conduongcoxua.files.wordpress.com · web viewmọi giáo viên toán thcs đều có thể dùng...

www.huongdanvn.comNhững sai lầm cần khắc phục và một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Phương trình là một chủ đề chính trong chương trình toán phổ thông. Trong chương trình Toán bâc THCS, phương trình là một trong nhưng chuyên đề xuyên suôt 4 năm hoc, băt đâu tư nhưng bài toán “Tìm x biêt ...” ở lơp 6 , tìm nghiệm của đa thức ở lơp 7 đên giải phương trình bâc nhất ở cuôi năm hoc lơp 8 và hoàn thiện cơ bản các nội dung về phương trình bâc hai ở hoc kì II Đai sô lơp 9. Trong đó phương trình vô tỉ (phương trình có chứa ẩn dươi dấu căn) sách giáo khoa và sách bài tâp chỉ lươt qua, nhưng trong các kì thi tuyển sinh vào lơp10 THPT, thi tuyển vào trường chuyên lơp chon, các kì thi hoc sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh lai thường xuyên có bài toán này. Nêu giáo viên không chú ý trang bị tôt kiên thức và phương pháp giải hợp lí thì hoc sinh khó vượt qua được. Vấn đề đăt ra là làm thê nào để giúp hoc sinh giải tôt các dang phương trình vô tỉ? Khi găp bất cứ một bài toán về phương trình vô tỉ nào hoc sinh cung có tìm ra hương giải đúng và han chê được nhưng sai lâm đáng tiêc trong quá trình giải toán.

Qua thực tê giảng day nhiều năm ở môn Toán 9 và bồi dưỡng hoc sinh giỏi phân môn đai sô tôi đã sưu tâm, chon loc tích luỹ và sáng tác thêm một sô bài toán mơi viêt thành đề tài “ Những sai lầm cần khắc phục và một số phương pháp giải phương trình vô tỉ” trong khuôn khổ chương trình toán bâc THCS, nhằm giúp hoc sinh tránh được nhưng sai lâm khi giải phương trình vô tỉ . Tư đó trang bị cho hoc sinh một sô phương pháp để giải các bài toán về phương trình vô tỉ. Vơi mong muôn trao đổi kinh nghiệm cùng các ban đồng nghiệp để có thêm một chuyên đề bồi dưỡng đội tuyển dự thi hoc sinh giỏi các cấp được hoàn thiện.

1. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ

Trong phân phôi chương trình TOÁN 9, không có tiêt day giành riêng cho giải phương trình vô tỉ (hoc sinh sẽ được hoc vào chương trình đai sô 10 THPT). Cụ thể trong chương “ CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA” có 18 tiêt, trong đó 6 tiêt lý thuyêt, 4 tiêt luyện tâp, 6 tiêt đôi vưa day lý thuyêt vưa luyện tâp, 1 tiêt ôn tâp và 1 tiêt kiểm tra. Giáo viên giảng day trên lơp thường ít chú ý rèn kĩ năng giải các dang phương trình vô tỉ cho hoc sinh, nêu có thì chỉ là một bài tâp củng cô nhỏ nhằm hoàn thiện kiên thức sau mỗi tiêt day nên khả năng vân dụng kiên thức vào giải phương trình vô tỉ của hoc sinh còn nhiều han chê.

Bài tâp vân dụng sách giáo khoa và sách bài tâp TOÁN 9 rất ít. Toàn bộ chương I có 76 bài tâp được chia làm nhiều dang loai khác nhau, trong đó dang bài tâp đề câp đên tìm x (giải phương trình vô tỉ) có 5 bài tâp. Sách bài tâp toán 9 có 108 bài, dang toán liên quan đên giải phương trình vô tỉ cung chỉ có 5 bài tâp. Sau mỗi bài day lý thuyêt không có nhiều hơn một bài tâp về dang toán này. Kĩ năng nhân dang và lựa chon phương pháp giải của hoc sinh đai trà rất han chê. Hoc sinh giỏi không có tài liệu để đoc và tham khảo.

Giáo viên : Nguyễn Văn Thanh1


Khi giảng day tiêt lý thuyêt cung như bài tâp giáo viên thường xem nhẹ việc rèn kĩ năng giải phương trình chứa ẩn dươi dấu căn thức và chưa dưng lai để phân tích nhưng sai lâm mà hoc sinh thường măc phải khi giải dang toán này. Chính vì vây khi găp phải dang toán giải phương trình vô tỉ rất nhiều hoc sinh đai trà không giải được, có một sô em giải được nhưng không đat điểm tôi đa vì măc nhưng sai lâm hêt sức đáng tiêc.

Bài toán giải phương trình vô tỉ là bài toán thường găp trong các kì thi hoc sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh. Đề thi tiềm ẩn dươi nhiều dang khác nhau nêu hoc sinh không được trang bị tôt kiên thức và năm vưng phương pháp giải thì khó vượt qua được .

Đôi vơi giáo viên nêu chỉ dưng lai ở việc hoàn chỉnh kiên thức cơ bản của sách giáo khoa không đi sâu nghiên cứu kĩ các dang toán về phương trình vô tỉ, khi găp phải dang toán này vẫn có nhưng han chê nhất đinh. Tôi xin giơi thiệu kêt quả thông kê điểm bài 5 (bài thi GVDG cấp huyện năm học 2011 – 2012) cho các ban tham khảo.

Bài 5: ( 2,0 điểm ) Giải phương trình sau bằng 2 cách : 3

Điểm 0 0,25 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5 1,75 2,0 TSSL 1 4 9 5 1 0 2 0 0 22

Nhận xét của giám khảo:- Chưa có thí sinh nào giải hoàn chỉnh bài toán bằng 2 cách.- Trên 50% số thí sinh không xác định hướng đựơc cách giải bài toán.

Chính vì những thực trạng trên nên đòi hỏi phải có giải pháp mới để giải quyết.

2. Ý NGHĨA VÀ TÁC DỤNG CỦA GIẢI PHÁP MỚI.2.1. Đối với học sinh:Hoc sinh khăc phục được nhưng sai lâm khi giải các dang phương trình vô tỉ.Hoc sinh nhân dang và định hương được cách giải cho các dang toán về phương trình vô tỉ

thuộc pham vi chương trình toán trung hoc cơ sở. Hoc sinh giỏi giải được các bài toán về phương trình vô tỉ thuộc pham vi chương trình toán

trung hoc cơ sở, có thể giải được các dang toán về phương trình vô tỉ trong chương trình toán trung hoc phổ thông và trong các đề thi vào các trường Đai hoc – Cao đẳng.

2.2. Đối với giáo viên:Giáo viên sáng tao ra các bài toán phù hợp vơi tưng dang toán về giải phương trình vô tỉ phục

vụ cho công tác giảng day.

3. PHẠM VI NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI

Hệ thông một sô phương pháp giải phương trình vô tỉ và chỉ ra nhưng sai lâm thường măc phải của hoc sinh khi giải các dang toán về phương trình vô tỉ.



1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN a) Cơ sở lí luận Phương trình vô tỉ là phương trình chứa ẩn trong dấu căn. Bài toán giải phương trình vô tỉ là

bài toán khó nhân dang và xác định hương giải. Đôi vơi hoc sinh muôn giải được đòi hỏi phải được trang bị kiên thức tôt và phương pháp giải hợp lí.

b) Cơ sơ thực tiễnQua thực tê day hoc của cá nhân nhiều năm ở bộ môn Toán 9 và tham gia bồi dưỡng hoc sinh

giỏi phân môn đai sô do trường phân công. Tôi đã tổng hợp các đề thi hoc sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh hàng năm kêt hợp vơi giáo viên trong tổ phân tích sai lâm và tìm ra phương pháp giải tôi ưu nhất cho tưng bài toán về giải phương trình vô tỉ.

Phân tích và hương dẫn hoc sinh giỏi giải các bài toán về phương trình vô tỉ trong các đề thi hoc sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh và đề thi vào trường THPT chuyên Lê Quý Đôn hàng năm để phát hiện nhưng sai lâm của hoc sinh trong giải toán.

Gợi ý và định hương hoc sinh giỏi giải các bài toán về phương trình vô tỉ và các bài toán liên quan đên rút gon biểu thức chứa căn thức bâc hai đăng trên tap chí “TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ” và “TOÁN TUỔI THƠ 2” để phát hiện nhưng sai lâm của hoc sinh trong các bươc biên đổi.

Tham khảo các tài liệu liên quan đên phương trình vô tỉ, chon loc, săp xêp tìm ra các phương pháp giải tôi ưu nhất cho tưng dang toán viêt thành chuyên đề làm tài liệu bồi dưỡng hoc sinh giỏi, xây dựng thành sáng kiên kinh nghiệm.

2. CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH VÀ THỜI GIAN TẠO RA GIẢI PHÁP2.1. CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNHDựa vào:- Thực tê giảng day nhiều năm ở bộ môn Toán 9 và bồi dưỡng hoc sinh giỏi về phân môn đai

sô đăc biệt là chuyên đề “ Phương trình vô tỉ ”.- Sách giáo khoa và sách bài tâp toán 9- Các tài liệu bồi dưỡng hoc sinh giỏi liên quan đên phương trình vô tỉ.- Các chuyên đề liên quan đên phương trình vô tỉ đăng tải trên tap chí “TOÁN HỌC VÀ TUỔI

TRẺ”; tap chí “TOÁN TUỔI THƠ 2”.- Nhưng bài viêt về chuyên đề phương trình vô tỉ được đăng tải trên các trang mang toán hoc.- Kêt quả phân tích bài kiểm tra chương I - Đai sô 9 và bài kiểm tra hoc kì I năm hoc 2010 –

2011 đôi chiêu so sánh giưa các lơp, rút ra nhân xét, kêt luân.- Kêt quả thi hoc sinh giỏi tư năm hoc 2007 – 2008 đên năm hoc 2010 – 2011, đăc biệt là dang

toán giải phương trình vô tỉ để phân tích, so sánh, rút kinh nghiệm. 2.2. THỜI GIAN TẠO RA GIẢI PHÁP- Viêt dươi dang chuyên đề dùng làm tài liệu bồi dưỡng hoc sinh giỏi tư năm hoc 2007 – 2008- Xây dựng thành chuyên đề hoàn chỉnh áp dụng giảng day hoc kì I năm hoc 2009 – 2010 - Được nhà trường công nhân là tài liệu dùng cho giáo viên trong tổ làm chuyên đề bồi dưỡng

hoc sinh giỏi tư tháng 12/ 2010.- Day thử nghiệm trong năm hoc 2009 – 2010 và năm hoc 2010 - 2011- Triển khai áp dụng trong toàn trường năm hoc 2011 - 2012



- Viêt thô sáng kiên kinh nghiệm tư tháng 01/ 2012- Hoàn thiện vào tháng 4/2012.

* Tên đề tài “ Những sai lầm cần khắc phục và một số phương pháp giải phương trình vô tỉ” .

1. Đưa ra một sô ví dụ cụ thể ứng vơi tưng bài hoc trong chương “CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA”, giúp cho giáo viên phát hiện nhưng sai lâm thường găp của hoc sinh khi giải các dang toán về phương trình vô tỉ để có nhân xét đánh giá và rút kinh nghiệm trong việc vân dụng kiên thức đã biêt vào giải toán.

2. Nêu một sô phương pháp giải phương trình vô tỉ áp dụng cho hoc sinh THCS, mỗi phương pháp xây dựng một hệ thông bài tâp tư dễ đên khó. Nhằm giúp cho hoc sinh dễ tiêp cân một sô phương pháp giải mà các tài liệu chưa viêt hoàn chỉnh, qua đó rèn kỹ năng tư duy và vân dụng kiên thức một cách linh hoat, tao hứng thú tìm tòi, khám phá cho hoc sinh và có thể sáng tao các bài toán mơi hơn về phương trình vô tỉ .

3. Đăc biệt là sau mỗi dang bài tâp có nêu bài toán tổng quát và định hương xây dựng một lơp bài tâp về phương trình vô tỉ giúp cho giáo viên có thêm nguồn tư liệu phong phú khi làm công tác bồi dưỡng hoc sinh giỏi nhất là khi giảng day chuyên đề “ Phương trình vô tỉ ”.



II.1a. NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈHọc sinh sai lầm vì tưởng mình đã làm đúng. Có biết bao nguyên nhân dẫn đến sai lầm khi

giải toán. Nhà giáo dục Polia đã viết “Con người phải biết học ngay ở những sai lầm của mình”. Vậy khi giải phương trình vô tỉ học sinh sai lầm ở đâu? Cần khắc phục như thế nào?

Sai lầm 1: Khi giải phương trình vô tỉ học sinh thường ít chú ý đến điều kiện hoặc đặt điều kiện không chính xác dẫn đến kết luận phương trình thừa hoặc thiếu nghiệm.

Ví dụ 1: Giải phương trình: (1)Lời giải của học sinh :

(1)

Tâp nghiệm của phương trình là S = Nhận xét : x = - 3 không phải là nghiệm của phương trình, thay x = -3 vào (1) thì x + 2 = - 1 < 0Sai lầm: Đặt điều kiện sai dẫn đến kết luận nghiệm thiếu chính xác Khắc phục: Điều kiện: x - 2, giải như trên.Kêt luân: Phương trình chỉ có 1 nghiệm x = 0.

Ví dụ 2: Giải phương trình : (2)Lời giải của học sinh : Vì 4x2 – 20x + 25 = (2x – 5)2 0 vơi moi x(2) 4x2 – 20x + 25 = (5 – 2x )2 4x2 – 20x + 25 = 25 – 20x + 4x2

0x = 0Vây phương trình có nghiệm vơi moi x RNhận xét : phương trình (2) không phải luôn có nghiệm vơi moi x thuộc R vì khi thay x = 4 vào (2)

thì 5 – 2x = - 3 < 0 (không thoả mãn) mà phương trình (2) có nghiệm x .

Sai lầm: Ngộ nhận 4x2 – 20x + 25 = (2x – 5)2 0 với mọi x, không để ý đến vế phải của phương trình, vội vàng bình phương 2 vế.

Khắc phục: Điều kiện: x .Giải như trên. Kêt luân: Phương trình có nghiệm vơi moi x

Ví dụ 3: Giải phương trình: (3)Lời giải của học sinh: Điều kiện : x 1(3) x – 1 + 2x – 1 + 2 = 25

2 = 27 – 3x (3’) 4(2x2 – 3x + 1) = ( 27 – 3x)2

x2 – 150x + 725 = 0 x1= 5 ; x2 = 145 ( thỏa mãn).



Vây phương trình có 2 nghiệm: x1= 5 ; x2 = 145 Nhận xét : x = 145 không là nghiệm của phương trình (3). Vậy lời giải của học sinh sai lầm ở bước nào? Rõ ràng là học sinh không đặt điều kiện ở phương trình (3’) dẫn đến kết luận nghiệm sai.Đây là sai lầm thường gặp nhất đối với các em học sinh giỏi.Khắc phục: 2 = 27 – 3x (3’)

Vây phương trình có một nghiệm x = 5

Ví dụ 4: Giải phương trình: 3 (4) (Đề thi GVDG cấp huyện PGD – ĐT Phù Mỹ năm học 2011- 2012 )

Lời giải của 1 thí sinh: Điều kiện: x3 + 8 0 (4) 9( x3 + 8) = ( 2x2 – 6x + 4)2

( x2 – 6x – 4 )( 4x2 – 9x + 14) = 0 x2 – 6x – 4 = 0 (vì 4x2 – 9x + 14 > 0) x1 = (thỏa mãn); x2 = (thoả mãn)Vây phương trình có 2 nghiệm : x1 = ; x2 =

* Lời giải trên thiếu sót gì không? Bài giải có đạt điểm tối đa không? Điều này xin giành cho bạn đọc (Đây là 1 bài giải hoàn chỉnh nhất trong 22 bài thi).

