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2017年河南省濮阳市高考理科数学一模试卷（Word版含解析）一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（ 5 分）（ 2017•濮阳一模）设全集 U=R， A={x|x2 x 6﹣ ﹣ ＜0}，B={x|y=lg（x+1）}，则图中阴影部分表示的集合为（　　）

A．{x| 3﹣ ＜x＜﹣1} B．{x| 3﹣ ＜x＜0} C．{x| 1﹣ ＜x＜3} D ．{x|x＞﹣1}

【考点】Venn图表达集合的关系及运算．菁优网版权所有【专题】综合题；转化思想；演绎法；集合．【分析】阴影部分表示的集合为A∩B，解出A，B，再求交集．【解答】解：阴影部分表示的集合为 A∩B，而 A={x|x2 x 6﹣ ﹣ ＜0}={x| 2﹣

＜x＜3}，B={x|y=lg（x+1）}={x|x＞﹣1}，故A∩B={x| 1﹣ ＜x＜3}，故选C．【点评】本题考查了求 Venn图表示的集合，关键是根据图形会判断出阴影部分表示的集合元素特征，再通过集合运算求出．2．（5分）（2017•濮阳一模）计算 =（　　）A．﹣2i B．0 C．2i D．2

【考点】虚数单位 i及其性质；复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有【专题】转化思想；数系的扩充和复数．

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【分析】由于 = = =i， = = i﹣．i4=1．即可得出．

【解答】解：∵ = = =i， = = i﹣．i4=1．∴ =（i4）504•i+[（﹣i）4]504•（﹣i）=i i=0﹣ ．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、周期性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）（2017•濮阳一模）若向量 =（1，2）， =（4，5），且•（λ + ）=0，则实数 λ的值为（　　）A．3 B．﹣ C．﹣3 D．﹣【考点】平面向量的坐标运算．菁优网版权所有【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用．【分析】根据平面向量的坐标运算法则与数量积运算，列出方程即可求出实数λ的值．【解答】解：向量 =（1，2）， =（4，5），所以 = + = ﹣ =（3，3），λ + =（λ+4，2λ+5），又且 •（λ + ）=0，所以 3（λ+4）+3（2λ+5）=0，解得 λ= 3﹣ ．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与数量积运算的应用问题，是基础题

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目．　4．（5分）（2017•濮阳一模）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面．命题 p：若 α∩β=m，m⊥n，则 n⊥α；命题 q：若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n．那么下列命题中的真命题是（　　）A．p∧q B．p∨￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q

【考点】命题的真假判断与应用．菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】判断命题 p与 q的真假，命题的发的真假，然后推出结果即可．【解答】解：垂直平面的内的一条直线，不能确定直线与平面垂直，所以命题p是假命题；命题 q满足直线与平面平行的性质定理，所以命题 q是真命题；所以￢p是真命题；可得￢p∧q是真命题；故选：C．【点评】本题考查复合命题的真假的判断，空间直线与平面的位置关系的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．　5．（5分）（2017•濮阳一模）在利用最小二乘法求回归方程时，用到了如表中的 5组数据，则表格 a中的值为（　　）x 10 20 3

040 50

y 62 a 75

81 89

A．68 B．70 C．75 D．72

【考点】线性回归方程．菁优网版权所有

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【专题】计算题；方程思想；演绎法；概率与统计．【分析】由题意回归直线方程 ，过样本点的中心点，即可得 a的值．【解答】解：由题意可得 = （ 10+20+30+40+50） =30， =（62+a+75+81+89），因为回归直线方程 ，过样本点的中心点，所以 （a+307）=0.67×30+54.9，解得 a=68

故选A．【点评】本题考查线性回归方程，利用回归直线过样本点的中心点是解决问题的关键，属基础题．　6．（5分）（2017•濮阳一模）某几何体的三视图如图所示，图中四边形都是边长为 2的正方形，两条虚线相互垂直，则该几何体的表面积是（　　）

