vstss osnovne metode konacnih elemenata

8/20/2019 Vstss Osnovne Metode Konacnih Elemenata

1/41

1. UVOD

METODAMA ANALIZE se u fazi projektovanja mašina i opreme traže odgovori o njiovimsvojstvima otpornosti! pouzdanosti! nosivosti! kinematskom ponašanju! dinami"kom odgovoru#$kup svi zavata traženja odgovora o svojstvima %azi fizi"ke forme! postav&jaju se uproš'eni

meani"ki mode&i# Za te uproš'ene meani"ke mode&e postav&jaju s&oženog sistema ( strukture! predstav&ja strukturnu analizu. Na %azi kriterijuma koje struktura mora da zadovo&ji u pog&edumeani"ki i funk)iona&ni karakteristika! ana&izom se o)enjuje posmatrana struktura i traže njeninedosta)i# O"ig&edno! metode ana&ize usavršavaju strukturu po sistemu *korak po korak* i one kaotakve i danas zadovo&javaju konstruktorske zateve# +rimena MAT,I-NI. METODA za ana&izustruktura! reši&a je zateve sistematskog predstav&janja kontinuuma! uvodjenja po&ja spo&jašnjikon)entrisani si&a! po&ja površinski optere'enja kakva se jav&jaju kod %rodski struktura!aviostruktura! struktura vozi&a i po&ja temperatura svojstvena za raketne konstruk)ije! top&otnetur%ine i nuk&earne reaktore# +ogodnost matri"ni metoda ana&ize pokaza&a se kod rešavanjazadataka p&asti"nosti! puzanja i oja"anja e&emenata! kao i kod uvodjenja istorije pretodnogoptere'enja strukture# /ažan e&emenat primene metoda ana&ize! je 0,ZINA IZ/OD1EN1A

+,O2ED3,A! "ime se u ranom periodu razvoja strukture! identifikuju posmatrane 4prognozirane5oso%ine# $odno tome! vrši se korek)ija do postizanja zadovo&javaju'i oso%ina# Dovo&jnim

%rzinom ana&iza! mogu'e je istovremeno razvijati više konstruktivni varijanti i oda%ratinajpovo&jnije rešenje# Ideja ana&ize dak&e govori da se nizom itera)ija do&azi do rešenja# Taj opštikon)ept definisan je na s&i)i 6#6# +rema ovom kon)eptu! na %azi postav&jeni )i&jeva! formiraju sekriterijumi za o)enu svojstava strukture# +ri tome je iskustvo osnovna sprega izvedeni strukture io"ekivani oso%ina traženog rešenja# $ama ana&iza 4prikazana zatamnjenim po&jima5! izvodi seiza%ranom teorijskom metodom# Na osnovu do%ijeni rešenja o)enjuje se po&azno predpostav&jenorešenje# O)ena do%ijeni oso%ina vodi modifika)iji strukture de&imi"no i&i u )e&osti# Nakonkorek)ije! o%nav&ja se pro)edura ana&ize mode&a i ana&ize oso%ina! dok postav&jeni )i&jevi ne %ududostignuti#

Slika 1.1 Koncept korišćenja metoda analize u projektovanju

METODE $T,37T3,NE ANALIZE ! de&e se na analitičke i numeričke# +rimena ana&iti"kimetoda je ograni"ena na jednostavne s&u"ajeve za koje je mogu'e na'i rešenje u zatvorenom o%&iku#


2/41

,ešenja se kod ana&iti"ki metoda traže preko redova i&i spe)ija&ni funk)ija# ,ea&ne strukture se u praksi tretiraju numeri"kim metodama i one se mogu odnositi na kontinua&ne i diskretne sisteme#$&ika 6#8 pokazuje k&asifika)iju danas aktue&ni numeri"ki metoda strukturne ana&ize#

Slika 1.2 Pregled numeričkih metoda za analizu struktura

• METODA 7ONA-NI. ,AZLI7A je numeri"ka metoda pogodna za rešavanje raznovrsnizadataka# 0azira se na matemati"koj diskretiza)iji diferen)ija&ni jedna"ina prevodjenjem na

jedna"ine sa kona"nim raz&ikama# 3spešno se može primeniti na tankozidim nosa"ima! na pro%&emima p&asti"no deforma%i&ni konstruk)ija# Efikasnost metode se smanjuje sas&oženoš'u unutrašnji veza posmatranog meani"kog sistema#

• METODA N3ME,I-7O9 INTE9,I$AN1A DI:E,EN2I1ALNI. 1EDNA-INA se

koristi široko u mnogim zada)ima# Metoda se svodi na rešavanje zadatka Cauchy;ja so%zirom na postojanje do%ri matemati"ki pro)edura za integra)iju sistema diferen)ija&ni jedna"ina# Za rešavanje se dosta do%ro mogu upotre%iti metoda Euler ;a! metoda Runge- Kutta i ruge#

• METODA 7ONA-NI. ELEMENATA ; 4 Finite Element Method ; :EM5! koristi raz&i"itetipove varija)ioni metoda! rimenjeni na diskretnom mode&u za strukturnu ana&izukontinuuma# 7ontinuum se diskretizuje kona"nim %rojem e&emenata i stepeni s&o%odekretanja# 3spe primene metode je u kva&itetu iza%rani aproksima)ija kona"ni e&emenata

postav&jenog mode&a# +ogodnost metode je u vrednostima varija)ione metode# Zadatak seopisuje sistemom diferen)ija&ni jedna"ina koje se formiraju iz us&ova minimumafunk)iona&a konstruk)ije# Ovaj zadatak je rutinski! a rešavanje sistema diferen)ija&ni

jedna"ina ide matri"nim metodama! vr&o pogodnim za tretman ra"unarom# Ta"nostizra"unavanja je definisana kva&itetom iza%rani funk)ija o%&ika 4interpo&a)ioni funk)ija5!mrežom i tipom kona"ni e&emenata# Zavisno od iza%rani nezavisno;promen&jivi ve&i"inai na"ina formiranja jedna"ina! postoje "etiri osnovne metode< metoda pomeranja 4metodadeforma)ija5! metoda si&a! mešovita i i%ridna metoda# :ormiranje jedna"ina se izvodi

primenom osnovni zakona meanike# Tako! re)imo! kod metode pomeranja koristi se prin)ip o minimumu funk)iona&a 4pune energije sistema5# 7od metode si&e! koristi se prin)ipo minimumu komp&ementarne energije sistema# Mešovita metoda koristi prin)ip Vašic;a i

Reissner-Hellinger ;a#


3/41

• METODA 9,ANI-NI. ELEMENATA je spe)ifi"na metoda pre&aza iz sistema par)ija&nidiferen)ija&ni jedna"ina i zadati grani"ni us&ova ka njiovoj integra&noj ana&ogiji nagrani)i o%&asti koju posmatramo# +ostupak se sastoji u diskretizovanju grani"ne o%&astistrukture grani"nim e&ementima! primenom raz&i"iti vrsta aproksima)ija geometrije grani)ai grani"ni funk)ija# Iz integra&ni odnosa! diskretnom ana&ogijom! formira se sistema&ge%arski jedna"ina# ,ešavanjem sistema do&azi se do traženi ve&i"ina na grani)ama

o%&asti#• $LO=ENE METODE +,O,A-3NA $T,37T3,A# Inženjerski zatevi prora"una

s&oženi struktura! us&ovi&i su razvoj metode kona"ni e&emenata# Naime! pokaza&o se da jemogu'e grupisanje e&emenata u ve&ike makro;e&emente da %i se ana&izira&e oso%ine nanjiovim grani)ama# Ova metoda poznata je kao METODA $3+E,;ELEMENATA 4M$E5#Metoda se koristi naro"ito u aviogradnji! %rodogradnji gde super;e&ementi predstav&jajusek)ije struktura koje se ponav&jaju# +rednost metode je što isk&ju"uje unutrašnje nezavisno ;

promen&jive! pa preostaju samo nepoznate na grani)ama supere&emenata# Na ovaj na"in jezna"ajno smanjen ra"unski o%im pro%&ema te je rea&iza)ija %rža i uspešnija# +ri tome seformiraju a&ge%arski sistemi koji se rešavaju metodama auss;a! Holeckog ! Crout ;a!fronta&nom metodom i drugim itera)ionim metodama# 3 grupu metoda za stati"ku

NELINEA,N3 ana&izu struktura spadaju metoda prosti itera)ija! Newton-Raphsonmetoda! metoda tangentne krutosti i druge# Mode&iranje "esto us&ov&java aproksima)ije

pro%&ema# Aproksima)ija posmatrani parametara kod ne&inearnog pro%&ema! može %itiizvršena razvijanjem u !aylor ;ov red# 3ko&iko se izvrši &ineariza)ija! zadatak se da&je možetretirati metodama &inearnog programiranja# To je kon)ept sekven)ija&nog &inearnog

programiranja 4$L+5# 3 okviru metoda za analizu struktura pri nesta)ionarnimDINAMI-7IM DE1$T/IMA! primenjuju se metoda )entra&ni raz&ika prvog i tre'eg reda4metoda Hou"olt ;a5! metoda #e$mark a! %ilson;ova teta metoda i druge# $avremene metodeefikasno se primenjuju kroz profesiona&ne +,O9,AM$7E +A7ETE# $oftver jemodu&arnog tipa i svaka kategorija zadatka je nezavisna programska )e&ina# Tako se zada)i

ana&ize rešavaju programskim modu&om ( so&verom! zada)i geometrijskog mode&iranja ( modu&om prepro)esora! zada)i prikaza rezu&tata ( postpro)esorom! zada)i generisanjakona"ni e&emenata ( mode&erom mreže! zada)i optimiza)ije ( modu&om optimiza)ije!zada)i dinamike ( odgovaraju'im modu&om dinami"ke ana&ize itd#

2. OSNOVE METODE KONAČNIH EEMENATA

Metoda kona"ni e&emenata 4M7E5 spada u savremene metode numeri"ke ana&ize# Njena

primena prvo je po"e&a u o%&asti prora"una inženjerski konstruk)ija# Osnovna ideja o tzv# fizi"koj

diskretiza)iji kontinuma! na kojoj se zasniva M7E je vr&o stara! otpri&ike ko&iko i &judsko nastojanje

da se teško rešivi pro%&emi zamene jednostavnijim! za koje se &akše na&aze rešenja#

7ao primer za i&ustra)iju može se navesti pro%&em odre>ivanja opsega i&i površine kruga! na

osnovu njegove pode&e na manje de&ove pravi&nog o%&ika# 9r"ki matemati"ar i fizi"ar Arimed!

ra"unao je %roj ?! odnosno grani)e izme>u koji se na&azi numeri"ka vrednost ovog %roja na taj

na"in što je konturu kruga aproksimirao upisanim odnosno opisanim po&igonom sa kona"nim

%rojem strani)a# $a pove'anjem %roja strani)a po&igona! odnosno sa smanjivanjem njiove dužine!

smanjiva&a se i raz&ika izme>u grani)a u kojima se na&azi %roj ?! a pove'ava&a ta"nost njegove