Vây để tránh nhưng sai lâm trên, khi day bài “ CĂN BẬC HAI ” giáo viên cân ghi nhơ cho hoc sinh công thức:

Ví dụ 5: Giải phương trình : (x + 2) = 0 (5)

Lời giải của học sinh : (x + 2) = 0

Vây tâp nghiệm của phương trình là S = Nhận xét : x = – 2 không phải là nghiệm của phương trình (3)Sai lầm: Không tìm điều kiện xác định của phương trình dẫn đến thừa nghiệm.Khắc phục: Điều kiện x 3. Giải như trênKêt luân : Phương trình có một nghiệm x = 3

Ví dụ 6: Giải phương trình: (6) (Đề kiểm tra HKI năm học 2010 – 2011)

Lời giải của học sinh :



Điều kiện : x2 – 4 0 x 2 hoăc x

(6)

Vây tâp nghiệm của phương trình S =

Nhận xét : x = - không phải là nghiệm của phương trình

Sai lầm: HS tìm điều kiện xác định của phương trình chưa chính xác dẫn đến thừa nghiệm. Thực ra ĐKXĐ của phương trình là x 2 .

Khắc phục: Điều kiện . Giải như trên

Kêt luân: Tâp nghiệm của phương trình S = Phân tích: Trong phương trình (5), khi giải phương trình hoc sinh nhân dang phương trình tích là dang toán quen thuộc nên vội vàng giải đã bỏ sót điều kiện dẫn đên kêt luân nghiệm của phương trình thiêu chính xác. Phương trình (6) hoc sinh tìm ĐKXĐ sai nên dẫn đên thưa nghiệm. Khi giải dang toán này cân ghi nhơ công thức:

Ví dụ 7:Giải phương trình (7) Lời giải của học sinh

(7)

Vây phương trình có một nghiệm x = 2.Nhận xét : x = 2 không là nghiệm của phương trình vì x = 2 thì không xác định.Sai lầm: Không đặt điều kiện từ ban đầu nên dẫn đến kết luận nghiệm phương trình sai.Khác phục: Điều kiện x 3. Giải như trênKêt luân : Phương trình vô nghiệm.Ghi nhơ:

Sai lầm 2: Khi áp dụng hằng đẳng thức . Xét thiếu trường hợp dẫn đến mất nghiệm.



Ví dụ 8: Giải phương trình : (8)

Lời giải của học sinh : (8) Vây phương trình có nghiệm duy nhất x = 4

Nhận xét : (8) còn có một nghiệm x = .

Sai lầm : Lời giải trên học sinh bỏ sót điều kiện x + 3 và xét thiếu trường hợp 2x – 1 = - ( x + 3) dẫn đến mất nghiệm.Khác phục: Điều kiện x + 3 x

(8)

Kêt luân: Phương trình có 2 nghiệm: x1 = 4; x2 =

Ví dụ 9: Giải phương trình: (9) Lời giải của học sinh : Điều kiện : x 1

(9) =

(*)

( vì x 1 ) 2 = x + 3 4 (x – 1) = (x +3 )2

x2 – 10x + 25 = 0 x1 = x2 = 5 ( thoả mãn ) . Vây phương trình có 1 nghiệm x = 5Nhận xét : Phương trình (9) còn có 1 nghiệm x = 1.Sai lầm : HS xét thiếu trường hợp nên dẫn đến mất nghiệm :Khắc phục : Tư phương trình (*)Trường hợp : x 2. Giải như trên.bổ sung trường hợp : ta có (*) 4 = x + 3 x = 1 ( thoả mãn)Kêt luân : Phương trình có 2 nghiệm : x1 = 1 ; x2 = 5Chú ý : Khi day bài “ Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức ”. Cân ghi nhơ cho hoc sinh

công thức

Sai lầm 3: Sai lầm khi vận dụng qui tắc khai phương một tích , một thương để biến đổi tương đương các phương trình học sinh xét thiếu trường hợp dẫn đến thừa hoặc thiếu nghiệm.



Ví dụ 10: Giải phương trình: (10)Lời giải của học sinh:

(10)

Điều kiện x 3 . khi đó ta có: và Suy ra Vây phương trình vô nghiệm.

Nhận xét: Ta thấy ngay x = 0 là một nghiệm của phương trình mà HS đã bỏ qua. Việc chia 2 vê cho đã làm mất nghiệm của phương trình.

Sai lầm: + Không xét trường hợp x = 0 để suy ra nghiệm của phương trình. + Chưa xét đầy đủ các trường hợp x > 0 và trường hợp x < 0.

Khắc phục: Trường hợp: = 0 x = 0 là 1 nghiệm của phương trình.Trường hợp x < 0 thì (10) viêt về dang: (10’)Vì > 0 nên chia 2 vê (10’) cho ta được: Do x < 0 nên và Suy ra . Do đó x < 0 Không thoả mãn phương trìnhTrường hợp x > 3 . Giải như trên.Kêt luân : Phương trình có 1 nghiệm x = 0.

Ví dụ 11: Giải phương trình: (11)Lời giải của học sinh:

Điều kiện:

* Ta có x = 0 là 1 nghiệm của phương trình (11)* Vơi x 0, chia 2 vê phương trình cho ta được:

x – 5 + x – 2 + 2 = x + 3

= 10 – x



( thoả mãn)

Vây tâp nghiệm của phương trình (11) là : S =

Nhận xét: Lời giải trên rất lôgich và chăt chẽ nhưng kiểm tra lai thì x = - không là nghiệm của

phương trình. Nguyên nhân nào dẫn đên việc thưa nghiệm trên.Sai lầm: HS chỉ xét trường hợp x 0 , trong trường hợp x 0 phải xét cả 2 khả năng xảy ra là x > 0 và x < 0. Cụ thể là xét trường hợp x và x Khắc phục: Trường hợp x = 0 là 1 nghiệm của phương trình.

Trường hợp x . Giải như trên và loai nghiệm x = - (không thoả mãn)

Bổ sung trường hợp x .(trình bày ở phân sau)Đó là nhưng sai lâm mà hoc sinh nào cung có thể măc phải khi vân dụng công thức , ngay cả giáo viên chúng ta nêu không để ý cung khó tìm được nguyên nhân đãn đên sai lâm trong hai ví dụ trên.Khi dạy bài “Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương” cần ghi nhớ cho HS công thức:

khi A 0; B 0 khi A 0 ; B 0

Ví dụ 12: Giải phương trình: (12)

Lời giải của học sinh:

(12)

Vây phương trình vô nghiệmNhận xét: Rõ ràng x = - 5 là nghiệm của phương trình.Vây hoc sinh sai lâm ở bươc biên đổi nào?Sai lầm: Khi áp dụng quy tắc khai phương một thương học sinh đã bỏ sót trường hợp : x nên dẫn đến mất nghiệm.Khắc phục: Xét thêm trường hợp x hoăc giải như sau:



(11)

Kêt luân: Phương trình có 1 nghiệm x = - 5.Khi dạy bài “Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương” cần ghi nhớ cho HS công thức

khi A 0, B > 0

khi A 0, B < 0

Sai lầm 4: Biến đổi đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn xét thiếu trường hợp xảy ra dẫn đến phương trình thừa hoặc thiếu nghiệm.

Ví dụ 13: Giải phương trình: (13)Lời giải của học sinh: (13)

x – 3 = 0 hoăc x = 3 ( thoả mãn)

hoăc

Vây phương trình (13) có 2 nghiệm x1 = 3; x2 = 7.Nhận xét: Lời giải của hoc sinh thoả mãn 2 nghiệm tìm được, các em không ngờ rằng phương trình (13) còn có 1 nghiệm nưa là x = 2Sai lầm: Học sinh thực hiện phép biển đổi

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn đã bỏ qua trường hợp x – 3 < 0 nên dẫn đến mất nghiệm x = 2.Khắc phục: (13)

(13’) Xét 2 trường hợp:

+ Trường hợp x . Giải như trên.+ Trường hợp x < 3 ta có (13’)

3 – x = 0 hoăc x = 3 ( loai)



hoăc

Kêt luân: Phương trình có 3 nghiệm : x1 = 3; x2 = 7; x3 = 2.Để tránh sai lâm trên khi day mục “Đưa thừa số ra ngoài dấu căn ”. Giáo viên cân chú ý cho HS công thức:

Ví dụ 14: Giải phương trình : (x – 3)(x + 1) + 3(x – 3) = 4 (14)

Lời giải của học sinh: Điều kiện: x > 3 hoăc x - 1

Đăt (x – 3) = t ( t 0 ). Suy ra t2 = (x – 3)(x + 1) . Phương trình (13) có dang

t2 + 3t – 4 = 0. Tư đó tìm được t1 = 1 ( nhân ) ; t2 = - 4 ( loai)

suy ra (x – 3) = 1 (x – 3)(x + 1) = 1 x2 – 2x – 4 = 0. Phương trình này có 2

nghiệm x1 = 1 + ( thoả mãn ) ; x2 = 1 - ( thoả mãn)Vây phương trình có 2 nghiệm : x1 = 1 + ; x2 = 1 - Nhận xét: x = 1 - không là nghiệm của phương trình. HS bỏ qua trường hợp t = - 4 làm mất nghiệm x = 1 - của phương trình.Sai lầm : + Đặt điều kiện t 0 nên loại trường hợp t = - 4 làm mất nghiệm.

+ Chưa xét kĩ từng trường hợp nên dẫn đến thừa nghiệm x = 1 - Khắc phục: Điều kiện: x > 3 hoăc x - 1

Đăt (x – 3) = t .Suy ra t2 = (x – 3)(x + 1) Phương trình (13) có dang

t2 + 3t – 4 = 0. Tư đó tìm được t1 = 1 ; t2 = - 4

Ta có :

Tư (14’) suy ra x > 3; do đó (14’) (x – 3)(x + 1) = 1 x2 – 2x – 4 = 0.



Phương trình này có 2 nghiệm x1 = 1 + ( nhân ) ; x2 = 1 - ( loai)Tư (14”) suy ra x < 3 . Kêt hợp vơi điều kiện ta có x - 1(14”) (x – 3)(x + 1) = 16 x2 – 2x – 19 = 0. Phương trình này có 2 nghiệm x3 = 1 + ( loai) ; x4 = 1 - ( nhân)Vây nghiệm của phương trình : x = 1 + ; x = 1 - .

Để tránh sai lâm trên khi day mục “Đưa thừa số vào trong dấu căn ”. Giáo viên cân chú ý cho HS công thức:

Sai lầm 5: Khi khử mẫu của biểu thức lấy căn xét thiếu trường hợp và không chú ý đến điều kiện dẫn đến thừa hoặc thiếu nghiệm.


Lời giải của học sinh: (15)

Vây phương trình vô nghiệm.Nhận xét: Dễ dàng nhân ra lời giải sai lâm ngay bươc biên đổi đâu tiên, khi khử mẫu của vê trái để đưa thưa sô ra ngoài dấu căn bâc hai mà không để ý đên giá trị tuyệt đôi, nên làm mất nghiệm x = -3.

Khắc phục: (15) ( 15’)

* Trường hợp : x – 1 0. Giải như trên.* Trường hợp : x – 1 < 0.

(15’)

Vây phương trình có 1 nghiệm x = -3.Để tránh sai lâm trên khi day mục “Khử mẫu của biểu thức lấy căn ” cân ghi nhơ cho hoc sinh :



Sai lầm 6: Khi trục căn thức ở mẫu không chú ý đến điều kiện ban đầu dẫn đến phương trình thừa nghiệm.


Lời giải của học sinh:

(16)

( thoả mãn)

Vây phương trình có 2 nghiệm: x1 = 4; x2 = .

Nhận xét : Hoc sinh thực hiện các phép biên đổi tương đương và giải phương trình trên rất hoàn hảo,

nhưng khi thử lai ta thấy x1 = 4; x2 = không là nghiệm của phương trình.

Sai lầm: Học sinh không tìm điều kiện xác định của phương trình (16) . Nếu học sinh tìm đúng điều kiện xác định của phương trình thì có thể kết luận phương trình vô nghiệm ngay từ đầu.

Khắc phục: Điều kiện xác định: ( mâu thuẫn)

Vây phương trình vô nghiệm.

Sai lầm 7: Khi dùng phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình học sinh không chú đến điều kiện ẩn phụ dẫn đến thừa nghiệm.

Ví dụ 17: Giải phương trình: ( Đề thi vào trường THPT chuyên Lê Quý Đôn – năm học 2007 – 2008)Lời giải của học sinh: Đăt ( a 0 ); = b ( b 0 )

Ta có hệ phương trình: (*)

(*) a – b = a2 – b2 (a + b)(a – b) – (a – b) (a – b)(a + b – 1) = 0a – b = 0 hoăc a + b – 1 = 0



Nêu a = b ta có: = 4x2 + 5x + 1 = 4x2 – 4x + 4 x = ( chon)

Nêu a + b – 1 = 0 kêt hợp vơi (*) ta có : 2a = 9x – 2Suy ra 2 = 9x – 2 4( 4x2 + 5x + 1) = (9x – 2)2

16x2 + 20x + 4 = 81x2 – 36x + 4 65x2 – 56x = 0 x1 = 0 (loai ); x2 = ( thoả mãn) .

Vây phương trình có 2 nghiệm: x1 = ; x2 = .

Nhận xét: x2 = không là nghiệm của phương trình.

Sai lầm: Lời giải bộc lộ sai lầm trong trường hợp xét a + b – 1 = 0; vì b = = . Suy ra a + b > 1 ( loại )Khắc phục: Trong trường hợp a + b – 1 = 0 . Lâp luân vì b = = . Suy ra a + b > 1 ( loai )

Hoăc: Xét như sau để loai nghiệm:

Suy ra nên x = 0 ; x2 = ( loai ). Kêt luân phương trình có 1 nghiệm x =

Tương tự mời các ban tham khảo ví dụ sau:

Ví dụ 18: Giải phương trình: Lời giải của học sinh: Điều kiện x 1Đăt = a ( a 0 ) và = b ( b 0 )

Ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thê ta được b1 = 17; b2 = 3Tư đó tìm được x1 = 145; x2 = 5Vây phương trình có 2 nghiệm x1 = 145; x2 = 5 Nhận xét : x1 = 145 không là nghiệm của phương trình. Nguyên nhân nào xuất hiện nghiệm ngoai lai? Vây hoc sinh sai lâm ở đâu? ( Đây là sai lầm 2 của ví dụ 3). Điều này giành cho ban đoc.

Ví dụ 19: Giải phương trình: x2 - = 5 (1) ( Đề thi HSG cấp tỉnh năm 2007)Lời giải của học sinh: Điều kiện: x - 5đăt: = y. Kêt hợp vơi (1) ta có hệ phưong trình:



tư (*) suy ra x2 – y2 + x – y = 0 (x – y)(x + y + 1) = 0Xét 2 trường hợp:

a) x – y = 0 hay x = y thay vào ( 2) ta có phương trình

x2 – x – 5 = 0 x1 = ( thoả mãn ); x2 = ( thoả mãn)

a) x + y + 1 = 0 hay y = - x – 1 thay vào (2) ta có phương trình

x2 + x – 4 = 0 x3 = ; x4 = ( thoả mãn )

Vây phương trình có 4 nghiệm x1 = ; x2 = ; x3 = ; x4 = .

Nhận xét: Lời giải trên rất hoàn chỉnh và hợp lô gich, trình bày khoa hoc nhưng kiểm tra lai ta thấy

x2 = ; x3 = không là nghiệm của phương trình..

Sai lầm: HS sai lầm từ bước đặt điều kiện x - 5. Điều kiện của phương trình chính xác là x hoặc x

Khắc phục:

Cách 1: Điều kiện x hoăc x . Giải như trên, loai nghiệm x2 = ; x3 = .

