vybrané kapitoly z matematiky geometrie na 2. stupni...
TRANSCRIPT
ZŠ a MŠ Ostrava Záb řeh, Kosmonaut ů 15, příspěvková organizace
Mgr. Jan Pavelka
Vybrané kapitoly z matematiky Geometrie na 2. stupni ZŠ
Poznámka autora
Následující studijní materiál slouží jako pom ůcka p ři výuce vybraných kapitol u čiva matematiky na základních školách. Jelikož se domnívám, že na geometrii je kladen minimální d ůraz, věnuji se především n ěkterým obtížn ějším kapitolám z planimetrie.
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
1
OBSAH STUDIJNÍHO MATERIÁLU
1. SOUMĚRNOST...................................................................................2
2 SHODNOST................................................................................. 2
3 SHODNOST TROJÚHELNÍKŮ..................................................... 3
4 VĚTY O SHODNOSTI TROJÚHELNÍKŮ (SSS, SUS, USU)......... 4
5 OSOVÁ SOUMĚRNOST.............................................................12
6 OSOVĚ SOUMĚRNÉ ÚTVARY...................................................14
7 STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST ......................................................14
8 STŘEDOVĚ SOUMĚRNÉ ÚTVARY............................................16
2. TROJÚHELNÍK..................................... ..............................................17
9 VLASTNOSTI TROJÚHELNÍKŮ..................................................18
10 DRUHY TROJÚHELNÍKŮ ...........................................................19
11 VÝŠKY TROJÚHELNÍKU............................................................20
12 TĚŽNICE TROJÚHELNÍKU.........................................................21
13 STŘEDNÍ PŘÍČKY TROJÚHELNÍKU ..........................................23
14 KRUŽNICE VEPSANÁ TROJÚHELNÍKU....................................23
15 KRUŽNICE OPSANÁ TROJÚHELNÍKU......................................25
16 OBVOD TROJÚHELNÍKU...........................................................26
17 OBSAH TROJÚHELNÍKU ...........................................................27
3. ÚHEL A JEHO VLASTNOSTI.......................... .................................27
18 DRUHY ÚHLŮ.............................................................................28
19 DVOJICE ÚHLŮ..........................................................................29
20 OSA ÚHLU..................................................................................30
21 OPERACE S ÚHLY.....................................................................32
22 MĚŘÍCÍ PŘÍSTROJE...................................................................33
23 POČÍTÁME S ÚHLY A PŘEVODY JEDNOTEK ..........................33
24 SČÍTÁNÍ A ODČÍTÁNÍ ÚHLŮ ......................................................35
4. PŘEHLED ROVINNÝCH OBRAZCŮ ................................................36
5. PŘEHLED TĚLES A JEJICH PLÁŠT Ě.............................................38
6. METODICKÁ PŘÍRUČKA - HODINOVÉ DOTACE ..........................41
7. POUŽITÁ LITERATURA.............................. .....................................42
8. PŘÍKLADY NA PROCVI ČENÍ - PRACOVNÍ LISTY .........................43
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
2
1. SOUMĚRNOST
2 SHODNOST Shodnými útvary v rovině rozumíme takové dva rovinné obrazce, které se po posunutí
na sebe navzájem kryjí . Několik rovinných útvarů je shodných, jestliže jsou každé dva z nich shodné.
Na papíře stačí jeden útvar vystřihnout a položit na druhý. Jestliže se přesně kryjí,
jsou shodné. Ne vždy však můžeme útvar vystřihnout, pomůžeme si tedy takzvanou
"Průsvitkovou metodou" . Ta spočívá v tom, že jeden z útvarů obkreslíme na
průsvitku a vzniklý obrys přesuneme na druhý útvar. Jestliže se obrysy obou útvarů
přesně překrývají, můžeme říct, že jsou útvary shodné.
Nezapomeňte, že shodné útvary mohou být umístěny v různých polohách. Mohou být
různě otočeny nebo převráceny. I vy tedy průsvitkou otáčejte a převracejte ji!
ZNAK SHODNOSTI…..
Dvě úsečky jsou shodné, mají-li stejnou délku!
│AB│ │CD│
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
3
Dva úhly jsou shodné, mají-li stejnou velikost!
│AVB│ │ ECD │
3 SHODNOST TROJÚHELNÍKŮ Trojúhelníky ABC a KLM jsou shodné: │ABC│ │ KLM │
Zápis zárove ň ukazuje, že p ři přemístění průsvitkou p řejde
bod A do bodu K (první bod zápisu do prvního bodu)
bod B do bodu L (druhý bod do druhého bodu)
bod C do bodu M (t řetí bod do t řetího bodu)
∆ A B C ∆ K L M
Pak pro strany těchto trojúhelníků platí: a = k, b = l, c = m
Je skoro jasné, že při tomto přemístění se tedy nemění ani délky úseček ani velikosti
úhlů, proto pro naše dva shodné trojúhelníky platí:
pro úhly pak
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
4
4 VĚTY O SHODNOSTI TROJÚHELNÍKŮ
• Věta SSS
Shodují-li se dva trojúhelníky ve všech třech stranách, pak jsou shodné.
• Věta SUS
Shodují-li se dva trojúhelníky ve dvou stranách a v úhlu jimi sevřeném, pak jsou
shodné.
,
• Věta USU
Shodují-li se dva trojúhelníky v jedné straně a v obou úhlech k ní přilehlých, pak jsou
shodné. ,
TĚCHTO VLASTNOSTÍ BUDEME VYUŽÍVAT P ŘI KONSTRUKCI TROJÚHELNÍK Ů.
VŽDY JE DŮLEŽITÉ VYUŽÍT SPRÁVNOU VĚTU (SSS, SUS, USU)!!!
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
5
Jak na to? Co je t řeba při rozhodování o shodnosti trojúhelník ů zapot řebí?
Snad vám pomůže následující postup:
1. Řádně prozkoumat zadání.
2. Rozmyslet si, co je zadáno, co není zadáno, co všechno je potřeba k vyřešení.
3. Na základě zadaných a známých hodnot (nejlépe v jednom trojúhelníku) se
rozhodnout pro jednu z výše uvedených vět a zjistit, zda platí potřebné tři rovnosti;
pokud ano, pak jsou trojúhelníky shodné.
Jak bude vypadat správné řešení víte, tudíž si vyzkoušíme všechny tři věty v praxi.
Příklad Sestroj trojúhelník ABC, který má délky stran a = 35 mm, b = 28 mm, c = 46 mm. Dle předcházejícího postupu nejdříve musíme rozmyslet, zda je vše podstatné
zadáno, abychom mohli tento trojúhelník sestrojit, zda platí trojúhelníková nerovnost
(popřípadě zda součet vnitřních úhlů nepřesáhl 180°)…
K sestrojení tohoto trojúhelníku využijeme větu SSS, jelikož známe všechny tři strany
trojúhelníku.
1) ROZBOR, kde si vše načrtneme a popíšeme, jak to zřejmě bude vypadat
v konstrukci.
2) POSTUP KONSTRUKCE, je přesný postup zapsaný pomocí
matematických značek (celosvětově uznávané).
3) KONSTRUKCE, přesně provedena (s využitím měřidel, úhloměru, tužky)
1) ROZBOR
A c = 46 mm
a = 35 mm
b = 28 mm
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
6
Platí tedy tři nerovnosti : a + b > c a + c > b b + c > a
Pro náš ABC : 35 + 28 > 46 35 + 46 > 28 28 + 46 > 35
Trojúhelník ABC všechny tyto nerovnosti splňuje , lze jej tedy sestrojit!
2) POPIS KONSTUKCE
1. AB; │ AB│ = c = 46 mm
2. k; k ( A; b = 28 mm)
3. l; l ( B; a = 35 mm)
4. C; C k l náleží (leží na)
5. ∆ ABC průnik, pr ůsečík
3) KONSTRUKCE - pozor popis bod ů, kružnice (bez rozm ěrů…)
Pro názornost Vám rozklíčuji každý bod postupu…
1) .
2)
3)
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
7
4)
5)
Výsledek konstrukce!
Příklad Sestroj ∆ ABC, který má délky stran b = 28 mm, c = 46 mm a úhel α = 49°. K sestrojení tohoto trojúhelníku využijeme větu SUS, jelikož známe dvě strany a úhel
jimi sevřený.
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
8
1) ROZBOR
α < 180° (součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je 180°) lze tedy ∆ ABC sestrojit!
2) POPIS KONSTUKCE
1. AB; │ AB│ = c = 46 mm
2. BAX; │ BAX│= 50°
3. k; k ( A; b = 28 mm)
4. C; C k AX náleží (leží na)
5. ∆ ABC průnik, pr ůsečík
AX polop římka AX
3) KONSTRUKCE - pozor popis bod ů, kružnice (bez rozm ěrů…)
Pro názornost Vám rozklíčuji každý bod postupu…
1)
2)
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
9
3)
4)
5)
Výsledná
konstrukce!
Příklad Sestroj ∆ ABC, který má délku strany c = 46 mm a úhly α = 49° a β = 37°. K sestrojení tohoto trojúhelníku využijeme větu USU, jelikož známe stranu a oba úhly
jsou k ní přilehlé.
1) ROZBOR
α + β < 180° (součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je 180°) lze tedy ∆ ABC sestrojit!
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
10
2) POPIS KONSTUKCE)
1) AB; │ AB│ = c = 46 mm
2) BAX; │ BAX│= 50°
3) ABY; │ ABY│= 37°
4) C; C BY AX náleží (leží na)
5) ∆ ABC průnik, pr ůsečík
AX polop římka AX
3) KONSTRUKCE - pozor popis bod ů (bez rozm ěrů…)
Pro názornost Vám rozklíčuji každý bod postupu…
1)
2)
3)
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
11
4) a 5)
Výsledná
konstrukce!
PRO ZOPAKOVÁNÍ Každé dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se: a) ve všech t řech stranách - v ěta sss b) ve dvou stranách a úhlu jimi sev řeném - věta sus c) ve stran ě a dvou úhlech k ní p řilehlých - v ěta usu
Zápis: ABC A´B´C´ čteme trojúhelník ABC je shodný s trojúhelníkem A´B´C´ .
a) SSS b) SUS c) USU
5 OSOVÁ SOUMĚRNOST
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
12
Osová souměrnost je zobrazení v rovině, které překlápí vzory přes osu. Jednoduše si
jej lze představit, jako obtisk po přeložení listu papíru. Osovou souměrností vznikne
tedy obraz, který je shodný se vzorem a převrácený ve směru kolmém na osu.
Původní obrazec nazýváme VZOR, ten který vznikne zobrazením nazýváme OBRAZ ,
ten označujeme většinou jako vzor s čárkou (A →A΄). Přímku, přes kterou se vzor
překlápí nazýváme Osa soum ěrnosti .
Všechny body, které leží na ose souměrnosti, zůstávají namístě a tedy i průsečíky
vzorů s osou souměrnosti se kryjí se svými obrazy. Takové body, jejichž vzory se kryjí
se svými obrazy nazýváme samodružné body (P = P´) .
Konstrukce obrazu v osové soum ěrnosti
Zadání : Sestrojte obraz úsečky AB v osové souměrnosti s osou o.
Postup konstrukce:
Sestrojíme obrazy bodů A,B a spojíme v úsečku A'B'. Obrazy nalezneme tak, že
spustíme vždy ze vzoru kolmici na osu souměrnosti. Tím získáme bod P - patu
kolmice o kterém víme, že leží ve středu úsečky vzor obraz.
Nyní si ukážeme p řesný postup, krok po kroku!
1. Sestrojíme kolmici k ose z bodu A.
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
13
2. Sestrojíme bod A´ tak, aby bod P byl st ředem úse čky AA´.
3. Získali jsme obraz bodu A
4. Stejným zp ůsobem sestrojíme obraz
bodu B.
5. Získali jsem obraz úse čky AB v osové soum ěrnosti s osou o.
6 OSOVĚ SOUMĚRNÉ ÚTVARY
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
14
Osově soum ěrný útvar se dá rozdělit přímkou na dvě shodné části, pro které platí:
Když překlopíme jednu část podle této přímky, kryje se přesně s druhou částí.
U geometrických útvarů rozhodneme o jejich souměrnosti snadno. Setkali jsme se již
s úhlem a jeho osou souměrnosti (osou úhlu) a víme i že každá úsečka má svou osu
souměrnosti a to osu úsečky.
Osově souměrné útvary však neexistují pouze v geometrii, ale setkáváme se s nimi
denně. Příkladem může být tento motýl, některé dopravní značky a další předměty.
Útvary mohou mít i více než jednu osu soum ěrnosti!!
7 STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST
Středová souměrnost je, stejně jako souměrnost osová, zobrazení v rovině, které
převádí vzory na obrazy. Rozdíl oproti osové
souměrnosti je v tom, že překlopení vzoru probíhá
přes jediný bod, který nazýváme střed soum ěrnosti .
Konstrukce obrazu ve st ředové
soum ěrnosti
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
15
Zadání: Sestrojte obraz ∆ ABC ve st ředové soum ěrnosti se st ředem S.
Postup konstrukce:
Postupně vyneseme polopřímky AS, BS, CS a sestrojíme body A', B', C' tak, aby bod
S byl vždy středem úsečky vzor-obraz. Obrazy bodů A,B,C spojíme v trojúhelník,
čímž dostaneme obraz ABC ve středové souměrnosti se středem v bodě S.
Celý postup si nyní detailně rozklíčujeme.
1. Sestrojíme útvar, spojíme vrchol A s bodem S (st ředem soum ěrnosti)
polop římkou AS
2. Sestrojíme bod A´ tak, aby bod S byl st ředem úse čky AA´.
3. Postup opakujeme
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
16
i u bodu B. Vytvo říme jeho obraz B´.
4. Postup opakujeme i u bodu C. Vytvo říme jeho obraz C´.
5. Vytvo řené obrazy spojíme.
8 STŘEDOVĚ SOUMĚRNÉ ÚTVARY
Středově soum ěrný útvar je vždy souměrný podle vlastního středu S. To znamená,
že ke každému bodu nalezneme jeho obraz ve středové souměrnosti se středem S,
který rovněž náleží tomuto útvaru (střed S je samodružný bod).
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
17
2. TROJÚHELNÍK
Trojúhelník je mnohoúhelník s právě třemi vrcholy. Tato trojice bodů nesmí ležet na
jedné přímce.
Základní pojmy
Úsečky, které spojují vrcholy, se nazývají strany trojúhelníka . Úhly, které svírají
strany, se nazývají vnit řní úhly trojúhelníka. Úhly vedlejší k vnitřním úhlům, se
nazývají vnější úhly trojúhelníka .
Každý trojúhelník má 3 strany, 3 vrcholy, 3 vnitřní úhly, 6 vnějších úhlů (u každého
vrcholu dva).
Znázorn ění a zápis
Trojúhelník se znázorňuje pomocí jeho vrcholů a stran. Vrcholy se označují velkým
tiskacím písmenem , strany se označují malým písmenem příslušným protějšímu
vrcholu, úhly se označují malým řeckým písmenem . Trojúhelník se zapisuje
symbolem ∆ následovaným výčtem všech vrcholů.
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
18
9 VLASTNOSTI TROJÚHELNÍK Ů
Trojúhelníková nerovnost
Libovolný trojúhelník musí vždy splňovat trojúhelníkovou nerovnost.
Součet dvou libovolných stran je vždy delší než strana třetí, neboli
a + b > c
a + c > b
b + c > a , kde a, b, c jsou strany trojúhelníka.
Součet všech vnit řních úhl ů je v každém trojúhelníku 180°!!!
Dále platí: Sou čet vnit řního a p říslušného vn ějšího úhlu je 180°.
