w06 naprezenia glowne[tryb zgodno...
TRANSCRIPT
Wytrzymałość Wytrzymałość materiałówmateriałów
11
materiałówmateriałów
Naprężenia główne na przykładzie Naprężenia główne na przykładzie płaskiego stanu naprężeń płaskiego stanu naprężeń
Tensor naprężeńTensor naprężeń
Naprężenia w stanie przestrzennym:Naprężenia w stanie przestrzennym:
τστττσ
= yzyyyx
xzxyxx
σ
22
στττστ=
zzzyzx
yzyyyxσ
Układ współrzędnych jest zwykle wybrany w ten sposób, że os Układ współrzędnych jest zwykle wybrany w ten sposób, że os zz ma ma
kierunek pionowy, a osie kierunek pionowy, a osie xx i i yy zlokalizowane są w płaszczyźnie poziomej.zlokalizowane są w płaszczyźnie poziomej.
Kierunek osi Kierunek osi xx i i y y też jest dobierany zwykle na podstawie pewnych też jest dobierany zwykle na podstawie pewnych
przesłanek, np. wzdłuż osi belki. Z tymże te kierunki nie muszą być przesłanek, np. wzdłuż osi belki. Z tymże te kierunki nie muszą być najważniejszymi i nie ma powodu, żeby sprawdzać inne kierunki lub szukać najważniejszymi i nie ma powodu, żeby sprawdzać inne kierunki lub szukać zastępczych naprężeń według hipotez wytrzymałościowych.zastępczych naprężeń według hipotez wytrzymałościowych.
Płaski stan naprężeniaPłaski stan naprężenia
Można dobrać w taki sposób układ współrzędnych, że naprężenia normalne Można dobrać w taki sposób układ współrzędnych, że naprężenia normalne przyjmą wartości ekstremalne a naprężenia styczne przyjmą wartości przyjmą wartości ekstremalne a naprężenia styczne przyjmą wartości zerowe. Naprężenia normalne w takim układzie są nazywane naprężeniami zerowe. Naprężenia normalne w takim układzie są nazywane naprężeniami głównymi, a kierunki osi kierunkami głównymi. Metody poszukiwania głównymi, a kierunki osi kierunkami głównymi. Metody poszukiwania kierunków głównych zostaną wykonane na przykładzie płaskiego stanu kierunków głównych zostaną wykonane na przykładzie płaskiego stanu naprężeń (PSN).naprężeń (PSN).naprężeń (PSN).naprężeń (PSN).
σττσ
=yyyx
xyxxσ
Naprężenia w PSN w dowolnym Naprężenia w PSN w dowolnym układzie współrzędnych:układzie współrzędnych:
Transformacja naprężeń Transformacja naprężeń pomiędzy układami obróconymi pomiędzy układami obróconymi
Zależność pomiędzy składowymi tensora stanu naprężeń zostanie Zależność pomiędzy składowymi tensora stanu naprężeń zostanie
wyprowadzona na podstawie równowagi elementu o szerokości wyprowadzona na podstawie równowagi elementu o szerokości bb. .
