pela reta y = -1.
Resp.:
14) Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno da reta x = -1 a região
limitada pela curva
e pelas retas y = 2.
Resp.:
15) Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno da reta x = 6 a região
limitada pelo gr[afico de e pela reta x = 4.
Resp.:
16) Encontre o volume obtido ao rotacionar a área delimitada pelas funções
ao redor do eixo x.
Resp.: