Кафедра 609 Столярчук В.А.

2016

Учебное пособие

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

по дисциплине «Модели и методы анализа проектных решений»

7-ой семестрредакция от 04.10.16

1

ОглавлениеОбщие требования, предъявляемые при выполнении контрольных работ.........................................................................4

Введение......................................................................................................................................................................................4

Контрольная работа №1 (Кр.1) Создание геометрической модели объекта с разными свойствами конечных элементов....................................................................................................................................................................................5

Контрольная работа №2 (Кр.2) Эффективность алгоритма оптимизации сетки КЭ...............................................10

Контрольная работа №3 (Кр.3) Оценка качества сетки КЭ............................................................................................15

Контрольная работа №4 (Кр.4) Сходимость результатов решения задачи МКЭ.........................................................20

Исследование сходимости результатов расчетов в CAE Sigma.......................................................................................21

Исследование сходимости результатов расчетов в CAE Nastran....................................................................................31

Обязательное задание Достоинства и недостатки программных систем, использованных при выполнении контрольных работ.................................................................................................................................................................33

Контрольная работа №5(Кр.5) Исследование эффективности алгоритма упаковки матриц.....................................33

Контрольная работа №6 (Кр.6) Исследование эффективности алгоритмов упорядочения матриц..........................37

Организация работы в семестре и во время сессии............................................................................................................40

Приложение 1 Пояснения по использованию программы SigmaPlot..................................................................................41

Приложение 2 Получение значений напряжений в САЕ Nastran........................................................................................43

Приложение 3 Описание назначения массивов комплекса Sigma....................................................................................45

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

«Интеллект состоит в том, чтобы узнавать подобие разных вещей

и разницу подобных»Шарль Луи де Монтескье

(1689-1755)

Точно знают, только когда мало знают. Вместе со знанием растёт сомнение.

Иоганн Вольфганг Гете.(1749-1832)

Прикладная направленность контрольных работ 7-го семестра заключается в расчете напряжённо-деформированного состояния плоской пластины методом конечных элементов в учебной системе Sigma и коммерческой системе Nastran.

Обучающими элементами контрольных работ 7-го семестра являются:

2

освоение функционала подсистемы автоматизированной подготовки исходных данных Preproсessor для решения задач в учебной конечно-элементной системе Sigma и углублённое знакомство студентов с САЕ - системами (учебной системой Sigma и коммерческими системами конечно-элементного анализа Nastran и (или) AnSys);

исследование работы алгоритмов МКЭ в системах Nastran и (или) AnSys на примере реализации учебной САЕ Sigma;

исследование влияния входных параметров алгоритма МКЭ на результаты решения задачи;

получение навыков разработки отдельных подсистем и модулей для системы Sigma на основе других алгоритмов;

изучение и применение методов обработки результатов численного эксперимента;

приобретение опыта в практических вопросах разработки математического обеспечения и конструирования соответствующих алгоритмов для САЕ - систем.

Детальное рассмотрение всех аспектов использования программной системы Sigma, вопросы, связанные с алгоритмизацией, а также выполнением курсовых работ приведено в подсистеме «Помощь» комплекса Sigma.

Файл подсистемы «Помощь» включает следующие разделы:Теоретические основы.

Программный комплекс Sigma

Работа с программным комплексом

Подпрограммы расчетного блока

Дополнительные материалы

Примеры выполнения отдельных заданий курсовых и контрольных работ в Sigma и Nastran.

Почти каждый раздел делится на главы. Число этих глав 51.

, Общиетребования предъявляемыепри .выполнении контрольных работ

1. Отчеты по контрольным работам (Кр) должны заканчиваться выводом или заключением, кратко формулирующим итоги выполнения Кр.

3

2. Все графики, картины напряженно-деформированного состояния и другие графические материалы отчета должны снабжаться анализом, комментариями или выводом.

3. Все редактируемые подпрограммы (скопированные, переделанные, сделанные самостоятельно) являются разработкой студента, за которые он полностью ответственен.

Код редактируемых подпрограмм должен предваряться фамилией исполнителя в первой строке файла.

4. Имена папок и файлов проекта должны быть написаны латиницейбез использования знака подчеркивания и содержать не более 8-ми символов.

Путь к файлам проекта должен содержать только латинские символы и тоже не содержать знаков подчеркивания.

5. Дополнительные файлы и подпрограммы должны размещаться в папке проекта. При выполнении этого правила проект может быть рассчитан на любом компьютере под управлением Windows.

.ВведениеВариант задания контрольных работ совпадает с вариантом курсовой работы

6-го семестра, включая геометрию пластины, граничные условия и внешние воздействия.

Все изменения в задании, внесенные в процессе выполнения КР 6-го семестра, должны быть учтены в контрольных работах 7-го семестра. Так как исходными данными для выполнения заданий контрольных работ семестра 7 являются очертания областей пониженных, средних и повышенных напряжений, то нагрузка и толщина, использованные в КР семестра 6 при получении этих областей, являются исходными данными для контрольных работ 7-го семестра.

Студент может использовать все наработки КР 6-го семестра, внося необходимые изменения в соответствии с заданием контрольных работ 7-го семестра.

Выполнение Кр 7-го семестра проводится в несколько модифицированной версии Sigma 7.2 (см. сайт). Отличие от версии Sigma 7.1. 6-го семестра заключается в исправлениях некоторых ошибок и добавления функционала в модуль определения областей опасных (разрушающих) напряжений. Правильно подготовленный проект 6-го семестра должен раскрываться в модифицированной версии Sigma 7.2.

Запускать Sigma 7.2 надо от имени администратора.

По мере прохождения в 7-ом семестре соответствующих разделов лекционного материала студент выполняет следующие 4 контрольные работы:

Кр.1. Создание геометрической модели объекта с разными свойствами конечных элементов.Кр2. Эффективность алгоритмов оптимизация сетки КЭ

4

Кр.3. Оценка качества сетки КЭКр.4. Сходимость результатов решения задачи МКЭ.

Дополнительные Кр на повышенную оценку.

Кр.5. Исследование эффективности алгоритма упаковки матриц.Кр.6. Исследование эффективности алгоритмов упорядочения матриц.

Отчеты по контрольным работам должны быть объединены в один Word-овский файл, который должен начинаться с титульного листа, за которым следует поместить рисунок итогового задания курсовой работы 6-го семестра с размерами в соответствии с требованиями ЕСКД и примерным отображением функций нагрузки на рисунке рассчитываемой модели. Необходимо также привести формулы нагрузки с указанием цифровых значений всех коэффициентов, указать точки начала отсчета координат функций нагрузки,

указать нули функции, значение толщины δном = δminпракт

, найденной в П.4. КР 6-го семестра.

№1 ( .1Контрольная работа Кр ) Создание геометрической модели объекта с разными свойствами конечных

элементов

Кр.1 состоит из предварительного и практического этапов и начинается с освоения функционала Preproсessor - подсистемы подготовки данных (см. сайт) и повторного решения задачи КР 6-го семестра, но уже с использованием Preproсessor-а.

Раздел 1.1. Освоение функционала препроцессора. Для выполнения задания Кр.1 в Preproсessor-е создается проект с

расширением *.prp и с помощью функционала Preproсessor-а разрабатывается геометрическая модель объекта итогового задания 6-го семестра, реализуются граничные условия и внешние воздействия в соответствии с итоговым заданием КР 6-го семестра при толщине пластины

δном = δ minпракт

,найденной в П.4 КР 6-го семестра с тем материалом и полученная таким образом полная модель средствами Preproсessor-а экспортируется в Sigma. После этого полная модель рассчитывается в Sigma.

При создании геометрической модели в Preproсessor-е допускается импортировать в Preproсessor геометрическую модель, разработанную в Sigma при решении задачи 6-го семестра.Примечание:

5

При импортировании геометрической модели, разработанной в 6-ом семестре, в Preproсessor-е могут возникнуть лишние точки. Эти “лишние” точки служат центрами для дуг, так как Preproсessor заменяет некоторые прямые - стороны зон, образованнве тремя узлами, дугами. Это может стать критичным для сторон зон, образующих внешнюю геометрию объекта к узлам которых приложены силы (силы могут прикладываться не так как ожидаем). Но удалять эти точки нельзя, иначе вместе с ними удалятся прямые, которые Preproсessor воспринимает как дуги.Причина появления “лишних точек” состоит в возможных ошибках построения прямых в Sigma, в результате чего в представлении препроцессора прямая становится ломаной и препроцессор заменяет её дугой. Не исключено что причиной этого является недостаточная точность представления координат точек в подсистеме геометрического моделирования Sigma. Но скорее всего, препроцессор слишком строг и математичен, ибо строился идеалистами без задания некоей дельты при определении понятия прямой линии.

Если в моделях с лишними точками силы не будут прикладываться ожидаемым образом, то в таких случаях у нас нет другого выхода, как построить геометрическую модель прямо в препроцессоре.

Следует иметь в виду, что геометрическая модель, граничные условия и внешние воздействия должны быть идентичны модели, решенной в 6-ом семестре.

При экспорте только геометрической модели в указанной директории создается обычный для Sigma файл *.sfm .

При экспорте полной модели в выбранной папке создаются 5 дополнительных файлов:

prep_griddm.nodes – файл с номерами и координатами узлов; prep_griddm.elems – файл с номерами КЭ и номерами узлов, образующих КЭ; materials.elems – файл с характеристиками свойств КЭ (номера свойства,

характеристками материала КЭ, значение толщины КЭ) bounds.nodes – файл со значениями номеров закрепленных узлов признаками

закрепления (по осям Х и Y);forces.nodes – файл с номерами нагруженных узлов и со значениями сил в этих

узлах по осям X и Y). В этой же папке необходимо создать проект Sigma. При конфигурировании

проекта необходимо указать только файл формы *.sfm . Напомним, что номера и координаты узлов, образующих сетку КЭ, в Sigma без

использования Preproсessor-а выполняет подпрограмма GRIDDM.for, функцию назначения границ подобластей КЭ определенного свойства и назначение номера этого свойства выполняет подпрограмма FINDNOOD.for, функцию реализации граничных условий выполняет подпрограмма BOUND.for , а функцию приложения сил в узлах – FORCE.for.

Если в папке проекта находятся 5 вышеперечисленных файла, то программа будет автоматически использовать именно эти файлы, игнорируя подпрограммы GRIDDM.for, FINDNOOD.for, BOUND.for и FORCE.for, если даже указать их в конфигурации проекта. Поэтому при расчете пластины, подготовленной в Preproсessor-е используются, повторяем, prep_griddm.nodes, prep_griddm.elems, materials.elems, bounds.nodes и forces.nodes.

Доказательством идентичности задачи, подготовленной к расчету с использованием Preproсessor-а, должны служить в отчете скриншоты геометрических моделей 6-го семестра из Sigma и 7-го семестра из Preproсessor-а, таблицами значений сил в узлах при решении задачи средствами только Sigma и с

6

использованием Preproсessor-а и скриншоты результатов решения задачи проектами 6-го и 7-го семестров при NRC=3. Следует заметить, что сравнение сил в узлах имеет смысл только при полном совпадении положения нагруженных узлов сетки, подготовленной в препроцессоре, с положением нагруженных узлов сетки, подготовленной в Sigma. Если этого нет, то следует сравнивать суммарные силы по участкам, как это делалось в П.2 КР 6-го семестра.

В заключение предварительного этапа выполнения Кр.1. в отчете должна присутствовать таблица сравнения верхних и нижних значений всех напряжений в пластине при решении задачи только в Sigma и с использованием Preproсessor-а.

Напоминаем, что все рисунки должны быть снабжены комментариями после некоторого анализа.

После выполнения подгогтовительного этапа студент приступает к выполнению основной части работы Кр.1.

Раздел 1.2. Формирование в препроцессоре новой геометрической модели. В разделе 1.2. Кр.1. на основе результатов КР 6-го семестра по выделению

подобластей повышенных и пониженных значений напряжений студент в Preproсessor-е создает новую форму геометрической модели (файл .sfm) с новым делением пластины на 8-ми-узловые зоны с тем, чтобы границы некоторых зон приблизительно совпадали с границами подобластей с повышенным и пониженным уровнями напряжений. Т.е. новая форма геометрической модели должна более адекватно описывать найденные в КР 6-го семестра области повышенных и пониженных значений напряжений.

Требования к формированию зон и их сторон совпадают с требованиями пункта Кр.1 семестра 6.

Для сторон, образующих внешнюю геометрию пластины, рекомендуется между основными узлами использовать только простейшие геометрические линии: прямая, окружность. Стороны внутри пластины могут иметь изломы в промежуточных узлах для более адекватного описания границ областей повышенных и пониженных значений напряжений.

Экспортирует новую форму геометрической модели, созданной в Preproсessor-е, в выбранную директорию, где средствами Sigma, создает новый проект, указав в конфигурации проекта новую форму геометрической модели.

Заканчивает конфигурирацию проекта 7-го семестра, сделав редактируемыми BOUND и FORCE , после чего копирует в эту папку BOUND и FORCE из КР 6-го семестра, замещая тем самым стандартные BOUND.for и FORCE.for. В созданном проекте 7-го семестра должна использоваться новая геометрическая модель, подготовленная в Preproсessor-е, совместно с подпрограммами BOUND и FORCE, разработанными и отлаженными студентом в процессе выполнения КР 6-го семестра.

В этой же папке должна находиться форма геометрической модели КР 6-го семестра с тем, чтобы была возможность рассчитать проект со старой и новой формой геометрической модели. Поэтому в названии файла геометрии 6-го семестра должна присутствовать цифра 6, а 7-го семестра – цифра 7. Контрольные расчеты

7

должны проводиться при толщине пластины, равной δном = δ minпракт

(найденной в П.4. КР 6-го семестра) с использованием того же материала.

Проект должен работать в Sigma 7.2 с обоими файлами при указании имени соответствующего файла .sfm в конфигурации проекта.

Раздел 1.3. Реализация модели объекта с разными свойствами КЭ в подобластях.

В разделе 1.3 Кр.1 необходимо реализовать несколько свойств КЭ в пластине и подобрать наиболее оптимальные соотношения их толщин.

Реализация нескольких свойств КЭ.

Студент, модифицируя подпрограммы FORMDD.for и (или) GRIDDM.for (выбрав наиболее рациональный или приемлемый для себя способ), реализует назначение разных свойств КЭ в подобластях с малым, средним и высоким уровнями напряжений.

При этом: в подобластях со средним уровнем напряжений использует

материал Алюминиевый сплав КР 6-го семестра; в подобластях с пониженным уровнем напряжений – материал 6061-Т651 Al Plate (из банка материалов FEMAP); в подобластях с повышенным уровнем напряжений – материал 2024-Т351 Al Plate (из банка материалов FEMAP); Характеристики используемых материалов.

Алюминиевый сплав КР 6-го семестра

6061-Т651 Al Plate 2024-Т351 Al Plate

Е=7200000.0 Н/см2 μ = 0.3[ σ ] растяжения= 38000.0 Па[ σ ] сжатия= 25000.0 Па

Е= 9900000.0 Н/см2 μ = 0.33[ σ ] растяжения = 35000.0 Па[ σ ] сжатия= 20000.0 Па

Е= 10700000Н/см2; μ = 0.33[ σ ] растяжения =42000 Па;[ σ ] сжатия= 28000.0 Па

Задание номера свойства конечного элемента может быть осуществлено двумя способами (демонстрация - в Example3):

в программе GRIDDM.for вызовом подпрограммы PROPERTYGRIDDM.for;в программе FORMDD.for вызовом подпрограммы PROPERTYFORMDD.for.Возможны и другие варианты.

Подпрограммы PROPERTYGRIDDM.for и PROPERTYFORMDD.for находятся в файле FINDNODD.for.

Подпрограмма PROPERTYGRIDDM.for назначает номера свойств конечным элементам, находящимся в конкретных зонах, в соответствии с номерами этих зон.

Подпрограмма PROPERTYFORMDD.for назначает номера свойств КЭ исходя из геометрического расположения КЭ.

8

При конкретной реализации необходимо составить алгоритмы, которые наилучшим образом будут назначать номера свойства конкретному элементу тем или иным способом.

Нахождение оптимальных соотношений толщин.

Подобрать при NRC=7 значения толщин для всех свойств КЭ из условия обеспечения равнопрочности, которое в идеале обозначает выведение всех подобластей пластины на уровень максимально возможных (допускаемых) для этих подобластей напряжений. Удобнее всего это делать с помощью опции «Проверка на разрушение» модуля графического вывода результатов расчета

Учитывая, что плотность материала для разных свойств принимается одинаковой и равной 0.0028кг/см3, такой подход должен привести принципиально к конструкции наименьшей массы, если бы не ограничение, что минимальное значение толщины не может быть меньше технологически допустимой 0.1см.

Тем не менее, необходимо будет сравнить массы пластины, выполненной из одного и нескольких материалов. Площади зон указаны при выводе окна «Структура зон» подсистемы геометрического моделирования.

Точность задания толщин не должна превышать 0.01см. Задание разных свойств КЭ рассчитываемого объекта ставит целью:а) повысить общий уровень напряжений в пластине (до разумных или

возможных пределов), так как более высокие значения напряжений подсчитываются МКЭ точнее, а, следовательно, доверия к получаемым результатам расчета МКЭ будет больше. Помимо этого, при высоких значениях напряжений легче обеспечивается сходимость результатов, что является темой выполнения следующих пунктов КР.

б) в большей степени использовать несущие способности материалов, из которых изготовлена конструкция, что в идеале, как уже говорилось, позволит уменьшить массу пластины.

в) снизить резкие пики напряжений, выровнять, насколько это окажется возможным, значения напряжений по всей пластине или добиться плавного перехода от одного значения к другому на участках пластины, не превысив, конечно, допускаемых напряжений.

Следует иметь в виду, что для достижения всех этих целей возможно придется в некоторых местах увеличить толщину, отказавшись от назначения её минимально необходимой. Такие случаи надо отдельно обговорить в отчете.

Для реализации п.1.3 удобно пользоваться минимальным количеством цветовых градаций шкалы при выводе графического изображения.

Проект должен правильно рассчитывать до NRC=12.После этого провести анализ влияния характеристик свойств КЭ на результаты

вычислений:Таблица 1.3.

Максимальные значения напряжений при NRC=7 Максимальная . разница в % для

напряженияВид напряжения Сетка7-го семестра 1св Сетка 7-го семестра 3свверхнее нижнее верхнее нижнее

9

по Х 12700 -10800 30300 -21100по Y 9800 -21100 30000 -24500касательное 6400 -4100 7100 -80001-ое главное 13200 -10400 32000 -197002-ое главное 9600 -24100 29100 -27500эквивалентное 21600 1900 30200 3200максимальное в пластине 21600 -24100 32000 -27500Анализ следует проводить при NRC=7, заполнив таблицу 1.3., в которой

указать диапазоны максимальных значений всех видов напряжений, получающихся в результате расчета на новой сетке при использовании одного свойства КЭ при толщине, равной δном , полученной в П.4. Кр 6-го семестра и при использовании нескольких свойств при оптимальных соотношениях толщин, найденных для этих свойств в разделе 1.3. Подсчитать % изменения этих максимальных значений. Указать максимальное значение (в %) изменения напряжений в результате изменения характеристик свойств КЭ и сделать выводы по влиянию изменения этих характеристик на результаты расчета МКЭ.

Оформление отчета по Кр.1.

Отчет по Кр.1 должен содержать:Раздел 1.1.

скриншоты геометрической модели из КР 6-го семестра и модели из Preproсessor-а , а также полную модель, подготовленную в Preproсessor-е в следующем виде:

Рис. 1.

10

Рис.2

при NRC=3 в одной строке привести скриншоты графических результатов решения задачи Кр 6-го семестра в Sigma без использования Preproсessor-а и 7-го семестра с использованием Preproсessor-а с номерами узлов;

при NRC=3 таблицу со значениями: а) суммарных сил в узлах из проекта 6-го семестра; б) суммарных сил в узлах полной модели (Рис.2), сформированной Preproсessor-ом в) суммарных сил в узлах после экспорта полной модели в Sigma (после расчета в Sigma); при NRC=3 таблица сравнения максимальных значений напряжений при

решении задачи только в Sigma и в Sigma с использованием полной модели из Preproсessor-а типа:

Таблица 1.1.Максимальные значения напряжений при NRC=3 1 свойство Максимальная .

разница в % для напряженияВид напряжения Сетка 6-го семестра Сетка из Preprocessora

верхнее нижнее верхнее нижнеепо Х 15900 -13400 16400 -13400по Y 11100 -22800 11100 -23000касательное 4400 -4600 4200 -47001-ое главное 16700 -11200 17000 -112002-ое главное 10400 -22900 10500 -23100эквивалентное 20500 4600 20600 4600максимальное в пластине 20500 -22900 20600 -23000

Далее должен присутствовать анализ результатов сравнения и вывод по функционалу Preproсessor-а с указанием замеченных недостатков, а также предложениями по совершенствованию программы.

Раздел 1.2.

11

при NRC=7 в одной строке скриншот результатов решения задачи КР 6-го семестра при NRC=7 с выделенными подобластями пониженных средних и повышенных значений напряжений (из КР 6-го семестра), скриншот геометрической модели нового разбиения из Preproсessor-а и скриншот того же разбиения после экспорта в Sigma;

Под картинками привести значения диапазонов пониженных, средних и повышенных напряжений, использованные в КР 6-го семестра при поиске очертаний соответствующих подобластей, и перечисление номеров зон нового разбиения, где будет реализовано то или иное свойство КЭ;

при NRC=7 для доказательства правильности построения новой геометрической модели поместить таблицы теоретических значений суммарных сил (интегралов с указанием пределов интегрирования) от распределённой нагрузки и её участков, а также значений сил на этих участках и сторонах, получающихся на старой и новой сетках. Указать причины расхождений;

при NRC=7 для доказательства правильности построения новой геометрической модели привести таблицу сравнения максимальных значений напряжений:

Таблица 1.2.Максимальные значения напряжений при NRC=7 1 свойство Максимальная .