Zestawienie podstawowych Zestawienie podstawowych zależności:zależności: dt=BC
dtdA ⋅= b
( )dtdx=ϕsin ( )
dtdy=ϕcos
dxdA x ⋅= b dydA y ⋅= b
( )dtdx⋅⋅=ϕ
b
bsin ( )
dtdy⋅⋅=ϕ
b
bcos
( )dAdA x=ϕsin ( )
dA
dA y=ϕcos
Transformacja naprężeń Transformacja naprężeń pomiędzy układami obróconymi pomiędzy układami obróconymi
Naprężenia na ścianie ukośnej można rozłożyć na kierunki osi x i yNaprężenia na ścianie ukośnej można rozłożyć na kierunki osi x i y
tak jak jest to pokazane na rysunku z prawej strony zgodnietak jak jest to pokazane na rysunku z prawej strony zgodnie
z następującymi zależności:z następującymi zależności:
( )ϕ
ϕ
σσ
=ϕ ysin ( )ϕ
ϕ
σσ
=ϕ xcosϕ ϕ
( )ϕ
ϕ
ττ
=ϕ xsin ( )ϕ
ϕ
ττ
=ϕ ycosorazoraz
Transformacja naprężeń Transformacja naprężeń pomiędzy układami obróconymi pomiędzy układami obróconymi
Suma rzutów składowych sił na kierunek osi x:Suma rzutów składowych sił na kierunek osi x:
dt=BC( )ϕ==⋅ cosdAdAdy yb
0=σ⋅⋅+τ⋅⋅−τ⋅⋅−σ⋅⋅− ϕϕ xxyxxx bbbb dtdtdxdy
( )ϕ==⋅ sindAdAdx xbdAdt =⋅b
Po uwzględnieniu powyższych Po uwzględnieniu powyższych zależności mamy:zależności mamy:
( )ϕ==⋅ sindAdAdx xb
( ) ( )0
sincos
=σ⋅+τ⋅−
+τ⋅ϕ−σ⋅ϕ−
ϕϕ xx
yxxx
dAdA
dAdA
( ) ( ) 0sincos =σ+τ−τ⋅ϕ−σ⋅ϕ− ϕϕ xxyxxx
Ostatecznie:Ostatecznie:
Transformacja naprężeń Transformacja naprężeń pomiędzy układami obróconymi pomiędzy układami obróconymi
Suma rzutów składowych sił na kierunek osi y:Suma rzutów składowych sił na kierunek osi y:
dt=BC( )ϕ==⋅ cosdAdAdy yb
0=σ⋅⋅+τ⋅⋅+τ⋅⋅−σ⋅⋅− ϕϕ yyxyyy bbbb dtdtdydx
( )ϕ==⋅ sindAdAdx xbdAdt =⋅b
Po uwzględnieniu powyższych Po uwzględnieniu powyższych zależności mamy:zależności mamy:
( )ϕ==⋅ sindAdAdx xb
( ) ( )0
cossin
=σ⋅+τ⋅+
+τ⋅ϕ−σ⋅ϕ−
ϕϕ yy
xyyy
dAdA
dAdA
( ) ( ) 0cossin =σ+τ+τ⋅ϕ−σ⋅ϕ− ϕϕ yyxyyy
Ostatecznie:Ostatecznie:
Transformacja naprężeń Transformacja naprężeń pomiędzy układami obróconymi pomiędzy układami obróconymi
Zestawienie równań równowagi: Zestawienie równań równowagi:
Składowe naprężeń są równe:Składowe naprężeń są równe:
( ) ( ) 0cossin =σ+τ+τ⋅ϕ−σ⋅ϕ− ϕϕ yyxyyy
( ) ( ) 0sincos =σ+τ−τ⋅ϕ−σ⋅ϕ− ϕϕ xxyxxx
Składowe naprężeń są równe:Składowe naprężeń są równe:
( )ϕσ=σ ϕϕ siny( )ϕσ=σ ϕϕ cosx
( )ϕτ=τ ϕϕ sinx( )ϕτ=τ ϕϕ cosy
Zestawienie równań równowagi: Zestawienie równań równowagi:
( ) ( ) ( ) ( ) 0sincoscossin =ϕσ+ϕτ+ϕτ−ϕσ− ϕϕxyyy
( ) ( ) ( ) ( ) 0cossinsincos =ϕσ+ϕτ−ϕτ−ϕσ− ϕϕxyxx
yxxy τ=τ
Transformacja naprężeń Transformacja naprężeń pomiędzy układami obróconymi pomiędzy układami obróconymi
Zestawienie równań równowagi: Zestawienie równań równowagi:
( ) ( ) ( ) ( ) 0sincoscossin =ϕσ+ϕτ+ϕτ−ϕσ− ϕϕxyyy
( ) ( ) ( ) ( ) 0cossinsincos =ϕσ+ϕτ−ϕτ−ϕσ− ϕϕxyxx
Z powyższego układu równań wyznaczamyZ powyższego układu równań wyznaczamy
σσϕϕ i i ττϕϕ, które są równe: , które są równe:
( ) ( ) ( ) ( )ϕϕτ+ϕσ+ϕσ=σϕ cossin2sincos 22xyyyxx
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]ϕ−ϕτ−ϕϕσ−σ=τϕ22 cossinsincos xyxxyy