4/41

numeri"ke vrednosti# Otpri&ike u isto vreme! na s&i"an na"in! u starom Egiptu je ra"unata zapremina

piramide i površina sfere! a u 7ini je dat dokaz poznate +itagorine teoreme# $a ovim prvim

jednostavnim primerima! otvorena su neka fundamenta&na pitanja! kao što su< ta"nost rešenja!

gornja i donja grani)a aproksima)ije! monotonost i %rzina konvergen)ije i dr#! koja su i danas u

M7E veoma aktue&na i zna"ajna sa teoretskog i prakti"nog stanovišta#

,azvoj metode kona"ni e&emenata po"eo je po&ovinom proš&og veka# 3 po"etnoj fazi on seodvijao kroz dva me>uso%no nezavisna pristupa! prvo inženjerski! a odma zatim matemati"ki#

$&ožene prostorne konstruk)ije! u inženjerskim prora"unima zamenjivane su diskretnim sistemima

koji su se sastoja&i od štapova i koji su ra"unati po poznatim postup)ima statike &inijski nosa"a# Od

strane matemati"ara! tražena su pri%&ižna rešenja odre>eni grani"ni zadataka pomo'u diskretni

mode&a uz primenu varija)ioni postupaka# Ova dva pri&aza! inženjerski i matemati"ki! kasnije su

o%jedinjeni! što je %i&o od ogromnog zna"aja za da&ji %rži razvoj i široku primenu M7E#

2.1 Osn!"e na k!#ima se zasni"a MKE

Metoda kona"ni e&emenata spada u metode diskretne ana&ize# Za raz&iku od osta&i

numeri"ki metoda! koje se zasnivaju na matemati"koj diskretiza)iji jedna"ina grani"ni pro%&ema!

M7E se zasniva na fizi"koj diskretiza)iji razmatranog podru"ja# 3mesto e&ementa diferen)ija&no

ma&i dimenzija! osnovu za sva prou"avanja predstav&ja deo podru"ja kona"ni dimenzija! manje

podru"je i&i kona"ni e&ement# Z%og toga su osnovne jedna"ine pomo'u koji se opisuje stanje u

pojedinim e&ementima! a pomo'u koji se formu&iše i pro%&em u )e&ini! umesto diferen)ija&ni i&i

integra&ni! o%i"ne a&ge%arske#

$a stanovišta fizi"ke interpreta)ije! to zna"i da se razmatrano podru"je! kao kontinuum sa

%eskona"no mnogo stepeni s&o%ode! zamenjuje diskretnim mode&om me>uso%no povezanikona"ni e&emenata! sa kona"nim %rojem stepeni s&o%ode# $ o%zirom na to da je %roj diskretni

mode&a za jedan grani"ni pro%&em neograni"eno ve&iki! osnovni zadatak je da se iza%ere onaj mode&

koji naj%o&je aproksimira odgovaraju'i grani"ni pro%&em#

2.2 Al$!ritamski k!n%e&ti MKE

Ana&iza i rešavanje pro%&ema meanike kontinuma po M7E uvek se svode na tzv# pro)es

korak po korak! što je od ogromnog prakti"nog zna"aja za primenu ra"unara u efektivnom

prora"unu# 3 tom pro)esu koji se može prikazati kao jednostavan a&goritam! izdvaja se s&ede'i šest

najvažniji koraka<

6 6# diskretiza)ija kontinuma

8 8# iz%or interpo&a)ioni funk)ija

@ @# ra"unanje karakteristika e&emenata


5/41

# formiranje jedna"ina za mrežu kona"ni e&emenata

B B# rešavanje sistema jedna"ina

C C# prora"un potre%ni uti)aja

Od navedeni šest koraka! prva tri su naro"ito važna# Na"in diskretiza)ije! iz%or o%&ikae&emenata! kao i ukupnog %roja e&emenata! zavise od prirode pro%&ema koji se rešava i potre%ne

ta"nosti traženog rešenja# +ored %roja i o%&ika e&emenata važan je i iz%or "vorova! osnovni

nepoznati u njima i interpo&a)ioni funk)ija# +omo'u interpo&a)ioni funk)ija se definiše po&je

promenjivi u svakom e&ementu# Od njiovog iz%ora neposredno zavisi i kontinuitet na grani)ama

izme>u pojedini e&emenata! a samim tim i ta"nost aproksima)ije# +romenjive u e&ementu mogu %iti

ska&arne! vektorske i&i tenzorske ve&i"ine#

7arakteristike pojedini e&emenata odre>uju se nezavisno od mreže e&emenata kao )e&ine#

Matri)a krutosti se formira autonomno za pojedine e&emente! a potom na osnovu nji! sasvim

jednostavno! formira se matri)a za sistem u )e&ini# $ o%zirom na to da je geometrija e&emenata po pravi&u jednostavna! to prakti"no zna"i da se komp&eksan pro%&em raz%ija na niz jednostavni#

+os&jednja tri koraka! iako su za prakti"ne prora"une od ve&ikog zna"aja! danas spadaju u okvire

rutinskog pos&a! koji je pri&ago>en automatskom radu ra"unara#

2.' O&(a te!ri#a MKE

Osnovni prin)ip na kojem se zasniva M7E! sastoji se u pode&i razmatranog podru"ja na

kona"an %roj manji podru"ja! odnosno e&emenata! tako da se ana&izom pojedini e&emenata! uz

pretpostavku o njiovoj me>uso%noj povezanosti! ana&izira )e&ina# Ovaj pristup u ana&izi! gde se od pose%nog ide ka opštem! od individua&nog ka univerza&nom! u kome se ana&izom de&ova zak&ju"uje

o )e&ini! je poznati induktivni pristup! koji se primenjuje u mnogim podru"jima nauke# 7od

inženjerski i drugi pro%&ema kod koji se opšta rešenja ne mogu do%iti u zatvorenom o%&iku

induktivni pristup je od pose%nog zna"aja#

3 okviru M7E! razmatrano podru"je zamenjuje se ve&ikim %rojem ma&i de&ova kona"ni

dimenzija! koji su me>uso%no povezani u odre>enom %roju ta"aka# Na ovaj na"in! podru"je sa

%eskona"no mnogo stepeni s&o%ode! zamenjuje se diskretnim sistemom sa kona"nim %rojem stepeni

s&o%ode i ana&izira metodama diskretne ana&ize# 3 matemati"koj formu&a)iji! ovo zna"i da se

razmatrani pro%&em prevodi iz podru"ja ana&ize u podru"je a&ge%re# M7E se može svatiti kao

metoda numeri"ke ana&ize o okviru koje se definiše na"in prevo>enja kontinuirani fizi"ki sistema

u diskretne! odnosno na"in formiranja sistema a&ge%arski jedna"ina pomo'u koji se aproksimira

odre>eni konturni zadatak#

Na s&i)i 8#6 prikazano je podru"je D e&asti"nog kontinuma! koji je ograni"en konturom & !

tako da su na de&u konture σ & zadati konturni us&ovi po si&ama! a na de&u u& konturni us&ovi po


6/41

pomeranjima# 3 podru"ju D de&uju zapreminske si&e F 4 ' F ! z y F F ! 5! a na konturi σ & površinske

si&e p 4 z y ' ( ( ( !! 5#

Za pomeranja u podru"ju D se pretpostav&ja da su neprekidne funk)ije koordinata! odnosno<

5!!4 z y 'uu = ! 5!!4 z y 'uu = ! 5!!4 z y 'uu =

8#6

$&ika 8#6# +odru"je D e&asti"nog kontinuuma

Zadatak teorije e&asti"nosti! kada se pro%&em formu&iše po pomeranjima! odnosno po metodi

deforma)ije! sastoji se u odre>ivanju funk)ija pomeranja! koje zadovo&javaju us&ove ravnoteže i

us&ove na konturi! odnosno diferen)ija&ne jedna"ine i konturne us&ove# 9rani"ni zadatak koji je

formu&isan na ovaj na"in! u kinemati"kom smis&u! predstav&ja sistem s %eskona"nim %rojem stepeni

s&o%ode# Zadatak je da se odredi rešenje ovog grani"nog pro%&ema pomo'u odgovaraju'eg

diskretnog sistema sa kona"nim %rojem stepeni s&o%ode! odnosno kao rešenje odgovaraju'egsistema a&ge%arski jedna"ina

,azmatrano podru"je D de&i se na kona"an %roj ma&i de&ova ( kona"ni e&emenata! koji su

me>uso%no povezani u odre>enom %roju ta"aka! koje se nazivaju "vorovi 4$&ika 8#85#

$&ika 8#8 +odru"je D pode&jeno na kona"an %roj e&emenata


7/41

Ako se pretpostavi da se pomeranja u %i&o kojoj ta"ki kona"nog e&ementa mogu! na odre>eni

na"in! prikazati u zavisnosti od pomeranja u "vorovima! onda se pro%&em odre>ivanja po&ja

pomeranja u podru"ju D svodi na odre>ivanje pomeranja u "vorovima! a %roj pomeranja u

"vorovima je kona"an# +omeranja u "vorovima u podru"ju D i na konturi σ & odre>uju se iz sistema

jedna"ina! koji predstav&jaju us&ove ravnoteže u "vorovima! us&ove kontinuiteta u "vorovima ikonturni us&ova na konturi σ & #

Na s&i)i 8#@ prikazan je kona"ni e&ement! koji je izdvojen iz sistema e&emenata sa s&ike 8#8#

Z%og jednostavnosti! e&ement je prikazan kao dvodimenziona&ni! ograni"en sa pravo&inijskim

konturama# Ovim se ne že&i suziti opseg razmatranja! koja važe za jednodimenziona&ne i

višedimenziona&ne e&emente sa ravnim i krivim konturama#

$&ika 8#@ 7ona"ni e&ement izdvojen iz sastava e&emenata

Na e&ementu je usvojen odre>eni %roj ta"aka na konturi! koje se nazivaju "vorne ta"ke i&i

"vorovi# -vorovi su o%e&eženi %rojevima 6!8! 7! gde je 7 ukupan %roj "vorova# Ovi "vorovi se

nazivaju spo&jašnji "vorovi! da %i se raz&ikova&i od "vorova koji mogu %iti usvojeni u e&ementu i koji

se nazivaju unutrašnji "vorovi# 3kupan %roj unutrašnji "vorova o%e&ežen je sa ,#

3 "vorovima e&ementa kao osnovne nepoznate ve&i"ine! usvajaju se parametri pomeranja#

+od pomeranjima! ovde se podrazumevaju pomeranja u genera&nom smis&u! tj# komponente

pomeranja! njiove kom%ina)ije i s 0roj parametara pomeranja u "vorovima zavisi od priroderazmatranog pro%&ema# Npr# kod trodimenziona&ni pro%&ema u svakom "voru! za parametre

pomeranja se usvajaju po tri komponente pomeranja 4u! v! 5 kod dvodimenziona&ni po dve 4u! v5!