разница в % для напряженияВид напряжения Сетка 6-го семестра Сетка 7-го семестра

верхнее нижнее верхнее нижнеепо Х 16900 -14300 12700 -10800по Y 13200 -23900 9800 -21100касательное 3600 -4800 6400 -41001-ое главное 17300 -13300 13200 -104002-ое главное 12700 -24100 9600 -24100эквивалентное 22700 3000 21600 1900максимальное в пластине 22700 -24100 21600 -24100

при NRC=7 для доказательства правильности построения новой геометрической модели в одной строке скриншот картинок эквивалентных напряжений со шкалами значений напряжений, с указанием зон на старой и новой сетках с приложенными силами и реализованными граничными условиями;

вывод по результатам выполнения раздела 1.2 Кр.1.

Раздел 1.3.

краткое описание использованного способа реализации разных свойств КЭ;

в одной строке при NRC=7:а) скриншот на новой сетке с указанием зон того вида напряжений (со

шкалой), при котором получаются наиболее опасные значения напряжения с использованием одного (первого) свойства КЭ при толщине, найденной для этого свойства в разделе 1.2.;

б) скриншот при NRC=7 с указанием зон того вида напряжений при котором получаются наиболее опасные значения (со шкалой значений) с использованием

12

нескольких свойств КЭ при толщинах, найденных для этих свойств в разделе 1.3.;

таблицу 1.3 с последующим анализом и выводами. При этом указать, где, в каком районе, в какой зоне и на каком свойстве возникают максимальные значения определяющего напряжения на новом разбиении с использованием нескольких свойств КЭ;

анализ нового разбиения по сравнению со старым, анализ полученных результатов, а также краткое сравнение уровней напряжений с оценкой плавности перехода от одних напряжений к другим (по картинам эквивалентных напряжений) с одним и несколькими свойствами КЭ;

Проверка.

Представляемый материал для проверки выполнения Кр.1 должен содержать

отдельную папку с проектом Sigma 6-го семестра, содержащую только 4 необходимых файла. Далее:1. папку punkt11, содержашую две папки: а) папку проекта препроцессора с приложенными силами, реализованными граничными условиями и заданными характеристиками используемого материала. б) папку, содержащую файлы полной модели этого проекта препроцессора, экспортированного в Sigma. В этой папке, помимо экспортированных файлов, должен быть ещё отдельно файл spr проекта, сформированный студентом в Sigma, который должен читать экспортированные файлы и рассчитывать проект 6-го семестра, сформированный в препроцессоре, без использования подпрограмм BOUND и FORCE прошлого семестра.

2. папку punkt12, содержашую две аналогичные папки:а) папку проекта препроцессора с новым делением на зоны (новой формой), но без формирования сетки и приложения нагрузок и реализации граничных условийб) папку, содержащую файл новой формы sfm проекта препроцессора, экспортированного в Sigma. В этой же папке должны быть файлы BOUND и FORCE 6-го семестра. С использованием экспортированного файла sfm и подпрограмм BOUND и FORCE в этой папке должен быть сформирован студентом новый проект Sigma.4. папку punkt13, содержащую проект с новой геометрической моделью и реализованными свойствами КЭ в подобластях.

Этот проект будет основным при дальнейшем выполнении контрольных работ 7-го семестра.

13

№2 ( .2)Контрольная работа Кр Эффективность алгоритма оптимизации сетки КЭ

Содержание работы Кр.2

Любой генератор сеток, как бы он ни был разумно построен, формирует сетку, содержащую те или иные недочеты. Поэтому при решении задачи методом конечных элементов сетку всегда подвергают оптимизации. Существует достаточно много алгоритмов оптимизации, учитывающие те или иные факторы. Наиболее простые из них стремятся привести форму большинства КЭ к равностороннему треугольнику.

Алгоритм оптимизации сетки КЭ в программе CAE Sigma основан на увеличении минимального угла «звезды» среди других углов конечных элементов, сходящихся в одном узле. Узел сетки, в котором сходятся несколько КЭ, называют «звездой». Программа REGULARIZATION.for отыскивает «звезду» с наименьшим углом, при этом «звезду», не лежащую на границе рассчитываемой области, и передвигает узел по биссектрисе этого минимального угла, тем самым увеличивая его значение. Понятно, что при этом будут уменьшаться значения других углов, образующих «звезду». Если какой-либо угол становится меньше первого минимального, то алгоритм переключается на новый минимальный угол. Если перемещение этого узла не приносит никакого эффекта в направлении всех биссектрис углов, отыскивается следующая «звезда» с минимальным углом и процесс повторяется. Более подробное описание алгоритма приведено в подсистеме «Помощь» CAE Sigma.

При прямом использовании алгоритма оптимизации сетки подпрограммой REGULARIZATION.for возможно изменение границ между свойствами КЭ, образующих рассчитываемый объект. Чтобы этого избежать необходимо «закрепить» узлы, лежащие на границах свойств КЭ.

При выполнении Кр.2 в процессе оптимизации сетки КЭграницы областей с разными свойствами КЭ не должны изменяться.

Неизменность границ свойств КЭ в процессе оптимизации сетки поддерживается подпрограммой FINDNODD.for, вызываемой из REGULARIZATION.for. Пример реализации FINDNODD.for можно посмотреть в Example 3.

Процесс «закрепления» узла в FINDNODD.for решается присвоением элементу массива NTMOVE с номером узла значения 1, т.е. NTMOVE(I)=1. Дело в том, что c помощью соответствующего массива INOUT в подпрограмме триангуляции GRIDDM.for узлы, лежащие на границе рассчитываемой области отделяются от внутренних узлов. Узлы, лежащие на границе области, имеют признак INOUT(I)=1, а внутренние узлы INOUT(I)=0. Поэтому вызываемая из GRIDDM.for подпрограмма оптимизации сетки REGULARIZATION.for благодаря значениям массива INOUT передвигает только внутренние узлы. Необходимо внутренние узлы, лежащие на границах, разделяющих зоны с разными свойствами КЭ, перевести в разряд граничных узлов. Это и происходит с помощью NTMOVE(I)=1.

14

Пример демонстрации сохранения границ свойств КЭ при оптимизации.

При выполнении П.3. необходимо:А) модифицировать программу FINDNODD.for под решаемую задачу и провести расчет при NRC=7 на оптимизированных сетках 6-го и 7-го семестров; Б) визуально оценить оптимизированные сетки, указав зоны, в которых алгоритм оптимизации работает наиболее интенсивно, и зоны, в которых его работа проявилась наименьшим образом. Попытаться указать причину того и иного явления. Отметить обнаруженные случаи некорректной работы алгоритма; В) подсчитать величины изменения минимального угла до и после оптимизации сеток, а также значения среднего минимального угла. Данные занести в таблицы, примерная форма которых представлена ниже. Г) сравнить и объяснить расхождение в результатах работы алгоритма оптимизации двух сеток КЭ, сделать максимально полное заключение об

Example 3Сетка после оптимизации

Границы между свойствами КЭ изменены

Реализация неправильная

Example 3Сетка после оптимизации

Границы между свойствами КЭ сохранены.

Реализация правильная

Example 3Сетка до оптимизации

15

особенностях, недостатках и эффективности работы алгоритма оптимизации сетки при выполнении функций, для которых он предназначен.

Таблица 2.1. Изменение минимального угла сетки в результате оптимизации в зависимости от числа КЭ для сетки 6-го семестра

nrc Число КЭ α min

до зона,№КЭ αmin

послезона,№КЭ

Δ=

α minпосле

-αmin

доΔ %

средний

α ср .minдо

средний

α ср .minпосле Δ =α ср .min

после-

α ср . minдо

Δ%

3 31.76 35.04 3,28 10.3478910

Среднее

Здесь:

αminдо

, α minпосле

, α ср .minдо

, α ср . minпосле

значения минимальных и средних минимальных углов для сеток 6-го и 7-го семестров до и после оптимизации.

№КЭ – номер КЭ, которому принадлежит минимальный угол. проценты подсчитываются по отношению к неоптимизированной сетке

Таблица 2.2. Изменение минимального угла сетки в результате оптимизации в зависимости от числа КЭ для сетки 7-го семестра

nrc Число КЭ α min

до зона,№КЭ α min

послезона,№КЭ

Δ=

αminпосле

-α min

доΔ %

средний

α ср .minдо средний

α ср .minпосле Δ Δ

%

3478910

Среднее

При этом, в случае возникновения до оптимизации одного и того же значения минимального угла при разных NRC (что может быть объяснено спецификой области и её разбиения) или когда значение мин. угла в процессе оптимизации, практически, не меняется, необходимо исключить этот угол из рассмотрения программным методом. Это объясняется необходимостью максимально объективно оценить эффективность данного метода оптимизации сетки. Поэтому необходим анализ места расположения минимальных углов.

Для получения необходимых числовых значений рекомендуется использовать заготовки кода подпрограммы fs.for, находящейся в файле w1calc.for. Подпрограмму fs.for надо подключить к своему проекту в CAE Sigma.

Файл w1calc.for выложен на сайте дисциплины в разделе

16

«Дополнительные программы и модули к САЕ Sigma».Вызов модуля fs.for лучше всего осуществить в MAIN.for перед заданием

граничных условий, так к этому моменту сетка уже полностью сформирована, в том числе после оптимизации (если подключена такая опция) и номерам конечных элементов и узлов присвоены окончательные значения. В этом случае результаты работы fs.for можно будет увидеть в текстовых результатах расчета в позиции:

14. Конечная нумерация – КЭ и его узлы (MAIN)Результаты можно будет увидеть и в позиции

0. Все указанные элементы в файле результатов расчетано в этом случае для поиска информации по работе fs.for придется

перелистывать много страниц файла полных результатов расчета.Всё это при условии, что в конфигурации комплекса в разделе «Результат

расчета» будет выбрана альтернатива «Выбрать все».При каждом NRC основные элементы столбцов таблиц 3.1 или 3.2. (значение

NRC, число КЭ, значение минимального угла, номер КЭ, в котором найден минимальный угол, сумма всех минимальных углов, значение среднего минимального угла) должны выводиться в одной строке текстового файла результатов расчета. Вывод результатов расчета подпрограммы fs должен быть организован в виде, максимально приближенным к форме таблицы отчета: сверху должно быть название элементов вывода строки с результатами.

Над результатами расчета подпрограммы fs.for должна присутствовать строка с названием анализируемой сетки. В качестве признака разных сеток должен служить параметр nvar (Вариант), который ранее в проектах отождествлялся с номером варианта задания и нигде не участвовал в расчетах. Поэтому в дальнейшем этому параметру необходимо присваивать не номер варианта задания, а номер варианта решения задачи на разных сетках. Если решается задача на сетке 6-го семестра, то nvar должен быть задан равным 6-ти, а если 7-го, то 7-ми. Понятно, что значение nvar надо передать в подпрограмму fs.for и при подключении сетки определенного семестра задавать nvar соответствующее значение.

Всё это студент должен сделать самостоятельно, модифицируя модули fs.for, DATA.for в котором считывается информация, в том числе и значение nvar, и, конечно, MAIN.for, в котором осуществляется вызов DATA.for и fs.for.

Значение nvar надо использовать во всех пунктах КР, где сравниваются разные сетки, модифицируя соответствующие подпрограммы.

Если в связи с выполнением конкретного задания каких-либо числовых значений будет недостаточно для целей исследования, следует внести в модуль fs.for соответствующие коррективы.

Результаты вычислительных экспериментов записать в таблицу отчета, по которой и провести анализ.

Для доказательства своих выводов желательно построить графики.

Оформление отчета по Кр.2.

Отчет по Кр.2. должен содержать:

17

по два изображения в одной строке какого-либо напряжения с сеткой КЭ, границами зон и номерами свойств КЭ до и после оптимизации сетки для сеток 6-го и 7-го семестров;

таблицы результатов исследования анализ эффективности работы алгоритма оптимизации в разных зонах для

сеток 6-го и 7-го семестров и заключение об особенностях, недостатках и эффективности работы алгоритма оптимизации сетки при выполнения функций, для которых он предназначен.

№3 ( .3Контрольная работа Кр ) Оценка качества сетки КЭ

В Кр.3 студент должен провести сравнение качества двух пар сеток: А) оптимизированных 6-го и 7-го семестров Б) оптимизированной и неоптимизированной сеток 7-го семестра.

После анализа качества оптимизированной и неоптимизированной сеток 7-го семестра необходимо обоснованно выбрать лучшую и с ней продолжать выполнение следующих контрольных работ.

Введение

Оценка качества сетки конечных элементовКачество сетки конечных элементов кардинальным образом влияет на

результаты решения задачи МКЭ, так как сетка КЭ является входными данными для программы. Поэтому крайне важно, не приступая к решению задачи, выбрать заранее наилучший вариант конечно-элементной сетки, ибо наилучший вариант сетки КЭ должен давать результат приближенного решения, наиболее близкий точному. Итак, объективно невозможно оценить качество сетки конечных элементов без сравнения результатов приближенного решения задачи с точным решением. Но, как правило, отсутствие точного решения лишает исследователя использовать эту возможность и, тем самым, заранее оценить качество входных данных.

Поэтому приходится искать способы оценки качества сетки КЭ по косвенным признакам, при этом не только после её построения, но и, желательно, в процессе триангуляции.

Очевидным критерием является минимальная площадь КЭ. Понятно, чем меньше площадь конечных элементов, тем больше модель приближается к реальному объекту и тем более точно рассчитывается задача, если, конечно, накапливаемая при машинном округлении ошибка не становится критической. Оценка минимальной площади конечных элементов может оцениваться не по всему рассчитываемому объекту, а только по наиболее ответственной его части, например

18

в области наибольших значений напряжений или в области, которая более всего интересует исследоваателя.

Дальше идёт интегральная вариация этого критерия – средняя площадь КЭ, рссчитываемая как по всему объекту, так и по его части.

Следующие критерии оценки качества сетки КЭ так или иначе анализируют форму конечных элементов.

Установлено, например, что ошибка метода КЭ при решении на треугольной сетке обратно пропорциональна величине синуса минимального угла в элементах сетки.

Отсюда в качестве естественного критерия качества сетки можно принять синус минимального угла в КЭ сетки (или просто угол).

Другой критерий, основанный на подсчете среднего минимального угла в сетке, более интегрировано оценивает качество сеток и может применяться в алгебраической форме без построения графиков.

Оба эти простейших критерия слабо затрагивает форму большинства КЭ, изменение плотности КЭ в разных подобластях рассчитываемого объекта и поэтому могут использоваться только как вспомогательные.

Вообще, численных рекомендаций по форме КЭ чрезвычайно малоС точки зрения конечно-элементного анализа можно смело говорить только о

том, что оптимальным является разбиение на элементы имеющие форму простейших равносторонних фигур (равносторонний треугольник, квадрат, равносторонний тетраэдр, куб). Практически это требование достигается очень редко и получаемое разбиение на конечные элементы отлично от оптимального.

Для формы КЭ , а с ним – интегральной оценки качества полученного сеточного разбиения строятся различные измерители (см. табл. 2.4).

Одним из таких измерителей является коэффициент формы, который вычисляется следующим образом. Для каждой стороны элемента Li определяется площадь идеального элемента такой величины (для равностороннего треугольника она равна 0,433(Li)^2, а для квадрата — (Li)^2), и затем эти площади

осредняются.Отношение этой осредненной «идеализированной» площади к реальной площади элемента принимается в качестве меры качества.

В литературе встречаются такие рекомендации:  

19

углы пластинчатых элементов должны быть не менее 30 и не более 150 градусов.  

не рекомендуется использовать треугольные элементы в которых присутствует угол меньше 15 градусов.

отношение же сторон КЭ не более 1:10.

Другие измерители по оценке формы КЭ можно разработать на основе отношения площади КЭ к площади, вписанной в него окружности или на основе отношения радиуса вписанной в треугольник окружности к радиусу описанной.

Известно, например, что для любого треугольника отношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной окружности ≥ 2. Причем равенство имеет место для правильного треугольника.

Можно использовать некоторые известные соотношения в треугольнике. Например, отношение площади треугольника, вершинами которого являются точки касания вписанной окружности, к площади данного треугольника АВС меньше или равно1

4 . При этом, равно – для равностороннего треугольника.

Если оцениваются сетки, построенные на заранее заданном множестве точек (узлов), то существует критерий, основанный на теореме Делоне, гласящей, что система КЭ будет оптимальной, если она имеет наименьший периметр сторон (ребер) на одной и той же системе узлов. Последнее условие ограничивает применение этого критерия для оценки качества сеток, для которых расположение и число узлов разное, но этот критерий позволяет формировать оптимальную сетку КЭ в процессе её построения по заранее заданным узлам и поэтому заслуживает пристального внимания.

Наиболее объективная интегральная оценка качества сеток осуществляется с использованием метода штрафных функций. В данном задании к Кр3 она не используется.

Здесь для оценки качества сетки надо подобрать критерии, согласно простому большинству которых сетка будет обладать преимуществом или, наоборот, уступать сравниваемой сетке.

В качестве основных критериев в Кр3. должны использоваться критерии минимального угла и среднего минимального угла, благо информация по эти критериям получена при выполнении Кр.2. К этим двум критериям необходимо привлечение ещё каких-либо критериев или критерия.

Содержание работы по Кр3.

В Кр3 студент должен провести сравнение качества двух пар сеток: А) оптимизированных 6-го и 7-го семестров Б) оптимизированной и неоптимизированной 7-го семестра.

20

После анализа качества оптимизированной и неоптимизированной сеток 7-го семестра необходимо обоснованно выбрать лучшую сетку и с ней продолжать выполнение следующих контрольных работ.

Оценка качества сетки проводится по критерию минимального угла, значению среднего минимального угла и какому-либо дополнительному критерию или критериям, выбранным студентом самостоятельно.

Если два основных критерия (минимального угла и среднего минимального угла) однозначно указывают на преимущество одной из двух сравниваемых сеток между собой на всем диапазоне NRC=1-12, то привлечение дополнительного критерия или критериев не требуется.

При выполнении Кр.3 рекомендуется использовать подпрограммы fs.for (файл w1calc.for) и GETFINE (файл w2calc). При необходимости студент модифицирует эти подпрограммы в соответствии с решаемыми задачами.

Файлы w1calc.for и w2calc находятся на сайте в разделе «Дополнительные модули и программы к САЕ Sigma».

Студент должен исключить из подпрограмм ненужные элементы, добавить свои – нужные, и тем самым модифицировать эти подпрограммы под запросы решаемых задач.

Не надо забывать, что используя FS в Кр.2 мы оценивали работу алгоритма оптимизации (и только) : выполняет ли он свои функции или нет и от чего зависит эффективность его работы. Поэтому при выполнении Кр.3 в FS возможно придется вносить какие-либо изменения (например, удалить из FS исключение из рассмотрения минимального угла неизменяемого КЭ, если таковое вносилось при выполнении Кр.2).

В Кр.3 к придется оценивать две пары сеток минимально по двум, а чаще по крайней мере трём критериям: минимальному углу, среднему минимальному углу и дополнительному критерию, выбранному студентом. Да ещё при разном числе КЭ.

Дополнительные критерии могут быть разными. Например, можно подсчитать процентное отношение числа КЭ, у которых углы лежат в интервале от 30º до 150 º, градусов, к общему числу КЭ или процентное отношение числа КЭ, у которых отношение сторон больше 1:10, тоже к общему числу КЭ. Или подсчитать число КЭ, у которых минимальный угол меньше 30 градусов и определить процентное отношение таких КЭ к общему числу КЭ. Можно привлечь формулы для оценки формы КЭ. Или, например, подсчитать число КЭ, площадь которых больше или меньше средней. И почему одно – хорошо, а другое – плохо (или наоборот), т.е. логику сравнения, студент должен объяснить в отчете.

Отличие такого подхода от комплексного (реализуемого методом штрафных функций) состоит в том, что при равенстве n критериев мы применяем n+1-ый критерий, на основе которого сможем утверждать, что одна сетка всё-таки лучше другой.

Такая оценка более проста, дает большую свободу студентам в оценке качества сеток и более легко осуществляется (за счет изменения только подпрограммы FS) , чем метод штрафных функций, который потребовал бы подключения подпрограммы

21

GETFINE из файла w2calc. Впрочем, студенту не возбраняется использовать и этот модуль.

Повторим, что в Кр.3 7-го семестра оценка качества сетки проводится по критерию минимального угла, значению среднего минимального угла и какому-либо дополнительному критерию или критериям, выбранным студентом самостоятельно.

Если два основных критерия (минимального угла и среднего минимального угла) однозначно указывают на преимущество одной из двух сравниваемых сеток между собой на всем диапазоне NRC=1-12, то привлечение дополнительного критерия или критериев не требуется.

Особенное внимание требуется уделить сеткам 7-го семестра при NRC=7, так как именно при этом NRC выполняются следующие контрольные работы.

Ещё раз повторим, что необходимо сравнить качество сеток 6-го и 7-го семестров после оптимизации и сеток 7-го семестра до и после оптимизации между собой.

Результаты сравнения оптимизированной и неоптимизированной сетки 7-го семестра используются в последующих контрольных работах.

Нужная информация по первым двум критериям уже содержится в таблицах 2.1. и 2.2, составленных при выполнении контрольной работы 2 (Кр.2).

Оформление отчета по Кр.3.