Transformacja naprężeń Transformacja naprężeń pomiędzy układami obróconymi pomiędzy układami obróconymi
Naprężenia w układzie współrzędnych obróconym o Naprężenia w układzie współrzędnych obróconym o ϕϕ są są
równe: równe:
( ) ( ) ( ) ( )ϕϕτ+ϕσ+ϕσ=σϕ cossin2sincos 22xyyyxx
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]ϕ−ϕτ−ϕϕσ−σ=τϕ22 cossinsincos xyxxyy( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]ϕ−ϕτ−ϕϕσ−σ=τϕ cossinsincos xyxxyy
( ) ( )2
2cos1sin 2 ϕ−=ϕ
Podstawiając do powyższych równań zależności: Podstawiając do powyższych równań zależności:
otrzymamy: otrzymamy:
( ) ( )2
2cos1cos2 ϕ+=ϕ
( ) ( ) ( )ϕ=ϕϕ 2sincossin2
( ) ( )ϕτ+ϕσ−σ
+σ+σ
=σϕ 2sin2cos22 xy
yyxxyyxx
( ) ( )ϕτ−ϕσ−σ
=τϕ 2cos2sin2 xy
xxyy
( ) ( ) ( )ϕ−ϕ=ϕ 22 sincos2cos
Transformacja naprężeń Transformacja naprężeń pomiędzy układami obróconymi pomiędzy układami obróconymi
Naprężenia w układzie współrzędnych obróconym o Naprężenia w układzie współrzędnych obróconym o ϕϕ są są
równe: równe:
( ) ( )ϕτ+ϕσ−σ
+σ+σ
=σϕ 2sin2cos22 xy
yyxxyyxxn
( ) ( )ϕτ−ϕσ−σ
=τϕ 2cos2sin2 xy
xxyy
( ) ( )ϕτ−ϕσ−σ
+σ+σ
=σϕ 2sin2cos22 xy
yyxxyyxxt
Naprężenia i kierunki główne naprężeńNaprężenia i kierunki główne naprężeń
Naprężenia główne są naprężenia, które przyjmują wartości Naprężenia główne są naprężenia, które przyjmują wartości ekstremalneekstremalne..
Ekstremum występuje wtedy, gdy pochodna względem zmiennej funkcji Ekstremum występuje wtedy, gdy pochodna względem zmiennej funkcji (w tym przypadku względem kąta (w tym przypadku względem kąta ϕϕ) jest równa zero. Pochodna ) jest równa zero. Pochodna σσϕϕwzględem względem ϕϕ opisana jest wzorem:opisana jest wzorem:
Kąt pomiędzy osiami dowolnego układu współrzędnych i kierunkami Kąt pomiędzy osiami dowolnego układu współrzędnych i kierunkami głównymi czyli pomiędzy x i n: głównymi czyli pomiędzy x i n:
względem względem ϕϕ opisana jest wzorem:opisana jest wzorem:
( ) ( ) ( )ϕτ+ϕσ−σ−=ϕσϕ 2cos22sin xyyyxxd
d
0=ϕσ
ϕ=ϕ
ϕ
od
d ( ) ( ) ( )oxyoyyxx ϕτ+ϕσ−σ−= 2cos22sin0
( )yyxx
xyo σ−σ
τ=ϕ
22tan
Naprężenia i kierunki główne naprężeńNaprężenia i kierunki główne naprężeń
Naprężenia w układzie z kierunkami głównymi są równe:Naprężenia w układzie z kierunkami głównymi są równe:
( ) ( )oxyoyyxxyyxx
n ϕτ+ϕσ−σ
+σ+σ
=σϕ 2sin2cos22
a kąt a kąt ϕϕoo musi spełnić równanie: musi spełnić równanie:
( )yyxx
xyo σ−σ
τ=ϕ
22tan
( ) ( )oxyoxxyy ϕτ−ϕ
σ−σ=τϕ 2cos2sin
2
( ) ( )oxyoyyxxyyxx
t ϕτ−ϕσ−σ
+σ+σ
=σϕ 2sin2cos22
Naprężenia i kierunki główne naprężeńNaprężenia i kierunki główne naprężeń
Naprężenia w układzie z kierunkami głównymi są równe:Naprężenia w układzie z kierunkami głównymi są równe:
2
2
22 xyyyxxyyxx
n τ+
σ−σ+
σ+σ=σϕ
Naprężenia normalne wzdłuż kierunków głównych przyjmują wartości Naprężenia normalne wzdłuż kierunków głównych przyjmują wartości ekstremalne, a naprężenia styczne są równe zero.ekstremalne, a naprężenia styczne są równe zero.