A． B． C． D．【考点】由三视图求面积、体积．菁优网版权所有【专题】综合题；转化思想；演绎法；空间位置关系与距离．【分析】由三视图知原几何体是一个棱长为 2的正方体挖去一圆锥得到的，根据所提供的数据可求出正方体、圆锥的表面积．

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【解答】解：由三视图知原几何体是一个棱长为 2的正方体挖去一圆锥得到的，该圆锥的底为正方形的内切圆，高为 1，∴该几何体的体积为 6×22 π+π×1×﹣ =24+（ ）π．故选B．【点评】本题主要考查三视图的应用，以及空间几何体的表面积计算，要求熟练掌握常见几何体的表面积公式．　7．（ 5 分）（ 2017•濮阳一模）在△ ABC 中， D 为 BC 边上的一点，AD=BD=5，DC=4，∠BAD=∠DAC则AC=（　　）A．9 B．8 C．7 D．6

【考点】正弦定理．菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；数形结合法；解三角形．【分析】设∠ B=θ，则∠ ADC=2θ，在△ ADC 中，由正弦定理可求AC=8cosθ，在△ABC中，由正弦定理得 = ，联立可求 cosθ的值，即可得解AC的值．【解答】解：设∠B=θ，则∠ADC=2θ，在△ADC中，由 ，所以，AC=8cosθ，在△ABC中，由 = ，可得： = ，所以，16cos2θ=9，可得：cosθ= ，所以：AC=8× =6．故选：D．

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【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．　8．（5分）（2017•濮阳一模）抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点为圆 x2+y2

6x=0﹣ 的圆心，过圆心且斜率为 2的直线 l与抛物线相交于M，N两点，则|

MN|=（　　）A．30 B．25 C．20 D．15

【考点】直线与抛物线的位置关系．菁优网版权所有【专题】计算题；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线方程，直线 l的方程为：y=x 1﹣ ，与抛物线方程联立化为：y2+6y+1=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义即可得出．【解答】解：圆 x2+y2 6x=0﹣ 的圆心（3，0），焦点 F（3，0），抛物线y2=12x，设M（x1，y1），N（x2，y2）．直线 l的方程为：y=2x 6﹣ ，

联立 ，化为：x2+ 9x+9=0﹣ ，∴x1+x2=9，∴|MN|=x1+x2+p=9+6=15，故选：D．

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【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　9．（5分）（2017•濮阳一模）某电视台曾在某时间段连续播放 5个不同的商业广告，现在要在该时间段只保留其中的 2个商业广告，新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放，则不同的播放顺序共有（　　）A．60 种 B．120 种 C．144 种 D．300 种【考点】排列、组合的实际应用．菁优网版权所有【专题】应用题；方程思想；演绎法；排列组合．【分析】要在该时间段只保留其中的 2个商业广告，有 A52=20 种方法，增播一个商业广告，利用插空法有 3 种方法，再在 2个空中，插入两个不同的公益宣传广告，共有 2 种方法，利用乘法原理，可得结论．【解答】解：由题意，要在该时间段只保留其中的 2个商业广告，有 A52=20

种方法，增播一个商业广告，利用插空法有 3 种方法，再在 2个空中，插入两个不同的公益宣传广告，共有 2 种方法根据乘法原理，共有 20×3×2=120 种方法．故选：B．【点评】本题考查乘法原理，考查插空法的运用，正确分步是关键．　10 ． （ 5 分 ） （ 2017• 濮 阳 一 模 ） 已 知 函 数

的图象的相邻两对称轴之间的距离为

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π ， 且 在 时 取 得 最 大 值 2 ， 若 ， 且 ， 则的值为（　　）