kod savijanja p&o"a najmanje po tri 4! FGH!! FH!G5 itd# +arametri pomeranja u "vorovima "esto

se nazivaju stepeni s&o%ode! po ana&ogiji sa zna"enjem koje ove ve&i"ine imaju u stati)i &inijski

sistema# Ako je u svakom "voru usvojeno po $ parametara pomeranja! e&ement ima $G7 spo&jašnji

stepeni s&o%ode i $G, unutrašnji stepeni s&o%ode#


8/41

$uština aproksima)ije kontinuma po M7E! sastoji se u s&ede'em<

6# ,azmatrano podru"je kontinuuma! pomo'u zamiš&jeni &inija i&i površina! de&i se na

odre>eni %roj manji podru"ja kona"ni dimenzija# +ojedina manja podru"ja se nazivaju

kona"ni e&ementi! a njiov skup za )e&o podru"je sistem i&i mreža kona"ni e&emenata#

8# +retpostav&ja se da su kona"ni e&ementi me>uso%no povezani u kona"nom %roju ta"aka! kojese usvajaju na konturi e&ementa# Te ta"ke se nazivaju "vorne ta"ke i&i "vorovi#

@# $tanje u svakom kona"nom e&ementu 4npr# po&je pomeranja! deforma)ija! napon! prostiranje

temperature i s opisuje se pomo'u interpo&a)ioni funk)ija i kona"nog %roja parametara u

"vorovima koji predstav&jaju osnovne nepoznate ve&i"ine u M7E#

# Za ana&izu i prora"un sistema kona"ni e&emenata važe svi prin)ipi i postup)i koji važe za

k&asi"ne diskretne sisteme#

Osnovna ideja ana&ize metodom kona"ni e&emenata je mode&iranje pro%&ema

podrazumevaju'i da je prostorni domen pro%&ema pode&jen ( diskretizovan na poddomene na koje

se primenjuju opšta znanja i iskustva iz meanike kontinuma i numeri"ke matematike# +oddomeni o

kojima je re" termino&oški se ozna"avaju kao kona"ni e&ementi# Ana&iza sistema spregnuti

kona"ni e&emenata! do%ijeni diskretiza)ijom kontinuma! omogu'ava numeri"ku simu&a)iju odziva

kontinuma na zadate po%ude# :izi"ke ve&i"ine koje su o%uva'ene mode&om do%ijaju se u

diskretnom o%&iku! tj# u ta"kama koje proizi&aze iz diskretiza)ije# Ove ta"ke se zovu "vorne ta"ke! i&i

jednostavno "vorovi# Naj"eš'e koriš'eni kona"ni e&ementi su 8D i @D kona"ni e&ementi kontinuma#

Mode&iranjem rea&nog o%jekta uz pomo' ovi e&emenata! zatim definisanjem ograni"enja ioptere'enja! kao i svi potre%ni meani"ki oso%ina materija&a od koga su sa"injeni! i kona"no

rešavanjem pro%&ema numeri"kim metodama! dovodi nas do že&jeni rezu&tata# Da %i se doš&o do

konkretni vrednosti za "vorove! odnosno da %i se oni na pravi&an na"in definisa&i u prostoru! kao i

da %i se odredi&a sva ograni"enja i optere'enja! potre%no je posedovati softverski paket koji se

%azira na vizue&nom pristupu#

Tokom "itavog pro)esa mode&iranja potre%no je omogu'iti korisniku da interaktivno kreira

o%jekat! i da u svakom trenutku može da vidi prikaz e&emenata# 7ada se na ovaj na"in pro%&em

definiše! generiše se datoteka kona"ni e&emenata koja sadrži sve potre%ne podatke za njegovo

rešavanje 4$&ika 8#5# 7ada se do%iju rezu&tati! odnosno fizi"ke ve&i"ine u diskretnom o%&iku! koje predstav&jaju odziv kontinuma na zadate po%ude 4optere'enja5! one se ponovo smeštaju u datoteke

za postpro)esiranje koje u se%i sadrže sve rezu&tate# Ovakve datoteke je potre%no vizue&izovati! tako

da se prikaže i geometrija pro%&ema! a&i i vrednosti dati fizi"ki ve&i"ina u svim ta"kama te&a#

+ro)es vizue&iza)ije je u opštem s&u"aju vr&o komp&eksan pro)es "ija s&oženost zavisi od zateva

krajnjeg korisnika# Mogu'e je napisati ap&ika)iju koja prikazuje samo osnovne e&emente! dok se

rezu&tati ana&iziraju nekim jednostavnim a&atom 4"ak i o%i"nim editorom teksta5# $a druge strane!


9/41

može se zatevati da se prikazuju i optere'enja! ograni"enja! deformisana stanja! vektori pomeranja!

%rzina! gradijenti po&ja! kao i da je sve to mogu'e animirati# 3 ap&ika)iji se mogu na'i i mnoge

spe)ija&izovane funk)ije koje se koriste samo kod ma&og %roja pro%&ema# Tako>e je mogu'e da

programski paket poseduje odre>ene oso%ine otvorenog sistema! tako da se može koristiti i u nekim

usko spe)ija&izovanim pro%&emima %ez potre%e za prepravkama na samom programu# Me>utim! %ez

o%zira na s&oženost zateva! sve ove ap&ika)ije imaju neke zajedni"ke e&emente#

$&ika 8# 3&azna datoteka

2.) Ti&!"i elemenata

3 narednom tekstu 'e %iti opisana ko&ek)ija e&emenata koji se naj"eš'e koriste za

mode&iranje o%jekata# Ova ko&ek)ija se sastoji od raz&i"iti 8D i @D e&emenata! i otvorena je za da&junadogradnju sa novim e&ementima# Najpre 'e %iti iz&oženi @D#

!rodimenzionalni elementi

Ovi kona"ni e&ementi se koriste za mode&iranje trodimenziona&ni te&a opšteg o%&ika 4@D

kontinuma5# E&ement može imati raz&i"it %roj "vorova ( uo%i"ajen je %roj od J do 86# Ovakav

e&emenat se naziva osnovnim i ograni"en je sa šest površi# Od ovakvog e&ementa se mogu formirati


10/41

i drugi prostorni o%&i)i! kao što su prizma! tetraedar i&i "etvorostrana piramida# Ovakvi e&ementi

nasta&i pok&apanjem neki "vorova osnovnog e&ementa nazivaju se degenerisani @D e&ementi# 3

aktue&noj verziji programa podržani su s&ede'i e&ementi<

6# Tetraedar#

8# Tetraedar sa me>u"vorovima#

@# +rizma## +rizma sa me>u"vorovima#

B# Osnovni @D e&ement#

C# Osnovni @D e&ement sa me>u"vorovima#

Na s&i)i 8#B dat je prikaz ovi e&emenata i na"in na koji se definišu uz pomo' "vorova

4e&ementi sa me>u"vorovima! u opštem s&u"aju imaju krivo&inijske ivi)e5#

$&ika 8#B Tipovi trodimenziona&ni e&emenata# 4a5 Tetraedar# 4%5 +rizma# 4)5 Osnovni

@D e&ement 4d5 Tetraedar sa me>u"vorovima# 4e5 +rizma sa me>u"vorovima#

4f5 Osnovni @D e&ement #

)*odimenzionalni elementi

3 s&u"aju 8D e&emenata! kao i kod @D e&emenata! postoji više vrsta! tako da oni "ine

fami&iju 8D kona"ni e&emenata za mode&iranje kontinuma# +rogramom su podržani s&ede'i 8D

e&ementi<

6# Trougao#

8# Trougao sa me>u"vorovima#


11/41

@# -etvorougao#

# -etvorougao sa me>u"vorovima#

Na s&i)i 8#C dat je prikaz ovi e&emenata i na"in na koji se definišu uz pomo' "vorova#

$&ika 8#C Tipovi dvodimenziona&ni e&emenata# 4a5 Trougao# 4%5 Trougao sa me>u"vorovima#

4)5 -etvorougao# 4d5 -etvorougao sa me>u"vorovima#

2.* Ti&!"i !&tere+en#a

3 rešavanju rea&ni pro%&ema! možemo se susresti sa više vrsta optere'enja# Optere'enja

predstav&jaju po%udu fizi"kog sistema! i u inženjerskim pro%&emima su to ug&avnom si&e! momenti!

pritisak i s Optere'enja koja se naj"eš'e mogu sresti u M7E mogu se pode&iti u tri grupe<

6# 9&o%a&na optere'enja< a5 3%rzanje# %5 0rzina# )5 Temperatura#8# Optere'enja u "vorovima< a5 $i&aKMoment# %5 +omeranje# )5 0rzina# d5 Temperatura# e5

Izvor top&ote 4Top&otna energijaK1edini"na zapremina5# f5 Top&otni f&uks 4Top&otna

energijaK1edini"na površina5#

@# Optere'enja po e&ementima< a5 7ontinua&no# %5 +ritisak# )5 Temperatura# g5 Izvor top&ote

4Top&otna energijaK1edini"na zapremina5# d5 Top&otni f&uks 4Top&otna energijaK1edini"na

površina5# e5 7onvek)ija# f5 ,adija)ija# $ve tri vrste optere'enja se koriste za

stati"keKsta)ionarne! ne&inearne i dinami"keKnesta)ionarne ana&ize#

9&o%a&na optere'enja se primenjuju na "itavo te&o! i iz tog raz&oga se za jedan set

optere'enja definišu samo jednom# Ovakva optere'enja se naj"eš'e koriste da simu&iraju uti)ajgravita)ije! i&i da definišu temperaturu oko&ine i te&a za termi"ke prora"une# Optere'enja u

"vorovima i optere'enja po e&ementima su ug&avnom si&e! momenti! pritisak itd# Naj"eš'e se sve si&e

definišu u jednom setu! momenti u drugom i s


12/41

2., O&tere+en#a &! elementima

3 s&u"aju pritiska! potre%no je znati na koje strane e&ementa pritisak de&uje# Iz tog raz&oga

uvodi se numerisanje strana kao na s&i)i 8##

$&ika 8# Numerisanje strana kod trodimenziona&ni e&emenata# 4a5 Tetraedar# 4%5 +rizma#

4)5 Osnovni @D e&ement#

2.- O$raničen#a

Onemogu'avanje pomeranja po nekom od šest stepeni s&o%o%e< trans&a)ija duž ! i Z! kao

i rota)ija oko ! i Z osa! naziva se ograni"enje# Ograni"enja se de&e na g&o%a&na 4ona koja važe zasvaki "vor mreže kona"ni e&emenata5 i na &oka&na ograni"enja u odre>enim "vorovima# Na ovaj

na"in se mode&iraju s&u"ajevi uk&ještenja! os&anjanja! razne veze izme>u te&a i s Ograni"enja se

mogu definisati u g&o%a&nom koordinatnom sistemu! gde važe u prav)ima osa g&o%a&nog

koordinatnog sistema! a&i i u &oka&nim koordinatnim sistemima# Na ovaj na"in se o&akšava

mode&iranje rea&ni us&ova! kao i rešavanje simetri"ni pro%&ema posmatranjem samo neki

njiovi de&ova# 7ada ne %i %i&o mogu'e definisati ograni"enja u &oka&nim koordinatnim sistemima!