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
19
10 DRUHY TROJÚHELNÍKŮ
Podle stran
obecný trojúhelník (též různostranný) - žádné dvě strany nejsou shodné
rovnoramenný trojúhelník - dvě strany jsou navzájem shodné, ale nejsou
shodné s třetí stranou
rovnostranný trojúhelník - všechny strany jsou shodné
Podle úhl ů
ostroúhlý trojúhelník - všechny vnitřní úhly jsou ostré
pravoúhlý trojúhelník - jeden vnitřní úhel je pravý, zbývající dva jsou ostré
tupoúhlý trojúhelník - jeden vnitřní úhel je tupý, zbývající dva jsou ostré
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
20
11 VÝŠKY TROJÚHELNÍKU Výška je kolmice spušt ěná z vrcholu na prot ější stranu.
Průsečík výšky s příslušnou stranou se nazývá pata výšky .
Každý trojúhelník má tři výšky. Výšky se označují malým písmenem v s dolním
indexem příslušné strany (vc).
V následujících krocích můžete podrobně sledovat jednotlivé kroky při sestrojování
výšek v trojúhelníku ABC.
1. Sestrojíme trojúhelník ABC, podle v ěty SSS.
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
21
2. Přiložíme trojúhelník ryskou ke stran ě c. Poté sestrojíme kolmici tak,
že spojíme vrchol C s touto stranou. Postup opakuje me u strany a i b.
12 TĚŽNICE TROJÚHELNÍKU Těžnice je spojnice vrcholu a středu protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice.
Těžnice se protínají v jednom bodě, který se nazývá TĚŽIŠTĚ.
Těžiště rozděluje každou těžnici na dva díly v poměru 2:1, přitom vzdálenost těžiště
od vrcholu je dvojnásobek vzdálenosti od středu protější strany. Těžnice se označují
malým písmenem t s dolním indexem příslušné strany.
2 díly : 1 dílu (každý díl = 3
1 tb)
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
22
V následujících krocích můžete podrobně sledovat jednotlivé kroky při sestrojování
těžnic v trojúhelníku ABC.
1. Sestroj trojúhelník ABC
2. Sestroj st ředy všech stran
3. Spoj vždy st řed strany s
prot ějším vrcholem
4. Výsledné t ěžnice ozna č (ta, tb, tc)
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
23
13 STŘEDNÍ PŘÍČKY TROJÚHELNÍKU
Střední p říčka je spojnice středů dvou stran. Každý trojúhelník má tři střední příčky.
Střední příčka je rovnoběžná s příslušnou stranou a má velikost poloviny příslušné
strany. Střední příčky dohromady rozdělují trojúhelník na čtyři shodné trojúhelníky.
Střední příčky se označují malým písmenem s s dolním indexem příslušné strany.
14 KRUŽNICE VEPSANÁ TROJÚHELNÍKU
Kružnice vepsaná trojúhelníku je taková kružnice, která se dotýká všech stran
trojúhelníka. Každému trojúhelníku lze vepsat kružnici. Střed kružnice vepsané leží v
průsečíku os vnitřních úhlů, poloměr se rovná kolmé vzdálenosti středu od libovolné
strany.
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
24
Střed kružnice vepsané je průsečíkem všech 3 os úhlů trojúhelníku.
1. Máme trojúhelník ABC .
2. Sestrojíme osu o 1 úhlu α.
3. Sestrojíme osu o 2 úhlu β.
4. Průsečík os o 1 a o2 je st řed S kružnice vepsané k. Tuto kružnici
sestrojíme, její polom ěr je dán vzdáleností st ředu S a libovolné strany
(určíme jej po sestrojení kolmice ze st ředu S na libovolnou stranu).
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
25
15 KRUŽNICE OPSANÁ TROJÚHELNÍKU Kružnice opsaná trojúhelníku je taková kružnice, která prochází všemi vrcholy
trojúhelníka. Každému trojúhelníku lze opsat kružnici. Střed kružnice opsané leží v
průsečíku os stran. Poloměr se rovná vzdálenosti středu od libovolného vrcholu.
Střed kružnice opsané je průsečíkem všech 3 os stran trojúhelníku.
1. Máme trojúhelník ABC .
2. Sestrojíme osu o 1 úsečky AB.
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
26
3. Sestrojíme osu o 2 ús. AC
4. Průsečík os o 1 a o2 je st řed S kružnice opsané k. Tuto kružnici
sestrojíme, její polom ěr je dán vzdáleností st ředu S a libovolného
vrcholu.
16 OBVOD TROJÚHELNÍKU Obvod trojúhelníka o se vypočte jako součet všech jeho stran:
O = a + b + c a, b, c jsou strany trojúhelníka
B
A
C
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
27
17 OBSAH TROJÚHELNÍKU Obsah trojúhelníka S se vypočte jako polovina součinu libovolné strany a k ní
příslušné výšky:
S = 2
CVC • kde vc je výška příslušná straně c, NEBO S =
2BVB •
S = 2
AVA•
3. ÚHEL A JEHO VLASTNOSTI Co je to úhel?
Úhel je část roviny omezená dv ěma polop římkami se spole čným po čátkem.
Polopřímky, které vymezují úhel v rovině, se nazývají ramena úhlu, společný
počáteční bod polopřímek se nazývá vrchol úhlu.
Znázorn ění a zápis
Úhel se znázorňuje pomocí jeho ramen, mezi
kterými se vyznačí oblouček kolem vrcholu úhlu.
Zápis úhlu se provádí pomocí řeckého písmene
nebo pomocí symbolu úhlu a tří bodů v pořadí:
pomocný bod na prvním rameně - vrchol -
pomocný bod na druhém rameně.