0=τϕ
2
2
22 xyyyxxyyxx
t τ+
σ−σ−
σ+σ=σϕ
Koło Mohra dla naprężeńKoło Mohra dla naprężeń
Naprężenia główne można wyznaczyć na podstawie koła Mohra, które Naprężenia główne można wyznaczyć na podstawie koła Mohra, które wyznaczamy za pomocą dwóch punktów A i B. Punkty A i B umieszczamy wyznaczamy za pomocą dwóch punktów A i B. Punkty A i B umieszczamy
w układzie współrzędnych o osiach w układzie współrzędnych o osiach σσ i i ττ. Punkty te mają następujące . Punkty te mają następujące
współrzędne A(współrzędne A(σσyyyy, , ττxyxy) i B) i B((σσxxxx, , --ττxyxy).).
Koło Mohra dla naprężeńKoło Mohra dla naprężeń
Naprężenia względem dowolnych osi na podstawie koła Mohra są Naprężenia względem dowolnych osi na podstawie koła Mohra są opisane za pomocą współrzędnych dwóch punktów A’ i B’, które są opisane za pomocą współrzędnych dwóch punktów A’ i B’, które są
punktami przecięcia koła Mohra oraz średnicy obróconej o kat 2punktami przecięcia koła Mohra oraz średnicy obróconej o kat 2ϕϕ, gdzie , gdzie ϕϕ jest katem pomiędzy osiami układów współrzędnych.jest katem pomiędzy osiami układów współrzędnych.
Koło Mohra dla naprężeńKoło Mohra dla naprężeń
Wzór na naprężenia główne:Wzór na naprężenia główne: 2
2
22 xyyyxxyyxx
minmax τ+
σ−σ±
σ+σ=σ
Długości odcinków na rysunku:Długości odcinków na rysunku:
yyxxODσ+σ
=2
yyxxODσ+σ
=
yyxxAC σ−σ=
xyBC τ= 2
( ) ( ) ( )222BCACAB +=
( ) ( )22 2 xyyyxxAB τ+σ−σ=
EDODOEmin −==σ
EDODOFmax +==σ
Koło Mohra dla naprężeńKoło Mohra dla naprężeń
Wzór na naprężenia główne na podstawie Koła Mohra:Wzór na naprężenia główne na podstawie Koła Mohra:
2
ABED =
EDODminmax ±=σ
( ) ( )22 2 xyyyxxAB τ+σ−σ=2
ED =
2yyxxOD
σ+σ=
2
2
22 xyyyxxyyxx
minmax τ+
σ−σ±
σ+σ=σ
( ) ( )22 22
1
2 xyyyxxyyxx
minmax τ+σ−σ±
σ+σ=σ
Analogia pomiędzy momentami Analogia pomiędzy momentami bezwładności i naprężeniamibezwładności i naprężeniami
Wzory transformacji pomiędzy dowolnymi układami obróconymi o kąt Wzory transformacji pomiędzy dowolnymi układami obróconymi o kąt ϕϕ: :
( ) ( )ϕ+ϕ−
++
= ξηηξηξ
ϕ 2sin2cos22
JJJJJ
J x
( ) ( )ϕ−ϕ−
++
= ηξηξ 2sin2cos JJJJJ
J
momenty momenty bezwładności bezwładności
( ) ( )ϕτ+ϕσ−σ
+σ+σ
=σϕ 2sin2cos22 xy
yyxxyyxxn
( ) ( )ϕτ−ϕσ−σ
=τϕ 2cos2sin2 xy
xxyy
( ) ( )ϕ−ϕ+= ξηηξηξ
ϕ 2sin2cos22
JJ y
( ) ( )ϕ−ϕ−
= ξηξη
ϕ 2cos2sin2
JJJ
J xy
( ) ( )ϕτ−ϕσ−σ
+σ+σ