definisanje svi ograni"enja u g&o%a&nom koordinatnom sistemu predstav&ja&o %i ve&iki pro%&em#

-esto postoji mogu'nost definisanja grani"ni us&ova uz pomo' jedna"ina! tako da se pomeranje u

nekom prav)u ne izjedna"ava sa nu&om! ve' sa nekom vrednoš'u do%ijenom iz jedna"ine# 3z pomo' ovakvi ograni"enja još se više pri%&ižavamo rea&nim us&ovima#

2. /!st&r!%esiran#e

+ostpro)esiranje predstav&ja pro)es vizue&iza)ije do%ijeni rezu&tata# +rvi korak u

postpro)esiranju predstav&ja do%av&janje rezu&tata# ,ezu&tati su smešteni u datotekama koje


13/41

predstav&jaju iz&az iz so&vera;a! odnosno programa koji na osnovu defini)ije pro%&ema izra"unava

vrednosti fizi"ki ve&i"ina u "vorovima i e&ementima mreže kona"ni e&emenata# Naj"eš'e se

prikazivanje rezu&tata vrši na jedan od s&ede'a tri na"ina<

6# Deforma)ijom te&a#

8# 7onturnim prikazom#

@# grafi)ima#+rva dva na"ina se mogu kom%inovati u jednom prikazu! tako da se te&o može posmatrati

kao deformisano! sa konturnim prikazom! re)imo! napona# +ored ova tri na"ina! koji predstav&jaju

grafi"ko postpro)esiranje! "esto je mogu'e i formiranje izveštaja koji predstav&jaju formatiran

tekstua&ni iz&az spreman za štampanje#

)e+ormisani model

Deformisani mode& predstav&ja prikaz te&a u deformisanom stanju# +ostoje dva na"ina za

odre>ivanje deforma)ija ovog mode&a< stvarne deforma)ije i deforma)ije prema nekoj proizvo&jnojve&i"ini# 3 s&u"aju stvarni deforma)ija! za komponente pomeranja se uzimaju deforma)ije duž !

i Z osa g&o%a&nog koordinatnog sistema# Na ovaj na"in se do%ija izg&ed deformisanog te&a! gde

deforma)ije mogu %iti po potre%i ska&irane# 1edan ovakav prikaz je dat na s&i)i 8#J#

$&ika 8#J +rikaz deformisanog o%jekta#

Drugi na"in prikazivanja se do%ija tako što se o%jekat deformiše duž neke od osa g&o%a&nog

koordinatnog sistema srazmerno vrednosti neke fizi"ke ve&i"ine 4napon! temperatura i s# Na ovaj

na"in se do%ija o%jekat koji nije s&i"an stvarnom definisanom te&u! a&i ovakav na"in deformisanja

može imati odre>ene primene#


14/41

Konturni (rikaz

7onturni prikaz omogu'uje vizue&iza)iju odre>ene fizi"ke ve&i"ine! na taj na"in što se

odre>enim vrednostima dode&juju odgovaraju'e %oje# Ako se znaju vrednosti neke ve&i"ine u

"vorovima! na površini e&ementa izme>u "vorova %oje se interpo&iraju# Naj"eš'e se koristi &inearna!a&i je mogu'e do%iti i druge o%&ike interpo&a)ije# 1edan primer konturnog prikaza dat je na s&i)i 8#P#

$&ika 8#P 7onturni prikaz pomeranja u prav)u ose#

, gra+ici

+omo'u ovakvog na"ina postpro)esiranja mogu'e je prikazati razne zavisnosti izme>u

"vorova i vrednosti fizi"ki ve&i"ina u njima# Naj"eš'e se ovi grafi)i konstruišu kao<

a5 Zavisnost vrednosti fizi"ke ve&i"ine od identifika)ionog %roja "vora#

%5 Zavisnost vrednosti fizi"ke ve&i"ine od pozi)ije "vorova u prostoru#

)5 Zavisnost vrednosti fizi"ke ve&i"ine od vremena 4nesta)ionarna ana&iza5!i&i kao grafi)i koji ne s&uže za postpro)esiranje! a koji prikazuju grafik odre>ene funk)ije

iskoriš'ene i&i za definisanje optere'enja! i&i ograni"enja i s Na s&i)i 8#6Q dat je grafik koji

odgovara rezu&tatu prikazanom na s&i)i 8#P#


15/41

$&ika 8#6Q Zavisnost pomeranja od konturni "vorova#

2.0 /rimena anima%i#e u &!st&r!%esiran#u

+rva dva na"ina generisanja prikaza! deformisanim mode&om i konturnim prikazom

rezu&tata! se mogu kom%inovati# Dak&e! mogu'e je istovremeno prikazivati deformisano te&o i

vrednosti! re)imo napona! u njegovim ta"kama# Tako>e! ovi prikazi se mogu i animirati! u že&ji da

se opiše na"in na koji te&o do&azi u krajnji po&ožaj i kako se pri tome menjaju vrednosti odre>eni

fizi"ki ve&i"ina# Anima)ija se može zasnivati na dva prin)ipa# +rvi prin)ip predstav&ja generisanje

stanja izme>u po"etnog 4nenapregnutog5 i krajnjeg 4deformisanog5 stanja# Dak&e! na osnovu ove

dve konfigura)ije! prora"unavaju se me>ustanja 4&inearno5 i do%ija se odre>en %roj koraka

anima)ije# Drugi prin)ip se može iskoristiti uko&iko postoji niz rezu&tata u više konfigura)ija! dak&eza razne vrednosti optere'enja i&i vremena# Ovako se do%ija anima)ija koja se zasniva na ana&izi u

više koraka! koja je %&iža rea&nom na"inu dovo>enja te&a u krajnju konfigura)iju#

2.1 K!načni element 1D &rezenta%i#a &rimene te!ri#e MKE

Definisanje krutosti 1-D elementa

.omogeni 6;D e&ement 4)ev5 dužine .! popre"nog preseka /! i modu&a e&asti"nosti E može se

mode&irati kao opruga krutosti . /E

k e0 = #


16/41

Čvorna pomeranja, Sile

+omeranja dva kraja opruge! nazvana "vorovima! o%e&ežena kao iu i 1u ! zovu se čvorna

pomeranja, a si&e u "vorovima čvornim silama o%e&ežene kao i + i 1 + #

2a*isnost sile od (omeran1a

Matrica krutosti elementa

+retodne dve jedna"ine mogu %iti napisane u matri"noj formi kao<

i&i kra'e kao

gde je

i i

j j

u f k k u f k k

− = −

=ku f


17/41

matri)a krutosti e&ementa 4uvek je simetri"na53

vektor "vorni pomeranja3

vektor "vorni si&a

+omeranja "vorova e&ementa su ujedno i stepeni s&o%ode "vora 4 degrees o+ +reedom -)4F5

&ingularnost matrice krutosti

1edna"inom ku H 3 se ne mogu odrediti pomeranja z%og toga sto je matri)a k singu&arna odnosno pošto pomeranja e&ementa kao krutog te&a! ovim sistemom jedna"ina nisu odre>ena# 1edan odkrajeva mora %iti fiksiran i&i zadato pomeranjeR pomeranje drugog kraja onda može %iti odre>eno

jednozna"no#,ešenje za jedan e&ementAko je "vor i fiksiran 4pomeranje je Q5 onda se ku H 3 redukuje u jednu jedna"inu

i pomeranje "vora 1 se &ako odre>uje kao

Redukci1a matrice krutosti

Sistem sastavljen iz više elemenata

k k

k k

− = −

k

i

j

u

u

=

u

i

j

f

f

=

f

j jku f =

j

jf uk

=


18/41

Dve opruge redno spojene

#e(rekidnost (omeran1a

7ada su dva e&ementa spojena njiovi zajedni"ki "vorovi imaju ista pomeranja#

+omeranja indeksirana sa donjim indeksom su g&o%a&na a sa gornjim indeksima &oka&na! vezana zae&ement#

6slo*i ra*note7e sila

Dejstvo si&a u "vorovima konstruk)ije je jednako z%iru si&a u "vorovima svakog e&ementakonstruk)ije<

9de su F 6! F 8! F @ si&e u "vorovima konstruk)ije# Ra*note7na 1ednačina konstrukci1e

Matri"na jedna"ina ravnoteže unutrašnji i spo&jašnji si&a je<

(1) (2)

2 j iu u u= =

(1) (2)

2 j iu u u= =

(1)

1

(1) (2)

2

(2)

3

i

j i

j

F f

F

F f

=

= +

=

1 1 1 1

1 1 2 2 2 2

2 2 3 3

0

0

k k u F

k k k k u F

k k u F

− − + − = −


19/41

i&i

gde je<

poznata kao g&o%a&na matri)a krutosti 4uvek simetri"na5R

je g&o%a&ni vektor pomeranja i

je g&o%a&ni vektor "vorni si&a

&truktura lo"alne Matrice Krutosti

9&o%a&na matri)a krutosti je sastav&jena iz matri)a krutosti e&emenata

3 opštem s&u"aju matri)a K je singu&arna odnosno iz jedna"ine ravnoteže se ne moguodrediti pomeranja# +otre%no je da se pomeranja neki "vorova definišu odnosno da se zadajugrani"na pomeranja ti "vorova tj# grani"ni us&ovi #Ako se fiksira "vor 6 4pomeranje je Q5 onda jedna"ina ravnoteže postaje<

=KU F

1 1

1 1 2 2

2 2

0

0

k k k k k k

k k

− = − + − −

K

1

2

3

u

u

u

=

U

1

2

3

F

F

F

=

F


20/41

+omeranja "vorova 6 i 8 mogu se na'i iz

Redukci1a matrice krutosti

7ada je jedno od pomeranja Q! u matri)i krutosti se e&iminišu sve vrste i ko&one koje sadrže to pomeranje<

/rimer

9reda od a&uminijuma 4 E H 6Q# × 6QC NK)m85 promen&jivog popre"nog preseka optere'ena jesi&om na kraju 4:H6QQQ N5# Odrediti pomeranje kraja a&uminijumske konzo&e<

Rešen1e

1 2 2 2 2

2 2 3 3

k k k u F

k k u F

+ − = −

1

2 1 2 2 2

3 2 2 3

u k k k F

u k k F

−+ − =

−


21/41

9redu promen&jivog popre"nog preseka možemo aproksimirati sa neko&iko greda konstantnog popre"nog preseka 4u ovom primeru aproksimira'e se sa tri grede konstantnog popre"nog preseka5#