• konvexní úhel AVB s označením AVB
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
28
• nekonvexní úhel AVB s označením AVB.
18 DRUHY ÚHLŮ
• Nulový úhel je úhel, jehož ramena leží na sobě. Mezi rameny není nic = 0°.
• Ostrý úhel je úhel menší než pravý úhel.
• Pravý úhel je polovina přímého úhlu. Všimněte si na obrázku, že pravý úhel se
označuje tečkou v obloučku = 90° .
• Tupý úhel je větší než pravý úhel.
• Přímý úhel je úhel, jehož ramena jsou opačné polopřímky = 180°.
• Plný úhel je úhel, jehož ramena leží na sobě, za úhel se považuje celá rovina
kolem nich = 360°.
• Konvexní úhel je úhel přímý nebo menší než přímý ≤ 180°
• Konkávní úhel je větší než přímý úhel ≥ 180°
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
29
19 DVOJICE ÚHLŮ • Vrcholové úhly jsou dva úhly, jejichž ramena jsou opačné polopřímky.
Vrcholové úhly jsou shodné.
• Vedlejší úhly jsou dva úhly, jejichž jedno rameno je společné a druhá ramena
jsou opačné polopřímky. Součet vedlejších úhlů je přímý úhel.
• Souhlasné úhly jsou dva úhly, jejichž
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
30
první ramena leží na jedné přímce a druhá ramena jsou rovnoběžná, přitom
směr příslušných ramen je stejný (souhlasný). Souhlasné úhly jsou shodné.
• Střídavé úhly jsou dva úhly, jejichž první ramena leží na jedné přímce a druhá
ramena jsou rovnoběžná, přitom směr příslušných ramen je opačný (střídavý).
Střídavé úhly jsou shodné.
20 OSA ÚHLU
Všechny úhly jsou osově souměrné, osa úhlu prochází vrcholem a rozděluje úhel
na dvě shodné části (poloviny úhlu). αα
Podrobný postup p ři
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
31
sestrojování OSY ÚHLU!
1. Je dán úhel AVB .
2. Z bodu V sestrojíme oblouk
kružnice, která protne obě
ramena úhlu - dostaneme
body X a Y.
3. Z bodů X a Y sestrojíme dva stejné oblouky kružnice (se stejným
poloměrem), které se protnou uvnitř úhlu AVB → vznikne bod Z.
4. Sestrojíme polopřímku VZ → úhel ZVB je polovinou úhlu AVB.
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
32
21 OPERACE S ÚHLY
• SČÍTÁNÍ ÚHLŮ
Dva úhly se sečtou tak, že se jedním ramenem přiloží zvenku k sobě a výsledný
úhel vznikne mezi druhými dvěma rameny. Početně stačí sečíst velikosti úhlů.
PRAKTICKY ŘEČENO:
1) Grafické sečtení úhlů a + b provedeme tak, že nejprve k jednomu rameni úhlu
a přeneseme úhel b mimo úhel a. To znamená, že se oba úhly nepřekrývají, pokud
jejich součet nepřesáhl 360o. Jejich součet je tedy úhel, který vymezila jejich
nesouhlasná ramena.
Při odečítání úhlů a - b postupujeme obdobně, pouze úhel b přeneseme dovnitř
úhlu a. Výsledný úhel opět vytyčují nespolečná ramena obou úhlů.
• ODČÍTÁNÍ ÚHLŮ
Dva úhly se odečtou tak, že se jedním ramenem přiloží dovnitř sebe a výsledný
úhel vznikne mezi druhými dvěma rameny. Početně stačí odečíst velikosti úhlů.
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
33
• NÁSOBENÍ ÚHLŮ PŘIROZENÝM ČÍSLEM
Násobení úhlu přirozeným číslem se převádí na opakované sčítání téhož úhlu tolikrát,
kolik je dané přirozené číslo. Početně se vynásobí velikost úhlu daným přirozeným
číslem.
• DĚLENÍ ÚHLŮ DVĚMA
Úhel se dělí dvěma sestrojením osy úhlu. Početně se vydělí velikost úhlu dvěma
22 MĚŘÍCÍ PŘÍSTROJE
Měřené úhlů je v praxi velmi důležité. Využívá je astronomie, geodézie a mnoho
dalších oborů. Proto se také vyvinula řada měřících přístrojů. Úhloměr je i základem
mnoha druhů dálkoměrů.
• úhlom ěr - nejjednodušší měřidlo - jedná
se o polokruhovou desku se stupnicí po
obvodu. Složitější přístroje mají pohyblivé
rameno.
23 POČÍTÁME S ÚHLY A PŘEVODY JEDNOTEK
Při počítání s úhlovými jednotkami bývá obvyklým problémem převod jednotek v dané
soustavě (šedesátkové). Všechny minuty i vteřiny větší než 59 musíme převádět.
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
34
• ZE STUPŇŮ NA MINUTY
Při převodu velikosti úhlu na minuty musíme vědět, že 1o = 60'. Vynásobíme tedy
stupně šedesáti a zbylé minuty k nim přičteme.
Př.: Převeďte 21o 15' na minuty.
21o 15' = 21o . 60 + 15' = 1 260' + 15' = 1 275'
• Z MINUT NA STUPNĚ
Při převodu velikosti úhlu z minut na stupně a minuty postupujeme přesně naopak
než v předchozím příkladě. Dělíme celočíselně, tudíž může po vydělení zůstat i
zbytek!!
Př.: Zapište úhel o velikosti 2421' ve stupních.