=σϕ 2sin2cos22 xy
yyxxyyxxt
bezwładności bezwładności
naprężenianaprężenia
Analogia pomiędzy momentami Analogia pomiędzy momentami bezwładności i naprężeniamibezwładności i naprężeniami
Położenie osi głównych oraz wartości ekstremalne wartości głównych Położenie osi głównych oraz wartości ekstremalne wartości głównych ϕϕ: :
momenty momenty bezwładności bezwładności
maxmin
2
2
2 2
I I I II Iξ η ξ η
ξη
+ − = ± +
0=Jmomenty momenty bezwładności bezwładności
( )yyxx
xyo σ−σ
τ=ϕ
22tan
bezwładności bezwładności
naprężenianaprężenia
( )ηξ
ξη
−=ϕ
JJ
Jo
22tan
2
2
22 xyyyxxyyxx
minmax τ+
σ−σ±
σ+σ=σ
0=τϕ
0=ϕxyJ bezwładności bezwładności względem osi są względem osi są zawsze dodatnie zawsze dodatnie
naprężenia mogą naprężenia mogą przyjmować przyjmować wartości ujemne wartości ujemne
Przykład Przykład –– wyznaczyć naprężenia i kierunki wyznaczyć naprężenia i kierunki główne naprężeńgłówne naprężeń
Dane:Dane:
σσxxxx==35.02035.020kPakPa
σσyyyy==--0.6950.695kPakPaσσyyyy==--0.6950.695kPakPa
ττxyxy==ττyxyx==199.73199.73kPakPa
( )yyxx
xyo σ−σ
τ=ϕ
22tan
2
2
22 xyyyxxyyxx
minmax τ+
σ−σ±
σ+σ=σ
Naprężenia główne:Naprężenia główne:
Wzór na wyznaczenie Wzór na wyznaczenie kierunków głównych:kierunków głównych:
Przykład Przykład –– wyznaczyć naprężenia i kierunki wyznaczyć naprężenia i kierunki główne naprężeńgłówne naprężeń
Dane:Dane:
σσxxxx==35.02035.020kPakPa
σσyyyy==--0.6950.695kPakPa
ττxyxy==ττyxyx==199.73199.73kPakPa
Naprężenia główne:Naprężenia główne:
( )yyxx
xyo σ−σ
τ=ϕ
22tan
( )22
73.1992
695.0020.35
2
695.0020.35kPa
kPakPakPakPa
minmax +
+±−=σ
2
2
22 xyyyxxyyxx
minmax τ+
σ−σ±
σ+σ=σ
( )kPakPa
kPao 695.0020.35
73.19922tan
+⋅=ϕ
Naprężenia główne:Naprężenia główne:
Wzór na wyznaczenie kierunków głównych:Wzór na wyznaczenie kierunków głównych:
Przykład Przykład –– wyznaczyć naprężenia i kierunki wyznaczyć naprężenia i kierunki główne naprężeńgłówne naprężeń
( )22
73.1992
695.0020.35
2
695.0020.35kPa
kPakPakPakPa
minmax +
+±−=σ
kPakPaminmax 5267.2001625.17 ±=σ
Naprężenia główne:Naprężenia główne:
( ) 1847.11695.0020.35
73.19922tan =
+⋅=ϕ
kPakPa
kPao
min
kPamax 69.217=σkPamin 36.183−=σ
oo 89.842 =ϕ
oo 45.42=ϕ
Wzór na wyznaczenie kierunków głównych:Wzór na wyznaczenie kierunków głównych:
0=τϕo
PrzykładPrzykładskładowe tensora naprężeń dla całej tarczyskładowe tensora naprężeń dla całej tarczy