+ovršine popre"ni preseka mogu se izra"unati iz s&ede'i izraza<

Odgovaraju'e krutosti de&ova grede<

9reda mode&irana oprugama 4kona"ni e&ement5<

,avnotežne jedna"ine mogu da se napišu u o%&iku<

i ii

i

A Ek

L=

5

1

5

2

5

3

5.95 10 lb/ in

4.89 10 lb/ in

3.80 10 lb/ in

k

k

k

= ×

= ×

= ×


22/41

,ešavanjem sistema jedna"ina do%ija se<

Ana&iti"ka formu&a za odre>ivanje pomeranja<

6(ore8en1e sa analitičkim rešen1em

( )( )

ln l

l r l r l

APLu x

A AE A A A x L

÷

= ÷−− − ÷


23/41

@# :O,MI,AN1E MODELA 3 METODI 7ONA-NI. ELEMENATA

:ormiranje diskretnog mode&a je pripremna faza ; pro)edura pre ana&ize metodom kona"nie&emenata# :ormiranjem diskretnog mode&a stvara se osmiš&jena! usk&adjena i povezana grupakona"ni e&emenata kojom je opisan kontinuum! koji je predmet ana&ize# :ormiranje mode&a zaana&izu ima "etiri faze rea&iza)ije< :ormiranje geometrijskog mode&a! formiranje idea&izovanogmode&a! formiranje mode&a zona i formiranje diskretnog mode&a# 4e!metri#ski m!5el kreira

projektant! 2AD softverom za projektovanje# Time nastaje datoteka podataka koji rea&no opisujugeometriju o%jekta sa svim potre%nim deta&jima za izradu#9eometrijski mode& može da sadržigeometrijske e&emente koji nemaju zna"aja za ana&izu jer neuti"u na naponsko;deforma)ionu s&iku o%jekta# ,adi toga se formira idea&izovan mode& u kome suo%a"eni nevažni deta&ji#I5ealiz!"an m!5el je uproš'en mode& koji ne mora da predstav&ja )e&inuo%jekta uko&iko može da se njegovim simetri"nim formama predstavi funk)ija i na"in optere'enja

)e&ine#Idea&izovan mode& se uvek formira sa zatevom manjeg o%ima kontinuuma za ana&izu#Osnova razvoja ra%i!nalni6 idea&izovani mode&a je apstrak)ija# Apstrak)ija je sag&edavanjemode&a od strane ana&iti"ara kojom se postav&ja kon)ept mode&a! uk&anjaju deta&ji! prepoznajesimetrija! re5uku#e m!5el! pri&agodjavaju moda&iteti unošenja optere'enja#M!5el z!na predstav&ja idea&izovan mode& ras"&anjen na pravi&nije )e&ine ( zone koje dozvo&javaju

pode&u kontinuuma na kona"ne e&emente prema standardnom ( poznatom a&goritmu generisanja i&i pres&ikavanja# Na s&i)i @#6 pokazan je mode& sa zone# 3sk&adjivanje medjuso%nog pok&apanja"vorova i odsustvo koin)iden)ije e&emenata i "vorova o%ez%edjuje se mapiranjem mreže (

pro)edurom usk&adjenog %roja e&emenata na kontaktnim površinama zona#Diskretni m!5el se razvija na %azi mode&a zona i usk&adjenog %roja e&emenata kontaktni površinazona# Diskretni mode& podrazumeva odredjivanje "vorova! kona"ni e&emenata! podataka omaterija&u! diskretnom optere'enju i diskretnim grani"nim us&ovima# Diskretni mode& ima potre%na

pri&agodjavanja mreže kona"ni e&emenata grani"nim us&ovima os&anjanja i ta"kama i površinamadejstva spo&jašnji si&a# ,azvijena mreža kona"ni e&emenata se o)enjuje parametrima o%&ikamreže# To su geometrijski okviri u kojima je primenjen kona"an e&ement 4deformisanost o%&ika5!

pravi&nost razvoja mreže 4kontinua&nost promene prav)a i o%&ikae&ementa5! pravi&nost promene ve&i"ine e&ementa 4kontinua&nost promene geometrije5# Na %azi ovi

parametara vrši se po%o&jšanje mreže pre nego što se formira kona"an diskretan modeona"nimdiskretnim mode&om vrši se ana&iza#


24/41

Slika 3.1 Faze transformacije modela. lika pokazuje tri !i"ana modela#$eometrijski model% idealizovan model i model zona.

&etvrti model ' diskretni model je prikazan kao zapreminski ( solid model o)jekta

7az"!# mre8e k!načni6 elemenata može se rea&izovati


25/41

Mi)ro$tation;$E# $oftverski paketi kao I;DEA$! AN$$! AL9O,! NA$T,AN! 2O$MO$integrišu sve pro)edura&ne faze ana&ize< 9eometrijsko mode&iranje! idea&iza)iju! kreiranjediskretnog mode&a! rešavanje zadatka i postpro)esiranje# -esto su tu pridodate op)ije zaoptimiza)iju! redizajn! ana&izu oset&jivosti mode&a! konkurentni inžinjering! izradu teni"kedokumenta)ije! poredjenje sa eksperimentom#/re9&!st &r!%es!ri su programi predvidjeni za rad sa geometrijskim poda)ima! optere'enjima!

grani"nim us&ovima! naponima! deforma)ijama! vektorima! po&jima! grafi"kim tipovimageometrijski mode&a! anima)ijom! greškama ana&ize# +reKpost pro)esori su uvek zasnovani nagrafi"kom interfejsu i na taj na"in omogu'uju ana&izu po raz&i"itim osnovama! istraživa"kim)i&jevima#4enerat!ri mre8a : m!5eleri mre8a# Mogu generisati dvodimenziona&ne i&i trodimenziona&nemreže kona"ni e&emenata# Dvodimenzione mreže se koriste za rešavanje ravanski iosnosimetri"ni zadataka6# Trodimenzione mreže su najopštija kategorija mreža i u domenumašinstva njima se pokriva kontinuum o%jekata koji su uvek @D# Drugi zna"ajan parametar genera)ije je gustina e&emenata u pojedinim zonama# 4enerat!ri mre8a koriste dva pristupa uzadavanju gustine mreže<+rvi pristup kod koga se $ustina elemenata una&re5 ;a priori < &ret&!sta"l#a ana&izom

idea&izovanog mode&a iz koje se odredjuju parametri generatora mreža# Ovaj mode& se zasniva naopštim oso%inama meanike kontinuuma i u pojedinim s&u"ajevima može da da ve'u grešku

prora"una kao pos&edi)u neadekvatnog i&i neraspo&oživog predpostav&jenog parametra programskoggeneratora mreže# +retpostavke je potre%no proveriti nakon ana&ize#Drugi pristup zasniva se na k!ri(+en#u rezultata iz"r(ene analize ;a posteriori


26/41

IK')> K!&irati č"!r!"e re3leksi#!m 4 Re+lect #odes5

K!&iran#e u za5at!m &ra"%u= k!&iran#e r!ta%i#!m= k!&iran#e re3leksi#!m+ojedina"no kreiranje kona"ni e&emenata o%av&ja se nared%om za konstruisanje I7@;QB! datomnavodom IK'*# Iz%or tipa i o%&ika kona"nog e&ementa sastavni je deo pro)edure kreiranja iautomatski se softverom otvaraju podmeniji za iz%or potre%ni oso%ina kona"ni e&emenata#

+ro)edura se može uspešno okon"ati kada se svi potre%ni poda)i za kreiranje e&ementa zadaju# Takona primer! kod kreiranja kona"nog e&ementa p&o"e! zadaje se o%&ik p&o"e 4trougaoni i&i"etvorougaoni5! identifika)ioni %rojevi "vorova! na"in unošenja podataka o e&ementu 4definisanointerfejsom programa5! de%&jina kona"nog e&ementa! materija& e&ementa sa mogu'noš'u koriš'enja

%aze podataka# Te oso%ine napredni softveri nude kao komp&etnu op)iju#IK'*> Kreirati k!načan element 4Create Element 5+ri navodjenju zateva za kreiranje &inijski e&emenata! programi o%i"no nude iz%or<A# E&ement za aksija&na i torziona optere'enja 4%ez smi)ajna i savijanja( rod element 5! s@#8;a!0# 2evni e&ement s&i"ni oso%ina kao i pretodni 4tu"e element 5! s&ika @#8;%!2# tapni e&ement za aksija&na optere'enja i savijanje 4"ar element 5! s&ika @#8;)!D# Linijski e&ement krutosti 4 s(ring element 5! s&ika @#@;a!

E# Linijski e&ement prigušenja 4dam(er element 5! s&ika @#@;%!:# 7om%inovani e&ement zadate krutosti i prigušenja!9# Linijski e&ement ne&inearnosti 4 ga( element 5!.# 7rivo&inijski gredni e&ement 4cur*ed "eam element 5! s&ika @#@;)

Slika 3.2 a.' aksijalni element% ). ' cevni element% c. ' štapni*+redni element

Slika 3.3 a.' element krutosti% ). ' element pri+ušenja% c. ' krivolinijski +redni element

GENERISANJE UNIFORMNIH MREŽA


27/41

7ada se na o%jektu razvija mreža sa topo&ogijom koja je ta"no unapred odredjena! definiše se površina na kojoj se izvodi opera)ija# Naredni korak je iz%or a&ata za generisanje mreže#9enerisanje mreže na proizvo&jnoj "etvorougaonoj p&o"i! što je navedeno funk)ijom<IK'> Kreirati mre8u izme5#u u$l!"a temena 4Create Mesh "et$een Corners5Ova funk)ija zateva unošenje oznake "vorova i %roj e&emenata u prav)ima &oka&ni osa 4s5 i 4r5koji se generišu mrežom# 7ada se generisanjem do%ijaju propor)iona&ni i&i identi"ni kona"ni

e&ementi! takva mreža se naziva uni3!rmna# Za p&o"u na s&i)i @#;a! zadata su temena N8B! N8! N@! N6 i pode&a G e&emenata# 3ko&iko se funk)ija ponovi na e&ementima EP! E6Q! E6@! E6! sa istim parametrima! 4pos&e odk&anjanja koin)identni "vorova i e&emenata i renumera)ije mreže5! nastajemode& mreže prikazan na s&i)i @#;%# Ovaj mode& sa 8J e&emenata p&o"e od&ikuje se guš'om mrežomkoja omogu'uje pre)izan unos spo&jašnjeg uti)aja! manji stepen aproksima)ije u ana&izi uti)aja!