2421' : 60 = 40° a zbytek 21'
• VYJÁDŘENÍ ÚHLU DESETINNÝM ČÍSLEM
Stačí si připomenout, že 1o = 60'. To znamená že počet minut musíme tímto číslem
vydělit.
Př.:Vyjádřete velikost úhlu 12o 15' 18" desetinným číslem ve stupních.
12o 15' = 12o + 15o: 60 = 12o + 0,25o = 12,25o
• Z DESETINNÉHO ČÍSLA NA STUPNĚ
Opačný postup je poněkud složitější, avšak budeme jej jistě potřebovat. Leckdy bývají
naměřené velikosti úhlů v desetinném tvaru.
Zkusme tedy převést např. 42,4o na stupně, minuty:
1. Oddělíme celé stupně 42,4o = 42o + 0,4o
2. Desetinnou část vynásobíme 60ti (počtem minut) 0,4o.60 = 24'
3. Zapíšeme výsledek. 42,4o = 42o 24'
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
35
24 SČÍTÁNÍ A ODEČÍTÁNÍ ÚHLŮ
• SČÍTÁNÍ ÚHLŮ
Jsou-li velikosti úhlů udány ve stupňové míře a v případě že minuty nepřekročí
šedesátku, nemusíme si dělat žádné starosti. Sečteme zvlášť stupně a minuty:
12o 30' + 60o 20' = (12o+60o) + (30'+20') = 72o 50'
Problém nastane, pokud při součtu minut dostaneme více než 60'!
Pak nesmíme zapomenout opět převést do základního tvaru!!
Př: Sečtěte : 10o 50' + 40o 29'
Sčítat začneme odzadu, tzn. od minut po stupně, aby se nám lépe převádělo:
50' + 29' = 79' = 60' + 19' = 1o 19'
20' můžeme opět zapsat do výsledku a nesmíme zapomenout 1o přičíst ke stupňům:
10o + 40o + 1o = 51o
10o 50' + 40o 29' = 51o 19'
• ODEČÍTÁNÍ ÚHLŮ
Odečítání velikostí úhlů musíme věnovat zvýšenou pozornost. Jestliže jsou všechny
části menšence větší než příslušné části menšitele, jednoduše je od sebe můžeme
odečíst:
Př.: 50o 40' - 20o 12' = (50o -20o ) + (40' - 12') = 30o 28'
Pokud však menšenci přísluší menší počet minut, než menšiteli, pak si můžeme
jednoduše potřebný počet stupňů menšence převést na minuty tak, aby výsledně byl
celkový počet minut menšence větší, než menšitele.
Př.: 159°12' - 38°36' = ( 158°+1° +12') - 38°36' = ( 158° + 60' + 12') - 38°36' =
158°72' - 38°36' = 120°36'
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
36
4. PŘEHLED ROVINNÝCH OBRAZCŮ
• TROJÚHELNÍK
S = 2
ava •
O = a + b + c
• ČTVEREC
S = a · a = a2
O = 4 · a
• OBDÉLNÍK
S = a · b
O = 2 · (a + b) = 2 · a + 2 · b
• ROVNOBĚŽNÍKY (KOSODÉLNÍK)
S = a · va
O = 2 · (a + b) = 2 · a + 2 · b
(KOSOČTVEREC)
S = a · va
O = 4 · a
a
a
va
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
37
• KRUH
S = π · r2
O = 2 · π · r
• LICHOBĚŽNÍK
S = 2
)( avca •+
O = a + b + c + d
• PRAVIDELNÝ ŠESTIÚHELNÍK
S = 2
6 ava •• = 3 · a · va
O = 6 · a
VYSVĚTLIVKY
O obvod
S obsah (obrazce), povrch (t ělesa)
V objem
a, b, c, d ozna čení stran
v, va výška, výška na stranu a
π Ludolfovo číslo (3,14159)
Spl obsah plášt ě
r polom ěr
Sp obsah podstavy
a
a
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
38
5. PŘEHLED TĚLES A JEJICH PLÁŠT Ě
• KRYCHLE
S = 6 · a · a = 6 · a2
V = a · a · a = a3
• KVÁDR
S = 2 · (a · b + b · c + a · c)
V = a · b · c
• HRANOL - DLE PODSTAVY NAP Ř. TROJBOKÝ , ŠESTIBOKÝ
S = 2 · Sp + Spl
V = Sp · v
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
39
• VÁLEC
S = 2 · π · r2 + 2 · π · r ·v
V = π · r2 · v
• PRAVIDELNÝ JEHLAN - ČTYŘBOKÝ
S = a2 + Spl
V = 3
2 va •
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
40
• PRAVIDELNÝ JEHLAN - TROJBOKÝ
S = a2 + Spl
V = 3
2 va •
• ROTAČNÍ KUŽEL
S = π · r · (r + s)
V = 3
2 vr ••π
• KOULE
S = 4 · π · r2
V = 3
4 3r••π
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
41
6. METODICKÁ PŘÍRUČKA
• Téma: SHODNOST
Ročník: 6.
Pomůcky: PRŮSVITKA, PRAVÍTKO, ÚHLOMĚR,
Mezipředmětové vazby: VV, FY
• Téma: SHODNOST TROJÚHELNÍKŮ, VĚTY SSS, SUS, USU
Ročník: 7.