Kêt luân phương trình có 2 nghiệm: x1 = ; x2 = .

Cách 2: Giải xong thử các nghiệm vào phương trình đã cho để kêt luân nghiệm.

Sai lầm 8: Sai lầm khi vận dụng bất đẳng thứcVí dụ 20: Giải phương trình: x (1)

Lời giải của học sinh: Điều kiện: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacovski cho 2 bộ sô (x, 1); ( ) ta được:

(2)Tư (1) và (2) suy ra giải phương trình (1) được quy về việc giải phương trình ( dấu bằng xảy ra ở BĐT Bunhiacovski )

x3 – 3x2 + x + 1 = 0 (x – 1)(x2 – 2x – 1) = 0 (3)

Phương trình (3) có 3 nghiệm x1 = 1; x2 = 1 – ; x3 = 1 + ( thoả mãn ) Vây phương trình đã cho có 3 nghiệm : x1 = 1; x2 = 1 – ; x3 = 1 + Nhận xét: x2 = 1 – không là nghiệm phương trìnhSai lầm: Với điều kiện thì phép biến đổi



x3 – 3x2 + x + 1 = 0 (x – 1)(x2 – 2x – 1) = 0 (3) là phép biến đổi hệ quả

không là phép biến đổi tương đương. Do đó làm xuất hiện nghiệm ngoại lai x = 1 – .

Thực ra phương trình: x3 – 3x2 + x + 1 = 0 có điều kiện

Khắc phục: (1’) . Điều kiện

(1’) x3 – 3x2 + x + 1 = 0 x – 1)(x2 – 2x – 1) = 0 (3)Phương trình (3) có 3 nghiệm x1 = 1 (thoả mãn); x2 = 1 – (loai) ; x3 = 1 + ( thoả mãn ) Vây phương trình đã cho có 2 nghiệm : x1 = 1; ; x2 = 1 + Ghi nhớ: - Điều kiện xác định của phương trinh

- Phép biên đổi tương đương các phương trình- Thử lai nghiệm thoả mãn vơi phương trình đã cho hay không.- Kêt luân nghiệm của phương trình

Sai lầm 9: Khi thực hiện các phép biến đổi tương đương các phương trình học sinh đã sử dụng chính điều kiện bài toán dẫn đến thừa hoặc thiếu nghiệm.

Ví dụ 22: Giải phương trình: (22)Lời giải của học sinh: Lâp phương 2 vê của (22)(22) 3x – 1 + x + 1 + 3 ( = -2x

3 ( = – 6x ( = - 2x (22’)

. = - 2x (22”)

(3x – 1)(x + 1).2x = 8x3

x[(3x – 1)(x + 1) – 4x2] = 0

Vây phương trình có 2 nghiệm x1 = 0; x2 = 1.Nhận xét: Vơi cách giải bài toán trên ta thấy con đường đi đên đích của hoc sinh thât suôn sẻ. Mơi nhìn ta thât sự cuôn hút bởi cách giải trên và không phát hiện sai sót gì? Nhưng khi thử lai thì x = 1 không là nghiệm của phương trình.



Sai lầm: Khi thực hiện phép biến đổi tương đương từ (22’) sang (22”) thực chất đây là phép biến đổi hệ quả chứ không phải là phép biến đổi tương đương vì đã sử dụng điều kiện của chính bài toán. Điều này chưa chăc đúng vơi moi x.Khắc phục: Thử trực tiêp nghiệm vào phương trình (22) ta thấy x = 0 ( thoả mãn), x = 1( không thoả mãn). Kêt luân phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.Giơi thiệu ví dụ sau các ban tham khảo

Ví dụ 22: Giải phương trình: (23)Lời giải của học sinh: Lâp phương 2 vê :(23) x + 1 + 3x + 1 + 3 = x – 1 (*)

Thay vào (*) ta được:

3 = 0

Vây phương trình có 2 nghiệm x1 = – 1 ; x2 = 0Nhận xét : Phương trình chỉ có 1 nghiệm x = – 1.Đôi vơi 2 ví dụ 22 và 23 mỗi phương trình có 2 nghiệm đơn giản nên ta thử trực tiêp vào phương trình đã cho để loai nghiệm. Đôi vơi phương trình có nhiều nghiệm hoăc nghiệm phức tap thì việc thử trực tiêp vào phương trình đã cho là việc làm hêt sức khó khăn.Ghi nhớ: Xét phương trình sau, trong A, B, C là các biểu thức chứa ẩn x

A + B + 3 = C3 (1)

Tư đó ta có

- Nêu phương trình (3) vô nghiệm thì (1) (2)- Nêu phương trình (3) có nghiệm x = thì xảy ra 2 khả năng sau:

* Khả năng 1: x = thoả mãn phương trình (2) :x = là nghiệm của hệ PT: A = B = C = 0 * Khả năng 2: x = không thoả mãn phương trình (2) thì (1) và (2) không tương đương vì x =

là nghiệm của (1) nhưng không là nghiệm của (2).Như vây lược đồ xét phương trình (2) như sau:

Bước 1: Viêt phương trình (1) về dang tương đương gồm phương trình (2) và phương trình (3) như trên.



Bước 2: Giải phương trình (3)+ Nêu phương trình (3) vô nghiệm thì (2) (1)+ Nêu phương trình (3) có nghiệm x = không thoả mãn A = B = C = 0 thì x = không là

nghiệm của (2).Bước 3: Kêt luân là nghiệm của phương trình (2) gồm:

+ Nghiệm của phương trình (1) không thoả mãn phương trình (3)+ Nghiệm của phương trình (3) thoả mãn A = B = C = 0.

Phương trình vô tỉ là một dạng toán có rất nhiều “bẫy” hình như đã giăng sẵn đối với học sinh chúng ta. Vì vậy giáo viên cần phải biết giúp học sinh sửa sai ngay trong lời giải của mình. Sự cẩn thận là một yếu tố quan trọng giúp học sinh tránh những sai lầm đáng tiếc, nhưng quan trọng hơn cả là phải nắm chắc kiến thức và phương pháp giải.

- Đối với môn toán, cần có quan điểm tư duy quan trọng hơn kiến thức, nắm vững phương pháp quan trọng hơn học thuộc lí thuyết. Dạy toán là dạy suy nghĩ, dạy học sinh thành thạo các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, đặc biệt hoá, tương tự ... trong đó phân tích tổng hợp làm nền tảng. Phải cung cấp cho học sinh những tri thức về phương pháp để học sinh tự tìm tòi, tự mình phát hiện ra vấn đề, dự đoán kết quả tìm được hướng giải của một bài toán, từ đó nhớ lâu các kiến thức toán học và có thể tìm lại được, nếu quên.

Trong phân trên tôi đã đưa ra các ví dụ cụ thể ứng vơi tưng đơn vị kiên thức và phân tích sai lâm của hoc sinh khi giải phương trình vô tỉ. Vây làm thê nào để hoc sinh khăc phục được nhưng sai lâm đó và khi găp bất cứ dang phương trình vô tỉ nào thuộc pham vi chương trình trung hoc cơ sở hoc sinh cung có thể giải được. Tôi xin giơi thiệu một sô phương pháp sau:

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG

TRÌNH VÔ TỈ

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP



1. NÂNG LÊN LUỸ THỪA

1.

2.

3.

4.

5.

6. ( )( ) = A + B ( )( ) = A – B

2. VẬN DỤNG HẰNG

ĐẲNG THỨC 1.

2.

3. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

1. Đăt một ẩn phụ đưa về phương trình bâc hai2. Đăt một ẩn phụ đưa về phương trình tích3. Đăt hai ẩn phụ đưa về phương trình tích4. Đăt hai ẩn phụ đưa về hệ phương trình 5. Đăt ba ẩn phụ

4. DÙNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP

Các biểu thức thường vận dụng

Biểu thức Biểu thức liên hiệp TíchA – B A + B

A – B



5. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

VÔ TỈ BẰNG CÁCH ĐÁNH GIÁ

1.Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất

2. Sử dụng tính đôi nghịch hai vê của phương trình.

6. VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG ĐẲNG THỨC

1. Đưa về dang bình phương của một tổng hoăc một hiệu.

2. Vân dụng hằng đẳng thức a3 + b3 + c3 = (a + b + c)3 (a + b)(b + c)(c + a) = 0

7.VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC

1. Vân dụng bất đẳng thức . Dấu bằng xảy ra B 0

. Dấu bằng xảy ra A.B 0

2. Vân dụng bất đẳng thức Cô – si

3. Vân dụng bất đẳng thức Bunyakovski4. Vân dụng bất đẳng thức Min – cop – xki

5. Vân dụng bất đẳng thức vơi a> 0, b > 0.

Dấu bằng xảy ra khi a = b

1. PHƯƠNG PHÁP NÂNG LÊN LUỸ THỪA- Tìm điều kiện có nghĩa của phương trình (ĐKXĐ)- Nâng lên luỹ thừa để làm mất căn thức bậc hai, bậc ba …

Dạng 1:

Ví dụ 1: Giải phương trình:a) (1a) ( bài 25c/16 – sgk) b) (1b)c) x3 + 2 = 18 (1c) ( Đề thi HSG cấp tỉnh năm học 2009 – 2010 )

d) 3 (1d) ( Đề thi GVDG cấp huyện 2011- 2012 )

GIẢI:a) (1a) (1a) 9(x – 1) = 441 x – 1 = 49 x = 50




b) (1b)

(1b)

Vây: phương trình có một nghiệm x = 3

c) x3 + 2 = 18 (1c)

(1c) 2 = 18 – x3 4( 81 – 7x3) = ( 18 – x3)2 324 – 28x3 = 324 – 36x3 + x6 x6 – 8x3 = 0 x3(x3 – 8 ) = 0 x = 0 hoăc x = 2 ( thoả mãn )

Vây phương trình có 2 nghiệm : x1 = 0 ; x2 = 2

d) 3 (1d) Điều kiện: 2x2 – 6x + 4 0 hoăc x (1d) 9( x3 + 8) = ( 2x2 – 6x + 4)2

( x2 – 6x – 4 )( 4x2 – 9x + 14) = 0 x2 – 6x – 4 = 0 ( vì 4x2 – 9x + 14 > 0 ) x1 = ( thỏa mãn ); x2 = ( thoả mãn )

Vây phương trình có 2 nghiệm : x1 = ; x2 =

Dạng 2:

Ví dụ 2: Giải phương trình: a) (2.a)

b) (2.b) ( bài 43b/ 50 – sbt)

GIẢIa) (2.a)

(2.a)

Vây phương trình có một nghiệm x = -4

b) (2.b) ( bài 43b/ 50 – sbt)



(2.b)

x = 0,5 ( không thoả mãn điều kiện). Vây phương trình vô nghiệm

Dạng 3:

Ví dụ 3: Giải phương trình: a) (3a)b) (3b)c) (3c)

GIẢIa) (3a)

Điều kiện x ≥ 2. Ta có:(3a)

Vây: phương trình có một nghiệm x = 6b) (3b)Điều kiện khi đó – x2 + 10x – 24 = (x – 4)(6 – x)(3b) Vây phương trình vô nghiệmc) (3c)

Điều kiện x 11

(3c)

Vơi điều kiện x 11 thì 8 – x < 0 . Vây phương trình vô nghiệm.



Dạng 4:

Ví dụ 4: Giải phương trình:a) (4.a)b) (4.b)

GIẢIa) (4.a)Điều kiện 7 ≤ x ≤ 12. Ta có:(4.a)

4(19x – x2 – 84) = x2 – 8x + 16

76x – 4x2 – 336 – x2 + 8x – 16 = 0 5x2 – 84x + 352 = 0

Phương trình có 2 nghiệm x1 = ; x2 = 8 ( thoả mãn)

Vây: phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = ; x2 = 8

b) (4b)

Điều kiện:

* Ta có x = 0 là 1 nghiệm của phương trình (4b)* Vơi x , chia 2 vê phương trình cho ta được:

x – 5 + x – 2 + 2 = x + 3

= 10 – x



Vơi x thì x = 6 ( thoả mãn), x = (loai)

* Vơi x -3 thì phương trình (4b) viêt về dang

Vì > 0 nên chia 2 vê cho ta được: 5 – x + 2 – x + 2 = - (x + 3)

2 = x – 10 . Phương trình vô nghiệm vì x -3 Vây phương trình có 2 nghiệm x1 = 0; x2 = 6.

Dang 5 : Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện có nghĩa của phương trình (tìm ĐKXĐ)- Bình phương 2 vê- Biên đổi, rút gon, đăt điều kiện- Bình phương 2 vê tiêp ….

Ví dụ 5: Giải phương trình: a) (5a)b) ( 5.b)

GIẢI:a) (5a)

Điều kiện x ≥ 4. (5a) 45 + 14x + 14 = 0 (*)

Vơi x ≥ 4 vê trái của phương trình (*) luôn là một sô dương phương trình (*) vô nghiệm.Vây phương trình đã cho vô nghiệmb) ( 5.b)Điều kiện x 0(5b)



( điều kiện x 0 )

x2 + 9x = x2 x = 0 ( thoả mãn ) Vây phương trình có 1 nghiệm x = 0

Xây dựng bài toán vận dụng: Tuỳ theo mức độ yêu câu bài tâp đôi vơi trình độ của hoc sinh ta có thể xây dựng lơp bài toán theo các dang trên:

- Xác định A(x) = ?; B(x) = ? ta có bài tâp dang 1 và dang 2- Xác định A(x) = ?; B(x) = ? ; C(x) = ? ta có bài tâp dang 3 và dang 4- Xác định A(x) = ?; B(x) = ? ; C(x) = ? ; D(x) = ? ta có bài tâp dang 5

Ví dụ: Chon A(x) = x2 – 5 ; B(x) = ta có bài 1d (Đề thi HSG môn toán lớp 9 cấp tỉnh năm học 2006 – 2007)

Chon A(x) = ; B(x) = ; C(x) = ta có bài 3c...Sau đây là bài tâp vân dụng .

Bài 1:Giải các phương trình :a)

b) x3 + 2 = 2

c)

d) x2 - = 5 (Đề thi HSG môn toán lớp 9 cấp tỉnh năm học 2006 – 2007)

Bài 2:Giải các phương trình :a) b) c)

d) = 5Bài 3. Giải phương trình

a)

b)

c) d)

Bài 4: Giải phương trình



a) b) c)

d) 2x + = 2

Dạng 6: Nâng lên luỹ thừa bậc baLập phương hai vế để làm mất căn bậc ba là dạng toán học sinh cũng có thể gặp trong các đề

thi. Tôi xin giới thiệu ví dụ sau để các bạn tham khảo

Ví dụ 6: Giải phương trình:a) b) c) d)

GIẢI:a) 2x – 1 = – 27 2x = – 26 x = – 13Vây phương trình có nghiệm x = – 13.b) x + 1 = x3 + 3x2 + 3x + 1 x3 + 3x2 + 2x = 0 x(x2 + 3x + 2) = 0 x(x + 1)(x + 2) = 0 x = 0 ; x = – 1; x = – 2 Vây phương trình có 3 nghiệm là x = 0 ; x = – 1; x = – 2 c) (6c)Lâp phương 2 vê :(6c) x + 1 + 3x + 1 + 3 = x – 1 (*)

Thay vào (*) ta được:

3 = 0

Thử lai ta thấy x = - 1( thoả mãn); x = 0 ( không thoả mãn).Vây phương trình có 1 nghiệm x = - 1d) (6d)Lâp phương 2 vê:



(6d) = 16x3

. Suy ra

x = 0

= 0

Vây tâp nghiệm của phương trình là: S =

Xây dựng bài tâp vân dụng tương tự như dang 1 - 5Bài tâp: Giải các phương trình saua) b) c) d)

Dùng phương pháp nâng lên luỹ để đưa phương trình vô tỉ về phương trình hữu tỉ, ta có thể phải bình phương hai vế hoặc lập phương hai vế của phương trình nhiều lần. Nhưng không phải phương trình nào ta cũng sử dụng phương pháp này, vì nếu ta tiến hành bình phương hai vế hoặc lập phương hai vế của phương trình nhiều lần để làm mất căn, thì khi đó có thể ta có một phương trình bậc cao mà chưa có cách giải. Nên khi giải cần xem xét đặc điểm của phương trình để sử dụng phương pháp giải một cách phù hợp nhất.

.

2. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH VỀ DẠNG CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐÔÍ

Với dạng toán này ta phải biến đổi để biểu thức dưới dấu căn xuất hiện bình phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu hai biểu thức rồi vận dụng hằng đẳng thức .Tôi xin giới thiệu 2 dạng toán thường gặp:

Dạng 1:



Ví dụ 2.1 Giải các phương trình sau:

a) ( bài 35b/20 – SGK )

b) (2.1b)

c) (2x3 + x2 + 2x + 1) ( 2.1c)

GIẢI

a) ( thoả mãn)

Vây phương trình có 2 nghiệm: x1 = ; x2 = -

b) (2.1b)

(2.1b) = 5 – 2x x

Vây tâp nghiệm của phương trình là S =

c) (2x3 + x2 + 2x + 1) (2.1c)

2 = (2x3 + x2 + 2x + 1)

= x2(2x + 1) + ( 2x + 1)

= ( 2x + 1)( x2 + 1)

= ( 2x + 1)( x2 + 1) (*)

Vê trái của (2.1c) không âm vơi moi x .Vì x2 + 1 > 0, suy ra 2x + 1

(*) = ( 2x + 1)( x2 + 1) = ( 2x + 1)( x2 + 1)

= ( 2x + 1)( x2 + 1)

( 2x + 1) = ( 2x + 1)( x2 + 1)



( 2x + 1)x2 = 0 x = 0 ; x = - ( thoả mãn )

Vây phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 = 0 ; x2 = -

Dạng 2 :

- Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đôi xét tưng trường hợp

- Hoăc dùng bất đẳng thức . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A.B

Ví dụ 2.2a Giải phương trình (2.2a)GIẢI :

Điều kiện : x

(2.2a)

2x - 3 = 1 x = 2. ( thoả mãn )


Ví dụ 2.2b Giải phương trình (2.2b) GI Ả I:

Điều kiện : x 1. (2.1c)

áp dụng bất đẳng thức . Đẳng thức xảy ra A 0.

Ta có : =>

Đẳng thức xảy ra 4 x - 1 9 5 x 10 (thoả mãn)



Vây tâp nghiệm của phương trình là : S =

Ví dụ 2.2c Giải phương trình (2.2c)GIẢI : Điều kiện : x -2. (2.2c)

| + | -3| = 1 | + | 3 - | = 1

áp dụng BĐT |A|+ |B| | A + B| ta có : | + | 3 - | 1Dấu "=" xảy ra khi :

( )( 3 - ) 0 2 3 2 x 7Vây tâp nghiệm của phương trình là : S =

Ví dụ 2.2d Giải phương trình (2.2d) Điều kiện : x 1

(2.2d) =

( vì x 1 ) (*)

Nêu thì ta có (*) 4 = x + 3 x = 1 ( thoả mãn)Nêu x thì ta có (*) 2 = x + 3 4 (x – 1) = (x +3 )2

x2 – 10x + 25 = 0 x = 5 ( thoả mãn ) Vây phương trình có 2 nghiệm x1 = 1; x2 = 5Xây dựng bài tập vận dụng :

- Xác định A2(x) = ? ; B2(x) = ? ; C(x) = ? tuỳ theo khả năng của hoc sinh ta có thể xây dựng lơp bài tâpvân dụng theo các dang

- Ví dụ : Chon A2(x) = ( )2 = x – 2 ; C(x) = ta có bài 1c A2(x) = ( )2 = x + 3 + 4 ; B2(x) = ( )2 = x + 8 – 6ta có bài 2c. Vây tuỳ theo cách chon ta có thể sáng tao nhiều bài tâp dang này.

Bài 1 : Giải các phương trình :a) b)



c) d) = 3Bài 2 : Giải các phương trình :

a)

b) ( Đề thi vào trường THPT chuyên Lê Quý Đôn – Năm học

2010 – 2011 )

c)

d) 2 (2x3 + x2 + 2x + 1) (2010 dấu căn)

Đối với phương pháp đưa phương trình về dạng chưa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta thường sử dụng đối với những phương trình vô tỉ có căn thức hai hay nhiều lớp, ta cần xem xét các biểu thức dưới dấu căn biến đổi đưa được về dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu. Sau đó đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối. Giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối hoặc vận dụng các bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối để giải phương trình .

3. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Để giải phương trình vô tỉ ta dùng hai phương pháp “Nâng lên luỹ thừa” để làm mất căn và vận dụng hằng đẳng thức . Nhiều khi sử dụng phép nâng lên luỹ thừa sẽ dẫn đến phương

trình bậc cao khá phức tạp, có một số phương trình không thể đưa về dạng . Để khắc phục



tình trạng đó ta có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ để chuyển về phương trình hoặc hệ phương trình quen thuộc đã biết cách giải.

3.1. ĐẶT MỘT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Ví dụ 3.1: Giải phương trình : a) 3 - x = x2 + 3 (1a) ( Bài 70b / trang 48 – Sách BT toán 9)

b) 6x2 + 15x + 11 = 5 (1b)Nhận xét: Đôi vơi 2 phương trình trên nêu ta dùng phương pháp nâng lên luỹ thưa thì trở

thành phương trình bâc 4 rất khó giải . Ta có : x2

+ x + 3 = ( x2 + x + 1) + 2 và ( )2 = ( x2 + x + 1) 6x2 + 15x + 11 = 3( 2x2 + 5x + 3 ) + 2. Giúp hoc sinh nghĩ ngay đên việc dùng một ẩn mơi để thay thê.GIẢI: a) Đăt : = t 0 t2 = x2

+ x + 1 khi đó phương trình (1a) có dang :t2 – 3t + 2 = 0. tư đó tìm được t1 = 1 ( thỏa mãn ); t2 = 2 ( thỏa mãn )Suy ra : = 1 x2 + x = 0. Phương trình này có 2 nghiệm : x = 0; x = -1

= 2 x2 + x - 3 = 0. Phương trình có 2 nghiệm x1 =

Vây phương trình có 4 nghiệm : x1 = ; x3 = 0; x4 = -1

b) Đăt = t 0 t2 = 2x2 + 5x + 3 khi đó phương trình (1b) có dang

3t2 – 5t + 2 = 0 . Tư đó tìm đựợc t1 = 1 ( thỏa mãn ); t2 = ( thỏa mãn )

Suy ra = 1 2x2 + 5x + 2 = 0. Phương trình này có hai nghiệm x1 = - 2; x2 = -

= 18x2 + 45x + 23 = 0 .

Phương trình này có hai nghiệm x3 = ; x4 =

Vây tâp nghiệm của phương trình (1) là:

Qua 2 ví dụ trên giáo viên xây dựng bài toán tổng quát:

ax2 + bx + c = ; trong đó

Đăt = t 0 . Đưa về phương trình bâc hai Ax2 + Bx + C = 0 . Giải phương trình bâc hai tìm t, rồi suy ra nghiệm của phương trình.



Xây dựng bài tập vận dung: Dựa vào công thức tổng quát và tuỳ theo đôi tượng hoc sinh của lơp bồi dưỡng mà giáo viên có thể sáng tao ra các bài toán cùng dang loai phù hợp .

Xác định : = t và ax2 + bx + c = A(x) , trong đó ta có lơp bài tâp vân dụng:

Ví dụ: Xuất phát tư phương trình bâc hai: 2t2 – 3t + 1 = 0 - Ta chon t = ; 2t2 = 18x2 – 18x + 4 ta có bài 1a

- Nêu chon t = ta có bài 1dSau đây là các bài tâp vân dụng:

Bài 1: Giải các phương trình :a) 18x2 – 18x + 5 = 3

b) 3x2 + 2x = 2 + 1 – x

c) x2 – 4x – 6 =

d) 4022x2 + 2020x + 4025 = 3 Bài 2: Giải các phương trình

a) ( x + 5)(x – 2) = 3

b)

c) 2x2 + 3x + = 33

d) x3 +2

Ví dụ 3.2: Giải phương trình : (x – 3)(x + 1) + 3(x – 3) = 4 (2)

Nhân xét : Nêu bình phương 2 vê thì phương trình trở thành phương trình bâc 4 rất phức tap.

Nêu đăt = t không biên đổi (x – 3)(x + 1) theo t

Nêu phát hiện [(x – 3) ]2 = (x - 3)(x + 1) thì giải quyêt được bài toán.

GIẢI: Điều kiện: x > 3 hoăc x - 1

Đăt t = (x – 3) . suy ra t2 = (x – 3)(x + 1) . Phương trình (2) có dang

t2 + 3t – 4 = 0. Tư đó tìm được t1 = 1; t2 = -4

Ta có :



Tư (1’) suy ra x > 3; do đó (1’) (x – 3)(x + 1) = 1 x2 – 2x – 4 = 0. Phương trình này có 2 nghiệm x1 = 1 + (nhân) ; x2 = 1 - (loai)

Tư (2’) suy ra x < 3 . Kêt hợp vơi điều kiện ta có x - 1(2’) (x – 3)(x + 1) = 16 x2 – 2x – 19 = 0. Phương trình này có 2 nghiệm x3 = 1 + ( loai) ; x4 = 1 - (nhân)Vây nghiệm của phương trình : x = 1 + ; x = 1 -

TỔNG QUÁT: ( ax + b)(cx + d) + ( ax + b) = k. Điều kiện :

Đăt : (ax + b) = t . Suy ra t2 = ( ax + b)(cx + d) .

Đưa về phương trình bâc hai : t2 + t + k = 0. Giải phương trình bâc hai tìm t, rồi suy ra x. Chú ý: trong dang toán này hoc sinh rất dễ măc sai lâm là t 0.Xây dựng bài toán vận dụng. - Xuất phát tư phương trình bâc hai t2 + 2t – 8 = 0

Chon t = (x +3) , suy ra t2 = (x – 3)(x + 1) ta có bài 1a.

- Xuất phát tư phương trình bâc hai t2 + 7t – 8 = 0

t = (x +2010) , suy ra t2 = (x + 2010)(x + 2011) ta có bài 1d

Tuỳ theo yêu các ban có thể xây dựng lơp bài bài tâp vân dụng dành cho hoc sinh khá, giỏi.

Bài tâp : Giải các phương trình :

a) (x + 3)(x - 1) + 2(x +3) = 8

b) (x – 1)(x + 3) + 3(x -1) = 4

c) (x + 2)(x + 4) + 5(x + 2) = 0

d) (x + 2010)(x + 2011) + 7(x + 2010) = 8

e) (x – 5)(x + 1) + 3(x – 5) = 4

Ví dụ 3.3a: Giải phương trình: 2( x2 + 2) = 5 (3a)



Nhận xét : 2(x2 + 2) = 2(x + 1 + x2 – x + 1) và x3 – 1 = ( x + 1 )( x2 - x + 1) . vây nêu chia

hai vê phương trình cho x + 1 0 ta được : 2 + 2 = 5 . Đên đây hoc sinh đã

định hương được cách giải.GIẢI:

a) 2( x2 + 2) = 5 (3a)Điều kiện x - 1(3a) 2(x + 1 + x2 – x + 1 ) = 5

2(x + 1) +2( x2 – x + 1 ) = 5 (3’a)

Vì x2 - x + 1 = ( x - )2 + > 0 . Nên chia hai vê (3’a) cho x + 1 0 ta đựơc:

2 + 2 = 5 Đăt = t 0 . Ta có phương trình:

2t2 – 5t + 2 = 0 . Phương trình có 2 nghiệm t1 = 2; t2 = (thoả mãn)

t1 = 2 . Suy ra = 2 x2 – 5x - 3 = 0.

Phương trình có 2 nghiệm x1 = (thoả mãn)

t2 = . Suy ra = 4x2 – 5x + 3 = 0. Phương trình vô nghiệm.

Vây phương trình (3) có 2 nghiệm x1 =

* Đôi vơi phương trình trên ta có thể chia 2 vê cho : x2 - x + 1 Rồi đăt = t

Ví dụ 3.3b: Giải phương trình: 2x2 + 4x + 3 = 3 (3b)

(3b) 2( x2 + x + 1) + ( 2x + 1) = 3 (3’b)

Điều kiện : x - vì x2 + x + 1 = ( x + )2 + > 0.

Chia hai vê (3’b) cho x2 + x + 1 ta được : 2 + = 3

Đăt = t 0 . Ta có phương trình :

t2 – 3t + 2 = 0. Phương trình có 2 nghiệm t1 = 2; t2 = 1 (thoả mãn)



t1 = 2 . Suy ra : = 2 4x2 + 2x + 3 = 0. Phương trình vô nghiệm.

t2 = 1 .Suy ra : = 1 x2 - x = 0 .

Phương trình có 2 nghiệm x1 = 1; x2 = 0 (thoả mãn). Vây phương trình có 2 nghiệm x1 = 1; x2 = 0

Đôi vơi phương trình (3’b) ta cung có thể chia 2 vê cho 2x + 1. Rồi đăt = t

TỔNG QUÁT: Phương trình dang : A.p(x) + B.q(x) + C = 0

- Nêu p(x) = 0; q(x) = 0 . Ta giải hệ phương trình

- Nêu p(x) 0 và q(x) 0. Ta chia 2 vê của phương trình cho p(x) hoăc q(x) được phương trình

A + B + C = 0 . đăt = t .

Đưa về phương trình bâc hai At2 + Ct + B = 0. Giải phương trình tìm t, rồi suy ra x*. Đôi vơi dang phương trình trên ta còn có thể đăt 2 ẩn phụ đưa về phương trìng tích. Giơi thiệu các ban ở phân sau.

Xây dựng bài toán vận dung: Tư cách giải tổng quát giúp giáo viên có thể tao ra nhiều bài toán mơi chỉ cân xác định p(x) , q(x).

Ví dụ: p(x) = x + 2 ; q(x) = x2 – 2x + 4 ta có 2.q(x) = 2x2 – 4x + 8 ; 2p(x) = 2x + 4suy ra 2[p(x) – q(x)] = 2x2 – 6x + 4 ta có đề thi GVDG cấp huyện năm học 2011 – 2012.

Hoăc tư phương trình bâc hai t2 – 3t + 2 = 0 (*) ta chon t = , suy ra t2 =

thay vào (*) ta có phương trình - 3 + 2 = 0 (**) , nhân 2 vê của (**) vơi

x2 + x + 1 > 0 được phương trình 2x2 + 7x + 2 – 3 = 0Sau đây là các bài tâp vân dụngBài tập: Giải các phương trình sau a) 3 ( Đề thi GVDG cấp huyện năm học 2011 – 2012)

b) 2x2 – 5x + 2 = 4

c) 2( x2 + 2x + 3) = 5

d) x4 + 2x3 +2x2 – 2x + 1 = ( x3 + x)

e) 2x2 + 7x + 2 – 3 = 0

f) x – 3 = 1



Ví dụ 3.4: Giải phương trình: a) ( 4a)

b) (4b)

Nhận xét: Bình phương 2 vê không làm mất căn bâc hai dẫn đên phương trình phức tap. và 3x – 8 = (2x + 3) + ( x + 1) – 12

nên ta dùng phương pháp đăt ẩn phụ để đưa về phương trình bâc hai.