%o&ji 4deta&jniji5 prikaz po&ja napona i deforma)ija# +re&az iz krupniji u sitnije e&emente moranaknadno da se dotera#

Slika 3.4-a,b !i"#!i $#n#!i%&n'& (ni*!"ni+ "!#,&

/r!%e5ura $enerisan#a mre8e sl!8eni#a< Tako! re)imo! kada se generiše mreža na prstenastoj p&o"i! %ira se pomo'na funk)ija za konstruisanje! kojom se generišu kontro&ne ta"ke mreže<IK'0> Kreirati 5imenzi#u mre8e uz5u8 kri"a na &!"r(ini4Create Mesh &ize along Cur*es on &ur+ace Ovom funk)ijom se postav&jaju kontro&ne ta"ke po)e&oj konturi! iza%rane gustine u )irku&arnom i radija&nom prav)u# 7ontro&ne ta"ke omogu'uju

pravi&no rasporedjivanje e&emenata mreže# 7ontro&ne ta"ke su postav&jene i sim%o&i"ki prikazane namode&u! kod svakog softvera#Tek sada može se postaviti zatev za kreiranje mreže na površini<IK'1> 4enerisati mre8u na &!"r(ini 4enerate Mesh on a &ur+ace5Ovom funk)ijom se formira mreža koja ima po&ožaje "vorova i e&emenata prema postav&jenommode&u sa kontro&nim ta"kama# $&ika @#B! pokazuje primer kreiranja mreže na prstenastoj p&o"i sa68 e&emenata u )irku&arnom i @ u radija&nom prav)u# 9enerisano je @C kona"ni e&emenata sa J"vorova i J G C stepeni s&o%ode kretanja 4$$75# Mreža ima pravi&an o%&ik i propor)iona&nugeometriju kona"ni e&emenata# +ri tome su prikazani "etvorougaoni ravanski kona"ni e&ementi#


28/41

Slika 3.5 $enerisanje ravanski, "etvorou+aoni, kona"ni, elemenata u polarno'cilindri"nom koord. istemu

IK'11> 4enerisati &arametre "eličine mre8e 4enerate Mesh &ize5+rimer na s&i)i @#C! pokazuje generisanje mreže na nepravi&noj ravnoj površini sa J kona"nie&emenata u o%a prav)a i ko&i"ni)ima izvodni)a mreže B#Q i Q#8# Do%ijena mreža ima pove'anu

gustinu e&emenata u gornjem desnom ug&u# Aproksima)ija izvršena sa C "etvorougaona e&ementa p&o"e! pri "emu ta"nost mode&a više nije automatski kontro&isana ve' zavisi od kriterijuma i zatevaana&iti"ara#

Slika 3.6 -niformna mre!a sa nejednakom veli"inom kona"ni, elemenata

Sl!?!5ne mre8e> 7od neautomatski pro)edura kada se generišu $LO0ODNE :O,ME M,E=A4 free mesh5! mora se poznavati ta"nost mode&iranja iz iskustva grupe predodno izvedeni mode&a i

prora"una# $&o%odno formirana mreža mora poštovati opšte prin)ipe formiranja mreža


29/41

7oriš'enjem komande na o%jektu 4poste&ji)a k&iznog &ežaja5 prikazanom na s&i)i @#8Q! do%ijena jemreža sa 68B ; @D kona"ni e&emenata 4 solid "rick 5! @68 "vora i P@C stepeni s&o%ode kretanja#+odešavanje kva&iteta rešenja preko ve&i"ine kona"ni e&emenata poznato je još kao 6; size

parametar# 7od po&uautomatskog generisanja mreža! mogu'e je ve&i"inom osnovnog e&ementa!definisati gustinu mreže#

Slika 3.6 Primer +enerisanja uniformne mre!e na / o)jektu

A3TOMAT$7O 9ENE,I$AN1E M,E=AAutomatsko generisanje mreža kona"ni e&emenata koristi se za rea&iza)iju o%imni zadataka kakvisu industrijski pro%&emi sa više desetina i&jada kona"ni e&emenata# Te instruk)ije se u softveruna&aze pod opštim navodima<IK'21> Aut!matski $enerisati $rani%e mre8e 4 /utomatically mesh generation "oundaries5Aut!matski kreirati mre8u 4 /uto9Create5$pe)ifika)ija argumenata mreže I7@;86<

Na"in generisanja mreže 4pravi&na! adaptivna5!/e&i"ina e&ementa u mreži 4h-size5!0roj e&emenata u prav)ima mreže!

Nagi% e&emenata u mreži 4"iasing 5!/e&i"ina g&o%a&nog i &oka&nog e&ementa s&o%odne mreže!Mu&tip&ikatori dužine za s&o%odne mreže!Dužina e&ementa na %azi zakriv&jenosti forme 4Cur*ature-:ased Element .ength5Automatska genera)ija mreže kona"ni e&emenata zasnovani su na s&ede'im postup)ima<A# 3prav&janju razvojem mreže!0# Tenikama ravnanja mreže na o%jektu!

2# Metodama za iz%or o%&ika i vrste e&ementaA. U/7AV@AN@E 7AVO@EM M7EBE definiše po"etak i prava) generisanja mreže#Osnovarazvoja takve mreže je &lan mre8e ;ma&a< koji je odredjen definisanjem pode&e na površinama iivi)ama o%jekta# +ostoje u osnovi dva mode&a razvoja mreže< pravi&na 4uniformna5 i s&o%odna#/ra"ilna mre8a ima strategiju simetri"nog ravnomernog razvoja u prav)u promene toka konture#+ravi&ne mreže su propor)iona&ni kona"ni e&emenata! estetske i daju ve&iki %roj e


30/41

Slika 3.7 -niformna ' kontinualna mre!a iste forme kona"ni, elemenata

Sl!?!5ne mre8e imaju ve'u s&o%odu u smis&u rasporedjivanja grani)a e&emenata# $&o%odne mrežese spe)ifi)iraju parametrom $l!?alne "eličine elementa! l!kalne "eličine elementa! ?r!#em

elemenata u krivini i multi&likat!r!m ve&i"ine e&emenata u mreži#7ako ve&i"ina ivi)e kona"noge&ementa! predstav&ja deo )e&e dužine ivi)e mode&a! to se ova spe)ifika)ija definiše ve&i"inome&ementa u odnosu na )e&u konturu i poznata je kao 6s&e%i3ika%i#a# +arametar za ovu spe)ifika)iju

je ?r!# tačaka na k!nturi# 3o%i"ajeno se definiše od 8Q do @Q e&emenata<

Slika 3.8 /e0nisanje ta"aka na konturi ' pred+enerisanje elemenata za ocenu forme i+ustine mre!e

Drugi parametar razvoja mreže podrazumeva definisanje maksimalni6 $e!metri#ski6 !5n!sa

medju samim e&ementima u mreži# Idea&no je da su kona"ni e&ementi iste ve&i"ine! a&i se od ovogzateva odstupa da %i se do%i&a mreža potre%ne gustine na kriti"nim &oka)ijama# Zato je uveden parametar nagi%a 4biasin ;5 e&ementa prema )entru i&i krajevima konture 4@#Q i više5# Ovaj parametar odredjuje zguš'enje trajektorija ivi)a kona"ni e&emenata u prav)u razvoja mreže# Njime je odredjena %rzina pre&aska diskretne strukture iz krupnog kona"nog e&ementa na kraju površine usitan e&ement u pre&aznoj zoni#C. 7AVNAN@E M7EBE ima za )i&j da o%ez%edi propor)iona&nost o%&ika i kontinuitet grani)ae&emenata u odnosu na konturu o%jekta# Na ovaj na"in smanjuje se izo%&i"enje forme kona"nie&emenata# Za ravnanje grani)a e&emenata koriste se raz&i"ite metode geometrijske ispune prostora


31/41

pri "emu se do%ar uspe rasporedjivanja postiže primenom .a(lace-ove i težišne itera)ije# .a(lace;ova metoda pomera zajedni"ki "vor "etiri susedna e&ementa! prema preseku o%razovanom direktnim

poravnanjem ivi)a susedni e&emenata! s&ika @#P# Težišna metoda pomera zajedni"ku ta"ku katežištu sva "etiri kona"na e&ementa! s&ika @#P# .a(lace;ova metoda stvara mrežu sa najmanjimizo%&i"enjem e&emenata# Ova metoda je %rža od težišne metode# ,avnanje se izvodi do zadateto&eran)ije kva&iteta mreže 4VH6-6Q;@5#

Slika 3.9 /va modela za ravnanje mre!a# Laplace'ov i te!išni metod. T7EA 47U/A METODA stara se za iz?!r "rste i ti&a k!načn!$ elementa# To je! re)imo!iz%or 8D i @D e&emenata pripadaju'eg o%&ika# 7od ravanski i površinski struktura to su trougaonii "etvorougaoni o%&i)i p&o"a! &juski! mem%rana# 7od @D o%jekata to su osmougaoni e&ementi 4"rick 5i&i piramide# 89eometrija samog kona"nog e&ementa zadaje se &arametr!m !?lika# 7od"etvorougaoni kona"ni e&emenata to je minima&an dozvo&jeni ugao zakošenja# ,e)imo! on se %irau grani)ama BWCQX "ime se do%ijaju do%re diskretne forme mreža# Naredna dva primera pokazujuautomatsku genera)iju mreže na "etvrtastoj @D p&o"i)i sa kružnim otvorom# +rva mreža! na s&i)i

@#6Q izvedena je "etvorougaonim e&ementima sa maksima&no zadatim odnosom zakošenjae&emenata B


32/41

2'speci0kacija 34% 5iasin+ 6:% Laplace'ova metoda sa 34 iteracija i 0 4.443.;ealizacija# 7< "vora i 374 elemenata

). 47EFKE /7I ANAII ST7UKTU7A METODOM KONAČNIH EEMENATA

3/OD

Ana&iti"arima danas stoji na raspo&aganju ve&iki %roj komer)ija&ni programa za ana&izu strukturametodom kona"ni e&emenata i to za stati"ku! dinami"ku! termi"ku i ne&inearnu stati"ku ana&izu#/e'ina ovi programa ima raz&i"ite provere u&azni podataka# $a druge strane! danas se za pripremu

podataka naj"eš'e koriste interaktivni i&i automatski predpro)esori koji pored u%rzanja pro)esa pripreme podataka znatno doprinose i pove'anju stepena njiove ta"nosti# Ana&iza rezu&tatado%ijena prora"unom je danas gotovo nezamis&iva %ez postpro)esora#Iako je pro)es ana&izestruktura metodom kona"ni e&emenata na taj na"in visoko automatizovan! ipak postoji opasnost dase u toku ana&ize strukture prouzrokuju greške koje! u ve'oj i&i manjoj meri! uti"u na ta"nostrešenja! a u nekim fata&nim s&u"ajevima spre"avaju do%ijanje %i&o kakvog rezu&tata# 3 ovom

pog&av&ju je u"injen pokušaj da se ana&iziraju svi mogu'i poten)ija&ni izvori grešaka u pro)esuana&ize strukture metodom kona"ni e&emenata# Na osnovu ove ana&ize je izvršena k&asifika)ija

poten)ija&ni izvora grešaka po raznim osnovama# ,ezu&tati ana&ize grešaka mogu %iti višestrukokorisni kako za ana&iti"are tako i za programere# Ana&iti"arima oni mogu da pomognu u pravi&nommode&iranju pro%&ema i pripremi podataka# +ored toga! mogu da neiskusnom korisniku stvore s&ikuo o"ekivanoj neta"nosti rezu&tata ana&ize metodom kona"ni e&emenata# ,ezu&tati ana&ize

poten)ija&ni grešaka se tako>e mogu iskoristiti za po%o&jšanje karakteristika pre i post pro)esora!kao i sami programa za ana&izu# 3 ovom radu ana&iza grešaka 'e pos&užiti za sag&edavanje

pro%&ema mode&iranja za ana&izu metodom kona"ni e&emenata! kao i za postav&janje zadataka ovograda#