Pomůcky: PRŮSVITKA, PRAVÍTKO, ÚHLOMĚR, KRUŽÍTKO
Mezipředmětové vazby: ICT - GRAFIKA, FY, PČ
• Téma: OSOVÁ SOUMĚRNOST, OSOVĚ SOUMĚRNÉ ÚTVARY
Ročník: 6.
Pomůcky: PRŮSVITKA, PRAVÍTKO, ÚHLOMĚR, KRUŽÍTKO
Mezipředmětové vazby: VV, PP, PČ - DÍLNY
• Téma: STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST, STŘED. SOUM. ÚTVARY
Ročník: 7.
Pomůcky: PRŮSVITKA, PRAVÍTKO, ÚHLOMĚR, KRUŽÍTKO
Mezipředmětové vazby: VV, PP, PČ - DÍLNY, FY
• Téma: STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST, STŘED. SOUM. ÚTVARY
Ročník: 7.
Pomůcky: PRŮSVITKA, PRAVÍTKO, ÚHLOMĚR, KRUŽÍTKO
Mezipředmětové vazby: VV, PP, PČ - DÍLNY
• Téma: VLASTNOSTI TROJÚHELNÍKŮ, VLASTNOSTI
TROJÚHELNÍKŮ, DRUHY TROJÚHELNÍKŮ, VÝŠKY, TĚŽNICE, STŘEDNÍ PŘÍČKY
TROJÚHELNÍKU, KRUŽNICE VEPSANÁ A OPSANÁ TROJÚHELNÍKU
Ročník: 6.
Pomůcky: PRŮSVITKA, PRAVÍTKO, ÚHLOMĚR, KRUŽÍTKO
Mezipředmětové vazby: PČ, FY, ICT
• Téma: OBVOD A OBSAH TROJÚHELNÍKU
Ročník: 5. - 7.
Pomůcky: PRAVÍTKO, KALKULAČKA
Mezipředmětové vazby: PČ, FY
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
42
• Téma: ÚHEL A JEHO VLASTNOSTI - CELÁ KAPITOLA
Ročník: 6.
Pomůcky: PRAVÍTKO, KRUŽÍTKO, ÚHLOMĚR, KALKULAČKA
Mezipředmětové vazby: PČ, FY
• Téma: ROVINNÉ OBRAZCE - N - ÚHELNÍKY, KRUH, KRUŽNICE
Ročník: 4. - 7.
Pomůcky: PRAVÍTKO, KRUŽÍTKO, ÚHLOMĚR, KALKULAČKA
Mezipředmětové vazby: PČ, VV
• Téma: TĚLESA A JEJICH PLÁŠTĚ - KRYCHLE, KVÁDR, JEHLANY..
Ročník: 6. - 9.
Pomůcky: PRAVÍTKO, KRUŽÍTKO, ÚHLOMĚR, KALKULAČKA,
KOSTKY, KRABIČKY OD ZÁPALEK…
Mezipředmětové vazby: PČ, FY, ICT, DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE,
7. POUŽITÁ LITERATURA [1] Odvárko Oldřich, Kadleček Jiří: Matematika pro 6. ročník základní školy [3] Prometeus 1997; ISBN 80 - 7196 - 092 - 6 [2] Odvárko Oldřich, Kadleček Jiří: Matematika pro 7. ročník základní školy [3] Prometeus 1999; ISBN 80 - 7196 - 129 - 9 [3] Běloun František a kolektiv: Sbírka úloh z matematiky pro ZŠ SPN 1992, 6.vydání; ISBN 80 - 04 - 26365 - 8 [4] Mikulčák Jiří a kol.: Matematické, fyzikální a chemické tabulky pro SŠ SPN 1988; ISBN 14 - 257 - 89 [5] http://www.e-matematika.cz/ [6] http://cs.wikipedia.org [7] http://www.math.muni.cz/~rvmo/ [8] http://www.scio.cz
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
43
8. PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ (A) Dopočítej velikosti všech chybějících úhlů v obrázku :
(B) Sestroj trojúhelník ABC : a = 7,4 cm (náčrt, konstrukce, rozbor) b = 9 cm
c = 14 cm V tomto trojúhelníku ABC sestroj těžnice. (C) Sestroj trojúhelník KLM : k = 8 cm l = 12 cm m = 9 cm Sestroj kružnici opsanou tomuto trojúhelníku KLM. (D) Sestroj trojúhelník ABC : a = 6 cm b= 12 cm c = 7 cm Sestroj kružnici vepsanou tomuto trojúhelníku.
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
44
A
B
C
(E) Sestroj výšky v následujícím trojúhelníku: (F) Rozhodni který z následujících trojúhelníků je: Rovnoramenný Rovnostranný Pravoúhlý Ostroúhlý Tupoúhlý
1
3
2
4
5
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
45
(G) Vypočítej obsah trojúhelníku z následujícího obrázku:
(H) Narýsuj trojúhelník s délkami stran: a= 4,5 cm b = 6 cm c = 5,7 cm Potom změř jeho výšku a vypočítej obvod a obsah trojúhelníku. (I) Sestroj kružnici opsanou trojúhelníku MNP
(J) Sestroj výšky v následujícím trojúhelníku:
M
N
P
D E
F
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
46
(K) Rozhodni zda platí: Bod F patří úhlu: α, DVC, AUC, BUC Bod E patří úhlu: α, β, DVC, AVC, DVB,
Vrchol úhlu ADC je bod: A, C, B
(L) Sestroj osu konvexního úhlu KLM:
(M) Změř velikosti úhlů v trojúhelníku ABC
K
M
L
L
K M
A B
C
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
47
(N) Rozhodni co platí: A) úhly α a γ jsou vrcholové
B) úhly β a δ jsou vedlejší
C) úhly γ a δ jsou vrcholové
D) úhly β a α jsou vedlejší
(O) Graficky sečti úhel β a KLM:
(P) Sestroj rozdíl úhlů KLM a β:
(Q) Sestroj rozdíl úhlů KLM a β:
K
M
L
K
γ
α
δ
β
K
M
L
β
β
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
48
(R) Sestroj osy následujících úhlů: α =90° β = 60°
(S) Narýsuj si libovolný ostrý úhel α . Graficky sestroj: A) 2 • α
B) 2
α
Jaké druhy úhlů Ti vyšly?? Pojmenuj je…
(T) Bez měření zapiš velikosti úhlů α, β a γ.