GIẢI: a) ( 4a) Điều kiện : x - 1(4a)

Đăt t = ( t 0) t2 = 3x + 4 + 2Phương trình trở thành : t2 – t – 12 = 0 t1 = 4 ( nhân); t2 = - 3 ( loai )Vơi t1 = 4 ta có : = 4 2 = 12 – 3x

Kêt hợp vơi điều kiện x1 = 46 + ( loai) , x2 = 46 - ( thoả mãn )Vây phương trình có 1 nghiệm là : x = 46 -

b) (4b)Điều kiện : - 2 Đăt : ( t 0) t2 = 4 + 2 phương trình trở thành:

t + = 2 t2 + 2t – 8 = 0 t1 = 2 ( nhân); t2 = - 4 ( loai )

Vơi t1 = 2 ta có: = 2 4 + 2 = 4 = 0 4 - x2 = 0 x1 = 2 ; x2 = - 2 ( thoả mãn )

Vây phương trình có 2 nghiệm là x1 = 2 ; x2 = - 2

TỔNG QUÁT: Phương trình dang: a( P(x) + Q(x) ) + b ( + c

Đăt t = Đưa về phương trình bâc hai : Giải phương trình bâc hai tìm t , rồi suy ra x.



Xây dựng bài tập vận dụng: Xuất phát tư phương trình bâc hai t2 + 2t – 8 = 0 (*) Chon t = x - thay vào (*) ta được phương trình 2x2 + x - - 2x = 3 Chon t = x + thay vào (*) ta được phương trình x2 + 2x + +2x = 5Sau đây là các bài tâp vân dụngBài1: Giải các phương trình sau: a) 2x2 + x - - 2x = 3b) x2 + 2x + +2x = 5c)

d) Bài 2: Giải các phương trình sau: a)

(Đề thi HSG lớp 9 Tỉnh Vĩnh Phúc – Năm học 2010 – 2011)b)

c)

d)

3. 2. ĐẶT MỘT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH.

Ví dụ 3.5: Giải phương trình : x2 + = 1 (3.5)GIẢI: Điều kiện x – 1Đăt : = t ( t 0)Phương trình trở thành : (t2 – 1)2 + t = 1 t(t – 1)(t2 + t – 1) = 0.

Tư đó tìm được t = 0; t = 1; t = ; t = ( loai )

+ Vơi t = 0 x = - 1 (thoả mãn)+ Vơi t = 1 = 1 x = 0 (thoả mãn)

+ Vơi t = = x + 1 = ( )2 x = (thoả mãn)

Vây phương trình có 3 nghiệm : x1 = - 1 ; x2 = 0 ; x3 =

Ví dụ 3.6: Giải phương trình : x2 + = 2x2.



(Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh năm học 2004 - 2005)GIẢI:Điều kiện : x 2Đăt : = t ( t 0)Phương trình trở thành: (2 – t2)2 + t = 2(2 – t2)2.t

4 – 4t2 + t4 + t = 8t – 8t3 + 2t5

(t – 1)(2t4 + t3 – 7t2 – 3t + 4) = 0 ( t – 1)(t2 + t – 1)(2t2 – t – 4) = 0

Tư đó tìm được : t = 1; t = ; t = (loai); t = ; t = (loai)

+ Vơi t = 1 = 1 2 – x = 1 x = 1 ( thoả mãn)

+ Vơi t = = 2 – x = ( )2 x = (thoả mãn)

+ Vơi t = = 2 – x = ( )2 x = (thoả mãn)

Vây phương trình có 3 nghiệm : x1 = 1 ; x2 = ; x3 = .

Xây dựng bài tập vận dụng:Xuất phát tư phương trình tích t(t – 1)(t2 + t – 1) = 0. (*)Chon t = thay vào (*) biên đổi rút gon ta được phương trình: x2 + 4018x + 4036080 =

Bài tâp: Giải các phương trình : a) x2 + = 2012

b) x2 - = 5 (Đề thi HSG lớp 9 cấp tỉnh năm học 2007 – 2008)

c) x +

d) e) x2 + 4018x + 4036080 =

Ngoài các dang đặt ẩn phụ trên xin giới thiệu một số bài toán đặt một ẩn phụ không hoàn toàn.Bài 1: Giải phương trình 4x2 – 4x – 10 =

GIẢI: Đăt = t 0 ta cót2 – t = (8x2 – 6x – 10 ) – ( 4x2 – 4x – 10) = 4x2 – 2x

t2 – t + = 4x2 – 2x + 4x2 – 2x

- Nêu t - = 2x - t = 2x ( x 0)



8x2 – 6x – 10 = 4x2 4x2 – 6x – 10 = 0

Phương trình có 2 nghiệm x1 = - 1 ( loai ) ; x2 = (chon)

- Nêu t - = - 2x t = 1 – 2x ( x )

8x2 – 6x – 10 = 1 – 4x + 4x2 4x2 – 2x – 11 = 0

Phương trình có 2 nghiệm x3 = ( loai ) x4 = ( chon)

Vây phương trình có 2 nghiệm x1 = ; x2 =

Bài 2: Giải phương trình: 2x2 – 3x + 2 = x.

GIẢI: Điều kiện : x

(2) 2x2 – (3x – 2 ) = x.Đăt y = ( t 0). Ta có: 2x2 – y2 = x.y (2’)Phương trình (2’) là phương trình đẳng cấp đôi vơi x, và y

Đăt y = tx thì : (2’) 2x2 – t2x2 = t2x2 x2(2 – t – t2) = 0 2 – t – t2 = 0 ( vì x )

t = 1 ; t = - 2 Vơi t = 1 thì y = x do đó = x 3x – 2 = x2 x2 – 3x + 2 = 0 x1 = 1; x2 = 2 ( thoả mãn)

Vơi t = - 2 thì y = - 2x. Do x nên y < 0 ( loai )

Vây phương trình đã cho có 2 nghiệm : x1 = 1; x2 = 2

Với phương pháp đặt một ẩn phụ ta cũng có thể đưa phương trình vô tỉ về phương trình hữu tỉ hoặc phương trình vô tỉ đơn giản hơn để tiếp tục vận dụng các phương pháp khác. Ở đây ta cần linh hoạt biến đổi phương trình đã cho để tìm ra các biểu thức chung hoặc có đặc tính chung để đặt ẩn phụ sao cho phù hợp.



3. 3. ĐĂT 2 ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCHVí dụ 3.7: Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5 (2.1)

GIẢI: Điều kiện: x - 1(2.1) 2( x + 1 + x2 – x + 1) = 5

đăt và . Phương trình trở thành:2u2 + 2v2 = 5uv (2u – v)(u – 2v) = 0 v = 2u hoăc u = 2v Nêu v = 2u = 2 x2 – 5x + 3 = 0

Phương trình có 2 nghiệm x1 = ; x2 = ( thoả mãn)

Nêu u = 2v = 2 4x2 – 5x + 3 = 0 Phương trình vô nghiệm.

Vây phương trình có 2 nghiệm x1 = ; x2 =

Ví dụ 3.8: Giải phương trình : 2x2 + 4x + 3 = 3 (3b)

GIẢI: (3b) 2( x2 + x + 1) + ( 2x + 1) = 3 (3’b)

Điều kiện : x - vì x2 + x + 1 = ( x + )2 + > 0.

Đăt = u và = v . Phương trình trở thành:2v2 + u2 = 3uv (2v – u)(v – u) = 0 u = 2v hoăc u = v Nêu u = 2v = 2 2x + 1 = 4(x2 + x + 1)

4x2 + 2x + 3 = 0. Phương trình vô nghiệm. Nêu u = v = x2 - x = 0 .Phương trình có 2 nghiệm x1 = 1; x2 = 0 ( thoả mãn ). Vây phương trình có 2 nghiệm x1 = 1; x2 = 0

Ví dụ 3.9: Giải phương trình : 3 (1) ( Đề thi GVDG cấp huyện 2011 – 2012)

GIẢI: (1) 2( x2 – 2x + 4 ) – 2 ( x + 2) = 3Điều kiện : x3 + 8 0 Đăt = u ( u 0 ) ; ( v > 0 )Phương trình ( 1) trở thành : 2(v2 – u2 ) = 3uv (2v + u )( v – 2u) = 0Do 2v + u > 0 . Suy ra v – 2u = 0 v = 2u



Ta có : = 2 x2 – 6x – 4 = 0 x1 = ( thỏa mãn ); x2 = ( thoả mãn )

Vây phương trình có 2 nghiệm : x1 = ; x2 =

Ví dụ 3.10: Giải phương trình : 2x2 – 5x + 2 = 4 (3.10)GIẢI : Điều kiện: x3 – 21x – 20 = (x + 1)(x + 4)(x – 5) 0 - 4 x - 1 hoăc x 5.

(3.10) (2x2 – 8x – 10) + 3(x + 4) = 4

Đăt : = u và = vPhương trình trở thành: u2 + 3v2 = 4uv (u – v)(u – 3v) = 0 u = v hoăc u = 3v Nêu u = v = 2x2 – 9x – 14 = 0

Phương trình có 2 nghiệm ( thoả mãn )

Nểu u = 3v = 3 2x2 – 17x – 46 = 0

Phương trình có 2 nghiệm x1 = ; x2 = ( thoả mãn)

Vây phương trình có 4 nghiệm : ; x3 = ; x4 = .

Tổng quát : aP(x) + bQ(x) = c

Đăt và Ta có phương trình : au2 + bv2 = c.uv . Đưa về phương trình tích.Điều cơ bản là giáo viên làm thê nào để giúp hoc sinh nhân ra P(x) và Q(x), đây là thủ thuât hương dẫn hoc sinh làm toán của mỗi giáo viên. Đây cung là một dang toán hoc sinh thường găp trong các đề thi hoc sinh giỏi và thi vào trường THPT chuyên nên tôi gơi thiệu các ban 4 ví dụ tư đơn giản đên phức tap. Xây dựng bài tập vận dụng :Xuất phát tư phương trình tích nào đó: (u – b)(v – a) = 0Chon u = ; b = - 2x; v = ; a = - 1 ta có phương trình : ( - 2x)( - 1) = 0

+ 2x = 2x +

Giáo viên có thể sáng tao ra các bài toán cho hoc sinh vân dụngBài 1: Giải các phương trình sau:a) + 2x = 2x +

b)

c)

d) 3



Bài 2: Giải các phương trình saua)

b)

c)

d) 3.4. ĐẶT HAI ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Ví dụ 3.11: Giải phương trình:GIẢI: Điều kiện - Đăt = u ( u 0 ); = v ( v 0 ). Ta có hệ phương trình

Suy ra = 4 x = 3; x = - 3 ( thoả mãn )Vây phương trình có 2 nghiệm x1 = 3; x2 = -3

Ví dụ 3.12: Giải phương trình: Giải: Điều kiện x - 1Đăt : = u; ( v 0 ). Suy ra u3 = x – 2 ; v2 = x + 1

Ta có hệ phương trình :

Suy ra x = u3 + 2 = 3 ( thoả mãn)Vây phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.

Ví dụ 3.13: Giải phương trình: Giải: Đăt ; ta có u3 – v3 = x + 45 – x + 16 = 61

Ta có hệ phương trình:

Nêu u = 5 thì Nêu u = - 4 thì Vây phương trình có 2 nghiệm x1 = 80; x2 = - 109 .

Ví dụ 3.14 : Giải phương trình:



Giải: Điều kiện : 0 Đăt : ( u 0); ( v 0)

Ta có hệ phương trình :

Phương trình (*) có uv = 46 và uv = 4

Ta có 2 hệ phương trình: (I) và (II)

Hệ (I) có nghiệm (u;v ) là (1; 4) và (4; 1) đều thoả mãn. Hệ (II) vô nghiệmTư đó suy ra x1 = 1; x2 = 256.Vây phương trình có 2 nghiệm x1 = 1; x2 = 256

Ví dụ 3.15 : Giải phương trình:

Giải: Đăt ( u 0); . Ta có hệ phương trình

(*) 2u4 + u3 – 3u2 + 3u – 34 = 0 (u – 2)(2u3 + 5u2 + 7u + 17 ) = 0 u = 2 ( vì 2u3 + 5u2 + 7u + 17 > 0)Tư đó x8 = 1 x = 1; x = -1 ( thoả mãn)Vây phương trình có 2 nghiệm x1 = 1; x2 = -1.Nhận xét: Qua 5 ví dụ trên chúng ta đã thấy sự linh hoat, đa dang và hưu hiệu của việc đăt 2 ẩn phụ để đưa về hệ phương trình. Đăc biệt nêu găp phương trình vô tỉ chứa các căn thức có bâc khác nhau thì cách giải trên rất hiệu quả. Tư các bài toán trên chăc các ban đã hình dung được cách xây dựng bài toán tổng quát tương ứng và cách giải.Xây dựng bài tập vận dụng :

+ Xuất phát tư hệ phương trình

Chon = u ( u 0 ); = v ( v 0 ),

ta được phương trình - = 3

+ Xuất phát tư hệ phương trình

Chon u = ( u 0); v = (v 0 )

Ta được phương trình - = 1 Sau đây là các bài tâp vân dụng.Bài 1: Giải các phương trình sau:



a) b)

c)

d) e) - = 3

Bài 2: Giải các phương trìnha) b) c) d) e) - = 1

Ngoài cách đặt 2 ẩn phụ đưa về hệ phương trình như trên xin giới thiệu các một số bài toán đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình nhưng không hoàn toàn để các ban tham khảo.

Bài 1: Giải phương trình: x2 - = 5 (1) ( Đề thi HSG lớp 9 cấp tỉnh nămhọc 2006 - 2007)

Giải: Điều kiện: x hoăc x Đăt: = y. Kêt hợp vơi (1) ta có hệ phưong trình:

tư (*) suy ra x2 – y2 + x – y = 0 (x – y)(x + y + 1) = 0Xét 2 trường hợp:

* x – y = 0 hay x = y thay vào ( 2) ta có phương trình

x2 – x – 5 = 0 x1 = (thoả mãn); x2 = (loai)

* x + y + 1 = 0 hay y = - x – 1 thay vào (2) ta có phương trình

x2 + x – 4 = 0 x3 = ( loai) ; x4 = (thoả mãn)

Vây phương trình có 2 nghiệm: x = ; x = .

Bài 2: Giải phương trình: x2 – x – 1000 = 1000 (2) GIẢI:

Đăt + 1 = 2y. Kêt hợp vơi (2) ta có hệ phương trình:



(3)

Tư hệ (3) suy ra ( x – y)(x + y – 1 + 2000 ) = 0 ( 4)Tư hệ (3) nhân xét 2001(x + y) = x2 + y2 > 0 nên suy ra (x + y + 1999) > 0Tư (4) suy ra x = y thay vào ( 2) ta được:

x2 – x = 2000x x(x – 2001) = 0 x = 0 ( loai ); x = 2001 ( thoả mãn )Vây phương trình có 1 nghiệm duy nhất x = 2001.

Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình hay và rất hiệu quả. Nhưng ở đây ta cần phải biết nhận xét đặc tính của phương trình, lúc nào thì cần đặt ẩn phụ và đặt mấy ẩn. Khi đặt ẩn phụ thì ta thường đặt các biểu thức chứa căn làm ẩn phụ, phải có dạng tổng hoặc hiệu của luỹ thừa các ẩn phụ là một hằng số. Phương pháp này sử dụng hiệu quả nhất đối với phương trình vô tỉ chứa các căn thức có bậc khác nhau.

3.5 ĐẶT BA ẨN PHỤĐây là một phương pháp giải hay giành cho những bài toán phức tap, học sinh cũng có

thể gặp trong các đề thi. Tôi xin giới thiệu các ban tham khảo

Ví dụ 3.16 : Giải phương trình: a) b) c) 4x – x2 = 3

Giải.a) (1)

ĐK: x ≥ - 1. (1)

Đăt: = a, = b, = c (a, b, c ≥ 0)Phương trình (1) trở thành ab + c = b + ac (a – 1)(b – c) = 0 a = 1 hoăc b = c. + a = 1 ta có = 1 x = 0 (thoả mãn) + b = c ta có = . Phương trình vô nghiệm.Vây phương trình đã cho co một nghiệm duy nhất là x = 0.

b) Đăt : ; ; (u ; v ; t ≥ 0)

x = 2 − u2 = 3 − v2 = 5 − t2 = uv + vt + tu



Tư đó ta có hệ:

Nhân tưng vê của (1*), (2*), (3*) ta có : [ (u + v)(v + t)(t + u) ]2 = 30 Vì u ; v ; t ≥ 0 nên: (4*)Kêt hợp (4*) vơi lân lượt (1*) ; (2*) ; (3*) dẫn đên:

Cộng tưng vê của (5*) ; (6*) ; (7*) ta có:

(8*)

Kêt hợp (8*) vơi lân lượt (5*) ; (6*) ; (7*) ta có:

(thoả mãn)

Vây phương trình có nghiệm duy nhất x = .

c) 4x – x2 = 3

Điều kiện:

Đăt a = x – 2 ; b = ; c = . Ta có hệ phương trình:

Do vai trò a, b, c trong hệ phương trình bình đẳng nên ta chứng minh được a = b = c = 1.Suy ra x = 3.Vây x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Vậy để giải phương trình vô tỉ theo phương pháp đặt ẩn phụ cần thực hiện theo các bước sau:



Bước 1: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ.Bước 2: Chuyển phương trình đã cho về phương trình hoặc hệ phương trình chứa ẩn phụ.Bước 3: Giải phương trình hoặc hệ phương trình chứa ẩn phụ. Đối chiếu với điều kiện ẩn

phụ đã nêu để tìm nghiệm thích hợp.Bước 4: Tìm nghiệm phương trình ban đầu theo hệ thức khi đặt ẩn phụ.

4. PHƯƠNG PHÁP DÙNG BIỂU THỨC LIÊN HIỆP

Trong một số dạng phương trình vô tỉ biết sử dụng biểu thức liên hợp một cách khéo léo ta có lời giải các bài toán rất ngắn gọn và thật ấn tượng. Sau đây là một số biểu thức liên hợp thường vận dụng.

Biểu thức Biểu thức liên hiệp TíchA – B A + B

A – B

Ví dụ 4.1: Giải phương trình: (1)

Nhân xét: 2x – 3 – x = x – 3, nên nêu nhân cả 2 vê của (1) vơi biểu thức liên hợp vê trái ( biểu thức này luôn dương) thì xuất hiện nhân tử chung là x – 3GIẢI:

Điều kiện x . Khi đó phương trình (1) tương đương vơi

(1)

vì vơi x thì

Vây phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3.

Ví dụ 4.2: Giải phương trình (2)GIẢI:

Điều kiện x – 1. Nhân cả 2 vê phương trình (2) vơi biểu thức liên hiệp vê trái ta được:

(*)



tư (2) suy ra (**)Trư 2vê hai phương trình (*) và (**) ta được: 7x – 1 = 2

Vây phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.

Ví dụ 4.3: Giải phương trình (3)Nhận xét: ( 3x2 – 7x + 3 )1 – ( 3x2 – 5x – 1) = 4 – 2x và (x2 – 2 ) – ( x2 – 3x + 4) = 3x – 6 . vây đưa các căn thức có cùng hệ sô bình phương về một nhóm và nhân mỗi nhóm vơi biểu thức liên hợp làm xuất hiện nhân tử chung x – 2.

GIẢI: Điều kiện :

(3)

x – 2 = 0 ( vì )

x = 2 ( thoả mãn )Vây phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2.

Ví dụ 4.4: Giải phương trình 2x2 – 11x + 21 = 3 (4)Nhân xét : 2x2 – 11x + 15 = (x – 3)(2x – 5) 3 – 6 = 3( – 2 ) (*). Nêu nhân tử và mẫu (*) vơi lượng liên hiệp làm xuất hiện nhân tử chung x – 3.



GIẢI: (4) (x – 3)(2x – 5) =

(x – 3)(2x – 5) =

(x – 3)(2x – 5 – ) = 0

x – 3 = 0 x = 3 ( thoả mãn )

hoăc 2x – 5 – = 0

Đăt t = ta có 2x – 5 – = 2x – 4 – = 0 (*)

Vơi x > 3 thì 2x – 5 > 1 và < 1, suy ra phương trình (*) vô nghiệm.

Vơi x < 3 thì 2x – 5 < 1 và > 1, suy ra phương trình (*) vô nghiệm.

Vây phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3.Qua 4 ví dụ trên các ban đã có được cách giải phương trình vô tỉ bằng cách dụng biểu thức liên hiệp. Thực chất của phương pháp này là nhân một biểu thức vơi biểu thức liên hiệp của nó để làm xuất hiện nhân tử chung thì sau khi đăt nhân tử chung ta chuyển về phương trình đơn giản hơn. Sau đây là các bài tâp vân dụng:Bài 1: Giải phương trình:

a)

b) c) d) x2 + 9x + 20 = 2Bài 2: Giải phương trìnha) b)

c)

d)

5. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG CÁCH ĐÁNH GIÁ



5.1 DỰ ĐOÁN NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH NGHIỆM ĐÓ LÀ DUY NHẤT.

Ví dụ 5.1: Giải phương trình GIẢI:

Điều kiện : x 5 Ta thấy x = 9 là một nghiệm của phương trình. Ta chứng minh nghiệm này là duy nhất.

Đăt y = + Nêu x > 9 thì y > = 9 . vây phương trình không có nghiệm x > 9.+ Nêu x < 9 thì y < = 9 . vây phương trình không có nghiệm x < 9.Vây phương trình có một nghiệm duy nhất x = 9.

Ví dụ 5.2: Giải phương trình

GIẢI: Điều kiện x < 2.

Ta thấy x = là một nghiệm của phương trình. Ta chứng minh nghiệm này là duy nhất.

+ Nêu < x < 2 thì . Suy ra > 4.

+ Nêu x < thì . Suy ra < 4.

Vây phương trình có nghiệm duy nhất x =

Ví dụ 5.3: Giải phương trình GIẢI: Ta thấy x = - 2010 là một nghiệm của phương trình. Ta chứng minh nghiệm này là duy nhất

+ Nêu x > - 2010 ta có:

Nên phương trình không có nghiệm x > - 2010.+ Nêu x < - 2010 ta có :

Nên phương trình không có nghiệm x < - 2010.Vây phương trình có nghiệm duy nhất x = - 2010.

Ví dụ 5.4: Giải phương trình (Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Thừa Thiên - Huế Năm học 2003 – 2004)



GIẢI: Ta thấy x = 0 là một nghiệm của phương trình. Ta chứng minh nghiệm này là duy nhất+ Nêu x < 0 , vê phải của phương trình lơn hơn 1, còn vê trái của phương trình nhỏ hơn 1.+ Nêu x > 0 , vê phải của phương trình nhỏ hơn 1, còn vê trái của phương trình lơn hơn 1.

Nên phương trình không có nghiệm.Vây phương trình có nghiệm duy nhất là x = 0.

Như vậy đối với phương pháp này ta tìm được một nghiệm riêng của phương trình và chứng minh được nghiệm riêng đó là nghiệm duy nhất. Phương pháp này phù hợp với những phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất, còn đối với những phương trình có từ hai nghiệm trở lên thì việc chứng minh phương trình đó chỉ có các nghiệm trên sẽ gặp nhiều khó khăn.

5.2. SỬ DỤNG TÍNH ĐỐI NGHỊCH Ở 2 VẾ CỦA PHƯƠNG TRÌNH..

Xét phương trình A(x) = B(x)- Nếu A(x) u ; B(x) v mà u > v thì phương trình vô nghiệm.

- Nếu A(x) k ; B(x) k. Suy ra

Ví dụ 5.4: Giải phương trình GIẢI: Điêù kiện x 1

Vơi điều kiện x 1 nên x – 1 < 5x – 1 Mà vơi moi x 1 Vây phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 5.5: Giải phương trình = 4 – 2x – x2

GIẢI: Ta có : =

4 – 2x – x2 = 5 – (x + 1)2 5Phương trính có nghiệm dấu “ = ” xảy ra x = – 1Vây phương trình có nghiệm duy nhất x = – 1.Ví dụ 5.6: Giải phương trình

GIẢI:

Điều kiện

Áp dung BĐT Cô – si cho 2 sô không âm ta có

(1)

Măt khác 3x2 – 12x + 14 = 3( x – 2)2 + 2 2 (2)Tư (1) và (2) suy ra phương trình có nghiệm dấu “ = ” xảy ra x = 2Vây phương trình có nghiệm duy nhất x = 2



Bàì tập vận dụngBài 1: Giải phương trình:

a) b)

c) d) 3Bài 2:Giải phương trình:

a) b) 4 = x2 – 5x + 4

c)

d)

6. PHƯƠNG PHÁP VẬN DỤNG CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC .

6.1 ĐƯA VỀ DẠNG BÌNH PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG HOẶC MỘT HIỆU

Trường hợp 1: A2 + B2 + C2 = 0

Trường hợp 2: A2 = B2

Ví dụ 6.1: Giải phương trình: x2 + 4x + 5 = 2 (6.1)GIẢI:

Điều kiện x

( 6.1) x2 + 2x + 1 + 2x + 3 – 2 + 1 = 0 ( x + 1)2 + ( – 1)2 = 0

( thoả mãn)

Vây phương trình có nghiệm duy nhất x = – 1.

Ví dụ 6.2: Giải phương trình : x4 + = 2010 (6.2)

GIẢI: (6.2) x4 + x2 + = x2 + 2010 – +



( x2 + )2 = ( – )2

(*) x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1 = x2 + 2010 x4 + x2 – 2009 = 0

(thoả mãn)

(**) x2 = – (vô nghiệm)

Vây phương trình có nghiệm là :

Ví dụ 6.3: Giải phương trình: x + y + z = + 6020 (6.3)GIẢI: Điều kiện x 2010; y 2011; z 2012(6.3) x – 2010 – 2 + 1 + y – 2011 – 4 + 4 + z – 2012 – 6 + 9 = 0

( - 1)2 + ( - 2 )2 + ( - 3)2 = 0

(thoả mãn)

Vây phương trình có nghiệm : x = 2011; y = 2015; z = 2021.

Xây dựng bài toán vận dụng: Xãc định A(x) = ?; B(x) = ?; C(x) = ? Chon : A(x) = ; B(x) = x ta có ( )2 = x2 x + 2012 + 2 + 1 = x2

x2 – x + 2 + 2013 = 0Ta có bài toán : Giải phương trình: x2 – x + 2 + 2013 = 0. Sau đây là các bài tâp vân dụng:Giải các phương trình sau:

a) x2 + x + 12 b) 4x2 + 22 = 21x - c) x4 + = 2012 d) x + y + z + 4

e) (Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Phù Mỹ năm học 2010 – 2011)

6.2 VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC



a3 + b3 + c3 = ( a + b + c)3 (a + b)(b + c)(c + a) = 0

Ví dụ 6.4: a) Giải phương trình: (6.4a)

Nhân xét : Đăt ; – ; –Ta có a3 + b3 + c3 = 2010 . Phương trình được viêt lai a3 + b3 + c3 = (a + b + c)3 ta giải được bài toán.GIẢI:

Đăt ; – ; –Ta có a3 + b3 + c3 = 2010 . Phương trình (6.4a) được viêt laia3 + b3 + c3 = ( a + b + c)3 (*)Tư (*) và hằng đẳng thức a3 + b3 + c3 = ( a + b + c)3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)Ta có phương trình (a + b)(b + c)(c + a) = 0Xét 3 trường hợp:

a + b = 0 =

3x2 – x + 2011 = 3x2 – 7x + 2012 6x = 1 x =

a + c = 0 = 3x2 – 7 x + 4014 = 0. Phương trình này vô nghiệm.

b + c = 0 = –

3x2 – x – 1 = 0. Phương trình này có 2 nghiệm

Vây phương trình đã cho có 3 nghiệm: ; x3 =

Ví dụ 6.4b) Giải phương trình (6.4b)GIẢI:

Đăt ; ; Ta có a3 + b3 + c3 = 4x – 3 . Phương trình (6.4b) được viêt laia3 + b3 + c3 = ( a + b + c)3 (a + b)(b + c)(c + a) = 0 . Ta xét 3 trường hợp

a + b = 0 = – 3x + 1 = x – 5 x = – 3. b + c = 0 = – 5 – x = 9 – 2x x = 4. c + a = 0 = – 3x + 1 = 9 – 2x x = 1,6

Vây phương trình đã cho có 3 nghiệm x1 = – 3 ; x2 = 4; x3 = 1,6.Nhân xét : Hai phương trình trên đều đưa về dang (a + b)(b + c)(c + a) = 0 và việc giải phương trình tích này khá đơn giản, vấn đề là ở chỗ giáo viên giúp hoc sinh nhân dang hằng đẳng thức.Xây dựng bài tập vận dung: Chon a, b, c sao cho a3 + b3 + c3 = ( a + b + c)3 ta sẽ tao thành phương trình vô tỉ chứa căn bâc ba.



Ví dụ: Cho a = thì a3 + b3 + c3 = 4x – 7 ta có phương trình:

Tuỳ theo yêu câu các ban có thể xây dựng bài tâp vân dụng.Bài tâp: Giải các phương trình sau:

a)

b)

c) d)

7. PHƯƠNG PHÁP VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC.

Một số bài toán về giải phương trình vô tỉ bằng cách vận dụng bất đẳng thức rất đọc đáo và sáng tạo, cách giải ngắn gọn đòi hỏi người giải toán phải thông minh và linh hoạt, để làm đựoc điều này không phải dề đối với học sinh. Tôi xin nêu một số cách vận dụng bất đẳng thức quen thuộc khi giải phương trình vô tỉ.

7.1. ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC . Dấu bằng xảy ra B 0 . Dấu bằng xảy ra A.B 0

Ví dụ 7.1: Giải phương trình: (7.1)

GIẢI: (7.1)

Áp dụng bất đẳng thức . Dấu bằng xảy ra B 0Ta có :

– x – 1 – x – 2 + x + 3 + x + 8 = 8



Dấu bằng xảy ra

Vây tâp nghiệm của phương trình là S =

Đây là dang toán được giơi thiệu ở phương pháp đưa về dang . Trong trường hợp này ta dùng bất đẳng thức để giải sẽ đơn giản hơn rất nhiều khi vân dụng định nghĩa giá trị tuyệt đôi xét tưng khoảng một, sau đó kêt luân nghiệm.

7.2. ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TẠO RA TÍNH ĐỐI NGHỊCH HAI VẾ CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Dùng bất đẳng thức để đánh giá 2 vê của phương trình. Có thể xảy ra các trường hợp:

hoăc hoăc . Khi đó VP = VT

Ví dụ 7.2: Giải phương trình GIẢI: Điều kiện 3

= (x – 3) + (5 – x) + 2 = 2 + 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho 2 sô không âm ( x – 2 ) và ( 5 – x) ta có 2 + 2 2 + (x + 3) + (5 – x) = 4Suy ra (*)Và x2 – 8x + 18 = (x – 4)2 + 2 2 (**)

Tư (*) và (**)


7.3.ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ – SI ĐƯA VỀ MỘT BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM DUY NHẤT.

Bất đẳng thức Cô - si:

Nếu a1, a2, … , an là các số thực không âm thì a1 + a2 + …+ an

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = … = an-1 = an



Ví dụ 7.3a: Giải phương trình x2 + 4x + 5 = 2

GIẢI: Điều kiện x

Vân dụng bất đẳng thức Cô – si vơi 2 sô không âm : (2x + 3) và 1 ta có :(2x + 3) + 1 2 = x2 + 4x + 5 Suy ra 2x + 4 x2 + 4x + 5 x2 + 2x + 1 0 (x + 1)2 0 x = -1.Thử lai x = -1 là nghiệm của phương trình đã cho.Vây phương trình có nghiệm duy nhất x = -1.