ASIFIAIJA GREAA

+re nego što se izvrši %i&o kakva k&asifika)ija grešaka pri ana&izi struktura metodom kona"ni e&emenata! potre%no je definisati pojam greške# +ri tom! tre%a na"initi raz&iku izme>u pojmova< 5 greška u rezu&tatu i 5 nastajanje greške#9reška u rezu&tatu je pos&edi)a greške nasta&e u pro)esu ana&ize strukture# +od greškom u rezu&tatu se

podrazumeva raz&ika izme>u ve&i"ine promen&jive po&ja 4npr# pomeranje! temperatura! napon5 izra"unate metodomkona"ni e&emenata i stvarne vrednosti promen&jive po&ja u rea&noj strukturi# Ovu grešku je nemogu'e ta"noodrediti! "ak ni merenjem na rea&noj strukturi! jer i sam pro)es merenja ima svoje greške# 9reška nastaje kao

pos&edi)a pogrešne aktivnosti "oveka! programa i&i ra"unara u pro)esu ana&ize strukture# Ove pogrešne aktivnostimogu da dovedu do prekida izvršenja programa i&i do greške u rezu&tatu# 9reške koje dovode do prekida programanazivaju se fata&ne greške#Ovde 'e se pod pojmom greške! uko&iko se druga"ije ne navede! podrazumevati

pogrešna aktivnost koja dovodi do greške u rezu&tatu i&i do fata&ne greške# 3 pro)esu ana&ize strukture metodom

kona"ni e&emenata se kao "inio)i jav&jaju ana&iti"ar! program i ra"unar# $vaki od ovi "inio)a može %iti uzrok pojave greške# +rema tome! greške se prema uzroku njiovog nastajanja mogu pode&iti na<• greške ana&iti"ara

• greške programa• greške ra"unara#

Najve'i %roj poten)ija&ni izvora grešaka u ana&izi struktura je vezan za ana&iti"ara#Zavisno ododnosa ana&iti"ara prema greškama! mogu se raz&ikovati svesne i nesvesne greške# $vesne greškenastaju sa znanjem ana&iti"ara! %ez o%zira da &i je uzrok pojave greške sam ana&iti"ar! program i&ira"unar# Ana&iti"aru je u tom s&u"aju poznata "injeni)a da 'e se u rezu&tatu pojaviti greška! a&i


33/41

pro)enu njene ve&i"ine može da vrši samo na osnovu iskustva# Ovakve greške nastaju z%ognemogu'nosti da se izvrši pravi&no mode&iranje pro%&ema! z%og njegove s&oženosti i&i z%ogograni"eni mogu'nosti programa#

4.1 l&%i67&8i'& 9*:#n8i'&lni+ i;


34/41

pograma kojim 'e se vršiti ana&iza# +ose%no su pri tom zna"ajna iskustva koja je ana&iti"ar stekao urešavanju s&i"ni i drugi pro%&ema# Nekegreške u pro)esu pripreme ana&ize ne zavise od ana&iti"ara! nego su pos&edi)a mogu'nosti metodekona"ni e&emenata u ovom trenutku! odnosno pos&edi)a su kva&iteta raspo&oživog programa#3 fazi

pripreme ana&ize ana&iti"ar aproksimira rea&nu strukturu mode&om koji sadrži samo re&evantnede&ove strukture# Ovakav mode& se kasnije diskretizuje nizom kona"ni e&emenata koji "ine

takozvanu mrežu# Mode& pri tom tre%a do%ro da aproksimira o%&ik! geometriju i fizi"kekarakteristike strukture! kao i grani"ne i po"etne us&ove# $odno pretodnom greške mode&iranja semogu pode&iti na<

• greške idea&iza)ije• greške diskretiza)ije#

9,E7E IDEALIZA2I1E

9reške idea&iza)ije nastaju z%og nemogu'nosti da se sva s&oženost rea&ne strukture i njenogokruženja pres&ika na mode Naime! rea&ne strukture su "esto po svom o%&iku veoma s&ožene! a

ponekad sastav&jene od više de&ova raz&i"iti materija&a# 9reške idea&iza)ije se mogu pode&iti na<• greške aproksima)ije o%&ika strukture• greške aproksima)ije grani"ni us&ova• greške aproksima)ije po"etni us&ova• greške aproksima)ije karakteristika materija&a#

9reške aproksima)ije o%&ika strukture nastaju z%og toga što nije uvek mogu'e na"initi mode& koji'e topo&oški i geometrijski potpuno odgovarati rea&noj strukturi#Ovo se naj"eš'e doga>a kadastruktura ima nepravi&ne grani"ne površine# 3ko&iko se pri tom koriste &inerni kona"ni e&ementi! ovugrešku je nemogu'e potpuno iz%e'i#+ove'anjem %roja e&emenata greška se smanjuje! a&i ipak

postoji# +rimer aproksima)ije o%&ika "etvrtine kruga &inearnim kona"nim e&ementima! prikazan nas #8# a i %! pokazuje da je greška aproksima)ije pri koriš'enju tri e&ementa 4%5 manja nego pri

koriš'enju dva e&ementa 4a5#

Sl 4.2 G!#=7& &9!*7%i"&8i'# *bli7& %:!(7:(!#&) %& >


35/41

može posti'i %o&ja aproksima)ija#$&ede'i pro%&em aproksima)ije o%&ika se jav&ja kada se nastrukturi ve&iki dimenzija jav&jaju sitni deta&ji! kao što su npr# otvori i ispusti# O%uvatanje ovideta&ja mode&om zateva komp&ikovanu mrežu sa ve&ikim %rojem e&emenata raz&i"ite ve&i"ine! štostvara pro%&eme u fazi diskretiza)ije i pripreme podataka a istovremeno poskup&juje prora"un#$togaana&iti"ari "esto zanemaruju ovakve deta&je# +ri tom se uvek unosi odre>ena greška! jer ovi deta&ji!

po pravi&u! izazivaju &oka&nu kon)entra)iju napona# Na s&i)i #@# su prikazana dva mode&a kvadratne

p&o"e sa otvorom na sredini# O"ig&edno je! da je mode& koji uzima u o%zir otvor 4s #@#a5! da&ekos&oženiji sa aspekta pripreme podataka! nego mode& koji zanemaruje otvor 4s #@#%5# 9reškaaproksima)ija grani"ni us&ova se jav&ja pri odre>ivanju interak)ije izme>u strukture i njeneoko&ine# +osmatrana struktura je uvek podvrgnuta nekom dejstvu koje se definiše grani"nimus&ovima# 3 nekim s&u"ajevima je grani"ne us&ove vr&o teško odrediti! a još teže o%uvatitimode&om a da on ne %ude isuviše s&ožen# Najve'i pro%&emi se jav&jaju kod višede&ni struktura kodkoji je vr&o teško odrediti interak)iju 4meani"ku i termi"ku5 izme>u pojedini de&ova# 3s&edaproksima)ije grani"ni us&ova mogu da se jave znatne greške u rezu&tatu#

Sl. 4.3. A9!*7%i"&8i'& *bli7& %& "&li" *:


36/41

e&asti"nost spoja uti"u< U intenzitet i prava) optere'enja! U vrsta spoja 4k&izni!va&j"ani!konusni5! U krutost spojeni de&ova strukture! U stanje i kva&itet o%rade površina u kontaktu! U stanje prednaprezanja i krutost e&emenata za prednaprezanje#

7ao i&ustra)ija greške nasta&e zanemarivanjem uti)aja e&esti"nosti spoja daje se primer stu%a na s&i)i##! koji je vij)ima pri"vrš'en za pod&ogu# Na s&i)i je prikazan po&ožaj stu%a pod dejstvomoptere'enja do%ijen merenjem#

Sl. 4.4 G!#=7& (%l#> ;&n#"&!i


37/41

po"etni us&ova# 7rakteristika ove greške je da se smanjuje tokom uzastopni vremenski itera)ija ida! u nekim s&u"ajevima! pos&e izvesnog vremena može da se izgu%i#Meani"ke i termi"kekarakteristike materija&a strukture direktno uti"u na rezu&tate ana&ize# 9reške aproksima)ijekarakteristika materija&a nastaju z%og< U neta"ni podataka o karkteristikama materija&a U zanemarivanja ortotropnosti karakteristika materija&a

U zanemarivanja promena karakteristika materija&a sa promenom temperature#

9,E7E DI$7,ETIZA2I1E

+od diskretiza)ijom se podrazumeva de&jenje mode&a strukture na niz odgovaraju'i kona"nie&emenata! pri "emu se posmatrani domen sa %eskona"nim %rojem stepena s&o%ode zamenjujediskretizovanim mode&om! koji ima kona"ni %roj stepena s&o%ode# 3 pro)esu diskretiza)ije je

potre%no< U izvršiti iz%or vrste kona"ni e&emenata kojim 'e se izvršiti diskretiza)ija U odrediti ve&i"inu i o%&ik pojedini e&emenata! odnosno po&ožaj "vorova

U izvršiti numera)iju e&emenata i "vorova#+rvi korak u diskretiza)iji posmatranog mode&a je iz%or vrste kona"ni e&emenata kojim 'e seizvršiti diskretiza)ija# Naj"eš'e se mreža sastoji od više raz&i"iti vrsta kona"ni e&emenata# Iz%or zavisi od dimenziona&nosti pro%&ema 4&inijski! ravanski! osnosimetri"ni i&i zapreminski5 i odgeometrijskog o%&ika strukture# 9reške iz%ora vrste kona"nog e&ementa koje mogu da se jave u ovojfazi ana&ize su< U kom%inovanje e&emenata raz&i"ite vrste 4npr# osnosimetri"ni i zapreminski5 U iz%or e&ementa koji ne odgovara o%&iku strukture 4npr# primena zapreminski e&emenata umesto tanke &juske za diskretiza)iju tankozidni struktura5#9reška aproksima)ije promen&jive po&ja vezana je za iz%or tipa! odnosno vrste kona"ni e&emenata!"ime se automatski %ira i interpo&a)iona funk)ija# +romen&jiva po&ja se unutar kona"ni e&emenataaproksimira interpo&a)ionim funk)ijama! koje su naj"eš'e po&inomi# $tepen po&inoma kodizoparametarski e&emenata! koji se naj"eš'e koriste! zavisi od vrste e&emenata! odnosno od %roja"vorova na e&ementu# /iši stepen po&inoma zna"i i %o&ju aproksima)iju promen&jive po&ja! a&i i ve'i

%roj stepena s&o%ode! a time i skup&ju ana&izu#$ druge strane! iz%or e&emenata sa nižim stepenom po&inoma 4npr# sa &inearnom interpo&a)ionom funk)ijom5! pri istoj gustini mreže! dovodi do ve&ikegreške# Z%og toga pod pojmom fina i&i gru%a mreža ne tre%a podrazumevati samo gustinu mrežee&emenata nego i stepen po&inoma interpo&a)ione funk)ije# :inija mreža je ona koja %o&jeaproksimira promen&jivu po&ja u strukturi# $a pofinjenjem mreže do&azi do konvergen)ije rezu&tatado%ijeni metodom kona"ni e&emenata ta"nom rešenju#+ro%&emu iz%ora optima&ne mreže i

konvergen)iji rešenja posve'en je "itav niz radova#Za sada! me>utim! još ne postoji metod kojim %ise [a priori\ odredi&a optima&na mreža i&i mreža koja %i garantova&a neku &imitiranu grešku urezu&tatu# /e'ina pred&oženi metoda omogu'uje da se na osnovu izvršene ana&ize sa jednom i&i višeraz&i"iti mreža o)eni greške i da se eventua&no do%iju smerni)e za pofinjenje mreže#Nedostatak ve'ine pred&oženi metoda je što zatevaju ve&iko ra"unarsko vreme i što se teško imp&ementiraju u

postoje'e programe#

GREE UNOSA OABAA


38/41

+ošto se pro)es mode&iranja završi! potr%no je izvršiti pripremu podataka u o%&iku definisanomu&aznim formatom programa za ana&izu# +riprema podataka može da se vrši< U ru"no U po&uautomatski U automatski#

