w . docutr a c k bab€€€i pendahuluan a. deskripsi b ... ·...

MGPD MatematikaSMK Kelompok TI dan PK Kabupaten Klaten

5

BAB IPENDAHULUAN

A. DeskripsiModul Menerapkan Konsep Geometri Dimensi Dua ini terdiri atas tiga (3) kegiatan belajar, yaitu :a. mengidentifikasi sudut,b. menentukan keliling bangun datar dan luas daerah bangun datar, danc. menerapkan transformasi bangun datar.

B. PrasyaratKemampuan awal yang perlu dipelajari untuk mempelajari Modul J ini adalah siswa telahmempelajari Konsep Trigonometri dan Konsep Matriks.

C. Tujuan AkhirSetelah mempelajari Konsep Geometri Dimensi Dua ini diharapkan siswa dapat :a. mengetahui macammacam satuan sudut,b. mengkonversi satuan sudut,c. mengetahui keliling bangun datar,d. melakukan perhitungan keliling segitiga, segiempat dan lingkaran,e. melakukan perhitungan luas segitga, segiempat dan lingkaran,f. melakukan perhitungan luas daerah bangun datar tidak beraturan dengan menggunakan

metode koordinat dan trapesium,g. menjelaskan jenisjenis transformasi bangun datar,h. menerapkan transformasi bangun datar.

D. Ceck Kemampuan

No Pertanyaan Ya Tidak

1 Tahukah Anda macammacam satuan sudut ?

2 Dapatkah Anda mengkonversi satuan sudut derajat ke satuan yang

lain ?

3 Dapatkah Anda menentukan keliling segitiga, segiempat dan

lingkaran ?

4 Dapatkah Anda menentukan luas segitiga, segiempat dan lingkaran ?

5 Dapatkah Anda menentukan luas bangun datar tidak beraturan ?

6 Tahukah Anda jenisjenis transformasi bangun datar ?

7 Dapatkah Anda menerapkan jenis transformasi tersebut ?

Apabila Anda menjawab “ Tidak “ pada salah satu pertanyaan di atas maka materi tersebut padamodul ini. Apabila Anda menjawab “ Ya “ pada semua pertanyaan, maka lanjutkanlah denganmengerjakan tugas, test formatif dan evaluasi yang ada pada modul ini.

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE

www.docutrack.com Clic

k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com

http://www.docu-track.com/index.php?page=38



6

BAB IIPEMELAJARAN

A. Rancangan Belajar Siswa1. Buatlah Rencana Belajar Anda berdasarkan Rancangan Pembelajaran yang telah disusun oleh

Guru untuk menguasai SubKompetensi Geometri Dimensi Dua, dengan format sebagai berikut :

No Kegiatan

Pencapaian Alasanperubahan bila

diperlukan

Paraf

Tgl Jam Tempat Siswa Guru

Mengetahui, Klaten, .................................

Guru Pembimbing Siswa

(...........................) (.............................)

2. Rumuskan hasil belajar Anda sesuai standar bukti belajar yang telah ditetapkan :a. Untuk penguasaan pengetahuan, anda dapat membuat suatu ringkasan menurut pengertian

anda sendiri terhadap konsepkonsep yang berkaitan dengan kompetensi yang telah Andapelajari. Selain ringkasan anda juga dapat melengkapi dengan kliping terhadap informasiinformasi yang relevan dengan kompetensi yang sedang anda pelajari.

b. Administrasikan setiap tahapan kegiatan belajar/lembar kerja yang anda selesaikanc. Setiap tahapan proses akan diakhiri, lakukanlah diskusi dengan guru pembimbing untuk

mendapatkan persetujuan, dan apabila ada halhal yang harus dibetulkan/dilengkapi, makaanda harus melaksanakan saran guru pembimbing anda.

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




7

B. Kegiatan Belajar1. Kegiatan Belajar 1

a. Tujuan Kegiatan Belajar 1Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, siswa diharapkan :1. memiliki pemahaman terhadap macammacam satuan sudut.2. dapat mengkonversikan dua atau lebih satuan sudut.

b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 11. Pengertian Sudut

Sudut adalah daerah yang dibatasi oleh dua buahruas garis dan satu titik.Dari gambar di samping disebut sudut B atau β atausudut ABC ( ∠ ABC ) dibatasi oleh dua buah ruasgaris BA dan BC serta satu titik (sudut) B.

2. Macammacam Satuan SudutPada umumnya ukuran satuan sudut tergantung pada kepentingannya. Barang atau alatapa yang sedang dipergunakan, maka satuan sudut tertentu pula yang akandipergunakan. Ada tiga (3) satuan sudut yang biasa digunakan saat ini, yaitu :

a. Satuan Derajat ( … .° )Ukuran sudut satu putaran penuh adalah 360°, maka misalkanbesar α adalah 1° dan apabila panjang busur AB = 360

1 keliling

lingkaran, dengan kata lain satu derajat adalah 3601 putaran.

Ukuran sudut yang lebih kecil adalah menit ( ′ ) dan detik ( ″ ).Hubungan antara derajat, menit dan detik adalah :

1° = 60′1′ = 60 ″

maka untuk 1° = 60′ = 3600 ″

b. Satuan Radian ( rad )Ukuran Radian disingkat rad.Apabila busur AB sama dengan jarijari lingkaran, makadikatakan bahwa besar sudut tersebut satu radian.

Perhatikan gambar di samping !'OA'B'A

OAAB ∩

=∩

Perbandingan 1rr

OAAB

==∩ , menunjukkan ukuran sudut AOB.

Nilai bilangan itu disebut ukuran radian.Busur ABC adalah bangun setengah lingkaran π r , sehingga :

radr.r

OAABCBusur

π=π

= , maka ∠ AOC = π rad.

BC

A

β

A

B

CO

r

rα

A

B

O A’

B’

A

B

OC

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




8

c. Satuan Centisimal / gon / gradeUkuran ini dilambangkan dengan … ..g atau grad. (gradien)

Besar sudut disebut 1 gon apabila panjang busur AB =4001 keliling lingkaran, maka :

1 gon =4001 2. πrad =

2001

π rad.

3. Konversi Satuan SudutHubungan : 1 putaran = 360° = 2.π rad = 400 gMaka : π rad = 180 ° = 200 gDengan berpegang pada hubungan di atas maka akan didapatkan konversi sebagaiberikut :a. Mengubah radian ke derajat ( konversi 1 )

π rad = 180°

1 rad = πo180 , apabila π = 3,14 maka diperoleh :

1 rad = 57° 17′ 44″

b. Mengubah radian ke gon ( konversi 2 )π rad = 200 g

1 rad = g200π , apabila π = 3,14 maka diperoleh :

1 rad = 63,69 g

c. Mengubah derajat ke radian ( konversi 3 )180° = π rad

1° = rad180π , apabila π = 3,14 maka diperoleh :

1° = 0,017 rad

d. Mengubah gon ke radian ( konversi 4 )200 g = π rad

1 g = rad200π , apabila π = 3,14 maka diperoleh :

1 g = 0,016 rad

e. Mengubah derajat ke gon (konversi 5 )180° = 200 g

1° = g180200

1° = 1,11 g

f. Mengubah gon ke derajat ( konversi 6 )200 g = 180°

1 g = 200o180

1 g = 0,9 °

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




9

Contoh :1. 36,56° konversikan ke bentuk satuan derajat, menit dan detik !Jawab : 36,56° = 36° + 0,56′

= 36° + 10056 x 60′

= 36° + 33,6′ = 36° + 33′ + 0,6′

= 36° + 33′ + 106 x 60″ = 36° + 33′ + 36″

Jadi : 36,56° = 36° 33′ 36″

2. Konversikan 21,9 g ke bentuk satuan derajat !Jawab : 21,9 g = 21,9 x 0,9

= 15,71°

3. Konverikan 5 rad ke bentuk satuan gon !Jawab : 5 rad = 5 x 63,69 g

= 318,45 g

d. Rangkuman Uraian Kegiatan Belajar 1Dari uraian di atas dapat dirangkum sebagai berikut :

a. 1 rad = 57° 17′ 44″b. 1 rad = 63,69 gc. 1° = 0,017 radd. 1° = 1,1 ge. 1° = 60′ = 3600 ″f. 1 g = 0,016 radg. 1 g = 0,9 °

e. Tugas Kegiatan Belajar 1Diskusikan soalsoal berikut dengan anggota kelompok Anda, kemudian presentasikanhasilnya sesuai dengan yang ditugaskan oleh guru Anda.!

f. Test Formatif Kegiatan Belajar 11. Nyatakan ke dalam satuan radian !

a. 0° b. 30°2. Nyatakan ke dalam satuan derajat !

a. 32 π rad b. 2π rad

3. Nyatakan derajat berikut ke dalam derajat, menit, dan detik !a. 65,5° b. 90,75°

4. Nyatakan ke dalam satuan derajat !a. 65° 50′ 25″ b. 14° 21′ 36″

5. Nyatakan ke dalam satuan grade/gon !a. 45° b. 5

1 π rad

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




10

g. Kunci Jawaban Test Formatif Kegiatan Belajar 11. a. 0 rad b. 6

1 π rad

2. a. 120° b. 360°

3. a. 65° 30′ 0″ b. 90° 45′ 0″4. a. 65,84° b. 14,36°5. a. 50 g b. 40 g

h. Lembar Kerja Siswa Kegiatan Belajar 11. Ubahlah ke dalam satuan derajat !

a. 31 π rad = … … … x … … … . = … … ..

b. 311 π rad = … … … x … … … . = … … ..

c. 65 π rad = … … … x … … … . = … … ..

d. 1,57 rad = … … … x … … … . = … … ..e. 11 rad = … … … x … … … . = … … ..

2. Ubahlah ke dalam satuan radian !a. 30° = .... … . … . … . = … . … . radb. 45° = .... … . … . … . = … . … . radc. 120° = .... … . … . … . = … . … . radd. 240° = .... … . … . … . = … . … . rade. 400° = .... … . … . … . = … . … . rad

3. Ubahlah ke dalam satuan grade/gon !a. 30° = .... … . … . … . = … . … . gb. 45° = .... … . … . … . = … . … . gc. 120° = .... … . … . … . = … . … . gd. 315° = .... … . … . … . = … . … . ge. 400° = .... … . … . … . = … . … . g

4. Ubahlah ke dalam satuan radian !a. 25 g = .... … . … . … . = … . … .radb. 100 g = .... … . … . … . = … . … .radc. 375 g = .... … . … . … . = … . … .radd. 509 g = .... … . … . … . = … . … .rade. 291674 g = .... … . … . … . = … . … .rad

5. Ubahlah ke dalam satuan grade/gon !a. 5

1 π rad = .... … . … . … . = … . … .g

b. 11π rad = .... … . … . … . = … . … .gc. 31 π rad = .... … . … . … . = … . … .gd. 9,35 rad = .... … . … . … . = … . … .ge. 6,28 rad = .... … . … . … . = … . … .g

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




11

6. Ubahlah dari menit dan detik ke dalam derajat desimal !a. 24° 31′ 12″ = … . … . + … . … . + … . … . = … . … .

= … . … . + … . … . + … . … . = … . … .b. 42° 25′ 16″ = … . … . + … . … . + … . … . = … . … .

= … . … . + … . … . + … . … . = … . … .

7. Sebuah ruas mempunyai sudut putar rad5π , nyatakan sudut tersebut dalam derajat dan

gon !

rad5π = … … … … … … … . rad

5π = … … … … … … … .

= … … … … … … . ° = … … … … … … gon

8. Nyatakan sudut pusat sebuah segienam dalam satuan sudut radian dan gon !

9. Sebuah jarum jam berputar sejauh 7,2 gon. Nayatakalah sudut putar tersebut dalamderajat dan radian !

10. Sebuah roda berputar dengan laju sudut 45 rpm ( revolusi per menit ). Nyatakan lajutersebut dalam rad/det dan putaran/det !

11. Berapa rpmkah laju sebuah roda jika roda tersebut berputar 1,2 π rad/det ?

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




12

12. Jika M adalah pusat lingkaran dan besar ∠ AMB = 2 rad, maka hitunglah panjang busurkecil AB dalam satuan radian !

13. Jika N pusat sebuah lingkaran dan panjang busur PQ =51 keliling lingkaran. Nyatakan

besar sudut PNQ dalam ukuran radian !

2. Kegiatan Belajar 2a. Tujuan Kegiatan Belajar 2

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, siswa diharapkan :1. dapat melakukan perhitungan keliling segitiga, segiempat dan lingkaran.2. dapat melakukan perhitungan luas segitiga, segiempat dan lingkaran.3. dapat melakukan perhitungan daerah bangun datar tidak beraturan dengan menggunakan

metode koordinat trapesium.

b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 21. Teorema Phytagoras

Dalam segitiga sikusiku berlaku teoremaPytagoras, yaitu : “ Kuadrat sisi miringsama dengan jumlah kuadrat sisisisisikunya “.

Teorema Phytagoras : 222 cba =+

2. Segitiga IstimewaSuatu segitiga sikusiku sama kaki, jika sisi sikunyaadalah x satuan maka sisi miringnya adalah x√2satuan.Asal hitungan berdasar teorema Phytagoras :

222 bac += maka : 22 bac +=

: 22 xxc +=

: 22xc = : 2xc =

A

BC a

bc

B

A

C x

x x 2

NP

Q

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




13

Suatu segitiga sikusiku jika besar dua sudut lainyaadalah 30° dan 60° dan panjang sisi miringnya x satuanmaka sisi sikusiku di depan sudut 30° ( AC ) besarnyasama dengan setengah sisi miringnya ( 2

1 x), sedangkan

untuk sisi sikusiku di depan sudut 60° ( BC ) besarnya

adalah 321 x.

3. Rumus Keliling dan Luas Bidang

a. SegitigaK = a + b + cL ∈ = ½ . alas . tinggiL ∈ = )cs).(bs).(as.(s −−−

dimana s =2

cba ++

b. Persegi panjangK = 2 . ( p + l )L = p . l

c. Bujur sangkarK = 4. sL = s . s = s2

d. Jajaran genjangK = 2. (a + b )L = a. t

e. Belah ketupatK = 4 . sL = ½ . a . bdimana : a dan b diagonal

f. LayanglayangK = 2. (a + b)L = ½ . p . qdimana :q = BDp = AC

C B

A

x21 x

3x21

30°

60°

″″″

″

C

A B

ab

c

t

A

CB

D

p

l

B

A D

Cs

s

C

DA

B

t

A

C

B

Da

b

″″

″″

s

s

D

B

A

C

q

p

a

ab

b

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




14

g. TrapesiumK = a + b + c + dL = ½ .(a + b) . t

h. LingkaranK = 2.π . rK = π . d … .. dimana 2.r = d

L = π . r 2

L = 41 .π . d 2 … … dimana r = ½ d

4. Taksiran Luas Daerah Bidang tak Beraturan

a. Aturan TrapesoidaBangun daerah bidang tak beraturan dibagi menjadibeberapa bagian yang sama, disebut pilah. Satubidang pilah ABQP luasnya mendekati trapesiumdengan sisi sejajar O1 dan O2 serta jaraknya d.

Luas pilah ABQP ≈

+2

OO.d 21

Luas pilah BCRQ ≈

+

2OO

.d 32

Demikian seterusnya sehingga luas total merupakan jumlah masingmasing pilah, makaluas total dirumuskan :

Luas AETP ≈

+++

+)OOO(

2OO

.d 43251

b. Aturan MidOrdinatSeperti halnya aturan trapesoida, pada aturan inidiambil tengahtengah dari masingmasing ordinat.

Luas pilah ABHG = d . m1

Luas pilah BCIH = d . m2

Demikian seterusnya sehingga luas totalmerupakan jumlah masingmasing pilah, makaluas total dirumuskan :

Luas AEKG = d . ( m1 + m2 + m3 + m4)

Bb

t

A D

C

a

c d

dr

r

21 d

21 d

ddd d

O1 O2O3

O4 O5

A B C D E

PQ

RS

T

d d d d

m1 m2 m3 m4

A B C D

E

E

H I

J KG

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




15

c. Aturan SimpsonAturan ini biasanya dipergunakan untuk menghitung luas daerah di bawah kurva f(x)dengan sumbux pada interval tertentu [a , b].Aturan Simpson dituliskan dalam rumus :

A = { }R2E.4)LF(.3d

+++

dimana :A : Luas daerahd : Lebar pilahF : Ordinat pertamaL : Ordinat terakhirE : Jumlah ordinat bernomor genapR : Jumlah ordinat bernomor ganjil

Contoh :Hitunglah luas daerah di sampingini dengan menggunakan aturan :a. aturan trapesoidab. aturan midordinatc. aturan Simpson

Jawab :a. aturan trapesoida

L ≈

+++

+)OOO(

2OO

.d 43251 ≈

+++++

+ )85476(2

98.2

≈ { }305,8.2 + ≈ 2 . 38,5

≈ 77 satuan luas.

b. aturan midordinatL ≈ d . ( m1 + m2 + m3 + m4 + m5 + m6)

L ≈

+

++

++

++

++

++

298

285

254

247

276

268.2

≈ 2. ( 7 + 6,5 + 5,5 + 4,5 + 6,5 + 8,5 ) ≈ 2. ( 38,5 )≈ 77 satuan luas

c. aturan Simpson

L ≈ { }R2E.4)LF(.3d

+++ ≈ { })57.(2)846.(4)98(.32

++++++

≈ )247217.(32

++ ≈ 113.32

≈3

226

≈ 75,3 satuan luas

2 2 2 2 2 2

8 6 74 5

89

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




16

c. Rangkuman Uraian Kegiatan Belajar 2Untuk mencari luas bangun datar yang beraturan dapat dilihat pada uraian diatas sesuaidengan jenis bangun datarnya. Adapun untuk bangun yang tak beraturan dapat dilakukandengan menggunakan :

1. Aturan Trapesoida : Luas =

++++

+− )O...OO(

2OnO

.d 1n321

2. Aturan midordinat : Luas = d . ( m1 + m2 + m3 + … +mn)

3. Aturan Simpson : Luas = { }R2E.4)LF(.3d

+++

Untuk luas segitiga dapat diselesaikan dengan :

1. Luas =2tinggixalas

2. Luas = )cs).(bs).(as.(s −−− dimana s =2

cba ++

3. Luas = Asinbc21 = Bsinac

21 = Csinab

21

4. Luas = )}yy(x)yy(x)yy(x{21

bacacbcba −+−+− dengan sistem koordinat

d. Tugas Kegiatan Belajar 2Diskusikan bersamasama untuk permasalahan :1. Sebutkan jenisjenis segitiga berdasarkan sisi, sudut, sisi dan sudut !2. Tentukan rumus luas untuk masingmasing jenis segitiga dan berikan contohnya dengan

satuan panjang tertentu !

e. Test Formatif Kegiatan Belajar 21. Sebidang tanah berbentuk persegi panjang dengan panjang 0,5 km dan lebar 0,25 km.

Berapa ukuran panjang dan lebar tanah tersebut jika digambar dengan skala 1 : 10.000.Kemudian tentukan keliling dan luas gambar tersebut !

2. Tentukan luas kertas untuk membentuk mal bendakerja seperti tergambar di samping ?

3. Suatu jajaran genjang dan lingkaranberpusat di titik P dan jarijari 3,5 cm,panjang AB = 10 cm. Tentukan luasdaerah jajaran genjang di luarlingkaran !

4. Potongan melintang sebuah sungaiseperti pada gambar disamping. Setelahdiadakan pendugaan dalamnya dibeberapa tempat dengan jarak masingmasing 2 meter maka tentukan luaspenampang sungai tersebut !

7 cm

7 cm

7 cm

7 cm14 cm

A

C

B

D

8,317,2 18,9

20

19,218,9 17,8

14,7 6 00

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




17

f. Kunci Jawaban Test Formatif Kegiatan Belajar 21. Dimensi : panjang = 5 cm, lebar = 2,5 cm

Keliling = 15 cm Luas = 12,5 cm2

2. Luas = 350 cm2

3. Luas = 31,5 cm2

4. Luas = 281,6 m2

g. Lembar Kerja Siswa Kegiatan Belajar 21. Taman bunga Bu Sumringah berbentuk seperti

gambar di samping. Taman tersebut akan dipagaribambu. Berapa meter pagar yang dibutuhkan danberapa luas taman bunga tersebut ?Kebutuhan pagar :

2. Alas bak penampung air berbentuk lingkaran denganjarijari 1,5 m. Berapa keliling dan luasnya ?

3. Tampak samping sebuah rumah seperti pada gambardisamping. Hitunglah keliling dan luas temboktersebut !

12 m

600 cm

80 dm

4 m

2 m

6 m

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




18

4. Tentukan Luas sebidang tanah jika titiktitik sudutnya dinyatakan dalam koordinatA ( 2 , 1 ), B ( 6 ,2 ), dan C ( 3, 3 )

5. Tentukan luas dari sebidang tanah jika titiktitik sudutnya dinyatakan dalam koordinatA ( 2 , 1 ), B ( 10 , 3 ), C ( 12 , 10 ) dan D ( 5 , 6 ) !

6. Tentukan luas daerah pada gambar di sampingdengan aturan trapesioda ! ( d = 1 )

7. Tentukan luas daerah kurva yang yang dibatasi oleh kurva y = x2, garis x = 2, garis x = 6dan sumbu x dengan menggunakan aturan Simpson !

8 8

5 5

0 0

10

d dd dd d

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




19

8. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) = x 2 – 4 dan sumbu x pada interval[2 ,2] !

3. Kegiatan Belajar 3a. Tujuan Kegiatan Belajar 3

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, siswa diharapkan :1. dapat menyebutkan jenisjenis transformasi bangun datar.2. dapat memahami jenisjenis transformasi bangun datar.3. dapat menyelesaikan soalsoal penerapan transformasi bangun datar.

b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 31. PengertianTransformasi dapat dipandang sebagai pemetaan dari himpunan titik ke himpunan titik.Biasanya titik yang dipetakan adalah (x,y), titik hasil pemetaan/bayangannya adalah ( x’,y’).

2. Jenisjenis TransformasiBeberapa jenis transformasi yang akan kita pelajari antara lain :a. Translasi ( penggeseran )b. Refleksi ( pencerminan )c. Rotasi ( perputaran )d. Dilatasi ( perkalian )

3. Memahami Jenisjenis Transformasia. Translasi ( penggeseran )Suatu transformasi disebut translasi/penggeseran jika setiap titik dipindahkan sepanjang

ruas garis tertentu, dengan pengertian sepanjang ruas sejajar sumbu x ( a ) dan sepanjang ruassejajar sumbu y (b).

Jika suatu titik A ( x , y ) oleh translasi

T =

ba

menghasilkan titik A’ (x ’,y ’),

dengan hitungan :x ’ = x + ay ’ = y + b maka titik A ‘ ( x+a , y+b )

Dengan gambar0

x

y

A (x , y)

A ‘ (x’ , y’ )

a

b

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




20

Contoh : Jika titik A (6,7) ditranslasi T

32

kemudian ditranslasi T

−43

maka titik hasil translasi

adalah …Jawab : A ‘ = ( 6 +2 – 3 , 7 + 3 + 4 ) maka hasil translasi adalah A ‘ (5,14 ).

( titik A mengalami dua kali translasi )

Contoh : Diketahui segitiga ABC dengan titik sudut A (1,2), B (4,3) dan C (3,7). Tentukan peta

segitiga ABC jika digeser oleh T

12

!

Jawab : A ‘ =

=

++

=

33

1221

'y'x

B ‘ =

=

++

=

46

1324

y'x

C ‘ =

=

++

=

85

1723

'y'x

Jadi peta segitiga ABC adalah A’B’C’ dengan titik sudut A’(3,3), B ’(6,4) dan C ’(5,8).

b. Refleksi ( pencerminan )Suatu refleksi ditentukan oleh suatu garis

yang dijadikan sebagai sumbu pencerminan.Segitiga ABC dicerminkan terhadap garis gmenghasilkan segitiga A’B’C’, maka :

AP = PA’BQ = QB’CR = RC’

b.1. Pencerminan terhadap sumbu xJika titik A (x,y) dicerminkan terhadap

sumbu x dan bayangannya didapatkan A’ (x’,y’),

maka diperoleh perumusan :

−

=

yx

'y'x

.

Apabila ditampilkan dalam hitungan matriks

sebagai berikut :

−

=

yx

1001

'y'x

. Jadi matriks

pencerminan terhadap sumbu x adalah

− 10

01.

b.2. Pencerminan terhadap sumbu yJika titik A (x,y) dicerminkan terhadap sumbu y

dan bayangannya didapatkan A’ (x’,y’), maka diperoleh

perumusan :

−=

yx

'y'x

. Apabila ditampilkan dalam

hitungan matriks sebagai berikut :

−=

yx

1001

'y'x

. Jadi

matriks pencerminan terhadap sumbu y adalah

−1001

.

A A’

B

C

B’

C’⁄ ⁄

″ ″

′ ′P

R

Q

garis g

x

y

0

A (x,y)

A’ (x’,y’)

⁄

⁄

A (x,y)

x

A’ (x’,y’)

0

y

⁄ ⁄

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




21

b.3. Pencerminan terhadap garis y = xJika titik A (x,y) dicerminkan terhadap

sumbu y dan bayangannya didapatkan A’ (x’,y’),


=

xy

'y'x

. Apabila

ditampilkan dalam hitungan matriks sebagai

berikut :

=

yx

0110

'y'x

. Jadi matriks

pencerminan terhadap garis y = x adalah

0110

.

b.4. Pencerminan terhadap garis y = xJika titik A (x,y) dicerminkan terhadap sumbu ydan bayangannya didapatkan A’ (x’,y’), maka

diperoleh perumusan :

−−

=

xy

'y'x

. Apabila


berikut :

−

−=

yx

0110

'y'x

. Jadi matriks

pencerminan thd garis y = x adalah

−

−0110

.

b.5. Pencerminan terhadap titik asal O (0,0)Jika titik A (x,y) dicerminkan terhadap

sumbu y dan bayangannya didapatkan A’ (x’,y’),


−−

=

yx

'y'x

. Apabila


berikut :

−

−=

yx

1001

'y'x

. Jadi matriks

pencerminan terhadap titik O adalah

−

−1001

.

y’ = x0

y

x

A’ (x’,y’)

A (x,y)

x

y

x’ = y

garis y = x

⁄

⁄

A (x,y)

A’ (x’,y’)

garis y = x

y’ = x

x’ = y

y

x0x

y

″″

″

″

0x

y

A (x,y)

A’ (x’,y’)

x

y

x’ = x

y’ = y

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




22

Contoh : Diketahui segitiga PQR dengan titik sudut P (3,2), Q (5,5) dan R (1,4). Tentukanbayangan segitiga PQR akibat :a. pencerminan terhadap sumbu xb. pencerminan terhadap sumbu y

Jawab : Terhadap sumbu x Terhadap sumbu y

P’ =

−−

=

−

−

=

23

23

1001

'y'x

P’ =

=

−

−=

23

23

1001

'y'x

Q’ =

−−

=

−

−

=

55

55

1001

'y'x

Q’ =

=

−

−=

55

55

1001

'y'x

R’ =

−−

=

−

−

=

44

41

1001

'y'x

R’ =

=

−

−=

41

41

1001

'y'x

Jadi titiktitik pencerminannya adalah :a. terhadap sumbu x : P’ (3,2), Q’ (5,5), dan R’ (4,4)b. terhadap sumbu y : P’ (3,2), Q’ (5,5) dan R’ (1,4)

c. RotasiSuatu rotasi ditentukan oleh pusat dan besar sudut rotasi.

Diperjanjikan bahwa arah putaran positif adalah berlawanan dengan arah putaran jarum jamdan sebaliknya.Rotasi dengan pusat O (0,0) dan besar sudut α dituliskan dalam R [O, α].

Titik A (x,y) dirotasikan dengan rotasi R [O, α]menghasilkan titik A’ (x’,y’). Denganmemperhatikan gambar disamping diperolehhubungan :

ααα−α

=

yx

cossinsincos

'y'x

Dengan demikian didapatkan :x ‘ = x . cos α y . sin αy ’ = x . sin α + y. cos α

Titik A (x,y) dirotasikan dengan rotasi R [P, α]menghasilkan titik A’ (x’,y’), dimana berpusatdi titik P (xp,yp). Dengan memperhatikangambar disamping diperoleh hubungan :

−−

ααα−α

=

−−

ypyxpx

cossinsincos

yp'yxp'x

Dengan demikian didapatkan :x ‘ = {(x xp) . cos α (y yp) . sin α } xpy ’ = {(x – xp). sin α + (y – yp) . cos α} yp

A (x,y)

A’ (x’,y’)

0x

y

α

x

y

x’

y’

P (xp,yp)

A (x,y)α

A’ (x’,y’)

0 x’ x

y’

y

xp

yp

x

y

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




23

Contoh : Tentukan bayangan titik A (4,5) akibat rotasi 90° dengan titik pusat O dan dengan titikpusat P (1,2) !

Jawab : Rotasi dengan titik pusat O Rotasi dengan titik pusat P (1,2)

−=

54

90cos90sin90sin90cos

'y'x

oo

oo

−−

−=

−−

2514

90cos90sin90sin90cos

2'y1'x

oo

oo

−=

−=

45

54

0110

'y'x

−=

−−

33

0110

2'y1'x

→

−=

−−

33

2'y1'x

++−

=

2313

'y'x

→

−=

52

'y'x

Jadi bayangan titik A (4,5) akibat rotasi 90° dengan titik pusat O adalah A’ (5,4).Jadi bayangan titik A (4,5) akibat rotasi 90° dengan titik pusat P (1,2) adalah A’ (2,5).

d. Dilatasi ( perkalian )Suatu dilatasi ditentukan oleh titik pusat dan faktor skala ( faktor perkalian ).

Dilatasi dengan pusat O (0,0) dan faktor skala k , dirumuskan dengan [O , k].Segitiga ABC didilatasi dengan titk pusat O danfaktor skala k menghasilkan A’B’C’ hal inididapatkan hubungan :x ‘ = k . xy ‘ = k . yDalam hitungan matriks dirumuskan :

=

yx

k00k

'y'x

atau

=

yx

.k'y'x

Jika titik A (x,y) didilatasikan dengan titik pusatP (xp , yp) dan faktor skala k , menghasilkan titikA ‘ (x ’,y ’), maka diperoleh hubungan :

−−

=

−−

ypyxpx

k00k

yp'yxp'x

atau

−−

=

−−

ypyxpx

.kyp'yxp'x

+−+−

=

yp)ypy.(kxp)xpx.(k

'y'x

Contoh : Tentukan bayangan titik A (6,8) karena dilatasi [O , 3] dan karena dilatasi [P, 4] dimanatitik pusat P (2,1) !

Jawab : Dilatasi [O , 3] Dilatasi [P , 4]

=

86

3003

'y'x

−−

=

−−

1826

.41'y2'x

=

=

2418

86

.3'y'x

=

++

=

2918

17.424.4

'y'x

Jadi titik bayangan hasil dilatasi adalah :A’ (18,24) dan A’ (18,29)

y

0x

AB

CA’

B’

C’

P (xp,yp)

C

A

B

C’

B’

A’

0

y

xxp

yp

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




24

c. Rangkuman Uraian Kegiatan Belajar 3

No Transformasi Pemetaan Matriks Transformasi

1 Identitas (x , y) → (x , y)

=

yx

1001

'y'x

2 Translasi ( translasi T

ba ) (x , y) → (x ’, y ’)

++=

byax

'y'x

3 Pencerminan terhadap sumbu x (x , y) → (x , y)

−=

yx

1001

'y'x

4 Pencerminan terhadap sumbu y (x , y) → (x , y)

−=

yx

1001

'y'x

5 Pencerminan terhadap garis y = x (x , y) → (y , x)

=

yx

0110

'y'x

6 Pencerminan terhadap garis y = x (x , y) → (y , x)

−−=

yx

0110

'y'x

7 Rotasi 90° terhadap O [ R , 90°] (x , y) → (y , x)

−=

yx

0110

'y'x

8 Rotasi 90° terhadap O [ R , 90°] (x , y) → (y , x)

−=

yx

0110

'y'x

9 Dilatasi pusat O dan faktor skala k (x , y) → (kx , ky)

=

yx

k00k

'y'x

d. Tugas Kegiatan Belajar 3Bentuklah kelompok yang terdiri dari 3 atau 5 siswa untuk masingmasing kelompok,kemudian buatlah segitiga dari kertas dan letakkan pada sumbu koordinat. Geser atauputarlah segitiga tersebut dan tentukan koordinat masingmasing percobaan, diskusikandengan kelompok lain. Jika ada masalah konsultasikan dengan Guru mata diklat.

e. Test Formatif Kegiatan Belajar 31. Diketahui segitiga ABC dengan titiktitik sudut A (2,2), B (3,3) dan C (4,4). Tentukanlah

segitiga tersebut setelah digeser oleh T

12 !

2. Diketahui segitiga ABC dengan titiktitik sudut A (3,2), B (5,5) dan C (1,4). Tentukanlahsegitiga tersebut akibat pencerminan terhadap sumbu x !

3. Diketahui segitiga ABC dengan titiktitik sudut A (1,1), B (5,0) dan C (5,6). Tentukanlahsegitiga tersebut akibat pencerminan terhadap titik asal !

4. Tentukanlah bayangan titik A (5,3) akibat putaran : a. 90° dengan pusat O b. 180 dengan pusat O5. Tentukan bayangan titik A (7,5) akibat dilatasi yang berpusat di P (5,3) dengan skala 2 !

f. Kunci Jawaban Test Formatif Kegiatan Belajar 31. A’ (4,3) B’ (5,4) C’ (6,5)2. A’ (3,2) B’ (5,5) C’ (1,4)3. A’ (1,1) B’ (5,0) C’ (5,6)4. a. (3,5) b. (5,3)5. B’ (11,9)

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




25

g. Lembar Kerja Siswa Kegiatan Belajar 3

1. Suatu translasi dinyatakan dengan T

− 43 , tentukan koordinat bayangan untuk titiktitik

di bawah ini :a. A (3,0) b. B (3,3) c. C (1,2) d. D (4,3) e. E (9,6)

2.

3. Dengan menggunakan matriks operator, tentukan bayangan segitiga PQR dengan titiksudut P (2,3), Q (1,5) dan R (2,2) akibat pencerminan :a. terhadap sumbu x d. terhadap garis y = xb. terhadap sumbu y e. terhadap titik asalc. terhadap garis y = x

Ox

y Gambarkan bayangan segiempat OABC denganO (0,0), A (5,0), B (0,6) dan C (5,6) akibat translasi

T

31 !

A

B C

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




26

4. Tentukan bayangan titik (4,6) akibat rotasi :a. 90° dengan pusat O d. π3

1 dengan pusat O

b. – 90° dengan pusat O e. π61 dengan pusat O

c. 180° dengan pusat O

5. Segiempat ABCD dengan titik sudut A (1,2), B (4,2), C(1,1) dan D (4,1). Tentukankoordinat bayangan segiempat tersebut setelah ditransformasi oleh dilatasi [O,4] !

6. Tentukan bayangan segiempat PQR dengan P (2,1), Q (5,2) dan R (2.4) setelahditransformasikan dilatasi yang berpusat di (2,1) dengan skala k = 3 !

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




27

7. Parabola yang berpusat di (1,3) dan melalui (0,5) ditranslasikan oleh T

32 , tentukan

persamaan bayangannya !

8. Lingkaran yang berpusat di (2,3) dan menyinggung garis 3x 4y + 5 = 0 dicerminkanterhadap sumbu y, tentukan persamaan bayangannya !

9. Tentukan bayangan 25yx 22 =+ pada putaran pusat P (3,4) sejauh 180° !

10. Tentukan bayangan y = x2 – x – 2 karena dilatasi pusat P (2,1) dengan faktor skala 3 !

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




28

Evaluasi Kompetensi1. Ubahlah satuan sudut π

43 rad kedalam derajat dan grade !

2. Nyatakan sudut berikut kedalam ukuran radian dan gon !a. 45° b. 8° 45’ c. 60° 17’

3. Berapa rpm kah laju sudut sebuah roda jika roda itu berputar 1,2 π rad/det ?4. Sebuah persegi panjang mempunyai dimensi panjang = 8 cm lebih dari lebarnya. Jika

kelilingnya 56 cm hitunglah luasnya !5. Hitunglah luas daerah yang diarsir

pada gambar di samping !

6. Lantai persegi panjang dengan panjang 10 m ditutup dengan ubin persegi yang bersisi 20 cm.Berapakah banyaknya ubin pada suatu baris sepanjang sisi yang panjang ?

7. Hitunglah luas daerah pada gambar disamping dengan menggunakan aturan :a. aturan trapesiodab. aturan midordinatc. aturan Simpson

8. Tentukan luas daerah kurva yang dibatasi kurva y = x2, garis x = 3, garis x = 7 dan sumbu xdengan menggunakan aturan Simpson !

9. Bayangan titik sudut dari segitiga PQR oleh translasi T

−

14 adalah P’(6,4), Q’(8,9) dan

R’(10,3). Tentukan koordinat PQR !10. Diketahui garis dengan persamaan 3x + 4y = 5. Tentukan bayangan garis tersbut jika di

translasikan dengan T

13 !

11. Diketahui segitiga PQR dengan P(2,1), Q(4,1) dan R(2,3). Tentukan bayangan segitiga jika :a. dicerminkan terhadap sumbu yb. dicerminkan terhadap sumbu xc. dicerminkan terhadap garis y = xd. dicerminkan terhadap titik asal

12. Diketahui segitiga ABC dengan A(2,3), B(4,3) dan C(1,4). Tentukanlah :a. bayangan segitiga ABC oleh rotasi pusat O dengan sudut putar 180°.b. bayangan segitiga ABC oleh rotasi pusat (1,2) dengan sudut putar 180°.

13. Diketahui segitiga ABC dengan A(3,1), B(2,7) dan C(1,2). Tentukanlah :a. bayangan segitiga ABC oleh rotasi pusat O dengan sudut putar 90°.b. bayangan segitiga ABC oleh rotasi pusat (1,5) dengan sudut putar 90°.

14. Tentukan bayangan segitiga ABC dengan titik sudut A(2,3), B(8,4), C(6,5) jika didilatasi [O,2].15. Diketahui segitiga PQR dengan P(1,6), Q(3,4), R(5,7), tentukan bayangan segitiga PQR pada

dilatasi pusat (2,3) dengan faktor skala 2.

42 cm

60 cm

108 cm

56,86 5,9

7,27,6

8

2 2 2 2 2 2

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com



w . docutr a c k bab€€€i pendahuluan a. deskripsi b ... ·...

Documents