A． B． C． D．【考点】两角和与差的正弦函数．菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由已知可求周期，利用周期公式可求 ω，由 x= 时，f（x）取得最大值，结合范围 φ∈[0， ]，可求 φ，求得函数 f（x）的解析式，由，可得 sin（α+ ）的值，可求范围 ＜α+ ＜π，利用同角三角函数基本关系式可求 cos（α+ ）的值，利用二倍角的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为 12分）解：∵若 f（x）图象上相邻两条对称轴之间的距离为 π，∴三角函数的周期 T=2π，即 T= =2π，即ω=1，则 f（x）=sin（x+φ）+1，当 x= 时，f（x）取得最大值，即：sin（ +φ）=1，即： +φ= +2kπ，k∈Z，即：φ= +2kπ，k∈Z，∵φ∈[0， ]，∴φ= ，则函数 f（x）的解析式为：f（x）=sin（x+ ）+1．∵f（α）=sin（α+ ）+1= ，可得：sin（α+ ）= ，∵ ＜α＜ ，可得： ＜α+ ＜π，

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∴cos（α+ ）=﹣ =﹣ ．∴ =2sin（α+ ）cos（α+ ）=2× ×（﹣ ）=﹣ ．故选：D．【点评】本题主要考查了由 y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了三角函数的图象和性质，考查了三角函数化简求值，利用条件求出函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题．　

11．（5分）（2017•濮阳一模）双曲线 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 作 x 轴的垂线交双曲线于 A，B两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（　　）A． B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．菁优网版权所有【专题】计算题；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】直接利用双曲线的通径与 ，得到 a，b，c的关系，运用离心率公式，求出双曲线的离心率的范围．

【解答】解：由题意可知，双曲线的通径为： ，因为过焦点 F1且垂直于 x 轴的弦为AB，若 ，

所以 =tan∠AF2B＜ ，e= ＞1，

所以 ， ，由解得 e∈（1， ）．

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故选：A．【点评】本题考查双曲线的基本性质，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．　

12．（5分）（2017•濮阳一模）已知函数 f（x）= （a

＞0，a≠1）的图象上关于直线 x=1 对称的点有且仅有一对，则实数 a的取值范围是（　　）

A．[ ， ]∪{ } B．[ ， ）∪{ } C．[ ， ]∪{ } D ． [

， ）∪{ }

【考点】分段函数的应用．菁优网版权所有【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用．

【分析】若函数 f（x）= （a＞0，a≠1）的图象上关于直线 x=1 对称的点有且仅有一对，则函数 y=logax与 y=2|x 5| 2﹣ ﹣ 在[3，7]

上有且只有一个交点，解得实数 a的取值范围．

【解答】解：∵函数 f（x）= （a＞0，a≠1）的图象上关于直线 x=1 对称的点有且仅有一对，∴函数 y=logax，与 y=2|x 5| 2﹣ ﹣ 在[3，7]上有且只有一个交点，当对数函数的图象过（5，﹣2）点时，

由 loga5= 2﹣ ，解得 a= ；

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当对数函数的图象过（3，2）点时，由 loga3=2，解得 a= ；当对数函数的图象过（7，2）点时，由 loga7=2，解得 a= ．

故 a∈[ ， ）∪{ }，故选：D．

【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，注意运用转化思想，转化为函数的图象的交点问题，考查数形结合思想，难度中档．　二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）（2017•濮阳一模）若 展开式中的所有二项式系数和为 512，则该展开式中的常数项为　﹣ 　．【考点】二项式定理的应用．菁优网版权所有【专题】计算题；方程思想；演绎法；二项式定理．【分析】利用展开式的所有二项式系数的和，然后求出 n的值，利用二项式的通项，求出常数项即可．【解答】解：展开式中所有二项式系数和为 512，即 2n=512，则 n=9，

Tr+1=（﹣ ）rC9r ，

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令 =0，则 r=3，所以该展开式中的常数项为﹣ ．故答案为：﹣ ．【点评】本题考查二项式定理的应用，二项式定理系数的性质，特定项的求法，考查计算能力．　