Учитывая, что после оптимизации минимальные углы всегда больше минимальных углов до оптимизации, в большинстве случаев оптимизированная сетка по критерию минимального угла будут иметь преимущество по сравнению с неоптимизированной сеткой. По второму критерию - среднего минимального угла не всегда можно сделать однозначный вывод. Именно поэтому чаще всего приходится прибегать к ещё какому-нибудь дополнительному критерию оценки качества сетки.

Для удобства сравнения качества двух пар сеток необходимо привести в отчете Кр.3 таблицы, примерная форма которых представлена ниже для случая сравнения оптимизированных сеток 6-го и 7-го семестров и случая сравнения оптимизированной и неоптимизированной сетки 7-го семестра.

Таблица 3.1. Основные критерии (минимального и среднего минимального угла) оценки качества сеток 6-го семестра и 7-го семестров (после оптимизации).

NRC

Число КЭ

сетки 6 сем

αmin6

/№КЭ

Число КЭ

сетки 7 сем

α min7

/№КЭ

Δ=

α min7

-αmin6 Δ

%

средний мин. угол

α ср .min6

средний мин.угол

α ср .min7

Δ = α ср .min7

-α ср .min6 Δ %

3478

22

910

Среднее

Здесь αmin6

, αmin7

, α ср .min6

, α ср .min7

значения минимальных и средних минимальных углов для сеток 6-го и 7-го семестров после оптимизации. №КЭ – номер КЭ, которому принадлежит αmin

6 или αmin

7. Проценты подсчитываются по отношению к

сетке 6-го семестра.

Таблица 3.2. Основные критерии (минимального и среднего минимального угла) оценки качества сеток 7-го семестров (до и после оптимизации) в зависимости от числа КЭ

NRCЧисло КЭ αmin

неопт

/№КЭαmin

опт

/№КЭ

Δ=

αminопт

-αminнеопт

Δ %средний

α ср . minнеопт

средний

α ср .minопт Δ =α ср .min

опт-

α ср .minнеопт

Δ%

3478910

Среднее

Здесь αminнеопт

, αminопт

, α ср . minнеопт

, α ср .minопт

значения минимальных и средних минимальных углов для неоптимизированной и оптимизированной сеток 7-го семестров. Проценты подсчитываются по отношению к неоптимизированной сетке.

Сравнение по значениям минимального и среднего минимального углов более объективно делать после построения графиков зависимости минимального и среднего минимального угла от числа КЭ для нескольких (4-5) выбранным студентом значений числа КЭ.

Но следует иметь ввиду, что построение графиков зависимости одной переменной от другой имеет смысл, если графики позволяют получить дополнительную информацию. Например, если с помощью графиков удается подметить какие-то особенности (градиент, точки минимума/максимума, сходимость к чему-то, пересечение графиков и т.д.). Если подобной информации не обнаруживается, то помещение графиков в отчет не имеет смысла.

Все указанные в таблице величины должны выводиться на печать в табличном виде, максимально приближенным к виду таблицы в отчете, с указанием подпрограммы, в которой производится вывод. Над результатами расчета подпрограммы должна присутствовать строка с названием анализируемой сетки (см. требования к Кр.2).

Далее анализ и выводы, при необходимости подкреплённые графиками.

23

В выводах надо указать наиболее качественную сетку.

№4 ( .4Контрольная работа Кр ) Сходимость результатов решения задачи МКЭ

В Кр.4 студент работает с новой сеткой КР 7-го семестра с учетом разных свойств КЭ, но выбор сетки (оптимизированной или нет) для выполнения Кр.4. студент должен обосновать в Кр.3.

Итогом выполнения Кр.4. являются значения напряжений (перемещений) в одной точке рассчитываемого объекта.

Значения напряжений в выбранной точке надо получить по результатам расчета (вычислительного эксперимента) в 2-х САЕ-системах: Sigma и Nastran

Исследование сходимости результатов расчетов в CAE Sigma

Цель Кр.4.Привести убедительные доказательства того, что в исследуемой точке

значения конкретного напряжения такие и только такие. 

Порядок выполнения Кр.4.

При выполнении Кр.4 студент:

А) выбирает точку внутри рассчитываемого объекта, в которой он должен определить значения напряжений (перемещений – по дополнительному заданиюпреподавателя). Точка должна иметь целые (желательно) координаты, располагаться в области опасных напряжений, но не находиться в непосредственной близости к местам нагружения пластины, местам закреплений и на границах изменения свойств КЭ. При этом, по крайней мере, три вида напряжений должны иметь значения, превышающие уровень 10000Н/см2 при NRC=7.

Желательно также, чтобы при всех NRC точка находилась как бы внутри КЭ, изменяющегося только в размерах. Выполнение всех этих условий облегчит выполнение Кр.4. Выбранную точку согласовать с преподавателем.

Б) проводит расчет в системе Sigma и определяет выходные результаты работы программы - напряжения (и/или перемещения узлов - по отдельному заданию преподавателя) в согласованной с преподавателем точке пластины, при NRC=3-12 с целью последующего исследования сходимости результатов расчета в зависимости от степени сгущения сетки КЭ. Результаты расчета значений напряжений заносит в таблицу 5.1. (см. примеры оформления отчета по Кр.4). без использования алгоритмов сглаживания (с опцией КЭ);

24

В) строит графики сходимости напряжений (перемещений) в выбранной точке в единых координатах (см. примеры оформления отчета по Кр.4), на основе которых надо провести оценку уровня (примерных значениях) напряжений (перемещений) в точке, дать интегральную оценку сходимости напряжений (перемещений) в точке, выявить общие для всех или части напряжений (перемещений) выпадающие (нарушающие общую картину) или сомнительные значения NRC. Попытаться дать объяснение получения таких выпадающих значений или скачков. Надо представить себе, что имеются только эти графики, а мы должны сказать, чему равны значения, например, напряжений вдоль оси Х в исследуемой точке. Нам придется ответить так: ”Примерно столько-то Н/см2”. Эти цифры надо записать в таблицу в таблицу 4.1.

Построение графиков в ЕСК имеет ещё одну цель. Исследования студентов, проведенные в курсовых работах ранее,

подтвердили факт, что достоверность результатов расчета МКЭ зависит от уровня значений напряжений. Чем они меньше, тем ошибка больше. Установлено, что значениям < 1500Н/см2 доверять можно с большим сомнением, значения 1500-6500 могут подсчитываться с ошибкой более 30%, значения 6500-12000 -с ошибкой от 10% до 20% и только значения больше 12000Н/см2 дают ошибку менее 10%.

На основании построения и анализа графиков в ЕСК можно прийти к выводу, что по напряжениям, значениям которых меньше 1500Н/см2 не имеет смысла более точно находить значения напряжений (строить графики регрессии). Принятое решение надо будет обосновать в отчете.

Г) применяет методы регрессионного анализа и экстраполяции для получения наиболее достоверного результата, используя программу SigmaPlot или какую-либо другую программу обработки результатов численного эксперимента.

При построении функций регрессии разрешается игнорировать не более двух из 10 результатов вычислительного эксперимента.

Добиваться значения квадратичной регрессии порядка Rsqr = 0.8 -1.0.При определении напряжений учитывает необходимость выполнения

соответствия результатов, получаемых в Sigma и Nastran-е (AnSys-е). Примечание 1: при определении сходимости перемещений узлов,

образующих КЭ с исследуемой точкой (по отдельному заданию преподавателя), использует только нечетные NRC. Примечание 2:

Для установки программы SigmaPlot и корректной работы всех её подсистем в последних версиях ОС Windows необходимо отключить службы ISS

Панель управления => Программы и компоненты, нажать на "Включение или отключение компонентов Windows", затем отключить компонент "Службы ISS"

Оформление отчета по Кр.4.

Отчет по Кр.4 должен содержать:

25

Print Screen графического изображения результатов расчета для одного напряжения при NRC =7 в недеформированной форме, c указанием закреплений, нагрузки, зон и шкалы значений напряжения. На изображении должна быть указана точка, в которой в дальнейшем будут определяться значения напряжений и (или) перемещений. С помощью панели «Параметры» модуля вывода графических результатов указать координаты точки;

таблицу 5.1. (см. примеры оформления отчета по Кр.4), содержащую значения напряжений (перемещений) для каждого NRC, значения матожиданий функции, значения напряжений, полученных с помощью регрессионного анализа. Все эти значения приводить с точностью до целого знака.

Там же в таблице на основе обработки результатов произведенных численных экспериментов привести окончательные значениях напряжений в исследуемой точке с точностью до десятков или сотен. Привести под таблицей в случае необходимости последовательность их расчета и соображения, которыми руководствовались при обработке результатов;

графики сходимости напряжений в выбранной точке (перемещений – по отдельному заданию преподавателя) в единых координатах (см. примеры оформления отчета по Кр.4);

графики сходимости напряжений (перемещений) в естественных координатах, которые дополнить получением эмпирических формул, позволяющим экстраполировать функции сходимости для получения наиболее достоверного результата. Формулы получать на основе метода наименьших квадратов с помощью программы SigmaPlot-9 (см. Приложение 1 настоящих методических указаний) или какой-либо другой аналогичной программы.

Добиваться значения квадратичной регрессии порядка Rsqr = 0.8 - 1.0. При полной невозможности получения приемлемых графиков регрессии и

значений квадратичной регрессии для отдельных напряжений в КЭ, использовать алгоритмы сглаживания (ЦПС, ЦМ) и (или) алгоритм регуляризации сетки КЭ (если это не проведено) с объяснением и обоснованием предпринятых действий для обработки графиков этих напряжений. При построении графиков регрессии использовать информацию, полученную при построении графиков напряжений (перемещений) в единых координатах. Чтобы убедиться, что график действительно сходится, в сомнительных или неинформативных случаях его надо экстраполировать. Математическая формула функции у нас найдена, следовательно, нам остается только построить отдельно график функции с помощью любой программы для построения графиков, например, Agrapher вправо для значений NRC, в которых не проводился вычислительный эксперимент.

на основании используемых функций регрессии установить минимальный NRC, начиная с которого надо теоретически проводить расчет, чтобы гарантировано получить результат с точностью соответствующей уровню конкретного напряжения. Определить число КЭ, соответствующее этому NRC и указать размерность задачи. Обосновать выбор NRC;

анализ эффективности методики применения регрессионного анализа для определения значения напряжений в точке по сравнению с подсчетом матожидания

26

и примерной оценкой значений в единых и естественных координатах. Необходимо ответить на вопрос, что дало использование графиков сходимости, регрессионного анализа, можно ли было ограничиться подсчетом матожидания или подсчетом средних значений в единых или естественных координатах

Примеры оформления отчета по Кр.4

Таблица 4.1.Точка №3 -Зона №1, координаты (26; 57)

Напряжения

NRC/№КЭ

σ x σ y τ xy σ1−ое гл .

σ2−ое гл .