(U) Známe úhly α =137° 35´ a β = 69° 58´
β
β
β
α
39°
γ
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
49
Vypočítej α + β α – β 2 α + ½ β Výsledky převeď do základního tvaru ( > 60°)
(V) V osové souměrnosti s osou o sestroj obraz
(W) Ve středové souměrnosti se středem v bodě D sestroj následující obraz
(X) Sestrojte β menší než 90°. Sestroj osu β.
(Y) Jaký je objem kvádru, který má výšku 18 dm,
délku 6 dm a úhlopříčku dolní podstavy 10 dm?
(Z) Kolik středů souměrnosti má osa úsečky?
OBTÍŽNĚJŠÍ ÚLOHY NA PROCVIČENÍ
o
D
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
50
(AA) Obrazec na obrázku je vytvořen ze dvou shodných malých půlkruhů a jednoho velkého půlkruhu. Obvod obrazce je 219,8cm. Vypočítej poloměr r. Výsledek zaokrouhli na celé centimetry
(BB) Kolik sloupků je potřeba na oplocení čtvercové zahrádky o výměře 1 aru, je-li mezi sloupky plotu vzdálenosti 2 m?
(CC) Vypočítej obsah obruče, která je na obrázku vyznačena černou barvou. Vnější průměr je 560 mm a vnitřní průměr 480 mm.
(DD) Který z následujících útvarů má největší součet os souměrnosti se středy souměrnosti?
� čtverec � pravidelný šestiúhelník � rovnostranný trojúhelník � kruh
(EE) Z kruhové desky o poloměru 16 cm má být vyříznuta část tvaru čtverce (viz. obrázek). Jakou bude mít čtverec plochu?
(FF) Bedna ve tvaru kvádru s rozměry 120 cm, 96 cm, 144 cm je přesně zaplněna krabičkami tvaru krychle o hraně 24 cm. Kolik nejvíce krabiček se vejde do bedny?
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
51
(GG) Vypočítej kolik zaplatíme za barvu na bazén, když víš, že jeho rozměry jsou 22 m x 12 m a hloubka je 1,5 m. Na 5 m2 vystačí jedna plechovka barvy za 136 Kč.
(HH) Vypočítej povrch válce, jehož poloměr je 5 cm a jeho objem je 345 cm3. ¨
(II) Terasa má tvar rovnoramenného lichoběžníku má délku 10,4 m, délka ramene je 5,7 m a velikost vnitřního úhlu mezi ramenem a základnou je 65°.
a) Urči přibližně, kolik čtverečných metrů dlaždic bude potřeba na vydláždění terasy. b) Podél obou „ramen“ a kratší „základny“ lichoběžníkové terasy bude zábradlí. Urči jeho délku.
(JJ) Obsah rovnoběžníku EFGH je 56 cm2. Vypočítej jeho výšky, když víš, že délky jeho sousedních stran jsou e = 7 cm, f = 14 cm.
(KK) Jehlan s obdélníkovou podstavou o rozměrech 6 dm a 8 dm má boční hranu dělky 13 dm. Vypočítejte povrch a objem tohoto jehlanu a načrtněte jeho síť.
ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]
52
A
C
(LL) Vypočítejte povrch a objem rotačního kužele, jehož obvod podstavy je 125,6 cm a strana má délku 25 cm.
(MM) Vypočítej obsah pravidelné čtyřcípé hvězdy, když víš, že její obvod je 120 cm a vzdálenost bodů IACI = 5 cm je
(vhodně rozděl na trojúhelníky a …)
(NN) Kolik litrů vody může maximálně za jednu sekundu odvádět koryto, jehož průřezem je půlkruh o poloměru 0,5 m, je-li rychlost toku vody 80 cm / s?
(OO) Vypočitej objem hranolu s kosočtvercovou podstavou, jehož jedna uhlopříčka podstavy má délku 20 cm a hrana podstavy má délku 26 cm. Délka hrany podstavy je k výšce hranolu v poměru 2 : 3.
(PP) Pan Dvořák postaví u svého nového domu místo obyčejněho plotu zeď z cihel. Zeď bude dlouhá 47 m, vysoká 2,5 m a 29 cm široká. Cihla má rozměry 29 cm, 14 cm a 6,5 cm. Pan Dvořák objednal 5000 cihel. Vypočítej, zda mu budou stačit na celou zeď.
(QQ) Sníh napadl 3 dm 5 cm vysoko. Jak velký zaujímá prostor na dvoře 18 m širokém a 26 m dlouhém? Kolik sněhu je potřeba odházet na cestičku 1,5 m širokou ve směru délky?