14．（5分）（2017•濮阳一模）运行程序框图，若输出的 S的值为 ，则判断框内的整数 a为　 10 　 ．

【考点】程序框图．菁优网版权所有【专题】计算题；图表型；试验法；等差数列与等比数列；算法和程序框图．【分析】模拟程序的运行，可知输出结果是首项为 ，公比为 的等比数列的前 k 项和，由输出的 S的值为 1﹣ ，可求判断框中的整数 a的值．

【解答】解： =1﹣ ，由程序框图可知，输出结果是首项为 ，公比为 的等比数列的前 k 项和，若输出的 S的值为 1﹣ ，则判断框中的整数 a为 10．故答案为：10．

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【点评】本题主要考查了算法和程序框图的应用，着重考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题．　

15．（5分）（2017•濮阳一模）若实数 x，y满足不等式组 ，则的取值范围是为　 [ ， 3 ）　 ．

【考点】简单线性规划．菁优网版权所有【专题】计算题；函数思想；转化思想；不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．

【解答】解：作出不等式组 对应的平面区域如图：∵ =1+ ，设 k= ，则 k的几何意义为区域内的点到定点 D（﹣1，﹣1）的斜率，由图象知 BD的斜率最小，AD的斜率最大，如果 A在可行域则 k的最大为：

=2，最小为： = ，即 k＜2，则 ≤k+1＜3，故 的取值范围是[ ，3），故答案为：[ ，3）．

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【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z的几何意义以及斜率的计算，通过数形结合是解决本题的关键．　16．（5分）（2017•濮阳一模）设 f'（x）是函数 f（x）在定义域 R上的导函数，若 f（0）=1且 f'（x）﹣2f（x）=0，则不等式 f（ln（x2 x﹣ ））＜4

的解集为　（﹣ 1 ， 0 ）∪（ 1 ， 2 ）　 ．【考点】函数的单调性与导数的关系．菁优网版权所有【专题】函数思想；构造法；导数的概念及应用．【分析】根据题意，不妨设 f（x）=e2x，x∈R，则 f（x）在 R上是单调增函数，把不等式 f（ln（x2 x﹣ ））＜4化为 ln（x2 x﹣ ）＜ln2，从而求出不等式的解集．【解答】解：根据题意，不妨设 f（x）=e2x，x∈R，则 f′（x）=2e2x，满足 f（0）=e0=1，且 f′（x）﹣2f（x）=0；所以 f（x）在R上是单调增函数；又 4=eln4=e2ln2=f（ln2），所以不等式 f（ln（x2 x﹣ ））＜4 等价于 ln（x2 x﹣ ）＜ln2，

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即 ，

解得 ，即﹣1＜x＜0 或 1＜x＜2；所以该不等式的解集为（﹣1，0）∪（1，2）．故答案为：（﹣1，0）∪（1，2）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，也考查了构造函数的解题方法，是综合性题目．　三、解答题：本大题共 5小题，共 70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12 分）（2017•濮阳一模）设等 差数列{an}的前 n 项和 Sn满足S5=15，且 2a2，a6，a8+1 成公比大于 1的等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设 ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn．【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．菁优网版权所有【专题】计算题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等 差数列的首 项与公差通过数列的和求出 a3，利用2a2，a6，a8+1 成公比大于 1的等比数列，求出公差，然后求解数列的通项公式．（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】解：（1）设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，S5=15，所以

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a3=3，2a2，a6，a8+1 成公比大于 1的等比数列，所以 a62=2a2（a8+1），即：（a3+3d）2=2（a3 d﹣ ）（a3+5d+1），所以d=1 或 d= （舍去），所以 a1=a3 2d=3 2=1﹣ ﹣ ．所以 an=n，数列{an}的通项公式为：an=n；

（2）由（1）可知：设 ，=n•（ ）n，Tn=1× +2×（ ）2+3×（ ）3+…+n•（ ）n…①；①×2 可得： Tn=1×（ ）2+2×（ ）3+3×（ ）4+…+（n 1﹣ ）（）n+n•（ ）n+1…②，① ②﹣ 得： Tn= +（ ） 2+（ ） 3+…+（ ） n n•﹣ （ ） n+1 n•﹣ （

）n+1= =1﹣（ ）n n•﹣ （ ）n+1．

∴Tn=2﹣ ．【点评】本题考查数列求和，数列通项公式的应用，考查计算能力．　18．（12分）（2017•濮阳一模）为了更好地让学生适应高考网上阅卷，某学校针对该校 20个班级进行了“汉字与英语书法大赛”（每个班级只有一个指导老师），并调查了各班参加该比赛的学生人数，根据所得数据，分组成[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25），[25，30），[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图如图：

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（1）如果从参加比赛的学生人数在 25 人以上（含 25 人）的班级中随机选取2个指导老师颁发“参与组织奖”，那么至少有一位来自“参与学生人数在[25，30）内的班级”的指导老师获奖的概率是多少？（2）如果从参加比赛的学生人数在 25 人以上（含 25 人）的班级中随机选取3个指导老师颁发“参与组织奖”，设“参与学生人数在[25，30）内的班级”的指导老师获奖人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望 E（X）．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有【专题】数形结合；转化思想；概率与统计．【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可得∴从参加比赛的学生人数在 25

人以上（含 25 人）的班级的指导老师共有 8 人．那么至少有一位来自“参与

学生人数在[25，30）内的班级”的指导老师获奖的概率是 P=1﹣ ．

（2）根据（1）可知：X的取值可能为 0，1，2，3．P（X=k）= ，即可得出．【解答】解：（1）根据频率分布直方图可得： [25，30）对应的频数为20×0.03×5=3，[30，35）对应的频数为 20×0.03×5=3，

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[35，40）对应的频数为 20×0.02×5=2．∴从参加比赛的学生人数在 25 人以上（含 25 人）的班级的指导老师共有 8

人．那么至少有一位来自“参与学生人数在[25，30）内的班级”的指导老师获奖

的概率是 P=1﹣ = ．

（2）根据（1）可知：X的取值可能为 0，1，2，3．P（X=k）= ，可得 P（X=0）= ，可得 P（X=1）= ，可得 P（X=2）= ，可得P（X=3）= ．可得X的分布列：

X 0 1 2 3P

∴E（X）=0× +1× +2× +3× = ．【点评】本题考查了频率分布直方图的性质、超几何分布列的概率与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　19 ． （ 12 分 ） （ 2017• 濮 阳 一 模 ） 如 图 ， 四 边 形 ABCD 为 梯形，AB∥CD，PD⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°， ．（1）线段 BC上是否存在一点 E，使平面 PBC⊥平面 PDE？若存在，请给出的值，并进行证明；若不存在，请说明理由．

（2）若 ，线段 PC上有一点 F，且 PC=3PF，求直线 AF与平面 PBC所成角的正弦值．

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【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．菁优网版权所有【专题】综合题；转化思想；演绎法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）连结 DE，PE，BD，便可得到 BD=DC，而 E又是 BC中点，从而得到 BC⊥DE，而由 PD⊥平面 ABCD 便可得到 BC⊥PD，从而得出 BC⊥

平面 PDE，根据面面垂直的判定定理即可得出平面 PBC⊥平面 PDE；（2）建立如图所示的坐标系，求出平面 PBC的法向量，即可求直线 AF与平面 PBC所成角的正弦值．【解答】解：（1） =1时，平面 PBC⊥平面 PDE．证明：连结DE，PE，BD，∠BAD=90°，AB=1，DA= ，∴BD=DC=2a，E为BC中点，∴BC⊥DE；又 PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD；∴BC⊥PD，DE∩PD=D；∴BC⊥平面 PDE；∵BC⊂平面 PBC；∴平面 PBC⊥平面 PDE；（2）建立如图所示的坐标系，则 D（0，0，0），P（0，0， ），A（

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，0，0），B（ ，1，0），C（0，2，0），

∵PC=3PF，∴F（0， ， ），

∴ =（﹣ ， ， ），设平面 PBC的法向量为 =（x，y，z），∵ =（﹣ ，1，0）， =（0，2，﹣ ），

∴ ，取 =（1， ，2）．

∴直线AF与平面 PBC所成角的正弦值=| |= ．

【点评】本题考查线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，考查线面角，考查向量知识的运用，属于中档题．．　

20．（12分）（2017•濮阳一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1，F2，上顶点为 A，点 在椭圆 C上，过点 A与 AF2垂直的直线交 x 轴负半轴于点B，且 ．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在过点Q（4，0）的直线m与椭圆C相交于不同的两点M，N，

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使得 36|QP|2=35|QM|•|QN|？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．菁优网版权所有【专题】对应思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设出 B的坐标，根据 • =0，以及 F1为 F2B的中点，求出a=2c，得到关于 a，b，c的方程，求出椭圆的方程即可；（2）设直线 m的范围为 y=k（x 4﹣ ），联立方程组得到（3+4k2）x2﹣

32k2x+64k2 12=0﹣ ，求出 k的范围，设M（x1，y1），N （x2，y2），得到关于 k的方程，解出即可．【解答】解：（1）设B（x0，0），由 F2（c，0），A（0，b），得 =（﹣c，b）， =（x0，﹣b），∵ • =0，∴﹣cx0 b﹣ 2=0，

∴x0=﹣ ，∵2 + =0，∴F1为 F2B的中点，

∴﹣ +c= 2c﹣ ，∴b2=3c2=a2 c﹣ 2，∴a=2c，

由 ，解得 ，

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∴椭圆的方程是 + =1；（2）由题意得直线m的斜率存在，∴可设直线m的范围为 y=k（x 4﹣ ），

由 ，消去 y，整理得（3+4k2）x2 32k﹣ 2x+64k2 12=0﹣ ，由△=（32k2）2 4﹣ （3+4k2）（64k2 12﹣ ）＞0，解得：﹣ ＜k＜ ，设M（x1，y1），N （x2，y2），

则 x1+x2= ，x1x2= ，∵|PQ|2= ，∴|QM|•|QN|= ，又|QM|•|QN|= ×

=（k2+1）[x1x2 4﹣ （x1+x2）+16]=（k2+1）• ，

∴（k2+1）• = ，

解得：k= ，经检验成立，

∴直线方程是 y=± （x 4﹣ ）即 x+4y 4﹣ =0 或 x 4y 4﹣ ﹣ =0．【点评】本题考查了椭圆方程的求解，直线与椭圆位置关系的问题，考查分析理解与计算能力．　21．（12分）（2017•濮阳一模）设函数 f（x）=alnx bx﹣ 2．

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（1）当 b=1时，讨论函数 f（x）的单调性； （2）当 a=1，b=0 时，函数 g（x）=f（x）﹣kx，k 为常数，若函数g（x）有两个相异零点 x1，x2，证明：x1•x2＞e2．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．菁优网版权所有【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论 a的范围求出函数的单调区间即可；

（2）求出 =k，问题转化为证明 ＞ ，即证明 ln

＞ ，设 t= ，则 t＞1，设 h（t）=lnt﹣ ，（t＞1），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）b=1时，f（x）=alnx x﹣ 2，定义域是（0，+∞），

∴f′（x）= （x＞0），①a≤0时，a 2x﹣ 2≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）递减；

②a＞0时，f′（x）= ，（x＞0），x∈（0， ）时，f′（x）＞0，x∈（ ，+∞）时，f′（x）＜0，

故 f（x）在（ ，+∞）递减，在（0， ）递增；证明：（2）a=1，b=0时，g（x）=f（x）﹣kx=lnx kx﹣ ，由 g（x）=0，得：lnx=kx，设 x1＞x2，∵lnx1 kx﹣ 1=0，lnx2 kx﹣ 2=0，