σ экв

3 /27 -1931 -390 -1214 277 -2598 27474 /43 -2349 -847 -1622 189 -3385 34847/134 -2208 -707 -1688 389 -3305 35168/117 -2147 -782 -1764 426 -3356 35889 /137 -2475 -890 -1811 295 -3660 381510/167 -2338 -886 -1844 370 -3594 3793

Общее мат. ожидание

-2224 -4502747

-1663 337 -3308 3489

Мат. ожидание с учетом

откинутых значений

-2170 -730 -1663 364 -3246 3399

Примерная оценка значения в естественных

координатах

-2250 ÷

-2400

-1000 ÷-1150

-1800 ÷ -1850

300÷

420

-3400 ÷ -3700.

3600 ÷

3800

Примерная оценка значения

в единых координатахРезультат построениярегрессии

-2190 -930 -1800 390 -3510 3530

Окончательно принятое значение

-2200 -900 -1800 400 -3500 3500

Таблица 4.2. Графики сходимости в единой системе координат

27

(Примечание: данный график не имеет отношения к графикам в естественных координатах, помещенных ниже, и помещен здесь только в качестве иллюстрации.)

При получении графиков сходимости в единых координатах следует учесть специфику функционала «Построение графиков сходимости» Sigma, разработанного для построения графиков сходимости сразу в нескольких точках. Для получения графиков сходимости в единых координатах в одной точке в соответствии с заданием Кр.4. надо опцией «Добавить точку» сформировать две точки с одинаковыми координатами. После этого опция «Построить графики в ЕСК станет доступной.

Таблица 4.3. Графики сходимости в естественных кординатах и функций регрессии с примерами обработки.

Точка №3 -Зона №1 координаты (26; 57)Алгоритмы сглаживания не использовались.

Напряжение по X

Визуальная оценка даёт значения напряжений в пределах от -2250 до -2400. Общее матожидание равно (-2224). При NRC=9,10 достигаются самые большие выпадающие значения функции. Если пересчитать мат. ожидание без этих значений, то

Напряжение по Y

Визуальная оценка даёт значения напряжений в пределах от -1000 до -1150. Общее матожидание равно (-747). Если откинуть NRC=10 и пересчитать мат. ожидание без этого значения, то получим (-730). Так как

28

получится -2170. Так как разница с общим матожиданием невелика (меньше 5%), то можно строить регрессию без этих значений.

DampedSine_5parameters : Rsqr = 0,94y= y0+ae-(x/d)sin(2πx/b+c)

y=-2189+1419e-(x/1,952)sin(2πx/3,036+2,206)

Функция сходится к (-2190)

разница с общим матожиданием невелика (меньше 5%), то можно строить регрессию без этого значения.

DampedSine_5parameters : Rsqr = 0,86y= y0+ae-(x/d)sin(2πx/b+c)

y=-930,1+64400e-(x/0,8996)sin(2πx/2,603- 0,8028)

Функция сходится к (-930).

Касательное напряжение

Визуальная оценка даёт значения напряжений в пределах от -1800 до -1850. Общее матожидание равно (-1663). Очень широкий разброс значений, однако, из положения точек примерно ясна общая картина сходимости, что позволет подобрать достаточно удачную функцию регрессии.

1-ое главное напряжение

Визуальная оценка даёт значения напряжений в пределах от 300 до 420. Матожидание равно 337. При NRC=4,9 достигаются самые большие выпадающие значения функции, если пересчитать мат. ожидание без этих значений, то получится 364, Так как разница с общим матожиданием невелика (меньше 5%), то можно строить регрессию без этих значений.

29

DampedSine_5parameters : Rsqr = 0,9y= y0+ae-(x/d)sin(2πx/b+c)

y=-1804+2902e-(x/1,794)sin(2πx/502400+1,571)

Из графика видно, функция затухает и сходится к значению, (-1800)

DampedSine_5parameters : Rsqr = 0,91y= y0+ae-(x/d)sin(2πx/b+c)

y=386+493,7e-(x/2,717)sin(2πx/9,29+1,836)

Из графика видно, что функция сходится к значению 390.

2-ое главное напряжение

Визуальная оценка даёт значения напряжений в пределах от -3400 до -3700. Общее матожидание равно (-3308). При NRC=4,9 достигаются самые большие выпадающие значения функции. При пересчёте мат. ожидания без этих значений, то получится (-3246). Так как разница с общим матожиданием невелика (меньше 5%), то можно

Эквивалентное напряжение

Визуальная оценка даёт значения напряжений в пределах от 3600 до 3800. Общее матожидание равно 3489. При NRC=9,10 достигаются самые большие выпадающие значения функции. При пересчёте мат. ожидания без этих значений, то получится 3399. Так как разница с общим матожиданием невелика (меньше 5%), то можно строить регрессию без этих значений.

30

строить регрессию без этих значений.

DampedSine_5parameters : Rsqr = 0,96y= y0+ae-(x/d)sin(2πx/b+c)

y=-3511+45250e-(x/1,525)sin(2πx/129,2+1,525)Из графика видно, что функция сходится к значению(-3510).

DampedSine_5parameters : Rsqr = 0,88y= y0+ae-(x/d)sin(2πx/b+c)

y=3525+440800e-(x/0,4729)sin(2πx/3,596*10^6 +4,712)

Из графика видно, что функция сходится к значению 3530

Окончательные значения приняты с учетом значительно большего допускаемого напряжения для материала в этой точке (38000Н/см2). Для гарантии они в большинстве случаев несколько увеличены сообразуясь большей частью с построенными графиками регрессии, с учетом сложности и неопределённости отдельных исходных графиков, а также матожидания функции.

Если сходимость визуально трудно определить, то следует строить по два графика на напряжение, например, в таком стиле:

Напряжение по X

Визуальная оценка даёт значения напряжений в пределах от 2250 до 2050. Общее матожидание равно (2102). Точки лежат довольно равномерно

Напряжение по Y

Визуальная оценка даёт значения напряжений в пределах от 200 до 600. Общее матожидание

31

(без выпадов), поэтому можно оставить так как есть.

DampedSine_5parameters : Rsqr = 0,98y= y0+ae-(x/d)sin(2πx/b+c)

y=2090,9+471,9e-(x/25,22)sin(2πx/3,066-0,044)Функция примерно сходится к (2091)

равно (556). Если откинуть NRC=10 и 5 и пересчитать мат. ожидание без этого значения, то получим (586).

DampedSine_5parameters : Rsqr = 0,89y= y0+ae-(x/d)sin(2πx/b+c)

y=352,2+2187,3e-(x/7,62)sin(2πx/10,57+2187,3)Функция приблизительно сходится к (352).

Касательное напряжение

Визуальная оценка даёт значения напряжений в пределах от -450 до -550. Общее матожидание

равно (-524). Если откинуть NRC=6 и пересчитать мат. ожидание без этого значения,

то получим (-508). Так как разница с общим

1-ое главное напряжение

Визуальная оценка даёт значения напряжений в пределах от 2100 до 2400. Матожидание равно 2285. Точки лежат довольно равномерно (без выпадов), поэтому можно оставить так, как есть.

32

матожиданием невелика (около 5%), то можно строить регрессию без этого значения.

DampedSine_5parameters : Rsqr = 0,86y= y0+ae-(x/d)sin(2πx/b+c)

y= -466,27+ 697,80e-(x/4,069)sin(2πx/ 3,623+ 5,2048)Из графика видно, функция затухает и сходится к зачению, приблизительно, (-466)

DampedSine_5parameters : Rsqr = 0,96y= y0+ae-(x/d)sin(2πx/b+c)

y=2258+721,9e-(x/14,3985)sin(2πx/3,1743+0,6146)Из графика видно, что функция сходится, примерно, к значению 2258.

2-ое главное напряжение

Визуальная оценка даёт значения напряжений в пределах от 100 до 500. Общее матожидание равно (362). Точки лежат довольно равномерно (без выпадов), поэтому можно оставить так, как есть.

Эквивалентное напряжение

Визуальная оценка даёт значения напряжений в пределах от 2150 до 2250. Общее матожидание равно 2193. При NRC=7,11 достигаются самые большие выпадающие значения функции. При пересчёте мат. ожидания без этих значений, то

33

DampedSine_5parameters : Rsqr = 0,85y= y0+ae-(x/d)sin(2πx/b+c)

y=223,7+925,3e-(x/32,93)sin(2πx/3,2063+0,8506)Из графика видно, что функция сходится к значению примерно (224)

получится 2183. Так как разница с общим матожиданием невелика (меньше 5%), то можно строить регрессию без этих значений.

DampedSine_5parameters : Rsqr = 0,89

y= y0+ae-(x/d)sin(2πx/b+c)y=2190,6+354,5e-(x/7,835)sin(2πx/3,3015 +0,5414)

Из графика видно, что функция сходится примерно к значению 2190

Исследование сходимости результатов расчетов в CAE Nastran

Внимание: при выполнении этой части Кр.4, помимо литературы, приведенной на сайте, можно использовать руководство по использованию Nastran-а в подсистеме «Помощь» комплекса Sigma.

Содержание работы примерно одинаково с содержанием работы по исследованию сходимости результатов, полученных в CAE Sigma. Студент:

осуществляет экспорт и расчет модели в Nastran-е (AnSys-е) и определяет выходные результаты работы программы - напряжения (перемещения) в ранее заданной точке пластины, исследуя сходимость результатов в зависимости от степени сгущения сетки КЭ и повторяя последовательность действий по исследованию сходимости результатов, полученных в CAE Sigma. При задании

34

свойства КЭ и характеристик материала предусмотреть цветовое выделение каждого из них.

проводит сравнение и анализ значений напряжений и перемещений в системах Sigma и Nastran. Делает окончательный вывод по этим значениям на основании расчетов в 2-х системах (чему равны напряжения и с какой точностью определяются эти значения.);

при NRC=7 или 8 в конечном элементе, которому принадлежит исследуемая точка, указывает направление координатной оси, относительно которой проводился расчет в Nastran-е. Пример оформления приведён ниже:

NRC=7Element 564 - LAMINATE ( Tria3 ) Property 4 Color 124 Layer 1 AttachTo 0

MaterialAngle -33.0558

Nodes 263 250 241

Номера КЭ на картинке обязательны.Пояснение.В Nastran-e оси координат каждого КЭ задаются в процессе построения КЭ:

первая образованная сторона КЭ будет осью Х для этого КЭ. При этом направление оси Х обусловлено тем, какой узел при построении этой

стороны образован первым. Перпендикулярно ей - ось Y (угол отсчитывается в положительном направлении- т.е. против часовой стрелки.

Разработчикам Nastran-а так показалось проще (а может быть так и есть на самом деле). Глобальные же координаты традиционно направлены слева направо для оси Х и снизу вверх для оси Y.

В примере на информации справа от рисунка для КЭ №564 поставлено MaterialAngle = (-33.0558). Это означает, что глобальная ось Х повернута относительно оси Х в Nаstran-е на угол 33.0558 градусов в отрицательном направлении( по часовой стрелке). Учитывая, что глобальная ось Х направлена слева направо, получается, что в КЭ №564 есть одна сторона, которую надо повернуть на 33.0558 градусов по часовой стрелке (отрицательное направление) , чтобы она совпала с глобальной осью Х. Эта сторона и есть ось Х в Nastran-е.