Ví dụ 7.3b: Giải phương trình 2x2 - 11x + 21 = 3 (7.3b)

Điều kiện 4x – 4 > 0 x > 1 vì 2x2 - 11x + 21 = (

Áp dụng BĐT Cô – si cho 3 sô dương ta đựơc:3 = 3 = x + 3 (*)Tư (7.3b) và (*) suy ra 2x2 - 11x + 21 x + 3 2x2 - 12x + 18 0

2(x – 3)2 0 x = 3Thử lai x = 3 là nghiệm của phương trình đã cho.Vây phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.Ví dụ 7.3c: Giải phương trình x3 – 3x2 – 8x + 40 = 8 (7.3c)Điều kiện x – 1Áp dụng BĐT Cô – si cho 4 sô không âm ta đựơc:8 = = x + 13 (**)Tư (7.3c) và (**) suy ra x3 – 3x2 – 8x + 40 x + 13 x3 – 3x2 – 9x + 27 0 (x + 3)(x – 3)2 0Vơi điều kiện x – 1 suy ra x + 3 >0 (x – 3)2 0 x – 3 = 0 x = 3Thử lai x = 3 là nghiệm của phương trình đã cho.Vây phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.

Ví dụ 7.3d: Giải phương trình (7.3d)Điều kiện x2+ x – 1 0 ; x – x2 + 2 0Áp dụng BĐT Cô – si cho mỗi sô hang ở vê trái của phương trình ta có

(*)

(**)

Cộng theo tưng vê của (**) và (*) ta có Kêt hợp vơi (7.3d) ta được x2 – x + 2 x + 1 hay (x – 1)2 0 x = 1 Thử lai x = 1 là nghiệm của phương trình đã cho.




7.4. ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKIBất đẳng thức Bunyakovski:

Với hai bộ số bất kì ( a1, a2, … , an ) và ( b1, b2, … , bn ) ta có (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho ai=kbi vói mọi I = 1, 2, 3,…,n.

Ví dụ 7.4a Giải phương trình GIẢI: Điều kiện x 1.

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-ski cho các sô , 1, x – 3 ta có:

Đẳng thức xảy ra (vì loai

nghiệm x = 2)Thử lai x = 5 là nghiệm của phương trình.Vây phương trình có nghiệm duy nhất x = 5.

Ví dụ 7.4b Giải phương trình x2. (7.4b)

GIẢI: Điều kiện 2 – x4

Ta có (7.4b) x2.

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-ski cho các sô ; x; 1; 1 ta có:

+ x (*)

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-ski cho các sô ; x; 1; 1 ta có:

(**)

Tư (*) và (**) suy ra x2(



Đảng thức xảy ra khi và chỉ khi

Thử lai x = 1 là nghiệm của phương trình.Vây phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

7.5 . ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC MIN-CỐP-XKIBất đẳng thức Min-cốp-xki: Với a,b, c, d là các số thực ta có Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a.d = b.c

Ví dụ 7.5 Giải phương trình GIẢI: Áp dụng bất đẳng thức Min-cốp-xki ta có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (4 – x).11 = 20 (x + 5)

44 = 11x = 20x + 100 x = -

Thử lai x = - là nghiệm của phương trình.Vây phương trình có nghiệm duy nhất x = - .

7.6. ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC , Với a > 0; b > 0.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

Ví dụ 7.6 Giải phương trình

(Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Phù Mỹ năm học 2010 – 2011)

GIẢI: Điều kiện x >

Áp dụng bất đẳng thức ta có:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = x2 = 3x – 2 x2 – 3x + 2 = 0 x1 = 1; x2 = 2.Thử lai x1 = 1; x2 = 2 là nghiệm của phương trình.



Vây phương trình có 2 nghiệm x1 = 1; x2 = 2.

Qua các ví dụ trên chúng ta đã hiểu được sự vân dụng các bất đẳng thức vào giải phương trình vô tỉ cân phải linh hoat, sáng tao nó luôn đem đên cho chúng ta nhiều bất ngờ, thú vị. Bên canh đó đòi hỏi giáo viên phải đâu tư nghiên cứu kĩ các kiên thức liên quan. Sau đây là các bài tâp vân dung.

Bài 1: Giải các phương trình saua) b) x2 + 2x + 4 = 3

c)

d) Bài 2: Giải các phương trình sau

a)

b)

c) d)

II.2. KHẢ NĂNG ÁP DỤNG2.1. Thời gian áp dụng: Giải pháp này đã và sẽ được áp dụng khi giảng day chương I Đai sô 9: “CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA” cho toàn bộ các đôi tượng hoc sinh, ôn luyện thi vào lơp 10 THPT và nhất là dùng cho việc bồi dưỡng hoc sinh giỏi các cấp. Vơi đôi tượng là hoc sinh giỏi, các phương pháp giải phương trình vô tỉ như là chìa khóa để mở các kho tàng kiên thức còn tiềm ẩn. Tùy thuộc vào tưng dang bài tâp mà ta có thể vân dụng một cách linh hoat và sáng tao các giải pháp trên.

2.2. Khả năng thay thế một số giải pháp hiện có:a. Đối với học sinh đại trà

Ví dụ: Nhiều giáo viên khi giảng day chương I Đai sô 9 thường sử dụng hình thức củng cô bài bằng cách cho hoc sinh ghi nhơ các công thức đã hoc. Theo tôi, để khăc sâu kiên thức cho hoc sinh thì không chỉ dưng lai ở việc ghi nhơ công thức mà việc vân dụng kiên thức đã hoc để luyện tâp sẽ đem lai hiệu quả cao hơn. Vì vây tôi đã sử dụng giải pháp thay thê là ngoài hệ thông bài tâp sách giáo khoa còn



đưa thêm một sô bài tâp nhằm mở rộng và nâng cao kiên thức cho hoc sinh khá giỏi, phát triển tư duy và nâng cao năng lực nhân thức giúp cho hoc sinh hứng thú hoc tâp. Chẳng han:

BÀI GIẢI PHÁP CŨ(Các công thức cần ghi nhớ)

GIẢI PHÁP THAY THẾ( bài giải được trình bày ở phần giải pháp)

§1. CĂN BẬC HAI

1.

1.Giải phương trìnha)b)c)d) 3

2.

2. Giải các phương trình a) (x + 2) = 0 b)

3.

3. Giải các phương trình a) b)

§2. CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC

1. Giải các phương trìnha)

b)

2. Giải các phương trìnha)

b) x4 + = 2010

§3. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG

vơi A 0; B 0 vơi A 0 ; B 0

Giải các phương trìnha)

b) = 2x – 3

c)

§4. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG

vơi A 0, B > 0

vơi A 0, B < 0

Giải các phương trình

a)

b)



§6. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

1.1. Rút gon 2.Giải phương trình

2. 1.Đưa thưa sô vào trong dấu căn

2. Giải phương trình

(x – 3)(x + 1) + 3(x – 3) = 4

§7. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

1.

Giải phương trình

a) b)

2. khi B > 0 Giải phương trình = 5

3. vơi A 0 và A

B2


a) b)

4. vơi A 0, B

0 và A B


§.9 CĂN BẬC BA

1. 2.( )( ) = A + B3. ( )( ) = A – B

Giải phương trình a) b) 2x2 – 11x + 21 = 3

b. Đối với HS khá giỏi Hâu hêt hoc sinh khá giỏi khi đứng trươc bài toán về phương trình vô tỉ chỉ nghĩ đên một sô phương pháp thông thường như nâng lên luy thưa, vân dụng hằng đẳng thức , đưa về dang bình phương của một tổng, một hiệu hoăc đăt ẩn phụ đơn giản,... thì các giải pháp đưa ra đã hoàn thiện cho hoc sinh các phương pháp đăt ẩn phụ đưa về phương trình tích, đăt hai hoăc ba ẩn phụ đưa về hệ phương trình, chỉ ra được cách sử dụng các bất đẳng thức Cauchy, Bunyakovsky, Min – cop – xki….để giải phương trình Tóm lai các giải pháp mà tác giả đưa ra đã thay thê và hoàn thiện cho hoc sinh các phương pháp giải phương trình vô tỉ mà một sô tài liệu chưa cung cấp đủ, giúp hoc sinh có đây đủ kiên thức kĩ năng thât sự tự tin khi găp bất cứ bài toán liên đên rút gon biểu thức có chứa căn thức bâc hai và giải phương trình vô tỉ.Ví dụ 1: Giải phương trình sau bằng 2 cách : 3 (*)

(Đề thi GVDG môn Toán cấp huyện Phù Mỹ năm học 2011 – 2012)



Khi đưa ra hoc sinh giỏi có thể trình bày hoàn chỉnh theo ba cách giải:Cách 1: Nâng lên luỹ thừa

Điều kiện: 2x2 – 6x + 4 0 hoăc x (*) 9( x3 + 8) = ( 2x2 – 6x + 4)2

( x2 – 6x – 4 )( 4x2 – 9x + 14) = 0 x2 – 6x – 4 = 0 ( vì 4x2 – 9x + 14 > 0 ) x1 = ( thỏa mãn ); x2 = ( thoả mãn )

Vây phương trình có 2 nghiệm : x1 = ; x2 = Cách 2: Đặt hai ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai.

(*) 2( x2 – 2x + 4 ) – 2 ( x + 2) = 3Điều kiện : x3 + 8 0 Đăt = u ( u 0 ) ; ( v > 0 )Phương trình ( 1) trở thành : 2(v2 – u2 ) = 3uv (2v + u )( v – 2u) = 0Do 2v + u > 0 . Suy ra v – 2u = 0 v = 2uTa có : = 2 x2 – 6x – 4 = 0

x1 = ( thỏa mãn ); x2 = ( thoả mãn )Vây phương trình có 2 nghiệm : x1 = ; x2 =

Cách 3: Đặt một ẩn phụ đưa về phương trình bậc haiĐiều kiện: 2x2 – 6x + 4 0 hoăc x (*) 2( x2 – 2x + 4 ) – 2 ( x + 2) = 3

. Đăt

ta có phương trình 2t2 – 3t – 2 = 0 , suy ra t1 = 2 ( chon); t2 = - ( loai)

Vơi t1 = 2 ta có: x2 – 6x – 4 = 0. phương trình có 2 nghiệm : x1 = ; x2 = ( thảo mãn)

Vây phương trình có 2 nghiệm : x1 = ; x2 = .Ví dụ 2: Giải phương trình : x2 + = 2x2. (Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 tỉnh Bình Định năm học 2004 - 2005)

- Năm hoc 2004 – 2005 đội tuyển hoc sinh giỏi Toán huyện Phù Mỹ dự thi cấp tỉnh không hoc sinh nào giải được bài toán này vì không xác định được hương giải bài toán. Nhưng khi các giải pháp được đưa ra nhiều hoc sinh giỏi có thể xác định đựơc hương đi và giải đúng cho bài toán này.

GIẢI:Điều kiện : x 2Đăt : = t ( t 0)Phương trình trở thành: (2 – t2)2 + t = 2(2 – t2)2.t

4 – 4t2 + t4 + t = 8t – 8t3 + 2t5

(t – 1)(2t4 + t3 – 7t2 – 3t + 4) = 0



( t – 1)(t2 + t – 1)(2t2 – t – 4) = 0

Tư đó tìm được : t = 1; t = ; t = (loai); t = ; t = (loai)

+ Vơi t = 1 = 1 2 – x = 1 x = 1 ( thoả mãn)

+ Vơi t = = 2 – x = ( )2 x = (thoả mãn)

+ Vơi t = = 2 – x = ( )2 x = (thoả mãn)

Vây phương trình có 3 nghiệm : x1 = 1 ; x2 = ; x3 = .

c. Đối với giáo viên:Vân dụng các giải pháp đã trình bày xây dựng các chuyên đề mơi hơn phục vụ cho công tác

giảng day và bồi dưỡng hoc sinh giỏi.Ví dụ: Xuất phát tư phương trình bâc hai t2 – 5t + 6 = 0 giáo viên có thể chon t để tao ra các các bài toán mơi hơn.Chon t = x2 ta có phương trình x4 – 5x2 + 6 = 0chon t = (2011x + 2011) ta có phương trình (2011x + 2011)2 – (2011x + 2011) + 6 = 0chon t = (x2 – 2x + 5) ta có phương trình (x2 – 2x + 5)2 - 5(x2 – 2x + 5) + 6 = 0

2.3. Khả năng áp dụng:Các giải pháp này có thể triển khai áp dụng rộng rãi trong tất cả các đơn vị trường THCS cho

tất cả giáo viên và các đôi tượng HS. Ngoài ra HS lơp10 THPT cung có thể sử dụng trong quá trình tự hoc. Hoc sinh trung hoc phổ thông dùng làm tài liệu để ôn thi Đai hoc – Cao đẳng.

II.3. LỢI ÍCH KINH TẾ - XÀ HỘI3.1. Lợi ích có thể đạt được trong quá trình giáo dục:

Sử dụng các giải pháp nêu trên đã góp một phân không nhỏ vào việc nâng cao chất lượng giáo dục. Việc áp dụng lồng ghép các dang bài tâp về giải phương trình vô tỉ sau mỗi bài hoc trong chương “CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA”nhằm rèn luyện kĩ năng thực hiện chính xác các phép biên đổi các căn thức bâc hai. Moi giáo viên toán THCS đều có thể dùng làm tài liệu này để bồi dưỡng hoc sinh giỏi toán dự thi cấp huyện, cấp tỉnh, thi vào trường chuyên, lơp chon và thi vào trung hoc phổ thông. Ngoài ra, các giải pháp này còn là nguồn kiên thức bổ trợ quan trong nhằm góp phân nâng cao năng lực chuyên môn, tay nghề - một hình thức tự hoc và sáng tao cân thiêt để bồi dưỡng năng lực cho mỗi giáo viên. Dựa trên các giải pháp đã trình bày, giáo viên có khả năng sáng tác được các bài toán mơi hơn tư đơn giản đên phức tap phù hợp vơi đôi tượng hoc sinh lơp mình đang giảng day.



Đôi vơi hoc sinh, nhất là hoc sinh khá giỏi, các giải pháp này là phương tiện hỗ trợ thât sự cân thiêt cho quá trình tự hoc tự rèn. Nó khơi dây phân tiềm năng còn ẩn khuất trong mỗi hoc sinh khi được tiêp cân vơi nhưng giải pháp mà đã được giáo viên hương dẫn. Nhưng sai lâm HS măc phải đã được khăc phục, tao sự hứng thú tự tin yêu thích toán hoc trong mỗi hoc sinh.