,u"na pripema podataka! koja se gotovo svuda u svetu napušta! je izrazito pod&ožna greškama# 3ovom s&u"aju se ru"no vrši prora"un koordinata "vorova i numera)ija "vorova i e&emenata# 9reškekoje pri tome mogu da se jave su< U greške u prora"unu koordinata "vorova U greške u numera)iji "vorova i e&emenata U greške u definisanju topo&ogije e&emenata U greške u definisanju osta&i podataka 4optere'enje! grani"ni us&ovi! materija&5 U greške pri unošenju podataka 4&apsusi5 U greška zaokruživanja nasta&a ograni"enim u&aznim formatom#/e'inu ovi grešaka nije jednostavno uo"iti! a u s&u"ajevima ve&iki struktura je prakti"no i

nemogu'e otkriti# /e'ina programa za ana&izu zato ima deta&jnu proveru u&azni podataka#Me>utim! ovakva kontro&a ne može da ukaže npr# na grešku u vrednosti koordinate i&i grešku utopo&ogiji# 3ko&iko z%og neke od navedeni grešaka ne do>e do prekida rada programa 4fata&negreške5! postoji postoji opasnost da ana&iti"ar ostane u uverenju da su rezu&tati ana&ize ta"ni# /e&iku

pomo' u kontro&i u&azni podataka imaju programi za vizue&iza)iju mreže 4%i&o na p&oteru i&i nagrafi"kom termina&u5#+o&uautomatski na"in pripreme podataka podrazumeva postojanje pre;

pro)esora! kojim se definiše o%&ik! geometrija strukture kao i optere'enje i grani"ni us&ovi# 3ko&iko je pretodno mode& do%ro priprem&jen! greške koje mogu da se jave ovim na"inom pripreme podataka su< U greške pri unošenju u&azni podataka 4&apsusi5 U greška zaokruživanja nasta&a ograni"enjem u&aznog formata#Tokom automatskog na"ina pripreme podataka mogu da se jave iste greške kao i pri

po&uautomatskom na"inu# 3ko&iko se za generisanje mreže kona"ni e&emenata koristi neki 2AD paket! mogu'e je da do>e i do greške u fazi transfera podataka iz formata 2AD9,E7E +,O,A-3NA

Nakon što se izvrši priprema podataka! startuje se izvo>enje programa za ana&izu#7arakteristika ovefaze ana&ize je da tokom nje ne postoji nikakav uti)aj ana&iti"ara na rezu&tate! pa nema ni grešaka

prouzrokovani od strane ana&iti"ara# 1edini "inio)i koji u"estvuju u fazi prora"una su program ira"unar! pa se greške prora"una mogu pode&iti na< U greške programa i

U greške ra"unara#9,E7E +,O9,AMA

+rogram za ana&izu metodom kona"ni e&emenata tre%a posmatrati kao kodirani a&goritam4koriš'enjem nekog programskog jezika npr# :O,T,AN! +A$2AL5! za neku vrstu ana&ize struktura4stati"ku! dinami"ku! termi"ku5! zasnovan na metodi kona"ni e&emenata# 7ao takav! program negeneriše samo greške koje proisti"u iz prirode metode kona"ni e&emenata# Dak&e! greške programa

je da&je mogu'e pode&iti na


39/41

U greške kodiranja i U greške metode#9reške kodiranja su pos&edi)a propusta u fazi programiranja i&i imp&ementiranja programa naodre>enom ra"unaru# Ovakve greške su "este kod novi izdanja programa! a&i se ve'ina nji možeotkriti u fazi testiranja programa# 9reške kodiranja mogu %iti< U &apsusi 4%ugs5 i

U greške insta&a)ije! koje naj"eš'e poti"u z%og raz&i"ite interpreta)ije9reške metode nastaju z%og aproksimativne prirode metode kona"ni e&emenata# Mada suevidentna sta&na po%o&jšanja ove metode! greške nasta&e z%og prirode metode i da&je mogu %itno dauti"u na ta"nost rezu&tata# 9reške metode se mogu pode&iti na< U greške formu&a)ije metode kona"ni e&emenata U greške u integra)iji distri%uisani optere'enja 4&inijski! površinski i zapreminski5 U greške interpo&a)ije ne&inearni karakteristika materija&a U greške integra)ije ne&inearni karakteristika U greške rešavanja 4pose%no pri nesta)ionarnim ana&izama kada je pro)es rešavanja iterativan5#

9,E7E ,A-3NA,A

+oznato je da ra"unar pri&ikom o%rade rea&ni %rojeva koristi odre>en memorijski prostor kojim jedefinisan %roj zna"ajni )ifara nekog %roja 4re)imo sedam5# Z%og toga pri&ikom o%rade do&azi doodse)anja viška )ifara 4zaokruživanja5# Ovo odse)anje o%i"no nije opasno# Me>utim! kada se radioduzimanje i sa%iranje %rojeva sa ve&ikom raz&ikom u redu ve&i"ina! može da se izazoves&a%ous&ov&jenost sistema z%og zaokruživanja )ifara#9reška izazvana s&a%ous&ov&jenoš'u sistemamože da %ude vr&o ve&ika i karakteristi"na je za mode&e kod koji su e&ementi vr&o ma&i i&i postojive&ika raz&ika u dimenzijama e&emenata#

9,E7E INTE,+,ETA2I1E

-ak i kada se ana&iza izvrši korektno može se govoriti o greškama u rezu&tatu! jer pod rezu&tatom! ustvari! tre%a poimati ana&iti"arevo vi>enje rezu&tata# Ovde tre%a raz&ikovati s&u"aj kada ana&iti"ar interpretira rezu&tate! od s&u"aja interpretiranja post;pro)esorom#3 s&u"aju kada ne postoji post;

pro)esor! ana&iti"ar na osnovu numeri"ki rezu&tata stvara s&iku o po&ju promen&jive# Me>utim! kods&oženi struktura ovo je vr&o težak posao! pre svega z%og o%imnosti rezu&tata# Tom pri&ikom semogu na"initi raz&i"iti previdi! pa se ovaj na"in interpreta)ije napušta#7oriš'enje post;pro)esora!osim što skra'uje vreme ana&ize rezu&tata i o&akšava izradu izveštaja! z%og prirode &judski

per)ep)ioni mogu'nosti! daje pravu s&iku o po&ju promen&jive# Me>utim! pri&ikom interpreta)ije

rezu&tata u vizue&nom o%&iku može da do>e do pojave grešaka z%og


40/41

na"injena je ta%e&a poten)ija&ni izvora grešaka pri stati"koj ana&izi struktura metodom kana"nie&emenata# Ova ta%e&a je prikazana na s&i)i B#8C# +rvi )i&j ana&ize je da se vidi izvor pojedini vrstagrešaka# 7ao mogu'i izvori ozna"eni su ana&iti"ar 4A5! program 4+5 i ra"unar 4,5#Iz ta%e&e se vidi da

je uzrok svi grešaka u pro)esu idea&iza)ije ana&iti"ar# to se ti"e pro)esa diskretiza)ije! g&avni izvor grešaka je opet ana&iti"ar! mada je pri automatskoj genera)iji mreže! program za genera)ijuodgovoran za pojavu grešaka vezani za o%&ik i ve&i"inu kona"ni e&emenata# Ono što ovde tre%a

pose%no podvu'i je da greške ana&iti"ara u fazi pripreme podataka mogu da %udu fata&ne porezu&tate#Nakon pripreme i unosa podataka! uti)aj ana&iti"ara na tok ana&ize je zanemar&jiv# To je iraz&og što odgovornost za pojavu grešaka u fazi unosa podataka! prora"una i interpreta)ijeug&avnom snose program i ra"unar#Zajedni"ka karakteristika grešaka izazvani programom ira"unarom je da su one predvid&jive i u pro)esu rešavanja istog pro%&ema daju jednake greške urezu&tatu#Nasuprot tome! greške izazvane od strane ana&iti"ara su nepredvid&jive i zavise odnjegovog iskustva! a&i i od njegovi eventua&ni previda# To dovodi do toga da greške koje poti"uod ana&iti"ara nisu predvid&jive i mogu da se raz&ikuju od s&u"aja do s&u"aja#Z%og toga pose%nu

pažnju tre%a posvetiti metodama pripreme podataka koje 'e smanjiti mogu'nost pojave grešaka utoj fazi! što je i )i&j ovog rada#+ose%an pro%&em predstav&ja mogu'nost pro)ene uti)aja pojedini

pogrešni aktivnosti na ve&i"inu greške u rezu&tatima ana&ize# Ana&izom &iterature može se do'i do

zak&ju"ka da se samo u ma&om %roju s&u"ajeva greška može pro)eniti pre ana&ize# Iz ta%e&e se vidida je to mogu'e ug&avnom za greške ra"unara i greške interpreta)ije# Nakon ove ana&ize morase postaviti pitanje mogu'nosti i metoda e&imina)ije genera)ije grešaka# Može se o"ekivati da 'e seve'ina grešaka nasta&i z%og ra"unara smanjiti i&i e&iminisati da&jim razvojem ra"unara# +ove'anje

%rzine rada ra"unara! sa druge strane! omogu'uje i primenu ta"niji a&goritma i metoda zainterpo&a)iju i integra)iju! koje do sada nisu koriš'ene z%og ve&ikog potre%nog pro)esorskogvremena#Na taj na"in 'e se izmenama programa doprineti smanjenju ve'ine programski izazvanigrešaka#7ao najoz%i&jniji pro%&em ostaju greške izazvane od strane ana&iti"ara# O%zirom da je )eo

pro)es pripreme podataka! a pose%no pro)es idea&iza)ije! %aziran na iskustvu ana&iti"ara! jedinina"in da se smanji uti)aj ana&iti"ara na pojavu grešaka je da se uk&ju"i vešta"ka inte&igen)ija kao

pomo' u pro)esu od&u"ivanja tokom faze idea&iza)ije# 3 tu svru se pred&aže izgradnja ekspertnogsistema! koji 'e imati znanje eksperta ; ana&iti"ara i koji 'e mo'i da generiše kva&itetan mode& zaana&izu metodom kona"ni e&emenata#


41/41

&lika < > /naliza (otenci1alnih iz*ora grešaka

vstss osnovne metode konacnih elemenata

Documents