35

Отчет по необходимо сопроводить файлами типа MOD для нескольких NRC (четных и нечетных) с подсчитанными напряжениями. Перед отправлением убедитесь, что они открываются Femap-ом (например, правой кнопкой мыши, затем "с помощью" и указанием на Femap или, после вызова Femap, открыть файл из соответствующего меню).

Оформление исследования сходимости результатов, полученных в CAE Nastran такое же, как и оформление исследования сходимости результатов, полученных в CAE Sigma, только с меньшей степенью детализации.

При оформлении отчета по П.6 студенты должны продемонстрировать в отчете умение представить материал из Femap наиболее информативным и разнообразным стилями, демонстрируя своё усвоение функционала Femap в качестве постпроцессора.

В Приложениии 2 приведен один из возможных примеров подачи материала. Его только надо дополнить доказательством того, что показанный КЭ, действительно, содержит указанную точку.

Обязательное задание Достоинства и недостатки , программных систем использованных при выполнении

контрольных работЗаканчивая выполнение контрольных работ студент в обязательном порядке

отмечает достоинства и недостатки препроцессора и системы Sigma и предлагает пути их совершенствования. Обязательными также являются указания на ошибки в методических указаниях , предложениями иных формулировок и т.д.

Отчет должен содержать:

Достоинства и недостатки препроцессора и предложения по их устранению.

Достоинства и недостатки системы Sigma и предложения по их устранению.

Необходимы также предложения по модификации системы, в том числе концептуального характера.

Обязательными являются указания на ошибки в методических указаниях к Кр, предложениями иных формулировок и т.д.

За правильное выполнение Кр 1-4 проставляется оценка "удовлетворительно".

За выполнение Кр.5 и (или) Кр.6 окончательная оценка за Кр 7-го семестра увеличивается на один балл, двух пунктов – два балла.

36

№5( .5Контрольная работа Кр ) Исследование эффективности алгоритма упаковки матриц

В Кр.5 студент оценивает эффективность работы алгоритма упаковки матрицы – модифицированной схемы хранения и исследует запросы к памяти для хранения матрицы в зависимости от числа конечных элементов, числа узлов, ширины ленты матрицы, размера профиля, размерности решаемой задачи, а также изменение заполнения массивов, используемых для хранения матрицы в зависимости от всех этих параметров.

Исследование проводит для нескольких матриц. При этом необходимо попытаться увидеть какие-либо закономерности (зависимости) между эффективностью работы модифицированной профильной схемы и различными параметрами матриц: числом КЭ, узлов, шириной ленты, размера профиля и т.д. и даже, быть может, комбинации этих параметров.

Дополнительно оценивает разреженность матрицы при разных размерностях решаемой задачи, а также влияние на разреженность работы алгоритма регуляризации сетки.

Пояснение.В Sigma разреженная матрица хранятся в так называемой

модифицированной профильной схеме, предусматривающей хранение матрицы в трёх массивах DIAG, ENV и XENV (см. раздел «Хранение симметричных ленточных матриц» лекционного материала 7-го семестра).

Напомним, что заполнение реальными числами матрицы разрешающей системы алгебраических уравнений происходит на заключительном этапе расчета в подпрограмме FORMDD, которая в свою очередь обращается к подпрограмме MGSDTR, где формируется матрица жесткости конкретного КЭ (см. структуру и подпрограммы расчетного блока в подсистеме «Помощь»). Для понимания смысла проводимых операций следует обратиться к разделу «Построение матрицы жесткости КЭ и всей системы прямым методом» в лекционнном материале 6-го семестра. Напомним также, чтот результатом решения задачи методом конечных элементов является определение двух составляющих перемещения конкретного узла и всех узлов системы в целом.

Но структура матрицы (расположение ненулевых элементов в матрице) становится известной сразу после формирования сетки КЭ подпрограммой GRIDDM, так как в последней каждому узлу сетки КЭ задается номер. А так как в конечном итоге неизвестными в решении задачи методом конечных элементов являются значения перемещений в узлах, то и наличие или отсутствие перемещения в узле в некоторой степени определяется наличием или отсутствием ненулевых элементов в строке матрицы, которой соответствует номер узла, хотя связь здесь далеко неоднозначна (формирование матрицы системы происходит достаточно сложным образом). Тем не менее, для узлов, закрепленных по двум осям, соответствие полное. В этом наиболее просто убедиться по распечатке матрицы: в строках, соответствующих номеру закрепленного узла ненулевых элементов нет

37

вообще (см. текстовый файл результатов расчета). Следует только иметь в виду что для нахождения номера строки матрицы по номеру узла надо номер узла умножить на два (два перемещения в узле). Тогда найденная строка будет соответствовать перемещению узла по направлению оси Y, а предыдущая – перемещению вдоль оси X.

Итак, при решении задачи в Sigma, как и во всякой САЕ-системе, реализующей МКЭ, после операции триангуляции создается образ будущей матрицы, указывающий положение нулевых и ненулевых элементов, затем после работы блока RENMDD эта матрица упорядочивается, в результате чего формируется новый образ матрицы с более эффетивной для осуществления вычислительного процесса структурой. Этот образ является окончательным и именно такую структуру матрицы и заполняет реальными числами подпрограмма FORMDD.

В Sigma в панели основных параметров можно отключить блок упорядочения. Тогда расчет задачи будет происходить с помощью неупорядоченной матрицы. При этом, при подключении блока упорядочения можно задать алгоритм упорядочения.

В Кр.5 следует использовать алгоритмы ленточных и профильных методов: 3 – ленточных и 2- профильных.

В результате на одной задаче в Sigma можно получить для каждого NRC помимо неупорядоченной матрицы ещё пять матриц, которые будут отличаться только структурой, ибо размерность у всех шести матриц будет одинаковой.

В Кр.5 исследуется эффективность хранения модифицированной профильной схемой различных матриц,  отличающихся для задач одной размерности только шириной ленты и размером профиля. Для задач одной размерности число уравнений алгебраической системы одинаково. Только системы уравнений записаны по-разному: переставлены часть строк или столбцов, переставлены все строки и столбцы. 

Как получены эти матрицы - для Кр.5 безразлично. Поэтому вполне можно использовать нумерацию для обозначения матриц вместо слов неупор, RCM, СМ, QMD, ибо перечисленные обозначения относятся к причине появления исследуемых матриц, а в Кр.5 исследуется эффективность хранения разных матриц, отличающихся только перечисленными выше характеристиками для задач одной размерности. Но так как, меняя NRC, можно получить информация для задач разной размерности, то необходимо установить не только, как влияет на эффективность хранения модифицированной профильной схемой ширина ленты матрицы, размер профиля матрицы, число ненулевых элементов и, быть может, какое-то сочетание этих параметров, но и размерность решаемой задачи. Необходимо также предложить формулы, по которым можно предсказать размерность массива ENV в зависимости от ширины ленты матрицы, профиля, от размерности задачи, числа ненулевых элементов, или от комбинации этих параметров. Для этого можно использовать обработку графиков численных результатов расчета методами регрессионного анализа.ВНИМАНИЕ

В задание Кр.5 входит анализ эффективности хранения разных матриц модифицированной профильной схемой, а в Кр.6 анализ эффективности работы

38

алгоритмов приведения матриц. Матрицы получаются с подключением и без подключения алгоритмов упорядочения. В случае неупорядоченной матрицы запросы программной системы к памяти могут существенно возрасти. Поэтому при выполнении Кр.5 и Кр.6 необходимо задать размерности массивов с учетом максимальных потребностей программы при расчете конкретной задачи. Для определения максимальных размерностей массивов необходимо отключить алгоритмы упорядочения (см. панель задания основных параметров), в результате чего в модуле REMNDD отключается вызов подпрограммы GENRCM и выполняются операции группы строк:

DO I=1,NP PERM(I) = I

ENDDOПри выполнении Кр.5 и Кр.6 надо будет объяснить в отчете смысл

проводимой операции.Необходимо также обратить внимание на массивы (например, ENV), которые

используются программой по разному назначению (см. приложение 1 настоящих указаний).

Пояснения и оформление отчета.

результаты исследования необходимо представить в виде таблиц (в зависимости от нескольких NRC) общих запросов к памяти для хранения различных матриц, размерностей массивов, реализующих используемую схему хранения матриц, степени разреженности матриц.

привести результаты исследования эффективности работы алгоритма упаковки. Привести и обосновать размерности основных массивов при отсутствии упорядочения. Сравнить их с размерностями массивов при использовании матриц, получаемых с помощью прямого (СМ) алгоритма Катхилла и Макки, метода Розена (LR), обратного (RCM) алгоритма Катхилла и Макки, метода Кинга (MK), а также алгоритма минимальной степени (QMD).

Форма таблицы по Кр.5 :

Характеристики матрицы Затраты памяти для хранения матрицы

Чис

ло э

леме

нтов

ни

жне

го т

реуг

ольн

ика

матр

ицы

% и

спол

ьзов

ания

па

мяти

NRC

Разм

ерно

сть

зада

чи

Вид

мат

рицы

Шир

ина

лент

ы

Разм

ер п

роф

иля

Чис

ло н

енул

евы

х эл

емен

-тов

пр

офил

я

% з

апол

нени

я об

олоч

ки

DIAG ENV XENV

Сум

ма

Чис

ло

испо

льзу

емы

х эл

емен

тов

Чис

ло

испо

льзу

емы

х эл

емен

тов

Чис

ло н

е ну

левы

х эл

емен

тов

% за-полн. Ч

исло

ис

поль

зуем

ых

элем

енто

в

3 неупорCM

LR

RCM

39

MK

QMD

10

неупорCM

LR

RCM

MK

QMD

Примечание 1: при заполнении таблицы для экономии времени рекомендуется параллельно заполнять аналогичную таблицу для множителя L пункта П.9.

Примечание 2: для определения эффективности используемого алгоритма упаковки необходимо сравнить число используемых элементов массива ENV с действительным размером оболочки матрицы.

Примечание 3: для корректного сравнения затрат памяти для хранения матрицы необходимо подсчитать число элементов, которые необходимо выделять для хранения полностью нижнего треугольника квадратной матрицы одним массивом. Коэффициент эффективности можно получить, сравнивая действительно занимаемую память и память при хранении нижнего треугольника матрицы одним массивом. Построить график зависимости коэффициента эффективности от размерности решаемой задачи и сделать выводы по таблицам и по графику.

Далее анализ и выводы, при необходимости подкреплённые графиками.

№6 ( .6Контрольная работа Кр ) Исследование .эффективности алгоритмов упорядоченияматриц

Пояснения и оформление отчета.

В Кр.6 необходимо представить результаты исследования эффективности прямого (СМ) алгоритма Катхилла и Макки, алгоритма Розена (LR), обратного алгоритма Катхилла и Макки (RCM), алгоритма Кинга (МК), а также алгоритма минимальной степени (QMD). при нескольких NRC.