3.2. Chất lượng, hiệu quả sử dụng: - Bằng cách áp dụng đồng bộ các giải pháp đã nêu trong quá trình thực hiện, ở trường chúng tôi trong hai năm qua, phân nào giáo viên đã bơt khó khăn về măt thời gian và phương pháp khi hương dẫn cho hoc sinh giải phương trình vô tỉ. Sau hai năm thực hiện và đôi chiêu, kêt quả đat được như sau:

3.2.1. HỌC SINH ĐẠI TRÀ

a) Bài kiểm tra chương I (tiết 18)

Năm học Lớp Sĩ số

Giỏi Khá Trung bình Yếu, kém TB trở lênSL TL% SL TL% SL TL% SL TL% SL TL%

2009- 2010Dạy thông

thường

9 A1 37 3 8.1 5 13.5 12 32.4 17 45.9 20 54.19 A2 36 5 13.9 5 13.9 12 33.3 14 38.9 22 61.19 A3 37 5 13.5 6 16.2 11 29.7 16 43.2 22 59.4

2009 – 2010Day theo SKKN

9 A7 37 12 32.4 13 35.1 11 29.7 1 2.7 36 97.39 A8 38 18 47.4 12 31.6 7 18.4 1 2.6 37 97.49 A9 37 12 32.4 12 32.4 11 29.7 2 5.4 35 94.6

2010 – 2011Dạy thông

thường

9 A1 34 7 20.6 7 20.6 10 29.4 10 29.4 24 70.69 A2 34 6 17.6 7 20.6 12 35.3 9 26.5 25 73.59 A3 33 3 9.1 5 15.2 14 42.4 11 33.3 22 66.7

2010 – 2011Day theo SKKN

9 A7 34 12 35.3 12 35.3 9 26.5 1 2.9 33 97.19 A8 34 20 58.8 8 23.5 6 17.6 34 100.09 A9 34 16 47.0 9 26.5 9 26.5 34 100.0

b) Bài kiểm tra HKI năm học 2010 – 2011 Đề bài: Giải phương trình: (1)

Đáp án ĐiểmĐiều kiện x 2

(1)

0,25

0,25



Kêt hợp vơi điều kiện x 2 thì x = 2 ( thoả mãn); x = (loai)

Vây phương trình có 1 nghiệm là x = 2

0,25

0,25

Kết quả thống kê

Phương pháp giảng day

Lơp Sĩ sô

Điểm 0,0 Điểm 0,25 Điểm 0,5 Điểm 0,75 Điểm 1,0SL TL SL TL SL TL SL TL SL TL

Day thông thường9A1 34 5 14.7 15 44.1 7 20.6 7 20.6 09A2 34 6 17.6 12 35.2 12 35.2 3 8.8 09 A3 33 12 36.4 13 39.4 7 21.2 1 3.0 0

Dạy theo SKKN9 A7 34 1 2.9 2 5.9 10 29.4 21 61.89A8 34 1 2.9 3 8.8 3 8.8 27 79.49A9 34 1 2.9 4 11.8 4 11.8 25 73.5

3.2.2. KẾT QUẢ THI HỌC SINH GIỎI

Năm học Cấp huyện Cấp tỉnhSL dự thi Đạt giải SL dự thi Đạt giải

2008 – 2009(Chưa dạy theo SKKN)

3 1(khuyến khích)

3 1(1 giải nhì)

2009 – 2010(Dạy theo SKKN – HKII)

3 0 2 2(khuyến khích)

2010 – 2011(Dạy theo SKKN)

5 5(1 nhì, 2 giải 3, 2 giải

khuyến khích)

4 4(1 nhì, 1 giải 3, 2 giải

khuyến khích)

Đăc biệt nhiều hoc sinh tham gia chuyên mục “Giải bài kì trước” trên tap chí toán hoc tuổi trẻ và thi “giải toán qua thư” trên tap chí toán tuổi thơ 2. Có 4 hoc sinh được nêu tên trong đó em Nguyễn Trong Nhất lơp 9A8 đã được khen và nêu tên trên tap chí Toán hoc & Tuổi trẻ sô 407 tháng 5/2011, do có lời giải hay và độc đáo cho các bài Toán – Lí trên chuyên mục “Giải bài kì trươc” vơi bài toán sau:* Giải phương trình Lời giải: Điều kiện 0 Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho 2 bộ sô không âm ta có

Cộng theo vê bất đẳng thức (1) và (2) ta được



Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Vây phương trình đã cho có đúng một nghiệm x = 1.

Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai sô không âm ta có

8

Suy ra Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1.Vây phương trình đã cho có đúng một nghiệm x = 1.

3.3. Tác động đến điều kiện lao độngKhi chưa áp dụng sáng kiên kinh nghiệm thì “phương trình vô tỉ” là một mảng chuyên đề mà

giáo viên làm công tác bồi dưỡng rất ngai khi được phân công phụ trách chuyên đề này . Hoc sinh đai trà gân như không giải được các dang toán liên quan đên phương trình vô tỉ, hoc sinh giỏi thường bỏ qua bài toán này trong các đề thi hoc sinh giỏi toán cấp huỵện, cấp tỉnh, thi vào THPT chuyên Lê Quý Đôn .

Khi áp dụng kinh nghiệm vào giảng day, giáo viên đã tích luy được cho mình một vôn kiên thức quý báu, luôn có cơ hội để trao đổi kinh nghiệm lẫn nhau trong quá trình giảng day, tiêt kiệm được thời gian và công sức để đâu tư thêm vào các chuyên đề khác trong quá trình bồi dưỡng hoc sinh giỏi dự thi các cấp. Vơi hoc sinh thì trang thái thiêu tự tin khi găp dang toán này không còn nưa. Ý thức hoc tâp bộ môn toán của hoc sinh được nâng lên rõ rệt. Hoc sinh giỏi thi nhau tìm và giải các bài toán về phương trình vô tỉ trong các đề thi hoc sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh, đề thi vào THPT Lê Quý Đôn hàng năm và các bài toán được đăng trên tap chí toán hoc tuổi trẻ và toán tuổi thơ 2. Hoc sinh đai trà thực hiện thành thao các phép biên đổi, rút gon các biểu thức chứa căn bâc hai, giải được các phương trình vô tỉ cơ bản. Phân lơn hoc sinh có thể tự đoc và hiểu tài liệu một cách rõ ràng, lôgich để tự mình sáng tác thêm các bài toán mơi về phương trình vô tỉ để phục vụ cho việc tự hoc.

Nhà trường có thêm một tư liệu quý góp phân làm phong phú thêm kho tư liệu tích luỹ chuyên môn của trường hàng năm, nhờ đó tổ đỡ vất vả trong việc phân công giáo viên bồi dưỡng hoc sinh giỏi. Một điều thành công nhất là tất cả giáo viên tổ Toán – Tin của trường đều day tôt chuyên đề “phương trình vô tỉ” khi được phân công bồi dưỡng hoc sinh giỏi.



1. Những điều kiện, kinh nghiệm áp dụng, sử dụng giải pháp

Day hoc toán thực chất là day hoat động toán hoc. Trong hoat động đó, hoc sinh cân phải được cuôn hút vào nhưng hoat động hoc tâp do giáo viên tổ chức và chỉ đao, thông qua đó hoc sinh hoc sinh tự khám phá điều mình chưa biêt chứ không phải thụ động tiêp thu nhưng tri thức săp đăt sẵn. Theo tinh thân này, trong một tiêt lên lơp giáo viên là người tổ chức chỉ đao cho hoc sinh tiên hành



các hoat động hoc tâp: củng cô kiên thức cu, tìm tòi phát hiện kiên thức mơi, luyện tâp vân dụng kiên thức vào các tình huông khác nhau… giáo viên không cung cấp, không áp đăt nhưng kiên thức có sẵn mà hương dẫn hoc sinh thông qua các hoat động để phát hiện và chiêm lĩnh tri thức, rèn luyện kĩ năng, hình thành kĩ năng vân dụng toán hoc vào thực tiễn.

Giáo viên cân rèn luyện cho hoc sinh nhưng tri thức phương pháp để hoc sinh biêt cách hoc, biêt suy luân, biêt cách tự tìm lai nhưng điều đã quên, biêt cách tự tìm tòi và phát hiện ra kiên thức mơi. Các tri thức phương pháp thường là nhưng quy tăc, quy trình, nói chung là các phương pháp có tính chất thuât toán. Tuy nhiên, cung cân coi trong các phương pháp có tính chất tìm đoán (ví dụ phương pháp tổng quát của Polya để giải bài tâp toán). Hoc sinh cân được rèn luyện các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, đăc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự, quy la về quen.... Việc năm các tri thức phương pháp nói trên tao điều kiện cho hoc sinh có thể tự đoc hiểu được tài liệu, tự làm bài tâp, năm vưng và hiểu sâu các kiên thức cơ bản đồng thời phát huy được tiềm năng sáng tao của bản thân.

Nghiên cứu kỹ chương trình toán hoc trung hoc cơ sở, sách giáo khoa, sách bài tâp, sách tham khảo, các tài liệu liên quan, các chương trình bồi dưỡng hoc sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh, kể cả chương trình toán hoc của trung hoc phổ thông sẽ giúp cho giáo viên định hương tôt cho quá trình thực hiện một tiêt lên lơp và xây dựng chuyên đề bồi dưỡng hoc sinh giỏi có hiệu quả. Giáo viên phải giúp hoc sinh sửa sai ngay trong lời giải của mình để giúp hoc sinh khăc sâu kiên thức nhơ lâu và nêu quên có thể tìm lai được.

2. Những triển vọng trong việc vận dụng và phát triển giải pháp Muôn nâng cao chất lượng đào tao phải nâng cao trình độ chuyên môn cho mỗi giáo viên. Vì vây, để có được hiệu quả như mong muôn, mỗi giáo viên nên thực đảm bảo tính xuyên suôt, liên tục trong việc xây dựng kê hoach giảng day phương trình vô tỉ và bồi dưỡng hoc sinh giỏi. Nêu mỗi giáo viên biêt cách tự sáng tao, tự hoc và tự rèn trong điều kiện cho phép và sự nổ lực cô găng của bản thân thì một sô giải pháp này mơi chỉ là sự khởi đâu của niềm đam mê toán hoc trong mỗi chúng ta. Có thể sử dụng nhưng giải pháp này để sáng tác ra nhưng bài toán phát triển tư duy cao hơn, mở rộng hơn tâm nhân thức của mỗi người là công trình nghệ thuât của mỗi giáo viên đang day toán và mãi mãi của nhưng người yêu thích toán. Sự thành công của mỗi giáo viên trên con đường day hoc sẽ góp phân tao hứng thú tự tin cho hoc sinh. Vân dụng các giải pháp trên giáo viên có thể xây dựng các chuyên đề khác phục vụ cho nhu câu giảng day của mình bằng cách tương tự. Phát hiện ra sai lâm hoc sinh thường măc phải thì sẽ giúp cho hoc sinh tránh được nhưng sai lâm đó trên con đường hoc toán của mình. Có thể vân dụng các giải pháp nêu trên để tiêp tục phát triển sâu hơn, rộng hơn một sô phương pháp khác trong hệ thông bài tâp về phương trình vô tỉ và các dang bài tâp tương tự.

3. Đề xuất, kiến nghị

Để có được kêt quả như mong muôn ngoài yêu câu chung là giáo viên phải có năng lực chuyên môn sư pham vưng vàng còn đòi hỏi mỗi giáo viên phải có lòng say mê, nhiệt tình và tâm huyêt vơi nghề nghiệp. Dành nhiều thời gian đâu tư cho công tác soan giảng, nghiên cứu kĩ chương trình toán THCS, đoc nhiều sách và tài liệu tham khảo liên quan đên vấn đề đang trực tiêp giảng day để tích luỹ



một sô kinh nghiệm cân thiêt, vưng vàng tự tin khi đứng lơp cung như khi làm công tác bồi dưỡng hoc sinh giỏi … thì mơi giúp hoc sinh hoàn thiện kiên thức và tao cho các em hứng thú khi đên giờ hoc toán. Nhà trường một măt phải có biện pháp kích thích, nuôi dưỡng lòng nhiệt tình của nhưng giáo viên lơn tuổi đồng thời phải có kê hoach bồi dưỡng lơp giáo viên trẻ có năng lực để kịp thời bổ sung vào lực lượng giáo viên côt cán của nhà trường. Xuất phát tư đăc điểm tâm sinh lí lứa tuổi, chúng ta có thể thấy nhưng giáo viên lơn tuổi thường giàu kinh nghiệm, chuyên môn vưng vàng, có nhiều tâm huyêt, găn bó vơi nghề nhưng dễ bằng lòng, muôn nghỉ ngơi. Còn nhưng giáo viên trẻ thì nhiệt tình, năng động, sáng tao, ham hoc hỏi, muôn được khẳng định mình nhưng thường thiêu kinh nghiệm và hay nóng vội. Do đó nhà trường cân phải biêt cách để cho hai lực lượng này bổ sung, hỗ trợ cho nhau, tao nên một tiềm lực đủ manh, đủ bền và năng động để nâng cao chất lượng day hoc.

Ban giám hiệu kêt hợp vơi các tổ chuyên môn hàng năm phân công mỗi giáo viên hoăc một nhóm giáo viên chon loc, tích luỹ và viêt các chuyên đề nâng cao dùng làm tư liệu để bồi dưỡng hoc sinh giỏi. Sau đó tổ chức thẩm định đưa vào làm tư liệu chuyên môn cho trường hàng năm và hoàn chỉnh thành sáng kiên kinh nghiệm.

Bộ phân chuyên môn phòng giáo dục chon loc săp xêp phân công cho tổ toán các trường viêt các chuyên đề nâng cao hàng năm có đội ngu côt cán thẩm định để tư đó có thêm một sô tài liệu cho giáo viên tham khảo khi giảng day cung như thực hiện công tác bồi dưỡng hoc sinh giỏi hiệu quả.

Trên đây là một sô kinh nghiệm nhỏ mà bản thân tích luỹ được trong quá trình giảng day, tôi mong muôn trao đổi cùng các ban đồng nghiệp, hi vong sáng kiên kinh nghiệm này sẽ phân nào cung cấp thêm các phương pháp giải phương trình vô tỉ cho các ban đồng nghiệp và các em hoc sinh giỏi muôn tìm hiểu sâu thêm về kiên thức toán trung hoc cơ sở, làm nền tảng cho kiên thức toán trung hoc phổ thông, đồng thời có được sự ủng hộ và góp ý chân thành của tất cả các ban để cho bài viêt được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cám ơn.

Phù Mỹ, ngày 02 tháng 4 năm 2012 Người viết

Nguyễn Văn Thanh

XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………



……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Sách giáo khoa, sách bài tâp toán 9 - Tâp I, tâp II.2. Ôn kiên thức luyện kĩ năng Đai sô 9 – Tôn Thân (chủ biên)3. Một sô chuyên đề liên quan đên giải phương trình vô tỉ được đăng trên tap chí Toán hoc &

tuổi trẻ và trên tap chí Toán tuổi thơ 2.



4. Một sô bài viêt liên quan đên giải phương trình vô tỉ được đăng tải trên các trang mang Toán hoc của một sô tác giả.

5. Một sô vấn đề đổi mơi phương pháp day hoc môn Toán THCS (Tôn Thân – Phan Thị Luyên - Đăng Thị Thu Thuỷ)6. Một sô vấn đề phát triển Đai sô 9 – Vu Hưu Bình.

MỤC LỤCTrang

PHẦN A: MỞ ĐẦU ……………………………………………………………………………….. 1I. Đăt vấn đề ……………………………………………………………………………. 1

1. Thực trang của vấn đề ……………………………………………………………. 1



2. Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mơi ………………………………………….. .. 23. Pham vi nghiên cứu của đề tài ……………………………………………………..2

II. Phương pháp tiên hành ……………………………………………………………….. 31. Cơ sở …………………………………………………………………………… ...32. Các biện pháp tiên hành và thời gian tao ra giải pháp …………………………….. 3

PHẦN B: NỘI DUNG …………………………………………………………………………… 4I. Mục tiêu ……………………………………………………………………………. 4II. Mô tả giải pháp của đề tài …… …………………………………………………… 5

II.1a. Nhưng sai lâm thường găp khi giải phương trình vô tỉ………………………… 5II.1b. Một sô phương pháp giải phương trình vô tỉ …………………… …………… 19II.2. Khả năng áp dụng ………………………………………………………………..61II.3. Lợi ích kinh tê xã hội ……………………………………………………………63

PHẦN C: KẾT LUẬN ……………………………………………………………………………. 65

TÀI LIỆU THAM KHẢO ……………………………………………………………………….. 67

MỤC LỤC ………………………………………………………………………………………… 68


conduongcoxua.files.wordpress.com · web viewmọi giáo viên toán thcs đều có thể dùng...

Documents