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∴lnx1+lnx2=k（x1+x2），lnx1 lnx﹣ 2=k（x1 x﹣ 2），

∴ =k，要证明 x1x2＞e2，只需证明 lnx1+lnx2＞2，

即证明 k（x1+x2）＞2，即证明 k＞ ，

即证明 ＞ ，

即证明 ln ＞ ，

设 t= ，则 t＞1，设 h（t）=lnt﹣ ，（t＞1），

则 h′（t）= ＞0，∴函数 h（t）在（1，+∞）递增，∵h（1）=0，∴h（t）＞h（1）=0，∴lnt＞ ，∴x1x2＞e2．【点评】本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分析理解与计算能力，是一道综合题．　请考生在第 22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用 2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修 4-4：参数

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方程与极坐标系]22．（10分）（2017•濮阳一模）在直角坐标系 xoy中，圆的参数方程为

（θ为参数），直线C1的参数方程为 （t为参数）．（1）若直线C1与O圆相交于A，B，求弦长|AB|；（2）以该直角坐标系的原点 O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C2的极坐标方程为 ，圆 O 和圆 C2的交点为P，Q，求弦 PQ所在直线的直角坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．菁优网版权所有【专题】参数法；坐标系和参数方程．【分析】（1）将参数方程化为普通方程，求圆心到直线的距离，利用勾股定理即可求弦长|AB|；（2）将圆C2的极坐标方程 化为普通方程，整体代换可得弦 PQ所在直线的直角坐标方程．

【解答】解：（1）由直线C1的参数方程为 （t为参数）消去参数 t，可得：x y+1=0﹣ ，即直线C1的普通方程为 x y+1=0﹣ ．

圆的参数方程为 （θ为参数），根据 sin2θ+cos2θ=1 消去参数 θ，可得：x2+y2=2．

那么：圆心到直线的距离 d=

故得弦长|AB|=2 = ．（2）圆C2的极坐标方程为 ，

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利 用 ρ2=x2+y2 ， ρcosθ=x ， ρsinθ=y ， 可 得 圆 C2 的 普 通 方 程 为．

∵圆O为：x2+y2=2．∴弦 PQ所在直线的直角坐标方程为：2= ，即 ．【点评】本题考查点的参数方程和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决问题．　[选修4-5：不等式选讲]23 ． （ 2017• 濮 阳 一 模 ） 已 知 函 数 f （ x ） =|x 1|﹣ ， 不 等 式f（x+5）≤3m（m＞0）的解集为[ 7﹣ ，﹣1]

（1）求m的值；（2）已知 a＞0，b＞0，且 2a2+b2=3m，求 2a 的最大值．【考点】绝对值不等式的解法．菁优网版权所有【专题】转化思想；综合法；不等式．【分析】（1）解绝对值不等式求得它的解集为[ 4 3m﹣ ﹣ ，3m 4]﹣ ，再根据

它的解集为[ 7﹣ ，﹣1]，可得 ，从而求得 m的值．（2）根据 2a = • a• ，利用基本不等式求得它的最大值．【解答】解：（1）函数 f（x）=|x 1|﹣ ，不等式 f（x+5）≤3m（m＞0），即|x+4|≤3m，即﹣3m≤x+4≤3m，即﹣4 3m≤x≤3m 4﹣ ﹣ ，即不等式的解集为[ 4 3m﹣ ﹣ ，3m 4]﹣ ．

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再根据它的解集为[ 7﹣ ，﹣1]，可得 ，∴m=1．（2）已知 a＞0，b＞0，且 2a2+b2=3m=3，∴2a = • a•

≤ • =2 ，当且仅当 a= 时，即 a=b=1时，等号成立，故 2a 的最大值为2 ．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题．