Необходимо также представить результаты сопоставления заполнения множителя L, ширины его ленты и размера профиля без использования упорядочения и при различных упорядочениях, ширины ленты и размера профиля исходной матрицы с аналогичными характеристиками матриц, полученных без упорядочения и в результате разных упорядочений.

40

Предварительно надо привести распечатки образа матриц и множителя L для неупорядоченной матрицы и упорядоченной прямым алгоритмом Катхилла и Макки, методом Розена, обратным алгоритмом Катхилла и Макки, методом Кинга и алгоритмом минимальной степени.

Форма представления результатов по Кр.6 показана ниже на примере

неупорядоченной матрицы, матрицы после упорядочения прямым и обратным алгоритмами Катхилла и Макки, а также соответствующим им множителем L.

Пример: распечатка образа (или его части) неупорядоченной и упорядоченнойалгоритмамим СМ, RCM матрицы жесткости при NRC=3 для Example 2.

Пример: распечатка множителя L (или его части) неупорядоченной и упорядоченныхалгоритмами СМ и RCM матрицы жесткости NRC=3 для Example 2.

Неупорядоченная матрица Матрица, алгоритм CM Матрица, алгоритм RCM

Множитель L , алгоритм CMМножитель L неупорядоченной матрицы Множитель L , алгоритм RCM

41

42

Множитель L. (пример таблицы)

NR

C

Разм

ерно

сть

зада

чи,

NE

, NP

Вид

мат

рицы

Характеристикиматрицы Затраты памяти для хранения множителя L

Коэ

фф

ицие

нт

эфф

екти

внос

ти

испо

льзо

вани

я па

мят

и

Шир

ина

лент

ы

Разм

ер п

роф

иля

Чис

ло н

енул

евы

х эл

емен

тов

проф

иля

% за

полн

ения

об

олоч

ки

Шир

ина

лент

ы

Разм

ер п

роф

иля

мно

жит

еля

L

Чис

ло н

енул

евы

х эл

емен

тов

проф

иля

% за

полн

ения

об

олоч

ки

DIAG ENV XENV

Сум

ма

Чис

ло э

лем

енто

в ни

жне

го

треу

голь

ника

м

атри

цы

Чис

ло

испо

льзу

емы

х эл

емен

тов

Чис

ло

испо

льзу

емы

х эл

емен

тов

Чис

ло

нену

левы

х эл

емен

тов

% за

полн

ения

Чис

ло

испо

льзу

емы

х эл

емен

тов

3

____

NE=

NP=

неупорCMLR

RCMMK

QMD

10

____

NE=

NP=

неупорCMLR

RCMMK

QMD

Далее анализ и выводы, при необходимости подкреплённые графиками.

43

44

Организация работыв семестре и во время сессии

выдача заданий на выполнение контрольных работ проводится на третьей неделе сентября. Работа выполняется по мере прохождения соответствующего лекционного материала. Ориентировочное время выполнения и сдачи Кр1-4 последняя неделя ноября. Не возбраняется самостоятельное изучение материала и досрочное выполнение Кр1-4;

прием и проверка заданий по выполнению Кр1-4 проводится только до дня начала сессии;

проставление оценки Кр5 и Кр6 осуществляется только после завершения работы Кр1-4. Проверка Кр1-4 осуществляется до середины сессии или дня экзамена по дисциплине, если последний назначен в первой половине сессии.

основные консультации и проверка выполнения отдельных пунктов контрольных работ осуществляются по Интернету. Почтовый адрес преподавателя: stolyarchukva609@mail.ru.

Для увеличения эффективности проверки и консультаций любой предъявляемый материал контрольных работ должен сопровождаться программой (проектом), не обязательно работающей, и черновиком отчёта с уже выполненными или недовыполненными пунктами. Проект и черновик отчета в архивированном виде помещаются во вложение к почте. При пересылке рисунков необходимо использовать операции сжатия. В тексте сообщения обязательно указать тему консультации. При наличии в почте непроверенного сообщения с отчетом конкретного студента и появлении в почте следующего сообщения с отчетом того же студента проверяется последнее поступление.

При предъявлении (пересылке) проекта последний должен содержать в отдельной папке файл геометрии *.sfm, файл проекта *.spr и только модифицированные или составленные заново, а также дополнительные файлы типа calc, определенные настройками конфигураций проекта как «редактируемые».

Никакими файлами компиляции и папкой Obj проект не должен сопровождаться.

Отчет и папка проекта должны содержаться в одном архиве.

45

Дополнительные индивидуальные и групповые консультации по КР проводятся в институте в среду и четверг во второй половине дня в 70824 при наличии свободного времени у преподавателя;

проверка заданий по выполнению Кр1-4 проводится до дня начала сессии в строгом соответствии с очередностью поступления работ от студентов и с преимущественной проверкой в последнюю неделю перед сессией Кр1-4;

при невыполнении Кр1-4 до начала сессии преподаватель прекращает работу со студентом и дальнейшее выполнение КР может происходить при согласии преподавателя только после допуска деканата;

проверка Кр5 и Кр6 проводится только после выполнения Кр1-4;

перед оформлением отчета по любой из Кр1-6 студент обязан предъявить проект на проверку, а также для уточнения последующих этапов её выполнения.

Желаю успеха!

1Приложение Поясненияпо использованию программы SigmaPlot

Для проведения регрессионного анализа и экстраполяции с целью получения наиболее достоверных результатов, студентам предлагается использовать программу SigmaPlot для обработки результатов численного эксперимента. Рекомендуется использовать SigmaPlot-9.

1) Необходимо занести численные табличные значения, полученные в ходе исследования;

46

На панели выбрать вкладку Analysis -> Regression Wizard;

2) Затем студент самостоятельно подбирает вид функций и количество параметров, таким образом, исследуя результаты, чтобы получить оптимальный результат;

47

3) В итоге получаем уравнение функции, с подобранными параметрами и графическое изображение.

2Приложение Получение значений напряжений в САЕ Nastran

Выбираем в Toolbar: List-Output-QueryВ открывшемся окне, выбираем необходимые Lam

48

*Выбраны: Напряжение по X Напряжение по Y Касательное

напряжение 1-е главное напряжение 2-е главное напряжение

Эквивалентное напряжение

Отображены выбраненные Lam в КЭ №16 при NRC=3

49

3Приложение Описание назначения массивов комплекса Sigma

XADJ. Массив хранит структуру смежности упорядоченного графа. Число элементов равно числу узлов пластины плюс один (NP+1).

ADJNCY. Массив хранит структуру смежности графа матрицы. Размерность предсказать сложно.

PERM. Этот массив хранит вектор, содержащий обратное переупорядочение Катхилла-Макки (NP).

INVP. Массив с информацией о перестановке для переупорядочения матрицы. Число элементов равно числу узлов пластины (NP).

XENV. Индексный массив профильного метода. Число элементов данного массива на один больше чем в массиве DIAG (NP*2+1).

ENV. Массив оболочки (профиля) матрицы жесткости. Так как матрица разрежена, то для экономии памяти она хранится в специальном формате в нескольких массивах (используется модифицированная профильная схема хранения). Основной из этих массивов – массив ENV. Размерность ENV предсказать сложно.

NOP. Массив номеров узлов КЭ. Первые три элемента этого массива являются номерами узлов первого КЭ, вторая тройка элементов - второго КЭ 2 и т.д. (NE*3).

CORD. Одномерный массив глобальных координат узлов. Минимальное число элементов массива определяется как произведение числа узлов пластины на количество степеней свободы (NP*2).

DIAG. Массив диагональных элементов матрицы жесткости. Размер массива равен размеру матрицы жёсткости. Размер матрицы жёсткости – это произведение количества узлов на число степеней свободы узла. Размер матрицы жесткости будет равен: число узлов*2 (NP*2).

ORT. Массив характеристик металла, из которого изготовлена конструкция. Количество элементов: N*7, где N – число материалов. Структура: ORT(1) - модуль упругости E; ORT(2) – коэффициент Пуассона; ORT(3) – предел прочности; ORT(4)-ORT(6) – равны 0; ORT(7) – толщина материала;

IMAT. Массив номеров материалов конечных элементов. Число элементов этого массива равно числу конечных элементов пластины (NE).

R. Массив для хранения значений нагрузок приложенных к узлам. Число элементов массива определяется как произведение числа узлов пластины на 2 (разложение силы по двум осям) (NP*2). Но массив R используется в других подпрограммах по другому назначению. Поэтому определение его размерности требует специального исследования.

50

NBC. В этот массив заносятся номера закрепленных узлов. Число элементов равно числу закрепленных узлов (NB).

NFIX. Массив признаков закрепления по оси X или Y. Число элементов равно числу закрепленных узлов (NB).

ESIGMA. этот массив хранит значения 6 видов напряжений и значение угла для каждого конечного элемента. На один конечный элемент приходится семь элементов данного массива, т. о. количество элементов равняется числу конечных элементов умноженному на 7 (NE*7).

JT. Двумерный массив, номер строки которого указывает номер зоны, а в четырёх позициях строки, соответствующим номерам сторон зоны, указываются номера зон, с которыми стыкуется данная сторона. По умолчанию размерность массива JT [20,4].

СORDDR_NO_OPT. Массив для хранения глобальных координат узлов при неоптимизированной сетке. Число элементов массива определяется как произведение числа узлов пластины на количество степеней свободы (NP*2).

NOTMOVE. Массив для хранения номеров узлов, которые лежат на границе материалов. Не задействован.

Использование массивов в комплексе.

Приведенная ниже таблица показывает, в каких подпрограммах используются массивы

JT EN

VA

DJN

CY

CO

RD

DR

_N

O_O

PT

NOTM

OV

E

CO

RD

NO

P

OR

T

IMA

T

NB

C

NFI

X

ESI

GM

A

DIA

G

XE

NV

XA

DJ

PER

M

INV

P

R

BOUND + + +DATA +DEGREE + + +DGRIDDELSLV + + + +ESFCT + + +EUSLV + + + +FNENDD + + + + +FNROOT + +FORMDD + + + + + + + + +FORCE + +GENRCM + + +GRIDDM + + + +MAIN + + + + + + + + + + + + + + + +MGSDTR + + + +PRNTDD + + +RCM + + +RCMSLV +

++ + +

RENMDD + + + + + + +

51

ROOTLS + +STRSDD + + +STSM + + +

REGULARIZATION(REGULARIZATION.for)

+ +/-

GRID (C_dgridd_DGRIDD.for)

+ +

SIGMAS(C_dgridd_DGRIDD.for)

+

DELTA(C_dgridd_DGRIDD.for)

+

MATERIALS(C_dgridd_DGRIDD.for)

+ +

Массивы CORDDR_NO_OPT и NOTMOVE не описаны в main и находятся в процедуре REGULARIZATION. Некоторые массивы, используются несколько раз. К примеру, массив ENV в подпрограмме GRIDDM используется для временного хранения координат узлов КЭ до оптимизации, в вызываемых из подпрограммы RCMSLV подпрограммах ELSLV и EUSLV, массив R используется как вектор решения и вектор правых частей при решении системы уравнений профильным методом.